2018年广东省高中学业水平测试(小高考)数学预测试卷

2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷(B 卷）一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则M N =（ ）A .{}0,1,2B 。

{}1,0,1-C 。

MD 。

N2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）A 。

lg lg lg y y x x -=B .lg()lg lg x y x y +=+C .3lg 3lg x x =D .ln lg ln10x x = 3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩,设(0)f a =，则()=f a （ ） A 。

2- B 。

1- C 。

12D .0 4、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1x i+的虚部是2,则x =（ ) A .4 B .2 C 。

2- D .4-5、设实数a 为常数,则函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是( ） A 。

1a ≤ B 。

1a > C 。

14a ≤ D 。

14a > 6、已知向量(1,1)a =，(0,2)b =,则下列结论正确的是( ）A .//a bB 。

(2)a b b -⊥C .a b =D .3a b =7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动,则应选取的男、女生人数分别是( )A 。

69和B .96和C 。

78和D .87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形,俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）A 。

1B 。

2C .4D .89、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A 。

0B 。

1-C .32- D .2- 10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ） A .DA DC AC -= B 。

2018年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.421ii-=+（ ） A ．3i - B ．3i + C ．13i + D ．13i - 2.已知()1,3a =-，(),4b m m =-，若//a b ，则m =（ ） A ．1 B ．2- C ．3 D ．63.已知x R ∈，集合{}0,1,2,4,5A =，集合{}2,,2B x x x =-+，若{}0,2A B =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．24.空气质量指数（简称：AQI ）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：[)0,50为优，[)50,100为良，[)100,150为轻度污染，[)150,200为中度污染，[)200,250为重度污染，[)250,300为严重污染.下面记录了北京市22天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是（ ）A ．在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量B ．在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度C. 在北京这22天的空气质量中，12月29日空气质量最好 D ．在北京这22天的空气质量中，达到空气质量优的天数有6天5.如图，AD 是以正方形的边AD 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（ ）A ．16π B ．316 C.4πD ．14 6.已知等比数列{}n a 的首项为1，公比1q ≠-，且()54323a a a a +=+，则5a =（ ） A ．9- B ．9 C.81- D ．817.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为()4,0，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（ ）A ．22188x y -=B ．2211616x y -= C. 22188y x -= D ．22188x y -=或22188y x -= 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．86π+B ．66π+ C.812π+ D ．612π+9.在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔.国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍.请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒.当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（ ）A． B． C. D．10.已知三棱锥D ABC-的外接球的球心O恰好是线段AB的中点，且AC BC BD AD====2=，则三棱锥D ABC-的体积为（）A．3B．3C.3D．1311.已知数列{}n a的前n项和为n S，115a=，且满足112325n na an n+=+--，已知*,n m N∈，n m>，则n mS S-的最小值为（）A．494- B．498- C.14- D．28-12.已知函数()()ln3xf x e x=-+，则下面对函数()f x的描述正确的是（）A．()0,x∀∈+∞，()2f x≤ B．()0,x∀∈+∞，()2f x>C. ()0,x∃∈+∞，()00f x= D．()()min0,1f x∈第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.将函数()()()2sin20f x xϕϕ=+<的图象向左平移3π个单位长度，得到偶函数()g x的图象，则ϕ的最大值是．14.设x，y满足约束条件2,1,1,yy xy x≤⎧⎪≥-+⎨⎪≥-⎩则3412z x y=--的最大值为．15.设函数()2logf x a x=+在区间[]1,a上的最大值为6，则a=．16.已知抛物线()220y px p=>与圆()2211x y+-=，则该抛物线的焦点到准线的距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知60B =，8c =.（1）若点M 是线段BC 的中点，ANBM=b 的值； （2）若12b =，求ABC ∆的面积.18.经销商第一年购买某工厂商品的单价为a （单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：.已知某经销商下一年购买该商品的单价为X （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率. （1）求X 的平均估计值.（2）为了鼓励经销商提高销售额，计划确定一个合理的年度销售额m （单位：万元），年销售额超过m 的可以获得红包奖励，该工厂希望使62%的经销商获得红包，估计m 的值，并说明理由. 19.如图：在五面体ABCDEF 中，四边形EDCF 是正方形， 90ADE ∠=， （1）证明：FCB ∆为直角三角形；（2）已知四边形ABCD 是等腰梯形，且60DAB ∠=，1AD DE ==，求五面体ABCDEF 的体积.20.已知椭圆()2212:108x y C b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 也为抛物线21:8C y x =的焦点. （1）若M ，N 为椭圆1C 上两点，且线段MN 的中点为()1,1，求直线MN 的斜率；（2）若过椭圆1C 的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段AB ，CD 的长分别为m ，n ，证明11m n+是定值. 21.已知函数()xmf x nx e =+. （1）若函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为32y x =-+，求m ，n 的值；（2）当1n =时，在区间(],1-∞上至少存在一个0x ，使得()00f x <成立，求实数m 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,4x y a ⎧=⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数），圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）若射线()03πθρ=>与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知()32f x mx x n =+-+.（1）当2m =，1n =-时，求不等式()2f x <的解集；（2）当1m =，0n <时，()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于24，求n 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DABCD 6-10:BABCA 11、12：CB 二、填空题 13.6π-14.9- 15.416.6三、解答题17.解：（1）若点M 是线段BC的中点，AMBM=BM x =，则AM =， 又60B =，8AB =，在ABM ∆中，由余弦定理得2236428cos60x x x =+-⨯， 解得4x =（负值舍去），则4BM =，8BC =. 所以ABC ∆为正三角形，则8b =. （2）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b cB C=，得8sin 2sin 12c BC b⨯===又b c >，所以B C >，则C 为锐角，所以cos C =则()1sin sin sin cos cos sin 23236A B C B C B C =+=+=+⨯=，所以ABC ∆的面积1sin 482S bc A ===18. 解：（1）由题可知：0.20.90.30.850.240.80.120.750.10.70.040.873a a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）因为后4组的频率之和为0.040.10.120.240.50.62+++=<， 而后5组的频率之和为0.040.10.120.240.30.80.62++++=>， 所以100200m ≤≤. 由0.120.3200100m =-，解得160m =. 所以年销售额标准为160万元时，62%的经销商可以获得红包.19.（1）证明：由已知得AD DE ⊥，DC DE ⊥，,AD CD ⊂平面ABCD ，且AD CD D =，所以DE ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，所以BC ED ⊥.又因为//ED FC ，所以FC BC ⊥，即FCB ∆为直角三角形. （2）解：连结AC ，AF ，ABCDEF A CDEF F ACB V V V --=+.过A 作AG CD ⊥交CD 于G ，又因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE AG ⊥， 且CDDE D =，所以AG ⊥平面CDEF ，则AG 是四棱锥A CDEF -的高.因为四边形ABCD 是底角为60的等腰梯形，1AD DE ==，所以2AG =,2AB =，136A CDEF CDEF V AG S -=⋅=因为DE ⊥平面ABCD ，//FC DE ，所以FC ⊥平面ABCD ，则FC 是三棱锥F ACB -的高.13F ACB ACB V FC S -∆=⋅=.所以ABCDEF A CDEF F ACB V V V --=+=20.解：因为抛物线22:8C y x =的焦点为()2,0，所以284b -=，故2b =.所以椭圆221:184x y C +=. （1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221,841,84x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=，又MN 的中点为()1,1，所以122x x +=，122y y +=. 所以212112y y x x -=--.显然，点()1,1在椭圆内部，所以直线MN 的斜率为12-. （2）椭圆右焦点()22,0F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时，118m n +==当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为()2y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得()222,28,y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()2222128880k x k x k +-+-=， 因为()()()()222228412883210kk k k ∆=--+-=+>，所以2122812k x x k +=+，()21228112k x x k-=+. 所以)22112k m k+==+，同理可得)2212k n k +=+.所以222211122118k km n k k⎫+++=+=⎪++⎭为定值.21.解：（1）因为()'xmf x ne=-+，让你以()'0f n m=-，即3n m-=-.又因为()0f m=，所以切点坐标为()0,m，因为切点在直线32y x=-+上，所以2m=，1n=-.（2）因为()xmf x xe=+，所以()'1xx xm e mf xe e-=-+=.当0m≤时，()'0f x>，所以函数()f x在(],1-∞上单调递增，令x a=<，此时()00amf x ae=+<，符合题意；当0m>时，令()'0f x=，则lnx m=，则函数()f x在(),ln m-∞上单调递减，在()ln,m+∞上单调递增.①当ln1m<，即0m e<<时，则函数()f x在(),ln m-∞上单调递减，在(]ln,1m上单调递增，()()minln ln10f x f m m==+<，解得10me<<.②当ln1m≥，即m e≥时，函数()f x在区间(],1-∞上单调递减，则函数()f x在区间(],1-∞上的最小值为()110mfe=+<，解得m e<-，无解.综上，1me<，即实数m的取值范围是1,e⎛⎫-∞⎪⎝⎭.22. 解：（1）在直线l的参数方程中消去t，可得，34x y a--+=，将cosxρθ=，sinyρθ=代入以上方程中，所以，直线l的极坐标方程为3cos sin04aρθρθ--+=.同理，圆C的极坐标方程为26cos6sin140ρρθρθ--+=.（2）在极坐标系中，由已知可设1,3Mπρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,3Aπρ⎛⎫⎪⎝⎭，3,3Bπρ⎛⎫⎪⎝⎭.联立2,36cos6sin140,πθρρθρθ⎧=⎪⎨⎪--+=⎩可得(23140ρρ-++=，所以233ρρ+=+因为点M恰好为AB的中点，所以132ρ+=，即3Mπ⎫⎪⎪⎝⎭.把3,23M π⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭代入3cos sin 04a ρθρθ--+=，得(313024a +-+=，所以94a =. 23. 解：（1）当2m =，1n =-时，()2321f x x x =+--.不等式()2f x <等价于()()3,223212,x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩ 或()()31,2223212,x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩ 或()()1,223212,x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩解得32x <-或302x -≤<，即0x <.所以不等式()2f x <的解集是(),0-∞. （2）由题设可得，()3,3,3233,3,23,,2x n x n f x x x n x n x n x n x ⎧⎪+-<-⎪⎪=+-+=++-≤≤-⎨⎪⎪-+->-⎪⎩所以函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为3,03n A +⎛⎫-⎪⎝⎭，()3,0B n -，,322nn C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 所以三角形ABC 的面积为()2613332326n n n n -+⎛⎫⎛⎫-+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 由题设知，()26246n ->，解得6n <-.。

