数值分析分章复习(第一章误差)

第一章 绪论【考点1】绝对误差概念。

近似数的绝对误差（误差）：()a =x a E -，如果()δa E ≤则称δ为a 的绝对误差限（误差限）。

【考点2】相对误差限的概念。

近似数a 的相对误差：()()/x a x =a E r -，实际运算()()/a a x a E r -=，a r /δδ=。

【考点3】有效数字定义。

设*x 的近似值a 可表示为n m a a .a a= 21010⨯±，m 为整数，其中1a 是1到9中的一个整数，n a a 2为0到9中的任意整数，若使()n m a||=|x a |E -*⨯≤-1021成立，则a 称近似*x 有位有效数字。

例：设256010002560,00256702.×=.a .=x -*=，则4-10×21=0.00005a -x ≤*。

因为，2-m=所以2n=，a 有2位有效数字。

若257.01000257.02⨯==-a ，则5102100000500000030-≤×=..=x-a ，因为2-=m ，所以3=n ，a 有3位有效数字。

例：设000018.x=，则00008.a=具有五位有效数字。

41021000010-≤×.=x-a ，因为1=m ，所以5=n ，即a 具有五位有效数字。

例：若3587.64=x *是x 的具有六位有效数字的近似值，求x 的绝对误差限。

410×0.358764=x *，即4=m ，6=n ，0.005=1021x -x 6-4⨯≤*【考点4】四舍五入后得到的近似数，从第一位非零数开始直到末位，有几位就称该近似数有几位有效数字。

【考点5】有效数字与相对误差的关系。

设x 的近似数为n m a a .a ×a= 21010±，)(a 01≠如果a 具有n 位有效数字，则的相对误差限为()111021--≤n r ×a δ，反之，若a 的相对误差限为()()1110121--+≤n r ×a δ，则a 至少具有n 位有效数字。

《数值分析》期末复习纲要 第一章 数值计算中的误差分析主要内容(一)误差分析 1、误差的基本概念：（1）绝对误差：设x 是精确值， *x 是其近似值，则称()E x x x*=-是近似值*x 的绝对误差，简称误差。

特点：可正可负，带量纲。

（2）相对误差：称()r x x E x x *-=是近似值*x 的相对误差，若精确值x 未知，则定义()r x x E x x **-=。

注: 由四舍五入得到的近似值,误差不超过最末位的半个单位(准确到最末位)。

2、有效数字的概念：P6;3、算法的数值稳定性：数值稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中能得到有效控制，不至于因误差的过度增长影响计算结果的精度。

数值不稳定的算法：初始数据所带有的误差在计算的过程中得不到有效控制，以至于因误差的过度增长而使计算结果的精度大大降低。

P11：例子(二)算法设计的基本准则P11-15 应用实例：课堂练习，作业基本要求1、掌握误差、有效数字等基本概念2、熟记算法设计准则，并能依据算法设计准则构造或选择计算公式。

（参见课堂练习、作业）第二章 线性代数方程组的数值解法直接法：不计初始数据的误差和计算过程中的舍入误差，经过有限步四则运算求得方程组的精确解。

迭代法：先给出方程组解的某一初始值，然后按照一定的迭代法则（公式）进行迭代，经过有限次迭代，求得满足精度要求的方程组的近似解。

主要内容（一）直接法的基本模式：高斯顺序消去法基本思想：按照各方程的自然排列顺序（不交换方程），通过按列消去各未知元，将方程组化为同解的三角形方程组来求解求解过程：⎩⎨⎧回代过程消元过程应用实例：课堂例题；练习 （二）高斯列主元消去法基本思想：按列消元，但每次按列消元之前，先选取参与消元的 方程首列系数，选取绝对值最大者，通过交换方程，使之成为主元，再进行消元。

(每一步消元之前先按列选取主元) 应用实例：课堂例题，作业(三)迭代法基本原理：（1）将原方程组b Ax =改写成如下等价形式：f Bx x += （2）构造相应的迭代公式：f Bx x m m +=-)1()(（3）任取一初始向量)0(x代入上述迭代公式，经迭代得到向量序列{}Tm n m m m x x x x ),,,()()(2)(1)( =，如果该向量序列{})(m x 收敛于某一向量Tn x x x x ),,,(21****= ，即),,2,1(lim )(n i x x i m i m ==*∞→Tn x x x x ),,,(21****= 即为原方程组的解。

《数值分析》期末复习提纲第一章数值分析中的误差(一) 考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。

