2015-2016学年度广东高中学生学业水平测试数学试题(解析版)

2015-2016学年度第二学期教学质量检查高二理科数学（B 卷）考生注意：本卷共三大题,22小题,满分150分。

考试用时120分钟.参考公式：最小二乘估计线性回归方程a x b yˆˆˆ+=中系数计算公式: ∑∑∑∑====-⋅-=---=ni ini ii ni ini iix n xy x n yx x x y yx x b1221121)())((ˆ，x b y aˆˆ-=，其中x ，y 表示样本均值. 22⨯列联表随机变量))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n K ++++-=。

)(2k K P ≥与k 对应值表：)(2k K P ≥0。

100.050。

025 0.0100.0050。

001k2。

7063.841 5。

024[来源：学网]6。

635 7。

87910.828第Ⅰ卷 选择题一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分． 每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应位置涂黑．1．复数i iz +=2的实部与虚部分别是（ ）A.1,1-B.1,1-C.1,1D.1,1--2.对具有线性相关关系的两个变量y 与x 进行回归分析,得到一组样本数据()11,y x ，()()n n y x y x ,,...,,22，则下列说法中不正确．．．的是（ ） A ．若最小二乘法原理下得到的回归直线方程a x yˆ52.0ˆ+=,则y 与x 具有正相关关系B ．残差平方和越小的模型,拟合的效果越好C ．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适D ．用相关指数2R 来刻画回归效果，2R 越小说明拟合效果越好3．向量的运算常常与实数运算进行类比，下列类比推理中结论正确的是（ ）A 。

“若)0(≠=c bc ac ,则a b =”类比推出“若)0( ≠⋅=⋅c c b c a ，则b a="B 。

2015-2016学年广东实验中学等高二（下）期末考试数学（理）试题一、选择题1．设集合{|06}A x x =≤≤，集合2{|3280}B x x x =+-≤，则A B = （ ） A ．4[0,]3 B ．4[2,]3- C ．[0,6] D ．[2,6]- 【答案】D【解析】试题分析：由于42,3B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦，故[]2,6A B ⋃=-．【考点】1．集合交集、并集和补集；2．一元二次不等式．【易错点晴】确定性、互异性和无序性．研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步．第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集．在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零．元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系． 2．若12z i =+，则41izz =-（ ） A ．1 B ．i C ．-1 D ．-i 【答案】B【解析】试题分析：22125z z ⋅=+=，故451ii =-． 【考点】复数运算．3．设随机变量~(2,9)N ζ，若()(2)P c P c ξξ>=<-，则c 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】C【解析】试题分析：依题意正态分布均值2μ=，故24,3c c c +-==． 【考点】正态分布．4．已知实数,x y 满足1x ya a <<（01a <<），则下列关系式恒成立的是（ ）A ．221111x y >++B ．22ln(1)ln(1)x y +>+ C ．sin sin x y > D ．22x y > 【答案】A【解析】试题分析：由于1x y a a <<且01a <<，所以222222110,,11,11x y x y x y x y >><+<+>++． 【考点】不等式．5．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张．如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是（ ）A ．24B ．96C ．144D ．210 【答案】B【解析】试题分析：如果1,2连，方法数有4424A =中，同理其它连的方法也有24种，故中的方法数有24496⋅=种． 【考点】排列组合．6．已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,,22a a a 成等差数列，则91078a a a a +=+（ ） A．3-．3+【答案】C【解析】试题分析：因为1321,,22a a a 成等差数列，所以3122a a a =+，即21112a q a a q=+，2210q q --=，1q =，故()278291078783a a qa a q a a a a ++===+++【考点】等差、等比数列的基本概念．7．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是（ ）A ．16B ．17C ．18D ．19【答案】A【解析】试题分析：根据程序框图分析可知，程序框图的作用是计算()333332log 2log 2log log 22n n --+=<+，即21,1428n n <>+，即15n =．由于程序运行时先1n n =+再进行循环的判断，故取16n =． 【考点】算法与程序框图．8．已知函数()sin()f x x ϕ=-且2πϕ<，又230()0,f x d x π=⎰则函数()f x 的图象的一条对称轴是（ ） A ．56x π= B ．712x π= C ．3x π= D ．6x π=【答案】A【解析】试题分析：由于()2300f x dx π=⎰，即()f x 图象关于,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()sin 0,33f x ππϕϕ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，()sin()3f x x π=-，代入选项验证可知A 正确．【考点】1．定积分；2．三角函数图象与性质．9．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位： m ），则该四棱锥的体积为（ ）m 3A ．4B ．73C ．3D ．2 【答案】D【解析】试题分析：底面积为212⋅=，高为3，故体积为12323⋅⋅=． 【考点】三视图．10．设F 1，F 2分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得b PF PF 321=+，ab PF PF 4921=⋅，则该双曲线的离心率为（ ） A ．43 B ．3 C ．94 D ．53【答案】D【解析】试题分析：设12,PF m PF n ==，依题意有2m n a -=，3m n b +=，94m n ab ⋅=，前两项平方相减得224949mn b a ab =-=，两边除以2a 得249940,3b b b a a a ⎛⎫-⋅-== ⎪⎝⎭，故53e ==．【考点】双曲线离心率．【思路点晴】求解圆锥曲线的离心率问题，主要考虑方程的思想、圆锥曲线的定义，如椭圆的定义是点到两个定点的距离之和等于常数，并且常数大于两个定点的距离．双曲线是点到两个定点的距离之差的绝对值为常数．本题依题意 有2m n a -=，3m n b +=，94m n ab ⋅=，由此解方程组求得43b a =，进而求出离心率．有的题目还需要结合222a bc =+，或者222c a b =+来求解．11．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()S t ，且((0)0)S =，则导函数'()y S t =的图像大致为（ ）【答案】A【解析】试题分析：五角星向上升起的时候，首先面积缓慢提升，然后突然变大，但是面积提升的速度变换，然后稍微面积提升速度又变快一点，最后面积提升速度变慢．有以上分析过程可知，A 选项正确． 【考点】函数图象与性质．12．设直线l 1，l 2分别是函数f(x)= ln ,01,ln ,1,x x x x -<<⎧⎨>⎩图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（ ）A ．)1,0(B ．)2,0(C ．),0(+∞D ．),1(+∞ 【答案】A【解析】试题分析：设()()111222,ln ,,ln P x x P x x -（不妨设121,01x x ><<），则由导数的几何意义易得切线12,l l 的斜率分别为121211,.k k x x ==-由已知得12122111,1,.k k x x x x =-∴=∴=∴切线1l 的方程为()1111ln y x x x x -=-，切线2l 的方程为()2221ln y x x x x +=--，即1111ln y x x x x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭．分别令0x =得()()110,1ln ,0,1ln .A x B x -++又1l 与2l 的交点为2111221121,ln .11x x P x x x ⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭11x >，【考点】1．分段函数；2．函数导数与不等式．【思路点晴】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点横坐标的关系，同时得出切线方程，从而得点,A B 的坐标，由两直线相交得出P 点坐标，从而求得面积，把面积用1x 表示后，可得面积的取值范围．本题的求解是根据题意按部就班一步一步解得结论，这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，简单而实用．二、填空题13．已知向量,a b 夹角为45︒，且1,2a a b =-= ；则_____b = ．【答案】【解析】试题分析：2222244410a b a a b b b -=-⋅+=-+= ，解得b =【考点】向量运算．14．72)()(y x y x +-的展开式中63y x 的系数为 (用数字作答)． 【答案】0【解析】试题分析：系数为061524272727742350C C C C C C -⋅+⋅=-+=．【考点】二项式定理．15．记不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a(x ＋1)与D 有公共点，则a 的取值范围是________． 【答案】1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】试题分析：画出可行域和直线图象如下图所示，注意到直线过定点()1,0-．由图象可知，斜率的取值范围在,AB AC k k 之间，1,42AB AC k k ==，所以取值范围是1,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【考点】线性规划．【思路点晴】对于线性目标函数，必须明确线性目标函数的最值一般在可行域的顶点或边界取得，运用数形结合的思想方法求解．同时注意边界直线斜率与目标函数斜率的关系；对于非线性目标函数，应考虑其具有的几何意义，依平面几何知识解答；对于交汇问题应转化为目标函数最值问题处理．线性规划也是求值的一种，是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题，其关键是列出所有的限制条件，不能有遗漏的部分，如有时变量要求为正实数或自然数，其次是准确找到目标函数，如果数量关系多而杂，可以用列表等方法把关系理清．16．在平面内，定点A 、B 、C 、D 满足：==，2-=⋅=⋅=⋅，动点P 、M 满足：AP =1，PM =MC ，则BM的最大值是 ． 【答案】72【解析】试题分析：依题意可知，,,A B C 三个点在以D 为圆心，半径为R 的圆上，且AOB AOC BOC ∠=∠=∠ 23π=，故222cos 2,4,23R R R π=-==．由题意可知，P 点在以A 为圆心，半径为1的圆上，M 为PC 的中点．以D 为坐标原点，DA 为x 轴建立平面直角坐标系，各点的坐标分别为()2,0A，(1,B -，(C -，依题意P 在圆()2221x y -+=上，设其坐标为()2cos ,sin P θθ+，故1c 3s i n()2M θ+，3cos sin ,22BM θθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭ ，2223cos sin 22BM θθ⎛⎫+⎛⎫=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3712sin 49644πθ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==≤，BM 最大值为72．【考点】向量运算．【思路点晴】本题美妙的考查了向量的几何意义、向量的数量积，数形结合的思想、圆的参数方程，中点坐标公式，两点间的距离公式，三角函数求最值．题目的突破口在于三个向量模相等，并且两两的数量积相等，由此可知,,A B C 三个点在以D 为圆心，半径为R 的圆上，由此计算出圆的半径．根据1PA =，实际上P 点在以A 为圆心，半径为1的圆上，M 为PC 的中点．先设出P 点的参数方程，然后一步一步求出BM的表达式最终求得其最大值．三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c b a ,,，已知c o s (c 3s i n )c o sC A A B +=． （1）求角B 的大小； （2）若1b c ==，求ABC ∆的面积．【答案】（1）3B π=；（2【解析】试题分析：（1）利用sin sin()C A B =+，化简题目给定的已知条件，得到tan B =3B π=；（2）用余弦定理求出2a =，再利用三角形面积公式求得面积． 试题解析：（1）由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++=即sin sin cos 0A B A B -=因为sin 0A ≠，所以sin 0tan B B B =⇒=因为0B π<< 所以3B π=（2）因为2222cos b a c ac B =+-⋅所以231a a =+-，即220a a --=⇒2a =所以11sin 212222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=【考点】解三角形．18．正项数列{}n a 的前项和n S 满足:222(1)()0n n S n n S n n -+--+=．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令221(2)n nn b n a +=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ．证明:对于任意的*n N ∈，都有564n T <． 【答案】（1）2n a n =；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）对222(1)()0n n S n n S n n -+--+=因式分解得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦，20,n n S S n n >=+，再根据公式11,1,1n nn S n a S S n -=⎧=⎨->⎩求得2n a n =；（2）将2n a n =代入得222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦，利用裂项求和法求得()()221111511646412n T n n ⎡⎤=+--<⎢⎥++⎢⎥⎣⎦． 试题解析：（1）由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=，得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦．由于{}n a 是正项数列，所以20,n n S S n n >=+． 当1n =时，112a S ==当2n ≥221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=． 综上可知，数列{}n a 的通项公式2n a n =． （2）证明：由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+． 所以222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦． 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦ (2222)11111151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦． 【考点】1．数列求通项；2．裂项求和法．19．为了增强环保意识，省实社团从男生中随机抽取了60人，从女生中随机抽取了50（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）为参加广州市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同学通过预选赛的概率为32，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X 表示这3人中通过预选赛的人数，求X 的分布列与数学期望．附:2K ＝2()n ad bc - 【答案】（1）有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关；（2）分布列见解析，2．【解析】试题分析：（1）利用公式计算得22110(40302020)7.8260506050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯，故有99%把握；（2）X 的可能取值为0,1,2,3，且X 满足二项分布2~(3,)3X B ，由此求得分布列和期望． 试题解析：（1）22110(40302020)7.8260506050K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为27.822 6.635K ≈> 2( 6.635)0.01P K >= 所以有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关． （2）X 的可能取值为0，1，2，3 271)31()0(3===X P ，92)31)(32()1(213===C X P94)32)(31()2(223===C X P278)32()3(3===X P所以的分布列为：因为2~(3,)3X B ， 所以2()323E X np ==⨯= 【考点】1．独立性检验；2．二项分布．20．已知梯形BDEF 所在平面垂直于平面ABCD 于BD ，EF ∥BD ，12EF DE BD ==，2BD BC CD =====，DE BC ⊥．A BCDEF（1）求证：DE ABCD ⊥平面；（2）求平面AEF 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2 【解析】试题分析：（1）第一问利用面面垂直的性质定理来证明，连接AC 交BD 于O ，BD BC CD == 且,AB AD = AC BD ∴⊥，因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，交线为BD ，且AC ⊂平面ABCD AC ∴⊥平面BD EF ，DE ⊂ 平面BDEF ，DE AC ∴⊥，又D E B C ∴⊥且AC BC C = ，DE ∴⊥平面A B C D ；（2）以,,OA OB OF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用平面AEF 与平面CEF 的法向量来求二面角的余弦值． 试题解析：（1）连接AC 交BD 于O ，BD BC CD == 且,AB AD =AC BD ∴⊥因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，交线为BD ，且AC ⊂平面ABCD AC ∴⊥平面BDEFDE ⊂ 平面BDEF ，DE AC ∴⊥又DE BC ∴⊥且AC BC C = ，DE ∴⊥平面ABCD （2）1//,,2EF BD EF BD =且O 是BD 中点，ODEF ∴是平行四边形 //,OF DE OF ∴∴⊥平面ABCD分别以,,OA OB OF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(1,0,0),C(1,1),F(0,0,1)A - 设平面AEF 的法向量(,,)m x y z =，由00m AF m EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得(1,0,1)m = 设平面CEF 的法向量(,,)n x y z =， 由00n CF n EF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得(1,0,n =所以cos ,m n m n m n⋅<>==即平面AEF 与平面CEF【考点】空间向量法求面面角的余弦值．21．已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率e =且其中一个焦点与抛物线214y x=的焦点重合．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点1,03S ⎛⎫- ⎪⎝⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2212y x +=；（2）存在一个定点()1,0T 满足条件． 【解析】试题分析：（1）注意到焦点在y 轴上，故设椭圆的方程为()222210x y a b b a +=>>，依题意2c a =，焦点为()0,1，求得椭圆方程为2212y x +=；（2）若直线l 与x 轴重合则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，这两个圆都过()1,0T ．当直线l 不垂直于x轴时，可设直线1:3l y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，联立直线的方程和椭圆的方程，计算得0TA TB ⋅= ，故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件．试题解析：（1）设椭圆的方程为()222210x y a b b a +=>>，离心率2c e a ==，又抛物线214y x =的焦点为()0,1，所以1,1c a b ===， ∴椭圆C 的方程是2212y x +=． （2）若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是221x y +=，若直线l 垂直于x 轴，则以AB 为直径的圆是2211639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭．由22221,116,39x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝⎭⎩解得1,0.x y =⎧⎨=⎩即两圆相切于点()1,0． 因此所求的点T 如果存在，只能是()1,0．当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线1:3l y k x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．由221,31,2y k x y x ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()22222122039k x k x k +++-=．设()()1122,,,A x y B x y ，则2122212223,2129.2k x x k k x x k ⎧-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩又因为()()11221,,1,TA x y TB x y =-=-，()()121211TA TB x x y y ∴⋅=--+()()()22212122222222111113912211931112329k x x k x x k k kk k k k k ⎛⎫=++-+++ ⎪⎝⎭--⎛⎫=+⋅+-⋅++ ⎪++⎝⎭ 0,=TA TB ∴⊥，即以AB 为直径的圆恒过点()1,0T ．故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件． 【考点】直线与圆锥曲线的位置关系．【方法点晴】第一问中，题目给了两个条件，一个是离心率为2c e a ==，另一个条件是过抛物线的焦点．通过分析可以知道，抛物线的焦点在y 轴的正半轴上，所以椭圆的交点也在在y 轴的正半轴上，故设椭圆的方程为()222210x y a b b a+=>>．在求圆锥曲线方程的时候，要特别注意题目中隐藏的焦点所在位置的条件． 22．已知函数)(,ln )(2R a x x a x f ∈-=． （1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若1>x 时，0)(≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设0>a ，若),(11y x A ，),(22y x B 为曲线)(x f y =上的两个不同点，满足210x x <<，且),(213x x x ∈∃，使得曲线)(x f y =在3x x =处的切线与直线AB 平行，求证：2213x x x +<． 【答案】（1）当0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞，当0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a；（2）e a 2≤；（3）证明见解析． 【解析】试题分析：（1）先求得定义域0x >，然后求导xa x x x a x f +-=-=2'22)(，对a 分成两类来讨论()f x 的单调区间；（2）当1x >时，2()ln 0f x a x x =-≤等价于2ln x a x ≤，令()2ln x h x x=，利用到处求得()2h x e ≥，故2a e ≤；（3）先求得直线AB的斜率332AB ak x x =-，∵x x a x f 2)('-=在),0(+∞上是减函数， ∴要证：2213x x x +<，即证：)2()(21'3'x x f x f +>，即证2ln 11121212>-+x x x x x x ，令112>=x x t ，即证：)1(2ln )1(->+t t t 在()+∞∈,1t 恒成立，最后通过构造函数)1(2ln )1()(--+=t t t t F 来证明．试题解析：（1）∵函数R a x x x a x f ∈>-=,0,ln )(2∴xax x x a x f +-=-=2'22)(；当0≤a 时，0)('<x f 恒成立，∴)(x f 在定义域上是减函数；当0>a 时，⇒>0)('x f 220a x <<，∴)(x f 在)22,0(a 上是增函数； ⇒<0)('x f 22a x >，∴)(x f 在)22(∞+，a上是减函数； 综上所得， 0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞；②0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a ； （2）∵01)1(<=-f ，由（1）可知，0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞， ∴0)1()(<<f x f 恒成立，则0≤a 满足题意；当0>a 时，)(x f 的减区间是)22(∞+，a ，增区间是)22,0(a； ①若122≤a，即20≤<a 时)(x f 在),1(+∞上是减函数，∴20≤<a 满足题意； ②当122>a ，即2>a 时，)22()(a f x f ≤，令0)22(≤a f ， 即0)22(22ln2≤-⋅a a a ，解得e a 2≤，即e a 22≤<满足题意； 综上所得，a 的取值范围是e a 2≤；（3）∵12121212122112221212))((ln)ln ()ln (x x x x x x x x a x x x x a x x a x x y y k AB-+--=----=--==)(ln 121212x x x xx x a +--；又∵333'2)(x x a x f -=，∴331212122)(ln x x a x x x x x x a -=+-- ∵x xax f 2)('-=在),0(+∞上是减函数， ∴要证：2213x x x +<，即证：)2()(21'3'x x f x f +>， 即证：)(2)(ln 2121121212x x x x a x x x x x x a +-+>+--，即证：2ln 121221>-+x x x x x x ⇔2ln 11121212>-+x x x x x x 令112>=x x t ，即证：)1(2ln )1(->+t t t 在()+∞∈,1t 恒成立 令)1(2ln )1()(--+=t t t t F ，0111)(,11ln )(22'''>-=-=-+=tt t t t F tt t F∴)('t F 在()+∞∈,1t 上单调递增，0)1()(''=>F t F∴函数)(t F 在()+∞∈,1t 上单调递增，0)1()(=>F t F 恒成立， 即)1(2ln )1(->+t t t 成立，故2213x x x +<得证． 【考点】1．函数导数与单调区间；2．函数导数与不等式．【方法点晴】本题第一问考查分类讨论函数的单调性，导数为xax x x a x f +-=-=2'22)(，我们观察它的分子，分子是一个二次函数，且开口向下，那么单调区间只要分成两类就可以解决．分类讨论的问题，关键在于如何得到完整的分类标准．二次函数的分类标准主要在于二次项系数、对称轴、两个根的大小关系．制定分类标准要做到不重不漏．。

