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1.2.3 空间几何体的直观图
[A 级 基础巩固]
一、选择题
1．下列命题中正确的个数是( ) ①水平放置的角的直观图一定是角； ②相等的角在直观图中仍然相等； ③相等的线段在直观图中仍然相等；
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：水平放置的平面图形不会改变形状，①正确；利用斜二测画法画直观图，∠x ′O ′y ′＝45°或135°，所以直角可以变为
45°或者135°，②错；因为平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的长度变为原来的一半，所以③错；平行性不会改变，所以④正确．
答案：B
2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴、y 轴，则在直观图中∠A ′等于( )
A ．45°
B ．135°
C ．90°
D ．45°或135°
解析：因为∠A 的两边分别平行于x 轴、y 轴，所以∠A ＝90°.在直观图中，由斜二测画法知∠x ′O ′y ′＝45°或135°，即∠A ′＝ 45°或135°，故选D.
答案：D
3．水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为( )
A ．2
B ．2.5
C ．3
D ．4
解析：在直观图中，∠A ′C ′B ′＝45°，A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，所以在原图形中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝2×2＝4，从而AB ＝32＋42
＝5，故AB 边上的中线长为12·AB ＝52＝2.5，故
选B.
答案：B
4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A ．2 cm
B ．3 cm
C ．2.5 cm
D ．5 cm
解析：因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直，现在距离为5 cm ，而在直观图中根据平行于z 轴的线段长度不变，仍为5 cm.
答案：D
5．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的( ) A.
24 B ．2倍 C.2
2
D.2倍 解析：底不变，只研究高的情况即可，此结论应识记． 答案：A 二、填空题
6．如图所示，△A ′B ′C ′是△ABC 的水平放置的直观图，
A ′
B ′∥y 轴，则△AB
C 是________三角形．
解析：由于A ′B ′∥y 轴，所以在原图中AB ∥y 轴，故△ABC 为直角三角形． 答案：直角
7．已知△ABC 的直观图如图所示，则△ABC 的面积为________．
解析：△ABC 中，∠A ＝90°，
AB ＝3，AC ＝6，所以S ＝1
2
×3×6＝9.
答案：9
8．如图所示，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′，已知A ′C ′＝6，B ′
C ′＝4，则AB 边的实际长度是_______．
解析：在原图中AC＝6，BC＝4×2＝8，∠AOB＝90°，所以AB＝62＋82＝10.
答案：10
三、解答题
9．如图所示，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，求原图形的周长．
解：平面图形，如图．
由斜二测画法可知，
OB＝2O′B′＝2 2 cm，
OC＝O′C′＝AB＝A′B′＝1 cm，
且AB∥OC，∠BOC＝90°，
所以四边形OABC为平行四边形，且
BC＝OC2＋OB2＝1＋8＝3 (cm)，
故平行四边形OABC的周长为2(OC＋BC)＝8 (cm)．
10．画出底面是正方形、侧棱均相等的四棱锥的直观图(棱锥的高不做具体要求)．
解：画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(135°)，∠xOz＝90°，如图．
(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出底面正方形的直观图ABCD.
(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是四棱锥的高．
(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图．
B级能力提升
1．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B′C′，则△ABC为( )
A．锐角三角形B．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．以上都有可能
解析：如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC 是钝角三角形．
答案：C
2．如图，平行四边形O ′P ′Q ′R ′是四边形OPQR 的直观图，若O ′P ′＝3，O ′R ′＝1，则原四边形OPQR 的周长为________．
解析：由四边形OPQR 的直观图可知OR ＝2，OP ＝3，并且四边形OPQR 为矩形，所以原四边形
OPQR 的周长为2(2＋3)＝10.
答案：10
3.如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，CD ＝AO ＝1，△AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试画出梯形ABCD 水平放置的直观图，并求直观图的面积．
解：在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1.由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底
CD 和下底AB 的长度都不变．如图所示，
在直观图中，O ′D ′＝12OD ，梯形的高D ′E ′＝24，于是，梯形A ′B ′C ′D ′的面积S ＝1
2×
(1＋2)×
24＝32
8
.。
