数学分析21.3格林公式、曲线积分与路线的无关性(含习题及参考答案)

第二十一章 重积分3格林公式、曲线积分与路线的无关性一、格林公式概念：当区域D 的边界L 由一条或几条光滑曲线所组成时，规定边界曲线的正方向为：当人沿边界行走时，区域D 总在他的左边. 与正方向相反的方向称为负方向，记为-L.定理21.11：若函数P(x,y), Q(x,y)在闭区域D 上连续，且有连续的一阶偏导数，则有格林公式：⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . L 为区域D 的边界曲线，并取正方向.证：根据区域D 的不同形状，可分三种情形来证明： (1)若区域D 既是x 型区域，又是y 型区域(如图1)，即 平行于坐标轴的直线和L 至多交于两点，该区域D 可表示为： φ1(x)≤y ≤φ2(x), a ≤x ≤b 或ψ1(x)≤x ≤ψ2(x), c ≤y ≤d.这里y=φ1(x)和y=φ2(x)分别为曲线⌒ACB 和⌒AEB 的方程, x=ψ1(x)和x=ψ2(x) 分别为曲线⌒CAE 和⌒CBE的方程, ∴⎰⎰∂∂Dd x Qσ=⎰⎰∂∂)()(21y y d c dx x Q dy ψψ=⎰d c dy y y Q )),((2ψ-⎰d c dyy y Q )),((1ψ=⎰⋂CBE dy y x Q ),(-⎰⋂CAE dy y x Q ),(=⎰⋂CBE dy y x Q ),(+⎰⋂EAC dy y x Q ),(=⎰L dy y x Q ),(.同理可证：-⎰⎰∂∂Dd y Pσ=⎰L dx y x P ),(. 即有⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰+L Qdy Pdx . (2)若区域D 是一条按段光滑的闭曲线围成(如图2)，则先用几段光滑曲线将D 分成有限个既是x 型又是y 型的子区域，然后逐块按(1)得到它们的格林公式，相加即可.图2中区域D 可分成三个既是x 型又是y 型的区域D 1,D 2,D 3，则有⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂1D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂2D d y P x Q σ+⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂3D d y P x Q σ =⎰+1L Qdy Pdx +⎰+2L Qdy Pdx +⎰+3L Qdy Pdx =⎰+L Qdy Pdx.(3)若区域D 由几条闭曲线所围成(如图3)， 可适当添加直线AB, CE,把区域转化为(2)的情况处理.图D 的边界线由AB,L 2,BA,⌒AFC ,CE,L 3,EC 及⌒CGA构成. 由(2)知 ⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂D d y P x Q σ=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋂⋂CGA EC l CE AFCBA l AB32(Pdx+Qdy)=()⎰⎰⎰++132L L L (Pdx+Qdy)=⎰+L Qdy Pdx .注：格林公式可写为：⎰⎰∂∂∂∂Dd QP y x σ=⎰+L Qdy Pdx .例1：计算⎰AB xdy ，其中曲线AB 为半径为r 的圆在第一象限部分. 解：如图，对半径为r 的四分之一圆域D 应用格林公式有⎰⎰-D d σ=⎰-L xdy =⎰OA xdy +⎰AB xdy +⎰BO xdy =⎰AB xdy . ∴⎰AB xdy =⎰⎰-Dd σ=-41πr 2.例2：计算I=⎰+-Ly x ydxxdy 22, 其中L 为任一不包含原点的闭区域的边界线.解：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂22y x x x =22222)(y x x y +-, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂22y x y y =22222)(y x x y +- 在上述区域D 上连续且有界，∴⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-∂∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂Dd yx yx y x x x σ2222=0. 由格林公式可得I=0.