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《3.1.1数系的扩充和复数的概念》教学反思《3.1.1数系的扩充和复数的概念》教学反思复数的概念是复数这一章内容的基础，高中阶段复数的有关概念都是围绕着复数的代数表达式展开。
因此理解虚数单位、实部虚部对后续的学习至关重要。
而复数这个概念对学生而言是一个新的概念，如果开门见山的直接介绍“为了解复数开方，而扩充数系“，从而引入复数会显得枯燥无味，更没法体现数作为数学的一个基本概念的发展历程。
新课程标准中要求让学生体验数的发展历程，体会人类社会发展需要与数学内部矛盾是推动数学发展的动力。
可以说，数的发展历程作为数学文化中的一部分内容，我觉得很有必要让学生体验，因此，我将数的发展历程作为本节课的第一个教学任务，让学生从最初的自然数发展到复数，直到今天的四元数，多元数，然后展望社会在发展，需要在提高，数学也需要不断的完善、发展、永不止境。
在体验数的发展历程后，本节课从“认识虚数单位、复数的代数形式、复数的分类以及复数的相等”几部分展开，每一部分学习后，都有相应的练习及时地帮助学生理解概念、巩固新知。
整节课上完，自我感觉思路清晰，整体而言较顺畅，但其中还是存在很多问题：1、上课前期，过于紧张，将4x=5中x=5÷4解写成了x=4÷5.2、在许多细节的处理上仍有问题，仍需更近一步完善。
例如：“带i的是虚数，不带i的是实数”这种口头上的表示不够严谨。
还有，对，这个过程需要解释复数上的规定：。
3、由于学生学习能力有所差异，经过后续的作业情况反馈，大部分学生都能掌握本节课的内容，但是仍有一部同学在判断实部、虚部上存在问题。
针对这一情况，课后也通过练习进行巩固；4、时间安排上还不够好。
整节课的节奏过快。
第三章数系的扩充与复数的引入3.1数系的扩充和复数的概念3.1.1数系的扩充和复数的相关概念I --------------------- 高效演练知能提升 --------------A级基础巩固一、选择题1. 给出下列说法，其中正确说法的个数是()①如果两个复数的差等于0,那么这两个复数相等②若a, b€ R且a>b,贝卩ai >bi③如果复数x + yi是实数，则x = 0, y= 0④复数a+ bi不是实数A. 1B. 2C. 3D. 4解析：只有①的说法正确，其余都是错的.答案：A2. 若复数2-bi(b€ R)的实部与虚部是互为相反数，则b的值为()A. - 2B. 2C. - 2D. 2解析：复数2- bi的实部为2,虚部为—b,由题意知2=-(-b)，所以b= 2.答案：B3. 若(x+ y)i = x —1(x, y€ R)，则2x+y的值为()A. 2B. 2C. 0D. 1解析：由复数相等的充要条件知x- 1= 0,所以x = 1, x + y= 0,故2x*y= 1.答案：D4. 以2i —5的虚部为实部，以5i + 2i2的实部为虚部的新复数是()A. 2-2iB. 2+ iC.—5 + 5iD. ,5+ 5i解析：2i —5的虚部为2, 5i + 2i2= —2+ 5i的实部为一2,所以新复数为2 —2i.答案：A5. 已知集合M = {1 , 2, (m2—3m—1)+ (m2—5m —6)i}, N = {—1, 3}，且M A N =⑶，则实数m的值为()A. 4B. —1C.—1 或4D.—1 或6解析：由于M A N = {3}，故3€ M，必有m2—3m—1 +(m2—5m —6)i = 3,可得m=— 1.答案：B二、填空题6. 已知复数z= m+ (m2—1)i(m€ R)满足z<0，贝S m = ______m2— 1 = 0,解析：根据题意得因此m =—1.m<0,答案：—17. 设i为虚数单位，若复数z= (m2+ 2m—3) + (m —1)i是纯虚数，则实数m = ________ .m2+ 2m — 3 = 0,解析：依题意有，c 解得m=— 3.m —1工0,答案：—38 复数z= 85扌+ B+sin n+ 0 i，且0€ —n, n ,若z是实数，则0的值为________ 若z为纯虚数，则0的值为___________ .n n解析：z= cos2+ 0 + sin 2 + 0i = —sin 0+ icos 0.当z是实数时，cos 0= o.因为0€ —n，n，—sin 0= 0,所以0=±n；当z为纯虚数时2cos 0工0,又0€ — 2 2，所以0= o.答案：±2 o三、解答题9. 已知复数z= (m2+3m+2) + (m2—m —6)i，则当实数m为何值时，复数z:(1)是实数；(2)是虚数；⑶是纯虚数.解：z= (m2+ 3m + 2)+ (m2—m —6)i.(1) 令m2—m—6 = 0? m = 3 或m= —2, 即卩m = 3 或m= — 2 时，z为实数.(2) 令m2—m—6工0,解得m^ —2且m工3,所以m^ —2且m^ 3 时，z是虚数.m2+ 3m+ 2 = 0,⑶由2 m 6工0解得m=—1,m 2— m — 6 工 0,所以m =— 1时，z 是纯虚数.10. 已知关于x 的方程x 2+(k + 2i)x + 2+ ki = 0有实根x °,求x o 以及实数k 的值.解：x = x o 是方程的实根，代入方程并整理，得(x 2 + kx o + 2) + (2x o + k)i = 0.由复数相等的充要条件，得xo = 2，或 x o =— 2, k =- 2 2或 k = 2 2.所以方程的实根为x o = 2或一2, 相应的k值为k = — 2 2或2 2.B 级能力提升1若复数(x 2 + y 2 — 4) + (x — y)i 是纯虚数，则点(x , y)的轨迹是()A .以原点为圆心，以2为半径的圆B. 两个点，其坐标为(2, 2), (— 2,— 2)C. 以原点为圆心，以2为半径的圆和过原点的一条直线D. 以原点为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点('.2, .2), (—2,— 2)解析：因为复数(x 2 + y 2 — 4)+ (x — y)i 是纯虚数，所以x 2 + y 2 — 4 =o ,且x 工y ,可解得x 2+ y 2= 4(x 工y),故点(x , y)的轨迹是以原点 为圆心，以2为半径的圆，并且除去两点(2,2), (— 2,— 2).