27探索勾股定理2

第一章勾股定理1. 1 探索勾股定理第 2 课时教学设计1.学会应用勾股定理，并领会“数与行”相结合的应用思想.2.经历勾股定理应用的过程，掌握勾股定理的使用方法.3.培养良好的合作、交流意识，发展数学观念，体会勾股定理的实际应用.【教学重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理.【教学难点】用面积证勾股定理.四个全等的直角三角形纸片.一、创设情境，引入新知如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程二、合作交流，探究新知勾股定理的初步认识问题1：观察下面地板砖示意图：你发现图中三个正方形的面积之间存在什么关系吗？问题2：观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）.方法一：割分割为四个直角三角形和一个小正方形.方法二：补补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.方法三：拼将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.分析表中数据，你发现了什么？结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.想一想（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b 和斜边长 c 来表示图中正方形的面积吗？根据前面的结论，它们之间又有什么样的关系呢？（2）以5 cm、12 cm为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.（1）中的规律对这个三角形仍成立吗？勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a，b和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边那么a2+b2=c2名字的由来我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名.在西方又称毕达哥拉斯定理三、运用新知求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：已知直角三角形两边，求第三边.利用勾股定理进行计算：例求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.四、巩固新知1. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .2. 判断题①△Rt ABC 的两直角边AB=5, AC=12,则斜边BC=13 ( )②△ABC 的两边a = 6 , b = 8, 则c = 10 ( )3. 填空题在△ABC中, ∠C=90°, AC = 6, CB = 8,则△ABC 的面积为_____,斜边上的高CD 为______.4. 一高为 2.5 米的木梯,架在高为 2.4 米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?五、归纳小结◆教学反思略.。

浙教版数学八年级上册《2.7 探索勾股定理》教案2一. 教材分析《探索勾股定理》是浙教版数学八年级上册第二章第七节的内容。

本节课的主要目的是让学生通过探索、发现、验证勾股定理，培养学生的探究能力和合作交流能力，体会数学的探究过程，感受数学的美。

教材通过丰富的背景材料，引出勾股定理的探究，并通过数学活动，让学生体验勾股定理的发现过程，理解并掌握勾股定理。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了相似多边形的性质，会画直角三角形，对三角形有了一定的认识，但对于证明勾股定理可能会存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习情况，适时给予引导和帮助。

三. 教学目标1.了解勾股定理的背景，感受数学与实际生活的联系。

2.通过探索、发现、验证勾股定理，培养学生的探究能力和合作交流能力。

3.理解并掌握勾股定理，能运用勾股定理解决实际问题。

四. 教学重难点1.教学重点：理解并掌握勾股定理。

2.教学难点：证明勾股定理。

五. 教学方法采用探究式教学法，以学生为主体，教师为指导，引导学生通过观察、操作、思考、讨论、验证等探究活动，发现并证明勾股定理。

六. 教学准备1.教学课件。

2.直角三角形模型。

3.勾股定理相关背景资料。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过展示直角三角形的三条边长，引导学生思考：如何计算直角三角形的面积？从而引出勾股定理的探究。

2.呈现（10分钟）展示勾股定理的背景资料，让学生了解勾股定理的起源和发展，感受数学与实际生活的联系。

3.操练（10分钟）学生分组进行实验，用直角三角形模型测量三边长，计算面积，观察并记录实验结果。

教师巡回指导，解答学生疑问。

4.巩固（10分钟）学生汇报实验结果，分享发现。

教师引导学生总结勾股定理的表述：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。

5.拓展（10分钟）学生分组讨论，探索如何证明勾股定理。

教师引导学生运用相似三角形的性质进行证明。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，巩固勾股定理的理解和记忆。

