高三数学一轮复习 45分钟滚动基础训练卷(13)(江苏专版)

45分钟滚动基础训练卷(十二)[考查范围：第36讲～第40讲 分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置)1．已知一正方体的棱长为m ，表面积为n ；一球的半径为p ，表面积为q ，若mp ＝2，则nq＝________. 2．关于直线m ，n 和平面α，β，有以下四个命题： ①若m ∥α，n ∥β，α∥β，则m ∥n ； ②若m ∥n ，m ⊂α，n ⊥β，则α⊥β； ③若α∩β＝m ，m ∥n ，则n ∥α且n ∥β； ④若m ⊥n ，α∩β＝m ，则n ⊥α或n ⊥β. 其中假命题的序号是________． 3．[2011·南通三模] 底面边长为2 m ，高为1 m 的正三棱锥的全面积为________ m 2. 4．已知直线m 、n 及平面α，其中m ∥n ，那么平面α内到两条直线m 、n 距离相等的点的集合可能是：(1)一条直线；(2)一个平面；(3)一个点；(4)空集．其中正确的是________．图G12－15．已知一个圆锥的侧面展开图如图G12－1所示，其中扇形的圆心角为120°，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为________．6．如图G12－2，边长为a 的等边三角形ABC 的中线AF 与中位线DE 交于点G ，已知△A ′DE 是△ADE 绕DE 旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是________(填序号)．①动点A ′在平面ABC 上的射影在线段AF 上； ②BC ∥平面A ′DE ；③三棱锥A ′－FED 的体积有最大值．图G12－27．已知命题：“若x ⊥y ，y ∥z ，则x ⊥z ”成立，那么字母x ，y ，z 在空间所表示的几何图形有可能是：①都是直线；②都是平面；③x ，y 是直线，z 是平面；④x ，z 是平面，y 是直线．上述判断中，正确的有________(请将你认为正确的判断的序号都填上)．8．已知三棱锥S －ABC 中，SA ＝SB ＝SC ＝AB ＝AC ＝2，则三棱锥S －ABC 体积的最大值为________．二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．如图G12－3，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥平面ABCD .四边形ABCD 是菱形，边长为2，∠BCD ＝60°，经过AC 作与PD 平行的平面交PB 于点E ，ABCD 的两对角线交点为F .(1)求证：AC ⊥DE ；(2)若EF ＝3，求点D 到平面PBC 的距离．10．[2011·南通三模] 如图G12－4，在三棱柱ABC－A1B1C1中．(1)若BB1＝BC，B1C⊥A1B，证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；(2)设D是BC的中点，E是A1C1上的一点，且A1B∥平面B1DE，求A1EEC1的值．11．如图G12－5(1)所示，在边长为12的正方形ADD1A1中，点B，C在线段AD上，且AB＝3，BC＝4，作BB1∥AA1，分别交A1D1，AD1于点B1，P，作CC1∥AA1，分别交A1D1，AD1于点C1，Q，将该正方形沿BB1，CC1折叠，使得DD1与AA1重合，构成如图(2)所示的三棱柱ABC－A1B1C1.(1)求证：AB⊥平面BCC1B1；(2)求四棱锥A－BCQP的体积．图G12－512．如图G12－6，已知直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是直角梯形，AB⊥BC，AB ∥CD，E，F分别是棱BC，B1C1上的动点，且EF∥CC1.CD＝DD1＝1，AB＝2，BC＝3.(1)证明：无论点E怎样运动，四边形EFD1D都为矩形；(2)当EC＝1时，求几何体A－45分钟滚动基础训练卷(十二)1.6π [解析] 因为n ＝6m 2，q ＝4πp 2，所以n q ＝6π. 2．①③④ [解析] 根据线面位置关系的判定定理可知，假命题的序号是①③④.3．33 [解析] 由条件得斜高为12＋⎝⎛⎭⎫332＝23，从而全面积S ＝34×22＋3×12×2×23＝3 3.4．(1)(2)(4) [解析] 如图(1)，当直线m 或直线n 在平面α内且m 、n 所在平面与α垂直时不可能有符合题意的点；如图(2)，直线m 、n 在已知平面α的两侧且到α的距离相等且两直线所在平面与已知平面α垂直，则已知平面α为符合题意的点集；如图(3)，直线m 、n 所在平面与已知平面α平行，则符合题意的点集为一条直线．5.223π [解析] 因为扇形弧长为2π，所以圆锥母线长为3，高为22，所求体积V ＝13×π×12×22＝22π3.6．①②③ [解析] ①由已知可得面A ′FG ⊥面ABC ， ∴点A ′在面ABC 上的射影在线段AF 上． ②∵BC ∥DE ，∴BC ∥平面A ′DE .③当面A ′DE ⊥面ABC 时，三棱锥A ′－FDE 的体积达到最大．7．①②④ [解析] 对于③，当x ⊥y ，y ∥z 时，只能确定直线x 垂直于平面z 中的一条直线(该直线与y 平行)，不符合线面垂直的条件．8．1 [解析] 取SA 中点D ，连接BD 和CD ，因为SA ＝SB ＝SC ＝AB ＝AC ＝2，所以BD ＝CD ＝3，且SA ⊥平面DBC ，所以三棱锥S －ABC 体积可以看作三棱锥S －DBC 和三棱锥A －DBC 的体积之和，故V S －ABC ＝V S －DBC ＋V A －DBC ＝13(SD ＋DA )·S △DBC ，又S △DBC ＝12×3×3×sin ∠CDB ≤32，故体积最大值为1.9．[解答] (1)证明：因为四边形ABCD 是菱形， 所以AC ⊥BD .又因为PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以PD ⊥AC .而PD ∩BD ＝D ，所以AC ⊥平面PBD . 因为DE ⊂平面PBD ，所以AC ⊥DE . (2)设点D 到平面PBC 的距离为h ，由题PD ∥平面ACE ，平面ACE ∩平面PDB ＝EF ， 所以PD ∥EF .点F 是BD 中点，则EF 是△PBD 的中位线，EF ＝12PD ，EF ＝3，故PD ＝23，正三角形BCD 的面积S △BCD ＝12×2×2×32＝ 3.由(1)知PD ⊥平面BCD ，V P －BCD ＝13S △BCD ·PD ＝13×3×23＝2，V P －BCD ＝V D －BCP ＝13S △BCP ·h ，易求得PC ＝PB ＝4，S △BCP＝12×2×15＝15. 所以153·h ＝2，h ＝2155，故点D 到平面PBC 的距离为2155.10．[解答] (1)证明：因为BB 1＝BC ， 所以侧面BCC 1B 1是菱形， 所以B 1C ⊥BC 1.又因为B 1C ⊥A 1B ，且A 1B ∩BC 1＝B ， 所以B 1C ⊥平面A 1BC 1.又B 1C ⊂平面AB 1C ，所以平面AB 1C ⊥平面A 1BC 1. (2)设B 1D 交BC 1于点F ，连接EF ， 则平面A 1BC 1∩平面B 1DE ＝EF .因为A 1B ∥平面B 1DE ，A 1B ⊂平面A 1BC 1，所以A 1B ∥EF ，所以A 1E EC 1＝BFFC 1.又因为BF FC 1＝BD B 1C 1＝12，所以A 1E EC 1＝12.11．[解答] (1)证明：在正方形ADD 1A 1中，∵AB ＝3， BC ＝4，∴CD ＝AD －AB －BC ＝5，∴三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面三角形ABC 的边AC ＝5. ∴AB 2＋BC 2＝AC 2，∴AB ⊥BC .∵四边形ADD 1A 1为正方形，AA 1∥BB 1， ∴AB ⊥BB 1，而BC ∩BB 1＝B ， ∴AB ⊥平面BCC 1B 1. (2)∵AB ⊥平面BCC 1B 1，∴AB 为四棱锥A －BCQP 的高．∵四边形BCQP 为直角梯形，且BP ＝AB ＝3，CQ ＝AB ＋BC ＝7， ∴梯形BCQP 的面积为S 四边形BCQP ＝12(BP ＋CQ )·BC ＝20.∴四棱锥A －BCQP 的体积V A －BCQP ＝13S 四边形BCQP ·AB ＝20.12．[解答] (1)在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，DD 1∥CC 1， ∵EF ∥CC 1，∴EF ∥DD 1.又∵平面ABCD ∥平面A 1B 1C 1D 1， 平面ABCD ∩平面EFD 1D ＝ED ， 平面A 1B 1C 1D 1∩平面EFD 1D ＝FD 1，∴ED ∥FD 1，∴四边形EFD 1D 为平行四边形． ∵侧棱DD 1⊥底面ABCD ，又DE ⊂平面ABCD ， ∴DD 1⊥DE ，∴无论点E 怎样运动，四边形EFD 1D 为矩形．(2)连接AE ，∵四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1为直四棱柱，∴侧棱DD 1⊥底面ABCD ，又AE ⊂平面ABCD ， ∴DD 1⊥AE ，在Rt △ABE 中，AB ＝2，BE ＝2在Rt △CDE 中，EC ＝1，CD ＝1，则DE ＝2；在直角梯形ABCD 中，AD ＝BC 2＋(AB －CD )2＝10； ∴AE 2＋DE 2＝AD 2，即AE ⊥ED .又∵ED ∩DD 1＝D ，∴AE ⊥平面EFD 1D .由(1)可知，四边形EFD 1D 为矩形，且DE ＝2，DD 1＝1， ∴矩形EFD 1D 的面积为S ＝DE ·DD 1＝2，∴几何体A －EFD 1D 的体积为VA －EFD 1D ＝13S ·AE ＝13×2×22＝43.高≌考[试≌题#库。

45分钟滚动基础训练卷(二)(考查范围：第4讲～第12讲 分值：100分)一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．[2013·安徽蚌埠一检] 已知a ＝32，函数f (x )＝a x .若实数m ，n 满足f (m )>f (n )，则m ，n 满足的关系为( )A ．m ＋n <0B ．m ＋n >0C ．m >nD ．m <n2．[2013·北京卷] 下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1xB ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg |x |3．[2013·广东卷] 定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2 sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．14．[2013·天津滨海新区联考] 设a ＝40.7，b ＝0.30.5，c ＝log 23，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．b <a <cB ．b <c <aC ．a <b <cD ．a <c <b5．[2013·武汉模拟] 函数f (x )＝1ln （x ＋1）＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2，0)∪(0，2]B ．(－1，0)∪(0，2]C ．[－2，2]D ．(－1，2]6．[2013·济宁期末] 已知f (x )是定义在R 上的函数，满足f (x )＋f (－x )＝0，f (x －1)＝f (x＋1)．当x ∈[0，1)时，f (x )＝3x －1，则 的值为( )A ．－1112B ．－14C ．－13 D.137．[2013·天津十二区县二联] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12（－x ），x <0.若af (－a )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1，0)∪(0，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0，1)8．[2013·潍坊期末] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧kx ＋2，x ≤0，ln x ，x >0(k ∈R )，若函数y ＝|f (x )|＋k 有三个零点，则实数k 的取值范围是( )A ．k ≤2B ．－1<k <0C ．－2≤k <－1D ．k ≤－2二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中横线上)9．[2013·山东卷改编] 已知函数f (x )为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x 2＋1x，则f (－1)＝________．10．[2013·新课标全国卷Ⅱ改编] 若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是________．11．用二分法求方程ln x ＝1x在[1，2]上的近似解，取中点c ＝1.5，则下一个有根区间是________．三、解答题(本大题共3小题，每小题15分，共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)12．设x 1和x 2分别为关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0和－ax 2＋bx ＋c ＝0的一个非零实根，且x 1≠x 2，求证：方程a 2x 2＋bx ＋c ＝0必有一根在x 1和x 2之间．13．[2013·潍坊模拟] 某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 万件，需另投入成本C (x )．当年产量不足80万件时，C (x )＝13x 2＋10x (万元)；当年产量不小于80万件时，C (x )＝51x ＋10 000x－1450(万元)．通过市场分析，每件商品的售价为0.005万元时，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式；(2)年产量为多少万件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？14．[2014·合肥一联] 定义在R 上的函数f (x )对任意a ，b ∈R ，都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )＋k (k 为常数)．(1)判断k 为何值时，f (x )为奇函数，并证明；(2)设k ＝－1时，f (x )是R 上的增函数，且f (4)＝5.若不等式f (mx 2－2mx ＋3)＞3对任意x ∈R 恒成立，求实数m 的取值范围．45分钟滚动基础训练卷(二)1．D 2.C 3.C 4.B 5.B 6.C 7.A 8.D9．－2 10.(－1，＋∞)11．[1.5，2] 12.略13．(1)L (x )＝⎩⎨⎧－13x 2＋40x －250（0<x <80），1200－（x ＋10 000x ）（x ≥80） (2)100万件14．(1)k ＝0，证明略 (2)[0，1)。