数学（必修） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集{1,2,3,4,5}U =，集合{1,2,4}A =，{1,3,5}B =，则()U C A B =∩（ ） A ．{1} B ．{3,5} C ．{1,3,5} D ．{2,3,4,5}2.已知点(1,1)A -，(2,)B t ，若向量(1,3)AB =u u u r，则实数t =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．-23.已知直线l 过点(1,1)，且与直线6540x y -+=平行，则l 的方程为（ ） A ．56110x y +-= B ．5610x y -+= C ．65110x y --= D ．6510x y --=4.已知角α的始边为x 轴的正半轴，点(1,3)是角α终边上的一点，则tan α=（ ） A ．-3 B ．13-C.13D ．3 5.已知函数32,0,()log ,0,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则1[()]3f f 的值是（ ）A ．1B ．12C.-1 D ．-2 6.执行如图所示的程序框图，若输入1x =，则输出k 的值为（ ）A ．3B ．4 C. 5 D ．67.下列函数()f x 中，满足“对任意12,(0,1)x x ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x <”的是（ ）A ．()|1|f x x =-B ．1()f x x = C. 1()1()2xf x =- D ．()sin 2f x x =8.已知实数,x y 满足约束条件5315,1,53,x y y x x y +≤⎧⎪≤+⎨⎪-≤⎩，则3z x y =-的取值范围是（ ）A ．[5,9]-B ．[7,9]- C.[5,3]- D ．[7,7]- 9.若0x 是函数()ln f x x =与2()g x x=的图象交点的横坐标，则0x 属于区间（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C. (2,3) D ．(3,)+∞10.设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A ．若//m n ，n α⊂，则//m α B ．若m n ⊥，//n α，则 m α⊥ C. 若//m α，//m β，则//αβ D ．若//m α，m β⊥，则a β⊥11.在区间[0,2]上随机取两个数,x y ，记1p 为事件“1x y +≤”的概率，2p 为事件“1xy ≥”的概率，则（ ） A ．1212p p <<B ．2112p p << C.1212p p << D ．2112p p <<12.已知数列{}n a 满足132a =，111n n a a +=-，则数列1{}1na -的前100项和为（ ） A ．4950 B ．5050 C.5100 D ．5150第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.函数()2f x x =+的定义域是__________.14.函数()sin(2)f x x ϕ=+（其中ϕ为常数，||2πϕ=）的部分图象如图所示，则ϕ=_______.15.已知一个四棱锥的底面边长是边长为2的正方形，顶点在底面的正投影为正方形的中心，5__________. 16.在平面四边形ABCD 中，2BC =，4DC =，四个内角的角度比为:::3:7:4:10A B C D =，则边AB 的长为__________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知向量(sin ,1)(1,cos )a x b x x R ==∈r r ，，，设()f x a b =rr •.（1）求函数()f x 的对称轴方程；（2）若2()(0,)432f ππθθ+=∈，求()4f πθ-的值. 18.（本小题满分12分）从某小区随机抽取40个家庭，收集了这40个家庭去年的月均用水量（单位：吨）的数据，整理得到频数分布表和频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a b ，的值；（2）从该小区随机选取一个家庭，试估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率； （3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，将该样本看成一个总体，从中任意选取2个家庭，求其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率. 19.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足715a =，且点*1(,)()n n a a n N +∈在函数2y x =+的图象上.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设3n an b =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 20.（本小题满分12分）一个长方体的平面展开图及该长方体的直观图的示意图如图所示.（1）请将字母,,E F G 标记在长方体相应的顶点处（不需说明理由）； （2）在长方体中，判断直线BG 与平面AFH 的位置关系，并证明你的结论； （3）在长方体中，设AB 的中点为M ，且2AB =，2AE =EM ⊥平面AFG .21.（本小题满分12分）已知直线20x y +-=被圆222:C x y r +=所截得的弦长为8. （1）求圆C 的方程；（2）若直线l 与圆C 切于点P ，当直线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴围成的三角形面积最小时，求点P 的坐标. 22.（本小题满分12分）设函数2()2(,)f x x ax b a b R =++∈.（1）当1b a =-时，求函数()f x 在[1,1]-上的最大值()g a 的表达式； （2）当21b a =-时，讨论函数[()]y f f x =在R 上的零点个数.2016学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学试题参考答案及评分标准一、选择题1-5:BADDB 6-10:CCACD 11、12：AD 二、填空题13. [2,)-+∞ 14. 3π15. 43π 16.32三、解答题17.解：（1）()sin cos f x a b x x ==+rr •222(sin cos )22x x =+所以函数()f x 的对称轴方程为()4x k k Z ππ=+∈.………………4分（2）由（1）得，()2)4f x x π=+.因为2()43f πθ+=， 所以()2)444f πππθθ+=++………………5分 22)223πθθ=+==………………6分所以1cos 3θ=.………………7分 因为(0,)2πθ∈，所以222sin 1cos 3θθ=-=.………………8分 所以()2)2444f πππθθθ-=-+=………………9分433==.………………10分 18.解：（1）因为样本中家庭月均用水量在[4,6)上的频率为100.2540=， 在[6,8)上的频率为160.440=， 所以0.250.1252a ==，0.40.22b ==.………………2分（2）根据频数分布表，40个家庭中月均用水量不低于6吨的家庭共有16+8+4=28个， 所以样本中家庭月均用水量不低于6吨的概率是280.740=. 利用样本估计总体，从该小区随机选取一个家庭，可估计这个家庭去年的月均用水量不低于6吨的概率约为0.7.………………4分（3）在这40个家庭中，用分层抽样的方法从月均用水量不低于6吨的家庭里抽取一个容量为7的样本，则在[6,8)上应抽取167428⨯=人，记为,,,A B C D ，………………5分 在[8,10)上应抽取87228⨯=人，记为,E F ，………………6分在[10,12]上应抽取47128⨯=人，记为G .………………7分设“从中任意选取2个家庭，求其中恰有1个家庭的月均用水量不低于8吨”为事件， 则所有基本事件有：{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}A B A C A D A E A F A G B C ，，，，，，{,}{,}{,}B D B E B F ，，，，{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}{,}B G C D C E C F C G D E D F D G E F E G ，，，，，，，，，{,}F G ，，共21种.…………9分事件包含的基本事件有：{,}{,}{,}A E A F A G ，，，{,}{,}B E B F ，，{,}B G ，{,}{,}{,}{,}{,}{,}C E C F C G D E D F D G ，，，，，，共12种.………………11分所以其中恰有一个家庭的月均用水量不低于8吨的概率为124217=.………………12分 19.解：（1）依题意得，得12n n a a +=+，即12n n a a +-=.………………1分 所以数列{}n a 是公差为2的等差数列.………………2分 由715a =，得16215a +⨯=，解得13a =.………………3分所以1(1)n a a n d =+-………………4分3(1)221n n =+-⨯=+.………………5分（2）因为2133na n nb +==，所以127b =.………………6分因为23121393n n n n b b +++==，所以{}n b 是公比为9的等比数列.………………8分所以1(1)1n n b q T q-=-………………10分27(19)27(91)198n n ⨯-==--.………………12分20.解：（1）字母,,E F G 标记如图所示.………………2分（2）//BG 平面AFH ，证明如下：在长方体ABCD EFGH -中，//AB GH ，且AB GH =， 所以四边形ABGH 是平行四边形， 所以//BG AH .………………4分又AH ⊂平面AFH ，BG ⊄平面AFH ，所以//BG 平面AFH .………………6分 （3）在长方体ABCD EFGH -中，FG ⊥平面ABFE ， 又EM ⊂平面ABFE ，所以FG EM ⊥.………………8分 在Rt AEF ∆与Rt MAE ∆中，90AEF MAE ∠=∠=o ，2EF AEAE MA==， 所以Rt AEF Rt MAE ∆∆∽，所以EFA AEM ∠=∠.因为90AEM MEF ∠+∠=o，所以90EFA MEF ∠+∠=o，所以AF EM ⊥.………………10分又AF ⊂平面AFG ，FG ⊂平面AFG ，AF FG F =∩，所以EM ⊥平面AFG .………………12分21.解：（1）因为圆C 的圆心到直线20x y +-=的距离为d ==，………………1分所以222228()4182r d =+=+=.………………2分 所以圆C 的方程2218x y +=.………………3分 （2）设直线l 与圆C 切于点0000(,)(0,0)P x y x y >>，则220018x y +=.………………4分因为00OP y k x =，所以圆的切线的斜率为00xy -.………………5分 则切线方程为0000()x y y x x y -=--，即0018x x y y +=.………………6分 则直线l 与x 轴正半轴的交点坐标为018(,0)x ，与y 轴正半轴的交点坐标为018(0,)y . 所以围成的三角形面积为0000118181622S x y x y =⨯⨯=.………………9分 因为220000182x y x y =+≥，所以009x y ≤.当且仅当003x y ==时，等号成立.………………10分 因为00x >，00y >,所以00119x y ≥， 所以00162162189S x y =≥=. 所以当003x y ==时，S 取得最小值18.………………11分 所以所求切点P 的坐标为(3,3).………………12分 22.当1b a =-时，222()21()1f x x ax a x a a a =++-=+-+-，对称轴为直线x a =-.当1a -<-即1a >时，()f x 在[1,1]-上是增函数，所以()(1)3g a f a ==.………………1分 当10a -≤-≤即01a ≤≤时，()f x 在[1,]a --上是减函数，在[,1]a -上是增函数， 且(1)(1)3f a f a -=-<=，所以()(1)3g a f a ==.………………2分当01a <-≤即10a -≤<时，()f x 在[1,]a --上是减函数，在[,1]a -上是增函数， 且(1)(1)3f a f a -=->=，所以()(1)g a f a =-=-.………………3分 当1a ->即1a <-时，()f x 在[1,1]-上是减函数，所以()(1)g a f a =-=-.综上所述，,0,()3,0.a a g a a a -<⎧=⎨≥⎩.………………4分（2）当21b a =-时，22()21(1)(1)f x x ax a x a x a =++-=+++-.令[()]0f f x =，即(()1)(()1)0f x a f x a +++-=， 解得()1f x a =--或()1f x a =-+.………………5分当()1f x a =--时，22211x ax a a ++-=--，即2220x ax a a +++=.因为221(2)4()4a a a a ∆=-+=-，所以当10∆>即0a <时，方程2220x ax a a +++=有两个实数解.………………6分 当10∆=即0a =时，方程2220x ax a a +++=有且只有一个实数解0x = (7)分当10∆<即0a >时，方程2220x ax a a +++=没有实数解.………………8分当()1f x a =-+时，22211x ax a a ++-=-+，即22220x ax a a +++-=.因为222(2)4(2)48a a a a ∆=-+-=-+，所以当20∆>即2a <时，方程22220x ax a a +++-=有两个实数解.………………9分 当20∆=即2a =时，方程22220x ax a a +++-=有且只有一个实数解2x =.………………10分当20∆<即2a >时，方程22220x ax a a +++-=没有实数解.………………11分综上所述，当0a <时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是4； 当0a =时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是3；当02a <<时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是2；当2a =时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是1；当2a >时，函数[()]y f f x =在R 上的零点个数是0.………………12分。

