定积分与微积分基本定理

定积分与微积分基本定理一、知识梳理 1．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b ，将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1，2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －anf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛ab f (x )d x ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝lim n →∞∑ni ＝1b －anf (ξi )． 在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，函数f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．2．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)．(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ．(3)⎠⎛ab f (x )d x ＝⎠⎛ac f (x )d x ＋⎠⎛cb f (x )d x (其中a <c <b )．3．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿——莱布尼茨公式．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪b a ，即⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．常用结论1．定积分应用的常用结论当曲边梯形位于x 轴上方时，定积分的值为正；当曲边梯形位于x 轴下方时，定积分的值为负；当位于x 轴上方的曲边梯形与位于x 轴下方的曲边梯形面积相等时，定积分的值为零．2．若函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有 (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0. 二、习题改编1．(选修2-2P66T14改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，2x ，x <0，则⎠⎛－11f (x )d x 的值是( )A.⎠⎛－11x 2d xB ．⎠⎛－112x d xC.⎠⎛－10x 2d x ＋⎠⎛012x d xD ．⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x解析：选D.由分段函数的定义及定积分运算性质， 得⎠⎛－11f (x )d x ＝⎠⎛－102x d x ＋⎠⎛01x 2d x .故选D.2．(选修2-2P66A 组T14改编)⎠⎛2e ＋11x －1d x ＝________． 解析：⎠⎛2e ＋11x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1.答案：13．(选修2-2P55A 组T1改编)若⎠⎛0π2(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于________．解析：由题意知(－cos x －a sin x )⎪⎪⎪π20＝1－a ＝2，a ＝－1. 答案：－14．(选修2-2P60A 组T6改编)汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是________m.解析：s ＝⎠⎛12(3t ＋2)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t 21 ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m)． 答案：132一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .( )(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .( )(3)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.( )(4)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的区域面积是⎠⎛01(x 2－x )d x .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)误解积分变量致误； (2)不会利用定积分的几何意义求定积分；(3)f (x )，g (x )的图象与直线x ＝a ，x ＝b 所围成的曲边图形的面积的表达式不清致错． 1．定积分⎠⎛－12(t 2＋1)d x ＝________．解析：⎠⎛－12(t 2＋1)d x ＝(t 2＋1)x |2－1＝2(t 2＋1)＋(t 2＋1)＝3t 2＋3. 答案：3t 2＋3 2.⎠⎛22－x 2d x ＝________解析：⎠⎛022－x 2d x 表示以原点为圆心，2为半径的14圆的面积，故⎠⎛022－x 2d x ＝14π×(2)2＝π2.答案：π23．如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.所以S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2⎪⎪⎪20＝－83＋4＝43.答案：43[学生用书P53]定积分的计算(多维探究) 角度一 利用微积分基本定理求定积分计算下列定积分：(1)⎠⎛122x d x ；(2)⎠⎛0πcos x d x ；(3)⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2x －1x 2d x . 【解】 (1)因为(ln x )′＝1x ，所以⎠⎛122x d x ＝2⎠⎛121xd x ＝2ln x ⎪⎪⎪21＝2(ln 2－ln 1)＝2ln 2.(2)因为(sin x )′＝cos x ，所以⎠⎛0πcos x d x ＝sin x ⎪⎪⎪π0＝sin π－sin 0＝0.(3)因为(x 2)′＝2x ，⎝⎛⎭⎫1x ′＝－1x 2，所以⎠⎛13⎝⎛⎭⎫2x －1x 2d x ＝⎠⎛132x d x ＋⎠⎛13⎝⎛⎭⎫－1x 2d x ＝x 2⎪⎪⎪31＋1x ⎪⎪⎪31＝223. 角度二 利用定积分的几何意义求定积分计算下列定积分：(1)⎠⎛011－（x －1）2d x ；(2)⎠⎛－55(3x 3＋4sin x )d x .【解】 (1)根据定积分的几何意义，可知⎠⎛011－（x －1）2d x 表示的是圆(x －1)2＋y 2＝1的面积的14(如图中阴影部分)．故⎠⎛011－（x －1）2d x ＝π4.(2)设y ＝f (x )＝3x 3＋4sin x ，则f (－x )＝3(－x )3＋4sin(－x )＝－(3x 3＋4sin x )＝－f (x )， 所以f (x )＝3x 3＋4sin x 在[－5，5]上是奇函数． 所以⎠⎛－50(3x 3＋4sin x )d x ＝－⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x .所以⎠⎛－55(3x 3＋4sin x )d x ＝⎠⎛－50(3x 3＋4sin x )d x ＋⎠⎛05(3x 3＋4sin x )d x ＝0.计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． (2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[提醒] 当被积函数的原函数不易求，而被积函数的图象与直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0所围成的曲边梯形的面积易求时，可利用定积分的几何意义求定积分．1.⎠⎛－11e |x |d x 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2解析：选C.⎠⎛－11e |x |d x ＝⎠⎛－10e －x d x ＋⎠⎛01e x d x＝－e －x ⎪⎪⎪⎪1-1＋e x ⎪⎪⎪⎪1＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0) ＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C. 2.⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x d x ＝________． 解析：⎠⎛01⎝⎛⎭⎫1－x 2＋12x d x ＝⎠⎛011－x 2d x ＋⎠⎛0112x d x ，⎠⎛0112x d x ＝14，⎠⎛011－x 2d x 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.答案：π＋14利用定积分求平面图形的面积(师生共研)(一题多解)求由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积． 【解】如图所示，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，得两交点的坐标分别为(2，－2)，(8，4)．法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和， 即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝18.法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S ＝⎠⎛－24⎝⎛⎭⎫y ＋4－12y 2d y ＝18.设阴影部分的面积为S ，则对如图所示的四种情况分别有：(1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x .(2)S ＝－⎠⎛ab f (x )d x .(3)S ＝⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x .(4)S ＝⎠⎛ab f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛ab [f (x )－g (x )]d x .1．已知曲线C ：y ＝x 2＋2x 在点(0，0)处的切线为l ，则由C ，l 以及直线x ＝1围成的区域的面积等于________．解析：因为y ′＝2x ＋2，所以曲线C ：y ＝x 2＋2x 在点(0，0)处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝0＝2，所以切线方程为y ＝2x ，所以由C ，l 以及直线x ＝1围成的区域如图中阴影部分所示，其面积S ＝⎠⎛1(x 2＋2x －2x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＝x 33⎪⎪⎪10＝13.答案：132.已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．解析：f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(0)＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a ＜0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)d x ＝112a 4＝112，所以a ＝－1. 答案：－1定积分在物理中的应用(师生共研)(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2(2)一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________J.【解析】 (1)令v (t )＝0得，3t 2－4t －32＝0， 解得t ＝4⎝⎛⎭⎫t ＝－83舍去. 汽车的刹车距离是⎠⎛04⎝⎛⎭⎫7－3t ＋251＋t d t ＝[7t －32t 2＋25ln(t ＋1)]⎪⎪⎪40 ＝4＋25ln 5.