无穷积分敛散性判别法

积分的无穷级数积分是高等数学中非常重要的一个概念，它可以用于求解曲线下的面积、求解概率密度函数等问题。

而积分的无穷级数则是指一种特殊的级数，它由一列积分组成，而不是由一列数值组成。

这种无穷级数的研究对于理解积分的性质和应用非常有帮助。

在介绍积分的无穷级数之前，我们先需要回顾一下一般的无穷级数的定义：设有实数列${a_n}$，则称级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$为收敛的，如果其部分和数列有极限，即$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}a_i$存在。

否则，称级数发散。

积分的无穷级数是由一列积分组成的级数。

具体来说，设$f(x)$在区间$[a,b]$上可积（或可积于Riemann-Stieltjes意义下），则称级数$\sum_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_n(x)dx$为收敛的，如果其部分和数列有极限，即$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\int_{a}^{b}f_i(x)dx$存在。

否则，称级数发散。

需要注意的是，积分的无穷级数并不是对于所有的可积函数都存在的。

事实上，对于某些函数族，它们的无穷级数可能会发散。

下面我们将介绍一些积分的无穷级数的性质和判别法。

1. 比较判别法比较判别法是判断级数的敛散性的一种常用方法。

类似地，我们可以将其推广到积分的无穷级数上。

比较判别法的基本思想是：将待定极限与已知级数或积分进行比较，如果待定极限的模长小于等于已知极限的模长，并且已知级数或积分收敛，则待定极限收敛。

例：比较级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+n\sin^2n}$和级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$的敛散性。

解：设$f_n(x)=\frac{1}{n+n\sin^2n}$，则有$\int_{0}^{\pi}f_n(x)dx=\frac{\pi}{2n(1+\frac{1}{2}\sin^2n)}\geq \frac{\pi}{4n}$又由于级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$是发散的，因此可以利用比较判别法得出，级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+n\sin^2n}$也是发散的。

无穷积分的性质:⑴在区间上可积 , — Const , 则函数在区间上可积 ,且.⑵和在区间上可积 , 在区间上可积 , 且.⑶无穷积分收敛的Cauchy准则: ( 翻译)定理积分收敛.⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念.绝对收敛收敛, ( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分无穷积分收敛判别法非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.⑴比较判敛法: 设在区间上函数和非负且，又对任何>, 和在区间上可积 . 则< , < ；, . ( 证 )例1 判断积分的敛散性.比较原则的极限形式 : 设在区间上函数,. 则ⅰ> < < , 与共敛散 :ⅱ> , < 时, < ；ⅲ> , 时,. ( 证 )⑵Cauchy判敛法: ( 以为比较对象, 即取.以下> 0 )对任何>, , 且, < ；且, .Cauchy判敛法的极限形式 : 设是在任何有限区间上可积的正值函数.且. 则ⅰ> < ；ⅱ>. ( 证 )例2 讨论以下无穷积分的敛散性 :ⅰ> ⅱ> [1]P 324 E6⑶其他判敛法:Abel判敛法: 若在区间上可积 , 单调有界 , 则积分收敛.Dirichlet判敛法: 设在区间上有界，在上单调，且当时，. 则积分收敛.例6 讨论无穷积分与的敛散性. [1]P325 E7例7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :, ,. [1]P326 E8例8 ( 乘积不可积的例 ) 设, . 由例6的结果,积分收敛 . 但积分却发散.( 参阅例6 )。

无穷积分敛散性的一个新的判别法摘要：本文在分析无穷积分敛散性的基础上，提出了一种新的判定敛散性的准则，即采用谱函数法来判别它，这种方法将有力地推进数学分析研究，能够提供准确的敛散性判定结果。

