无穷积分敛散性判别法

积分的无穷级数积分是高等数学中非常重要的一个概念，它可以用于求解曲线下的面积、求解概率密度函数等问题。

而积分的无穷级数则是指一种特殊的级数，它由一列积分组成，而不是由一列数值组成。

这种无穷级数的研究对于理解积分的性质和应用非常有帮助。

在介绍积分的无穷级数之前，我们先需要回顾一下一般的无穷级数的定义：设有实数列${a_n}$，则称级数$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$为收敛的，如果其部分和数列有极限，即$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}a_i$存在。

否则，称级数发散。

积分的无穷级数是由一列积分组成的级数。

具体来说，设$f(x)$在区间$[a,b]$上可积（或可积于Riemann-Stieltjes意义下），则称级数$\sum_{n=1}^{\infty}\int_{a}^{b}f_n(x)dx$为收敛的，如果其部分和数列有极限，即$\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^{n}\int_{a}^{b}f_i(x)dx$存在。

否则，称级数发散。

需要注意的是，积分的无穷级数并不是对于所有的可积函数都存在的。

事实上，对于某些函数族，它们的无穷级数可能会发散。

下面我们将介绍一些积分的无穷级数的性质和判别法。

1. 比较判别法比较判别法是判断级数的敛散性的一种常用方法。

类似地，我们可以将其推广到积分的无穷级数上。

比较判别法的基本思想是：将待定极限与已知级数或积分进行比较，如果待定极限的模长小于等于已知极限的模长，并且已知级数或积分收敛，则待定极限收敛。

例：比较级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+n\sin^2n}$和级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$的敛散性。

解：设$f_n(x)=\frac{1}{n+n\sin^2n}$，则有$\int_{0}^{\pi}f_n(x)dx=\frac{\pi}{2n(1+\frac{1}{2}\sin^2n)}\geq \frac{\pi}{4n}$又由于级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$是发散的，因此可以利用比较判别法得出，级数$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+n\sin^2n}$也是发散的。

ｇ（ ）在［ｎ，＋∞）上恒成立，而且Ｊｆ ｎ ｇ（ ） 是收敛的，那么ｆ 『 厂 ｆ ）ｇ（ ） 收敛。
（ ） 一 定 也 是 收 敛 的 。
我们首先讨论一个特殊的非负无穷积分Ｊｆ （。＞０），不 “ ∥
难判断，ｐ １时，』 １ 收敛；Ｐ≤１时，』 发散。
在判 断非 负无穷积分 的收敛性时 ，经 常需要拿被积 函数 ）
ｒ ＋ １ ／ １
、
例１：判断无穷积分ｆ．１ｎ ｄｘ（ｎ＞１）的敛散性。
解
：ｎ＞】时
， ｌｉｍ …
＊
ｉ＋１／ Ｉｎ（１＋ｘ）
＿
＝
：０，所 以 一 ＋
以上判断无穷积分 敛散性的方法 ，只要稍作 修改 ，就可适用
于瑕积分敛散 ＩＩ１９￣ＩＩＩ。例如在判断ｉ ） （ ：。为瑕点）的敛
ｄｘ收敛。
判 断 无 穷 积 分 敛 散 性 的 一 些 常 用 方 法 并 ， 给 出了相应 的例子加
二 、一 般 无 穷 积 分
以 说 明 。
一 般无穷积分主要有两个判别敛散性 的方法 ：
一 、非 负无 穷 积 分
假设
）是［ｎ，＋ ）］－＿ＩＭ ＩＭ￣ｌｌｔ，且 在任 何有限区间［。 ，
［中图分 类号 ］Ｇ６４８
［文献标 志码 ］Ａ
［文章编号 ］２０９６ — ０６０３（２０ｌ８）ｌ３—０１５６—０ｌ
判 断无穷 积分 收敛 的柯 西 准则虽 然 很好地 刻 画 了无 穷 积
时， 分 的敛散性 ，但 是在实 际的运用 中并不是 很方便 。
本 文 总 结 了
是 … 的高阶无穷小，因此ｆＩ
散性时，可将 ）与—（＿ ｌ ＿ 比较，根据Ｊ— 的敛散性判

级数的部分和
(常数项)无穷级数
n
sn u1 u2 un ui
部分和数列
i 1
s1 u1, s2 u1 u2, s3 u1 u2 u3,, sn u1 u2 un,
2. 级数的收敛与发散:
当n 无限增大时,如果级数 un 的部分和
n1
数列sn 有极限s ,
即
lim
n
sn
5! 55
；
n
3、
x2
；
2 4 6 (2n)
4、(1)n1 a n1 ； 2n 1
5、2k 1.2k 1,2k, 1 ； 6、 q 1, q 1. 2k
三、收敛. 四、1、发散；
2、收敛；
3、发散、[ s2n
n1 k1 (2k
1 )]. 10k
五、发散.[取 p 2n ]
1 (1 1) 1 (1 1) 1 ( 1 1 )
2 3 23 5
2 2n 1 2n 1
1 (1 1 ), 2 2n 1
lim
n
sn
lim 1 (1 n 2
1) 2n 1
1, 2
级数收敛, 和为 1 . 2
三、基本性质
性质 1 如果级数 un 收敛,则 kun 亦收敛.
解 如果q 1时
sn a aq aq2 aqn1
a aqn a aqn , 1q 1q 1q当q 1时,源自lim qn 0n
lim
n
sn
a 1q
当q 1时,
lim qn
n
lim
n
sn
收敛 发散
如果 q 1时
当q 1时, sn na
发散
当q 1时, 级数变为a a a a

无穷积分的性质:⑴在区间上可积 , — Const , 则函数在区间上可积 ,且.⑵和在区间上可积 , 在区间上可积 , 且.⑶无穷积分收敛的Cauchy准则: ( 翻译)定理积分收敛.⑷绝对收敛与条件收敛: 定义概念.绝对收敛收敛, ( 证 ) 但反之不确. 绝对型积分与非绝对型积分无穷积分收敛判别法非负函数无穷积分判敛法: 对非负函数,有↗. 非负函数无穷积分敛散性记法.⑴比较判敛法: 设在区间上函数和非负且，又对任何>, 和在区间上可积 . 则< , < ；, . ( 证 )例1 判断积分的敛散性.比较原则的极限形式 : 设在区间上函数,. 则ⅰ> < < , 与共敛散 :ⅱ> , < 时, < ；ⅲ> , 时,. ( 证 )⑵Cauchy判敛法: ( 以为比较对象, 即取.以下> 0 )对任何>, , 且, < ；且, .Cauchy判敛法的极限形式 : 设是在任何有限区间上可积的正值函数.且. 则ⅰ> < ；ⅱ>. ( 证 )例2 讨论以下无穷积分的敛散性 :ⅰ> ⅱ> [1]P 324 E6⑶其他判敛法:Abel判敛法: 若在区间上可积 , 单调有界 , 则积分收敛.Dirichlet判敛法: 设在区间上有界，在上单调，且当时，. 则积分收敛.例6 讨论无穷积分与的敛散性. [1]P325 E7例7 证明下列无穷积分收敛 , 且为条件收敛 :, ,. [1]P326 E8例8 ( 乘积不可积的例 ) 设, . 由例6的结果,积分收敛 . 但积分却发散.( 参阅例6 )。

一、问题的提出
1. 计算圆的面积
正六边形的面积 a1
R
正十二边形的面积 a1 a2
n 正 3 2 形的面积 a1 a2 an
即 A a1 a2 an 1 3 3 3 3 2. n 3 10 100 1000 10
二、级数的概念
1 1 1 1 解 un ( ), ( 2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1 1 1 1 sn 1 3 3 5 ( 2n 1) ( 2n 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 (1 ) ( ) ( ) 2 3 2 3 5 2 2n 1 2n 1 1 1 (1 ), 2 2n 1 1 1 1 lim sn lim (1 ) , n n 2 2n 1 2
n 2,3,
于是有
1 3 2 3 3 lim An A1 (1 ) A1 (1 ) . n 4 5 5 1 9 雪花的面积存在极限（收敛）．
n
lim Pn
结论：雪花的周长是无界的，而面积有界．
例 1 讨论等比级数(几何级数)
n 2 n aq a aq aq aq ( a 0) n 0
若记
un n 1

任意加括号
bk u pk 1 1 u pk
bk k 1 bk 的部分和记为 k k 1

则加括号后级数成为
记
un n 1

的部分和为 sn
则 k s pk 由数列和子数列的关系知 lim sn 存在， lim k 必定存在
1 dx 即 x 1 1 1 Sn 1 2 n n1 1 dx ln( n 1) , ( n ) x 1 故调和级数发散

无穷积分敛散性的一个新的判别法摘要：本文在分析无穷积分敛散性的基础上，提出了一种新的判定敛散性的准则，即采用谱函数法来判别它，这种方法将有力地推进数学分析研究，能够提供准确的敛散性判定结果。