45分钟滚动基础训练卷(一)[考查范围：第1讲～第3讲分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置) 1．集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4,16}，则a的值为________．2．[2012·扬州模拟] “α＝π6”是“sinα＝12”的________条件．3．[2011·南通二模] 命题“若实数a满足a≤2，则a2<4”的否命题是________命题(填“真”或“假”)．4．[2011·南京二模] 已知全集U＝R，Z是整数集，集合A＝{x︱x2－x－6≥0，x∈R}，则Z∩(∁U A)中元素的个数为________．5．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为________．6．[2011·镇江模拟] 已知p：|x－a|<4，q：x2－5x＋6<0，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________．7．[2011·南通三模] 对于定义在R上的函数f(x)，给出下列三个命题：①若f(－2)＝f(2)，则f(x)为偶函数；②若f(－2)≠f(2)，则f(x)不是偶函数；③若f(－2)＝f(2)，则f(x)一定不是奇函数．其中正确命题的序号为________．8．若a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补．记φ(a，b)＝a2＋b2－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的________条件．二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．已知p：x2－x－6≥0，q：x∈Z，若“p且q”与“非q”同时为假命题，求x的值．10．[2012·杭州模拟] 已知集合A＝⎪⎪x y＝6x＋1－1，集合B＝{x|y＝lg(－x2＋2x＋m)}．(1)当m＝3时，求A∩(∁R B)；(2)若A∩B＝{x|－1<x<4}，求实数m的值；(3)若A∪B⊆B，求m的取值范围．11．已知关于x的方程(1－a)x2＋(a＋2)x－4＝0(a∈R)．求：(1)方程有两个正根的充要条件；(2)方程至少有一个正根的充要条件．12．[2011·扬州期末] 已知数列{a n}，a n＝p n＋λq n(p>0，q>0，p≠q，λ∈R，λ≠0，n∈N*)．(1)数列{a n}中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；(2)设B＝{(n，b n)|b n＝3n＋k n，n∈N*}，其中k∈{1,2,3}，C＝{(n，c n)|c n＝5n，n∈N*}，求B∩C.测评手册45分钟滚动基础训练卷(一)1．4 [解析] ∵A ＝{0,2，a}，B ＝{1，a 2}，A ∪B ＝{0,1,2,4,16}，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝16，a ＝4，∴a ＝4. 2．充分不必要 [解析] 由“sin α＝12”得α＝2k π＋π6或α＝2k π＋5π6，k ∈Z ，所以“α＝π6”是“sin α＝12”的充分不必要条件． 3．真 [解析] 否命题是“若实数a 满足a >2，则a 2≥4”，这是真命题．4．4 [解析] 因为∁U A ＝{x |x 2－x －6<0}＝{x |－2<x <3}，所以Z ∩(∁U A )＝{－1,0,1,2}，所以该集合的元素有4个．5．m －n [解析] 因为∁A ∩B ＝(∁U A )∪(∁U B )，所以A ∩B 中共有(m －n )个元素．6．[－1,6] [解析] 由p ：|x －a |<4⇒－4＋a <x <4＋a ；q ：x 2－5x ＋6<0⇒2<x <3.因为p 是q 的必要条件，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －4＋a ≤2，4＋a ≥3，解得－1≤a ≤6. 7．② [解析] 根据偶函数的定义，对于定义域内的任意实数x ，若f (－x )＝f (x )，则f (x )是偶函数．从而命题①错误；命题②正确；对于使f (－2)＝f (2)＝0的函数，f (x )可能为奇函数，说明命题③错误．8．充要 [解析] 若φ(a ，b )＝0，则a 2＋b 2＝a ＋b ，两边平方整理得ab ＝0，且a ≥0，b ≥0，所以a ，b 互补；若a ，b 互补，则a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，所以a ＋b ≥0，此时有φ(a ，b )＝(a ＋b )2－2ab －(a ＋b )＝(a ＋b )2－(a ＋b )＝(a ＋b )－(a ＋b )＝0，所以φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充要条件．9．[解答] 由“p 且q ”与“非q ”同时为假命题可知，非q 为假命题，则q 为真命题；p 且q 为假命题，则p 为假命题，即綈p ：x 2－x －6<0为真，∴－2<x <3，又x ∈Z ，∴x ＝－1，0,1或2.10．[解答] (1)由6x ＋1－1≥0，解得－1<x ≤5，即A ＝{x |－1<x ≤5}．当m ＝3时，由－x 2＋2x ＋3>0，解得－1<x <3，即B ＝{x |－1<x <3}，∴∁R B ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，∴A ∩(∁R B )＝{x |3≤x ≤5}．(2)∵A ∩B ＝{x |－1<x <4}，∴4是方程－x 2＋2x ＋m ＝0的根，∴m ＝42－2×4＝8.又当m ＝8时，B ＝{x |－2<x <4}，此时A ∩B ＝{x |－1<x <4}，符合题意，故m ＝8.(3)由－x 2＋2x ＋m >0，得x 2－2x －m <0.令x 2－2x －m ＝0，解得x 1＝1＋1＋m ，x 2＝1－1＋m ，所以不等式的解集为：{x |－1＋m <x <1＋1＋m }，又A ∪B ⊆B ，所以⊆B ，所以⎩⎨⎧ 1－1＋m ≤－1，1＋1＋m >5.解得m >15.11．[解答] (1)方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0有两个实根的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧1－a ≠0，Δ≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1，(a ＋2)2＋16(1－a )≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≠1，a ≤2或a ≥10， 即a ≥10或a ≤2且a ≠1；设此时方程两根为x 1，x 2，∴方程有两正根的充要条件是：⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1，a ≤2或a ≥10，x 1＋x 2>0，x 1x 2>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1，a ≤2或a ≥10，a ＋2a －1>0，4a －1>0⇒1<a ≤2或a ≥10即为所求．(2)从(1)知1<a ≤2或a ≥10时方程有两个正根；当a ＝1时，方程化为3x －4＝0有一个正根x ＝43；方程有一正、一负根的充要条件是： ⎩⎪⎨⎪⎧ 1－a ≠0，Δ>0，x 1x 2<0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ≠1，a <2或a >10，4a －1<0⇒a <1.综上，方程(1－a )x 2＋(a ＋2)x －4＝0至少有一正根的充要条件是a ≤2或a ≥10.12．[解答] (1)取数列{a n }的连续三项a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ≥1，n ∈N *)，∵a 2n ＋1－a n a n ＋2＝(pn ＋1＋λq n ＋1)2－(p n ＋λq n )(p n ＋2＋λq n ＋2)＝－λp n q n (p －q )2， ∵p >0，q >0，p ≠q ，λ≠0，∴－λp n q n (p －q )2≠0，即a 2n ＋1≠a n a n ＋2，∴数列{a n }中不存在连续三项构成等比数列．(2)当k ＝1时，3n ＋k n ＝3n ＋1<5n ，此时B ∩C ＝∅；当k ＝3时，3n ＋k n ＝3n ＋3n ＝2·3n 为偶数，而5n 为奇数，此时B ∩C ＝∅；当k ＝2时，由3n ＋2n ＝5n ，发现n ＝1符合要求，下面证明惟一性(即只有n ＝1符合要求)．由3n ＋2n ＝5n 得⎝⎛⎭⎫35n ＋⎝⎛⎭⎫25n ＝1，设f (x )＝⎝⎛⎭⎫35x ＋⎝⎛⎭⎫25x ，则f (x )＝⎝⎛⎭⎫35x ＋⎝⎛⎭⎫25x 是R 上的减函数，∴f (x )＝1的解只有一个． 从而当且仅当n ＝1时，⎝⎛⎭⎫35n ＋⎝⎛⎭⎫25n ＝1，即3n ＋2n ＝5n ，此时B ∩C ＝{(1,5)}．综上，当k ＝1或k ＝3时，B ∩C ＝∅；当k ＝2时，B ∩C ＝{(1,5)}．。

