北师大版九年级数学上册教案《成比例线段》

北师大版九年级上册1成比例线段第四章：成比例线段教学设计一、教学背景针对应用题，学生往往会找到一些比例关系，但是对于成比例线段的理解较为模糊，因此需要对成比例线段进行系统的教学。

本节课作为第四章，是对正式学习成比例线段的教学内容，有利于为进一步学习成比例图和相似三角形打下坚实基础。

二、教学目标1.掌握成比例线段的基础概念。

2.理解成比例线段的性质及应用。

3.能够解决简单的成比例线段应用题。

三、教学重点1.成比例线段的定义和性质。

2.应用成比例线段解决实际问题。

四、教学难点1.运用已知比例关系判断成比例线段。

2.解决实际问题中不确定比例关系的选取。

五、教学方法1.归纳法、演绎法相结合。

2.经验法。

3.体验法。

4.问题解决法。

5.课堂讨论法。

1. 导入1.通过赛车主题视频引入，游览一下汽车比例，引出比例的概念。

2.利用“男女身高比例，找寻其他生活中的比例关系”的问题引导学生思考比例关系的应用。

2. 新课讲解1.定义和性质：–成比例线段的定义：同一直线上的任意两个线段长度之比相等，则这两个线段互为成比例线段。

–成比例线段的性质：若两组成比例线段分别有两个相等的线段，则这两组成比例线段相等。

2.运用成比例线段解决实际问题：–通过案例让学生感受成比例线段在实际生活中的应用。

3. 练习1.针对成比例线段的比例关系，让学生练习选出正确的比例关系。

2.列举一些典型的应用题，带领学生掌握成比例线段的解决方法。

4. 总结与归纳总结成比例线段的概念和性质，以及应用成比例线段解决实际问题的方法。

5. 课后拓展1.钻研成比例线段的不同应用场景。

2.搜集实际问题，练习运用成比例线段。

视频、多媒体课件、平面文件。

八、教学评价1.每节课后留作业并进行答疑。

2.随堂测试，检查学生的掌握情况。

九、教学参考1.《北师大版九年级数学上册》。

2.《试论成比例线段及其在初中数学教学中的应用》。

数学北师大版九年级上册《4.1 成比例线段》教案第四章图形的相似4.1 成比例线段第1课时一、教学目标1．结合现实情境感受学习线段的比的必要性，借助几何直观了解线段的比和成比例线段．2．掌握比例的性质．3．掌通过现实情境，进一步发展从数学的角度发现问题、提出问题、解决问题的能力，培养数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系．二、教学重点及难点重点：比例的基本性质．难点：比例的基本性质的运用．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板．四、相关资源《生活中的相似》图片.五、教学过程【情境引入】在实际生活中，我们经常会看到许多形状相同的图片，这些形状相同的图片之间有什么关系呢？带着这个问题让我们开始今天的学习吧！师生活动：教师展示图片并出示问题，学生思考、讨论．设计意图：通过生活中的图片引入本课，激发学生学习本节课的兴趣．【探究新知】想一想你能在下面这些图形中找出形状相同的图形吗？这些形状相同的图形有什么不同？用什么刻画、描述形状相同图形的不同点呢？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师分析、引导学生回答．答：第一个图形和最后一个图形形状相同，第三个图形和第六个图形形状相同，第四个图形和第五个图形形状相同；这些形状相同的图形的大小不同．对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段长度的比来描述它们的大小关系．设计意图：让学生亲自观察、分析、探究，培养学生的观察能力，分析和解决问题的能力．形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小的图形可以看成是由较大的图形“缩小”得到的．在这个过程中，两个图形上的相应线段也被“放大”或“缩小”．如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶ CD=m∶ n，或写成．其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．如果把表示成比值k，那么，或AB=k·CD．两条线段的比实际上就是两个数的比．思考如图，五边形ABCDE与五边形A'B'C'D'E'形状相同，AB=5 cm，A'B'=3 cm，线段AB与线段A'B'的比是多少？师生活动：教师出示问题，学生思考，教师找学生代表回答．解：AB∶A'B'=5∶3，就是线段AB与线段A'B'的比，这个比值刻画了这两个五边形的大小关系．设计意图：通过本题让学生及时巩固所学概念．做一做如图，设小方格的边长为1，四边形ABCD与四边形EFGH 的顶点都在格点上，那么AB，AD，EF，EH的长度分别是多少？分别计算，，，的值，你发现了什么？师生活动：教师出示问题，学生思考、计算，教师找学生代表回答．解：AB=8，AD=，EF=4，EH=；，，，，发现：，．在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．如上题中，AB，EF，AD，EH是成比例线段，AB，AD，EF，EH也是成比例线段．设计意图：通过“做一做”让学生发现规律，从而引出成比例线段的概念．议一议如果a，b，c，d四个数成比例，即，那么ad=bc吗？反过来，如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么a，b，c，d四个数成比例吗？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师分析、引导．解：如果，那么ad=bc；如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么a，b，c，d四个数成比例，即．理由：因为，所以b，d均不为0．两边同时乘以bd，得ad=bc．或设，则a=bk，c=dk．因此，ad=(bk)d=b(dk)=bc．因为ad=bc，且a，b，c，d都不等于0，两边同除以bd，得，即a，b，c，d四个数成比例．注意：a，b，c，d四个数成比例，它们是有顺序的，它们对应的关系只能是或a∶b=c∶d．设计意图：通过“议一议”引出比例线段的基本性质．【典例精析】例如图，一块矩形绸布的长AB=a m，宽AD=1 m，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即，那么a的值应当是多少？师生活动：教师出示例题，学生尝试完成，教师给出规范的解题过程．解：根据题意可知，AB=a m，AE=a m，AD=1 m．由，得，即．∶a2=3．开平方，得(舍去)．设计意图：让学生进一步加深对比例的基本性质的理解，培养学生分析问题、解决问题的意识和能力．【课堂练习】1．下列各组的四条线段中，成比例的线段是（）．A．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm B．1 cm，2 cm，4 cm，8 cm C．cm，cm，cm，1 cm D．2 cm，3 cm，4 cm，5 cm2．下列四组线段中，能成比例的是（）．A．3，6，7，9 B．3，6，9，18 C．2，5，6，8 D．1，2，3，43．若a=0.2 m，b=4 cm，则线段a∶b=________．4．a，b，c，d是成比例线段，其中a=3 cm，b=2 cm，c=6 cm，求线段d的长．5．如图，在∶ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，AB=12 cm，AE=6 cm，EC=5 cm，且，求AD的长．师生活动：教师找几名学生板演，讲解出现的问题．参考答案1．B．2．B．3．5∶1．4．解：∶a，b，c，d是成比例线段，∶，即．∶d=4 cm．5．cm．设计意图：让学生巩固所学知识．六、课堂小结1．两条线段的比如果选用同一个长度单位量得两条线段AB，CD的长度分别是m，n，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB∶CD=m∶n，或写成．其中，线段AB，CD分别叫做这个线段比的前项和后项．2．成比例线段在四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．注意：a，b，c，d成比例时，它们是有顺序的，它们对应的关系只能是或a∶b=c∶d．3．比例的基本性质如果，那么ad=bc；如果ad=bc（a，b，c，d都不等于0），那么．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：帮助学生养成系统整理知识的学习习惯，加深认识，深化提高，形成学生自己的知识体系．七、板书设计4.1 成比例线段（1）1．两条线段的比2．成比例线段3．比例的基本性质。

