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第五节 反常积分的审敛法 Γ函数

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反常积分判敛法

反常积分判敛法
19 x 8
1 3 3 ( ) 1 3 ( 1 1) 1 3 1 ( 1 ) 3 . 8 2 2 8 2 2 8 2 2 2 32
20
6.2
反常积分判敛法
（2）
1
xe

x2 2 x
dx
( x ) e t t x 1 dt
∴ I2
1
e t t x 1dt 收敛。
故反常积分 0 e t t x 1dt ，当 x 0 时收敛；当 x 0 时发散。
16

6.2
反常积分判敛法
三、Γ函数
1. 函数的定义
函数 ( x )
0
et t x 1 dt ， x (0,) 称为 Gamma 函数。
0
1
t x 1
dt ， I 2
1
e t t x 1dt ，
先讨论 I1 的敛散性。
①当 x 1 时， I1 是常义积分，收敛的；
15
6.2
反常积分判敛法
1 x t x 1 t t 0) e t lim e 1， ∵ lim( t 0 t 0
②当 0 x 1 时，有 q 1 x 1, l 1,
∴ I1 e t t x 1 dt 收敛。
0
1 0
1
③ x 0 时，有 q 1 x 1 l 1,∴ I1 e t t x 1 dt 发散。
再讨论 I 2 的敛散性。 x 1 t ∵ lim t 2 e t t x 1 lim t 0 ，( p 2 1, l 0) t t e

b a
b
g( x )dx 收敛时， f ( x )dx 也收敛；

同济高等数学第六版-D5_5反常积分审敛法

同济高等数学第六版-D5_5反常积分审敛法

满足
limxpf(x)l
x
则有: 1) 当 p1,0l 时af(x)dx收敛 ;
2) 当 p1,0l 时af(x)dx发散 .
证: 1) 当p1时, 根据极限定义, 对取定的 0,当 x 充
分大时, 必有 xpf(x)l, 即
0
f
(x)

M xp
2) 当 q1,0l 时,abf(x)dx发散 .
例5. 判别反常积分 13ldnxx的敛散性 .
解: 此处 x1为瑕,利点 用洛必达法则得
lim(x1) 1 lim 1 1
x1
lnx
x 1
1 x
根据极限审敛法2 , 所给积分发散 .
定理4 目录 上页 下页 返回 结束
(M l)
可见 af(x)dx收敛 ;
目录 上页 下页 返回 结束
2) 当p1时,可取 0,使 l0,(l 时用任意
数 N代l替 ),必有
xpf(x)l
即
f
(x)

l
xp
N x
(Nl)
可见 af(x)dx发散 .
注意: xl im xpf(x)xl im f(1x) 此极限的大小刻画了
1 3 x4

1
4
x3
由比较审敛法 1 可知原积分收敛 .
思考题:
讨论反常积分
13
1 dx x3 1
的收敛性
.
提示: 当 x≥1 时, 利用
1 1 1 3x31 3(x1)3 x1
可知原积分发散 .
目录 上页 下页 返回 结束
定理4. (极限审敛法1) 若 f( x ) C [ a , ) ,且 f( x ) 0 ,

2016考研数学：反常积分的极限审敛法分析

2016考研数学：反常积分的极限审敛法分析

2016考研数学：反常积分的极限审敛法分析
反常积分(也称广义积分)分为两类：一类是积分区间为无限的积分，另一类是被积函数无界的积分;在考研数学中，关于反常积分常考的题型主要有两种：一是反常积分的计算，另一个是反常积分收敛性的判断;关于反常积分收敛性的判断，一部分题可以利用正常积分的计算方法来判断其收敛性，另一部分题须利用比较审敛法或极限审敛法来判断，有些同学对极限审敛法感到有些困惑，下面我们就来对其中的一些问题做些分析，供大家参考。

