高中数学新人教版选修2-2课时作业：第三章 数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念

第三章数系的扩充与复数的引入目录§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）§3.1.2 复数的几何意义（新授课）§3.2.1 复数的代数形式的加减运算及其几何意义（新授课）§3.2.2 复数的代数形式的乘除运算（新授课）第三章数系的扩充与复数的引入小结与复习（复习课）选修2-2 第三章复数基础练习（一）选修2-2 第三章复数基础练习（一）答案选修2-2 第三章复数基础练习（二）选修2-2 第三章复数基础练习（二）答案第三章数系的扩充与复数的引入一、课程目标：本章学习的主要内容是数系的扩充与复数的概念，复数代数形式的四则运算。

复数的引入是中学阶段数系的又一次扩充，这不仅可以使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，也为进一步学习数学打下了基础。

通过本章学习，要使学生在问题情景中了解数系扩充的过程以及引入复数的必要性，学习复数得一些基本知识，体会人类理性思维在数系扩充中的作用。

二、学习目标：（1）、在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。

（2）、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件。

（3）、了解复数的代数表示法及其几何意义。

（4）、能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义。

三、本章知识结构：四、课时安排：本章教学时间约4课时，具体分配如下：3.1 数系的扩充与复数的概念约2课时3.2 复数代数形式的四则运算约2课时§3.1.1 数系的扩充与复数的概念（新授课）一、教学目标:知识与技能：了解数系的扩充过程，理解复数及其有关概念。

理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念。

过程与方法：采取“阅读、质疑、探究”的过程，让学生体验数系的扩充过程。

情感、态度与价值观：让学生在“发现问题，解决问题”中增长技能，充分认识人类理性思维的能动性，使学生在掌握知识的同时增强战胜困难的信心和技能。

数系的扩充与复数的引入【知识要点】1、 虚数单位的引入及其性质：为了社会的发展，满足实际解题的需要，我们发现了很多问题在实数范围内还无法解决，但是把数集的范围进一步的扩充引入了复数（虚数），我们发现很多问题是可以解决； 如：在实数范围内求方程:2-+1=0,=1-4= -3<0x x ∆,故方程在实数范围内无解。

但是，当我们引入虚数，令2= -1i ，那么2= -3=3i ∆，12-1==22b x a ±±、， 故：一般地，我们记作虚数为=+(b 0)z a bi ≠为虚数，当=0a ，我们把=(b 0)z bi ≠叫做纯虚数。

2、 复数的概念：形如=+(a,)z a bi ∈b R 的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做实部，b 叫做虚部，全体复数构成的集合叫做复数集，通常用C 表示。

==+(a ,bR )=0(b 0)0z a bi a a ⇔⎧⎪∈⇔⎧⎨≠⎨⎪⇔≠⎩⎩实数b 0复数纯虚数虚数非纯虚数 3、 复数的几何意义：=+(a,b )z a bi R ∈表示复数构成直角平面坐标系（复平面）中的实数点(a,b)，那么|z 4、 共轭复数：12=+, =-z a bi z a bi ，形如这样的复数12 z z 、互为共轭复数，记作12= z z 。

5、 若12=+, =z a bi z c +di ，且12= z z ，则=,=a c b d 6、 复数的加减法：已知12=+, =z a bi z c +di ，则：122+=()+()=()+()1z z a +c b +d iz -z a -c b -d i7、 复数的乘除法：已知12=+, =z a bi z c +di ，则：12122222=()(c )=+()i()()(c-)+-===+(c )(c )(c-)++z z a +bi +di ac -bd ad +bc z a +bi a +bi di ac bd ac bd i z +di +di di c d c d【解题方法】【利用定义求解方程的未知数】1-1、 对于这样的题，一般会在一个方程里面出现虚部单位i ，然后出现一个方程等式等于0或者其他常数，我们则要利用若12=+, =z a bi z c +di ，且12= z z ，则=,=a c b d .若说x 为复数，则设=+x a bi 代入解题。

3.1.2复数的几何意义课时过关·能力提升基础巩固1实部为-2,虚部为1的复数所对应的点位于复平面的()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案B2复数z=+i2对应的点在复平面内的()A.第一象限B.实轴上C.虚轴上D.第四象限解析因为z=+i2=-1∈R,所以z对应的点在实轴上.故选B.答案B3复数z与它的模相等的充要条件是()A.z为纯虚数B.z是实数C.z是正实数D.z是非负实数解析因为z=|z|,所以z为实数,且z≥0.故选D.答案D4在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是() A.4+8i B.8+2iC.2+4iD.4+i解析由题意得点A(6,5),B(-2,3).由C为线段AB的中点,得C(2,4),所以点C对应的复数为2+4i.答案C5已知0<a<2,复数z=a+i(i是虚数单位),则|z|的取值范围是()A.(1,)B.(1,)C.(1,3)D.(1,5)解析|z|=.∵0<a<2,∴0<a2<4.∴1<,即1<|z|<.故选B.答案B6已知复数z满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z对应点的轨迹为()A.一个圆B.线段C.两点D.两个圆解析∵|z|2-2|z|-3=0,∴(|z|-3)(|z|+1)=0,∴|z|=3.故所求的轨迹为一个圆,故选A.答案A7复数z=-5-12i在复平面内对应的点到原点的距离为.解析因为|z|==13,所以z对应的点到原点的距离为13.答案138已知复数x2-6x+5+(x-2)i在复平面内的对应点在第三象限,则实数x的取值范围是.解析由已知得解得1<x<2.答案(1,2)9若复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,求实数x的取值范围.分析根据复数的模的意义及题设中复数模的范围,建立关于实数x的不等式求解即可.解由题意,可得,。

技能演练基础强化1．设C＝{复数}、A＝{实数}、B＝{纯虚数}，全集U＝C，那么下列结论正确的是()A．A∪B＝C B．∁U A＝BC．A∩∁U B＝∅D．B∪∁U B＝C答案 D2．已知复数z＝a＋b i(a，b∈R)，则z∈R的充要条件是() A．a＋b i＝a－b i B．a＋b i＝－a＋b iC．ab＝0 D．a＝b＝0答案 A3．若(x2－x)＋(x－1)i是纯虚数，则实数x的值为()A．1或0 B．1C．0 D．以上都不对答案 C4．如果(x＋y)i＝x－1，那么实数x，y的值为()A．x＝1，y＝－1 B．x＝0，y＝－1C．x＝1，y＝0 D．x＝0，y＝0答案 A5．(3－1)i的实部是()A. 3 B．1C．－1 D．0答案 D6．若x，y∈R，且z＝x＋y i是虚数，则有()A．x＝0，y∈R B．x≠0，y∈RC ．x ∈R ，y ＝0D ．x ∈R ，y ≠0答案 D7．下列命题：①ab ＝0，则a ＝0，或b ＝0； ②a 2＋b 2＝0，则a ＝0，且b ＝0；③z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 为纯虚数的充要条件是a ＝0； ④z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，若z ＞0，则a ＞0，b ＝0.其中正确命题的序号是__________．答案 ①④8．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为__________．解析 由4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4. 答案 －4能 力 提 升9．若log 2(m 2－3m －3)＋ilog 2(m －2)为纯虚数，求实数m 的值． 解 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(m －2)≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －3＝1，m －2＞0，m －2≠1，解得m ＝4. 10．求适合方程xy －(x 2＋y 2)i ＝2－5i 的实数x ，y 的值．解 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ xy ＝2，x 2＋y 2＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1，y ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－1. 11．已知关于x 的方程x 2＋(1－2i)x ＋(3m －i)＝0有实根，求实数m 的值．解 设x ＝a 为方程的一个实数根．则有a 2＋(1－2i)a ＋(3m －i)＝0，即(a 2＋a ＋3m )－(2a ＋1)i ＝0.∵a ，m ∈R ，由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a ＋3m ＝0，2a ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝112，a ＝－12.故实数m 的值为112.12．已知z 1＝sin2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ，若z 1＝z 2，试求θ的值．解 ∵z 1＝z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ cos θ＝sin2θ，cos θ＝3sin θ，∴⎩⎨⎧ sin θ＝12，cos θ＝32，解得θ＝2k π＋π6(k ∈Z )．。

