八年级数学探索勾股定理2

北师大版数学八年级上册《探索勾股定理》教学设计2一. 教材分析《探索勾股定理》是北师大版数学八年级上册的一章内容。

本章主要让学生通过探索、验证勾股定理，培养学生的探究能力和逻辑思维能力。

本节课的内容是探索勾股定理的证明方法，让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的含义，并能够运用勾股定理解决实际问题。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平面几何的基本概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力。

但是，对于勾股定理的证明方法，学生可能比较陌生，需要通过实例和引导，让学生理解和掌握。

三. 教学目标1.让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的含义。

2.培养学生通过探索、验证勾股定理的能力，提高学生的逻辑思维能力。

3.能够运用勾股定理解决实际问题，感受数学在生活中的应用。

四. 教学重难点1.重点：让学生通过探索、验证勾股定理，理解勾股定理的含义。

2.难点：如何引导学生发现和证明勾股定理，以及如何运用勾股定理解决实际问题。

五. 教学方法1.引导法：通过问题引导，让学生自主探索勾股定理的证明方法。

2.实例法：通过具体的几何图形，让学生直观地理解勾股定理。

3.实践法：让学生通过动手操作，验证勾股定理，增强学生的实践能力。

六. 教学准备1.准备相关的几何图形，如直角三角形、直角梯形等。

2.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。

3.准备勾股定理的相关资料，如历史背景、证明方法等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，如测量一个直角三角形的两条直角边的长度，让学生思考如何求解斜边的长度。

引导学生回顾平面几何中关于直角三角形的知识，为学习勾股定理做铺垫。

2.呈现（10分钟）利用多媒体展示勾股定理的定义和表述，让学生了解勾股定理的基本概念。

通过几何图形的展示，让学生直观地感受勾股定理的应用。

3.操练（15分钟）让学生分组讨论，每组尝试用不同的方法证明勾股定理。

教师巡回指导，引导学生发现和证明勾股定理。

探索勾股定理进阶（二）（综合）一、单选题(共10道，每道10分)1.在直角三角形中，两边长分别为3和4，则最长边的长度为( )A.5B.4C.3D.5或4答案：D解题思路：由于题中没有说明哪条是直角边哪条是斜边，所以需要分类讨论：①当4是直角边时，设斜边长为x，则，此时最长边为5；②当4为斜边时，此时最长边为4．故选D试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论2.若直角三角形的三边长分别为6，10，m，则m2的值为( )A.8B.64C.136或64D.136或100答案：C解题思路：由于题中没有说明哪条是直角边哪条是斜边，所以需要分类讨论：①10是直角边时，②10是斜边时，，所以的值为136或64故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论3.在△ABC中，AB=26，AC=25，BC边上的高AD=24，则另一边BC等于( )A.3或17B.3C.2或18D.17答案：A解题思路：由题意，有如下两种情况，△ABC为锐角三角形或钝角三角形①如图，△ABC为锐角三角形∵AD⊥BC∴在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=26，AD=24由勾股定理得，BD=10同理，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=24，AC=25由勾股定理得，CD=7∴BC=BD+CD=10+7=17②如图，△ABC为钝角三角形∵AD⊥BC∴在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=26，AD=24由勾股定理得，BD=10同理，在Rt△ADC中，∠ADC=90°，AD=24，AC=25由勾股定理得，CD=7∴BC=BD-CD=10-7=3综上，BC的长为3或17故选A试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论4.在△ABC中，AB=15，AC=13，BC边上的高AD=12，则△ABC的面积为( )A.84B.24C.24或84D.42或84答案：C解题思路：分情况讨论：（1）△ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=15，AD=12由勾股定理得，，∴BD=9在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=13，AD=12由勾股定理得，，∴CD=5△ABC的面积为；（2）△ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到，△ABC的面积为．故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论5.在△ABC中，AB=20，AC=13，BC边上的高AD=12，则△ABC的周长为( )A.54B.48C.44或48D.44或54答案：D解题思路：分情况讨论：（1）当△ABC为锐角三角形时，高AD在△ABC内部．在Rt△ABD中，∠ADB=90°，AB=20，AD=12由勾股定理得，，∴BD=16在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AC=13，AD=12由勾股定理得，，∴CD=5即可得，故可得△ABC的周长为；（2）当△ABC为钝角三角形时，高AD在△ABC外部．方法同（1）可得到BD=16，CD=5即可得，故可得△ABC的周长为．故选D试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论6.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E．若AC=6，AB=10，则DE 的长为( )A.2B.3C.4D.5答案：B解题思路：由题意知，△ACD≌△AED所以AE=AC=6，BE=4在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，AB=10由勾股定理得，BC=8设DE=CD=x，则BD=8-x在Rt△BDE中，∠BED=90°由勾股定理得，解得，则DE=3故选B试题难度：三颗星知识点：勾股定理实际应用——需设表达7.如图，已知∠ACB=90°，AD是∠CAB的平分线，BC=4，CD=，则AC的长为( )A.1B.2C.3D.4答案：C解题思路：如图，过点D作DE⊥AB交AB于点E由题意知，△ACD≌△AED所以DE=CD=，BD=在Rt△BDE中，，即解得，设AE=AC=x，则AB=2+x在Rt△ABC中，∠C=90°由勾股定理得，解得，则AC=3故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理实际应用——需设表达8.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，则BM的长为( )A. B.2C. D.答案：D解题思路：如图，连接MC由题意知，△AMN≌△CMN设BM=x，则AM=CM=4-x在Rt△BMC中，∠B=90°由勾股定理得，解得，则BM=故选D试题难度：三颗星知识点：勾股定理实际应用——需设表达9.如图，在△ABC中，∠C=90°，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB）为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E．若AC=3，AB=5，则DE的长为( )A.2B.C. D.答案：C解题思路：如图，连接AE，由题意知，△ADE≌△BDE 设AE=BE=x，则CE=4-x在Rt△ACE中，∠C=90°由勾股定理得，解得，即AE=BE在Rt△BDE中，∠BDE=90°由勾股定理得，即解得，DE=故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理实际应用——需设表达10.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，点D为BC延长线上一点，当△ABD为等腰三角形时，CD的长为( )A.1或4B.或1C.或1或4D.或1或4答案：C解题思路：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4由勾股定理可得，AB=5当△ABD为等腰三角形时，需要分情况讨论：①如图，AB为腰，AB=AD1，此时点A在BD1的垂直平分线上，CD1=BC=4②如图，AB为腰，AB=BD2，此时BD2=AB=5，CD2=BD2-BC=1③如图，AB为底，AD3=BD3，此时点D3在AB的垂直平分线上，设CD3=x，AD3=BD3=4-x由勾股定理可得，，解得，所以CD3故选C试题难度：三颗星知识点：勾股定理之分类讨论。

