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第三章数系的扩充与复数的引入目录§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）§3.1.2 复数的几何意义（新授课）§3.2.1 复数的代数形式的加减运算及其几何意义（新授课）§3.2.2 复数的代数形式的乘除运算（新授课）第三章数系的扩充与复数的引入小结与复习（复习课）选修2-2 第三章复数基础练习（一）选修2-2 第三章复数基础练习（一）答案选修2-2 第三章复数基础练习（二）选修2-2 第三章复数基础练习（二）答案第三章数系的扩充与复数的引入一、课程目标：本章学习的主要内容是数系的扩充与复数的概念，复数代数形式的四则运算。
复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。
通过本章学习，要使学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数得一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。
二、学习目标：（1）、在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
（2）、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
（3）、了解复数的代数表示法及其几何意义。
（4）、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。
三、本章知识结构：四、课时安排：本章教学时间约4课时，具体分配如下：3.1 数系的扩充与复数的概念约2课时3.2 复数代数形式的四则运算约2课时§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）一、教学目标:知识与技能：了解数系的扩充过程，理解复数及其有关概念。
理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。
过程与方法：采取“阅读、质疑、探究”的过程，让学生体验数系的扩充过程。
情感、态度与价值观：让学生在“发现问题，解决问题”中增长技能，充分认识人类理性思维的能动性，使学生在掌握知识的同时增强战胜困难的信心和技能。
数系的扩充与复数的引入【知识要点】1、 虚数单位的引入及其性质：为了社会的发展，满足实际解题的需要，我们发现了很多问题在实数范围内还无法解决，但是把数集的范围进一步的扩充引入了复数（虚数），我们发现很多问题是可以解决； 如：在实数范围内求方程:2-+1=0,=1-4= -3<0x x ∆,故方程在实数范围内无解。
但是，当我们引入虚数，令2= -1i ，那么2= -3=3i ∆，12-1==22b x a ±±、， 故：一般地，我们记作虚数为=+(b 0)z a bi ≠为虚数，当=0a ，我们把=(b 0)z bi ≠叫做纯虚数。
2、 复数的概念：形如=+(a,)z a bi ∈b R 的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做实部，b 叫做虚部，全体复数构成的集合叫做复数集，通常用C 表示。
==+(a ,bR )=0(b 0)0z a bi a a ⇔⎧⎪∈⇔⎧⎨≠⎨⎪⇔≠⎩⎩实数b 0复数纯虚数虚数非纯虚数 3、 复数的几何意义：=+(a,b )z a bi R ∈表示复数构成直角平面坐标系（复平面）中的实数点(a,b)，那么|z 4、 共轭复数：12=+, =-z a bi z a bi ，形如这样的复数12 z z 、互为共轭复数，记作12= z z 。
5、 若12=+, =z a bi z c +di ，且12= z z ，则=,=a c b d 6、 复数的加减法：已知12=+, =z a bi z c +di ，则：122+=()+()=()+()1z z a +c b +d iz -z a -c b -d i7、 复数的乘除法：已知12=+, =z a bi z c +di ，则：12122222=()(c )=+()i()()(c-)+-===+(c )(c )(c-)++z z a +bi +di ac -bd ad +bc z a +bi a +bi di ac bd ac bd i z +di +di di c d c d【解题方法】【利用定义求解方程的未知数】1-1、 对于这样的题，一般会在一个方程里面出现虚部单位i ，然后出现一个方程等式等于0或者其他常数，我们则要利用若12=+, =z a bi z c +di ，且12= z z ，则=,=a c b d .若说x 为复数，则设=+x a bi 代入解题。
3.1.2复数的几何意义课时过关·能力提升基础巩固1实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B2复数z=+i2对应的点在复平面内的()A.第一象限B.实轴上C.虚轴上D.第四象限解析因为z=+i2=-1∈R,所以z对应的点在实轴上.故选B.答案B3复数z与它的模相等的充要条件是()A.z为纯虚数B.z是实数C.z是正实数D.z是非负实数解析因为z=|z|,所以z为实数,且z≥0.故选D.答案D4在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是() A.4+8i B.8+2iC.2+4iD.4+i解析由题意得点A(6,5),B(-2,3).由C为线段AB的中点,得C(2,4),所以点C对应的复数为2+4i.答案C5已知0<a<2,复数z=a+i(i是虚数单位),则|z|的取值范围是()A.(1,)B.(1,)C.(1,3)D.(1,5)解析|z|=.∵0<a<2,∴0<a2<4.∴1<,即1<|z|<.故选B.答案B6已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为()A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆解析∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3.故所求的轨迹为一个圆,故选A.答案A7复数z=-5-12i在复平面内对应的点到原点的距离为.解析因为|z|==13,所以z对应的点到原点的距离为13.答案138已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内的对应点在第三象限,则实数x的取值范围是.解析由已知得解得1<x<2.答案(1,2)9若复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,求实数x的取值范围.分析根据复数的模的意义及题设中复数模的范围,建立关于实数x的不等式求解即可.解由题意,可得,。
