2017-2018学年1月广东省普通高中数学学业水平考试真题(一)+Word版含解析

2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）1、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合，，则（ ）{}1,0,1,2M =-{}|12N x x =-≤<M N = . . . .A {}0,1,2B {}1,0,1-C M D N2、对任意的正实数，下列等式不成立的是（ ）,x y . ...A lg lg lgyy x x-=B lg()lg lg x y x y +=+C 3lg 3lg x x =D ln lg ln10x x =3、已知函数，设，则（ ）31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩(0)f a =()=f a . . ..A 2-B 1-C 12D 04、设是虚数单位，是实数，若复数的虚部是2，则（ ）i x 1xi+x =. . . .A 4B 2C 2-D 4-5、设实数为常数，则函数存在零点的充分必要条件是（ ）a 2()()f x x x a x R =-+∈. . . .A 1a ≤B 1a >C 14a ≤D 14a >6、已知向量，，则下列结论正确的是（ ）(1,1)a = (0,2)b =. . . .A //a b B (2)a b b -⊥C a b =D 3a b = A7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）. . . .A 69和B 96和C 78和D 87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）. .. .A 1B 2C 4D 89、若实数满足，则的最小值为,x y 1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩2z x y =-（ ）. . . .A 0B 1-C 32-D 2-10、如图，是平行四边形的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）o ABCD . .A DA DC AC -=B DA DC DO +=. .C OA OB AD DB -+= D AO OB BC AC++= 11、设的内角的对边分别为，若，则（ ）ABC A ,,A B C ,,a b c 2,a b c ===C =.. . .A 56πB 6πC 23πD 3π12、函数，则的最大值和最小正周期分别为（ ）()4sin cos f x x x =()f x . . . .A 2π和B 4π和C 22π和D 42π和13、设点是椭圆上的一点，是椭圆的两个焦点，若P 2221(2)4x y a a +=>12F F ，12F F =（ ）12PF PF +=. . . .A 4B 8C D 14、设函数是定义在上的减函数，且为奇函数，若，，则下列结论不()f x R ()f x 10x <20x >正确的是（ ）. . . .A (0)0f =B 1()0f x >C 221((2)f x f x +≤D 111()(2)f x f x +≤15、已知数列的前项和，则（ ）{}n a n 122n n S +=-22212n a a a +++= . . ..A 24(21)n -B 124(21)n -+C 4(41)3n -D 14(42)3n -+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线的离心率为 .221916x y -=17、若，且，则 .2sin()23πθ-=0θπ<<tan θ=18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .19、圆心为两直线和的交点，且与直线相切的圆的标20x y +-=3100x y -++=40x y +-=准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列满足，且.{}n a 138a a +=61236a a +=（1）求的通项公式；{}n a（2）设数列满足，，求数列的前项和.{}n b 12b =112n n n b a a ++=-{}n b n n S 21、如图所示，在三棱锥中，，，为的中点，垂P ABC -PA ABC ⊥平面PB BC =F BC DE 直平分，且分别交于点.PC DE AC PC ，,D E （1）证明：；//EF ABP 平面（2）证明：.BD AC ⊥2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B 解析：，故选B.{}101M N =- ，，2、B 解析：对于B 项，令，则，而，显然不成1x y ==lg()lg 2lg10x y +=>=lg lg 0x y +=立，故选B.3、C 解析： ，故选C.3(0)011a f ==-=- 11()(1)22f a f -∴=-==4、D 解析： ，故选D.(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++-242xx ∴-=⇒=-5、C 解析：由已知可得，，故选C.11404a a ∆=-≥⇒≤6、B 解析：对于A 项，，错误；12-010⨯⨯≠对于B 项，，，则，正确；2(2,0)a b -= (0,2)b = 20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥对于C 项，，错误；2a = 对于D 项，，错误. 故选B.10122a b =⨯+⨯=A7、A 解析：抽样比为，则应抽取的男生人数为，应抽取的女生人数1535010k ==320=6()10⨯人为，故选A.3(5020)9()10-⨯=人8、C解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为，故选C.2214V =⨯⨯=9、D 解析：（快速验证法）交点为，则分别为，所以11(0,1),(0,0),(,22-2z x y =-32,0,2--的最小值为，故选D.z 2-10、D 解析：对于A 项，，错误；DA DC CA -=对于B 项，，错误；2DA DC DO +=对于C 项，，错误；OA OB AD BA AD BD -+=+=对于D 项，，正确. 故选D.AO OB BC AB BC AC ++=+=11、A解析：由余弦定理，得，又222cos 2a b c C ab +-=== ，故选A.0C π<< 5=6C π∴12、A 解析：，最小正周期为，故选A. ()2sin 2f x x = max ()2f x ∴=22T ππ==13、B 解析：122F F c c ==⇒= 22224164a cb a ∴=+=+=⇒=，故选B.122248PF PF a ∴+==⨯=14、D 解析：对于A 项，为上的奇函数 ，正确；()f x R (0)0f ∴=对于B 项，为上的减函数 ，正确；()f x R 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=对于C 项，20x > 222221121x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立)，正确；221()(2)f x f x ∴+≤对于D 项， 10x < 111111(2x x x x ∴+=--+≤-=--ll，错误. 故选D.111()(2)(2)f x f fx∴+≥-=-15、C 解析：当时，；当时，2n≥1122(22)2222n n n n nn n na S S+-=-=---=⨯-=1n=适合上式. 是首项为，公比211222a S==-=222()(2)4n n nn na n N a*∴=∈⇒=={}2n a∴4为的等比数列，故选C.4222124(14)4(41)143n nna a a--∴+++==-二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、解析：由已知，得532293,164a ab b=⇒==⇒= 222916255c a b c∴=+=+=⇒=双曲线的离心率为.∴53cea==17解析：，且2sin()cos23πθθ-==0θπ<< sinθ∴===.sin3tancos2θθθ∴===18、解析：.49224339P⨯==⨯19、解析：联立得22(4)(2)2x y-++=203100x yx y+-=⎧⎨-++=⎩4(4,2)2xy=⎧⇒-⎨=-⎩圆心为则圆心到直线的距离为(4,2)-40x y+-=d圆的标准方程为.∴22(4)(2)2x y-++=3、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列的公差为.{}n a d ∴1311161211828236511362a a a a d a a a a d a d d +=++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+=+++==⎩⎩⎩ 数列的通项公式为.2(1)22n a n n ∴=+-⨯=∴{}n a 2n a n =（2）由（1）知， 2n a n =1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+ 又适合上式 2(1)224n b n n ∴=--+=-+12b = 24()n b n n N *∴=-+∈ 数列是首项为，公差为的等差数列.122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=-∴{}n b 22-22(1)2(2)232n n n S n n n n n n -∴=+⨯-=-+=-+21、解：（1）证明：垂直平分 为的中点DE PC E ∴PC 又为的中点 为的中位线 F BC EF ∴BCP A //EF BP∴又 ,EF ABP BP ABP ⊄⊂ 平面平面//EF ABP∴平面（2）证明：连接BE，为的中点 PB BC = E PC PC BE∴⊥垂直平分 DE PC PC DE∴⊥又， BE DE E = ,BE DE BDE ⊂平面PC BDE∴⊥平面又 BD BDE ⊂ 平面PC BD∴⊥ ,PA ABC BD ABC ⊥⊂平面平面PA BD∴⊥又， PC PA P = ,PC PA PAC ⊂平面BD PAC∴⊥平面又 AC PAC ⊂ 平面BD AC∴⊥。

2017-2018学年广东省广州市高二（上）学业水平测试数学试卷（必修）一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x﹣3＜0}，则A∪B=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，3）2．（5分）直线3x+y﹣1=0与直线x﹣3y+1=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定3．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，公比q≠±1，若a k=a2a5，则k等于（）A．5 B．6 C．7 D．84．（5分）下列函数中，在区间[0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x2B．y=lnx C．y=x+D．y=5．（5分）一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是（）A．两次都中靶B．至少有一次中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x=1，则输出k的值为（）A．12 B．13 C．14 D．157．（5分）若tanθ=2，则sin2θ=（）A．B．C．﹣ D．﹣8．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣5 C．1 D．39．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥n，m∥α，n∥β，则α∥βB．若m⊥n，α∩β=m，n⊄α，则α⊥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β10．（5分）已知函数f（x）=x3，若a=﹣f（log3），b=f（log39.1），c=f（20.9），则a，b，c大大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b11．（5分）若函数y=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x﹣）的图象重合，则φ的值为（）A．﹣B．﹣C．D．12．（5分）已知函数f（x）=，若a≠b，且f（a）=f（b），则a2+b2（）A．既有最大值，也有最小值B．有最大值，无最小值C．有最小值，无最大值D．既无最大值，也无最小值二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知向量=（2，﹣3），=（m，﹣2），且⊥，则m=．14．