第一章勾股定理1. 1 探索勾股定理第 2 课时教学设计1.学会应用勾股定理，并领会“数与行”相结合的应用思想.2.经历勾股定理应用的过程，掌握勾股定理的使用方法.3.培养良好的合作、交流意识，发展数学观念，体会勾股定理的实际应用.【教学重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理.【教学难点】用面积证勾股定理.四个全等的直角三角形纸片.一、创设情境，引入新知如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程二、合作交流，探究新知勾股定理的初步认识问题1：观察下面地板砖示意图：你发现图中三个正方形的面积之间存在什么关系吗？问题2：观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）.方法一：割分割为四个直角三角形和一个小正方形.方法二：补补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.方法三：拼将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.分析表中数据，你发现了什么？结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.想一想（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b 和斜边长 c 来表示图中正方形的面积吗？根据前面的结论，它们之间又有什么样的关系呢？（2）以5 cm、12 cm为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.（1）中的规律对这个三角形仍成立吗？勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a，b和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边那么a2+b2=c2名字的由来我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名.在西方又称毕达哥拉斯定理三、运用新知求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：已知直角三角形两边，求第三边.利用勾股定理进行计算：例求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.四、巩固新知1. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .2. 判断题①△Rt ABC 的两直角边AB=5, AC=12,则斜边BC=13 ( )②△ABC 的两边a = 6 , b = 8, 则c = 10 ( )3. 填空题在△ABC中, ∠C=90°, AC = 6, CB = 8,则△ABC 的面积为_____,斜边上的高CD 为______.4. 一高为 2.5 米的木梯,架在高为 2.4 米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?五、归纳小结◆教学反思略.。

