2013届高三数学一轮复习基础训练系列卷(及答案)-(14)

2013届高三数学一轮复习基础训练系列卷(及答案)-(14)45分钟滚动基础训练卷(十六) [考查范围：第49讲～第52讲分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置)1．[2011·泰州调研] 某单位有职工900人，其中青年职工450人，中年职工270人，老年职工180人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为10人，则样本容量为________．2．某人射击一次，命中7～10环的概率如下表所示，则射击1次，命中不足8环的概率是________．3.根据下面所示的伪代码，当输入a，b分别为2,3时，最后输出的m的值为________．Read a ，bIf a >b Thenm ←aElse m ←bEnd IfPrint m4．某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表：根据利润额y 与销售额x 之间的线性回归方程，若该公司某月的总销售额为40千万元，则它的利润额估计是________千万元．5．[2011·无锡模拟]某算法的程序框图如图G16－1，若输入a ＝4，b ＝2，c ＝6，则输出的结果为________．图G16－16．图G16－2是某市歌手大奖赛七位评委为某位选手打出分数的茎叶图，若去掉一个最高分和一个最低分，则所剩余分数的方差为________．(茎表示十位数字，叶表示个位数字)7 98 4 4 4 6 79 3图G16－27．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，π2的概率是________． 8．已知{a n }是等差数列，设T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |(n ∈N *)．某学生设计了一个求T n 的部分算法流程图(如图G16－3)，图中空白处理框中是用n 的表达式对T n 赋值，则空白处理框中应填入：T n ←________.图G16－3二、解答题(本大题共4小题，每小题15分，共60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)9．有朋自远方来，已知他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或飞机来的概率；(2)求他不乘轮船来的概率；(3)请问他乘何种交通工具来的概率为0.4?10．设关于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是从0,1,2,3四个数中任取的一个数，b是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；(2)若a是从区间[0,3]任取的一个数，b是从区间[0,2]任取的一个数，求上述方程有实根的概率．11．一汽车厂生产A，B，C三类轿车，每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产量如下表(单位：辆)：按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆，其中有A类轿车10辆．(1)求z的值；(2)用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2辆，求至少有1辆舒适型轿车的概率；(3)用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆，经检测它们的得分如下：9.4,8.6,9.2,9.6，8.7，9.3,9.0,8.2.把这8辆轿车的得分看成一个总体，从中任取一个数，求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率．12．某校从参加高一年级期中考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六段[40,50)，[50,60)，…，[90,100]后得到如下G16－4部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：(1)求分数在[70,80)内的频率，并补全这个频率分布直方图；(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值作为代表，据此估计本次考试的平均分；(3)用分层抽样的方法在分数段为[60,80)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[70,80)的概率．图G16－445分钟滚动基础训练卷(十六)1．20[解析] 由分层抽样的知识知，10450＝n900，n＝20.2．0.42[解析] P＝1－(0.12＋0.18＋0.28)＝0.42.3．3[解析] 本题代码是解决a，b中较大数的算法．4．20.4[解析] 列表得：由此得x＝6，y＝3.4，b＝112－5×6×3.4 200－5×6×6＝0.5，a ＝3.4－0.5×6＝0.4，所以线性回归方程为y ^＝0.5x ＋0.4，将x ＝40代入线性回归方程中得到y ^＝0.5×40＋0.4＝20.4(千万元)．5．6 [解析] 由程序可知，即求a 、b 、c 中的最大值，显然a 、b 、c 中的最大值为6.6.85[解析] 去掉最高分93和最低分79，余下分数的平均数为15×(84×3＋86＋87)＝85，所以剩余分数的方差s 2＝15×[3×(85－84)2＋(86－85)2＋(87－85)2]＝85. 7.712 [解析] 由θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，π2知cos θ＝a ·b |a ||b |≥0，所以n ≤m ，当n ＝1时，m ＝1,2,3,4,5,6；当n ＝2时，m ＝2,3,4,5,6；当n ＝3时，m ＝3,4,5,6；当n ＝4时，m ＝4,5,6；当n ＝5时，m ＝5,6；当n ＝6时，m ＝6.所以所求的概率为P ＝2136＝712. 8．n 2－9n ＋40 [解析] 由题意，通过代入n ＝1，n ＝2，…，n ＝5求出T n 的值，可知等差数列a n ＝－2n ＋10或a n ＝2n －10，设{a n }的前n 项和为S n ，当a n ＝－2n ＋10时，n ≤5时，a n ≥0，所以T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝－n 2＋9n ；n>5时，a n<0，所以T n＝|a1|＋|a2|…＋|a n|＝a1＋…＋a5－a6－…－a n＝S5－(S n－S5)＝2S5－S n＝n2－9n＋40；当a n＝2n－10时，结果一样．故处理框中应填T n←n2－9n＋40.9．[解答] 设“朋友乘火车、轮船、汽车、飞机来”分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.3，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，P(D)＝0.4，且事件A，B，C，D之间是互斥的．(1)他乘火车或飞机来的概率为P(A＋D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.(2)他乘轮船来的概率是P(B)＝0.2，所以他不乘轮船来的概率为P(B)＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8.(3)由于0.4＝P(D)＝P(A)＋P(C)，所以他可能是乘飞机来，也可能是乘火车或汽车来的．10．[解答] 设事件A为“方程x2＋2ax＋b2＝0有实根”．当a>0，b>0时，方程x2＋2ax＋b2＝0有实根的充要条件为a≥b.(1)基本事件共12个：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)．其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值．事件A 中包含9个基本事件，事件A 发生的概率为P (A )＝912＝34. (2)试验的全部结果所构成的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2}．构成事件A 的区域为{(a ，b )|0≤a ≤3,0≤b ≤2，a ≥b }．所以所求的概率为3×2－12×223×2＝23. 11．[解答] (1)设该厂这个月共生产轿车n 辆，由题意得50n ＝10100＋300，所以n ＝2000， 则z ＝2000－(100＋300)－150－450－600＝400.(2)设所抽样本中有a 辆舒适型轿车，由题意4001000＝a 5，得a ＝2.因此抽取的容量为5的样本中，有2辆舒适型轿车，3辆标准型轿车．用A 1，A 2表示2辆舒适型轿车，用B 1，B 2，B 3表示3辆标准型轿车，用E 表示事件“在该样本中任取2辆，其中至少有1辆舒适型轿车”，则基本事件空间包含的基本事件有： (A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3，)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3，)，(B 2，B 3)，共10个，事件E 包含的基本事件有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1，)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，共7个，故P (E )＝710，即所求概率为710. (3)样本平均数x ＝18(9.4＋8.6＋9.2＋9.6＋8.7＋9.3＋9.0＋8.2)＝9.设D 表示事件“从样本中任取一数，该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5”，则基本事件空间中有8个基本事件，事件D 包括的基本事件有：9.4,8.6,9.2，8.7，9.3，9.0，共6个，所以P (D )＝68＝34，即所求概率为34. 12．[解答] (1)分数在[70,80)内的频率为 1－(0.010＋0.015＋0.015＋0.025＋0.005)×10＝1－0.7＝0.3，故0.310＝0.03， 补全频率分布直方图如图所示.(2)平均分为x ＝45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.(3)由题意，[60,70)分数段的人数为0.15×60＝9(人)，[70,80)分数段的人数为0.3×60＝18(人)．∵在[60,80)的学生中抽取一个容量为6的样本，∴[60,70)分数段抽取2人，分别记为m，n；[70,80)分数段抽取4人，分别记为a，b，c，d.设从样本中任取2人，至多有1人在分数段[70,80)为事件A，则所有基本事件为：(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共15种，∵事件A包含的基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)共9种，∴P(A)＝915＝35.。

