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图形的相似1． 比例线段的有关概念==在比例式::中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a c(a b c d )a d b c a c b db 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b =c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项． 2． 比例性质①基本性质：a b cdad bc =⇔= ②更比性质(交换比例的内项或外项)：()()()()⎧=⎪⎪⎪=⎪=⇒⎨⎪=⎪⎪⎪=⎩交换内项交换外项同时交换内外项同时交换比的前项和后项a bc d d c a cb a d b b dc a b da c②合比性质：±±a b c d a b b c d d =⇒= ③等比性质：……≠……a b c d m n b d n a c m b d n ab===+++⇒++++++=()03． 黄金分割在线段AB 上，点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC ＞BC ），如果ACBCAB AC =，即AC 2=AB ×BC ，那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比．其中AB AC 215-=≈0.618AB ． 4． 平行线分线段成比例定理①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3．则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边． 5． 相似三角形的判定①两角对应相等，两个三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； ③三边对应成比例，两三角形相似． 6． 相似三角形的性质①相似三角形的对应角相等,对应边成比例；②相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比；③相似三角形周长的比等于相似比；面积的比等于相似比的平方． 7． 六种相似基本模型：CABD CABDE E D BACDE ∥BC∠B ∠AED∠B ∠ACDADBCDOBACO DCBAX 型母子型AC ∥BD∠B ∠CAD 是Rt △ABC 斜边上的高8． 射影定理由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________； 由_____________，得______________，即_______________．9． 中位线1) 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段． 三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半． 三角形三条边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心，重心与一边中点的线段的长是对应中线长的31． 2) 梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段．梯形的中位线平行于两底边，并且等于两底边和的一半． 10. 位似①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比． ②位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．AD B C。
第四章成比例线段、平行线段成比例一、单选题1．下列各组线段的长度成比例的是（）A．1cm，2cm，3cm，4cm B．3cm，4cm，5cm，6cmC．5cm，10cm，15cm，20cm D．6cm，4cm，3cm，2cm【答案】D【解析】【分析】根据成比例线段的定义，把线段按照由大到小或由小到大的顺序排列，验证第一项×第四项是否与中间两项乘积相等即可．【详解】A、1×4≠2×3，因此不成比例；B、3×6≠4×5，因此不成比例；C、5×20≠10×15，因此不成比例；D、6×2＝4×3，因此成比例；故选D．【点睛】本题考查成比例线段的定义，属于基础题．2．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，则下列各式不正确的是（）A ．AP ：BP=AB ：AP B ．AP AB =C ．12BP AB =D ．0.618AP AB ≈【答案】C【解析】【分析】直接根据黄金分割的概念排除选项即可．【详解】由题意得：∴ AP ：BP=AB ：AP ，故A 正确；12AP AB =，故B 正确；AP AB =∴32BP AB AP AB =-=，故C 错误；2.236≈，∴0.618AP AB AB =≈，故D 正确． 故选C ．【点睛】本题主要考查黄金分割点，熟记黄金分割点的概念是解题的关键．3．如图，//DE BC，下列各式不正确的是（）A．AD AEAB AC=B．AD AEBD CE=C．AD AEAC AB=D．AD ABAE AC=【答案】C【解析】【分析】根据平行线分线段成比例列出比例式，即可判断．【详解】∵//DE BC,∵AD AEBD CE=，AD AEAB AC=，即AD ABAE AC=，，∵选项A、B、D均正确，故选：C．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解答的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理及其推论，并注意比例中的线段的顺序．4．如图，l1∵l2∵l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F．若23=ABBC，DE＝4.2，则DF的长是（）A．38B．6C．6.3D．10.5【答案】D 【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得出DE ABEF BC=，再把已知条件代入求解即可．【详解】解：∵l1∵l2∵l3，23=ABBC，DE＝4.2，∵DE ABEF BC=，即4.223EF=，解得：EF＝6.3，∵DF＝DE+EF＝10.5．故选：D．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理．熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题关键．5．