本文首先介绍了无穷积分敛散性问题，探讨了无限积分敛散性的几种基本概念，并指出了常数微分方程在讨论无穷积分敛散性时的一些共性。

接着，介绍了一种新的判定敛散性的准则谱函数法，该方法更简单，更为精确，还改善积分出现无限值的问题。

接下来，本文介绍了谱函数法在计算无穷积分时的特殊情况，分析了函数的谱函数解析展开，说明了如何判断整个函数的散度。

最后，结合实例，给出了一个具体的应用场景，同时也指出了谱函数法的缺点，为今后继续深入研究提供了参考。

关键词：无穷积分，敛散性，谱函数法1.言无穷积分的敛散性问题是数学分析中一个重要的问题，从古典数学研究到现代数学研究，都受到广泛的关注。

本文探讨了一种新的判定敛散性的准则谱函数法，它更能精确地得出敛散性结果。

2.穷积分敛散性2.1念无穷积分敛散性是一种比较常见的概念，是指当某个函数对无穷范围内的某一函数进行无限次积分后，积分值是收敛的，还是散度的。

如果该函数的积分值在无穷的范围内收敛，则称该函数具有敛散性。

2.2数微分方程在讨论无穷积分敛散性问题时，常数微分方程在研究中也有很大的作用。

例如，求解积分的结果就可以转化为求解常数微分方程的任务，并从而分析其是否具有敛散性。

3.函数法3.1 介绍谱函数法是一种比较新的判断敛散性的准则，它采用数学函数的谱函数解析展开，进而判断整个函数的散度，从而更为精确地判断无穷积分敛散性。

3.2殊情况当函数只有一个有限的频率项时，可以利用谱函数法来计算无穷积分，从而判断敛散性。

当函数具有更多的频率项时，则需要将其全部解析开，进而分析其是否具有散度。

3.3用谱函数法在实际应用中也受到了广泛的欢迎，其优点在于准确性更高，而且可以解决传统方法在积分出现无限值时无法解决的问题。

广义积分敛散性判别法的应用主要的广义积分敛散性证明方法如下：套定义验证比较判别法、等价无穷小Cauchy准则Dirichlet判别法Abel判别法另外本文还有用Cauchy准则来处理广义积分有关的证明题的例题总结.1 广义积分的定义定义1.1[无穷积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a,A] 都是Riemann可积, 且极限 limA→+∞∫aAf(x)dx 存在, 则把无穷积分定义为∫a+∞f(x)dx=limA→+∞∫aAf(x)dx.否则称无穷积分是发散的.此外,∫−∞+∞f(x)dx=∫a+∞f(x)dx+∫−∞af(x)dx.这与Cauchy主值积分不同:(V.P.)∫−∞+∞f(x)dx=limA→+∞∫−AAf(x)dx.广义积分与Riemann积分有类似性质, 运算法则（分部积分、变量替换等）可以推广过来.定义1.2 [瑕积分]如果 f(x) 在任意有限区间 [a′,b],(a<a′<b) 都是Riemann可积, 且极限 lima′→a+∫a′bf(x)dx 存在, 则把瑕积分定义为∫abf(x)dx=lima′→a+∫a′bf(x)dx.否则称无穷积分发散.例1.1 无穷积分∫1+∞1xpdx 当 p>1 时, 该无穷积分收敛;当 p≤1 时, 该无穷积分发散.例1.2 瑕积分∫011xpdx. 当 p<1 时, 该瑕积分收敛; 当 p≥1 时, 该瑕积分发散.例1.3 ∫−∞+∞11+x2dx=arctan⁡x|−∞0+arctan⁡x|0+∞=π例1.4 ∫−1111−x2dx=arcsin⁡x|−10+arcsin⁡x|01=π.如果被积函数 f(x) 恒大于0, 我们有如下结论.定理1.5 设 f≥0, 则无穷积分∫a+∞f(x)dx 收敛当且仅当 F(A)=∫aAf(x)dx 是 A∈[a,+∞) 的有界函数.2 比较判别法与等价无穷小定理2.1 设 0≤f≤Mg,M>0 为常数,(这个不等式对充分大的x都成立就行了). 则当无穷积分∫a+∞g(x)dx 收敛时, 无穷积分∫a+∞fdx 也收敛. 当无穷积分∫a+∞fdx 发散时, 无穷积分∫a+∞g(x)dx 发散. 瑕积分的结果类似.在比较判别法中, M的寻找可以用极限去找. 如果极限 l=limx→∞f(x)g(x) 存在, 则(1) 当 0<l<∞时, 积分∫a+∞f(x)dx 与∫a+∞g(x)dx 同敛散.(2) 当 l=0 时, 如果∫a+∞g(x)dx 收敛, 则∫a+∞f(x)dx 也收敛.(3) 当 l=+∞时, 如果∫a+∞g(x)dx 发散, 则∫a+∞f(x)dx 也发散.注：对瑕积分有类似结论..例2.2 判断积分∫0+∞dxexx 的敛散性.提示：无. \QED例2.3 积分∫01dxln⁡x 是发散的.证明：注意到 limx→0+1ln⁡x=0, 于是0不是瑕点, 1是瑕点. 我们只需要考虑∫1/21dxln⁡x. 由于∫1/21dxln⁡x=∫01/2dtln⁡(1−t),且 ln⁡(1−t)∼−t(t→0), 则积分∫1/21dxln⁡x 与−∫01/2dtt 同敛散. 则原积分是发散的. \QED例2.4 积分∫01ln⁡x1−xdx 是收敛的.证明： 0,1 都是瑕点. 把积分区间拆成 (0,1/2) 与 (1/2,1). (在 (0,1/2) 区间内, 出现瑕点的地方是 ln⁡x, 而在 (1/2,1) 区间内, 出现瑕点的地方是 11−x, 没出现瑕点的地方可以视作有限数)注意0>∫01/2ln⁡x1−xdx>2∫01/2ln⁡xdx,而∫01/2ln⁡xdx=xln⁡x|01/2−∫01/2dx=12(ln⁡12−1),则∫01/2ln⁡x1−xdx 收敛. 另一方面,∫1/21ln⁡x1−xdx=∫01/2ln⁡(1−t)tdt,并注意到 limt→0+ln⁡(1−t)t=−1, 则∫1/21ln⁡x1−xdx 收敛. \QED3 用Cauchy准则验证收敛性定理3.1 [Cauchy准则] f(x) 在 [a,+∞) 上的积分收敛的充分必要条件是: ∀ε>0,∃M=M(ε),当 B>A>M 时, |∫abf(x)dx|<ε.例3.2 积分∫0+∞cos⁡x2dx 是收敛的.证明：我们只需要看被积函数在 [1,+∞) 的积分即可. 作变量代换 x=t, 则∫1+∞cos⁡x2dx=12∫1+∞cos⁡ttdt.则|∫ABcos⁡ttdt|=|sin⁡tt|AB+12sin⁡tt3/2dt|≤1A+1B+12∫ABt −3/2dt=2A→0(B>A→+∞).因此积分是收敛的. \QED注：f在 [a,+∞) 积分存在不能推出 f(x)→0(x→+∞). 需要添加条件. 详见第6小节.例3.3 积分∫0+∞|cos⁡x2|dx 是发散的.证明：【方法一】只需要考虑 cos⁡t 的一个周期. 由于∫(mπ)2(mπ+π)2|cos⁡x2|dx=12∫mπ(m+1)π|cos⁡t|tdt>12(m+1)π∫mπ(m+1)π|cos⁡t|dt=22(m+1)π>2π1m+1+m+2=2π(m+2−m+1).固定m, 取 n>m, 则∫(mπ)2(nπ)2|cos⁡x2|dx>2π(n+1−m+1)→∞(n→∞).因此原积分是发散的. \QED【方法二】(比较判别法). 由于 |cos⁡x2|≥cos2⁡x2=12(1+cos⁡2x2), 由例3.2, 积分∫1+∞cos⁡(2x2)dx 是收敛的, 但是积分 \int_1^{+\infty}1dx 发散, 则原积分发散. \QED注：方法二的技巧在例4.3、例6.5也用到了. 也就是说当 |x|≤1 时, 根据幂函数 y=xα的性质, 必有 x2≤|x|≤1. 利用这个技巧可以去掉绝对值.。

无穷积分敛散性的一个新的判别法无穷积分敛散性是一个重要的数学概念，它涉及到许多重要的数学理论和应用计算，其应用广泛，从实际应用到数学建模等。

因此，研究无穷积分敛散性有着重要的意义，也是数学研究的一个重要部分。

本文将介绍一种新的识别无穷积分敛散性的方法，以及它的一些书面推导和实际应用。

首先，我们回顾一下无穷积分敛散性的基本原理。

无穷积分敛散性是指，存在一个无穷级数$sum_{k=0}^n a_k$，若它具有收敛性，则被称为无穷积分敛散性。

其收敛性的条件是，当$ k rightarrow infty $时，$a_k$晕于某一限值。

基于无穷积分敛散性的基本原理，我们可以建立一种新的识别无穷积分敛散性的方法。

此方法的首要步骤是，根据上述定义，使用微积分等法计算$sum_{k=0}^n a_k$的积分。

接下来，利用微积分的反变换公式，求解无穷积分敛散性的条件。

最后，根据实际应用，使用一系列试验，确定无穷积分敛散性是否满足本文定义的条件。

当确定问题满足无穷积分敛散性的条件后，就可以把它归类到无穷积分敛散性的范畴中，从而更好地研究此问题。

此外，该方法还可以协助我们用图形来分析某一问题的无穷积分敛散性以及其它连续情况，绘制出函数图像，更好地把握问题特征。

在实际应用中，无穷积分敛散性是一个重要的考虑因素。

比如，在经济领域，可以利用本文提出的方法来识别投资者在投入市场时可能遇到的无穷积分敛散性情况，并根据实际情况更好地做出投资决策。

此外，本文所提出的方法还可以应用到信号处理、数值分析等领域，可以指导更好的数学建模和算法设计。

综上所述，本文提出了一种新的识别无穷积分敛散性的方法，它不仅可以更好地研究无穷积分敛散性，而且可以为一些实际应用提供技术支持。

未来，本文所提出的方法还可以进一步发展和改进，希望能够为解决更多实际问题提供解决方案。

综上所述，本文介绍了一种新的识别无穷积分敛散性的方法，它可以更好地研究无穷积分敛散性。

a
g ( x) d x 收敛 ,
则由 (1) 立即可得出矛盾 :

a
f ( x) d x 收敛 .
定理
（比较判别法的极限形式法）
设 f ( x) , g ( x) 为定义在 [a, ) 上的非负函数 , A [a, ) ,
f ( x) , g ( x) R( [a, A] ) . 若有极限 lim
0 f (t ) d t g (t ) d t ,
a a
x
x
从而, 积分上限函数
F ( x) f (t ) d t 在 [a, ) 上有上界 ,
a x
故积分

a
f ( x) d x 收敛 .
(2) 运用反证法.
如果

a
f ( x) d x 发散时 , 积分
(3) 当 时 , 无穷积分
a
g ( x) d x 发散 , 则
a
例1 解
判别无穷积分

1
arctan x d x 的敛散性. x
因为
arctan x lim x lim arctan x , x x x 2
故无穷积分



b
f ( x) d x lim
b x
x
这样可以利用积分上限 函数来进行有关的讨论 .
定理
设函数 f ( x) C( [a, ) ) , 且 f ( x) 0 .
若积分上限函数 F ( x) f (t ) d t 在 [a, )
a x
上有上界 , 则无穷积分
f ( x), g ( x) R( [a, A] ) , 且满足

无穷限反常积分敛散性及审敛法则一、教学目标分析在开始本节课程学习之前，学生已经对定积分有所了解，并初步掌握定积分的基本知识，本节通过介绍反常积分，加深学生对积分的了解，使同学对积分的了解更加系统化，并通过讲解让同学们减轻对积分的迷惑。

让学生反常积分在一些实际问题中的应运。

二、学情/学习者特征分析学生通过对前面课程的学习，对积分已经有了初步的了解。

但对于一些特殊积分或者有关实际问题的积分还是存在着一定的迷惑。

由于本节内容有点枯燥，所以要积极调动学生的兴趣，培养好课堂气氛，使学生充分掌握本节课的内容。

三、学习内容分析1.本节的作用和地位通过对本节的学习来解决一些不属于定积分的问题，这些问题通常是一些实际问题。

例如：常会遇到积分区间为无穷区间，或者被积函数为无界函数的积分等问题。

2．本节主要内容1. 无穷限反常积分的定义与计算方法2. 无穷限反常积分的性质3. 无穷限反常积分的比较审敛法则4. 条件收敛与绝对收敛 3.重点难点分析教学重点：无穷限反常积分计算，无穷限反常积分的比较审敛法则； 教学难点：无穷限反常积分的比较审敛法则。