注：在格林公式中，令P=-y, Q=x ，则得到一个计算平面区域D 的面积S D 的公式：S D =⎰⎰Dd σ=⎰-L ydx xdy 21.例3：如图，计算抛物线(x+y)2=ax (a>0)与x 轴所围的面积.解：曲线⌒AMO由函数y=x ax -, x ∈[0,a]， 直线OA 为直线y=0， ∴S D =⎰-ydx xdy 21=⎰-OA ydx xdy 21+⎰⋂-AMO ydx xdy 21=⎰⋂-AMO ydx xdy 21=dx x ax ax ax a ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0)(1221=dx ax a ⎰-02121=dx x a a⎰4=62a .二、曲线积分与路线的无关性概念：若对于平面区域D 上任一封闭曲线，皆可不经过D 以外的点而连续收缩于属于D 的某一点，则称此平面区域为单连通区域，否则称为复连通区域。

单连通区域也可以描述为：D 内任一封闭曲线所围成的区域内只含有D 中的点。

或通俗地讲，单连通区域是没有“洞”的区域，复连通区域是有“洞”的区域.定理21.12：设D 是单连通闭区域，若函数P(x,y)，Q(x,y)在D 内连续，且具有一阶连续偏导数，则以下四个条件等价： (1)沿D 内任一按段光滑封闭曲线L ，有⎰+L Qdy Pdx =0;(2)对D 中任一按段光滑曲线L ，曲线积分⎰+L Qdy Pdx 与路线无关，只与L 的起点及终点有关;(3)Pdx+Qdy 是D 内某一函数u(x,y)的全微分，即在D 内有du=Pdx+Qdy; (4)在D 内处处成立xQy P ∂∂=∂∂. 证：(1)⇒(2)如图1，⌒ARB 与⌒ASB为联结点A,B 的任意两条按段光滑曲线，由(1)推得⎰+AB Qdy Pdx =⎰⋂+ARB Qdy Pdx +⎰⋂+BSA QdyPdx=⎰⋂+ARB Qdy Pdx -⎰⋂+ASB Qdy Pdx =0.∴⎰⋂+ARB Qdy Pdx =⎰⋂+ASB Qdy Pdx .(2)⇒(3)如图2，设A(x 0,y 0)为D 内某一定点，B(x,y)为D 内任意一点. 由(2)，曲线积分与路线的选择无关，∴当B(x,y)在D 内变动时， 其积分值是B(x,y)的函数，即有u(x,y)=⎰+AB Qdy Pdx .取△x 充分小，使(x+△x,y)∈D ，则函数u(x,y)对于x 的偏增量u(x+△x,y)-u(x,y)=⎰+AC Qdy Pdx -⎰+AB Qdy Pdx . ∵在D 内曲线积分与路线无关， ∴⎰+AC Qdy Pdx =⎰+AB Qdy Pdx +⎰+BC Qdy Pdx .又直线段BC 平行于x 轴，∴dy=0，由积分中值定理可得：△u= u(x+△x,y)-u(x,y)=⎰+BC Qdy Pdx=⎰∆+xx xdx y x P ),(=P(x+θ△x,y)△x, 0<θ<1.根据P(x,y)在D 上连续知，x u ∂∂=x u x ∆∆→∆0lim =),(lim 0y x x P x ∆+→∆θ=P(x,y). 同理可证yu∂∂=Q(x,y). ∴du=Pdx+Qdy. (3)⇒(4)设存在函数u(x,y)，使得du=Pdx+Qdy, 则P(x,y)=x u ∂∂，Q(x,y)=y u ∂∂，∴y P ∂∂=y x u ∂∂∂2，x Q ∂∂=xy u∂∂∂2.∵P(x,y), Q(x,y)在区域D 内具有一阶连续偏导数，∴y x u ∂∂∂2xy u∂∂∂2.∴在D 内每一点都有y P ∂∂=xQ ∂∂. (4)⇒(1)设L 为D 内任一按段光滑封闭曲线，记L 所围的区域为σ. 由D 为单连通区域，∴σ含在D 内. ∵y P ∂∂=xQ∂∂, 由格林公式有 ⎰+L Qdy Pdx =⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂σσd y P x Q =0.∴以上四个条件互相等价.注：1、若P(x,y), Q(x,y)满足定理21.12的条件，则二元函数 u=(x,y)=⎰+AB Qdy Pdx =⎰+),(),(0),(),(y x B y x A dy y x Q dx y x P 具有性质du=Pdx+Qdy ，所以称u(x,y)为Pdx+Qdy 的一个原函数. 2、设I,J 是区间, P(x,y), Q(x,y)在D=I ×J 上有连续偏导数， 且xQ y P ∂∂=∂∂处处成立，则任取(x 0,y 0)∈D, 如图： 取路线为折线ABC ，由定理21.12，有u(x,y)=⎰⎰+x x yy dy y x Q dx y x P 0),(),(0是Pdx+Qdy 的一个原函数；同理取路线AB ’C, u(x,y)=⎰⎰+x x yy dy y x Q dx y x P 0),(),(0也是Pdx+Qdy 的原函数.