技能演练基础强化1．设C＝{复数}、A＝{实数}、B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下列结论正确的是()A．A∪B＝C B．∁U A＝BC．A∩∁U B＝∅D．B∪∁U B＝C答案 D2．已知复数z＝a＋b i(a，b∈R)，则z∈R的充要条件是() A．a＋b i＝a－b i B．a＋b i＝－a＋b iC．ab＝0 D．a＝b＝0答案 A3．若(x2－x)＋(x－1)i是纯虚数，则实数x的值为()A．1或0 B．1C．0 D．以上都不对答案 C4．如果(x＋y)i＝x－1，那么实数x，y的值为()A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0答案 A5．(3－1)i的实部是()A. 3 B．1C．－1 D．0答案 D6．若x，y∈R，且z＝x＋y i是虚数，则有()A．x＝0，y∈R B．x≠0，y∈RC ．x ∈R ，y ＝0D ．x ∈R ，y ≠0答案 D7．下列命题：①ab ＝0，则a ＝0，或b ＝0； ②a 2＋b 2＝0，则a ＝0，且b ＝0；③z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 为纯虚数的充要条件是a ＝0； ④z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若z ＞0，则a ＞0，b ＝0.其中正确命题的序号是__________．答案 ①④8．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为__________．解析 由4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4. 答案 －4能 力 提 升9．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，求实数m 的值． 解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(m －2)≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＝1，m －2＞0，m －2≠1，解得m ＝4. 10．求适合方程xy －(x 2＋y 2)i ＝2－5i 的实数x ，y 的值．解 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝2，x 2＋y 2＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1. 11．已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实根，求实数m 的值．解 设x ＝a 为方程的一个实数根．则有a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0，即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0.∵a ，m ∈R ，由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a ＋3m ＝0，2a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝112，a ＝－12.故实数m 的值为112.12．已知z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ，若z 1＝z 2，试求θ的值．解 ∵z 1＝z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝sin2θ，cos θ＝3sin θ，∴⎩⎨⎧ sin θ＝12，cos θ＝32，解得θ＝2k π＋π6(k ∈Z )．。
第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( A ) A ．2－2iB ．2＋iC ．－5＋5iD ．5＋5i解析 ∵2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2，∴新复数为2－2i.故选A ． 2．若2＋a i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝( D ) A ．0B ．2C ．52D ．5解析 ∵2＋a i ＝b －i ，a ，b ∈R ，∴b ＝2，a ＝－1，∴a 2＋b 2＝5.故选D ． 3．已知复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( D ) A ．π4B ．π4或5π4C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析 由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，得θ＝k π＋π4(k ∈Z )，故选D ．4．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( C ) A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4解析 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.5．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( C ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 (a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≠0，a －b ＝0⇔a ＝b ≠0，即a ＝b ≠0是该复数为纯虚数的充要条件，所以a ＝b 是该复数为纯虚数的必要不充分条件．6．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( B )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 二、填空题7．复数1－i 的虚部的平方是__1__. 解析 1－i 的虚部为－1，虚部的平方为1.8．已知复数z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为__±1__；若z 是虚数，则m 的取值范围是__(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)__；若z 是纯虚数，则m 的值为__0__.解析 z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i ，若z 是实数，则m 2－1＝0，解得m ＝±1； 若z 是虚数，则m 2－1≠0，解得m ≠±1；若z 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝0，m 2－1≠0，解得m ＝0.9．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1＞z 2，则a 的值为__0__.解析 由z 1＞z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a ＜16，解得a ＝0.三、解答题10．若方程x 2＋mx ＋2x i ＝－1－m i 有实根，求实数m 的值，并求出此实根．解析 设实根为x 0，代入方程，并由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋mx 0＝－1，2x 0＝－m ，消去m ，得x 0＝±1，所以m ＝±2.因此，当m ＝－2时，原方程的实根为x ＝1； 当m ＝2时，原方程的实根为x ＝－1.11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析 (1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0，m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)若z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数． (3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m ＋3≠0，m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．12．如果log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，求自然数m ，n 的值． 解析 ∵log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(m ＋n )<1，m 2－3m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n <2，m ＝0或m ＝3，∵m ，n 是自然数，∴m ＝0，n ＝1.由Ruize收集整理。