第三章 3.1 3.1.1一、选择题1．以2i －5的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( A ) A ．2－2iB ．2＋iC ．－5＋5iD ．5＋5i解析 ∵2i －5的虚部为2，5i ＋2i 2的实部为－2，∴新复数为2－2i.故选A ． 2．若2＋a i ＝b －i ，其中a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则a 2＋b 2＝( D ) A ．0B ．2C ．52D ．5解析 ∵2＋a i ＝b －i ，a ，b ∈R ，∴b ＝2，a ＝－1，∴a 2＋b 2＝5.故选D ． 3．已知复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ的值为( D ) A ．π4B ．π4或5π4C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析 由复数相等的充要条件知⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，得θ＝k π＋π4(k ∈Z )，故选D ．4．复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( C ) A ．1B ．1或－4C ．－4D ．0或－4解析 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.5．已知a ，b ∈R ，则a ＝b 是(a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数的( C ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件解析 (a －b )＋(a ＋b )i 为纯虚数⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ≠0，a －b ＝0⇔a ＝b ≠0，即a ＝b ≠0是该复数为纯虚数的充要条件，所以a ＝b 是该复数为纯虚数的必要不充分条件．6．已知M ＝{1,2，m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( B )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析 ∵M ∩N ＝{3}，∴m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，解得m ＝－1. 二、填空题7．复数1－i 的虚部的平方是__1__. 解析 1－i 的虚部为－1，虚部的平方为1.8．已知复数z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为__±1__；若z 是虚数，则m 的取值范围是__(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1，＋∞)__；若z 是纯虚数，则m 的值为__0__.解析 z ＝(m 2－m )＋(m 2－1)i ，若z 是实数，则m 2－1＝0，解得m ＝±1； 若z 是虚数，则m 2－1≠0，解得m ≠±1；若z 是纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m ＝0，m 2－1≠0，解得m ＝0.9．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1＞z 2，则a 的值为__0__.解析 由z 1＞z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a ＜16，解得a ＝0.三、解答题10．若方程x 2＋mx ＋2x i ＝－1－m i 有实根，求实数m 的值，并求出此实根．解析 设实根为x 0，代入方程，并由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋mx 0＝－1，2x 0＝－m ，消去m ，得x 0＝±1，所以m ＝±2.因此，当m ＝－2时，原方程的实根为x ＝1； 当m ＝2时，原方程的实根为x ＝－1.11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解析 (1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0，m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)若z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数． (3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m ＋3≠0，m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．12．如果log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，求自然数m ，n 的值． 解析 ∵log 2(m ＋n )－(m 2－3m )i<1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ log 2(m ＋n )<1，m 2－3m ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0<m ＋n <2，m ＝0或m ＝3，∵m ，n 是自然数，∴m ＝0，n ＝1.由Ruize收集整理。

高中数学人教版选修2-2（理科）第三章数系的扩充与复数的引入 3.1数系的扩充和复数的概念（包括3.1.1数系的扩充和复数的概念，3.1.2复数的几何意义）同步练习（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共8题；共16分)1. （2分）若复数满足方程,则（）A .B .C .D .2. （2分） (2015高三上·唐山期末) 若（a﹣2i）i=b﹣i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则复数a+bi=（）A . 1+2iB . ﹣1+2iC . ﹣1﹣2iD . 1﹣2i3. （2分）化简为（）A .B .C .D .4. （2分）(2018·杭州模拟) 记的最大值和最小值分別为和 .若平面向量满足则（）A .B .C .D .5. （2分）若a、b∈R且(1＋i)a＋(1－i)b＝2，则a、b的值分别为（）A . a＝1，b＝－1B . a＝－1，b＝1C . a＝1，b＝1D . a＝－1，b＝－16. （2分）(2013·湖南理) 复数z=i•（1+i）（i为虚数单位）在复平面上对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限7. （2分）复数，则实数a的值是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二下·济宁期中) 若为虚数单位，复数满足，则的最大值为（）A .B .C .D .二、填空题 (共3题；共3分)9. （1分） (2019高二下·上海月考) 若复数z满足（i是虚数单位），则＝________．10. （1分） (2019高二下·江门月考) i为虚数单位，设复数z1 ， z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2﹣3i，则z2=________．11. （1分） (2015高二下·吕梁期中) z1=（m2+m+1）+（m2+m﹣4）i，m∈R．z2=3﹣2i．则m=1是z1=z2的________条件.三、解答题 (共3题；共35分)12. （10分） (2018高二下·大庆月考) 复数（1）实数为何值时该复数是实数；（2）实数为何值时该复数是纯虚数；13. （10分） (2019高二下·亳州月考) 已知复数（i为虚数单位）．（1）当时，求复数的值；（2）若复数在复平面内对应的点位于第二象限，求的取值范围．14. （15分） (2019高二下·江门月考) 当为何实数时，复数，求：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数？参考答案一、选择题 (共8题；共16分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、二、填空题 (共3题；共3分)9-1、10-1、11-1、三、解答题 (共3题；共35分)12-1、12-2、13-1、答案：略13-2、答案：略14-1、14-2、14-3、。

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复数的几何意义(25分钟60分）一、选择题（每小题5分，共25分)1.（2014·重庆高考)实部为—2，虚部为1的复数所对应的点位于复平面的( )A.第一象限B.第二象限C。

第三象限D。

第四象限【解题指南】根据复数的几何意义直接写出复数对应复平面内点的坐标进行判断.【解析】选B.实部为-2，虚部为1的复数所对应的复平面内的点为(-2，1），位于第二象限,故选B.【补偿训练】(2015·郑州高二检测）已知a∈R,且0〈a<1,i为虚数单位,则复数z=a+(a-1）i 在复平面内所对应的点位于( )A.第一象限B。

第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】选D.因为0〈a〈1，所以a>0且a-1〈0，故复数z=a+（a-1）i在复平面内所对应的点(a，a-1）位于第四象限。

故选D.2。

(2015·大连高二检测）若复数z=（a2—3a+2)+(a2-4)i对应的点在虚轴上(不包含原点），则实数a的值等于（)A.1B.2 C。

1或2 D.±2【解析】选A。

复数z对应的点的坐标是（a2—3a+2,a2—4),依题意应有解得a=1,即实数a的值等于1。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1数系的扩充和复数的概念练习含解析新人教A 版选修121104[A 基础达标]1．以－3＋i 的虚部为实部，以3i ＋i 2的实部为虚部的复数是( ) A ．1－i B ．1＋i C ．－3＋3iD ．3＋3i解析：选A.－3＋i 的虚部为1，3i ＋i 2＝－1＋3i ，其实部为－1，故所求复数为1－i. 2．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：选D.复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 3．若a ，b ∈R ，i 是虚数单位，a ＋2 017i ＝2－b i ，则a 2＋b i ＝( ) A ．2 017＋2i B ．2 017＋4i C ．2＋2 017iD ．4－2 017i解析：选D.因为a ＋2 017i ＝2－b i ，所以a ＝2，－b ＝2 017，即a ＝2，b ＝－2 017，所以a 2＋b i ＝4－2 017i ，故选D.4．“a ＝－2”是“复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋1)i(a ∈R )为纯虚数”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.当a ＝－2时，复数z ＝(a 2－4)＋(a ＋1)i ＝－i ，为纯虚数；当复数z ＝(a2－4)＋(a ＋1)i 为纯虚数时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4＝0，a ＋1≠0，解得a ＝±2，故选A.5．下列命题：①若z ＝a ＋b i ，则仅当a ＝0，b ≠0时z 为纯虚数； ②若z 21＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0；③若实数a 与a i 对应，则实数集与纯虚数集可建立一一对应关系． 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选A.在①中未对z ＝a ＋b i 中a ，b 的取值加以限制，故①错误；在②中将虚数的平方与实数的平方等同，如若z 1＝1，z 2＝i ，则z 21＋z 22＝1－1＝0，但z 1≠z 2≠0，故②错误；在③中忽视0·i ＝0，故③也是错误的．故选A.6．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________． 解析：z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，所以m 2－m ＝0，所以m ＝0或1. 答案：0或17．若复数cos θ－isin θ与－sin θ＋icos θ(θ∈R )相等，则θ＝________． 解析：根据两个复数相等的充要条件，得cos θ＝－sin θ，即tan θ＝－1，所以θ＝k π－π4(k ∈Z )．答案：k π－π4(k ∈Z )8．使不等式m 2－(m 2－3m )i<(m 2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m 的取值集合是________．解析：由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0m 2－4m ＋3＝0m 2<10，解得m ＝3，所以所求的实数m 的取值集合是{3}．答案：{3}9．已知关于实数x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧（2x －1）＋i ＝y －（3－y ）i ，①（2x ＋ay ）－（4x －y ＋b ）i ＝9－8i ②有实数解，求实数a ，b 的值． 解：对①，根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝－（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.③把③代入②，得5＋4a －(6＋b )i ＝9－8i ，且a ，b ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧5＋4a ＝9，6＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.10．已知复数z ＝a 2－7a ＋6a 2－1＋(a 2－5a －6)i(a ∈R )，试求实数a 取什么值时，z 分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解：(1)当z 为实数时，则a 2－5a －6＝0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，所以a ＝－1或a ＝6，且a ≠±1，所以当a ＝6时，z 为实数．(2)当z 为虚数时，则a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1有意义，所以a ≠－1且a ≠6，且a ≠±1.所以当a ≠±1，且a ≠6时，z 为虚数，即当a ∈(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，6)∪(6，＋∞)时，z 为虚数．(3)当z 为纯虚数时，则有a 2－5a －6≠0，且a 2－7a ＋6a 2－1＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≠－1，a ≠6.且a ＝6，所以不存在实数a 使z 为纯虚数．[B 能力提升]11．已知复数z ＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，2π3，4π3B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，5π3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π6，11π6 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π3，5π3解析：选D.由条件，知cos α＋cos 2α＝0，所以2cos 2α＋cos α－1＝0，解得cos α＝－1或12.又0<α<2π，所以α＝π或π3或5π3，故选D.12．若关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0有一根为实数x 0，则x 0＝________． 解析：因为x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0的根为x ＝5＋i 或1，所以x 0＝1. 答案：113．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i ，8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}，且M ∩NM ，M ∩N ≠∅，求整数a ，b 的值．解：若M ∩N ＝{3i}，则(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ， 即a ＋3＝0且b 2－1＝3， 得a ＝－3，b ＝±2.当a ＝－3，b ＝－2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8}，M ∩N ＝M ，不合题意； 当a ＝－3，b ＝2时，M ＝{3i ，8}，N ＝{3i ，8＋4i}，符合题意． 所以a ＝－3，b ＝2.若M ∩N ＝{8}，则8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i ， 即a 2－1＝8且b ＋2＝0，得a ＝±3，b ＝－2. 当a ＝－3，b ＝－2时，不合题意；当a ＝3，b ＝－2时，M ＝{6＋3i ，8}，N ＝{3i ，8}，符合题意． 所以a ＝3，b ＝－2.若M ∩N ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i}＝{(a 2－1)＋(b ＋2)i}，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3＝a 2－1b 2－1＝b ＋2，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －4＝0b 2－b －3＝0，此方程组无整数解．综上可得a ＝－3，b ＝2或a ＝3，b ＝－2.14．(选做题)已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy a ＝x －y ，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0，即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.法一：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2，解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．法二：令⎩⎨⎧x －1＝2cos αy ＋1＝2sin α，得⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1y ＝2sin α－1(α∈R )，所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)， 于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．。