2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则MN =（ ）A .{}0,1,2B .{}1,0,1-C .MD .N 2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）A .lg lg lgy y x x -= B .lg()lg lg x y x y +=+ C .3lg 3lg x x = D .ln lg ln10x x = 3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，设(0)f a =，则()=f a （ ）A .2-B .1-C .12D .04、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1xi+的虚部是2，则x =（ ）A .4B .2C .2-D .4-5、设实数a 为常数，则函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是（ ）A .1a ≤B .1a >C .14a ≤D .14a > 6、已知向量(1,1)a =，(0,2)b =，则下列结论正确的是（ ）A .//a bB .(2)a b b -⊥C .a b =D .3a b =7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）A .69和B .96和C .78和D .87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）A .1B .2C .4D .89、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A .0B .1-C .32- D .2-10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）A .DA DC AC -=B .DA DC DO +=C .OA OB AD DB -+= D .AO OB BC AC ++= 11、设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若2,a b c ===C =（ ）A .56π B .6π C .23π D .3π 12、函数()4sin cos f x x x =，则()f x 的最大值和最小正周期分别为（ ）A .2π和B .4π和C .22π和D .42π和13、设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（ ）A .4B .8 C. D.14、设函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()f x 为奇函数，若10x <，20x >，则下列结论不正确的是（ ）A .(0)0f =B .1()0f x >C .221()(2)f x f x +≤ D .111()(2)f x f x +≤ 15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a +++=（ ）A .24(21)n- B .124(21)n -+ C .4(41)3n - D .14(42)3n -+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线221916x y -=的离心率为 . 17、若2sin()23πθ-=，且0θπ<<，则tan θ= .18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .19、圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列{}n a 满足138a a +=，且61236a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12b =，112n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .21、如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，PB BC =，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交AC PC ，于点,D E . （1）证明：//EF ABP 平面； （2）证明：BD AC ⊥.2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、B 解析：{}101MN =-，，，故选B.2、B 解析：对于B 项，令1x y ==，则lg()lg 2lg10x y +=>=，而lg lg 0x y +=，显然不成立，故选B.3、C 解析：3(0)011a f ==-=- 11()(1)22f a f -∴=-==，故选C.4、D 解析：(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++- 242x x ∴-=⇒=-，故选D. 5、C 解析：由已知可得，11404a a ∆=-≥⇒≤，故选C. 6、B 解析：对于A 项，12-010⨯⨯≠，错误；对于B 项，2(2,0)a b -=，(0,2)b =，则20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥，正确；对于C 项，2,2a b ==，错误；对于D 项，10122a b =⨯+⨯=，错误. 故选B. 7、A 解析：抽样比为1535010k ==，则应抽取的男生人数为320=6()10⨯人，应抽取的女生人数为3(5020)9()10-⨯=人，故选A. 8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为2214V =⨯⨯=，故选C.9、D 解析：（快速验证法）交点为11(0,1),(0,0),(,)22-，则2z x y =-分别为32,0,2--，所以z 的最小值为2-，故选D.10、D 解析：对于A 项，DA DC CA -=，错误； 对于B 项，2DA DC DO +=，错误；对于C 项，OA OB AD BA AD BD -+=+=，错误； 对于D 项，AO OB BC AB BC AC ++=+=，正确. 故选D.11、A解析：由余弦定理，得222222cos 22a b c C ab +-===-，又0C π<< 5=6C π∴，故选A. 12、A 解析：()2sin 2f x x =max ()2f x ∴=，最小正周期为22T ππ==，故选A. 13、B解析：122F F c c ==⇒=22224164a c b a ∴=+=+=⇒=122248PF PF a ∴+==⨯=，故选B. 14、D 解析：对于A 项，()f x 为R 上的奇函数 (0)0f ∴=，正确；对于B 项，()f x 为R 上的减函数 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=，正确；对于C 项，20x >2222221121x x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立) 221()(2)f x f x ∴+≤，正确； 对于D 项，10x < 1111111()2x x x x x ∴+=--+≤-=---111()(2)(2)f x f f x ∴+≥-=-，错误. 故选D. 15、C 解析：当2n ≥时，1122(22)2222n n n n n n n n a S S +-=-=---=⨯-=；当1n =时，211222a S ==-=适合上式. 222()(2)4n n n n n a n N a *∴=∈⇒=={}2n a ∴是首项为4，公比为4的等比数列 222124(14)4(41)143n n n a a a --∴+++==-，故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、53解析：由已知，得2293,164a a b b =⇒==⇒= 222916255c a b c ∴=+=+=⇒= ∴双曲线的离心率为53c e a ==.17、2 解析：2s i n ()c o s 23πθθ-==，且0θπ<<sin θ∴===sin 3tan cos 2θθθ∴===. 18、49 解析：224339P ⨯==⨯. 19、22(4)(2)2x y -++= 解析：联立203100x y x y +-=⎧⎨-++=⎩得4(4,2)2x y =⎧⇒-⎨=-⎩圆心为 则圆心(4,2)-到直线40x y +-=的距离为d ==∴圆的标准方程为22(4)(2)2x y -++=.三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .2(1)22n a n n ∴=+-⨯= ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由（1）知，2n a n = 1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+2(1)224n b n n ∴=--+=-+ 又12b =适合上式 24()n b n n N *∴=-+∈ 122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=- ∴数列{}n b 是首项为2，公差为2-的等差数列.21、解：（1）证明：DE 垂直平分PC E ∴为PC 的中点又F 为BC 的中点 EF ∴为B C P 的中位线//EF BP ∴又,EF ABP BP ABP ⊄⊂平面平面 //EF ABP ∴平面 （2）证明：连接BEPB BC =，E 为PC 的中点 P C B E ∴⊥ DE 垂直平分PC P C D E ∴⊥ 又BEDE E =，,BE DE BDE ⊂平面 P C B D E∴⊥平面 又BD BDE ⊂平面 P C B D ∴⊥ 又PC PA P =，,PC PA PAC ⊂平面 B D P A C∴⊥平面 又AC PAC ⊂平面 B D A C∴⊥。