《成比例线段》◆学情分析学生的知识技能基础：这节课是“成比例线段”的第二课时，学生已经通过第一节课的学习，观察了大量的图片，列举了许多现实生活中的情境，认识了线段的比的知识，知道了选用同一单位长度量线段的长度，从而求出两条线段的比。

也学会了运用比例线段的基本性质解决实际问题，并通过图片创设的问题情境，重现了现实生活中的比例模型，初步掌握了解决有关比的问题的方法。

在这个基础上，进一步来学习成比例线段的有关性质，学生不会感到陌生，反而容易接受本节课的继续学习。

学生活动经验基础：上一节课，学生已经收集了一些相似图形的图片，如大小不同的两张中国地图、国旗，同底相片等。

已经感受了数学知识源于生活，用于生活。

各小组展示并讨论过线段比的事例，具有了一定的合作交流的基础和能力。

◆教学目标【知识与能力目标】了解线比例线段的基本性质；理解并掌握比例的基本性质及其简单应用；发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力。

【过程与方法目标】经历运用线段的比解决问题的过程，在观察、计算、讨论、想象等活动中获取知识。

【情感态度价值观目标】通过本节课的教学，培养学生的数学应用意识，体会数学与现实生活的密切联系。

【教学重点】理解线段比的概念及其求解。

【教学难点】求线段的比，注意线段长度单位要统一。

课件。

一、情境导入1、看一看，想一想。

这棵大树有多高？小敏思考后,她只用一根卷尺, 测出了大树影子BC,自己的身高A1 B1及影子B1 C1三个数据,然后通过计算,立刻得出了树高AB.你能行吗?这里需要什么知识？【设计意图】：通过实际生活中的例子，让学生在上新课之前就对新的知识产生了浓厚的兴趣。

这样更利于新课的进行。

2、想一想，算一算：这幅图片中的实际自然景观有多大?（已知中国自然景观卫星影像图1：18 700 000）◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程为解决这些问题,需要……系统地学习相似图形的一些相关知识。