D 单元 数列D1 数列的概念与简单表示法图1－314．D1[2013·安徽卷] 如图1－3所示，互不相同的点A 1，A 2，…，A n ，…和B 1，B 2，…，B n ，…分别在角O 的两条边上，所有A n B n 相互平行，且所有梯形A n B n B n ＋1A n ＋1的面积均相等，设OA n ＝a n ，若a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的通项公式是________．14．a n ＝3n －2 [解析] 令S △OA 1B 1＝m(m>0)，因为所有A n B n 相互平行且a 1＝1，a 2＝2，所以S 梯形A 1B 1B 2A 2＝3m ，当n ≥2时，a n a n －1＝OA nOA n －1＝m ＋（n －1）×3mm ＋（n －2）×3m＝3n －23n －5， 故a 2n ＝3n －23n －5a 2n －1， a 2n －1＝3n －53n －8a 2n －2， a 2n －2＝3n －83n －11a 2n －3， …… a 22＝41a 21 以上各式累乘可得a 2n ＝(3n －2)a 21，因为a 1＝1，所以a n ＝3n －2. 4．D1[2013·辽宁卷] 下面是关于公差d>0的等差数列{}a n 的四个命题： p 1：数列{}a n 是递增数列； p 2：数列{}na n 是递增数列；p 3：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是递增数列；p 4：数列{}a n ＋3nd 是递增数列． 其中的真命题为( )A ．p 1，p 2B ．p 3，p 4C ．p 2，p 3D ．p 1，p 44．D [解析] 因为数列{a n }中d>0，所以{a n }是递增数列，则p 1为真命题．而数列{a n ＋3nd}也是递增数列，所以p 4为真命题，故选D.17．D1、D2[2013·全国卷] 等差数列{a n }前n 项和为S n .已知S 3＝a 22，且S 1，S 2，S 4成等比数列，求{a n }的通项公式．17．解：设{a n }的公差为d.由S 3＝a 22，得3a 2＝a 22，故a 2＝0或a 2＝3. 由S 1，S 2，S 4成等比数列得S 22＝S 1S 4. 又S 1＝a 2－d ，S 2＝2a 2－d ，S 4＝4a 2＋2d ，故(2a 2－d)2＝(a 2－d)(4a 2＋2d)．若a 2＝0，则d 2＝－2d 2，所以d ＝0， 此时S n ＝0，不合题意；若a 2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)， 解得d ＝0或d ＝2.因此{a n }的通项公式为a n ＝3或a n ＝2n －1.D2 等差数列及等有效期数列前n 项和8．G2[2013·新课标全国卷Ⅰ] 某几何体的三视图如图1－3所示，则该几何体的体积为( )图1－3A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π8．A [解析] 由三视图可知该组合体下半部分是一个半圆柱，上半部分是一个长方体，故体积为V ＝2×2×4＋12×π×22×4＝16＋8π.7．D2[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( )A ．3B ．4C ．5D ．67．C [解析] 设首项为a 1，公差为d ，由题意可知a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，故d ＝1.又S m ＝m （a 1＋a m ）2＝0，故a 1＝－a m ＝－2，又S m ＝ma 1＋m （m －1）2d ＝0，∴－2m ＋m （m －1）2＝0m ＝5.12．D2[2013·广东卷] 在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7＝________．12．20 [解析] 方法一：a 3＋a 8＝2a 1＋9d ＝10，而3a 5＋a 7＝3(a 1＋4d)＋a 1＋6d ＝2(2a 1＋9d)＝20.方法二：3a 5＋a 7＝2a 5＋(a 5＋a 7)＝2a 5＋2a 6＝2(a 5＋a 6)＝2(a 3＋a 8)＝20. 20．M2，D2，D3，D5[2013·北京卷] 已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2，…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n .(1)若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *，a n ＋4＝a n)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：d n＝－d(n＝1，2，3，…)的充分必要条件为{a n}是公差为d 的等差数列；(3)证明：若a1＝2，d n＝1(n＝1，2，3，…)，则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.20．解：(1)d1＝d2＝1，d3＝d4＝3.(2)(充分性)因为{a n}是公差为d的等差数列，且d≥0，所以a1≤a2≤…≤a n≤….因此A n＝a n，B n＝a n＋1，d n＝a n－a n＋1＝－d(n＝1，2，3，…)．(必要性)因为d n＝－d≤0(n＝1，2，3，…)．所以A n＝B n＋d n≤B n.又因为a n≤A n，a n＋1≥B n，所以a n≤a n＋1.于是，A n＝a n，B n＝a n＋1.因此a n＋1－a n＝B n－A n＝－d n＝d，即{a n}是公差为d的等差数列．(3)因为a1＝2，d1＝1，所以A1＝a1＝2，B1＝A1－d1＝1.故对任意n≥1，a n≥B1＝1.假设{a n}(n≥2)中存在大于2的项．设m为满足a m>2的最小正整数，则m≥2，并且对任意1≤k<m，a k≤2.又因为a1＝2，所以A m－1＝2，且A m＝a m>2，于是，B m＝A m－d m>2－1＝1，B m－1＝min{a m，B m}>1.故d m－1＝A m－1－B m－1<2－1＝1，与d m－1＝1矛盾．所以对于任意n≥1，有a n≤2，即非负整数列{a n}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1，a n≤2＝a1，所以A n＝2.故B n＝A n－d n＝2－1＝1.因此对于任意正整数n ，存在m满足m>n，且a m＝1，即数列{a n}有无穷多项为1.17．D1、D2[2013·全国卷] 等差数列{a n}前n项和为S n.已知S3＝a22，且S1，S2，S4成等比数列，求{a n}的通项公式．17．解：设{a n}的公差为d.由S3＝a22，得3a2＝a22，故a2＝0或a2＝3.由S1，S2，S4成等比数列得S22＝S1S4.又S1＝a2－d，S2＝2a2－d，S4＝4a2＋2d，故(2a2－d)2＝(a2－d)(4a2＋2d)．若a2＝0，则d2＝－2d2，所以d＝0，此时S n＝0，不合题意；若a2＝3，则(6－d)2＝(3－d)(12＋2d)，解得d＝0或d＝2.因此{a n}的通项公式为a n＝3或a n＝2n－1.20．D2、D4[2013·山东卷] 设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4＝4S2，a2n＝2a n＋1.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设数列{b n}的前n项和为T n，且T n＋a n＋12n＝λ(λ为常数)，令c n＝b2n(n∈N*)，求数列{cn}的前n项和R n.20．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1， 解得a 1＝1，d ＝2，因此a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由题意知T n ＝λ－n 2n －1，所以n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝⎛⎭⎫14n －1，n ∈N *.所以R n ＝0×⎝⎛⎭⎫140＋1×⎝⎛⎭⎫141＋2×⎝⎛⎭⎫142＋3×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n －1，则14R n ＝0×⎝⎛⎭⎫141＋1×⎝⎛⎭⎫142＋2×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －2)×⎝⎛⎭⎫14n －1＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ，两式相减得34R n ＝⎝⎛⎭⎫141＋⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫143＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －1－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ＝14－⎝⎛⎭⎫14n 1－14－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n＝13－1＋3n 3⎝⎛⎭⎫14n ， 整理得R n ＝194－3n ＋14n －1.所以数列{c n }的前n 项和R n ＝194－3n ＋14n －1.16．D2，D3[2013·四川卷] 在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．16．解：设该数列公差为d ，前n 项和为S n ，由已知可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d)2＝(a 1＋d)(a 1＋8d)，所以a 1＋d ＝4，d(d －3a 1)＝0.解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3.即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.16．D2，D5，B12[2013·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．16．－49 [解析] 由已知，a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝103d ＝23，a 1＝－3，∴nS n ＝n 3－10n 23，易得n ＝6或n ＝7时，nS n 出现最小值．当n ＝6时，nS n ＝－48；n ＝7时，nS n ＝－49.故nS n的最小值为－49.12．D2，D3[2013·重庆卷] 已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________．12．64 [解析] 设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 2，a 5成等比数列，得(1＋d)2＝1·(1＋4d)，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以S 8＝8×1＋8（8－1）2×2＝64.D3 等比数列及等比数列前n 项和14．D3[2013·新课标全国卷Ⅰ] 若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________．14．(－2)n －1 [解析] 因为S n ＝23a n ＋13①，所以S n －1＝23a n －1＋13②，①－②得a n ＝23a n －23a n－1，即a n ＝－2a n －1，又因为S 1＝a 1＝23a 1＋13a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1.20．M2，D2，D3，D5[2013·北京卷] 已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2，…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n .(1)若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *，a n ＋4＝a n )，写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；(2)设d 是非负整数，证明：d n ＝－d(n ＝1，2，3，…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列；(3)证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1，2，3，…)，则{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.20．解：(1)d 1＝d 2＝1，d 3＝d 4＝3.(2)(充分性)因为{a n }是公差为d 的等差数列，且d ≥0，所以a 1≤a 2≤…≤a n ≤…. 因此A n ＝a n ，B n ＝a n ＋1，d n ＝a n －a n ＋1＝－d(n ＝1，2，3，…)． (必要性)因为d n ＝－d ≤0(n ＝1，2，3，…)．所以A n ＝B n ＋d n ≤B n . 又因为a n ≤A n ，a n ＋1≥B n ， 所以a n ≤a n ＋1.于是，A n ＝a n ，B n ＝a n ＋1.因此a n ＋1－a n ＝B n －A n ＝－d n ＝d ， 即{a n }是公差为d 的等差数列．(3)因为a 1＝2，d 1＝1，所以A 1＝a 1＝2，B 1＝A 1－d 1＝1. 故对任意n ≥1，a n ≥B 1＝1.假设{a n }(n ≥2)中存在大于2的项． 设m 为满足a m >2的最小正整数， 则m ≥2，并且对任意1≤k<m ，a k ≤2.又因为a 1＝2，所以A m －1＝2，且A m ＝a m >2，于是，B m ＝A m －d m >2－1＝1，B m －1＝min{a m ，B m }>1. 故d m －1＝A m －1－B m －1<2－1＝1，与d m －1＝1矛盾．所以对于任意n ≥1，有a n ≤2，即非负整数列{a n }的各项只能为1或2. 因为对任意n ≥1，a n ≤2＝a 1， 所以A n ＝2.故B n ＝A n －d n ＝2－1＝1.因此对于任意正整数n ，存在m 满足m>n ，且a m ＝1，即数列{a n }有无穷多项为1. 10．D3[2013·北京卷] 若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________．10．2 2n ＋1－2 [解析] ∵a 3＋a 5＝q(a 2＋a 4)， ∴40＝20q ，q ＝2，又∵a 2＋a 4＝a 1q ＋a 1q 3＝20，∴a 1＝2，∴a n ＝2n ，∴S n ＝2n ＋1－2. 3．D3[2013·江西卷] 等比数列x ，3x ＋3，6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．243．A [解析] (3x ＋3)2＝x(6x ＋6)得x ＝－1或x ＝－3.当x ＝－1时，x ，3x ＋3，6x ＋6分别为－1，0，0，则不能构成等比数列，所以舍去；当x ＝－3时，x ，3x ＋3，6x ＋6分别为－3，－6，－12，且构成等比数列，则可求出第四个数为－24.14．D3[2013·江苏卷] 在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3. 则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．14．12 [解析] 设{a n }的公比为q.由a 5＝12及a 5(q ＋q 2)＝3得q ＝2，所以a 1＝132，所以a 6＝1，a 1a 2…a 11＝a 116＝1，此时a 1＋a 2＋…＋a 11>1.又a 1＋a 2＋…＋a 12＝27－132，a 1a 2…a 12＝26<27－132，所以a 1a 2…a 12>a 1a 2…a 12，但a 1＋a 2＋…＋a 13＝28－132，a 1a 2…a 13＝26·27＝25·28>28－132，所以a 1＋a 2＋…＋a 13<a 1a 2…a 13，故最大正整数n 的值为12.15．D3，D4[2013·湖南卷] 设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________．15．(1)－116 (2)13⎝⎛⎭⎫12100－1 [解析] (1)因S n ＝(－1)n a n －12n ，则S 3＝－a 3－18，S 4＝a 4－116，解得a 3＝－116.(2)当n 为偶数时，S n ＝a n －12n ，当n 为奇数时，S n ＝－a n －12n ，可得当n 为奇数时a n ＝－12n ＋1，又S 1＋S 2＋…＋S 100＝⎝⎛⎭⎫－a 1－12＋⎝⎛⎭⎫a 2－122＋…＋⎝⎛⎭⎫－a 99－1299＋⎝⎛⎭⎫a 100－12100 ＝－a 1＋a 2＋…－a 99＋a 100－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋1299＋12100 ＝S 100－2(a 1＋a 3＋…＋a 99)－⎝⎛⎭⎫1－12100 ＝S 101－a 101－2⎝⎛⎭⎫－122－124－…－12100－⎝⎛⎭⎫1－12100＝－12102－⎝⎛⎭⎫－12102＋2×122⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫122501－122－⎝⎛⎭⎫1－12100 ＝－13⎝⎛⎭⎫1－12100＝13⎝⎛⎭⎫12100－1. 14．D3[2013·辽宁卷] 已知等比数列{}a n 是递增数列，S n 是{}a n 的前n 项和，若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________．14．63 [解析] 由题意可知a 1＋a 3＝5，a 1·a 3＝4.又因为{a n }为递增的等比数列，所以a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，所以S 6＝1×（1－26）1－2＝63.21．H6、H8、D3[2013·全国卷] 已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为3，直线y ＝2与C 的两个交点间的距离为 6.(1)求a ，b ；(2)设过F 2的直线l 与C 的左、右两支分别交于A ，B 两点，且|AF 1|＝|BF 1|，证明：|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．21．解：(1)由题设知ca ＝3，即a 2＋b 2a 2＝9，故b 2＝8a 2.所以C 的方程为8x 2－y 2＝8a 2. 将y ＝2代入上式，求得x ＝±a 2＋12.由题设知，2a 2＋12＝6，解得a 2＝1.所以a ＝1，b ＝2 2.(2)证明：由(1)知，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，C 的方程为8x 2－y 2＝8.① 由题意可设l 的方程为y ＝k(x －3)，|k|＜2 2，代入①并化简得 (k 2－8)x 2－6k 2x ＋9k 2＋8＝0. 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则 x 1≤－1，x 2≥1，x 1＋x 2＝6k 2k 2－8，x 1x 2＝9k 2＋8k 2－8.于是|AF 1|＝（x 1＋3）2＋y 21＝（x 1＋3）2＋8x 21－8＝－(3x 1＋1)，|BF 1|＝（x 2＋3）2＋y 22＝（x 2＋3）2＋8x 22－8＝3x 2＋1.由|AF 1|＝|BF 1|得－(3x 1＋1)＝3x 2＋1，即x 1＋x 2＝－23.故6k 2k 2－8＝－23，解得k 2＝45，从而x 1x 2＝－199.由于|AF 2|＝（x 1－3）2＋y 21＝（x 1－3）2＋8x 21－8＝1－3x 1，|BF 2|＝（x 2－3）2＋y 22＝（x 2－3）2＋8x 22－8＝3x 2－1， 故|AB|＝|AF 2|－|BF 2|＝2－3(x 1＋x 2)＝4， |AF 2|·|BF 2|＝3(x 1＋x 2)－9x 1x 2－1＝16. 因而|AF 2|·|BF 2|＝|AB|2，所以|AF 2|，|AB|，|BF 2|成等比数列．6．D3[2013·全国卷] 已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－3－10) B.19(1－310)C ．3(1－3－10) D ．3(1＋3－10)6．C [解析] 由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ≠0(否则a 2＝0)且a n ＋1a n ＝－13，所以数列{a n }是公比为－13的等比数列，代入a 2可得a 1＝4，故S 10＝4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－13101＋13＝3×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1310＝3(1－3－10)．17．D3[2013·陕西卷] 设{a n }是公比为q 的等比数列． (1)推导{a n }的前n 项和公式；(2)设q ≠1，证明数列{a n ＋1}不是等比数列． 17．解：(1)设{a n }的前n 项和为S n ， 当q ＝1时，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n －1，① qS n ＝a 1q ＋a 1q 2＋…＋a 1q n ，② ①－②得，(1－q)S n ＝a 1－a 1q n ，∴S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q，q ≠1.(2)假设{a n ＋1}是等比数列，则对任意的k ∈N ＋，(a k ＋1＋1)2＝(a k ＋1)(a k ＋2＋1)， 即a 2k ＋1＋2a k ＋1＋1＝a k a k ＋2＋a k ＋a k ＋2＋1，即a 21q 2k ＋2a 1q k ＝a 1qk －1·a 1q k ＋1＋a 1q k －1＋a 1q k ＋1， ∵a 1≠0，∴2q k ＝q k －1＋q k ＋1. ∵q ≠0，∴q 2－2q ＋1＝0， ∴q ＝1，这与已知矛盾．∴假设不成立，故{a n ＋1}不是等比数列． 16．D2，D3[2013·四川卷] 在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝8，且a 4为a 2和a 9的等比中项，求数列{a n }的首项、公差及前n 项和．16．解：设该数列公差为d ，前n 项和为S n ，由已知可得2a 1＋2d ＝8，(a 1＋3d)2＝(a 1＋d)(a 1＋8d)，所以a 1＋d ＝4，d(d －3a 1)＝0.解得a 1＝4，d ＝0或a 1＝1，d ＝3.即数列{a n }的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n 项和S n ＝4n 或S n ＝3n 2－n2.3．D3[2013·新课标全国卷Ⅱ] 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 3．C [解析] S 3＝a 2＋10a 1a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1a 3＝9a 1q 2＝9，a 5＝9a 3q 2＝9a 3＝1a 1＝a 3q 2＝19，故选C.12．D2，D3[2013·重庆卷] 已知{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ≠0，S n 为其前n 项和，若a 1，a 2，a 5成等比数列，则S 8＝________．12．64 [解析] 设数列{a n }的公差为d ，由a 1，a 2，a 5成等比数列，得(1＋d)2＝1·(1＋4d)，解得d ＝2或d ＝0(舍去)，所以S 8＝8×1＋8（8－1）2×2＝64.D4 数列求和17．D4[2013·江西卷] 正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)令b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. 解：(1)由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n)＝0，得 [S n －(n 2＋n)](S n ＋1)＝0.由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2＋n.于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n. 综上，数列{a n }的通项为a n ＝2n.(2)证明：由于a n ＝2n ，b n ＝n ＋1（n ＋2）2a 2n，则b n ＝n ＋14n 2（n ＋2）2＝116⎣⎡⎦⎤1n 2－1（n ＋2）2. T n ＝116⎣⎡1－132＋122－142＋132－152＋…＋1（n －1）2－⎦⎤1（n ＋1）2＋1n 2－1（n ＋2）2 ＝116⎣⎡⎦⎤1＋122－1（n ＋1）2－1（n ＋2）2<116⎝⎛⎭⎫1＋122＝564. 15．D3，D4[2013·湖南卷] 设S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＝(－1)n a n －12n ，n ∈N *，则(1)a 3＝________；(2)S 1＋S 2＋…＋S 100＝________．15．(1)－116 (2)13⎝⎛⎭⎫12100－1 [解析] (1)因S n ＝(－1)n a n －12n ，则S 3＝－a 3－18，S 4＝a 4－116，解得a 3＝－116.(2)当n 为偶数时，S n ＝a n －12n ，当n 为奇数时，S n ＝－a n －12n ，可得当n 为奇数时a n ＝－12n ＋1，又S 1＋S 2＋…＋S 100＝⎝⎛⎭⎫－a 1－12＋⎝⎛⎭⎫a 2－122＋…＋⎝⎛⎭⎫－a 99－1299＋⎝⎛⎭⎫a 100－12100 ＝－a 1＋a 2＋…－a 99＋a 100－⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋1299＋12100 ＝S 100－2(a 1＋a 3＋…＋a 99)－⎝⎛⎭⎫1－12100 ＝S 101－a 101－2⎝⎛⎭⎫－122－124－…－12100－⎝⎛⎭⎫1－12100 ＝－12102－⎝⎛⎭⎫－12102＋2×122⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫122501－122－⎝⎛⎭⎫1－12100 ＝－13⎝⎛⎭⎫1－12100＝13⎝⎛⎭⎫12100－1. 20．D2、D4[2013·山东卷] 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n ＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .20．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d. 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1， 解得a 1＝1，d ＝2，因此a n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由题意知T n ＝λ－n 2n －1，所以n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝⎛⎭⎫14n －1，n ∈N *.所以R n ＝0×⎝⎛⎭⎫140＋1×⎝⎛⎭⎫141＋2×⎝⎛⎭⎫142＋3×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n －1，则14R n ＝0×⎝⎛⎭⎫141＋1×⎝⎛⎭⎫142＋2×⎝⎛⎭⎫143＋…＋(n －2)×⎝⎛⎭⎫14n －1＋(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ，两式相减得34R n ＝⎝⎛⎭⎫141＋⎝⎛⎭⎫142＋⎝⎛⎭⎫143＋…＋⎝⎛⎭⎫14n －1－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n ＝14－⎝⎛⎭⎫14n 1－14－(n －1)×⎝⎛⎭⎫14n＝13－1＋3n 3⎝⎛⎭⎫14n ， 整理得R n ＝194－3n ＋14n －1.所以数列{c n }的前n 项和R n ＝194－3n ＋14n －1.D5 单元综合12．D5[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设△A n B n C n 的三边长分别为a n ，b n ，c n ，△A n B n C n 的面积为S n ，n ＝1，2，3，….若b 1＞c 1，b 1＋c 1＝2a 1，a n ＋1＝a n ，b n ＋1＝c n ＋a n 2，c n ＋1＝b n ＋a n2，则( )A ．{S n }为递减数列B ．{S n }为递增数列C ．{S 2n －1}为递增数列，{S 2n }为递减数列D ．{S 2n －1}为递减数列，{S 2n }为递增数列12．B [解析] 因为a n ＋1＝a n ，所以a n ＝a 1.又因为b n ＋1＋c n ＋1＝12(b n ＋c n )＋a n ＝12(b n ＋c n )＋a 1，所以b n ＋1＋c n ＋1－2a 1＝12(b n ＋c n －2a 1)．因为b 1＋c 1－2a 1＝0，所以b n ＋c n ＝2a 1，故△A n B n C n中边B n C n 的长度不变，另外两边A n B n ，A n C n 的和不变．因为b n ＋1－c n ＋1＝－12(b n －c n )，且b 1－c 1>0，所以b n －c n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1(b 1－c 1)，当n →＋∞时，b n →c n ，也就是A n C n →A n B n ，所以三角形△A n B n C n 中B n C n 边上的高随着n 的增大而增大．设三角形△A n B n C n 中B n C n 边上的高为h n ，则{h n }单调递增，所以S n ＝12a 1h n 是增函数．答案为B.20．B12 、D5[2013·安徽卷] 设函数f n (x)＝－1＋x ＋x 222＋x 332＋…＋x nn 2(x ∈R ，n ∈N *)．证明：(1)对每个n ∈N *，存在唯一的x n ∈23，1，满足f n (x n )＝0；(2)对任意p ∈N *，由(1)中x n 构成的数列{x n }满足0<x n －x n ＋p <1n.20．证明：(1)对每个n ∈N *，当x>0时，f′n (x)＝1＋x2＋…＋x n －1n>0，故f n (x)在(0，＋∞)内单调递增．由于f 1(1)＝0，当n ≥2时，f n (1)＝122＋132＋…＋1n 2>0.故f n (1)≥0.又f n 23＝－1＋23＋∑k ＝2n 23kk 2≤－13＋14∑k ＝2n 23k＝－13＋14·⎝⎛⎭⎫2321－23n －11－23＝－13·23n －1<0.所以存在唯一的x n ∈23，1，满足f n (x n )＝0.(2)当x>0时，f n ＋1(x)＝f n (x)＋x n ＋1（n ＋1）2≥f n(x)，故f n ＋1(x n )>f n (x n )＝f n ＋1(x n ＋1)＝0.由f n ＋1(x)在(0，＋∞)内单调递增，x n ＋1<x n ，故{x n }为单调递减数列． 从而对任意n ，p ∈N *，x n ＋p <x n .对任意p ∈N *，由于f n (x n )＝－1＋x n ＋x 2n 22＋…＋x n nn2＝0，①f n ＋p (x n ＋p )＝－1＋x n ＋p ＋x 2n ＋p 22＋…＋x n n ＋p n 2＋x n ＋1n ＋p（n ＋1）2＋…＋x n ＋pn ＋p （n ＋p ）2＝0，② ①式减去②式并移项，利用0<x n ＋p <x n ≤1，得x n －x n ＋p ＝∑k ＝2nx k n ＋p －x k n k 2＋∑k ＝n ＋1n ＋p x k n ＋p k 2≤∑k ＝n ＋1n ＋p x k n ＋p k2 ≤∑k ＝n ＋1n ＋p1k 2<∑k ＝n ＋1n ＋p 1k （k －1）＝1n －1n ＋p <1n .因此，对任意p ∈N *，都有0<x n －x n ＋p <1n.9．D5[2013·福建卷] 已知等比数列{a n }的公比为q ，记b n ＝a m(n －1)＋1＋a m(n －1)＋2＋…＋a m(n－1)＋m ，c n ＝a m(n －1)＋1·a m(n －1)＋2·…·a m(n －1)＋m (m ，n ∈N *)，则以下结论一定正确的是( )A ．数列{b n }为等差数列，公差为q mB ．数列{b n }为等比数列，公比为q 2mC ．数列{c n }为等比数列，公比为qm 2D ．数列{c n }为等比数列，公比为qm m9．C [解析] 取a n ＝1，q ＝1，则b n ＝m ，c n ＝1，排除A ，取a 1＝1，q ＝－1，m 取正偶数，则b n ＝0，排除B ，c n ＋1c n ＝a mn ＋1·a mn ＋2·…·a mn ＋ma m （n －1）＋1·a m （n －1）＋2·…·a m （n －1）＋m＝q m ·q m ·…·q m ,\s\do4(共m 个))＝qm 2，故选C.18．D5[2013·湖北卷] 已知等比数列{a n }满足：|a 2－a 3|＝10，a 1a 2a 3＝125. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．18．解： (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧a 31q 3＝125，|a 1q －a 1q 2|＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝53，q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，q ＝－1. 故a n ＝53·3n －1或a n ＝－5·(－1)n －1.(2)若a n ＝53·3n －1，则1a n ＝3513n －1，故1a n 是首项为35，公比为13的等比数列，从而∑n ＝1m 1a n＝351－13m 1－13＝9101－13m <910<1. 若a n ＝(－5)·(－1)n －1，则1a n ＝－15(－1)n －1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为－15，公比为－1的等比数列，从而∑n ＝1m1a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15，m ＝2k －1（k ∈N ＋），0，m ＝2k （k ∈N ＋），故∑n ＝1m 1a n <1.综上，对任何正整数m ，总有∑n ＝1m1a n<1. 故不存在正整数m ，使得1a 1＋1a 2＋…＋1a m≥1成立．19．D5[2013·江苏卷] 设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列(d ≠0)，S n 是其前n 项的和．记b n ＝nS nn 2＋c，n ∈N *，其中c 为实数．(1)若c ＝0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk ＝n 2S k (k ，n ∈N *)； (2)若{b n }是等差数列，证明：c ＝0. 19．解：由题设，S n ＝na ＋n （n －1）2d. (1)由c ＝0，得b n ＝S n n ＝a ＋n －12 d.又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即⎝⎛⎭⎫a ＋d 22＝a ⎝⎛⎭⎫a ＋32d ， 化简得d 2－2ad ＝0.因为d ≠0，所以d ＝2a. 因此，对于所有的m ∈N *，有S m ＝m 2a.从而对于所有的k ，n ∈N *，有S nk ＝(nk)2a ＝n 2k 2a ＝n 2S k .(2)设数列{b n }的公差是d 1，则b n ＝b 1＋(n －1)d 1，即nS nn 2＋c ＝b 1＋(n －1)d 1，n ∈N *，代入S n 的表达式，整理得，对于所有的n ∈N *，有⎝⎛⎭⎫d 1－12d n 3＋⎝⎛⎭⎫b 1－d 1－a ＋12d n 2＋cd 1n ＝c(d 1－b 1)．令A ＝d 1－12d ，B ＝b 1－d 1－a ＋12d ，D ＝c(d 1－b 1)，则对于所有的n ∈N *，有An 3＋Bn 2＋cd 1n ＝D(*)．在(*)式中分别取n ＝1，2，3，4，得A ＋B ＋cd 1＝8A ＋4B ＋2cd 1＝27A ＋9B ＋3cd 1＝64A ＋16B ＋4cd 1， 从而有⎩⎪⎨⎪⎧7A ＋3B ＋cd 1＝0，①19A ＋5B ＋cd 1＝0，②21A ＋5B ＋cd 1＝0，③由②，③得A ＝0，cd 1＝－5B ，代入方程①，得B ＝0，从而cd 1＝0. 即d 1－12d ＝0，b 1－d 1－a ＋12d ＝0，cd 1＝0.若d 1＝0，则由d 1－12d ＝0得d ＝0，与题设矛盾，所以d 1≠0.又因为cd 1＝0，所以c ＝0. 20．M2，D2，D3，D5[2013·北京卷] 已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2，…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n .(1)若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *，a n ＋4＝a n )，写出d 1，d 2，d 3，d 4的值；(2)设d 是非负整数，证明：d n ＝－d(n ＝1，2，3，…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列；(3)证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1，2，3，…)，则{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.20．解：(1)d 1＝d 2＝1，d 3＝d 4＝3.(2)(充分性)因为{a n }是公差为d 的等差数列，且d ≥0，所以a 1≤a 2≤…≤a n ≤…. 因此A n ＝a n ，B n ＝a n ＋1，d n ＝a n －a n ＋1＝－d(n ＝1，2，3，…)． (必要性)因为d n ＝－d ≤0(n ＝1，2，3，…)．所以A n ＝B n ＋d n ≤B n . 又因为a n ≤A n ，a n ＋1≥B n ， 所以a n ≤a n ＋1.于是，A n ＝a n ，B n ＝a n ＋1.因此a n ＋1－a n ＝B n －A n ＝－d n ＝d ， 即{a n }是公差为d 的等差数列．(3)因为a 1＝2，d 1＝1，所以A 1＝a 1＝2，B 1＝A 1－d 1＝1. 故对任意n ≥1，a n ≥B 1＝1.假设{a n }(n ≥2)中存在大于2的项． 设m 为满足a m >2的最小正整数， 则m ≥2，并且对任意1≤k<m ，a k ≤2.又因为a 1＝2，所以A m －1＝2，且A m ＝a m >2，于是，B m ＝A m －d m >2－1＝1，B m －1＝min{a m ，B m }>1. 故d m －1＝A m －1－B m －1<2－1＝1，与d m －1＝1矛盾．所以对于任意n ≥1，有a n ≤2，即非负整数列{a n }的各项只能为1或2. 因为对任意n ≥1，a n ≤2＝a 1， 所以A n ＝2.故B n ＝A n －d n ＝2－1＝1.因此对于任意正整数n ，存在m 满足m>n ，且a m ＝1，即数列{a n }有无穷多项为1.19．D5[2013·天津卷] 已知首项为32的等比数列{a n }不．是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．19．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12，故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)由(1)得S n ＝1－－12n ＝⎩⎨⎧1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.16．D2，D5，B12[2013·新课标全国卷Ⅱ] 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 10＝0，S 15＝25，则nS n 的最小值为________．16．－49 [解析] 由已知，a 1＋a 10＝0，a 1＋a 15＝103d ＝23，a 1＝－3，∴nS n ＝n 3－10n 23，易得n ＝6或n ＝7时，nS n 出现最小值．当n ＝6时，nS n ＝－48；n ＝7时，nS n ＝－49.故nS n的最小值为－49.18．D5[2013·浙江卷] 在公差为d 的等差数列{a n }中，已知a 1＝10，且a 1，2a 2＋2，5a 3成等比数列．(1)求d ，a n ；(2)若d<0，求|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |.18．解：(1))由题意得a 1·5a 3＝(2a 2＋2)2， 即d 2－3d －4＝0. 所以d ＝－1或d ＝4.所以a n ＝－n ＋11，n ∈N *或a n ＝4n ＋6，n ∈N *.(2)设数列{a n }的前n 项和为S n .因为d<0，由(1)得d ＝－1，a n ＝－n ＋11，则 当n ≤11时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－12n 2＋212n.当n ≥12时， |a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n |＝－S n ＋2S 11＝12n 2－212n ＋110.综上所述，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a n|＝⎩⎨⎧－12n 2＋212n ，n ≤11，12n 2－212n ＋110，n ≥12.1．[2013·云南玉溪一中月考(三)] 已知定义在R 上的函数f(x)，g(x)满足f （x ）g （x ）＝a x ，且f ′(x)g(x)<f(x)·g ′(x)，f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，若有穷数列{f （n ）g （n ）}(n ∈N *)的前n 项和等于3132，则n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．71．B [解析] 由[f （x ）g （x ）]′＝f′（x ）g （x ）－f （x ）g′（x ）g 2（x ），因f ′(x)g(x)<f(x)g′(x)，所以[f （x ）g （x ）]′<0，即a x ln a<0，故0<a<1.由f （1）g （1）＋f （－1）g （－1）＝52，得a ＋1a ＝52，解得a ＝12.所以有穷数列{f （n ）g （n ）}(n ∈N *)是等比数列，其前n 项和S n ＝12－（12）n ＋11－12＝3132，得n ＝5.选择B.2．[2013·黄山一检] 若{a n }是等差数列，首项a 1>0，公差d<0，且a 2 013(a 2 012＋a 2 013)>0，则使数列{a n }的前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4 027B ．4 026C ．4 025D ．4 024 2．D [解析] 因为{a n }是等差数列，首项a 1>0，公差d<0，故数列0为单调减数列．a 2 013(a 2012＋a 2 013)>0，若a 2 013>0，则a 2 012>0，所以a 2 012＋a 2 013>0，由于S 4 024＝4 024（a 1＋a 4 024）2＝2 012(a 2 012＋a 2 013)>0，故使数列{a n }的前n 项和S n >0成立的最大自然数n 是4 024.[规律解读] 若{a n }是等差数列，求前n 项和的最值时，(1)若a 1>0，d<0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，前n 项和S n 最大；(2)若a 1<0，d>0，且满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0，前n 项和S n 最小；(3)除上面方法外，还可将{a n }的前n 项和的最值问题看作S n 关于n 的二次函数最值问题，利用二次函数的图像或配方法求解，注意n ∈N *.3．[2013·北大附中河南分校月考(四)] 已知各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为2 2，则2a 7＋a 11的最小值为( )A ．16B ．8C ．2 2D ．43．B [解析] 由题意a 4a 14＝(2 2)2＝8，由等比数列的性质a 4a 14＝a 29＝8，又各项为正，所以a 9＝2 2，则2a 7＋a 11＝2a 9q 2＋a 9q 2≥2 2a 9q 2×a 9q 2＝2 2×a 9＝8，当且仅当2a 9q 2＝a 9q 2，即q 4＝2时取等号，选B.4．[2013·昆明调研] 公比不为1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且－3a 1，－a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝( )A ．－20B ．0C ．7D ．404．A [解析] 设数列的公比为q(q ≠1)，因为－3a 1，－a 2，a 3成等差数列，所以－3a 1＋a 3＝－2a 2，由于a 1＝1，所以－3＋q 2＋2q ＝0，因为q ≠1，所以q ＝－3.故S 4＝1－3＋9－27＝－20.5．[2013·山西师大附中3月月考] 对大于或等于2的自然数m 的n 次方幂有如下分解方式：22＝1＋3 32＝1＋3＋5 42＝1＋3＋5＋7 23＝3＋5 33＝7＋9＋11 43＝13＋15＋17＋19根据上述分解规律，则 52＝1＋3＋5＋7＋9，若m 3(m ∈N *)的分解中最小的数是73.则m 的值为________．5．9 [解析] 按照条件可以归纳出m 3(m ∈N *)的分解规律是：分解的项数是m 项，分解数是奇数，从第[m(m －1)＋1]个奇数开始．所以m(m －1)＋1＝73，解得m ＝9或－8(舍去)，所以m ＝9.6．[2013·杭州一检] 设等差数列{a n }满足：sin 2a 3－cos 2a 3＋cos 2a 3cos 2a 6－sin 2a 3sin 2a 6sin （a 4＋a 5）＝1，公差d ∈(－1，0)．若当且仅当n ＝9时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值，则首项a 1的取值范围是( )A ．(7π6，4π3)B ．(4π3，3π2)C.⎣⎡⎦⎤7π6，4π3D.⎣⎡⎦⎤4π3，3π26．B [解析] 先化简得（sin 2a 3－sin 2a 3sin 2a 6）－（cos 2a 3－cos 2a 3cos 2a 6）sin （a 4＋a 5）＝1⇒（sin a 3cos a 6）2－（cos a 3sin a 6）2sin （a 4＋a 5）＝1⇒sin （a 3＋a 6）sin （a 3－a 6）sin （a 4＋a 5）＝1⎭⎪⎬⎪⎫⇒sin （a 3－a 6）＝1a 3－a 6＝－3d ⇒d ＝－π6.又当且仅当n ＝9时，数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值，即a 9>0，a 10<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 9＝a 1＋8d>0，a 10＝a 1＋9d<0⇒4π3<a 1<3π2.。