本文首先介绍了无穷积分敛散性问题，探讨了无限积分敛散性的几种基本概念，并指出了常数微分方程在讨论无穷积分敛散性时的一些共性。

接着，介绍了一种新的判定敛散性的准则谱函数法，该方法更简单，更为精确，还改善积分出现无限值的问题。

接下来，本文介绍了谱函数法在计算无穷积分时的特殊情况，分析了函数的谱函数解析展开，说明了如何判断整个函数的散度。

最后，结合实例，给出了一个具体的应用场景，同时也指出了谱函数法的缺点，为今后继续深入研究提供了参考。

关键词：无穷积分，敛散性，谱函数法1.言无穷积分的敛散性问题是数学分析中一个重要的问题，从古典数学研究到现代数学研究，都受到广泛的关注。

本文探讨了一种新的判定敛散性的准则谱函数法，它更能精确地得出敛散性结果。

2.穷积分敛散性2.1念无穷积分敛散性是一种比较常见的概念，是指当某个函数对无穷范围内的某一函数进行无限次积分后，积分值是收敛的，还是散度的。

如果该函数的积分值在无穷的范围内收敛，则称该函数具有敛散性。

2.2数微分方程在讨论无穷积分敛散性问题时，常数微分方程在研究中也有很大的作用。

例如，求解积分的结果就可以转化为求解常数微分方程的任务，并从而分析其是否具有敛散性。

3.函数法3.1 介绍谱函数法是一种比较新的判断敛散性的准则，它采用数学函数的谱函数解析展开，进而判断整个函数的散度，从而更为精确地判断无穷积分敛散性。

3.2殊情况当函数只有一个有限的频率项时，可以利用谱函数法来计算无穷积分，从而判断敛散性。

当函数具有更多的频率项时，则需要将其全部解析开，进而分析其是否具有散度。

3.3用谱函数法在实际应用中也受到了广泛的欢迎，其优点在于准确性更高，而且可以解决传统方法在积分出现无限值时无法解决的问题。

广义积分敛散性判别法的应用主要的广义积分敛散性证明方法如下：套定义验证比较判别法、等价无穷小Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.1 广义积分的定义定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积, 且极限 limA→+∞∫aAf(x)dx 存在, 则把无穷积分定义为∫a+∞f(x)dx=limA→+∞∫aAf(x)dx.否则称无穷积分是发散的.此外,∫−∞+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx+∫−∞af(x)dx.这与Cauchy主值积分不同:(V.P.)∫−∞+∞f(x)dx=limA→+∞∫−AAf(x)dx.广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.定义1.2 [瑕积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a′,b],(a<a′<b) 都是Riemann可积, 且极限 lima′→a+∫a′bf(x)dx 存在, 则把瑕积分定义为∫abf(x)dx=lima′→a+∫a′bf(x)dx.否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分∫1+∞1xpdx 当 p>1 时, 该无穷积分收敛;当 p≤1 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分∫011xpdx. 当 p<1 时, 该瑕积分收敛; 当 p≥1 时, 该瑕积分发散.例1.3 ∫−∞+∞11+x2dx=arctan⁡x|−∞0+arctan⁡x|0+∞=π例1.4 ∫−1111−x2dx=arcsin⁡x|−10+arcsin⁡x|01=π.如果被积函数 f(x) 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 f≥0, 则无穷积分∫a+∞f(x)dx 收敛当且仅当 F(A)=∫aAf(x)dx 是 A∈[a,+∞) 的有界函数.2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 0≤f≤Mg,M>0 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分∫a+∞g(x)dx 收敛时, 无穷积分∫a+∞fdx 也收敛. 当无穷积分∫a+∞fdx 发散时, 无穷积分∫a+∞g(x)dx 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 l=limx→∞f(x)g(x) 存在, 则(1) 当 0<l<∞时, 积分∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散.(2) 当 l=0 时, 如果∫a+∞g(x)dx 收敛, 则∫a+∞f(x)dx 也收敛.(3) 当 l=+∞时, 如果∫a+∞g(x)dx 发散, 则∫a+∞f(x)dx 也发散.注：对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分∫0+∞dxexx 的敛散性.提示：无. \QED例2.3 积分∫01dxln⁡x 是发散的.证明：注意到 limx→0+1ln⁡x=0, 于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑∫1/21dxln⁡x. 由于∫1/21dxln⁡x=∫01/2dtln⁡(1−t),且 ln⁡(1−t)∼−t(t→0), 则积分∫1/21dxln⁡x 与−∫01/2dtt 同敛散. 则原积分是发散的. \QED例2.4 积分∫01ln⁡x1−xdx 是收敛的.证明： 0,1 都是瑕点. 把积分区间拆成 (0,1/2) 与 (1/2,1). (在 (0,1/2) 区间内, 出现瑕点的地方是 ln⁡x, 而在 (1/2,1) 区间内, 出现瑕点的地方是 11−x, 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意0>∫01/2ln⁡x1−xdx>2∫01/2ln⁡xdx,而∫01/2ln⁡xdx=xln⁡x|01/2−∫01/2dx=12(ln⁡12−1),则∫01/2ln⁡x1−xdx 收敛. 另一方面,∫1/21ln⁡x1−xdx=∫01/2ln⁡(1−t)tdt,并注意到 limt→0+ln⁡(1−t)t=−1, 则∫1/21ln⁡x1−xdx 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] f(x) 在 [a,+∞) 上的积分收敛的充分必要条件是: ∀ε>0,∃M=M(ε),当 B>A>M 时, |∫abf(x)dx|<ε.例3.2 积分∫0+∞cos⁡x2dx 是收敛的.证明：我们只需要看被积函数在 [1,+∞) 的积分即可. 作变量代换 x=t, 则∫1+∞cos⁡x2dx=12∫1+∞cos⁡ttdt.则|∫ABcos⁡ttdt|=|sin⁡tt|AB+12sin⁡tt3/2dt|≤1A+1B+12∫ABt −3/2dt=2A→0(B>A→+∞).因此积分是收敛的. \QED注：f在 [a,+∞) 积分存在不能推出 f(x)→0(x→+∞). 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分∫0+∞|cos⁡x2|dx 是发散的.证明：【方法一】只需要考虑 cos⁡t 的一个周期. 由于∫(mπ)2(mπ+π)2|cos⁡x2|dx=12∫mπ(m+1)π|cos⁡t|tdt>12(m+1)π∫mπ(m+1)π|cos⁡t|dt=22(m+1)π>2π1m+1+m+2=2π(m+2−m+1).固定m, 取 n>m, 则∫(mπ)2(nπ)2|cos⁡x2|dx>2π(n+1−m+1)→∞(n→∞).因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于 |cos⁡x2|≥cos2⁡x2=12(1+cos⁡2x2), 由例3.2, 积分∫1+∞cos⁡(2x2)dx 是收敛的, 但是积分 \int_1^{+\infty}1dx 发散, 则原积分发散. \QED注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当 |x|≤1 时, 根据幂函数 y=xα的性质, 必有 x2≤|x|≤1. 利用这个技巧可以去掉绝对值.。