为此,我们先来学习线段的比。

4．1 成比例线段第1课时 线段的比和比例的基本性质1．了解线段的比和比例线段的概念．2．掌握比例的基本性质，会求两条线段的比，并应用线段的比解决实际问题．(重点)阅读教材P76～79，完成下列内容：(一)知识探究1．线段的比：如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比(ratio)就是它们________的比，即AB ∶CD ＝m ∶n ，或写成AB CD ＝m n.其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的________和________．如果把m n 表示成比值k ，那么AB CD＝k 或AB ＝k ·CD.两条线段的比实际上就是两个数的比．2．四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即________，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称________．3．比例的基本性质如果a b ＝c d，那么ad ＝________. 如果ad ＝bc(a ，b ，c ，d 都不等于0)，那么a b＝________. (二)自学反馈1．下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段是( )A ．1，2，3，4B ．1，2，2，4C ．3，5，9，13D ．1，2，2，32．把mn ＝pq 写成比例式，错误的是( )A.m p ＝q nB.p m ＝n qC.q m ＝n pD.m n ＝p q活动1 小组讨论例 如图，一块矩形绸布的长AB ＝a m ，宽AD ＝1 m ，按照图中所示的方式将它裁成相同的三面矩形彩旗，且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同，即AE AD ＝AD AB，那么a 的值应当是多少？解：根据题意可知，AB ＝a m ，AE ＝13a m ，AD ＝1 m. 由AE AD ＝AD AB，得 13a 1＝1a， 即13a 2＝1. ∴a 2＝3.开平方，得a ＝3(a ＝－3舍去)．本例提供了应用比例基本性质的一个具体情境，应注意阅读和理解题意，然后由比例式得到等积式，再通过计算求得结果．易错提示：开平方后求得的结果，需要检验是否符合题意．活动2 跟踪训练1．等边三角形的一边与这边上的高的比是( )A.3∶2B.3∶1C ．2∶ 3D ．1∶ 32．若四条线段a 、b 、c 、d 成比例，且a ＝3，b ＝4，c ＝6，则d ＝( )A ．2B ．4C ．4.5D ．83．在比例尺为1∶900 000的安徽黄山交通图中，黄山风景区与市政府所在地之间的距离是4 cm ，这两地的实际距离是( )A ．2 250厘米B ．3.6千米C ．2.25千米D ．36千米4．A 、B 两地之间的高速公路为120 km ，在A 、B 间有C 、D 两个收费站，已知AD ∶DB ＝11∶1，AC ∶CD ＝2∶9，则C 、D 间的距离是________km.5．如图，已知AD DB ＝AE EC，AD ＝6.4 cm ，DB ＝4.8 cm ，EC ＝4.2 cm ，求AC 的长． 活动3 课堂小结1．线段的比的概念、表示方法；前项、后项及比值k.2．两条线段的比是有序的；与采用的单位无关，但要选用同一长度单位．3．两条线段的比在实际生活中的应用．【预习导学】(一)知识探究1．长度 前项 后项 2.a b ＝c d 比例线段 3.bc c d(二)自学反馈1．B 2.D【合作探究】活动2 跟踪训练1．C 2.D 3.D 4.905．∵AD DB ＝AE EC ，∴6.44.8＝AE 4.2.解得AE ＝5.6.∴AC ＝AE ＋EC ＝5.6＋4.2＝9.8(cm)．第2课时 等比性质1．理解并掌握等比性质．(重点)2．运用等比性质解决有关问题．(难点)阅读教材P79～80，自学“例2”，完成下列内容：(一)知识探究等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n＝________. 注意在运用等比性质时，前提条件是：分母b ＋d ＋…＋n ≠0.(二)自学反馈如果a b ＝c d ＝52(b ＋d ≠0)，那么a ＋c b ＋d＝________.活动1 小组讨论例 在△ABC 与△DEF 中，若AB DE ＝BC EF ＝CA FD ＝34，且△ABC 的周长为18 cm ，求△DEF 的周长． 解：∵AB DE ＝BC EF ＝CA FD ＝34， ∴AB ＋BC ＋CA DE ＋EF ＋FD ＝AB DE ＝34. ∴4(AB ＋BC ＋CA)＝3(DE ＋EF ＋FD)，即DE ＋EF ＋FD ＝43(AB ＋BC ＋CA)． 又∵△ABC 的周长为18 cm ，即AB ＋BC ＋CA ＝18 cm ，∴DE ＋EF ＋FD ＝43(AB ＋BC ＋CA)＝43×18＝24(cm)， 即△DEF 的周长为24 cm.在应用等比性质时，要抓住题目已知条件：三角形ABC 的周长，即三边之和为18 cm.活动2 跟踪训练1．已知a b ＝c d ＝e f＝4，且a ＋c ＋e ＝8，则b ＋d ＋f 等于( ) A ．4 B ．8C ．32D ．22．若a ＋b c ＝b ＋c a ＝c ＋a b＝k ，且a ＋b ＋c ≠0，则k 的值为( ) A ．2 B ．－1C ．2或－1D ．不存在3．已知a b ＝c d ＝e f ＝23，则a ＋e b ＋f＝________. 4．如果a b ＝c d ＝e f＝k(b ＋d ＋f ≠0)，且a ＋c ＋e ＝3(b ＋d ＋f)，那么k ＝________.5．已知a b ＝c d ＝e f ＝23，b ＋2d －3f ≠0，求a ＋2c －3e b ＋2d －3f的值． 活动3 课堂小结等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…n ≠0)，那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b.【预习导学】(一)知识探究 a b(二)自学反馈52【合作探究】活动2 跟踪训练1．D 2.A 3.234.3 5．∵a b ＝c d ＝e f ＝23，b ＋2d －3f ≠0，∴a b ＝2c 2d ＝－3e －3f ＝23.∵b ＋2d －3f ≠0，∴a ＋2c －3e b ＋2d －3f ＝23.。

