第三章 数系的扩充与复数的引入单元小结

数系的扩充与复数的引入知识点总结(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除数系的扩充与复数的引入知识点总结一．数系的扩充和复数的概念１．复数的概念(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ⎧⇔⎨⎩，特别地: .(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.（２）复数的几何意义坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作.即. ３．复数的运算（１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则12()()z z a c b d i ±=±+±12()()z z ac bd ad bc i •=-++12222()()(0)z ac bd ad bc i z z c d-++=≠+ （２）几个重要的结论2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+ 22||||z z z z •==若z 为虚数,则22||z z ≠（３）运算律m n m n z z z +•=()m n mn z z =1212()(,)n n n z z z z m n R •=•∈（４）关于虚数单位i 的一些固定结论：21i =-3i i =-41i =2340n n n n i i i i ++++++=注：（１）两个复数不能比较大小，但是两个复数的模可以比较大小 （２）在实数范围内的求根公式在复数范围内照样能运用二．同步检测１．复数ａ＋ｂi 与ｃ＋ｄi 的积是实数的充要条件是Ａ．ａｄ＋ｂｃ＝０ Ｂ．ａｃ＋ｂｄ＝０Ｃ．ａｃ＝ｂｄ Ｄ．ａｄ＝ｂｃ ２．复数5-2i 的共轭复数是 Ａ．i ＋２ Ｂ．i －２ Ｃ．－２－i Ｄ．２－i ３．当2<<13m 时，复数ｍ（３＋i ）－（２＋i ）在复平面内对应的点位于 Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限４．复数31+22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝ ５．已知复数ｚ与()2+2-8z i 都是纯虚数，求ｚ６．已知(1+2=4+3i z i ），求ｚ及zz７．已知1z ＝５＋１０i ，2z ＝３－４i ，12111=+z z z ，求ｚ８．已知２i －３是关于x 的方程２2x ＋ｐx ＋ｑ＝０的一个根，求实数ｐ，ｑ的值。

数系的扩充与复数的引入知识点总结
数系的扩充和复数的概念
复数的概念：形如a + bi (a∈R。

b∈R)的数叫做复数，其中a和b分别叫做实部和虚部。

根据b的值，复数可以分类为实数（当b=0），虚数（当b≠0），以及纯虚数（当a=0且
b≠0）。

复数的几何意义：复数可以用点在平面内的位置来表示，这个平面叫做复平面（或高斯平面），其中实轴和虚轴分别表示实部和虚部。

复数集C和复平面内所有的点是一一对应的关系，即每一个复数都有复平面内唯一的一个点和它对应，反之亦然。

复数的运算：复数的加、减、乘、除可以按照特定的法则进行。

例如，设z1=a+bi，z2=c+di，则z1±z2=(a±c)+(b±d)i，z1•z2=(ac-bd)+(ad+bc)i，z1/z2=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-
ad)/(c^2+d^2)i（其中z2≠0）。

关于虚数单位i的一些固定结论：i^2=-1，i^3=-i，i^4=1，i^n+i^(n+1)+i^(n+2)+i^(n+3)=0（其中n为自然数）。

注意事项：（1）两个复数不能比较大小，但是两个复数
的模可以比较大小；（2）在实数范围内的求根公式在复数范
围内同样适用。

1.复数$a+bi$与$c+di$的积是实数的充要条件是$ad+bc=0$。

2.当$m<1$时，复数$m(3+i)-(2+i)$在复平面内对应的点位
于第三象限。

3.复数$\frac{13}{2}+\frac{1}{2}i$位于第一象限。

4.已知复数$z$和$z+2-8i$都是纯虚数，求$z$。

5.删除此段。

知识建构1.复数的意义形如___________的数叫做复数,其中i 叫___________,满足___________,a 叫做___________,b 叫做___________,复数集记作___________,数集N 、Z 、Q 、R 、C 的关系是___________.z=a +b i (a 、b ∈R )是实数的充要条件是___________;是虚数的充要条件是___________;是纯虚数的充要条件是___________.答案：a +b i 虚数单位 i 2=-1 实部 虚部 Cb=0 b≠0 a =0且b≠02.复数的相等两个复数相等,则 .答案：实部与虚部分别相等3.共轭复数及复数的模的代数表示 z=a +b i (a 、b ∈R )与z =___________互为共轭复数.答案：a -b i4.复数的代数运算对于i ,有i 4n =___________,i 4n+1=___________,i 4n+2=___________,i 4n+3=___________ (n ∈N).已知两个复数z 1=a +b i ,z 2=c+d i (a 、b 、c 、d ∈R ),则z 1±z 2=___________;z 1·z 2=___________;特别地,若z=a +b i (a 、b ∈R ),则z·z =___________; 21z z = . 答案：1 i -1 -i (a ±c)+(b±d)i (a c-bd)+(a d+bc)ia 2+b 22222d c ad -bc d c bd ac ++++i 实践探究1.对于任意两个复数z 1=x 1+y 1i ,z 2=x 2+y 2i (x 1、y 1、x 2、y 2为实数),定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2=x 1x 2+y 1y 2,设非零复数ω1、ω2在复平面内对应的点分别为P 1、P 2,点O 为坐标原点，如果ω1⊙ω2=0,那么在△P 1OP 2中，求∠P 1OP 2的大小.解析:设P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2),由已知ω1=x 1+y 1i ,ω2=x 2+y 2i , 依题意ω1⊙ω2=0,即x 1x 2+y 1y 2=02211x y x y ⋅⇒=-1,即k OP 1·k OP 2=-1,∴OP 1⊥OP 2,则∠P 1OP 2=2π.2.若虚数z 同时满足下列两个条件:①z+z 5是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.解析:设z=a +b i (a 、b ∈R 且b≠0),则z+z 5=(a +b i )+bi a 5+=a (1+22b a 5+)+b(1-22b a 5+)i ∈R . 又z+3=a +3+b i ,依题意,有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-b.3a 0,)b a 5-b(122 又由于b≠0,因此⎩⎨⎧-==+.3-a b ,5b a 22解之,得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-=-=.1b ,2a 2b ,1a 或∴z=-1-2i 或-2-i . 3.设z 1=3+i ,z 2=1+i ,试问满足z 1n =z 2m 的最小正整数m 、n 是否存在?若存在,求出m 、n 的值.解析:∵z 1=3+i ,z 2=1+i ,若z 1n =z 2m ,∴|z 1n |=|z 2m |,即|z 1|n =|z 2|m .∴2n =(2)m .∴n=2m .①∴z 1n =z 2m 时,即z 1n =z 22n . ∴(221z z )n =1.∴［2i)(1i 3++］n =1.∴(2321 i )n =1.显然n=6k 时,k ∈N *成立. 故存在最小的n=6,m=12满足条件.。