误差的定性分析(二)复习要求1. 知道产生误差的主要来源。

2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。

3. 知道四则运算中的误差传播公式。

4. 避免误差危害的若干原则第二章插值法(一) 考核知识点插值函数，插值多项式，被插值函数，节点；拉格朗日插值多项式：插值基函数；均差及其性质，牛顿插值多项式；分段线性插值、线性插值基函数。

(二)复习要求1. 了解插值函数，插值节点等概念。

2. 熟练掌握拉格朗日插值多项式的公式，知道拉格朗日插值多项式余项。

3. 掌握牛顿插值多项式的公式，了解均差概念和性质，掌握均差表的计算，知道牛顿插值多项式的余项。

4. 掌握分段线性插值的方法和线性插值基函数的构造。

第三章函数逼近(一) 考核知识点函数逼近的基本概念，内积，范数，勒让德与切比雪夫正交多项式，最佳一次一致逼近，最佳平方逼近，曲线拟合的最小二乘法（二）复习要求1. 熟练掌握内积，范数等基本概念。

2. 熟练掌握勒让德与切比雪夫正交多项式的性质。

3. 掌握用多项式做最佳平方逼近的方法。

4. 最小二乘法及其计算方法。

第四章数值积分与数值微分(一) 考核知识点数值求积公式，求积节点，求积系数，代数精度；插值型求积公式，牛顿―科特斯求积公式，牛顿―科特斯系数及其性质，(复合)梯形求积公式，(复合)Simpson求积公式；高斯型求积公式，高斯点，(二点、三点)高斯―勒让德求积公式；(二) 复习要求1. 熟练掌握数值积分和代数精度等基本概念。

2. 熟练掌握牛顿−科特斯求积公式和科特斯系数的性质。

熟练掌握并推导(复合)梯形求积公式和(复合)Simpson求积公式。

3. 知道高斯求积公式和高斯点概念。

会用高斯−勒让德求积公式求定积分的近似值。

一、 误差相对误差和绝对误差得概念二、有效数字有效数字的定义（P5.定义2）有效数字与相对误差之间的关系（P6.定理1）典型习题：P19:1,2,3,5,11,12,1410.1%，要取几位有效数字？2．取的6位有效数字9.94987，问以下这种算法有几位有效数字：109.949870.05013≈-=3 1.7320508= ，1231.73, 1.7321, 1.7320x x x ===为其近似值，求它们有别有几位有效数字？4．测量一物体的长度为945cm ，问测量数据的相对误差限多大？（实际问题所截取的近似数，其绝对误差一般不超过最小刻度的半个单位）5. 已知**12325413,0.325413x x ==都有6位有效数字，求绝对误差限一、Lagrange 插值()()()nn j j j L x l x f x ==∑，0111'0111()()()()()()()()()()()()j j n n j j j j j j j n j n j x x x x x x x x w x l x x x x x x x x x x x w x -++-++----==-----余项：(1)1()()()(1)!n n n f R x w x n ξ++=+二、Newton 插值差商表0x 0()f x 1x 1()f x 01[ ]f x x 2x 2()f x 02[ ]f x x 012[ ]f x x x3x 3()f x03[ ]f x x013[ ]f x x x 0123[ ]f x x x xNewton 插值多项式：00100101()()[ ]()[ ]()()n n n N x f x f x x x x f x x x x x x x -=+-++--余项：(1)0101()()[ ]()()()(1)!n n n n n f R x f x x x x x x x x w x n ξ++=--=+三、Hermite 插值（待定系数法）1、三点Hermite 插值3001001201012()()[,]()[,,]()()()()()H x f x f x x x x f x x x x x x x A x x x x x x =+-+--+---其中A 为待定系数,可由311()()H x f x ''=得到. 余项：()423012()()()()()4!f R x x x x x x x ξ=---2、两点Hermite 插值 已知31111()()()()()()()()k k k k k k k k H f x x f x x f x x f x x ααββ++++''=+++其中21(12)()k k k k k x x l x x x α+-=+-，21111(12)()k k k k k x x l x x x α++++-=+-2()()k k k x x l x β=-，2111()()k k k x x l x β+++=-.余项：()42231()()()()4!k k f R x x x x x ξ+=--四、分段线性插值在每个小区间上用线性插值，101max ()k k k n h x x +≤≤-=-1111()()()j j j j j j j jx x x x I h f x f x x x x x ++++--=+--，1[,],0,1,,1j j x x x j n +∈=- ，余项：max ()()h a x bf x I x ≤≤-2(2)22,max ()8M h M f x ≤=五、分段三次Hermite 插值在每个小区间上用两点Hermite 插值，101max ()k k k n h x x +≤≤-=-1111()()()()()()()()()h k k k k k k k k I x f x x f x x f x x f x x ααββ++++''=+++，1[,],0,1,,1k k x x x k n +∈=-其中21(12)()k k k k k x x l x x x α+-=+-，21111(12)()k k k k k x x l x x x α++++-=+-2()()k k k x x l x β=-，2111()()k k k x x l x β+++=-.余项：4(4)max ()()max ()384h a x b a x bh f x I x f x ≤≤≤≤-≤六、三次样条插值在每个小区间上用三次多项式插值，保证插值函数在整个区间[,]a b 上具有二阶连续的偏导数，1j j j h x x +=-，3322111111()()(),6666[,],0,1,,1j j j j j j jj jj j j jjj j j j x x x x M h x x M h x x S x M M y y h h h h x x x j n ++++++⎛⎫⎛⎫----=++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∈=-其中1、若边界条件为00(),()n n S x f S x f ''''==，则000111111112222n n n n n n n M d M d M d M d λμλμλμ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 其中1000101101161,([,]),,,6[,,],1,2,1j j j j j j j j j j j jh h d f x x f d f x x x j n h h h h h λμλ--+--'==-====-++ ，1161,([,])n n n n n n d f f x x h μ--'==-. 2、若边界条件为00(),()n n S x f S x f ''''''''==，则000111111112222n n n n n n n M d M d M d M d λμλμλμ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 其中0000,2,2n n n d f d f λμ''''====，11111,,6[,,],1,2,1j j j j j j j j j jj jh h d f x x x j n h h h h μλ--+--====-++3、若0n y y =，边界条件为00(0)(0),(0)(0)n n S x S x S x S x ''''''+=-+=-，则0n M M =，1111222211112222n n n n n n n n M d M d M d M d λμμλμλλμ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦其中010********[,][,],,6,n n n n n n n n n h h f x x f x x d h h h h h h λμ------===+++11111,,6[,,],1,2,1j j j j j j j j j jj jh h d f x x x j n h h h h μλ--+--====-++余项()()(4)4max ()()max (),0,1,2k k k k a x ba x bf x S x C f x h k -≤≤≤≤-≤=其中01201513,,,max .384248i i n C C C h h ≤≤-====典型习题：P48:2,4,5,6,8,13,14,161.已知函数()f x 有关数据如下：要求一个次数不超过3的插值多项式3()H x ，使得3311(),()i i H x y H x y ''==。