(2)由题意知，力F (x )所做的功为W ＝⎠⎛04F (x )d x ＝⎠⎛025d x ＋⎠⎛24(3x ＋4)d x ＝5×2＋⎝⎛⎭⎫32x 2＋4x ⎪⎪⎪42 ＝10＋⎣⎡⎦⎤32×42＋4×4－⎝⎛⎭⎫32×22＋4×2＝36(J)．【答案】 (1)C (2)36定积分在物理中的两个应用(1)求物体做变速直线运动的路程，如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )d t .(2)变力做功，一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )d x .1．物体A 以v ＝3t 2＋1(m/s)的速度在一直线l 上运动，物体B 在直线l 上，且在物体A 的正前方5 m 处，同时以v ＝10t (m/s)的速度与A 同向运动，出发后，物体A 追上物体B 所用的时间t (s)为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C.因为物体A 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t (3t 2＋1)d t ，物体B 在t 秒内行驶的路程为⎠⎛0t 10t d t ，因为(t 3＋t －5t 2)′＝3t 2＋1－10t ，所以⎠⎛0t (3t 2＋1－10t )d t ＝(t 3＋t －5t 2)⎪⎪⎪t0＝t 3＋t－5t 2＝5，整理得(t －5)(t 2＋1)＝0，解得t ＝5.2．设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J(x 的单位：m ；力的单位： N)．解析：变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )d x ＝⎠⎛110(x 2＋1)d x ，因为⎝⎛⎭⎫13x 3＋x ′＝x 2＋1，所以原式＝342(J)．答案：342[学生用书P274(单独成册)][基础题组练]1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12解析：选D.⎠⎛01(3x ＋e x )d x ＝⎝⎛⎭⎫32x 2＋e x ⎪⎪⎪10＝32＋e －1＝12＋e. 2．若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x ＞0，x ＋⎠⎛0a 3t 2d t ，x ≤0，f (f (1))＝1，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．－1D ．－2解析：选A.因为f (1)＝lg 1＝0，f (0)＝⎠⎛0a 3t 2d t ＝t 3⎪⎪⎪a 0＝a 3，所以由f (f (1))＝1得a 3＝1，所以a ＝1.3．若f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，则⎠⎛01f (x )d x ＝( )A ．－1B ．－13C.13D ．1解析：选B.因为f (x )＝x 2＋2⎠⎛01f (x )d x ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋2x ⎠⎛01f （x ）d x |1＝13＋2⎠⎛01f (x )d x ，所以⎠⎛01f (x )d x ＝－13. 4．设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1]，x 2－1，x ∈（1，2]，则⎠⎛－12f (x )d x 的值为( )A.π2＋43 B ．π2＋3C.π4＋43D ．π4＋3解析：选A.⎠⎛－12f (x )d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛12(x 2－1)d x ＝12π×12＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x ⎪⎪⎪21＝π2＋43，故选A.5.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( ) A.13 B ．310C.14D ．15解析：选A.由⎩⎨⎧y ＝x 2，y ＝x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，所以阴影部分的面积为⎠⎛01(x －x 2)d x ＝13.故选A.6．定积分⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x ＝________．解析：⎠⎛－11(x 2＋sin x )d x＝⎠⎛－11x 2d x ＋⎠⎛－11sin x d x＝2⎠⎛1x 2d x ＝2·x 33⎪⎪⎪10＝23.答案：237.⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ＝________．解析：因为x 2tan x ＋x 3是奇函数．所以⎠⎛－11(x 2tan x ＋x 3＋1)d x ＝⎠⎛－111d x ＝x |1－1＝2.答案：28．一物体受到与它运动方向相反的力：F (x )＝110e x ＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x＝1时F (x )所做的功等于________．解析：由题意知W ＝－⎠⎛01⎝⎛⎭⎫110e x ＋x d x＝－⎝⎛⎭⎫110e x ＋12x 2⎪⎪⎪10＝－e 10－25. 答案：－e 10－259．求下列定积分： (1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ； (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x .解：(1)⎠⎛12⎝⎛⎭⎫x －x 2＋1x d x ＝⎠⎛12x d x －⎠⎛12x 2d x ＋⎠⎛121xd x ＝x 22⎪⎪⎪21－x 33⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝32－73＋ln 2＝ln 2－56. (2)⎠⎛－π0(cos x ＋e x )d x ＝⎠⎛－π0cos x d x ＋⎠⎛－π0e x d x＝sin x ⎪⎪⎪0－π＋e x ⎪⎪⎪－π＝1－1e π.10．已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1，求其在点(1，2)处的切线与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积．解：因为(1，2)为曲线f (x )＝x 3－x 2＋x ＋1上的点，设过点(1，2)处的切线的斜率为k ，则k ＝f ′(1)＝(3x 2－2x ＋1)|x ＝1＝2，所以过点(1，2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝2x 可得交点A (2，4)，O (0，0)，故y ＝2x 与函数g (x )＝x 2围成的图形的面积S ＝⎠⎛02(2x －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 2－13x 3⎪⎪⎪20＝4－83＝43. [综合题组练]1．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3所围成的封闭平面图形的面积为( )A.329B ．4－ln 3C ．4＋ln 3D ．2－ln 3解析：选B.画出平面图形，根据图形确定积分的上、下限及被积函数．由曲线xy ＝1，直线y ＝x ，x ＝3所围成的封闭的平面图形如图所示：由⎩⎪⎨⎪⎧xy ＝1，y ＝x ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1.（舍） 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.故阴影部分的面积为⎠⎛13⎝⎛⎭⎫x －1x d x ＝ ⎝⎛⎭⎫12x 2－ln x ⎪⎪⎪31＝4－ln 3. 2．设函数f (x )＝ax 2＋c (a ≠0)，若⎠⎛01f (x )d x ＝f (x 0)，0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 解析：⎠⎛01f (x )d x ＝⎠⎛01(ax 2＋c )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋cx ⎪⎪⎪10＝13a ＋c ＝f (x 0)＝ax 20＋c ， 所以x 20＝13，x 0＝±33. 又因为0≤x 0≤1，所以x 0＝33. 答案：33 3.⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝________． 解析：⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝⎠⎛－111－x 2d x ＋⎠⎛－11(e x －1)d x . 因为⎠⎛－111－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积， 所以⎠⎛－111－x 2d x ＝π2. 而⎠⎛－11(e x －1)d x ＝(e x －x )⎪⎪⎪1－1 ＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e－2， 所以⎠⎛－11(1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e －2. 答案：π2＋e －1e－2 4．若函数f (x )在R 上可导，f(x)＝x 3＋x 2f ′(1)，则⎠⎛02f (x )d x ＝________． 解析：因为f (x )＝x 3＋x 2f ′(1)，所以f ′(x )＝3x 2＋2xf ′(1)．所以f ′(1)＝3＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－3.所以f (x )＝x 3－3x 2.故⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛02(x 3－3x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫x 44－x 3⎪⎪⎪20＝－4. 答案：－45．如图，在曲线C ：y ＝x 2，x ∈[0，1]上取点P (t ，t 2)，过点P 作x 轴的平行线l .曲线C 与直线x ＝0，x ＝1及直线l 围成的图形包括两部分，面积分别记为S 1，S 2.当S 1＝S 2时，求t 的值．解：根据题意，直线l 的方程是y ＝t 2，且0＜t ＜1.结合题图，得交点坐标分别是A (0，0)，P (t ，t 2)，B (1，1)．所以S 1＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫t 2x －13x 3⎪⎪⎪t 0 ＝t 3－13t 3＝23t 3，0＜t ＜1. S 2＝⎠⎛t 1(x 2－t 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－t 2x ⎪⎪⎪1t＝⎝⎛⎭⎫13－t 2－⎝⎛⎭⎫13t 3－t 3＝23t 3－t 2＋13，0＜t ＜1. 由S 1＝S 2，得23t 3＝23t 3－t 2＋13， 所以t 2＝13.又0＜t ＜1，所以t ＝33. 所以当S 1＝S 2时，t ＝33.。

定积分、微积分基本定理
【定积分】
定积分就是求函数f（X）在区间[a，b]中图线下包围的面积．即由y＝0，x＝a，x＝b，y＝f（X）所围成图形的面积．这个图形称为曲边梯形，特例是曲边三角形，表示的是一个
面积，是一个数．
定积分的求法：
求定积分首先要确定定义域的范围，其次确定积分函数，最后找出积分的原函数然后求解，这里以例题为例．
【微积分基本定理】
在高等数学中对函数的微分、积分的研究和对相关概念及用途的数学称作微积分．积分学、极限、微分学及其应用是微积分的主要内容．微积分也称为数学分析，用以研究事物运动时的变化和规律．在高等数学学科中，微积分是一个基础学科．
其中，微积分的核心（基本）定理是，其中F′（x）＝f （x），而f（x）必须在区间（a，b）内连续．
例1：定积分＝
解：
∫12|3﹣2x|dx