第一章勾股定理1.2探索勾股定理第2课时一、教学目标1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.在实际问题的情景中，能熟练运用勾股定理解决问题.3.通过拼图法验证勾股定理,使学生经历观察、猜想、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.二、教学重点及难点重点：经历勾股定理的验证过程,能利用勾股定理解决实际问题．难点：用拼图法验证勾股定理．三、教学准备四个全等的直角三角形纸片，一个以斜边为边长的正方形纸片、课件四、相关资源五、教学过程【复习后顾】复习回顾，引出新课1．直角三角形的性质：（1）直角三角形两锐角；（2）直角三角形斜边上的中线等于；（3）直角三角形中30°的角所对的直角边等于．2．勾股定理的内容：_________________________________________________．3.在直角三角形中，两直角边长分别为5、12，求斜边长.师生活动：学生口述勾股定理，师总结勾股定理是由形到数的转变．强调勾股定理的应用，引出新课．这是我们上节课应用测量和数格子法发现的定理,那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?请跟我一起去探索吧!板书：探索勾股定理（2）【新知讲解】合作探究：面积法验证勾股定理教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）此图片是动画缩略图，本动画资源提供拼图场景，充分调动学生的积极性，渗透利用图形之间的关系证明勾股定理的思路。

本资源适用于勾股定理的证明的教学，供教师备课和授课使用。

请插入动画【数学活动】拼图设计意图：利用交互动画可以让学生动手操作，不断探究，直到拼出来为止。

增加学习兴趣。

活动1：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：图2在此基础上教师提问：(1)你能用两种方法表示图1中大正方形的面积吗？(学生先独立思考，再4人小组交流)图1(2)你能由此得出勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a +b )2=4×21ab +c 2．并得到222c b a=+从而利用图1验证了勾股定理. ）（3）利用图2验证勾股定理.学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系整式运算的有关知识，从理论上验证勾股定理，在验证过程中，大家注意数形结合思想和类比思想的应用.设计意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想和类比思想在数学中的应用，体会成功的快乐.本图片是微课的首页截图，本资源是动画视频，通过探究四个全等的直角三角形拼成一个大的正方形，并利用面积的等量关系证明了勾股定理，本资源适合于勾股定理的教学使用，有利于学生更好的学习本节知识点.若需使用，请插入微课【知识点解析】面积法设计意图：利用视频可以辅助面积法的教学，过程清晰易学活动二：分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用下图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.师：出示教材P5图1-5和图1-6,小明对这个大正方形适当割补后得到图1-5和图1-6.想一想:小明是怎样进行验证的？图1-5 图1-6学生先独立探究，再小组交流教师总结:图1-5是在大正方形的四周补上四个边长为a、b、c的直角三角形；图1-6是把大正方形分割成四个边长为a、b、c的直角三角形和一个小正方形.图1-5采用的是“补”的方法,而图1-6采用的是“割”的方法,请同学们将所有三角形和正方形的面积用a、b、c的关系式表示出来.归纳总结：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a，b，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．活动三：欣赏勾股定理的证明方法1、毕达哥拉斯证明勾股定理此图片是动画缩略图，本动画资源给出传说中毕达哥拉斯证明勾股定理的思路，通过对图形的适当改变，开拓学生的思路。

浙教版数学八年级上册《2.7 探索勾股定理》教案一. 教材分析《探索勾股定理》这一节的内容，主要让学生通过探究、实践、验证勾股定理，培养学生的探究能力和实践能力。

教材中给出了丰富的探究活动，让学生在活动中体验到数学的乐趣。

二. 学情分析八年级的学生已经学习了相似多边形的性质，对图形的变换有了一定的了解。

同时，学生已经学习了锐角三角函数，对三角形的性质也有了一定的认识。

因此，学生具备了探索勾股定理的基本知识。

三. 教学目标1.让学生经历探索勾股定理的过程，理解并掌握勾股定理。

2.培养学生运用几何知识解决实际问题的能力。

3.培养学生的合作交流能力，提高学生的数学素养。

四. 教学重难点1.重点：让学生探索并理解勾股定理。

2.难点：如何引导学生运用几何知识解决实际问题。

五. 教学方法采用“问题驱动”的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流，发现并证明勾股定理。