第1章数值分析中的误差一、重点内容误差设精确值x* 的近似值x，差e＝x－x* 称为近似值x 的误差(绝对误差)。

误差限近似值x 的误差限e 是误差e 的一个上界，即|e|＝|x－x*|≢ε。

相对误差er 是误差e 与精确值x* 的比值，。

常用计算。

相对误差限是相对误差的最大限度，，常用计算相对误差限。

绝对误差的运算：ε(x1±x2)＝ε(x1)＋ε(x2)ε(x1x2)≈|x1|ε(x2)＋|x2|ε(x1)有效数字如果近似值x 的误差限ε是它某一个数位的半个单位，我们就说x 准确到该位。

从这一位起到前面第一个非0 数字为止的所有数字称为x 的有效数字。

关于有效数字：(1) 设精确值x* 的近似值x，x＝±0.a1a2…an×10 ma1，a2，…，an 是0～9 之中的自然数，且a1≠0，|x－x*|≢ε＝0.5×10 m－l ，1≢l≢n则x 有l位有效数字.(2) 设近似值x＝±0.a1a2…an×10m 有n 位有效数字，则其相对误差限(3) 设近似值x＝±0.a1a2…an×10m 的相对误差限不大于则它至少有n 位有效数字。

(4) 要求精确到10－3，取该数的近似值应保留4 位小数。

一个近似值的相对误差是与准确数字有关系的，准确数字是从一个数的第一位有效数字一直数到它的绝对误差的第一位有效数字的前一位，例如具有绝对误差e＝0.0926 的数x＝20.7426 只有三位准确数字2，0，7。

一般粗略地说，具有一位准确数字，相对于其相对误差为10% 的量级；有二位准确数字，相对于其相对误差为1% 的量级；有三位准确数字，相对于其相对误差为0.1% 的量级。

二、实例例1 设x*＝p＝3.1415926…近似值x＝3.14＝0.314×101，即m＝1，它的误差是0.001526…，有|x－x*|＝0.001526…≢0.5×101－3即l＝3，故x＝3.14 有 3 位有效数字。