已知在ABC中，点D为AB上一点，过点D作BC的平行线交AC于点E，过点E作AB的平行线交BC于点F．则下列说法不正确的是（）A．AD AEAB AC=B．DE AEBC AC=C．BF ADBC AB=D．AD BFAB FC=【答案】D【解析】【分析】由平行线分线段成比例定理即可得出结论．【详解】解：∵DE∵BC，EF∵AB，∵AD AE DEAB AC BC==，A、B选项正确；∵四边形BDEF是平行四边形，∵DE=BF，∵AD DE BFAB BC BC==，故C选项正确，D选项错误；故选：D．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理；熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键．6．如果a=2，b=4，c=8，那么（）A．a、b、c的第四比例项是7B．3a、2b和3c的第四比例项为18 C．c是ab的比例中项D．b是ac的比例中项【答案】D【解析】【分析】根据线段成比例进行判断即可．【详解】A选项a、b、c的第四比例项是16，因为28 416 =∵B选项3a、2b和3c的第四比例项为32，因为624 832 =，C选项c不是ab的比例中项，因为2ab c≠，D选项b是ac的比例中项，因为2ac b=故选：D【点睛】本题考查线段成比例的问题．关键是根据线段成比例的性质解答．7．点P是线段AB的黄金分割点，且AP PB>，下列命题：()()()()2221AB AP PB2AP PB AB3BP AP AB4AP:AB PB:AP=⋅=⋅=⋅=，中正确的有（∵A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值51-叫做黄金比．【详解】∵点P是线段AB的黄金分割点，且AP∵PB∵∵根据线段黄金分割的定义得：AP2∵PB•AB∵AP∵AB∵PB∵AP∵∵只有∵∵正确．故选B∵【点睛】本题主要考查了理解黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．本题同时考查了乘积形式和比例形式的转化，难度适中．8．如图，点F是ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线于点E，则下列结论正确的有()∵ED DFEA AB=∵∵DE EFBC FB=∵ ∵BC BFDE BE=∵∵BF BCBE AE=.A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，可得CD∵AB∵AD∵BC∵CD=AB∵AD=BC，然后根据平行线分线段成比例定理，对各个结论进行分析即可求得答案．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，∵CD ∵AB ,AD ∵BC ∵CD =AB ∵AD =BC ∵ ∵ED DF EA AB=，故∵正确； ∵DE EF AD FB =,即DE EF BC FB=，故∵正确； ∵BC BF DE EF =，故∵错误； ∵BF AD BE AE =,即BF BC BE AE=，故∵正确. 故选:C.【点睛】考查平行线分线段成比例, 平行四边形的性质，比较基础，难度不大.9．如图，∵ABC 中，M 是AC 的中点，E 、F 是BC 上的两点，且BE=EF=FC ．则BN:NQ:QM 等于（ ）A ．6:3:2B ．2:1:1C ．5:3:2D ．1:1:1【答案】C【解析】【分析】 连结MF ，如图，先证明MF 为∵CEA 的中位线，则AE=2MF∵AE∵MF ，利用NE∵MF 得到 1BN BE NM EF ==∵12NF BE MF BF ==，即BN=NM∵MF=2NF ，设BN=a∵NE=b ，则NM=a∵MF=2b∵AE=4b ，所以AN=3b ，然后利用AN∵MF 得到 3322NQ AN b QM MF b ===，所以NQ=35a∵QM=25a ，再计算BN∵NQ∵QM 的值． 【详解】连结MF ，如图，∵M 是AC 的中点，EF=FC∵∵MF 为∵CEA 的中位线，∵AE=2MF∵AE∵MF∵∵NE∵MF∵ ∵1BN BE NM EF ==∵12NF BE MF BF ==∵ ∵BN=NM∵MF=2NF∵设BN=a∵NE=b ，则NM=a∵MF=2b∵AE=4b∵∵AN=3b∵∵AN∵MF∵ ∵3322NQ AN b QM MF b ===∵ ∵NQ=35a∵QM=25a∵∵BN∵NQ∵QM=a∵35a∵25a=5∵3∵2∵故选C∵【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理、三角形中位线性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造三角形中位线解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．10．如图，O是平行四边形ABCD的对角线交点，E为AB中点，DE交AC于点F，若平行四边形ABCD 的面积为8，则DOE的面积是()A．2B．32C．1D．94【答案】C【解析】【分析】由平行四边形的面积，找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系，利用面积公式以及线段间的关系求解．分别作∵OED和∵AOD的高，利用平行线的性质，得出高的关系，进而求解．【详解】解：如图，过A、E两点分别作AN∵BD、EM∵BD，垂足分别为M、N，则EM∵AN，∵EM：AN＝BE：AB，∵E为AB中点，∵BE=12 AB，∵EM＝12 AN，∵平行四边形ABCD的面积为8，∵2×12×AN×BD＝8，∵AN×BD＝8∵S∵OED＝12×OD×EM＝12×12BD×12AN＝18AN×BD＝1．故选：C．【点睛】本题考查平行四边形的性质，综合了平行线分线段成比例以及面积公式．已知一个三角形的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法：∵面积比是边长比的平方比；∵分别找到底和高的比．二、填空题11．相距125千米的两地在地图上的距离为25cm，则该地图的比例尺为_____．【答案】1：500000．【解析】【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝图上距离：实际距离”即可求得这幅地图的比例尺．【详解】解：∵125km＝12500000cm，该地图的比例尺＝25：12500000＝1：500000；故答案为：1：500000．【点睛】此题考查了比例线段，用到的知识点是图上距离、实际距离和比例尺的关系，解答时要注意单位的换算． 12．已知，225x y z ==，则322x y z x-+＝_____． 