2013届高三数学一轮复习单元训练：数列本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1． 已知等差数列{}n a 中，10795=-+a a a ，记n n a a a S +++= 21，则13S 的值（ ） A ． 130 B ． 260 C ． 156 D ． 1682．若{an }为等差数列，Sn 是其前n 项和，且S 11＝22π3，则tan a 6的值为( ) A ． 3 B ．－ 3C ．± 3D ．－33 3．数列2222222235721,,,,,122334(1)n n n ++的前n 项和是（ ） A ．211n - B ．211n + C ．211(1)n ++ D ．211(1)n -+ 4．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )A ．15B ．12C ．－12D ．－155．等比数列{}n a 中，15252||1,8,,a a a a a ==->则n a =（ ） A ．1(2)n -- B ．1(2)n --- C ．(2)n - D ．(2)n-- 6．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( )A ．35B ．33C ．31D ．297．设等差数列{}n a 的前n 项之和为n S ，已知2553,9,a a S ==则等于 ( ）A ．15B ．20C ．25D ．308．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( )A ．－110B ．－90C ．90D ．1109．等差数列}{n a 的公差不为零，首项1a =1，2a 是1a 和5a 等比中项，则数列}{na 的前10 项之和是（ ）A ．90B ． 100C ． 145D ． 19010．数列{}n a 满足1211,,2a a ==并且1111()2(2)n n n n n a a a a a n -++-+=≥，则数列的第2010项为 ( ）A ．10012B ．201012 C ．12010 D ．110011．设{}n a ，{}n b 均为正项等比数列，将它们的前n 项之积分别记为n A ，n B ，若22n n n n A B -=，则55a b 的值为 ( ） A ．32 B ．64 C ．256 D ．51212．在等差数列{}n a 中，已知854=+a a ，则8S 等于（ ） A ．8 B ．16 C ．24D ．32 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知数列{a n }的首项a 1≠0，其前n 项的和为S n ，且S n ＋1＝2S n ＋a 1，则a n S n ＝________.14．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若1≤a 5≤4,2≤a 6≤3，则S 6的取值范围是_______.15．设)N (3*∈=-n a n n ，则数列}{n a 的各项和为 ．16．已知数列{}n a 中，1n 1n 211a ,a a ,24n 1+==+-则n a =_____________。