六. 教学准备1.准备相关的几何图形，如直角三角形、直角梯形等。

2.准备探究活动所需的工具，如直尺、圆规等。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的直角三角形，如篮球架、房屋建筑等，引导学生关注勾股定理在生活中的应用。

2.呈现（10分钟）呈现探究活动，让学生分组进行讨论，每组选择一个几何图形，尝试运用已学的几何知识，探索并证明勾股定理。

3.操练（10分钟）学生在课堂上进行探究活动，教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（5分钟）学生展示自己的探究成果，其他学生进行评价，教师总结并讲解勾股定理的运用。

5.拓展（5分钟）引导学生运用勾股定理解决实际问题，如计算直角三角形的边长等。

6.小结（5分钟）教师引导学生总结本节课的学习内容，巩固勾股定理的知识。

7.家庭作业（5分钟）布置相关的练习题，让学生课后巩固所学知识。

8.板书（5分钟）教师在黑板上板书勾股定理的证明过程，加深学生的记忆。

教学过程每个环节所用的时间如上所示，共计40分钟。

教学情境分析在教学《探索勾股定理》这一课时，我创设了丰富的教学情境，以激发学生的学习兴趣和探究欲望。

探索勾股定理（二）—勾股定理的应用一、选择题（共20小题）1、已知小龙、阿虎两人均在同一地点，若小龙向北直走160公尺，再向东直走80公尺后，可到神仙百货，则阿虎向西直走多少公尺后，他与神仙百货的距离为340公尺？（）A、100B、180C、220D、2602、如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（）A、米B、米C、（+1）米D、3米3、如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A、12≤a≤13B、12≤a≤15C、5≤a≤12D、5≤a≤134、在一块平地上，张大爷家屋前9米远处有一棵大树．在一次强风中，这棵大树从离地面6米处折断倒下，量得倒下部分的长是10米．出门在外的张大爷担心自己的房子被倒下的大树砸到．大树倒下时能砸到张大爷的房子吗？请你通过计算、分析后给出正确的回答（）A、一定不会B、可能会C、一定会D、以上答案都不对5、有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计）要求木条不能露出木箱．请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）A、cmB、cmC、cmD、cm6、园丁住宅小区有一块草坪如图所示．已知AB=3米，BC=4米，CD=12米，DA=13米，且AB⊥BC，这块草坪的面积是（）A、24米2B、36米2C、48米2D、72米27、如图，小红从A地向北偏东30°，方向走100米到B地，再从B地向西走200米到C地，这时小红距A地（）A、150米B、100米C、100米D、50米8、如图，沿AC方向开山修路，为加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B取∠ABD=120°，BD=210m，∠D=30°，要正好能使A、C、E成一直线，那么E、D两点的距离等于（）A、105mB、210mC、70mD、105m9、由于台风的影响，一棵树在离地面6m处折断，树顶落在离树干底部8m处，则这棵树在折断前（不包括树根）长度是（）A、8mB、10mC、16mD、18m10、小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿竖直插到离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为（）A、2mB、2.5mC、2.25mD、3m11、放学后，小林和小明从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家，他们行走的速度都是40米/分，小林用了15分钟到家，小明用了20分钟到家，则他们两家的距离为（）A、600米B、800米C、1000米D、以上都不对12、为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刘搬来一架高2.5米的木梯，准备把拉花挂到2.4米高的墙上，则梯脚与墙角距离应为（）A、0.7米B、0.8米C、0.9米D、1.0米13、小明相知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1米，当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好与接触地面，则旗杆的高度为（）A、11米B、12米C、13米D、14米14、一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（）A、10米B、15米C、25米D、30米15、已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（）A、25海里B、30海里C、35海里D、40海里16、如图一个圆桶儿，底面直径为12cm，高为8cm，则桶内能容下的最长的木棒为（）A、8cmB、10cmC、4cmD、20cm17、如图，一架25分米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯的底部距墙底端7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯的底部将平滑（）A、9分米B、15分米C、5分米D、8分米18、如果梯子的底端离建筑物5米，13米长的梯子可以达到建筑物的高度是（）A、12米B、13米C、14米D、15米19、一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第（）组．A、13，12，12B、12，12，8C、13，10，12D、5，8，420、一座建筑物发生了火灾，消防车到达现场后，发现最多只能靠近建筑物底端5米，消防车的云梯最大升长为13米，则云梯可以达该建筑物的最大高度是（）A、12米B、13米C、14米D、15米二、填空题（共5小题）21、钝角三角形的三边长分别为4，6，8，则其面积为_________．22、如图，在四边形ABDC中，连接BC，∠A=∠BCD=90°，∠D=30°，∠ABC=45°，如果，那么S四边形ABDC= _________．23、如图，今年的冰雪灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底部4米处，那么这棵树折断之前的高度是_________米．24、（2008•莆田）如图，Rt△ABC的两直角边分别为1，2，以Rt△ABC的斜边AC为一直角边，另一直角边为1画第二个△ACD；在以△ACD的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个△ADE；…，依此类推，第n个直角三角形的斜边长是_________．25、如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为_________mm．三、解答题（共5小题）26、在下列4×4各图中，每个小正方形的边长都为1，请在每一个图中分别画出一条线段，且它们的长度均表示不等的无理数．表示：_________表示：_________表示：_________（注：横线上填入对应的无理数）27、已知等腰三角形ABC，底边BC=20，D为AB上一点，且CD=16，BD=12，求AD的长．28、定义：三边长和面积都是整数的三角形称为“整数三角形”．数学学习小组的同学从32根等长的火柴棒（每根长度记为1个单位）中取出若干根，首尾依次相接组成三角形，进行探究活动．小亮用12根火柴棒，摆成如图所示的“整数三角形”；小颖分别用24根和30根火柴棒摆出直角“整数三角形”；小辉受到小亮、小颖的启发，分别摆出三个不同的等腰“整数三角形”．（1）请你画出小颖和小辉摆出的“整数三角形”的示意图；（2）你能否也从中取出若干根，按下列要求摆出“整数三角形”，如果能，请画出示意图；如果不能，请说明理由．①摆出等边“整数三角形”；②摆出一个非特殊（既非直角三角形，也非等腰三角形）“整数三角形”．29、如图，小明用一块有一个锐角为30°的直角三角板测量树高，已知小明离树的距离为3米，DE为1.68米，那么这棵树大约有多高？（精确到0.1米，≈1.732）30、小强家有一块三角形菜地，量得两边长分别为40m，50m，第三边上的高为30m．请你帮小强计算这块菜地的面积．（结果保留根号）。