第08讲探索勾股定理（第2课时）（1个知识点+12大题型+18道强化训练）课程标准学习目标①勾股定理的应用 1. 掌握勾股定理的应用；知识点01：勾股定理的应用勾股定理的作用已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；用于解决带有平方关系的证明问题；3．与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．【即学即练1】1．如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为8cm和6cm，高为10cm，将一支长为18cm的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的的长度最少为（）A ．10cmB ．()18102cm -【答案】B 【分析】长方体内斜对角线是最长的，当签字笔在笔筒里对角放置的时候露在外面的长度最小，求出笔筒的对角线长度即可得签字笔露在外面的最短长度．【详解】解：由题意知：笔筒底面对角长为A ．28mB ．【答案】C 【分析】滑行的距离最短，即是沿着E 三点构成直角三角形，AE 可得出AE 的距离．12AD=米，DE=△中，在Rt ADE22121620AE=+=即滑行的最短距离为故选：C．题型01 求梯子滑落高度1．如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上移动2m，则梯子底端B向左移动（）A．10m B．6m C．4m D．2m【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画出对应几何图形，求出B C¢即可求解.【详解】解：如图所示：一段距离，则下滑的距离（大于、小于或等于）1米．(1)求OA 的长度．(2)如果梯子下滑0.4m ，则梯子滑出的距离是否等于0.4m ？请通过计算来说明理由．题型02 求旗杆高度1．某兴趣小组要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子刚好垂到地面，若紧拉绳子的末端向后退6m 后发现绳子末端到地面的距离为2m ，则旗杆的高度是（ ）A ．5mB ．10mC ．13mD ．17m 【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形．【详解】解：如图，设旗杆的高度AB 为m x ，则绳子AC 的长度为m x ，过点C 作CE AB ^于点E ，则6m EC BD ==，2m CD EB ==，在Rt AEC △中，根据勾股定理可得()22226x x -+=，解得10x =，\旗杆的高度是10m ，故选：B ．2．如图1，在综合实践小组测量旗杆高度的活动中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了1米，如图2，当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好落到点C 处，经过测量此时绳子底端C 到旗杆底部A 的距离是5米，则旗杆AB 的高度为 米【答案】12【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x 米，则AB x =米，()1BC x =+米，在Rt ABC △中，由勾股定理得()22215x x +=+，解方程即可得到答案．【详解】解：设旗杆的高度为x 米，则AB x =米，()1BC x =+米，由题意得：5AC =米，在Rt ABC △中，由勾股定理得222AC AB BC =+ ，∴()22215x x +=+，解得12x =，∴12AB =米，∴旗杆的高度为12米，故答案为：12．3．小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图勘测，得到如下记录：①测得水平距离BC 的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB 的长为13米；③小龙牵线放风筝的手到地面的距离CD 长为1.5米．(1)求风筝到地面的距离线段AD 的长；(2)如果小龙想要风筝沿CA 方向再上升4米，BC 和CD 的长度不变，则他应该再放出_____米线．题型03 求小鸟飞行距离1．如图，有两棵树AB 和CD （都与水平地面AC 垂直），树AB 高8米，树梢D 到树AB 的水平距离DE （DE AB ^）的长度为8米，2AE CD ==米，一只小鸟从树梢D 飞到树梢B ，则它至少要飞行的长度为（ ）A ．10米B ．9米C ．8米D ．7米∵DE AB^∴90BED Ð=°∵树AB 高8米，AE =∴6BE =米，8DE =另一棵树的树梢，那么小鸟至少飞行 米．【答案】26【分析】本题考查了勾股定理与实际问题，根据题意构建模型，过点B 作BA CD ^，交CD 于点A ，由题意可得20m CD =，10m BE =，24m DE =，根据题意可证明四边形ADEB 是矩形，24AB DE m ==，10m AD BE ==，可得10m AC =，在t R BAC V 中，90BAC Ð=°，根据勾股定理得26m BC =，即可得，掌握两点之间线段最短，矩形的判定，勾股定理，根据题意构建出模型是解题的关键．【详解】解：如图所示，过点B 作BA CD ^，交CD 于点A ，由题意可得20m CD =，10m BE =，24m DE =，∵90BAD ADE DEB Ð=Ð=Ð=°，小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？题型04 求大树折断前的高度1．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一道“折竹抵地”问题；今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？大意是；“一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），中部有一处折断，竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，”问折断处离地面的高度是多少尺？（ ）A．4B．92C．9120D．10920离为1.5m，一只蜗牛从树顶端的A处出发，以20cm/min的速度沿树干向上爬行，则它爬到折断处C所需的时间为min．意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．【答案】4.55尺【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，根据勾股定理得2223(10x)x +=-，解得： 4.55x =答：折断处离地面的高度是4.55尺．题型05 解决水杯中筷子问题1．一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是6cm ，内壁高8cm ．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是5cm ，则这支铅笔的长度是（ ）cm ．A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】B 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC 的长度．然后结合题意即可求解．此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的长度是解决问题的关键．【详解】解：如图：根据题意可得图形：△中：AC在Rt ABC∵这支铅笔在笔筒外面部分长度是∴这支铅笔的长度是故选：B．2．如图，已知钓鱼杆鱼竿AC转动到AC¢的位置，此时露在水面上的鱼线B C¢¢长度为4米，则BB¢的长为米．FG=），当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，筷子露出杯子外1cm（即1cm求筷子GE的长度．【答案】13cm【分析】设杯子的高度是cm x ，则筷子的高度为()1cm x +，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案，根据勾股定理列出方程是解题的关键．【详解】解：设杯子的高度是cm x ，则筷子的高度为()1cm x +，∵杯子的直径为10cm ，∴5cm DF =，在Rt DEF V 中，由勾股定理得：2225(1)x x +=+，解得12x =，∴筷子()12113cm EG =+=．答：筷子GE 的长度为13cm ．题型06 解决航海问题1．两只蜗牛从同一地点同时出发，一只以3m /min 的速度向北直行，一只以4m /min 的速度向东直行，1min 后两只蜗牛相距（ ）A ．5mB ．C ．D ．4.5m【答案】A【分析】本题考查勾股定理，分别计算一分钟两只蜗牛行走的路程，再根据勾股定理计算即可．【详解】解：313´=，414´=，∵一只以3m /min 的速度向北直行，一只以4m /min 的速度向东直行，∴夹角为直角，∵222345+=，∴1min 后两只蜗牛相距5m ，故选：A ．2．如图，甲、乙两船同时从港口A 出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°方向航行，2小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若C ，B 两岛相距100海里，乙船的速度是 海里/时．Q 60AC \=海里．35EAC Ð=°Q ，55FAB Ð=90CAB \Ð=°．100BC =Q 海里，22100AB BC AC \=-=Q 乙船也用2小时，时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东40°的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东50°的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离AB．题型07 求河宽1．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F 与欲到达地点E 相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程HF 比河的宽度EH 多2米，则河的宽度EH 是（ ）．A ．8米B ．12米C ．16米D ．24米【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知EFH △为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边EH 的长度．