第四章图形的相似4.1成比例线段4.1.1线段的比和比例的基本性质教学目标【知识与技能】1.通过简单实例了解两条线段的比的概念.2.了解比例的基本性质及应用.【过程与方法】经历探索成比例线段的过程，并利用其解决一些简单的问题.【情感态度】通过现实情境，培养应用意识，了解数学、自然、社会的密切联系.【教学重点】成比例线段的基本性质.【教学难点】成比例线段的基本性质.教学过程一、情境导入，初步认识请写出线段AB和CD的比，并讨论线段的比有哪些地方是需要特别留意的？【教学说明】让学生初步了解线段的比就是线段长度的比.让学生在两个实例中理解线段的比要注意以下几点：1.线段的比是正数；2.单位要统一；3.线段的比与线段的长度无关；二、思考探究，获取新知1.由下面的格点图可知，AB A B =_______，BC B C =_______，这样AB A B 与BC B C之间有关系_______.【归纳结论】对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如a b =d c（或a ∶b ＝c ∶d ），那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.此时也称这四条线段成比例.【教学说明】从具体的事例中感受线段的成比例.2.如果四条线段a 、b 、c 、d 成比例，即a cb d .那么ad ＝bc 吗？如果ad ＝bc ，那么a 、b 、c 、d 成比例吗？【归纳结论】如果a cb d，那么ad=bc.如果ad=bc （a 、b 、c 、d 都不等于0），那么 a c b d .【教学说明】培养学生的自学能力及归纳能力.三、运用新知，深化理解1.一条线段的长度是另一条线段的3倍，则这两条线段的比为3∶1.2.已知3x=4y ，则x y = 43.3.已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？（1）a=16cmb=8cm c=5cm d=10cm;（2）a=8cmb=5cm c=6cm d=10cm.分析：（1）a b =2，d c =2，则a b =d c，所以a 、b 、d 、c 成比例.（2）由已知得ab ≠cd ，ac ≠bd ，ad ≠bc ，所以a 、b 、c 、d 四条线段不成比例.4.在比例尺为1∶200的地图上，测得A ，B 两地间的图上距离为4.5cm ，求A ，B 两地间的实际距离.分析：利用比例尺的定义即“ 图上距离比例尺实际距离”列出等量关系式.解：设A 、B 两地间的实际距离为xcm ，则4.51200 x .解得x=900.∴设A 、B 两地间的实际距离为900cm.5.已知a 、b 、c 、d 是成比例线段，且a=3cm ，b=2cm ，c=6cm ，求线段d 的长.分析：由a 、b 、c 、d 是成比例线段得 a c b d，代入计算求出线段d 的长.解：∵a 、b 、c 、d 是成比例线段，∴ a c b d ，即362 d.解得d=4cm.6.已知三条线段的长分别为2、4、8，请你再添上一条线段，使它们成比例，求出所有符合条件的线段长.分析：解：设添加的线段长为x ，当x ≤2时，x ∶2=4∶8，x=1;当2≤x ≤4时，2∶x=4∶8，x=4;当4≤x ≤8时，2∶4=x ∶8，x=4;当x ≥8时，2∶4=8∶x ，x=16.综上，符合条件的线段长可为：1，4，16.【教学说明】本题运用了分类讨论思想求解，解题的关键是找出各种可能的情况.先设要添加的线段长为x ，然后使这四个数各自成比例，再算出x 的值.四、师生互动，课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.通过这节课的学习，你还存在哪些疑惑？【教学说明】让学生相互交流后，单独回答、提问.课后作业1.布置作业:教材“习题4.1”中第1题.2.完成练习册中相应练习.教学反思本节的重点是线段的比和比例线段的概念以及比例的性质.虽然小学时已经接触过比例性质的一些知识，但内容比较简单，而本节涉及到的比例基本性质变式较多，容易混淆.所以应多加训练.。

相似图形与成比例线段【学习目标】1、从生活中形状相同的图形的实例中认识图形的相似,理解相似图形概念。

2、了解成比例线段的概念，会确定线段的比。

【学习重点】相似图形的概念与成比例线段的概念。

【学习难点】成比例线段概念。

【学习过程】知识点一：比例线段定义：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另外两条线段的比相等，如果a cb d=，那么就说这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。

例1：如四条线段的长度分别是4cm、8cm、3cm、6cm判断这四条线段是否成比例？解：练习一：1、线段a、b、c、d的长度分别是2、3、2、6判断这四条线段是否成比例？2、已知A、B两地的实际距离是250m若画在图上的距离是5cm，则图上距离与实际距离的比是___________3、已知线段a=12、b =23+、c=23-、若a cb x=，则x=_________若()0b yyy c=>，则y=__________4、下列四组线段中，不成比例的是（）A a=3 b=6 c=2 d=4B a=1 b=2c=3d=6C a=4 b=6 c=5 d=10D a=2b=3c=2 d=6知识点二：比例线段的性质比例性质是根据等式的性质得到的，推理过程如下：（1） 基本性质：如果a c b d=，那么ad bc =（两边同乘bd ，0bd ≠） 在0abcd ≠的情况下，还有以下几种变形b d ac =、a b cd =、c d a b = （2） 合比性质：如果a c b d =，那么a b c d b d±±= （3） 等比性质：如果a c e m b d f n ====()0b d f n ++++≠，那么a c e m ab d f n b ++++=++++例2 填空： 如果23a b =，则a = 2a = 、 a b b += 、 a b b -=练习二：1、已知35a b =，求a b a b +-2、若234a b c ==，则23a b c a++=_________3、已知mx ny =，则下列各式中不正确的是（ ）A m x n y =B m n y x =C y m x n =D x y n m = 4、已知570x y -=，则x y=_______ 5、已知345x y z ==，求x y z x y z +++-=________。

2023-2024学年北师大版九年级数学上册教案：4.2 平行线分线段成比例一. 教材分析《2023-2024学年北师大版九年级数学上册》第4.2节“平行线分线段成比例”主要介绍了平行线分线段成比例的性质。