（5分）若函数f（x）=2x+是奇函数，则实数a的值为．15．（5分）向面积为S的△ABC内任意投一点P，则△PBC的面积不小于的概率为．16．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学弭名著，书中把“底面为直角三角形的直棱柱”称为堑堵，今有一将堑堵，其高为2，底面直角三角形的斜边长为4，则该堑堵的外接球的表面积为．三、解答题（本题共6小题，70分）17．（10分）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且a3+S3=18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．18．（12分）一台机器的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计数据：已知y与x之间有线性相关关系．（Ⅰ）求y与x的回归方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？参考公式：线性回归方程=bx+a中斜率和截距公式分别为：b=，a=﹣b．19．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且b2+c2=a2+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，b=1，求sin（C﹣A）．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥ABCD，点E是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）若AB=1，BC=，∠ABC=45°，PA=2，求点C到平面BDE的距离．21．（12分）已知圆C与y轴相切于点A（0，1），且被x轴所截得的弦长为2，圆心C在第一象限．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若点P是直线l：2x+y+5=0上的动点，过P作圆C的切线，切点为B，当△PBC的面积最小时，求切线PB的方程．22．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的两个零点x1，x2，且f（1）=2a．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若a＞c，且函数g（x）=f（x﹣x1）+f（x﹣x2）在区间[0，1]上的最大值为，试判断点（a，b）是否在直线x+y=1上？并说明理由．2017-2018学年广东省广州市高二（上）学业水平测试数学试卷（必修）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每题5分，共60分）1．（5分）已知集合A={1，2，3}，B={x|x﹣3＜0}，则A∪B=（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，3）【解答】解：由B={x|x﹣3＜0}，得B={x|x＜3}，则A∪B={x|x≤3}=（﹣∞，3]，故选：C2．（5分）直线3x+y﹣1=0与直线x﹣3y+1=0的位置关系是（）A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．不能确定【解答】解：直线3x+y﹣1=0化为y=﹣3x+1，∴k1=﹣3．直线x﹣3y+1=0化为y=x+．∴k2=．∴k1•k2=（﹣3）×=﹣1．∴此两条直线垂直．故选：B．3．（5分）在等比数列{a n}中，a1=1，公比q≠±1，若a k=a2a5，则k等于（）A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：在等比数列{a n}中，a1=1，公比q≠±1，若a k=a2a5，则a1q k﹣1=a12q5，可得k﹣1=5，即k=6，故选：B．4．（5分）下列函数中，在区间[0，+∞）上单调递增的是（）A．y=﹣x2B．y=lnx C．y=x+D．y=【解答】解：对于A，函数在区间[0，+∞）上单调递减，不合题意；对于B，函数在区间（0，+∞）上单调递增，不合题意；对于C，y′=1﹣=，令y′＜0，解得：0＜x＜1，故函数在（0，1）递减，不合题意；对于D，函数在[0，+∞）递增，符合题意；故选：D．5．（5分）一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是（）A．两次都中靶B．至少有一次中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶【解答】解：一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶．故选：A．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入x=1，则输出k的值为（）A．12 B．13 C．14 D．15【解答】解：模拟程序的运行，可得x=1，k=10执行循环体，x=3，k=11不满足条件x＞2k，执行循环体，x=7，k=12不满足条件x＞2k，执行循环体，x=15，k=13不满足条件x＞2k，执行循环体，x=31，k=14此时，满足条件x＞2k，退出循环，输出k的值为14．故选：C．7．（5分）若tanθ=2，则sin2θ=（）A．B．C．﹣ D．﹣【解答】解：∵tanθ=2，则sin2θ====．故选：A．8．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为（）A．﹣6 B．﹣5 C．1 D．3【解答】解：由z=x﹣2y得y=x﹣z，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=x﹣z，由图象可知当直线y=x﹣z，过点A时，直线y=x﹣z的截距最大，此时z 最小，由，解得，即A（﹣1，2）．代入目标函数z=x﹣2y，得z=﹣1﹣2×2=﹣5．∴目标函数z=x﹣2y的最小值是﹣5．故选：B．9．（5分）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A．若m⊥n，m∥α，n∥β，则α∥βB．若m⊥n，α∩β=m，n⊄α，则α⊥βC．若m∥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥βD．若m∥n，n⊥β，m⊂α，则α⊥β【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知：在A中，若m⊥n，m∥α，n∥β，则α与β相交或平行，故A错误；在B中，若m⊥n，α∩β=m，n⊄α，则α与β相交或平行，故B错误；在C中，若m∥n，m⊥α，n⊥β，则由面面平行的判定定理得α∥β，故C错误；在D中，若m∥n，n⊥β，m⊂α，则由面面垂直的判定定理得α⊥β，故D正确．故选：D．10．（5分）已知函数f（x）=x3，若a=﹣f（log3），b=f（log39.1），c=f（20.9），则a，b，c大大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解答】解：∵f（x）=x3，∴函数f（x）是奇函数，且函数为增函数，a=﹣f（log3）=﹣f（﹣log310）=f（log310），则2＜log39.1＜log310，20.9＜2，即20.9＜log39.1＜log310，则f（20.9）＜f（log39.1）＜f（log310），即c＜b＜a，故选：C11．（5分）若函数y=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜π）的图象向右平移个单位后，与函数y=sin（2x﹣）的图象重合，则φ的值为（）A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：把函数y=sin（2x+φ）（﹣π＜φ＜π）的图象向右平移个单位后，得到y=sin（2x﹣+φ）的图象，根据所得图象与函数y=sin（2x﹣）的图象重合，可得﹣+φ=2kπ﹣，k ∈Z．令k=0，可得φ=，故选：C．12．（5分）已知函数f（x）=，若a≠b，且f（a）=f（b），则a2+b2（）A．既有最大值，也有最小值B．有最大值，无最小值C．有最小值，无最大值D．既无最大值，也无最小值【解答】解：函数f（x）=，若a≠b，且f（a）=f（b），可设a＞1，则f（a）=，f（b）=，可得=，即为a﹣1=1﹣b，可得b=2﹣a，则a2+b2=a2+（2﹣a）2=2a2﹣4a+4=2（a﹣1）2+2，由于a＞1，可得2（a﹣1）2+2＞2，则a2+b2无最大值，也无最小值．故选：D．二、填空题（共4小题，每题5分，共20分）13．（5分）已知向量=（2，﹣3），=（m，﹣2），且⊥，则m=﹣3．【解答】解：根据题意，向量=（2，﹣3），=（m，﹣2），若⊥，则有•=2m+（﹣3）×（﹣2）=0，解可得m=﹣3；故答案为：﹣314．（5分）若函数f（x）=2x+是奇函数，则实数a的值为﹣1．【解答】解：函数f（x）=2x+是奇函数，可得f（x）的定义域为R，f（﹣x）=﹣f（x），即为2﹣x+a•2x=﹣2x﹣a•2﹣x，化为（1+a）（2x+2﹣x）=0，可得a+1=0，解得a=﹣1．故答案为：﹣1．15．（5分）向面积为S的△ABC内任意投一点P，则△PBC的面积不小于的概率为．【解答】解：记事件A={△PBC的面积不小于}，基本事件空间是三角形ABC的面积，如图所示；事件A的几何度量为图中去掉阴影部分的面积，其中DE是三角形的中位线；因为阴影部分的面积是整个三角形面积的，所以P（A）=1﹣=1﹣=．故答案为：．16．（5分）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学弭名著，书中把“底面为直角三角形的直棱柱”称为堑堵，今有一将堑堵，其高为2，底面直角三角形的斜边长为4，则该堑堵的外接球的表面积为20π．【解答】解：∵今有一将堑堵，其高为2，底面直角三角形的斜边长为4，∴该堑堵的外接球半径R==，∴该堑堵的外接球的表面积S=4πR2=4π×5=20π．故答案为：20π．三、解答题（本题共6小题，70分）17．（10分）已知等差数列{a n}的公差为2，前n项和为S n，且a3+S3=18．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{}的前n项和T n．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}的公差d=2，前n项和为S n，且a3+S3=18．则：a3+3a2=18，即：a1+2d+3（a1+d）=18，解得：a1=2．所以：a n=a1+（n﹣1）d=2n．（Ⅱ）由于：a n=2n，则：，所以：．则：==1=．18．（12分）一台机器的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计数据：已知y与x之间有线性相关关系．（Ⅰ）求y与x的回归方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用约是多少？参考公式：线性回归方程=bx+a中斜率和截距公式分别为：b=，a=﹣b．【解答】解：（1）=4，=0.5，故（x i﹣）（y i﹣）=0.6+0.2+0.2+0.6=1.6，=4+1+0+1+4=10，故=0.16，=0.5﹣0.16×4=﹣0.14，故回归方程是=0.16x﹣0.14；（2）x=10时，=1.46，故维修费用约是1.46万元．19．（12分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，且b2+c2=a2+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）若a=2，b=1，求sin（C﹣A）．【解答】解：（Ⅰ）由余弦定理可得cosA===，∵0＜A＜π，∴A=，（Ⅱ）由正弦定理可得=，∴sinB==，∵a＞b，∴cosB=，∴sin（C﹣A）=sin（π﹣B﹣A﹣A）=﹣sin（B+2A）=﹣sinBcos2A﹣cosBsin2A=﹣×﹣×=﹣．20．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥ABCD，点E是PA的中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；（Ⅱ）若AB=1，BC=，∠ABC=45°，PA=2，求点C到平面BDE的距离．【解答】证明：（Ⅰ）连结AC、BD，交于点O，连结OE，∵四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，∴O是AC中点，∵点E是PA的中点，∴OE∥PC，∵OE⊂平面BDE，PC⊄平面BDE，∴PC∥平面BDE．解：（Ⅱ）以A为原点，在平面ABCD中过A作AD的垂线为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，C（，，0），B（，﹣，0），D（0，，0），E（0，0，1），=（﹣，，0），=（﹣，，1），=（0，，0），设平面BDE的法向量=（x，y，z），则，取x=3，得=（3，1，），点C到平面BDE的距离d===．21．