【详解】解：根据题意可知10EF =米，设EH x =，则2HF x =+，Rt EFH △中，由勾股定理得222FH EF EH =+，即()222210x x +=+，解得24x =．∴该河的宽度EH 为24米．故选：D ．2．《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读kǔn ，门槛）一尺，不合二寸，问：门广几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点C 和点D 到门槛AB 的距离DE 为1尺（1尺10=寸），双门间的缝隙CD 为2寸，则门宽AB 的长是 寸．【答案】1013．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“测量隧道长度”的项目式学习活动．项目主题测量隧道的长度AB 测量工具测角仪、测距仪等测量示意图 数据说明90ACB ABC Ð+Ð=°，750BC =米，210AC =米特别说明测量过程中注意保障人身安全！请你根据以上测量结果，计算隧道的长度AB ．题型08 求台阶上地毯长度1．如图，要为一段高为5米， 长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长度至少为（ ）A ．18米B ．17 米C ．13米D ．12米∴地毯的长度至少是12517+=米．故选B．2．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为m，购买这种地毯至少需要元．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？【答案】(1)每一级台阶的高为2分米．题型09 判断汽车是否超速1．如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A知道校车自点B处沿x轴向原点O方向匀速驶来，她立即从A处搭一辆出租车，去截汽车．若点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（8，0），汽车行驶速度与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为（ ）A．（3，0）B．（3.5，0）C．（174，0）D．（5，0）【答案】C【分析】在D点小蓓与汽车相遇，则小蓓的行进路线为AD，设OD＝x，在直角△ACD中，AD为斜边，已知AC，CD，即可求AD，且BC＝OB﹣OC＝8，根据BD＝AD的等量关系可以求得x，即可求相遇点D的坐标．【详解】解：作出题目中给出的图形：已知AC＝3，OC＝2，OB＝8，在D点小蓓与汽车相遇，设OD＝x，则CD＝x﹣2，的C 处，过了5s 后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m ，则这辆小汽车的速度是 m /s ．建成通车，在该路段MN 限速5m/s ，为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点C ，从观点C 测得一小车从点A 到达点B 行驶了10s ．若测得45CAN Ð=°，60CBN Ð=°，100m BC =．此车超速了吗？请说明理由．∴小车平均速度(5031010AB ==而()5315-<∴此车没有超速．题型10 判断是否受台风影响1．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交会，公路PQ 上点A 距离点O 是270m ，与MN 这条铁路的距离是200m ．如果火车行驶时，周围250m 以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72km /h 的速度行驶时，点A 处受噪音影响的时间是（ ）A ．15秒B ．13.5秒C ．12.5秒D ．10秒∵公路PQ 上点A 距离点O 是270m ∴200m AC =，∵250m AB AD ==，∴由勾股定理得：2BC AB =400m BC =，500m AB =，已知距离火车250m 以内会受到噪音的影响．（1）学校C 到铁路AB 的距离是 m ．（2）火车在AB 路段行驶时，学校C 受到火车噪音影响的时间是 min ．（3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（10min t £），那么其行驶速度至少应增加到m /min ．∵300m AC =，400m BC =，AB =∴222AB AC BC =+，∴ABC V 是直角三角形，∴1122ABC S AC BC AB CD =×=×V ，即当250m CE CF ==时，正好影响学校，极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，^时，A点到B，C两点的距离分别为500km和300km，以台风中心为圆心周围250km以内为受当AC BC影响区域．(1)求BC；(2)海港C受台风影响吗？为什么？(3)若台风的速度为35km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？（3）解：当250km EC =，FC ()2270km ED EC CD =-=Q ，140km EF \=，Q 题型11 选址使两地距离相等1．如图，高速公路上有A 、B 两点相距10km ，C 、D 为两村庄，已知4DA km =，6CB km =．DA AB ^于A ，CB AB ^于B ，现要在AB 上建一个服务站E ，使得C 、D 两村庄到E 站的距离相等，则EA 的长是（ ）km ．A ．4B ．5C ．6D 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键．根据题意设出BE 的长为xkm ，再由勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：设BE x =，则()10AE x km =-，由勾股定理得：在Rt ADE V 中，222224(10)DE AD AE x =+=+-，在Rt BCE V 中，222226CE BC BE x =+=+，由题意可知：DE CE =，所以：222264(10)x x +=+-，解得：4x km =．所以，EB 的长是4km ．所以，()1046EA km =-=．故选：C ．2．如图，在笔直的铁路上A ，B 两点相距20km ，C 、D 为两村庄，8km DA =，14km CB =，DA AB ^于点A ，CB AB ^于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，求AE = km ．8km DA =，6km CB =．现在要在公路AB 上建一个土特产产品收购站E ，使得C ，D 两商场到E 站的距离相等，(1)求E 站应建在离A 点多少km 处？(2)若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？题型12 最短路径问题、和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，1．如图是一块长、宽、高分别是6cm4cm沿着长方体的表面到长方体上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A ．(3cm +BCD 但有三种情况：当：3AD =，4610DB =+=．22310109cm AB =+=．当4=AD ，639DB =+=．97cm AB =．此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到达内壁B 处的最短距离为 cm ．3．【问题背景】如图一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P ，首先在笔直的步道1l 上找一处A （1AP l ^），一工人沿步道1l 从点A 出发直走80米到达B 处，又继续前行80米到达点C 处，接着从C 处沿与步道1l 垂直的方向行走，当到达D 处时，P 、B 、D 刚好在同一直线上，最后工人测得CD 的长为75米．请根据以上信息，回答下面的问题：【问题探究】（1）求小岛离步道1l 的垂直距离PA ．【问题拓展】（2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道2l ，小岛P 到2l 的距离PM a =米，点A 到L ₂的距离()80AN a =-米，在MN 之间有一任意点E ，当PE AE +的最小值为100米时，①MN = 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道2l 是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因．【方法迁移】（3）若将x ，3x -，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）．过Q 作2QH l ∥交AN 的延长线于∵2PM l ^，PM MQ =即2l 垂直平分PE EQ \=，PE AE QE AE AQ \+=+³，当A 、Q 、E 三点共线时PE +即100AQ =米∵2AN l ^，2QH l ∥AN QH \^即90AHQ Ð=°，MNHQ1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 3dm 2dm 、、．A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为（ ）A B ．20dm C ．25dm D ．35dm【答案】C 【分析】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm ，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理得：()22222023325x éù=++´=ëû，解得：()25dm x =．故选：C ．2．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm 的点M 处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm 的点N 处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm ，长为15cm ，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ）A ．5cmB ．