§13.3 垂直的判定与性质考纲解读考点内容解读 要求五年高考统计常考题型 预测热度2013 2014 2015 2016 20171.线面垂直的判定与性质1.线面垂直的证明2.线面垂直的性质应用B16题14分解答题 ★★★2.面面垂直的判定与性质1.面面垂直的证明2.面面垂直的性质应用B15题14分 解答题 ★★★分析解读 空间垂直问题是某某高考的热点内容,主要考查线面垂直和面面垂直的判定与性质运用,复习时要认真掌握解决垂直问题常用的方法,识别一些基本图形如:锥体、柱体的特征.五年高考考点一 线面垂直的判定与性质1.(2016某某理,2,5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l.若直线m,n 满足m∥α,n⊥β,则以下说法正确的是.①m∥l;②m∥n;③n⊥l;④m⊥n. 答案 ③2.(2015某某,16,14分)如图,在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,已知AC⊥BC,BC=CC 1,设AB 1的中点为D,B 1C∩BC 1=E. 求证:(1)DE∥平面AA 1C 1C; (2)BC 1⊥AB1.证明 (1)由题意知,E 为B 1C 的中点, 又D 为AB 1的中点,因此DE∥AC. 又因为DE ⊄平面AA 1C 1C,AC ⊂平面AA 1C 1C, 所以DE∥平面AA 1C 1C.(2)因为棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1,所以BC1⊥AC.因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,因此BC1⊥B1C.因为AC,B1C⊂平面B1AC,AC∩B1C=C,所以BC1⊥平面B1AC.又因为AB1⊂平面B1AC,所以BC1⊥AB1.3.(2015某某,19,13分)如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°.(1)求三棱锥P-ABC的体积;(2)证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值.解析(1)由题设AB=1,AC=2,∠BAC=60°,可得S△ABC=·AB·AC·sin 60°=.由PA⊥平面ABC,可知PA是三棱锥P-ABC的高,又PA=1,所以三棱锥P-ABC的体积V=·S△ABC·PA=.(2)在平面ABC内,过点B作BN⊥AC,垂足为N.在平面PAC内,过点N作MN∥PA交PC于点M,连结BM.由PA⊥平面ABC知PA⊥AC,所以MN⊥AC.由于BN∩MN=N,故AC⊥平面MBN.又BM⊂平面MBN,所以AC⊥BM.在直角△BAN中,AN=AB·cos∠BAC=,从而NC=AC-AN=.由MN∥PA,得==.4.(2015某某,20,12分)如图,三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF∥BC.(1)证明:AB⊥平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.解析(1)证明:如图,由DE=EC,PD=PC知,E为等腰△PDC中DC边的中点,故PE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE⊂平面PAC,PE⊥AC,所以PE⊥平面ABC,从而PE⊥AB.因∠ABC=,EF∥BC,故AB⊥EF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB⊥平面PFE.(2)设BC=x,则在直角△ABC中,AB==,从而S△ABC=AB·BC=x.由EF∥BC知,==,得△AFE∽△ABC,故==,即S△AFE=S△ABC.由AD=AE,S△AFD=S△AFE=·S△ABC=S△ABC=x,从而四边形DFBC的面积为S DFBC=S△ABC-S△AFD=x-x=x.由(1)知,PE⊥平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角△PEC中,PE===2.体积V P-DFBC=·S DFBC·PE=·x·2=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=3,所以,BC=3或BC=3.5.(2014某某,20,13分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,P,Q,M,N分别是棱AB,AD,DD1,BB1,A1B1,A1D1的中点. 求证:(1)直线BC1∥平面EFPQ;(2)直线AC1⊥平面PQMN.证明(1)连结AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知AD1∥B C1,因为F,P分别是AD,DD1的中点,所以FP∥AD1.从而BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图,连结AC,BD,则AC⊥BD.由CC1⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,可得CC1⊥BD.又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1.而AC1⊂平面ACC1,所以BD⊥AC1.因为M,N分别是A1B1,A1D1的中点,所以MN∥BD,从而MN⊥AC1.同理可证PN⊥AC1.又PN∩MN=N,所以直线AC1⊥平面PQMN.教师用书专用(6—8)6.(2014某某,19,12分)如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且AB=BC=BD=2,∠ABC=∠DBC=120°,E,F,G分别为AC,DC,AD的中点.(1)求证:EF⊥平面BCG;(2)求三棱锥D-BCG的体积.附:锥体的体积公式V=Sh,其中S为底面面积,h为高.解析(1)证明:由已知得△ABC≌△DBC.因此AC=DC.又G为AD的中点,所以CG⊥AD.同理BG⊥AD,因此AD⊥平面BGC.又EF∥AD,所以EF⊥平面BCG.(2)在平面ABC内,作AO⊥CB,交CB延长线于O,由平面ABC⊥平面BCD,知AO⊥平面BDC.又G为AD中点,因此G到平面BDC的距离h是AO长度的一半.在△AOB中,AO=AB·sin 60°=,所以V D-BCG=V G-BCD=·S△DBC·h=×BD·BC·sin 120°·=.7.(2014某某,20,12分)如图,四棱锥P-ABCD中,底面是以O为中心的菱形,PO⊥底面ABCD,AB=2,∠BAD=,M为BC上一点,且BM=.(1)证明:BC⊥平面POM;(2)若MP⊥AP,求四棱锥P-ABMO的体积.解析(1)证明:如图,连结OB,因为ABCD为菱形,O为菱形的中心,所以AO⊥OB.因为∠BAD=,所以OB=AB·sin∠OAB=2sin=1,又因为BM=,且∠OBM=,所以在△OBM中,OM2=OB2+BM2-2OB·BM·cos∠OBM=12+-2×1××cos=.所以OB2=OM2+BM2,故OM⊥BM.又PO⊥底面ABCD,所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM,PO都垂直,所以BC⊥平面POM.(2)由(1)可得,OA=AB·cos∠OAB=2·cos=.设PO=a,由PO⊥底面ABCD知,△POA为直角三角形,故PA2=PO2+OA2=a2+3.又△POM也是直角三角形,故PM2=PO2+OM2=a2+.连结AM,在△ABM中,AM2=AB2+BM2-2AB·BM·cos∠ABM=22+-2×2××cos=.由于MP⊥AP,故△APM为直角三角形,则PA2+PM2=AM2,即a2+3+a2+=,得a=或a=-(舍去),即PO=.此时S四边形ABMO=S△AOB+S△OMB=·AO·OB+·BM·OM=××1+××=.所以V P-ABMO=·S四边形ABMO·PO=××=.8.(2013某某,18,12分)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为2的菱形,∠BAD=60°.已知PB=PD=2,PA=.(1)证明:PC⊥BD;(2)若E为PA的中点,求三棱锥P-BCE的体积.解析(1)证明:连结AC,交BD于O点,连结PO.因为底面ABCD是菱形,所以AC⊥BD,BO=DO.由PB=PD知,PO⊥BD.再由PO∩AC=O知,BD⊥面APC.因此BD⊥PC.(2)因为E是PA的中点,所以V P-BCE=V C-PEB=V C-PAB=V B-APC.由PB=PD=AB=AD=2知,△ABD≌△PBD.因为∠BAD=60°,所以PO=AO=,AC=2,BO=1.又PA=,PO2+AO2=PA2,即PO⊥AC,故S△APC=PO·AC=3.由(1)知,BO⊥面APC,因此V P-BCE=V B-APC=×·BO·S△APC=.考点二面面垂直的判定与性质1.(2017某某,15,14分)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.证明(1)在平面ABD内,因为AB⊥AD,EF⊥AD,所以EF∥AB.又因为EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,所以BC⊥平面ABD.因为AD⊂平面ABD,所以BC⊥AD.又AB⊥AD,BC∩AB=B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AD⊥平面ABC.又因为AC⊂平面ABC,所以AD⊥AC.2.(2017某某文,18,12分)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD 为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E⊥平面ABCD.(1)证明:A1O∥平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM⊥平面B1CD1.证明本题考查线面平行与面面垂直.(1)取B1D1的中点O1,连结CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1∥OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1O∥O1C.又O1C⊂平面B1CD1,A1O⊄平面B1CD1,所以A1O∥平面B1CD1.(2)因为AC⊥BD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EM⊥BD,又A1E⊥平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以A1E⊥BD,因为B1D1∥BD,所以EM⊥B1D1,A1E⊥B1D1,又A1E,EM⊂平面A1EM,A1E∩EM=E,所以B1D1⊥平面A1EM,又B1D1⊂平面B1CD1,所以平面A1EM⊥平面B1CD1.教师用书专用(3)3.(2016,18,14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC.(1)求证:DC⊥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面PAC;(3)设点E为AB的中点.在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由.解析(1)证明:因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥DC.(2分)又因为DC⊥AC,AC∩PC=C,所以DC⊥平面PAC.(4分)(2)证明:因为AB∥DC,DC⊥AC,所以AB⊥AC.(6分)因为PC⊥平面ABCD,所以PC⊥AB.(7分)又AC∩PC=C,所以AB⊥平面PAC.又AB⊂平面PAB,所以平面PAB⊥平面PAC.(9分)(3)棱PB上存在点F,使得PA∥平面CEF.证明如下:(10分)取PB中点F,连结EF,CE,CF.又因为E为AB的中点,所以EF∥PA.(13分)又因为PA⊄平面CEF,所以PA∥平面CEF.(14分)三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一线面垂直的判定与性质1.(苏教必2,一,2,变式)如图所示,已知矩形ABCD中,AB=1,BC=a,PA⊥平面ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等于.答案 22.(苏教必2,一,2,变式)如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,则图中共有个直角三角形.答案 43.(2018某某海安高级中学高三阶段考试)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面A1ACC1是边长为2的菱形,∠A1AC=60°,在平面ABC中,AB=2,BC=4,M为BC的中点,过A1,B1,M三点的平面交AC于点N.(1)求证:N为AC的中点;(2)求证:AC⊥平面A1B1MN.证明(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1,平面ABC∥平面A1B1C1,∵平面A1B1M∩平面ABC=MN,平面A1B1M∩平面A1B1C1=A1B1,所以MN∥A1B1.因为AB∥A1B1,所以MN∥AB,所以=.因为M为BC的中点,所以N为AC的中点.(2)因为四边形A1ACC1是边长为2的菱形,∠A1AC=60°,所以在三角形A1AN中,AN=1,AA1=2,由余弦定理得A1N=,故A1A2=AN2+A1N2,所以∠A1NA=90°,即A1N⊥AC.在三角形ABC中,AC=2,AB=2,BC=4,所以BC2=AB2+AC2,所以∠BAC=90°,即AB⊥AC.又MN∥AB,所以AC⊥MN.因为MN∩A1N=N,MN⊂面A1B1MN,A1N⊂面A1B1MN,所以AC⊥平面A1B1MN.4.(2017某某某某期末调研,16)如图,在四棱锥E-ABCD中,平面EAB⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,EA⊥EB,点M,N分别是AE,CD的中点.求证:(1)直线MN∥平面EBC;(2)直线EA⊥平面EBC.证明(1)取BE的中点F,连结CF,MF,因为M是AE的中点,所以MF∥AB,MF=AB,又N是矩形ABCD的边CD的中点,所以NC∥AB,NC=AB,所以MF NC,所以四边形MNCF是平行四边形,所以MN∥CF,又MN⊄平面EBC,CF⊂平面EBC,所以MN∥平面EBC.(2)在矩形ABCD中,BC⊥AB,因为平面EAB⊥平面ABCD,平面ABCD∩平面EAB=AB,BC⊂平面ABCD,所以BC⊥平面EAB,又EA⊂平面EAB,所以BC⊥EA,又EA⊥EB,BC∩EB=B,EB,BC⊂平面EBC,所以EA⊥平面EBC.5.(2017苏锡常镇四市教学情况调研(一),16)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C是菱形,AC1与A1C交于点O,E是棱AB上一点,且OE∥平面BCC1B1.(1)求证:E是AB的中点;(2)若AC1⊥A1B,求证:AC1⊥CB.证明(1)连结BC1,因为OE∥平面BCC1B1,且OE⊂平面ABC1,平面BCC1B1∩平面ABC1=BC1,所以OE∥BC1.因为侧面AA1C1C是菱形,AC1∩A1C=O,所以O是AC1的中点,所以E是AB的中点.(2)因为侧面AA1C1C是菱形,所以AC1⊥A1C,又AC1⊥A1B,A1C∩A1B=A1,A1C,A1B⊂面A1BC,所以AC1⊥面A1BC,因为BC⊂平面A1BC,所以AC1⊥BC.考点二面面垂直的判定与性质6.(2018某某某某中学高三阶段测试)如图,在几何体中,四边形ABCD为菱形,对角线AC与BD的交点为O,四边形DCEF为梯形,EF∥CD,FB=FD.(1)若CD=2EF,求证:OE∥平面ADF;(2)求证:平面ACF⊥平面ABCD.证明(1)取AD的中点G,连结OG,FG,∵对角线AC与BD的交点为O,∴OG∥CD,OG=CD.∵EF∥CD,CD=2EF,∴OG∥EF,OG=EF,∴四边形OGFE为平行四边形,∴OE∥FG.∵FG⊂平面ADF,OE⊄平面ADF,∴OE∥平面ADF.(2)连结OF.∵四边形ABCD为菱形,∴OC⊥BD,∵FB=FD,O是BD的中点,∴OF⊥BD.又∵OF∩OC=O,∴BD⊥平面ACF.∵BD⊂平面ABCD,∴平面ACF⊥平面ABCD.7.(2017某某某某辅仁中学质检,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,AB∥CD,AC⊥BD,AC与BD交于点O,且平面PAC⊥平面ABCD,E为棱PA上一点.(1)求证:BD⊥OE;(2)若AB=2CD,AE=2EP,求证:EO∥平面PBC.证明(1)因为平面PAC⊥底面ABCD,平面PAC∩底面ABCD=AC,BD⊥AC,BD⊂平面ABCD,所以BD⊥平面PAC,又因为OE⊂平面PAC,所以BD⊥OE.(2)因为AB∥CD,AB=2CD,AC与BD交于O,所以CO∶OA=CD∶AB=1∶2,又因为AE=2EP,所以CO∶OA=PE∶EA,所以EO∥PC,又因为PC⊂平面PBC,EO⊄平面PBC,所以EO∥平面PBC.8.(2017某某某某,某某一模,15)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BC⊥AC,D,E分别是AB,AC的中点.(1)求证:B1C1∥平面A1DE;(2)求证:平面A1DE⊥平面ACC1A1.证明(1)因为D,E分别是AB,AC的中点,所以DE∥BC,又因为在三棱柱ABC-A1B1C1中,B1C1∥BC,所以B1C1∥DE.又B1C1⊄平面A1DE,DE⊂平面A1DE,所以B1C1∥平面A1DE.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥底面ABC,又DE⊂底面ABC,所以CC1⊥DE.又BC⊥AC,DE∥BC,所以DE⊥AC,又CC1,AC⊂平面ACC1A1,且CC1∩AC=C,所以DE⊥平面ACC1A1.又DE⊂平面A1DE,所以平面A1DE⊥平面ACC1A1.9.(苏教必2,一,2,变式)如图所示,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=AB,∠BCD=45°,∠BAD=90°.将△ABD沿对角线BD折起,记折起后A的位置为点P,且使平面PBD⊥平面BCD.求证:(1)CD⊥平面PBD.(2)平面PBC⊥平面PDC.证明(1)∵AD=AB,∠BAD=90°,∴∠ABD=∠ADB=45°,又∵AD∥BC,∴∠DBC=45°,又∠DCB=45°,∴∠BDC=90°,即BD⊥DC.∵平面PBD⊥平面BCD,平面PBD∩平面BCD=BD,∴CD⊥平面PBD.(2)由CD⊥平面PBD得CD⊥BP.又BP⊥PD,PD∩CD=D,∴BP⊥平面PDC.又BP⊂平面PBC,∴平面PBC⊥平面PDC.B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:20分时间:10分钟)一、填空题(每小题5分,共5分)1.(苏教必2,一,2,变式)设m、n是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列命题正确的是.①若m⊥n,n∥α,则m⊥α;②若m∥β,β⊥α,则m⊥α;③若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则m⊥α;④若m⊥n,n⊥β,β⊥α,则m⊥α.答案③二、解答题(共15分)2.(2017某某某某、某某、某某三模,16)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,平面PAD⊥平面ABCD,AP=AD,M,N分别为棱PD,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAB;(2)AM⊥平面PCD.证明(1)因为M,N分别为棱PD,PC的中点,所以MN∥DC,又因为底面ABCD是矩形,所以AB∥DC,所以MN∥AB.又AB⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB.(2)因为AP=AD,M为PD的中点,所以AM⊥PD.因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,CD⊥AD,CD⊂平面ABCD,所以CD⊥平面PAD.又AM⊂平面PAD,所以CD⊥AM.因为CD,PD⊂平面PCD,CD∩PD=D,所以AM⊥平面PCD.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 证明线面垂直的方法1.(2017某某某某师X大学附属中学调研)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,点E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F.(1)求证:PA∥平面EBD;(2)求证:PB⊥平面EFD.证明(1)连结BE,BD,AC,设AC交BD于G,连结EG,则G为AC的中点,在△PAC中,E为PC的中点,G为AC的中点,故PA∥EG,又EG⊂面BED,PA⊄面BED,所以PA∥平面EBD.(2)∵PD⊥面ABCD,∴PD⊥BC.∵BC⊥CD,PD∩CD=D,PD,CD⊂面PCD,∴BC⊥面PCD,又DE⊂面PCD,∴BC⊥DE,∵PD=CD,E为PC的中点,∴DE⊥PC,又BC∩PC=C,BC,PC⊂面PBC,∴DE⊥面PBC,又PB⊂面PBC,∴DE⊥PB,又∵PB⊥EF,EF∩DE=E,EF,DE⊂面EFD,∴PB⊥平面EFD.方法2 证明面面垂直的方法2.(2017某某某某期中,17)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱DD1的中点,求证: (1)BD1∥平面EAC;(2)平面EAC⊥平面AB1C.证明(1)连结BD交AC于O,连结EO.易知O为BD的中点,因为E为DD1的中点,所以EO∥BD1. 又BD1⊄平面EAC,EO⊂平面EAC,所以BD1∥平面EAC.(2)易知AC⊥BD,DD1⊥平面ABCD,所以DD1⊥AC,因为BD∩DD1=D,所以AC⊥平面BDD1,所以AC⊥BD1,同理可证AB1⊥BD1,又AC∩AB1=A,所以BD1⊥平面AB1C,因为EO∥BD1,所以EO⊥平面AB1C,又EO⊂平面EAC,所以平面EAC⊥平面AB1C.。