泰安市高三第一轮复习质量检测数学试题（文科）2013.3一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{}{}1,1,124x A B x =-=≤<，则A B ⋂等于 A.{}1,0,1-B.{}1C.{}1,1-D.{}0,1 2.复数311i i-+（i 为虚数单位）的模是B. C.5 D.8 3.下列命题中，是真命题的是A.00,0x x R e ∃∈≤B.2,2x x R x ∀∈>C.0a b +=的充要条件是1a b=- D.a >1,1b >是1ab >的充分条件 4.从{}1,2,3,4,5中随机选取一个数为a 从{}2,3,4中随机选取一个数b ，则b a >的概率是 A.45 B.35 C.25 D.155.若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k 的值是A.4B.5C.6D.76.当4x π=时，函数()()()sin 0f x A x A ϕ=+>取得最小值，则函数34y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是 A.奇函数且图像关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称 B.偶函数且图像关于点(),0π对称C.奇函数且图像关于直线2x π=对称D.偶函数且图像关于点,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称7.在2ABC AB ∆∠=中,A=60，且ABC ∆，则BC 的长为B.3 D.78.已知()1,6,2a b a b a ==⋅-= 则向量a b 与的夹角为 A.2π B.3π C.4π D. 6π 9.若,,0,a b R ab ∈>且则下列不等式中，恒成立的是A.a b +≥B.11a b +> C.2b a a b +≥ D.222a b ab +> 10.设函数()()3402f x x x a a =-+<<有三个零点1x 、x 2、x 3，且123,x x x <<则下列结论正确的是A.11x >-B.20x <C.32x >D.201x <<11.直线()2110x a y +++=的倾斜角的取值范围是 A.0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.0,,42πππ⎡⎤⎛⎫⋃ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ D.3,,424ππππ⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭12.设奇函数()[]1,1f x -在上是增函数，且()11f -=-，若函数，()221f x t at ≤-+对所有的[]1,1x ∈-都成立，则当[]1,1a ∈-时t 的取值范围是A.22t -≤≤B.1122t -≤≤ C.202t t t ≤-=≥或或 D.11022t t t ≤-=≥或或 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.请把答案填在答题纸的相应位置.13.某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为 ▲ .14.正项数列{}n a 满足：()222*121171,2,2,2,n n n a a a a a n N n a +-===+∈≥=则 ▲ .15.已知矩形ABCD 的顶点都在半径为5的球O 的球面上，且8,AB BC ==O —ABCD 的体积为 ▲ .16.设双曲线221x y m n+=的离心率为2，且一个焦点与抛物线28x y =的焦点相同，则此双曲线的方程为 ▲ .三、解答题：17.（本小题满分12分）设等比数列{}n a 的前n 项和为,415349,,,n S a a a a a =-成等差数列.（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）证明：对任意21,,,k k k R N S S S +++∈成等差数列.18.（本小题满分12分）已知()sin ,,,,334x x m A A n f x m n f π⎛⎫⎫⎛⎫===⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎭⎝⎭ 且 （1）求A 的值；（II ）设α、()()30780,,3,3,cos 21725f f πβαπβπαβ⎡⎤⎛⎫∈+=-=-+ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭求的值.19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，平面PAB ⊥平面ABCD ，AB=AD ，60BAD ∠= ，E ，F 分别是AP ，AB的中点.求证：（I ）直线EF//平面PBC ；（II ）平面DEF ⊥平面PAB.20.（本小题满分12分）电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名.下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时的间频率分布表（时间单位为：分）：将日将收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性. （I ）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？（II ）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2人，求至少有1名女性观众的概率.21.（本小题满分13分） 已知椭圆221:1164y x C +=，椭圆C 2以C 1的短轴为长轴，且与C 1有相同的离心率. （I ）求椭圆C 2的方程；（II ）设直线l 与椭圆C 2相交于不同的两点A 、B ，已知A 点的坐标为()2,0-，点()00,Q y 在线段AB 的垂直平分线上，且4QA QB ⋅= ，求直线l 的方程.22.（本小题满分13分）已知函数()()21.x f x ax x e =++ （I ）若曲线()1y f x x ==在处的切线与x 轴平行，求a 的值，并讨论()f x 的单调性；（2）当0a =时，是否存在实数m 使不等式()214121mx x x f x mx +≥-++≥+和对任意[)0,x ∈+∞恒成立？若存在，求出m 的值，若不存在，请说明理由。

高三数学第一轮复习基础题训练1．集合A=｛1，3，a ｝，B=｛1，a 2｝，问是否存在这样的实数a ，使得B ⊆A ，且A∩B=｛1，a ｝？若存在，求出实数a 的值；若不存在，说明理由．2．在ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对应的三边，已知222b c a bc +=+。

（Ⅰ）求角A 的大小：（Ⅱ）若222sin 2sin 122B C+=，判断ABC ∆的形状。

3．设椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,离心率23=e .已知点)23,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离为7,求这个椭圆方程.4．数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =.（1）求,n n a b ；（2）求证1211134n S S S +++<.5．已知函数()116-+=x x f 的定义域为集合A ，函数()()m x x x g ++-=2lg 2的定义域为集合B. ⑴当m=3时，求()B C A R ；⑵若{}41<<-=x x B A ，求实数m 的值.6．设向量(cos ,sin )m θθ=，(22sin ,cos )n θθ=+，),23(ππθ--∈，若1m n •=，求：（1）)4sin(πθ+的值； （2）)127cos(πθ+的值．7．在几何体ABCDE 中，∠BAC=2π，DC ⊥平面ABC ，EB ⊥平面ABC ，F 是BC 的中点，AB=AC=BE=2，CD=1（Ⅰ）求证：DC ∥平面ABE ； （Ⅱ）求证：AF ⊥平面BCDE ；（Ⅲ）求证：平面AFD ⊥平面AFE ． BCDEF8. 已知ΔOFQ 的面积为2 6 ,且OF FQ m ⋅=.(1)设 6 ＜m ＜4 6 ,求向量OF FQ 与的夹角θ正切值的取值范围； (2)设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图),OF c = , m=( 6 4-1)c 2,当OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程.9．已知向量a ＝（3sin α，cos α），b ＝(2sin α, 5sin α－4cos α)，α∈（3π2π2，）， 且a ⊥b ． （1）求tan α的值； （2）求cos(π23α+)的值．10．某隧道长2150m ，通过隧道的车速不能超过20m/s 。

2013届高考理科数学复习演练系列试题（附答案）A级基础达标演练(时间：40分钟满分：60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．下列命题中的假命题是()．A．∃x0∈R，lgx0＝0B．∃x0∈R，tanx0＝1C．∀x∈R，x3＞0D．∀x∈R,2x＞0解析对于A，当x0＝1时，lgx0＝0正确；对于B，当x0＝π4时，tanx0＝1，正确；对于C，当x＜0时，x3＜0错误；对于D，∀x∈R,2x＞0，正确．答案C2．(2012•杭州高级中学月考)命题“∀x＞0，x2＋x＞0”的否定是()．A．∃x0＞0，x20＋x0＞0B．∃x0＞0，x20＋x0≤0C．∀x＞0，x2＋x≤0D．∀x≤0，x2＋x＞0解析根据全称命题的否定是特称命题，可知该命题的否定是：∃x0＞0，x20＋x0≤0.答案B3．(★)(2012•郑州外国语中学月考)ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是()．A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1或a＜0解析(筛选法)当a＝0时，原方程有一个负的实根，可以排除A、D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，故选C.答案C4．(2012•合肥质检)已知p：|x－a|＜4；q：(x－2)(3－x)＞0，若綈p 是綈q的充分不必要条件，则a的取值范围为()．A．a＜－1或a＞6B．a≤－1或a≥6C．－1≤a≤6D．－1＜a＜6解析解不等式可得p：－4＋a＜x＜4＋a，q：2＜x＜3，因此綈p：x≤－4＋a或x≥4＋a，綈q：x≤2或x≥3，于是由綈p是綈q的充分不必要条件，可知2≥－4＋a且4＋a≥3，解得－1≤a≤6.答案C5．若函数f(x)＝x2＋ax(a∈R)，则下列结论正确的是()．A．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是增函数B．∀a∈R，f(x)在(0，＋∞)上是减函数C．∃a∈R，f(x)是偶函数D．∃a∈R，f(x)是奇函数解析对于A只有在a≤0时f(x)在(0，＋∞)上是增函数，否则不成立；对于B，如果a≤0就不成立；对于D若a＝0，则f(x)为偶函数了，因此只有C是正确的，即对于a＝0时有f(x)＝x2是一个偶函数，因此存在这样的a，使f(x)是偶函数．答案C二、填空题(每小题4分，共12分)6．(2012•西安模拟)若命题“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则实数a的取值范围是________．解析因为“∃x0∈R,2x20－3ax0＋9＜0”为假命题，则“∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0”为真命题．因此Δ＝9a2－4×2×9≤0，故－22≤a≤22.答案－22≤a≤227．已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：13－x＞1，若綈q且p为真，则x的取值范围是________．解析因为綈q且p为真，即q假p真，而q为真命题时，x－2x－3＜0，即2＜x＜3，所以q假时有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，由x＞1或x＜－3，x≥3或x≤2，得x≥3或1＜x≤2或x＜－3，所以x的取值范围是x≥3或1＜x≤2或x＜－3.故填(－∞，－3)∪(1,2]∪3，＋∞)．答案(－∞，－3)∪(1,2]∪3，＋∞)8．(2012•南京五校联考)令p(x)：ax2＋2x＋a＞0，若对∀x∈R，p(x)是真命题，则实数a的取值范围是________．解析∵对∀x∈R，p(x)是真命题．∴对∀x∈R，ax2＋2x＋a＞0恒成立，当a＝0时，不等式为2x＞0不恒成立，当a≠0时，若不等式恒成立，则a＞0，Δ＝4－4a2＜0，∴a＞1.答案a＞1三、解答题(共23分)9．(11分)已知命题p：∀x∈1,2]，x2－a≥0，命题q：∃x0∈R，x20＋2ax0＋2－a＝0，若“p且q”为真命题，求实数a的取值范围．解由“p且q”为真命题，则p，q都是真命题．p：x2≥a在1,2]上恒成立，只需a≤(x2)min＝1，所以命题p：a≤1；q：设f(x)＝x2＋2ax＋2－a，存在x0∈R使f(x0)＝0，只需Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a2＋a－2≥0⇒a≥1或a≤－2，所以命题q：a≥1或a≤－2.由a≤1，a≥1或a≤－2得a＝1或a≤－2∴实数a的取值范围是a＝1或a≤－2.10．(12分)写出下列命题的否定，并判断真假．(1)q：∀x∈R，x不是5x－12＝0的根；(2)r：有些质数是奇数；(3)s：∃x0∈R，|x0|＞0.解(1)綈q：∃x0∈R，x0是5x－12＝0的根，真命题．(2)綈r：每一个质数都不是奇数，假命题．(3)綈s：∀x∈R，|x|≤0，假命题．B级综合创新备选(时间：30分钟满分：40分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．下列命题错误的是()．A．命题“若m＞0，则方程x2＋x－m＝0有实数根”的逆否命题为：“若方程x2＋x－m＝0无实数根，则m≤0”B．“x＝1”是“x2－3x＋2＝0”的充分不必要条件C．若p∧q为假命题，则p，q均为假命题D．对于命题p：∃x0∈R，使得x20＋x0＋1＜0，则綈p：∀x∈R，均有x2＋x＋1≥0解析依次判断各选项，易知只有C是错误的，因为用逻辑联结词“且”联结的两个命题中，只要一个为假整个命题为假．答案C2．(★)(2011•广东广雅中学模拟)已知p：∃x0∈R，mx20＋2≤0.q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是()．A．1，＋∞)B．(－∞，－1]C．(－∞，－2]D．－1,1]解析(直接法)∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．由p：∃x0∈R，mx20＋2≤0为假，得∀x∈R，mx2＋2＞0，∴m≥0.①由q：∀x∈R，x2－2mx＋1＞0为假，得∃x0∈R，x20－2mx0＋1≤0，∴Δ＝(－2m)2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②由①和②得m≥1.答案A【点评】本题采用直接法，就是通过题设条件解出所求的结果，多数选择题和填空题都要用该方法，是解题中最常用的一种方法.二、填空题(每小题4分，共8分)3．命题“∃x0∈R，x0≤1或x20＞4”的否定是______________．解析已知命题为特称命题，故其否定应是全称命题．答案∀x∈R，x＞1且x2≤44．(2012•太原十校联考)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋152a＞0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是________．解析由“∀x∈R，x2－5x＋152a＞0”的否定为假命题，可知命题“∀x∈R，x2－5x＋152a＞0”必为真命题，即不等式x2－5x＋152a＞0对任意实数x恒成立．设f(x)＝x2－5x＋152a，则其图象恒在x轴的上方．故Δ＝25－4×152a＜0，解得a＞56，即实数a的取值范围为56，＋∞.答案56，＋∞三、解答题(共22分)5．(10分)已知两个命题r(x)：sinx＋cosx＞m，s(x)：x2＋mx＋1＞0.如果对∀x∈R，r(x)与s(x)有且仅有一个是真命题．求实数m的取值范围．解∵sinx＋cosx＝2sinx＋π4≥－2，∴当r(x)是真命题时，m＜－2.又∵对∀x∈R，当s(x)为真命题时，即x2＋mx＋1＞0恒成立有Δ＝m2－4＜0，∴－2＜m＜2.∴当r(x)为真，s(x)为假时，m＜－2，同时m≤－2或m≥2，即m≤－2.当r(x)为假，s(x)为真时，m≥－2且－2＜m＜2，即－2≤m＜2.综上，实数m的取值范围是m≤－2或－2≤m＜2.6．(12分)已知c＞0，设命题p：函数y＝cx为减函数．命题q：当x∈12，2时，函数f(x)＝x＋1x＞1c恒成立．如果p或q为真命题，p且q为假命题．求c的取值范围．解由命题p知：0＜c＜1.由命题q知：2≤x＋1x≤52要使此式恒成立，则2＞1c，即c＞12.又由p或q为真，p且q为假知，p、q必有一真一假，当p为真，q为假时，c的取值范围为0＜c≤12.当p为假，q为真时，c≥1.综上，c的取值范围为c0＜c≤12或c≥1.。