高中数学人教版选修2-2（理科）第三章数系的扩充与复数的引入 3.1数系的扩充和复数的概念（包括3.1.1数系的扩充和复数的概念，3.1.2复数的几何意义）同步练习（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）若复数满足方程,则（）A .B .C .D .2. （2分） (2015高三上·唐山期末) 若（a﹣2i）i=b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数a+bi=（）A . 1+2iB . ﹣1+2iC . ﹣1﹣2iD . 1﹣2i3. （2分）化简为（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·杭州模拟) 记的最大值和最小值分別为和 .若平面向量满足则（）A .B .C .D .5. （2分）若a、b∈R且(1＋i)a＋(1－i)b＝2，则a、b的值分别为（）A . a＝1，b＝－1B . a＝－1，b＝1C . a＝1，b＝1D . a＝－1，b＝－16. （2分）(2013·湖南理) 复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限7. （2分）复数，则实数a的值是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二下·济宁期中) 若为虚数单位，复数满足，则的最大值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分） (2019高二下·上海月考) 若复数z满足（i是虚数单位），则＝________．10. （1分） (2019高二下·江门月考) i为虚数单位，设复数z1 ， z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2﹣3i，则z2=________．11. （1分） (2015高二下·吕梁期中) z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i，m∈R．z2=3﹣2i．则m=1是z1=z2的________条件.三、解答题 (共3题；共35分)12. （10分） (2018高二下·大庆月考) 复数（1）实数为何值时该复数是实数；（2）实数为何值时该复数是纯虚数；13. （10分） (2019高二下·亳州月考) 已知复数（i为虚数单位）．（1）当时，求复数的值；（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．14. （15分） (2019高二下·江门月考) 当为何实数时，复数，求：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数？参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共35分)12-1、12-2、13-1、答案：略13-2、答案：略14-1、14-2、14-3、。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义课时提升作业2 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义课时提升作业2 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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复数的几何意义(25分钟60分）一、选择题（每小题5分，共25分)1.（2014·重庆高考)实部为—2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C。
第三象限D。
第四象限【解题指南】根据复数的几何意义直接写出复数对应复平面内点的坐标进行判断.【解析】选B.实部为-2，虚部为1的复数所对应的复平面内的点为(-2，1），位于第二象限,故选B.【补偿训练】(2015·郑州高二检测）已知a∈R,且0〈a<1,i为虚数单位,则复数z=a+(a-1）i 在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B。
第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为0〈a〈1，所以a>0且a-1〈0，故复数z=a+（a-1）i在复平面内所对应的点(a，a-1）位于第四象限。
故选D.2。
(2015·大连高二检测）若复数z=（a2—3a+2)+(a2-4)i对应的点在虚轴上(不包含原点），则实数a的值等于（)A.1B.2 C。
1或2 D.±2【解析】选A。
复数z对应的点的坐标是（a2—3a+2,a2—4),依题意应有解得a=1,即实数a的值等于1。
高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念练习含解析新人教A 版选修121104[A 基础达标]1．以－3＋i 的虚部为实部，以3i ＋i 2的实部为虚部的复数是( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－3＋3iD ．3＋3i解析：选A.－3＋i 的虚部为1，3i ＋i 2＝－1＋3i ，其实部为－1，故所求复数为1－i. 2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：选D.复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 3．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，a ＋2 017i ＝2－b i ，则a 2＋b i ＝( ) A ．2 017＋2i B ．2 017＋4i C ．2＋2 017iD ．4－2 017i解析：选D.因为a ＋2 017i ＝2－b i ，所以a ＝2，－b ＝2 017，即a ＝2，b ＝－2 017，所以a 2＋b i ＝4－2 017i ，故选D.4．