第1页共3页《第三章数系的扩充与复数的引入》小结与复习一、教学内容分析本章《数系的扩充与复数的引入》是中学课程里数的概念的最后一次扩展。

引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定基础。

由复数在整个高中数学所处的地位看，复数的考查从分值上、难度上在逐渐下降，这也是目前教学内容改革的趋势，在今后的命题中，复数将以填空、选择题的形式出现，由于难度要求降低，将多以考查基本概念、基本运算的题目出现。

考查的内容将是复数的基本概念，加、减、乘、除四则运算，复数的向量表示及简单的几何意义，要注意复数问题实数化处理的化归思想、方程思想和数形结合的思想方法。

二、学生学习情况分析（1）我校是一所二类普通高中，学生的基础不好，记忆力较差，反应速度慢，普遍感到数学难学。

但大部分学生想考大学，主观上有学好数学的愿望，也能在教师的指导下发现、分析和解决问题。

（2）所授课班级的学生听课的注意力不能持久，不能连续从事某项数学活动。

课堂上喜欢轻松诙谐的气氛，大部分学生能机械的模仿，有记笔记的良好习惯。

三、教学目标（1）知识与技能：熟练掌握复数相关概念及复数的代数表示，了解复数的代数表示形式及其几何意义，掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算及几何意义。

（2）过程与方法：通过解读考点及基础知识的复习，构建出知识网络，并借助例题、练习题领悟考试的本质，归纳总结出规律和方法。

（3）情感、态度与价值观：通过各式题型的训练，掌握复数题目的解题方法，树立学生学习数学的信心和兴趣。

四、教学重、难点（1）教学重点：复数相关概念及复数的代数表示，复数的几何意义及复数代数形式的四则运算。

（2）教学难点：复数的四则运算及其几何意义。

五、教学程序(一）要点梳理1.复数的有关概念（1）形如的数（其中,abR）叫做复数，全体复数组成的集合叫做_______，其中a叫做复数的，b叫做复数的，复数的单位为，它的平方等于。

I的周期性：i4n+1=,i4n+2=,i4n+3=,i4n=。

1第三章数系的扩充与复数的引入--小结与复习一、教学目标：知识与技能：1、进一步理解数的发展和数系扩充的过程，体会数学发现和创造的过程，完善学生对数的认识。

2、复习复数的基本概念和几何意义及复数四种运算；过程与方法：通过复习知识点和归纳常见题型，帮助学生建立这一章的知识体系，提高解决复数问题的能力。

情感、态度与价值：引发学生学习和使用数学知识的兴趣，发展创新精神，培养实事求是的科学态度。

二、教学重点、难点重点：掌握复数的概念及四则运算。

难点：通过复习提高学生总结知识的能力和习惯。

三、教学模式与教法、学法自主学习、讲授四、教学过程教学流程教师活动学生活动设计意图环节一：（一）.知识框图：问题1：你能用自己的方法，对本章学习的知识做一梳理总结吗？引进知识框图，帮助学生提高对知识的总结归纳能力。

. 环节二：（二）.概念辨析，完善认知1．复数的定义设a，b都是实数，形如a＋bi的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足21i，a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．全体复数所构成的集合叫做复数集，记作C.通过对形成的知识框图，进一步完善其中的知识要点。

学生可通过复数复数的概念复数的运算复数的分类复数的相等共轭复数复数的模复数的加法复数的减法复数的乘法复数的除法22．复数的分类：对于复数(,).abiabR实数b＝0虚数b≠0纯虚数a＝0非纯虚数a≠0(2)各数集间的关系：N*NZQRC.3．复数相等两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)，则z1＝z2acbd且+=0=0,=0abiab4．复数的几何意义1)建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i.显然，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数2)复数z＝a＋bi一一对应有序数对(a，b)一一对应点Z(a，b)．3)设OZ＝a＋bi，则向量OZ的长度叫做复数a＋bi的模(或绝对值)，记作a＋bi，且a＋bi＝22ab5．共轭复数若两个复数实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．z的共轭复数用z表示，因此有：z＝a＋bi，z＝a－bi(a，b∈R)，互为共轭复数的对应点关于x轴对称．z＋z＝2a，z－z＝2bi，z·z＝z2＝z2，z＝zz∈R.6．复数的运算1)复数的加、减法运算法则(a＋bi)±(c＋di)＝(a±c)＋(b±d)i.2)复数的乘法①设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.②乘法运算律：（1）交换律：z1z2=z2z1，2)结合律：z1(z2z3)=(z1z2)z3，小组交流和自读课本来明确知识要点。