下载文档原格式
高一数学不等式知识点归纳数学不等式是高中数学中重要的一部分内容。
在高一数学学习中，了解不等式的概念、性质以及解不等式的方法，对于学习数学和解决实际问题都有着重要的作用。
下面将对高一数学不等式知识点进行归纳和总结。
一、不等式的概念不等式是一种数学关系式，它表达了两个数的大小关系。
一般形式为a ≠ b或a < b或a > b，其中a、b为实数。
不等式中的关系符号有"≠"、“<”、“>”分别表示不等、小于和大于的关系。
二、不等式的性质1. 传递性：如果a < b且b < c，则有a < c。
类似的，大于的情况也满足这个性质。
2. 加减性：对于不等式，可以同时加上一个数或减去一个数，不等号的方向不变。
例如，如果a < b，则有a + c < b + c。
减法的情况也类似。
3. 倍乘性：对于正数k，不等式中的关系符号不改变。
例如，如果a < b，则有ka < kb。
当k为负数时，不等号的方向改变。
4. 乘方性：对于正实数k，不等式中的关系符号不改变。
例如，如果a < b，则有a^k < b^k。
当k为负数时，不等号的方向改变，但必须保证a和b皆大于0。
三、不等式的解集表示方法1. 用图形表示：可以通过将不等式转化为坐标系中的区域表示来解释和表示不等式关系。
2. 用集合表示：通过列举满足不等式的所有实数，将这些实数写成一个集合的形式来表示不等式的解集。
3. 用不等式表示：将不等式的解集写成一个由不等号和式子组成的不等式形式，来表示不等式的解集。
四、不等式的求解方法1. 加减法解不等式：利用加减性质，将不等式中的常数项移到一边，以求得未知数的范围。
2. 乘除法解不等式：利用倍乘性质，将不等式中的系数移到一边，并对系数符号进行考虑，以求得未知数的范围。
3. 绝对值不等式的解法：分为绝对值大于、小于和大于等于、小于等于两种情况，根据不等式的形式分别求解。
高中数学不等式不等式是数学中重要的一部分，它们将代数和几何结合在一起，使它们同时成为数学研究的重要方面。
在高中数学教学中，《不等式》是一个重要章节，考查学生的代数运算和几何直观，也是进一步掌握高中数学的重要基础。
本文将着重讲解高中数学不等式的相关概念，同时介绍不等式的基本类型和解决问题的方法。
1.不等式的基本概念不等式是数学中一种比较关系，它关注“大于”、“小于”、“不等”之间的关系，是指两个数或两个算式之间的大小关系，包括不等式的符号、不等式的解集和不等式的性质等。
其中，符号是不等式的基本元素，不同的符号表示不同的关系，如小于表示左边的值小于右边的值，大于表示左边的值大于右边的值，小于等于表示左边的值小于或等于右边的值，大于等于表示左边的值大于或等于右边的值，不等于表示左边的值不等于右边的值。
符号在不等式中具有极其重要的作用，它能够对不等式的解集产生影响。
不等式的解集是指满足不等式的所有实数的集合，也就是能够使不等式成立的数的范围。
例如，不等式x+2>0的解集是x>-2，也就是x大于-2的所有实数。
解集可以通过图像表示出来，在平面直角坐标系中，不等式的解集是平面直角坐标系上的某一部分，它可能是一条直线，一个区域或整个坐标系。
不等式的性质也是研究不等式的重要方面，不等式的性质包括可加性、可乘性、对称性、转化等。
其中，可加性和可乘性是不等式的基本运算性质，它们在求解不等式中具有重要的作用。
对称性是指如果将不等式两边的数交换，则不等式依然成立。
转化是指将不等式转化为等价的不等式，便于求解和证明。
2.不等式的基本类型不等式的类型有很多，其中最重要的类型包括一次不等式，二次不等式，分式不等式和绝对值不等式。
一次不等式是指只有一次方的不等式，一般形式大于（》）、小于（《）、大于等于（》=）、小于等于（《=）等形式，例如3x+2>5、4x-6<18x+9等。
求解一次不等式的过程就是将不等式中的未知数找出来并移项，将类似于项归列，用代数方法或图形法求出其解集。
高中数学不等式常用公式高中数学中的不等式可是个让人又爱又恨的家伙。
不等式在解决各种数学问题时那是相当重要，常用的公式更是我们解题的利器。
先来说说基本不等式，这可是不等式家族中的“明星成员”。
对于非负实数 a 和 b，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a + b}{2}$，当且仅当 a = b 时，等号成立。
这就好比我们分糖果，要想让每个人得到的糖果差不多，就得按照这个规则来。