“a ＝－2”是“复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋1)i(a ∈R )为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当a ＝－2时，复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋1)i ＝－i ，为纯虚数；当复数z ＝(a2－4)＋(a ＋1)i 为纯虚数时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ＋1≠0，解得a ＝±2，故选A.5．下列命题：①若z ＝a ＋b i ，则仅当a ＝0，b ≠0时z 为纯虚数； ②若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0；③若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A.在①中未对z ＝a ＋b i 中a ，b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z 1＝1，z 2＝i ，则z 21＋z 22＝1－1＝0，但z 1≠z 2≠0，故②错误；在③中忽视0·i ＝0，故③也是错误的．故选A.6．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________． 解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或1. 答案：0或17．若复数cos θ－isin θ与－sin θ＋icos θ(θ∈R )相等，则θ＝________． 解析：根据两个复数相等的充要条件，得cos θ＝－sin θ，即tan θ＝－1，所以θ＝k π－π4(k ∈Z )．答案：k π－π4(k ∈Z )8．使不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 的取值集合是________．解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10，解得m ＝3，所以所求的实数m 的取值集合是{3}．答案：{3}9．已知关于实数x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ，①（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i ②有实数解，求实数a ，b 的值． 解：对①，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.③把③代入②，得5＋4a －(6＋b )i ＝9－8i ，且a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5＋4a ＝9，6＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.10．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：(1)当z 为实数时，则a 2－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，所以a ＝－1或a ＝6，且a ≠±1，所以当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，所以a ≠－1且a ≠6，且a ≠±1.所以当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，a ≠6.且a ＝6，所以不存在实数a 使z 为纯虚数．[B 能力提升]11．已知复数z ＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，2π3，4π3B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，5π3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π6，11π6 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π3，5π3解析：选D.由条件，知cos α＋cos 2α＝0，所以2cos 2α＋cos α－1＝0，解得cos α＝－1或12.又0<α<2π，所以α＝π或π3或5π3，故选D.12．若关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0有一根为实数x 0，则x 0＝________． 解析：因为x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0的根为x ＝5＋i 或1，所以x 0＝1. 答案：113．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，且M ∩NM ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．解：若M ∩N ＝{3i}，则(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ， 即a ＋3＝0且b 2－1＝3， 得a ＝－3，b ＝±2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ∩N ＝M ，不合题意； 当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}，符合题意． 所以a ＝－3，b ＝2.若M ∩N ＝{8}，则8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ， 即a 2－1＝8且b ＋2＝0，得a ＝±3，b ＝－2. 当a ＝－3，b ＝－2时，不合题意；当a ＝3，b ＝－2时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}，符合题意． 所以a ＝3，b ＝－2.若M ∩N ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i}＝{(a 2－1)＋(b ＋2)i}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝a 2－1b 2－1＝b ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －4＝0b 2－b －3＝0，此方程组无整数解．综上可得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.14．(选做题)已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy a ＝x －y ，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法一：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2，解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．法二：令⎩⎨⎧x －1＝2cos αy ＋1＝2sin α，得⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1y ＝2sin α－1(α∈R )，所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)， 于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．。