4.课时要求：2课时四、教学理念学生在之前就已经掌握了一定的知识，通过本节对学生的教学使学生进一步了解反常积分，尤其是其在一些实际问题中的应运。

五、教学策略在教学中主要讲清反常积分的定义及其性质，并适时举例讲解，引导学生互动，相互讨论解决问题。

六.教学环境网络环境下的多媒体教室与课堂互动。

七、教学过程一、无穷限反常积分的定义定义1 设函数／定义在无穷区间[+∞,a )上，且在任何有限区间[u a ,]上可积．如果存在极限 则称此极限J 为函数f 在[+∞,a )上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作dx x f J a⎰+∞=)(，并称dxx f a ⎰+∞)(收敛．如果极限J dx x f uau =⎰+∞→)(lim不存在，亦称dx x f a ⎰+∞)(发散．类似地，可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分：.)(lim )(dx x f dx x f buu b⎰⎰-∞→∞-=对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：,)()()(dx x f dx x f dx x f a a ⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞+=其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的．注： dx x f a⎰+∞)(收敛的几何意义是：若f 在],[+∞a 上为非负连续函数，则介于曲线)(x f y =，直线ax =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J ．例1 讨论无穷积分.1)102⎰+∞+x dx ，.1)22⎰∞+∞-+xdx ，.)302⎰+∞-dx xe x 的收敛性． 例2 讨论下列无穷积分的收敛性：⎰+∞1)1p xdx， ;)(ln )22⎰+∞p x x dx 二、无穷积分的性质由定义知道，无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛与否，取决于积分上限函数=)(u F ⎰uadx x f )(在+∞→u 时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则． 定理11.1 无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件是：任给ε>0，存在G ≥a ，只要G u u >21,，便有ε<=-⎰⎰⎰2121)()()(u u u au adx x f dx x f dx x f ．此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质．性质1 若dx x f a)(1⎰+∞与dx x f a)(2⎰+∞都收敛，1k ,2k 为任意常数，则[]dx x f k x f k a⎰+∞+)()(2211也收敛，且[]dx x f k dx x f k dx x f k x f k aaa )()()()(22112211⎰⎰⎰+∞+∞+∞+=+．性 质 2 若f 在任何有限区间[u a ,)上可积，且有⎰+∞adx x f )(收敛，则⎰+∞adx x f )(亦必收敛，并有⎰⎰+∞+∞≤aadx x f dx x f )()(．证：⎰+∞adx x f )( 由收敛，根据柯西准则(必要性)，任给0>ε，存在G ≥a ，当G u u >>12时，总有⎰⎰≤2121)()(u u u u dx x f dx x f . 利用定积分的绝对值不等式，又有⎰21)(u u dx x f ≤ε<⎰21)(u u dx x f .再由柯西准则(充分性)，证得⎰+∞adx x f )(收敛又因⎰uadx x f )(≤⎰uadx x f )(，令+∞→u 取极限，立刻得到不等式.当⎰+∞adx x f )(收敛时，称⎰+∞adx x f )(为绝对收敛．性质3指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛．但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛．性质3 若f 在任何有限区间[u a ,]上可积，b a <，则⎰+∞adx x f )(与⎰+∞bdx x f )(同敛态(即同时收敛或同时发散)，且有⎰+∞adx x f )(=⎰b adx x f )(+⎰+∞bdx x f )(,性质2相当于定积分的积分区间可加性，由它又可导出⎰+∞adx x f )(收敛的另一充要条件：任给ε>0，存在0≥G ，当u >G 时，总有.)(ε<⎰+∞adx x f ．事实上，这可由⎰⎰⎰+∞+∞+=uaudx x f dx x f dx x f )()()(结合无穷积分的收敛定义而得．三、比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法．由于⎰uadx x f )(关于上限u 是单调递增的，因此⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件是⎰uadx x f )(存在上界．根据这一分析，便立即导出下述比较判别法：定理11.2 (比较法则) 设定义在[+∞,a )上的两个函数f 和g 都在任何有限区间[u a ,]上可积，且满足 则当⎰+∞adx x g )(收敛时dx x f a⎰+∞)(必收敛(或当dx x f a⎰+∞)(发散时，⎰+∞adx x g )(必发散)．例3 讨论dx x x⎰+∞+021sin 的收敛性． 解：由于],0[,111sin 22+∞∈+≤+x x x x ，而2102π=+⎰+∞x dx 为收敛，故dx xx ⎰+∞+021sin 为绝对收敛． 当选用⎰+∞1p xdx作为比较对象⎰+∞a dx x g )(时，比较判别法有如下两个推论(称为柯西判别法)． 推论1 设f 定义于[+∞,a ] (0>a )，且在任何有限区间[u a ,]上可积，则有：(i)当 ),[,1)(+∞∈≤a x xx f p ,且1>p 时, dx x f a ⎰+∞)(收敛; (ii)当),[,1)(+∞∈≥a x xx f p 且1≥p 时, dx x f a ⎰+∞)(发散.推论2 设定义于[+∞,a )，在任何有限区间[u a ,.]上可积，且λ=+∞→)(lim x f xpx ．则有：(i)当 +∞<≤>λ0,1p 时, dx x f a⎰+∞)(收敛; (ii)当 +∞≤<≤λ0,1p 时,dx x f a⎰+∞)(发散.推论3 若f 和g 都在任何[u a ,)上可积，0)(>x g ，且,)()(lim c x g x f x =+∞→则有(i)当+∞<≤c 0时，由⎰+∞adx x g )(收敛可推知dx x f a ⎰+∞)(也收敛； (ii)当+∞≤<c 0时，由⎰+∞adx x g )(发散可推知dx x f a⎰+∞)(也发散.四、狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法． 定理11.3 (狄利克雷判别法) 若⎰=uadx x f u F )()(在[+∞,a )上有界，)(x g 在[+∞,a )上当+∞→x 时单调趋于0，则无穷积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛．定理11.4 (阿贝尔(Abel)判别法) 若⎰+∞adx x f )(收敛，)(x g 在[+∞,a )上单调有界，则无穷积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛．用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法． 例5 讨论dx x xp ⎰+∞1sin 与)0(cos 1>⎰+∞p dx xx p 的收敛性． 解：这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论．下面分两种情形来讨论： (i)当p >1时dx x xp ⎰+∞1sin 绝对收敛．这是因为),,[,1sin +∞∈≤a x x x x p p 而⎰+∞1p xdx 当p >1时收敛，故由比较法则推知dx x xp⎰∞+1sin 收敛. (ii)当10≤<p 时dx x x p ⎰+∞1sin 条件收敛．这是因为对任意u ≥1，有2co s 1co s si n 1≤-=⎰u x d x u ，而p x 1当0>p 时单调趋于)(0+∞→x ，故由狄利克雷判别法推知dx x xp ⎰+∞1sin 工当0>p 时总是收敛的． 另一方面，由于),1[,22cos 21sin sin 2+∞∈-=≥x x x x x x x x p ，其中dt ttdx x x ⎰⎰+∞+∞=21cos 2122cos 是收敛的，而⎰+∞12xdx是发散的，因此当10≤<p 时该无穷积分不是绝对收敛的．所以它是条件收敛的． 例6 证明下列无穷积分都是条件收敛的．,sin 12⎰+∞dx x ,cos 12⎰+∞dx xdx x x ⎰+∞14sin证：前两个无穷积分经换元2x t =得到,2sin sin 112dt tt dx x ⎰⎰+∞+∞=.2cos cos 112dt tt dx x ⎰⎰+∞+∞=由例5知它们是条件收敛的．对于第三个无穷积分，经换元2x t =而得⎰⎰+∞+∞=1214sin 21sin dt t dx x x ，它也是条件收敛的．从例6中三个无穷积分的收敛性可以看到，当+∞→x 时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍有可能收敛．八、学习评价本节成功向学生讲解了两种定积分的推广即反常积分，尤其对无穷反常积分进行介绍，并对其敛散性及审敛性附带介绍。