（12分）已知圆C与y轴相切于点A（0，1），且被x轴所截得的弦长为2，圆心C在第一象限．（Ⅰ）求圆C的方程；（Ⅱ）若点P是直线l：2x+y+5=0上的动点，过P作圆C的切线，切点为B，当△PBC的面积最小时，求切线PB的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵圆C与y轴相切于点A（0，1），圆心C在第一象限，∴设圆心坐标为（a，1），则半径为r=a（a＞0），又圆被x轴所截得的弦长为2，可得，得a=2．∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4；（Ⅱ）如图，P为直线l：2x+y+5=0上的动点，过P作圆C的切线，切点为B，连接CB，则CB⊥PB，∴△PBC的面积S=．要使△PBC的面积最小，则|PB|最小，也就是|PC|最小，此时CP⊥l，由l：2x+y+5=0，可得k l=﹣2，则CP所在直线斜率为，由直线方程的点斜式可得CP：y﹣1=，即x﹣2y=0．联立，解得P（﹣2，﹣1），设切线方程为y+1=k（x+2），即kx﹣y+2k﹣1=0．由，解得k=0或k=．∴所求切线PB的方程为y=﹣1或4x﹣3y+5=0．22．（12分）已知二次函数f（x）=ax2+bx+c的两个零点x1，x2，且f（1）=2a．（Ⅰ）求的取值范围；（Ⅱ）若a＞c，且函数g（x）=f（x﹣x1）+f（x﹣x2）在区间[0，1]上的最大值为，试判断点（a，b）是否在直线x+y=1上？并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）二次函数f（x）=ax2+bx+c的两个零点x1，x2，且f（1）=2a，可得a+b+c=2a，即c=a﹣b，△=b2﹣4ac=b2﹣4a（a﹣b）＞0，由a2＞0，可得（）2+﹣4＞0，解得＞2﹣2或＜﹣2﹣2；（Ⅱ）若a＞c，则b＞0，且f（x1）=f（x2）=0，即ax12+bx1+c=ax22+bx2+c=0，x1+x2=﹣，x1x2=，g（x）=f（x﹣x1）+f（x﹣x2）=a（x﹣x1）2+b（x﹣x1）+c+a（x﹣x2）2+b（x﹣x2）+c=2ax2+x（2b﹣2ax1﹣2ax2）+ax12﹣bx1+ax22﹣bx2+2c=2ax2+4bx+，当a＞0时，g（x）在[0，1]递增，最大值只能为g（1），由g（1）=2a+4b+=，可得（a+b）2=2，即a+b=，则（a，b）不在直线x+y=1上；当a＜0时，g（x）的最大值为g（0）或g（1）或g（﹣），由g（0）==，解得b=1，若（a，b）在直线x+y=1上，则a+b=1，可得a=0显然不成立；由g（1）=2a+4b+=，可得（a+b）2=2，即a+b=，显然（a，b）不在直线x+y=1上；由g（﹣）==0显然不成立．综上可得，点（a，b）不在在直线x+y=1上．赠送初中数学几何模型【模型三】双垂型：图形特征：60°运用举例：1.在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC.（1）如图，当∠APB＝90°时，若AC=5，PC＝，求BC的长；（2）当∠APB＝90°时，若AB=APBC的面积是36，求△ACB的周长.P2.已知：如图，B、C、E三点在一条直线上，AB＝AD，BC＝CD.（1）若∠B＝90°，AB＝6，BC＝23，求∠A的值；（2）若∠BAD＋∠BCD＝180°，cos∠DCE＝35，求ABBC的值.3.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠DAB=∠BCD=90°，（1）若AB=3，BC+CD=5，求四边形ABCD的面积（2）若p= BC+CD，四边形ABCD的面积为S，试探究S与p之间的关系。

[正式]2017年1月广东省学业水平考试数学试题234522(3)3x x =C.22333log (1)log 2log (3)xx ++=+ D.31log 3x x =-10.已知数列{}na 满足11a =,且12n n a a +-=,则{}n a 的前n 项之和n S =（ ） A. 21n + B.2n C. 21n -D.12n -11.已知实数x, y, z 满足32x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则z =2x +y 的最大值为（ ）A. 3B. 5C. 9D. 1012.已知点A(-1, 8)和B(5, 2),则以线段AB 为直径的圆的标准方程是（ ）A.22(2)(5)32x y +++= B. 22(2)(5)18x y +++= C.22(2)(5)32x y -+-= D.22(2)(5)18x y -+-= 13.下列不等式一定成立的是（ ）A.12x x +≥ (0x ≠)B. 22111x x +≥+ (x R ∈)C. 212x x+≤ (x R ∈) D.2560x x ++≥(x R ∈)614.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当(,0]x ∈-∞时,2()sin f x x x=-,则当[0,)x ∈+∞时,()f x =（ ）A.2sin x x+ B. 2sin x x-- C. 2sin x x- D.2sin x x-+15.已知样本12345,,,,x x x x x 的平均数为4, 方差为3, 则123456,6,6,6,6x x x x x +++++的平均数和方差分别为（ ）A. 4和3B. 4和9C. 10和3D. 10和9二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分．）16.已知x >0, 且5,,153x 成等比数列,则x= 17. 函数()sin cos(1)sin(1)cos f x x x x x =+++的最小正周期是18.从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是19.中心在坐标原点的椭圆，其离心率为12，两个焦点F 1 和F 2在x 轴上，P 为该椭圆上的任意一点,若| PF 1 |+|PF 2|=4，则椭圆的标准方程是7三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分．）20.ABC ∆的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知cos cos a bA B=(1)证明: ABC∆为等腰三角形;(2)若a =2, c=3,求sin C 的值.821.如图,在四棱锥P -ABCD 中,PA AB⊥,PA AD ⊥,AC CD ⊥,60oABC ∠=, PA=AB=BC =2. E 是PC 的中点. (1)证明:PA CD⊥;(2)求三棱锥P -ABC 的体积; (3) 证明:AE PCD⊥平面PBCDAE2017年广东省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案一、选择题1.B【解析】M∪N={0,1,2,3,4},(M∪N)∩P={0,3}.2.C【解析】对数函数要求真数大于0, ∴x+1>0即x>-1.3.D【解析】===-i-1=-1-i,其中i2=-1.4.C【解析】充分性:若r=1cm,由V=πr3可得体积为πcm3,同样利用此公式可证必要性.5.B【解析】垂直:斜率互为倒数的相反数(k1k2=-1),所以直线l的斜率为k=-2,根据点斜式方程y-y0=k(x-x0)可得y-2=-2(x-1),整理得y=-2x+4.96.A【解析】准线方程为x=-2可知焦点在x 轴上,且-=-2,∴p=4.由y2=2px得y2=8x.7.A【解析】=(3,-2),=(1,-1),+=(4,-3),∴|+|==5.8.D【解析】r===3,sin α=,cos α=,tan α=∴A,B,C正确,D错误,tan α===-.9.D【解析】 A.=(x≠0)B.(3x)2=32xC.log3(x2+1)+log32=log32(x2+1).10.B【解析】{a n}为公差为2的等差数列,10由S n=na1+d=n+·2=n2.11.C【解析】如图,画出可行域当y=-2x+z移动到A点时与y轴的截距z取得最大值,∵A(3,3),所以z=2x+y的最大值为9.12.D【解析】圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2圆心:C(,)=(2,5)半径r===3所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-5)2=18.13.B【解析】A选项:错在x可以小于0; B选项:x2+≥2=2=2≥1,其中≤1;C选项:x2-2x+1≥0,∴x2+1≥2x;D选项:设y=x2+5x+6可知二次函数与x轴有两个交点,其值可以小于0.14.A【解析】x∈[0,+∞)时,-x∈(-∞,0],由偶函数性质f(x)=f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sin x.15.C【解析】平均数加6,方差不变.二、填空题16.5【解析】,x,15成等比数列,∴x2=×15=25,又∵x>0,∴x=5.17.π【解析】f(x)=sin x cos(x+1)+cos x sin(x+1)=sin[x+(x+1)]=sin(2 x+1)最小正周期T===π.18.【解析】建议文科生通过画树形图的办法解此题.选取十位数: 1 2 3 4选取个位数:2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3结果:12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43总共:3×4=12种,满足条件的有3种,所以概率为=.19.+=1【解析】根据焦点在x轴上可以设椭圆标准方程为+=1(a>b>0)离心率:e==长轴长:2a=|PF1|+|PF2|=4∴a=2,c=1,b===∴椭圆标准方程为+=1.三、解答题20.(1)证明:∵=,=∴=,即tan A=tan B,又∵A,B∈(0,π),∴A=B∴△ABC为等腰三角形.(2)解:由(1)知A=B,所以a=b=2根据余弦定理:c2=a2+b2-2ab cos C9=4+4-8cos C,∴cos C=∵C∈(0,π),∴sin C>0∴sin C==.21.(1)证明:∵PA⊥AB,PA⊥AD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,AB∩AD=A∴PA⊥平面ABCD,又∵CD⊂平面ABCD∴AP⊥CD.(2)解:由(1)AP⊥平面ABC∴V=S△ABC·APP-ABC=×AB·BC·sin∠ABC·AP=××2×2×sin60°×2=.(3)证明:∵CD⊥AP,CD⊥AC,AP⊂平面APC,AC⊂平面APC,AP∩AC=A∴CD⊥平面APC,又∵AE⊂平面APC∴CD⊥AE由AB=BC=2且∠ABC=60°得△ABC为等边三角形,且AC=2又∵AP=2且E为PC的中点,∴AE⊥PC又∵AE⊥CD,PC⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,PC∩CD=C∴AE⊥平面PCD.。

2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则MN =（ ）A .{}0,1,2B .{}1,0,1-C .MD .N 2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）A .lg lg lgy y x x -= B .lg()lg lg x y x y +=+ C .3lg 3lg x x = D .ln lg ln10x x = 3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，设(0)f a =，则()=f a （ ）A .2-B .1-C .12D .04、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1xi+的虚部是2，则x =（ ）A .4B .2C .2-D .4-5、设实数a 为常数，则函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是（ ）A .1a ≤B .1a >C .14a ≤D .14a > 6、已知向量(1,1)a =，(0,2)b =，则下列结论正确的是（ ）A .//a bB .(2)a b b -⊥C .a b =D .3a b =7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）A .69和B .96和C .78和D .87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）A .1B .2C .4D .89、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A .0B .1-C .32- D .2-10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）A .DA DC AC -=B .DA DC DO +=C .OA OB AD DB -+= D .AO OB BC AC ++= 11、设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若2,a b c ===C =（ ）A .56π B .6π C .23π D .3π 12、函数()4sin cos f x x x =，则()f x 的最大值和最小正周期分别为（ ）A .2π和B .4π和C .22π和D .42π和13、设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（ ）A .4B .8 C. D.14、设函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()f x 为奇函数，若10x <，20x >，则下列结论不正确的是（ ）A .