还有绝对值不等式，$\left|a\right| - \left|b\right| \leq \left|a + b\right|\leq \left|a\right| + \left|b\right|$。
想象一下，这就像是两个人走路，他们之间的距离变化是有范围的。
我记得之前有一次给学生们讲题，有一道关于不等式的题目难倒了一大片。
题目是这样的：已知$x^2 + y^2 = 1$，求$3x + 4y$的最大值。
这道题就用到了我们的不等式知识。
我引导着学生们思考，我们可以设$x = \sin\alpha$，$y = \cos\alpha$，然后$3x + 4y = 3\sin\alpha + 4\cos\alpha$。
这时候，我们就可以利用三角函数的辅助角公式，将其变形为$5\sin(\alpha + \varphi)$，其中$\varphi$是一个特定的角度。
而正弦函数的值域是$[-1, 1]$，所以$3x + 4y$的最大值就是 5 啦。
当时看着学生们恍然大悟的表情，我心里那叫一个欣慰。
再来说说柯西不等式，$(a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2$。
这个不等式就像是一个魔法公式，在很多复杂的问题中都能发挥大作用。
在解决不等式问题时，我们要灵活运用这些公式，就像手里拿着不同的工具，根据不同的情况选择最合适的那一个。
比如，有时候需要通过变形、配凑来使用公式，有时候要结合函数的性质来分析。
高一数学数学不等式知识点数学不等式是高中数学的一个重要内容，它是代数学和几何学的一个重要分支，也是在解决实际问题中经常会遇到的数学工具。
在高一数学中，不等式的学习是一个重要的环节。
下面我们将介绍一些高一数学中的数学不等式知识点。
一、不等式的基本概念不等式是比较两个数大小关系的一种数学表达式。
在不等式中，常见的符号有“<”、“>”、“≤”和“≥”。
其中“<”表示“小于”，“>”表示“大于”，“≤”表示“小于等于”，“≥”表示“大于等于”。
例如：1) 对于实数a和b，如果a<b，则可表示为a<b。
2) 若a≤b，则表示为a≤b。
二、不等式的性质1. 加减性质对于不等式a<b，如果两边同时加、减同一个数，不等式的大小关系将保持不变。
例如：a<b, 则a+c < b+c。
a>b, 则a-c > b-c。
2. 乘除性质若不等式a<b，且c>0，则ac<bc。
若不等式a<b，且c<0，则ac>bc。
3. 倒置性质若a<b，则b>a。
三、一次不等式的求解求解不等式的目标是找出使得不等式成立的变量的取值范围。
对于一次不等式，我们可以使用加减法和乘除法对其进行求解。
1. 加减法求解对于不等式ax+b<c，我们可以按照以下步骤进行求解：1) 将不等式进行移项，得到ax < c-b。
2) 按照不等式性质，将不等式进行化简。
2. 乘除法求解对于不等式ax<b，我们可以按照以下步骤进行求解：1) 将不等式进行移项，得到ax-b < 0。
2) 将不等式进行因式分解，得到 a(x- b/a) < 0。
3) 按照不等式性质，将不等式进行化简。
四、一元一次不等式组的求解一元一次不等式组是由多个一元一次不等式构成的集合。
对于一元一次不等式组，我们可以通过图像法和代数法进行求解。
对于一元一次不等式组，我们可以将不等式表示为数轴上的区间，并找出满足所有不等式条件的解。
著名不等式荟萃在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地，而一个个的重要不等式又把这片天地装点得更加丰富多彩。
下面择要介绍一些著名的不等式。
一、平均不等式（均值不等式）设a 1，a 2，…，a n 是 n 个实数，A ＝na ++a +a n 21 叫做这n 个实数的算术平均数。
当这 n 个实数非负时，G ＝n n 21a a a 叫做这 n 个非负数的几何平均数。
当这 n 个实数均为正数时，H ＝n 21a 1++a 1+a 1n 叫做这 n 个正数的调和平均数。
设a 1，a 2，…，a n 为 n 个正数时，对如下的平均不等式：H ≤G ≤A 当且仅当 a 1＝a 2＝…＝a n 时等号成立。
平均不等式A ≥G 是一个重要的不等式，它的应用非常广泛，如求某些函数的最大值和最小值即是其应用之一。
设x 1，x 2，…，x n 是 n 个正的变数，则(1)当积 x 1x 2…x n ＝P 是定值时，和x 1＋x 2＋…＋x n 有最小值，且(x 1＋x 2＋…＋x n )min ＝(2)当和 x 1＋x 2＋…＋x n ＝S 是定值时，积 x 1x 2…x n 有最大值，且(x 1x 2…x n )max ＝(12n x +x ++x n L )n ＝(S n)n 两者都是当且仅当 n 个变数彼此相等时，即 x 1＝x 2＝…＝x n 时，才能取得最大值或最小值。