4cmC ．D ．15cm 由题意得：2cm AM BC ==，BD =∴()1155218cm CN =+-=，而成，如图，在ABD △中，,AB AD AE BD =^，若10,6BC CD ==，则22AC AD -的值为（ ）A ．16B ．24C ．32D ．60【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平方差公式的应用，先证明DE BE =，222AD AE DE =+，222AC AE CE =+，再结合平方差公式可得答案；【详解】解：∵,AB AD AE BD =^，∴DE BE =，222AD AE DE =+，222AC AE CE =+，∴2222AC AD CE DE -=-()()CE DE CE DE =+-()CE BE CD=+×BC CD=×∵10,6BC CD ==，∴2210660AC AD ´-==；故选D4．勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B 离地的垂直高度0.8m BE =，将它往前推3m 至C 处时(即水平距离3m CD =)，踏板离地的垂直高度2.6m CF =，它的绳索始终拉直，则绳索AC 的长是（ ）A ．3.4mB ．3.6mC ．3.8mD ．4.2m【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．由题意可知， 2.6m DE CF ==，0.8m BE =，3m CD =，设m AB AC x ==，根据勾股定理列方程求解即可．【详解】解：由题意可知， 2.6m DE CF ==，0.8m BE =，3m CD =，1.8m BD \=，设m AB AC x ==，则()1.8m AD x =-，由勾股定理得：222AD CD AC +=，()2221.83x x \-+=，解得： 3.4x =，即绳索AC 的长是3.4m ，故：A ．5．如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是9cm ，内壁高为12cm ．将一根长18cm 的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为cm a ，则a 的取值范围是（ ）A ．912a <<B ．612a ££C ．39a <<D ．36a ££置时，露在水面上的鱼线B C ¢¢长为2米，则CC ¢的长为（ ）A ．1米B ．2)-米CD ．2)米走两步后的落点与出发点间的最远距离为．走两步后的落点与出发点间的最远距离的点为故答案为：25．8．如图，圆柱的底面周长是10cm之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为．【答案】13cm/13厘米【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可．【详解】解：把圆柱沿母线展开，点B展开后的对应点为B¢，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AB¢，如图所示：由题意，得：12cm,AC =在Rt ACB ¢△中，由勾股定理，得：故答案为：13cm ．A 的北偏东方向上，距离为13海里，岛B 和岛C 之间的距离为5海里，则岛B 在岛C 的北偏西 方向上.【答案】52°/52度【分析】本题主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行线的性质，关键是根据勾股定理的逆定理得90ABC Ð=°．先根据勾股定理的逆定理得90ABC Ð=°，再根据方向角的定义和平行线的性质计算即可．【详解】解：如图，过点C 作CF EB∥12AB =Q 海里，13AC =海里，5BC =海里，222AB BC AC \+=，90ABC \Ð=°，38BAD Ð=°Q ，AD BE P ，38ABE BAD \Ð=Ð=°，52CBE \Ð=°，∵BE CF ∥，52BCF CBE \Ð=Ð=°，\岛B 在岛C 的北偏西52°方向上．故答案为：52°．10．在笔直的铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，10km DA =，15km CB =，DA AB ^于A ，CB AB ^于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等．则E 应建在距A km ．【答案】15【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用DE CE =，再结合勾股定理求出即可．【详解】解：设km AE x =，则25km ()=-BE x ，DE CE =Q ，2222AD AE BE BC \+=+，故222210(25)15x x +=-+，解得；15x =．故答案为：15．11．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 cm ．【答案】13【分析】本题考查了最短路径问题，将圆柱侧面展开，作出点A 关于EF 的对称点A ¢，根据两点之间线段最短可知A B ¢的长度即为所求，利用勾股定理求出A B ¢即可求解，利用轴对称找到蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是解题的关键．12．如图1是一种伸缩式的鞋架，它有平放和斜放两种使用方式．鞋架每侧有O ，P ，Q 为各支架的中点．鞋架平放得图2，面板BH 的长为24cm ，此时鞋架高度为54cm ，则支架AD 的长为 cm ；鞋架斜放得图3，此时调节杆AL 的端点L 正好卡在面板BH 的调节孔点G 处，13cm AL =，10cm HG =，60AOB Ð=°，则鞋架最高点H 到地面MN 的距离是cm ．\5469OK =¸=，22AO AK OK \=+22129=+15=，230AD AO \==（如图，连接AB ，过Q ALB \V 是等边三角形，60LBA \Ð=°，30RHB \Ð=°，12RB HB \=()110132=+232=，2HR HB RB \=-3RB =米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度．由题意得：AC△中，由勾股定理得：在Rt ACF2AF AC=-=-则BF AB即木马上升的高度为正前方60m处的C点，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100m．(1)求B，C间的距离．(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】(1)梯子顶端距离地面的高度为24米(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键．（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度；（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离．习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE ，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD 的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．(1)求风筝的垂直高度CE ；(2)如果小明想风筝沿CD 方向下降12米，则他应该往回收线多少米？【答案】(1)风筝的高度CE 为21.6米；(2)他应该往回收线8米．【分析】本题考查了勾股定理的应用；（1）利用勾股定理求出CD 的长，再加上DE 的长度，即可求出CE 的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）解：在Rt CDB △中，由勾股定理得，222222515400CD BC BD =-=-=，所以，20CD =（负值舍去），所以，20 1.621.6CE CD DE =+=+=（米)，答：风筝的高度CE 为21.6米；（2）解：由题意得，12CM =，\22BM DM BD \=+2517BC BM \-=-=\他应该往回收线8米．17．在一条东西走向的河流一侧有一村庄由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D （,,A D B 在同一条直线上），并新修一条路CD ，测得 6.5CB =千米，6CD =千米， 2.5BD =千米．(1)求CDB Ð的度数；(2)求原来的路线AC 的长．【答案】(1)90°(2)8.45千米【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．（1）利用勾股定理的逆定理推导BCD △为直角三角形，即可获得答案；（2）设AB AC x ==，则 2.5AD x =-，在Rt ACD △中，利用勾股定理解得x 的值，即可获得答案．【详解】（1）解：根据题意，可知 6.5CB =千米，6CD =千米， 2.5BD =千米，∵22222.5642.25BD CD +=+=，226.542.25CB ==，∴222BD CD CB +=，∴BCD △为直角三角形，90CDB Ð=°；（2）由（1）可知，90CDB Ð=°，即CD AB ^，设AB AC x ==，则 2.5AD AB BD x =-=-，在Rt ACD △中，可有222AD CD AC +=，后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C 点．(1)判断ABC V 的形状；(2)求A 、C 两点之间的距离；(3)确定目的地C 在营地A 的什么方向．【答案】(1)ABC V 的形状是直角三角形，(2)A 、C 两点之间的距离是1000米；(3)目的地C 在营地A 的北偏东30°方向上．【分析】（1）求出FBC Ð，根据平角的定义求出CBA Ð即可；（2）根据勾股定理求出AC 即可；（3）根据1000AC =，500BC =，求出30CAB Ð=°即可．【详解】（1）解：ABC V 的形状是直角三角形，理由是：EF AD ∥，60EBA DAB \Ð=Ð=°，Q ∴15002BG AG CG AC ====∴BCG V 是等边三角形，∴60ACB Ð=°，∴30CAB Ð=°，6030DAC DAB CAB Ð=Ð-Ð=°-即目的地C 在营地A 的北偏东【点睛】本题综合考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，方向角，两点之间的距离等知识点，关键。