【答案】74【解析】【分析】 设225xyzk ===，得出x ＝2k ，y ＝2k ，z ＝5k ，再代入要求的式子进行计算即可得出答案．【详解】 解：设225xyzk ===，则x ＝2k ，y ＝2k ，z ＝5k ，326457244x y z k k k x k -+-+==； 故答案为：74． 【点睛】此题考查了比例性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．13．若点C 是线段AB 上的一点，且AB=1，，则AC ︰BC=_________．2【解析】【分析】由AB=1，，可得BC 的长，即可求出AC ︰BC 的比值． 【详解】点C 是线段AB 上的一点，且AB=1，∴32BC -= ∴AC ︰2=．2．【点睛】本题主要考查线段成比例，关键是根据题意得到BC 的长，然后进行比值即可．14．如图////AB CD EF ，4=AD ，3BC DF ==，则CE =________.【答案】94【解析】【分析】根据平行线分线段成比例直接列比例式计算即可．【详解】∵////AB CD EF ， ∵CE DF BC AD=， 又4=AD ，3BC DF ==， ∵334CE =， 解得：CE=94， 故答案为：．94【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，解答的关键熟练掌握这个知识点并注意线段的书写顺序．15．如图，AD 是中线，点E 在AC 上，BE 交AD 于点F ．若12AF AD =，则AE AC值是______．【答案】13【解析】【分析】过点D 作BE 的平行线交AC 于点G ，利用平行得到的线段成比例，先通过D 是BC 中点，证明CG=GE ，再通过F 是AD 中点，证明AE=EG ，最后得到AE AC的值．解：过点D 作BE 的平行线交AC 于点G ，∵//DG BE ，∵CD CG CB CE=， ∵AD 是中线，∵D 是BC 中点，∵G 是CE 中点，∵//FE DG ，∵12AF AE AD AG ==，∵E 是AG 中点， ∵31AE AC =． 故答案是：13．【点睛】本题考查线段成比例的性质，解题的关键是构造辅助线，然后利用平行得到的线段成比例去求解． 16．如图：AD 是ABC 的中线，E 是AD 上一点，AE ：1ED =：3，BE 的延长线交AC 于F ，AF ：FC=_______ ．【答案】1:6【解析】作DH∵BF 交AC 于H ，根据三角形中位线定理得到FH=HC ，根据平行线分线段成比例定理得到13AF AE FH ED ==，计算得到答案． 【详解】解：作DH∵BF 交AC 于H ，∵AD 是∵ABC 的中线，∵BD=DC ，∵FH=HC ，∵DH∵BF ， ∵13AF AE FH ED ==， ∵AF ：FC=1：6，故答案为：1：6．【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系，根据中线为切入点作出辅助线是解题的关键．17．如图：//AD BC ，AC ，BD ，EF 相较于点G ，DEG △，AGE ，BFG ，FGC △的面积分别记为a ，b ，c ，d ，若2AE DE =，则24a cb d ----的值为__________．【答案】12【解析】【分析】根据题意∵AGE 和∵DEG 高相等，底是两倍关系所以面积也是两倍关系，即b =2a ，同理d =2c ，将代数式中的b 和d 转换成a 和c 即可解出．【详解】∵AE=2DE ，∵S ∵AGE =2S ∵DEG ，又∵AD∵BC ， ∵1==2BFG DEG FGC AGE S S S S △△△△， ∵b =2a ，d =2c ，()22214224222a c a c a cb d ac a c ------===------． 故答案为12． 【点睛】本题考查相似比的应用，关键在于通过线段比转换成面积比．18．如图，等边∵ABC 的边长为8，AD 是BC 边上的中线，点E 是AC 边上的一点，AE=2，若点M 是线段AD 上的一个动点，则ME+MC 的最小值为____.【答案】【解析】【分析】由等边三角形的性质可知B、C关于AD对称，根据两点之间线段最短可知，连接BE，此时BE就是ME+MC 的最小值.【详解】如下图所示，连接BE，过E作EF∵AD于F，∵∵ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，∵AD∵BC，∵AD是BC的垂直平分线，∵点C关于AD的对应点为点B，∵BE就是EM+CM的最小值.∵等边∵ABC的边长为8，AE=2，∵14 AE= AC∵EF∵AD，AD∵BC，∵EF∵BC，∵14EF AE ==CD AC ∵14FM EM EF EF ====MD BM BD CD 在Rt∵AEF 中，∵EAF=30°，AE=2，∵EF=12AE=1，在Rt∵ABD 中，∵DF=AD -AF=∵14FM =MD∵15FM= 在Rt∵EFM 中，5 又∵14EM =BM∵BE=5EM=55⨯∵EM+CM 的最小值为【点睛】本题考查了最短路径问题，典型的“将军饮马”模型，需要熟记此模型辅助线的做法，找到最短路径后，利用线段比例关系求出BE 是关键.三、解答题19．已知a ：b ：c=3：2：5， 求342a b c a b c-++-的值. 【答案】173【解析】【分析】根据比例式设未知，利用代入法求解.【详解】设a=3k ，则b=2k ，c=5k342a b c a b c -++-=3620625k k k k k k-++-=173 考点：比例的性质20．如图，以长为2的线段AB 为边作正方形ABCD ，取AB 的中点P ，连接PD ，在BA 的延长线上取点F ，使PF ＝PD ，以AF 为边作正方形AMEF ，点M 在AD 上．（1）求AM ，DM 的长；（2）求证：AM 2＝AD·DM ；（3）根据（2）的结论你能找出图中的一个黄金分割点吗？【答案】（11，3（2）证明见解析；（3）图中的点M 为线段AD 的黄金分割点【解析】【分析】（1）由勾股定理求PD ，根据AM =AF =PF -P A =PD -P A ，DM =AD -AM 求解；（2）由（1）计算的数据进行证明；（3）根据（2）的结论得：AM DM AD AM=，根据黄金分割点的概念，则点M 是AD 的黄金分割点． 【详解】解：（1）∵P 为边AB 的中点，∵AP ＝12AB ＝1，∵PD∵PF ＝PD AF ＝PF －AP 1，∵AM ＝AF 1，∵DM ＝AD －AM ＝3（2）证明：∵AM 2＝1)2＝6－AD ·DM ＝2(3＝6－∵AM 2＝AD ·DM ．（3）图中的点M 为线段AD 的黄金分割点．理由如下：∵AM 2=AD •DM ，∵AM DM AD AM ==， ∵点M 是AD 的黄金分割点．【点睛】此题综合考查了正方形的性质、勾股定理和黄金分割的概念．