(0)0f =B .1()0f x >C .221()(2)f x f x +≤ D .111()(2)f x f x +≤ 15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a +++=（ ）A .24(21)n- B .124(21)n -+ C .4(41)3n - D .14(42)3n -+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线221916x y -=的离心率为 . 17、若2sin()23πθ-=，且0θπ<<，则tan θ= .18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .19、圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列{}n a 满足138a a +=，且61236a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12b =，112n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .21、如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，PB BC =，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交AC PC ，于点,D E . （1）证明：//EF ABP 平面； （2）证明：BD AC ⊥.2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、B 解析：{}101MN =-，，，故选B.2、B 解析：对于B 项，令1x y ==，则lg()lg 2lg10x y +=>=，而lg lg 0x y +=，显然不成立，故选B.3、C 解析：3(0)011a f ==-=- 11()(1)22f a f -∴=-==，故选C.4、D 解析：(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++- 242x x ∴-=⇒=-，故选D. 5、C 解析：由已知可得，11404a a ∆=-≥⇒≤，故选C. 6、B 解析：对于A 项，12-010⨯⨯≠，错误；对于B 项，2(2,0)a b -=，(0,2)b =，则20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥，正确；对于C 项，2,2a b ==，错误；对于D 项，10122a b =⨯+⨯=，错误. 故选B. 7、A 解析：抽样比为1535010k ==，则应抽取的男生人数为320=6()10⨯人，应抽取的女生人数为3(5020)9()10-⨯=人，故选A. 8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为2214V =⨯⨯=，故选C.9、D 解析：（快速验证法）交点为11(0,1),(0,0),(,)22-，则2z x y =-分别为32,0,2--，所以z 的最小值为2-，故选D.10、D 解析：对于A 项，DA DC CA -=，错误； 对于B 项，2DA DC DO +=，错误；对于C 项，OA OB AD BA AD BD -+=+=，错误； 对于D 项，AO OB BC AB BC AC ++=+=，正确. 故选D.11、A解析：由余弦定理，得222222cos 22a b c C ab +-===-，又0C π<< 5=6C π∴，故选A. 12、A 解析：()2sin 2f x x =max ()2f x ∴=，最小正周期为22T ππ==，故选A. 13、B解析：122F F c c ==⇒=22224164a c b a ∴=+=+=⇒=122248PF PF a ∴+==⨯=，故选B. 14、D 解析：对于A 项，()f x 为R 上的奇函数 (0)0f ∴=，正确；对于B 项，()f x 为R 上的减函数 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=，正确；对于C 项，20x >2222221121x x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立) 221()(2)f x f x ∴+≤，正确； 对于D 项，10x < 1111111()2x x x x x ∴+=--+≤-=---111()(2)(2)f x f f x ∴+≥-=-，错误. 故选D. 15、C 解析：当2n ≥时，1122(22)2222n n n n n n n n a S S +-=-=---=⨯-=；当1n =时，211222a S ==-=适合上式. 222()(2)4n n n n n a n N a *∴=∈⇒=={}2n a ∴是首项为4，公比为4的等比数列 222124(14)4(41)143n n n a a a --∴+++==-，故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、53解析：由已知，得2293,164a a b b =⇒==⇒= 222916255c a b c ∴=+=+=⇒= ∴双曲线的离心率为53c e a ==.17、2 解析：2s i n ()c o s 23πθθ-==，且0θπ<<sin θ∴===sin 3tan cos 2θθθ∴===. 18、49 解析：224339P ⨯==⨯. 19、22(4)(2)2x y -++= 解析：联立203100x y x y +-=⎧⎨-++=⎩得4(4,2)2x y =⎧⇒-⎨=-⎩圆心为 则圆心(4,2)-到直线40x y +-=的距离为d ==∴圆的标准方程为22(4)(2)2x y -++=.三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .2(1)22n a n n ∴=+-⨯= ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由（1）知，2n a n = 1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+2(1)224n b n n ∴=--+=-+ 又12b =适合上式 24()n b n n N *∴=-+∈ 122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=- ∴数列{}n b 是首项为2，公差为2-的等差数列.21、解：（1）证明：DE 垂直平分PC E ∴为PC 的中点又F 为BC 的中点 EF ∴为B C P 的中位线//EF BP ∴又,EF ABP BP ABP ⊄⊂平面平面 //EF ABP ∴平面 （2）证明：连接BEPB BC =，E 为PC 的中点 P C B E ∴⊥ DE 垂直平分PC P C D E ∴⊥ 又BEDE E =，,BE DE BDE ⊂平面 P C B D E∴⊥平面 又BD BDE ⊂平面 P C B D ∴⊥ 又PC PA P =，,PC PA PAC ⊂平面 B D P A C∴⊥平面 又AC PAC ⊂平面 B D A C∴⊥。

2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（ B 卷）一、选择题：本大题共15 小题 . 每小题 4 分，满分60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合M1,0,1,2 ， N x | 1 x 2 ，则M N（）A.0,1,2B.1,0,1C.MD.N2、对任意的正实数x, y，下列等式不成立的是（）A .lg y lg x lg yB .lg( x y)lg x lg yC .lg x33lg x D.lg x ln x x ln103、已知函数f (x)x31, x 0，设 f(0) a ，则 f (a)= （）2x , x0A. 2B. 1C.1D.0 24、设i是虚数单位，x 是实数，若复数x的虚部是 2，则x（）1iA.4B.2C. 2D.45、设实数a为常数，则函数 f ( x)x2x a( x R) 存在零点的充分必要条件是（）A .a 1B .a 1 C.a 11 D .a4 46、已知向量 a (1,1)， b(0,2) ，则下列结论正确的是（）A .a / /bB .(2 a b) bC . a b D.a b37、某校高一（1）班有男、女学生共50 人，其中男生20 人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取 15 人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（）A .6和9B .9和6C .7和8D .8和78、如图所示， 一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形， 则该几何体的体积为（）A .1B .2C .4D .8x y 1 09、若实数 x, y 满足x y 0 ，则 z x 2 y 的最小值为（）x 0A .0B .1C .3D .2210、如图， o 是平行四边形 ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（）A .DA DC ACB .DA DC DOC .OA OB AD DB D .AO OB BC AC11、设 ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为a,b,c ，若 a3,b 2, c13，则C（）5 B . C .2 D .A .366 312、函数 f (x) 4sin x cos x ，则 f ( x) 的最大值和最小正周期分别为（）A .2和B .4和C .2和2D .4和2x2y2F 1， F 2 是椭圆的两个焦点，若 F 1F 2 4 3，则13、设点 P 是椭圆2 1(a 2) 上的一点，a 4PF 1 PF 2（）A .4B .8C .42 D .4 714、设函数 f ( x) 是定义在R上的减函数，且 f ( x) 为奇函数，若x10 ， x20 ，则下列结论不正确的是（）A .f (0) 0B .f ( x1) 0C.f ( x21) f (2) D. f ( x11) f (2) x2x115、已知数列a n的前n项和 S n2n 1 2 ，则 a12a22a n2（）A .4(2n1)2B .4(2n 11)2C.4(4n1) D. 4(4 n 12)33二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，满分16 分 .x2y216、双曲线 1 的离心率为.91617、若sin()2，则 tan.，且 02318、笔筒中放有 2 支黑色和 1 支红色共 3 支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为.19、圆心为两直线x y 2 0 和x 3y 10 0 的交点，且与直线 x y 40 相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共 2 小题 . 每小题 12 分，满分 24 分 . 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 .20、若等差数列a n满足 a1a38 ，且 a6a1236 .（ 1）求a n的通项公式；（2）设数列b n满足 b1 2 ， b n 1a n 12a n，求数列b n的前n项和 S n.21、如图所示，在三棱锥P ABC 中， PA 平面 ABC ， PB BC，F为BC的中点，DE垂直平分 PC ，且DE分别交AC，PC 于点 D, E .（1）证明：EF / /平面ABP；（2）证明：BD AC .2018 年 1 月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（ B 卷）答案解析一、选择题：本大题共 15 小题 . 