浙教版数学八年级上册《2.7 探索勾股定理》教案2一. 教材分析《探索勾股定理》是浙教版数学八年级上册第二章第七节的内容。

本节课的主要目的是让学生通过探索、发现、验证勾股定理，培养学生的探究能力和合作交流能力，体会数学的探究过程，感受数学的美。

教材通过丰富的背景材料，引出勾股定理的探究，并通过数学活动，让学生体验勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了相似多边形的性质，会画直角三角形，对三角形有了一定的认识，但对于证明勾股定理可能会存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，适时给予引导和帮助。

三. 教学目标1.了解勾股定理的背景，感受数学与实际生活的联系。

2.通过探索、发现、验证勾股定理，培养学生的探究能力和合作交流能力。

3.理解并掌握勾股定理，能运用勾股定理解决实际问题。

四. 教学重难点1.教学重点：理解并掌握勾股定理。

2.教学难点：证明勾股定理。

五. 教学方法采用探究式教学法，以学生为主体，教师为指导，引导学生通过观察、操作、思考、讨论、验证等探究活动，发现并证明勾股定理。

六. 教学准备1.教学课件。

2.直角三角形模型。

3.勾股定理相关背景资料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示直角三角形的三条边长，引导学生思考：如何计算直角三角形的面积？从而引出勾股定理的探究。

2.呈现（10分钟）展示勾股定理的背景资料，让学生了解勾股定理的起源和发展，感受数学与实际生活的联系。

3.操练（10分钟）学生分组进行实验，用直角三角形模型测量三边长，计算面积，观察并记录实验结果。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）学生汇报实验结果，分享发现。

教师引导学生总结勾股定理的表述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

5.拓展（10分钟）学生分组讨论，探索如何证明勾股定理。

教师引导学生运用相似三角形的性质进行证明。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，巩固勾股定理的理解和记忆。