先求得线段AM ，DM 的长，然后求得线段AM 和AD ，DM 和AM 之间的比，根据黄金分割的概念进行判断．21．已知三条线段长分别为1cm cm ，2cm ，请你求出一条线段，使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段．cm cm∵ 【解析】【分析】根据添加的线段长度，进行分情况讨论．【详解】解：设这条线段长xcm ，∵若四条线段的长度大小为：x ，1，2时，21x =2x =；∵若四条线段的长度大小为： 1，x212=⨯，解得：x =∵若四条线段的长度大小为： 1，x ，212=⨯，解得：x =∵若四条线段的长度大小为： 1，2 ，x 时，12x ⨯=x =cm 或cm ． 【点睛】本题考查成比例线段的求法，分类讨论是关键．22．如图，在∵ABC 中，DE∵BC ，分别与AB 、AC 交于点D 、E ，点F 在BC 上，DE 交AF 于点G ，AD=2BD ，AE=5，求：（1）AGAF；（2）AC的长．【答案】（1）23；（2）152【解析】【分析】（1）由于DE∵BC，AD=2BD，23ADAB=根据平行线分线段成比例定理可得23AG ADAF AB==；（2）同（1），易求23AEAC=，而AE=5，从而可求AC．【详解】解：（1）∵DE∵BC∵且AD=2BD∵23 AG AD AF AB==（2）∵DE∵BC∵且AD=2BD∵23 AE AD AC AB==∵AE=5∵AC=15 2【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是找准对应线段．23．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，BA BC =，点D 为BC 边上的中点，连接AD ，过点B 作BE AD ⊥于点E ，延长BE 交AC 于点F ，求AF FC的值．【答案】2【解析】【分析】过点A 作BC 的平行线，过点C 作AB 的平行线相交于点M ，延长BF 交MC 于点G ．先证明GBC DAB △≌△，得到CG BD =，然后根据及平行线分线段成比例定理求解即可．【详解】解：如解图，过点A 作BC 的平行线，过点C 作AB 的平行线相交于点M ，延长BF 交MC 于点G ． ∵90ABC ∠=︒，BA BC =，∵四边形ABCM 为正方形，∵90ABC BCG ∠=∠=︒，∵90ABE GBC ∠+∠=︒，又∵BE AD ⊥，∵90ABE BAD ∠+∠=︒，∵GBC DAB ∠=∠，又∵AB BC =，∵()ASA GBC DAB △≌△，∵CG BD =．又∵//AB MC ， ∵2AF AB AB FC CG BD===．【点睛】本题主要考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线分线段成比例定理，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形，灵活运用平行线分线段成比例定理解答．24．如图，已知AD∵BE∵CF ，它们依次交直线l1，l2于点A 、B 、C 和点D 、E 、F ，23DE EF =，10AC =．（1）求AB 、BC 的长；（2）如果AD=5，CF=10，求BE 的长．【答案】（1）4，6；（2）7【解析】【分析】（1）由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出23AB DE BC EF ==，即可求出AB 的长，得出BC 的长； （2）过点A 作AG∵DF 交BE 于点H ，交CF 于点G ，得出AD=HE=GF=5，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH=2，即可得出结果．【详解】（1）解：∵AD BE CF ∵23AB DE BC EF ==，∵25AB AC = ∵10AC =，∵4AB =∵1046BC =-=（2）解：过点A 作AG DF 交BE 于点H ，交CF 于点G又∵AD BE CF ，5AD =，∵5AD HE GF ===∵CF 10=∵1055CG =-=∵BE CF ∥ ∵25BH AB CG AC == ∵2BH =∵257BE =+=【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例；熟练掌握平行线分线段成比例，通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键．25．如图，在平行四边形ABCD中，点E为边BC上一点，联结AE并延长交DC的延长线于点M，交BD于点G，过点G作GF∵BC交DC于点F∵32 DFFC=∵∵1）若BD=20，求BG的长∵∵2）求CMCD的值∵【答案】(1)8;(2)1 2【解析】【分析】∵1）由GF∵BC，可证DF DGFC BG=，结合32DFFC=，整理可求出BG的值；∵2∵由四边形ABCD是平行四边形，可证AB∵CD∵AB=CD∵从而DM DGAB BG=∵整理可求出32DMAB=∵根据比例的性质可求出的CM CD值.【详解】(1) ∵GF∵BC∵∵DF DG FC BG=∵∵BD=20∵32 DFFC=∵∵8BG=∵(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∵AB∵CD∵AB=CD∵∵DM DG AB BG=∵∵32 DMAB=∵∵32 DMCD=∵∵12 CMCD=.【点睛】本题考查了平行四边形的性质，比例的性质，平行线分线段成比例定理，平行线分线段成比例定理指的是两条直线被一组平行线所截，截得的对应线段的长度成比例.推论：平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.26．如图，在四边形ABCD中，AD∵BC，BA和CD的延长线交于P，AC和BD交于点O，连接PO并延长分别交AD、BC于M、N．求证：AM=DM．【答案】见解析.【解析】【分析】依据AD∵BC，即可得出AMNC=AOCO，再根据AD∵BC，即可得到AOOC=ADBC=PDPC=MDNC，进而得到结论．【详解】证明：∵AD∵BC∵∵AMNC=AOCO∵∵AD∵BC∵∵AOOC=ADBC=PDPC=MDNC∵∵AMNC=MDNC∵∵AM=MD∵【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的运用，平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．27．已知：如图，在∵ABC中，AD是边BC上的中线，点E在线段DC上，EF∵AB交边AC于点F，EG∵AC 交边AB于点G，FE的延长线与AD的延长线交于点H．求证：GF = BH．