3.1.1 数系的扩充和复数的概念明目标、知重点1．了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程．2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念． 3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．1．复数的有关概念 (1)复数①定义：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈R ，i 叫做虚数单位．a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．②表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i. (2)复数集①定义：全体复数所成的集合叫做复数集． ②表示：通常用大写字母C 表示． 2．复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0)虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)非纯虚数(a ≠0)(2)集合表示：3．复数相等的充要条件设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .情境导学]为解决方程x 2＝1，数系从有理数扩充到实数；数的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，象x 2＝－1这个方程在实数范围内就无解，那么怎样解决方程x 2＝－1在实数系中无根的问题呢？我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？本节我们就来研究这个问题． 探究点一 复数的概念思考1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？答 设想引入新数i ，使i 是方程x 2＋1＝0的根，即i·i＝－1，方程x 2＋1＝0有解，同时得到一些新数．思考2 如何理解虚数单位i? 答 (1)i 2＝－1.(2)i 与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律．(3)由于i 2＜0与实数集中a 2≥0(a ∈R )矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立． (4)若i 2＝－1，那么i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n＝1.思考3 什么叫复数？怎样表示一个复数？答 形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i ，这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a 、b 分别叫做复数z 的实部与虚部． 思考4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？答 对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ≠0时叫做虚数；当a ＝0且b ≠0时，叫做纯虚数． 思考5 复数m ＋n i 的实部、虚部一定是m 、n 吗？答 不一定，只有当m ∈R ，n ∈R ，则m 、n 才是该复数的实部、虚部． 例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数． ①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.解 ①的实部为2，虚部为3，是虚数；②的实部为－3，虚部为12，是虚数；③的实部为2，虚部为1，是虚数；④的实部为π，虚部为0，是实数；⑤的实部为0，虚部为－3，是纯虚数；⑥的实部为0，虚部为0，是实数．反思与感悟 复数a ＋b i 中，实数a 和b 分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b 为复数的虚部而不是虚部的系数，b 连同它的符号叫做复数的虚部．跟踪训练1 符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在，请说明理由． (1)实部为－2的虚数； (2)虚部为－2的虚数； (3)虚部为－2的纯虚数； (4)实部为－2的纯虚数．解 (1)存在且有无数个，如－2＋i 等；(2)存在且不唯一，如1－2i 等；(3)存在且唯一，即－2i ；(4)不存在，因为纯虚数的实部为0.例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0m ≠0，即m ＝2时，复数z 是实数；(2)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ≠0，m ≠0即m ≠0且m ≠2时，复数z 是虚数；(3)当⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －6m ＝0m 2－2m ≠0，即m ＝－3时，复数z 是纯虚数．反思与感悟 利用复数的概念对复数分类时，主要依据实部、虚部满足的条件，可列方程或不等式求参数．跟踪训练2 实数m 为何值时，复数z ＝m (m ＋2)m －1＋(m 2＋2m －3)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使z 是实数，m 需满足m 2＋2m －3＝0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ＝－3. (2)要使z 是虚数，m 需满足m 2＋2m －3≠0，且m (m ＋2)m －1有意义即m －1≠0，解得m ≠1且m ≠－3.(3)要使z 是纯虚数，m 需满足m (m ＋2)m －1＝0，m －1≠0， 且m 2＋2m －3≠0， 解得m ＝0或m ＝－2. 探究点二 两个复数相等 思考1 两个复数能否比较大小？答 如果两个复数不全是实数，那么它们不能比较大小． 思考2 两个复数相等的充要条件是什么？答 复数a ＋b i 与c ＋d i 相等的充要条件是a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )． 例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .解 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝－y ，1＝y －3.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝4.反思与感悟 两个复数相等，首先要分清两复数的实部与虚部，然后利用两个复数相等的充要条件可得到两个方程，从而可以确定两个独立参数．跟踪训练3 已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R )，求x 的值．解 由复数相等的定义得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6x ＋1＝0.x 2－2x －3＝0.解得：x ＝3，所以x ＝3为所求．1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是( ) A.2，1 B.2，5 C ．±2，5 D ．±2，1答案 C解析 令⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2－2＋b ＝3，得a ＝±2，b ＝5.2．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( ) A ．±1 B ．±i C ．±2i D ．±2i答案 C3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．－1或1答案 B解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧m (m ＋1)＝0m 2－1≠0，∴m ＝0.4．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等； ②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i；⑥i是方程x4－1＝0的一个根；⑦2i是一个无理数．其中正确命题的个数为( )A．3 B．4 C．5 D．6答案 B解析命题①②③⑥正确，④⑤⑦错误．呈重点、现规律]1．对于复数z＝a＋b i(a，b∈R)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况；2．两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的条件进行判断．一、基础过关1．设a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件答案 B解析因为a，b∈R.“a＝0”时“复数a＋b i不一定是纯虚数”．“复数a＋b i是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R.“a＝0”是“复数a＋b i是纯虚数”的必要而不充分条件．2．下列命题正确的是( )A．若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数B．若a，b∈R且a>b，则a＋i>b＋iC．若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则实数x＝±1D．两个虚数不能比较大小答案 D解析对于复数a＋b i(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时为纯虚数．在A中，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故A错误；在B中，两个虚数不能比较大小，故B错误；在C中，若x＝－1，不成立，故C错误；D正确．3．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的新复数是( ) A ．2－2i B ．－5＋5i C ．2＋i D.5＋5i 答案 A解析 设所求新复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由题意知：复数－5＋2i 的虚部为2；复数5i ＋2i 2＝5i ＋2×(－1)＝－2＋5i 的实部为－2，则所求的z ＝2－2i.故选A. 4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y的值为( )A.12 B ．2 C ．0 D ．1 答案 D解析 由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y＝20＝1.5．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 答案 A解析 由复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1.6．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 答案 －2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0m 2－1≠0⇒m ＝－2.7．已知(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，求实数x ，y 的值． 解 ∵(2x －y ＋1)＋(y －2)i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝0，y －2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝2.所以实数x ，y 的值分别为12，2.二、能力提升8．若(x 2－1)＋(x 2＋3x ＋2)i 是纯虚数，则实数x 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．±1 D．－1或－2答案 A解析 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x 2＋3x ＋2≠0.解得x ＝1.9．z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________. 答案 2 ±2解析 由z 1＝z 2得⎩⎪⎨⎪⎧－3＝n 2－3m －1－4＝n 2－m －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2n ＝±2.10．已知集合M ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，N ＝{－1,3}，若M ∩N ＝{3}，则实数a ＝________. 答案 －1解析 由M ∩N ＝{3}知，3∈M ，即有(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，解得a ＝－1.11．实数m 分别为何值时，复数z ＝2m 2＋m －3m ＋3＋(m 2－3m －18)i 是(1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数．解 (1)要使所给复数为实数，必使复数的虚部为0.故若使z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －18＝0m ＋3≠0，解得m ＝6.所以当m ＝6时，z 为实数．(2)要使所给复数为虚数，必使复数的虚部不为0. 故若使z 为虚数，则m 2－3m －18≠0，且m ＋3≠0， 所以当m ≠6且m ≠－3时，z 为虚数．(3)要使所给复数为纯虚数，必使复数的实部为0，虚部不为0. 故若使z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0m ＋3≠0m 2－3m －18≠0，解得m ＝－32或m ＝1.所以当m ＝－32或m ＝1时，z 为纯虚数．12．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，若z 1<z 2，求实数m 的取值范围． 解 由于z 1<z 2，m ∈R ， ∴z 1∈R 且z 2∈R ，当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，m ＝1或m ＝－2. 当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0，m ＝1或m ＝4， ∴当m ＝1时，z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2. ∴z 1<z 2时，实数m 的取值为m ＝1. 三、探究与拓展13．如果12log (m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，如何求自然数m ，n 的值？解 因为12log (m ＋n )－(m 2－3m )i>－1，所以12log (m ＋n )－(m 2－3m )i 是实数，从而有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＝0， ①12log (m ＋n )>－1， ②由①得m ＝0或m ＝3，当m ＝0时，代入②得n <2，又m ＋n >0，所以n ＝1； 当m ＝3时，代入②得n <－1，与n 是自然数矛盾， 综上可得m ＝0，n ＝1.。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修2-2(1) 高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修2-2(1)编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修2-2(1)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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高中数学第三章数系的扩充与复数的引入 3.1.1 数系的扩充和复数的概念教案新人教A版选修2-2(1)§3.1。