在 A ≥G 中，当n ＝2，3时，分别有12a +a 2，123a +a +a 3平均不等式 A ≥G 经常用到的几个特例是：(a 1＋a 2＋…＋a n ) (11a ＋21a ＋…＋n1a )≥n 2 当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时等号成立；a 1＋1a 1≥2，当且仅当a 1＝1时等号成立。
二、柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式） 对任意两组实数a 1，a 2，…，a n ；b 1，b 2，…，b n ，有(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )≤(a 12＋a 22＋…＋a n 2) (b 12＋b 22＋…＋b n 2)其中等号当且仅当11a b ＝22a b ＝…＝n n a b 时成立。
高中数学不等式公式在高中数学课程中，学习不等式公式是一项重要的知识点。
不等式公式是一种基本的代数表达式，可以用它来表示数值应该在一定范围内取值。
例如，在高中学习中，学生需要学会这样的不等式及其解法过程：一元一次不等式：一元一次不等式的基本形式是ax + b > 0或ax + b < 0，其中a和b是任意常数，解法一般分两步：1、将不等式的两边同除以a，即可得到x > -b/a x < -b/a；2、对不等式两边同乘以正数，以使双边都变为正数，则可得到x > b/a x < b/a。
二元一次不等式：二元一次不等式的基本形式是ax + by > c或ax + by < c，其中a，b和c是任意常数，解法一般通过将不等式转换为两个一元一次不等式来完成，过程如下：1、由已知条件ax + by > c可以推出，当x = 0时，有by > c；当y = 0时，有ax > c；2、将by > c转化为一元一次不等式形式，即y > c/b；3、将ax > c转化为一元一次不等式形式，即x > c/a；4、由此可以得到二元一次不等式的解法：满足x > c/a，且y > c/b。
三元一次不等式：三元一次不等式的一般表示形式为ax + by + cz > dax + by + cz < d，其中a，b，c和d是任意常数，以解三元一次不等式为例，一般会通过消元（elimination）的方式进行解，该解法有三个步骤：1、令a = d，令x = m，令y = n；2、将得到的表达式改写成数学形式：by + cz + am > bm + an；3、将不等式转化为两个二元一次不等式，即y > bm/b - an/b，且z > an/c - bm/c。
由此可见，在高中的数学课程中，学习不等式公式对于理解不等式的性质很重要。
高中6个基本不等式的公式高中6个基本不等式的公式总的来说，高中数学中的6个基本不等式公式是：(一)、二次不等式：ax²+bx+c>0；(二)、三角不等式：sinα+cosα>1；(三)、平方和不等式：a²+b²>2ab；(四)、指数不等式：an>bn；(五)、对数不等式：lnA<lnB；(六)、比较不等式：a>b。
一、二次不等式所谓的二次不等式，指的是形如ax²+bx+c>0的不等式结构，它是十分重要的，用来描述我们一类由双曲线组成的函数。
双曲线函数是一类非线性函数，受到各种外部因素的作用不会改变函数的存在形式，尽管其具体的参数可能会发生变化。
二、三角不等式三角不等式是一类与三角学相关的不等式，它们非常重要，有助于我们正确推理出三角形的其他特征。
其中最为重要的是sinα+cosα>1，这个不等式说明了在三角形内，任意一个角的正弦值是小于它的余弦值的，而它们的和则要大于1.三、平方和不等式平方和不等式有助于我们正确推断出空间里的形状的特性，它的形式如a²+b²>2ab，它推断了如果有两个边的长度为a和b，其和的平方要大于两者的乘积，也就是说任何一个正方形都有其两条边之和要大于两边乘积的特性。
四、指数不等式指数不等式是一类非常重要的数学不等式，它们由an>bn构成，例如4²>2³，这种不等式用来推断出当前指数的大小的变化，即指数不等式可以用来推断出更大的数值要比较小的数值大。
五、对数不等式对数不等式是由lnA<lnB构成的一类逆函数，即任何一个大于0的数值，当它们取反数之后所得到的值都是小于0的，但是它们仍然可以用来推断出比较大小的特性。
