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数值计算方法第一章 误差

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数值计算chapter1误差

数值计算chapter1误差

显然，从相对误差看，近似值
x1
比
x
2
的精确程度要好得多.
例4 设 x 2.18是由准确值 x 经过四舍五入得到的近似值，
则 x的绝对误差限为 0.005 ,
相对误差限为
r
0.005 2.18
0.23%
注 凡是由准确值 x 经过四舍五入得到的近似值，其绝对误
差限取近似值末位数位的半个单位。
e S
2
D1
e D1
2
D2
e D2
10 0.05 5 0.1 0.5 1.5708 cm2
2
2
12
相对误差满足
er S
e S
S
1.5708 0.027 2.7% 58.905
即若取 S 58.905cm2作为圆环面积的近似值，则其绝对误差
不超过1.5708cm2 , 相对误差小于 2.7% .
注: ⑶ 相对误差和相对误差限都是无量纲数，常用百分数表示.
⑷
r
常用以下公式求：
r
x
.
5
例3 x1 100 2 的近似值 x1 100的相对误差限为
e1 x
e x1
x1
2 2% 100
x2 10 1 的近似值 x2 10 的相对误差限为
e2 x
ex2
x2
1 10% 10
再用舍入功能为八位的计算器计算，得结果为：
y 3.3921911108
19
由此，当相邻两数相减时，可考虑改变一下算法， 如
当
x1与
x 2 相近时，
ln
x1
ln
x2
ln
x1 x2
当 很小时， sinx sin x 2cos x sin

计算方法(1)-数值计算中的误差

计算方法(1)-数值计算中的误差

* r
(
x)
1)乘方运算结果的相对误差增大为原值 x的p倍,降低精度.
2)开方运算结果的相对误差缩小为原值
x的1/q倍,精度得到提高.
三.算例的误差分析
x
3
2 2

1 1

24
§6 算法的数值稳定性
一.算法稳定性的概念
凡一种算法的计算结果受舍入误差的影 响小者称它为数值稳定的算法.
例4 解方程 x2 (109 1)x 109 0
方程精确解: x1 10 9 , x2 1
利用求根公式
x1,2


b

b2 4ac 2a
x1 10 9 , x2 0
25

当多个数在计算机中相加时,最好从
绝对值最小的数到绝对值最大的数依次相
加,可使和的误差减小.
二.算法的改进
2 2

1 1

3
计算结 果
2 7/5
2 17 /12
1 ( 2 1)6

2 6

0.0040960

5
6


0.00523278
5
12
2 99 70 2
1
1 0.16666667
6
3
6
1



5
6
0.00523278
12 6
计算方法
1
第一章 数值计算中的误差
§1 引言 §2 误差的种类及其来源 §3 绝对误差和相对误差 §4 有效数字及其与误差的关系 §5 误差的传播与估计 §6 算法的数值稳定性

第一章数值计算方法与误差分析

第一章数值计算方法与误差分析
数值计算方法：研究怎样利用计算
工具求出数学问题的数值解，并对算 法的收敛性、稳定性和误差进行分析 计算的全过程。
构建一个完整的数值算法，包含着以下环节： 1. 提出数值问题（即对对象建立数学模型） 2 .构思处理数值问题的基本思想（即提出理论） 3 .列出计算公式 4 .设计程序框图
5 .编制源程序并调试
I0=
∫01
ex-1dx=
ex-1|
1 0
=
1-e-1
≈0.6321
In= 1– nIn-1 （n=1, 2, … , 9）
用四位小数计算依次得到：
0.6321, 0.3679, 0.2642, 0.2074, 0.1704
0.1480, 0.1120, 0.2160, -0.7280, 7.5520
• 定义3 若近似值x*的绝对误差限是 某一位上的半个单位，该位到x*的第一 位非零数字一共有n位，则称近似值x*有 n位有效数字，或说x*精确到该位。
• 准确数本身有无穷多位有效数字， 即从第一位非零数字以后的所有数字都 是有效数字。
有效数字举例
• 如例1中的x*1，x*2 ,x*3,分别有1,3,5位有效数字。 • 实际上，用四舍五入法取准确值x 的前n位（不
• 为了既能表示近似数的大小，又能 表示近似数的精确程度，我们下面介绍 有效数字的概念（注意：有效数字既能 表示近似数的大小，又能表示近似数的 精确程度）。
半个单位的概念
•
我们知道，当x有很多位数字时，常常按照
“四舍五入”原则取前几位数字作为x的近似值x*。
• 例1 设 x = π = 3.1415926 …
一元二次方程 X2+2pX +q=0的求解方法
根据根与系数的关系可知