试卷类型：A2013届高三新课标原创月考试题三数学适用地区：新课标地区考查范围：集合、逻辑、函数、导数、三角、向量、数列、不等式、立体几何、解析几何建议使用时间：2012年10月底本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1.答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上.2.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁，不折叠，不破损.第Ⅰ卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.（2012·北京东城二模）若集合{}0A x x =≥，且AB B =，则集合B 可能是（ ）A.{}1,2B.{}1x x ≤ C.{}1,0,1- D.R2.（2012·昆明第一中学一摸）设α是第二象限角,(),4P x 为其终边上的一点,且1cos 5x α=,则tan α=（ ）A.43 B.34C.34-D.43-3.（理）（2012·琼海模拟）设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若,,//m l m l αα⊥⊥则； ②若,,,.l m l m αβαββ⊥=⊥⊥则③若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则； ④若//,//,,//l m l m αβαβ⊂则.其中正确命题的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4 （文）（2012·琼海模拟）已知一个平面α，l 为空间中的任意一条直线，那么在平面α内一定存在直线b 使得（ ）A. l //bB. l 与b 相交C. l 与b 是异面直线D. l ⊥b4.（2012·郑州质检）已知点F 、A 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左焦点、右顶点，点B （0，b ）满足0=⋅AB FB ，则双曲线的离心率为（ ）A.2B.3C.231+ D.251+5.（2012·哈尔滨第六中学三模）设0x 是方程ln 4x x +=的解，则0x 属于区间（）A.（0，1）B.（1，2） C .（2，3） D.（3，4）6.[2012·湖南卷]已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为（ ）A.x 220－y 25＝1B.x 25－y 220＝1C.x 280－y 220＝1D.x 220－y 280＝1 7. [2012·课标全国卷]设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a 2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为（ ）A.12B.23C.34D.458.（2012·郑州质检）若实数x ，y 满足10,0,0x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩则z =3x +2y的最小值是( )A.0B. 1C.3D. 99. [2012·课标全国卷]如图1，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ） A.6 B.9 C.12 D.18图110. （2012·哈尔滨第六中学三模）直线032=--y x 与圆()()22239x y -++=交于E ，F 两点，则△EOF （O 是原点）的面积为（ ）A.23 B.43C.52D.55611.（理）[2012·课标全国卷]已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此棱锥的体积为（ ）A.26 B.36 C.23 D.22.（文）[2012·课标全国卷]平面α截球O 的球面所得圆的半径为1，球心O 到平面α的距离为2，则此球的体积为（ ）A.6πB.43πC.46πD.63π12.（2012·琼海模拟）一个几何体的三视图如图2所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的外接球的表面积为（ ）A. 23πB. 8π3C.43D.16π3图2第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.13.（2012·郑州质检）若直线1:20l ax y +=和()2:3110l x a y +++=平行，则实数a 的值为 .14. [2012·课标全国卷]等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若3230S S +=，则公比q =_______. 15. （2012·郑州质检）在△ABC 中，已知a ,b ,c 分别为角A ， B ， C 所对的边，S 为△ABC 的面积.若向量p =(),,4222c b a -+q =()S ,3满足p ∥q ,则∠C = .16. [2012·辽宁卷]已知P ，Q 为抛物线22x y =上两点，点P ，Q 的横坐标分别为4，-2，过P 、Q 分别作抛物线的切线，两切线交于A ，则点A 的纵坐标为__________.三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.） 17.（本小题满分10分）（2012·长望浏宁四县（市）调研）已知函数()2sin cos f x x x =()22cos x x -∈R .（1）求函数()f x 的最小正周期；（2）当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的取值范围.18.（本小题满分12分）（理）[2012·课标全国卷]如图3，直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点，DC 1⊥BD .（1）证明：DC 1⊥BC ； （2）求二面角A 1－BD －C 1的大小.（文）[2012·课标全国卷]如图3，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点.（1）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（2）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.图319.（本小题满分12分）（2012·琼海模拟）已知各项都不相等的等差数列{}n a 的前6项和为60，且6a 为1a 和21a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足()1n n n b b a n *+-=∈N ，且1b =项和n T .20.（本小题满分12分）（理）[2012·北京卷]如图4（1），在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图5（2）. （1）求证：A 1C ⊥平面BCDE ；（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由.（文）[2012·北京卷]如图4（1），在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 为线段CD 上的一点，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1F ⊥CD ，如图5（2）. （1）求证：DE ∥平面A 1CB ； （2）求证：A 1F ⊥BE ；（3）线段A 1B 上是否存在点Q ？说明理由.421.（本小题满分12分）[2012·安徽卷]如图5，F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆C 的顶点，B 是直线AF 2与椭圆C 的另一个交点，∠F 1AF 2＝60°. （1）求椭圆C 的离心率；（2）已知△AF 1B 的面积为403，求a ，b 的值.图522.（本小题满分12分）（理）[2012·湖南卷]已知函数f (x )＝e ax－x ，其中a ≠0.（1）若对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，求a 的取值集合；（2）在函数f (x )的图象上取定两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2)，记直线AB 的斜率为k .问：是否存在x 0∈(x 1，x 2)，使f ′(x 0)＞k 成立？若存在，求x 0的取值范围；若不存在，请说明理由.（文）[2012·湖南卷]已知函数f (x )＝e x－ax ，其中a ＞0.（1）若对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，求a 的取值集合；（2）在函数f (x )的图象上取定两点A (x 1，f (x 1))，B (x 2，f (x 2))(x 1＜x 2)，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在x 0∈(x 1，x 2)，使f ′(x 0)＝k 成立.试卷类型：A2013届高三新课标原创月考试题三答案数学 1.A 【解析】因为A B B =，所以B A ⊆.又因为集合{}0A x x =≥，所以集合B 可能是{}1,2.选A.2. D 【解析】因为α是第二象限角,所以0x <.由三角函数的定义,有1cos 5x α==,解得()30x x =-<.所以44tan 33α==--. 3.（理）A 【解析】对于①，可能存在l α⊂；对于②，若加上条件m α⊂就正确了；对于③是正确的；对于④，直线,l m 可能平行，也可能相交或异面；综上可知，正确的命题只有一个.（文）D 【解析】当l α⊥或l ∥α时，在平面α内，显然存在直线b 使得l ⊥b ;当l 与α斜交时，只需要b 垂直于l 在平面α内的射影即可得到l b ⊥. 4. D 【解析】由()(),,0FB AB c b a b ⋅=⋅-=，得20ac b -+=，所以220ac c a -+-=，即210e e -+-=，解得e =或e =（舍去）. 5. C 【解析】设()ln 4f x x x =+-,因为(1)30,(2)ln 220,(3)ln310f f f =-<=-<=->，(4)ln 40f =>，所以(2)(3)0f f <.所以()02,3x ∈.6. A 【解析】由已知可得双曲线的焦距2c ＝10，a 2＋b 2＝52＝25，排除C ，D ，又由渐近线方程为y ＝bax＝12x ，得12＝b a，解得a 2＝20，b 2＝5，所以选A. 7. C 【解析】根据题意，一定有∠PF 1F 2＝30°，且∠PF 2x ＝60°，故直线PF 2的倾斜角是π3，设直线x＝32a 与x 轴的交点为M ，则|PF 2|＝2|F 2M |，又|PF 2|＝|F 1F 2|，所以|F 1F 2|＝2|F 2M |.所以2c ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32a －c ，即4c ＝3a ，故e ＝c a ＝34.故选C.8. B 【解析】作出不等式组10,0,0x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的可行域（如下图），令'2z x y =+，可知当直线'2z x y =+经过点()0,0O 时，'2z x y =+取得最小值0，故此时23x y z +=取得最小值1.9. B 【解析】由三视图可知，该几何体是三棱锥，底面是斜边长为6的等腰直角三角形（斜边上高为3），有一条长为3的侧棱垂直于底面，所以几何体的体积为93362131=⨯⨯⨯⨯=V ,选B. 10. D 【解析】因为圆心()2,3-到直线032=--y x 的距离为55d ==，则222EF R d =-4=，又原点()0,0O 到直线:230EF x y --=的距离为35'55d ==，所以1356542EOF S ∆=⨯⨯=.11.（理）A 【解析】△ABC 的外接圆的半径33r =，点O 到面ABC 的距离2263d R r =-=,SC为球O 的直径⇒点S 到面ABC 的距离为2623d =,此棱锥的体积为113262233436ABC V S d ∆=⨯=⨯⨯=.（文）B 【解析】由题意，球的半径为R ＝12＋22＝3，所以球的体积为V ＝43πR 3＝43π.故选B.12. D 【解析】该几何体是个如下图所示的三棱锥D -ABC ，外接球的球心为点E ，F 为AC 的中点，设,EF r DE EA EC EB ====,则231r r -=+，解得33r =.所以外接球的半径为2333R r =-=，表面积为216π4π3R =.13. -3或2【解析】由两直线平行的充要条件得()1320a a +-⨯=，解得3a =-或2a =.14. 2-【解析】显然公比1≠q ，设首项为1a ，则由0323=+S S ，得qq a q q a --⨯-=--1)1(31)1(2131，即04323=-+q q ，即0)1(4)1(4422223=-+-=-+-q q q q q q ，即0)44)(1(2=++-q q q ，所以0)2(4422=+=++q q q ，解得2-=q .15. π3【解析】由p ∥q ，得()22243S a b c =+-,则()22234S a b c =+-.由余弦定理得cos C =2222a b c ab +-，故332cos cos S ab C ab C =⨯=.又由正弦定理得1sin 2S ab C =，所以1cos sin 22ab C ab C =，所以tan C =又()0,πC ∈，所以3C π=. 16. －4【解析】由x 2＝2y 可知y ＝12x 2，这时y ′＝x ，由P ，Q 的横坐标为4，－2，这时P (4,8)，Q (－2,2), 以点P 为切点的切线方程PA 为y －8＝4(x －4)，即4x －y －8＝0①；以点Q 为切点的切线方程QA 为y －2＝－2(x ＋2)，即2x ＋y ＋2＝0②；由①②联立得A 点坐标为(1，－4)，这时纵坐标为－4.17.解：（1）因为()sin 2cos21f x x x =--π214x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,所以函数()f x 的最小正周期为2ππ2T ==.（2）()π214f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭.当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ3π2,444x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当ππ242x -=，即3π8x =时，()max 1f x =； 当ππ244x -=-，即0x =时，()min 2f x =-；故函数()f x 的取值范围是1⎡⎤--⎣⎦.18.（理）解：（1）证明：由题设知，三棱柱的侧面为矩形. 由于D 为AA 1的中点，故DC ＝DC 1.又AC ＝12AA 1，可得DC 21＋DC 2＝CC 21，所以DC 1⊥DC .而DC 1⊥BD ，DC ∩BD ＝D ，所以DC 1⊥平面BCD . BC ⊂平面BCD ，故DC 1⊥BC .（2）由（1）知BC ⊥DC 1，且BC ⊥CC 1，则BC ⊥平面ACC 1，所以CA ，CB ，CC 1两两相互垂直.以C 为坐标原点，CA →的方向为x 轴的正方向，|CA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C －xyz .由题意知A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，D (1,0,1)，C 1(0,0,2). 则A 1D →＝(0,0，－1)，BD →＝(1，－1,1)，DC 1→＝(－1,0,1). 设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1B 1BD 的法向量，则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·BD →＝0，n ·A 1D →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋z ＝0，z ＝0.可取n ＝(1,1,0).同理，设m 是平面C 1BD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·BD →＝0，m ·DC 1→＝0.可得m ＝(1,2,1).从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n |·|m |＝32.故二面角A 1－BD －C 1的大小为30°.（文）解：（1）证明：由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC . 由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC .（2）设棱锥B －DACC 1的体积为V 1，AC ＝1.由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12.又三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积V ＝1， 所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.19.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠,则()()1211161560,205,a d a a d a d +=⎧⎪⎨+=+⎪⎩因为数列{}n a 的各项都不相等，所以公差0d ≠.故解得12,5.d a =⎧⎨=⎩所以()51223n a n n =+-⨯=+. （2）因为1n n n b b a +-=， 所以()112,n n n b b a n n *---=≥∈N故()()()112211n n n n n b b b b b b b b ---=-+-++-+…1211n n a a a b --=++++…()()1143n n =--++()()22,n n n n *=+≥∈N .又1b 满足上式，所以()()2n b n n n *=+∈N .所以()11111222n b n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭. 故()()21111111311351232422212412n n n T n n n n n n +⎛⎫⎛⎫=-+-++-=--= ⎪ ⎪+++++⎝⎭⎝⎭….20.（理）解：（1）证明：因为AC ⊥BC ，DE ∥BC ，所以DE ⊥AC ，所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1C .又因为A 1C ⊥CD ，所以A 1C ⊥平面BCDE .（2）如右图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C －xyz ，则A 1(0,0,23)，D (0,2,0)，M (0,1，3)，B (3,0,0)，E (2,2,0).设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ·A 1B →＝0，n ·BE →＝0.又A 1B →＝(3,0，－23)，BE →＝(－1,2,0)，所以⎩⎨⎧ 3x －23z ＝0，－x ＋2y ＝0.令y ＝1，则x ＝2，z ＝3，所以n ＝(2,1，3).设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ，因为CM →＝(0,1，3)，所以sin θ＝|cos(n ，CM →)|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·CM →|n ||CM →|＝48×4＝22. 所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为π4. （3）线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直，理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p,0,0)，其中p ∈[0,3].设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，则m ·A 1D →＝0，m ·DP →＝0.又A 1D →＝(0,2，－23)，DP →＝(p ，－2,0)，所以⎩⎨⎧2y －23z ＝0，px －2y ＝0. 令x ＝2，则y ＝p ，z ＝p 3. 所以m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2，p ，p 3. 平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m·n ＝0，即4＋p ＋p ＝0.解得p ＝－2，与p ∈[0,3]矛盾.所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直.（文）解：（1）证明：因为D ，E 分别为AC ，AB 的中点，所以DE ∥BC .又因为DE ⊄平面A 1CB ，所以DE ∥平面A 1CB .（2）证明：由已知得AC ⊥BC 且DE ∥BC ，所以DE ⊥AC .所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD ，所以DE ⊥平面A 1DC .而A 1F ⊂平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1F .又因为A 1F ⊥CD ，所以A 1F ⊥平面BCDE ，所以A 1F ⊥BE .（3）线段A 1B 上存在点Q ，使A 1C ⊥平面DEQ .理由如下：如图，分别取A 1C ，A 1B 的中点P ，Q ，则PQ ∥BC .又因为DE ∥BC ，所以DE ∥PQ .所以平面DEQ 即为平面DEP ，由（2）知，DE ⊥平面A 1DC ，所以DE ⊥A 1C .又因为P 是等腰三角形DA 1C 底边A 1C 的中点，所以A 1C ⊥DP .所以A 1C ⊥平面DEP .从而A 1C ⊥平面DEQ .故线段A 1B 上存在点Q ，使得A 1C ⊥平面DEQ .21. 解： （1）由题意可知，△AF 1F 2为等边三角形，a ＝2c ，所以e ＝12. （2）(方法一)a 2＝4c 2，b 2＝3c 2.直线AB 的方程可为y ＝－3(x －c ).将其代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12c 2，得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫85c ，－335c . 所以|AB |＝1＋3·⎪⎪⎪⎪⎪⎪85c －0＝165c . 由S △AF 1B ＝12|AF 1|·|AB |sin ∠F 1AB ＝12a ·165c ·32＝235a 2＝403， 解得a ＝10，b ＝5 3.(方法二)设|AB |＝t .因为|AF 2|＝a ，所以|BF 2|＝t －a .由椭圆定义|BF 1|＋|BF 2|＝2a 可知，|BF 1|＝3a －t .再由余弦定理(3a －t )2＝a 2＋t 2－2at cos60°可得，t ＝85a . 由S △AF 1B ＝12a ·85a ·32＝235a 2＝403知，a ＝10，b ＝5 3.22.（理）解：（1）若a ＜0，则对一切x ＞0，f (x )＝e ax －x ＜1，这与题设矛盾.又a ≠0，故a ＞0.而f ′(x )＝a e ax －1，令f ′(x )＝0得x ＝1a ln 1a . 当x ＜1a ln 1a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞1a ln 1a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增.故当x ＝1a ln 1a ，f (x )取最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ln 1a ＝1a －1a ln 1a. 于是对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，当且仅当1a －1a ln 1a≥1. ① 令g (t )＝t －t ln t ，则g ′(t )＝－ln t .当0＜t ＜1时，g ′(t )＞0，g (t )单调递增；当t ＞1时，g ′(t )＜0，g (t )单调递减.故当t ＝1时，g (t )取最大值g （1）＝1.因此，当且仅当1a＝1，即a ＝1时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{1}.（2）由题意知，k ＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝2121e -e -ax ax x x －1. 令φ(x )＝f ′(x )－k ＝a e ax－2121e -e -ax ax x x .则φ(x 1)＝－121e -ax x x [21(-)e a x x －a (x 2－x 1)－1]， φ(x 2)＝221e -ax x x [12(-)e a x x －a (x 1－x 2)－1]. 令F (t )＝e t －t －1，则F ′(t )＝e t －1.当t ＜0时，F ′(t )＜0，F (t )单调递减；当t ＞0时，F ′(t )＞0，F (t )单调递增.故当t ≠0时，F (t )＞F (0)＝0，即e t －t －1＞0.从而21(-)e a x x －a (x 2－x 1)－1＞0，12(-)e a x x －a (x 1－x 2)－1＞0，又121e -ax x x ＞0，221e -ax x x ＞0， 所以φ(x 1)＜0，φ(x 2)＞0.因为函数y ＝φ(x )在区间[x 1，x 2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在c ∈(x 1，x 2)，使得φ(c )＝0.又φ′(x )＝a 2e ax＞0，φ(x )单调递增，故这样的c 是唯一的，且c ＝1a ln 2121e -e (-)ax ax a x x .故当且仅当x ∈212211e -e ln ,(-)ax ax x a a x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，f ′(x )>k . 综上所述，存在x 0∈(x 1，x 2)，使f ′(x 0)＞k 成立，且x 0的取值范围为212211e -e ln ,(-)ax ax x a a x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭. （文）解：（1）f ′(x )＝e x－a .令f ′(x )＝0得x ＝ln a .当x ＜ln a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当x ＞ln a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增.故当x ＝ln a 时，f (x )取最小值f (ln a )＝a －a ln a .于是对一切x ∈R ，f (x )≥1恒成立，当且仅当a －a ln a ≥1. ①令g (t )＝t －t ln t ，则g ′(t )＝－ln t .当0＜t ＜1时，g ′(t )＞0，g (t )单调递增；当t ＞1时，g ′(t )＜0，g (t )单调递减.故当t ＝1时，g (t )取最大值g （1）＝1.因此，当且仅当a ＝1时，①式成立. 综上所述，a 的取值集合为{1}.（2）由题意知，k ＝f x 2－f x 1x 2－x 1＝2121e -e -x x x x －a . 令φ(x )＝f ′(x )－k ＝e x－2121e -e -x x x x ，则 φ(x 1)＝－121e -x x x [21-e x x －(x 2－x 1)－1]， φ(x 2)＝221e -x x x [12-e x x －(x 1－x 2)－1]. 令F (t )＝e t －t －1，则F ′(t )＝e t －1.当t ＜0时，F ′(t )＜0，F (t )单调递减；当t ＞0时，F ′(t )＞0，F (t )单调递增.故当t ≠0时，F (t )＞F (0)＝0，即e t －t －1＞0.从而21-e x x －(x 2－x 1)－1＞0，12-e x x －(x 1－x 2)－1＞0，又121e -x x x ＞0，221e -x x x ＞0， 所以φ(x 1)＜0，φ(x 2)＞0.因为函数y ＝φ(x )在区间[x 1，x 2]上的图象是连续不断的一条曲线，所以存在x 0∈(x 1，x 2)，使φ(x 0)＝0，即f ′(x 0)＝k 成立.。