每小题 4 分，满分 60 分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1、B解析：M N101，，，故选B.2、B解析：对于 B 项，令x y 1，则 lg( x y) lg 2 lg1 0，而 lg x lg y0 ，显然不成立，故选 B.3、C解析：a f (0)0311 f (a) f (1) 2 11，故选 C.24、D解析：x(1x(1i)x x i x2x 4 ，故选 D.1 i i)(1i )22215、C解析：由已知可得， 1 4a 0a，故选 C.46、B解析：对于 A 项，12-0 10 ，错误；对于 B 项，2a b (2,0) ， b (0,2) ，则 2 0+0 2 0 (2 a b) b ，正确；对于 C 项，a2, b 2 ，错误；对于 D 项，a b 1 0122，错误.故选B.7、A解析：抽样比为k153，则应抽取的男生人数为 203=6( 人 ) ，应抽取的女生人数3501010为 (509(人 ) ，故选 A.20)108、C解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为 2，宽为 2 ，高为 1，则体积为V2214，故选 C.9、D解析：（快速验证法）交点为(0,1),(0,0),(1,1) ，则 z x 2 y 分别为 2,0,3，所以 z的最小值为2 ，故选 D.10、 D 解析：对于 A 项， DA DC CA ，错误；对于 B 项， DA DC 2DO ，错误；对于 C 项， OAOB AD BA AD BD ，错误；对于 D 项， AO OB BC AB BC AC ，正确 . 故选 D.11、 A 解析：由余弦定理， 得 cosCa2b 2c 2( 3)222( 13)23，又 0 C2ab23 22C =5，故选 A.612、 A 解析：f (x)2sin 2xf ( x) max 2 ，最小正周期为T2，故选 A.213、 B 解析：F 1F 24 3 2c c 2 3 a2c2b2(2 3)24 16 a 4PF 1 PF 22a 2 4 8 ，故选 B.14、 D 解析：对于 A 项，f (x) 为 R 上的奇函数 f (0) 0 ，正确；对于 B 项， f ( x) 为 R 上的减函数x 1 0 f ( x 1 )f (0) 0 ，正确；x 2 0 x 211 （2当且仅当 x2 1，即 x 21时等号成立 )对于 C 项，x 22 x 2 x 2x 2f ( x 21) f (2) ，正确；x 2对于 D 项，x 1 0 x 11 ( x 11 1 x 1) 2 x 12x 1x 1f ( x 11) f ( 2)f (2) ，错误 . 故选 D.x 115 、C解析：当 n2 时， anSS2n 12 (2n2) 2 2n2n2n；当 n 1 时，nn 1a 1 S 1 222 2 适合上式 .a n2n(n N ) a n 2 (2 n )24na n2是首项为 4 ，公比为4 的等比数列a 122a n 24(1 4n )4(4 n1)，故选 C.a 21 43二、填空题：本大题共4 小题，每小题 4 分，满分 16 分 .16、5解析：由已知，得 a29 a 3,b216 b 4 c2a2b29 16 25 c 53c 5双曲线的离心率为 e.a317、5 解析：sin() cos2 22 ) 2 52，且 0sin1 cos1 ( 3233tansin 5 3 5 .cos3 2218、 4 解析： P2 2 4 .93 3 919、 (x4)2( y 2)22 解析：联立 x y 20 得 x 4圆心为 (4, 2)x 3 y 10 0 y 2则圆心 (4,2) 到直线 x y 4 0 4 2 4的距离为 d2 ，故圆的半径为 21212圆的标准方程为(x 4)2 ( y 2)22 .三、解答题：本大题共2 小题 .每小题 12 分，满分 24 分 . 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 .20、解：（ 1）设等差数列a n 的公差为 d .a1a38a1a12d 8a12a6a1236a1 5d a111d36d2a n2(n1)22n数列 a n的通项公式为 a n2n .（ 2）由（ 1）知，a n 2bn 1a n12a n2(n1)22n2n2 nb n2(n1)22n 4 又b12适合上式b n2n4(n N )b n1b n2n2(2n4)2数列 b n是首项为 2 ，公差为 2 的等差数列.S n2n n( n1)(2)2n n2n n23n221、解：（ 1）证明：DE 垂直平分PC E 为PC的中点又F为BC的中点EF 为BCP的中位线EF / /BP又EF平面 ABP, BP平面 ABP EF / /平面 ABP（ 2）证明：连接BEPB BC，E为PC的中点PC BEDE 垂直平分PC PC DE又BE DE E ，BE,DE平面BDE PC平面BDE又BD平面BDE PC BDPA 平面 ABC, BD平面ABC PA BD又PC PA P ，PC,PA平面PAC BD平面PAC又AC平面PAC BD AC。

2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则M N =（ ）A .{}0,1,2B .{}1,0,1-C .MD .N2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）A .lg lg lg y y x x -=B .lg()lg lg x y x y +=+C .3lg 3lg x x =D .ln lg ln10x x = 3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，设(0)f a =，则()=f a （ ） A .2- B .1- C .12D .0 4、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1x i+的虚部是2，则x =（ ） A .4 B .2 C .2- D .4-5、设实数a 为常数，则函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是（ ） A .1a ≤ B .1a > C .14a ≤ D .14a > 6、已知向量(1,1)a =，(0,2)b =，则下列结论正确的是（ ）A .//a bB .(2)a b b -⊥C .a b =D .3a b =7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）A .69和B .96和C .78和D .87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）A .1B .2C .4D .89、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A .0B .1-C .32- D .2- 10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ） A .DA DC AC -= B .DA DC DO +=C .OA OB AD DB -+= D .AO OB BC AC ++=11、设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若2,a b c ===C =（ ） A .56π B .6π C .23π D .3π 12、函数()4sin cos f x x x =，则()f x 的最大值和最小正周期分别为（ ）A .2π和B .4π和C .22π和D .42π和13、设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（ ）A .4B .8 C. D.14、设函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()f x 为奇函数，若10x <，20x >，则下列结论不正确的是（ ）A .(0)0f =B .1()0f x >C .221()(2)f x f x +≤D .111()(2)f x f x +≤ 15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a +++=（ ） A .24(21)n - B .124(21)n -+ C .4(41)3n - D .14(42)3n -+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线221916x y -=的离心率为 . 17、若2sin()23πθ-=，且0θπ<<，则tan θ= . 18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .19、圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列{}n a 满足138a a +=，且61236a a +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12b =，112n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .21、如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，PB BC =，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交AC PC ，于点,D E .（1）证明：//EF ABP 平面；（2）证明：BD AC ⊥.2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B 解析：{}101M N =-，，，故选B.2、B 解析：对于B 项，令1x y ==，则lg()lg 2lg10x y +=>=，而lg lg 0x y +=，显然不成立，故选B.3、C 解析：3(0)011a f ==-=- 11()(1)22f a f -∴=-==，故选C. 4、D 解析：(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++- 242x x ∴-=⇒=-，故选D. 5、C 解析：由已知可得，11404a a ∆=-≥⇒≤，故选C. 6、B 解析：对于A 项，12-010⨯⨯≠，错误；对于B 项，2(2,0)a b -=，(0,2)b =，则20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥，正确； 对于C 项，2,2a b ==，错误；对于D 项，10122a b =⨯+⨯=，错误. 故选B.7、A 解析：抽样比为1535010k ==，则应抽取的男生人数为320=6()10⨯人，应抽取的女生人数为3(5020)9()10-⨯=人，故选A. 8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为2214V =⨯⨯=，故选C.9、D 解析：（快速验证法）交点为11(0,1),(0,0),(,)22-，则2z x y =-分别为32,0,2--，所以z的最小值为2-，故选D.10、D 解析：对于A 项，DA DC CA -=，错误；对于B 项，2DA DC DO +=，错误；对于C 项，OA OB AD BA AD BD -+=+=，错误；对于D 项，AO OB BC AB BC AC ++=+=，正确. 故选D.11、A 解析：由余弦定理，得222222cos 22a b c C ab +-===-，又0C π<< 5=6C π∴，故选A. 12、A 解析：()2sin 2f x x =max ()2f x ∴=，最小正周期为22T ππ==，故选A. 13、B解析：122F F c c ==⇒= 22224164a c b a ∴=+=+=⇒= 122248PF PF a ∴+==⨯=，故选B.14、D 解析：对于A 项，()f x 为R 上的奇函数 (0)0f ∴=，正确；对于B 项，()f x 为R 上的减函数 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=，正确； 对于C 项，20x >2222221121x x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立) 221()(2)f x f x ∴+≤，正确； 对于D 项，10x < 1111111()2x x x x x x ∴+=--+≤-=---111()(2)(2)f x f f x ∴+≥-=-，错误. 故选D. 15、16、C 解析：当2n ≥时，1122(22)2222n n n n n n n n a S S +-=-=---=⨯-=；当1n =时，211222a S ==-=适合上式. 222()(2)4n n n n n a n N a *∴=∈⇒=={}2n a ∴是首项为4，公比为4的等比数列 222124(14)4(41)143n n n a a a --∴+++==-，故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、17、53 解析：由已知，得2293,164a a b b =⇒==⇒= 222916255c a b c ∴=+=+=⇒=∴双曲线的离心率为53c e a ==. 18解析：2s i n ()c o s 23πθθ-==，且0θπ<<sin 3θ∴=== sin 3tan cos 322θθθ∴==⨯=. 19、49 解析：224339P ⨯==⨯. 