例4：试用曲线积分求(2x+siny)dx+(xcosy)dy 的一个原函数 解：∵)sin 2(y x y +∂∂=cosy=)cos (y x x∂∂, ∴可取(x 0,y 0)=(0,0)，有 u(x,y)=⎰⎰+xyydy x xdx 00cos 2=x 2+xsiny 或u(x,y)=⎰+xdx y x 0)sin 2(=x 2+xsiny.习题1、应用格林公式计算下列曲线积分：(1)⎰+-+L dy y x dx y x )()(222，其中L 是以A(1,1), B(3,2), C(2,5)为顶点的三角形，方向取正向；(2)⎰-+-AB x x dy m y e dx my y e )cos ()sin (，其中m 为常数，AB 为由(a,0)到(0,0)经过圆x 2+y 2=ax 上半部的路线. 解：(1)如图：AB ：y=21+x , AC ：y=4x-3, BC ：y=-3x+11 2)(y x y +∂∂=2x+2y; )]([22y x x+-∂∂=-2x. ⎰+-+Ldy y x dx y x )()(222=⎰⎰---Dd y x x σ)222(=-⎰⎰+Dd y x σ)24(=-⎰⎰-++213421)24(x x dy y x dx -⎰⎰+-++3211321)24(x x dy y x dx=-⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+-2124359863)1(14dx x x x x -⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++-322448326635)3(14dxx x x x =-⎰+-212435154119dx x x +⎰-+32244839821dxx x=-448342454133435423112833-++-+=-3246.(2)y ∂∂(e x siny-my)=e x cosy-m, x∂∂(e x cosy-m)=e x cosy. ⎰⋂-+-ABx x dym y e dx my y e )cos ()sin (=m ⎰⎰Dd σ-⎰-+-AB xxdy m y e dx my y e )cos ()sin (=82πma .2、应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积： (1)星形线：x=acos 3t, y=asin 3t ；(2)双纽线：(x 2+y 2)2=a 2(x 2-y 2).解：(1)S=⎰-L ydx xdy 21=⎰π20222sin cos 23tdt a =832πa .(2)双纽线的坐标标方程为：r 2=a 2cos2θ，x=r(θ)cos θ, y=r(θ)sin θ. 由双纽线的对称性，S=⎰-L ydx xdy 21=⎰-⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛-442cos sin 2sin 2cos 2cos cos 2cos ππθθθθθθθa a a -θθθθθθθθd a a a ⎥⎦⎤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--2cos cos 2sin 2sin 2cos sin 2cos =θθππd a ⎰-4422cos =a 2.3、证明：若L 为平面上封闭曲线, l 为任意方向向量，则⎰∧L ds n l ),cos(=0, 其中n 为曲线L 的外法线方向.证法一：设l 与n 的方向余弦分别为cos α, cos β与),cos(∧x n ,),cos(∧y n , 则 ⎰∧Lds n l ),cos(=⎰∧∧+Ldsy n x n )],cos(cos ),cos([cos βα=⎰∧∧+L ds x t y t )],cos(cos ),cos([cos βα, t 为L 上点的切线方向.由第一、二型曲线积分的关系，有⎰∧∧+Lds x t y t )],cos(cos ),cos([cos βα=⎰+Ldy dx αβcos cos .又由格林公式得：⎰+L dy dx αβcos cos =⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂D d y x σβαcos cos . ∵yx ∂∂-∂∂βαcos cos =0，∴⎰∧L ds n l ),cos(=0. 