解一元一次方程(盈不足问题)PPT

【解析】设共有x人，根据题意，得8x－3＝7x＋4. 解得x＝7.所以8x－3＝53(元)． 答：共有7人，这个物品的价格是53元．
2．(2017·岳阳)我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书
的数目相等．第一次他们领来这批书的 2 ，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取 来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好3 又打了9个包，那么这批书共有多少本？
【解析】设每个房间要粉刷的墙面面积为 x 平方米，由题意得
8x－50－10x＋40＝10，解得 x＝52.
3
5
答：每个房间需要粉刷的墙面面积为 52 平方米．
【解析】设这批书共有 3x 本，根据题意得
2x－40＝x＋40，
16
9
解得 x批书共有 1 500 本．
3．有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工粉刷8个房间，结果还有50平方米墙面没有刷 完；同样时间5名二级技工粉刷完10个房间外，还多刷了另外的40平方米的墙面，已知每名一级技工 比二级技工一天多刷10平方米的墙面，求每个房间需要粉刷的墙面面积．
第三章 一元一次方程
专题23 盈余和不足问题
武汉专版·七年级上册
1．(2017·安徽)《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题，原文如下： 今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？ 译文为：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少 人？这个物品的价格是多少？ 请解答上述问题．

例1： 把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本； 如果前面的每个学生分5本，那么最后一个人就分不到3本。 这些书有多少本？学生有多少个人？
（2)第二种分配方式“如果前面的每个学生分5 本，那么最后一个人就分不到3本。”中“最后一 个人”到底分了多少本书呢？仔细分析可知： “最后一个人分不到3本”，那就是“最后一个人 分到的本数”大于等于1而小于3，即“1≤最后 一个人分到的本数<3”。
例1： 把一些书分给几个学生，如果每人分3本，那么余8本； 如果前面的每个学生分5本，那么最后一个人就分不到3本。 这些书有多少本？学生有多少个人？
(3)如何表示“最后一个人分到的本数”？前面 （x -1）个人一共分了5（x-1）本书，那么“ 最后一个人分到的本数” = 这些书的总本数 前面（x -1）个人共分的本数，即“最后一个 人分到的本数” =（3x+8）- 5（x - 1）。
答：小朋友的人数是6个或7个，对应的玩具是22个或25个 。
2.学校将若干间宿舍分配给七年级一班的女生住宿，已知
该班女生少于35人，若每个房间住5人，则剩下5人没处住；
若每个房间住8人，则空一间房，并且还有一间房也不满。
问有多少间宿舍，多少名女生？
解：设有x间宿舍，根据题意得：
（5x+5）- 8（x - 2）≥ 1 ①， 即： （5x+5）- 8（x - 2）< 8 ② ，
（4x + 1）- 5（x - 2） ≥ 1 ① （4x + 1 ）- 5（x - 2）≤ 5 ②
例2： 将若干只鸡放入若干个笼子，若每个笼子里放4只，则 有一只鸡无笼可放；若每个笼子里放5只，则有一笼无鸡可放 ，那么至少有几只鸡，几个笼子？
解：设有x个笼子，根据题意得：

(1 - 0.25) y = 60y-0.25y=600.75y=60y=80
由此可知，两件衣服的进价是x+y=128(元)
而 128(两件衣服的进价) > 120(两件衣服的手机)
亏损
利润=售价-成本=120-128=-8（元）
如何判断盈亏
审：理解并找出实际问题中的等量关系;设：用代数式表示实际问题中的基础数据;列：找到所列代数式中的等量关系，以此为依据列出方程;解：求解;验：考虑求出的解是否具有实际意义;答：实际问题的答案.
（销售盈亏问题）
LOGO
你知道为什么用（利润÷商品进价）而不是（利润÷商品售价）呢？
利润率是利润与成本之间的比率，考虑的是投入多少可以带回多少收益。
现售价 = 标价×折扣
售价 = 进价×（1+利润率）
若盈利利润率为正，若亏损利润率为负。
销售中的等量关系
盈利
亏损
售价- 进价> 0
售价- 进价< 0
不盈不亏
售价- 进价= 0
单 部 手 机 利 润：1500 - 1200=300元单部手机的利润率： 300÷1200=25%
情景引入
利润= 商品售价-商品进价
3）进价、利润、利润率的关系：
4）标价、折扣、商品现售价关系 :
5）商品售价、进价、利润率的关系：
1）销售金额=
售价×数量
2）售价、进价、利润的关系式：
利润率=（利润÷商品进价）×100%
【答案】B【详解】设这种商品的标价是x元,＝20%，x＝240这种商品的标价是240元．
课堂测试
2．（2019·哈尔滨市萧红中学初二月考）商店将进价2400元的彩电标价3200元出售，为了吸引顾客进行打折出售，售后核算仍可获利20%，则折扣为（ ）A．九折 B．八五折 C．八折 D．七五折