无穷积分的敛散性与被积函数极限关系的讨论摘要无穷积分是在正常的黎曼积分的意义下进行的对于无界积分区域的推广，是黎曼积分的拓展，其中最重要的内容是无穷积分的收敛性问题，然而无穷积分的收敛性与被积函数在无穷远处的极限有着千丝万缕的关系，无穷积分收敛不能推出被积函数在无穷远处存在极限，同样被积函数在无穷远处存在极限，也不能推出无穷积分收敛，本文主要讨论的就是两者之间的内在联系，对两者关系进行一种总结和推广，也对于无穷积分收敛时的一些性质进行了总结，同时也得到一些关于含参数无穷积分的极限问题的结论．关键词：无穷积分被积函数极限收敛ABSTRACTThe infinite integral is the generalization of Riemann integral in the integral region. The integral interval of infinite integrals is unbounded. As the expansion of Riemann integral, the most important content of infinite integrals is the convergence problem. The convergence of infinite integrals is closely related to the limit of integrand at infinity. But, infinite integral convergence can not illustrate that the limit of integrand at infinity exists.At the same time, the limit of integrand at infinity exists can not testify the convergence of infinite integrals.This paper mainly discusses the inner link between infinite integral and summarizes the relationship between them. Meanwhile,I also summarize some properties of the infinite integrals when they converge, prove some conclusions about the problem of the limit of infinite integrals with parameters.Key words : infinite integrals integrand limit Convergence目录引言 (IV)1.预备知识 (3)2.无穷积分收敛时，被积函数收敛性情况的分析 (6)2.1被积函数在无穷远处可能发散 (6)2.2可使被积函数收敛的充分条件 (9)2.3关于被积函数收敛性的推广 (13)2.4关于被积函数其他的几个结论 (16)2.5无穷积分收敛时，几个其他的结论 (19)3.被积函数收敛时，无穷积分的收敛性分析 (24)4.含参数无穷积分的收敛性讨论 (27)5.总结与展望 (36)参考文献 (37)致谢词 (38)附录一 (39)附录二 (52)引言在积分学中，定积分⎰ba dx x f )(的积分区间是有界区间],[b a ，根据黎曼积分的定义，是把积分区间分割，在每一小段区间上求和，之后求出所有小段上积分和的极限，如果极限存在，则称函数)(x f 在],[b a 上可积．然而许多实际问题和理论问题所涉及到的却不都是在正常意义下的积分，而是反常积分．在反常积分的范畴内，又分为两种，第一种是被积函数可能在某些点处无穷大，我们称之为瑕点，这类积分称为瑕积分．另一类反常积分是积分区间无界，我们称这样的反常积分为无穷积分．无穷积分更具有代表性和直观性，同时也具有很多的应用，比如关于航天宇航问题等工程问题、数学学科本身发展相关的无穷限问题等等．因此，对无穷区间上积分的研究是具有实际意义的．在无穷限反常积分中,我们更关心的是其敛散性的判别以及在收敛时所具有的性质．无穷积分敛散性的证明是求解积分值的前提，对于求解无穷积分的积分值至关重要，那么什么样函数的无穷积分收敛，就成为我们关心的重点．反过来，无穷积分收敛时所具有的性质是我们关心的问题，其中被积函数在无穷远处的极限也是本文讨论的重点问题之一.所以，本文重点讨论无穷积分⎰+∞adx x f )(的收敛性与被积函数)(x f 在无穷远处极限的关系．同时对于一些其他的附带结论给予证明．我们知道，无穷限反常积分和数项级数两者之间有很多结论是相似的，当正项级数收敛时，其通项是收敛于零的．那么在无穷限反常积分里是不是也有相似的结论呢？首先我们要了解无穷限反常积分⎰+∞adx x f )(收敛时的几何意义：若)(x f 是),[+∞a 上的非负连续函数,则⎰+∞adx x f )(是介于曲线)(x f y =，直线x a =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域的面积．从而可知，⎰+∞adx x f )(实际上是表示曲线)(x f y =与坐标轴所围成的面积的代数和．那么当⎰+∞adx x f )(收敛时，是否)(x f 在无穷远处的极限一定为零，如果回答否定，那么被积函数满足什么样的条件，才能保证被积函数的极限是趋于零的，同时又能有那些结论可以延伸推广．如果)(x f 在无穷远处的极限为零，是否可以推出⎰+∞adx x f )(收敛，或者对函数)(x f 加上怎样的约束可以推出一些相关结论，这些问题都是本文讨论的重点．本文首先对后续讨论所要用到的基本知识进行了总结和罗列．之后的第二部分，通过举例说明了⎰+∞adx x f )(收敛不是0)(lim =+∞→x f x 的充分条件，然后对可使0)(lim =+∞→x f x 的充分条件进行推证和总结，之后讨论了一些更深层的关系，并且也进行了一些推广．文章第三部分说明了)(x f 在无穷远处收敛同样不是⎰+∞adx x f )(的充分条件，然后推证了此时无穷积分具有的一些性质．文章最后一部分对于含参数无穷积分极限问题进行了一些讨论．1.预备知识关于无穷积分的收敛性和与被积函数在无穷远处极限的关系的讨论，需要一些相关的基础知识，为了方便起见，罗列如下：定义1 (函数极限的定义) 设)(x f 定义在),[+∞a 上的函数，A 为常数数．若对于任给的0>ε，存在正数a M >，使得M x >时有ε<-A x f )(，则称函数)(x f 当+∞→x 时,以A 为极限，记作A x f x =+∞→)(lim ．定义2 (无穷积分收敛的定义) 设函数)(x f 定义在无穷区间),[+∞a 上，且在任何有限区间],[u a 上可积，如果存在极限J dx x f uau =⎰+∞→)(lim，则称极限J 为函数)(x f 在),[+∞a 上的无穷限反常积分(简称无穷积分)，记作⎰+∞=adx x f J )(，并称⎰+∞adx x f )(收敛．定义3 (一致连续性的定义) 设)(x f 为定义在区间I 上的函数．若对于任给的0>ε，存在0>δ，使得对任意I x x ∈''',，只要δ<''-'x x ，就有ε<''-')()(x f x f ，则称)(x f 在区间I 上一致连续．定义4 (绝对收敛的定义) 设函数)(x f 在任何有限区间],[u a 上可积,且⎰+∞adx x f )(收敛,则称⎰+∞adx x f )(为绝对收敛.定理1 (海涅定理) 设)(x f 在);(0δx U o 上有定义，)(lim 0x f x x →存在的充分必要条件是：对于任何含于);(0δx U o 且以0x 为极限的数列}{n x ，极限)(lim 0n x x x f →都存在且相等．定理2 (迫敛性) 设A x g x f x x ==+∞→+∞→)(lim )(lim ,且0>∃M ，使得当M x >时，有)()()(x g x h x f ≤≤,则A x h x =+∞→)(lim .定理3 (拉格朗日中值定理) 若函数)(x f 满足如下条件： (i))(x f 在闭区间],[b a 上连续；(ii))(x f 在开区间),(b a 上可导， 则在),(b a 上至少存在一点ξ，使得ab a f b f x f --=')()()(．定理4 (积分第一中值定理) 若)(x f 在],[b a 上连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得))(()(a b f dx x f ba-=⎰ξ.推广形式：若)(x f ，)(x g 在],[b a 上连续，且)(x g 在],[b a 上不变号，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得⎰⎰=babadx x g f dx x g x f )()()()(ξ．定理5 (积分第二中值定理) 设函数)(x f 在],[b a 上可积，若)(x g 为单调函数，则存在],[b a ∈ξ，使得⎰⎰⎰+=babadx x f b g dx x f a g dx x g x f ξξ)()()()()()(．定理6 (反常积分的分部积分定理) 如果],[,)1(+∞∈a C g f ，且存在极限))((lim x g f x ⋅+∞→，则函数g f '⋅和g f ⋅'在区间],[+∞a 上在反常积分意义下同时可积或者不可积，且当它们可积时成立⎰⎰+∞+∞+∞⋅'-⋅='⋅aa adx x g f x g f dx x g f ))(())(()()(，其中))(())((lim ))((a g f x g f x g f x a ⋅-⋅=⋅+∞→+∞．定理7 若)(x f 在任何有限区间],[u a 上可积，b a <则，⎰+∞adx x f )(与⎰+∞bdx x f )(同敛态．且有⎰⎰⎰+∞+∞+=bb aadx x f dx x f dx x f )()()(．定理8 (无穷积分收敛比较原则) 设定义在),[+∞a 上的两个非负函数)(x f 和)(x g 都在任何有限区间],[u a 上可积，且满足)()(x g x f ≤，),[+∞∈a x ，则当⎰+∞adx x g )(收敛时，⎰+∞adx x f )(必定收敛(或者当⎰+∞adx x f )(发散时，⎰+∞adx x g )(必发散)．定理9 (狄利克雷判别法) 若dx x f u F ua ⎰=)()(在),[+∞a 上有界，)(x g 在),[+∞a 上当+∞→x 时单调趋于0，则dx x g x f a⎰+∞)()(收敛．2.无穷积分收敛时，被积函数收敛性情况的分析无穷积分收敛时，被积函数是否收敛，如果收敛则极限值是多少，如果不收敛，需要加什么条件即对函数有怎样的限制才能得到被积函数在无穷远处收敛．这两个问题是我们关心的，也能体现出被积函数的一些性态．2.1被积函数在无穷远处可能发散当无穷积分dx x f ⎰+∞1)(收敛时，如果我们假设被积函数)(x f 在无穷远处收敛，会有下面的命题成立． 命题1 若dx x f ⎰+∞1)(收敛且b x f x =+∞→)(lim 存在，则0=b ．证明：用反证法．若0≠b ，不妨设0>b ，则由b x f x =+∞→)(lim根据极限的局部保号性，取2b=ε，0>∃M ，当M x >时，由极限的保号性，有2)(b b x f <-， 所以有2)(b x f >， 又⎰⎰⎰+∞+∞+=MMdx x f dx x f dx x f )()()(11．因为dx bM⎰+∞2发散，由比较判别法知dx x f ⎰+∞1)(发散，矛盾，所以0=b ．根据上面的证明可知，此命题的逆否命题为：b x f x =+∞→)(lim 存在，若0≠b ，则dx x f ⎰+∞1)(发散．下面我们说明当无穷积分dx x f ⎰+∞1)(收敛时，不能推出0)(lim =+∞→x f x ．为此，可以取被积函数为2sin )(x x f =，则无穷积分为dx x ⎰+∞12sin ，换元2x t =，得到dt ttdx x ⎰⎰+∞+∞=1122sin sin ， 由狄利克雷判别法容易知其为收敛的．但是显然2sin )(x x f =当+∞→x 时在[]1,1-之间摆动．也就是0)(lim ≠+∞→x f x ．这样的例子还有很多，在此就不赘述了，但是如果我们假设无穷积分dx x f ⎰+∞1)(收敛，同时我们要求被积函数具有某些较好的性质时，也不能保证被积函数在无穷远处收敛．下面分情况举例说明．(1)dx x f ⎰+∞1)(收敛，且0)(≥x f 不能保证0)(lim =+∞→x f x ．例如：我们取函数⎪⎩⎪⎨⎧=∉=++N x N x x x f ,1,1)(2　其中+N 是正整数集合．这样显然∑⎰⎰+∞=+∞+==1111)()(n n ndx x f dx x f ，然而0)(lim ≠+∞→x f x ．类似的如果取⎪⎩⎪⎨⎧=∉+=++N x N x x x f ,1,11)(2 也有dx x f ⎰+∞1)(收敛，但0)(lim ≠+∞→x f x ．(2)dx x f ⎰+∞1)(收敛，且0)(≥x f ，),0[)(+∞∈C x f 不能保证0)(lim =+∞→x f x ．我们可以取“等高渐瘦三角形”，函数表达式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+∈-∈+===其余，或者当直线段，当，时，当，0],21[],21[,2101)(n n x n n x n x n x x f n n n 函数图像如图一．图一其中S 表示每一个三角形的面积． 显然这时121)(11==∑⎰+∞=∞+n n dx x f ，同时也有0)(lim ≠+∞→x f x ．(3)dx x f ⎰+∞1)(收敛，且0)(>x f ，),0[)(+∞∈C x f 不能保证0)(lim =+∞→x f x ．这时，我们可以取被积函数为)}(),(max{)(x h x g x f =，其中21)(x x g =，)(x h 也为“等高渐瘦三角形”（与上例一样）．)(x g ，)(x h 图像如图二图二这样显然)(x f 连续，所以)(x f 可积，且dx x f ⎰+∞1)(收敛，同时0)(lim ≠+∞→x f x ．上述几个例子都说明从dx x f ⎰+∞1)(收敛，是不能推导出)(x f 在无穷远处收敛的．2.2可使被积函数收敛的充分条件如果dx x f ⎰+∞1)(收敛，同时对于)(x f 加以一定的限制，可以推出0)(lim =+∞→x f x ．首先我们限制)(x f 在),1[+∞单调，得到如下命题．命题2 若)(x f 在),1[+∞单调，且dx x f ⎰+∞1)(收敛，则0)(lim =+∞→x f x ．证明：不妨设)(x f 单调递减，则0)(≥x f ，否则),1[1+∞⊂∃x ，使得0)(1<x f ，则当1x x >时，0)()(1<≤x f x f ，又dx x f dx x f dx x f x x ⎰⎰⎰+∞+∞+=11)()()(11，因为dx x f x ⎰+∞1)(发散，所以dx x f ⎰+∞1)(发散，与条件矛盾，从而0)(≥x f ．又因为dx x f ⎰+∞1)(收敛，根据柯西准则，对0>∀ε，1>∃M ，当M x>2时，有2)(2ε<⎰dt t f xx 即2)(2ε<⎰dt t f xx，于是ε⎰⎰≤≤=≤xx x x dt t f dt x f x xf 22)(2)(2)(0 (1)所以ε<)(x xf ，从而xx f ε<≤)(0，所以0)(lim =+∞→x f x ．对于)(x f 单调递增的情况可以相似的证明． 命题3 若)(x f 在),1[+∞一致连续，且dx x f ⎰+∞1)(收敛，则0)(lim =+∞→x f x ．