通过这一节的学习，学生能够理解并掌握平行线分线段成比例的定理，并能够运用该定理解决实际问题。

本节内容是初中数学的重要知识点，对于学生来说具有较高的难度，需要通过大量的练习来巩固。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的性质，对于线段的比例也有一定的理解。

但是，将平行线与线段的比例联系起来，对于他们来说还有一定的难度。

因此，在教学过程中，需要通过具体的实例，引导学生理解并掌握平行线分线段成比例的性质。

三. 教学目标1.了解平行线分线段成比例的定理，并能够运用该定理解决实际问题。

2.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

3.提高学生的数学素养，使他们在数学学习上有所突破。

四. 教学重难点1.平行线分线段成比例的定理的理解和运用。

2.如何将平行线与线段的比例联系起来，形成系统性的认识。

五. 教学方法采用问题驱动的教学方法，通过具体的实例，引导学生发现并总结平行线分线段成比例的定理。

同时，结合小组讨论和练习，巩固所学知识，提高学生的实际应用能力。

六. 教学准备1.准备相关的教学材料，如PPT、实例等。

2.准备练习题，用于巩固所学知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考平行线与线段的比例之间的关系。

例如，假设有一块土地，被两条平行线和一条横线分成四个部分，如何求出每个部分的面积比例。

2.呈现（10分钟）通过具体的实例，呈现平行线分线段成比例的定理。

引导学生发现并总结定理的内容。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，运用平行线分线段成比例的定理解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）给出一些练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。

教师选取部分题目进行讲解，分析解题思路。

《成比例线段》教案教学目标1.了解两条线段的比和比例线段的概念；2.能根据条件写出比例线段；3.回运用比例线段解决简单的实际问题.教学重点、难点教学重点：比例线段的概念.教学难点：例题中要求根据具体问题发现等量关系，找出比例式，有一定的隐蔽性，是本节教学的难点.知识要点1.两条线段的长度的比叫做两条线段的比.2.四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.重要提示1.用方程思想寻找几何图形中四条线段成比例是常用方法.2.四条线段成比例可以解决一些实际问题，如地图上的某两地之间的距离. 教学过程一、复习引入1.列举四个数成比例，并写出比例式，指出比例内项、外项、第四比例项.2.说出比例的基本性质.由ad ＝bc 可推出哪些比例式？3.练习：(1)若3x ＝4y ，求x y 、x x －y 、x －2yx ＋y 的值.(2)若a ＋b a ＝53 ，求a －2b b 的值.(3)x :y :z ＝2:3:4，求x －y ＋z2x ＋3y －z 的值.(4)已知a :b :c ＝3:4:5，且2a ＋3b －4c ＝－1，求2a －3b ＋4c 的值.(5)已知线段AB ＝15cm ，CD ＝20cm .求AB :CD 的值.二、设置问题，探究新课如何定义两线段的比呢？什么是比例线段？在同一长度单位下，a ，b ，两线段长度的比叫做这两线段的比.记为a ：b 或a b注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；(2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关.(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB :CD .比例线段：一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，即a b =c d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段.(老教材定义：如果四条线段的长度成比例，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段) 三、模仿与应用例题：已知线段a =10mm ，b =6cm ，c =2cm ，d =3cm .问：这四条线段是否成比例？为什么？答：这四条线段成比例∵a =10mm =1cm∴a c ＝12 ，d b ＝36 ＝12∴a c ＝db ，即线段a 、c 、d 、b 是成比例线段.想一想:是否还可以写出其他几组成比例的线段.反思：判断四条线段是否成比例的方法有两种：(1)把四条线段按大小排列好，判断前两条线段的比和后两条线段的比是否相等.(2)查看是否有两条线段的积等于其余两条线段的积.例如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高.请找出一组比例线段，并说明理由. 分析：(1)根据比例基本性质，要判断四条线段是否成比例，只要采取什么方法(看其中两条线段的乘积是否等于另两条线段的乘积)(2)已知条件中有三角形的高，我们通常可以把高与什么知识联系起来？(3)根据三角形的面积公式，你能得到一个怎样的等式？根据所得的等式可以写出怎样的比例式.例如图，是我国台湾省的几个城市的位置图，问基隆市在高雄市的哪一个方向？到高雄市的实际距离是多少km ？注意：要设实际距离为s ；求角度时要注意方位.解：从图上量出高雄市到基隆市的距离约35mm ，设实际距离为s ，则A B CD3519000000s = 359000000s =⨯∴=315000000(mm )即s ＝315(km )如果量得图中28α∠=︒，我们还能确定基隆市在高雄市的北偏东28︒的315km 处. 补充练习：1.已知线段a ＝30mm ，b ＝2cm ，c ＝45 cm ，d ＝12mm ，试判断a 、b 、c 、d 是否成比例线段. 2.已知a 、b 、c 、d 是比例线段，其中a ＝6cm ，b ＝8cm ，c ＝24cm ，则线段d 的长度是多上？3.已知三角形三条边之比为a ：b ：c =2：3：4，三角形的周长为18cm ，求各边的长.4.已知AB 两地的实际距离是60km ，画在图上的距离A 1B 1是6cm ，求这幅图的比例尺.5.现在有一棵很高的古树，欲测出它的高度，但又不能爬到树尖上去直接测量，你有什么好的方法吗？AB CED类题：相同时刻的物高与影长成比例.如果一电视塔在地面上影长为180m ，同一时刻高为2m 的竹竿的影长为3m ，那么电视塔的高是多少？6.如图，已知AD ，CE 是△ABC 中BC 、AB 上的高线，求证：AD ：CE =AB ：BC7.如图，在Rt △ABC 中，CD ⊥AB ，DE ⊥AC ，请找出一组比例线段，并说明理由.8.如图，已知32AD AE DB EC ==，求AB EC AB DB AE AD，， 9.育美中学请张工程师设计学校的矩形花坛的平面图，这个花坛长为20m ，宽为12m .(1)在比例尺为1:100的平面图上，这个矩形花坛的长和宽各是多少？(2)在平面图上，这个花坛的长和宽的比是多少？(3)花坛长和宽实际比是多少？(4)你发现这两个比有什么关系？四、课堂小结1.两条线段的比及比例线段的概念；2.方程思想的体现；3.比例线段在实际问题中的应用.。