一、极限审敛法的基本理论
二、应用极限审敛法的关键
在应用极限审敛法来判断反常积分是否收敛时，要求大家对等价无穷小代换和其它求极限的方法比较熟，另外，如果应用极限审敛法难以判断反常积分的收敛性，则应考虑运用其它方法来判断，如：比较审敛法、通过计算来判断其收敛性，大家在做题时要灵活运用，最后预祝大家在2016考研中取得佳绩。

反常积分审敛万能公式

反常积分审敛万能公式

反常积分审敛万能公式在咱们学习数学的过程中，有个叫反常积分审敛的东西，这玩意儿可不简单，不过别担心，今天咱就来聊聊所谓的反常积分审敛万能公式。

先给大家举个例子哈。

有一次我去超市买零食，看到巧克力在打折，那种巧克力平时卖得挺贵，这次居然降价了。

我就想，这降价是不是有个“极限”呢？就像反常积分，积分区间无限延伸，那这个巧克力价格的变化是不是也能找到一个类似的规律？说回反常积分审敛万能公式。

这个公式就像是一把神奇的钥匙，能帮我们打开判断反常积分收敛还是发散的大门。

比如说，对于形如∫[a,+∞) f(x)dx 的反常积分，我们通过一些特定的计算和判断，就能知道它到底是收敛还是发散。

那这个万能公式具体是啥样呢？其实它涉及到一些复杂的数学运算和条件判断。

比如说，我们得看看被积函数的形式，是多项式啊，还是指数函数啊，或者是其他更复杂的形式。

然后根据不同的形式，运用不同的方法和定理来判断。

我还记得有个学生，他在做反常积分审敛的题目时，总是搞不清楚那些条件和公式的运用。

我就跟他说，你别把这当成特别难的东西，就像你玩游戏，每个关卡都有规则，咱们只要熟悉了规则，就能通关。

后来他慢慢地掌握了，那高兴劲儿，就像终于在游戏里打败了大 boss 一样。

在实际应用中，反常积分审敛万能公式能帮我们解决很多问题。

比如说在物理中，计算一些无限过程的能量或者功的时候，就能用这个公式来判断结果是否合理。

而且，大家别觉得这个公式只是为了考试才学的。

其实在很多实际的科学研究和工程计算中，都能用到它。

就像建筑师在设计高楼的时候，需要考虑各种力的作用，这里面可能就涉及到反常积分的计算和审敛。

总之，反常积分审敛万能公式虽然看起来有点复杂，但只要我们耐心去理解、多做练习，就一定能掌握它。

就像我当初学会挑选巧克力一样，只要掌握了方法，就能买到最实惠的美味。

希望大家在学习反常积分审敛万能公式的时候，都能充满信心，加油！。

反常积分极限审敛法

反常积分极限审敛法

反常积分极限审敛法
反常积分极限审敛法（FFTLL）是一种有效的用于快速求解非线性和复杂问题的工程数学方法。

有着持续发展的历史，它被广泛应用于解决各种复杂问题，在工程上取得了巨大的成功。

一、FFTLL的历史
反常积分极限审敛法（FFTLL）最初由1960年代的S.U.N.E.T.公司开发。

它被认为是最早应用于快速求解复杂问题的方法之一。

此方法依靠积分来解决复杂系统和分析，使积分理论可以应用于工程设计和操作。

在此方法完成之前，快速求解复杂问题的能力基本上依赖于分析和研究者的计算能力。

二、FFTLL的工作原理
反常积分极限审敛法（FFTLL）所采用的基本原理是“逆特征转换”，这是一种用于复杂系统的仿真的数学技术。

在这种方法中，采样的系统被模拟出来，并从系统的控制前提进行分析，比如函数，极限和求解问题。

该方法用于求解复杂问题，尤其是非线性系统，使用简单的算法，通过反运算来求解问题。

三、FFTLL的应用