＝+
＝（3x﹣x2）|+（x2﹣3x）|
＝
通过这个习题我们发现，第一的，定积分的表示方法，后面一定要有dx；第二，每一段
对应的被积分函数的表达式要与定义域相对应；第三，求出原函数代入求解．
例2：用定积分的几何意义，则．
解：根据定积分的几何意义，则表示圆心在原点，半径为3的圆的上半圆的面积，
故＝＝．
这里面用到的就是定积分表示的一个面积，通过对被积分函数的分析，我们发现它是个半圆，所以可以直接求他的面积．
【考查】
定积分相对来说比较容易，一般以选择、填空题的形式出现，这里要熟悉定积分的求法，知道定积分的含义，上面两个题代表了两种解题思路，也是一般思路，希望同学们掌握．。

定积分与微积分基本定理1.定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式∑ni ＝1f (ξi )Δx ＝∑ni ＝1b －a nf (ξi )，当n →∞时，上述和式无限接近某个□01常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，记作⎠⎛a b f (x )d x ，即⎠⎛a b f (x )dx ＝limn →∞∑n i ＝1b －an f (ξi )．其中f (x )称为□02被积函数，a 称为积分□03下限，b 称为积分□04上限．2.定积分的几何意义3.定积分的性质性质1：⎠⎛a b kf (x )d x ＝□01k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)．性质2：⎠⎛a b [f (x )±g (x )]d x ＝□02⎠⎛a b f (x )d x ±⎠⎛abg (x )d x .性质3：⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a c f (x )d x ＋□03⎠⎛c b f (x )d x . 4.微积分基本定理一般地，如果f (x )是在区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛a b f (x )d x＝□01F (b )－F (a )．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式．可以把F (b )－F (a )记为F (x )|b a ，即⎠⎛ab f (x )dx ＝F (x )|b a ＝□02F (b )－F (a )． 5.定积分与曲边梯形面积的关系设阴影部分的面积为S. (1)S ＝⎠⎛ab f (x )d x ；(2)S ＝□01－⎠⎛ab f (x )d x ；(3)S ＝□02⎠⎛a c f (x )d x －⎠⎛cb f (x )d x ；(4)S ＝⎠⎛a b f (x )d x －⎠⎛a b g (x )d x ＝⎠⎛a b [f (x )－g (x )]d x . 6.函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有： (1)若f (x )为偶函数，则⎠⎜⎛－aaf (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x .(2)设f (x )为奇函数，则⎠⎜⎛－aaf (x )d x ＝0.1.概念辨析(1)在区间[a ，b ]上连续的曲线y ＝f (x )和直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0所围成的曲边梯形的面积S ＝⎠⎛ab |f (x )|d x .( )(2)若⎠⎛a b f (x )d x <0，那么由y ＝f (x )，x ＝a ，x ＝b 以及x 轴所围成的图形一定在x轴下方．( )(3)已知质点的速度v ＝mt (m >0)，则从t ＝0到t ＝t 0质点所经过的路程是⎠⎛0to mt d t＝mt 202.( )答案 (1)√ (2)× (3)√2.小题热身(1)如图，指数函数的图象过点E (2，9)，则图中阴影部分的面积等于()A.8ln 3 B ．8 C.9ln 3 D ．9答案A答案B(3) ⎠⎛-12|x |d x ＝________.答案 52解析 ⎠⎛-12|x |d x 的几何意义是函数y ＝|x |的图象与x 轴围成的图形(如图阴影所示)的面积，所以⎠⎛-12|x |d x ＝12×1×1＋12×2×2＝52.(4)若⎠⎛0t x 2d x ＝9，则常数t 的值为________．答案 3解析 ⎠⎛0t x 2d x ＝x 33|t 0＝t 33＝9，解得t ＝3.题型 一 定积分的计算答案 C 解析。

定积分的概念与微积分基本定理【要点梳理】要点一：定积分的引入 定积分的概念一般地，给定一个在区间[]a b ，上的函数=()y f x ，如图所示.将[]a b ，区间平分成n 份，分点为：0121i i n a x x x x x x b -=<<<<<<<=L L则每个小区间长度为x ∆（b ax n-∆=），在每个小区间[]1,i i x x -上任取一点()1,2,,i i n =L ξ，作和式：11()()n nn i i i i b aS f x f n==-=∆=∑∑ξξ. 如果x ∆无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式n S 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数()f x 在区间[,]a b 上的定积分.记为：()baS f x dx =⎰，定积分的相关名称：⎰——叫做积分号， ()f x ——叫做被积函数， ()d f x x ——叫做被积表达式，x ——叫做积分变量， a ——叫做积分下限， b ——叫做积分上限， [a ，b]——叫做积分区间. 要点诠释： （1）定积分()baf x dx ⎰是一个常数，即n S 无限趋近的常数S （n →+∞时），记为()baf x dx ⎰，而不是n S ．(2) 定积分是一个数值（极限值），它的值仅仅取决于被积函数与积分的上、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即()()()b bbaaaf x dx f u du f t dt ===⎰⎰⎰L （称为积分形式的不变性），另外定积分()()baf x d x ⎰与积分区间[a ，b]息息相关，不同的积分区间，定积分的积分上下限不同，所得的值也就不同，例如12(1)xdx +⎰与320(1)x dx +⎰的值就不同.用定义求定积分的一般方法： （1）分割：n 等分区间[],a b ； （2）近似代替：取点[]1,i i i x x -∈ξ； （3）求和：1()ni i b af n =-∑ξ； （4）取极限：()1()lim nbi an i b af x dx f n→∞=-=∑⎰ξ. 要点二：定积分的几何意义 定积分()baf x dx ⎰的几何意义：从几何上看，如果在区间[],a b 上函数()f x 连续且恒有()0f x ≥，那么定积分()baf x dx ⎰表示由直线,(),0x a x b a b y ==≠=和曲线()y f x =所围成的曲边梯形(如图中的阴影部分)的面积，这就是定积分()baf x dx ⎰的几何意义.一般情况下，定积分()baf x dx ⎰的几何意义是介于x 轴、函数()f x 的图形以及直线,x a x b ==之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号. 要点诠释：（1）当()0f x ≥时，积分()d baf x x ⎰在几何上表示由()y f x =、x=a 、x=b 与x 轴所围成的曲边梯形的面积；特别地：当a=b 时，有()d 0baf x x =⎰，如图（a ）.（2）当()0f x ≤时，由()y f x =、x=a 、x=b 与x 轴所围成的曲边梯形位于x 轴的下方，积分()d baf x x ⎰在几何上表示上述曲边梯形面积的相反数.所以[()]d ()bbaaS f x x f x S =-=-=-⎰⎰，即()d baf x x S =-⎰，如图（b ）.（3）当()f x 在区间[a ，b]上有正有负时，积分()d baf x x ⎰在几何上表示几个小曲边梯形面积的代数和（x 轴上方面积取正号，x 轴下方面积取负号）.在如右图所示的图象中，定积分132()d baf x x S S S =+-⎰.要点三：微积分基本定理 微积分基本定理：一般地，如果'()()F x f x =，且()f x 在[a ，b]上可积，则()d ()()baf x x F b F a =-⎰.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿-莱布尼茨公式.其中，()F x 叫做()f x 的一个原函数.为了方便，我们常把()()F b F a -记作()ba F x ，即()d ()()()bba af x x F x F b F a ==-⎰.要点诠释：（1）根据定积分定义求定积分，往往比较困难，而利用上述定理求定积分比较方便.（2）设()f x 是定义在区间I 上的一个函数，如果存在函数()F x ，在区间I 上的任何一点x 处都有'()()F x f x =，那么()F x 叫做函数()f x 在区间I 上的一个原函数.根据定义，求函数()f x 的原函数，就是要求一个函数()F x ，使它的导数'()F x 等于()f x .由于[()]''()()F x c F x f x +==，所以()F x c +也是()f x 的原函数，其中c 为常数.（3）利用微积分基本定理求定积分()d baf x x ⎰的关键是找出使'()()F x f x =的函数()F x .通常，我们可以运用基本初等函数的求导公式和导数的四则运算法则从反方向求出()F x .要点四：定积分的计算1. 求定积分的一般步骤是：（1）找出被积函数中的基本初等函数，将被积函数表示为基本初等函数的和或差的形式； （2）利用定积分的性质，将问题转化为求若干基本初等函数的定积分； （3）分别用求导公式找到各个基本初等函数的原函数； （4）利用牛顿―莱布尼兹公式求出各个定积分的值； （5）计算原始定积分的值. 2. 定积分的运算性质①有限个函数代数和（或差）的定积分等于各个函数定积分的代数和（或差），即1212[()()()d ]()d ()d ()d bb b bn n aaaaf x f x f x x f x x f x x f x x ±±±=±±±⎰⎰⎰⎰L L .②常数因子可提到积分符号前面，即()d ()d b baakf x x k f x x =⎰⎰.③当积分上限与下限交换时，积分值一定要反号.即()d ()d baabf x x f x x =-⎰⎰.④定积分的可加性，即对任意的c ，有()d ()d ()d bc baacf x x f x x f x x =+⎰⎰⎰.3. 定积分的计算技巧：（1）对被积函数，要先化简，再求积分.（2）求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和. （3）对于含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能积分. 要点诠释：① 求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函数.因此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.② 把积分上、下限代入原函数求差时，要按步骤进行，以免发生符号错误. ③ 由于[]()'(),F x c f x +=()F x c +也是)(x f 的原函数，其中c 为常数. 【典型例题】类型一：定积分的几何意义例1． 用定积分的几何意义求： （1）1(32)d x x +⎰；（2）322sin d x x ππ⎰；（3）2204x dx -⎰.【思路点拨】画出简图，结合图形确定积分区间. 【解析】（1）如下图：阴影部分面积为(25)1722+⨯=， 从而107(32)d 2x x +=⎰.（2）如下图：由于A 的面积等于B 的面积， 从而322sin d 0x x ππ=⎰.（3）设24y x =-，则224x y +=(0,02)y x ≥≤≤，表示半径为2的41个圆，由定积分的概念可知，204x dx -⎰表示如图所示的以2为半径的41圆的面积, 所以201444x dx ππ-=⨯=⎰【总结升华】（1）利用定积分的几何意义正确画出图形求定积分. （2）()d [()0]baf x x f x >⎰表示曲边梯形的面积，而上半圆可看做特殊曲边梯形（有两边缩为点），这里面积易求，从而得出定积分的值. 