数值计算方法1_误差

数值计算方法1_误差
数值方法 计算机求结果
0 绪论
评分标准 考试
60%
作业 出勤
30%
10%
1.1 误差 – 来源
误差来源
原始误差－模型误差（忽略次要因素，如空气阻力）物理模型 ，数学模型 观测误差－获取模型参数的观测或实验过程中带来的误差 方法误差－截断误差（算法本身引起） 计算误差－舍入误差（计算机表示数据引起）
1.1 误差 – 来源
模型 长乘以宽
求面积
测量
尺子
近似 表达
虚线
取值
四舍五入
1.2 误差 – 分类
绝对误差
* 设 x* 为精确值， x 为近似值，e x x 为误差或绝对误差
例如：f ( x ) ln(x 1) 作Taylor展开，
(1)i 1 i (1) n x n 1 , 0 1 x n1 i (n 1)(1x) i1
方法二：
取前5项，截断误差已经小于10-5 。
1.5 误差 – 避免两个相近的数相减
方法一：
方法二：
1.6 误差 – 避免除数绝对值远小于被除数绝对值
除数减小，绝对误差增大
1.7 误差 – 防止大数吃小数 求根
1.7 误差 – 防止大数吃小数
如果用8位数计算机：
正确结果： 错误结果：
1.8 误差 – 尽量采用数值稳定性好的方法
方法一：迭代 正向计算
方法二：取中数 反向计算
1.8 误差 – 尽量采用数值稳定性好的方法
为 什 么 ？
Hale Waihona Puke 1.8 误差 – 尽量采用数值稳定性好的方法
方法一：迭代
方法二：取中数 反向计算
反向计算误差传播降低，方法一可否反向计算？

数值计算方法马东升等第 版习题解答

数值计算方法马东升等第 版习题解答

第1章 数值计算引论1．1 内容提要一、误差的来源数值计算主要研究以下两类误差。

1． 截断误差数学模型的准确解与用数值方法求得的解的差称为截断误差，又称为方法误差。

这种误差常常是由用有限过程代替无穷过程时产生的误差。

例如，要计算级数∑∞==+++++1!1!1!31!211k k n的值，当用计算机计算时，用前n 项（有限项）的和∑==+++++nk k n 1!1!1!31!211来代替无穷项之和，即舍弃了n 项后边的无穷多项，因而产生了截断误差∑∞+=1!1n k k2． 舍入误差由于计算机字长为有限位，原始数据和四则运算过程中进行舍入所产生的误差称为舍入误差。

例如，用3.141 59表示圆周率π时产生的误差0.000 002 6…,用0.333 33表示1÷3的运算结果时所产生的误差1÷3-0.333 33 = 0.000 003 3…都是舍入误差。

二．近似数的误差表示1． 绝对误差设x *是准值x 的一个近似值，称**)(x x x e -=为近似值x *的绝对误差，简称误差。

令|)(|*x e 的一个上界为*ε，即***|||)(|ε≤-=x x x e把*ε称为近似数*x 的绝对误差限，简称误差限。

2． 相对误差设*x 是精确值x 的一个近似值，称xx x xx e **)(-=为近似值x *的相对误差。

在实际应用中常取***)(xx x x e r -=为*x 的相对误差。

令相对误差绝对值 |)(|*x e r 的一个上界为ε*r，即 ****|||||)(|r r x x x x e ε≤-=把ε*r称为近似数*x 的相对误差限。

3． 有效数字对有多位数字的准确值四舍五入原则得到其前若干位的近似值时，该近似值的绝对误差不超过末位的半个单位。

设数x 的近似值m n x x x x 10.021*⨯±= ，其中，i x 是0~9之间的任一个数，但i x ≠0，n i ,2,1=是正整数，m 是整数，若nm x x -⨯≤-1021||*则称*x 为x 的具有n 位有效数字的近似值，*x 准确到第n 位，n x x x ,,,21 是*x 的有效数字。