2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则M N =（ ）A .{}0,1,2B .{}1,0,1-C .MD .N2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）A .lg lg lg y y x x -=B .lg()lg lg x y x y +=+C .3lg 3lg x x =D .ln lg ln10x x = 3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，设(0)f a =，则()=f a （ ） A .2- B .1- C .12D .0 4、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1x i+的虚部是2，则x =（ ） A .4 B .2 C .2- D .4-5、设实数a 为常数，则函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是（ ） A .1a ≤ B .1a > C .14a ≤ D .14a > 6、已知向量(1,1)a =，(0,2)b =，则下列结论正确的是（ ）A .//a bB .(2)a b b -⊥C .a b =D .3a b =7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）A .69和B .96和C .78和D .87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）A .1B .2C .4D .89、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A .0B .1-C .32- D .2- 10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ） A .DA DC AC -= B .DA DC DO +=C .OA OB AD DB -+= D .AO OB BC AC ++=11、设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c，若2,a b c ===C =（ ） A .56π B .6π C .23π D .3π 12、函数()4sin cos f x x x =，则()f x 的最大值和最小正周期分别为（ ）A .2π和B .4π和C .22π和D .42π和13、设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =12PF PF +=（ ）A .4B .8 C. D.14、设函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()f x 为奇函数，若10x <，20x >，则下列结论不正确的是（ ）A .(0)0f =B .1()0f x >C .221()(2)f x f x +≤D .111()(2)f x f x +≤ 15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a +++=（ ） A .24(21)n - B .124(21)n -+ C .4(41)3n - D .14(42)3n -+ 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线221916x y -=的离心率为 . 17、若2sin()23πθ-=，且0θπ<<，则tan θ= . 18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 .19、圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列{}n a 满足138a a +=，且61236a a +=.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12b =，112n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .21、如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，PB BC =，F 为BC 的中点，DE 垂直平分PC ，且DE 分别交AC PC ，于点,D E .（1）证明：//EF ABP 平面；（2）证明：BD AC ⊥.2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、B 解析：{}101M N =-，，，故选B.2、B 解析：对于B 项，令1x y ==，则lg()lg 2lg10x y +=>=，而lg lg 0x y +=，显然不成立，故选B.3、C 解析：3(0)011a f ==-=- 11()(1)22f a f -∴=-==，故选C. 4、D 解析：(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++- 242x x ∴-=⇒=-，故选D. 5、C 解析：由已知可得，11404a a ∆=-≥⇒≤，故选C. 6、B 解析：对于A 项，12-010⨯⨯≠，错误；对于B 项，2(2,0)a b -=，(0,2)b =，则20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥，正确； 对于C 项，2,2a b ==，错误；对于D 项，10122a b =⨯+⨯=，错误. 故选B.7、A 解析：抽样比为1535010k ==，则应抽取的男生人数为320=6()10⨯人，应抽取的女生人数为3(5020)9()10-⨯=人，故选A. 8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为2214V =⨯⨯=，故选C.9、D 解析：（快速验证法）交点为11(0,1),(0,0),(,)22-，则2z x y =-分别为32,0,2--，所以z的最小值为2-，故选D.10、D 解析：对于A 项，DA DC CA -=，错误；对于B 项，2DA DC DO +=，错误；对于C 项，OA OB AD BA AD BD -+=+=，错误；对于D 项，AO OB BC AB BC AC ++=+=，正确. 故选D.11、A 解析：由余弦定理，得222222cos 22a b c C ab +-===-，又0C π<< 5=6C π∴，故选A. 12、A 解析：()2sin 2f x x =max ()2f x ∴=，最小正周期为22T ππ==，故选A. 13、B解析：122F F c c ==⇒= 22224164a c b a ∴=+=+=⇒= 122248PF PF a ∴+==⨯=，故选B.14、D 解析：对于A 项，()f x 为R 上的奇函数 (0)0f ∴=，正确；对于B 项，()f x 为R 上的减函数 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=，正确； 对于C 项，20x >2222221121x x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立) 221()(2)f x f x ∴+≤，正确； 对于D 项，10x < 1111111()2x x x x x x ∴+=--+≤-=---111()(2)(2)f x f f x ∴+≥-=-，错误. 故选D. 15、16、C 解析：当2n ≥时，1122(22)2222n n n n n n n n a S S +-=-=---=⨯-=；当1n =时，211222a S ==-=适合上式. 222()(2)4n n n n n a n N a *∴=∈⇒=={}2n a ∴是首项为4，公比为4的等比数列 222124(14)4(41)143n n n a a a --∴+++==-，故选C. 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、17、53 解析：由已知，得2293,164a a b b =⇒==⇒= 222916255c a b c ∴=+=+=⇒=∴双曲线的离心率为53c e a ==. 18解析：2s i n ()c o s 23πθθ-==，且0θπ<<sin 3θ∴=== sin 3tan cos 322θθθ∴==⨯=. 19、49 解析：224339P ⨯==⨯. 20、22(4)(2)2x y -++= 解析：联立203100x y x y +-=⎧⎨-++=⎩得4(4,2)2x y =⎧⇒-⎨=-⎩圆心为 则圆心(4,2)-到直线40x y +-=的距离为d ==∴圆的标准方程为22(4)(2)2x y -++=.三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .∴1311161211828236511362a a a a d a a a a d a d d +=++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+=+++==⎩⎩⎩ 2(1)22n a n n ∴=+-⨯= ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由（1）知，2n a n = 1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+2(1)224n b n n ∴=--+=-+ 又12b =适合上式 24()n b n n N *∴=-+∈122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=- ∴数列{}n b 是首项为2，公差为2-的等差数列. 22(1)2(2)232n n n S n n n n n n -∴=+⨯-=-+=-+ 21、解：（1）证明：DE 垂直平分PC E ∴为PC 的中点 又F 为BC 的中点 EF ∴为B C P 的中位线 //EF BP ∴ 又,EF ABP BP ABP ⊄⊂平面平面 //EF ABP ∴平面（2）证明：连接BEPB BC =，E 为PC 的中点 P C B E ∴⊥DE 垂直平分PC P C D E ∴⊥又BE DE E =，,BE DE BDE ⊂平面 P C B D E ∴⊥平面 又BD BDE ⊂平面 P C B D∴⊥ ,PA ABC BD ABC ⊥⊂平面平面 P A B D ∴⊥又PC PA P =，,PC PA PAC ⊂平面 B D P A C ∴⊥平面 又AC PAC ⊂平面 B D A C∴⊥。