打折销售.若使利润率为20%，则商店应打几折？
【分析】由题意可知，实际售价=标价×折扣数，利润=进价×利润率，根
据“售价=进价+利润” 列方程求解.
解：设商店应打x折，
依题意，得

180× ＝120+120×20%
10
解得
答：商店应打八折．
x＝8
五一期间，某电商平台推出全场打折的优惠活动，小明妈妈购买了标价为
意，得
x+0.25x=60
解方程，得
x=48
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利
25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
问题3：两件衣服的成本各是多少元？
亏损的一件
解：设亏损25%的那件衣服进价是y元. 根据
题意，得
y-0.25y=60
解方程，得
y=80
一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利
25%，另一件亏损25%，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
两件衣服的进价是
x＋y＝48＋80＝128(元)
而两件衣服的售价是
60＋60＝120(元)
因为进价大于售价，
由此可知卖这两件衣服总共亏损8元.
销售中的盈亏问题的重要关系：
例1.某商品的零售价是900元，为适应竞争，商店按零售价打九折 (即原价
的90%)，并再让利40元销售，仍可获利10%，求该商品的进价．
(900×90%－40)
【分析】由题目条件，易知该商品的实际售价是_______________元.
设
该商品的进价为每件x元，根据实际售价(不同表示法)相等列方程求解.

●售价、进价、利润的关系式：
商品利润 = 商品售价—商品进价
●进价、利润、利润率的关系：
利润率=
商品利பைடு நூலகம் 商品进价
×100%
●标价、折扣数、商品售价关系 :
商品售价＝ 标价× 折扣数
10
●商品售价、进价、利润率的关系：
商品售价= 商品进价×(1+利润率)
某商店在某一时间以每
件60元的价格卖出两件衣
1500×x/10=1000(1+5%) 解得 x=7
答:商店最多可以打7折出售此商品。
●标价、折扣数、商品售价关系 :
商品售价＝
折扣数 标价×
10
●商品售价、进价、利润率的关系：
商品售价=商品进价×(1+利润率)
思考题
大展身手
某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好， 商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%,那么商店最多可 打几折出售此商品？
• 解:设商店最多可以打x折出售此商 品,根据题意得:
分析：售价=进价+利润
售价=(1+利润率)×进价
分析：① 设盈利25%衣服的进价是 x 元，则商
品利润是
元；依题意列方程
.
由此得 x =
.
② 设亏损25%衣服的进价是 元，则商品
利润是
元；依题意列方程
.
由此得 y = .
两件衣服的进价是 x+y=
（元）
两件衣服的售价是
（元）
因为 进价
售价
所以可知卖这两件衣服总的盈亏情况是
.
解：设盈利25%的那件衣服的进价是x元, 另一 件的进价为y元，依题意，得