答案：D2. _____________________ 若复数z = cos 0+ (m — sin 0— cos 0)i 为虚数，则实数 m 的取 值范围是 .解析： 依题意有 m z sin 0+ cos 0.因为 sin 0+ cos 0= x 2+ kx o + 2= 0,2x o + k = 0, 解得边乎sin 0+乎cos 0 = V2sin 0+才€ [—V2, \2],所以m € (—oo , —2)U ( 2, + oo ).答案：(— o,—2)U ( 2,+o)3. 如果log1(m+ n)—(m2—3m)i >—1,求自然数m, n 的值.2解：因为log1(m+ n) —(m2—3m)i >—1,2所以log1 (m + n)—(m2—3m)i 是实数.2log1(m+ n)>—1,2从而有—(m2—3m) = 0,由m2—3m= 0 得m = 0 或m= 3.当m= 0 时代入log1(m + n)>—1，得0v n v2,2又m+ n>0,所以n = 1;当m= 3 时，代入log1(m + n)>—1,2得n v—1,与n是自然数矛盾.综上可得，m = 0, n = 1.。
§3.1 数系的扩充和复数的概念 3.1.1 数系的扩充和复数的概念学习目标 1.了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．知识点一 复数的有关概念 1．复数(1)定义：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中i 叫做虚数单位，a 叫做复数的实部，b 叫做复数的虚部．(2)表示方法：复数通常用字母z 表示，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，这一表示形式叫做复数的代数形式． 2．复数集(1)定义：全体复数所成的集合叫做复数集． (2)表示方法：通常用C 表示． 3．复数的分类复数(a ＋b i ，a ，b ∈R )⎩⎨⎧实数(b ＝0).虚数(b ≠0)⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数(a ＝0)，非纯虚数(a ≠0).思考 用图示法表示复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系．答案 如图所示．知识点二 两个复数相等复数相等的充要条件：如果两个复数的实部与虚部分别对应相等，那么我们就说这两个复数相等，即a ，b ，c ，d ∈R ，a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d .思考 两个复数能否比较大小？若a ＋b i>0，则a ，b 的取值范围是什么？ 答案 两个复数若不全是实数，则不能比较大小． 由a ＋b i>0，知b ＝0，a >0.1．若a ，b 为实数，则z ＝a ＋b i 为虚数．( × ) 2．复数z ＝b i 是纯虚数．( × )3．若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．( √ ) 4．复数可以分为两类：实数与虚数．( √ )一、复数的概念例1 (1)若复数z ＝lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．3 B ．3或－1 C ．－1 D ．－2答案 A解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ lg (m 2－2m －2)＝0，m 2＋3m ＋2≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠－2且m ≠－1，即m ＝3.(2)下列说法正确的是( ) A ．复数由实数、虚数、纯虚数构成B ．若复数z ＝3m ＋2n i ，则其实部与虚部分别为3m,2nC ．在复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )中，若x ≠0，则复数z 一定不是纯虚数D ．若a ∈R ，a ≠0，则(a ＋3)i 是纯虚数 答案 C解析 A 错，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数． B 错，只有当m ，n ∈R 时，才能说复数z ＝3m ＋2n i 的实部与虚部分别为3m,2n .C 正确，复数z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )为纯虚数的条件是x ＝0且y ≠0，只要x ≠0，则复数z 一定不是纯虚数．D 错，只有当a ∈R ，且a ≠－3时，(a ＋3)i 才是纯虚数．反思感悟 复数的概念理解要点(1)要判定一个复数是什么类型的数，首先要分清复数的实部和虚部以及它们对复数分类的影响，然后结合定义求解．(2)依据复数的类型求参数时要先确定使代数式有意义的参数的取值范围，再结合实部与虚部的取值求解．要特别注意复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)为纯虚数的充要条件是a ＝0且b ≠0. 跟踪训练1 (1)下列命题中，正确的是( ) A ．1－a i(a ∈R )是一个复数B ．形如a ＋b i(b ∈R )的数一定是虚数C ．两个复数一定不能比较大小D ．若a >b ，则a ＋i>b ＋i 答案 A(2)若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．2 C ．1 D ．－1或2答案 D解析 因为复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数， 所以m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2. 二、两个复数相等例2 (1)已知(m 2＋7m ＋10)＋(m 2－5m －14)i ＝0，求实数m 的值； (2)已知x ＋y －xy i ＝24i －5，其中x ，y ∈R ，求x ，y 的值．