证明：因为)(x f 在),1[+∞一致连续，所以ε∀，0>∃δ（不妨设εδ<），使得对任意),1[,21+∞∈x x ，当δ<-21x x 时，有2)()(21ε<-x f x f ，又因dx x f ⎰+∞1)(收敛，所以存在1>M ，使得M x x >21,，有2)(221δ<⎰dt x f x x ，对任意2δ+>M x ，取2,221δδ+=-=x x x x ，则 ⎰⎰⎰+-=212121)()()()(x x x x x x dtt f dt t f dt x f x f δ22)()()(22121δεδ+<+-≤⎰⎰x x x x dt t f dt t f x f ，从而εδε<+<22)(x f ，所以0)(lim =+∞→x f x ．进一步的，如果我们要求)(x f 条件更强，比如)(x f 在),1[+∞有有界导数，可以得到一个更实用的结论．命题4 若)(x f 在),1[+∞有有界导数，且dx x f ⎰+∞1)(收敛，则0)(lim =+∞→x f x ．证明：因为)(x f 在),1[+∞有有界导数，不妨设0>∃M ，使得M x f <')(，由拉格朗日中值定理知，有y x M y f x f -<-)()(，于是对0>∀ε，取Mεδ=，于是当δ<-y x ，有ε<-)()(y f x f ，从而)(x f 在),1[+∞一致连续，根据命题3可以得到0)(lim =+∞→x f x ．如果考虑与被积函数导数的有关条件，可以得到下述命题． 命题5 若)(x f 在),1[+∞连续可微，且dx x f ⎰+∞1)(、dx x f ⎰+∞'1)(收敛，则0)(lim =+∞→x f x ．证明：因为dx x f ⎰+∞'1)(收敛，根据柯西准则，0>∀ε，1>∃M ，对任意M x x >21,，恒有ε<-='⎰)()()(1221x f x f dx x f x x ，如此，对于+∞→∀}{n x ，1>∃N ，使得当N m n >,时，有M x x m n >,，从而ε<-='⎰)()()(n m x x x f x f dx x f mn这说明)}({n x f 收敛，根据海涅定理得到A x f x =+∞→)(lim ，A 为任意实数，又根据命题1可知0=A ，即0)(lim =+∞→x f x ．对于本命题，其条件还可以减弱为：)(x f 在),1[+∞可导，且dx x f ⎰+∞1)(、dx x f ⎰+∞'1)(收敛，这样同样可以得到0)(lim =+∞→x f x ，这样的结论．证明：根据无穷积分的定义，设)]1()([lim )(lim )(11f u f dx x f dx x f A u uu -='='=+∞→+∞→+∞⎰⎰，因为dx x f ⎰+∞'1)(收敛，根据等式，所以)(lim u f u +∞→收敛，而据命题1，所以0)(lim =+∞→x f x ．当假设被积函数平方收敛，则有：命题6 设)(x f 在),0[+∞上连续可微，并且⎰+∞2)(dx x f 收敛，如果C x f ≤')(（0>x 时），其中C 为常数，则0)(lim =+∞→x f x ．证明：运用反证法，假设0)(lim ≠+∞→x f x ，则0>∃ε，使得0>∀M ，总有M x M >时，ε≥)(M x f ．因为设)(x f 在),0[+∞上连续可微，且C x f ≤')(，故)(x f 在),0[+∞上一致连续．于是对上述ε，0>∃δ，使得当),0[,+∞∈'''x x ，δ<''-'x x 时2)()(ε<''-'x f x f ．又因为⎰+∞2)(dx x f 收敛．01>∃δ，当121,δ>x x 时，4)(212εδ<⎰x x dx x f ．取},max{1M δ=∆，存在0x ，当),()2,2(00+∞∆⊂+-δδx x 时ε≥)(0x f 且当)2,2(00δδ+-∈x x x 时，2)()(0ε<-x f x f ，于是22)()()()()()()(0000εεε=-≥--≥-+=x f x f x f x f x f x f x f ，所以4)(2ε≥x f ，从而4)(22200εδδδ≥⎰+-dx x f x x ，然而这与4)(212εδ<⎰x x dx x f 矛盾，即0)(lim =+∞→x f x 成立．2.3关于被积函数收敛性的推广当无穷积分dx x f ⎰+∞1)(收敛时，对于被积函数还有其他一些更为深层次的结论，可以进一步体现无穷积分与被积函数之间的关系．首先，我们考虑无穷积分收敛时，被积函数收敛的阶数问题，有如下命题．命题7 设)(x f 在),1[+∞单调下降，若dx x f ⎰+∞1)(收敛，则0)(lim =+∞→x xf x ．更一般的有，若dx x f x p ⎰+∞1)(收敛，则0)(lim 1=++∞→x f x p x证明：根据命题2知，)(x f 单调递减趋于零，同时根据命题2中的(1)式知ε<≤)(0x xf ，从而当令+∞→x ，有0)(lim =+∞→x xf x ．对于更一般的情况，我们可以分情况考虑．当1-=p 时，即dx xx f ⎰+∞1)(收敛，因为)(x f 单调递减趋于零，令xx f x g )()(=所以)(x g 也是单调递减趋于零，且有 dx x x f dx x g ⎰⎰+∞+∞=11)()(，根据命题2所以有0)(lim )(lim ==+∞→+∞→x f x xg x x ．当1-≠p 时，由dx x f x p ⎰+∞1)(收敛，根据柯西准则，0>∀ε，1>∃M ，当M x>2时有 ε<⎰dt t f t xx p 2)(，于是dt x f t dt t f t xx p xx p ⎰⎰>>22)()(ε11122)1()2()()(++++-==⎰p p p xx pp x x x f dt t x f解得ε122)1()(0111-+<<+++p p p p x f x， 当p 已知时，122)1(11-+++p p p 为常数，从而 0)(lim 1=++∞→x f x p x ．综上所述，对任意p ，若dx x f x p ⎰+∞1)(收敛，则0)(lim 1=++∞→x f x p x ．命题8 若)(x xf 在),1[+∞单调下降，若dx x f ⎰+∞1)(收敛，则0ln )(lim =+∞→x x xf x ．证明：由dx x f ⎰+∞1)(收敛知，所以0>∀ε，1>∃M ，使得当M x >时，有⎰<xxdt t f 2)(ε．又因为)(x xf 在),1[+∞单调下降，所以0ln )(1)(2)(2)(2)(2>=>>=>⎰⎰⎰⎰x x xf dt t x xf dt tx xf dt t t tf dt t f x x x x xx x xε 从而得到0ln )(lim =+∞→x x xf x ．推论1 若)(x xf 在),1[+∞单调下降，若dx xx f ⎰+∞1ln )(收敛，则0ln ln )(lim =+∞→x x xf x ．证明：可以与命题8平行的证明，若dx xx f ⎰+∞1ln )(收敛，则0>∀ε，e M >∃1，取xex ln 1=显然1x x >，使得当11M x x >>时有ε<⎰dx xx f xx 1ln )(， 所以⎰⎰⎰⎰>>=>x x x x x x xx dttt x xf dt t t x xf dt t t t tf dt t t f 1111ln 1)(2ln )(2ln )(2ln )(2ε0ln ln )()ln ln ln )(ln (21>=-=x x xf x x x xf所以0ln ln )(lim =+∞→x x xf x命题得证．根据命题8和推论1的证明，容易得到如下推论：推论2 若数列{}n na 为正的单调递减数列，且∑+∞=1n n a 收敛，则0ln lim =+∞→n na n n ；若数列{}n na 为正的单调递减数列，且∑+∞=1ln n nna 收敛，则0ln ln lim =+∞→n na n n ．2.4关于被积函数其他的几个结论前面我们已经举例说明了当无穷积分dx x f ⎰+∞1)(收敛时，不能推出0)(lim =+∞→x f x ．但是我们可以设想在区间),1[+∞上是不是存在数列}{n x 趋向于无穷，同时可以保证0)(lim =+∞→n n x f ，答案是肯定的．命题9 设)(x f 在),0[+∞上连续，且dx x f ⎰+∞)(收敛，则存在}{n x 同时满足+∞=+∞→n n x lim ，0)(lim =+∞→n n x f ．证明：由于dx x f ⎰+∞)(收敛，根据柯西准则，0>∀ε，0>∃M ，当Mn >时，⎰+<1)(n ndx x f ε，再根据积分第一中值定理]1,[+∈∃n n n ξ，使得⎰+=1)()(n nn dx x f f ξ，取n n x ξ=，所以当+∞→n 时，+∞→=n n x ξ，且εξ<==⎰+1)()()(n nn n dx x f f x f ，即+∞=+∞→n n x lim ，0)(lim =+∞→n n x f ．我们不但可以保证0)(lim =+∞→n n x f ，当)(x f 可导时，还可以保证存在数列}{n x 使得0)(lim ='+∞→n n x f ．命题10 设)(x f 在),0[+∞上可导，且dx x f ⎰+∞0)(收敛，则存在}{n x 同时满足+∞=+∞→n n x lim ，0)(lim ='+∞→n n x f ．证明：当)(x f 在),0[+∞上可导时，根据命题9中构造的}{n ξ和拉格朗日微分中值定理，),(2+∈∃n n n ξξη，使得nn n n n f f f ξξξξη--='++22)()()(，同时312≤-≤+n n ξξ，根据命题9得0)(lim =+∞→n n f ξ，根据柯西准则0,011>∃>∀M ε，当1M n >时，12)()(εξξ<-+n n f f ，所以122)()()(εξξξξη<--='++nn n n n f f f ．所以取n n x η=，就有+∞=+∞→n n x lim ，0)(lim ='+∞→n n x f ．如果)(x f 在),0[+∞上p 阶可导(p 是正整数)，我们有如下推论：推论：若)(x f 在),0[+∞上p 阶可导且dx x f ⎰+∞0)(收敛，则存在}{n x 同时满足+∞=+∞→n n x lim ，0)(lim )(=+∞→n p n x f ，其中p 是正整数．证明：用归纳法证明．当1=p 时，根据命题9，有0)(lim ='+∞→n n x f ．假设1-p 也成立，即有，0)(lim )1(=-+∞→n p n y f ．当)(x f 在),0[+∞上p 阶可导，根据假设0)(lim )1(=-+∞→n p n y f ，取又根据命题9，有0)(lim =+∞→n n y f ，所以对于)}({n y f ，选取子列)}({n f ω满足311<-<+n n ωω，同时)}({n f ω作为)}({n y f 的子列，所以ε'∀，M '∃，使得当M n n '>+1,ωω，同时有εωω'<--+-)()()1(1)1(n p n p f f于是根据拉格朗日微分中值定理，得()εωωωω'<--=+-+-nn n p n p n p f f z f1)1(1)1()()()(所以取n n z x =，就有+∞=+∞→n n x lim ，0)(lim )(=+∞→n p n x f ．综上所述，对于任意正整数p ，若)(x f 在),0[+∞上p 阶可导，则存在}{n x 同时满足+∞=+∞→n n x lim ，0)(lim )(=+∞→n p n x f ．当考虑两个无穷积分发散的函数时，我们会很自然想到，是不是可以从这两个函数中构造出无穷积分收敛的函数呢？这里给出一例．设)(x f ，)(x g 是),1[+∞非负单调递减函数，且dx x f ⎰+∞1)(和dx x g ⎰+∞1)(都发散．设)}(),(min{)(x g x f x h =，dx x h ⎰+∞1)(不一定发散．我们可以考虑阶梯函数)(x f ，)(x g ．函数表达式为：∑∞=++=0222)](,[)!32(1)(n n n x S S n x f χ，∑∞=+++=03212)](,[)!42(1)(n n n x S S n x g χ，其中∑==nk n k S 0!，⎩⎨⎧∈∉=],[,1],[,0)](,[b a x b a x x b a χ，于是∑⎰∑∞=∞+∞=+=++++=000221)!32()!22()!12()(n n n n n n dx x f ，∑⎰∑∞=∞+∞=+=++++=00321)!42()!32()!22()(n n n n n n dx x g ， 从而可知dx x f ⎰+∞1)(和dx x g ⎰+∞1)(都发散，然而 ==)}(),(min{)(x g x f x h ∑∞=++01)](,[)!3(1n n n x S S n χ且∑⎰∑∞=∞+∞=++=++=000)3)(2(1)!3()!1()(n n n n n n dx x h 是收敛．进而dx x h ⎰+∞1)(收敛．2.5无穷积分收敛时，几个其他的结论给出当本节dx x f ⎰+∞1)(收敛时的其他几个结论，这些结论对于被积函数的性态也有一定体现．首先我们说无穷积分dx x f ⎰+∞1)(收敛不能推出dx x f ⎰+∞12)(收敛．这种例子很多，比如取dx xx⎰+∞121sin ，由狄利克雷判别法知其收敛，但是 dx xx dx x dx x x⎰⎰⎰∞+∞+∞+-=111222cos 21sin ，同样由狄利克雷判别法知⎰+∞122cos dx xx 收敛，但是dx x ⎰+∞121发散，所以dx xx⎰∞+12sin 发散． 这里，需要指出dx x f ⎰+∞12)(收敛，也不能推出dx x f ⎰+∞1)(．取xx f 1)(=，则dx x f ⎰+∞12)(，但dx x f ⎰+∞1)(发散．更一般的，取15.0,1)(<<=p xx g p 都有dx x g ⎰+∞12)(，但dx x g ⎰+∞1)(发散．下面，给出几个命题，进一步给出当dx x f ⎰+∞1)(收敛时可以得到的结论．命题11 若dx x f ⎰+∞1)(收敛，且连续0)(≥x f ，则0)(1l i m 1=⎰+∞→dx x xf nnn ． 证明：由于dx x f ⎰+∞1)(收敛，0>∀ε，1>∃M ，使得⎰+∞<<Mdx x f 2)(0ε．对于固定的M ，有)(0)(11+∞→→⎰n dx x xf n M， 从而M N >∃，当N n >时2)(101ε<<⎰M dx x xf n ．于是⎰⎰⎰+=<nMM n dx x xf n dx x xf n dx x xf n )(1)(1)(1011⎰⎰+≤n MMdx x f n xdx x xf n )()(11⎰⎰+≤n M Mdx x f nxdx x xf n )()(11⎰⎰+≤n M M dx x f dx x xf n )()(11εεε=+≤22所以得到0)(1lim1=⎰+∞→nx x xf n ． 命题12 设)(x f 在),1[+∞单调下降、可导，)(x f '可积，若dx x f ⎰+∞1)(收敛，则dx x f x ⎰+∞'1)(收敛．证明：根据无穷积分定义，='⎰+∞dx x f x 1)(dx x f x AA ⎰'+∞→1)(lim，对1>∀A ，有dx x f x xf x df x dx x f x AAAA⎰⎰⎰-=='1111)(|)()()( (1)令+∞→A ，有dx x f x xf x df x dx x f x A A ⎰⎰⎰+∞+∞→+∞+∞-=='1111)(|)(lim )()(已知dx x f ⎰+∞1)(收敛，故dx x f x ⎰+∞'1)(是否收敛取决于)(lim A Af A +∞→是否存在，又)(x f 在),1[+∞单调下降，而根据命题7可知0)(lim =+∞→x xf x ，从而dx x f x ⎰+∞'1)(收敛．如果条件)(x f '可积改为)(x f 连续可微，那么dx x f ⎰+∞1)(⇔dx x f x ⎰+∞'1)(．证明：dx x f ⎰+∞1)(⇒dx x f x ⎰+∞'1)(根据命题12显然．