绝密★启用前2018年广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷（考前压题篇）考试时间：100分钟；命题人：小高考课题研究小组题号一二三总分得分第Ⅰ卷（选择题）评卷人得分一．选择题（共15小题，每小题4分，共60分.）1．集合A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{0，1，2}2．已知数列{a n}是等比数列，且a1=，a4=﹣1，则{a n}的公比q为（）A．2 B．﹣C．﹣2 D．3．命题“∀x＞1，”的否定是（）A．∀x＞1，B．∀x≤1，C．∃x0＞1，D．∃x0≤1，4．过点P（2，﹣1）且倾斜角为的直线方程是（）A．x﹣y+1=0 B．x﹣2y﹣﹣2=0 C．x﹣y﹣3=0 D．x﹣2y++1=0 5．若a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系为（）A．相交、平行或异面B．相交或平行C．异面D．平行或异面6．平行四边形ABCD中，=，=，则+=（）A．B．C．D．7．直线y=x被圆（x﹣1）2+y2=1所截得的弦长为（）A．B．1 C．D．28．如图，圆O内有一个内接三角形ABC，且直径AB=2，∠ABC=45°，在圆O内随机撒一粒黄豆，则它落在三角形ABC内（阴影部分）的概率是（）A．B．C．D．9．若如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．圆锥B．棱柱C．圆柱D．棱锥10．甲乙两人下棋，已知两人下成和棋的概率为，甲赢棋的概率为，则甲输棋的概率为（）A．B．C．D．11．函数f（x）=lnx+2x﹣1零点的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．112．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．313．为了得到函数y=sin（2x﹣），x∈R的图象，只需将函数y=sin2x，x∈R的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向左平行移动个单位长度D．向右平行移动个单位长度14．sin27°cos18°+cos27°sin18°的值为（）A．B．C．D．115．函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，则下列结论成立的是（）A．f（1）＜f（）＜f（）B．f（）＜f（1）＜f（）C．f（）＜f（）＜f（1）D．f（）＜f（1）＜f（）第Ⅱ卷（非选择题）评卷人得分二．填空题（共4小题，每小题4分，共16分.）16．在空间直角坐标系中，点A（1，3，﹣2），B（﹣2，3，2），则A，B两点间的距离为．17．已知函数f（x）=log a（x﹣1）﹣2（a＞0且a≠1），则函数恒过定点．18．一条光线从A（﹣，0）处射到点B（0，1）后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为．19．已知F1，F2为椭圆C的两个焦点，P为C上一点，若|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则C的离心率为．评卷人得分三．解答题（共2小题，每小题12分，共24分.）20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面CB1D1；（Ⅱ）求证：平面CAA1C1⊥平面CB1D1．21．如图是一名篮球运动员在某一赛季10场比赛的得分的原始记录的茎叶图，（1）计算该运动员这10场比赛的平均得分；（2）估计该运动员在每场比赛中得分不少于40分的概率．2018年广东省普通高中学业水平测试数学模拟测试卷（考前压题篇）参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．解：∵A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}∴A∩B={0，1}故选C2．解：由，故选C．3．解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x＞1，”的否定是∃x0＞1，故选：C．4．解：∵斜率k=tan=1，∴过点P（2，﹣1），且倾斜角为的直线方程为：y+1=x﹣2，即x﹣y﹣3=0，故选：C5．解：因为a，b是异面直线，b，c是异面直线，则a，c的位置关系可能平行，可能是异面直线，也可能是相交直线．故选A．6．解：平行四边形ABCD中，=，=，故=+=+=+，故选：A．7．解：由圆的方程得：圆心坐标为（1，0），半径r=1，∵圆心到直线x﹣y=0的距离d=，∴直线被圆截得的弦长为2=．故选C．8．解：圆O的直径AB=2，半径为1，所以圆的面积为S圆=π•12=π；△ABC的面积为S△ABC=•2•1=1，在圆O内随机撒一粒黄豆，它落在△ABC内（阴影部分）的概率是P==．故选：D．9．解：∵圆柱的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是一个圆，∴该几何体是圆柱．故选C．10．解：∵甲乙两人下棋，两人下成和棋的概率为，甲赢棋的概率为，∴甲输棋的概率为：P=1﹣=．故选：C．11．解：在同一坐标系内分别作出函数y=lnx与y=1﹣2x的图象，易知两函数图象有且只有一个交点，即函数y=lnx﹣1+2x只有一个零点．故选D．12．解：x，y满足约束条件的可行域如图：，则z=x+y经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由解得A（3，0），所以z=x+y 的最大值为：3．故选：D．13．解：∵y=sin（2x﹣）=sin2（x﹣），∴为了得到函数y=sin（2x﹣）的图象，只需将函数y=sin2x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度．故选：D．14．解：sin27°cos18°+cos27°sin18°=sin（27°+18°）=sin45°=．故选：A．15．解：∵函数y=f（x）在[0，2]上单调递增，且函数f（x+2）是偶函数，∴函数y=f（x）在[2，4]上单调递减且在[0，4]上函数y=f（x）满足f（2﹣x）=f（2+x）即f（1）=f（3）∵f（）＜f（3）＜f（）∴f（）＜f（1）＜f（）故选B二．填空题（共4小题）16．解：∵在空间直角坐标系中，点A（1，3，﹣2），B（﹣2，3，2），∴A，B两点间的距离：|AB|==5，故答案为：5．17．解：根据对数函数的恒过点性质：可得：x﹣1=1，解得：x=2．那么：y=）=log a1﹣2=﹣2．则函数恒过定点为（2，﹣2）．故答案为（2，﹣2）．18．解：由反射定律可得点点A（﹣，0）关于y轴的对称点A′（，0）在反射光线所在的直线上，再根据点B（0，1）也在反射光线所在的直线上，用两点式求得反射光线所在的直线方程为，即2x+y﹣1=0，故答案为：2x+y﹣1=0．19．解：∵|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，∴2|F1F2|=|PF1|+|PF2|=2a，即4c=2a，∴e==．故答案为：．三．解答题（共2小题）20．解：（Ⅰ）证明：连接BD．在正方体AC1中，对角线BD∥B1D1．又因为E、F为棱AD、AB的中点，所以EF∥BD．所以EF∥B1D1．（4分）又B1D1⊂平面CB1D1，EF⊄平面CB1D1，所以EF∥平面CB1D1．（7分）（Ⅱ）因为在正方体AC1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，而B1D1⊂平面A1B1C1D1，所以AA1⊥B1D1．（10分）又因为在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，所以B1D1⊥平面CAA1C1．（12分）又因为B1D1⊂平面CB1D1，所以平面CAA1C1⊥平面CB1D1．（14分）21．解：（1）由已知中茎叶图可得该篮球运动员在某一赛季10场比赛的得分分别为：16，24，27，33，34，36，39，41，44，46，故该运动员这10场比赛的平均得分为：（16+24+27+33+34+36+39+41+44，46）=34；（2）由（1）可得：运动员在每场比赛中得分不少于40分的场次共有3场，故该运动员在每场比赛中得分不少于40分的概率P=．。

2018-2019学年广东省普通高中1月学业水平考试模拟数学试卷(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．若复数z满足i·z＝－12(1＋i)，则z的共轭复数的虚部是()A．－12i B.12i C．－12 D.12解析：z＝－12（1＋i）i＝12i(1＋i)＝－12＋12i，共轭复数为－12－12i，虚部为－12.故选C.答案：C2．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝()A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}解析：借助数轴可得{x|2＜x＜3}．答案：C3．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是()A．4 B．3 C．2 D．1解析：函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2，故选C.答案：C4．命题“任意x∈R，x2≠x”的否定是()A ．任意x ∉R ，x 2≠xB ．任意x ∈R ，x 2＝xC ．存在x ∉R ，x 2≠xD ．存在x ∈R ，x 2＝x解析：全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x ∈R ，x 2≠x ”的否定是“存在x ∈R ，x 2＝x ”．答案：D5．若等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 4＝4，S 6＝12，则S 2＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．3解析：等差数列中，设S 2＝a 1＋a 2＝x ，则a 3＋a 4＝S 4－S 2＝4－x ，a 5＋a 6＝S 6－S 4＝8，则S 2，S 4－S 2，S 6－S 4仍成等差数列，所以2(4－x )＝x ＋8，解得x ＝0，即S 2＝0故选B.答案：B6．如图，三棱锥V -ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其主视图的面积为23，则其左视图的面积为( )A.32B.33C.34D.36解析：由题意知，该三棱锥的主视图为△VAC ，作VO ⊥AC 于O ，连接OB ，由VA ＝VC ，知O 为AC 中点，∴OB ⊥AC ，又平面VAC ⊥平面ABC ，∴VO ⊥平面ABC ，∴VO ⊥OB ，设底面边长为2a ，高VO ＝h ，则△VAC 的面积为12×2a ×h ＝ah ＝23.又三棱锥的左视图为Rt △VOB ，在正三角形ABC 中，高OB ＝3a ，∴左视图的面积为12OB ·VO ＝12×3a ×h ＝32ah ＝32×23＝33.答案：B7．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24，7)B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 解析：根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.答案：B8．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53 B ．－59 C.59 D.53解析：利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13，∵2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23.又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33＞0，∴2k α＋α2＜α＜2k α＋34α(k ∈Z)，∴4k α＋α＜2α＜4k α＋32α(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53.答案：A9．已知双曲线C ：x 2－y 28＝1，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝22xC ．y ＝－22xD ．y ＝±24x解析：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x 且a ＝1，b ＝22，所以答案为A.答案：A10．若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z ＝2y －2x ＋4的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8解析：作出满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域，如图所示，作直线l 1：2y －2x＝t ，当l 1经过B (1，1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.故选B. 答案：B11．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(cos θ，sin θ)，若a ∥b ，则tan θ＝( )A.33 B. 3 C ．－33D ．－ 3 解析：∵a ∥b ，∴sin θ－3cos θ＝0，即sin θ＝3cos θ.故tan θ＝ 3.答案：B12．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4B.π－22C.π6D.4－π4解析：如图所示，区域D 是正方形OABC ，且区域D 的面积S ＝4.又阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积S 阴＝4－π，所以所求事件的概率P ＝4－π4.答案：D13．设函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为M ，则( )A ．T ＝π，M ＝1B ．T ＝2π，M ＝1C ．T ＝π， M ＝2D ．T ＝2π，M ＝2解析：由于三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的最小正周期T ＝2αω，最大值为A ＋B ；∴函数y ＝2sin2x －1的最小正周期T＝2α2＝α，最大值M ＝2－1＝1. 答案：A14．已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n 解析：∵n ⊥β，且α，β交于直线l .l ⊂β，∴n ⊥l .答案：C15．已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均值为2，方差为1，则2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1，平均值和方差分别为( )A ．5，4B ．5，3C ．3，5D ．4，5解析：一组数据x 1，x 2，x 3…，x n 的平均值为2，所以数据2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，…，2x n ＋1的平均数是2×2＋1＝5；又数据x 1，x 2，x 3，…x n 的方差为1，所以数据2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，…，2x n ＋1的方差是22×1＝4，故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)16．f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________．解析：f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2. 答案：－217．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________．解析：设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求．答案：2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝018．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2 000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生________人．解析：由题意知抽取女生97人，设该校共有女生x 人．则x ×2002 000＝97，解得x ＝970. 答案：97019．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝______．解析：由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T 2＝（22）2－22，∴T ＝4，∴ω＝α2.答案：α2三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1. (1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)在如图所示坐标系中画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －α4＋1的振幅为2，最小正周期T ＝2α2＝α，初相为－α4.(2)列表并描点画出图象： 故函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－α2，α2上的图象是21．(12分)如图所示，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1C 1和BC 的中点．(1)求证：EF ∥平面AA 1B 1B ；(2)若AA 1＝3，AB ＝23，求EF 与平面ABC 所成的角．(1)证明：如图所示，取A 1B 1的中点D ，连接DE ，BD .因为E 是A 1C 1的中点，所以DE 綊12B 1C 1.又因为BC 綊B 1C 1，BF ＝12BC ，所以DE 綊BF .所以四边形BDEF 为平行四边形． 所以BD ∥EF .又因为BD ⊂平面AA 1B 1B ，EF ⊄平面AA 1B 1B ， 所以EF ∥平面AA 1B 1B .(2)解：如图所示，取AC 的中点H ，连接HF ，EH .因为EH ∥AA 1，AA 1⊥平面ABC ， 所以EH ⊥平面ABC .所以∠EFH 就是EF 与平面ABC 所成的角． 在Rt △EHF 中，FH ＝3，EH ＝AA 1＝3， 所以∠EFH ＝60°.故EF 与平面ABC 所成的角为60°.。