20、22(4)(2)2x y -++= 解析：联立203100x y x y +-=⎧⎨-++=⎩得4(4,2)2x y =⎧⇒-⎨=-⎩圆心为 则圆心(4,2)-到直线40x y +-=的距离为d ==∴圆的标准方程为22(4)(2)2x y -++=.三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .∴1311161211828236511362a a a a d a a a a d a d d +=++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+=+++==⎩⎩⎩ 2(1)22n a n n ∴=+-⨯= ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由（1）知，2n a n = 1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+2(1)224n b n n ∴=--+=-+ 又12b =适合上式 24()n b n n N *∴=-+∈122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=- ∴数列{}n b 是首项为2，公差为2-的等差数列. 22(1)2(2)232n n n S n n n n n n -∴=+⨯-=-+=-+ 21、解：（1）证明：DE 垂直平分PC E ∴为PC 的中点 又F 为BC 的中点 EF ∴为B C P 的中位线 //EF BP ∴ 又,EF ABP BP ABP ⊄⊂平面平面 //EF ABP ∴平面（2）证明：连接BEPB BC =，E 为PC 的中点 P C B E ∴⊥DE 垂直平分PC P C D E ∴⊥又BE DE E =，,BE DE BDE ⊂平面 P C B D E ∴⊥平面 又BD BDE ⊂平面 P C B D∴⊥ ,PA ABC BD ABC ⊥⊂平面平面 P A B D ∴⊥又PC PA P =，,PC PA PAC ⊂平面 B D P A C ∴⊥平面 又AC PAC ⊂平面 B D A C∴⊥。

2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则M N =I （ ）A .{}0,1,2B .{}1,0,1-C .MD .N2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）A .lg lg lg y y x x-= B .lg()lg lg x y x y +=+ C .3lg 3lg x x = D .ln lg ln10xx =3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，设(0)f a =，则()=f a （ ）A .2-B .1-C .12D .04、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1xi+的虚部是2，则x =（ ） A .4 B .2 C .2- D .4-5、设实数a 为常数，则函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是（ ）A .1a ≤B .1a >C .14a ≤D .14a > 6、已知向量(1,1)a =r ，(0,2)b =r，则下列结论正确的是（ ）A .//a b r rB .(2)a b b -⊥r r rC .a b =r rD .3a b =r r g7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）A .69和B .96和C .78和D .87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）A .1B .2C .4D .89、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A .0B .1-C .32- D .2-10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）A .DA DC AC -=u u u r u u u r u u u rB .DA DC DO +=u u u r u u u r u u u rC .OA OB AD DB -+=u u u r u u u r u u u r u u u r D .AO OB BC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r11、设ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3,2,13a b c ===C =（ ）A .56π B .6π C .23π D .3π 12、函数()4sin cos f x x x =，则()f x 的最大值和最小正周期分别为（ ）A .2π和B .4π和C .22π和D .42π和13、设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =12PF PF +=（ ）A .4B .8 C. D.14、设函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()f x 为奇函数，若10x <，20x >，则下列结论不正确的是（ ）A .(0)0f =B .1()0f x >C .221()(2)f x f x +≤ D .111()(2)f x f x +≤ 15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a +++=L （ ）A .24(21)n -B .124(21)n -+ C .4(41)3n - D .14(42)3n -+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线221916x y -=的离心率为 . 17、若2sin()23πθ-=，且0θπ<<，则tan θ= . 18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 . 19、圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列{}n a 满足138a a +=，且61236a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12b =，112n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .21、如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，PB BC =，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交AC PC ，于点,D E .（1）证明：//EF ABP 平面； （2）证明：BD AC ⊥.2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B 解析：{}101M N =-I ，，，故选B.2、B 解析：对于B 项，令1x y ==，则lg()lg 2lg10x y +=>=，而lg lg 0x y +=，显然不成立，故选B.3、C 解析：3(0)011a f ==-=-Q 11()(1)22f a f -∴=-==，故选C. 4、D 解析：(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++-Q242x x ∴-=⇒=-，故选D. 5、C 解析：由已知可得，11404a a ∆=-≥⇒≤，故选C. 6、B 解析：对于A 项，12-010⨯⨯≠，错误；对于B 项，2(2,0)a b -=r r ，(0,2)b =r ，则20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥r r r，正确；对于C 项，2a b ==r r，错误；对于D 项，10122a b =⨯+⨯=r rg，错误. 故选B. 7、A 解析：抽样比为1535010k ==，则应抽取的男生人数为320=6()10⨯人，应抽取的女生人数为3(5020)9()10-⨯=人，故选A. 8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为2214V =⨯⨯=，故选C.9、D 解析：（快速验证法）交点为11(0,1),(0,0),(,)22-，则2z x y =-分别为32,0,2--，所以z 的最小值为2-，故选D.10、D 解析：对于A 项，DA DC CA -=u u u r u u u r u u u r，错误； 对于B 项，2DA DC DO +=u u u r u u u r u u u r，错误；对于C 项，OA OB AD BA AD BD -+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，错误； 对于D 项，AO OB BC AB BC AC ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，正确. 故选D.11、A 解析：由余弦定理，得222222cos 22a b c C ab +-===，又0C π<<Q 5=6C π∴，故选A. 12、A 解析：()2sin 2f x x =Q max ()2f x ∴=，最小正周期为22T ππ==，故选A. 13、B解析：122F F c c ==⇒=Q22224164a c b a ∴=+=+=⇒=122248PF PF a ∴+==⨯=，故选B.14、D 解析：对于A 项，()f x Q 为R 上的奇函数 (0)0f ∴=，正确；对于B 项，()f x Q 为R 上的减函数 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=，正确；对于C 项，20x >Q 222221121x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立) 221()(2)f x f x ∴+≤，正确； 对于D 项，10x <Q111111()2x x x x ∴+=--+≤-=--111()(2)(2)f x f f x ∴+≥-=-，错误. 故选D. 15、C 解析：当2n ≥时，1122(22)2222n n n n nn n n a S S +-=-=---=⨯-=；当1n =时，211222a S ==-=适合上式. 222()(2)4n n n n n a n N a *∴=∈⇒=={}2n a ∴是首项为4，公比为4的等比数列 222124(14)4(41)143n n n a a a --∴+++==-L ，故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分. 16、53解析：由已知，得2293,164a a b b =⇒==⇒= 222916255c a b c ∴=+=+=⇒= ∴双曲线的离心率为53c e a ==. 17、2 解析：2sin()cos 23πθθ-==Q ，且0θπ<<sin θ∴===sin 3tan cos 2θθθ∴===. 18、49 解析：224339P ⨯==⨯. 19、22(4)(2)2x y -++= 解析：联立203100x y x y +-=⎧⎨-++=⎩得4(4,2)2x y =⎧⇒-⎨=-⎩圆心为则圆心(4,2)-到直线40x y +-=的距离为d ==∴圆的标准方程为22(4)(2)2x y -++=.三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .∴1311161211828236511362a a a a d a a a a d a d d +=++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+=+++==⎩⎩⎩2(1)22n a n n ∴=+-⨯= ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由（1）知，2n a n = 1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+2(1)224n b n n ∴=--+=-+ 又12b =Q 适合上式 24()n b n n N *∴=-+∈122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=- ∴数列{}n b 是首项为2，公差为2-的等差数列.22(1)2(2)232n n n S n n n n n n -∴=+⨯-=-+=-+ 21、解：（1）证明：DE Q 垂直平分PC E ∴为PC 的中点 又F Q 为BC 的中点 EF ∴为BCP V 的中位线 //EF BP ∴ 又,EF ABP BP ABP ⊄⊂Q 平面平面 //EF ABP ∴平面 （2）证明：连接BEPB BC =Q ，E 为PC 的中点 PC BE ∴⊥DE Q 垂直平分PC PC DE ∴⊥又BE DE E =Q I ，,BE DE BDE ⊂平面 PC BDE ∴⊥平面又BD BDE ⊂Q 平面 PC BD ∴⊥,PA ABC BD ABC ⊥⊂Q 平面平面 PA BD ∴⊥又PC PA P =Q I ，,PC PA PAC ⊂平面 BD PAC ∴⊥平面又AC PAC ⊂Q 平面 BD AC ∴⊥。