dx x f ⎰+∞1)(⇐dx x f x ⎰+∞'1)(，因为dx x f x ⎰+∞'1)(收敛，0>∀ε，1>∃M ，当M x A >>时，有ε<'⎰dt t f t Ax)(，由于0)(≤'x f ，由积分第一中值定理的推广形式知，],[A x ∈∃ξ使得))()(()()(x f A f dt t f dt t f t AxAx-='='⎰⎰ξξ于是εξ<-≤-≤)()()()(0x f A f x f A f x ，可见ε<-≤)()(0x f A f x ，令+∞→A ，由0)(lim =+∞→A f A ，知)(,)()(M x x f x x xf ><=ε，所以0)(lim =+∞→x xf x ，由(1)式，可知dx x f AA⎰+∞→1)(lim 收敛，即dx x f ⎰+∞1)(收敛．命题13dx x f ⎰+∞1)(绝对收敛，则dx x f }0,)(max{1⎰+∞和dx x f }0,)(min{1⎰+∞都收敛；dx x f ⎰+∞1)(条件收敛，则dx x f }0,)(max{1⎰+∞和dx x f }0,)(min{1⎰+∞都发散．证明：dx x f ⎰+∞1)(绝对收敛，即dx x f ⎰+∞1)(收敛，又}0),(max{x f ，}0),(min{x f -非负，同时)(}0),(max{x f x f ≤，)(}0),(min{x f x f ≤-，根据比较原则知道dx x f }0,)(max{1⎰+∞，dx x f }0,)(min{1⎰+∞收敛．当dx x f ⎰+∞1)(条件收敛时，有))()((21)0)(0)((21}0),(max{x f x f x f x f x f +=-++=))()((21)0)(0)((21}0),(min{x f x f x f x f x f -=--+=所以⎰⎰∞+∞++=112)()(}0,)(max{dx x f x f dx x f ，⎰⎰∞+∞+-=112)()(}0,)(min{dx x f x f dx x f ，从而dx x f ⎰+∞1)(收敛，而dx x f ⎰+∞1)(发散，故dx x f }0,)(max{1⎰+∞和dx x f }0,)(min{1⎰+∞都发散．3.被积函数收敛时，无穷积分的收敛性分析上面，主要讨论的是当无穷积分收敛时，被积函数在无穷点处收敛的相关问题，这一章则主要讨论当被积函数在无穷远处极限存在的条件下，无穷积分会有怎样的性质．首先，我们需要说明一点，当0)(lim =+∞→x f x 时，不能得到dx x f ⎰+∞1)(收敛．这样的例子太多了，我们这里取xx f 1)(=就可以保证0)(lim =+∞→x f x ，但dx x f ⎰+∞1)(发散．更一般的，当)(1~)(+∞→x xx f p ，10≤<p ，都是满足条件的．当0)(lim =+∞→x f x ，可以得到关于无穷积分的结论并不多，但是也并不是没有结论可以得到，这里给出两个命题．命题14 设)(x f 在任何有限区间],[b a 上可积，并且A x f x =+∞→)(lim ，B x f x =-∞→)(lim ，则对每一个实数0>a ，dx x f a x f )]()([-+⎰+∞∞-都存在，其值为a B A )(-．证明：根据无穷积分的定义⎰⎰-+=-+-∞→+∞→+∞∞-βααβdx x f a x f dx x f a x f )]()([lim)]()([,而⎰⎰⎰-+=-+βαβαβαdx x f dx a x f dx x f a x f )()()]()([(令t a x =+)⎰⎰-=++βαβαdx x f dt t f a a)()(⎰⎰-=++βαβαdx x f dx x f aa)()(⎰⎰++-=aadx x f dx x f ααββ)()(⎰⎰++-+--+=aadxB x f B dx A x f A ααββ)])(([)])(([⎰⎰++---+-=aadx B x f dx A x f Ba Aa ααββ))(())((利用已知条件A x f x =+∞→)(lim ，B x f x =-∞→)(lim ，容易知道上式后两项当-∞→α，+∞→β时极限为零，从而)()]()([lim)]()([,B A a dx x f a x f dx x f a x f -=-+=-+⎰⎰-∞→+∞→+∞∞-βααβ．当联系到级数的相关的知识，我们知道级数理论和无穷积分有着千丝万缕的关系，但在这里我们关注dx x f ⎰+∞)(与∑+∞=+→1)(lim n h nh f h 收敛性问题，得到下面结论．命题15设)(x f 在),0[+∞单调下降，且0)(lim =+∞→x f x ，则dx x f ⎰+∞)(与∑+∞=+→1)(lim n h nh f h 敛散性相同，收敛时有=⎰+∞dx x f 0)(∑+∞=+→1)(lim n h nh f h ．证明：由于)(x f 单调下降趋于零，所以对于0>∀h ，有∑+∞=1)(n nh f h ≤≤⎰+∞dx x f 0)(∑+∞=0)(n nh f h关于h 去极限，有∑+∞=+→10)(lim n h nh f h ≤≤⎰+∞dx x f 0)(∑+∞=+→0)(lim n h nh f h所以当∑+∞=+→1)(lim n h nh f h 收敛时，dx x f ⎰+∞)(收敛．反之，⎰⎰-+≤≤nhhn hn nhdx x f nh hf dx x f )1()1()()()(关于n 求和，有⎰⎰∑+=≤≤mhhm hmn dx x f nh hf dx x f 0)1(1)()()(，令0+→h ，+∞→m ，有⎰⎰∑∞+∞++∞=+→≤≤010)()(lim )(dx x f nh hf dx x f n h ．所以，当dx x f ⎰+∞0)(收敛时∑+∞=+→1)(lim n h nh f h 存在，且有=⎰+∞dx x f 0)(∑+∞=+→1)(lim n h nh f h ．利用上述结论，可以计算)2121(lim 222+++++++∞→nt tt t t t ．只需令211)(xx f +=，t h 1=于是 )2121(lim 222 +++++++∞→n t t t t t t ∑+∞=+→+=121)(1lim n h nh h 2arctan 1102π==+=∞++∞⎰x dx x ．4.含参数无穷积分的收敛性讨论在这一章中，我们考虑几个含有参数的无穷积分的收敛性问题．在此也已命题形式给出．命题16 设)(x f 在),0[+∞上连续，且dx x ⎰+∞)(ϕ绝对收敛，则⎰⎰+∞∞→=00)()0()()(lim dx x f dx x nxf nn ϕϕ．证明：⎰⎰∞+-00)()0()()(dx x f dx x nxf nϕϕ⎰⎰∞++-≤n ndxx f dx x f n xf )()0()()]0()([0ϕϕ⎰⎰∞++-≤n ndx x f dx x f nxf )()0()()0()(0ϕϕ因为dx x ⎰+∞0)(ϕ绝对收敛，所以0,01>∃>∀N ε，当2N n >时无论)0(f 是否等于零，都有2)()0(εϕ<⎰+∞nx f ．因为设)(x f 在),0[+∞上连续，根据连续的定义对于任意x ，02>∃N ，使得当2N n >时有Mnf n x f 1)0()(<-， 其中⎰+∞=0)(dx x M ϕ，所以n dx x nM dx x nM dx x f n x f n n n1)(1)(1)()0()(000<=<-⎰⎰⎰ϕϕϕ，所以对上述ε，23N N >∃，当3N n >时，21ε<n ，从而当},max{31N N n >时，有εεεϕϕ<+<-⎰⎰∞+22)()0()()(00dx x f dx x n x f n，从而⎰⎰+∞∞→=00)()0()()(lim dx x f dx x nxf nn ϕϕ．命题17 对],0[)(),,0[b R x f b ∈+∞∈∀，且α=+∞→)(lim x f x ，则α=⎰+∞-+→dx x f e t tx t )(lim 00．证明：首先，10⎰⎰+∞-+∞-==dtx e dx te tx tx ，所以⎰+∞-=0dtx e tx αα，于是⎰⎰+∞-+∞--=-00))(()(dx x f te dx x f et txtxααdx x f te tx ⎰+∞--≤0)(α．因为α=+∞→)(lim x f x ，所以0>∀ε，01>∃δ，当1δ>x 时，有2)(εα<-x f ，取1δ=A ，于是dx x f te dx x f te dx x f te Atx A tx tx ⎰⎰⎰+∞--+∞--+-=-ααα)()()(0dx te dx x f te Atx Atx⎰⎰+∞--++<2))((0εα，因)(x f 在],0[A 可积，从而)(x f 在],0[A 有界，所以0>∃M ，使得M x f ≤+α)(，所以上式2)1(2εε+-=+≤--⎰tA Atx e M dx te M ，因+→0t 时01→--tA e ，所以对上述ε，0>∃δ，使得δ<<t 0时，有2)1(ε<--tA e M ，故εεεα<+<-⎰+∞-22)(0dx x f te tx ．从而α=⎰+∞-+→dx x f e t tx t )(lim 00． 命题18 设)(x f 在),0[+∞上单调有界，且dx x x f ⎰+∞sin )(λ收敛0>λ，则0sin )(lim 0=⎰+∞+∞→dx x x f λλ． 证明：设0>M ，为)(x f 在),0[+∞上的界，由于dx x x f ⎰+∞sin )(λ收敛，所以根据无穷积分的定义，有dx x x f dx x x f uu ⎰⎰+∞→+∞=0sin )(lim sin )(λλ，在区间],0[u 上运用积分第二中值定理，],0[u ∈∃ξ使得dx x u f dx x f dx x x f uu⎰⎰⎰+=ξξλλλsin )(sin )0(sin )(00)sin sin (sin sin 0dx x dx x M dx x dx x Muu ⎰⎰⎰⎰+≤+≤ξξξξλλλλλλλλλλλξξMx d xx d xM u4)sin sin (0<+≤⎰⎰，从而λλλMdx x x f dx x x f uu 4sin )(limsin )(0<=⎰⎰+∞→+∞，所以0sin )(lim 0=⎰+∞+∞→dx x x f λλ． 命题19 设)(x f 是在),0[+∞上单调递减函数，0)(lim =+∞→x f x ，且0sin )(lim 0=⎰+∞+∞→dx nxx f n ，则0)(lim =+∞→x xf x ，并有⎰+∞→=000)sin()(lim dx xt t f x ．证明：首先，根据狄利克雷判别法，得到R x ∈∀，有⎰+∞)sin()(dt xt t f收敛．下记⎰+∞=0)sin()()(dt xt t f x F ，R x ∈∀．由于)(x f 单调下降，⎰+ππ)22(2sin )(k k tdt nt f ⎰+=ππ20sin )2(tdt nt nk f0sin )]22()2([0≥-+-+=⎰ππππtdt nt n nk f nt nk f ， 2,1,0=∀k 从而⎰+∞=0sin )()1(dt n tt f n F ⎰+∞=0sin )(tdt nt nf ∑⎰+∞=+=0)22(2sin )(k k k tdt nt nf ππ⎰≥π20sin )(tdt nt nf ⎰--=ππ0sin )]2()([tdt nt n f nt f n⎰--≥20sin )]2()([ππtdt nt n f nt f n ⎰-≥20sin )]23()2([πππtdt n f n f n 0)]23()2([≥-=ππn f n f n ． 结合条件0)1(lim =+∞→nF n 得0)]23()2([lim =-+∞→ππn f n f n n ， 这样，对0>∀δ，0>∃N ，使得δππ<-)23()2(n f n f n ， 从而对任意N n m >>,0，有)23()23()23()2(0101ππππn nf n f n f n n nf k mk k k +=++-≤≤∑)23(310πδn nf m mk k +=+<∑)23(231πδn nf m ++<， 上式令+∞→m ，由0)(lim =+∞→x f x 得到23)2(0δπ≤≤n nf ，N n >∀． 所以0)2(lim =+∞→πn nf n ． 再利用)(x f 的单调性，当2π>x 时，有)2]2([]2[)(0ππππ⋅⋅≤≤x f xx xf ， 其中][s 表示实数s 的整数部分．于是可得0)(lim =+∞→x xf x ．再证⎰+∞→=000)sin()(lim dx xt t f x ．由上可知)(x xf 在),0[+∞有上界，设为0≥M ，),0(πε∈∀，当0>x 时，有⎰⎰+∞--+∞==≤0110sin )(sin )()(0tdt t x f x xtdt t f x F⎰--≤π11sin )(dt ttt x tf x επεM dt t t t x tf x +≤⎰--sin )(11， 因为0)(lim =+∞→x xf x ，对于)(11t x tf x --，),(πε∈t 中，当+→0x ，有0)(11→--t x tf x ，考虑到ttsin 在),(πε∈t 上有界，所以+→0x 时，可以使得⎰--πεdt ttt x tf x sin )(11 任意小，于是εM x f x ≤≤+→)(lim 00．根据),0(πε∈的任意性，可得0)(lim 0=+→x f x ．进而根据)(x f 是奇函数，推出0)(lim 0=→x f x ．命题20 设)(x f ，)(x g 是),0[+∞上两个非负单调递减函数，且0)]()([lim =++∞→x g x f x x ，则对0>∀ε，有0cos )(lim =⎰+∞+∞→dt t xt xf x ε． 证明：由条件我们只需证明⎰+∞+∞→=20cos )(lim πtdt xt xf x ．由狄利克雷判别法知所考虑的反常积分收敛，⎰∑⎰∞++∞=++=20232cos )(cos )(πππππk k k tdt xt xf tdt xt xf∑⎰+∞=++=0232)cos())((k dt k t k t x xf ππππ⎰∑+∞=+-=232cos ))](()1([πππk k tdt k t x f x故)2(2cos )(cos )(2322xxf dt t xt f x tdt xt xf ππππ≤≤⎰⎰∞+ (1)再由条件即迫敛性即得⎰+∞+∞→=20cos )(lim πtdt xt xf x ．对于上述命题，若进一步有0cos ))()((lim=-⎰+∞+∞→dt ntt g t f n ，则0cos ))()((lim 00=-⎰+∞→dt xt t g t f x ．证明：0cos ))()((lim 00=-⎰+∞→dt xt t g t f x dt t xt g xt f x x ⎰+∞+∞→-=0cos ))()((lim所以要证明原命题，等价于证明dt t xt g xt f x x ⎰+∞+∞→-0cos ))()((lim ．我们先证明对任意20πε≤<，有0cos )])1(()([lim 0=+-⎰+∞→dt t t n f nt f n n ε．事实上，du n uu f du n u t f dt t t n f nt f n n n ⎰⎰⎰++-=+-εεε)1(0001cos )(cos )(cos )])1(()([ du n uu f du n u t f n n du n u t f n n n n ⎰⎰⎰++-+++=εεε)1(0001cos )(cos )(1cos )(11dun uu f du n u n u t f n n du n u t f n n n n n ⎰⎰⎰++-+-+++=εεεε)1(001cos )(]1cos )[cos (1cos )(11n n n I I I 321-+= (2)而⎰⎰≤+=εε001cos )(cos )(11du nu f du nuu f n I n n⎰⎰+=εnnudu nu f udu nu f 110cos )(cos )()(0cos )(1)0(1+∞→→+≤⎰n udu n f n f nε． (3)∑⎰=--++=n k k k ndu nu n u u f n n I 1)1(2)cos 1)(cos (1εε ⎰∑-=-+-+≤εεεk k n k du nu n u k f n n )1(1)cos 1(cos ))1((1。