课题 4.2 平行线分线段成比例 单元 第四单元 学科数学年级九学习 目标1.理解并掌握平行线分线段成比例的基本事实及其推论,并会灵活应用。

2.通过应用,培养识图能力和推理论证能力。

3.培养学生积极的思考、动手、观察的能力,使学生感悟几何知识在生活中的价值。

重点 平行线分线段成比例定理和推论及其应用。

难点 平行线分线段成比例定理及推论的灵活应用,平行线分线段成比例定理的变式。

教学过程教学环节 教师活动学生活动 设计意图 导入新课教师提问：（1）什么叫比例线段？四条线段 a 、b 、c 、d 中，如果 a ：b=c ：d ，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例的线段，简称比例线段.（2）比例的基本性质？ 如果a cb d= ，那么ad=bc. 如果ad=bc (a, b, c, d 都不等于0)，那么a cb d= 学生思考回答问题。

复习成比例线段的内容，回顾上节课通过方格纸探究成比例线段性质的过程。

讲授新课如下图，小方格的边长均为1，直线l 1 ∥ l 2 ∥ l 3 , 分别交直线m ，n 于格点A 1，A 2, A 3, B 1，B 2, B 3.(1)计算121212122323232313131313A AB B A A B B A A B B 与,与,与A A B B A A B B A A B B的值，你有什么发现？(2)将l 2向下平移到如图的位置，直线m,n 与l 2的交点分别为A 2，B 2，你在问题(1)中发现的结论还成立吗？如果将l 2平移到其他位置呢？学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动,得出结论。

让学生通过观察、度量、计算、猜测、验证、推理与交流等数学活动,达到对平行线分线段成比例定理的意会、感悟。

学生在以前的学习中,尤其是本章前两节的探究也是通过表格中的多边形来完成的。

所以学生有种熟悉(3)在平面上任意作三条平行线，用它们截两条直线，截得的线段成比例吗？试着在纸上画一画！想一想：你能得到什么结论？平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．温馨提示：1. 一组平行线两两平行，被截直线不一定平行；2. 所有的成比例线段是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关；几何语言表示：如图，∵l3∥ l4∥ l5AB DE AB DE BC EF∴=,=,=BC EF AC DF AC DF【做一做】如左下图，直线a∥b ∥ c，分别交直线m，n于点A1，A2，A3，B1，B2，B3，过点A1作直线n的平行线，分别交直线b,c于点C2，C3（如右下图）. 右下图中有哪些成比例线段？让学生在探究得出结论的基础上,对平行线分线段成比例定理的有进一步的理解。

北师大版九年级上册1成比例线段第四章：成比例线段课程设计一、教学目标1.学生能够掌握成比例线段的定义；2.学生能够根据已知成比例线段求未知线段；3.学生能够应用成比例线段进行解决实际问题；4.学生能够发现成比例线段的特点；5.学生能够学会运用工具画成比例线段。

二、教学重难点1.教学重点：成比例线段的定义和应用；2.教学难点：如何画出成比例线段。

三、教学步骤1. 导入（5分钟）通过提出回归人生当中存在的成比例线段的例子，让同学们了解成比例线段在生活中的应用，引发他们的兴趣和探究欲。

2. 学习成比例线段（40分钟）1.概念及地位：让同学们明白成比例线段的定义，区别于非成比例线段。

2.应用：根据已知的成比例线段求未知线段。

3.性质：–正比例的两条线段成比例；–成比例线段与比例中的比相等；–比例相等的线段成比例。

4.发现：通过题目和练习，让同学们自己发现成比例线段的特点。

3. 实例小结（20分钟）举实例让同学们运用成比例线段进行实际问题的解决，检验他们的掌握情况，加深理解。

4. 拓展实践（30分钟）让同学们在课堂上运用工具来画成比例线段，并提出一些实际问题让同学们进行运用。

四、教学评价1.课堂回答问题能力评价：通过提问了解学生掌握成比例线段的程度；2.课堂练习评价：通过课堂小结和拓展实践检验他们的掌握情况；3.作业评价：通过作业检查学生对成比例线段应用的熟练程度。

五、教学方法1.情境教学法：让学生通过实例来掌握成比例线段的应用；2.合作学习法：通过合作学习，让学生进行讨论、思考；3.有问题教学法：通过提问等方式，启发学生自己发现成比例线段的特点；4.社会化学习法：让学生将课堂中所掌握的东西应用到现实生活中。