1数系的扩充和复数的概念教学目标:1.知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i2。

过程与方法:理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律3. 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念教学重点:复数的概念,虚数单位i，复数的分类（实数、虚数、纯虚数)和复数相等等概念；教学难点：虚数单位i的引进及复数的概念．教学过程设计(一）、情景引入,激发兴趣.【教师引入】：数的概念是从实践中产生和发展起来的。

早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1，2，3，4等数以及表示“没有”的数0。

自然数的全体构成自然数集N随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展(二)、探究新知，揭示概念为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题,人们引进了分数；为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数.这样就把数集扩充到有理数集Q.显然N Q。

高中数学人教A版选修2-2 第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义 (2)一、单选题1. 若，则复数在复平面内所对应的点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2. 满足条件的复数在复平面上对应点的轨迹是()A.一条直线B.两条直线C.圆D.椭圆3. 在复平面内，把复数对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是()A. B. C. D.4. 已知复数的模为,则的最大值为：()A.1B.2C.D.3二、填空题若为非零实数，则下列四个命题都成立：①②③若，则④若，则．则对于任意非零复数，上述命题仍然成立的序号是．三、解答题已知复数，求的最大值和最小值.试卷第1页，总3页参考答案与试题解析高中数学人教A版选修2-2 第三章数系的扩充与复数的引入3.1.2 复数的几何意义 (2)一、单选题1.【答案】B【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】cosθ+sinθ=√2sin(θ+π4)×0【解答】因为θ∈(34π,54π)，所以sinθ−cosθ=√2sin(θ−π4 )>0因此复数(cosθ+sinθ)+(sinθ−cosθ)在复平面内所对应的点在第二象限故选：B．2.【答案】C【考点】复数的运算二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】因为|z−i|=|3+4i，所以|z−i|=5,x2+(y−1)2=25因此复数？在复平面上对应点的轨迹是圆，选C．【解答】此题暂无解答3.【答案】B【考点】复数的代数表示法及其几何意义相等向量与相反向量单位向量【解析】复数3−√3i对应的向量按顺时针方向旋转π3，则旋转后的向量为(3−3i)[cos(−π3)+试卷第2页，总3页i sin(−π3)]=(3−√3i)(12−√32)=−2√3，故选B．【解答】此题暂无解答4.【答案】D【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】因为|z−i|≤|z|+|=2+1=3，所以最大值为3，选D．【解答】此题暂无解答二、填空题【答案】②④【考点】数列的概念及简单表示法演绎推理的基本方法四种命题的定义【解析】对于ω：解方程a+1a =0得ai所以非零复数aⅰ使得a+1a=0，①不成立；②显然成立；对于③：在复数集C中，/1]=\l，则|a|=|b|a=±b，所以③不成立；④显然成立．则对于任意非零复数a,b，上述命题仍然成立的所有序号是②④【解答】此题暂无解答三、解答题【答案】最大值．，最小值、2．【考点】基本不等式基本不等式在最值问题中的应用三角函数的最值【解析】试题分析：先根据复数乘法法则，再根据复数的模的定义将|z1⋅z2|化为三角函数形式，最后根据三角函数有界性确定最值．试题解析：|z|z2|=|θcossin+(cosβ−sinβ−sin=√1+sinθcosθ2+(cosθ−sinθ)2=√2+sin2cos2θ=√2+12sin2θ故|z1⋅z2|的最大值为32，最小值为√2【解答】此题暂无解答试卷第3页，总3页。