2018年普通高等学校招生全国统一考试广东省文科数学模拟试卷（二）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.421ii-=+（ ） A ．3i - B ．3i + C ．13i + D ．13i - 2.已知()1,3a =-，(),4b m m =-，若//a b ，则m =（ ） A ．1 B ．2- C ．3 D ．63.已知x R ∈，集合{}0,1,2,4,5A =，集合{}2,,2B x x x =-+，若{}0,2A B =，则x =（ ）A ．2-B ．0C ．1D ．24.空气质量指数（简称：AQI ）是定量描述空气质量状况的无量纲指数，空气质量按照AQI 大小分为六级：[)0,50为优，[)50,100为良，[)100,150为轻度污染，[)150,200为中度污染，[)200,250为重度污染，[)250,300为严重污染.下面记录了北京市22天的空气质量指数，根据图表，下列结论错误的是（ ）A ．在北京这22天的空气质量中，按平均数来考察，最后4天的空气质量优于最前面4天的空气质量B ．在北京这22天的空气质量中，有3天达到污染程度C. 在北京这22天的空气质量中，12月29日空气质量最好 D ．在北京这22天的空气质量中，达到空气质量优的天数有6天5.如图，AD 是以正方形的边AD 为直径的半圆，向正方形内随机投入一点，则该点落在阴影区域内的概率为（ ）A ．16π B ．316 C.4πD ．14 6.已知等比数列{}n a 的首项为1，公比1q ≠-，且()54323a a a a +=+，则5a =（ ） A ．9- B ．9 C.81- D ．817.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一个焦点坐标为()4,0，且双曲线的两条渐近线互相垂直，则该双曲线的方程为（ ）A ．22188x y -=B ．2211616x y -= C. 22188y x -= D ．22188x y -=或22188y x -= 8.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．86π+B ．66π+ C.812π+ D ．612π+9.在印度有一个古老的传说：舍罕王打算奖赏国际象棋的发明人——宰相西萨·班·达依尔.国王问他想要什么，他对国王说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍.请您把这样摆满棋盘上所有的64格的麦粒，都赏给您的仆人吧！”国王觉得这要求太容易满足了，就命令给他这些麦粒.当人们把一袋一袋的麦子搬来开始计数时，国王才发现：就是把全印度甚至全世界的麦粒全拿来，也满足不了那位宰相的要求.那么，宰相要求得到的麦粒到底有多少粒？下面是四位同学为了计算上面这个问题而设计的程序框图，其中正确的是（ ）A． B． C. D．10.已知三棱锥D ABC-的外接球的球心O恰好是线段AB的中点，且AC BC BD AD====2=，则三棱锥D ABC-的体积为（）A．3B．3C.3D．1311.已知数列{}n a的前n项和为n S，115a=，且满足112325n na an n+=+--，已知*,n m N∈，n m>，则n mS S-的最小值为（）A．494- B．498- C.14- D．28-12.已知函数()()ln3xf x e x=-+，则下面对函数()f x的描述正确的是（）A．()0,x∀∈+∞，()2f x≤ B．()0,x∀∈+∞，()2f x>C. ()0,x∃∈+∞，()00f x= D．()()min0,1f x∈第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.将函数()()()2sin20f x xϕϕ=+<的图象向左平移3π个单位长度，得到偶函数()g x的图象，则ϕ的最大值是．14.设x，y满足约束条件2,1,1,yy xy x≤⎧⎪≥-+⎨⎪≥-⎩则3412z x y=--的最大值为．15.设函数()2logf x a x=+在区间[]1,a上的最大值为6，则a=．16.已知抛物线()220y px p=>与圆()2211x y+-=，则该抛物线的焦点到准线的距离为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC∆中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知60B=，8c=.（1）若点M 是线段BC 的中点，ANBM=b 的值； （2）若12b =，求ABC ∆的面积.18.经销商第一年购买某工厂商品的单价为a （单位：元），在下一年购买时，购买单价与其上年度销售额（单位：万元）相联系，销售额越多，得到的优惠力度越大，具体情况如下表：为了研究该商品购买单价的情况，为此调查并整理了个经销商一年的销售额，得到下面的柱状图.已知某经销商下一年购买该商品的单价为X （单位：元），且以经销商在各段销售额的频率作为概率. （1）求X 的平均估计值.（2）为了鼓励经销商提高销售额，计划确定一个合理的年度销售额m （单位：万元），年销售额超过m 的可以获得红包奖励，该工厂希望使62%的经销商获得红包，估计m 的值，并说明理由. 19.如图：在五面体ABCDEF 中，四边形EDCF 是正方形， 90ADE ∠=， （1）证明：FCB ∆为直角三角形；（2）已知四边形ABCD 是等腰梯形，且60DAB ∠=，1AD DE ==，求五面体ABCDEF 的体积.20.已知椭圆()2212:108x yC b b+=>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点2F 也为抛物线21:8C y x =的焦点. （1）若M ，N 为椭圆1C 上两点，且线段MN 的中点为()1,1，求直线MN 的斜率；（2）若过椭圆1C 的右焦点2F 作两条互相垂直的直线分别交椭圆于A ，B 和C ，D ，设线段AB ，CD 的长分别为m ，n ，证明11m n +是定值. 21.已知函数()xmf x nx e =+. （1）若函数()f x 的图象在点()()0,0f 处的切线方程为32y x =-+，求m ，n 的值；（2）当1n =时，在区间(],1-∞上至少存在一个0x ，使得()00f x <成立，求实数m 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3,4x y a ⎧=+⎪⎨⎪=+⎩（t 为参数），圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线l 和圆C 的极坐标方程； （2）若射线()03πθρ=>与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点，求a 的值.23.选修4-5：不等式选讲 已知()32f x mx x n =+-+.（1）当2m =，1n =-时，求不等式()2f x <的解集；（2）当1m =，0n <时，()f x 的图象与x 轴围成的三角形面积大于24，求n 的取值范围.试卷答案一、选择题1-5:DABCD 6-10:BABCA 11、12：CB 二、填空题 13.6π-14.9- 15.416.6三、解答题17.解：（1）若点M 是线段BC的中点，AMBM=BM x =，则AM =， 又60B =，8AB =，在ABM ∆中，由余弦定理得2236428cos60x x x =+-⨯， 解得4x =（负值舍去），则4BM =，8BC =. 所以ABC ∆为正三角形，则8b =. （2）在ABC ∆中，由正弦定理sin sin b cB C=，得8sin 2sin 123c BC b===又b c >，所以B C >，则C为锐角，所以cos 3C =. 则()1sin sin sin cos cos sin 2A B C B C B C =+=+==， 所以ABC ∆的面积1sin 4826S bc A ==⨯=18. 解：（1）由题可知：0.20.90.30.850.240.80.120.750.10.70.040.873a a a a a a a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）因为后4组的频率之和为0.040.10.120.240.50.62+++=<， 而后5组的频率之和为0.040.10.120.240.30.80.62++++=>， 所以100200m ≤≤. 由0.120.3200100m =-，解得160m =. 所以年销售额标准为160万元时，62%的经销商可以获得红包.19.（1）证明：由已知得AD DE ⊥，DC DE ⊥，,AD CD ⊂平面ABCD ，且AD CD D =，所以DE ⊥平面ABCD .又BC ⊂平面ABCD ，所以BC ED ⊥.又因为//ED FC ，所以FC BC ⊥，即FCB ∆为直角三角形. （2）解：连结AC ，AF ，ABCDEF A CDEF F ACB V V V --=+.过A 作AG CD ⊥交CD 于G ，又因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE AG ⊥， 且CDDE D =，所以AG ⊥平面CDEF ，则AG 是四棱锥A CDEF -的高.因为四边形ABCD 是底角为60的等腰梯形，1AD DE ==，所以AG =,2AB =，13A CDEF CDEF V AG S -=⋅=因为DE ⊥平面ABCD ，//FC DE ，所以FC ⊥平面ABCD ，则FC 是三棱锥F ACB -的高.13F ACB ACB V FC S -∆=⋅=.所以3ABCDEF A CDEF F ACB V V V --=+=.20.解：因为抛物线22:8C y x =的焦点为()2,0，所以284b -=，故2b =.所以椭圆221:184x y C +=.（1）设()11,M x y ，()22,N x y ，则221122221,841,84x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y +-+-+=，又MN 的中点为()1,1，所以122x x +=，122y y +=. 所以212112y y x x -=--.显然，点()1,1在椭圆内部，所以直线MN 的斜率为12-. （2）椭圆右焦点()22,0F .当直线AB 的斜率不存在或者为0时，118m n +==当直线AB 的斜率存在且不为0时，设直线AB 的方程为()2y k x =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程得()222,28,y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩消去y 并化简得()2222128880k x k x k +-+-=， 因为()()()()222228412883210kk k k ∆=--+-=+>，所以2122812k x x k +=+，()21228112k x x k-=+. 所以)22112k m k+==+，同理可得)2212k n k +=+.所以222211122118k k m n k k ⎫+++=+=⎪++⎭为定值. 21.解：（1）因为()'xm f x n e=-+，让你以()'0f n m =-，即3n m -=-. 又因为()0f m =，所以切点坐标为()0,m ，因为切点在直线32y x =-+上，所以2m =，1n =-.（2）因为()x m f x x e=+，所以()'1x x x m e m f x e e -=-+=.当0m ≤时，()'0f x >，所以函数()f x 在(],1-∞上单调递增，令00x a =<，此时()00a mf x a e=+<，符合题意；当0m >时，令()'0fx =，则ln x m =，则函数()f x 在(),ln m -∞上单调递减，在()ln ,m +∞上单调递增.①当ln 1m <，即0m e <<时，则函数()f x 在(),ln m -∞上单调递减，在(]ln ,1m 上单调递增， ()()min ln ln 10f x f m m ==+<，解得10m e<<.②当ln 1m ≥，即m e ≥时，函数()f x 在区间(],1-∞上单调递减，则函数()f x 在区间(],1-∞上的最小值为()110mf e=+<，解得m e <-，无解. 综上，1m e <，即实数m 的取值范围是1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.22. 解：（1）在直线l 的参数方程中消去t ，可得，304x y a --+=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入以上方程中， 所以，直线l 的极坐标方程为3cos sin 04a ρθρθ--+=. 同理，圆C 的极坐标方程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=. （2）在极坐标系中，由已知可设1,3M πρ⎛⎫⎪⎝⎭，2,3A πρ⎛⎫⎪⎝⎭，3,3B πρ⎛⎫⎪⎝⎭. 联立2,36cos 6sin 140,πθρρθρθ⎧=⎪⎨⎪--+=⎩可得(23140ρρ-++=，所以233ρρ+=+因为点M 恰好为AB的中点，所以132ρ+=，即323M π⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭.把3M π⎫⎪⎪⎝⎭代入3cos sin 04a ρθρθ--+=，得(31130224a +⨯-+=，所以94a =. 23. 解：（1）当2m =，1n =-时，()2321f x x x =+--.不等式()2f x <等价于()()3,223212,x x x ⎧<-⎪⎨⎪-++-<⎩或()()31,2223212,x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪++-<⎩ 或()()1,223212,x x x ⎧>⎪⎨⎪+--<⎩解得32x <-或302x -≤<，即0x <.所以不等式()2f x <的解集是(),0-∞. （2）由题设可得，()3,3,3233,3,23,,2x n x n f x x x n x n x n x n x ⎧⎪+-<-⎪⎪=+-+=++-≤≤-⎨⎪⎪-+->-⎪⎩所以函数()f x 的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为3,03n A +⎛⎫-⎪⎝⎭，()3,0B n -，,322nn C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 所以三角形ABC 的面积为()2613332326n n n n -+⎛⎫⎛⎫-+-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 由题设知，()26246n ->，解得6n <-.。