第一章数值计算中的误差

第一章数值计算中的误差

用 x ± ε 表示一个近似值，这在实际计算中很不方便。当在实际运算中遇到的数的位数 很多时，如π ， e 等，常常采用四舍五入的原则得到近似值，为此引进有效数字的概念。
定义 3：当近似值 x* 的误差限是其某一位上的半个单位时，我们就称其“准确”到这一位，
xn n!
&1+
x
+
x2 2!
+"+
xn n!
近似代替
ex
，这时的截断误差为
Rn
(x)
=
eξ (n +1)!
x n +1
,
ξ 介于 0 与 x 之间。
这种误差就是截断误差。
sin x = x − x3 + x5 − ...... , 用近似计算公式 sin x ≈ x - x3 + x5 截断误差估计
实际问题→数学模型→计算方法→程序设计→上机计算 由实际问题应用有关科学知识和数学理论建立数学模型这一过程，通常作为应用数学的 任务。而根据数学模型提出求解的计算方法直到编出程序上机算出结果，进而对计算结果进 行分析，这一过程则是计算数学的任务，也是数值计算方法的研究对象。 数值计算方法（也称数值分析或计算方法）是计算数学的一个主要部分，它是一门把数 学理论与计算机紧密结合起来进行研究的实用性很强的学科。它主要研究用计算机求解各种 数学问题的数值方法及其相关理论。
的绝对误差限为 0.0005
显然，误差限 ε(x)总是正数，且
ε (x) = x − x* ≤η
(1.3.3)
即
x * −η ≤ x ≤ x * +η
这个不等式，在应用上常常采用如下写法
x = x * ±η
(1.3.4) (1.3.5)

数值计算方法matlab 第一章 误差分析

1 第一章作业1.对一个数求和100000次。

对数1以单精度方式求和，对数0.00001分别以单精度和双精度方式求和。

问题分析：单精度方式使用函数single()，双精度求和为matlab自动调整，不需要特别说明。

程序编写如下：运行结果：实验结果分析：不难看出，对于1进行单精度求和得到的结果和期望值一致，但是对0.00001进行单精度求和的结果却存在误差，对0.00001进行双进度求和，误差得到减小。

这是由于量化误差造成的，0.00001在计算机中并不能准确表示，只能对其进行量化处理，得到一个和真值有一点区别的量化值，小量计算中可以忽略，但在计算了100000后误差积累，导致了最后的结果误差较大。

双精度的情况下，该误差小得多。

当x=0.1时，从1x -开始，然后每次加入一项来分别计算。

在每加入一个新项后，计算近似百分比相对误差，直到近似误差估计值的绝对值小于与五位有效数字一致的误差准则时停止计算。

问题分析：本例中，要保证5位有效数字，因此容限误差为：256s (0.510)%510--ε=⨯=⨯近似百分比误差为： -100%a ε=⨯当前近似值前一近似值当前近似值真误差为：-100%ε=⨯真值近似值真值跳出循环的标准为：a |s |ε<ε程序编写如下：运行结果如下：3实验结果分析：实验结果表明，当计算到第6次时，近似误差就已经小于了容限值，循环结束。

随着添加多的项数，实际误差和近似误差都减小了，说明了计算精度在逐步提高。

我们可以通过改的值来调节所需要的计算精度。

变s。

2013数值计算_第1章_误差

例 解300阶的线性方程组 求6阶矩阵的全部特征值
4
数值代数
主要内容
近似求解线性方程组 (直接解法, 迭代解法)
矩阵特征值的计算
数值逼近：插值法，函数逼近
数值微分与数值积分
非线性方程求解 微分方程近似求解
常微分方程数值解法
偏微分方程数值解法
5
第一章 误差
§1 误差的来源
§2 绝对误差、相对误差和有效数字
17
有效数字的另一等价定义
数x*总可以写成如下形式 x* 0.a1a2 an 10m.
其中m是整数, ai是0到9中的一个数字, a1 0. x* 作为x的近似值, 具有n位有效数字当且仅当
x* x 1 10mn 2
由此可见, 近似值的有效数字越多, 其绝对误差越小.
算法2的计算公式为
I n1