高三数学（文）基础训练011．已知全集U=R ，集合)(},021|{},1|{N M C x x x N x x M U 则≥-+=≥= （ ） A ．{x |x <2} B ．{x |x ≤2} C ．{x |－1<x ≤2} D ．{x |－1≤x <2}2．设,0,0<>b a 已知),(a b m ∈且0≠m ，则m1的取值范围是： ( ) A ．)1,1(a b B.)1,1(b a C.)1,0()0,1(a b ⋃ D.),1()1,(+∞⋃-∞a b 3．设)(x f '是函数)(x f 的导函数,)(x f y '=的图象如图所示，则)(x f y =的图象最有可能的是4．下列命题中错误的是 （ ）A ．若一直线垂直于一平面，则此直线必垂直于这一平面内所有直线B ．若一平面经过另一平面的垂线，则两个平面互相垂直C ．若一条直线垂直于平面内的一条直线，则此直线垂直于这一平面D ．若平面内的一条直线和这一平面的一条斜线的射影垂直，则它也和这条斜线垂直5．命题“042,2≤+-∈∀x x R x ”的否定为 （ ）(A) 042,2≥+-∈∀x x R x (B) 042,2>+-∈∃x x R x(C) 042,2≤+-∉∀x x R x (D) 042,2>+-∉∃x x R x6. 若平面四边形ABCD 满足0AB CD +=,()0AB AD AC -⋅=,则该四边形一定是 A ．直角梯形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形7．有一棱长为a 的正方体框架，其内放置一气球，使气球充气且尽可能地膨胀（仍保持为球的形状），则气球表面积的最大值为A ．2a πB ．22a πC ．32a πD ．42a π 8．若22πβαπ<<<-，则βα-一定不属于的区间是 ( )A ．()ππ,-B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ C ．()π,0 D ． ()0,π- 9．等差数列{}n a 中，3a =2，则该数列的前5项的和为( )A ．10B ．16C ． 20D ．3210．不等式10x x->成立的充分不必要条件是 A ．10x -<<或1x > B ．1x <-或01x << C ．1x >- D ． 1x >11．设a 、b 、c 是空间的三条直线，下面给出四个命题：①若a ⊥b ，b ⊥c ，则a//c ； ②若a 、b 是异面直线，b 、c 是异面直线，a 、c 也是异面直线；③若a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交； ④若a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面；其中真命题的个数是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．012. 设,,αβγ为平面，,,m n l 为直线，则m β⊥的一个充分条件是（ ）A ．,,l m l αβαβ⊥=⊥ B. ,,m αγαγβγ=⊥⊥ C. ,,n n m αβα⊥⊥⊥ D. ,,m αγβγα⊥⊥⊥13. 长方体三面的面积分别是6,3,2，那么它的外接球的半径是14. 若bi i i -=⋅-44)2(，(i 是虚数单位，b 是实数)，则b =______15. 设函数)ln()(2x x x f +-=，则()f x 的定义域是 ．16. 如图，一个粒子在第一象限运动，在第一秒末，它从原点运 动到（0，1），接着它按如图所示的x 轴、y 轴的平行方向来回运动，即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第2008秒末这个粒子所处的位置的坐标为______。

绝密★启用前 试卷类型：A理科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，20小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分．4．考试结束后，监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回，试卷由考生自己保管． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率()()C 1n kkkn n P k pp -=-第Ⅰ卷 (选择题 满分40分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1. 若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为( )A. 1B. 2C. 1或2D. -12．设全集U 是实数集R ，M={x|x 2＞4}，N ＝{x|31≤<x }，则图中阴影部分表示的集合是( ) A ．{x|－2≤x ＜1} B ．{x|－2≤x ≤2}C ．{x|1＜x ≤2}D ．{x|x ＜2}3．下列函数中，最小值为2的是( ) A ．21222+++=x x yB ．xx y 12+=C ．)220)(22(<<-=x x x yD ．1222++=x x y 4．设a 为函数)(cos 3sin R x x x y ∈+=的最大值，则二项式6)1(xx a -的展开式中含2x项的系数是( )XYOA ．192B ．182C ．-192D ．-182 5．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是( )①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若α⊥m ，则β⊥n ； ④m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直．A ．1B ．2C ．3D ．46．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨)的几组对应数据：x3 4 5 6 y2.5t44.5根据上表提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为 0.70.35y x =+，那么表中t 的值为( )A. 3B. 3.15C. 3.5D. 4.57．已知方程20ax bx c ++= ，其中a 、b 、c 是非零向量，且a 、b不共线，则该方程( )A ．至多有一个解B ．至少有一个解C ．至多有两个解D ．可能有无数个解8．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，)('x f 为)(x f 的导函 数，已知)('x f y =的图像如图所示，若两个正数a 、b 满足1)2(<+b a f ，则11++a b 的取值范围是( )A ．)31,51( B ．),5()31,(+∞⋃-∞ C ．)5,31(D ．)3,(-∞第Ⅱ卷(非选择题 满分110分)二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)9．高三(1)班共有56人，学生编号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6，34，48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为 ．10．在等比数列{}n a 中，首项=1a 32，()44112a x dx =+⎰，则公比q 为 ．11．一对年轻夫妇和其两岁的孩子做游戏，让孩子把分别写有“ONE”，“WORLD”，“ONE”，“DREAM”的四张卡片随机排成一排，若卡片按从左到右的顺序排成“ONE WORLD ONE DREAM”，则孩子会得到父母的奖励，那么孩子受奖励的概率为 ．12．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在半径为3的球面上，且PA 、PB 、PC 两两互相垂直，则三棱锥P ABC -的侧面积的最大值为 ．13．在ABC ∆中，tan A 是以4-为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第三项，9为第六项的等比数列的公比，则tan C = ．14．设直角三角形的两条直角边的长分别为a ，b ，斜边长为c ，斜边上的高为h ，则有 ①2222h c b a +>+， ②3333h c b a +<+，③4444h c b a +>+，④5555h c b a +<+.其中正确结论的序号是 ；进一步类比得到的一般结论是 .三、解答题：(本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分12分)已知向量a )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin x x b x x ==b )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin xx b x x a ==，函数()f x a b = a ·b ，(Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ)如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足ac b =2，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及函数)(x f 的值域．16．(本小题满分12分)四个大小相同的小球分别标有数字1、1、2、2，把它们放在一个盒子里，从中任意摸出两个小球，它们所标有的数字分别为x 、y ，记y x +=ξ； (Ⅰ)求随机变量ξ的分布列和数学期望；(Ⅱ)设“函数1)(2--=x x x f ξ在区间)3,2(上有且只有一个零点”为事件A ，求事件A 发生的概率．17．(本小题满分14分)已知几何体BCDE A -的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．(Ⅰ)求此几何体的体积； (Ⅱ)求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值；(Ⅲ)探究在DE 上是否存在点Q ，使得BQ AQ ⊥，并说明理由．开始输入n11=a ，12=a ，1=ii i i a a a 6512-=++n i ≥1+=i i否是输出2+i a结束18．(本小题满分14分)某商场以100元/件的价格购进一批衬衣，以高于进货价的价格出售，销售期有淡季与旺季之分，通过市场调查发现：①销售量)(x r (件)与衬衣标价x (元/件)在销售旺季近似地符合函数关系：1)(b kx x r +=，在销售淡季近似地符合函数关系：2)(b kx x r +=，其中21210,0b b k b b k 、、且、><为常数； ②在销售旺季，商场以140元/件的价格销售能获得最大销售利润；③若称①中0)(=x r 时的标价x 为衬衣的“临界价格”，则销售旺季的“临界价格”是销售淡季的“临界价格”的1.5倍．请根据上述信息，完成下面问题： (Ⅰ)填出表格中空格的内容：数量关系销售关系标价(元/件)销售量)(x r (件)(含k 、1b 或2b )销售总利润y (元)与标价x (元/件)的函数关系式旺季 x 1)(b kx x r +=淡季x(Ⅱ)在销售淡季，该商场要获得最大销售利润，衬衣的标价应定为多少元/件？ 19.(本小题满分14分)已知数列}{n a 满足如图所示的程序框图． (Ⅰ)写出数列}{n a 的一个递推关系式； (Ⅱ)证明：}3{1n n a a -+是等比数列， 并求}{n a 的通项公式；(Ⅲ)求数列)}3({1-+n n a n 的前n 项和n T ．20．(本小题满分14分)已知函数2()2ln .f x x x a x =++ (Ⅰ)若函数()(0,1)f x 在区间上是单调函数， 求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当t ≥1时，不等式(21)2()3f t f t -≥- 恒成立，求实数a 的取值范围．正视图 侧视图俯视图55 3 4 34 绝密★启用前 试卷类型：A汕头市2010~2011学年度普通高中毕业班教学质量监测试题文科数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，20题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答选择题前，考生务必将自己的姓名、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上．3．考生务必将非选择题的解答写在答题卷的框线内，框线外的部分不计分．4．考试结束后，监考员将选择题的答题卡和非选择题的答题卷都收回，试卷由考生自己保管． 参考公式：锥体的体积公式Sh V 31=，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高． 如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+．第Ⅰ卷 (选择题 满分50分)一、选择题：(本大题共10小题，每小题5分，满分50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为( )A. 1B. 2C. 1或2D. -1 2．设{}{}(,),()()cos 2sin 2M a b N f x f x a x b x ==|=+平面内的点，给出M 到N 的映射:(,)()cos 2sin 2f a b f x a x b x →=+，则点(1,3)的象()f x 的最小正周期为( )A ．2π B ．4πC ．πD ．2π3．在等差数列{}n a 中，已知5710a a +=，n S 是数列{}n a 的前n 项和，则11S =( )A ．45B ．50C ．55D ．604．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积为( )A ．72B ．66C ．60D ．305．在边长为1的等边ABC ∆中，设,,BC a CA b AB c a b b c c a ===⋅+⋅+⋅=，则 ,BC a CA b AB c a b b c c a ===⋅+⋅+⋅=，则( )A ．32-B ．0C ．32D ．3XYO频率组距0.100.25 0.409 10 11 12 13 14时间6．已知函数1()x f x a =，2()a f x x =，3()log a f x x =(其中0a >且1a ≠)，在同一坐标系中画出其中两个函数在x ≥0且y ≥0的范围内的大致图象，其中正确的是( )x y O1 Ax y O1 B 1xy O1 C 1xyO 1D17．某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时到14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时到12时的销售额为( ) A ．6万元B ．8万元C ．10万元D ．12万元8．若m 、n 为两条不重合的直线，α、β为两个 不重合的平面，则下列命题中的真命题个数是( )①若m 、n 都平行于平面α，则m 、n 一定不是相交直线； ②若m 、n 都垂直于平面α，则m 、n 一定是平行直线；③已知α、β互相垂直，m 、n 互相垂直，若α⊥m ，则β⊥n ； ④m 、n 在平面α内的射影互相垂直，则m 、n 互相垂直．A ．1B ．2C ．3D ．49．在ABC ∆中，tan A 是以4-为第三项，4为第七项的等差数列的公差，tan B 是以13为第 三项，9为第六项的等比数列的公比，则这个三角形是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．等腰直角三角形D ．以上都不对 10．定义在R 上的函数)(x f 满足1)4(=f ，)('x f 为)(x f 的导函数，已知)('x f y =的图像如图所示，若两个正数a 、b 满足1)2(<+b a f ，则22++a b 的取值范围是( )A ．)21,31(B ．),3()21,(+∞⋃-∞C ．)3,21(D ．)3,(-∞第Ⅱ卷(非选择题 满分110分)二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11．高三(1)班共有56人，学生编号依次为1，2，3，…，56，现用系统抽样的方法抽取一个容量为4的样本，已知6，34，48的同学在样本中，那么还有一位同学的编号应为 ．12．已知向量a =),2,1(-x b =),4(y ,若a ⊥b ，则yx 39+的最小值为 ．13．曲线3141,33y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形面积是 ．14．观察以下等式：11=123+= 1236++=123410+++= 1234515++++=311=33129+= 33312336++= 33331234100+++= 3333312345225++++=可以推测3333123...n ++++= (用含有n 的式子表示，其中n 为自然数)．三、解答题：(本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15．(本题满分12分)已知不等式()221,(0)x a a -≤>的解集为A ，函数22lg)(+-=x x x f 的定义域为B. (Ⅰ)若φ=⋂B A ，求a 的取值范围；(Ⅱ)证明函数22lg)(+-=x x x f 的图象关于原点对称．16．(本题满分12分)已知向量a )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin x x b x x ==b )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin xx b x x a ==，函数()f x a b = a ·b ，(Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间；(Ⅱ)如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足ac b =2，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及函数)(x f 的值域．17．(本题满分14分)甲乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀FG BDE AC后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． (Ⅰ)设(,)i j 表示甲乙抽到的牌的数字，(如甲抽到红桃2，乙抽到红桃3，记为(2，3))写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；(Ⅱ)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌面数字比3大的概率是多少？(Ⅲ)甲乙约定，若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜；否则，乙胜，你认为此游戏是否公平？请说明理由．18．(本题满分14分)如图，三角形ABC 中，AC=BC=AB 22，ABED 是边长为1 的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G 、F 分别是EC 、BD 的中点．(Ⅰ)求证：GF//底面ABC ； (Ⅱ)求证：AC ⊥平面EBC ； (Ⅲ)求几何体ADEBC 的体积V ．19．(本题满分14分)某品牌电视生产厂家有A 、B 两种型号的电视机参加了家电下乡活动，若厂家A 、B 对两种型号的电视机的投放金额分别为p 、q 万元，农民购买电视机获得的补贴分别为101p 、52ln q万元，已知A 、B 两种型号的电视机的投放总额为10万元，且A 、B 两种型号的电视机的投放金额均不低于1万元，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出最大值(精确到0.1，参考数据：ln 4 1.4≈)．20．(本题满分14分)已知二次函数2()f x ax bx =+的图像过点(4,0)n -，且'(0)2f n =，n N *∈.(Ⅰ)求()f x 的解析式；(Ⅱ)若数列{}n a 满足'111()n n f a a +='(0)f n ='111()n nf a a +=，且14a =，求数列{}n a 的通项公式；(Ⅲ)记1n n n b a a +=，数列{}n b 的前n 项和n T ，求证:423n T ≤< ．汕头市2010——2011学年高中毕业班教学质量监测理科数学参考答案及评分意见一、选择题：本小题共8小题，每小题5分，共40分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCDCAAAC二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，满分30分)9．20； 10．3； 11．121； 12．18； 13．1； 14．②④， *)(N n h c b a n n n n ∈+<+。