C组 8.某学校组织四名学生参加知识比赛，共设20道选择题，各题分 值相同，每题必答，下表记录了其中2名学生参赛后的得分情况.
参赛者
答对题数
答错题数
得分
A
18
2
86
B
17
3
79
（1）答对一道题得几分？答错一道题扣几分？ （2）参赛学生C得72分，他答对了几道题？答错了几道题？为什 么？
9. 在学完“有理数的运算”后，某中学七年级以每班各选出5名 学生组成一个代表队，在数学老师的组织下进行一次知识比赛． 比赛规则：每队都必须回答50道题，答对一题得4分，不答或答 错一题倒扣1分．某班代表队的最后得分有可能为142分吗？请说 明理由．
变式训练
3.有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只 鸽子无鸽笼可住，如果再飞来5只鸽子，连同本来的鸽子，每个 鸽笼刚好住8只鸽子，原有多少只鸽子和多少个鸽笼？ 解：设原有x个鸽笼，则鸽子有（6x+3）只. 由题意，得8x=6x+3+5. 解得x=4. 则6x+3=24+3=27. 答：原有27只鸽子，4个鸽笼.
第一部分 新课内容
第三章 一元一次方程
第40课时 实际问题与一元一次方程（7）—— 积分与盈不足问题
目录
01 知识点导学 02 典型例题 03 变式训练 04 分层训练
知识点导学
A. 无负分的积分问题等量关系： 分数1×题目数量1（场数1）+分数2×题目数量2（场数2）=总得 分 有负分的积分问题等量关系： 正分×题目数量1（场数1）-扣分×题目数量2（场数2）=总得分
解：设张华答对了x道题． 由题意，得3x-（40-x）=60. 解得x=25. 答：张华答对了25道题．

旧知回顾
应用一元一次方程解决实际问题的一般步骤是什么？ 1．审——通过审题找出等量关系；2．设——设出合理的未知数 (直接或间接)，注意单位名称；3．列——依据找到的等量关系， 列出方程；4．解——求出方程的解(对间接设的未知数切记继续 求解)；5．检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符 合实际；6．答——注意单位名称
小组讨论
《孙子算经》记载：“今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五
寸；屈绳量之，不足一尺。木长几何？”(尺、寸是长度单位，1尺
＝10寸)意思是：现有一根长木，不知道其长短。用一根绳子去度
量长木，绳子还剩余4．5尺；将绳子对折再度量长木，长木还剩余
1尺。问长木长多少？设长木长为x尺，则可列方程为( A )
则最后一组差4人，若计划分x组，则可列方程为( A ) A．7x＋2＝8x－4 B．7x－2＝8x＋4 C．7x＋2＝8x＋4 D．7x－2＝8x－4
例4：某校组织七年级学生到合肥市园博园研学旅行，租用同型号客 车4辆，还剩30人没有座位；租用5辆，还空10个座位。求参加研 学的学生人数。
解：设每辆车能乘坐x人，根据题意，得4x＋30＝5x－10，解得x ＝40，故4x＋30＝190。 答：参加研学的学生有190人。
2．将教材149页(2)(3)补充完整。 (2)x；8x；7x；8x－3；7x＋4 (3)8x－3＝7x＋4；7；7；53
3．把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本； 如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少名学生？ 解：设图书有y本。①需要表示的量是什么？(学生总数)②如 何表示？(学生总数＝分出书的总数÷每人分到的本数)
人数＝两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差； 物价＝每人出的较多钱数×人数－剩余钱数； 物价＝每人出的较少钱数×人数＋不足钱数。