【答案】见解析【解析】【分析】由于EF ∵AB ，根据平行线分线段成比例，可得到2EF EC EC AB BC DC ==，HE DE DC EC AB BD DC-==，从而推出HF BE AB BC =，再由EG ∵AC 根据平行线分线段成比例，得到BE BG BC AB=，即可推出HF = BG ，最后根据一组对边平行且相等判定四边形BGFH 是平行四边形，得到GF = BH ．【详解】证明：∵ AD 是边BC 上的中线，∵ BD = DC ．∵ HF ∵AB ，∵ 2EF EC EC AB BC DC ==，HE DE DC EC AB BD DC-== ∵ 22EF HE DC EC AB DC+-=， 即HF BE AB BC=， ∵ EG ∵AC ，∵BE BG BC AB =， ∵ HF BG AB AB=， ∵ HF = BG ，又∵ HF ∵BG ，∵ 四边形BGFH 是平行四边形，∵ GF = BH ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例和平行四边形的判定，属于综合题，根据平行线分线段成比例，得出相关线段的比例式是关键.。
4.2平行线分线段成比例◇教学目标◇【知识与技能】理解掌握平行线分线段成比例定理及其推论.【过程与方法】探索并掌握基本事实‘两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例’及其推论.【情感、态度与价值观】进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法.◇教学重难点◇【教学重点】理解掌握平行线分线段成比例定理及其推论.【教学难点】正确理解平行线分线段成比例定理.◇教学过程◇一、情境导入如图,任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2相交的平行线l3,l4,l5,分别度量l3,l4,l5在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,AB∶BC与DE∶EF相等吗?任意平移l5,再度量AB,BC,DE,EF的长度,AB∶BC与DE∶EF相等吗?二、合作探究探究点1平行线分线段成比例定理典例1如图,直线l1∥l2∥l3,若AB=3,BC=4,则DEDF的值是()A.73B.37C.43D.47[解析]因为l1∥l2∥l3,且AB=3,BC=4,所以DEDF =ABAC=ABAB+BC=37.[答案] B如图,F是▱ABCD的边CD上一点,直线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是()A.EDEA =DFABB.DEBC=EFFBC.BCDE =BFBED.BFBE=BCAE[答案] C探究点2平行线分线段成比例定理的推论典例2如图,在△ABC中,点D在边AB上,BD=2AD,DE∥BC交AC于点E,若线段DE=5,则线段BC的长为()A.7.5B.10C.15D.20[解析]∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ADAB =DEBC.∵BD=2AD,∴ADAB=13.∵DE=5,∴5BC=13,∴BC=15.[答案] C在△ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一点,AD=12,在AB上取一点E,使以A,D,E 三点为顶点的三角形与△ABC相似,则AE的长为()A.16B.14C.16或14D.16或9[答案] D三、板书设计平行线分线段成比例1.平行线分线段成比例定理2.平行线分线段成比例的推论◇教学反思◇通过本节课的学习,学生做到了以下几个方面:首先,探索并掌握基本定理“两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例”及其推论;其次,会应用该性质及其推论进行简单的推理计算并且进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法.。
第01讲_比例线段知识图谱比例与比例线段知识精讲一．比例的性质1.比例的基本性质：a cad bc b d =⇔=； 2.反比定理：a c b db d ac =⇔=；3.更比定理：a c a b b d c d =⇔=(或d cb a =)；4.合比定理：a c a b c db d b d ++=⇔=； 5.分比定理：a c a b c db d b d --=⇔=； 6.合分比定理：a c a b c db d a bcd ++=⇔=--； 7.等比定理：(0)a c m a c m ab d n b d n b d n b++⋅⋅⋅+==⋅⋅⋅=++⋅⋅⋅+≠⇔=++⋅⋅⋅+．二．成比例线段1.比例线段：对于四条线段a b c d ，，，，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a cb d=（即::a b c d =），那么这四条线段a b c d ，，，叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的项：在比例式a cb d =（::a bcd =）中，a d ，称为比例外项，b c ，称为比例内项，d 叫做a b c ，，的第四比例项．三条线段a bb c=（2b ac =）中，b 叫做a 和c 的比例中项．3.黄金分割：如图，若线段AB 上一点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即2AC AB BC =⋅）则称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫线段AB 的黄金分割点，其中510.618AC AB AB -=≈，350.382BC AB AB -=≈，AC 与AB 的比叫做黄金比．三点剖析一．考点：比例与成比例线段二．重难点：比例的性质三．易错点：注意等比定理在运用时的时候一定要对分母为0或不为0进行讨论．比例的基本性质例题1、已知23a b=（0ab≠），下列比例式成立的是（）A.32ab= B.32a b= C.23ab= D.32ba=【答案】B【解析】本题考查比例的基本性质，内项积等于外项积。
因此23a b=就可以转变为:3:2a b=。