[考查范围：第41讲～第45讲 分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置)1．圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心到直线x －y ＝1的距离为________．2．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为________． 3．过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2,1)，则圆C 的方程为________．4．[2011·镇江调研] 直线l 过(1,1)点，且与圆(x －2)2＋(y －2)2＝8相交于A ，B 两点，则弦AB 最短时直线l 的方程为________．5．若⊙O 1：x 2＋y 2＝5与⊙O 2：(x －m )2＋y 2＝20(m ∈R )相交于A 、B 两点，且两圆在点A 处的切线互相垂直，则线段AB 的长度是________．6．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则C 上各点到l 的距离的最小值为________．7．已知三角形的三边长分别为3,4,5，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为________．8．圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆M 的方程为(x －2－5cos θ)2＋(y －5sin θ)2＝1(θ∈R )，过圆M 上任意一点P 作圆C 的两条切线PE 、PF ，切点分别为E 、F ，则PE →·PF →的最小值是________．二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆． (1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆半径r 的取值范围； (3)求圆心的轨迹方程．10．已知气象台A 处向西300 km 处，有个台风中心，已知台风以每小时40 km 的速度向东北方向移动，距台风中心250 km 以内的地方都处在台风圈内，问：从现在起，大约多长时间后，气象台A 处进入台风圈？气象台A 处在台风圈内的时间大约多长？11．[2011·盐城二调] 如图G14－1，在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 由圆弧C 1和圆弧C 2相接而成，两个接点M ，N 均在直线x ＝5上，圆弧C 1的圆心是坐标原点O ，半径为13；圆弧C 2过点A (29,0)．(1)求圆弧C 2的方程；(2)曲线C 上是否存在点P ，满足PA ＝30PO ？若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由．(3)已知直线l ：x －my －14＝0与曲线C 交于E ，F 两点，当EF ＝33时，求坐标原点O 到直线l 的距离．12．[2011·常州一中模拟] 已知圆C 与两坐标轴都相切，圆心C 到直线y ＝－x 的距离等于 2.(1)求圆C 的方程；(2)若直线l ：x m ＋y n＝1(m >2，n >2)与圆C 相切，求证：mn ≥6＋4 2.45分钟滚动基础训练卷(十四)1. 2 [解析] 圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋3＝0的圆心为(1，－2)，到直线x －y ＝1的距离为|1＋2－1|2＝ 2. 2．相交 [解析] 圆心(0,0)到直线y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0的距离d ＝12＝22，而0<22<1，故直线与圆相交． 3．(x －3)2＋y 2＝2 [解析] 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，则根据已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧4－a2＋1－b2＝r 2，2－a 2＋1－b 2＝r 2，|a －b －1|2＝r⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝0，r 2＝2.4．x ＋y －2＝0 [解析] 画图分析可以得出当直线l 经过(1,1)，且与圆心(2,2)和定点(1,1)的连线相互垂直时弦AB 最短，∴k l ＝－2－12－1＝－1，又过点(1,1)，可求得l ：x ＋y －2＝0.5．4 [解析] 由题知O 1(0,0)，O 2(m,0)，且5<|m |<35，又O 1A ⊥AO 2，所以有m 2＝(5)2＋(25)2＝25⇒m ＝±5，∴AB ＝2×5×205＝4.6. 2 [解析] 如图可知过圆心作直线l ：x －y ＋4＝0的垂线，则AD 长即为所求．∵圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2的圆心为C (1,1)，半径为2，点C 到直线l ：x －y ＋4＝0的距离为d ＝||1－1＋42＝22，∴AD ＝CD －AC ＝22－2＝2，故C 上各点到l 的距离的最小值为 2.7．4 [解析] 对于半径为1的圆有一个位置是正好是三角形的内切圆，此时只有三个交点，对于圆的位置稍一右移或其他的变化，能实现4个交点的情况，但5个及以上的交点不能实现．8．6 [解析] PE →·PF →＝|PE →||PF →|cos ∠EPF ＝|PE →|2cos ∠EPF ＝(PC 2－4)cos ∠EPF ，连接CM ，根据图形可得，当P 为CM 与圆M 的交点时，PC 最小，∠EPF 最大，即cos ∠EPF 最小，此时，PC ＝CM －1＝4，∠EPF ＝60°，所以PE →·PF →＝(PC 2－4)cos ∠EPF ＝(16－4)×12＝6.9．[解答] (1)因为二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件为D 2＋E 2－4F ＞0，即4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)>0，解得－17<m <1.(2)二元二次方程表示圆时，半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝－7m 2＋6m ＋1＝－7⎝ ⎛⎭⎪⎫m －372＋167.由(1)知－17<m <1，故当m ＝37时，r max ＝477，当m ＝1或－17时，r min ＝0，∴0＜r ≤477.(3)设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3，y ＝4m 2－1，消去m ，得y ＝4(x －3)2－1.∵－17<m <1，∴207＜x ＜4，即轨迹为抛物线的一段，轨迹方程为y ＝4(x －3)2－1⎝ ⎛⎭⎪⎫207＜x ＜4.10．[解答] 如图建立直角坐标系，B 为台风中心，处在台风圈内的界线为以B 为圆心，半径为250的圈内，若t 小时后，台风中心到达B 1点，则B 1(－300＋40t cos45°，40t sin45°)，则以B 1为圆心，250为半径的圆的方程为()x ＋300－202t 2＋()y －202t 2＝2502，那么台风圈内的点就应满足()x ＋300－202t 2＋()y －202t 2≤2502.若气象台A 处进入台风圈，那么A 点的坐标就应满足上述关系式，把A 点的坐标(0,0)代入上面不等式，得()300－202t 2＋()202t 2≤2502，解得152－574≤t ≤152＋574，即为2.00≤t ≤8.61，所以气象台A 处约在2小时后进入台风圈，处在台风圈内的时间大约是6小时37分．11．[解答] 圆弧C 1所在圆的方程为x 2＋y 2＝169，令x ＝5，解得M (5,12)，N (5，－12)， 则线段AM 中垂线的方程为y －6＝2(x －17)，令y ＝0，得圆弧C 2所在圆的圆心为O 2(14,0)，又圆弧C 2所在圆的半径为r 2＝29－14＝15，所以圆弧C 2的方程为(x －14)2＋y 2＝225(x ≥5)．(2)假设存在这样的点P (x ，y )，则由|PA |＝30|PO |，得x 2＋y 2＋2x －29＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x 2＋y 2＝169－13≤x ≤5， 解得x ＝－70(舍去)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －29＝0，x －142＋y 2＝2255≤x ≤29解得x ＝0(舍去)， 综上知，这样的点P 不存在．(3)因为EF >2r 2，EF >2r 1，所以E ，F 两点分别在两个圆弧上，设点O 到直线l 的距离为d ，因为直线l 恒过圆弧C 2所在圆的圆心(14,0)，所以EF ＝15＋132－d 2＋142－d 2，即132－d 2＋142－d 2＝18，解得d 2＝161516，所以点O 到直线l 的距离为16154.12．[解答] (1)设圆C 半径为r ，圆心为(a ，b )，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝|b |，r ＝|a |，|a ＋b |2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝1，r ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝－1，r ＝1.∴圆C 方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，或(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1.(2)证明：直线l 方程为nx ＋my －mn ＝0，∵直线l 与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝1相切， ∴|n ＋m －mn |n 2＋m 2＝1，∴(n ＋m －mn )2＝n 2＋m 2，左边展开，整理得，mn ＝2m ＋2n －2.∴m ＋n ＝mn ＋22.∵m >0，n >0，m ＋n ≥2mn ，∴mn ＋22≥2mn ，∴(mn )2－4mn ＋2≥0，∴mn ≥2＋2或mn ≤2－ 2.∵m >2，n >2，∴mn ≥2＋2，∴mn ≥6＋4 2.。

[考查范围：第4讲～第12讲，以第8讲～第12讲内容为主 分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置) 1.3a ·6－a 等于________．2．如果log a 2＞log b 2＞0，则a ，b 的大小关系为________．3．函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最大值是________．4．[2011·常州模拟] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，x ≤0，f x －1，x >0，则f (1＋log 23)＝________.5．已知一容器中有A 、B 两种菌，且在任何时刻A ，B 两种菌的个数乘积为定值1010，为了简单起见，科学家用P A ＝lg(n A )来记录A 菌个数的资料，其中n A 为A 菌的个数，则下列判断中正确的个数为________．①P A ≥1；②若今天的P A 值比昨天的P A 值增加1，则今天的A 菌个数比昨天的A 菌个数多了10个； ③假设科学家将B 菌的个数控制为5万个，则此时5<P A <5.5.6．[2011·苏北四市三调] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.7．[2012·苏北四市一模] 已知f (x )是定义在[－2,2]上的函数，且对任意实数x 1，x 2(x 1≠x 2)，恒有f x 1－f x 2x 1－x 2>0，且f (x )的最大值为1，则满足f (log 2x )<1的解集为________．8．[2011·苏北四市一调] 已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋|x －1|＋|x －2|，且f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1)，则满足条件的所有整数a 的和是________．二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．若0≤x ≤2，求函数y ＝4x －12－3·2x＋5的最大值与最小值．10．方程2ax 2－x －1＝0(a >0，且a ≠1)在区间[－1,1]上有且仅有一个实根，求函数y ＝a －3x 2＋x 的单调区间．11．某工厂有216名工人接受了生产1 000台GH 型高科技产品的总任务．已知每台GH 型产品由4个G 型装置和3个H 型装置配套组成．每个工人每小时能加工6个G 型装置或3个H 型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置．设加工G 型装置的工人有x 人，他们加工完G 型装置所需时间为g (x )，其余工人加工完H 型装置所需时间为h (x )(单位：h ，可不为整数)．(1)写出g (x )，h (x )的解析式；(2)比较g (x )与h (x )的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f (x )的解析式； (3)应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？12．[2011·镇江期末] 已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x . (1)如果x ∈[1,4]，求函数h (x )＝(f (x )＋1)g (x )的值域；(2)求函数M (x )＝f x ＋g x －|f x －g x |2的最大值；(3)如果对f (x 2)f (x )>kg (x )中的任意x ∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k 的取值范围．45分钟滚动基础训练卷(三)1．－－a [解析] 3a ·6－a ＝a 13·(－a )16＝－(－a )13＋16＝－(－a )12.2．a ＜b [解析] 由换底公式及1log 2a >1log 2b>0，得0＜log 2a ＜log 2b ，∴a ＜b .3．4 [解析] 函数y ＝x －2在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递减，当x ＝12时，y max ＝4.4.83[解析] 本题考查周期函数与指数的运算，因为1＋log 23>2，所以f (1＋log 23)＝f (log 23)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 232＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 234＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 234－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 238＝83. 5．1 [解析] 当n A ＝1时，P A ＝0，故①错误；若P A ＝1，则n A ＝10；若P A ＝2，则n A ＝100，故②错误；设B 菌的个数为n B ＝5×104，∴n A ＝10105×104＝2×105，∴P A ＝lg(n A )＝lg2＋5.又∵lg2≈0.301，所以5<P A <5.5，故③正确．6．0 [解析] 当x <0时，－x >0，由题意得f (－x )＝－f (x )，所以－x 2－x ＝ax 2－bx ，从而a ＝－1，b ＝1，a ＋b ＝0.7.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，4 [解析] 由题意知函数f (x )在[－2,2]上单调递增，所以f (2)＝1，从而⎩⎪⎨⎪⎧－2≤log 2x ≤2，log 2x <2，解得14≤x <4.8．6 [解析] 由题意知函数f (x )是偶函数且当x ∈[－1,1]时函数y ＝f (x )为常函数，所以有a 2－3a ＋2＝a －1或a 2－3a ＋2＋a －1＝0或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a 2－3a ＋2≤1，－1≤a －1≤1.又a ∈Z ，解得a ∈{1,2,3}，从而所有整数a 的和为6.9．[解答] 令t ＝2x，∵0≤x ≤2，∴1≤t ≤4， y ＝12t 2－3t ＋5＝12(t －3)2＋12. 当t ＝3时，y 有最小值12；当t ＝1时，y 有最大值52.10．[解答] 令f (x )＝2ax 2－x －1， (1)由f (－1)＝2a ＝0，得a ＝0，舍去； (2)由f (1)＝2a －2＝0，得a ＝1，舍去；(3)f (－1)·f (1)<0⇔a 2－a <0⇔0<a <1， 综上：0<a <1.对于函数y ＝a －3x 2＋x ，令y ＝a t ，t ＝－3x 2＋x ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －162＋112，则y ＝a t 在R 上为减函数，t ＝－3x 2＋x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，16上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫16，＋∞上为减函数．∴当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，16时，y ＝a －3x 2＋x 是减函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫16，＋∞时，y ＝a －3x 2＋x 是增函数．11．[解答] (1)由题意知，需加工G 型装置4 000个，加工H 型装置3 000个，所用工人分别为x 人，(216－x )人．∴g (x )＝4 0006x ，h (x )＝ 3 000216－x ·3，即g (x )＝2 0003x ，h (x )＝1 000216－x(0＜x ＜216，x ∈N *)．(2)g (x )－h (x )＝2 0003x －1 000216－x ＝1 000432－5x3x 216－x.∵0＜x ＜216，∴216－x ＞0.当0＜x ≤86时，432－5x ＞0，g (x )－h (x )＞0，g (x )＞h (x )； 当87≤x ＜216时，432－5x ＜0，g (x )－h (x )＜0，g (x )＜h (x )． ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2 0003x ，0<x ≤86，x ∈N *，1 000216－x ，87≤x <216，x ∈N *.(3)求完成总任务所用时间最少即求f (x )的最小值．当0＜x ≤86时，f (x )递减，即f (x )≥f (86)＝2 0003×86＝1 000129，∴f (x )min ＝f (86)，此时216－x ＝130.当87≤x ＜216时，f (x )递增，即f (x )≥f (87)＝1 000216－87＝1 000129，∴f (x )min ＝f (87)，此时216－x ＝129.∴f (x )min ＝f (86)＝f (87)＝1 000129.∴当加工G 型装置，H 型装置的人数分别为86、130或87、129时，完成总任务所用的时间最少．12．[解答] 令t ＝log 2x ，(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(t －1)2＋2， ∵x ∈[1,4]，∴t ∈[0,2]， 则h (x )的值域为[0,2]．(2)f (x )－g (x )＝3(1－log 2x )，当x >2时，f (x )<g (x )；当0<x ≤2时，f (x )≥g (x )，∴M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧gx ，f x ≥g x ，f x ，f x <g x ，即M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，3－2log 2x ，x >2.当0<x ≤2时，M (x )的最大值为1； 当x >2时，M (x )<1.综上：当x ＝2时，M (x )取到最大值为1.(3)由f (x 2)f (x )>kg (x )得：(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ， ∵x ∈[1,4]，∴t ∈[0,2]，∴(3－4t )(3－t )>kt 对一切t ∈[0,2]恒成立． ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <3－4t 3－t t 恒成立，即k <4t ＋9t－15，∵4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号．∴4t ＋9t－15的最小值为－3，∴k <－3.综上k 的取值范围是k <－3.。