全品学练考|高中数学 选修2-2 新课标(RJA)第三章 数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.1.1 数系的扩充和复数的概念1.B [解析] 若复数是虚数,则n ≠0,故选B .2.B [解析] 由2+b i 与a-3i 相等,得a=2,b=-3.故实数a ,b 的值分别为2,-3.3.A [解析] ①∵x ,y ∈C ,∴当x=i ,y=-i 时,x+y i =1+i ,故①是假命题;②∵两个虚数不能比较大小,∴②是假命题;③当x=1,y=i 时,x 2+y 2=0成立,∴③是假命题.4.A [解析] 复数-√5+2i 的虚部为2,复数√5i +2i 2=√5i +2×(-1)=-2+√5i 的实部为-2,则所求的新复数为2-2i .5.D [解析] 由复数相等的充要条件知, {x +y =0,x -1=0,解得{x =1,y =-1,∴x+y=0,∴2x+y =20=1.6.D [解析] 依题意得x 2+x-2≠0, 解得x ≠1且x ≠-2.7.A [解析] 若复数z=(a 2-1)+2(a+1)i为纯虚数,则{a 2-1=0,2(a +1)≠0,据此可得a=1.故a=1是复数z=(a 2-1)+2(a+1)i 为纯虚数的充要条件.故选A .8.A [解析] 由题意知b 2+(4+i )b+4+a i =0(a ,b ∈R ),即b 2+4b+4+(a+b )i =0, ∴{b 2+4b +4=0,a +b =0,∴{b =-2,a =2,即z=2-2i .9.0或1 [解析] z=m 2+m 2i -m 2-m i =(m 2-m )i ,又z 是实数,所以m 2-m=0,解得m=0或m=1. 10.2 ±2 [解析] 由z 1=z 2,m ,n 为实数,得{-3=n 2-3m -1,-4=n 2-m -6,解得{m =2,n =±2.11.-1 [解析] 由M ∩N={3},知3∈M ,则有(a 2-3a-1)+(a 2-5a-6)i =3,所以{a 2-3a -1=3,a 2-5a -6=0,解得a=-1.12.4 [解析] ∵复数z=log 2(x 2-3x-2)+ilog 2(x-3)为实数,∴log 2(x-3)=0,即x-3=1,∴x=4,代入x 2-3x-2,得42-3×4-2=2>0,满足题意.13.解:因为M ∪P=P ,所以M ⊆P ,即(m 2-2m )+(m 2+m-2)i =-1或(m 2-2m )+(m 2+m-2)i=4i. 由(m 2-2m )+(m 2+m-2)i =-1,解得m=1; 由(m 2-2m )+(m 2+m-2)i=4i ,解得m=2. 综上可知m=1或m=2.14.解:(1)因为z 为实数,所以1-2cos θ=0, 即cos θ=12.又因为θ∈(0,π),所以θ=π3. (2)因为z 为纯虚数,所以{sinθ-1=0,1-2cosθ≠0,所以sin θ=1且cos θ≠12.又因为θ∈(0,π),所以θ=π2.15.解:∵z 1<z 2,m ∈R ,∴z 1∈R 且z 2∈R . 当z 1∈R 时,m 2+m-2=0,解得m=1或m=-2; 当z 2∈R 时,m 2-5m+4=0,解得m=1或m=4. 综上可知m=1,此时z 1=2,z 2=6,满足z 1<z 2. 16.解:方程化为(x 2+mx+2)+(2x+m )i =0, ∴{x 2+mx +2=0,①2x +m =0,②∴由②得x=-m2,代入①得m 24-m 22+2=0, ∴m 2=8,解得m=±2√2.3.1.2 复数的几何意义1.D [解析] 任意复数z=a+b i (a ,b ∈R )的模|z|=√a 2+b 2≥0恒成立,故A 中说法正确.由z=a+b i =0,得{a =0,b =0,∴|z|=0;反之亦成立,故B 中说法正确.设z 1=a 1+b 1i ,z 2=a 2+b 2i (a 1,b 1,a 2,b 2∈R ),若z 1=z 2,则有a 1=a 2,b 1=b 2,∴|z 1|=|z 2|;反之,由|z 1|=|z 2|,推不出z 1=z 2,如当z 1=1+3i ,z 2=1-3i 时,|z 1|=|z 2|,但z 1≠z 2,故C中说法正确.两个复数不一定能比较大小,但任意两个复数的模总能比较大小,故D 中说法错误. 2.B [解析] 复数z 1=2-a i 对应的点的坐标为(2,-a ),该点在直线x-3y+4=0上,故2+3a+4=0,解得a=-2,于是复数z 2=-2+2i ,它对应的点在第二象限,故选B . 3.C [解析] 结合题意,得A (6,5),B (-2,3),∵C 为AB 的中点,∴C (2,4), ∴点C 对应的复数为2+4i ,故选C .4.A [解析] 因为z 在复平面内对应的点位于第二象限,所以a<0.由|z|=2知,√a 2+(√3)2=2,解得a=±1,故a=-1,所以z=-1+√3i .5.C [解析] (1+i )sin θ-(1+icos θ)=(sin θ-1)+i (sin θ-cos θ),该复数对应的点的坐标为(sin θ-1,sin θ-cos θ),依题意,有sin θ-1+sin θ-cos θ+1=0,即2sin θ=cos θ,所以tan θ=12.6.B [解析] 由题知a=(-1,3),b=(4,-2),则a+12b=(-1,3)+(2,-1)=(1,2),所以a+12b =√12+22=√5.7.B [解析] 由复数z 在复平面内对应的点的坐标满足(x-1)2+y 2=1,得复数z 在复平面内对应的点在圆心为(1,0),半径为1的圆上.则|z-1|表示复数z 对应的点到点(1,0)的距离,即圆上的点到圆心的距离,所以|z-1|=1.8.B [解析] 由题意得,z*z =|z|+|z|2=2√a 2+b 22=√a 2+b 2=√(a +b)2-2ab ,∵ab ≤a+b 22=94当且仅当a=b=32时取等号,∴-ab ≥-94,∴z*z ≥√9-2×94=√92=3√22.故选B .9.√29 [解析] ∵z 为实数,∴a 2-a-6=0, 解得a=-2或a=3.∵a=-2时,z 无意义,∴a=3,∴z 1=2-5i , ∴|z 1|=√29.10.2<k<√6或-√6<k<-2 [解析] ∵复数在复平面内所对应的点位于第三象限, ∴{k 2-6<0,4-k 2<0,∴2<k<√6或-√6<k<-2. 11.5 [解析] 由复数的几何意义可知,OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB⃗⃗⃗⃗⃗ ,即3-2i =x (-1+2i )+y (1-i ), ∴3-2i =(y-x )+(2x-y )i ,由复数相等可得{y -x =3,2x -y =-2,解得{x =1,y =4,∴x+y=5.12.±1+√3i [解析] 设z=x+√3i (x ∈R ),由|z|=2,得√x 2+(√3)2=2,化简得x 2=1, 解得x=±1,∴z=±1+√3i .13.解:三个复数对应的向量OZ 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,OZ 3⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 如图所示.|z 1|=|-1|=1,|z 2|=(12)(√32)=1, |z 3|=√(12) 2+(-√32) 2=1.14.解:(1)由{m(m+2)m -1=0,m 2+2m -3≠0,解得m=0或m=-2.故当m=0或m=-2时,z 为纯虚数.(2)由{m(m+2)m -1<0,m 2+2m -3>0,解得m<-3.故当m<-3时,z 在复平面内对应的点位于第二象限.(3)由m(m+2)m -1+(m 2+2m-3)+3=0,解得m=0或m=-2.故当m=0或m=-2时,z 在复平面内对应的点在直线x+y+3=0上.15.A [解析] (1)|z-1|+|z+1|=2表示复平面内到点(1,0),(-1,0)距离之和为2的点的轨迹,即以点(1,0),(-1,0)为端点的线段,故(1)为假命题;(2)|z-2|-|z+2|=2表示复平面内到点(2,0)的距离比到点(-2,0)的距离大2的点的轨迹,是双曲线的左支,故(2)为假命题;(3)|z-2|≤3在复平面内表示的点的轨迹是圆心为(2,0),半径为3的圆及其内部(坐标原点在圆内),且|z|表示轨迹上的点到原点的距离,所以|z|min =0,此时z 对应的点为原点,|z|max =3+d=3+2=5(d 表示原点到圆心的距离),所以|z|的取值范围是[0,5],故(3)为假命题.故选A .16.解:(1)∵z=(m-1)+(2m+1)i (m ∈R )为纯虚数,∴m -1=0且2m+1≠0,∴m=1.(2)z 在复平面内对应的点的坐标为(m-1,2m+1),由题意得{m -1<0,2m +1>0,∴-12<m<1,即实数m 的取值范围是(-12,1). 而|z|=√(m -1)2+(2m +1)2= √5(m +15)2+95,∴当m=-15∈(-12,1)时,|z|取得最小值,且|z|min =√95=3√55.3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义1.D [解析] (1+i )+(3-2i )=4-i 在复平面内对应的点(4,-1)位于第四象限,故选D .2.A [解析] ∵z=(5+2i )-(1-i )=4+3i ,∴|z|=√42+32=5.故选A .3.A [解析] ∵复数z 2=cos 60°+isin 60°=12+√32i ,∴z 1+z 2=12-√32i +12+√32i =1. 4.A [解析] z=(2m 2+m-1)+(3+2m-m 2)i ,依题意,2m 2+m-1=0,且3+2m-m 2≠0, 解得m=12.5.D [解析] 由{2+a =0,b +1=0,得{a =-2,b =-1,∴a+b i =-2-i .6.B [解析] 设z=a+b i (a ,b ∈R ),∵z+3i =a+b i +3i =a+(b+3)i 为纯虚数, ∴a=0,b+3≠0,又|b|=3,∴b=3,∴z=3i .7.B [解析] 由题可知OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,3),故AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2),所以|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2. 8.B [解析] 根据复数加(减)法的几何意义,可知以OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 为邻边所作的平行四边形的对角线相等,则此平行四边形为矩形,故△AOB 为直角三角形. 9.115+√3i [解析] 设这个复数为x+y i (x ,y ∈R ), 则x+y i +√x 2+y 25+√3i ,∴{x +√x 2+y 2=5,y =√3,解得{x =115,y =√3,∴这个复数是115+√3i . 10.1-2i [解析] 设z=a+b i (a ,b 是实数), 则z -=a-b i .∵2z+z -=3-2i , ∴2a+2b i +a-b i =3-2i , ∴3a=3,b=-2,解得a=1,b=-2,则z=1-2i .11.(3,4) [解析] 复数z=m 2(1+i )-m (4+i )-6i =m 2-4m+(m 2-m-6)i 对应的点的坐标为(m 2-4m ,m 2-m-6),∵所对应的点在第二象限, ∴m 2-4m<0且m 2-m-6>0,即{0<m <4,m >3或m <-2,解得3<m<4, 故答案为(3,4).12.3 [解析] 因为|z+2-2i |=|z-(-2+2i )|=1,所以z 对应的点为到点(-2,2)的距离为定值1的所有的点,即以(-2,2)为圆心,1为半径的圆上的点.|z-2-2i |=|z-(2+2i )|,它表示圆上的点与点(2,2)之间的距离,所以|z-2-2i |的最小值为3.13.解:∵AC⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ -BA ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AC⃗⃗⃗⃗⃗ 对应的复数为(3-i )-(1+2i )=2-3i. 设C (x ,y ),则(x+y i )-(2+i )=2-3i ,∴x+y i =(2+i )+(2-3i )=4-2i ,∴x=4,y=-2,∴点C 在复平面内的坐标为(4,-2).14.解:(1)因为z 1-z 2=3+4i -(-2+i )=5+3i , 所以f (z 1-z 2)=(z 1-z 2)+1-i =5+3i +1-i =6+2i .(2)易知z 1+z 2=(2cos θ-i )+(-√2+2isin θ)=(2cos θ-√2)+(2sin θ-1)i .由题意得{2cosθ-√2<0,2sinθ-1>0,即{cosθ<√22,sinθ>12. 又θ∈[0,2π],所以θ∈(π4,5π6).15.√3 [解析] 设z 1=a+b i ,z 2=c+d i (a ,b ,c ,d ∈R ),∵|z 1|=|z 2|=|z 1-z 2|=1, ∴a 2+b 2=c 2+d 2=1,①(a-c )2+(b-d )2=1.②由①②得2ac+2bd=1,∴|z 1+z 2|=√(a +c)2+(b +d)2= √a 2+c 2+b 2+d 2+2ac +2bd =√3. 16.解:(1)z=2+4mi 1-i=(2+4mi)(1+i)(1-i)(1+i)=1-2m+(2m+1)i .因为z 是纯虚数,所以1-2m=0且2m+1≠0, 解得m=12.(2)证明:因为z 是z 的共轭复数,所以z =1-2m-(2m+1)i . 所以z +2z=1-2m-(2m+1)i +2[1-2m+(2m+1)i ]=3-6m+(2m+1)i . 则|z +2z|2=(3-6m )2+(2m+1)2=40m 2-32m+10, 当m=25时,|z +2z|2取得最小值,最小值为185.因为185>12,所以复数z +2z 在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆外.3.2.2 复数代数形式的乘除运算1.A [解析] 由题意可知z 2=-2+i , 所以z 1z 2=(2+i )(-2+i )=-4+i 2=-5, 故选A .2.A [解析] ∵z=3-i 1+i =(3-i)(1-i)(1+i)(1-i)=2-4i2=1-2i ,∴z 的共轭复数z =1+2i ,故选A .3.B [解析] 因为a 1+i+1+i 2=a -ai 2+1+i 2=a+12+1-a 2i 为实数,所以1-a 2=0,解得a=1.4.B [解析] i1+i+(1+√3i )2=12+12i +(-2+2√3i )=-32+(2√3+12)i ,它在复平面内对应的点-32,2√3+12位于第二象限.5.C [解析] 由z=a+i ,z z+b =i ,得a+ia+b+i =i ,∴a+i =-1+(a+b )i ,则{a =-1,a +b =1,解得{a =-1,b =2,∴b a =2-1=12.故选C .6.A [解析] ∵z 2=t+i ,∴z 2=t-i ,∴z 1·z 2=(3+4i )(t-i )=3t+4+(4t-3)i .又∵z 1·z 2∈R ,∴4t-3=0,∴t=34.7.D [解析] ∵1+i z=1-i ,∴z=1+i1-i =(1+i)2(1-i)(1+i)=1+2i -11-(-1)=i ,∴|z|=1,故选D .8.D [解析] z-z +z 2+|z|=1+i1-i+(1-i )2+|1-i |=(1+i)2(1-i)(1+i)-2i +√2=√2-i ,它在复平面内对应的点(√2,-1)位于第四象限.9.-1-3i [解析] [1+i -123i ]=3i (1+i )+2=3i -1,所以其共轭复数为-1-3i .10.1 [解析] ∵1+i1-i =(1+i)2(1-i)(1+i)=i ,且i 1=i ,i 2=-1,i 3=-i ,i 4=1,i 5=i ,…,∴1+i 1-i2012=i 2012=i 4×503=1. 11.1 [解析] 由(3+4i )z=5i 2020, 得z=5i 20203+4i =5(i 4)5053+4i =53+4i =5(3-4i)(3+4i)(3-4i)=3-4i 5,所以|z|=√(35)2+(-45)2=1.12.4+2i [解析] 由(z 1-2)(1+i )=1-i 得z 1=2-i .设z 2=a+2i (a ∈R ),则z 1·z 2=(2-i )·(a+2i )=(2a+2)+(4-a )i ,因为z 1·z 2是实数,所以a=4,所以z 2=4+2i . 13.解:方法一:设z=x+y i (x ,y ∈R ),则z =x-y i .由z+z =4,z ·z =8, 得{x +yi +x -yi =4,(x +yi)(x -yi)=8, 即{x =2,x 2+y 2=8, 解得{x =2,y =±2,所以zz =x -yix+yi=x 2-y 2-2xyi x 2+y 2=±i .方法二:因为z+z =4,设z=2+b i (b ∈R ), 又z ·z =|z|2=8,所以4+b 2=8,所以b 2=4,所以b=±2,所以z=2±2i ,z =2∓2i , 所以zz =±i .14.解:设z=a+b i (a ,b ∈R ),则(1+3i )z=a-3b+(3a+b )i .由题意得a-3b=0,3a ≠-b.因为|ω|=|z2+i |=5√2,所以|z|=√a 2+b 2=5√10,将a=3b 代入,解得a=15,b=5或a=-15,b=-5,故ω=±15+5i 2+i=±(7-i ).15.A[解析] 方法一:|z|=|√3+i(1-√3i)2|=√3+i||1-√3i|2=24=12,∴z ·z -=|z|2=14,故选A .方法二:z=√3+i (1-3i)2=√3+i (1-3)-23i =√3+i-2(1+3i)=√3+i)(1√3i)-2(1+3i)(1-3i)=2√3-2i -8=-√3+i 4,则z-=-√34-14i ,∴z ·z -=(-√34+14i)(-√34-14i)=316+116=14,故选A .16.解:(1)z=-2i+3+3i 2-i=3+i 2-i =(3+i)(2+i)(2-i)(2+i)=1+i ,所以ω=z -a i =1+i -a i =1+(1-a )i , 所以当ω为实数时,1-a=0,即a=1. (2)因为ω=1+(1-a )i , 所以|ω|=√12+(1-a)2,又因为0≤a ≤3,所以|ω|min =1,|ω|max =√5, 所以1≤|ω|≤√5.滚动习题(五)1.A [解析] 在A 中,若z 为复数,z 2能与0比较大小,则z 2为实数,又z 2≠0,∴z 为纯虚数,故A 为真命题;在B 中,两个复数相减为实数,则这两个复数未必是实数,可能是虚部相等的复数,此时无法比较大小,故B 为假命题;在C 中,若x=i ,y=1,则x 2+y 2=0,不满足x=y=0,故C 为假命题;在D 中,在复数集中解一元三次方程,此方程有三个根,故D 为假命题.故选A .2.D [解析] √3i 3+i =√3i)(√3-(3+i)(3-i)=√3-i -3i -√34=-i ,所以复数√3i 3+i的虚部是-1.故选D . 3.B [解析] i+3i 21-i 3=i -31+i =(i -3)(1-i)(1+i)(1-i)=-2+4i2=-1+2i ,所以其在复平面内对应的点(-1,2)位于第二象限.4.A [解析] z=a+3i 1+2i =(a+3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=a+65+3-2a 5i ,∵复数z=a+3i 1+2i (a ∈R )为纯虚数,∴a+65=0,且3-2a 5≠0,解得a=-6. 5.A [解析] ∵z=x+(x-a )i ,且|z|>|z -+i |,x ∈(1,2)恒成立,∴√x 2+(x -a)2>√x 2+(1+a -x)2,两边平方并整理得a<x-12. ∵x ∈(1,2), ∴x -12∈(12,32),∴a ≤12,∴实数a 的取值范围为(-∞,12].6.D [解析] z=a 1-2i +b i =a(1+2i)(1-2i)(1+2i)+b i =a 5+(2a 5+b)i .由题意可得a 5=-(2a 5+b),化简得3a+5b=0. 7.D [解析] 由m=4-x i ,n=3+2i ,得n m =3+2i 4-xi =(3+2i)(4+xi)(4-xi)(4+xi)=12-2x 16+x 2+8+3x 16+x 2i , ∵复数nm ∈R ,∴8+3x 16+x 2=0,解得x=-83.8.A [解析] 因为|z|2-2|z|-3=0,所以|z|=3或|z|=-1(舍去),因此复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,以3为半径的圆,故选A . 9.√2 [解析] 由z=1+2i 得z -=1-2i ,所以|z -+3i |=|1+i |=√2.10.{1,-1} [解析] 因为集合A={i,i 2,i 3,i 4},由复数的概念,化简可得A={i,-1,-i,1}, 所以A ∩B={1,-1}.11.2-i [解析] 设z=a+b i (a ,b ∈R ),则z -=a-b i .∵2z=z -+2-3i ,∴2(a+b i )=a-b i +2-3i ,即a-2+(3b+3)i =0,∴{a -2=0,3b +3=0,解得{a =2,b =-1,∴z=2-i .12.√10 [解析] 由z+i =2+i i ,得z=2+i i -i =1-3i ,则|z|=√12+32=√10.13.解:(1)因为|3+4i |=5,所以z=1+3i -5=-4+3i ,所以z -=-4-3i .(2)(1+i)2(3+4i)z =2i(3+4i)-4+3i =2i(3+4i)·i(-4+3i)·i =2.14.解:(1)当m 2-1=0,即m=±1时,复数z=(m 2-2m-3)+(m 2-1)i 为实数;当{m 2-2m -3=0,m 2-1≠0,即m=3时,复数z=(m 2-2m-3)+(m 2-1)i 是纯虚数.(2)由题意知,{m 2-2m -3<0,m 2-1<0,解得-1<m<1.∴当m ∈(-1,1)时,复数z 在复平面内对应的点在第三象限. 15.解:若p 为真命题,则Δ=16(m-1)2-8(m 2+7)<0, 解得-1<m<5.设方程的两虚根分别为z 1=a+b i ,z 2=a-b i (a ,b ∈R ), 则z 1z 2=a 2+b 2=m 2+72,∴|z 1|+|z 2|=2√a 2+b 2=2√m 2+72≤4√2, 解得-3≤m ≤3.16.解:(1)设z=x+y i (x ,y ∈R ),则4z+2z =6x+2y i ,由4z+2z =3√3+i 可得6x+2y i =3√3+i ,∴x=√32,y=12,∴z=√32+12i .(2)设z=x+y i (x ,y ∈R ),由|z+2|+|z-2|=8得√(x +2)2+y 2+√(x -2)2+y 2=8(8>4),则z 对应的点的轨迹是椭圆,此时2a=8,即a=4,2c=4,即c=2,则b 2=12, 故所求的轨迹方程为x 216+y 212=1.。