FFTLL由于其计算简单及计算效率高的特点，已经被广泛应用于各种领域上，如机械设计、精密加工、控制系统、飞行器设计、太空探索等领域。

此外，它的应用也不断拓展，其中最有趣的应用是在惯性导航系统中，它可以被普遍应用于求解非线性控制系统相关问题。

四、FFTLL的优缺点
FFTLL技术被认为是求解一些复杂问题最有效的方法之一，它可以快速准确的求解一些复杂的问题。

另一方面，它也有一些优点，比如操作简单，程序实用，计算效率高，是一种经济高效的解决方法。

而FFTLL存在的一个缺点就是由于其反特征转换的机制，它往往只能进行有限数量的反复积分来模拟系统，这在一定程度上会限制它的模拟精度。

反常积分审敛法-精品文档

反常积分审敛法-精品文档
x
则
a
f ( x)dx 收 敛 ；
x
如 果limxf ( x) d 0 (或 limxf ( x) ), 则
x


af ( x)dx 发Fra bibliotek散 ．
证明
dx 的收敛性 . 例２ 判别反常积分 2 1 x1 x 1 2 解 lim x 1 , p21 2 x x1 x
F (x )在 [a , )上是单调增加的 .
F (x ) 在 [ a , ) 上有上界
lim F (x ) 存在 （极限的存在准则）
x x
即 lim 存在 f(t)dt
x a

收敛 f(x)dx
a
程序设计 网络课件 教学设计 多媒 体课件 PPT文档
f(x ) dx 发散 a 1 特别地，取 g( x ) p ，即得下面的 x
网络课件 教学设计 多媒 比较审敛法. 程序设计体课件 PPT文档

定理 3 (比较审敛法１ ) 设函数 f ( x) 在区间 [a, ) (a 0) 上连续，且 f ( x) 0. 如果存在常数 M 0 及 p 1 ，使得

arctan x 例４ 判 别 反 常积 dx 分 的收 . 敛性 1 x arctan x x lim arctan x 解 lim 0 x x x 2
定理 2 ( 比较审敛原 ) 理 设函数 f (x)、 g(x) 在 区 间 [a, )上 连 续 、 非 , 负
如果 f (x) g(x),(a x ),并 且 a g(x)dx收 敛 ， 则a f (x)dx也 收 敛 ； 如 f( 果 x) g(x),(a x ), 并且 则 f (x)dx也 发 散 . a g(x)dx发 散 ， a

高等数学第五章第5节反常积分收敛性判别

高等数学第五章第5节反常积分收敛性判别
x a 0
第 五 章 定 积 分
M M 0 及 q 1，使得 f ( x ) ( a x b ), 则 q ( x a) 瑕积分

b
a
f ( x )dx 收敛；若存在常数N 0 及 q 1，
N 使得 f ( x ) ( a x b ), 则瑕积分 q ( x a) 发散 .
f ( x ) g( x )
(1) 若 g( x )dx 收敛, 则 f ( x )dx 一定收敛; a a (2) 若
b
b
a f ( x )dx 发散, 则 a g( x )dx 一定发散.
- 10 -
b
b
第五节
反常积分收敛性判别法
定理8 (比较审敛法2) 设函数 f ( x ) 在区间 ( a , b] 上连续，且 f ( x ) 0, lim f ( x ) .如果存在常数
第 五 章 定 积 分
且 0 f ( x ) g( x ) (a x ), 则 [a , ) 连续， 则无穷积分 （1） 如果无穷积分 g( x )dx 收敛，
a