六、教学资源1.教师PPT课件；2.教辅教材。

3.准备好的直尺、圆规、铅笔等绘图工具。

七、教学反思在教学过程中，发现有部分学生可能需花费更多时间来掌握成比例线段的思路和方法，教师在教学过程中应该重视对于学生的个体差异，给予更多的关注和指导。

4.2平行线分线段成比例◇教学目标◇【知识与技能】理解掌握平行线分线段成比例定理及其推论.【过程与方法】探索并掌握基本事实‘两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例’及其推论.【情感、态度与价值观】进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法.◇教学重难点◇【教学重点】理解掌握平行线分线段成比例定理及其推论.【教学难点】正确理解平行线分线段成比例定理.◇教学过程◇一、情境导入如图,任意画两条直线l1,l2,再画三条与l1,l2相交的平行线l3,l4,l5,分别度量l3,l4,l5在l1上截得的两条线段AB,BC和在l2上截得的两条线段DE,EF的长度,AB∶BC与DE∶EF相等吗?任意平移l5,再度量AB,BC,DE,EF的长度,AB∶BC与DE∶EF相等吗?二、合作探究探究点1平行线分线段成比例定理典例1如图,直线l1∥l2∥l3,若AB=3,BC=4,则DEDF的值是()A.73B.37C.43D.47[解析]因为l1∥l2∥l3,且AB=3,BC=4,所以DEDF =ABAC=ABAB+BC=37.[答案] B如图,F是▱ABCD的边CD上一点,直线BF交AD的延长线于点E,则下列结论错误的是()A.EDEA =DFABB.DEBC=EFFBC.BCDE =BFBED.BFBE=BCAE[答案] C探究点2平行线分线段成比例定理的推论典例2如图,在△ABC中,点D在边AB上,BD=2AD,DE∥BC交AC于点E,若线段DE=5,则线段BC的长为()A.7.5B.10C.15D.20[解析]∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴ADAB =DEBC.∵BD=2AD,∴ADAB=13.∵DE=5,∴5BC=13,∴BC=15.[答案] C在△ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一点,AD=12,在AB上取一点E,使以A,D,E 三点为顶点的三角形与△ABC相似,则AE的长为()A.16B.14C.16或14D.16或9[答案] D三、板书设计平行线分线段成比例1.平行线分线段成比例定理2.平行线分线段成比例的推论◇教学反思◇通过本节课的学习,学生做到了以下几个方面:首先,探索并掌握基本定理“两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段成比例”及其推论;其次,会应用该性质及其推论进行简单的推理计算并且进一步体会由特殊到一般的归纳推理的思想和方法.。

2023-2024学年北师大版九年级数学上册教学设计：4.2 平行线分线段成比例一. 教材分析平行线分线段成比例是北师大版九年级数学上册的教学内容，本节课主要通过探究平行线分线段成比例的定理，让学生理解并掌握平行线分线段成比例的性质及应用。

教材通过丰富的例题和练习，引导学生探究并发现平行线分线段成比例的规律，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平行线的性质，对图形的变换和推理已经有了初步的认识。

但是，对于平行线分线段成比例的定理，他们可能还比较陌生，需要通过实例和练习来逐步理解和掌握。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的认知基础，通过引导和激励，激发学生的学习兴趣和积极性。

三. 教学目标1.理解平行线分线段成比例的定理及证明过程。

2.能够运用平行线分线段成比例的定理解决实际问题。

3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：平行线分线段成比例的定理及证明过程。

2.教学难点：理解平行线分线段成比例的证明方法。

五. 教学方法1.引导探究法：通过引导学生观察、思考、讨论，让学生自主发现平行线分线段成比例的规律。

2.实例教学法：通过丰富的例题和练习，让学生理解和掌握平行线分线段成比例的定理。

3.问题解决法：引导学生运用平行线分线段成比例的定理解决实际问题，培养学生的应用能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示平行线分线段成比例的例题和练习。

2.教学素材：准备相关的例题和练习题，用于巩固和拓展学生的知识。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示实际问题，引导学生思考平行线分线段成比例的现象，激发学生的学习兴趣。