判断无穷积分收敛的柯西准则虽然很好地刻画了无穷积分的敛散性，但是在实际的运用中并不是很方便。

本文总结了判断无穷积分敛散性的一些常用方法，并给出了相应的例子加以说明。

一、非负无穷积分假设f （x ）是［a ，+∞）上的非负函数，且在任何有限区间［a ，u ］上可积，则根据定积分的性质可知，ua∫f （x ）dx 是关于单调u 递增的，如果它在［a ，+∞）上存在上界，那么+∞a∫f （x ）dx 一定是收敛的。

因此，如果存在定义在［a ，+∞）上的非负函数，使得f （x ）≤g （x ）在［a ，+∞）上恒成立，而且+∞a∫g （x ）dx 是收敛的，那么+∞a∫f（x ）dx 一定也是收敛的。

我们首先讨论一个特殊的非负无穷积分+∞a∫1x pdx （a >0），不难判断，p >1时，+∞a∫1x p dx 收敛；p ≤1时，+∞a ∫1x pdx 发散。

在判断非负无穷积分的收敛性时，经常需要拿被积函数f （x ）与1xp 比较，根据前面的讨论，不难得出下面的结论：如果∀x ∈［a ，+∞）都有0≤f （x ）≤1x p （p >1）成立，则+∞a∫f （x ）dx （a >0）收敛；如果∀x ∈［a ，+∞）都有f （x ）≥1x p （p ≤1）成立，则+∞a∫f （x ）dx（a >0）发散。

在某些情况下，不容易直接比较出被积函数与1x p 的大小，因此还可以对上面的结论加以推广，即如果x →+∞时，f （x ）是1x p（p >1）的同阶、高阶或者是等价无穷小，则+∞a∫f （x ）dx （a >0）收敛；如果x →+∞时，f （x ）是1x p （0<p ≤1）的同阶、低阶或者是等价无穷小，则+∞a∫f （x ）dx （a >0）发散。

例1：判断无穷积分+∞1∫ln （1+x ）xndx （n >1）的敛散性。

解：n >1时，lim x →+∞x 1+1/n ln （1+x ）x n =lim x →+∞ln （1+x ）xn-（1+1/n ）=0，所以x →+∞时，ln （1+x ）xn是x 1+1/n 的高阶无穷小，因此+∞1∫ln （1+x ）xn dx 收敛。

两种反常积分敛散性的判别方法反常积分是指在规定的区间上，被积函数无界，或者积分区间为无穷区间的情况下，计算积分时出现的问题。

判断反常积分的收敛性或发散性是数学分析中的一项重要内容。

下面将介绍两种常见的反常积分的收敛性判别方法。

一、比较判别法比较判别法是反常积分判别方法中最常用的一种方法。

主要思想是通过比较待求反常积分与已知收敛或发散的积分之间的大小关系来判断待求反常积分的收敛性或发散性。

1.比较判别法之比较审敛准则a.比较审敛准则：若对于一个正值函数f(x)及一个非负函数g(x)，在其中一点x0附近有f(x)≤g(x)，则在该点附近函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。

b.比较审敛准则的推广：若对于一个正值函数f(x)及一个非负函数g(x)，在其中一区间上有f(x)≤g(x)，则在该区间上函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。

2.比较判别法之极限审敛准则a. 极限审敛准则：若在其中一点x0附近，存在一个正数A，使得lim[f(x)/g(x)] = A，则在该点附近函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。

b. 极限审敛准则的推广：若在其中一区间上，存在一个正数A，使得lim[f(x)/g(x)] = A，则在该区间上函数f(x)的反常积分收敛则函数g(x)的反常积分也收敛。

比较判别法的优点是简单易用，但需要找到合适的比较函数，有时可能比较困难。

二、绝对收敛性判别法绝对收敛性判别法是反常积分收敛性判别方法中的另一种重要方法。

主要思想是通过研究被积函数的绝对值函数的收敛性来判断原函数的收敛性。

1. 绝对收敛性判别法之Dirichlet判别法a. Dirichlet判别法：若被积函数f(x)在区间[a,b]上满足以下两个条件：i.f(x)在[a,b]上的每个有限区间上是单调函数；ii. f(x)在[a,b]上仅有有限个间断点则f(x)的反常积分在区间[a,b]上绝对收敛。

其中P 为任意常数.
解 当 P 1 时:
d x ln | x |
ax
a
lim ln | x | ln a , x
故 p 1 时，P 积分发散.
当 P 1 时:
d x x1 p
a x 1 p
,
a


a 1 p
若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值
即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积
分发散 .
类似地可定义：
b
b
(1) f (x) d x lim f (x) d x (B b) .

B B

c

(2) f (x) d x f (x) d x f (x) d x
f (x), g(x) R( [a, A] ) , 且满足 g(x) f (x) 0，
则 (1) 当 g(x) d x 收敛时，积分 f (x) d x 也收敛.
a
a
(2) 当 f (x) d x 发散时，积分 g(x) d x 也发散.
a
a
证


c
c
A
lim f (x) d x lim f (x) d x .
B B
A c
若
c
f (x)d x 与
f (x) d x 同时收敛，则称

f
(x)d x
收敛 .

c

若 c f (x) d x 与 f (x) d x 至少有一个发散, 则 f (x) d x 发散 .
实际上, 我们可以将无穷积分的定义式写成下面的形式:

级数敛散性判别方法的归纳（西北师大）摘要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。

关键词：级数；收敛；判别 ；发散一. 级数收敛的概念和基本性质给定一个数列｛n u ｝，形如n u u u +++21①称为无穷级数(常简称级数),用∑∞=1n n u 表示。

无穷级数①的前n 项之和，记为∑==nn n n u s 1=n u u u +++ 21②称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。

若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞=1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。

研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。

定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。

由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。

二 正项级数的收敛判别各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。

也发散．
a
a
证
设 a b ，由 0 f ( x) g( x)及
g( x)dx
a
收敛，得
b
b
f ( x)dx g( x)dx g( x)dx.
a
a
a
即 F (b) b f ( x)dx 在 [a,) 上有上界． a
技术教学
2
由定理１知
f
(
x
)dx
收
敛．
a
如果 0 g( x) f ( x), 且
sin s
４．在 (s) ex xs1dx 中，作代换 x u2， 0
有 (s) 2 eu2 u2s1du. 0
技术教学
18
四、小结
广义积分审敛法
无穷限的广义积分审敛法
无界函数的广义积分审敛法
比较审敛法１ 极限审敛法１ 比较审敛法２ 极限审敛法２
绝对收敛
技术教学
19
练习题
一、判别下列广义积分的收敛性：
证 令 ( x) 1 ( f ( x) f ( x) ).
2
( x) 0，且 ( x) f ( x) , f ( x)dx 收敛, a
(
x
)dx
也收敛.
但 f ( x) 2 ( x) f ( x) ,
a
b
b
b
f ( x)dx 2 ( x)dx f ( x)dx,
a
例４ 判别广义积分 arctan xdx 的收敛性.
1
x
解 lim x arctan x lim arctan x ,
x
x
x
2
根据极限审敛法１，所给广义积分发散．
技术教学
7
定理5 设函数 f ( x) 在区间[a,) 上连续，