六、比较不等式比较不等式是一类用来推断出大小的不等式，它们最为重要的形式就是a>b，它们能够用来快速准确的推断出大数比小数大的情况，不需要拆分细节就可以迅速的把握出其大小之间的差异。
高中不等式知识点总结摘要：一、不等式的基本概念1.不等式的定义2.不等式的符号表示二、不等式的基本性质1.对称性2.传递性3.可加性4.乘法原则三、常见不等式的解法1.作差比较法2.作商比较法3.韦达定理四、实际应用1.生活中的应用2.数学中的应用正文：一、不等式的基本概念不等式是数学中的一种基本概念，用于表示两个数的大小关系。
不等式的定义很简单，就是一个比较式，用符号">"或"<"来表示大小关系。
例如，x > y表示x大于y，x < y表示x小于y。
二、不等式的基本性质不等式有许多基本性质，这里我们介绍四个常见的性质。
1.对称性：如果x > y，则y < x。
这就是说，不等式两边同时改变符号，不等式的方向不会改变。
2.传递性：如果x > y，且y > z，则x > z。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而另一个数又大于第三个数，那么第一个数一定大于第三个数。
3.可加性：如果x > y，且a > 0，则x + a > y + a。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而加上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。
4.乘法原则：如果x > y，且m > 0，则x * m > y * m。
这就是说，如果一个数大于另一个数，而乘上的一个正数，那么第一个数一定大于第二个数。
三、常见不等式的解法有许多方法可以解不等式，这里我们介绍三种常用的方法。
1.作差比较法：如果x > y，则x - y > 0。
我们可以通过作差来比较两个数的大小。
2.作商比较法：如果x > y，则x / y > 1。
我们可以通过作商来比较两个数的大小。
3.韦达定理：如果x > y，则(x + y) / 2 > (x - y) / 2。
我们可以通过韦达定理来比较两个数的大小。
完整版)高中数学不等式知识点总结1、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：①对称性：a>b等价于b<a。
②传递性：a>b。
b>c则a>c。
③可加性：a>b等价于a+c>b+c，其中c为任意实数。
同向可加性：a>b，c>d，则a+c>b+d。
异向可减性：a>b，cb-d。
④可积性：a>b，c>0则ac>bc，a>b，c<0则ac<bc。
⑤同向正数可乘性：a>b>0，c>d>0则ac>bd。
异向正数可除性：a>b>0，0bc。
a>b>0，则a^n>b^n，其中n为正整数且n>1.⑦开方法则：a>b>0，则√a>√b。
⑧倒数法则：a>b>0，则1/a<1/b。
2、几个重要不等式以下是几个重要的不等式：a/b+b/a>=2，当且仅当a=b时取等号。
a^2+b^2>=2ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b/2>=√ab，当且仅当a=b时取等号。
a+b+c/3>=∛abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a^2+b^2+c^2>=ab+bc+ca，当且仅当a=b=c时取等号。
a+b+c>=3√abc，当且仅当a=b=c时取等号。
a/b+b/c+c/a>=3，当且仅当a=b=c时取等号。
a-b|<=|a-c|+|c-b|，对任意实数a,b,c成立。
3、几个著名不等式以下是几个著名的不等式：a-b|<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b/2<=√(a^2+1)√(b^2+1)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2<=√(a^2-ab+b^2)，对任意实数a,b成立。
a+b)/2>=√ab，对任意正实数a,b成立。
高中数学中的不等式求解高中数学中，不等式是一个重要的概念和技能，它在解决实际问题以及推导数学定理中起着重要作用。
在本文中，我们将探讨不等式的基本概念以及如何准确地求解不等式问题。
一、不等式的基本概念不等式是指数值或代数表达式之间的数的大小关系的一种表示方式。