无穷积分敛散性的一个新的判别法无穷积分敛散性是一个重要的数学概念，它涉及到许多重要的数学理论和应用计算，其应用广泛，从实际应用到数学建模等。

因此，研究无穷积分敛散性有着重要的意义，也是数学研究的一个重要部分。

本文将介绍一种新的识别无穷积分敛散性的方法，以及它的一些书面推导和实际应用。

首先，我们回顾一下无穷积分敛散性的基本原理。

无穷积分敛散性是指，存在一个无穷级数$sum_{k=0}^n a_k$，若它具有收敛性，则被称为无穷积分敛散性。

其收敛性的条件是，当$ k rightarrow infty $时，$a_k$晕于某一限值。

基于无穷积分敛散性的基本原理，我们可以建立一种新的识别无穷积分敛散性的方法。

此方法的首要步骤是，根据上述定义，使用微积分等法计算$sum_{k=0}^n a_k$的积分。

接下来，利用微积分的反变换公式，求解无穷积分敛散性的条件。

最后，根据实际应用，使用一系列试验，确定无穷积分敛散性是否满足本文定义的条件。

当确定问题满足无穷积分敛散性的条件后，就可以把它归类到无穷积分敛散性的范畴中，从而更好地研究此问题。

此外，该方法还可以协助我们用图形来分析某一问题的无穷积分敛散性以及其它连续情况，绘制出函数图像，更好地把握问题特征。

在实际应用中，无穷积分敛散性是一个重要的考虑因素。

比如，在经济领域，可以利用本文提出的方法来识别投资者在投入市场时可能遇到的无穷积分敛散性情况，并根据实际情况更好地做出投资决策。

此外，本文所提出的方法还可以应用到信号处理、数值分析等领域，可以指导更好的数学建模和算法设计。

综上所述，本文提出了一种新的识别无穷积分敛散性的方法，它不仅可以更好地研究无穷积分敛散性，而且可以为一些实际应用提供技术支持。

未来，本文所提出的方法还可以进一步发展和改进，希望能够为解决更多实际问题提供解决方案。

综上所述，本文介绍了一种新的识别无穷积分敛散性的方法，它可以更好地研究无穷积分敛散性。

无穷限反常积分敛散性及审敛法则一、教学目标分析在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。

让学生反常积分在一些实际问题中的应运。

二、学情/学习者特征分析学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。

但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。

由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。

三、学习内容分析1.本节的作用和地位通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。

例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。

2．本节主要内容1. 无穷限反常积分的定义与计算方法2. 无穷限反常积分的性质3. 无穷限反常积分的比较审敛法则4. 条件收敛与绝对收敛 3.重点难点分析教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则； 教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。