a
f ( x )dx 也收敛； f ( x )dx 也发散。
a

则无穷积分 （2） 如果无穷积分 a g( x )dx 发散，
a

f ( x )dx 2 ( x )dx f ( x ) dx,
a a a
b
b
b
即


a
f ( x )dx 2 ( x )dx
a
-8-


a
f ( x ) dx.
收敛.
第五节
反常积分收敛性判别法

55反常积分审敛法

55反常积分审敛法

则对 t a 有
t
t
a f (x)dx a g(x)dx
故
t a
f (x) dx 是 t 的单调递增有上界函数,
因此
《高 等 数 学》
t
lim f (x) dx
t a
a
f (x)dx
极限存在,
说明: 已知
得下列比较审敛法.
定理3. (比较审敛法 1)
p 1,
f
(x)
M xp
p 1,
*第五节
《高 等 数 学》 第五章
反常积分的审敛法
函数
无穷限的反常积分 反常积分
无界函数的反常积分
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数反常积分的审敛法
《高 等 数 学》
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1. 证:
若函数
x
F (x) a f (t) d t
则反常积分
a
f
(x) d x收敛 .
根据极限收敛准则知
x
lim F (x) lim f (t) d t
x
x a
存在,
即反常积分
a
f (x) d x收敛 .
《高 等 数 学》
定理2 . (比较审敛原理) 设 f (x) C [a , ), 且对充
分大的 x 有 0 f (x) g(x), 则
a
g
(
x)
dx
收敛
a
g
(
x)
dx
发散
证: 不失一般性,
q 1,
有
f
(
x)
(
x
M a)q
有 f (x) N xa
定理7. (极限审敛法2)

10_1_2 反常积分的审敛法 高等数学 微积分 考研数学

10_1_2 反常积分的审敛法 高等数学 微积分 考研数学

1) 若存在常数 M 0 , p 1, 使对充分大的 x有
则
f (x) f ( x)d x收敛;
M xp
a
2) 若存在常数 N 0, p 1, 使对充分大的 x有
f (x)
N xp
则 f ( x) d x发散 . a
Page 5
例1. 判别反常积分 sin 2 x d x 的敛散性 .
证：令( x)
1 2
[
f
(x)
f (x) ], 则 0 (x)
f (x)
（f x）d x 收敛 , ( x) d x 也收敛 ,
a
a
而
f ( x) 2( x) f ( x)
f (x)d x 2
( x) d x
a
a
a
可见反常积分 f ( x) d x 收敛 . a
f (x) d x
a
证: f ( x) 0 , F ( x) 在[a, )上单调递增有上界,
根据极限收敛准则知
x
lim F ( x) lim f (t) d t
x
x a
存在 , 即反常积分 f ( x) d x 收敛 . a
Page 2
定理2 . (比较审敛原理) 设 f ( x) C [a , ) ,且对充
证: (s 1) xsex d x xs d ex (分部积分)
0
0
xsex
s
xs1ex d x
0
0
s (s)
注意到:
(1)
ex d x
0
1
n N ,有
(n 1) n (n) n (n 1)(n 1)
n!(1) n!
Page 20
(2) 当s 0时, (s) .

5.5 反常积分的审敛法 Γ函数

5.5 反常积分的审敛法 Γ函数

0
e− d = 1.
0
Γ( + 1) = Γ() = ( − 1)Γ( − 1)
= ⋯ = ! Γ(1) = !.
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
定积分
第五章
(2) 当 → 0+ 时, Γ() → +∞.
证
Γ( + 1)
∵ Γ() =
, Γ(1) = 1

且可证明Γ()在 > 0连续,
+∞
+1
0≤()≤ , 于是 න d收敛;


（2）当 ≤1时, 可取 > 0, 使 − = > 0, ( = +∞时, ∀ > 0)
当充分大时, 由①式或②式都可得
+∞

() > , 于是 න d发散.


第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
+∞
因 e− sin ≤e− , 而 න
+∞
න

e− d 收敛, 根据比较审敛原理知
0
e− sin d 收敛, 故由定理5知所给积分收敛(绝对收敛) .
第五节 反常积分的审敛法 Γ函数
第五章
定积分
二、无界函数的反常积分的审敛法
无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分. 例如
​
不失一般性, 设 ∈ [, +∞)时, 0≤ ≤g ().
+∞
(1)若 න
​