举一反三：【变式1】试用定积分的几何意义求31(21)d x x --⎰.【答案】如图所示：计算可得A 的面积为5525224⨯=，B 的面积为339224⨯=， 从而31259(21)d 444x x --=-=⎰.【变式2】利用定积分的几何定义求定积分：（1）⎰-adx x a 022； （2）2016x dx -⎰.【答案】（1）设22x a y -=，则222a y x =+)0,0(a x y ≤≤≥表示41个圆，由定积分的概念可知，所求积分就是41圆的面积,所以⎰-adx x a 02242a π=（2）设216y x -2216x y +=(0,02)y x ≥≤≤表示如图的曲边形， 其面积2233S S S π∆=+=+扇形, 故20216233x dx π-=+⎰类型二：利用微积分基本定理求定积分【高清课堂：微积分基本定理385549 典型例题1】 例2.计算下列定积分： （1）211dx x⎰； （2）312xdx ⎰.【思路点拨】根据求导函数与求原函数互为逆运算，找到被积函数的一个原函数，利用微积分基本定理求解.【解析】（1）因为'1(ln )x x=，所以22111ln |ln 2ln1ln 2dx x x ==-=⎰.（2）323112|817xdx x ==-=⎰.【总结升华】为使解题步骤清晰，通常都是把求原函数和计算原函数值的差用一串等式表示出来.解题格式如下：()d ()()()bba af x x F x F b F a ==-⎰举一反三：【变式】计算下列定积分（1）11dx ⎰； （2）1xdx ⎰；（3）130x dx ⎰； （4）131x dx -⎰.【答案】（1）11001d 101x x ==-=⎰；（2）11222001111d 102222x x x ==⋅-⋅=⎰； （3）130x dx⎰144401*********x ==⋅-⋅=； （4）131x dx -⎰144411111(1)0444x -==⋅-⋅-=. 【高清课堂：微积分基本定理385549 典型例题2】例3．求下列定积分： （1）221(1)d x x x ++⎰； （2）0(sin cos )d x x x π+⎰；（3）2211()d x x x x-+⎰； （4）(cos e )d x x x π--+⎰.【解析】（1）223222222221111111129(1)d d d 1d 326x x x x x x x x x x x ++=++=++=⎰⎰⎰⎰.（2）0000(sin cos )d sin d cos d (cos )sin 2x x x x x x x x x πππππ+=+=-+=⎰⎰⎰.（3）22232222222111111111375()d d d d ln ln 2ln 223236x x x x x x x x x x x x x -+=-+=-+=-+=-⎰⎰⎰⎰.（4）00001(cos e )d cos d e d sin e1e xxx x x x x x x ππππππ------=+=+=-⎰⎰⎰. 【总结升华】（1）求函数()f x 在某个区间上的定积分，关键是求出函数()f x 的一个原函数，要正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系.（2）求复杂函数定积分要依据定积分的性质. 举一反三：【变式1】计算下列定积分的值：（1）22(31)x x dx -+⎰， （2）dx x x ⎰+20)sin (π， （3）180(8)x x dx -⎰【答案】（1）2223200(31)()82x x x dx x x -+=-+=⎰.（2）222201(sin )(cos )128x x dx x x +=-=+⎰πππ.（3）91801871(8)()0ln893ln 29x xx x dx -=-=-⎰.【高清课堂：微积分基本定理385549 典型例题2】 【变式2】计算： （1）120⎰； （2）121x e dx --⎰.【答案】（1）1201==⎰； （2）11222211111222xx e dx ee e -----=-=-⎰. 【变式3】计算下列定积分：（1）20(1)x x dx +⎰； （2）2211()xe dx x+⎰； （3）20sin xdx ⎰π.【答案】 （1）2(1)x x x x +=+Q 且32211(),()32x x x x ''==，∴22222232220003211(1)()||321114(20)(20).323x x dx x x dx x dx xdx x x +=+=+=+=⨯-+⨯-=⎰⎰⎰⎰（2）1(ln )x x '=，又222()(2)2x x xe e x e ''=⋅=，得221()2x x e e '= 所以2222222211111111()|ln |2x x x e dx e dx dx e x x x +=+=+⎰⎰⎰ 42421111ln 2ln1ln 2.2222e e e e =-+-=-+ （3）由(sin 2)cos 2(2)2cos 2x x x x ''=⋅=，得1cos 2(sin 2)2x x '=所以200001111sin (cos 2)cos 22222xdx x dx dx xdx ππππ=-=-⎰⎰⎰⎰00111111|(sin 2)|(0)(sin 2sin 0).22222222x x x ππππ=-=---= 类型三：几类特殊被积函数求定积分问题 例4．求值：（1）若2, 0()cos 1, 0x x f x x x ⎧≤=⎨->⎩，求11()d f x x -⎰；（2）计算x 的值.【思路点拨】对于图形由两部分组成的函数在求积分时，应注意用性质()baf x dx ⎰＝()c af x dx ⎰＋()bcf x dx ⎰进行化简. 【解析】（1）0111230110112()d d (cos 1)d (sin )sin133f x x x x x x xx x ---=+-=+-=-+⎰⎰⎰. （2）xx =20|sin -cos |d x x x π=⎰4204|sin cos |d |sin cos |d x x x x x x πππ=-+-⎰⎰4204cos sin d (sin cos )d x x x x x x πππ=-+-⎰⎰2404(sin cos )(cos sin )1)x x x x πππ=+-+=. 【总结升华】（1）对于分段函数的定积分，通常是依据定积分“对区间的可加性”，先分段积分再求和，要注意各段定积分的上、下限. （2）计算|()|d baf x x ⎰时，需要去掉绝对值符号，这时要讨论()f x 的正负，转化为分段函数求定积分问题.举一反三：【高清课堂：微积分基本定理385549 典型例题3】 【变式1】求定积分： （1）20()f x dx ⎰， 其中2,01()5,12x x f x x ≤<⎧=⎨≤≤⎩（2）31x dx -⎰.【答案】（1）212122101()d 2d 5d 56f x x x x x x x =+=+=⎰⎰⎰（2）31x dx -⎰＝11x dx -⎰＋311x dx -⎰＝10(1)x dx -⎰＋31(1)x dx -⎰＝21230111()|()|22x x x x -+- ＝15222+=. 【变式2】计算下列定积分： （1）20|sin |x dx π⎰；（2）dx x |1|22⎰-.【答案】（1）(cos )sin x x '-=Q ，∴220|sin ||sin ||sin |x dx x dx x dx=+⎰⎰⎰ππππ2020sin sin cos |cos |(cos cos 0)(cos 2cos )4.xdx xdxx x =-=-+=--+-=⎰⎰πππππππππ（2）∵0≤x ≤2，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤<-=-)10(1)21(1|1|222x x x x x∴⎰⎰⎰-+-=-2121222)1()1(|1|dxx dx x dx x2131033131⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x x⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=131********2=.类型四：函数性质在定积分计算中的应用 例5.求定积分：11(cos x x dx -⎰.【思路点拨】考虑利用被积式函数的奇偶性求积分. 【解析】∵cos y x x =是奇函数，∴11cos 0x xdx -=⎰，∵y∴211302x dx -=⎰⎰，∴25113310136(cos 022055x x dx x dx x -=+=⨯=⎰⎰.【总结升华】函数的奇偶性又是解决定积分有关问题的重要工具，利用这两点能简捷地解决定积分的有关问题，结论如下：（1）若()f x 是偶函数，则()2()aaa f x dx f x dx -=⎰⎰；（2）若()f x 是奇函数，则()0aaf x dx -=⎰.举一反三： 【变式1】求333(sin )x x dx -+⎰的值.【答案】∵()f x 是奇函数，∴333(sin )0x x dx -+=⎰.【变式2】设()f x 是偶函数，若2()2f x dx =⎰，则22()f x dx -=⎰ ；【答案】∵()f x 是偶函数，∴222()2()224f x dx f x dx -==⨯=⎰⎰.【变式3】求定积分：2222cos 2x dx ππ-⎰.【答案】∵22cos cos 12xy x ==+是偶函数， ∴222222cos (cos 1)2xdx x dx--=+⎰⎰ππππ2022(cos 1)2(sin )2.x dxx x =+=+=+⎰πππ。

定积分与微积分基本定理1．定积分的概念在⎠⎛ab f (x )dx 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )dx 叫做被积式． 2．定积分的几何意义设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续且恒有f (x )≥0，则定积分⎠⎛ab f (x )dx表示由直线x ＝a ，x ＝b (a ≠b )，y ＝0和曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积． 3．定积分的性质(1)⎠⎛a b kf (x )dx ＝k ⎠⎛ab f (x )dx (k 为常数)；(2)⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]dx ＝⎠⎛ab f 1(x )dx ±⎠⎛ab f 2(x )dx ；(3)⎠⎛ab f (x )dx ＝⎠⎛ac f (x )dx ＋⎠⎛cb f (x )dx (其中a <c <b )．4．微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )dx ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿­莱布尼茨公式．其中F (x )叫做f (x )的一个原函数．为了方便，常把F (b )－F (a )记作F (x )⎪⎪⎪ba ，即⎠⎛abf (x )dx ＝F (x )⎪⎪⎪ba ＝F (b )－F (a )．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛ab f (x )dx ＝⎠⎛ab f (t )dt .( )(2)若f (x )是偶函数，则⎠⎛－a a f (x )dx ＝2⎠⎛0a f (x )dx .( )(3)若f (x )是奇函数，则⎠⎛－aa f (x )dx ＝0.( )(4)曲线y ＝x 2与直线y ＝x 所围成的区域面积是⎠⎛01(x 2－x )dx .( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)×⎠⎛01e x dx 的值等于( )A ．eB ．1－eC ．e －1 D.12(e －1)解析：选C.⎠⎛01e x dx ＝e x |10＝e 1－e 0＝e －1.如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是()A ．1 B.43 C. 3 D ．2解析：选B .由⎩⎨⎧y ＝－x 2＋2x ＋1，y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.所以S ＝⎠⎛02(－x 2＋2x ＋1－1)dx ＝⎠⎛02(－x 2＋2x )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.