专题07 图像分析 第一讲 考点梳理 同种物质质量和体积成正比 四、重力与质量的关系： 物体所受的重力跟它的质量成正比。

五、浮力与物体所处深度的关系 甲 乙 图甲表示物体所受拉力与所处深度的关系；图乙是描述浮力的大小与物体所处深度的关系。

六、电流与电压电阻的关系 当电阻一定时，导体中的电流跟导体两端的电压成正比。

当电压一定时，导体的电流跟导体的电阻成反比。

第二讲 重点解析 典例1 甲、乙和丙三辆小车在水平面上同时同地同方向做匀速直线运动，它们的s-t图像如图所示。

经过相同的时间，下列选项正确的是A．甲车与乙车的距离等于乙车与丙车的距离 B．甲车与乙车的距离等于乙车与起点的距离 C．甲车与丙车的距离等于乙车与丙车的距离 D．甲车与丙车的距离等于乙车与起点的距离 B 解析： 由图可知，甲车的速度是10m/s，乙车的速度是5m/s，丙车的速度是2.5m/s。

经过相同的时间，甲车与乙车的距离为（10m/s-5m/s）t=5m/s）t，乙车与丙车的 距离为（5m/s-2.5m/s）t=2.5m/s）t，甲车与丙车的距离为（10m/s-2.5m/s）t=7.5m/s）t，乙车与起点的距离为(5m/s)t。

故选B 典例【哈尔滨市南岗区2014年中考调研测试（一）物理试卷】用图像表示一个物理量随另一个物理量的变化规律，可使物理规律更直观、形象。

如图所示，关于此图所表示的物理规律，下列分析错误的是（ ） A．物体所受重力与质量的关系 B. 液体压强与深度的关系 C. 做匀速直线运动的物体，速度与时间的关系 D.通过定值电阻的电流与电压的关系 C 典例在测定液体密度的实验中，液体的体积（V）及液体和容器的总质量（m）可分别由量筒和天平测得．某同学通过改变液体的体积得到几组数据，画出有关图线，在下图中能正确反映液体和容器的质量跟液体的体积关系的是 答案：B 解析： 同种物质组成的物体，质量与体积成正比的。

本题中研究的是液体的体积与液体和容器的总质量的关系，在实验中，由于容器有自身有质量，当液体体积为零时，容器质量不为零。

一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = 2x - 3，则f(-1)的值为（）A. -5B. -2C. 1D. 42. 下列不等式中，正确的是（）A. 3x > 2x + 1B. 3x ≤ 2x + 1C. 3x ≥ 2x + 1D. 3x < 2x + 13. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 2，a3 = 8，则d的值为（）A. 2B. 3C. 4D. 54. 已知等比数列{bn}的公比为q，若b1 = 3，b3 = 27，则q的值为（）A. 3B. 6C. 9D. 125. 若复数z满足|z - 2| = 3，则z的取值范围是（）A. z = 5B. z = 1C. z = 0D. z = -16. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的对称轴为（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 47. 若等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1 = 2，S5 = 50，则公差d为（）A. 4B. 5C. 6D. 78. 已知函数f(x) = |x - 2|，则f(x)在x = 2处的导数为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在9. 若复数z满足|z - 1| = 2，则z的取值范围是（）A. z = 3B. z = 1C. z = 0D. z = -110. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，则f(x)在x = 1处的切线斜率为（）A. 0B. 1C. -1D. 不存在二、填空题（每题5分，共50分）11. 已知等差数列{an}的公差为d，若a1 = 3，a4 = 11，则d的值为______。

12. 已知等比数列{bn}的公比为q，若b1 = 4，b3 = 64，则q的值为______。

13. 已知函数f(x) = 2x - 1，则f(-3)的值为______。

14. 已知复数z满足|z - 1| = 2，则z的取值范围是______。

[考查范围：第36讲～第39讲 分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置) 1．已知圆锥的母线长为2，高为3，则该圆锥的侧面积是________．2．若空间中有四个点，则“这四个点中有三点在同一直线上”是“这四个点在同一平面上”的________条件．3．已知正方体外接球的体积是323π，那么正方体的棱长等于________．4．对于任意的直线l 与平面α，在平面α内必有直线m ，使m 与l ________(填写“平行”或“垂直”)．5．m ，n 是空间两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下面有四个命题： ①m ⊥α，n ∥β，α∥β⇒m ⊥n ； ②m ⊥n ，α∥β，m ⊥α⇒n ∥β； ③m ⊥n ，α∥β，m ∥α⇒n ⊥β； ④m ⊥α，m ∥n ，α∥β⇒n ⊥β.其中真命题的编号是________．(写出所有真命题的编号)6．如图G11－1，一个由卡片折叠而成的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝1，BC ＝2，AC ＝5，AA 1＝3，且平面ACC 1A 1没有封口，一只蚂蚁从A 点出发沿着表面爬行到C 1点，则最短距离为________．7．平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A 的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是________．8．如果一条直线与一个平面垂直，那么，称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________．二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．[2012·徐州一调] 如图G11－2，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AC 交BD 于点O ，PA ⊥平面ABCD ，E 是棱PB 的中点．求证：(1)EO ∥平面PCD ；(2)平面PBD ⊥平面PAC .10．[2012·惠州调研] 如图G11－3的几何体中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD 为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．(1)求证：AF∥平面BCE；(2)求证：平面BCE⊥平面CDE.11．如图G11－4，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E为PC的中点．(1)求证：BE∥平面PAD；(2)若AB⊥平面PAD，平面PBA⊥平面PBD，求证：PA⊥PD.12．[2012·扬州调研] 如图G11－5是一个储油罐，它的下部是圆柱，上部是半球，半球的半径等于圆柱底面的半径．(1)若圆柱的底面直径和高都是6 m，求此储油罐的容积和表面积；(2)若容积一定，当圆柱的高与底的半径的比是多少时，制造这种储油罐的成本最低(即此几何体的表面积最小)?图G11－545分钟滚动基础训练卷(十一)1．2π [解析] 底面半径为4－3＝1，则展开图扇形的弧长为2π，半径为2，所以侧面积为2π.2．充分不必要 [解析] 充分性成立：“这四个点中有三点在同一直线上”有两种情况：(1)第四点在共线三点所在的直线上，可推出“这四个点在同一平面上”；(2)第四点不在共线三点所在的直线上，可推出“这四点在惟一的一个平面内”；必要性不成立：“四个点在同一平面上”可能推出“两点分别在两条相交或平行直线上”．3.433 [解析] 正方体外接球的体积是323π，则外接球的半径R ＝2，正方体的体对角线的长为4，棱长等于433.4．垂直 [解析] 对于任意的直线l 与平面α，若l 在平面α内，则存在直线m ⊥l ；若l 不在平面α内，且l ⊥α，则平面α内任意一条直线都垂直于l ，若l 不在平面α内，且l 于α不垂直，则它的射影在平面α内为一条直线，在平面α内必有直线m 垂直于它的射影，则m 与l 垂直．5．①④ [解析] 四个命题：①为真命题；②为假命题；③为假命题；④为真命题，所以真命题的编号是①④.6．3 2 [解析] 本题由于没有说明沿着哪两个表面爬行，故需要分类讨论，分别求出各种情况的最小值后，再进行大小比较．若先沿着平面ABC 爬行到BC ，再沿着平面BCC 1B 1爬行到C 1，故将底面和侧面展开得：此时：AM ＋MC 1≥AC 1＝16＋4＝若先沿着平面ABB 1A 1爬行到A 1B C 1，将侧面和底面展开得：此时：AM ＋MC 1≥AC 1＝26.若先沿A 1ABB 1爬行到BB 1，再爬行到C 1，可得AC 1最小为32， 故比较三个值可得，蚂蚁爬行的最短距离为3 2.7．一条直线 [解析] 设l 与l ′是其中的两条任意的直线，则这两条直线确定一个平面，且斜线AB 垂直于这个平面，由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A 与AB 垂直的所有直线都在这个平面内，故动点C 都在这个平面与平面α的交线上．8．36 [解析] 正方体中，一个面有四条棱与之垂直，六个面，共构成24个“正交线面对”；而正方体的六个对角面中，每个对角面又有两条面对角线与之垂直，共构成12个“正交线面对”，所以共有36个“正交线面对”．9．[解答] 证明：(1)因为ABCD 是菱形，AC ∩BD ＝O ， 所以O 是BD 的中点．又E 是PB 的中点，所以EO ∥PD . 因为EO ⊄平面PCD ，PD ⊂平面PCD ， 所以EO ∥平面PCD .(2)因为PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， 所以BD ⊥PA .因为ABCD 是菱形，所以BD ⊥AC ， 因为PA ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面PAC . 又因为BD ⊂平面PBD ， 所以平面PBD ⊥平面PAC .10．[解答] 证明：(1)取CE 的中点G ，连接FG 、BG .∵F 为CD 的中点，∴GF ∥DE 且GF ＝12DE .∵AB ⊥平面ACD ，DE ⊥平面∴AB ∥DE ，∴GF ∥AB .又AB ＝12DE ，∴GF ＝AB ，∴四边形GFAB 为平行四边形，则AF ∥BG .∵AF ⊄平面BCE ，BG ⊂平面BCE ，∴AF ∥平面BCE . (2)∵△ACD 为等边三角形，F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD .∵DE ⊥平面ACD ，AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF . 又CD ∩DE ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . ∵BG ∥AF ，∴BG ⊥平面CDE .∵BG ⊂平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .11．[解答] 证明：(1)(思路1：转化为线线平行，构造一个平行四边形ABEF ，其中F 为PD 的中点)取PD 中点F ，连接AF 、EF ，则EF 为△PCD 的中位线，∴EF ∥CD 且EF ＝12CD .又∵AB ∥CD 且AB ＝12CD ，∴EF ∥AB 且EF ＝AB ，∴四边形ABEF 为平行四边形，∴BE ∥AF . ∵BE ⊄面PAD ，AF ⊂面PAD ， ∴BE ∥面PAD .(思路2：转化为线线平行，延长DA 、CB ，交于点F ，连接PF ，易知BE ∥PF ) (思路3：转化为面面平行，取CD 中点F ，易证平面BEF ∥平面PAD ) (2)在平面PBA 内作AH ⊥PB 于H ，∵平面PBA ⊥平面PBD 且平面PBA ∩平面PBD ＝PB ，∴AH ⊥平面PBD . ∴AH ⊥PD .又∵AB ⊥平面PAD ，∴AB ⊥PD . ∵AB ∩AH ＝A ，∴PD ⊥平面PBA ，∴PA ⊥PD . 12．[解答] 设圆柱的底面半径为r ，高为h ，(1)∵V 半球＝23πr 3＝18π，V 圆柱＝πr 2h ＝54π，∴容积V ＝V 半球＋V 圆柱＝72π(m 3)，∵S 半球＝2πr 2＝18π，S 圆柱侧＝2πrh ＝36π， S 圆柱底＝πr 2＝9π，∴表面积S ＝S 半球＋S 圆柱侧＋S 圆柱底＝63π(m 2)；(2)∵V ＝V 半球＋V 圆柱＝23πr 3＋πr 2h ，∴h ＝V －23πr 3πr2， ∴S ＝S 半球＋S 圆柱侧＋S 圆柱底＝2πr 2＋2πrh ＋πr 2＝2πr ×V －23πr 3πr 2＋3πr 2＝2V r ＋5πr 23， ∴S ′＝－2V r 2＋10πr3.令S ′＝0得r 3＝3V 5π时表面积有最小值，此时h r ＝V －23πr 3πr 3＝V πr 3－23＝53－23＝1. 即圆柱的高与底的半径的比为1时，制造这种储油罐的成本最低．。