证法二：∵l 为任意方向向量，可取坐标系，使x 轴的正向i 与l 一致， 则),cos(∧n i =dy, 结合格林公式有⎰∧L ds n l ),cos(=⎰∧L ds n i ),cos(=⎰L dy =⎰⎰Dd σ0=0.4、求积分值I=⎰∧∧+L ds y n y x n x )],cos(),cos([，其中L 为包围有界区域的封闭曲线，n 为L 的外法线方向.解：I=⎰∧∧+L ds y n y x n x )],cos(),cos([=⎰-L ydx xdy =⎰⎰Dd σ2=2σ, σ为L 所围面积.5、验证下列积分与路线无关，并求它们的值： (1)⎰--)1,1()0,0())((dy dx y x ；(2)⎰---),()0,0(22)sin cos 2()sin cos 2(y x dy y x x y dx x y y x ； (3)⎰-)2,1()1,2(2xxdyydx ，沿在右半平面的路线； (4)⎰++)8,6()0,1(22yx ydy xdx ，沿不通过原点的路线；(5)⎰+)2,1()1,2()()(dy y dx x ψϕ，其中φ(x), ψ(y)为连续函数.证：(1)⎰--)1,1()0,0())((dy dx y x =⎰---)1,1()0,0()()(dy y x dx y x =⎰-+-)1,1()0,0()()(dy x y dx y x . ∵)(x y x-∂∂=)(y x y -∂∂=-1，∴积分与路径无关. 取路径y=x,⎰--)1,1()0,0())((dy dx y x =⎰100dx =0.(2))sin cos 2(2y x x y x-∂∂=-2ysinx-2xsiny; )sin cos 2(2x y y x y-∂∂=-2xsiny-2ysinx; ∵)sin cos 2(2y x x y x-∂∂=)sin cos 2(2x y y x y -∂∂, ∴积分与路径无关.取路径(0,0)→(0,x)→(x,y),⎰---),()0,0(22)sin cos 2()sin cos 2(y x dyy x x y dx x y y x=⎰x xdx 02+⎰-ydy y x x y 02)sin cos 2(=x 2+y 2cosx+x 2cosy-x 2=y 2cosx+x 2cosy. (3)x x 1-∂∂=21x ; 2x y y ∂∂=21x; ∵x x 1-∂∂=2x yy ∂∂, ∴积分与路径无关. 且⎰-)2,1()1,3(2x xdy ydx =⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-)2,1()1,2(x y d =)2,1()1,2(x y-=23-.(4)当(x,y)≠(0,0)时，全微分d 22y x +=22yx ydy xdx ++, ∴积分与路径无关.且⎰++)8,6()0,1(22yx ydy xdx =⎰+)8,6()0,1(22y x d =)8,6()0,1(22yx +=9.(5)∵φ(x), ψ(y)为连续函数,∴F(x)=⎰xdu u 2)(ϕ与G(y)=⎰ydv v 1)(ψ分别是φ(x), ψ(y)的原函数.于是d[F(x)+G(y)]=dF(x)+dG(y)=φ(x)dx+ψ(y)dy, ∴积分与路径无关. 且⎰+)2,1()1,2()()(dy y dx x ψϕ=[F(x)+G(y)])2,1()1,2(=F(1)+G(2)-F(2)-G(1)=⎰12)(dx x ϕ+⎰21)(dy y ψ.6、求下列全微分的原函数： (1)(x 2+2xy-y 2)dx+(x 2-2xy-y 2)dy ； (2)e x [e y (x-y+2)+y]dx+e x [e y (x-y)+1]dy ；(3)f(22y x +)xdx+f(22y x +)ydy. 解：(1)x∂∂(x 2-2xy-y 2)=2x-2y; y ∂∂(x 2+2xy-y 2)=2x-2y;∵x∂∂(x 2-2xy-y 2)=y ∂∂(x 2+2xy-y 2), ∴积分与路径无关. 其原函数为u=⎰--+-+),(),(22220)2()2(y x y x dy y xy x dx y xy x +c=⎰⎰--+-+yyx x dy y xy x dx y xy x 0)2()2(222002+c =333032020220202020020303y y xy xy y x y x x y x y x y x y x x --+--++--+-+c=333223y xy y x x --++C. (2)x∂∂e x [e y(x-y)+1]=e x [e y (x-y)+1]+e x e y =e x [e y (x-y+1)+1]; y∂∂e x [e y(x-y+2)+y]=e x [e y (x-y+2)-e y +1]=e x [e y (x-y+1)+1]; ∵x∂∂e x [e y(x-y)+1]=y ∂∂e x [e y (x-y+2)+y], ∴积分与路径无关. 