下载文档原格式
数值计算方法复习提纲第一章数值计算中的误差分析1．了解误差及其主要来源，误差估计；2．了解误差(绝对误差、相对误差)和有效数字的概念及其关系； 3．掌握算法及其稳定性，设计算法遵循的原则。
第二章线性方程组的数值解法1．了解Gauss消元法、主元消元法基本思想及算法；2．掌握矩阵的三角分解，并利用三角分解求解方程组；（Doolittle分解；Crout分解；Cholesky分解；追赶法）3．掌握迭代法的基本思想，Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法； 4．掌握向量与矩阵的范数及其性质,迭代法的收敛性及其判定。
第三章非线性方程的数值解法1．了解二分法的原理与算法；2．掌握一般迭代法的基本思想及其收敛性判定；3．掌握Newton切线法、弦截法，并用它们求方程近似根的方法。
第五章插值法1. 掌握代数插值问题及其解存在唯一性，Lagrange插值多项式构造及其余项，插值基函数性质；2. 掌握差商的概念及其性质，Newton插值多项式构造，两种插值法之间的区别与联系；3．了解差分与等距节点插值多项式公式；4. 掌握Hermite 插值问题及其构造方法。
第七章数值微积分1. 了解数值求积基本思想；2. 掌握Newton-Cotes公式（梯形公式，Simpson公式，Cotes公式）推导及误差；3. 了解Romberg 求积公式原理；4．了解数值微分的方法。
第八章常微分方程数值解1. 掌握Euler方法（Euler公式，梯形公式，Euler预估-校正公式），局部截断误差，公式的阶；2. 了解Runge-Kutta 方法的基本思想及四阶经典Runge-Kutta 公式；3. 掌握线性多步方法的原理与公式推导。
第1章 数值计算引论1．1 内容提要一、误差的来源数值计算主要研究以下两类误差。
1． 截断误差数学模型的准确解与用数值方法求得的解的差称为截断误差，又称为方法误差。
这种误差常常是由用有限过程代替无穷过程时产生的误差。
例如，要计算级数∑∞==+++++1!1!1!31!211k k n的值，当用计算机计算时，用前n 项（有限项）的和∑==+++++nk k n 1!1!1!31!211来代替无穷项之和，即舍弃了n 项后边的无穷多项，因而产生了截断误差∑∞+=1!1n k k2． 舍入误差由于计算机字长为有限位，原始数据和四则运算过程中进行舍入所产生的误差称为舍入误差。
例如，用3.141 59表示圆周率π时产生的误差0.000 002 6…,用0.333 33表示1÷3的运算结果时所产生的误差1÷3-0.333 33 = 0.000 003 3…都是舍入误差。
二．近似数的误差表示1． 绝对误差设x *是准值x 的一个近似值，称**)(x x x e -=为近似值x *的绝对误差，简称误差。
令|)(|*x e 的一个上界为*ε，即***|||)(|ε≤-=x x x e把*ε称为近似数*x 的绝对误差限，简称误差限。
2． 相对误差设*x 是精确值x 的一个近似值，称xx x xx e **)(-=为近似值x *的相对误差。
在实际应用中常取***)(xx x x e r -=为*x 的相对误差。
令相对误差绝对值 |)(|*x e r 的一个上界为ε*r，即 ****|||||)(|r r x x x x e ε≤-=把ε*r称为近似数*x 的相对误差限。
3． 有效数字对有多位数字的准确值四舍五入原则得到其前若干位的近似值时，该近似值的绝对误差不超过末位的半个单位。
设数x 的近似值m n x x x x 10.021*⨯±= ，其中，i x 是0~9之间的任一个数，但i x ≠0，n i ,2,1=是正整数，m 是整数，若nm x x -⨯≤-1021||*则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值，*x 准确到第n 位，n x x x ,,,21 是*x 的有效数字。
1 第一章作业1.对一个数求和100000次。
对数1以单精度方式求和，对数0.00001分别以单精度和双精度方式求和。
问题分析：单精度方式使用函数single()，双精度求和为matlab自动调整，不需要特别说明。
程序编写如下：运行结果：实验结果分析：不难看出，对于1进行单精度求和得到的结果和期望值一致，但是对0.00001进行单精度求和的结果却存在误差，对0.00001进行双进度求和，误差得到减小。
这是由于量化误差造成的，0.00001在计算机中并不能准确表示，只能对其进行量化处理，得到一个和真值有一点区别的量化值，小量计算中可以忽略，但在计算了100000后误差积累，导致了最后的结果误差较大。
双精度的情况下，该误差小得多。
当x=0.1时，从1x -开始，然后每次加入一项来分别计算。
在每加入一个新项后，计算近似百分比相对误差，直到近似误差估计值的绝对值小于与五位有效数字一致的误差准则时停止计算。
问题分析：本例中，要保证5位有效数字，因此容限误差为：256s (0.510)%510--ε=⨯=⨯近似百分比误差为： -100%a ε=⨯当前近似值前一近似值当前近似值真误差为：-100%ε=⨯真值近似值真值跳出循环的标准为：a |s |ε<ε程序编写如下：运行结果如下：3实验结果分析：实验结果表明，当计算到第6次时，近似误差就已经小于了容限值，循环结束。
随着添加多的项数，实际误差和近似误差都减小了，说明了计算精度在逐步提高。
我们可以通过改的值来调节所需要的计算精度。
变s。
数值计算方法与误差分析精要数值计算方法是一种利用计算机进行数值计算的技术，可以代替传统的手工计算，大大提高计算效率和准确性。
在科学计算和工程实践中，数值计算方法被广泛应用于求解代数方程组、数值积分、微分方程数值解、数据插值和拟合等问题。
然而，由于计算机的运算精度和舍入误差等因素的存在，数值计算结果往往存在着一定的误差。
因此，在进行数值计算时，对误差进行分析和控制是十分重要的。
1. 数值计算方法简介数值计算方法是将数学问题转化为计算机可以处理的离散形式，通过一系列算法和步骤进行数值计算的过程。
常用的数值计算方法包括迭代法、插值法、数值积分和微分方程数值解等。
迭代法是在给定初始值的基础上，通过逐步迭代求解逼近问题的解。
其中，牛顿迭代法和二分法是常用的迭代法。
迭代法的优点是简单易懂，但收敛速度较慢。
插值法是通过已知的离散数据点，构造一个插值多项式来逼近原函数。
常见的插值法有拉格朗日插值法和牛顿插值法。
插值法的优点是逼近精度高，但插值节点的选取对结果有较大影响。
数值积分是通过将定积分转化为求和的形式进行计算。
常用的数值积分方法有梯形法则和辛普森法则。
数值积分的优点是精度较高，但计算量大。
微分方程数值解是通过离散化微分方程的解空间，通过一定的数值算法求解微分方程的近似解。
常用的数值解法有欧拉法和龙格-库塔法。
微分方程数值解的优点是快速高效，但对微分方程的离散化有一定的要求。
2. 误差分析的重要性在数值计算过程中，由于计算机的舍入误差、截断误差以及方法本身的误差等因素的存在，数值计算结果会产生一定的误差。
误差的存在可能会导致计算结果与真实结果的偏差较大，甚至无法满足精度要求。
因此，对误差进行分析和控制是进行数值计算的关键。
误差分析可以帮助我们了解数值计算方法的可靠性和稳定性，指导我们选择合适的数值计算方法，并为结果的有效性提供保证。
通过误差分析，可以估计计算结果的误差范围，从而判断结果的可信度。
例如，在迭代法中，误差分析可以帮助我们确定迭代过程何时收敛，以及收敛速度如何。