解 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋7m ＋10＝0，m 2－5m －14＝0，解得m ＝－2. (2)∵x ，y ∈R ， ∴x ＋y ∈R ，xy ∈R ，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝－5，－xy ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3，y 1＝－8，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－8，y 2＝3. 反思感悟 利用复数相等求参数值的思路 (1)将等式两边都整理为a ＋b i(a ，b ∈R)的形式；(2)由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组； (3)解方程组，求出相应的参数．跟踪训练2 已知z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝____，n ＝_____. 答案 2 ±2解析 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝±2.三、复数的比较大小问题例3 已知复数z ＝m 2＋3m ＋1＋(m 2＋5m ＋6)i<0(m ∈R )，求m 的值．解 依题意有⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋3m ＋1<0，m 2＋5m ＋6＝0，解得m ＝－2(舍m ＝－3)． ∴m ＝－2.反思感悟 复数的比较大小问题(1)复数问题解决的关键是“化虚为实”，转化为复数的实部、虚部的条件． (2)如果两个复数有大小关系，那么这两个复数都必定是实数．跟踪训练3 若复数z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i>0，则实数m 的值等于________． 答案 3解析 由z ＝(m ＋1)＋(m 2－9)i>0，知⎩⎪⎨⎪⎧m 2－9＝0，m ＋1>0.∴m ＝3.1．(1＋3)i 的实部与虚部分别是( ) A ．1， 3 B ．1＋3，0 C ．0,1＋ 3 D ．0，(1＋3)i答案 C2．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是( ) A ．±1 B ．±i C ．±2i D ．±2i 答案 C解析 由x 2＋2＝0，得x 2＝－2，即x 2＝2i 2， ∴x ＝±2i.3．下列命题中，真命题的个数是( )①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1； ②若a ，b ∈R 且a >b ，则a ＋i>b ＋i ； ③若x ，y ∈C ，x 2＋y 2＝0，则只有x ＝y ＝0. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 A解析 ①由于x ，y ∈C ，∴当x ＝i ，y ＝－i 时，x ＋y i ＝1＋i ，故①是假命题；②由于两个虚数不能比较大小，∴②是假命题．③当x ＝1，y ＝i 时，x 2＋y 2＝0成立，∴③是假命题． 4．设m ∈R ，m 2＋m －2＋(m 2－1)i 是纯虚数，其中i 是虚数单位，则m ＝________. 答案 －2解析 由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －2＝0，m 2－1≠0即m ＝－2.5．已知z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i ，m ∈R ，z 2＝3－2i.则m ＝1是z 1＝z 2的______条件． 答案 充分不必要解析 当z 1＝z 2时，必有m 2＋m ＋1＝3且m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，显然m ＝1是z 1＝z 2的充分不必要条件．1．知识清单： (1)复数的概念．(2)两个复数相等． (3)复数的比较大小问题．2．方法归纳：“化虚为实”、方程(组)法． 3．常见误区：(1)纯虚数概念理解错误． (2)复数的虚部易弄混．1．若(m 2－3m －4)＋(m 2－5m －6)i 是纯虚数，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．4 C ．－1或4 D ．不存在答案 B解析 由条件知，⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －4＝0，m 2－5m －6≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1或m ＝4，m ≠－1且m ≠6，∴m ＝4.2．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2i D.2＋2i答案 A解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故为3－3i. 3．若复数4－3a －a 2i 与复数a 2＋4a i 相等，则实数a 的值为( ) A ．1 B ．1或－4 C ．－4 D ．0或－4答案 C解析 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.4．若(x ＋y )i ＝x －1(x ，y ∈R )，则2x ＋y 的值为( ) A.12 B ．2 C ．0 D ．1 答案 D解析 由复数相等的充要条件知，⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝0，x －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1，∴x ＋y ＝0.∴2x ＋y ＝20＝1.5．