1 (1 n
In),
类似地可得
n k,k 1, ,2,1
In

I
* n

( 1)k n
ln 2 1 1 1 1 1 2345
这里产生误差 (记作R5 )截断误差
R5


1 6

1 7

1 8


9
舍入误差 由于计算机只能对有限位数进行 运算，在运算中像 2, e, 1 3 等都要按舍入 原则保留有限位，这时产生的误差称为舍入误 差。
在数值分析中，均假定数学模型是准确的，因而 不考虑模型误差和观测误差，只讨论截断误差和 舍入误差对计算结果的影响.
32
例
计算积分 In
1 xne x1dx
0
对于算法1： In 1 nIn1, n 1,2,

计算方法复习

数值计算方法复习（40学时）第一章 误差1、了解误差的概念，来源：模型误差、观测误差、截断误差、舍入误差；2、掌握绝对误差、相对误差与有效数字；3、知道数值运算中误差传播的规律及应注意的问题。

例1：问142.3，141.3，7/22分别作为π的近似值各具有几位有效数字？例2：设计算球体体积允许其相对误差限为1%，问测量球半径的相对误差限最大为多少？ 例3：1）经过四舍五入得出1025.61=x ，115.802=x 。

试问它们分别具有几位有效数字？ 2）求21x x +的绝对误差限。

3)若64.3587=*x 是x 的具有六位有效数字的近似值，求x 的绝对误差限. 第二章 插值法1、 了解插值问题的提法，差商与差分的概念与求法；2、 掌握Lagrange 插值多项式与Newton 插制多项式的求法；3、 了解分段低次插值，样条插值；4、 了解数值微分。

例1：已知10100=，11121=，12144=，用抛物线插值求115的近似值，并 估计误差。

例2：设4)(x x f =，试利用拉格朗日插值余项定理写出以2,1,0,1-为插值节点的三次 插值多项式。

例3：已知1234)(248+++=x x x x f ，求]2,,2,2[81f . 例4：已知x x f sin )(=的数值表如下，试写出三阶(向前)差分表.例5：已知5,3,2,0=x 对应的函数值为5,2,3,1=y ，做三次Newton 插值多项式. 如再增加6=x 时的函数值为6，作四次Newton 插值多项式。

例6：判断函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-+<≤<≤-=21,)1(10,01,0)(233x x x x x x x f 是否为三次样条函数.第三章 曲线拟合了解最小二乘法的提法，掌握最小二乘法 例：用最小二乘法建立下表的经验公式第四章 矩阵的特征值与特征向量了解乘幂法与反幂法，雅可比方法；会求主特征值和相应的特征向量。

例：用幂法求矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛=5423A 的主特征值和对应的特征向量. （取T v )1,1(0=，精度为0.1）第五章 数值积分1、 掌握构造数值积分公式的基本方法；2、 会求数值积分公式的代数精度3、了解Newton-Cotes 公式；复和求积公式，龙贝格算法。

第一章数值计算方法

*
*


x
r (x )
*
则称
r (x )
*
r (x )
*
为近似值 x 的相对误差限。
*
*
简记为 r
1.3.2 相对误差和相对误差限 例4. 甲打字每100个错一个，乙打字每1000个 错一个，求其相对误差 解： 根椐定义:甲打字时的相对误差
e
* r