[考查范围：第17讲～第21讲 分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置) 1．sin585°的值为________．2．函数f (x )＝sin x cos x ＋12最小值是________．3．若cos α＝13，则cos 2π－α·sin π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·tan 3π－α的值为________．4．把函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得的函数解析式为________．5．若函数y ＝a sin x ＋b (x ∈R )的最大值和最小值分别为4和0，则实数a ＝________，b ＝________.6．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a ，b ，c 的大小关系为________(用“<”连接)．7．[2011·南通一模] 若函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R )满足f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，则正数ω的值为________．8．[2011·镇江统考] 矩形ABCD 中，AB ⊥x 轴，且矩形ABCD 恰好能完全覆盖函数y ＝a sin ax (a ∈R ，a ≠0)的一个完整周期图象，则当a 变化时，矩形ABCD 周长的最小值为________．二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．已知sin α＝35，α是第二象限角，(1)求tan α的值；(2)求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos(3π＋α)的值．10．已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到．11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位所对应的函数是偶函数．12．若函数f (x )＝12－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ax ＋π6(a >0)的图象与直线y ＝m 相切，相邻切点之间的距离为π2.(1)求m 和a 的值；(2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求点A 的坐标．45分钟滚动基础训练卷(五)1．－22[解析] sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22. 2．0 [解析] ∵f (x )＝12sin2x ＋12，∴f (x )min ＝0.3.13 [解析] 原式＝cos α·－sin αcos α·－tan α＝cos α＝13. 4．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10x －7π4 [解析] 将原函数图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x －7π4，再压缩横坐标得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫10x －7π4. 5．2或－2 2 [解析] 由于－1≤sin x ≤1，所以当a >0时有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝4，－a ＋b ＝0，解得a＝2，b ＝2；当a <0时有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋b ＝4，a ＋b ＝0，解得a ＝－2，b ＝2.6．b <a <c [解析] c >tan π4＝1，b ＝cos 2π7，a ＝sin 5π7＝sin 27π，故b <a <c .7．1 [解析] 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，由条件可知周期为T ＝4×π2＝2π，从而ω＝2πT＝1.8．8π [解析]⎭⎪⎬⎪⎫c ＝2AB ＋ADAB ＝2|a |AD ＝2π|a |⇒c ＝2(AB ＋AD )＝4|a |＋4π|a |≥8π.(当且仅当a ＝±π时取“＝”号)．9．[解答] (1)因为sin α＝35，α是第二象限角，所以cos α＝－45，从而tan α＝－34.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋cos ()3π＋α＝sin α－cos α＝75. 10．[解答] (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3. (2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表，并描点画出图象：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X ＝2x ＋π30 π2 π 3π2 2π y ＝sin X1 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π32－2(3)方法一：把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． 方法二：将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到y＝sin2x 的图象；再将y ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象． [点评] “变量变化”与“图象变化”的关系：当x →x ＋φ时，若φ>0，则向左移|φ|个单位；若φ<0，则向右移|φ|个单位．当y →y ＋m 时，若m >0，则向下移|m |个单位；若m <0，则向上移|m |个单位．当x →ωx (ω>0)时，则其横坐标变为原来的1ω.当y →ky (k >0)时，其纵坐标变为原来的1k.要注意体会其“相反”的变化过程，把握其实质．11．[解答] 方法一：(1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0，即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝0，又|φ|＜π2，∴φ＝π4. (2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 依题意，T 2＝π3.又T ＝2π|ω|，ω>0，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4.函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋m ＋π4， ∵g (x )是偶函数，∴3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而，最小正实数m ＝π12.方法二：(1)同方法一．(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4， 依题意，T 2＝π3.又T ＝2π|ω|，ω>0，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. 函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋m ＋π4，而g (x )是偶函数当且仅当g (－x )＝g (x )对x ∈R 恒成立，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3x ＋3m ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3m ＋π4对x ∈R 恒成立， ∴sin(－3x )cos3m ＋π4＋cos(－3x )sin3m ＋π4＝sin3x cos3m ＋π4＋cos3x sin3m ＋π4，即2sin3x cos3m ＋π4＝0对x ∈R 恒成立，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3m ＋π4＝0， 故3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，∴m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而，最小正实数m ＝π12.12．[解答] (1)由题意知m 为f (x )的最大值或最小值，∴m ＝－12或m ＝32，由题意知函数f (x )的最小正周期为π2，且a >0，∴a ＝2，∴m ＝－12或m ＝32，a ＝2.(2)∵f (x )＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋12， ∴令sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＝0，得4x ＋π6＝k π(k ∈Z )， ∴x ＝k π4－π24(k ∈Z )．由0≤k π4－π24≤π2(k ∈Z )，得k ＝1或k ＝2，因此点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π24，12或⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24，12.。

专题12 光路图 第一讲 考点梳理 一、光的直线传播手电筒的光、影子的形成、小孔成象、日食\月食、激光准直、排队看人齐了没有看第一个人有没有当住后面的人等等。

二、光的反射定律 1.光的反射定律：反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线分居在法线的两侧；反射角等于入射角。

可归纳为：“三线共面，两线分居，两角相等”。

入射点（O）：入射光线与镜面上的接触点； 入射光线：射向平面镜的光线； 反射光线：射出平面镜的光线； 法线（ON）：通过入射点且垂直于镜面的直线；（提示：法线是为了研究问题方便而引入的辅助线，本身并不存在，所以法线用虚线表示，一定要与光线的画法区分开。

） 入射角（i）：入射光线与法线的夹角； 反射角（r）：反射光线与法线的夹角。

2.平面镜成像 （1）根据光的反射定律 （2）平面镜成像特点：像到平面镜的距离与物体到平面镜的距离相等；像与物体的大小相等；像与物体的连线与平面镜垂直；平面镜成的是虚像。

利用数学课中有关对称的知识，平面镜成像的规律也可以表述为：平面镜所成的像与物体关于平面镜对称。

光的折射 （1）折射光线与入射光线、法线在同一平面内（三线共面）；折射光线和入射光线分居法线的两侧（法线居中）。

（2）光从空气斜射入玻璃或其他介质时，折射光线靠近法线折射，折射角小于入射角。

（3）当入射角增大时，折射角也增大，当入射角减小时，折射角也减小（折射角随入射角同方向变化）。

当光从空气垂直射入水中或其他介质时，传播方向不变（入射角、反射角、折射角均为0）。

四、透镜对光的作用 第二讲 重点解析 光学作图注意： 光线一定用箭头标上方向； 平面镜成的像是虚像，若是线段，一定要画成“虚线”； 根据入射光线和出射光线在光具同侧或异侧，判断是面镜还是透镜； 根据出射光线是会聚还是发散，判断透镜的类型。

典例1 根据光的直线传播作图 下图中，S是光源，A是不透明的物体，L是竖直墙面，试画出光源S照不到墙面的范围 答案： 解析：光在同种均匀介质中沿直线传播的。

45分钟滚动基础训练卷(十)[考查范围：第32讲～第35讲 分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置) 1．不等式|x －2|(x －1)<2的解集是________．2．已知x 是1,2，x,4,5这五个数据的中位数，又知－1,5，－1x，y 这四个数据的平均数为3，则x ＋y 最小值为________．3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋1x ≤0，－2x x >0，则不等式f (x )－x ≤2的解集是________．4．已知集合A ＝{x |y ＝lg(2x －x 2)}，B ＝{y |y ＝2x，x >0}，R 是实数集，则(∁R B )∩A ＝________.5．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝y x －xy的取值范围是________．6．[2020·广州调研] 在实数的原有运算法则中，定义新运算a b ＝a －2b ，则|x (1－x )|＋|(1－x )x |>3的解集为________．7．已知函数f (x )＝x 2－cos x ，对于⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的任意x 1，x 2，有如下条件：①x 1>x 2；②x 21>x 22；③|x 1|>x 2.其中能使f (x 1)>f (x 2)恒成立的条件序号是________．8．已知函数f (x )＝2x ＋a ln x (a <0)，则f x 1＋f x 22________f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22(用不等号填写大小关系)．二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．设集合A 为函数y ＝ln(－x 2－2x ＋8)的定义域，集合B 为函数y ＝x ＋1x ＋1的值域，集合C 为不等式⎝ ⎛⎭⎪⎫ax －1a (x ＋4)≤0的解集．(1)求A ∩B ；(2)若C ⊆∁R A ，求a 的取值范围．10．已知二次函数y ＝f (x )图象的顶点是(－1,3)，又f (0)＝4，一次函数y ＝g (x )的图象过(－2,0)和(0,2)．(1)求函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的解析式；(2)当x >0时，试求函数y ＝f xg x －2的最小值．11．[2020·常州调研] 已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝－1，当n ≥3，n ∈N *时，a n n －1－a n －1n －2＝3n －1n －2.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在k ∈N *，使得n ≥k 时，不等式S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4对任意实数λ∈[0,1]恒成立？若存在，求出k 的最小值；若不存在，请说明理由．12．扬州某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边所成角为60°(如图G10－1)，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其横断面要求面积为9 3 m 2，且高度不低于 3 m ．记防洪堤横断面的腰长为x (m)，外周长(梯形的上底线段BC 与两腰长的和)为y (m)．(1)求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；(2)要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5 m ，则其腰长x 应在什么范围内？ (3)当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即断面的外周长最小)？求此时外周长的值．45分钟滚动基础训练卷(十)1．(－∞，3)[解答] 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥2，x －2x －1<2或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，2－xx －1<2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x 2－3x ＋2<2或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，－x －2x －1<2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，0<x <3或⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x 2－3x ＋2>－2⇒2≤x <3或x <2⇒x <3.2.212 [解析] ∵－1＋5－1x ＋y4＝3，∴y ＝8＋1x， ∴x ＋y ＝x ＋8＋1x.又∵2≤x ≤4，∴当x ＝2，(x ＋y )min ＝212.3.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞ [解析] 当x ≤0,2x 2＋1－x ≤2，解得－12≤x ≤0；当x >0，－2x －x ≤2，∴x >0.综上所述x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞. 4．(0,1] [解析] 由2x －x 2>0，得x (x －2)<0⇒0<x <2，故A ＝{x |0<x <2}．由x >0，得2x>1，故B ＝{y |y >1}，(∁R B )＝{y |y ≤1}，则(∁R B )∩A ＝{x |0<x ≤1}．5.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－83，32 [解析] 令t ＝y x ，则u ＝t －1t .作出线性区域，则t ＝y x 表示区域内的点与坐标原点所连直线的斜率，由下图可知，当过A (3,1)时，t min ＝13，当过B (2,1)时，t max ＝2；而u ＝t －1t 在t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2上单调递增，故－83≤u ≤32.6．(－∞，0)∪(1，＋∞) |x －2(1－x )|＋|(1－x )－2x |>3，即|3x －2|＋|1－3x |>3.分类讨论：当x >23时，绝对值不等式可化为3x －2－1＋3x >3，即x >1，故x >1；当13≤x ≤23时，绝对值不等式可化为2－3x －1＋3x >3， 即1>3(舍去)；当x <13时，绝对值不等式可化简为2－3x ＋1－3x >3，即x <0，故x <0.则解集为x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．7．② [解析] 因为f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝f (x )，所以f (x )为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的偶函数，又f ′(x )＝2x ＋sin x ，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，f ′(x )>0，故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上单调递增．由f (x 1)>f (x 2)得f (|x 1|)>f (|x 2|)，故|x 1|>|x 2|，从而②成立．8．≥ [解析]f x 1＋f x 22－f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝2x 1＋a ln x 1＋2x 2＋a ln x 22－2×x 1＋x 22－a ln x 1＋x 22＝a ln x 1x 2－a ln x 1＋x 22＝a ln ⎝⎛⎭⎪⎫x 1x 2×2x 1＋x 2 ＝a ln 2x 1x 2x 1＋x 2，因为x 1＋x 2≥2x 1x 2，所以2x 1x 2x 1＋x 2≤1，ln2x 1x 2x 1＋x 2≤0. 又a <0，故a ln 2x 1x 2x 1＋x 2≥0，所以f x 1＋f x 22≥f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22. 9．[解答] (1)由－x 2－2x ＋8>0，得A ＝(－4,2)．y ＝x ＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1－1得，当x >－1时，y ≥2－1＝1；当x <－1时，得y ≤－3， 故B ＝(－∞，－3]∪[1，＋∞)， 所以A ∩B ＝(－4，－3]∪[1,2)． (2)∁R A ＝(－∞，－4]∪[2，＋∞)，当a >0时，则C ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－4，1a 2，不满足条件；当a <0时，C ＝(－∞，－4]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a2，＋∞，故1a 2≥2，得－22≤a ≤22，此时－22≤a <0. 故a 的取值范围为－22≤a <0. 10．[解答] (1)设f (x )＝a (x ＋1)2＋3， ∵f (0)＝4，解得a ＝1.∴函数解析式为f (x )＝x 2＋2x ＋4. 又由已知条件，g (x )解析式满足x －2＋y2＝1，∴g (x )＝x ＋2.(2)y ＝f x g x －2＝x 2＋2x ＋4x ＝x ＋4x ＋2，由于x >0，所以y ＝x ＋4x＋2≥2x ·4x＋2＝6. 当且仅当x ＝4x(x >0)，即x ＝2时，y 取得最小值6.11．[解答] (1)方法一：当n ＝3时，a 32－a 21＝32，a 3＝1；当n ＝4时，a 4＝3；当n ＝5时，a 4＝5.归纳得，n ≥2时，a n 是以a 2＝－1为首项，2为公差的等差数列，通项公式为a n ＝2n －5.下面代入检验(或用数学归纳法证明)； n ≥3时，a n －1＝2n －7，∵a n n －1－a n －1n －2＝2n －5n －1－2n －7n －2＝3n －1n －2， ∴n ≥2时，a n ＝2n －5满足条件．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.方法二：∵当n ≥3，n ∈N *时，a n n －1－a n －1n －2＝3n －1n －2＝3⎝⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1，∴a n ＋3n －1＝a n －1＋3n －2， ∴当n ≥2时，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋3n －1是常数列． ∴n ≥2时，a n ＋3n －1＝a 2＋32－1＝2，a n ＝2n －5.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2，方法三：∵当n ≥3，n ∈N *时，a n n －1－a n －1n －2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1， ∴a 32－a 21＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12，a 43－a 32＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13，…，a n n －1－a n －1n －2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n －1. 把上面n －2个等式左右两边分别相加，得a n n －1－a 2＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n －1，整理，得a n ＝2n －5，n ≥3；当n ＝2时，满足．∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，2n －5，n ≥2.(2)S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，n 2－4n ＋4，n ≥2.当n ＝1时，不等式S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4可化为λ≥25，不满足条件．当n ≥2时，S n ＋(2λ－1)a n ＋8λ≥4可化为2(2n －1)λ＋n 2－6n ＋5≥0，令f (λ)＝2(2n －1)λ＋n 2－6n ＋5，由已知得，f (λ)≥0对于λ∈[0,1]恒成立，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ f 0≥0，f 1≥0.化简得，⎩⎪⎨⎪⎧n 2－6n ＋5≥0，n 2－2n ＋3≥0.解得n ≤1或n ≥5.∴满足条件的k 存在，k 的最小值为5.12．[解答] (1)93＝12(AD ＋BC )h ，其中AD ＝BC ＋2·x 2＝BC ＋x ，h ＝32x ，∴93＝12(2BC ＋x )32x ，得BC ＝18x －x2.由⎩⎪⎨⎪⎧h ＝32x ≥3，BC ＝18x －x 2>0，得2≤x <6.∴y ＝BC ＋2x ＝18x ＋3x2(2≤x <6)．(2)令y ＝18x ＋3x2≤10.5，得3≤x ≤4.∵[3,4]⊂[2,6)，∴腰长x 的范围是[3,4]．(3)y ＝18x ＋3x 2≥218x ·3x 2＝63，当并且仅当18x ＝3x 2，即x ＝23∈[2,6)时等号成立．∴外周长的最小值为6 3 m ，此时腰长为2 3 m.。