第三章 3.1 3.1.2一、选择题1．若复数a ＋b i(a ，b ∈R )在复平面内的对应点在第二象限，则( D )A ．a >0，b <0B ．a >0，b >0C ．a <0，b <0D ．a <0，b >0解析 复数a ＋b i(a ，b ∈R )在复平面内的对应点的坐标为(a ，b )，该点在第二象限，所以a <0且b >0，故选D ．2．已知z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是( A )A ．(－3,1)B ．(－1,3)C ．(1，＋∞)D ．(－∞，－3)解析 由已知可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1，故选A ．3．已知复数z ＝12i 2，则复数z 在复平面内对应的点在( C ) A ．直线y ＝－12x 上 B ．直线y ＝12x 上 C ．直线x ＝－12上 D ．直线y ＝－12上 解析 因为z ＝12i 2＝－12，所以复数z 在复平面内对应的点在直线x ＝－12上，故选C ． 4．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( B )A ．－2－iB ．2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i解析 由题意知点A 的坐标为(－1，－2)，而点B 与点A 关于直线y ＝－x 对称，则点B的坐标为(2,1)，所以向量OB →对应的复数为2＋i.故选B ．5．下面四个式子中，正确的是( C )A ．z ＝|z |B ．|2＋3i|>|1－4i|C ．|2－i|>2i 2D ．i 2>－i解析 A 错，z 是复数，而|z |是实数，二者不一定相等；B 错，|2＋3i|＝4＋9＝13<17＝|1－4i|；D 错，虚数不能比较大小；C 正确，|2－i|＝5>－2＝2i 2.6．复平面内向量OA →对应的复数为1＋i ，将OA →向右平移一个单位后得到向量O ′A ′→，则向量O ′A ′→与点A ′对应的复数分别为( C )A ．1＋i,1＋iB ．2＋i,2＋iC ．1＋i,2＋iD ．2＋i,1＋i解析 由题意知O ′A ′→＝OA →，故O ′A ′→对应的复数为1＋i ，而点A ′对应的复数为1＋(1＋i)＝2＋i.二、填空题7．设复数z 的模为17，虚部为－8，则复数z ＝__±15－8i__. 解析 设复数z ＝a －8i(a ∈R )，由a 2＋82＝17，得a 2＝225，a ＝±15，所以z ＝±15－8i.8．若t ∈R ，t ≠－1，t ≠0，则复数z ＝t 1＋t＋1＋t t i 的模的取值范围是__[2，＋∞)__. 解析 |z |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t 1＋t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t t 2≥2·|t 1＋t |·|1＋t t |＝2,(当且仅当|t 1＋t |＝|1＋t t ⎪⎪⎭⎫，即t ＝－12时，等号成立， 故|z |≥ 2.9．如图，已知复数z 1，z 2在复平面内对应的向量分别为AO →，BC →，则|z 1|＝__13__，|z 2|＝__32__(图中每个小正方形的边长均为1)．解析 由题图可知|z 1|＝22＋32＝13，|z 2|＝32＋32＝3 2.三、解答题10．实数m 取什么值时，复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 在复平面内对应的点：(1)位于虚轴上；(2)位于第一、三象限；(3)位于以原点为圆心，4为半径的圆上．解析 (1)若复数z 在复平面内对应的点位于虚轴上，则2m ＝0，即m ＝0.(2)若复数z 在复平面内对应的点位于第一、三象限，则2m (4－m 2)>0，解得m <－2或0<m <2.(3)若复数z 对应的点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则4m 2＋(4－m 2)2＝4， 即m 4－4m 2＝0，解得m ＝0或m ＝±2.11．已知a ∈R ，则复数z ＝(a 2－2a ＋4)－(a 2－2a ＋2)i 所对应的点在复平面的第几象限内？复数z 的对应点的轨迹是什么曲线？解析 a 2－2a ＋4＝(a －1)2＋3≥3，－(a 2－2a ＋2)＝－(a －1)2－1≤－1.由实部大于0，虚部小于0可知，复数z 对应的点在复平面的第四象限内．设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则x ＝a 2－2a ＋4，y ＝－(a 2－2a ＋2)，消去a 2－2a ，得y ＝－x ＋2(x ≥3)．所以复数z 对应的点的轨迹是以(3，－1)为端点，－1为斜率，在第四象限的一条射线．12．已知复数z 满足z ＋|z |＝2＋8i ，求复数z .解析 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则|z |＝a 2＋b 2，代入方程，得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝2＋8i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋a 2＋b 2＝2，b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－15，b ＝8. 所以z ＝－15＋8i.。