例题2、如果x︰（x＋y）＝3︰5，那么x︰y＝（）A.85B.38C.23D.32【答案】D【解析】∵x︰（x＋y）＝3︰5，∴5x＝3x＋3y，2x＝3y，∴3:3:22x y==．例题3、设14a c eb d f===，则a c eb d f+-=+-__________．【答案】1 4【解析】由等比例定理易得14a c e ab d f b+-==+-．例题4、已知x y z、、满足235x y z z x==-+，则52x yy z-+的值为多少？【答案】1 3【解析】由235x y z z x==-+，得3y x=，32z x=．所以，55312333x y x xy z x x--==++．随练1、下列各组中得四条线段成比例的是（）A.4cm、2cm、1cm、3cmB.1cm、2cm、3cm、5cmC.3cm、4cm、5cm、6cmD.1cm、2cm、2cm、4cm 【答案】D【解析】A、从小到大排列，由于1×4≠2×3，所以不成比例，不符合题意；B、从小到大排列，由于1×5≠2×3，所以不成比例，不符合题意；C、从小到大排列，由于3×6≠4×5，所以不成比例，不符合题意；D、从小到大排列，由于1×4=2×2，所以成比例，符合题意．随练2、已知513ab=，则a-ba+b的值是（）A.23- B.32- C.94- D.49-【答案】 D【解析】 解：由513a b =，得513a b =，∴58a-b 41313=518a+b 91313b b bb b b --==-+随练3、 已知y z z x x y x y z +++==（0x y z ++≠），求x y zx y z +-++的值． 【答案】 13x y z x y z +-=++【解析】 设y z z x x yk x y z+++===，则y z kx +=，z x ky +=，x y kz +=，所以，()()2x y z k x y z ++=++， ∵0x y z ++≠，∴2k =， ∴2123x y z z z x y z z z +--==+++．成比例线段例题1、 下列四组线段中，是成比例线段的是（ ） A.5cm ，6cm ，7cm ，8cm B.3cm ，6cm ，2cm ，5cm C.2cm ，4cm ，6cm ，8cm D.12cm ，8cm ，15cm ，10cm【答案】 D【解析】 该题考查的是比例线段的定义．对四条线段a ，b ，c ，d 如果a cb d=，则这四条线段成比例．A ：58404267⨯=≠=⨯，不成比例；B ：26121535⨯=≠=⨯，不成比例；C ：28162446⨯=≠=⨯，不成比例；D ：1210120815⨯==⨯，成比例； 故本题选D ．例题2、 在相同时刻，物高与影长成正比．如果高为1.5米的标杆影长为2.5米，那么影长为30米的旗杆的高为（ ） A.20米 B.18米 C.16米 D.15米 【答案】 B【解析】 标杆的高标杆影长=旗杆的高旗杆的影长，即1.5=2.530旗杆高， ∴旗杆的高=1.5302.5⨯=18米．例题3、 已知线段a=4，c=9，那么a 和c 的比例中项b= ． 【答案】 6【解析】 ∵b 是a 、c 的比例中项， ∵b 2=ac ， 即b 2=36，∵b=6（负数舍去）， 故答案是6． 例题4、 美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感．已知某女士身高160cm ，下半身长与身高的比值是0.60，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为__________． 【答案】 8cm【解析】 根据已知条件得下半身长是1600.696cm ⨯=，设需要穿的高跟鞋是ycm ，则根据黄金分割的定义得：960.618160yy +=+，解得：8y cm ≈．随练1、 把长为8cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长为_______cm 【答案】 ()451-【解析】 该题考查的是一元二次方程问题．把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC BC >），且使AC 是AB 和BC 的比例中项（即::AB AC AC BC =），叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，设AC x =，则8BC x =-，则88xx x=-，解得()451x =-（舍去小于0的根），故答案为()451-．平行线分线段成比例定理知识精讲一．平行线分线段成比例定理1.定理：三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例．2.推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例．3.推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边．二．梯型如图，////AB CD EF ，则有AC BD CE DF AC BD CE DFCE DF AC BD AE BF AE BF====，，，．三．“8”字型如图，////AB CD EF ，则有AD BC DF CE AD BC DF CEDF CE AD BC AF BE AF BE====，，，．三点剖析一．考点：平行线分线段成比例二．重难点：1.平行线分线段成比例线段的对应关系；2.需要构造平行线来证明的问题．3.看似两组不相干线段的比例问题找到中间量，通过中间量进一步证明．三．易错点：1.成比例线段之间对应关系；2.在利用平行线分线段成比例的时候中间水平线段的比例不一定与两侧线段成比例．梯型例题1、如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若ABBC=12，则DEEF=（）A.13B.12C.23D.1【答案】B【解析】∵a∥b∥c，∴DEEF=ABBC=12．例题2、如图，已知在△ABC中，DE∥AC，DF∥AB，那么下面各等式中，错误的有（）A.::BD DC BE EA= B.::BD BC AF AC=C.::BE EA AF FC= D.::DF BA DE CA=【答案】D【解析】∵DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF为平行四边形，∴::BD DC BE EA=，::BD BC AF AC=，::BE EA AF FC=，D选项中::DF BA CD DE=．例题3、如图，在∵ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∵BC，EF∵AB．若AB=8，BD=3，BF=4，则FC的长为．【答案】．【解析】∵DE∵BC，EF∵AB，∵==，∵AB=8，BD=3，BF=4，∵=，解得：FC=．例题4、如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，若AC＝4，CE＝6，BD＝3，则BF＝（）A.7B.7.5C.8D.8.5【答案】B【解析】暂无解析例题5、如图，ABC∆中，AB AC=，D为BC中点，在BA的延长线上取一点E，使得ED EC=，ED与AC交于点F ，则AFCF的值为多少？