1 / 3秘密★启用前 2012学年度广州市高中二年级学生学业水平测试数学本试卷共4页.满分150分.考试用时120分钟. 一、选择题：本大题共 10小题，每小题5分，满分50分•在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合 题目要求的. 1.已知全集 U 二｛1,2,3,4,5｝,集合 A —1,3 ?,,则 Q A =( C. ：2,4,5? ,则 tan ：=( 3 C.— 4 A . .一 B. (1,3? 2. 已知点P(3,/)是角〉终边上的一点4 3 A . B. 3 4D. “23,4,5 / 4 D.3 3. 若直线y =ax • 3与直线讨二-2x a 垂直，则实数a 的值为( 1C.2 9的矩形框，不考虑焊接损耗 C. 6A . -2 B. 24. 要用一根铁丝焊接围成一个面积为 A .24 B. 1 25. 如图1,在边长为2的正方形ABCD 内随机取一点P,分别以 1为半径作圆，在正方形ABCD 内的四段弧所围成的封闭区域记为 P 取自区域M 的概率是( ) Ji A .2 JiC.1 - 46. 某几何体的三视图 ( )1 A . 61C.— 2 函数 f(x) =£x - ) 1D.-2 ，则需要铁丝的长度至少为( B. D. JI 4 JI 1 -—2 则该几何体的体积为 7. (均为直角三角形)及其尺寸如图 2所示, B. D. 2 2的零点所在的区间为 x 图i 1 j A 0 — I — ・..,2 - .2，已知等差数列｛a n ｝的首项为4,公差为 —的前n 项和为( S nn A .2(n 1)在长方形 ABCD 中，AB=2, AD=1, A . 4 B. 210.设函数f x 的定义域为R,若存在与x 无关的正常数 f x 为有界泛函.有下面四个函数：B. 1,1C. 8. 9. B. 3 1 - I ，2 4,其前n 项的和为 D. i 2S n ,则数 2n (n 1)^ 贝U AC CD =( C. -2 C. n(n 1) D.2n n 1M, D. _4使f(x)乞M x 对一切实数x 恒成立，则称x18.2 / 3① f (x) =1;② f(x) =x 2； ③ f (x) = 2xsin x ；其中属于有界泛函的是A.①② ( )B.③④C.①③D.②④二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，满分20分. 11.已知幕函数 f (x) 的图象过点 2, 2 ,则函数f(x) 的定义域是 1 1 12•如图3,给出的是计算S =1 2 3 框图，当程序结束时，n 的值为 ________ 13.已知△ ABC 的三 个顶点的坐标 分别是 A(2,4,0),B(2,0,3) , C(2,2, z),若.C =90；,则 z 的值为 x E3, I 2 2 14.设实数x, y 满足x-y ，2_0,则x ，y 的 x y -4 _0, 1 丄值的一个程序n 取值范围是 三、解答题：本大题共 6小题，满分80分•解答应写出文字说明、演算步骤和推证过程 15.(本小题满分12分) 在平面直角坐标系 xOy 中，已知A(3,1), C(1,0) (1) 求以点C 为圆心，且经过点A 的圆C 的标准方程；(2) 若直线I 的方程为x -2y • 9 = 0,判断直线I 与圆C 的位置关系，并说明理由. 16.(本小题满分12分) 已知函数 f(x) =sin x 「/3cosx, R . (1)求函数f (x)的的最小正周期； 6a € 1(0— I-， ，2， (2)若 f -匸 I 3丿5 17.(本小题满分14分) 对某校高二年级学生参加社区服务系数惊醒统计 社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下 求f 2： -3的值- ,随机抽取N 名学生作为样本，得到这N 名学生参加 分组 频数 频率[3, 6) 10 m [6, 9) n P [9, 12)4 q [12, 15)2 0.05合计N1(1) 求赋中目N , p ,及图中的a 的值; (2) 在所取样本中，从参加社区服务的次数不于9次的学生中任选 服务次数在区间 小题满分 (本小12 14分)2人，求至少有一人参加社 ,15内的概率•次数如图4所示,AB 是O O 的直径，点C 是O O 圆周上不同于 A 、B 的任意一点,PA 丄平面ABC,点E 是线段3 / 3PB 的中点，点M 在AB 上,且MO//AC .（1） （2）19. (1) (2) (3) 求证:BC 丄平面FAC; 求证:平面EOM //平面FAC. （本小题满分14分） 已知数列:a n ?满足a 1 =1, a n “ =a, d, a ?2, a 3成等差数列. 求■的值； 求数列fa n ?的通项公式； 2n 20. 设数列:b n ?满足b n 口 a n +3 （本小题满分14分） 设a 为常数，a • R ,函数f （x ） 2证明: =x 2|x - a | 1, x ：= R. （1）若函数f （x ）是偶函数，求实数a 的值; （2）求函数f （x ）的最小值.。

2015—2016学年度第二学期期末教学质量检查高一数学(A ）考生注意:本卷共三大题，22小题，满分150分,时间120分钟.不准使用计算器.参考公式：1。

方差的计算公式：])()()[(1222212x x x x x x nS n-++-+-= ；2.用最小二乘法求线性回归方程a xb yˆˆˆ+=的系数公式:()()()∑∑∑∑====-⋅⋅-=---=n i i ni ii ni i ni i ixn x yx n yx x x y y x xb1221121ˆ，x b y aˆˆ-=。

第Ⅰ卷 选择题一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分. 每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确. 请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑．） 1．掷一枚均匀的硬币,如果连续抛掷1000次,那么第999次出现正面向上的概率是( ） A.10001 B ．9991 C 。

21 D ．10009992．点P 从(1,0）出发,沿单位圆逆时针方向运动65π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为 ( )A.错误!B.错误! C 。

错误! D 。

错误! 3. 已知向量b a ,的夹角为60，且1==||||b a ，则||b a +等于（ ）A ．3 BC ．2D ．14. 总体由编号为01,02，…，39，40的40个个体组成。

利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第6列和第7列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )50 44 66 44 21 66 06 58 05 62 61 65 54 35 02 42 35 48 96 32 14 52 41 52 4822 66 22 15 86 26 63 75 41 99 58 42 36 72 24 58 37 52 18 51 03 37 18 39 11A 。

23 B.21 C 。

35 D 。

2015～2016学年度第二学期期末学生学业质量监测高一数学试题（参考答案） 试卷分为150分，考试用时120分钟. 考试内容：必修三、必修四.一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上.）1.把二进制数错误！未找到引用源。

化为十进制数为（ ）A ． 2B ．3C ．4D ．5 2.右边程序的输出结果为 （ ）A ． 3,2B ． 3,3C ．2，2D ．2，33.为了分析某篮球运动员在比赛中发挥的稳定程度，统计了运动员在8场比赛中的得分，用茎叶图表示如图，则该组数据的标准差为（ ） A错误！未找到引用源。

B错误！未找到引用源。

C错误！未找到引用源。

D错误！未找到引用源。

4.在一段时间内，某种商品的价格x （元）和销售量y （件）之间的一组数据如下表：如果y 与x 呈线性相关且解得回归直线的斜率为错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

的值为（ ）A .D.错误！未找到引用源。

5.下列四个命题中可能成立的一个是（ ）A.错误！未找到引用源。

B.错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

是第二象限时，错误！未找到引用源。

6.袋中装有白球3个，黑球4个，从中任取3个，下列事件是对立事件的为（ ）A.恰好一个白球和全是白球B.至少有一个白球和全是黑球C.至少有一个白球和至少有2个白球D.1 8 8 4 7 8 82 0 1至少有一个白球和至少有一个黑球 7．函数错误！未找到引用源。

（其中错误！未找到引用源。

）的图象如图所示，则错误！未找到引用源。

的值为（ ） A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．错误！未找到引用源。

8．已知错误！未找到引用源。

，则错误！未找到引用源。

值为（ ）A.错误！未找到引用源。

B 、错误！未找到引用源。

C.错误！未找到引用源。

D.错误！未找到引用源。

绝密★启用前 试卷类型：A汕头市2015~2016学年度普通高中教学质量监测高 一 数 学本试卷共4页，22小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}02A x x =<<，{}220B x x x =+-≥，则A B ⋂=( )A ．(]0,1B ．[)1,2C ．[)2,2-D ．()0,22．sin 160cos 10cos 20sin 10︒︒+︒︒=( )A ．12B ．﹣12C D ． 3．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是( ) A ．3,y x x R =∈ B ．sin ,y x x R =∈ C ．Rx x y ∈-=,D ．1(),2x y x R =∈4．已知a ⊥b ，并且a =(3,x )，b =(7,12), 则x =( )A ．﹣74B ．74C ．﹣73D ．735．若4tan 3α=，则cos 2α等于( )A ．725B ．725-C ．1D 6．某学校数学兴趣班共有14人，分为两个小组，在一次阶段考试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则m n +的值是( )A ．10B ．11C ．12D ．137．已知01x y a <<<<，则有A ．()log 0<a xyB ．()0log 1a xy <<C ．()1log 2a xy <<D ．()log 2a xy >8．要得到sin(2)4y x π=-+的图象，只需将sin(2)y x =-的图象( )A ．向左平移4π个单位 B ．向右平移4π个单位C ． 向左平移8π个单位D ．向右平移8π个单位9．已知平面向量a 、b 满足：22a b a b ==-≠0，则a 与bA ．3π B ．6π C ．23πD ．56π10．如果执行右面的框图，输入N =5，则输出的数等于( )A ．54B ．45C ．65D ．5611．已知a ，b 均为正数，且1a b +=，则49a b+的最小值为( A ．24B ．25C ．26D ．2712．已知x R ∈，用()A x 表示不小于x 的最小整数，如2A =( 1.2)1A -=-，若(21)3A x +=，则x 的取值范围是( )A ．31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分.13．高一(4)班有5位同学参加夏令营植树活动，其中男生2人，女生3人，从这5人中任意选出2人去浇水，选出的2人都是男生的概率是 ；14．已知x ，y 满足不等式4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且函数2z x y a =+-的最大值为8，则常数a 的值为 ；15．已知函数21()sin cos sin 2f x a x x x =-+的一条对称轴方程为6π=x ，则函数()f x 的最大值为 ；16．定义一种运算,,a a b a b b a b≤⎧⊗=⎨>⎩，令()()2236(23)f x x x x x =+⊗+-，则函数()f x 的最大值是 ；三、解答题：本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．(本小题满分10分)已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且115a =-，555S =-． (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若不等式n S t >对于任意的*∈n N 恒成立，求实数t 的取值范围．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且满足sin c Acos C =0． (1)求角C 的大小；(2)若2c =，求△ABC 的面积S 的最大值．19．(本小题满分12分)从某大学一年级女生中，选取身高分别是150cm 、155cm 、160cm 、165cm 、170cm 的学生各一名，其身高和体重数据如表所示：(1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，计算身高为168cm 时，体重的估计值yˆ为多少？ 参考公式：线性回归方程ˆˆˆy bx a =+，其中1122211()()ˆ()nnii i ii i nniii i xx y y x y nxyb xx xnx====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-.20．(本小题满分12分)设函数2()(1)1f x ax a x =-++．(1)若不等式()f x mx <的解集为{}12x x <<，求实数a 、m 的值； (2)解不等式()0f x <．21．(本小题满分12分)已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且24n n S a n =+-．(1)求1a 的值；(2)若1n n b a =-，试证明数列{}n b 为等比数列； (3)求数列{}n a 的通项公式，并证明：121111na a a +++<．22．(本小题满分12分)对于函数()f x ，若0x 满足00()f x x =，则称0x 为函数)(x f 的一阶不动点；若0x 满足[]00()f f x x =，则称0x 为函数()f x 的二阶不动点．(1)若()23f x x =+，求()f x 的二阶不动点；(2)若()f x 是定义在区间D 上的增函数，且0x 是函数()f x 的二阶不动点，求证：0x 也必是函数()f x 的一阶不动点；(3)设()x f x e x a =++，a R ∈，若()f x 在[]0,1上存在二阶不动点0x ，求实数a 的取值范围．汕头市2015—2016学年度普通高中教学质量监测高一数学答案一、选择题（每小题5分,共60分）二、填空题：（每小题5分，共20分）13.101； 14. 4； 15. 1； 16. 4 三、解答题（满分70分）17.解: ⑴ 设等差数列{}n a 的公差为d ， 则由151-=a ，d a s 245515⨯+= ……… 1分 得5510515-=+⨯-d ， ……… 2分 解得2=d ， ……… 3分∴1722)1(15-=⋅-+-=n n a n ， ……… 4分所以数列{}n a 的通项公式为172-=n a n ， ……… 5分 ⑵由⑴得n n n n S n 162)17215(2-=-+-=， ……… 6分∵6464)8(1622-≥--=-=n n n S n ……… 7分 ∴对于任意的*n ∈N ，64-≥n S 恒成立，……… 8分∴若不等式t S n >对于任意的*n ∈N 恒成立，则只需64-<t ，……… 9分 因此所求实数t 的取值范围为)64,(--∞。

汕头市2015～2016学年度普通高中教学质量监测高 一 数 学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1。

【题文】设集合{}02A x x =<<，{}220B x x x =+-≥，则A B ⋂=（ ) A ．(]0,1B ．[)1,2C ．[)2,2-D ．()0,2【答案】B 【解析】试题分析：{}{}220=|21B x x x x x x =+-≥≤-≥或，所以A B ⋂=[)1,2 考点：集合运算 【结束】2。

【题文】sin 160cos 10cos 20sin 10︒︒+︒︒=( ） A ．12B ．﹣12C 3D 3 【答案】A 【解析】试题分析：1sin160cos10cos20sin10sin 20cos10cos20sin10sin302︒︒+︒︒=︒︒+︒︒== 考点：两角和的正弦公式 【结束】3。

【题文】下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ) A ．3,y x x R =∈ B ．sin ,y x x R =∈ C R x x y ∈-=, D ．1(),2x y x R =∈【答案】C 【解析】试题分析：A 是奇函数不是减函数；B 是奇函数不是减函数；C 既是奇函数又是减函数;D 不是奇函数考点：函数奇偶性单调性 【结束】4。

【题文】已知a⊥b,并且a=(3，x)，b=(7,12）, 则x=（）A．﹣74B．74C．﹣73D．73【答案】A 【解析】试题分析：由向量垂直可知7 0371204 a b x x=∴⨯+=∴=-考点:向量的坐标运算【结束】5.【题文】若4tan3α=，则cos2α等于( ）A．725B．725-C．1 D．75【答案】B 【解析】试题分析:222222cos sin1tan7 cos2cos sin1tan25ααααααα--===-++考点：同角间三角函数关系及二倍角公式【结束】6。