第一章勾股定理1．探索勾股定理（2）一、学情与教材分析1.学情分析学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.2.教材分析本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.二、教学目标1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.三、教学重难点教学重点：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.教学难点：验证勾股定理.四、教法建议1.教学方法：引导——探究——应用.2.课前准备：教具：教材，课件，电脑.学具：教材，铅笔，直尺，练习本.五、教学设计（一）课前设计1.预习任务结合课本上P5页1-5和1-6，应用等面积法证明勾股定理，（提示：图中的正方形的面积可以表示为边长的平方，也可以表示成小正方形加上四个直角三角形的面积）2.预习自测一、选择题1. 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，可以验证（）公式．A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（a+b）2=a2﹣2ab+b2C．c2=a2+b2 D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2答案：C解析：∵大正方形的面积表示为：c2又可以表示为：ab×4+（b﹣a）2，∴c2=ab×4+（b﹣a）2，c2=2ab+b2﹣2ab+a2，∴c2=a2+b2．故选C．点拨：利用两种方法表示出大正方形的面积，根据面积相等可以整理出c2=a2+b2．二、填空题2. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是_________．答案：勾股定理解析：我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是勾股定理．点拨：观察我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，发现它验证了勾股定理．3. 如图，由四个直角三角形拼成2个正方形，则4个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，即_________+_________=_________化简得：a2+b2=c2．答案：4×ab、（b﹣a）2、c2．解析：如图所示，4个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，即 4×ab+（b﹣a）2=c2，故答案是：4×ab、（b﹣a）2、c2．点拨：根据直角三角形的面积公式和正方形的面积公式进行填空．（二）课堂设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：探究发现；第三环节：数学小史；第四环节：知识运用；第五环节：随堂检测；第六环节：课堂小结．第一环节：知识回顾内容：教师提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.第二环节：探究发现活动1： 教师导入，小组拼图.教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）活动2：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：图2在此基础上教师提问：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×21ab+c 2.并得到222c b a =+）从而利用图1验证了勾股定理.活动3 ： 自主探究，完成验证二.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系图1整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.第三环节：数学小史活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图.2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识 .趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法.在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法. 1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.说明：这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收集勾股定理的资料，并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示，内容可灵活安排.意图：（1（2）学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）通过让部分学生搜集材料，展示材料，既让学生得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.效果：学生热情高涨，对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣，同时也为中国古代数学的成就感到自豪.也有同学提出：当代中国数学成就不够强，还应发奋努力.有同学能意识这一点，这让我喜出望外.第四环节：知识运用a b内容：例题：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s 后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算出敌方汽车的速度吗？意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.效果：学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.一组生活中勾股定理的应用练习，共3道题.（1）教材P6练习题1.（2）一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？（3）受台风麦莎影响，一棵高18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？说明：这一环节设计了3道题，设计时注意了题目的梯度，由浅入深，第一题为书上练习题，学生容易解决，第二道题虽然计算难度不大，但考查学生的实际应用能力，第三道题是应用勾股定理建立方程求解，有一定难度.意图：在例题的基础上进行拓展，训练学生将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理解决问题.效果：小部分学生在完成第二题时，由于欠缺生活常识时，不能准确地理解题意，约有一半同学对第3道题束手无策，主要是缺乏利用勾股定理建立方程求解的这种思路，经同学点拨，教师引导，绝大部分同学最后都能解决这个问题，通过3个小题的训练，总体感觉学生对勾股定理的应用更加熟练，并对勾股定理的应用价值体会更深.第五环节：随堂检测一、选择题1. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．答案：D解析：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．故选D．点拨：根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可．2．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（）A．﹣9 B．﹣36 C．﹣27 D．﹣34答案：B解析：根据题意得：小正方形的面积=（6﹣3）2=9，大正方形的面积=32+62=45，9﹣45=36．故选B．点拨：由正方形的性质和勾股定理求出小正方形和大正方形的面积，即可得出小正方形与大正方形的面积差．二、填空题3. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，下列说法：①a2+b2=13；②b2=1；③a2﹣b2=12；④ab=6．其中正确结论序号是_________．答案：①④解析：直角三角形的斜边长是c，则c2=a2+b2，大正方形的面积是13，即c2=a2+b2=13，①正确；∵小正方形的面积是1，∴b﹣a=1，则（b﹣a）2=1，即a2+b2﹣2ab=1，∴ab=6，故④正确；根据图形可以得到a2+b2=13，b﹣a=1，而b=1不一定成立，故②错误，进而得到③错误．故答案是：①④点拨：根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而判断．4. 利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_________，该定理的结论其数学表达式是_________．答案：勾股定理、a2+b2=c2．解析：用图（2）较简单，如图正方形的面积=（a+b）2，用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2，即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2．这个定理称为勾股定理．故答案为：勾股定理、a2+b2=c2．点拨：通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．三、解答题5. 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．（1）请你根据图1填空；勾股定理成立的条件是_________三角形，结论是_________（三边关系）（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；答案：（1）直角；a2+b2=c2；（2）见解析解析：（1）勾股定理指的是在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方．故答案是：直角；a2+b2=c2；（2）∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB=∠EDC，又∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠AED=90°．∵S梯形ABCD =SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，∴．整理，得a2+b2=c2．点拨：（1）根据图示直接填空；（2）利用S梯形ABCD =SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED进行解答．第六环节：课堂小结教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.布置作业：1．习题1.2 T2，32．上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行展评.意图：（1）巩固本节课的内容.（2）充分发挥勾股定理的育人价值.分层作业基础型：一、选择题1. 历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA =S△CEBB．S△EDA+S△CEB=S△CDBC．S四边形CDAE =S四边形CDEBD．S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD答案：D解析：∵由S△EDA +S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．可知ab+c2+ab=（a+b）2，∴c2+2ab=a2+2ab+b2，整理得a2+b2=c2，∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA +S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．故选D．点拨：用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．2. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：C解析：如图所示：∵（a+b）2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选：C．点拨：观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．二、填空题3. 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为6cm，以AC 为边的正方形的面积为25，则正方形M的面积为________．答案：11=AB2，25=AC2，AC2+AB2=BC2=6×6，解析：根据题意知，SM=36﹣25=11（cm2）．∴SM故答案是：11cm2．点拨：根据正方形的面积公式以及勾股定理解答即可．4. 如图，已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8．则△ABC的周长为_________．答案：48解析：在直角三角形ABD中，AB=17，AD=8，根据勾股定理，得BD=15；在直角三角形ACD中，AC=10，AD=8，根据勾股定理，得CD=6；∴BC=15+6=21，∴△ABC的周长为17+10+21=48，故答案为：48．点拨：分别在两个直角三角形中求得线段BD和线段CD的长，然后求得BC的长，从而求得周长．三、解答题5. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，试求：（a+b）2的值．答案：B解析：根据勾股定理可得a2+b2=13，四个直角三角形的面积是：ab×4=13﹣1=12，即：2ab=12则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．点拨：根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．能力型：一、选择题1. 如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．52 B．42 C．76 D．72答案：C解析：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169，解得x=13．故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选：C．点拨：由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．二、填空题2. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为3cm，则图中所有正方形的面积之和为_______cm2．答案：27解析：∵最大的正方形的边长为3cm，∴正方形G的面积为9cm2，由勾股定理得，正方形E的面积+正方形F的面积=9cm2，正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积=9cm2，∴图中所有正方形的面积之和为27cm2，故答案为：27．点拨：根据正方形的面积公式求出正方形G的面积，根据勾股定理计算即可．3. 魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理，若图中BF=2，CF=4，则AE的长为_______．答案：6解析：∵BF=2，CF=4，∴BC=BF+CF=2+4=6，∵AB∥EC，∴=，即=，解得：CE=12，在Rt△ADE中，AD=6，DE=DC+CE=6+12=18，根据勾股定理得：AE==6，故答案为：6．点拨：由BF+CF求出BC的长，即为正方形ABCD的边长，由AB与CE平行，得比例求出CE的长，由DC+CE求出DE的长，在直角三角形ADE中，利用勾股定理求出AE的长即可．三、解答题4. （1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE=90°；（3）请利用（1）中的公式和图2证明勾股定理．答案：见解析解析：（1）这个公式为（a+b）2=a2+2ab+b2；证明：由图可知大正方形被分成了一个小正方形和两个长方形，大正方形的面积=（a+b）2，两个长方形的面积=（a+b）b+ab，小正方形的面积=a2，那么大正方形的面积=（a+b）b+ab+a2=（a+b）2=a2+2ab+b2．（2）∵Rt△ABC≌Rt△CDE，∴∠BAC=∠DCE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°；由于B，C，D共线，所以∠ACE=180°﹣（∠ACB+∠DCE）=180°﹣90°=90°．（3）梯形ABDE的面积为（AB+ED）•BD=（a+b）（a+b）=（a+b）2；另一方面，梯形ABDE可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成ab+ab+c2．所以，（a+b）2=ab+ab+c2．即a2+b2=c2．点拨：（1）用面积分割法证明：大正方形的面积等于小正方形和两个长方形的面积之和，从而推出平方和公式．（2）利用全等三角形对应角相等，直角三角形的两个锐角互余，推出直角；（3）用面积分割法法证明勾股定理：梯形ABDE的面积=三角形ABC的面积+三角形CDE的面积+三角形ACE的面积．探究型：一、解答题1. 教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2=c2，称为勾股定理．（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．（2）小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形（如图③），利用上面探究所得结论，求当a=3，b=4时梯形ABCD的周长．（3）如图④，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．答案：见解析解析：（1）证明：由图得，×ab×4+c2=（a+b）×（a+b），整理得，2ab+c2=a2+b2+2ab，即a2+b2=c2；（2）解：∵a=3，b=4，∴c==5，梯形ABCD的周长为：a+c+3a+c═4a+2c=4×3+2×5=22；（3）解：如图4，BD是△ABC的高．∵S=AC•△ABCBD=AB×3，AC==5，∴BD===．点拨：（1）根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；（2）由（1）中结论先求出c的值，再根据周长公式即可得出梯形ABCD的周长；（3）先根据高的定义画出BD，由（1）中结论求出AC的长，再根据△ABC的面积不变列式，即可求出高BD的长．2. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．∵S四边形ADCB =S△ACD+S△ABC=b2+ab．又∵S四边形ADCB =S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）∴b2+ab=c2+ a（b﹣a）∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．证明：连结_______，过点B作______________，则_________．∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABE+S△ADE=______________．又∵S五边形ACBED=______________=ab+c2+a（b﹣a），∴______________=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．答案：BD，BF⊥DE于F，BF=b﹣a，ab+ b2+ab，S△ACB +S△ABE+S△ADE，ab+b2+ ab．解析：证明：连结BD，过点B作BF⊥DE于F，则BF=b﹣a，∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴。