45分钟滚动基础训练卷(十三)[考查范围：第41讲～第44讲分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置)1．在平面直角坐标系中，直线x＋3y－3＝0的倾斜角是________．2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点(0,0)对称的圆方程为________．3．等腰三角形两腰所在直线的方程分别为x＋y－2＝0与x－7y－4＝0，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为________．4．若两平行直线3x－2y－1＝0,6x＋ay＋c＝0之间的距离为21313，则c＋2a的值为________．5．[2012·温州调研] 已知直线3x－y＋2m＝0与圆x2＋y2＝n2相切，其中m，n∈N*，且n－m<5，则满足条件的有序实数对(m，n)共有________个．6．直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围是________．7．一束光线从点A(－1,1)出发经x轴反射到圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程是________．8．某圆拱桥的水面跨度是20 m，拱高为4 m．现有一船宽9 m，在水面以上部分高3 m，故通行无阻．近日水位暴涨了1.5 m，为此，必须加重船载，降低船身．当船身至少应降低________ m时，船才能通过桥洞．(结果精确到0.01 m)二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m，n的值，使：(1)l1与l2相交于点P(m，－1)；(2)l1∥l2；(3)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.10．[2012·淮安初期模拟] 已知圆M的方程为x2＋(y－2)2＝1，直线l的方程为x－2y＝0，点P在直线l上，过P点作圆M的切线PA，PB，切点为A，B.(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；(2)若P点的坐标为(2,1)，过P作直线与圆M交于C，D两点，当CD＝2时，求直线CD的方程．11．已知圆x2＋y2＋2ax－2ay＋2a2－4a＝0(0<a≤4)的圆心为C，直线l：y＝x＋m.(1)若m＝4，求直线l被圆C所截得弦长的最大值；(2)若直线l是圆心下方的切线，当a在(0,4]变化时，求m的取值范围．12．如图G13－1所示，l1、l2是通过城市开发区中心O的两条南北和东西走向的街道，连接M、N两地之间的铁路线是圆心在l2上的一段圆弧．若点M在点O正北方向，且|MO|＝3 km，点N到l1、l2的距离分别为4 km,5 km.(1)建立适当的坐标系，求铁路线所在圆弧的方程；(2)若该城市的某中学拟在点O正东方向选址建分校，考虑环境问题，要求校址到点O 的距离大于4 km，并且铁路上任意一点到校址的距离不能少于26 km，求校址距点O的最近距离．(校址视为一个点)45分钟滚动基础训练卷(十三) 1．150° [解析] 由k ＝－33得tan α＝－33，又0°≤α<180°，∴α＝150°.2．(x －2)2＋y 2＝5 [解析] 圆心(－2,0)关于原点(0,0)的对称点是(2,0)．3．3 [解析] l 1：x ＋y －2＝0，k 1＝－1，l 2：x －7y －4＝0，k 2＝17，设底边为l 3：y ＝kx .由题意，l 3到l 1所成的角等于l 2到l 3所成的角于是有k 1－k 1＋k 1k ＝k －k 21＋k 2k ⇒k ＋1k －1＝7k －17＋k， 解得k ＝3.4．±1 [解析] 由题意得，36＝－2a ≠－1c ，∴a ＝－4，c ≠－2，则6x ＋ay ＋c ＝0可化为3x －2y ＋c2＝0，由两平行线间的距离公式，得21313＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c 2＋113，解得c ＝2或－6，所以c ＋2a＝±1. 5．4 [解析] 由题意可得，圆心到直线的距离等于圆的半径，即2m －1＝n ，所以2m －1－m <5.因为m ，n ∈N *，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，n ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝2，n ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝3，n ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ＝8，故有序实数对(m ，n )共有4个．6.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，0 [解析] 由题可知圆心到直线的距离d ＝|3k －2＋3|1＋k 2＝|3k ＋1|1＋k2，则MN ＝24－k ＋21＋k2≥23，解得－34≤k ≤0.7．4 [解析] 圆C 的圆心C 的坐标为(2,3)，半径r ＝1.点A (－1,1)关于x 轴的对称点A ′的坐标为(－1，－1)．因A ′在反射线上，所以最短距离为|A ′C |－r ，即[2－－2＋[3－－2－1＝4.8．1.22 [解析] 建立直角坐标系，设圆拱所在圆的方程为x 2＋(y －b )2＝r 2. ∵圆经过点(10,0)，(0,4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧100＋b 2＝r 2，－b 2＝r 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－10.5，r ＝14.5.∴圆的方程是x 2＋(y ＋10.5)2＝14.52(0≤y ≤4)．令x ＝4.5，得y ≈3.28( m)．故当水位暴涨1.5 m 后，船身至少应降低1.5－(3.28－3)＝1.22 m ，船才能通过桥洞．9．[解答] (1)∵m 2－8＋n ＝0且2m －m －1＝0， ∴m ＝1，n ＝7.(2)由m ·m －8×2＝0得m ＝±4， 由8×(－1)－nm ≠0，n ≠±2，即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0，即m ＝0时l 1⊥l 2，又－n8＝－1，∴n ＝8.[点评] 如果将直线的方程转化为斜截式，则需要讨论字母系数，但用l 1∥l 2⇔ A 1B 2＝A 2B 1且A 2C 1≠A 1C 2(或B 2C 1≠B 1C 2)和l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0更便捷．10．[解答] (1)设P (2m ，m )，由题可知|MP |＝2，所以(2m )2＋(m －2)2＝4，解之得m ＝0或m ＝45.故所求点P 的坐标为P (0,0)或P ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45. (2)易知k 存在，设直线CD 的方程为y －1＝k (x －2)，由题知圆心M 到直线CD 的距离为22，所以22＝|－2k －1|1＋k2，解得k ＝－1或k ＝－17， 故所求直线CD 的方程为x ＋y －3＝0或x ＋7y －9＝0.11．[解答] (1)∵x 2＋y 2＋2ax －2ay ＋2a 2－4a ＝0，∴(x ＋a )2＋(y －a )2＝4a .∴圆心为C (－a ，a )，半径为r ＝2a .设直线l 被圆C 所截得的弦长为2t ，圆心C 到直线l 的距离为d . m ＝4时，直线l ：x －y ＋4＝0.圆心C 到直线l 的距离d ＝|－a －a ＋4|2＝2|a －2|.t 2＝(2a )2－2(a －2)2＝－2a 2＋12a －8＝－2(a －3)2＋10. ∴当a ＝3时，直线l 被圆C 所截得弦长的最大值为210. (2)圆心C 到直线l 的距离 d ＝|－a －a ＋m |2＝22|2a －m |，∵直线l 是圆C 的切线，∴d ＝r ，即|m －2a |2＝2a .∴m ＝2a ±22a .∵直线l 在圆C 的下方，∴m ＝2a －22a ＝(2a －1)2－1. ∵a ∈(0,4]，∴m ∈[－1,8－42]．12．[解答] (1)分别以l 1、l 2为y 轴和x 轴建立坐标系，由已知得M (0,3)，N (4,5)，故k MN ＝12，又线段MN 的中点为(2,4)，所以线段MN 的垂直平分线的方程为y －4＝－2(x －2)，令y ＝0得x ＝4，故圆心A 的坐标为(4,0)，半径r ＝－2＋－2＝5，因此所求的圆A 的方程为(x －4)2＋y 2＝25，故所求圆弧的方程为(x －4)2＋y 2＝25(0≤x ≤4，y ≥3)． (2)设校址选在B (a,0)(a >4)，则x －a 2＋y 2≥26对0≤x ≤4恒成立， 即x －a 2＋25－x －2≥26对0≤x ≤4恒成立，整理得(8－2a )x ＋a 2－17≥0对0≤x ≤4恒成立，令f (x )＝(8－2a )x ＋a 2－17，由a >4可得8－2a <0， 所以f (x )在区间[0,4]上为减函数，要使得(8－2a )x ＋a 2－17≥0，当且仅当a >4和f (4)≥0，即a >4和(8－2a )×4＋a 2－17≥0，解之得a ≥5， 即校址应选在距O 点最近5 km 的地方．。

45分钟滚动基础训练卷(二)[考查范围：第4讲～第7讲 分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置) 1．下列函数中哪个与函数y ＝x (x ≥0)是同一个函数________(填序号)．①y ＝(x )2；②y ＝x 2x ；③y ＝3x 3；④y ＝x 2.2．函数f (x )＝3x －x 2的定义域为________．3．[2012·扬州模拟] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x >0，3xx ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14的值是________．4．[2011·苏锡常镇一调] 已知常数t 是负实数，则函数f (x )＝12t 2－tx －x 2的定义域是________．5．[2011·常州模拟] 已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且x ∈(0,2)时，f (x )＝x 2＋1，则f (7)的值为________．6．[2011·苏锡常镇二调] 若函数f (x )＝(x ＋a )·3x －2＋a 2－(x －a )38－x －3a为偶函数，则所有实数a 的取值构成的集合为________．7．函数f (x )＝|x 2－1|＋x 的单调增区间为________．8．若函数f (x )＝x ＋13－2tx (t ∈N *)的最大值是正整数M ，则M ＝________.二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．求下列函数的定义域：(1)y ＝3x －x2|x －1|－1；(2)y ＝xlog 122－x.10．若奇函数f (x )是定义在(－1,1)上的增函数，试解关于a 的不等式：f (a －2)＋f (a 2－4)<0.11．已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c (b ≥0，c ∈R )．若f (x )的定义域为[－1,0]时，值域也是[－1,0]，符合上述条件的函数f (x )是否存在？若存在，求出f (x )的解析式；若不存在，请说明理由．12．[2012·杭州模拟] 对任意实数x ，给定区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12，k ＋12(k ∈Z )，设函数f (x )表示实数x 与x 的给定区间内整数之差的绝对值．(1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12时，求出函数f (x )的解析式； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12，k ＋12(k ∈Z )时，写出用绝对值符号表示的f (x )的解析式；(3)判断函数f (x )的奇偶性，并证明你的结论．45分钟滚动基础训练卷(二)1．① [解析] 当两个函数的对应关系和定义域完全相同时，这两个函数为同一函数．同时满足这两个条件的只有①中的函数．2．[0,3] [解析] 由3x －x 2≥0得0≤x ≤3. 3.19 [解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (－2)＝3－2＝19. 4．[3t ，－4t ] [解析] f (x )＝12t 2－tx －x 2＝－x ＋3t x ＋4t ⇒⎭⎪⎬⎪⎫－x ＋3tx ＋4t ≥0t <0⇒x ∈[3t ，－4t ]．5．－2 [解析] f (7)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－(12＋1)＝－2.6．{2，－5} [解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝(－x ＋a )3－x －2＋a 2＋(x ＋a )38＋x －3a ＝(x ＋a )3x －2＋a 2－(x －a )38－x －3a对任意x 恒成立．即8＋x －3a ＝x －2＋a 2且－x －2＋a 2＝8－x －3a ， 解得a ＝2或a ＝－5，故a 的取值集合为{2，－5}．7.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，[1，＋∞) [解析] 当x ≥1或x ≤－1时，y ＝x 2＋x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－54，当－1<x <1时，y ＝－x 2＋x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋54.由函数图象可以知道函数的单调减区间为(－∞，－1]，⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 函数的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12，[1，＋∞)．8．7 [解析] 本题结合函数性质考查换元法的应用，采用整体换元法求解．令u ＝13－2tx (t ∈N *，u ≥0)⇒x ＝13－u 22t(u ≥0)，∴f (u )＝13－u 22t ＋u (t ∈N *，u ≥0)＝－12t (u －t )2＋12⎝⎛⎭⎪⎫t ＋13t (t ∈N *，u ≥0)．由题知将原函数的最值转化为求函数f (u )＝－12t (u －t )2＋12⎝⎛⎭⎪⎫t ＋13t (t ∈N *，u ≥0)的最大值M ，∵M 为正整数，∴t ＋13t(t ∈N *)必须能被2整除，所以当t ＝1或t ＝13时f (x )取到最大值M ＝7.9．[解答] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3x －x 2≥0，|x －1|－1≠0，得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤3，x ≠0且x ≠2，即0<x <2或2<x ≤3.∴函数的定义域是(0,2)∪(2,3]．(2)由log 12(2－x )>0，得0<2－x <1，即1<x <2，∴函数的定义域为(1,2)．10．[解答] 由已知得f (a －2)<－f (a 2－4)，因f (x )是奇函数，故－f (a 2－4)＝f (4－a 2)，于是f (a －2)<f (4－a 2)．又f (x )是定义在(－1,1)上的增函数，从而⎩⎪⎨⎪⎧a －2<4－a 2，－1<a －2<1，－1<4－a 2<1⇒⎩⎨⎧－3<a <2，1<a <3，－5<a <－3或3<a <5⇒3<a <2，即不等式的解集是(3，2)． 11．[解答] 假设符合条件的f (x )存在． ∵函数图象的对称轴是直线x ＝－b2，又b ≥0，∴－b2≤0.(1)当－12<－b 2≤0时，即0≤b <1，当x ＝b2时，函数有最小值－1，则⎩⎪⎨⎪⎧ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝－1，f －1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 24－b 22＋c ＝－1，1－b ＋c ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，c ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝4，c ＝3(舍去)．(2)当－1<－b 2≤－12，即1≤b <2时，则⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2＝－1，f 0＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝0(都舍去)．(3)当－b2≤－1，即b ≥2时，函数在[－1,0]上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧f－1＝－1，f 0＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2，c ＝0.综上所述，符合条件的函数有2个：f (x )＝x 2－1或f (x )＝x 2＋2x .12．[解答] (1)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12时，0为给定区间内的整数，故由定义知，f (x )＝|x |，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12. (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12，k ＋12(k ∈Z )时，k 为给定区间内的整数，故f (x )＝|x －k |，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤k －12，k ＋12(k ∈Z )． (3)对任意x ∈R ，函数f (x )都存在，且存在k ∈Z ，满足k －12≤x ≤k ＋12，f (x )＝|x －k |.由k －12≤x ≤k ＋12，得－k －12≤－x ≤－k ＋12，此时－k 是区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－k －12，－k ＋12内的整数．因此f (－x )＝|－x －(－k )|＝|－x ＋k |＝|x －k |＝f (x )，即函数f (x )为偶函数．。