探索勾股定理（2）一、学习目标：1、了解多种拼图方法，验证勾股定理，感受解决同一个问题方法的多样性.2、通过实例进一步了解勾股定理，应用勾股定理进行简单的计算和证明.3、进一步体会数形结合的思想以及数学知识之间内在联系.二、学习重点：通过自主学习验证归纳勾股定理.并进行应用.三、学习过程：（一）、学前准备：1、每位同学准备四个全等的直角三角形.2、自主阅读课本本节内容.（二）、自学、合作探究：活动一：各小组用8个同样大小的直角三角形.活动二：各小组派代表上来展示自己的拼图，并说出它的特点.思考1：你能由图1表示大正方形的面积吗能用两种方法吗能由此得到勾股定理吗图12：你能由图2表示大正方形的面积吗能用两种方法吗能由此得到勾股定理吗图23、请利用图3验证勾股定理图34、利用四个全等的直角三角形拼图验证勾股定理你还有哪些方法摆摆看. （三）小结反思：理解这种数学方法，习惯上称为“算两次”. 例题讲解例题：我方侦察员小王在距离东西向公路400m 处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m ，10s 后，汽车与他相距500m ，你能帮小王计算出敌方汽车的速度吗基础训练1．若△ABC 中，∠C=90°，（1）若a =5，b =12，则c = ；（2）若a =6，c =10，则b = ；（3）若a ∶b =3∶4，c =10，则a = ，b = .2．某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2m ，宽为，现需要在相对的顶点间用一块木棒加固，木板的长为 . 3．直角三角形两直角边长分别为5cm ，12cm ，则斜边上的高为 .4．等腰三角形的腰长为13cm ，底边长为10cm ，则面积为 .5．一棵9m 高的树被风折断，树顶落在离树根3m 之处，若要查看断痕，要从树底开始爬多高a b知识拓展6．折叠长方形ABCD 的一边AD ，使点D 落在BC 边的F 点处，若AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长.总结评价：今天的学习，我学会了： ，我在 方面的表现很好，在 方面表现不够，以后要注意的是： . 总体表现（优、良、差），愉悦指数（高兴、一般、痛苦）.CF。