课时作业20 复数的几何意义时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．i ＋i 2在复平面内表示的点在( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：i ＋i 2＝－1＋i 表示的点为(－1,1)，在第二象限．2．设x ＝3＋4i ，则复数z ＝x －|x |－(1－i)在复平面上的对应点在( B ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：∵x ＝3＋4i ，∴|x |＝32＋42＝5，∴z ＝3＋4i －5－(1－i)＝(3－5－1)＋(4＋1)i ＝－3＋5i.∴复数z 在复平面上的对应点在第二象限．3．当23<m <1时，复数z ＝(3m －2)＋(m －1)i 在复平面上对应的点位于( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵23<m <1，∴3m －2>0，m －1<0，而复数z 在复平面上对应的点的坐标为(3m －2，m －1)， ∴复数z 的对应点位于第四象限，故选D.4．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1＋2i ，若点A 关于直线y ＝－x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( B )A ．－2－iB ．－2＋iC ．1＋2iD ．－1＋2i 解析：∵A (－1,2)关于直线y ＝－x 的对称点B (－2,1)，∴向量OB →对应的复数为－2＋i.5．已知z 1＝5＋3i ，z 2＝5＋4i ，下列选项中正确的是( D ) A ．z 1>z 2 B ．z 1<z 2 C ．|z 1|>|z 2|D ．|z 1|<|z 2|解析：∵复数不能比较大小，∴A 、B 不正确，又|z 1|＝52＋32＝34，|z 2|＝52＋42＝41，∴|z 1|<|z 2|.6．在复平面内，复数z ＝sin3＋icos3对应的点位于( D ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵π2<3<π，∴sin3>0，cos3<0，∴z ＝sin3＋icos3在第四象限．7．已知复数z 满足|z |＝2，则|z ＋3－4i|的最小值是( D ) A ．5 B ．2 C ．7 D ．3解析：复数z 对应的点在以原点为圆心，以2为半径的圆上，|z ＋3－4i|表示点Z 到点(－3,4)的距离，∴|z ＋3－4i|的最小值为－3－02＋4－02－2＝5－2＝3.8．设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝( B ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2解析：由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x ＝y⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝2，故选B.二、填空题9．若复数z ＝m ＋(m ＋2)i(m ∈R )对应的点在实轴上，则m 的值为－2. 解析：由题意知m ＋2＝0，所以m ＝－2.10．若复数z 1＝3－5i ，z 2＝1－i ，z 3＝－2＋a i 在复平面内所对应的点在同一条直线上，则实数a ＝5.解析：设复数z 1，z 2，z 3分别对应点P 1(3，－5)，P 2(1，－1)，P 3(－2，a )，由已知可得－5＋13－1＝a ＋1－2－1，从而可得a ＝5. 11．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )，则x ＋y ＝5.解析：由题意可得OA →＝(－1,2)，OB →＝(1，－1)， OC →＝(3，－2)，则由OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R )得(3，－2)＝(－x,2x )＋(y ，－y )＝(－x ＋y,2x －y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝32x －y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝4，∴x ＋y ＝5.三、解答题12．已知复数z 1＝3＋2i ，z 2＝－5－i ，且z 1，z 2在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，求过Z 1，Z 2两点的直线的斜率．解：由题知Z 1(3,2)，Z 2(－5，－1)，所以kZ 1Z 2＝－1－2－5－3＝38为所求直线的斜率．13．已知z 1＝－3＋4i ，|z |＝1，求|z －z 1|的最大值和最小值．解：如图，|z |＝1表示复数z 对应的点在以(0,0)为圆心，1为半径的圆上，而z 1在坐标系中的对应点的坐标为(－3,4)，∴|z －z 1|可看作是点(－3,4)到圆上的点的距离．由图可知，点(－3,4)到圆心(即原点)的距离为－32＋42＝5，故|z －z 1|max ＝5＋1＝6，|z－z 1|min ＝5－1＝4.——能力提升类——14．若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( B )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫3π4，5π4，∴cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0.∴选B.15．设全集U ＝C ，A ＝{z |||z |－1|＝1－|z |，z ∈C }，B ＝{z ||z |<1，z ∈C }，若z ∈A ∩(∁UB )，求复数z 在复平面内对应的点的轨迹．解：∵z ∈C ，|z |∈R ，∴1－|z |∈R .∵||z |－1|＝1－|z |，∴1－|z |≥0，即|z |≤1， ∴A ＝{z ||z |≤1，z ∈C }． 又∵B ＝{z ||z |<1，z ∈C }， ∴∁U B ＝{z ||z |≥1，z ∈C }． ∵z ∈A ∩(∁U B )，∴z ∈A 且z ∈∁U B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧|z |≤1，|z |≥1，∴|z |＝1.由复数的模的几何意义知，复数z 在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆．。