2018年广东省普通高中学业水平考试数学科模拟训练题（四） 汕头市高中数学教师工作室编 第 1 页 共 4 页 2018年广东省普通高中学业水平考试数学科模拟训练题（四）汕头市高中数学教师工作室 编 （编题人：郑晓淳老师）一、选择题（本题共有15小题，每小题4分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若(12)i i a i -=+，其中a R ∈，i 为虚数单位，则a 的值为( )（A ）2- （B ）0 （C ）1 （D ）22．设集合{}1,0,1,2,3A =-，{}2B x x =<，则A B = （ ）A ．()1,1-B ．{}1,1-C ．{}1,0,1-D ．{}1,0,1,2-3．函数()f x = ）A. (,0)-∞B. (1,2)C. [0,2]D. [2,)+∞4．算式32log 8log 2= （ ） A ．2log 4 B ．33log 2 C ．3 D ．45． 已知点(1,2)P -是角α终边上的一点，则下列等式中，正确的是（ ）A．sin α= B．sin α= C．cos α= D．cos α= 6．下列函数中，是偶函数的是 （ ）A ．()2x f x =B ．()sin 2f x x =C ．2()log f x x =D ．2()2f x x =+7．一个容量为n 样本分成若干组，若其中一组的频数和频率分别是40和0.25，则n =（ ）A. 10B. 40C. 100D. 1608．设函数⎩⎨⎧<-≥+=1,21,12)(2x x x x x f ，则=-]3[）（f f （ ） A. 5- B. 15 C. 11- D. 79．已知等比数列{}n a 中，0n a >且24n n a a +=，那么这个数列的公比是( )A ．4B ．2C ．2±D ．2-。

2017-2018学年度广东高中学生学业水平测试模拟题数学试题（解析版）一、选择题（本题共10个小题，每小题5分）1.已知集合M =-1,0,1{},{}x x x N ==2|,则M ÇN =（）A.1{}B.0,1{}C.-1,0{}D.-1,0,1{}【答案】B【解析】(){}2:0100,1N x x x x N -=⇒-=⇒=，\M ÇN =0,1{}.3+4+c =02.已知等比数列a n {}的公比为2，则a 4a 2值为（） A. 14 B.12C. 2D.4 【答案】D【解析】a 4a 2=q 2=4 3.直线l 过点1,-2()，且与直线2x +3y -1=0垂直，则l 的方程是（）A.2x +3y +4=0B.2x +3y -8=0C.3x -2y -7=0D.3x -2y -1=0【答案】C【解析】设直线:320l x y c -+=因为1,-2()在直线上，代点到直线方程得： 7c ∴=-4.函数f x ()=12æèçöø÷x -x +2的零点所在的一个区间是（） A.-1,0() B.0,1() C.1,2() D.2,3()【答案】D【解析】()()2311112332102248f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-+=⋅-<⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦5.已知非零向量与的方向相同，下列等式成立的是（）【答案】A6.要完成下列两项调查：（1）某社区有100户高收入家庭，210户中等收入家庭，90户低收入家庭，从中抽取100户调查消费购买力的某项指标；（2）从某中学高二年级的10名体育特长生中抽取3人调查学习负担情况，应采取的抽样方法是（）A.（1）用系统抽样法，（2）用简单随机抽样法B.（1）用分层抽样法，（2）用系统抽样法C.（1）用分层抽样法，（2）用简单随机抽样法D.（1）（2）都用分层抽样法【答案】C7.设x,y满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≥-≥+,03,02,01yxxyx,则z=x-y的最大值为（）A. 3B.1C.1-D.5-【答案】B【解析】y=x-z,作l:y=x,当l移至12,l l两直线交点H时截距z-最小，即z最大，(1,2)H--，zmax=-1+2=18.某几何体的三视图及其尺寸图，则该几何体的体积为（）A. 6B. 9C. 12D. 18【答案】A 【解析】()11233633S ABCD ABCD V S SB -=⋅=⨯⨯⨯=9.函数f x ()=12-cos 2p 4-x æèçöø÷的单调增区间是（） A. 2k p -p 2,2k p +p 2éëêùûú,k ÎZ B. 2k p +p 2,2k p +3p 2éëêùûú,k ÎZ C. k p +p 4,k p +3p 4éëêùûú,k ÎZ D. k p -p 4,k p +p 4éëêùûú,k ÎZ 【答案】C【解析】()21cos 21112cos sin 224222x f x x x ππ⎛⎫+- ⎪⎛⎫⎝⎭=--=-=- ⎪⎝⎭, 即求12sin 2x 的单调递减区间:3222,223,44k x k k Z k x k k Z ππππππππ+≤≤+∈+≤≤+∈10.设a >1,b >2且ab =2a +b 则a +b 的最小值为（）A.22B.22+1C.22+2D.22+3【答案】D 【解析】()32232,2220,023********+≥++∴≥+∴>>++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=+=∴+=a b b a a b b a ab b a ab b a a b b a b a ab ab b a ba ab 当且仅当b a =2,b =2a时符号成立，即1122a b ⎧=>⎪⎨=>⎪⎩满足， 则最小值为22+3。