2013届高三数学一轮复习基础训练系列卷(及答案)-(3)45分钟滚动基础训练卷(五)[考查范围：第17讲～第21讲 分值：100分]一、填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，把答案填在答题卡相应位置)1．sin585°的值为________．2．函数f (x )＝sin x cos x ＋12最小值是________．3．若cos α＝13，则cos (2π－α)·sin (π＋α)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2＋α·tan (3π－α)的值为________．4．把函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5x －π2的图象向右平移π4个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12，所得的函数解析式为________．5．若函数y ＝a sin x ＋b (x ∈R)的最大值和最小值分别为4和0，则实数a ＝________，b ＝________.6．设a ＝sin 5π7，b ＝cos 2π7，c ＝tan 2π7，则a ，b ，c 的大小关系为________(用“<”连接)．7．[2011·南通一模] 若函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (x ∈R)满足f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．11．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2.(1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值；(2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位所对应的函数是偶函数．12．若函数f (x )＝12－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2ax ＋π6(a >0)的图象与直线y ＝m 相切，相邻切点之间的距离为π2.(1)求m 和a 的值； (2)若点A (x 0，y 0)是y ＝f (x )图象的对称中心，且x 0∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤0，π2，求点A 的坐标．45分钟滚动基础训练卷(五) 1．－22[解析] sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－22.2．0 [解析] ∵f (x )＝12sin2x ＋12，∴f (x )min＝0.3.13 [解析] 原式＝cos α·(－sin α)cos α·(－tan α)＝cos α＝13. 4．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫10x －7π4 [解析] 将原函数图象向右平移π4个单位长度，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5x －7π4，再压缩横坐标得y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫10x －7π4. 5．2或－2 2 [解析] 由于－1≤sin x ≤1，所以当a >0时有⎩⎨⎧a ＋b ＝4，－a ＋b ＝0，解得a ＝2，b ＝2；当a <0时有⎩⎨⎧－a ＋b ＝4，a ＋b ＝0，解得a ＝－2，b ＝2.6．b <a <c [解析] c >tan π4＝1，b ＝cos 2π7，a＝sin 5π7＝sin 27π，故b <a <c .7．1 [解析] 因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π3，由条件可知周期为T ＝4×π2＝2π，从而ω＝2πT ＝1.8．8π [解析] 如图所示，设矩形ABCD 的周长为c ，⎭⎪⎬⎪⎫c ＝2(AB ＋AD )AB ＝2|a |AD ＝2π|a |⇒c ＝2(AB ＋AD )＝4|a |＋4π|a |≥8π. (当且仅当a ＝±π时取“＝”号)．9．[解答] (1)因为sin α＝35，α是第二象限角，所以cos α＝－45，从而tan α＝－34.(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2－α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π＋α＝sin α－cos α＝75.10．[解答] (1)y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的振幅A ＝2，周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表，并描点画出图象：x －π6 π12 π3 7π125π6 X ＝2x ＋π3 0 π2 π 3π22π y ＝sin X 0 1 0－10 y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3 02 0 －2 0(3)方法一：把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象．方法二：将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin2x的图象；再将y ＝sin2x 的图象向左平移π6个单位得到y ＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x ＋π3的图象．[点评] “变量变化”与“图象变化”的关系：当x →x ＋φ时，若φ>0，则向左移|φ|个单位；若φ<0，则向右移|φ|个单位．当y →y ＋m 时，若m >0，则向下移|m |个单位；若m <0，则向上移|m |个单位．当x →ωx (ω>0)时，则其横坐标变为原来的1ω.当y →ky (k >0)时，其纵坐标变为原来的1k .要注意体会其“相反”的变化过程，把握其实质．11．[解答] 方法一：(1)由cos π4cos φ－sin3π4sin φ＝0得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0， 即cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋φ＝0，又|φ|＜π2，∴φ＝π4.(2)由(1)得f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π4， 依题意，T 2＝π3.又T ＝2π|ω|，ω>0，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋π4.函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3(x ＋m )＋π4， ∵g (x )是偶函数，∴3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z)，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z)，从而，最小正实数m ＝π12.方法二：(1)同方法一．(2)由(1)得，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫ωx ＋π4， 依题意，T 2＝π3.又T ＝2π|ω|，ω>0，故ω＝3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋π4. 函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3(x ＋m )＋π4， 而g (x )是偶函数当且仅当g (－x )＝g (x )对x ∈R 恒成立，即sin ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3x ＋3m ＋π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x ＋3m ＋π4对x ∈R 恒成立，∴sin(－3x )cos3m ＋π4＋cos(－3x )sin3m ＋π4＝sin3x cos3m ＋π4＋cos3x sin3m ＋π4， 即2sin3x cos3m ＋π4＝0对x ∈R 恒成立， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3m ＋π4＝0， 故3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z)， ∴m ＝k π3＋π12(k ∈Z)， 从而，最小正实数m ＝π12. 12．[解答] (1)由题意知m 为f (x )的最大值或最小值，∴m ＝－12或m ＝32， 由题意知函数f (x )的最小正周期为π2，且a >0，∴a ＝2，∴m ＝－12或m ＝32，a ＝2. (2)∵f (x )＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π6＋12， ∴令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫4x ＋π6＝0，得4x ＋π6＝k π(k ∈Z)，∴x ＝k π4－π24(k ∈Z)． 由0≤k π4－π24≤π2(k ∈Z)，得k ＝1或k ＝2， 因此点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫5π24，12或⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11π24，12.。

2012学年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （理）（考试时间：120分钟，满分150分） 2013.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．方程组2132x y x y -=⎧⎨+=-⎩的增广矩阵是__________________.2. 已知幂函数()f x 的图像过点18,2⎛⎫⎪⎝⎭，则此幂函数的解析式是()f x =_____________. 3．（理）若θ为第四象限角，且4sin 25πθ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则sin 2θ=___________. 4．若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线221610xy-=的右焦点重合，则实数p 的值是 .5．函数()sin()(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图像如右图所示，则()f x = _________.6．（理）若(1,2)n =-是直线l 的一个法向量，则直线l 的倾斜角的大小为_________________. (结果用反三角函数值表示)7．（理）不等式21200210321xx+-≥的解为 . 8．高三（1）班班委会由4名男生和3名女生组成，现从中任选3人参加上海市某社区敬老服务工作，则选出的人中至少有一名女生的概率是 .(结果用最简分数表示)9．如图所示的程序框图，输出b 的结果是_________.10．（理）已知等比数列}{n a 的首项11=a ，公比为(0)q q >，前n 项和为n S ，若1lim 1=+∞→nn n S S ，则公比q 的取值范围是 .11. （理）若平面向量i a 满足 1(1,2,3,4)i a i ==且10(1,2,3)i i a a i +⋅== ,则1234a a a a +++可能的值有____________个.12．（理）在A B C ∆中，060A ∠= ，M 是AB 的中点，若2,AB BC ==D 在线段A C 上运动，则DB DM ⋅的最小值为____________.13．（理）函数{}()m in 2f x x =-，其中{},m in ,,a a ba b b a b ≤⎧=⎨>⎩，若动直线y m =与函数()y f x =的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为123,,x x x ，则123x x x ⋅⋅是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________.14．已知线段010A A 的长度为10，点129,,,A A A 依次将线段010A A 十等分.在0A 处标0，往右数1点标1，再往右数2点标2，再往右数3点标3……(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照0A →10A →0A →10A → 的方向顺序，不断标下去， （理）那么标到2010这个数时，所在点上的最小数为_____________.二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.15．下列排列数中，等于*(5)(6)(12)(13,)n n n n n N ---≥∈ 的是 （ ）(A)712n P - (B) 75n P - (C) 85n P - (D) 812n P -16．在A B C ∆中，“cos sin cos sin A A B B +=+”是“090C ∠=”的 （ ）(A) 充分非必要条件 (B) 必要非充分条件(C) 充要条件(D) 既不充分也不必要条件17．若函数21()ax f x x-=在()0,+∞上单调递增，那么实数a 的取值范围是（ ）(A)0a ≥(B)0a > (C)0a ≤ (D) 0a <18．（理）对于直角坐标平面xOy 内的点(,)A x y (不是原点),A 的“对偶点”B 是指：满足1OA OB =且在射线O A 上的那个点. 若,,,P Q R S 是在同一直线上的四个不同的点(都不是原点),则它们的“对偶点”'''',,,P Q R S（ ）(A) 一定共线 (B) 一定共圆(C) 要么共线，要么共圆 (D) 既不共线，也不共圆三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(本题满分12分)已知集合3{|0}4x A x x -=<-，实数a 使得集合{}|()(5)0B x x a x =-->满足A B ⊆， 求a 的取值范围.20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数)(x f =21log 1x x +-.(1)判断函数)(x f 的奇偶性，并证明； (2)求)(x f 的反函数)(1x f-，并求使得函数12()()log g x f x k -=-有零点的实数k 的取值范围.21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. （理）某种型号汽车四个轮胎半径相同，均为40R cm =，同侧前后两轮胎之间的距离(指轮胎中心之间距离)为280l cm = (假定四个轮胎中心构成一个矩形). 当该型号汽车开上一段上坡路ABC （如图(1)所示，其中A B C α∠=(34παπ<<)）,且前轮E 已在B C 段上时，后轮中心在F 位置；若前轮中心到达G 处时，后轮中心在H 处(假定该汽车能顺利驶上该上坡路). 设前轮中心在E 和G 处时与地面的接触点分别为S 和T ，且60B S cm =,100ST cm =. (其它因素忽略不计)(1)如图(2)所示，F H 和G E 的延长线交于点O ，求证：40cot 602O E α=+(cm)；(2)当α=56π时，后轮中心从F 处移动到H 处实际移动了多少厘米? (精确到1cm)22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分6分.（理）已知椭圆2222:1(0)x y C a b ab+=>>的一个焦点为(1,0)F ，点(1,)2-在椭圆C 上，点T满足2O T O F =（其中O 为坐标原点），过点F 作一直线交椭圆于P 、Q 两点 .(1)求椭圆C 的方程； (2)求PQT ∆面积的最大值；(3)设点P '为点P 关于x 轴的对称点，判断P Q '与Q T的位置关系，并说明理由.23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分. 第3小题满分8分.（理）对于数列{}n x ，从中选取若干项，不改变它们在原来数列中的先后次序，得到的数列称为是原来数列的一个子数列. 某同学在学习了这一个概念之后，打算研究首项为正整数a ,公比为正整数(1)q q >的无穷等比数列{}n a 的子数列问题. 为此，他任取了其中三项,,()k m n a a a k m n <<.(1) 若,,()k m n a a a k m n <<成等比数列,求,,k m n 之间满足的等量关系；(2) 他猜想：“在上述数列{}n a 中存在一个子数列{}n b 是等差数列”，为此，他研究了k n a a +与2m a 的大小关系，请你根据该同学的研究结果来判断上述猜想是否正确；(3) 他又想：在首项为正整数a ,公差为正整数d 的无穷等差数列中是否存在成等比数列的子数列？请你就此问题写出一个正确命题,并加以证明.参考答案一、填空题：（每题4分）1. 2111-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 3　-2 2. 13x - 3. （理）2425- 4. 8 5. 2sin 4x π6. （理）arctan127. （理）x ≤08.31359. 1 10. （理）0<q ≤111. （理） 3 12. （理） 231613. （理） 1 14. （理） 5二、选择题：（每题5分）15. C 16. B 17.A 18. （理）C三、解答题19. 解：A= (3,4)………………………………………………………………………………..2分a ≥5时，B=(,)(,5)a +∞⋃-∞，满足A ⊆B ；…………………………………..6分 a<5时，B=(5,)(,)a +∞⋃-∞，由A ⊆B ，得a ≥4，故4≤a<5，……………..10分 综上，得实数a 的取值范围为a ≥4. ……………………………………………..12分20. 解：(1)f(x)的定义域为(,1)(1,)-∞-⋃+∞……………………………………………..2分 f(-x)=log 211x x -+--=log 211x x -+=-f(x)，所以，f(x)为奇函数. ………………………………………..6分 (2)由y=21log 1x x +-，得x=2121yy+-,所以，f -1(x)=2121xx+-,x ≠0. ……………………………………..9分因为函数12()()log g x fx k -=-有零点，所以，2log k 应在)(1x f-的值域内. 所以，log 2k=2121xx +-=1+221x-(,1)(1,)∈-∞-⋃+∞, ………………….13分从而，k 1(2,)(0,)2∈+∞⋃. ……………………………………………..14分21．（理）解：(1) 由OE//BC ，OH//AB ，得∠EOH=α，………………………..2分过点B 作BM ⊥OE ，BN ⊥OH ，则Rt ∆OMB ≅Rt ∆ONB ，从而 ∠BOM=2α. ……………………………..4分 在Rt ∆OMB中，由BM=40得OM=40cot2α，从而，OE=OM+ME=OM+BS=40cot602α+. ………………………………..6分(2)由(1)结论得OE=4060tan 75+.设OH=x ，OF=y,在∆OHG 中，由余弦定理得, 2802=x 2+(4060tan 75++100)2-2x(4060tan 75++100)cos1500,解得x ≈118.8cm. ………………………………………………………………..9分 在∆OEF 中，由余弦定理得, 2802=y 2+(4060tan 75+)2-2y(4060tan 75+)cos1500,解得y ≈216.5cm. …………………………………………………………..12分 所以，FH=y-x ≈98cm ，即后轮中心从F 处移动到H 处实际移动了约98cm. ………………………14分22．（理）解:(1)由222211112a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，得…………………………………..2分 a 2=2,b 2=1 所以，椭圆方程为2212xy +=. ………………………………………..4分(2)由 22112x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(m 2+2)y 2+2my-1=0, 设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)，由条件可知，点(2,0)T .PQ TS ∆=12|FT||y 1-y 2|=122m +…..6分令t=212m +，则t 1(0,]2∈，则P Q T S ∆2≤，当且仅当t=12，即m=0(此时PQ 垂直于x 轴)时等号成立，所以P Q T S ∆的最大值是2. …………..10分(3) P Q ' 与Q T共线 ………………………………………………………………..11分P '(x 1,-y 1)，P Q ' =(x 2-x 1,y 2+y 1)，T Q=(x 2-2,y 2) ……………………………..12分由(x 2-x 1)y 2-(x 2-2)(y 1+y 2)=-x 1y 2-x 2y 1+2(y 1+y 2)=-(my 1+1)y 2-(my 2+1)y 1+2(y 1+y 2) =-2my 1y 2+(y 1+y 2) =-2m212m -++222mm -+=0，所以，P Q ' 与Q T共线…………………………………………………..16分（23．（理）解:(1)由已知可得：111,,k m n k m n a aq a aq a aq ---===, ………..…..1分则2m k n a a a =⋅,即有()()()2111m k n aq aq aq ---=, ………….…………. …..3分2(1)(1)(1)m k n -=-+-，化简可得. 2m k n =+. …………………………..4分 (2)11k n k n a a aqaq--+=+,又122m m a aq -=,故 1111()22(12)k n m k n k m kk n m a a a aq aq aqaq q q ------+-=+-=+-,……………..6分 由于,,k m n 是正整数，且n m >，则1,1n m n k m k ≥+-≥-+, 又q 是满足1q >的正整数，则2q ≥,112121212210n km km k m km km km km kqqqqqqqqq---+-----+-≥+-=+-≥+-=>,所以，k n a a +>2m a ,从而上述猜想不成立. …………………………………..10分 (3)命题:对于首项为正整数a ，公差为正整数d 的无穷等差数列{}n a ，总可以找到一个无穷子数列{}n b ,使得{}n b 是一个等比数列. ……….. …….. …………..13分 此命题是真命题,下面我们给出证明.证法一: 只要证明对任意正整数n,(1),1nn b a d n =+≥都在数列{a n }中.因为b n =a(1+d)n =a(1+1n C d+2n C d 2+…+n n C d n )=a(Md+1)，这里M=1n C +2n C d+…+n n C dn-1为正整数，所以a(Md+1)=a+aMd 是{a n }中的第aM+1项，证毕. ……………..18分 证法二：首项为a ,公差为d ( *,a d N ∈)的等差数列为,,2,a a d a d ++ ,考虑数列{}n a 中的项: 2,(2),(33),a ad a a ad d a a ad d d ++++++依次取数列{}n b 中项1(1)b a ad a d =+=+,22(2)(1)b a a ad d a d =++=+,233(33)(1)b a a ad d d a d =+++=+,则由2233a a a d a a d d <+<++,可知3212b b b b =,并由数学归纳法可知,数列(1),1n n b a d n =+≥为{}n a 的无穷等比子数列. ...18分。

北京邮电大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练：圆锥曲线与方程本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．双曲线192522=-y x 的渐近线方程为( )A ．3x ±4y =0B ． 4x ±3y =0C ． 3x ±5y =0D ．5x ±3y =0【答案】C2．在同一坐标系中，方程22221ax b y +=与20ax by +=（＞ｂ＞０）的曲线大致是( )【答案】D3．知F 是椭圆12222=+by a x (a >b>0)的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF ⊥x 轴, OP ∥AB(O 为原点),则该椭圆的离心率是( )A ．22 B ．42 C ．21 D ．23 【答案】A4．P 是椭圆14522=+y x 上的一点，1F 和2F 是焦点，若∠F 1PF 2=30°，则△F 1PF 2的面积等于( ) A ．3316 B ．)32(4- C ．)32(16+ D ． 16【答案】B5．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为( )A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22136x y -=D ．22163x y -=【答案】B6．已知F 是椭圆12222=+by a x (a >b>0)的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF ⊥x 轴, OP ∥AB(O 为原点), 则该椭圆的离心率是( )A ．22 B ．42 C ．21 D ．23 【答案】A7．经过原点且与抛物线23(1)4y x =+-只有一个公共点的直线有多少条？( ) A ． 0 B ． 1C ． 2D ． 3【答案】D8．若点O 和点(2,0)F -分别是双曲线2221(a>0)ax y -=的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的一点，并且P 点与右焦点'F 的连线垂直轴，则线段OP 的长为( )A ．313B ．339C ．37D ．321【答案】A9．若双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，线段1F 2F 被抛物线22y bx=的焦点分成7:5的两段，则此双曲线的离心率为( )A ．98B C ．4D 【答案】C10．已知双曲线22122x y -=的准线过椭圆22214x y b +=的焦点，则直线2y kx =+与椭圆至多有一个交点的充要条件是( ) A ． 11,22K ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦B ． 11,,22K ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ． K ⎡∈⎢⎣⎦D ． ,K ⎛⎫∈-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎦⎣⎭【答案】A11．若方程15222=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是( )A ． 2<k<5B ． k>5C ． k<2或k>5D ． 以上答案均不对【答案】C12．若抛物线px y 22=的焦点与双曲线1322=-y x 的右焦点重合，则p 的值为( ) A ． -4 B ． 4 C ． -2 D ． 2【答案】A第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知P 为椭圆221259x y += 上一点，F 1,F 2是椭圆的焦点，∠F 1PF 2=900,则△F 1PF 2的面积为___________; 【答案】914．已知P 是双曲线)0(1y 4x 222>=-b b 上一点，F 1、F 2是左右焦点，⊿P F 1F 2的三边长成等差数列，且∠F 1 P F 2=120°，则双曲线的离心率等于 【答案】27 15．抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 的距离和最小,则点Q 的坐标为 。

