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1
x
更一般的结论
若f(x)不是恒正或恒负函数时,则有下面的结论
设f 和g都在任何有限区间[a,u]上可积,g(x) 0,且
f (x)
lim
c
x g ( x)
(i) 当0 c 时, f (x) dx与 g(x)dx同敛散;
例3
判别广义积分
x 3 2 1 1 x2
dx的敛散性.
解 因为
lim
x
x
1
x3
2
x
2
lim x2 x 1
x x2
,
故根据推论2知 , 题设广义积分发散.
另解： x3 2 ~ 1 , （x ) p 1 1
x2 1 x
2
由推论2，广义积分发散.
例4
判别广义积分
1
1
ex x
dx
三、无穷区间广义积分的审敛法
一类不通过被积函数的原函数 判定广义积分收敛
性的判定方法.
定理 设函数 f ( x)在区间[a,)上连续, 且
x
f ( x) 0. 若函数F ( x) f (t)dt a
在[a,)上有界, 则广义积分 f ( x)dx 收敛. a 注意到函数 F ( x)是单调增加有界的, 利用单调
f (x) N (a x ), p 1 xp
则 f ( x)dx 发散. a
有时将推论1写成下面的极限形式, 判断更为方便.
推论2 设函数 f ( x)在区间[a,)(a 0)上连续,
且 f ( x) 0. 若 lim x p f (x) l x
(1)若 0 l ，则
a
f
( x)dx 与
有界函数必有极限的准则, 可知极限
x
lim f (t)dt
x a
存在, 从而可证上述定理.
由上面的定理, 立即可得如下的比较判别法.
比较审敛原理 设函数 f ( x)、g( x)在区间 [a,)上连续,
(1) 如果 0 f ( x) g( x)(a x ),
且
g( x)dx 收敛, 则
3 x4 1 x 3 4
3
由推论2，广义积分收敛.
例2 判别广义积分 dx 的敛散性.
1 x 1 x2
解 因为
lim x2 1 1,
x
x 1 x2
这里 p 2 1, 故由推论2知 , 广义积分收敛.
另解： 1 ~ 1 , （x ) p 2 1
x x2 1 x2
由推论2，广义积分收敛.
f ( x)dx 也收敛;
a
a
(2) 如果 0 g(x) f (x)(a x ),
且 g( x)dx 发散, 则 f ( x)dx 也发散.
a
a
判别法的顺口溜:“大的收敛,则小的必收敛”
“若小的发散,则大的定发散”
证 设 a b , 由0 f ( x) g( x)及 g( x)dx a
(1) 当 0 l 时,有 l x p f (x) 3l
2
2
取 N l , M 3l ，由推论1, 即证；
2
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2
(2) 当 l 0 时,有 x p f (x) 1
取 M 1, 当 p 1 时, f ( x)dx 收敛； a
(3) 当 l 时,有 x p f (x) 1
取 N 1, 当 p 1 时, f ( x)dx 发散. a
a
a
这与假设矛盾.
证毕.
若在上述判别法中取函数
g( x)
C xp
(C
0),则得到
推论1 设函数 f ( x)在区间[a,)(a 0) 上连续,
且 f ( x) 0. 如果存在常数 M 0 及 p 1, 使得
f
(x)
M xp
(a
x
),
则 f ( x)dx 收敛; a
如果存在常数 N 0, 使得
通常 f(x) 的这些无穷小量一般都具有 C 的形式， xp
式中的 p 就是我们所要确定的p值.
==经验准则==
例1 判别广义积分 dx 的敛散性.
1 3 x4 1
解 因为
0
3
1 x4 1
3
1 x4
1 x4
3
,
这里
4 3
1,
故由推论1知
,
广义积分收敛.
另解： 1 ~ 1 , （x ) p 4 1
的敛散性
.
解 因为当 x 1时 ,
1 ex x
1 x
,
故由推论1知 , 题设广义积分发散 .
另解： 1 ex ~ 1 , （x ) p 1 1
xx
由推论2，广义积分发散.
例5 判别广义积分 arctan x dx的敛散性.
1
x
解 因为
lim x arctan x lim arctan x ,
a
1 xp
dx
具有相同的敛散性；
(2)若 l 0，则 当 p 1 时, f ( x)dx 收敛； a
(3)若 l ，则当 p 1 时, f ( x)dx 发散. a
注意:推论(2,3)不一定要求满足lim f (x) 0 条件. x
证明: 由 lim x p f (x) l 当x充分大时, x
x
x
x
2
故根据推论2知 , 题设广义积分发散 . 另解： arctanx ~ , （x ) p 1 1
x 2x
由推论2，广义积分发散.
例6 讨论 x(1 cos 1) p dx 的敛散性。
1
x
解：因为
lim
x
x2 p1
x(1 cos
1)p x
lim
x
x2
p
(
1 2x2
)p
1 2p
收敛, 得
b
b
f ( x)dx g( x)dx g( x)dx,
a
a
a
即F (b) b f ( x)dx 在[a,)上有上界, 从而 a
f ( x)dx 收敛. a
(2)如果 0 g( x) f ( x), 且 g( x)dx 发散, 则 a
f ( x)dx 必定发散. a
若 f ( x)dx 收敛, 则 g( x)dx 也收敛,
如何确定推论2极限中的 p值呢？若lim f (x) 0 x
由推论2的证明可以看出 lim x p f (x) lim f (x) l
x
1 x x
p
当l是正实数时, 确定p的过程, 本质上就是求 f(x)
的同阶无穷小的过程； 当l为零时, 本质上就是找 f(x)的低阶无穷小；
当l为无穷大时, 本质上就是找 f(x)的高阶无穷小，
于是,当2p 1 1时,即p 1时，+ x(1 cos 1) pdx 收敛。
1
x
当p 1时, + x(1 cos 1) pdx 发散。
1
x
另解：当x 时, x(1 cos 1)p
x
~
1 2p
1 x2 p1
当2p 1 1时,即p 1时，+ x(1 cos 1) pdx 收敛;
1
x
当p 1时, + x(1 cos 1) pdx 发散。