2．7 探索勾股定理(二)1．在△ABC 中，BC ＝42，AB ＝9，AC ＝7，则∠C ＝90°．2. 某个直角三角形斜边上的中线是5 cm ，其周长为24 cm ，则此三角形的面积是24cm 2. 3．若三角形的三边长分别为n ＋1，n ＋2，n ＋3，当n ＝2时，这个三角形是直角三角形． 4．有六根木棒，它们的长度分别为2，4，6，8，10，12(单位：cm)，从中取出三根首尾顺次相接，能搭成一个直角三角形的是(C ) A ．2，4，8 B ．4，8，10 C ．6，8，10 D ．8，10，125．已知一个三角形的三边长分别为1，53，43，则此三角形的最大内角是(B )A. 锐角B. 直角C. 钝角D. 不能确定6．以△ABC 的三边长为直径的半圆的面积分别为S 1，S 2，S 3.若S 1＋S 2＝S 3，则△ABC 的形状为(B ) A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 无法确定7．一个三角形的两条边长分别为1和2，若要使这个三角形成为直角三角形，则下列说法正确的是(D )A ．第三边长为3B ．第三边的平方为3C ．第三边的平方为5D ．第三边的平方为3或5(第8题)8．如图，在5×5的正方形网格中，以AB 为边画直角△ABC ，使点C 在格点上，满足这样条件的点C 的个数是(C ) A. 6B. 7C. 8D. 99．已知|a －3|＋(b －7)2与c 2－8c ＋16互为相反数，问：以a ，b ，c 为边的三角形是什么三角形？ 【解】 根据题意，得|a －3|＋(b －7)2＋c 2－8c ＋16＝0， 即|a －3|＋(b －7)2＋(c －4)2＝0. ∵|a －3|≥0，(b －7)2≥0，(c －4)2≥0， ∴a －3＝0，b －7＝0，c －4＝0， ∴a ＝3，b ＝7，c ＝4. ∵a 2＋b 2＝9＋7＝16＝c 2，∴以a ，b ，c 为边的三角形是直角三角形．10．如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 的中点，点F 在DC 上，且DF ＝14DC ，试判断BE 与EF的位置关系，并说明理由．(第10题)【解】 BE ⊥EF.理由如下： 设正方形ABCD 的边长为4a ，由题意，得AB ＝4a ，AE ＝2a ，DE ＝2a ，DF ＝a ，CF ＝3a ，BC ＝4a. 在Rt △ABE 中，BE 2＝AB 2＋AE 2＝20a 2. 在Rt △DEF 中，EF 2＝DE 2＋DF 2＝5a 2. 在Rt △BCF 中，BF 2＝BC 2＋CF 2＝25a 2.∴BE2＋EF2＝BF2，∴△BEF为直角三角形，∠BEF＝90°，即BE⊥EF.11．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，设c为最长边，当a2＋b2＝c2时，△ABC是直角三角形；当a2＋b2≠c2时，利用代数式a2＋b2和c2的大小关系，探究△ABC的形状(按角分类)．(1)当△ABC的三边长分别为6，8，9时，△ABC为锐角三角形；当△ABC的三边长分别为6，8，11时，△ABC为钝角三角形．(2)猜想，当a2＋b2__>__c2时，△ABC为锐角三角形；当a2＋b2__＜__c2时，△ABC为钝角三角形．(第12题)12．如图，P是等边△ABC内一点，PA＝6，PB＝8，PC＝10，则∠APB＝150°．