我们常见的不等式符号有“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”。
以x > 2 为例，其中的符号“>”表示大于的关系，而“2”则是被比较的数。
在不等式中，我们可以通过运用加、减、乘、除等运算法则来进行等式变换和不等式变换，以找到不等式的解集。
二、一元不等式的求解方法1. 加减法解法当不等式中只包含一个变量并且不等式的符号不变时，我们可以通过加减法来求解不等式。
举个例子，考虑不等式 2x - 3 < 5，我们可以通过将两边加上 3，得到 2x < 8，然后再除以 2，得到 x < 4。
因此，不等式的解集为 (-∞, 4)。
2. 乘除法解法当不等式中只包含一个变量并且不等式的符号与乘除法对应时，我们可以通过乘除法来求解不等式。
例如，考虑不等式 4x > 8，我们可以通过将两边除以 4，得到 x > 2，即不等式的解集为(2, +∞)。
3. 绝对值不等式的解法绝对值不等式是形如 |a - b| < c 或者 |a - b| > c 的不等式。
对于 |x - 3| < 2 这个不等式，我们可以将其分解为 x - 3 < 2 和 -(x - 3) < 2 两个不等式，然后分别求解得到 x < 5 和 x > 1，因此不等式的解集为 (1, 5)。
三、二元不等式的求解方法在某些情况下，我们可能面临着含有两个变量的不等式。
这时，我们需要将问题转化为图像解法或某个方程的解。
例如，考虑不等式组 x + y > 3 和 2x - y < 4，我们可以将其转化为图像解法，即画出两个不等式所代表的直线，并确定它们的交点。
高中数学中的不等式（一）目录前言（一）不等式的概念（二）不等式的基本性质（三）不等式的分类（四）常用不等式介绍（五）重要不等式介绍（六）两个重要的工具（七）不等式的证明例题介绍（八）不等式的解法例题介绍（九）不等式的应用例题介绍（十）综述软件（数学公式编辑器，几何画板，lingo,matalab 等）正文：一不等式的概念不等式在我们的日常生活中很常见，它是与等式相对的一个概念。
为了给不等式一个确切的概念，下面我介绍一下集合论的简单知识。
“集合论创始人Cantor 称集合为一些确定的、不同的东西的总体，这些东西，人们能够意识到，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。
” [1]定义1：如果 a是集合 A的元素，则称 a属于A ，记作 a A，反之 ,如果a不是集合 A 的元素，则称 a不属于 A，记作 a A。
[2]定义2：如果集合 A和B的元素完全相同，则称 A和B相等，记作 A＝B，如果集合 A 中的每一个元素都是集合 B中的元素，称 A包含于 B，记作 A B（当B中还有不属于集合A的元素，则称 A真包含于 B，记作A B）。
[3] 列出集合的元素的方式，一般采用枚举法、描述法和归纳法。
其实我们可以将不等式归为一类集合，如下：U ｛不等式｝｛ f（x1,x2,x3,...） 0或者f （ x1, x2, x3,...） 0| f（x1,x2,x3,...）为一个定义在实数集 R上的函数｝。
般地，在数学上，不等式表明两个对象的大小或者顺序的二元关系。
不等关系主要有四种：a b ,即 a 小于 ba b , 即 a 大于 b 上述两个属于严格不等。
a b , 即 a 小于等于 b a b , 即 a 大于等于 bab , 即 a 不等于 b将两个表达式用不等符号连起来， 就构成了 不等式。
若不等关系对变量的所有元素都成立， 则称其为“绝对的”或“无条件的” 。
若不等关系只对变量的部分取值成立，而对另一部分 将改变方向或失效，则称为条件不等。
我们现在就引入集合的几种运算，从集合理论中来 对它进行更深刻的认识。
定义 3.1：集合 A 与集合 B 的并集记为 A B ，而 A B {x |x A 或者 x B}； 定义 3.2 ：集合 A 与集合 B 的交集记为 A B ，而 A B {x |x A 且x B}； 定义 3.3：集合 A 与集合 B 的差集记为 A-B ，而 A-B {x | x A 且 x B} 。
根据上面的定义，我们就可以推出下面的运算性质：定理 1：设 E 为全集，则对任意子集 A,B,C 而言，我们有如下的结论：A B=B A ； A B=B A ； A (B C)=(A B)C ； A (B C)=(A B) C ；5) 并对交的分配律： A (B C)=(A B) (A C) ； 6) 交对并的分配律： A (B C)=(A B) (A C) ； 7)零元： A =A ， A = ；8) 单位元： A E=A ， A E=E 。