2.呈现（10分钟）教师通过课件展示平行线分线段成比例的例题，引导学生观察和分析，让学生自主发现平行线分线段成比例的规律。

3.操练（10分钟）教师给出相关的练习题，让学生独立完成，巩固对平行线分线段成比例的理解。

4.巩固（10分钟）教师通过课件讲解平行线分线段成比例的证明过程，让学生理解和掌握定理。

第四章图形的相似第一节成比例线段第1课时成比例线段(一)教学目标1．结合现实情景了解线段的比和成比例线段．2．理解并掌握比例的性质及其简单应用．3．通过现实情景，进一步发展学生从数学的角度提出问题、分析问题和解决问题的能力，培养学生的数学应用意识，体会数学与自然、社会的密切联系．教学重点理解并掌握比例的性质及其简单应用．教学难点利用引入比值k的方法研究比例的主要性质．教学设计(设计者：×××)教学过程设计一、创设情景明确目标活动内容：形状相同而大小不同的两个平面图形，较大的图形可以看成是由较小的图形“放大”得到的，较小图形可以看成由较大图形“缩小”而成的．在这个过程中，两个图形上的相应的线段也被“放大”或“缩小”．因此，对于形状相同而大小不同的两个图形，我们可以用相应线段的长度之比来描述它的大小关系．让同学们举出一些实例来：例如：全班男生与女生人数之比为几比几？黑板的长与宽之比为几比几？等等．二、自主学习指向目标自学教材第76至78页．见学生用书“课前预习”部分．三、合作探究 达成目标探究点一 比和比例线段如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB ∶CD ＝m ∶n ，或写成AB CD ＝m n，其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项，如果把m n 表示成比值k ，那么AB CD＝k ，或AB ＝k ·CD ，两条线段的比实际上就是两个数的比．【针对训练】①已知a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中a ＝3cm ，b ＝2cm ，c ＝6cm ，求线段d 的长． ②下列四组线段中，a ，b ，c ，d 能成比例线段的是( )A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4B ．a ＝0.5，b ＝3，c ＝2，d ＝10C ．a ＝1.1，b ＝2.2，c ＝3.3，d ＝4.4D ．a ＝2，b ＝3，c ＝6，d ＝3探究点二 如果a b ＝c d ，那么ad ＝bc ，反之：如果ad ＝bc ，那么a b ＝c d两条线段的比实际上就是两个数的比．如果a ，b ，c ，d 四个数满足a b ＝c d，那么ad ＝bc 吗？反过来，如果ad ＝bc ，那么a b ＝c d吗？与同伴交流． (学生相互间讨论，从数取值的情况来讨论，经过交流后得出正确的结论．)在引出成比例线段的概念后，研究比例的一些性质，比例的性质不仅适用于有关线段的比例，而且也适用于有关数的比例．第一个问题可以通过引入比值k 的方法，借助代数推理得到解决：设a b ＝c d＝k ，那么a ＝kb ，c ＝kd ，ad ＝kb ·d ＝b ·kd ＝bc ；对于第二个问题，要注意：由ad ＝bc 得出a b ＝c d是有条件的．如果a b ＝c d，那么ad ＝bc .(比例的基本性质) 如果ad ＝bc (a ，b ，c ，d 都不等于0)，那么a b ＝c d(注意指出这个结论与基本性质是互逆关系．)[例题讲解]见教材P78例1【针对训练】①见教材P79随堂练习第2，3题.②见学生用书第57页“当堂训练”第1，2题．四、总结梳理 内化目标1．比和比例线段的定义．2．如果a b ＝c d，则ad ＝cb ，反之也成立． 五、达标检测 反思目标1．如果选用同一个长度单位量得两条线段AB ，CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们长度的比，即AB ∶CD ＝________，或写成AB CD＝________．2．四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即________，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．3．已知线段AB，在BA的延长线上取一点C，使CA＝3AB，则线段CA与线段CB之比为()A．3∶4B．2∶3C．3∶5D．1∶24．一张矩形报纸ABCD的长AB＝a厘米，宽BC＝b厘米，E，F分别是AB，CD的中点，将这张报纸沿着直线EF对折后，矩形AEFD的长与宽之比等于矩形ABCD的长与宽之比，则a∶b等于()A.2∶1 B．1∶ 2 C.3∶1 D．1∶ 3六、布置作业见教材第79页习题4.1第1，2，3题．见学生用书“课后作业”栏题目．第2课时成比例线段(二)教学目标1．理解并掌握比例的等比性质及其简单应用．2．通过实例应用提高学生解决问题的能力和分析问题的能力．教学重点理解并掌握比例的等比性质及其应用．教学难点等比性质定理的应用．教学设计(设计者：×××)教学过程设计一、创设情景明确目标如图，已知ABHE＝BCEF＝CDFG＝ADHG＝2，你能求出AB＋BC＋CD＋ADHE＋EF＋FG＋HG的值吗？由此你能得出什么结论？已知：a ，b ，c ，d ，e ，f 六个数，如果a b ＝c d ＝e f ，那么a ＋c ＋e b ＋d ＋f ＝a b成立吗？为什么？ 这就是我们本节课要研究解决的问题——成比例线段(二)．二、自主学习 指向目标自学教材第79至80页．见学生用书“课前预习”部分．三、合作探究 达成目标探究点 等比性质，如果：a b ＝c d ＝…m n (b ＋d ＋f ＋…＋n ≠0)那么a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b[推导过程]：设a b ＝c d ＝…＝m n＝k ，则有：a ＝bk ，c ＝dk ，m ＝nk∴a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…n ＝（b ＋d ＋…＋n ）k b ＋d ＋…＋n＝k ＝a b ∴a b ＝c d ＝…m n(b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么： a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b. 【例题讲解】见教材P80例2.等比性质在实际应用中可以起到灵活，简便的效果．【针对训练】①见教材P80随堂练习．②见学生用书第59页“当堂训练”第1，2，3题．四、总结梳理 内化目标等比性质：如果a b ＝c d ＝…＝m n (b ＋d ＋…＋n ≠0)，那么：a ＋c ＋…＋m b ＋d ＋…＋n ＝a b. 五、达标检测 反思目标1．如果a b ＝c d ，那么a ＋b b＝________； 如果a b ＝c d ，那么a －b b＝________． 2．已知a b ＝53，则b a ＋b＝________． 3．已知a ∶b ∶c ＝3∶5∶10，且a ＋c －b ＝16，求a ，b ，c 的值．4．已知x 2＝y 7＝z 5，设A ＝y x ＋y ＋z，B ＝x ＋z y ，C ＝x ＋y －z x ，试比较A ，B ，C 的大小． 六、布置作业见教材第81页习题4.2第1，2题．见学生用书“课后作业”栏题目．。