机密★启用前试卷类型：A2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷本试卷共4页，21小题，满分100分。

考试用时90分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．每题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合}4,2,0{=M ，}3,2,1{=N ，}3,0{=P ，则=P N M )(（）A ．}4,3,2,1,0{B ．}3,0{C ．}4,0{D ．}0{2．函数)1lg(+=x y 的定义域是（）A ．},{+∞-∞B ．),0(+∞C ．),1(+∞-D ．),1[+∞-3．设i 为虚数单位，则复数=-i i 1（）A ．i +1B ．i -1C ．i +-1D ．i--14．命题甲：球体的半径是1cm ，命题乙：球体的体积是π34cm 2，则甲是乙的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知直线l 过点A(1，2)，且与直线y ＝21x ＋1垂直，则直线l 的方程是（）A ．y ＝2xB ．y ＝－2x ＋4C ．y ＝2321+xD ．y ＝2521+x 6．顶点在坐标原点，准线为x ＝－2的抛物线的标准方程是（）A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．x 2＝8y D ．x 2＝－8y7．已知三点A(－3，3),B(0,1)，C(1，0)，则|BC AB +|等于（）A ．5B ．4 C.213+ D.213-8．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，终边过点P )2,5(-，则下列等式不正确的是（）A ．32sin -=αB ．32)sin(=+παC ．35cos =αD ．23tan -=α9．下列等式恒成立的是（）A ．3231-=X X B ．23)3(2X X =C ．)3(log 2log )1(log 23323+=++x x D ．x x -=31log 210．已知数列}{n a 满足11=a ，且21=-+n n a a ，则的前n 项和n S =（）A ．12+nB ．2nC ．12-nD ．12-n 11．已知实数z y x ,,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤≤23y x x y x ，则y x z +=2的最大值为（）A ．3B ．5C ．9D ．1012．已知点A (-1,8)和B 点（5,2），则以线段AB 为直径的圆的标准方程是（）A ．23)5()2(22=+++y xB ．18)5()2(22=+++y xC ．23)5()2(22=-+-y xD ．18)5()2(22=-+-y x 13．下列不等式一定成立的是（）A ．)0(21≠≥+x x x B ．)(11122R x x x ∈≥++C ．)(212R x x x ∈≤+D ．)(0652R x x x ∈≥++14．已知)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当]0,(-∞∈x 时，x x x f sin )(2-=，则当),0[+∞∈x 时，)(x f =（）A ．x x sin 2+B ．x x sin 2--C ．x x sin 2-D ．xx sin 2+-15．已知样本54321,,,,x x x x x 的平均数为4，方差为3，则6,6,6,6,654321+++++x x x x x 的平均数和方差分别为（）A ．4和3B ．4和9C ．10和3D ．10和9二．填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上）16．已知0>x ，且15,,35x 成等比数列，则x =________17．函数x x x x x f cos )1sin()1cos(sin )(+++=的最小正周期是_______18．从1,2,3,4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是_______19．中心在坐标原点的椭圆，其离心率为21，两个焦点F 1和F 2在x 轴上，P 为该椭圆上的任意一点，若4||||11=+PF PF ，则此椭圆的标准方程是_______三、解答题（本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）20．△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为c b a ,,，已知Bb A a cos cos =（1）证明：△ABC 为等腰三角形；（2）若2=a ，3=c ，求sin C 的值.21．如图，在四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥AB ，P A ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC =60°，P A =AB =BC =2，E 为PC 的中点.（1）证明：AP ⊥CD ；（2）求三棱锥P -ABC 的体积；（3）证明：AE ⊥平面PCD .。

2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷及参考答案一、选择题（本题共有15小题，每小题4分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合M ＝{0,2,4}, N ＝{1,2,3}, P ＝{0,3}, 则()MN P ＝A.{0,1,2,3,4}B.{0,3}C.{0,4}D.{0} 2.函数y ＝lg (x ＋1) 的定义域是A.(,)-∞+∞B.(0,)+∞C.(1,)-+∞D.[1,)-+∞3.设i 为虚数单位,则复数1ii -＝A.1＋iB.1-iC.-1＋iD.-1-i4.命题甲：球的半径为1cm;命题乙:球的体积为43πcm 3,则甲是乙的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.已知直线l 过点A(1,2),且与直线112y x =+垂直,则直线l 的方程是A.y ＝2xB.y ＝-2x ＋4C.1322y x =+ D.1522y x =+6.顶点在原点，准线为x ＝-2的抛物线的标准方程是A.28y x =B.28y x =-C.28x y =D.28x y =-7.已知三点A(-3, 3), B(0, 1), C(1,0),=+8.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,终边过点P )2-,下列等式不正确的是A.2sin 3α=-B.2sin()3απ+=C.cos 3α=D.tan 2α=-9.下列等式恒成立的是23x -= (0x ≠) B.22(3)3x x =C.22333log (1)log 2log (3)x x ++=+ D.31log 3x x =-10.已知数列{a }n 满足1a 1=,且1a a 2n n +-=,则{a }n 的前n 项之和n S ＝A.21n +B.2nC.21n -D.12n -11.已知实数x, y, z 满足32x y xx y ≤≤+≥,则z ＝2x ＋y 的最大值为A.3B.5C.9D.1012.已知点A(-1, 8)和B(5, 2),则以线段AB 为直径的圆的标准方程是A.22(2)(5)x y +++=22(2)(5)18x y +++= C.22(2)(5)x y -+-=22(2)(5)18x y -+-= 13.下列不等式一定成立的是 A.12x x +≥ (0x ≠) B.22111x x +≥+ (x R ∈)C.212x x +≤ (x R ∈)D.2560x x ++≥ (x R ∈)14.已知f (x )是定义在R 上的偶函数,且当(,0]x ∈-∞时,2()sin f x x x =-,则当[0,]x ∈+∞时, ()f x =A.2sin x x +B.2sin x x --C.2sin x x -D.2sin x x -+ 15.已知样本12345,,,,x x x x x 的平均数为4, 方差为3, 则123456,6,6,6,6x x x x x +++++的平均数和方差分别为A.4和3B.4和9C.10和3D.10和9 二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）16.已知x >0, 且5,,153x 成等比数列,则x ＝17. 函数()sin cos(1)sin(1)cos f x x x x x =+++的最小正周期是18.从1,2,3,4这四个数字中任意选取两个不同的数字,将它们组成一个两位数,该两位数小于20的概率是19.中心在坐标原点的椭圆,其离心率为12,两个焦点F 1 和F 2在x 轴上,P 为该椭圆上的任意一点,若| PF 1 |＋|PF 2|＝4,则椭圆的标准方程是三、 解答题（本题共2小题，每小题12分，满分24分，解答须写出文字说明，证明过程和验算步骤）20.ABC ∆的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知cos cos a bA B =（1）证明: ABC ∆为等腰三角形；（2）若a ＝2, c ＝3,求sin C 的值.21.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA AB ⊥, PA AD ⊥,AC CD ⊥,60oABC ∠=, PA ＝AB ＝BC ＝2.E 是PC 的中点.（1）证明: PA CD ⊥； （2）求三棱锥P-ABC 的体积； （3）证明: AE PCD ⊥平面.2017年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（答案【试题解析】） 1、B 【试题解析】：{}4,3,2,1,0=N M {}3,0)(=∴P N M . 2、C 【试题解析】： 对数函数要求真数大于0 101->⇒>+∴x x .3、D 【试题解析】:ii i i i i i i i --=--=-+=⋅-=-1111)1(1.4、C 【试题解析】：充分性：若cm R 1=，则233434cm R V ==π；同样利用此公式可证必要性.5、B 【试题解析】：121-=⇒k k 两直线垂直 2-=∴k l 的斜率为直线. 根据点斜式方程)(00x x k y y -=-可得)1(22--=-x y ，整理得42+-=x y .6、A 【试题解析】：由准线方程2-=x 可知焦点在x 轴上 422=⇒-=-∴p p由px y 22=可得x y 82=.7、A 【试题解析】：)1,1(),2,3(-=-=BC AB )3,4(-=+∴BC AB5)3(422=-+=+.8、D 【试题解析】：x y r x r y y x r ====-+=+=αααtan ,cos ,sin ,3)2()5(2222C B A ,,∴正确，D 错误55252tan -=-==x y α. 9、D 【试题解析】：A.)0(1313≠=-x x x；B.x x 223)3(=；C.)1(2log 2log )1(log 22222+=++x x . 10、B 【试题解析】：由已知可得{}n a 为首项为1，公差为2的等差数列2122)1(2)1(n n n n d n n na S n =⨯-+=-+=∴.11、C 【试题解析】：如图，画出可行域，当直线z x y +-=2平移经过点A 时在y 轴上的截距z 取得最大值，由)3,3(333A y x x y x ⇒⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==得 9332max =+⨯=∴z .12、D 【试题解析】：圆的标准方程为222)()r b y a x =-+-（，其中圆心为)5,2()228,251(=++-C ，半径为23)28()51(2122=-+--=r∴所求圆的标准方程为18)5()222=-+-y x （. 13、B 【试题解析】：A 选项：错在x 可以小于0；B 选项：1111)1(2111111222222=-+⋅+≥-+++=++x x x x x x（当且仅当11122+=+x x ，即0=x 时等号成立）C 选项：0)1(2122≥-=-+x x x x x 212≥+∴D 选项：设652++=x x y 可知二次函数与x 轴有两个交点，其值可以小于0. 14、A 【试题解析】：)(x f 是定义在R 上的偶函数，且当(,0]x ∈-∞时,2()sin f x x x =- 当[)+∞∈,0x 时，(]0,∞-∈-x )(sin )sin()()(22x f x x x x x f =+=---=-∴ ∴当[)+∞∈,0x 时，x x x f sin )(2+=. 