北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试：数列一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则{a n }的公比q 等于( )A ．1B ．12C ．－12D ．2【答案】C 2．若n S 是等差数列{n a }的前n 项和，且2038=-S S ，则11S 的值为 ( ）A ．44B ．22C ．3200D ．88【答案】A3．已知等比数列{}n a 中，21=a ，且有27644a a a =，则=3a ( )A ．1B ．2C ．41 D ．21 【答案】A4． 已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且739a 是a 与a 的等比中项，{}n n S a 为的前n 项和，*n N ∈，则S 10的值为 ( ）A ．-110B ．-90C ．90D ．110【答案】D5．等差数列{a n }满足a 2＋a 9＝a 6，则S 9＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 【答案】B6．在等差数列}{n a 中，24)(3)(2119741=++++a a a a a ，则此数列前13项的和=13S （ ）A ．13B ．26C ．52D ．156【答案】B7．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 4a 6＝4a 27，则a 3＝( )A ．12B ．1C ．2D ．14【答案】B8．已知数列为等差数列，若’且它们的前n 项和有最大值，则使得的n 的最大值为（ ）A ． 11B ． 19C ． 20D ． 21【答案】B【解析】由 可得 ，由它们的前n 项和Sn 有最大可得a 10＞0，a 11+a 10＜0，a 11＜0从而有a 1+a 19=2a 10＞0a 1+a 20=a 11+a 10＜0，从而可求满足条件的n 的值．由 可得由它们的前n 项和Sn 有最大可得数列的d ＜0 ∴a 10＞0，a 11+a 10＜0，a 11＜0 ∴a 1+a 19=2a 10＞0，a 1+a 20=a 11+a 10＜0 使得Sn ＞0的n 的最大值n=19故选B9．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )A ．16B ．32C ．64D ．256 【答案】C10．在等比数列{a n }中，已知a n >0，那么“a 2>a 4”是“a 6>a 8”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C11．{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么S n 取得最小正值时，n 的值为( ) A ．11 B ．17 C ．19 D ．21【答案】C12．一直角三角形三边长成等比数列，则（ ）A ．三边长之比为3：4：5B ．三边长之比为3：：1C D 【答案】D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知数列为等比数列，且.,则=________.【答案】1614．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18的值为________，且这个数列的前21项的和S 21的值为________． 【答案】3， 5215．等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，给出下列四个命题：①数列{(12)a n }为等比数列；②若a 2＋a 12＝2，则S 13＝3；③S n ＝na n －n (n －1)2d ；④若d >0，则S n 一定有最大值．其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)． 【答案】①②③16．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________． 【答案】110三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17． 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，求1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋…＋1a 2 008＋a 2 009的值．【答案】当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n -1， 当n =1时，a 1=S 1=1=2 1-1，故a n =2n -1(n ∈N *)，a n -a n -1=2. 原式=a 2-a 1a 2-a 1+a 3-a 2a 3-a 2+…+a 2 009-a 2 008a 2 009-a 2 008=12[(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a 2 009-a 2 008)] =12(a 2 009-a 1)=12( 4 017-1)． 18．在数列n {a }中，12a 3=，若函数3f (x)x 1=+在点(1,f (1))处切线过点（n 1n a ,a +）(1） 求证：数列n 1{a ,}2-为等比数列；(2）求数列n {a }的通项公式和前n 项和公式n S .【答案】（1）因为2f '(x)3x =，所以切线的斜率为k 3=，切点（1，2）， 切线方程为y 23(x 1)3x y 10-=-⇒--= 又因为过点（n 1n a ,a +），所以n 1n 3a a 10+--=， 即n 1n 3a a 1+=+①所以n 1n 1n n 1n n 1a 3111123a a 3(a )a 22223a 2+++--=-⇒-=-⇒=-， 即数列n 1a 2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为一等比数列，公比1q 3=.(2）由（1）得n 1a 2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为一公比为111211q ,a 32326=-=-=的等比数列，则n 1n 111a ()263--=⋅ ∴n n 111a ()232=⋅+， n n 2n n 1111n 31nS ()23223343-=+++=+⋅…+19．设数列{}n a 满足.,2222*13221N n na a a a n n ∈=+⋅⋅⋅+++-(1）求数列{}n a 的通项公式；(2）设,1,log 1121nn b b c a b n n n n n++==+记,21n n c c c S +⋅⋅⋅++=证明：S n ＜1.【答案】（1）由题意，,222221123221na a a a a n n n n =++⋅⋅⋅+++--- 当 2≥n 时，.21222123221-=+⋅⋅⋅+++--n a a a a n n 两式相减，得.2121221=--=-n n a n n 所以，当2≥n 时，.21n n a =当n ＝1时，211=a 也满足上式，所求通项公式().21*N n a n n ∈=(2）.121log 1log 12121n a b nnn=⎪⎭⎫⎝⎛==()11111+-=+-+=n n n n n n c n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅⋅⋅++=1114131312121121n nc c c S n n 111+-=n ＜1. 20．已知等差数列{a n }中，公差d >0，其前n 项和为S n ，且满足：a 2a 3＝45，a 1＋a 4＝14. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)通过公式b n ＝S nn ＋c构造一个新的数列{b n }．若{b n }也是等差数列，并求非零常数c ；(3)求f (n )＝b n(n ＋25)·b n ＋1(n ∈N *)的最大值．【答案】(1)∵数列{a n }是等差数列． ∴a 2＋a 3＝a 1＋a 4＝14.又a 2a 3＝45， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5a 3＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9a 3＝5．∵公差d >0，∴a 2＝5，a 3＝9.∴d ＝a 3－a 2＝4，a 1＝a 2－d ＝1. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －3.(2)∵S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝n ＋2n (n －1)＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－nn ＋c．∵数列{b n }是等差数列， ∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2·6c ＋2＝1c ＋1＋15c ＋3，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．∴b n ＝2n 2－n n －12＝2n .(3)f (n )＝2n (n ＋25)·2(n ＋1)＝nn 2＋26n ＋25＝1n ＋25n＋26≤136．即f (n )的最大值为136． 21．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%. (1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新．证明：须在第9年初对M 更新．【答案】(1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列， a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×(34)n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×(34)n －6，n ≥7.(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ； 当n ≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×[1－(34)n －6]＝780－210×(34)n －6.A n ＝780－210×(34)n －6n因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．又A 8＝780－210×(34)28＝824764>80，A 9＝780－210×(34)39＝767996<80，所以须在第9年初对M 更新． 22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且对任意正整数n ,点()n n S a ,1+在直线022=-+y x 上．(Ⅰ） 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+nn n S 2λλ为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．【答案】（Ⅰ）由题意可得：.0221=-++n n S a ①2≥n 时, .0221=-+-n n S a ②①─②得()22102211≥=⇒=+-++n a a a a a n n n n n ， 2122,12121=⇒=+=a a a a ∴{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，.211-⎪⎭⎫⎝⎛=∴n n a(Ⅱ）解法一:.2122112111--=--=n n n S 若⎭⎬⎫⎩⎨⎧+nn S 2λ为等差数列， 则3322123,22,2λλλλλλ++++++S S S 成等差数列,2,82547231492328252349312λλλλλλ+++=⎪⎭⎫⎝⎛+⇒+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+S S S 得.2=λ又2=λ时，22222+=++n n S n n ，显然{}22+n 成等差数列，故存在实数2=λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n n S 2λλ成等差数列．解法二: .2122112111--=--=n n n S ().2122221221n n n n n n n n S -++=++-=++∴-λλλλλλ欲使⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+nn n S 2λλ成等差数列,只须02=-λ即2=λ便可． 故存在实数2=λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n n S 2λλ成等差数列．北大附中2013届高三数学一轮复习单元综合测试：数列一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 1，S 3，S 2成等差数列，则{a n }的公比q 等于( )A ．1B ．12C ．－12D ．2【答案】C 2．若n S 是等差数列{n a }的前n 项和，且2038=-S S ，则11S 的值为 ( ）A ．44B ．22C ．3200D ．88【答案】A3．已知等比数列{}n a 中，21=a ，且有27644a a a =，则=3a ( )A ．1B ．2C ．41 D ．21 【答案】A4． 已知{}n a 为等差数列，其公差为-2，且739a 是a 与a 的等比中项，{}n n S a 为的前n 项和，*n N ∈，则S 10的值为 ( ）A ．-110B ．-90C ．90D ．110【答案】D5．等差数列{a n }满足a 2＋a 9＝a 6，则S 9＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2 【答案】B6．在等差数列}{n a 中，24)(3)(2119741=++++a a a a a ，则此数列前13项的和=13S （ ）A ．13B ．26C ．52D ．156【答案】B7．已知等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 4a 6＝4a 27，则a 3＝( )A ．12B ．1C ．2D ．14【答案】B8．已知数列为等差数列，若’且它们的前n 项和有最大值，则使得的n 的最大值为（ ）A ． 11B ． 19C ． 20D ． 21【答案】B【解析】由 可得 ，由它们的前n 项和Sn 有最大可得a 10＞0，a 11+a 10＜0，a 11＜0从而有a 1+a 19=2a 10＞0a 1+a 20=a 11+a 10＜0，从而可求满足条件的n 的值．由 可得由它们的前n 项和Sn 有最大可得数列的d ＜0 ∴a 10＞0，a 11+a 10＜0，a 11＜0 ∴a 1+a 19=2a 10＞0，a 1+a 20=a 11+a 10＜0 使得Sn ＞0的n 的最大值n=19故选B9．在正项等比数列{a n }中，a 1和a 19为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 8·a 10·a 12等于( )A ．16B ．32C ．64D ．256 【答案】C10．在等比数列{a n }中，已知a n >0，那么“a 2>a 4”是“a 6>a 8”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】C11．{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它的前n 项和S n 有最大值，那么S n 取得最小正值时，n 的值为( ) A ．11 B ．17 C ．19 D ．21【答案】C12．一直角三角形三边长成等比数列，则（ ）A ．三边长之比为3：4：5B ．三边长之比为3：：1C D 【答案】D二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．已知数列为等比数列，且.,则=________.【答案】1614．定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a n }是等和数列，且a 1＝2，公和为5，那么a 18的值为________，且这个数列的前21项的和S 21的值为________． 【答案】3， 5215．等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，前n 项和为S n ，给出下列四个命题：①数列{(12)a n }为等比数列；②若a 2＋a 12＝2，则S 13＝3；③S n ＝na n －n (n －1)2d ；④若d >0，则S n 一定有最大值．其中真命题的序号是________(写出所有真命题的序号)． 【答案】①②③16．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，n ∈N *，若a 3＝16，S 20＝20，则S 10的值为________． 【答案】110三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17． 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，求1a 1＋a 2＋1a 2＋a 3＋…＋1a 2 008＋a 2 009的值．【答案】当n ≥2时，a n =S n -S n -1=2n -1， 当n =1时，a 1=S 1=1=2 1-1，故a n =2n -1(n ∈N *)，a n -a n -1=2. 原式=a 2-a 1a 2-a 1+a 3-a 2a 3-a 2+…+a 2 009-a 2 008a 2 009-a 2 008=12[(a 2-a 1)+(a 3-a 2)+…+(a 2 009-a 2 008)] =12(a 2 009-a 1)=12( 4 017-1)． 18．在数列n {a }中，12a 3=，若函数3f (x)x 1=+在点(1,f (1))处切线过点（n 1n a ,a +） (1） 求证：数列n 1{a ,}2-为等比数列；(2）求数列n {a }的通项公式和前n 项和公式n S .【答案】（1）因为2f '(x)3x =，所以切线的斜率为k 3=，切点（1，2）， 切线方程为y 23(x 1)3x y 10-=-⇒--= 又因为过点（n 1n a ,a +），所以n 1n 3a a 10+--=， 即n 1n 3a a 1+=+①所以n 1n 1n n 1n n 1a 3111123a a 3(a )a 122223a 2+++--=-⇒-=-⇒=-， 即数列n 1a 2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为一等比数列，公比1q 3=.(2）由（1）得n 1a 2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为一公比为111211q ,a 32326=-=-=的等比数列，则n 1n 111a ()263--=⋅ ∴n n 111a ()232=⋅+， n n 2n n 1111n 31nS ()23223343-=+++=+⋅…+19．设数列{}n a 满足.,2222*13221N n na a a a n n ∈=+⋅⋅⋅+++-(1）求数列{}n a 的通项公式；(2）设,1,log 1121nn b b c a b n n n n n++==+记,21n n c c c S +⋅⋅⋅++=证明：S n ＜1.【答案】（1）由题意，,222221123221na a a a a n n n n =++⋅⋅⋅+++--- 当 2≥n 时，.21222123221-=+⋅⋅⋅+++--n a a a a n n 两式相减，得.2121221=--=-n n a n n 所以，当2≥n 时，.21n n a =当n ＝1时，211=a 也满足上式，所求通项公式().21*N n a n n ∈=(2）.121log 1log 12121n a b nnn=⎪⎭⎫⎝⎛==()11111+-=+-+=n n n n n n c n⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅⋅⋅++=1114131312121121n n c c c S n n 111+-=n ＜1. 20．已知等差数列{a n }中，公差d >0，其前n 项和为S n ，且满足：a 2a 3＝45，a 1＋a 4＝14. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)通过公式b n ＝S nn ＋c构造一个新的数列{b n }．若{b n }也是等差数列，并求非零常数c ；(3)求f (n )＝b n(n ＋25)·b n ＋1(n ∈N *)的最大值．【答案】(1)∵数列{a n }是等差数列． ∴a 2＋a 3＝a 1＋a 4＝14.又a 2a 3＝45，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝5a 3＝9或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝9a 3＝5．∵公差d >0，∴a 2＝5，a 3＝9.∴d ＝a 3－a 2＝4，a 1＝a 2－d ＝1. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －3.(2)∵S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝n ＋2n (n －1)＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c．∵数列{b n }是等差数列， ∴2b 2＝b 1＋b 3，∴2·6c ＋2＝1c ＋1＋15c ＋3，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．∴b n ＝2n 2－n n －12＝2n .(3)f (n )＝2n (n ＋25)·2(n ＋1)＝nn 2＋26n ＋25＝1n ＋25n＋26≤136．即f (n )的最大值为136． 21．某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%. (1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新．证明：须在第9年初对M 更新．【答案】(1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列， a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×(34)n －6.因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×(34)n －6，n ≥7.(2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ； 当n ≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×[1－(34)n －6]＝780－210×(34)n －6.A n ＝780－210×(34)n －6n因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．又A 8＝780－210×(34)28＝824764>80，A 9＝780－210×(34)39＝767996<80，所以须在第9年初对M 更新． 22．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11=a ，且对任意正整数n ,点()n n S a ,1+在直线022=-+y x 上．(Ⅰ） 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+n n n S 2λλ为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．【答案】（Ⅰ）由题意可得：.0221=-++n n S a ①2≥n 时, .0221=-+-n n S a ② ①─②得()22102211≥=⇒=+-++n a a a a a n n n n n ， 2122,12121=⇒=+=a a a a ∴{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，.211-⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴n n a (Ⅱ）解法一:.2122112111--=--=n n n S 若⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n S 2λ为等差数列， 则3322123,22,2λλλλλλ++++++S S S 成等差数列, 2,82547231492328252349312λλλλλλ+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒+++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+S S S 得.2=λ又2=λ时，22222+=++n n S n n ，显然{}22+n 成等差数列， 故存在实数2=λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n n S 2λλ成等差数列． 解法二: .2122112111--=--=n n n S ().2122221221n n n n n n n n S -++=++-=++∴-λλλλλλ 欲使⎭⎬⎫⎩⎨⎧+⋅+n n n S 2λλ成等差数列,只须02=-λ即2=λ便可．故存在实数2=λ，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧++n n n S 2λλ成等差数列．。