2015-2016 学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）（A 卷）一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．每题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应地点涂黑．1．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）复数 z=i 2+i 的实部与虚部分别是（ ）A ．﹣ 1，1B ．1，﹣ 1C ．1，1D ．﹣ 1，﹣ 12．（5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）对拥有线性有关关系的两个变量 y 与 x 进行回归剖析，得到一组样本数据（ x 1 ，y 1），（ x 2， y 2） （x n ， y n ），则以下说法中不正确的选项是（ ） A ．若最小二乘法原理下获得的回归直线方程=0.52x+ ，则 y 与 x 拥有正有关关系B ．残差平方和越小的模型，拟合的成效越好C ．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状地区内，说明采用的模型比较适合D ．用有关指数 R 2 来刻画回归成效， R 2越小说明拟合成效越好3．（5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）向量的运算常常与实数运算进行类比，以下类比推理中结 论正确的选项是（ ）A ． “若 ac=bc （ c ≠ 0），则 a=b ”类比推出 “若 ? = ? （≠），则=”B ． “在实数中有（ a+b ） c=ac+bc ”类比推出 “在向量中（ + ）? =?+?”C ． “在实数中有（ ab ） c=a （ bc ） ”类比推出 “在向量中（ ? ） ? =?（? ）”D ． “若 ab=0，则 a=0 或 b=0”类比推出 “若 ? =0，则 =或 = ”4．（ 5 分）（ 2014?潮安县校级模拟） 用反证法证明命题： “已知 a ，b 为实数，则方程 x 2+ax+b=0 起码有一个实根 ”时，要做的假定是（ ）A ．方程 x 2+ax+b=0 没有实根B ．方程 x 2+ax+b=0 至多有一个实根C ．方程 x 2+ax+b=0 至多有两个实根D ．方程 x 2+ax+b=0 恰巧有两个实根 5．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）已知随机变量 ξ听从正态散布 N （ 5， 9），若 p （ξ＞ c+2）=p （ ξ＜ c ﹣ 2），则 c 的值为（ ）A ． 4B ． 5C ． 6D ． 76．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）已知拥有线性有关关系的变量y 与 x 之间的一组数据：x 1 2 3 4 5 y24685若由最小二乘法原理获得回归方程 = x+0.5；可预计当 x=6 时 y 的值为（）A ．7.5B ． 8.5C ． 9.5D ． 10.57．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）若弹簧所受的力 x ＞ 1 与伸缩的距离按胡克定律F=kl （ k为弹性系数）计算，且 10N 的压力能使弹簧压缩10cm ；为在弹性限度内将弹簧从均衡地点拉到离均衡地点8cm 处，则战胜弹力所做的功为（）A ． 0.28JB ． 0.12JC ． 0.26JD ． 0.32J8．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）若（ 3x+ ） n （ n ∈ N *）的睁开式中各项系数的和为P ，全部二项式系数的和为 S ，若 P+S=272，则函数 f （ x ） =（ 3x+）n在（ 0， +∞）上的最小值为（）A ． 144B ． 256C ． 24D ．649．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）若 3 位老师和3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为（ ） A ．B ．C ．D ．10．（ 5 分）（2016 春 ?东莞市期末）经检测有一批产品合格率为 ，现从这批产品中任取10件，设获得合格产品的件数为 ξ，则 P （ξ=k ）获得最大值时 k 的值为（ ）A ． 6B ． 7C ． 8D ． 911．（ 5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）已知函数 f （ x ）=在点（ 1， 2）处的切线与 f （x ）的图象有三个公共点，则b 的取值范围是（）A ． [ ﹣8，﹣ 4+2 ）B ．（﹣ 4﹣2 ，﹣ 4+2 ）C ．（﹣ 4+2， 8]D ．（﹣ 4﹣2，﹣ 8]12．（ 5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）设函数 f （x ） = ﹣ ax+a ，若存在独一的整数x 0，使得f （ x 0）＞ 1，则 a 的取值范围是（）A ．（1，2]B ．（1，]C ．（1，] D ．（ 1，2）二、填空题：本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．请把答案填在答题卡中相应的地点上．13．（ 5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）用 0，2， 4，8 这四个数字能构成 个没有重复数 字的四位数．3，当 x=a 时 f （ x ）获得极大值14．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）已知函数 f （ x ）=3x ﹣ x 为 b ，则 a ﹣ b 的值为 ．15．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）设 f （ x ） =，若 f （ f （ 1）） =8则（ x 2﹣ ） m+4 睁开式中常数项为．16．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常常在沙岸上边画点或用小石子表示数．他们研究过以下图的三角形数：将三角形数 1， 3， 6， 10， 记为数列 { a n } ，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的次序构成一个新数列 { b n } ，能够推断：（1） b 5= ；（2） b 2n ﹣1=．三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（ 10 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）复数 2z=（ 1﹣ i ）a ﹣ 3a+2+i （ a ∈ R ），（ 1）若 z= ，求 | z| ；（ 2）若在复平面内复数 z 对应的点在第一象限，求 a 的范围．18．（ 12 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）某市教育局拜托检查机构对本市中小学使用 “微课掌上通”满意度状况进行检查．随机选择小学和中学各50 所学校进行检查，检查状况如表：评分等级 ☆ ☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ 小学 2 7 9 20 12 中学xy18128（备注： “☆ ”表示评分等级的星级，如 “☆☆☆ ”表示 3 星级．）（1）从评分等级为1 星级的学校中随机选用两所学校，恰有一所学校是中学的概率为 ，求整数 x ， y 的值； （2）规定：评分等级在4 星级及以上（含 4 星级）为满意，其余星级为不满意．达成以下2× 2 列联表并帮助教育局判断： 可否在出错误的概率不超出 0.05 的前提下以为使用 “微课掌上通 ”满意度与学校种类有关系？ 学校种类 满意不满意总计 小学 50 中学50 总计100注意：请将答案填入答题卡中的表格．19．（ 12 分）（2016 春 ?东莞市期末） “莞马 ”活动中的 α机器人一度成为新闻热门，为检测其质量，从一世产流水线上抽取 20 件该产品，此中合格产品有15 件，不合格的产品有 5 件．（1）现从这 20 件产品中随意抽取 2 件，记不合格的产品数为X ，求 X 的散布列及数学期望；（2）用频次预计概率，现从流水线中随意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的散布列及数学希望．2﹣ ax+5， a ∈R ．20．（ 12 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）已知 f （ x ） =lnx +ax （1）若函数 f （ x ）在 x=1 处有极值，务实数 a 的值；（2）若函数 f （ x ）在区间（ 0， +∞）内单一递加，务实数a 的取值范围．21．（ 12 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）已知 f （ x ） =ln （ x+1）﹣ （ a ∈ R ）．（1）求证： a ≤ 1 且 x ≥ 0 时， f （ x ）≥ 0 恒建立；（2）设正项数列 { a n } 知足 a 1=1， a n =ln （a n ﹣ 1+1）（ n ≥2），求证： ≤ a n ≤（ n ∈N *）．x 222．（ 12 分）（ 2016 春?东莞市期末）设 f （ x ）=e ﹣ ax ， g （ x ）=kx +1（ a ∈ R ， k ∈R ），e 为 自然对数的底数．（ 1）若 a=1 时，直线 y=g （ x ）与曲线 y=f ′（ x ）相切（ f ′（x ）为 f （ x ）的导函数），求 k 的值；（2）设 h（ x） =f （ x）﹣ g（ x），若 h（ 1） =0，且函数 h（ x）在（ 0，1）内有零点，求 a 的取值范围．2015-2016 学年广东省东莞市高二（下）期末数学试卷（理科）（ A 卷）参照答案与试题分析一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．每题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确选择支号在答题卡中的相应地点涂黑．1．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）复数 z=i 2+i 的实部与虚部分别是（）A．﹣ 1，1 B．1，﹣ 1C．1，1 D．﹣ 1，﹣ 1【剖析】利用复数的幂运算以及复数的基本观点求解即可．【解答】解：复数 z=i 2+i= ﹣ 1+i．复数的实部与虚部分别是：﹣1； 1．应选： A．【评论】此题考察复数的基本观点，考察计算能力．2．（5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）对拥有线性有关关系的两个变量y 与 x 进行回归剖析，得到一组样本数据（x1，y1），（ x2， y2）（x n， y n），则以下说法中不正确的选项是（）A ．若最小二乘法原理下获得的回归直线方程=0.52x+ ，则 y 与 x 拥有正有关关系B．残差平方和越小的模型，拟合的成效越好C．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状地区内，说明采用的模型比较适合D．用有关指数R 2来刻画回归成效，R2越小说明拟合成效越好【剖析】能够用来权衡模拟成效利害的几个量分别是有关指数，残差平方和和有关系数，只有残差平方和越小越好，其余的都是越大越好．【解答】解：若最小二乘法原理下获得的回归直线方程=0.52x + ， b=0.52 ＞ 0，则 y 与 x拥有正有关关系，正确；残差平方和越小的模型，拟合的成效越好，正确；可用残差图判断模型的拟合成效，残差点比较均匀地落在水平的带状地区中，说明这样的模型比较适合．带状地区的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高．故正确；2有关指数 R 取值越大，说明残差平方和越小，模型的拟合成效越好，故不正确．【评论】此题考察权衡两个变量之间有关关系的方法，要想知道两个变量之间的有关或没关的精准的可信程度，只有益用独立性查验的有关计算，才能做出判断．属于基础题．3．（5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）向量的运算常常与实数运算进行类比，以下类比推理中结论正确的选项是（）A ．“若 ac=bc（ c≠ 0），则 a=b”类比推出“若?= ?（≠），则=”B．“在实数中有（a+b） c=ac+bc”类比推出“在向量中（+）?= ? + ?”C．“在实数中有（ab） c=a（ bc）”类比推出“在向量中（?）?= ?（?）”D ． “若 ab=0，则 a=0 或 b=0”类比推出 “若 ?=0，则 = 或 = ”【剖析】 对四个选项，利用向量的数目积的定义与性质，分别进行判断，即可得出结论．【解答】 解：由条件，得出（﹣ ） ? =0，∴（﹣）与 垂直，则 = ，不必定建立，故 A 不正确；向量的乘法知足分派律，故 B 正确；在向量中（ ? ） ? 与 共线， ?（?）与 共线，故 C 不正确；若 ? =0，则⊥ ， =或 = 不必定建立，故D 不正确．应选： B ．【评论】 类比推理的一般步骤是： （ 1）找出两类事物之间的相像性或一致性； （2）用一类事物的性质去推断另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．4．（ 5 分）（ 2014?潮安县校级模拟） 用反证法证明命题： “已知 a ，b 为实数，则方程 x 2+ax+b=0 起码有一个实根 ”时，要做的假定是（ ）A ．方程 x 2+ax+b=0 没有实根B ．方程 x 2+ax+b=0 至多有一个实根C ．方程 x 2+ax+b=0 至多有两个实根D ．方程 x 2+ax+b=0 恰巧有两个实根 【剖析】 直接利用命题的否认写出假定即可．【解答】 解：反证法证明问题时，反设实质是命题的否认，∴用反证法证明命题 “设 a ，b 为实数，则方程x 2+ax+b=0 起码有一个实根 ”时，要做的假定 2是：方程 x +ax+b=0 没有实根．【评论】 此题考察反证法证明问题的步骤，基本知识的考察． 5．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）已知随机变量=p （ ξ＜ c ﹣ 2），则 c 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7ξ听从正态散布N （ 5， 9），若p （ξ＞ c+2）【剖析】 随机变量 ξ听从正态散布 N （ 5， 9），获得曲线对于 x=5 对称，依据 P （ ξ＞c+2）=P （ ξ＜ c ﹣2），联合曲线的对称性获得点 c+2 与点 c ﹣ 2 对于点 5 对称的，从而解出常数 c的值获得结果．【解答】 解：随机变量 ξ听从正态散布 N （ 5， 9）， ∴曲线对于 x=5 对称，∵P （ ξ＞ c+2） =P （ξ＜ c ﹣ 2）， ∴c+2+c ﹣ 2=10， ∴c=5， 应选： B ．【评论】 此题考察正态散布曲线的特色及曲线所表示的意义，题．考察概率的性质， 是一个基础6．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）已知拥有线性有关关系的变量 y 与 x 之间的一组数据：x 1 2 3 4 5 y24685若由最小二乘法原理获得回归方程= x+0.5；可预计当 x=6 时 y 的值为（ ）A ． 7.5B ． 8.5C ． 9.5D ． 10.5【剖析】 求出横标和纵标的均匀数， 写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，获得对于 b 的方程，解方程即可．求出 b ，从而预计当 x=6 时 y 的值．【解答】 解：∵ =3， =5 ，∴这组数据的样本中心点是（把样本中心点代入回归直线方程 = x+0.5∴ 5=3 +0.5，∴ =1.5，当 x=6 时 y=9+0.5=9.5． 应选： C ．【评论】 此题考察线性回归方程， 解题的要点是线性回归直线必定过样本中心点， 这是求解线性回归方程的步骤之一．7．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）若弹簧所受的力 为弹性系数）计算，且 10N 的压力能使弹簧压缩拉到离均衡地点 8cm 处，则战胜弹力所做的功为（A ． 0.28JB ． 0.12JC ． 0.26JD ． 0.32Jx ＞ 1 与伸缩的距离按胡克定律F=kl （ k10cm ；为在弹性限度内将弹簧从均衡地点）【剖析】 先求出 F （ x ）的表达式，再依据定积分的物理意义即可求出． 【解答】 解：∵ F=10N ， x=10cm=0.1m∴k=100 ，∴W= ∫100xdx=50x 2|=0.32J ，应选： D ．【评论】 此题考察了定积分在物理中的应用，依据条件先求出k 的值是解决此题的要点．8．（ 5 分）（ 2016春?东莞市期末）若（3x+） n （ n ∈ N * ）的睁开式中各项系数的和为P ，全部二项式系数的和为S ，若P+S=272，则函数f （ x ） =（ 3x+ ）n 在（ 0， +∞）上的最小值为（ ）A ． 144B ． 256C ． 24D ．64【剖析】 由题意求得 S 和 P 的值，依据 P+S=272 求得 n 的值，再利用基本不等式求得函数f （ x ）的最小值．P=4n ， S=2n ， 【解答】 解：由题意可得n n ，解得 n∴P+S=4 +2 =272 2 =16，∴n=4 ，3， 5）在（ 0， +∞）上，n（ 3x+4=144，当且仅当 x=时，等号建立，函数 f（ x） =（3x+ ） =）≥故函数 f（ x）=（ 3x+）n在（ 0， +∞）上的最小值为144，应选： A．【评论】此题主要考察二项式定理的应用，二项式系数的性质，注意各项系数和与各项的二项式系数和的差别，基本不等式的应用，属于基础题．9．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）若 3 位老师和 3 个学生随机站成一排照相，则任何两个学生都互不相邻的概率为（）A．B．C．D．【剖析】先求出基本领件总数，再求出两位男生不相邻包括的基本领件个数，由此能求出两位男生不相邻的概率．【解答】解： 3 位老师和 3 个学生随机站成一排照相，6，基本领件总数 n=A 6 =72033任何两个学生都互不相邻包括的基本领件个数m=A 3 A 4 =144，∴任何两个学生都互不相邻的概率P==．应选： C．【评论】此题考察概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．10．（ 5 分）（2016 春 ?东莞市期末）经检测有一批产品合格率为，现从这批产品中任取 10件，设获得合格产品的件数为ξ，则 P（ξ=k ）获得最大值时 k 的值为（）A．6B．7C．8D． 