定积分与微积分基本定理(理)
基础巩固强化
1.求曲线y ＝x 2与y ＝x 所围成图形的面积，其中正确的是( )
A ．S ＝⎠⎜
⎛0
1(x 2－x )d x B ．S ＝⎠⎜
⎛0
1
(x －x 2)d x C ．S ＝⎠⎜
⎛0
1
(y 2－y )d y D ．S ＝⎠⎜⎛
1
(y －
y )d y
[答案] B
[分析] 根据定积分的几何意义，确定积分上、下限和被积函数． [解析] 两函数图象的交点坐标是(0,0)，(1,1)，故积分上限是1，下限是0，由于在[0,1]上，x ≥x 2，故函数y ＝x 2与y ＝x 所围成图
形的面积S ＝⎠⎜
⎛0
1
(x －x 2)d x . 2．如图，阴影部分面积等于( )
A ．2 3
B ．2－3
[答案] C
[解析] 图中阴影部分面积为
S ＝⎠⎜⎛
-3
1
(3－x 2
－2x )d x ＝(3x －1
3x 3－x 2)|1
－3＝32
3. 4－x 2d x ＝( ) A ．4π B ．2π C ．π
[答案] C
[解析] 令y ＝4－x 2，则x 2＋y 2＝4(y ≥0)，由定积分的几何意义知所求积分为图中阴影部分的面积，
∴S ＝1
4×π×22＝π.
4.已知甲、乙两车由同一起点同时出发，并沿同一路线(假定为直线)行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v 甲和v 乙(如图所示)．那么对于图中给定的t 0和t 1，下列判断中一定正确的是( )
A ．在t 1时刻，甲车在乙车前面
B ．在t 1时刻，甲车在乙车后面
C ．在t 0时刻，两车的位置相同
D ．t 0时刻后，乙车在甲车前面 [答案] A
[解析] 判断甲、乙两车谁在前，谁在后的问题，实际上是判断在t 0，t 1时刻，甲、乙两车行驶路程的大小问题．根据定积分的几何意义知：车在某段时间内行驶的路程就是该时间段内速度函数的定积
分，即速度函数v(t)的图象与t轴以及时间段围成区域的面积．从图象知：在t0时刻，v甲的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积大于v乙的图象与t轴和t＝0，t＝t0围成区域的面积，因此，在t0时刻，甲车在乙车的前面，而且此时乙车的速度刚刚赶上甲车的速度，所以选项C，D错误；同样，在t1时刻，v甲的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，仍然大于v乙的图象与t轴和t＝t1围成区域的面积，所以，可以断定：在t1时刻，甲车还是在乙车的前面．所以选A.
5．向平面区域Ω＝{(x，y)|－π
4
≤x≤
π
4
，0≤y≤1}内随机投
掷一点，该点落在曲线y＝cos2x下方的概率是( )
－1
[答案]D
[解析]平面区域Ω是矩形区域，其面积是π
2
，在这个区
6．的值是( )
A．0 C．2 D．－2 [答案]D
[解析] 2
(cos sin )
2x x π
π---＝2(cos sin )2
x x π
π---
＝－2. 7．⎠⎜⎛
2
(2－|1－x |)d x ＝________.
[答案] 3
[解析] ∵y ＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
1＋x 0≤x ≤1
3－x 1∴⎠⎜⎛02
(2－|1－x |)d x ＝⎠⎜⎛01(1＋x )d x ＋⎠⎜
⎛1
2(3－x )d x ＝(x ＋12x 2)|10
＋(3x －12x 2)|21＝32＋3
2＝3. 9．已知a ＝2
(sin cos )x x dx π
+⎰，则二项式(a x －
1
x
)6的展开式中
含x 2项的系数是________．
[答案] －192 [解析] 由已知得a ＝20
(sin cos )x x dx π
+⎰
＝(－cos x ＋sin x )|π
2
0＝
(sin π2－cos π
2
)－(sin0－cos0)＝2，
(2x －
1
x
)6的展开式中第r ＋1项是T r ＋1＝(－1)r ×C r
6×26－r ×x 3
－r
，令3－r ＝2得，r ＝1，故其系数为(－1)1×C 16×25
＝－192.
10．有一条直线与抛物线y ＝x 2相交于A 、B 两点，线段AB 与抛物线所围成图形的面积恒等于4
3
，求线段AB 的中点P 的轨迹方程．
[解析] 设直线与抛物线的两个交点分别为A (a ，a 2)，B (b ，b 2)，不妨设a
则直线AB 的方程为y －a 2＝b 2－a
2b －a
(x －a )，
即y ＝(a ＋b )x －ab .
则直线AB 与抛物线围成图形的面积为S ＝⎠⎜⎛
a
b
[(a ＋b )x －ab －
x 2]d x ＝(a ＋b 2x 2－abx －x 3
3)|b a
＝1
6
(b －a )3， ∴16(b －a )3
＝43
， 解得b －a ＝2.设线段AB 的中点坐标为P (x ，y )，
其中⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝a ＋b
2，y ＝a 2
＋b
2
2.
将b －a ＝2代入得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝a ＋1，
y ＝a 2
＋2a ＋2.
消去a 得y ＝x 2＋1.
∴线段AB 的中点P 的轨迹方程为y ＝x 2＋1.
能力拓展提升
11.等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎜⎛
3
4x d x ，则公比q 的
值为( )
A ．1
B ．－12
C ．1或－1
2
D ．－1或－1
2