4.课时要求：2课时四、教学理念学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。

五、教学策略在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。

六.教学环境网络环境下的多媒体教室与课堂互动。

七、教学过程一、无穷限反常积分的定义定义1 设函数／定义在无穷区间[+∞,a )上，且在任何有限区间[u a ,]上可积．如果存在极限 则称此极限J 为函数f 在[+∞,a )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作dx x f J a⎰+∞=)(，并称dxx f a ⎰+∞)(收敛．如果极限J dx x f uau =⎰+∞→)(lim不存在，亦称dx x f a ⎰+∞)(发散．类似地，可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分：.)(lim )(dx x f dx x f buu b⎰⎰-∞→∞-=对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：,)()()(dx x f dx x f dx x f a a ⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞+=其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的．注： dx x f a⎰+∞)(收敛的几何意义是：若f 在],[+∞a 上为非负连续函数，则介于曲线)(x f y =，直线ax =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J ．例1 讨论无穷积分.1)102⎰+∞+x dx ，.1)22⎰∞+∞-+xdx ，.)302⎰+∞-dx xe x 的收敛性． 例2 讨论下列无穷积分的收敛性：⎰+∞1)1p xdx， ;)(ln )22⎰+∞p x x dx 二、无穷积分的性质由定义知道，无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛与否，取决于积分上限函数=)(u F ⎰uadx x f )(在+∞→u 时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则． 定理11.1 无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件是：任给ε>0，存在G ≥a ，只要G u u >21,，便有ε<=-⎰⎰⎰2121)()()(u u u au adx x f dx x f dx x f ．此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质．性质1 若dx x f a)(1⎰+∞与dx x f a)(2⎰+∞都收敛，1k ,2k 为任意常数，则[]dx x f k x f k a⎰+∞+)()(2211也收敛，且[]dx x f k dx x f k dx x f k x f k aaa )()()()(22112211⎰⎰⎰+∞+∞+∞+=+．性 质 2 若f 在任何有限区间[u a ,)上可积，且有⎰+∞adx x f )(收敛，则⎰+∞adx x f )(亦必收敛，并有⎰⎰+∞+∞≤aadx x f dx x f )()(．证：⎰+∞adx x f )( 由收敛，根据柯西准则(必要性)，任给0>ε，存在G ≥a ，当G u u >>12时，总有⎰⎰≤2121)()(u u u u dx x f dx x f . 利用定积分的绝对值不等式，又有⎰21)(u u dx x f ≤ε<⎰21)(u u dx x f .再由柯西准则(充分性)，证得⎰+∞adx x f )(收敛又因⎰uadx x f )(≤⎰uadx x f )(，令+∞→u 取极限，立刻得到不等式.当⎰+∞adx x f )(收敛时，称⎰+∞adx x f )(为绝对收敛．性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛．但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛．性质3 若f 在任何有限区间[u a ,]上可积，b a <，则⎰+∞adx x f )(与⎰+∞bdx x f )(同敛态(即同时收敛或同时发散)，且有⎰+∞adx x f )(=⎰b adx x f )(+⎰+∞bdx x f )(,性质2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出⎰+∞adx x f )(收敛的另一充要条件：任给ε>0，存在0≥G ，当u >G 时，总有.)(ε<⎰+∞adx x f ．事实上，这可由⎰⎰⎰+∞+∞+=uaudx x f dx x f dx x f )()()(结合无穷积分的收敛定义而得．