9【剖析】随机变量ξ～ B （10，）， P（ξ=k） =，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和希望的意义靠近，由此能求出p（ξ=k）取最大值时 k 的值．【解答】解：由题意，随机变量ξ～ B（ 10，），∴P（ξ=k ）=，由式子的意义知：概率最大也就是ξ最可能的取值．这和希望的意义靠近．∵Eξ=10× =7.5，∴k=7 或 8 可能是极值，P（ξ=7） ==，P（ξ=8） ==∴P（ξ=k ）取最大值时k 的值是 7．应选： B．【评论】此题考察二项散布的性质和应用，解题时要认真审题，认真解答，等价转变．注意合理地进行11．（ 5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）已知函数f（ x）=在点（ 1， 2）处的切线与 f （x）的图象有三个公共点，则 b 的取值范围是（）A ． [ ﹣8，﹣ 4+2）B ．（﹣ 4﹣2，﹣ 4+2）C．（﹣ 4+2， 8] D ．（﹣ 4﹣2 ，﹣8]【剖析】先利用导数研究在点（1， 2）处的切线方程，而后作出函数图象，跟着 b 减小时，半圆向下挪动，当点 A （﹣ 4， b）落在切线上时，在点（1， 2）处的切线与 f （ x）的图象有三个公共点，直到半圆与直线相切前，切线f（ x）的图象都有三个公共点，只要求出零界地点的值即可．【解答】解：当 x＞0 时， f（ x）=x 2+1，则 f ′（ x）=2x ，∴f ′（ 1）=2× 1=2 ，则在点（ 1， 2）处的切线方程为y=2x ，当 x≤ 0 时， y=f （ x） =+b，即（ x+2）22+（ y﹣ b） =4 （ y≥ b）作出函数图象如右图跟着 b 减小时，半圆向下挪动，当点 A （﹣ 4， b）落在切线上时，在点（ 1，2）处的切线与f （ x）的图象有三个公共点，即b=2×（﹣ 4） =﹣ 8，再向下挪动，直到半圆与直线相切前，切线 f （ x）的图象有三个公共点，相切时与f（ x）的图象有两个交点即=2，解得 b=﹣ 4﹣2＜﹣ 8∴b 的取值范围是（﹣ 4﹣ 2，﹣8]．应选： D．以及函数图象，同时考察了数【评论】此题主要考察了利用导数研究曲线上某点切线方程，形联合的数学思想和剖析问题的能力，属于难题．12．（ 5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）设函数f（x） =﹣ ax+a，若存在独一的整数 x0，使得f （ x0）＞ 1，则 a 的取值范围是（）A．（1，2] B ．（1，]C．（1，] D ．（ 1，2）【剖析】把存在独一的整数 x0，使得 f（ x0）＞ 1，转变为存在独一的整数x0，使得，即．令 g（ x）=， h（x） =ax﹣a+1，求得剖析 g （x）的单一性，作g（ x）=，h（ x）=ax﹣ a+1 的图象，数形联合获得，则答案可求．【解答】解： f （ x） =﹣ ax+a，若存在独一的整数x0，使得f（ x0）＞ 1，即存在独一的整数x0，使得，也就是存在独一的整数x0，使得．令 g（ x）=，h（x）=ax﹣a+1，∵g′（ x） =，∴g（ x） =在（﹣∞，1]上是增函数，在（1， +∞）上是减函数，又∵ h（ x）=ax﹣ a+1 是恒过点（ 1， 1）的直线，∴作 g（ x） =，h（x）=ax﹣a+1的图象以下，则，即1 ．应选： B ．【评论】 此题考察利用导数研究函数的单一性， 考察根的存在性及根的个数判断， 表现了数形联合的解题思想方法，是压轴题．二、填空题：本大题共 4 小题，每题5 分，共 20 分．请把答案填在答题卡中相应的地点上．13．（ 5 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）用 0，2， 4，8 这四个数字能构成 18 个没有重复数字的四位数．【剖析】 特别元素优先安排， 0 不可以在首位，先排 0，再排其余，依据分步计数原理可得． 【解答】 解：因为首位不可以为0，从 2， 4， 8 中选一个排在首位有 3 种方法， 其余地点随意排，故有33A 3 =18 个，故答案为： 18．【评论】 此题考察了简单的分步计数原理，属于基础题．14．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）已知函数 f （ x ）=3x ﹣ x 3，当 x=a 时 f （ x ）获得极大值 为 b ，则 a ﹣ b 的值为 ﹣ 1 ．【剖析】 求导数获得 f ′（ x ）=3﹣ 3x 2，依据二次函数符号的判断即可判断导函数的符号，从而得出函数 f （x ）的极大值点和极大值，从而求出a ﹣b 的值．2∴ x ＜﹣ 1 时， f ′（ x ）＜ 0，﹣ 1＜ x ＜ 1 时， f ′（x ）＞ 0，x ＞ 1 时， f ′（ x ）＜ 0；∴ x =1 时， f （ x ）获得极大值 2； 即 a=1， b=2； ∴a ﹣ b=﹣ 1． 故答案为：﹣ 1．【评论】 考察基本初等函数的求导公式， 二次函数符号的判断，熟习二次函数的图象，以及函数极大值的定义及求法．15．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）设 f （ x ） =，若 f （ f （ 1）） =8则（ x 2﹣ ） m+4 睁开式中常数项为15 ．【剖析】 利用分段函数的意义可得 f （1），再利用微积分基本定理解得m ．再利用二项式定理的通项公式即可得出．【解答】 解：∵ f （ 1） =ln1=0 ，23﹣ 0，∴f （f （1）） =f （ 0）=0+3t dt= =m∴m3=8，解得 m=2．的睁开式的通项公式： T r+1= r12 ﹣3r，=（﹣ 1） x令 12﹣ 3r=0 ，解得 r=4 ．∴（ x 2﹣ ） m+4 睁开式中常数项= = =15．故答案为： 15．【评论】 此题考察了分段函数的性质、二项式定理及睁开式的通项公式、微积分基本定理，考察了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（ 5 分）（ 2016 春?东莞市期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常常在沙岸上边画点或用小石子表示数．他们研究过以下图的三角形数：将三角形数 1， 3， 6， 10， 记为数列 { a n } ，将可被 5 整除的三角形数按从小到大的次序构成一个新数列 { b n } ，能够推断： （ 1） b 5= 105 ；（2） b 2n ﹣1=．【剖析】（1）由题设条件及图可得出 a n+1=a n +（n+1），由此递推式能够得出数列{ a n } 的通项为， a n = n （ n+1），由此可列举出三角形数1， 3， 6， 10，15， 21，28， 36，45， 55，66，78， 91， 105， 120， ，从而可概括出可被5 整除的三角形数每五个数中出现两个，即每五个数分为一组， 则该组的后两个数可被 5 整除，由此规律即可求出 b 5；（2）由（ 1）中的结论即可得出b 2n ﹣ 1═ （ 5n ﹣ 1）（ 5n ﹣ 1+1）．【解答】 解：（ 1）由题设条件能够概括出 a n+1=a n +（ n+1），故 a n =（ a n ﹣ a n ﹣1）+（ a n ﹣ 1﹣ a n ﹣2） + +（ a 2﹣ a 1） +a 1=n+（ n ﹣1） + +2+1= n （ n+1）由此知，三角数挨次为 1，3，6，10，15，21，28，36，45，55， 66，78，91，105，120， 由此知可被 5 整除的三角形数每五个数中出现两个， 即每五个数分为一组， 则该组的后两个数可被 5 整除，∴b 5=105 ；（2）因为 2n ﹣ 1 是奇数，由（ I ）知，第 2n ﹣ 1 个被 5 整除的数出此刻第 n 组倒数第二个，故它是数列 { a n } 中的第 n × 5﹣ 1=5n ﹣ 1 项，因此 b 2n ﹣ 1═ （ 5n ﹣1）（ 5n ﹣ 1+1） = ．故答案为： 105；．【评论】 此题考察数列的递推关系， 数列的表示及概括推理， 解题的要点是由题设得出相邻 两个三角形数的递推关系，由此列举出三角形数，得出结论 “被 5 整除的三角形数每五个数 中出现两个，即每五个数分为一组，则该组的后两个数可被5 整除 ”，此题综合性强，有一定的研究性，是高考的要点题型，解答时要注意总结此中的规律．三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .17．（ 10 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）复数 2z=（ 1﹣ i ）a ﹣ 3a+2+i （ a ∈ R ）， （1）若 z= ，求 | z| ；（2）若在复平面内复数 z 对应的点在第一象限，求a 的范围．【剖析】（ 1）依据 z= ，确立方程即可求 | z| ；（2）利用复数的几何意义，即可获得结论．【解答】 解 z=（ 1﹣ i ） a 2﹣ 3a+2+i=a 2﹣ 3a+2+（ 1﹣ a 2） i ，（1）由 知， 1﹣a 2=0，故 a=±1．当 a=1 时， z=0；当 a=﹣ 1 时， z=6．（2）由已知得，复数的实部和虚部皆大于0，即，即，因此﹣ 1＜ a ＜ 1．【评论】 此题主要考察复数的几何意义，以及复数的有关观点，比较基础．18．（ 12 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）某市教育局拜托检查机构对本市中小学使用 “微课掌上通”满意度状况进行检查．随机选择小学和中学各50 所学校进行检查，检查状况如表：评分等级 ☆ ☆☆ ☆☆☆ ☆☆☆☆ ☆☆☆☆☆ 小学2 7 9 20 12 中学xy18128（备注： “☆ ”表示评分等级的星级，如 “☆☆☆ ”表示 3 星级．）（1）从评分等级为 1 星级的学校中随机选用两所学校，恰有一所学校是中学的概率为 ，求整数 x ， y 的值；（2）规定：评分等级在4 星级及以上（含 4 星级）为满意，其余星级为不满意．达成以下2× 2 列联表并帮助教育局判断： 可否在出错误的概率不超出 0.05 的前提下以为使用 “微课掌上通 ”满意度与学校种类有关系？ 学校种类 满意不满意 总计 小学 50 中学50 总计100注意：请将答案填入答题卡中的表格．【剖析】（ 1）由古典概型公式， 分别求得评分等级为 1 星级的学校中随机选用两所学校总事件个数 m 及恰有一所学校是中学的事件个数 n ， P= = ，代入即可求得 x 和 y 的值；（2）依据所给数据，可得2×2 列联表，求出K 2，与临界值比较，在出错误的概率不超出0.05 的前提下以为使用满意与学校种类有关系．【解答】 解：（ 1）因为从 1 星级的 2+x 的学校中随机选用2 所学校，共有=种结果， （ 1 分）；此中恰有 1 所学校是中学的共有种结果，（2分）；故=．解得： x=3 ，（ 3 分）；因此 y=50 ﹣3﹣ 18﹣12﹣ 8=9 （ 4 分）；（2）达成列2× 2 列联表：学校种类满意不满意总计小学321850中学203050总计5248100（7 分）；22经计算 K的观察值： K =≈ 5.769＞ 3.841（ 11 分）；因此在出错误的概率不超出0.05 的前提下以为使用满意与学校种类有关系．（ 12 分）；【评论】此题考察古典概型概率公式，列联表，独立性查验的方法等知识，考察了学生办理数据和运算求解的能力，属于中档题．19．（ 12 分）（2016 春 ?东莞市期末）“莞马”活动中的α机器人一度成为新闻热门，为检测其质量，从一世产流水线上抽取20 件该产品，此中合格产品有15 件，不合格的产品有 5 件．（1）现从这20 件产品中随意抽取 2 件，记不合格的产品数为X，求 X 的散布列及数学期望；（2）用频次预计概率，现从流水线中随意抽取三个机器人，记ξ为合格机器人与不合格机器人的件数差的绝对值，求ξ的散布列及数学希望．【剖析】（ 1）随机变量X 的可能取值为0， 1， 2，求出相应的概率，可求X 的散布列及数学希望；（2）合格机器人的件数可能是 0，1，2，3，相应的不合格机器人的件数为 3， 2，1，0．因此ξ的可能取值为 1， 3，求出相应的概率，可求ξ的散布列及数学希望．【解答】解：（ 1）随机变量 X 的可能取值为0，1，2（ 1 分）；P（X=0 ）== ，P（X=1 ）==，P（X=2 ）==，因此随机变量X 的散布列为：X012P（5 分）；∴E （ X ） =0 ×+1× +2×= ． （ 6 分）；（2）合格机器人的件数可能是因此 ξ的可能取值为 1，30， 1，2， 3，相应的不合格机器人的件数为3， 2， 1，0．（8 分）；由题意知：（ 9 分）；P （ ξ=3） =+=（10 分）；因此随机变量 ξ的散布列为：ξ13P（11 分）；∴（ 12 分）；【评论】 此题考察随机变量的散布列及数学希望， 考察学生的计算能力， 确立变量的取值与相应的概率是要点．220．（ 12 分）（ 2016 春 ?东莞市期末）已知 f （ x ） =lnx +ax ﹣ ax+5， a ∈R ． （1）若函数 f （ x ）在 x=1 处有极值，务实数 a 的值；（2）若函数 f （ x ）在区间（ 0， +∞）内单一递加，务实数 a 的取值范围．【剖析】（ 1）求导数获得，依据 f （ x ）在 x=1 处有极值即可获得f ′（ 1）=0，从而可求出 a 的值，并可考证该值建立；2ax 2 （2）依据 f （x ）在区间（ 0， +∞）内单一递加即可得出 f ′（ x ）≥ 0 恒建立，从而得出﹣ax+1≥ 0 在（ 0， +∞）上恒建立，这样议论 a 的值： a ＜ 0， a=0，和 a ＞ 0 这三种状况，对每种状况考证能否知足条件，从而求出实数a 的取值范围．【解答】 解：（ 1）函数 f （ x ）的定义域为（ 0， +∞），；∵ f （x ）在 x=1 处有极值，∴ f ′（1） =1+2a ﹣ a=0；解得： a=﹣ 1；此时；当 0＜ x ＜ 1 时 f ′（ x ）＞ 0，当 x ＞ 1 时 f ′（ x ）＜ 0，切合题意；∴实数 a 的值为﹣ 1；（2）∵函数 f （ x ）在区间（ 0， +∞）内单一递加；∴在（ 0， +∞）恒建立；即 2ax 2﹣ ax+1≥ 0 在（ 0， +∞）恒建立；当 a ＜ 0 时，明显不切合题意；当 a=0 时， 1≥ 0 恒建立，切合题意；当 a＞ 0 时，要使恒建立；需，解得0＜ a≤8；综上可知实数 a 的取值范围是[ 0， 8] ．【评论】考察基本初等函数导数的求法，函数极值的定义，函数在极值点处导数的取值状况，函数的单一性和函数导数符号的关系，要熟习二次函数的图象．21．（ 12分）（ 2016 春 ?东莞市期末）已知 f （ x） =ln （ x+1）﹣（ a∈ R）．（1）求证：a≤ 1 且x≥ 0 时， f （ x）≥ 0 恒建立；（2）设正项数列{ a n} 知足a1=1， a n=ln （a n﹣1+1）（ n≥2），求证：≤ a n≤（ n∈N *）．【剖析】（ 1）求出函数的导数，获得函数的单一性，从而证出结论；（2）a=1 时，在[ 0，+∞）内恒建立，在 [ 0，3）内恒建立，由 a1=1 及a n=ln （ a n﹣1+1）（ n≥ 2）知0＜ a n≤1，依据数学概括法证明即可．【解答】证明：（ 1）（ 1 分）；当 a≤ 1， x≥0 时， f'（ x）≥ 0 恒建立此时函数 f （ x）在（ 0，+∞）内单一递加因此 f（ x）≥ f （ 0） =0，得证（ 2 分）；（ 3 分）；（ 4 分）；（2）由（1）可知a=1 时，在 [ 0， +∞）内恒建立（ 6 分）；同理可证：在 [ 0， 3）内恒建立（ 7 分）；由 a1=1 及 a n=ln （ a n﹣1+1）（ n≥ 2）知 0＜ a n≤1（ 8 分）下边用数学概括法证明：当 n=1 时，，结论建立（9分）；设当 n=k 时结论建立，即那么当 n=k+1 时，（10 分）（11 分）即当 n=k +1 时有，结论建立，由此可知对随意n∈N *结论都建立，原不等式得证．（12分）【评论】此题考察了函数的单一性问题，考察导数的应用以及不等式的证明，数学概括法的应用，是一道综合题．22．（ 12 分）（ 2016 春?东莞市期末）设x2f（ x）=e﹣ ax ， g（ x）=kx +1（ a∈ R， k∈R），e 为自然对数的底数．（1）若 a=1 时，直线 y=g（ x）与曲线 y=f ′（ x）相切（ f ′（x）为 f（ x）的导函数），求 k 的值；（2）设 h（ x） =f （ x）﹣ g（ x），若 h（ 1） =0，且函数 h（ x）在（ 0，1）内有零点，求 a 的取值范围．【剖析】（ 1）求出函数的导数，求得切线的斜率和切点，由切线的方程，解得k 的值；（2）利用等价变换，若函数h（x）在区间（ 0，1）内有零点，则函数h（ x）在区间（ 0，1）内起码有三个单一区间，因此h′（ x）在（ 0，1）上应有两个不一样的零点．【解答】解：（ 1） a=1 时， f（ x）=e x﹣ x2， f'（ x） =e x﹣ 2x（ 1 分）设曲线 y=f' （ x）与直线 y=g （ x）的切点为（ x0， kx0+1）∵切点在曲线y=f' （x）上，∴（2 分）又 f'' （ x） =e x﹣2，由导数的几何意义知：（3 分）由此解得x0﹣+1=0（4 分）设 t（x） =xe x﹣ ex+1，则 t′（ x） =xex，当x＞0 时，t′（x）=xe x＞0，t（x）递加；当x＜0 时，t′（x）=xe x＜0，t（x）递减；∴t （ x）≥ t（ 0） =0，∴x0=0（5 分）∴k= ﹣ 1．（ 6 分）（2） h（ x） =e x﹣ ax2﹣ kx﹣ 1由 h（ 1）=0 得： k=e﹣ a﹣ 1又 h（ 0）=0，且函数 h（ x）在区间（ 0， 1）内有零点，∴函数 h（x）在区间（ 0， 1）内起码有三个单一区间，即 h′（ x） =0 在区间（ 0，1）内起码有两个实根，（7 分）x x﹣ 2ah′（ x）=e﹣ 2ax﹣ k， h''（ x） =e∵x∈（0，1），∴e x∈（ 1， e）当时， h''（ x）=e x﹣ 2a＞ 0，函数 h'（ x）在区间（ 0，1）单一递加，方程 h'（x） =0 在区间（ 0， 1）内至多一个实根，不切合题意．当时， h''（ x）=e x﹣ 2a＜ 0，函数 h'（ x）在区间（ 0，1）单一递减，方程 h'（x） =0 在区间（ 0， 1）内至多一个实根，不切合题意．（8分）当＜ a＜时，令h''（x）＜0得：0＜x＜ln（2a），令h''（x）＞0得：x＞ln（2a），即函数 h'（ x）在区间（ 0，ln （ 2a））内单一递减，在区间（ln（ 2a）， +∞）内单一递加∴h'（ x）min=h' （ln （2a）） =2a﹣ 2aln（2a）﹣ k=3a﹣ 2aln（ 2a）﹣ e+1（ 9 分）记 H （ x） =x﹣ xlnx ﹣ e+1 此中1＜ x＜ e，则，令 H'（ x）＞ 0 得： 1＜ x＜∴函数 H（ x）在（ 1，，令 H'（ x）＜ 0 得：＜x＜e，）内单一递加，在（， e）内单一递减（ 10 分）∴H （ x） max=H （） =﹣ln﹣ e+1=+1﹣ e故 H （ x）＜ 0，也即 h'（ x）min＜0∵函数 h（x）在区间（ 0， 1）内起码有三个单一区间，∴即解得：e﹣ 2＜ a＜ 1 切合＜ a＜综上可知，实数 a 的取值范围是（e﹣ 2，1）（ 12 分）【评论】此题考察了，利用导数求函数的单一区间，分类议论思想，等价变换思想，函数的零点等知识点．是一道导数的综合题，难度较大．。