15、C 【试题解析】：平均数加6，方差不变.16、5 【试题解析】：15,,35x 成等比数列 2515352=⨯=∴x 又0>x 5=∴x .17、π 【试题解析】：)12sin()1sin()1sin(cos )1cos(sin )(+=++=+++=x x x x x x x x f∴函数)(x f 的最小正周期为ππωπ===222T .18、41【试题解析】：所有可能的基本事件有12，13，14，21，23，24，31，32，34，41，42，43共12个，其中小于20的两位数有12，13，14共3个，由古典概型计算公式可得该两位数小于20的概率为41123==P .19、13422=+y x 【试题解析】：根据焦点在x 轴上可设椭圆标准方程为12222=+b y a x离心率21==a c e ，长轴长4221=+=PF PF a312,1,22222=-=-===∴c a b c a∴所求椭圆的标准方程为13422=+y x . 20、解：（1）证明：B bA a cos cos =由正弦定理得，B BA A cos sin cos sin =，即B A tan tan =又),0(,π∈B A B A =∴ ∴ABC ∆为等腰三角形. （2）由（1）知B A = 2==∴b a根据余弦定理，得 C ab b a c cos 2222-+=即81cos cos 222223222-=⇒⨯⨯-+=C C又),0(π∈C863)81(1cos 1sin 22=-=-=∴C C . 21、解：（1）证明：AB PA ⊥ ，AD PA ⊥，A AD AB = ，ABCD AD AB 平面⊂,ABCD PA 平面⊥∴ 又 ABCD CD 平面⊂ CD PA ⊥∴（2）由（1）知ABCD PA 平面⊥332260sin 222131sin 213131=⨯⨯⨯⨯⨯=⋅∠⋅⨯=⋅=∴∆- PA ABC BC AB AP S V ABC ABC P（3）证明：CD PA ⊥ ，CD AC ⊥，A AC PA = ，PAC AC PA 平面⊂,PAC CD 平面⊥∴ 又PAC AE 平面⊂ AE CD ⊥∴60,2=∠==ABC BC AB ABC ∆∴为等边三角形，且2=AC2==∴AC PA 又 E 为PC 的中点 PC AE ⊥∴又CD AE ⊥ ，C CD PC = ，PCD CD PC 平面⊂,PCD AE 平面⊥∴.。

2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则M N =I （ ）A .{}0,1,2B .{}1,0,1-C .MD .N2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）A .lg lg lgy y x x -= B .lg()lg lg x y x y +=+ C .3lg 3lg x x = D .ln lg ln10x x = 3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，设(0)f a =，则()=f a （ ）A .2-B .1-C .12D .04、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1xi+的虚部是2，则x =（ ） A .4 B .2 C .2- D .4-5、设实数a 为常数，则函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是（ ）A .1a ≤B .1a >C .14a ≤D .14a > 6、已知向量(1,1)a =r ，(0,2)b =r，则下列结论正确的是（ ）A .//a b r rB .(2)a b b -⊥r r rC .a b =r rD .3a b =r r g7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）A .69和B .96和C .78和D .87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）A .1B .2C .4D .89、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A .0B .1-C .32- D .2-10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）A .DA DC AC -=u u u r u u u r u u u rB .DA DC DO +=u u u r u u u r u u u rC .OA OB AD DB -+=u u u r u u u r u u u r u u u r D .AO OB BC AC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r11、设ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3,2,13a b c ===C =（ ）A .56π B .6π C .23π D .3π 12、函数()4sin cos f x x x =，则()f x 的最大值和最小正周期分别为（ ）A .2π和B .4π和C .22π和D .42π和13、设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若1243F F =12PF PF +=（ ）A .4B .8C .42D .4714、设函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()f x 为奇函数，若10x <，20x >，则下列结论不正确的是（ ）A .(0)0f =B .1()0f x >C .221()(2)f x f x +≤ D .111()(2)f x f x +≤ 15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a +++=L （ ）A .24(21)n -B .124(21)n -+ C .4(41)3n - D .14(42)3n -+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线221916x y -=的离心率为 . 17、若2sin()23πθ-=，且0θπ<<，则tan θ= . 18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 . 19、圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列{}n a 满足138a a +=，且61236a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12b =，112n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .21、如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，PB BC =，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交AC PC ，于点,D E .（1）证明：//EF ABP 平面； （2）证明：BD AC ⊥.2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B 解析：{}101M N =-I ，，，故选B.2、B 解析：对于B 项，令1x y ==，则lg()lg 2lg10x y +=>=，而lg lg 0x y +=，显然不成立，故选B.3、C 解析：3(0)011a f ==-=-Q 11()(1)22f a f -∴=-==，故选C. 4、D 解析：(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++-Q242x x ∴-=⇒=-，故选D. 5、C 解析：由已知可得，11404a a ∆=-≥⇒≤，故选C. 6、B 解析：对于A 项，12-010⨯⨯≠，错误；对于B 项，2(2,0)a b -=r r ，(0,2)b =r ，则20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥r r r，正确；对于C 项，2,2a b ==r r，错误；对于D 项，10122a b =⨯+⨯=r rg，错误. 故选B.7、A 解析：抽样比为1535010k ==，则应抽取的男生人数为320=6()10⨯人，应抽取的女生人数为3(5020)9()10-⨯=人，故选A. 8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为2214V =⨯⨯=，故选C.9、D 解析：（快速验证法）交点为11(0,1),(0,0),(,)22-，则2z x y =-分别为32,0,2--，所以z 的最小值为2-，故选D.10、D 解析：对于A 项，DA DC CA -=u u u r u u u r u u u r，错误； 对于B 项，2DA DC DO +=u u u r u u u r u u u r，错误；对于C 项，OA OB AD BA AD BD -+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，错误； 对于D 项，AO OB BC AB BC AC ++=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，正确. 故选D.11、A 解析：由余弦定理，得222cos 2a b c C ab +-===，又0C π<<Q 5=6C π∴，故选A. 12、A 解析：()2sin 2f x x =Q max ()2f x ∴=，最小正周期为22T ππ==，故选A. 13、B解析：122F F c c ==⇒=Q22224164a c b a ∴=+=+=⇒=122248PF PF a ∴+==⨯=，故选B.14、D 解析：对于A 项，()f x Q 为R 上的奇函数 (0)0f ∴=，正确；对于B 项，()f x Q 为R 上的减函数 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=，正确；对于C 项，20x >Q 222221121x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立)221()(2)f x f x ∴+≤，正确； 对于D 项，10x <Q111111()2x x x x ∴+=--+≤-=-- 111()(2)(2)f x f f x ∴+≥-=-，错误. 故选D. 15、C 解析：当2n ≥时，1122(22)2222n n n n nn n n a S S +-=-=---=⨯-=；当1n =时，211222a S ==-=适合上式. 222()(2)4n n n n n a n N a *∴=∈⇒=={}2n a ∴是首项为4，公比为4的等比数列 222124(14)4(41)143n n n a a a --∴+++==-L ，故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、53解析：由已知，得2293,164a a b b =⇒==⇒= 222916255c a b c ∴=+=+=⇒= ∴双曲线的离心率为53c e a ==. 17解析：2sin()cos 23πθθ-==Q ，且0θπ<<sin 3θ∴===sin 3tan cos 322θθθ∴==⨯=. 18、49 解析：224339P ⨯==⨯. 19、22(4)(2)2x y -++= 解析：联立203100x y x y +-=⎧⎨-++=⎩得4(4,2)2x y =⎧⇒-⎨=-⎩圆心为则圆心(4,2)-到直线40x y +-=的距离为d ==∴圆的标准方程为22(4)(2)2x y -++=.三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .2(1)22n a n n ∴=+-⨯= ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由（1）知，2n a n = 1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+2(1)224n b n n ∴=--+=-+ 又12b =Q 适合上式 24()n b n n N *∴=-+∈122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=- ∴数列{}n b 是首项为2，公差为2-的等差数列.21、解：（1）证明：DE Q 垂直平分PC E ∴为PC 的中点 又F Q 为BC 的中点 EF ∴为BCP V 的中位线 //EF BP ∴ 又,EF ABP BP ABP ⊄⊂Q 平面平面 //EF ABP ∴平面 （2）证明：连接BEPB BC =Q ，E 为PC 的中点 PC BE ∴⊥ DE Q 垂直平分PC PC DE ∴⊥又BE DE E =Q I ，,BE DE BDE ⊂平面 PC BDE ∴⊥平面又BD BDE ⊂Q 平面 PC BD ∴⊥又PC PA P =Q I ，,PC PA PAC ⊂平面 BD PAC ∴⊥平面又AC PAC ⊂Q 平面 BD AC ∴⊥感恩和爱是亲姐妹。