​
g ()d收敛, 则对 > 有
​
න ()d ≤ න g ()d ≤ න

​

反常积分判敛的方法

反常积分判敛的方法

反常积分判敛的方法反常积分是指在某些情况下，积分的上限或下限趋于无穷大或无穷小，导致积分的结果无法通过常规的积分方法求解。

在这种情况下，我们需要采用特殊的方法来判断反常积分的收敛性。

一、瑕积分的判敛方法瑕积分是指在积分区间上存在一个或多个奇点的情况下，积分的结果可能发散的情况。

常见的瑕积分包括第一类和第二类瑕积分。

1. 第一类瑕积分第一类瑕积分是指在积分区间上存在一个有限奇点的情况下，积分的结果可能发散的情况。

对于第一类瑕积分，我们可以采用以下方法进行判敛：（1）留数法：通过计算奇点处的留数来判断积分的收敛性。

如果奇点处的留数存在且有限，则积分收敛；如果留数不存在或为无穷大，则积分发散。

（2）柯西主值法：将积分区间上的奇点分割成多个小区间，然后分别计算每个小区间上的积分，最后将这些积分求和。

如果求和结果收敛，则原积分收敛；如果求和结果发散，则原积分发散。

2. 第二类瑕积分第二类瑕积分是指在积分区间上存在一个或多个无穷远点的情况下，积分的结果可能发散的情况。

对于第二类瑕积分，我们可以采用以下方法进行判敛：（1）变量代换法：通过变量代换将积分区间上的无穷远点变换为有限点，然后使用常规的积分方法求解。

如果变换后的积分收敛，则原积分收敛；如果变换后的积分发散，则原积分发散。

（2）渐近展开法：将被积函数在无穷远点附近进行渐近展开，然后对展开式进行积分。

如果展开式的积分收敛，则原积分收敛；如果展开式的积分发散，则原积分发散。

二、无界函数的判敛方法无界函数是指在积分区间上存在一个或多个无界点的情况下，积分的结果可能发散的情况。

对于无界函数的积分，我们可以采用以下方法进行判敛：1. 收敛性判别法：通过对被积函数进行分析，判断其在积分区间上的性质。

常见的收敛性判别法包括比较判别法、极限判别法、积分判别法等。

2. 正则化方法：通过对无界函数进行正则化处理，将其转化为有界函数，然后使用常规的积分方法求解。

如果正则化后的积分收敛，则原积分收敛；如果正则化后的积分发散，则原积分发散。

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第五节* 反常积分的审敛法 函数
二、无界函数的反常积分的审敛法
第五节* 反常积分的审敛法 函数
由上节
当
例6 证明知反，常反积常分积分b
q
1
时发散b .
a(
x
dx a)q
a
,
(
x
dx a)
q
当 0< q <1 时收敛
当 0< q <1证时明收敛当，当q =q1时1 ，时发散. 于是有下面两个
b
f (x)dx 发散.
a
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理7(极限审敛法2) 设函数 f (x) 在区间(a , b] 上
连续，且 f (x) 0，x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 0 < q < 1，使得 lim (x a)q f (x) xa
连续，且 f (x) 0 , x = a 为 f (x) 的瑕点.
(1) 如果存在常数 M > 0 及 q < 1，使得
f
(x)
(x
M a)q
(a x b) ,
则反常积分 b f (x)dx 收敛；
a
(2) 如果存在常数 N > 0 ，使得 f (x)
N
(a x b) ,
xa
则反常积分
aa
gg
((
xx))ddxx
收收敛敛，，则则
aa
gg
((
xx))ddxx
发发散散，，则则
证明
设 0< t < +，由 0 g (x) f (x) 及
g ( x)dx
a
收敛，得
t
t
f (x)dx g(x)dx g(x)dx .
a
a
a
t
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理3(比较审敛法1) 设函数 f (x) 在区间[a , +)
第五节* 反常积分的审敛法 函数
一、无穷限反常积分的审敛法 二、无界函数的反常积分的审敛法 三、 函数
第五节* 反常积分的审敛法 函数
一、无穷限反常积分的审敛法
定理1 第设五函节数*f反(x)常在积区分间的[审a ,敛+法) 上 连函续数，且 f (x)
0定. 理若函1 数设函数 f (x) 在区间 [a , +) 上连续，且 f (x)
例3
判定反x常2 积分1
x 33 22 11 1 x22
dx
的敛1 散性.1.
,
lim lim 解 由x于
x 1 x2
x
1 x2
1
lim lim 根据极限x审敛x法 11x知3x2所2 给x反常 1x积2 分xx2收敛. ,
第五节** 反常积分的审敛法 函数
例4 判定反常积分 arctanx dx 的敛散性..
(a > 0)上连续，并且 f (x) 0 .
(1) 如果存在常数 M > 0 及 p > 1，使得
f
(x)
M xp
(a x ) ,
则反常积分 f (x)dx 收敛； a
(2) 如果存在常数 N > 0 ，使得
f (x) N (a x ) , x
则反常积分 f (x)dx 发散. a
如如果 果存x在常x f数( xp)
>
d1， 0使或得
x
xxfp(fx()x)
存在, ，
则反常积分 f (x)dx 收发敛散；. a
x
证明 设 lim x p f (x) c . 由极限的定义，存在充分 x
大的 x1 (x1 a , x1 > 0)，当 x > x1 时，必有
第第五 五节节** 反反常 常积积分分的的审审敛敛法法 函 函数数
例例11
解
判判定定第反反五常常节积积* 分分反常11积 33分xxdd的44xx审11 敛的的法敛敛散散 函性性数 ..
因为
根据例解 例比22较判判由审定定第于敛反反五法常常0节1积积*知3分分 反，x常14该11积反1 xx分常13的1dd积1xxx审分4xx22敛收的的法x敛14敛敛3.散,散函性性数..
例5 判判定定反反常常积积分分