数系的扩充与复数的概念__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1.了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位2.理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部3．理解复平面、实轴、虚轴等概念．4．理解并掌握复数的几何意义，并能简单应用．5．理解并会求复数的模，了解复数的模与实数绝对值之间的区别和联系．一．复数的概念及代数表示(1)复数的定义：把集合C ＝{a ＋bi|a ，b ∈R|}中的数，即形如a ＋bi(a ，b ∈R)的数叫做复数．其中i 叫做虚数单位，满足i 2＝___________．(2)复数的代数形式：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式，a 与b 分别叫做复数z 的___________与___________．(3)复数集全体复数所构成的集合叫做复数集．记作C ＝___________．二．两个复数相等的充要条件(1)在复数集C ＝{a ＋bi|a ，b ∈R}中任取两个复数a ＋bi ，c ＋di(a ，b ，c ，d ∈R)，规定a ＋bi 与c ＋di 相等的充要条件是___________．(2)当两个复数不全是实数时，不能比较大小，只可判定相等或不相等，但两个复数都是实数时，可以比较大小．三．复数的分类(1)复数a ＋bi(a ，b ∈R)⎩⎪⎨⎪⎧实数（b ＝0），虚数（b≠0）⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数（a ＝0），非纯虚数（a≠0）. (2)集合表示：四．复平面、实轴、虚轴点Z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)可用点___________表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做___________，y 轴叫做___________，实轴上的点都表示实数．对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0，0),它所确定的复数是z ＝0＋0i ＝0表示是实数．故除了原点外，虚轴上的点都表示___________．五．复数的几何意义六．复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋bi 的模，记作|z|或|a ＋bi|且|z|＝___________．类型一.复数的概念例1：请说出复数i i i i 53,31,213,32---+-+的实部和虚部，有没有纯虚数？ 练习1：复数－2i +3.14的实部和虚部是什么？练习2：实数m 取什么数值时，复数z =m +1+(m －1)i 是:(1)实数？ (2)虚数？ (3)纯虚数？类型二.复数相等的条件例2：已知(2x －1)+i =y －(3－y )i ，其中x ，y ∈R ，求x 与y .练习1：满足方程x 2－2x －3+(9y 2－6y +1)i =0的实数对(x ，y )表示的点的个数是______. 类型三.复数的分类例3：设复数z =log 2(m 2－3m －3)+i log 2(3－m )(m ∈R)，如果z 是纯虚数，求m 的值.练习1：已知m ∈R ，复数z =1)2(-+m m m +(m 2+2m －3)i ，当m 为何值时， (1)z ∈R; (2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数；(4)z =21+4i . 类型四.复数的几何意义例4：复数3－5i 、1－i 和－2＋a i 在复平面上对应的点在同一条直线上，则实数a 的值为________________．练习1：实数m 分别取什么数值时，复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i 是：(1)对应点在x 轴上方；(2)对应点在直线x ＋y ＋5＝0上．类型五.复数的模例5：已知复数z 0＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．1.若复数2-b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数,则b 的值为( )A .-2B .1C .-1D .22.设全集I={复数},R={实数},M={纯虚数},则( )A .M ∪R=I B.(∁I M )∪R=IC.(∁I M )∩R=RD.M ∩(∁I R )=⌀3.若复数(x 2+y 2-4)+(x-y )i 是纯虚数,则点(x ,y )的轨迹是( )A .以原点为圆心,以2为半径的圆B .两个点,其坐标为(2,2),(-2,-2)C .以原点为圆心,以2为半径的圆和过原点的一条直线D .以原点为圆心,以2为半径的圆,并且除去两点,)[来源:14.若复数z=(m+2)+(m 2-9)i(m ∈R)是正实数,则实数m 的值为( )A.-2B.3C.-3D.±35.在复平面内,复数6+5i,-2+3i 对应的点分别为A,B.若C 为线段AB 的中点,则点C 对应的复数是( )A.4+8iB.8+2iC.2+4iD.4+i6.已知0<a<2,复数z=a+i(i 是虚数单位),则|z|的取值范围是( )A.(1,) ) C.(1,3) D.(1,5)7. 复平面内表示复数i(1－2i)的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限８． 复数()i 2i -=（ ）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --９． 设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 １０．已知z 1=-4a+1+(2a 2+3a)i,z 2=2a+(a 2+a)i,其中a ∈R,z 1>z 2,则a 的值为____________.１１.已知复数z 1=x+yi,z 2=x+(x-3y)i,x,y ∈R.若z 1=z 2,且|z 1|=,则z 1=____________._________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1.若(x+y)i=x-1(x,y ∈R),则2x+y的值为( )A. B.2 C.0 D.12.已知集合M={1,2,(m 2-3m-1)+(m 2-5m-6)i},N={-1,3},且M ∩N={3},则实数m 的值为( )A.4B.-1C.-1或4D.-1或63.给出下列复数:①-2i,②3+,③8i 2,④isin π,⑤4+i;其中表示实数的有(填上序号) ____________.4.下列复数模大于3,且对应的点位于第三象限的为( )A.z=-2-iB.z=2-3iC.z=3+2iD.z=-3-2i5.已知复数z 满足|z|2-2|z|-3=0,则复数z 对应点的轨迹为( )A .一个圆 B.线段 C.两点 D.两个圆6.已知在△ABC 中,对应的复数分别为-1+2i,-2-3i,则对应的复数为____________.7.在复平面内,若复数z=(m 2-m-2)+(m 2-3m+2)i 的对应点,(1)在虚轴上,求复数z;(2)在实轴负半轴上,求复数z.能力提升8.若复数z=cosθ+(m-sinθ-cosθ)i为虚数,则实数m的取值范围是____________.9.若复数(a2-a-2)+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则a的取值范围是____________.10.已知向量与实轴正向夹角为135°,向量对应复数z的模为1,则z=____________.11.已知复数z满足z+|z|=2+8i,则复数z=____________.12.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.13.已知复数z=2+cosθ+(1+sinθ)i(θ∈R),试确定复数z在复平面内对应的点的轨迹是什么曲线.14．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)．(1)若z是实数，求m的值；(2)若z是纯虚数，求m的值；(3)若在复平面C内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．。