专题01 现象 第一部分 夯实双基 【湖北省宜昌市2014年春季九年级调研考试物理试题】下列现象中，能用光的折射规律解释的是A.小孔成像B.水中“月亮”C.海市蜃楼D.墙上手影 【江苏省苏州市吴中区2014年九年级教学质量调研测试（一）】不锈钢茶杯底部放有一枚硬币，人移动到某一位置时看不见硬币（如图甲），往茶杯中倒入一些水后，又能看见硬币了（如图乙）。

造成看不见和又看见了的原因分别是 A．光的直线传播和光的折射 B．光的直线传播和光的反射 C．光的反射和光的折射 D．光的反射和光的直线传播 ．【福建省龙岩市初级中学2014-2015学年八年级上学期第一次阶段测试】一束光线以30°角入射到平面镜上，当入射角增大20°时，反射光线与入射光线的夹角为 （ ） A．100 ° B．120° C．140° D．160° 【淮北市2013-2014学年度九年级“五校联考”模拟试题二】人眼的晶状体和角膜的共同作用相当于凸透镜，如图所示表示的是来自远处的光经小丽眼球折光系统获得光路示意图。

下列分析正确的是（ ） A．小丽是正常眼睛 B．应该用凸面镜矫正 C．应利用凸透镜矫正 D．应利用凹透镜矫正 【江苏常熟市2014届九年级4月调研测试】虚线方框内各放置一个透镜，两束光通过透镜前后的方向如图所示，则A．甲为凹透镜，乙为凸透镜 B．甲、乙都为凸透镜 C．甲为凸透镜、乙为凹透镜 D．甲、乙都为凹透镜 【广东省东莞市寮步信义学校2014年初中毕业生学业考试第一模拟试卷】在图中画出通过透镜后的折射光线。

8.【山东省聊城市东昌府区2014届初中毕业班学业水平测试】一束光从空气斜射到某液面上发生反射和折射，请画出反射光线与折射光线的大致方向并标出的反射角的大小 【湖北省宜昌市2014年春季九年级调研考试物理试题】如图所示为探究光的反射规律的实验装置。

小明同学首先使纸板A和纸板B处于同一平面，可以在纸板B上观察到反射光线OF. （1）小明想探究反射光线与入射光线是否在同一平面内，他的操作应该是： 。

45分钟滚动基础训练卷(六)[考查范围：第22讲～第24讲 分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置)1．已知向量a 表示“向东航行1 km ”，向量b 表示“向南航行1 km ”，则向量a ＋b 表示______________．2．已知向量a ＝(cos10°，sin10°)，b ＝(cos70°，sin70°)，则|a －2b |＝________.3．[2012·南通模拟] 在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________.4．已知向量OA →＝(0,1)，OB →＝(1,3)，OC →＝(m ，m )，若AB →∥AC →，则实数m ＝________.5．在△ABC 中，若AB →·AC →＝AB →·CB →＝4，则边AB 的长等于________．6．[2011·常州调研] 设e 1、e 2是夹角为60°的两个单位向量，已知OM →＝e 1，ON →＝e 2，OP→＝xOM →＋yON →(x ，y 为实数)．若△PMN 是以M 为直角顶点的直角三角形，则x －y 取值的集合为________．7．已知向量OA →＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，OB →＝(－sin β，cos β)，其中O 为坐标原点，若|BA→|≥2|OB →|对任意实数α、β都成立，则实数λ的取值范围是________．8．[2011·苏北四市三模] 如图G6－1，在△ABC 和△AEF 中，B 是EF 的中点，AB ＝EF＝1，CA ＝CB ＝2，若AB →·AE →＋AC →·AF →＝2，则EF →与BC →的夹角等于________．二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．[2011·兰州一中三模] 如图G6－2，在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别在边CD 和BC 上，且DC →＝3DE →，BC →＝3BF →.若AC →＝mAE →＋nAF →，其中m ，n ∈R ，求m ＋n .10．[2011·苏锡常镇一模] 设平面向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(cos x ＋23，sin x )，c ＝(sin α，cos α)，x ∈R .(1)若a ⊥c ，求cos(2x ＋2α)的值；(2)若x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，证明：a 和b 不可能平行．11．已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,2)，向量x＝k a＋b，y＝a－3b.(1)当k为何值时，向量x⊥y；(2)若向量x与y的夹角为钝角，求实数k的取值范围．12．设向量a＝(4cosα，sinα)，b＝(sinβ，4cosβ)，c＝(cosβ，－4sinβ)．(1)若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；(2)求|b＋c|的最大值；(3)若tanαtanβ＝16，求证：a∥b.45分钟滚动基础训练卷(六)1．向东南航行 2 km [解析] 由平行四边形法则可知． 2.3 [解析] |a |＝|b |＝1，a ·b ＝cos10°cos70°＋sin10°sin70°＝cos(10°－70°)＝cos60°＝12， ∴|a －2b |＝a 2－4a ·b ＋4b 2＝ 3.3．－8 [解答] 解法1：设菱形ABCD 的对角线的交点为O ，则OB ⊥AC ，从而CA →·AB →＝CA →·(AO →＋OB →)＝CA →·⎝⎛⎭⎫－12CA →＝－8.解法2：以AC 为x 轴的正方向，以AC 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，则A (－2,0)，C (2,0)，设B (0，m )，从而CA →＝(－4,0)，AB →＝(2，m )，故CA →·AB →＝－8.4．－1 [解析] AB →＝OB →－OA →＝(1,2)，AC →＝OC →－OA →＝(m ，m －1)，因为AB →∥AC →，所以m－1＝2m ，得m ＝－1.5．22 [解析] 方法一：因为AB →·AC →＝AB →·CB →＝4，所以AB →·AC →＋AB →·CB →＝AB →·(AC →＋CB →)＝AB →2＝8，边AB 的长等于2 2.方法二：由题知AB →·AC →＝4，AB →·CB →＝4得⎩⎪⎨⎪⎧ cb cos A ＝4，ca cos B ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋c 2－a 2＝8，a 2＋c 2－b 2＝8， 故c ＝22，边AB 的长等于2 2.6．{1} [解析] 由题意得：|OM →|＝|ON →|＝1，OM →·ON →＝12， 又因为△PMN 是以M 为直角顶点的直角三角形，所以有MP →·MN →＝0.即(OP →－OM →)·(ON →－OM →)＝0，所以((x －1)OM →＋yON →))·(ON →－OM →)＝0，(1－x )＋y ＋(x －1－y )·12＝0，所以－12(x －y )＝－12，即x －y ＝1，故x －y 取值的集合为{1}． 7．(－∞，－3]∪[3，＋∞) [解析] 由已知可以得到(λcos α＋sin β)2＋(λsin α－cos β)2≥4，所以λ2＋2λsin(β－α)－3≥0，当λ>0时，3－λ22λ≤－1，得λ≥3，当λ<0时，3－λ22λ≥1得λ≤－3， 所以实数λ的取值范围是λ≥3或λ≤－3.8.π3 [解析] 因为△ABC 中，CA ＝CB ＝2，AB ＝1，所以cos ∠CAB ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝14，所以AC →·AB →＝12. 又因为AB →·AE →＋AC →·AF →＝2，所以AB →·(AB →＋BE →)＋AC →·(AB →＋BF →)＝2，即1＋AB →·BE →＋AC →·AB →＋AC →·BF →＝2，所以AB →·BE →＋AC →·AB →＋AC →·BF →＝1.因为BE →＝－BF →，－AB →·BF →＋AC →·AB →＋AC →·BF →＝1，即BF →(AC →－AB →)＋AC →·AB →＝1，所以BF →·BC →＋AC →·AB →＝1，即BF →·BC →＝1－AC →·AB →＝12， 所以cos 〈BF →，BC →〉＝12，故〈BF →，BC →〉＝π3， 即〈EF →，BC →〉＝π3. 9．[解答] ∵AC →＝AD →＋AB →＝(AE →＋ED →)＋(AF →＋FB →)＝(AE →－13AB →)＋(AF →－13AD →)， ∴AC →＝(AE →＋AF →)－13(AB →＋AD →)＝(AE →＋AF →)－13AC →.∴43AC →＝AE →＋AF →，∴AC →＝34AE →＋34AF →， ∴m ＝n ＝34，m ＋n ＝32. [点评] 解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘，把其他相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相等建立方程组，从而解出相应的值．10．[解答] (1)若a ⊥c ，则a ·c ＝0，cos x sin α＋sin x cos α＝0，sin(x ＋α)＝0，所以cos(2x ＋2α)＝1－2sin 2(x ＋α)＝1.(2)假设a 与b 平行，则cos x sin x －sin x (cos x ＋23)＝0，即sin x ＝0，而x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin x >0，矛盾．故假设不成立，即a 与b 不可能平行． 11．[解答] x ＝k a ＋b ＝(k －3,2k ＋2)，y ＝a －3b ＝(10，－4)．(1)若x ⊥y ，则x ·y ＝0，即10(k －3)－4(2k ＋2)＝0，2k ＝38，∴k ＝19.(2)x ·y ＝2k －38，设x 与y 的夹角为θ，则cos θ＝x ·y |x ||y |<0， ∴2k －38<0，即k <19.又π2<θ<π，∴x 与y 不共线． 若x 与y 共线，则有－4(k －3)－10(2k ＋2)＝0，∴k ＝－13， 故所求实数k 的取值范围是k <19且k ≠－13. 12．[解答] (1)因为a 与b －2c 垂直，所以a·(b －2c )＝a·b －2a·c ＝0.所以4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，所以tan(α＋β)＝2.(2)由条件得，b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)．所以|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β＝17－30sin βcos β＝17－15sin2β.又17－15sin2β的最大值为32，所以|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明：由tan αtan β＝16得，sin αsin β＝16cos αcos β，即4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，所以a ∥b .。

2025届江苏省高三冲刺模拟数学试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。

2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。

3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若0,0x y >>，则“2x y +=的一个充分不必要条件是 A ．x y = B ．2x y = C ．2x =且1y =D ．x y =或1y =2．山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽、果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：mm ）服从正态分布()280,5N ，则直径在(]75,90内的概率为（ ）附：若()2~,X N μσ，则()0.6826P Xμσμσ-<+=，()220.9544P X μσμσ-<+=.A ．0.6826B ．0.8413C ．0.8185D ．0.95443．若集合{}|sin 21A x x ==，,42k B y y k Z ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A ．A B A ⋃=B ．R RC B C A ⊆C ．AB =∅D ．R R C A C B ⊆4．正三棱柱111ABC A B C -中，1AA =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 5．已知抛物线22(0)y px p =>上一点(5,)t 到焦点的距离为6，P Q 、分别为抛物线与圆22(6)1x y -+=上的动点，则PQ 的最小值为（ ）A 1B ．2C ．D ．16．如图，四边形ABCD 为正方形，延长CD 至E ，使得DE CD =，点P 在线段CD 上运动.设AP x AB y AE =+，则x y +的取值范围是（ ）A ．[]1,2B ．[]1,3C ．[]2,3D ．[]2,47．已知平面向量a ，b ，c 满足：0,1a b c ⋅==，5a c b c -=-=，则a b -的最小值为( ) A ．5B ．6C ．7D ．88．已知平面向量,a b ，满足1,13a b ==，且2a b a b +=+，则a 与b 的夹角为（ ） A ．6π B ．3π C ．23π D ．56π 9．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10B ．14-C ．–18D ．–2010．设i 为虚数单位，若复数(1)22z i i -=+，则复数z 等于( ) A ．2i -B ．2iC ．1i -+D ．011．双曲线2214x y -=的渐近线方程是（ ）A ．32y x =±B ．233y x =±C ．2x y =±D ．2y x =±12．《九章算术》“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：2n =及3n =时，如图：记n S 为每个序列中最后一列数之和，则6S 为（ ）A ．147B ．294C ．882D ．1764二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。