【答案】1 3【解析】解：过点D作DG∥AC，交EB于点G，连接AD，如图所示：D为BC中点，DG∥AC，G∴为AB的中点，EAC DGE∠=∠，DG∴是ABC∆的中位线，2AC DG∴=，AB AC=，ED EC=，B ACB∴∠=∠，EDC ECD∠=∠，EDC B DEG∠=∠+∠，ECD ACB ACE∠=∠+∠，ACE DEG∴∠=∠，在ACE∆和GED∆中，EAC DGEACE DEG EC ED∠=∠⎧⎪∠=∠⎨=⎪⎩，()ACE GED AAS∴∆≅∆，AE DG∴=，AB AC =，D 为BC 中点， AD BC ∴⊥，90ADB ∴∠=︒，12DG AB AG BG ∴===，AE AG ∴=，//DG AC ，::1:2AF DG AE GE ∴==，即2DG AF =，4AC AF ∴=，13AF CF ∴=．随练1、 如图，四条平行直线1234l l l l ，，，被直线56l l ，所截，123AB BC CD =::::，若3FG =，则线段EF 和线段GH 的长度之和是（ ）A.5B.6C.7D.8【答案】 B【解析】 解：123////l l l ， EF AB FG BC ∴=，即132EF =，解得，32EF =，234////l l l ， FG BC GH CD ∴=，即323GH =，解得92GH =，则线段EF 和线段GH 的长度之和39622=+=．随练2、 如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若1AD =，3BC =，则AOCO的值为（ ）A.12B.13C.14D.19【答案】 B【解析】 该题考查平行线分线段成比例定理． ∵AD ∥BC ， ∴13AO AD CO BC ==， 所以答案为B随练3、 如图，////AB EF CD ，BC 、AD 相交于点O ，F 是AD 的中点，则下列结论中错误的是（ ）AOBCDA.AO BOAD BC =B.OB OACE DF=C.EF OECD BE=D.2BE OEAD OF=【答案】 C【解析】 解：A ．由//AB CD 得AO BOAD BC=，所以A 选项的结论正确； B ．由//AB EF 得OA OB OF OE =，即OB OE OA OF =，由//EF CD 得OE OF EC FD =，即OE ECOF FD=， 则OB EC OA FD =，即OB OA CE DF=，所以B 选项的结论正确； C ．由//EF CD 得EF OECD OC =，所以C 选项的结论错误； D ．由//EF CD 得OE OF EC FD =，即OE EC OF FD =，而F 是AD 的中点，所以22OE CE OF DF =，即2OE BEOF AD=，所以D 选项的结论正确随练4、 如图7，直线a ∥b ∥c ，点B 是线段AC 的中点，若DE ＝2，则EF ＝________．【答案】 2【解析】 暂无解析 随练5、 如图，点1A ，2A ，3A ，…，点1B ，2B ，3B ，…，分别在射线OM ，ON 上．11OA =，121112A A A B OA ==，2313A A OA =，3414A A OA =，…．11A B ∥22A B ∥33A B ∥44A B …．则22A B =________，n n A B =___________（n 为正整数）【答案】 6；()1n n +【解析】 该题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，找规律． ∵11OA = ∴12212A A =⨯=图723342113134131n n n n A A A A A A n A A n---=⨯==⨯==-=∵11A B ∥22A B ∥33A B ∥44A B ∴111222OA A B OA A B = ∴2212112A B ⨯=+ ∴2262(21)A B ==⨯+ 3344123(31)204(41)A B A B ==⨯+==⨯+∴()1n n A B n n =+“8”字型例题1、 如图，直线l 1∥l 2∥l 3，另两条直线与l 1、l 2、l 3分别交于点A 及点D ，点E 及点B ，点F 及点C ，且AB ＝3，DE ＝4，FE ＝2，那么下列等式正确的是（ ）A.BC ︰DE ＝1︰2B.BE ︰DE ＝2︰3C.BC·DE ＝8D.BC·DE ＝6 【答案】 D【解析】 根据题意可得：BC·DE ＝AB·EF ＝6． 例题2、 如图，AD ∥EG ∥BC ，EG 分别交AB 、DB 、AC 于点E 、F 、G ，已知6AD =，10BC =，3AE =，5AB =，求EG 、FG 的长．【答案】 6EG =，185FG =． 【解析】 ∵△ABC 中，EG ∥BC ， ∴EG AE BC AB=， ∵10BC =，3AE =，5AB =， ∴3105EG =， ∴6EG =，∵△BAD 中，EF ∥AD ， ∴EF BE AD AB=，∵6AD =，3AE =，5AB =， ∴5365EF -=， ∴125EF =．∴185FG EG EF =-=．例题3、 如图，//AC BD ，AD 与BC 交于点E ，过点E 作//EF BD ，交线段AB 于点F ，则下列各式错误的是（ ）A.AF AEBF DE =B.BF BEAF CE=C.1AE BEAD BC+= D.AF CEBF DE=【答案】 D【解析】 解：//AC BD ，//EF BD ，//EF AC ∴， AF AE BF ED ∴=，BF BEAF EC =，故A 、B 正确． AE AF AD AB =，BE BFBC AB=， 1AE BE AF BF AF BF AB AD BC AB AB AB AB +∴+=+===，故C 正确． =AF CEBF EB，而DE EB ≠，故D 错误． 例题4、 已知，在ABC △中，AB AC >，AD AE =，DE 与BC 的延长线交于点M ．求证：::CE BM CM BD =．【答案】 见解析【解析】 该题考查的是平行线分线段成比例定理．过点C 作CF ∥BA ，交DM 于点F ， ∴::BM CM BD CF =， ∵CF ∥BA ，∴::AD CF AE CE =． 又∵AD AE =，∴CF CE =． ∴::BM CM BD CE =．例题5、 如图1，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AE ⊥BC 于点E ，连结OE ． （1）若OE =2，OB =4，求AE 的长；（2）如图2，若∠ABC =45°，∠AEB 的角平分线EF 交BD 于点F ，求证：BF =2OE ；（3）如图3，若∠ABC =45°，AE 与BD 交于点H ，连接CH 并延长交AB 于点G ，连EG ，直接写出的BCEDMA值．