三、比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法．由于⎰uadx x f )(关于上限u 是单调递增的，因此⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件是⎰uadx x f )(存在上界．根据这一分析，便立即导出下述比较判别法：定理11.2 (比较法则) 设定义在[+∞,a )上的两个函数f 和g 都在任何有限区间[u a ,]上可积，且满足 则当⎰+∞adx x g )(收敛时dx x f a⎰+∞)(必收敛(或当dx x f a⎰+∞)(发散时，⎰+∞adx x g )(必发散)．例3 讨论dx x x⎰+∞+021sin 的收敛性． 解：由于],0[,111sin 22+∞∈+≤+x x x x ，而2102π=+⎰+∞x dx 为收敛，故dx xx ⎰+∞+021sin 为绝对收敛． 当选用⎰+∞1p xdx作为比较对象⎰+∞a dx x g )(时，比较判别法有如下两个推论(称为柯西判别法)． 推论1 设f 定义于[+∞,a ] (0>a )，且在任何有限区间[u a ,]上可积，则有：(i)当 ),[,1)(+∞∈≤a x xx f p ,且1>p 时, dx x f a ⎰+∞)(收敛; (ii)当),[,1)(+∞∈≥a x xx f p 且1≥p 时, dx x f a ⎰+∞)(发散.推论2 设定义于[+∞,a )，在任何有限区间[u a ,.]上可积，且λ=+∞→)(lim x f xpx ．则有：(i)当 +∞<≤>λ0,1p 时, dx x f a⎰+∞)(收敛; (ii)当 +∞≤<≤λ0,1p 时,dx x f a⎰+∞)(发散.推论3 若f 和g 都在任何[u a ,)上可积，0)(>x g ，且,)()(lim c x g x f x =+∞→则有(i)当+∞<≤c 0时，由⎰+∞adx x g )(收敛可推知dx x f a ⎰+∞)(也收敛； (ii)当+∞≤<c 0时，由⎰+∞adx x g )(发散可推知dx x f a⎰+∞)(也发散.四、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法． 定理11.3 (狄利克雷判别法) 若⎰=uadx x f u F )()(在[+∞,a )上有界，)(x g 在[+∞,a )上当+∞→x 时单调趋于0，则无穷积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛．定理11.4 (阿贝尔(Abel)判别法) 若⎰+∞adx x f )(收敛，)(x g 在[+∞,a )上单调有界，则无穷积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛．用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法． 例5 讨论dx x xp ⎰+∞1sin 与)0(cos 1>⎰+∞p dx xx p 的收敛性． 解：这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论．下面分两种情形来讨论： (i)当p >1时dx x xp ⎰+∞1sin 绝对收敛．这是因为),,[,1sin +∞∈≤a x x x x p p 而⎰+∞1p xdx 当p >1时收敛，故由比较法则推知dx x xp⎰∞+1sin 收敛. (ii)当10≤<p 时dx x x p ⎰+∞1sin 条件收敛．这是因为对任意u ≥1，有2co s 1co s si n 1≤-=⎰u x d x u ，而p x 1当0>p 时单调趋于)(0+∞→x ，故由狄利克雷判别法推知dx x xp ⎰+∞1sin 工当0>p 时总是收敛的． 另一方面，由于),1[,22cos 21sin sin 2+∞∈-=≥x x x x x x x x p ，其中dt ttdx x x ⎰⎰+∞+∞=21cos 2122cos 是收敛的，而⎰+∞12xdx是发散的，因此当10≤<p 时该无穷积分不是绝对收敛的．所以它是条件收敛的． 例6 证明下列无穷积分都是条件收敛的．,sin 12⎰+∞dx x ,cos 12⎰+∞dx xdx x x ⎰+∞14sin证：前两个无穷积分经换元2x t =得到,2sin sin 112dt tt dx x ⎰⎰+∞+∞=.2cos cos 112dt tt dx x ⎰⎰+∞+∞=由例5知它们是条件收敛的．对于第三个无穷积分，经换元2x t =而得⎰⎰+∞+∞=1214sin 21sin dt t dx x x ，它也是条件收敛的．从例6中三个无穷积分的收敛性可以看到，当+∞→x 时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．八、学习评价本节成功向学生讲解了两种定积分的推广即反常积分，尤其对无穷反常积分进行介绍，并对其敛散性及审敛性附带介绍。