eeaaxx
ssiinn
bbxxddxx
((aa 00)) 的的敛敛散散性性..
解 由于 | eax sin bx | eax , 而 eaxdx 收敛， 0
根据比较审敛原理知，反常积分 | eax sin bx | dx 收敛. 0
由定理5知所给反常积分收敛，且为绝对收敛.
故F(x)在[a , +) 上是单调有界的函数. 按照“[a , +) 上可知极限
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理2(比较审敛原理) 设函数 f (x) , g (x)在区间
[a , +) 上连第续五.节如* 果反在常区积间分[的a ,审+敛)法上 函数
aa aa
((11)) 00 ff ((xx)) gg ((xx))，，并并且且 ff ((xx))ddxx 也也收收敛敛；； ((22)) 00 gg ((xx)) ff ((xx))，，并并且且 ff ((xx))ddxx 也也发发散散..
x
0 . 若函数 F (x) Fa(xf)(t)dxt f (t)dt 在在区区间间 [[aa ,, ++)) 上上有有上上界界，，则则反反a 常常积积分分
aa
ff
((xx))ddxx
收收敛敛..
证明 因为区间 [a , +) 上 F(x) f (x) 0 , 所以
F(x) 是单调增函数，又因为F(x)在[a , +) 上有上界，
关于瑕积分的ab审(x敛dx法a)：q
b dx a xa
[ln( x a)]ba .
当 q 1 时，
b dx
a (x a)q
(
x a)1q 1 q
b a
(b
a)1q
1q
,
,0q q
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理6(比较审敛法2) 设函数 f (x) 在区间 (a , b] 上
1
x
解 由于
定理5 设函x 数arcf t(axn)x在区间 [aar,c+tan)x上连π续, . 如果反
lim lim 常积分
x|f
(x)
|
dxx
收敛，x则反常积分
2 f (x)dx 也
a
a
收敛. 根据极限审敛法1知所给反常积分发散.
定理5中的这种收敛称为绝对收敛.
第五节** 反常积分的审敛法 函数
第五节* 反常积分的审敛法 函数
定理4(极限审敛法1) 设函数 f (x) 在区间[a , +)
(a > 0)上连续，并且 f (x) 0 .
(1) 如果存在常数 p > 1，使得 lim x p f (x) 存在， x
则反常积分第五a节f (*x)反dx常收积敛分；的审敛法 函数
lim lim lim ((12))