2017年1月广东省学业水平考试数学试题满分100分一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，满分60分） 1.已知集合M={0,2,4}, N={1,2,3}, P={0,3}, 则()MN P =（ ）A.{0,1,2,3,4}B.{0,3}C.{0,4}D.{0} 2.函数lg(1)y x =+的定义域是（ ）A.(,)-∞+∞B. (0,)+∞C. (1,)-+∞D. [1,)-+∞ 3.设i 为虚数单位,则复数1ii-= （ ） A. 1+i B.1-i C. -1+i D. -1-i4.命题甲：球的半径为1cm ，命题乙:球的体积为43πcm 3，则甲是乙的（ ） A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件5.已知直线l 过点A(1,2),且与直线112y x =+垂直,则直线l 的方程是（ ） A. y =2x B. y =-2x +4 C. 1322y x =+ D. 1522y x =+6.顶点在原点，准线为x =-2的抛物线的标准方程是（ ）A.28y x = B. 28y x =- C. 28x y = D. 28x y =- 7.已知三点A(-3, 3), B(0, 1), C(1,0),则|+|=（ ）8.已知角α的顶点为坐标原点,始边为x 轴的正半轴,终边过点P)2-,下列等式不正确的是A. 2sin 3α=-B. 2sin()3απ+= C. cos α= D. tan α=9.下列等式恒成立的是（ ）23x -= (0x ≠) B. 22(3)3x x =C.22333log (1)log 2log (3)x x ++=+ D. 31log 3x x =- 10.已知数列{}n a 满足11a =,且12n n a a +-=,则{}n a 的前n 项之和n S =（ ）A. 21n + B. 2n C. 21n - D. 12n -11.已知实数x, y, z 满足32x y x x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩,则z =2x +y 的最大值为（ ）A. 3B. 5C. 9D. 1012.已知点A(-1, 8)和B(5, 2),则以线段AB 为直径的圆的标准方程是（ ）A.22(2)(5)x y +++=B. 22(2)(5)18x y +++=C. 22(2)(5)x y -+-=22(2)(5)18x y -+-=13.下列不等式一定成立的是（ ）A.12x x +≥ (0x ≠) B. 22111x x +≥+ (x R ∈) C. 212x x +≤ (x R ∈) D. 2560x x ++≥ (x R ∈)14.已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且当(,0]x ∈-∞时, 2()sin f x x x =-,则当[0,)x ∈+∞时, ()f x =（ ）A. 2sin x x + B. 2sin x x -- C. 2sin x x - D. 2sin x x -+15.已知样本12345,,,,x x x x x 的平均数为4, 方差为3, 则123456,6,6,6,6x x x x x +++++的平均数和方差分别为（ ）A. 4和3B. 4和9C. 10和3D. 10和9 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，满分16分．） 16.已知x >0, 且5,,153x 成等比数列,则x= 17. 函数()sin cos(1)sin(1)cos f x x x x x =+++的最小正周期是18.从1，2，3，4这四个数字中任意选取两个不同的数字，将它们组成一个两位数，该两位数小于20的概率是 19.中心在坐标原点的椭圆，其离心率为12，两个焦点F 1 和F 2在x 轴上，P 为该椭圆上的任意一点,若| PF 1 |+|PF 2|=4，则椭圆的标准方程是三、解答题（本大题共2小题，每小题12分，满分24分．）20.ABC ∆的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c, 已知cos cos a bA B=(1)证明: ABC ∆为等腰三角形; (2)若a =2, c=3,求sin C 的值.21.如图,在四棱锥P-ABCD 中,PA AB ⊥, PA AD ⊥,AC CD ⊥,60oABC ∠=, PA=AB=BC =2. E 是PC 的中点. (1)证明: PA CD ⊥;(2)求三棱锥P-ABC 的体积; (3) 证明: AE PCD ⊥平面PBCD AE2017年广东省普通高中学业水平考试数学试卷参考答案一、选择题1.B 【解析】M∪N={0,1,2,3,4},(M∪N)∩P={0,3}.2.C 【解析】对数函数要求真数大于0,∴x+1>0即x>-1.3.D 【解析】===-i-1=-1-i,其中i2=-1.4.C 【解析】充分性:若r=1cm,由V=πr3可得体积为πcm3,同样利用此公式可证必要性.5.B 【解析】垂直:斜率互为倒数的相反数(k1k2=-1),所以直线l的斜率为k=-2,根据点斜式方程y-y0=k(x-x0)可得y-2=-2(x-1),整理得y=-2x+4.6.A 【解析】准线方程为x=-2可知焦点在x轴上,且-=-2,∴p=4.由y2=2px得y2=8x.7.A 【解析】=(3,-2),=(1,-1),+=(4,-3),∴|+|==5.8.D 【解析】r===3,sinα=,cosα=,tanα=∴A,B,C正确,D错误,tanα===-.9.D 【解析】 A.=(x≠0)B.(3x)2=32xC.log3(x2+1)+log32=log32(x2+1).10.B 【解析】{a n}为公差为2的等差数列,由S n=na1+d=n+·2=n2.11.C 【解析】如图,画出可行域当y=-2x+z移动到A点时与y轴的截距z取得最大值,∵A(3,3),所以z=2x+y的最大值为9.12.D 【解析】圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2圆心:C(,)=(2,5)半径r===3所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-5)2=18.13.B 【解析】A选项:错在x可以小于0;B选项:x2+≥2=2=2≥1,其中≤1;C选项:x2-2x+1≥0,∴x2+1≥2x;D选项:设y=x2+5x+6可知二次函数与x轴有两个交点,其值可以小于0.14.A 【解析】x∈[0,+∞)时,-x∈(-∞,0],由偶函数性质f(x)=f(-x)=(-x)2-sin(-x)=x2+sin x.15.C 【解析】平均数加6,方差不变.二、填空题16.5 【解析】,x,15成等比数列,∴x2=×15=25,又∵x>0,∴x=5.17.π【解析】f(x)=sin x cos(x+1)+cos x sin(x+1)=sin[x+(x+1)]=sin(2x+1) 最小正周期T===π.18.【解析】建议文科生通过画树形图的办法解此题.选取十位数: 1 2 3 4选取个位数:2 3 4 1 3 4 1 2 4 1 2 3结果:12 13 14 21 23 24 31 32 34 41 42 43总共:3×4=12种,满足条件的有3种,所以概率为=.19.+=1 【解析】根据焦点在x轴上可以设椭圆标准方程为+=1(a>b>0) 离心率:e==长轴长:2a=|PF1|+|PF2|=4∴a=2,c=1,b===∴椭圆标准方程为+=1.三、解答题20.(1)证明:∵=,=∴=,即tan A=tan B,又∵A,B∈(0,π),∴A=B∴△ABC为等腰三角形.(2)解:由(1)知A=B,所以a=b=2根据余弦定理:c2=a2+b2-2ab cos C9=4+4-8cos C,∴cos C=∵C∈(0,π),∴sin C>0∴sin C==.21.(1)证明:∵PA⊥AB,PA⊥AD,AB⊂平面ABCD,AD⊂平面ABCD,AB∩AD=A ∴PA⊥平面ABCD,又∵CD⊂平面ABCD∴AP⊥CD.(2)解:由(1)AP⊥平面ABC∴V P-ABC=S△ABC·AP=×AB·BC·sin∠ABC·AP=××2×2×sin60°×2=.(3)证明:∵CD⊥AP,CD⊥AC,AP⊂平面APC,AC⊂平面APC,AP∩AC=A∴CD⊥平面APC,又∵AE⊂平面APC∴CD⊥AE由AB=BC=2且∠ABC=60°得△ABC为等边三角形,且AC=2又∵AP=2且E为PC的中点,∴AE⊥PC又∵AE⊥CD,PC⊂平面PCD,CD⊂平面PCD,PC∩CD=C∴AE⊥平面PCD.2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、已知集合{}1,0,1,2M =-，{}|12N x x =-≤<，则MN =（ ）A .{}0,1,2B .{}1,0,1-C .MD .N2、对任意的正实数,x y ，下列等式不成立的是（ ）A .lg lg lg y y x x-= B .lg()lg lg x y x y +=+ C .3lg 3lg x x = D .ln lg ln10xx =3、已知函数31,0()2,0x x x f x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩，设(0)f a =，则()=f a （ ）A .2-B .1-C .12D .0 4、设i 是虚数单位，x 是实数，若复数1xi+的虚部是2，则x =（ ）A .4B .2C .2-D .4-5、设实数a 为常数，则函数2()()f x x x a x R =-+∈存在零点的充分必要条件是（ ）A .1a ≤B .1a >C .14a ≤D .14a > 6、已知向量(1,1)a =，(0,2)b =，则下列结论正确的是（ ）A .