若∫π20(sin x －a cos x )dx ＝2，则实数a 等于________．解析：由题意知(－cos x －a sin x )|π20＝1－a ＝2，a ＝－1. 答案：－1设f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e ](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )dx 的值为________．解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e ]，所以⎠⎛0e f (x )dx ＝⎠⎛01x 2dx ＋⎠⎛1e 1x dx＝13x 3⎪⎪⎪10＋ln x ⎪⎪⎪e 1＝13＋ln e ＝43.答案：43定积分的计算[典例引领]利用微积分基本定理求下列定积分： (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)dx ；(2)⎠⎛0π(sin x －cos x )dx ； (3)⎠⎛02|1－x |dx ；(4)⎠⎛12⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x dx . 【解】 (1)⎠⎛12(x 2＋2x ＋1)dx＝⎠⎛12x 2dx ＋⎠⎛122xdx ＋⎠⎛121dx＝x 33⎪⎪⎪21＋x 2⎪⎪⎪21＋x ⎪⎪⎪21＝193. (2)⎠⎜⎛π(sin x －cos x )dx＝⎠⎜⎛0πsin xdx －⎠⎜⎛0πcos xdx ＝(－cos x )⎪⎪⎪⎪π0－sin x ⎪⎪⎪⎪π0＝2. (3)⎠⎛02|1－x |dx ＝⎠⎛01(1－x )dx ＋⎠⎛12(x －1)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 2|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－x |21 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12×12－1＝1. (4)⎠⎛12⎝⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x dx ＝⎠⎛12e 2x dx ＋⎠⎛121x dx＝12e 2x ⎪⎪⎪21＋ln x ⎪⎪⎪21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1＝12e 4－12e 2＋ln 2.若本例(3)变为“⎠⎛03|x 2－1|dx ”，试求之．解：⎠⎛03|x 2－1|dx＝⎠⎛01(1－x 2)dx ＋⎠⎛13(x 2－1)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13x 3⎪⎪⎪10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－x ⎪⎪⎪31 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋23＝223.计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．(2)把定积分变形为求被积函数为上述函数的定积分． (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数．(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和．[通关练习]1.⎠⎛－11e |x |dx 的值为( )A ．2B ．2eC ．2e －2D ．2e ＋2解析：选C.⎠⎜⎛－11e |x |dx ＝⎠⎜⎛－1e －x dx ＋⎠⎛01e x dx ＝－e －x |0－1＋e x |10＝[－e 0－(－e)]＋(e －e 0)＝－1＋e ＋e －1＝2e －2，故选C .2．若⎠⎛01(x ＋mx )dx ＝0，则实数m 的值为( )A ．－13B ．－23C ．－1D ．－2解析：选B.由题意知⎠⎛01(x 2＋mx )dx ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 33＋m x 22|10＝13＋m2＝0，得m ＝－23.3．(优质试题·泉州模拟)⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x dx ＝________．解析：⎠⎛01⎝⎛⎭⎪⎫1－x 2＋12x dx ＝⎠⎛011－x 2dx ＋⎠⎛0112xdx ，⎠⎛0112xdx ＝14，⎠⎛011－x 2dx 表示四分之一单位圆的面积，为π4，所以结果是π＋14.答案：π＋14利用定积分计算平面图形的面积(高频考点)利用定积分计算平面图形的面积是近几年高考考查定积分的一个重要考向；主要以选择题、填空题的形式出现，一般难度较小．高考对定积分求平面图形的面积的考查有以下两个命题角度： (1)根据条件求平面图形的面积；(2)利用平面图形的面积求参数．[典例引领]角度一 根据条件求平面图形的面积(优质试题·新疆第二次适应性检测)由曲线y ＝x 2＋1，直线y ＝－x ＋3，x 轴正半轴与y 轴正半轴所围成图形的面积为( ) A ．3 B.103 C.73D.83【解析】 由题可知题中所围成的图形如图中阴影部分所示，由⎩⎨⎧y ＝x 2＋1y ＝－x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝5(舍去)或⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即A (1，2)，结合图形可知，所求的面积为⎠⎛01(x 2＋1)dx ＋12×22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x |10＋2＝103，选B .【答案】B角度二 利用平面图形的面积求参数已知函数f (x )＝－x 3＋ax 2＋bx (a ，b ∈R )的图象如图所示，它与x 轴在原点处相切，且x 轴与函数图象所围区域(图中阴影部分)的面积为112，则a 的值为________．【解析】 f ′(x )＝－3x 2＋2ax ＋b ，因为f ′(0)＝0，所以b ＝0，所以f (x )＝－x 3＋ax 2，令f (x )＝0，得x ＝0或x ＝a (a ＜0)．S 阴影＝－⎠⎛a0(－x 3＋ax 2)dx ＝112a 4＝112，所以a ＝－1. 【答案】 －1用定积分求平面图形面积的四个步骤(优质试题·山西大学附中第二次模拟)曲线y ＝2sinx (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为________． 解析：令2sin x ＝1，得sin x ＝12， 当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝⎠⎜⎛π65π6 (2sin x －1)dx ＝(－2cos x －x ) ⎪⎪⎪5π6π6＝23－2π3.答案：23－2π3定积分在物理中的应用[典例引领]设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且方向和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为________J (x 的单位：m ；力的单位：N )．【解析】 变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝⎠⎛110F (x )dx ＝⎠⎛110(x 2＋1)dx＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3＋x ⎪⎪⎪101＝342(J )． 【答案】342定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝⎠⎛ab v (t )dt .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝⎠⎛ab F (x )dx .以初速40 m /s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( ) A.1603 m B.803 m C.403 mD.203 m解析：选A.由v ＝40－10t 2＝0， 得t 2＝4，t ＝2.所以h ＝⎠⎛02(40－10t 2)dt ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫40t －103t 3⎪⎪⎪20＝80－803＝1603(m).求定积分的方法(1)利用微积分基本定理求定积分步骤如下： ①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )； ②计算F (b )－F (a )．(2)利用定积分的几何意义求定积分．求曲边多边形面积的步骤(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图形． (2)借助图形确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上限、下限． (3)将曲边梯形的面积表示为若干个定积分之和． (4)计算定积分．易错防范(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是积分变量． (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．(3)定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积为正，而定积分的结果可以为负．1．定积分⎠⎛01(3x ＋e x )dx 的值为( )A ．e ＋1B ．eC ．e －12D ．e ＋12。

1．定积分的概念函数f(x)在区间[a，b]上的定积分可记作ʃb a f(x)d x，其中f(x)叫做被积函数，a叫做积分下限，b叫做积分上限，f(x)d x叫做被积式．2．定积分的性质(1)ʃb a cf(x)d x＝c·ʃb a f(x)d x(c为常数)．(2)设f(x)，g(x)可积，则ʃb a[f(x)＋g(x)]d x＝ʃb a f(x)d x＋ʃb a g(x)d x.3．微积分基本定理如果F′(x)＝f(x)，且f(x)在[a，b]上可积，则ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a)．其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.(√)(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃb a f(x)d x>0.(√)(3)若ʃb a f(x)d x<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方．(×)(4)若f(x)是偶函数，则ʃa－a f(x)d x＝2ʃa0f(x)d x.(√)(5)若f(x)是奇函数，则ʃa－a f(x)d x＝0.(√)(6)曲线y＝x2与y＝x所围成的面积是ʃ10(x2－x)d x.(×)1．定积分ʃ2－2|x2－2x|d x等于()A．5 B．6 C．7 D．8答案 D解析ʃ2－2|x2－2x|d x＝ʃ0－2(x 2－2x )d x ＋ʃ20(2x －x 2)d x＝(x 33－x 2)|0－2＋(x 2－x 33)|20 ＝83＋4＋4－83＝8. 2．直线y ＝4x 与曲线y ＝x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ) A ．2 2 B ．4 2 C ．2 D ．4 答案 D 解析如图，y ＝4x 与y ＝x 3的交点A (2,8)， 图中阴影部分即为所求图形面积．S 阴＝ʃ20(4x －x 3)d x＝(2x 2－14x 4)|20＝8－14×24＝4，故选D.3．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2答案 C解析 令v (t )＝0得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t)d t ＝(7t －32t 2＋25ln(1＋t ))|40＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5.4．