【答案】 （1）855． （2）答案见解析 （3）2【解析】 （1）如图1中，∵四边形ABCD 是菱形，∴OA =OC ，OB =OD ，BD ⊥AC ，∵AE ⊥BC ，∴∠AEC =90°，∴AC =2OE =4，OA =OC =2，BC =22224225OB OC +=+=，∵12×BD ×AC =BC ×AE ， ∴12×8×4=25×AE ， ∴AE =855． （2）如图2中，连接AF ．∵四边形ABCD 是菱形，∴BF 平分∠ABC ，∵∠ABC =45°∴∠ABF =22.5°，∵EF 平分∠AEB ，∴AF 平分∠BAE ，∴∠BAF =22.5°，∴∠FBA =∠F AB ，∴BF =AF ，∠AFO =∠FBA +∠F AB =45°，∴△AOF 是等腰直角三角形，∴AF =2OA ，∵OA =OE ，∴BF =2OE ．（3）结论：2BH EG=． 理由：如图3中，∵BO ⊥AC ，AE ⊥BC ，∴CG ⊥AB ，∵∠ABC =45°，∴∠CBG =∠BCG =45°，∴BG =CG ，∵∠HBG +∠BHG =90°，∠ACG +∠CHO =90°，∵∠BHG =∠CHO ，∴∠HBG =∠ACG ，在△BHG 和△CAG 中，BGH CGA HBG ACG BG CG ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BHG ≌△CAG ，∴BH =AC ，∵12×AB ×CG =12×BC ×AE ，AB =CB ，∴AE =CG ，∵BE =AE ，BG =CG ，∴BG =BE ， ∴BG BE BA BC =， ∴EG ∥AC ， ∴22EG BG BG AC BA BC ===， ∴2BH AC EG EG==．随练1、 如图，△ABC 中，AB AC =，AD 交BC 边于点M ，12BD AC =，120BAC ABD ∠=∠=︒，请问（1）:BM MC 的值；（2）作ABC ∆的中线CF 交AM 与G ，则:CG GF 的值是多少？【答案】13；6． 【解析】 （1）过A 作AE BC ⊥于E ．AB AC =，120BAC ∠=︒，BE CE ∴=，30C ABE ∠=∠=︒．设BD k =，则2AB AC k ==．在BDM ∆中，90DBM ABD ABM ∠=∠-∠=︒，在ABE ∆中，90AEB ∠=︒，30ABE ∠=︒，2AB k =，AE k ∴=，在AME ∆与DMB ∆中，AME DMB AEM DBM AE DB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()AME DMB AAS ∆≅∆，EM BM ∴=，2CE BE BM EM BM ==+=，3MC EM CE BM ∴=+=，1:33BM MC BM BM ∴:==． （2）如图，作ABC ∆的中线CF 交AM 于G ，交AE 于H ，连接FM ．EM BM =，AF FB =，////FM AE BD ∴，2CH CE HF EM ∴==，23HE CE FM CM ==， 2CH HF ∴=，2213323k HE FM k ==⨯=， 233k AH AE HE k k ∴=-=-=，43HG AH GF FM ==， 令4HG t =，则3GF t =，7HF t =，14CH t =，18CG CH HG t ∴=+=，:18:36CG GF t t ∴==．拓展1、 已知线段a 、b 、c ，其中c 是a b 、的比例中项，若9cm a =，4cm b =，则线段c 长（ ）A.18cmB.5cmC.6cmD.6cm ±【答案】 C【解析】 暂无解析2、 若20a b=，10b c =，则a b b c ++的值为（ ） A.1121 B.2111 C.11021 D.21011【答案】 D【解析】 由题设得，12012101111110a ab bc b c b +++===+++． 3、 在比例尺为1：40000的地图上，某条道路的长为7cm ，则该道路的实际长度是 km ．【答案】 2.8【解析】 设这条道路的实际长度为x ，则：1740000x=， 解得x=280000cm=2.8km ．∴这条道路的实际长度为2.8km ．故答案为：2.84、 如图，在△ABC 中，点D ，E ，F 分别在边AB ，AC ，BC 上，且DE ∥BC ，EF ∥AB ．若2AD BD =，则CF BF的值为___________【答案】12【解析】 ∵DE ∥BC ，EF ∥AB ，2AD BD =，∴2AD AE BD EC ==，2AE BF EC CF==， ∴12CF BF = 5、 如图，已知////AD BE CF ，它们依次交直线1l ，2l 于点A 、B 、C 和D 、E 、F ，25DE EF =，14AC =． （1）求AB 、BC 的长；（2）如果7AD =，14CF =，求BE 的长．【答案】 （1）4AB =，10BC =；（2）9BE =．【解析】 解：（1）////AD BE CF ， 25AB DE BC EF ∴==，27AB AC ∴=，57BC AC =，则247AB AC ==，5107BC AC ==． （2）过A 作//AH DF ，交BE 于G ，交CF 于H ．则有AD GE HF ==，25AB AG DE BC GH EF ===，7CH CF FH =-=， 25AB BC =，27AB BG AC CH ∴==，则有227BG CH ==，279BE BG GE =+=+=．6、 如图，在ABC ∆中，D 为BC 边上的中点，AE 平分BAC ∠交BC 于E ，//DF AE 交AC 于F ，2AC =，1AB =，求CF 的长．【答案】32【解析】 解：延长DF 交BA 延长线于点G ，延长FD 到H 使得HD FD =，连接BH ．AE 平分BAC ∠，//DG AE ，BAE EAC DFC AFG DGA ∴∠=∠=∠=∠=∠，FA GA ∴=，又DH DF =，CD DB =，易得CFD BHD ∆≅∆，CF BH ∴=，CFD BHD AGF ∠=∠=∠，则BH BG CF ==，设AF x =，则1BG x =+，21CF AC AF x BH BG x =-=-===+，解得，12x =，322CF x =-=．7、 如图，平行四边形ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ︰FC 等于（ ）A.1︰1B.1︰2C.1︰3D.2︰3【答案】 B【解析】 暂无解析 8、 在ABCD □中，E 在DC 上，若:1:2DE EC =，则:BF BE =_________．【答案】 3：5【解析】 该题考察相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质。