1 100
100
乙打字时的相对误差
Tel：
86613747
E-mail： lss@ 授课: 68
学分：4
在数学发展中，理论和计算是紧密联系的。现代计算机
的出现为大规模的数值计算创造了条件，集中而系统的研究
适用于计算机的数值方法变得十分迫切和必要。数值计算方 法正是在大量的数值计算实践和理论分析工作的基础上发展
起来的，它不仅仅是一些数值方法的简单积累，而且揭示了
<0.5 10-4
m-n=1-n=-4 所以 n=5
x*= 3.1416有5位有效数字
关于有效数字说明 ① 用四舍五入取准确值的前n位x*作为近似值,则 x*必有n位有效数字。如3.142作为 的近似值 有4位有效数字，而3.141为3位有效数字 ② 有效数字相同的两个近似数，绝对误差不一定 相同。例如，设x1*=12345,设x2*=12.345,两者 均有5位有效数字但绝对误差不一样 x- x1* =x- 12345 ≤ 0.5= 1/2 100 x- x2* =x- 12.345≤0.0005=1/210-3 ③ 把任何数乘以10p(p=0,1,…)不影响有效位数 ④ 准确值具有无穷多位有效数字,如三角形面积 S=1/2ah=0.5ah 因为0.5是真值,没有误差 *=0,因此n,准确值具有无穷位有效数字
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1 10n1 2a1
所以 1 10n1 是 x* 的相对误差限。
2a1
若
r
1
2a1
1
10n1,
由式（1-4）
21
绝对误差、相对误差和有效数字
e x* x*er x* 0.a1a2 L an L 10mr
a1
1
10m1
2
1 a1
1
10n1
1 10mn 2
由式(1-6)，x* 至少有n位有效数字。
1.3.1 基本运算中的误差估计
本节中所讨论的基本运算是指四则运算与 一些常用函数的计算。
由微分学，当自变量改变量（误差）很小时， 函数的微分作为函数改变量的主要线性部分可以 近似函数的改变量， 故利用微分运算公式可导出 误差运算公式。
24
数值计算中误差的传播
设数值计算中求得的解与参量（原始数据）
由以上各式还可得出
ex1 x2 ex1 ex2 ex1 ex2 (1-14)
er x1x2 er x1 er x2 er x1 er x2 (1-15)
er
x1 x2
er x1 er x2
er x1
er x2
(1-16)
29
数值计算中误差的传播
因此，和、差的误差限不超过各数的误差限之 和，积、商的相对误差限不超过各数的相对误 差限之和。
定义： 若x的某一近似值 x* 的绝对误差限是某一位 的半个单位， 则称其“准确”到这一位，且从该位直到
x* 的第一位非零数字共有q位，则称近似值 x* 有q
位有效数字。
16
绝对误差、相对误差和有效数字
例如， 2 的近似值1.414准确到小数点后第3位， 它具有4位有效数字。
1.4142136作为 2 的近似值精确到小 数点后第7位，有8位有效数字。
定理1.1表明，由有效数字位数可以求出相对误
差限。如 x* 2.72 是x e 的具有3位有效数字的
近似值, 故其相对误差限为
r
1 1031 22
0.25102
22
数值计算中误差的传播
例: 要使 20 的近似值的相对误差小于1%,应取
几位有效数字？
解: 4 20 5,
20 的首位非零数是4, a1 4
§1.1 误差的来源
数值计算方法是应用数学研究的一个重要分 支(又称数值分析或计算方法)， 是研究科学与 工程技术中数学问题的数值解及其理论的,
或者说是“研究用于求得数学问题近似解的 方法和过程”。
用数学方法解决实际问题，常按以下过程 进行：
实际问题 抽象、简化 数学模型 数值计算 问题近似解
3
误差的来源
因此，在计算过程中，误差是不可避免的。 在此过程中，引起误差的因素很多，主要有以 下几种：
1.模型误差 实际问题的解与数学模型的解之差称为
“模型误差”。 2.观测误差
数学问题中总包含一些参量，它们的值往 往是由观测得到的, 而观测不可能绝对准确， 由此产生的误差称为“观测误差”。
4
误差的来源
3.截断误差
个相对误差限。
例 取3.14作为 的四舍五入的近似值,试求其
相对误差限.
13
绝对误差、相对误差和有效数字
解:
3.14 0.0016 1 102
2
相对误差限 又如
x*
1 102
2
0.159 %
3.14
由实验测得光速近似值为 c* 2.997925105 km/s，
其误差限为 0.1 km/s， 于是
一般地，如果近似值 x* 的规格化形式为
x* 0.a1a2 an 10 m (1-5) 其中m为整数，a1 0, ai i 1,2, 为0到9之间
的整数。
17
x* 0.a1a2 an 10 m
(1-5)
如果
x x* 1 10mn 2
(1-6)
则称近似值 x* 有n位有效数字。 例到如小数x 点0后.00第34050位 ,12有130位5 表有示效近数似字值。0.003400准确