⁠
(2)按比赛规则，该队胜场共得 3 x 分；
(3)按比赛规则，该队平场共得 (11－ x ) 分；
⁠
⁠
(4)依题意，列出方程： 3 x ＋(11－ x )＝23
该队共胜了 6 场．
，
⁠
1. 我校“春之声”广播室小记者谭艳同学为了及时报道学校参加全市
中学生篮球比赛情况，她从领队韦老师那里了解到校队共参加了16场，
5.3实际问题与一元一次方程(4)—— 积分、盈不足问题
球赛积分问题
例1 在某年全国足球甲级 A 组的前11场比赛中，某队保持连续不败，
共积23分，按比赛规则，胜一场得3分，平一场得1分，那么该队共胜了
多少场？设该队共胜了 x 场，根据题意，用含 x 的代数式填空：
(1)该队平了 (11－ x ) 场；
解：设有 x 个房间．
由题意，得8 x ＋12＝9( x －2)．解得 x ＝30.
所以8×30＋12＝252(人)．
答：有30个房间，学生252人．
1． 爸爸和儿子共下12盘棋(未出现和棋)后，得分相同，爸爸赢一盘
记1分，儿子赢一盘记2分，则爸爸赢了(
A． 9盘
B． 8盘
C． 4盘
D． 3盘
B
)
所以小明得了69分．
(2)小亮所有题都答了，他说他正好得了69分，请列方程分析小亮的
说法是否正确．
(2)设小亮答对 x 道题，则答错(25－ x )道题．
由题意，得4 x ＋(－1)×(25－ x )＝69.
解得 x ＝18.8，不合题意．
所以小亮的说法不正确．
4． 我县为了美化城市采取了多项措施，其中就有对城区主干道进行
⁠
积 1 分．
⁠

解：设小明答对 x 道题，由题意得
4 x －1×(25－ x )＝75，
解得 x ＝20.
答：小明答对20道题.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5.3 实际问题与一元一次方程(6)——积分、
盈不足问题
课堂学练
4. 某次数学竞赛试卷只有25道选择题，做对一题得4分，做错一题扣2
分，未做得0分.已知小傅同学最后一题还没来得及做就收卷了，竞赛结
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5.3 实际问题与一元一次方程(6)——积分、
盈不足问题
分层检测
(2)已知45座客车的日租金为每辆1 000元，60座客车的日租金为每辆1
200元，该校单独租用哪种车更合算？
解：租用45座客车一天的费用为
1 000×5＝5 000(元)，
租用60座客车一天的费用为
1 200×4＝4 800(元)，
25
分.
5.3 实际问题与一元一次方程(6)——积分、
盈不足问题
课堂学练
知识点1：球赛积分问题
1. 【例】足球比赛积分规则为胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0
分，一个队打14场负5场共得19分，那么这个队共胜了多少场？
解：设这个队共胜了 x 场，由题意得
3 x ＋1×(14－5－ x )＝19，
7
8
9
10
11
12
感谢聆听
解得 x ＝5.
答：这个队共胜了5场.
1
2
3
4
5

• 本题中不变典诵读班开课了！
把一些图书分给某个班学生阅读， 如果每人分3本，则剩余20本；如 果每人分4本，则还缺25本.这个班 有多少学生？
经典诵读班开课了，把一些图书分给某个班 学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如 果每人分4本，则还缺25本.这个班有多少学生？
3、这个班的学生总数是一个定值，表示它的两个 式子相等，列方程为：
新学年开始了，宿管员正给新同学安排宿舍， 则空了4个床位。该校有多少间宿舍？
解：设该校有x间宿舍。 • • • 5x+14=7x-4 5x-7x=-4-14 -2x=-18
如果每间5人，则多14人没有床位；如果每间7人，
• •
x=9 答：该校有9间宿舍。
1.这个问题中不变的量是什么？ 2.若设有x名同学，如何表示书 的总数？ 3.如何列方程？
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3 本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺25本.这 个班有多少学生？ 若设图书有y本。 1、需要表示的量是什么 ？ 2、如何表示（※学生总数=分出书的总数÷每人得的本数） 如果每人分3本，则剩余20本，共分出： 本 ，每 人分3本，学生总数为 ： 如果每人分4本，则还缺25本，共分出： 人分4本，学生总数为： 本，每
• 像以上题目中把一定数量的物品平均分给 固定的对象，如果按某种标准分，则分配 后有剩余；按另一种标准分，分配后又会 有不足，求物品的数量和分配对象的数量。 这一类问题称为 盈不足问题。
盈不足术是我国古代数学中的优秀算法.《九 章算术》卷七中有详尽的记载
风再冷，不会永远不息；雾再浓，不
会经久不散。风息雾散，仍是阳光灿烂。
第三章
一元一次方程
3.4实际问题与一元一次方程