其原函数为u=⎰+-+++-),()0,0(]1)([])2([y x y x y x dy y x e e dx y y x e e +c=⎰⎰+-++yy x xx dy y x e e dx x e 00]1)([)2(+c=yx y y x y y x y y x x x x x y e e e ye e e xe e xe 000000++-+++c=y e e e e ye e xe e xe e xe x x x x y x x y x x x +-+--+-+1+c=y e e e y x x y x ++-)1(+C. (3)f(22y x +)xdx+f(22y x +)ydy. ∵x ∂∂f(22y x +)y=22yx f xy +'=y ∂∂f(22y x +)x; ∴积分与路径无关.令du=f(22y x +)xdx+f(22y x +)ydy=21f(22y x +)yd(x 2+y 2). ∴u=⎰dv v f )(21(v=x 2+y 2).7、为了使曲线积分⎰+L xdy ydx y x F ))(,(与积分路线无关，可微函数F(x,y)应满足怎样的条件？解：P=yF(x,y), Q=xF(x,y)，x Q ∂∂=F(x,y)+x x F ∂∂; y P ∂∂=F(x,y)+y y F ∂∂. 当x Q ∂∂=y P ∂∂时, 曲线积分与积分路线无关, x xF ∂∂=y y F ∂∂.8、计算曲线积分dy m e y dx my e y x AMB x ])([])([-'+-⎰ϕϕ，其中φ(x)和φ’(x)为连续函数，AMB 为连接点A(x 1,y 1)和点B(x 2,y 2)的任何路线，但与线段AB 围成已知大小为S 的面积.解：P=φ(y)e x -my, y P ∂∂=φ’(y)e x -m; Q=φ’(y)e x -m, x Q ∂∂=φ’(y)e x , 原式=()Qdy Pdx AB BA AMB ++++⎰⎰⎰=⎰⎰+++AB AMB QdyPdx Qdy Pdx =±⎰⎰⎰++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂AB D Qdy Pdx dxdy y P x Q=±mS+⎰--'+),(),(2211))()((y x y x x x mdymydx dy e y dx e y ϕϕ =±mS+⎰----),(),(12122211)(y x y x x dy y y x x my mdy e y d ϕ =±mS+))((2)()()(1212121212x x y y m y y m e y e y x x -+----ϕϕ.9、设函数f(u)具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线L ，有⎰+L xdy ydx xy f ))((=0.证：∵x ∂∂xf(xy)=f(xy)+xyf ’(xy)=x∂∂yf(xy)均连续，由格林公式有： ⎰+L xdy ydx xy f ))((=⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-∂∂D dxdy y x yf y P xy xf x ),()(=0.10、设函数u(x,y)在由封闭的光滑曲线L 所围的区域D 上具有二阶连续偏导数，证明：⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D d y u x u σ2222=⎰∂∂L ds n u ，其中n u ∂∂是u(x,y)沿L 外法线方向n 的方向导数.证：由ds x n ),cos(∧=dy, ds y n ),cos(∧=-dx, 得⎰∂∂L ds n u =⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂∧∧L ds y n y u x n x u ),cos(),cos(=⎰∂∂+∂-L dy x u dx dy u ， 根据题设知x u ∂∂,yu ∂∂在D 上具有连续导数，由格林公式知： ⎰∂∂+∂-L dy x u dx dy u =⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D d y u x u σ2222; ∴⎰⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂D d y u x u σ2222=⎰∂∂L ds n u .。