的部分和作为近似值，也就是截去该级数后面
的无穷多项。
5
误差的来源
例如
x2 x4 x6
1 n x2n
cos x 1 L 2 4! 6!
2 n !
L
当 x 很小时，可以用 1 x2 作为 cos x 近似值。
2
由交错级数判断的莱布尼兹（Leibniz）准则， 它的截断误差的绝对值不超过 x4
2
10
绝对误差、相对误差和有效数字
误差限的大小不能完全反映近似值的精确程度。 要刻画近似值的精确程度，不仅要看绝对误差的 大小，还必须考虑所测量本身的大小， 由此引出 了相对误差的概念。
定义2 设 x*为准确值 x 的近似值，称绝对误差与
准确值之比为近似值 x* 的相对误差，记为 er (x* )
0.1
4107
c* 2.997925105
所以，4 107 是 c* 的一个相对误差限。
14
绝对误差、相对误差和有效数字
1.2.2 有效数字 有效数字是近似值的一种表示法。它既能表
示近似值的大小，又能表示其精度程度。 在计算过程中，常常按四舍五入的原则取数
x 的前几位数 x* 为其近似值。
例如，x 2 1.414213562 L ,取前四位数得 x* 1.414. 取前八位数得近似值 x* 1.4142136
例1：设 y xn，求 y的相对误差与 x 相对误
差 之间的关系。 解: 由式（1－10）得
er y d ln xn ndln x ner x
所以 xn 的相对误差是x 的相对误差的n倍。 特别地， x 的相对误差是x 的相对误差的一半。
30
数值计算中误差的传播
误差限。反之，若 x* 的相对误差 r 满足
r
1
2a1
1
10n1
则 x* 至少具有n位有效数字。
20
绝对误差、相对误差和有效数字
证明: 若 x* 具有 n 位有效数字, 则
由式（1-6）
e x* x x* 1 10mn 2
从而有
e x*
er x* x*
1 10mn 2
0.a1a2 L an L 10m
x1
x1e
x2
er x1x2 er x1 er x2
(1-12)
e
x1 x2
1 x2
e
x1
x1 x22
e x2
erBiblioteka x1 x2erx1
er
x2
(1-13)
28
数值计算中误差的传播
式(1-11)～式(1-13)表明，和、差之误差为误 差之和、差; 积、商之相对误差为相对误差之 和、差。
e y* y y* f x1, x2 ,L , xn f (x1*, x2*,L , xn*)
df (x1*, x2*, xn*) n f i 1
x1*, x2*,L , xn* xi
xi xi*
n f i1
x1* , x2* , xi
, xn*
e
xi*
(1-9)
由于实际问题建立起来的数学模型,在很多情况 下得到准确解是困难的,通常要用数值方法求它的 近似解.
例如,常用有限过程逼近无限过程,
用能计算的问题代替不能计算的问题. 这种数学模型的精确解与由数值方法求出的
近似解之间的误差称为截断误差。
由于截断误差是数值方法固有的, 故又称方法误差.
如求一个收敛的无穷级数之和， 总是用它
上面的讨论表明，可以用有效数字位数来刻划 误差限。
形如式(1-5)的数，当m一定时，其有效数字 数位n越大，则误差限越小。
18
绝对误差、相对误差和有效数字
例如若 x* 1452.046 是具有7位有效数字的 近似值，则它的误差限为
x x* 1 103 1 1047 , m 4, n 7
2
8
绝对误差、相对误差和有效数字
即估计出误差绝对值的一个上界
e(x* ) x x*
(1-2)
通常称 为近似值 x*的绝对误差限，简称误差限。 显然误差限不是唯一的。
有了误差限及近似值，就可以得到准确值
的范围
x* x x*
即准确值 x 必定在区间 x* , x* 内，
也常记作:
数值分析 (54学时)
主 讲： 董 亚 丽
理学院 数学系
教材：《数值计算方法》， 第2版， 丁丽娟 程杞元 编著 北京理工大学 出版社
参考书目： 1、《数值分析原理》，封建湖等 科学出版社
2、《数值计算方法》，吕同富等，清华大学出版社
3、《数值计算方法》，合肥工业大学出版社
误差的来源
第一章 误差
x x*
9
绝对误差、相对误差和有效数字
容易看出，经过四舍五入得到的数，其误差必定 不超过被保留的最后数位上的半个单位， 即 最后数位上的半个单位为其误差限。
例如若取 的近似值为3.14，则
3.14 0.0016 1 102
2
若取 3.142 , 则 3.142 0.00041 1 103
的高阶无穷小，可以忽略不计。
所以，取绝对误差与近似值之比为相对误 差是合理的。
12
绝对误差、相对误差和有效数字
同样，相对误差也只能估计其上限。 如果存在正
数
，
r
使得
e x* er x* x* r
(1-4)
则称 r为 x*的相对误差限。
显然，误差限与近似值绝对值之比 x* 为 x*的 一
设近似数 x* 有n位有效数字,只须取n使
1 10n1 1% 2a1
即