(2015·湖南)ʃ20(x －1)d x ＝________. 答案 0解析 ʃ20(x －1)d x ＝(12x 2－x )|20＝12×22－2＝0. 5．(教材改编)若ʃT 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．答案 3解析 ∵ʃT 0x 2d x ＝13x 3|T 0＝13×T 3＝9.∴T 3＝27，∴T ＝3.题型一 定积分的计算例1 (1)定积分ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝________.(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，2－x ，x ∈(1，2]，则ʃ20f (x )d x 等于( )A.34B.45C.56 D ．不存在 答案 (1)23(2)C解析 (1)ʃ1－1(x 2＋sin x )d x ＝ʃ1－1x 2d x ＋ʃ1－1sin x d x＝2ʃ10x 2d x ＝2·x 33|10＝23.(2)如图，ʃ20f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃ21(2－x )d x＝13x 3|10＋(2x －12x 2)|21 ＝13＋(4－2－2＋12)＝56. 思维升华 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点 (1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)求被积函数为分段函数的定积分，依据定积分“对区间的可加性”，分段积分再求和； (3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值号再求积分．(1)若ʃπ20(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3 (2)定积分ʃ20|x －1|d x ＝________. 答案 (1)A (2)1 解析 (1)π20⎰(sin x －a cos x )d x ＝(－cos x －a sin x )π20＝－a ＋1＝2，a ＝－1.(2)ʃ20|x －1|d x ＝ʃ10|x －1|d x ＋ʃ21|x －1|d xʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x＝(x －x 22)|10＋(x 22－x )|21＝(1－12)＋(222－2)－(12－1)＝1.题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例2 ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝________. 答案 π2＋e －1e－2解析 ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1(e x －1)d x .因为ʃ1－11－x 2d x 表示单位圆的上半部分的面积， 即ʃ1－11－x 2d x ＝π2， 而ʃ1－1(e x －1)d x ＝(e x －x )|1－1＝(e 1－1)－(e －1＋1)＝e －1e －2，所以ʃ1－1(1－x 2＋e x －1)d x ＝π2＋e －1e －2. 命题点2 利用定积分求平面图形面积例3 (1)如图所示，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1及y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23B.13C.12D.14(2)已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为43，则k ＝________.答案 (1)D (2)2解析 (1)由x 2＝14，得x ＝12或x ＝－12(舍)，则阴影部分的面积为S ＝120⎰(14－x 2)d x ＋112⎰(x 2－14)d x ＝(14x －13x 3)|120＋(13x 3－14x )112＝14.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝kx ，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2，则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边梯形的面积为ʃk 0(kx －x 2)d x ＝(k 2x 2－13x 3)|k 0＝k 32－k 33＝43，即k 3＝8，解得k ＝2.思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分； (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤：①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图象； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案．(1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为( )A ．9πB ．3π C.94π D.92π (2)由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________． 答案 (1)C (2)163解析 (1)由定积分的几何意义知ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积，故ʃ309－x 2d x ＝π·324＝94π，故选C. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为ʃ1－1(2x 2＋4x ＋2)d x ＝(23x 3＋2x 2＋2x )|1－1＝(23×13＋2×12＋2×1)－[23×(－1)3＋2×(－1)2＋2×(－1)]＝163.题型三 定积分在物理中的应用例4 一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为______ m.答案494解析 由图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t (0≤t ≤1)，2 (1≤t ≤3)，13t ＋1 (3≤t ≤6).由变速直线运动的路程公式，可得 s ＝612⎰v (t )d t ＝112⎰2t d t ＋ʃ312d t ＋ʃ63(13t ＋1)d t ＝t 2112＋2t |31＋(16t 2＋t )|63＝494(m)． 所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494 m.思维升华 定积分在物理中的两个应用：(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .设变力F (x )作用在质点M 上，使M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10，已知F (x )＝x 2＋1且和x 轴正向相同，则变力F (x )对质点M 所做的功为___________________． 答案 342解析 变力F (x )＝x 2＋1使质点M 沿x 轴正向从x ＝1运动到x ＝10所做的功为W ＝ʃ101F (x )d x ＝ʃ101(x 2＋1)d x＝(13x 3＋x )|101＝342， 即变力F (x )对质点M 所做的功为342.5．利用定积分求面积时易错点典例 已知函数y ＝F (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B (12，5)，C (1,0)，则函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．易错分析 本题在根据函数图象写分段函数时易错，导致不能正确写出积分式；另外，求原函数时也易出错．解析 由题意，F (x )＝⎩⎨⎧10x ，0≤x ≤12，－10x ＋10，12<x ≤1，则xF (x )＝⎩⎨⎧10x 2，0≤x ≤12，－10x 2＋10x ，12<x ≤1，所以函数y ＝xF (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(－10x 2＋10x )d x ＝103x 3112＋(5x 2－103x 3)112＝103×18＋(5－103)－(54－103×18)＝54. 答案 54温馨提醒 (1)利用定积分求图形的面积要根据图形确定被积函数和积分上、下限，运用微积分基本定理计算定积分，求出图形面积；(2)注意区分定积分和图形面积的关系：定积分是一个数值，可正可负；而图形面积总为正．[方法与技巧]1．求定积分的基本方法：(1)利用微积分基本定理求定积分步骤如下：①求被积函数f (x )的一个原函数F (x )；②计算F (b )－F (a )． (2)利用定积分的几何意义求定积分．2．对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间． [失误与防范]1．若定积分的被积函数为分段函数，要分段积分然后求和． 2．定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限．3．定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)1．定积分ʃ10(2x ＋e x)d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1 答案 C解析 ʃ10(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝e.故选C.2．由曲线y ＝sin x ，y ＝cos x 与直线x ＝0，x ＝π2所围成的平面图形的面积是( )A ．1 B.π4C.223 D ．22－2答案 DS ＝π40⎰(cos 解析 由sin x ＝cos x (x ∈(0，π2))，解得x ＝π4.故图中阴影部分的面积x －sin x )d x ＋π2π4⎰(sin x －cos x )d x ＝(sin x ＋cos x )π40＋(－cos x －sin x )π2π4＝sinπ4＋cos π4－cos 0＋[(－cos π2－sin π2)－(－cos π4－sin π4)]＝22－2.(本题也可利用图形的对称性求解)3．一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 J C.433 J D ．2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎪⎪⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫5x －13x 3×3221＝433，∴F (x )做的功为433 J.4.已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围成的面积为( ) A.2π5 B.43 C.32 D.π2答案 B解析 根据f (x )的图象可设f (x )＝a (x ＋1)·(x －1)(a <0)． 因为f (x )的图象过(0,1)点，所以－a ＝1， 即a ＝－1.所以f (x )＝－(x ＋1)(x －1)＝1－x 2.所以S ＝ʃ1－1(1－x 2)d x ＝2ʃ10(1－x 2)d x＝2(x －13x 3)|10＝2×(1－13)＝43.5．若定积分ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，则m 等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 答案 A解析 根据定积分的几何意义知，定积分ʃm －2－x 2－2x d x 的值就是函数y ＝－x 2－2x 的图象与x 轴及直线x ＝－2，x ＝m 所围成图形的面积，y ＝－x 2－2x 是一个圆心为(－1,0)，半径为1的半圆，其面积等于π2，而ʃm －2－x 2－2x d x ＝π4，即在区间[－2，m ]上该函数图象应为14个圆，于是得m ＝－1，故选A. 6．