八年级数学上册1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理教案新版北师大版一. 教材分析《新版北师大版八年级数学上册》第一章“探索勾股定理”的目的是让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的内涵，并能够运用勾股定理解决实际问题。

本节课是该章节的第一课时，主要让学生验证勾股定理。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了平面几何的基本知识，对三角形、直角三角形等概念有一定的理解。

但他们对勾股定理的发现过程和证明方法可能还不够深入了解，因此需要通过本节课的教学，让学生从实践中感受勾股定理的真理，提高他们的数学思维能力。

三. 教学目标1.让学生了解勾股定理的发现过程，理解勾股定理的内涵。

2.培养学生运用几何图形进行推理和验证的能力。

3.提高学生对数学的兴趣和探索精神。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生通过实际操作，验证勾股定理。

2.教学难点：引导学生理解并证明勾股定理。

五. 教学方法1.实践教学法：让学生通过实际操作，发现并验证勾股定理。

2.问题驱动法：教师提出问题，引导学生思考和探索。

3.小组合作学习：学生分组讨论，共同完成验证勾股定理的任务。

六. 教学准备1.准备三角形模型、直尺、圆规等教具。

2.制作课件，展示勾股定理的发现过程和证明方法。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入古希腊数学家毕达哥拉斯的故事，让学生了解勾股定理的发现过程，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师展示勾股定理的表述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

然后提出问题：如何验证这个定理呢？3.操练（10分钟）学生分组讨论，运用教具和直尺，尝试构造直角三角形，并测量两条直角边和斜边的长度。

每组学生将自己的测量结果填入表格中。

4.巩固（5分钟）教师邀请几组学生汇报自己的测量结果，引导学生发现：不论直角三角形的直角边和斜边的长度如何变化，两条直角边的平方和总是等于斜边的平方。

5.拓展（5分钟）教师提出挑战性问题：如何证明这个结论对所有的直角三角形都成立呢？引导学生进一步思考和探索。