揭阳市2015-2016学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

3.答案第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»（A）«Skip Record If...»（B）«Skip Record If...»（C）«Skip Record If...»（D）«Skip Record If...»2.复数«Skip Record If...»的实部与虚部的和为（A）«Skip Record If...»（B）«Skip Record If...»（C）«Skip Record If...»（D）«Skip Record If...»3.在等差数列«Skip Record If...»中，已知«Skip Record If...»，则此数列的公差为（A）«Skip Record If...»（B）«Skip Record If...»（C）«Skip Record If...»（D）«Skip Record If...»4.如果双曲线经过点«Skip Record If...»，且它的一条渐近线方程为«Skip Record If...»，那么该双曲线的方程式（A）«Skip Record If...»（B）«Skip Record If...»（C）«Skip Record If...»（D）«Skip Record If...»5.利用计算机在区间（0,1）上产生随机数a,则不等式«Skip Record If...»成立的概率是（A）«Skip Record If...»（B）«Skip Record If...»（C）«Skip Record If...»（D）«Skip Record If...»6.设«Skip Record If...»是两个非零向量，则“«Skip Record If...»”是“«Skip Record If...»”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分又不必要条件7.已知奇函数«Skip Record If...»的图像关于直线«Skip Record If...»对称，且«Skip Record If...»，则«Skip Record If...»的值为（A）3 （B）0 （C）-3 （D）«Skip Record If...»8.函数«Skip Record If...»的最大值和最小正周期分别为（A）«Skip Record If...»（B）«Skip Record If...»（C）«Skip Record If...»（D）«Skip Record If...»9.某人以15万元买了一辆汽车，此汽车将以每年«Skip Record If...»的速度折旧，图1是描述汽车价值变化的算法流程图，则当n=4时，最后输出的S的值为（A）9.6 （B）7.68（C）6.144 （D）4.915210.如图2，网格纸上小正方形是边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则该几何体的表面积为（A）54 （B）162（C）«Skip Record If...»（D）«Skip Record If...»11.已知直线«Skip Record If...»与圆心为C的圆«Skip RecordIf...»相交于A，B两点，且«Skip Record If...»，则实数a的值为（A）«Skip Record If...»或«Skip Record If...»（B）«SkipRecord If...»或«Skip Record If...»（C）«Skip Record If...»或«Skip Record If...»（D）«SkipRecord If...»或«Skip Record If...»12.若函数«Skip Record If...»存在唯一的零点，则实数a的取值范围为（A）«Skip Record If...»（B）«Skip Record If...»（C）«Skip Record If...»（D）«Skip Record If...»第Ⅱ卷本卷包括必答题和选考题两部分，第13题～第21题为必答题，每个试题考生都必须作答，第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答。

图12015～2016学年佛山市普通高中高一教学质量检测数 学本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1．答卷前,考生要务必填写答题卷上的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回.一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}A x x Z =∈,{}03B x x =<<,则A B = ( )A . {}03x x <<B . {}1,2C . {}12x x ≤≤D . {}x x Z ∈ 2. 下列函数中，在其定义域内是偶函数为( )A . ()1f x x=B . ()2xf x = C . ()lg f x x = D . ()cos f x x = 3. 下列大小关系正确的是( )A . 113334> B . 0.40.30.30.3> C . 76log 6log7< D . sin 3sin 2>4. 下列计算正确的是( )A m n =-B . 222log 3log 5log 15⨯=C . 1099222-= D . 2312525279⎛⎫-=- ⎪⎝⎭5. 已知函数()y f x =的图像经过点()1,2P -,则函数()y f x =--的图像必过点( )A . ()1,2-B . ()1,2C . ()1,2--D . ()2,1- 6. 已知函数()tan 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭,则256f π⎛⎫=⎪⎝⎭( ) AB. C .3 D . 3- 7. 已知函数221y x ax =-+(a ∈R )的图像如图1所示, A D .2016年1月8. 某同学在求函数lg y x =和1y x=的图像的交点时,计算出了下表所给出的函数值,则交点的横坐标在下列哪个区间内( )A . ()2.125,2,25B . ()2.75,2.875C . ()2.625,2.75D . ()2.5,2.625 9. 某地区今年1月,2月,3月,4月,5月患某种传染病的人数分别是52,61,68,74,78.若用下列四个函数模型预测以后各月的患该种传染病的人数,哪个最不合理？( )A . ()f x kx h =+B . ()2f x ax bx c =++C . ()xf x pq r =+ D . ()ln f x m x n =+10.为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( ) A . 向左平移5π12个长度单位 B . 向右平移5π12个长度单位 C . 向左平移5π6个长度单位 D . 向右平移5π6个长度单位11.已知集合,A B ,定义{A B x x A -=∈且}x B ∉,{A B x x A +=∈或}x B ∈,则对于集合,M N 下列结论一定正确的是( )A . ()M M N N --=B . ()()M N N M -+-=∅C . ()M N M N +-=D . ()(M N - 12.已知函数()()ln 1f x x x a =--,下列说法正确的是( )A . 当0a >时,()f x 有零点0x ,且()01,2x ∈B . 当0a >时,()f xC . 当0a =时,()f x 没有零点D . 当0a <时,()f x 二、填空题:本大共4小题,每小题5分,满分20分．13.函数()y f x =与函数()xg x a =互为反函数,且()y f x =图像经过点(14.如图2是幂函数i y x α=(0,1,2,3,4,5i i α>=)在第一象限内的图像, 其中13α=,22α=,31α=,412α=,513α=,已知它们具有性质:① 都经过点()0,0和()1,1； ② 在第一象限都是增函数. 请你根据图像写出它们在()1,+∞上的另外一个共同性质: .15.设()222f x ax x a =+-在[)1,2-上是增函数,则a 的取值范围是 .16.已知偶函数()f x 满足()()2f x f x +=,当[0,1]x ∈时,()f x x =,则当[],1x k k ∈+()k Z ∈时,函数()f x 的解析式是_________________.三、解答题:本大题共6小题,满分70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分) 证明:函数()f x =()0,+∞上是减函数.18.(本小题满分12分)已知角α的终边落在第二象限,,将角α的终边逆时针旋转2π与角β的终边重合.(Ⅰ) 求cos α； (Ⅱ) 求()sin cos sin 2sin 2ααππββ--⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.19.(本小题满分12分)已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,02πωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝⎭的图像如图3所示. (Ⅰ) 求函数的解析式；(Ⅱ) 当[]5,2x ∈--时,求函数()f x 的最大值和最小值.20.(本小题满分12分)已知()()()ln 1ln 1f x x x =--+.(Ⅰ) 指出函数()f x 的定义域并求1111,,,3223f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值； (Ⅱ) 观察(Ⅰ)中的函数值,请你猜想函数()f x 的一个性质,并证明你的猜想； (Ⅲ) 解不等式:()1ln30f x ++>.21.(本小题满分12分)已知()12,1211,01211,0x x x f x x x x m⎧--≥⎪⎪⎪⎛⎫=-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+≤⎪-⎩.(Ⅰ) 若1m =,画出函数的简图,并指出函数的单调区间.(Ⅱ) 若函数()y f x =的图像与直线1y m =-(0m >)有两个不同的交点,求m 的取值范围22.(本小题满分12分)已知二次函数()f x 有两个零点3-和1,且有最小值4-. (Ⅰ) 求()f x 的解析式；(Ⅱ) 令()()1g x mf x =+(0m ≠).②若0m <,证明:()g x 在[)3,-+∞上有唯一零点；② 若0m >,求()y g x =在33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.2015～2016学年佛山市普通高中高一教学质量检测数 学参考答案与评分标准一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.13. 2 14.α越大函数增长越快 15. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦16. ()(),1,k x k k f x x k -⎧⎪=⎨-+⎪⎩为偶数为奇数[说明]第14题的参考答案有:①α越大函数增长越快；②图像从下往上α越来越大；③函数值都大于1；④α越大越远离x 轴；⑤1α>,图像下凸；⑥图像无上界；⑦当指数互为倒数时,图像关于直线y x =对称；⑧当1α>时,图像在直线y x =的上方；当01α<<时,图像在直线yx =的下方；(说明:答案不唯一,其他正确答案照样给5分)三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.(本小题满分10分)证明:函数()f x =在区间()0,+∞上是减函数.【解析】任取()12,0,x x ∈+∞,且12x x <,则()()12f x f x -=…………………3分===分因为210x x ->0>,0>0>,……8分所以()()120f x f x ->,即函数()f x =在区间()0,+∞上是减函数.……………10分 18.(本小题满分12分)已知角α的终边落在第二象限,且与单位圆交点的纵坐标为5,将角α的终边逆时针旋转2π与角β的终边重合. (Ⅰ) 求cos α； (Ⅱ) 求()sin cos sin 2sin 2ααππββ--⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值.【解析】(Ⅰ)解法一:sin α=由题意得,…2分 又22sin cos 1αα+=,α是第二象限角…3分 所以cos 5α==-…………5分 解法二:因为角α的终边与单位圆交点P 的纵坐标为P y =,又221x y +=,α是第二象限角,所以P x ==-,…………3分 所以cos P x α==-…………5分(Ⅱ)依题意22k πβαπ=++,k Z ∈,……6分 所以sin sin 2cos 2k πβαπα⎛⎫=++= ⎪⎝⎭…7分 ()sin sin 2sin 2k πβαπα⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭…8分 所以()sin cos sin cos cos 2sin sin 2sin 2ααπααπααββ--+=-⎛⎫+- ⎪⎝⎭…9分 tan 121112tan 145αα+-+===--+…………12分 19.(本小题满分12分)已知函数()()2sin f x x ωϕ=+0,0πωϕ⎛⎫>-<< ⎪⎝的图像如图3所示.(Ⅰ) 求函数的解析式；(Ⅱ) 当[]5,2x ∈--时,求函数()f x 的最大值和最小值. 【解析】(Ⅰ)由图像可知,函数的周期为6T =,263ππω==.…………………………………………2分又()f x 的图像过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以12sin 032πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭所以1232k πϕπ⨯+=,即2,6k k Z πϕπ=-∈,又因为02πϕ-<<,所以6ϕ=-,………4分故所求函数的解析式是()2sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.…………………………………………5分(Ⅱ) 因为函数()2sin 36f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭的周期是6T =,所以求[]5,2x ∈--时函数()f x 的最大值和最小值就是转化为求函数在区间[]1,4上的最大值和最小值.……………………………8分 由图像可知,当2x =时,函数的最大值是()22sin 2236f ππ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭；………………10分当4x =时,函数的最小值是()42sin 4136f ππ⎛⎫=⨯-=-⎪⎝⎭.……………………………… 12分说明:本题也可以直接求函数()2sin 36f x x ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]5,2--上的最大值和最小值.20.(本小题满分12分)已知()()()ln 1ln 1f x x x =--+.(Ⅰ) 指出函数()f x 的定义域并求1111,,,3223f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值； (Ⅱ) 观察(Ⅰ)中的函数值,你猜想函数()f x 的一个什么性质,并证明你的猜想； (Ⅲ) 解不等式:()1ln30f x ++>.【解析】(Ⅰ)函数的定义域为()1,1-,…………………………… 1分 1ln 23f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 1ln 32f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭, 1ln 32f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 1ln 23f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.…………… 3分 (Ⅱ) 以下两个性质之一均可得到满分方向一:由于1133f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,1122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,猜想函数()f x 为奇函数,……5分证明:设任意()()()()()1,1,ln 1ln 1x f x x x f x ∈--=+--=-,所以函数()f x 为奇函数.……7分 方向二:由于11113223f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫->->> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭,函数()f x 在定义域上单调递减,……5分 证明:设任意()1212,1,1,x x x x ∈-<且,则()()()()()()121211222111ln 1ln 1ln 1ln 1ln 11x x f x f x x x x x x x ⎛⎫-+-=--+--++=⨯ ⎪-+⎝⎭,因为1211x x -<<<,所以12110x x ->->,2111x x +>+, 则122111111x x x x -+⨯>-+,122111ln 011x x x x ⎛⎫-+⨯> ⎪-+⎝⎭,所以()()120f x f x ->,即()()12f x f x >, 函数()f x 在定义域上单调递减.……………………7分(Ⅲ)解法一:由(Ⅰ)可知,1ln 32f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则()112f x f ⎛⎫+>-- ⎪⎝⎭,…………8分又()f x 为奇函数,则()112f x f ⎛⎫+> ⎪⎝⎭,又函数()f x 在定义域上单调递减,………………9分故原不等式可化为:111112x x -<+<⎧⎪⎨+<⎪⎩,………………10分 解得122x -<<-,即原不等式的解集为12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.………………12分解法二:因为111x -<+<,所以20x -<<,………………8分 所以()()()1ln ln 2f x x x +=--+,…………9分原不等式可化为:()()ln ln 2ln30x x --++>………………10分即()()ln 3ln 2x x ->+,所以32x x ->+,解得12x <-,…………………………11分 又20x -<<,所以122x -<<-,即原不等式的解集为12,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭.………………12分21.(本小题满分12分)已知()12,1211,01211,0x x x f x x x x m ⎧--≥⎪⎪⎪⎛⎫=-<<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪+≤⎪-⎩.(Ⅰ) 若1m =,画出函数的简图,并指出函数的单调区间.(Ⅱ) 若函数()y f x =的图像与直线1y m =-(0m >)有两个不同的交点,求m 的取值范围(Ⅱ) 由于()101f m=-,…………………………………………………7分 ()()221121110m m m m m m m --+⎛⎫---==≥ ⎪⎝⎭…………………………………8分 当且仅当1m =时,111m m-=-,此时,函数()y f x =的图像与直线1y m =-有两个交点.……9分当1m >时,函数()y f x =的图像与直线1y m =-没有交点…………10分当01m <<时,111m m->-,直线1y m =-与函数()()0y f x x =≤的图像有且只有一个交点,要保证函数()y f x =的图像与直线1y m =-(0)m >有两个交点,则112m -<-,即12m <.所以m 的取值范围为102m <<或1m =.…………12分22.(本小题满分12分)已知二次函数()f x 有两个零点3-和1,且有最小值4-.(Ⅰ) 求()f x 的解析式；(Ⅱ) 令()()1g x mf x =+(0m ≠).① 若0m <,证明:()g x 在[)3,-+∞上有唯一零点； ② 若0m >,求()y g x =在33,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.【解析】(Ⅰ)由题意可得()30f -=,()10f =,所以()f x 的图像关于直线1x =-对称设()()214f x a x =+-,令1x =,则()1440f a =-=,1a =,所以()223f x x x =+-.……2分 (Ⅱ)①由题意得()()2141g x m x m =+-+,0m <对称轴为13x =->-,所以()g x 在[]3,1--上单调递增,[)1,-+∞上单调递减.……3分 又()310g -=>,()1140g m -=->,所以函数()g x 在[]3,1--没有零点,在[)1,-+∞上有且只有一个零点,…………6分 所以()f x 在[)3,-+∞上有唯一零点.………………7分 ②()114g m -=-,()31g -=,39124g m ⎛⎫=+⎪⎝⎭,因为0m >,所以 ()332g g ⎛⎫>- ⎪⎝⎭,…………8分当140m -≥,即14m ≤时,()max max 39124y g x g m ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭,…………9分当140m -<,即14m >时,若94114m m -≤+,即1847m <≤,()max max 39124y g x g m ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭.……………10分 若94114m m ->+,即87m >,()()max max 141y g x g m ==-=-,………11分综上所述,当807m <≤时,max 914y m =+；当87m >时,max 41y m =-.……12分。