ʃ10(e x＋x )d x ＝________.答案 e －12解析 ʃ10(e x ＋x )d x ＝(e x ＋12x 2)|10＝e ＋12－1 ＝e －12.7．由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为________．答案3解析 所求面积S ＝π3π3-⎰cos x d x ＝sin xπ3π3-＝sin π3－(－sin π3)＝ 3.8．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧5，0≤x ≤2，3x ＋4，x >2(单位：N)的作用下沿与力F 相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为________焦． 答案 36解析 由题意知，力F (x )所做的功为W ＝ʃ40F (x )d x ＝ʃ205d x ＋ʃ42(3x ＋4)d x＝5×2＋(32x 2＋4x )|42 ＝10＋[32×42＋4×4－(32×22＋4×2)]＝36(焦)．9．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解 由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x 得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝ʃ10⎝⎛⎭⎫x ＋13x d x ＋ʃ31⎝⎛⎭⎫2－x ＋13x d x ＝3222136x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭1＋⎝⎛⎭⎫2x －13x 231＝23＋16＋43＝136. 10．在某介质内作变速直线运动的物体，经过时间t (单位：s)所走过的路程s ＝4t 2(单位：m)，若介质阻力F 与物体的运动速度v 成正比，且当v ＝10 m /s 时，F ＝5 N ，求物体在位移区间[1,4]内克服介质阻力所做的功．解 ∵物体经过时间t 所走过的路程s ＝4t 2， ∴速度v (t )＝s ′＝8t .设F ＝k v (t )，由“当v ＝10 m/s 时，F ＝5 N ”知k ＝12，∴F ＝4t .d W ＝F d s ＝4t ·d(4t 2)＝32t 2d t . ∵s ∈[1,4]，∴t ∈[12，1]，∴物体在位移区间[1,4]内克服介质阻力所做的功 W ＝112⎰32t 2d t ＝32t 33112＝283(J)． B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)11．若f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ，则ʃ10f (x )d x 等于( )A ．－1B ．－13C.13 D ．1答案 B解析 ∵f (x )＝x 2＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝(13x 3＋2x ʃ10f (x )d x )|10 ＝13＋2ʃ10f (x )d x ， ∴ʃ10f (x )d x ＝－13.故选B. 12．若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211x d x ，S 3＝ʃ21e x d x ，则S 1，S 2，S 3的大小关系为( ) A ．S 1<S 2<S 3 B ．S 2<S 1<S 3 C ．S 2<S 3<S 1 D ．S 3<S 2<S 1 答案 B解析 方法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73， S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图易知S 2<S 1<S 3.13．由曲线f (x )＝x 与y 轴及直线y ＝m (m >0)围成的图形的面积为83，则m 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．1 D ．8答案 A解析 S ＝20m ⎰(m －x )d x ＝(mx －2332x )20m ＝m 3－23m 3＝83，解得m ＝2. 14．汽车以v ＝3t ＋2(单位：m/s)作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的路程是________ m. 答案 6.5解析 S ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝(32t 2＋2t )|21 ＝32×4＋4－(32＋2)＝10－72＝132(m)． 15．已知f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ，则函数f (a )的最大值为________． 答案 29解析 f (a )＝ʃ10(2ax 2－a 2x )d x ＝(23ax 3－12a 2x 2)|10＝－12a 2＋23a ，由二次函数的性质可得f (a )max ＝－(23)24×(－12)＝29.。

定积分与微积分基本定理1.定积分的定义给定一个在区间[a，b]上的函数y＝f(x)：将[a，b]区间分成n份，分点为a＝x0<x1<x2<…<x n－1<x n＝b.第i个小区间为[x i－1，x i]，设其长度为Δx i，在这个小区间上取一点ξi，使f(ξi)在[x i－1，x i]上的值最大.设S＝f(ξ1)Δx1＋f(ξ2)Δx2＋…＋f(ξi)Δx i＋…＋f(ξn)Δx n.在这个小区间上取一点ζi，使f(ζi)在[x i－1，x i]上的值最小，设s＝f(ζ1)Δx1＋f(ζ2)Δx2＋…＋f(ζi)Δx i＋…＋f(ζn)Δx n.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时S与s同时趋于某一个固定的常数A，称A是函数y＝f(x)在区间[a，b]上的定积分.记作ʃb a f(x)d x，即ʃb a f(x)d x＝A.2.定积分的性质①ʃb a1d x＝b－a.②ʃb a kf(x)d x＝kʃb a f(x)d x.③ʃb a[f(x)±g(x)]d x＝ʃb a f(x)d x±ʃb a g(x)d x.④ʃb a f(x)d x＝ʃc a f(x)d x＋ʃb c f(x)d x.3.微积分基本定理如果连续函数f(x)是函数F(x)的导函数，即f(x)＝F′(x)，则有ʃb a f(x)d x＝F(b)－F(a).概念方法微思考ʃbf(x)d x是否总等于曲线f(x)和直线x＝a，x＝b，y＝0所围成的曲边梯形的面积？a提示不是.函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒有f(x)≥0时，定积分ʃb a f(x)d x表示由直线x ＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积.题组一思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)设函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续，则ʃb a f(x)d x＝ʃb a f(t)d t.(√)(2)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上连续且恒正，则ʃb a f(x)d x>0.(√)(3)若ʃb a f(x)d x<0，那么由y＝f(x)，x＝a，x＝b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.(×)(4)曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积是ʃ10(x 2－x )d x .( × )题组二 教材改编2.ʃe ＋121x －1d x ＝ . 答案 1 解析 ʃe ＋121x －1d x ＝ln(x －1)|e ＋12＝ln e －ln 1＝1. 3.ʃ0－11－x 2d x ＝ . 答案 π4解析 ʃ0－11－x 2d x 表示由直线x ＝0，x ＝－1，y ＝0以及曲线y ＝1－x 2所围成的图形的面积，∴ʃ0－11－x 2d x ＝π4. 4.汽车以v ＝(3t ＋2)m/s 作变速直线运动时，在第1 s 至第2 s 间的1 s 内经过的位移是 m. 答案132解析 s ＝ʃ21(3t ＋2)d t ＝⎝⎛⎭⎫32t 2＋2t |21 ＝32×4＋4－⎝⎛⎭⎫32＋2＝10－72＝132(m). 题组三 易错自纠5.如图，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是( )A.1B.43C. 3D.2答案 B解析 所求面积＝ʃ20(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－13x 3＋x 2|20＝－83＋4＝43. 6.一物体作变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为 m.答案494解析 由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t ，0≤t <1，2，1≤t ≤3，13t ＋1，3<t ≤6.由变速直线运动的路程公式，可得61361113221()d 2d 2d 1d 3s t t t t t t t ⎛⎫==+++ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰v213261132149|2||(m).64t t t t ⎛⎫=+++= ⎪⎝⎭所以物体在12 s ～6 s 间的运动路程是494 m.7.d 4x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝ .答案 2 解析由题意得d 4x x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭220(sin +cos )d (sin cos )|x x x x x ππ==-⎰＝⎝⎛⎭⎫sin π2－cos π2－(sin 0－cos 0)＝2.题型一 定积分的计算利用微积分基本定理求下列定积分：(1)ʃ21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)ʃπ0(sin x －cos x )d x ； (3)ʃ20|1－x |d x ；(4)ʃ21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ； (5)ʃ1－1e |x |d x ；(6)若ʃ10(x 2＋mx )d x ＝0，求m .解 (1)ʃ21(x 2＋2x ＋1)d x ＝ʃ21x 2d x ＋ʃ212x d x ＋ʃ211d x＝x 33|21＋x 2|21＋x |21＝193. (2)ʃπ0(sin x －cos x )d x ＝ʃπ0sin x d x －ʃπ0cos x d x ＝(－cos x )|π0－sin x |π0＝2.(3)ʃ20|1－x |d x ＝ʃ10(1－x )d x ＋ʃ21(x －1)d x＝⎝⎛⎭⎫x －12x 2|10+⎝⎛⎭⎫12x 2－x |21＝⎝⎛⎭⎫1－12－0＋⎝⎛⎭⎫12×22－2－⎝⎛⎭⎫12×12－1＝1. (4)ʃ21⎝⎛⎭⎫e 2x ＋1x d x ＝ʃ21e 2x d x ＋ʃ211xd x ＝12e 2x |21＋ln x |21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (5)ʃ1－1e |x |d x ＝ʃ0－1e －x d x ＋ʃ10e x d x＝－e －x |0－1＋e x |10＝－1＋e ＋e －1＝2e －2.(6)∵ʃ10(x 2＋mx )d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33＋m 2x 2|10＝13＋m 2＝0，∴m ＝－23.思维升华 计算定积分的解题步骤(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差. (2)把定积分变形为求被积分函数为上述函数的定积分. (3)分别用求导公式的逆运算找到一个相应的原函数.