目录摘要........................................................................................... (2)引言........................................................................................... . (3)1无穷积分........................................................................................... .. (5)1.1无穷积分的概念........................................................................................... .. (5)1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5)1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6)1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7)2瑕积分........................................................................................... .. (8)2.1瑕积分的定义........................................................................................... . (9)2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10)2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10)2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12)3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13)总结........................................................................................... ......... .. (13)参考文献........................................................................................... ... .. (14)判断反常积分敛散性的方法鹏数学与计算机科学学院摘要：反常积分的收敛性是数学分析中的难点之一，本文介绍了反常积分敛散性的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子，以及绝对收敛和条件收敛的概念等，让读者能够用反常积分的柯西收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、柯西判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷、阿贝尔判别法判别法判别基本的反常积分敛散性，以便更好的掌握反常积分收敛先判断的方法.关键词：无穷积分；瑕积分；敛散性；判别方法On Convergence of The Method of JudgingAbnormal IntegralName of student, School: XiePeng，School of Mathematics & Computer ScienceAbstract: The convergence of improper integrals is one of the difficulties in mathematical analysis.This article describes the definition of convergence and divergence of improper integrals, examples of some important improper integrals convergence and divergence. What's more, it also describes the concept of absolute convergence and conditional convergence, etc., which allows the reader to use the improper integrals of Cauchy convergence of the improper integral of the principle of non-negative function-comparison T ests, the law of Cauchy distinguish the improper integrals, and general function,Dirichlet, Abel Discriminant discriminant method to distinguish the basic improper integral convergence and divergence, in order to grasp of the improper integrals convergence of the first judgment better .Key words : Infinite ；Integral ；Convergence discriminant ；Method of flawintegral1 引言定积分⎰ba dx )x (f 有两个明显的缺陷：其一,积分区间]b ,a [必须是有限区间；其二,若]b ,a [R f ∈,则0M >∃,使得对于任意的]b ,a [x ∈,M )x (f ≤（即有界是可积的必要条件）.这两个缺陷限制了定积分的应用,因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形.也就是在许多和实际中往往不能满足这两个条件.因此，就需要研究无穷区间上或者无界函数的积分问题.而将这两个约束条件取消.便得到定积分的两种形式推广；将函数的积分从积分区间有界扩展到无界的无穷积分和将被积函数有界扩展到无界函数的瑕积分.这两种积分就是通常所说的反常积分.反常积分是伴随者数学的发展而发展起来的近代数学.作为数学的一类基本命题，它是高等数学中的一个重要概念，它的出现为物理学解决许多计算上的难题，也为其他学科的发展起了促进作用，并且在其它学科及科学领域中也有十分广泛的应用.但是，反常积分涉及到一个所谓的收敛性问题.由于反常积分应用的重要性，所以，对反常积分敛散性的判断就显得十分必要了.反常积分的概述：例1（第二宇宙速度问题） 在地球表面垂直发射火箭，要使火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度0v 至少多大？解 设地球半径为R ，火箭质量为m ，地面上的重力加速度为g ，按万有引力定律，在距地心x 处火箭受到的引力为22xmgR )x (F = 于是火箭上升到距地心()R r r >处需作的功为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎰r R mgR dx x mgR rR 11222. 当+∞→r 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功mgR dx x mgR dx x mgR r R r R==⎰⎰+∞→∞+2222lim再由能量守恒定律，可求得初速度0v 至少应使mgR mv =2021 ⇒ ()s km gR v /2.1120≈=. 例2 圆柱形桶的壁高为h ,半径为R ,桶底有一半径为r 的小孔.试问从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？解 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为x h -时，水从小孔里流出的速度为)(2x h g v -= ,其中g 为重力加速度.设在很短一段时间dt ，桶里水面降低的高度为dx ，则有下面关系：dt r v dx R 22ππ=由此得],0[,)(222h x dx x h g rR dt ∈-=所以流完一桶水所需的时间在形式上亦可写成“积分”：⎰-=hf dx x hg rR t 022)(2.但是，被积函数在),0[h 上是无界函数，所以它的确切含义应该是⎰-=-→uh u f dx x h g rR t 022)(2lim()222222lim rR g h u h h r R g hu =--=-→. 相对于以前学习的定积分（正常积分），我们把这里的积分叫做反常积分.1 无穷积分1.1 无穷积分的概念设函数)x (f 在),a [+∞上有定义 .a A ,R A >∈∀ 且 ])A ,a ([R )x (f ∈ ,记, d )(limd )( ⎰⎰+∞→∞+=AaA ax x f x x f称之为)x (f 在),a [+∞上的无穷积分若式中的极限存在，则称此无穷积分收敛，极限值即为无穷积分值；若式中的极限不存在，则称该无穷积分发散 .类似地，可定义f 在(b ,∞-]上的无穷积分：.)(lim)(dx x f dx x f buu b⎰⎰-∞→∞-=对于f 在(+∞∞-,)上的无穷积分，它用前面两种无穷积分来定义：,)()()(dx x f dx x f dx x f a a ⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞+=其中a 为任一实数，当且仅当右边两个无穷积分都收敛时它才是收敛的． 注1 无穷积分⎰∞+∞-dx x f )(的收敛性与收敛时的值,都和实数a 的选取无关.注2 由于无穷积分⎰∞+∞-dx x f )(是由⎰∞+adx x f )(,⎰∞-adx x f )(来定义的,因此,)(x f 在任何有限区间),(],[+∞-∞⊂u v 上,首先必须是可积的.注3dx x f a⎰+∞)(收敛的几何意义是：若f 在],[+∞a 上为非负连续函数，则介于曲线)(x f y =，直线a x =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域有面积J ．由定义知道，无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛与否，取决于积分上限函数=)(u F ⎰uadx x f )(在+∞→u 时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则． 1.2 柯西准则 无穷积分⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件是：任给ε>0，存在G ≥a ，只要G u u >21,，便有ε<=-⎰⎰⎰2121)()()(u u u au adx x f dx x f dx x f ．此外，还可根据函数极限的性质与定积分的性质，导出无穷积分的一些相应性质； 性质1若dx x f a)(1⎰+∞与dx x f a)(2⎰+∞都收敛，1k ,2k 为任意常数，则[]dx x f k x f ka⎰+∞+)()(2211也收敛，且[]dx x f k dx x f k dx x f k x f k aaa )()()()(22112211⎰⎰⎰+∞+∞+∞+=+．性质 2 若f 在任何有限区间[u a ,)上可积，且有⎰+∞adx x f )(收敛，则⎰+∞adx x f )(亦必收敛，并有⎰⎰+∞+∞≤aadx x f dx x f )()(．证⎰+∞adx x f )( 由收敛，根据柯西准则(必要性)，任给0>ε，存在G ≥a ，当G u u >>12时，总有⎰⎰≤2121)()(u u u u dx x f dx x f .利用定积分的绝对值不等式，又有⎰21)(u u dx x f ≤ε<⎰21)(u u dx x f .再由柯西准则(充分性)，证得⎰+∞adx x f )(收敛又因⎰uadx x f )(≤⎰uadx x f )(，令+∞→u 取极限，立刻得到不等式.当⎰+∞adx x f )(收敛时，称⎰+∞adx x f )(为绝对收敛．性质2指出：绝对收敛的无穷积分，它自身也一定收敛．但是它的逆命题不成立，称收敛而不绝对收敛的无穷积分为条件收敛．1.3比较判别法首先给出无穷积分的绝对收敛判别法．由于⎰ua dx x f )(关于上限u 是单调递增的，因此⎰+∞adx x f )(收敛的充要条件是⎰uadx x f )(存在上界．根据这一分析，便立即导出下述比较判别法：定理1(比较法则) 设定义在[+∞,a )上的两个函数f 和g 都在任何有限区间[u a ,]上可积，且满足),,[),()(+∞∈≤a x x g x f 则当⎰+∞a dx x g )(收敛时dx x f a⎰+∞)(必收敛(或当dx x f a⎰+∞)(发散时，⎰+∞adx x g )(必发散)．例3 讨论dx xx⎰+∞+021sin 的收敛性． 解 由于],0[,111sin 22+∞∈+≤+x x x x ，而2102π=+⎰+∞x dx 为收敛，故dx x x ⎰+∞+021sin 为 绝对收敛． 当选用⎰+∞1p xdx作为比较对象⎰+∞a dx x g )(时，比较判别法有如下两个推论(称为柯西判别法)．推论1 设f 定义于[+∞,a ] (0>a )，且在任何有限区间[u a ,]上可积，则有：(i)当 ),[,1)(+∞∈≤a x xx f p ,且1>p 时, dx x f a ⎰+∞)(收敛; (ii)当),[,1)(+∞∈≥a x xx f p 且1≥p 时, dx x f a ⎰+∞)(发散.推论 2 设定义于[+∞,a )，在任何有限区间[u a ,.]上可积，且λ=+∞→)(lim x f x p x ．则有：(i)当 +∞<≤>λ0,1p 时,dx x f a⎰+∞)(收敛;(ii)当 +∞≤<≤λ0,1p 时,dx x f a⎰+∞)(发散.推论3 若f 和g 都在任何[u a ,)上可积，0)(>x g ，且,)()(lim c x g x f x =+∞→则有(i)当+∞<≤c 0时，由⎰+∞a dx x g )(收敛可推知dx x f a ⎰+∞)(也收敛； (ii)当+∞≤<c 0时，由⎰+∞a dx x g )(发散可推知dx x f a⎰+∞)(也发散.1.4狄利克雷判别法与阿贝尔判别法这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法．定理(狄利克雷判别法) 若⎰=ua dx x f u F )()(在[+∞,a )上有界，)(x g 在[+∞,a )上当+∞→x 时单调趋于0，则无穷积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛．定理(阿贝尔(Abel)判别法) 若⎰+∞adx x f )(收敛，)(x g 在[+∞,a )上单调有界，则无穷积分⎰+∞adx x g x f )()(收敛．用积分第二中值定理来证明狄利克雷判别法与阿贝尔判别法． 例4 讨论dx x xp ⎰+∞1sin 与)0(cos 1>⎰+∞p dx xx p 的收敛性． 解 这里只讨论前一个无穷积分，后者有完全相同的结论．下面分两种情形来讨论：(i)当p >1时dx x xp⎰+∞1sin 绝对收敛．这是因为),,[,1sin +∞∈≤a x x x x p p 而⎰+∞1px dx 当p >1时收敛，故由比较法则推知dx x xp⎰∞+1sin 收敛. (ii)当10≤<p 时dx x xp ⎰+∞1sin 条件收敛．这是因为对任意u ≥1，有2cos 1cos sin 1≤-=⎰u xdx u ，而p x1当0>p 时单调趋于)(0+∞→x ，故由狄利克雷判别法推知dx x xp ⎰+∞1sin 工当0>p 时总是收敛的． 另一方面，由于),1[,22cos 21sin sin 2+∞∈-=≥x x xx x x xx p， 其中-dt t tdx x x ⎰⎰+∞+∞=21cos 2122cos 是收敛的，而⎰+∞12xdx 是发散的，因此当10≤<p 时该无穷积分不是绝对收敛的．所以它是条件收敛的． 例5 证明下列无穷积分都是条件收敛的．,sin 12⎰+∞dx x ,cos 12⎰+∞dx xdx x x ⎰+∞14sin证 前两个无穷积分经换元2x t =得到,2sin sin 112dt tt dx x ⎰⎰+∞+∞=.2cos cos 112dt tt dx x ⎰⎰+∞+∞=由例4知它们是条件收敛的．对于第三个无穷积分，经换元2x t =而得⎰⎰+∞+∞=1214sin 21sin dt t dx x x ，它也是条件收敛的．从例5中三个无穷积分的收敛性可以看到，当+∞→x 时被积函数即使不趋于零，甚至是无界的，无穷积分仍 有可能收敛．2 瑕积分2.1 瑕积分的定义定义 设函数)(x f 定义在区间],(b a 上，在点a 的任一右邻域无界，但在任何闭区间],(],[b a b u ⊂上有界且可积.如果存在极限 J dx x f bu au =⎰+→)(lim则称此极限J 为无界函数)(x f 在区间],(b a 上的反常积分，记作 ⎰=ba dx x f J )(.并称反常积分⎰b adx x f )(收敛. 如果极限⎰+→buau dx x f )(lim 不存在,这时亦称反常积分⎰badx x f )(发散.在上述定义中，被积函数)(x f 在点a 的近旁是无界的，这时点a 称为)(x f 的瑕点，而无界函数反常积分⎰ba dx x f )(又称为瑕积分.类似地,可定义瑕点为b 时的瑕积分.⎰badx x f )(⎰-→=uabu dx x f )(lim .其中函数)(x f 定义在区间),[b a 上，在点b 的任一左邻域无界，但在任何闭区间),[],[b a u a ⊂上有界且可积.若函数)(x f 的瑕点),(b a c ∈,则定义瑕积分⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(⎰-→=uacu dx x f )(lim ⎰+→+bvcv dx x f )(lim .其中函数)(x f 定义在区间],(),[b c c a 上，在点c 的任一邻域无界，但在任何闭区间),[],[c a u a ⊂和],(],[b c b v ⊂上都有界且可积. 当且仅当右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的.又若b a ,两点都是)(x f 的瑕点,而)(x f 在任何),(],[b a v u ⊂有界且可积,这时定义瑕积分⎰⎰⎰+=bcc abadx x f dx x f dx x f )()()(⎰+→=cuau dx x f )(lim ⎰-→+vcbv dx x f )(lim ,其中c 为),(b a 任一实数.同样地, 当且仅当右边两个瑕积分都收敛时,左边的瑕积分才是收敛的. ② 瑕积分的收敛判别 2.2比较判别法定理2 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使∈∀≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则1） 如⎰badx x g )(收敛，则⎰badx a f )(也收敛.2）如⎰badx x f )(发散，则⎰ba dx x g )(也发散．比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式 对以b 为唯一瑕点的两个瑕积分⎰ba dx x f )(与⎰ba dxx g )(如果f (x ), g (x )是非负函数，且,)()(lim l x g x f b x =-→ 则（1）当+∞<≤l 0, 且⎰badx x g )(收敛时，则⎰ba dx x f )(也收敛．（2）当+∞≤<l0，且⎰ba dx x g )(发散时，则⎰badx x f )(也发散．2.3 柯西判断法 设x=a 是f (x )在[a ,b )上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么（1）如0≤f (x )≤pa x c )(- (c>0), p<1, 则⎰b adx x f )(收敛． （2）如f (x )≥pa x c )(- (c>0), p ≥1, 则⎰b adx x f )(发散． 瑕积分的Cauchy 判断法的极限形式为 定理3 设k)x (f )a x (lim p a x =-+→如0≤k <∞, 1p <, 则⎰ba dx )x (f 收敛如0<k ≤∞, 1p ≥, 那么⎰ba dx )x (f 发散．例6 判别下列瑕积分的敛散性. (1)⎰--1222)x k 1)(x 1(dx)1k (2<(2) ⎰π20qpx cos x sin dx)0q ,p (> 解：（1）1是被积函数的唯一瑕点因为 -→1limx )x k 1)(x 1(dx)x 1(22221--- =+∞<-)k 1(212由21p =知瑕积分收敛． （2）0与2π都是被积函数的瑕点．先讨论,cos sin 40⎰πxx dx q p由+→0lim x 1x cos x sin 1x q p p= 知: 当p<1时, 瑕积分⎰π40q pxcos x sin dx收敛; 当p ≥1时,瑕积分⎰π4q pxcos x sin dx发散． 再讨论 ⎰ππ24qp xcos x sin dx 因-→2lim πx 1xcos x sin 1)x 2(q p p =-π 所以当 q <1时, 瑕积分⎰ππ24qpxcos x sin dx 收敛，当q ≥1时，瑕积分⎰ππ24qp xcos x sin dx发散． 综上所述，当p<1且q<1时, 瑕积分⎰π20q p xcos x sin dx收敛; 其他情况发散．定理4若下列两个条件之一满足，则⎰b a dx x g x f )()(收敛：（b 为唯一瑕点）2.4 （1）（Abel 判别法）⎰ba dx )x (f 收敛, )x (g 在)b ,a [上单调有界(2) (Dirichlet 判别法) )(ηF =⎰η-b adx)x (f 在[a ,b )上有界, g (x ) 在(],0a b -上单调, 且0)(lim =-→x g bx .例7 讨论广义积分⎰+∞1dx xxcos 的敛散性， 解 令f (x )=x1, g (x )=cos x则当x +∞→时，f (x )单调下降且趋于零， F(A)=⎰Axdx 1cos =1sin A sin -在[a ,∞)上有界．由Dirichlet 判别法知⎰∞+1cos dx xx收敛， 另一方面≥x x |cos |=x x 2cos xx22cos 1+ 因⎰∞+121dx x 发散，⎰∞+122cos dx xx 收敛 从而非负函数的广义积分⎰∞+122cos dx xx 发散由比较判别法知⎰∞+1|cos |dx xx 发散，所以⎰∞+1cos dx xx 条件收敛例8 讨论广义积分⎰∞+1arctan cos xdx xx 的敛散性．解 由上一题知，广义积分⎰∞+1cos dx xx 收敛, 而arctan x 在[a , +∞)上单调有界，所以由Abel 判别法知⎰∞+1arctan cos xdx xx 收敛.另一方面, 当),3[∞+∈x 时, 有|arctan cos |x x x ≥|cos |xx前面已证⎰∞+1|cos |dx xx 发散由比较判别法知⎰∞+1|arctan cos |dx x x x 发散, 所以⎰∞+1arctan cos dx x x x 条件收敛.当然判断反常积分是否收敛的方法还有很多在此就不一一例举了.3 瑕积分与无穷积分的关系设函数)(x f 连续 , b 为瑕点. 若 令xb t -=1,则 t b x 1-=, dt tdx 21=,a b t a x -=⇔=1，+∞=⇔=t b x 从而有dt t t b f dx x f ab b a2111)(⎰⎰∞+-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=这样瑕积分就化成了无穷积分； 设0>a , 若令xt 1=,则 t x 1=, dt tdx 21-=,总结本文根据对反常积分的定义及其性质的分析， 总结了反常积分敛散性判别的多种方 法与技巧，并且辅以例题使其直观.经过本文的讨论，反常积分敛散性判别法主要有定 义，柯西收敛准则，绝对收敛判别，比较法则及其极限形式，狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.适当而准确的运用这些方法，我们可以方便快捷的判别一个具体的反常积分的敛散性，更好的解决我们在反常积分的计算上的问题，帮助我们对微积分有一个更好的认识.然而数学的世界是探索不尽的，反常积分的敛散性的判别方法与技巧也是丰富多彩的，不止这几种，我们还应该加强学习，不断努力，继续深入的探究这些方法，融入到美好的数学世界中去参考文献；[1]数学分析（华东师大编）第三版上册,2005,266-267.[2]数学分析理论方法与技巧（华中科技版）,2008,28(9):143-144.[3]边亚明【12】广义积分的一种敛散性的判断,2000,18(3):95-96.[4]何忆捷《高等数学研究》,2005,18(3):95-96.[5]立清科技大学学报（自然科学版）》,2002,9(2):10-14.[6]黄慧辉《高等数学研究》,2009,11(4):3-7.。