广东实验中学2015—2016学年（下）高一级模块考试数 学本试卷共4页．满分为150分，考试用时120分钟．考试不允许使用计算器． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答卷上，并用2B 铅笔填涂学号．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U ＝R ，若集合}2,1,0{π=M ，},cos {M x x y y N∈==，则M 与N 的关系用韦恩（Venn ）图可以表示为 （ ）2．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是( )A ．“甲站排头”与“乙站排头”B ．“甲站排头”与“乙不站排尾”C ．“甲站排头”与“乙站排尾”D ．“甲不站排头”与“乙不站排尾”3．在长为3m 的线段AB 上任取一点P , 则点P 与线段两端点A 、B 的距离都大于1m 的概率是（ ）A ．14 B ．13 C ．12 D ．234．已知数列}{n a 是等差数列，且1713a a a π++=-，则7sin a ＝( )A ．12-B ．12C ．23-D ．25．如果关于x 的方程021=-+a x 有实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．[)+∞,2B ．(]2,1-C ．(]1,2-D ．),0(+∞6．若满足21=a ，)2(11≥+=-n n na a n n ，则4a =（ ） A ．34 B ．1C ．54 D ．32 7．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=)1(log )1(3)(31x x x x f x ，则)1(+=x f y 的大致图象是（ ）8．已知函数()2cos(2)6f x x π=+，下面四个结论中正确的是 ( )A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线6x π=对称C ．函数()f x 的图象是由2cos2y x =的图象向左平移6π个单位得到 D ．函数6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是奇函数9．某程序框图如图所示, 该程序运行后输出的k 的值是( )A ．4B ．5C ．6D ．710．在数列}{n a 中，11=a ，22=a ，)()1(1*2N n a a n n n ∈-+=-+，则=100S （ ）A ．150B ．5050C ．2600D ．48251+11．如图已知圆的半径为10，其内接三角形ABC 的内角A 、B 分 别为60°和45°，现向圆内随机撒一粒豆子，则豆子落在三角 形ABC 内的概率为（ ）(第9题)A．316π+ B．34π+ CD12．已知函数()f x 是奇函数且是R 上的增函数，若x ，y 满足不等式22(2)(2)f x x f y y -≤--，则22x y +的最大值是（ ）AB． C ．8 D ．12 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知回归直线ˆˆˆybx a =+中ˆb 的估计值为1.23，样本点的中心为（4,5）,则回归直线方程为____________.14．某服装加工厂某月生产A 、B 、C 三种产品共4000件，为了保证产品质量，进行抽样检验，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格： 产品类别AB C 产品数量（件） 2300 样本容量（件） 230由于不小心，表格中A 、C 产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A 产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C 的产品数量是 件。

汕头市2015~2016学年度普通高中教学质量监测高二理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【题文】集合{}{}2|ln 0,|16A x x B x x =≥=<，则=A B ( )A ．()41，B ．[)1,4C ．[)1,+∞D ．[),4e【答案】B 【解析】试题分析：{}{}{}{}2|ln 0=|1,|16|44A x x x x B x x x x =≥≥=<=-<<[)1,4A B ∴=考点：集合运算 【结束】2.【题文】复数231i i -⎛⎫ ⎪+⎝⎭=( )A ．－3－4iB ．－3+4iC ．3－4iD ．3+4i【答案】A 【解析】试题分析：23863412i ii i i --⎛⎫==-- ⎪+⎝⎭考点：复数运算 【结束】3.【题文】函数22()sin cos 33f x x x =+的图象中相邻的两条对称轴间距离为( ) A ． 3π B ．43πC ．32πD ．76π 【答案】C 【解析】试题分析：222()sin cos 3334f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，函数周期233T ππ==，所以图象中相邻的两条对称轴间距离为32π 考点：三角函数性质 【结束】4.【题文】下列命题中，是真命题的是( ) A ．0x R ∃∈，00x e≤ B ．已知a ，b 为实数，则a +b =0的充要条件是a b=－1C ． x R ∀∈，22x x > D ．已知a ，b 为实数，则a >1，b >1是ab >1的充分条件【答案】D 【解析】 试题分析：A 中00x e ≤不可能成立；B 中两者间是必要不充分条件；C 中x=2时不成立；D 中结论正确考点：充分条件与必要条件 【结束】5.【题文】现有2个男生，3个女生和1个老师共六人站成一排照相，若两端站男生，3个女生中有且仅有两人相邻，则不同的站法种数是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48【答案】B 【解析】试题分析：第一步：先排2名男生有222A =种，第二步：排女生，3名女生全排形成了4个空，第三步，将这1个老师插入3名女生形成的2空（不含3名女生两端的空）中，根据分步计数原理可得，共有23123224A A A =种考点：计数原理的应用 【结束】6.【题文】已知向量(1,),(1,1),a x b x ==-若(2)a b a -⊥，则|2|a b -=( )A BC ．2D 【答案】A 【解析】试题分析：()()()21,2,221,2a b x x x -=--=-- (2)(2)0a b a a b a -⊥∴-= 1x ∴=()()()21,2,221,122a b x x a b ∴-=--=-∴-=考点：向量坐标运算及向量的模 【结束】7.【题文】已知双曲线C ：2222x y a b-=1(a >0，b >0)，则C 的渐近线方程为( )A ．14y x =±B ．13y x =±C ．12y x =± D ．y x =±【答案】C 【解析】试题分析：2222511442c c b b e a a a a ∴===∴=∴=，双曲线渐近线为12y x =± 考点：双曲线性质 【结束】8.【题文】在ABC ∆中，A =6π，AB AC =3，D 在边BC 上，且2CD D B =，则AD =( )A B C ．5 D ．【答案】A 【解析】试题分析：在△ABC 中，A=6π，AB= AC=3， 利用余弦定理得：2222cos 279279BC AB AC AB AC A =+-∠=+-=，即BC=3， ∴BD=1，CD=2，在△ABD 中，由余弦定理得：cos ∠ADB= 21272AD AD +-，在△ADC 中，由余弦定理得：cos ∠ADC= 2494AD AD +-，∴cos ∠ADB=-cos ∠ADC ，即2226524AD AD AD AD --=-，解得：， 考点：余弦定理 【结束】9.【题文】某程序框图如图所示，现将输出(,)x y 值依次记为：11(,)x y ，22(,)x y ，…，(,)n n x y ，…若程序运行中输出的一个数组是(10)-x ，，则数组中的x =( )A ．32B ．24C ．18D ．16 【答案】A 【解析】试题分析：模拟程序的运行过程，可得： 运行第一次，输出（1，0），n=3，x=2，y=-2； 运行第二次，输出（2，-2），n=5，x=4，y=-4； 运行第三次，输出（4，-4），n=7，x=8，y=-6； 运行第四次，输出（8，-6），n=9，x=16，y=-8； 运行第五次，输出（16，-8），n=11，x=32，y=-10； 运行第六次，输出（32，-10），n=13，x=64，y=-12 考点：程序框图 【结束】10.【题文】如图1，已知正方体1111CD C D AB -A B 的棱长为a ，动点M 、N 、Q 分别在线段1D A ，1C B ，11C D 上．当三棱锥Q-BMN 的俯视图如图2所示时，三棱锥Q-BMN 的正视图面积等于( )A ．212a B ．214aC 2D 2【解析】试题分析：由三棱锥Q-BMN 的俯视图可得Q 在1D ，N 在C ， 所以三棱锥Q-BMN 正视图为△1D EC （E 为1D D 的中点），其面积为211224a a a ⨯⨯=．考点：简单空间图形的三视图 【结束】11.【题文】已知函数)0)(cos 3(sin cos )(>+=ωωωωx x x x f ，如果存在实数0x ，使得对任意的实数x ，都有00()()(2016)f x f x f x π≤≤+成立，则ω的最小值为( ) A ．14032πB ．14032C ．12016π D ．12016【答案】B 【解析】试题分析：由题意可得，()0f x 是函数f （x ）的最小值，0(2016)f x π+是函数f （x ）的最大值．显然要使结论成立，只需保证区间[]00,2016x x π+能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可．又()()11cos cos sin sin 23sin 2223x f x x x x x x ωπωωωωω+⎛⎫==+=++ ⎪⎝⎭故1220162ππω≥，求得14032ω≥，故则ω的最小值为14032考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数 【结束】12.【题文】已知函数-+-≤≤⎧=⎨≤<⎩2|1|,70()ln ,x x f x x e x e，2()2g x x x =-，设a 为实数，若存在实数m ，使()2()0f m g a -=则实数a 的取值范围为( )A ．[1,)-+∞B ．[1,3]-C ．,1][3,)-∞-+∞（U D ．,3]-∞（【解析】试题分析：：∵()22g x x x =-，设a 为实数，∴()2224g a a a =-，a ∈R ，∵224y a a =-，a ∈R ，∴当a=1时，y 最小值=-2，∵函数2|1|,70()ln ,x x f x x e x e -+-≤≤⎧=⎨≤<⎩， f （-7）=6，f （2e -）=-2，∴值域为 ∵存在实数m ，使f （m ）-2g （a ）=0， ∴22246a a -≤-≤，即-1≤a ≤3， 考点：对数函数图象与性质的综合应用 【结束】第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.【题文】若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则=p _________.【答案】,22 【解析】试题分析：双曲线221x y -=的一个焦点为()，所以准线为x p ==考点：双曲线抛物线方程及性质 【结束】14.【题文】点(,)M x y是不等式组03x y x ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩表示的平面区域Ω内的一动点，且不等式20x y m -+≥总成立，则m 的取值范围是 . 【答案】},3|{≥m m 或[)+∞∈,3m 【解析】试题分析：若2x-y+m ≥0总成立⇔m ≥y-2x 总成立即可， 设z=y-2x ，即求出z 的最大值即可， 作出不等式组对应的平面区域如图：由z=y-2x 得y=2x+z ，平移直线y=2x+z ，由图象可知当直线经过点C （0，3）时，直线的截距最大，此时z 最大， 此时z=3-0=3， ∴m ≥3，考点：简单线性规划 【结束】15.【题文】若三棱锥P-ABC 的最长的棱PA=2，且各面均为直角三角形，则此三棱锥的外接球的体积是 . 【答案】34π 【解析】试题分析：若三棱锥P-ABC 的最长的棱PA=2，且各面均为直角三角形， 将此三棱锥的外接球的直径为2， 故此三棱锥的外接球的半径为1， 故此三棱锥的外接球的体积V=34π 考点：球的体积和表面积 【结束】16.【题文】设2sin 12cos 2π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰x a x dx ，则6⎛ ⎝的展开式中常数项是 . 【答案】160- 【解析】试题分析：展开式中通项公式(()663661kkk k k kk T C a C x --⎛==- ⎝， 令31k x -=，解得k=3，即展开式中常数项为6320T a =-，又∵()2000sin 12cos sin cos sin cos |22x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=+= ⎪⎝⎭⎰⎰， ∴63201280T a =-=- 考点：二项式系数的性质 【结束】三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.【题文】(本小题满分12分) 若数列{}n a 的前n 项和n S 满足()231n n S a n N +=-∈，等差数列{}n b满足113,3b a b S ==+，323b S =+ (1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)设3nn n b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】(1) 13n n a -=，21n b n =+ (2) 223n nn T +=- 【解析】试题分析：(1)利用()()1112n nn S n a S S n -=⎧⎪=⎨-≥⎪⎩可求得{}n a 的通项公式，由{}n a 可得到{}n b 中的项，从而求得{}n b 的通项公式；（2）首先整理得数列{}n c 的通项1232135721,33333n nn nn n c T ++==++++，结合其特点采用错位相减法求和试题解析：(1)当1n =时，111231,1S a a =-∴=…………（1分） 当2n ≥时，()()112223131n n n n n a S S a a --=-=---，即13nn a a -=…………（3分） ∴数列{}n a 是以11a =为首项，3为公比的等比数列，13n n a -∴=…………（4分）设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=…………（5分） 所以12)1(23+=-+=n n b n …………（6分）(2)由（1）可知道：1232135721,33333n nn nn n c T ++==++++…………（7分） 1232135721,33333n n n n n n c T ++==++++①234113572133333n n n T ++=++++②，…………（8分）由①-②得，132312)31........3131(2132++-++++=n n n n T …………（9分） 131231131131231++--⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+=n nn …………（10分）131231131++-⎪⎭⎫⎝⎛-+=n nn …………（11分） 所以223n nn T +=-…………（12分） 考点：数列求通项公式及数列求和 【结束】18.【题文】(本小题满分12分) 如图，四棱锥P ABCD -中，ABC ∠=BAD ∠=90，2BC AD =，PAB ∆与PAD ∆都是等边三角形.(1)证明：PB CD ⊥；(2)求二面角B PD A --的余弦值.【答案】（1）详见解析（2【解析】试题分析：（1）取BC 的中点E ，连接DE ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，连接OA ，OB ，OE ，OD ，推出OE ⊥PB ，证明OE ∥CD ，得到PB ⊥CD ．（2）由OE ，OB ，OP 两两垂直．以O 为原点，OE 方向为x 轴正方向，OB 方向为y 轴正方向，OP 方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系O-xyz ，求出相关点的坐标，求出平面PAD 的法向量，平面PBD 的法向量为m ，利用空间向量的数量积求解即可试题解析：（1）取BC 的中点E ，连接DE ，则ADEB 为正方形…………（1分） 过P 作⊥PO 平面ABCD ,垂足为点O ，由PAB ∆与PAD ∆都是等边三角形.不难得到PD PB PA ==,所以OD OB OA ==,…………（2分） 即点O 为正方形ADEB 的对角线交点，故BD OE ⊥…………（3分） 所以⊥OE 平面PBD ，又⊂PB 平面PBD ，所以PB OE ⊥…………（4分） 因为E O ,分别是BC BD ,的中点，所以CD OE //,所以CD PB ⊥；…………（6分） （2）由（1）知，可以O 为坐标原点，OP OB OE ,,为z y x ,,轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，设2=AB ，则点)0,0,2(-A ,)0,2,0(-D ,)2,0,0(P …………（7分） 所以)0,2,2(-=AD ,)2,0,2(=AP ,…………（8分）设平面PAD 的一个法向量为),,(z y x =所以⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=-=⋅022022z x y x ，取1=x 得到1,1-==z y ，所以)1,1,1(-=n …………（9分）又⊥OE 平面PBD ，所以可以取平面PBD 的一个法向量)0,0,1(=m …………（10分） 由图像可知，该二面角为锐角，可设为θ所以cos 3n m n mθ⋅===⋅.…………（12分） 考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质 【结束】19.【题文】(本小题满分12分) 2016年4月21日上午10时，某省会首次启动重污染天气II 级应急响应，正式实施机动车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表：(1)完成被调查人员的频率分布直方图； (2)若从年龄+1－m >0；(2)若函数()f x 的图像恒在函数()g x 图像的上方，求实数m 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）()()2,12,3--（Ⅱ）4m <【解析】试题分析：（Ⅰ）问题转化为||x|+|x-1|-4|＜1，解出即可；（Ⅱ）问题转化为m ＜|x|+|x-1|+|x-4|恒成立，求出m 的范围即可试题解析：（Ⅰ）由[()]20g f x m +->得|||14|1x x +--<，3||15x x ∴<+-< ……(*) …………（1分）(1)当0<x 时，不等式(*)可以化为：5213<-<x ，即12-<<-x ………（2分）(2)当10≤≤x 时，不等式(*)显然不成立。