(4)利用微积分基本定理求出各个定积分的值，然后求其代数和.题型二 定积分的几何意义命题点1 利用定积分的几何意义计算定积分例1 设f (x )＝⎩⎨⎧1－x 2，x ∈[－1，1)，x 2－1，x ∈[1，2]，则ʃ2－1f (x )d x 的值为 .答案 π2＋43解析 根据定积分性质可得ʃ2－1f (x )d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ21(x 2－1)d x ，根据定积分的几何意义可知，ʃ1－11－x 2d x 是以原点为圆心，以1为半径的圆面积的12，∴ʃ1－11－x 2d x ＝π2，∴ʃ2－1f (x )d x ＝π2＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x |21＝π2＋43. 命题点2 求平面图形的面积例2 (1)曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1，x ＝1所围成的封闭图形的面积为 .答案 2ln 2－12解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，y ＝x －1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，则曲线y ＝2x 与直线y ＝x －1，x ＝1所围成的封闭图形如图所示，所求的面积S ＝ʃ21⎝⎛⎭⎫2x －x ＋1d x＝⎝⎛⎭⎫2ln x －12x 2＋x |21＝(2ln 2－2＋2)－⎝⎛⎭⎫0－12＋1＝2ln 2－12. (2)曲线y ＝14x 2和曲线在点(2,1)处的切线以及x 轴围成的封闭图形的面积为 .答案 16解析 设曲线y ＝14x 2在点(2,1)处的切线为l ，∵y ′＝12x ，∴直线l 的斜率k ＝y ′|x ＝2＝1，∴直线l 的方程为y －1＝x －2，即y ＝x －1. 当y ＝0时，x －1＝0，即x ＝1， 所围成的封闭图形如图所示，∴所求面积S ＝ʃ2014x 2d x －12×1×1＝112x 3|20－12＝16.思维升华 (1)根据定积分的几何意义可计算定积分. (2)利用定积分求平面图形面积的四个步骤①画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像； ②借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限； ③把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和； ④计算定积分，写出答案.跟踪训练1 (1)定积分ʃ309－x 2d x 的值为 .答案9π4解析 由定积分的几何意义知，ʃ309－x 2d x 是由曲线y ＝9－x 2，直线x ＝0，x ＝3，y ＝0围成的封闭图形的面积.故ʃ39－x 2d x ＝π·324＝9π4.(2)(2018·郑州模拟)曲线y ＝2sin x (0≤x ≤π)与直线y ＝1围成的封闭图形的面积为 . 答案 23－2π3解析 令2sin x ＝1，得sin x ＝12，当x ∈[0，π]时，得x ＝π6或x ＝5π6，所以所求面积S ＝66(2sin 1)d x x 5ππ-⎰＝(－2cos x －x )66|5ππ=23－2π3.题型三 定积分在物理中的应用例3 一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251＋t(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离是 m. 答案 4＋25ln 5解析 令v (t )＝0，得t ＝4或t ＝－83(舍去)，∴汽车行驶距离s ＝ʃ40(7－3t ＋251＋t)d t ＝⎣⎡⎦⎤7t －32t 2＋25ln (1＋t )|40 ＝28－24＋25ln 5＝4＋25ln 5(m). 思维升华 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为v ＝v (t )，那么从时刻t ＝a 到t ＝b所经过的路程s ＝ʃb a v (t )d t .(2)变力做功：一物体在变力F (x )的作用下，沿着与F (x )相同方向从x ＝a 移动到x ＝b 时，力F (x )所做的功是W ＝ʃb a F (x )d x .跟踪训练2 一物体在变力F (x )＝5－x 2(力单位：N ，位移单位：m)作用下，沿与F (x )成30°方向作直线运动，则由x ＝1运动到x ＝2时，F (x )做的功为( ) A. 3 J B.233 JC.433 JD.2 3 J答案 C解析 ʃ21F (x )cos 30°d x ＝ʃ2132(5－x 2)d x ＝⎣⎡⎦⎤5x －13x 3×32|21＝433， 所以F (x )做的功为433 J.1.ʃ10(1－x )d x 等于( ) A.1 B.－1 C.12 D.－12答案 C解析 ʃ10(1－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫x －12x 2|10＝12. 2.ʃ2π0|sin x |d x 等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案 D解析 ʃ2π0|sin x |d x ＝2ʃπ0sin x d x ＝2(－cos x )|π0＝2×(1＋1)＝4.3.ʃ1－1(1－x 2＋x )d x 等于( )A.πB.π2 C.π＋1 D.π－1答案 B解析 ʃ1－1(1－x 2＋x )d x ＝ʃ1－11－x 2d x ＋ʃ1－1x d x ＝π2+12x 2|1－1＝π2. 故选B.4.220sin d 2xx π⎰等于( ) A.0 B.π4－12 C.π4－14 D.π2－1 答案 B 解析222001cos sin d d 22x x x x ππ-=⎰⎰＝⎝⎛⎭⎫12x －12sin x 20|π＝π4－12. 5.若ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2(a >1)，则a 的值是( ) A.2 B.3 C.4 D.6 答案 A解析 由题意知ʃa 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝(x 2＋ln x )|a 1 ＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，解得a ＝2(舍负).6.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈(1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43 B.54 C.65 D.76答案 A解析 ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10f (x )d x ＋ʃe 1f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋1＝43.故选A. 7.设a ＝ʃ10cos x d x ，b ＝ʃ10sin x d x ，则下列关系式成立的是( )A.a >bB.a ＋b <1C.a <bD.a ＋b ＝1答案 A解析 ∵(sin x )′＝cos x ，∴a ＝ʃ10cos x d x ＝sin x |10＝sin 1.∵(－cos x )′＝sin x ，∴b ＝ʃ10sin x d x ＝(－cos x )|10＝1－cos 1.∵sin 1＋cos 1>1，∴sin 1>1－cos 1，即a >b .故选A.8.已知函数y ＝f (x )的图像为如图所示的折线ABC ，则ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x 等于( )A.2B.－2C.1D.－1答案 D解析 由题图易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －1，－1≤x ≤0，x －1，0<x ≤1，所以ʃ1－1[(x ＋1)f (x )]d x ＝ʃ0－1(x ＋1)(－x －1)d x ＋ ʃ10(x ＋1)(x －1)d x ＝ʃ0－1(－x 2－2x －1)d x ＋ʃ10(x 2－1)d x＝⎝⎛⎭⎫－13x 3－x 2－x |0－1＋⎝⎛⎭⎫13x 3－x |10＝－13－23＝－1，故选D. 9.ʃ21⎝⎛⎭⎫1x ＋2x d x ＝ . 答案 ln 2＋2ln 2解析ʃ21⎝⎛⎭⎫1x ＋2x d x ＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋2xln 2|21＝ln 2＋4ln 2－2ln 2＝ln 2＋2ln 2. 10.(2019·黄山模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 . 答案3解析 所求面积3333cos d sin |s x x x ππππ--==⎰＝sin π3－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝ 3. 11.设a >0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝ . 答案 49解析 封闭图形如图所示，则332220022|033ax x a a ==-=⎰，解得a ＝49.12.(2018·郑州模拟)设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若ʃ30f (x )d x ＝3f (x 0)，x 0>0，则x 0＝ .答案 3解析 ∵f (x )＝ax 2＋b ，ʃ30f (x )d x ＝3f (x 0)， ∴ʃ30(ax 2＋b )d x ＝⎝⎛⎭⎫13ax 3＋bx |30＝9a ＋3b ，则9a ＋3b ＝3ax 20＋3b ，∴x 20＝3，又x 0>0，∴x 0＝ 3.13.由曲线y ＝x 2和曲线y ＝x 围成的一个叶形图如图所示，则图中阴影部分的面积为( )A.13B.310C.14 D.15答案 A解析 由题意得，所求阴影部分的面积31231200211)d |333s x x x x ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰，故选A. 14.若S 1＝ʃ21x 2d x ，S 2＝ʃ211xd x ，S 3＝ʃ21e xd x ，试判断S 1，S 2，S 3的大小关系. 解 方法一 S 1＝13x 3|21＝83－13＝73，S 2＝ln x |21＝ln 2<ln e ＝1，S 3＝e x |21＝e 2－e ≈2.72－2.7＝4.59，所以S 2<S 1<S 3.方法二 S 1，S 2，S 3分别表示曲线y ＝x 2，y ＝1x ，y ＝e x 与直线x ＝1，x ＝2及x 轴围成的图形的面积，通过作图(图略)易知S 2<S 1<S 3.15.若函数f (x )在R 上可导，且f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，求ʃ20f (x )d x 的值.解 因为f (x )＝x 2＋2xf ′(1)，所以f ′(x )＝2x ＋2f ′(1). 所以f ′(1)＝2＋2f ′(1)，解得f ′(1)＝－2， 所以f (x )＝x 2－4x . 故ʃ20f (x )d x ＝ʃ20(x 2－4x )d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33－2x 2|20＝－163.16.在平面直角坐标系xOy 中，将直线y ＝x 与直线x ＝1及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积V 圆锥＝ʃ10πx 2d x ＝π3x 3|10＝π3.据此类比：将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝2及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到一个旋转体，求旋转体的体积.解 类比已知结论，将曲线y ＝2ln x 与直线y ＝2及x 轴、y 轴所围成的图形绕y 轴旋转一周得到旋转体的体积应为一定积分，被积函数为2e y π()＝πe y ，积分变量为y ，积分区间为[0,2]，即V ＝ʃ20πe y d y ＝πe y |20＝π(e 2－1).。