//a bB .(2)a b b -⊥C .a b =D .3a b =7、某校高一（1）班有男、女学生共50人，其中男生20人，用分层抽样的方法，从该班学生中随机选取15人参加某项活动，则应选取的男、女生人数分别是（ ）A .69和B .96和C .78和D .87和8、如图所示，一个空间几何体的正视图和侧视图都是矩形，俯视图是正方形，则该几何体的体积为（ ）A .1B .2C .4D .89、若实数,x y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A .0B .1-C .32- D .2-10、如图，o 是平行四边形ABCD 的两条对角线的交点，则下列等式正确的是（ ）A .DA DC AC -=B .DA DC DO +=C .OA OB AD DB -+= D .AO OB BC AC ++=11、设ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2,a b c ===则C =（ ）A .56π B .6π C .23π D .3π12、函数()4sin cos f x x x =，则()f x 的最大值和最小正周期分别为（ ）A .2π和B .4π和C .22π和D .42π和13、设点P 是椭圆2221(2)4x y a a +=>上的一点，12F F ，是椭圆的两个焦点，若12F F =则12PF PF +=（ ）A .4B .8 C. D.14、设函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()f x 为奇函数，若10x <，20x >，则下列结论不正确的是（ ）A .(0)0f =B .1()0f x >C .221()(2)f x f x +≤ D .111()(2)f x f x +≤ 15、已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则22212n a a a +++=（ ）A .24(21)n -B .124(21)n -+ C .4(41)3n - D .14(42)3n -+二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分.16、双曲线221916x y -=的离心率为 . 17、若2sin()23πθ-=，且0θπ<<，则tan θ= . 18、笔筒中放有2支黑色和1支红色共3支签字笔，先从笔筒中随机取出一支笔，使用后放回笔筒，第二次再从笔筒中随机取出一支笔使用，则两次使用的都是黑色笔的概率为 . 19、圆心为两直线20x y +-=和3100x y -++=的交点，且与直线40x y +-=相切的圆的标准方程是 .三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、若等差数列{}n a 满足138a a +=，且61236a a +=. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足12b =，112n n n b a a ++=-，求数列{}n b 的前n 项和n S .21、如图所示，在三棱锥P ABC -中，PA ABC ⊥平面，PB BC =，F 为BC 的中点，DE垂直平分PC ，且DE 分别交AC PC ，于点,D E .（1）证明：//EF ABP 平面； （2）证明：BD AC ⊥.2018年1月广东省普通高中学业水平考试数学试卷（B 卷）答案解析一、选择题：本大题共15小题. 每小题4分，满分60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1、B 解析：{}101MN =-，，，故选B.2、B 解析：对于B 项，令1x y ==，则lg()lg 2lg10x y +=>=，而lg lg 0x y +=，显然不成立，故选B.3、C 解析：3(0)011a f ==-=- 11()(1)22f a f -∴=-==，故选C.4、D 解析：(1)1(1)(1)22x x i x x i i i i -==-++- 242x x ∴-=⇒=-，故选D. 5、C 解析：由已知可得，11404a a ∆=-≥⇒≤，故选C. 6、B 解析：对于A 项，12-010⨯⨯≠，错误；对于B 项，2(2,0)a b -=，(0,2)b =，则20+020(2)a b b ⨯⨯=⇒-⊥，正确； 对于C 项，2,2a b ==，错误；对于D 项，10122a b =⨯+⨯=，错误. 故选B. 7、A 解析：抽样比为1535010k ==，则应抽取的男生人数为320=6()10⨯人，应抽取的女生人数为3(5020)9()10-⨯=人，故选A. 8、C 解析：由三视图可知，该几何体为长方体，长为2，宽为2，高为1，则体积为2214V =⨯⨯=，故选C.9、D 解析：（快速验证法）交点为11(0,1),(0,0),(,)22-，则2z x y =-分别为32,0,2--，所以z 的最小值为2-，故选D.10、D 解析：对于A 项，DA DC CA -=，错误；对于B 项，2DA DC DO +=，错误；对于C 项，OA OB AD BA AD BD -+=+=，错误； 对于D 项，AO OB BC AB BC AC ++=+=，正确. 故选D.11、A 解析：由余弦定理，得222222cos 22a b c C ab +-===-，又0C π<< 5=6C π∴，故选A. 12、A 解析：()2sin 2f x x =max ()2f x ∴=，最小正周期为22T ππ==，故选A. 13、B解析：122F F c c ==⇒=22224164a c b a ∴=+=+=⇒=122248PF PF a ∴+==⨯=，故选B.14、D 解析：对于A 项，()f x 为R 上的奇函数 (0)0f ∴=，正确；对于B 项，()f x 为R 上的减函数 110()(0)0x f x f ∴<⇒>=，正确；对于C 项，20x >2222221121x x x x x x ∴+≥===（当且仅当，即时等号成立) 221()(2)f x f x ∴+≤，正确； 对于D 项，10x < 1111111()2x x x x x ∴+=--+≤-=--- 111()(2)(2)f x f f x ∴+≥-=-，错误. 故选D. 15、C 解析：当2n ≥时，1122(22)2222n n n n nn n n a S S +-=-=---=⨯-=；当1n =时，211222a S ==-=适合上式. 222()(2)4n n n n n a n N a *∴=∈⇒=={}2n a ∴是首项为4，公比为4的等比数列 222124(14)4(41)143n n n a a a --∴+++==-，故选C.二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，满分16分. 16、53解析：由已知，得2293,164a a b b =⇒==⇒=222916255c a b c ∴=+=+=⇒= ∴双曲线的离心率为53c e a ==. 17、2解析：2s i n ()c o s23πθθ-==，且0θπ<<sin θ∴===sin 3tan cos 2θθθ∴===. 18、49 解析：224339P ⨯==⨯. 19、22(4)(2)2x y -++= 解析：联立203100x y x y +-=⎧⎨-++=⎩得4(4,2)2x y =⎧⇒-⎨=-⎩圆心为 则圆心(4,2)-到直线40x y +-=的距离为d ==∴圆的标准方程为22(4)(2)2x y -++=.三、解答题：本大题共2小题. 每小题12分，满分24分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.20、解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d .∴1311161211828236511362a a a a d a a a a d a d d +=++==⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨+=+++==⎩⎩⎩2(1)22n a n n ∴=+-⨯= ∴数列{}n a 的通项公式为2n a n =.（2）由（1）知，2n a n = 1122(1)2222n n n b a a n n n ++∴=-=+-⨯=-+2(1)224n b n n ∴=--+=-+ 又12b =适合上式 24()n b n n N *∴=-+∈ 122(24)2n n b b n n +∴-=-+--+=- ∴数列{}n b 是首项为2，公差为2-的等差数列.22(1)2(2)232n n n S n n n n n n -∴=+⨯-=-+=-+21、解：（1）证明：DE 垂直平分PC E ∴为PC 的中点又F 为BC 的中点 EF ∴为B C P的中位线 //EF BP ∴ 又,EF ABP BP ABP ⊄⊂平面平面 //EF ABP ∴平面（2）证明：连接BEPB BC =，E 为PC 的中点 P C B E ∴⊥ DE 垂直平分PC P C D E ∴⊥ 又BE DE E =，,BE DE BDE ⊂平面 P C B D E∴⊥平面 又BD BDE ⊂平面 P C B D∴⊥ ,PA ABC BD ABC ⊥⊂平面平面 P A B D ∴⊥又PC PA P =，,PC PA PAC ⊂平面 B D P A C ∴⊥平面又AC PAC ⊂平面 B D A C∴⊥感恩和爱是亲姐妹。