绝密★启用前 试卷类型：A2015年6月广东省普通高中学业水平考试化学试卷可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 0 16 Na 23 Cl 35.5 Fe 56一、单项选择题Ⅰ：本大题共30小题，每小题1分，共30分。

在每小题列出的四个选项 中，只有一项最符合题意。

1．“墙角数枝梅，凌寒独自开。

遥知不是雪，为有暗香来。

”诗人在远处能闻到梅花香味， 表明A ．分子很小B ．分子可再分C ．分子之间有间隙D ．分子在不停地运动2．氢有三种同位素：H 11、H 21和H 31，它们之间存在差异的是A ．中子数B ．电子数C ．原子序数D ．质子数3．具有9个质子和10个电子的微粒是A ．Na ＋B ．O 2―C ．F —D ．Ne4．化合物UF 6在原子能工业有重要作用，其中元素U 的化合价是A ．-6B ．+2C ．+3D ．+65．标准状况下呈液态的物质为A ．FeB ．N 2C ．CH 3CH 2OHD ．CO6．生理盐水是指质量分数为0.9﹪的NaCl 溶液。

下列有关该溶液说法正确的是A ．100g 溶液中含有0.9 g NaClB ．100 g 水中含有0.9 g NaClC ．100 g 溶液中含有0.9 mol NaClD ．100 g 水中含有0.9 mol NaCl7．下列各组物质中，组成元素完全相同的是A ．石墨与金刚石B ．水银与银C ．水晶与石灰石D ．青铜与铜8．科学家发明的透明坚硬镁铝氧化物新型材料，可以用作显示器和手机屏幕。

下列有关镁 和铝的说法正确的是A ．镁的金属性比铝弱B ．镁和铝的氧化物都可以与盐酸反应C ．镁和铝原子的最外层电子数都为3D ．镁和铝的氧化物都可以与氢氧化钠溶液反应9．分类是学习和研究化学的一种重要方法。

下列分类合理的是A ．K 2CO 3和K 2O 都属于盐B ．KOH 和Na 2CO 3都属于碱c ．H 2SO 4和HNO 3都属于酸 D ．Na 2O 和Na 2SiO 3都属于氧化物10．下列实验操作不正确的是A．用量筒量取25 mL蒸馏水B．用分液漏斗分离乙醇和水c．用烧杯溶解FeCl3试样D．用托盘天平称量NaCl固体5.8g11．实验室检验溶液中是否存在SO42―，可选用的化学试剂依次为A．KCl(aq)，HCl(aq) B．HNO3(aq)，KNO3(aq)C．HCl(aq)，BaCl2(aq) D．NaNO3(aq)，HNO3(aq)12．下列化合物中，既存在离子键又存在共价键的是A．碳酸钠B．乙醇C．氯化钾D．一氧化碳13．糖类与我们的日常生活息息相关。

2015～2016学年佛山市普通高中高二教学质量检测数 学（理科）本试卷共4页,22小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项:1．答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目．2．选择题每小题选出答案后,用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．请考生保持答题卷的整洁.考试结束后,将答题卷和答题卡交回. 参考公式: ① 柱体的体积公式V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为柱体的高.② 锥体的体积公式13V Sh =,其中S 为柱体的底面积,h 为锥体的高. 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,满分60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．经过两点(A m,(),B m -的直线的倾斜角为30︒,则=m ( )A . 3-B . 35-C . 13- D . 1 2．命题“0x ∃∈R ,200220x x ++≤”的否定是( )A . x ∀∈R ,2220x x ++≤B . x ∀∈R ,2220x x ++>C . 0x ∃∈R ,200220x x ++>D . 0x ∃∈R ,200220x x ++≥3．已知点(),,M a b c 是空间直角坐标系O xyz -中的一点,则与点M 关于z 轴对称的点的坐标是( )A . (),,a b c --B . (),,a b c --C . (),,a b c --D . (),,a b c ---4．两圆1C :22430x y x +-+=和2C:2230x y +++=的位置关系是( )A . 相离B . 相交C . 内切D . 外切 5．“3=a ”是“直线230++=ax y a 和直线()317x a y a +-=-平行”的( )A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件6．已知实数,x y 满足11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =-的最大值为( )A ．3-B ．5C ．6D ．77．已知命题p :“若直线a 与平面α内两条直线垂直,则直线a 与平面α垂直”,命题q :“存在两个相交平面垂直于同一条直线”,则下列命题中的真命题为( )2016年1月A . ∧p qB . ∨p qC . ⌝∨p qD . ∧⌝p q 8．下列命题中正确的个数是( )① 如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行． ② 若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都平行． ③ 若直线l 与平面α平行,则l 与平面α内的任意一条直线都没有公共点． ④ 若直线l 上有无数个点不在平面α内,则//αl ．A . 0B . 1C . 2D . 39．已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心O 的距离等于球半径的一半,且2===AB BC CA ,则球O 的体积为( )A .25681π B . 6427π C . 169πD . 43π 10.已知圆C :224x y +=上恰有两个点到直线l :0x y m -+=的距离都等于1,则实数m 的取值范围是( )A. (2,32⎡-⎣B . (2,32⎡-⎣C . 2,32⎡⎡-⎣⎣D . ((2,32-11.若直线30ax by +-=与圆223x y += 没有公共点，则过点(),M a b 的直线l 与椭圆22143x y +=的公共点的个数是A . 0B . 1C . 2D . 1或212. 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()22:34C x y -+=，点,A B 在圆C 上，且AB =，则OA OB+的最大值是( )A . 8 B. C . 4 D . 二、填空题:本大共4小题,每小题5分,满分20分． 13.抛物线24y x =的焦点坐标是 ．14.在正方体1111-ABCD A B C D 中,点P 、Q 分别在11A B 、11C D 上,且112=A P PB ,112=C Q QD ,则异面直线BP 与DQ 所成角的余弦值为 .15.已知一个空间几何体的三视图如图1所示,其三视图均为边长为1的 正方形,则这个几何体的表面积为 .16. 已知F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点，若以F 为圆心的圆22:430C x y x +-+=与双正视图侧视图俯视图图1BAD C A 1C 1B 1D 1图2D A 1B 1C 1ABC 图3曲线的渐近线相切，则双曲线的标准方程为 .三、解答题:本大题共6小题,满分70分．解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)如图2,正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1,请在此正方体中取出四个顶点构成一个三棱锥,满足三棱锥的四个面都是直角三角形,并求此三棱锥的体积.18.(本小题满分12分)圆心为C 的圆经过点()0,2A 和点()2,0B ,且圆心C 在直线1l :240x y --=上. (Ⅰ) 求圆C 的方程；(Ⅱ) 求直线2l :3480x y +-=被圆C 截得的弦的长度.19.(本小题满分12分)如图3,在三棱柱111C B A ABC -中,侧棱垂直于底面,各棱长均为2,D 为线段11C B 中点． (Ⅰ) 证明://1AC 平面1A BD ；(Ⅱ) 求1BB 与平面1A BD 所成角的正弦值.图420.(本小题满分12分)已知动圆C 过点()0,1F ,圆心C 在x 轴上方,且到点F 的距离比到x 轴的距离大1. (Ⅰ) 求动圆圆心C 的轨迹E 的方程；(Ⅱ) 设A 、B 是曲线E 上两个不同的动点,过A 、B 分别作曲线E 的切线,两切线相交于P 点,且AP BP ⊥,求AB 的最小值.21.(本小题满分12分)如图4,在直角梯形ABCD 中,AD AB ⊥,4,2===CD AD AB ,点E 为CD 中点,将三角形ABD 沿BD 翻折．(Ⅰ) 证明:在翻折过程中,始终有BD AE ⊥； (Ⅱ) 当32=AC 时,求二面角C BD A --的大小.22.(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy 中,过椭圆C :22221x y a b+=(0a b >>)右焦点的直线l :y kx k =-交C 于,A B两点,P 为AB 的中点,当1k =时OP 的斜率为12-.(Ⅰ) 求C 的方程；(Ⅱ) x 轴上是否存在点Q ,使得k 变化时总有AQO BQO ∠=∠,若存在请求出点Q 的坐标,若不存在,请说明理由.BA D CA 1C 1B 1D 12015～2016年佛山市普通高中高二教学质量检测数学试题（理科）参考答案和评分标准一、选择题(每题5分,共60分)二、填空题（每题5分，共20分）13．10,16⎛⎫⎪⎝⎭14． 45 15．3+ 16．2213x y -= 三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.(本小题满分10分)【解析】在正方体的一个面上取三个点构成的直角三角形作为三棱锥的底面,如ABD ∆；取对面上与直角三角形锐角顶点正对的顶点,作为三棱 锥的顶点,即点1B 、1D ,可得两个符合条件的三棱锥1D ABD -和三棱 锥1B ABD -.(取出的三棱锥一定用到正方体的一条体对角线.)……7分 三棱锥的体积611211312=⨯⨯⨯=V . …………………10分 18.(本小题满分12分)【解析】(Ⅰ) 解法1:AB 的中点为()1,1,斜率为1-,则AB 的垂直平分线为y x =.……2分 联立240y xx y =⎧⎨--=⎩,解得圆心C 的坐标为()4,4.……5分半径r ==所以圆C 的方程为()()224420x y-+-=.……7分解法2:设圆C 的方程为220x y Dx Ey F ++++=.………1分由42042024022E F D F D E ⎧⎪++=⎪⎪++=⎨⎪⎛⎫⎛⎫⎪----= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,解得8812D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩,故所求圆C 的方程为2288120x y x y +--+=.……7分(Ⅱ)圆心到2l 的距离为4d ==. ………………………9分2==,于是直线2l 被圆C 截得的弦的长度为4. …12分HFCBAC 1B 1A 1D19.(本小题满分12分)【解析】(Ⅰ)连接1AB ,交B A 1于点F ,连接DF ,11C AB ∆中,D ,F 分别为B A 1,11C B 中点,所以1//DF AC ．……………2分因为DF ⊂平面1A BD ,⊄1AC 平面1A BD所以//1AC 平面1A BD ． …………………………4分 (Ⅱ)方法1:如图,作BD H B ⊥1,垂足为H ,因为1BB ⊥平面111C B A ,⊂D A 1平面111C B A ,所以11A D BB ⊥,又111A D B C ⊥,且1111B C B BB = ,⊂111,C B BB 平面C C BB 11,所以1A D ⊥平面C C BB 11.……6分 因为1B H ⊂平面C C BB 11,所以11B H A D ⊥,又1B H BD ⊥,且D BD D A = 1,⊂BD D A ,1平面BD A 1,所以1B H ⊥平面BD A 1,所以BH B 1∠为1BB 与平面1A BD 所成的角．………………8分在1Rt B BD ∆中,55sin 11==∠BD D B BH B ．……11分因此1BB 与平面1A BD 所成角的正弦值为55.…12分方法2:取AB 中点O ,连接CO ．因为⊥1AA 平面ABC ,⊂CO 平面ABC ,所以1AA CO ⊥．又因为AB CO ⊥,且A AB AA = 1,⊂AB AA ,1面11A ABB ,所以,⊥CO 平面11A ABB ．……6分 如图,以O 为原点,建立空间直角坐标系O xyz -如图所示,则()11,2,0A ,()1,0,0B -, ()11,2,0B -,1,2D ⎛- ⎝,所以,()12,2,0BA =,1,2,22BD ⎛= ⎝⎭,()10,2,0BB =.………8分 设平面1A BD 的法向量(),,x y z =n ,由100BA BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n ,得22012022x y x y z +=⎧⎪⎨++=⎪⎩,解得y x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩, 令1=x ,得(1,=-n ,……………………………………10分设直线1BB 与平面1A BD 所成角大小为θ,则1115sin cos BB BB BB θ⋅=⋅==⋅n n n ,所以,1BB 与平面1A BD 所成角的正弦值为55．…………………………12分20.(本小题满分12分)【解析】(Ⅰ)设动圆C 的圆心坐标为(),x y ,点C 到x 轴的距离为y ,…………1分 由题意知:1CF y -=1y =（0y >）……………2分化简得24x y =(0y >),即动圆圆心C 的轨迹E 的方程为24x y =(0y >).……………4分(Ⅱ)设()22121200,,,,,44x x A x B x P x y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,直线AP 的斜率为k ,联立()211244x y k x x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩,消去y 得2211440x kx kx x -+-= …………6分由()()22114440k kx x ∆=--=得12x k =,同理BP 的斜率为22x,…………7分 因为AP BP ⊥,所以124x x =- …………8分直线AB 的斜率为1214x x k +=,直线AB 的方程为()21211211444x x x x x y x x x ++=-+=+．…9分 联立1214y k x y x=+⎧⎨=⎩,消去y 得21440x k x --=, …………10分得1214x x k +=,124x x =-,所以()241AB k ==+．……11分所以当0k =时,AB 的最小值4． …………12分 21.(本小题满分12分)【解析】(Ⅰ)在梯形ABCD 中,连接BE ,因为,2AB AD AB AD ⊥==, 所以BD =又12//2DE DC AB CD ==，,所以四边形ABDE 为正方形, 在梯形ABCD 中,连接AE 交BD 于F ,则BD AE ⊥ ……2分 翻折过程中,始终有BD AF ⊥,BD EF ⊥, 又AFEF F =,所以BD ⊥面AEF , 又AE ⊂面AEF , 所以BD AE ⊥ ……………5分(Ⅱ)翻折前,四边形ABDE 为正方形,即有2BE =,BE CD ⊥,在BCD ∆中,((2222216BD BC CD +=+==,所以BC BD ⊥ ……………………6分因为//EF BC ,所以EF BD ⊥,翻折之后,仍有BD EF ⊥,又AF BD ⊥,所以AFE ∠为二面角A BD C --的平面角, ………………8分因为24,AD DC AC ===，,所以222AD AC DC +=,即AC AD ⊥, 因为E 为DC 的中点,所以122AE CD ==.………………10分 在AFE ∆中,222=-=BF AB AF ,221==BC EF ,2=AE 所以222AE EF AF =+,即有AF EF ⊥ ……………………11分 所以二面角C BD A --为90︒.……………………12分 22.(本小题满分12分)【解析】(Ⅰ)因为l :y kx k =-过定点()1,0,所以1c =,221a b =+. …………1分当1k =时,直线l :y kx k =-,联立2222111y x x y b b =-⎧⎪⎨+=⎪+⎩,设()()1122,,,A x y B x y , 化简得()()2224212110b x b x b +-++-=. …………3分则()21222121b x x b ++=+,于是()22121222212222121b b y y x x b b +-+=+-=-=++………4分 所以AB 中点P 的坐标为22221,2121b b b b ⎛⎫+- ⎪++⎝⎭,OP 的斜率为22112b b -=-+,所以1b =,a =…5分 从而椭圆C 的方程为2212x y +=. …………………………6分 (Ⅱ)假设存在点Q 设坐标为(),0m ,联立2212y kx k x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩,化简得:()2222214220k x k x k +-+-=. …………7分所以2122421k x x k +=+,21222221k x x k -=+. …………8分 直线AQ 的斜率11AQ y k x m =-,直线BQ 的斜率22BQ y k x m=-. …………9分()()()()()()()()()2121212121212222121121AQ BQk m k x x m x x m k x k x k k k x m x m x m x m x m x m --+++⎡⎤--⎣⎦++=+==------……10分 当2m =时,0AQ BQ k k +=,所以存有点()2,0Q ,使得AQO BQO ∠=∠.. …………12分。