【解】将△PBC绕点B逆时针旋转60°得△DBA，则DB＝PB＝8，DA＝PC＝10，∠DBP＝∠ABC＝60°，∴△BDP是等边三角形，∴∠DPB＝60°，PD＝PB＝8，∴P A2＋PD2＝62＋82＝102＝DA2，∴△ADP是直角三角形，∴∠APD＝90°，∴∠APB＝∠APD＋∠D PB＝150°.13．如图，长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm，高为5 cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为__13__cm.【解】将长方体的侧面沿PQ剪开，如解图．(第13题解)显然PQ′的长即为蚂蚁爬行的最短路径． 在Rt △PP ′Q ′中，PP ′＝2＋4＋2＋4＝12(cm)，P ′Q ′＝5 cm ， ∴PQ ′＝PP ′2＋P ′Q ′2＝122＋52＝13(cm)．(第13题) (第14题)14．如图，在四边形ABCD 中，DC ∥AB ，BC ＝1，AB ＝AC ＝AD ＝2.求BD 的长．(第14题)【解】 过点A 分别作AE ⊥BC ，AF ⊥BD ，垂足分别为E ，F.由于△ABC 和△ABD 均为等腰三角形，由三线合一可知E 是BC 的中点，F 是BD 的中点． 在△ABE 中，AB ＝2，BE ＝12BC ＝12，∠AEB ＝Rt ∠，∴AE ＝AB 2－BE 2＝1215.在△ABD 中，∵AB ＝AD ，∴可设∠ADB ＝∠ABD ＝α. ∵DC ∥AB ，∴∠CDB ＝∠DBA ＝α. ∴∠CDA ＝∠CDB ＋∠ADB ＝α＋α＝2α. ∵AD ＝AC ，∴∠ACD ＝∠ADC ＝2α. ∵DC ∥AB ，∴∠CAB ＝∠ACD ＝2α. 由三线合一可知AE 平分∠CAB ，∴∠EAB＝1∠CAB＝α＝∠FBA.2又∵∠AFB＝∠BEA＝Rt∠，AB＝BA，∴△AFB≌△BEA(AAS)，∴BF＝AE＝1215.∴BD＝2BF＝15.(第15题)15．如图，在等腰Rt△ABC中，∠BAC＝90°，P是△ABC内一点，P A＝1，PB＝3，PC＝7.求∠CP A 的度数．【解】将△APB绕点A逆时针旋转90°到△AQC位置，则易得△APQ为等腰Rt△，且有△AQC≌△APB，∴QA＝P A＝1，QC＝PB＝3.∵△APQ为等腰直角三角形，∴PQ2＝P A2＋AQ2＝2，∠APQ＝45°.在△CPQ中，PC2＋PQ2＝7＋2＝9＝CQ2，∴∠QPC＝90°，∴∠CP A＝∠QPC＋∠APQ＝135°.(第16题)16．如图，在△ABC中，AB＝AC＝4，P为BC边上任意一点．(1)求证：AP2＋PB·PC＝16；(2)若BC边上有100个不同的点(不与B，C重合)P1，P2，…，P100，设m i＝AP2i＋P i B·P i C(i＝1，2，…，100)．求m1＋m2＋…＋m100的值．【解】(1)过点A作AD⊥BC于点D.∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AP2＋PB·PC＝AP2＋(PD＋BD)(CD－PD)＝AP2＋CD2－PD2.∵AP2－PD2＝AD2，∴AP2＋PB·PC＝AD2＋CD2＝AC2＝16.(2)由(1)知m i＝AP2i＋P i B·P i C＝16，∴m1＝m2＝…＝m100＝16，∴m1＋m2＋…＋m100＝16×100＝1600.。