下列命题中错误的个数是( ) ①纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集； ②若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3；③若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应． A ．1 B ．2 C ．3 D ．0 答案 C6．已知x 2－y 2＋2xy i ＝2i(其中x >0)，则实数x ＝________，y ＝________. 答案 1 1解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝0，2xy ＝2，∴x ＝y ＝1.7．若复数z ＝log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x －3)为实数，则实数x 的值为________． 答案 4解析 ∵复数z ＝log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x －3)为实数， ∴log 2(x －3)＝0，即x －3＝1，∴x ＝4，代入x 2－3x －2，得42－3×4－2＝2>0，满足题意． 8．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i>1，那么实数m 的值为__________． 答案 2解析 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m ＝0，m 2－1>1，解得m ＝2.9．求当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 分别是：(1)虚数；(2)纯虚数．解 (1)复数z 是虚数的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0⇔m ≠－3且m ≠－2. ∴当m ≠－3且m ≠－2时，复数z 是虚数． (2)复数z 是纯虚数的充要条件是 ⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0⇔⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2或m ＝3，m ≠－3且m ≠－2⇔m ＝3. ∴当m ＝3时，复数z 是纯虚数．10．若x ∈R ，则实数a 为何值时，等式3x 2－a2x －1＝(10－x －2x 2)i 成立？解 由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧3x 2－a 2x －1＝0， ①10－x －2x 2＝0. ②由②得x ＝2或x ＝－52，分别代入①，得a ＝11或a ＝－715.11．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R )为实数的充要条件是( ) A ．|a |＝|b | B ．a <0且a ＝－b C ．a >0且a ≠b D ．a ≤0答案 D解析 由a ＋|a |＝0可得a ≤0， ∴复数z 为实数的充要条件是a ≤0.12．已知集合M ＝{1,2，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{－1,3}，且M ∩N ＝{3}，则实数m 的值为( ) A ．4 B ．－1 C ．－1或4 D ．－1或6 答案 B解析 由于M ∩N ＝{3}，故3∈M ，必有m 2－3m －1＋(m 2－5m －6)i ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4或－1，m ＝6或－1，得m ＝－1.13．若复数z ＝⎝⎛⎭⎫cos θ－45＋⎝⎛⎭⎫sin θ－35i 是纯虚数(i 为虚数单位)，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4的值为( ) A ．7 B ．－17C ．－7D ．－7或－17答案 C解析 ∵复数z ＝⎝⎛⎭⎫cos θ－45＋⎝⎛⎭⎫sin θ－35i 是纯虚数， ∴cos θ－45＝0，sin θ－35≠0，∴sin θ＝－35，∴tan θ＝－34，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝－34－11－34＝－7.14．设z 1＝m 2＋1＋(m 2＋m －2)i ，z 2＝4m ＋2＋(m 2－5m ＋4)i ，且m ∈R ，若z 1<z 2，则m ＝____. 答案 1解析 由于z 1<z 2，m ∈R ，所以z 1∈R 且z 2∈R . 当z 1∈R 时，m 2＋m －2＝0，解得m ＝1或m ＝－2； 当z 2∈R 时，m 2－5m ＋4＝0，解得m ＝1或m ＝4. 综上可知m ＝1，此时z 1＝2，z 2＝6，满足z 1<z 2.15．已知复数z ＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，2π3，4π3B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，5π3 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π6，11π6D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，π，5π3答案 D解析 由题意知，cos α＋cos 2α＝0，∴2cos 2α＋cos α－1＝0， ∴cos α＝－1或cos α＝12.∵0<α<2π， ∴α＝π或π3或5π3.16．已知关于x 的方程x 2－(2i －1)x ＋3m －i ＝0有实数根，求实数m 的值． 解 设方程的实数根为x 0， 则x 20－(2i －1)x 0＋3m －i ＝0，因为x 0，m ∈R ，所以方程变形为(x 20＋x 0＋3m )－(2x 0＋1)i ＝0，由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧x 20＋x 0＋3m ＝0，2x 0＋1＝0，解得⎩⎨⎧x 0＝－12，m ＝112.。