它们的证明可以参看朱梧槚、肖奚安教授所著《集合论导引》 25 页的证明。
要理解不等式，其实质上是“不等” ，我们就利用上面的知识来阐释“不等” 。
当然我们还 要一个概念——卡氏积，下面就来介绍卡氏积。
首先，我们给出“序偶”的概念。
1921 年， K.Kuratowsk 给出的定义，也是我们现在普遍 采用的一种。
1)并的交换律 2)交的交换律 3)并的结合律 4)交的结合律定义5：<x, y>={{x},{ x,y}} 。
我们利用集合的定义及性质，可以证明得出下面的定理。
定理5：<x, y> u,v x u且y v。
证明： <x,y> u,v ，则有{{ x},{ x,y}} {{ u},{ u,v}}, 下面我们分两种情况进行分类讨论：1）当x y时,则有{ x}={ x, x}, 即<x, y>=<x, x>={{ x}}={{ u},{ u,v}}, 于是得到{ x} { u}={ u, v} ，根据集合的定义，x y u v。
2）当x y时,则有{ x} { x, y} ，于是{ x} {{ u},{ u,v}}, 若{x} { u} ，则x u，然后{x,y} {u,v} { x, v}, 得出y u；若{ x} {u,v} ，则x u v，从而有{{ x},{ x,y}} {{ u},{ u,v}} {{ x}} ,即{x}={ x, y} ，矛盾。
因为x u且y v，则{ x} {u}，{x,y} { u,v} ，因此<x, y>={{ x},{ x,y}} {{ u}, { u,v}} u,v 。
定义 6：设两个集合 A， B，则 A与 B的卡氏积如下定义，记为 A B，即A B { x, y | x A且y B}上述定义表明卡氏积 A B是由序偶x, y 所组成的集合。
然而卡氏积这个概念与不等式的关系不大，如果我们将不等式中的“不等”单独地提出来看，其实不等式中核心的部分是不等这个关系，因此我们需要“关系”这个数学概念。
因此我们就用上面的所建立的卡氏积概念来定义，如下：定义7：设两个集合 A，B为，则把卡氏积 A B的任意子集 R称为 A与B的元素之间的一个关系，如果 A=B，则称为 R为 A上的关系。
[4] 根据定义，我们知道关系也是一个集合，那么“不等”这个关系也是一个集合，然而我们限定的不等只是在实数上比较，而不是那种更广义的“不等”。
接下来我们将介绍关系的运算以及分类。
先来给出运算的定义：定义7.1：设 R1 A B,R2 B C,则由 R1和R2合成之由 A到C的复合关系被定义如下，并记为R1 R2，即R1 R2 { a,c |a A& c C & b（b B& a,b R1& b,c R2）} 它表示 R1 R2 A C，并对任意的 a A和 c C，a（R1 R2）c b（b B & aR1b& bR2c）举一个例子，当 A { a, b, c} ，则R1 { a,b , a, c , c,b }R2 { a,b , b,c , c, a }都是 A A上的二元关系，然而R1 R2 { a,b , a,c , c, b }R2 R1 { b,b , b, c , c, a }显然， R1 R2 R2 R1，所以在一般情况下，关系的复合运算是不可交换的。
对于关系这个特殊的集合，它的特殊运算性质如下：定理 7.1 ：设 R1 A B,R2 B C,R3 C D,则R1（R2 R3）（ R1 R2） R3 它的证明利用集合证明问题的两种普遍方法（利用集合运算规则，或者利用集合的定义）得到，它表示的是关系的运算满足结合律。
定理7.2: 设 R1 A B,R2 B C,R3 B C，R4 C D,则（1） R1 （R2 R3） R1 R2 R1 R3（2）（R2 R3） R4 R2 R4 R3 R4 实际上我们看到关系对于并运算满足分配律。
现在我们来对关系的运算进行说明，首先定义六个基本的二元关系的特性，依次为自反性，反自反性，对称性，反对称性，拟反对成性和可传性，然后而我们利用这些特性来对关系分类。
关系的这些特性是从实际生活中抽象出来写成数学语言，现在就列在下面：定义8.1：集合 A上的二元关系 R按如下方式而被定义为自反的，并记为 R[ ref ],即R[ref ] a(a A a, a R). 定义8.2：集合 A上的二元关系 R按如下方式而被定义为反自反的，并记为 R[ irref ],即R[irref ] a(a A a, a R).定义8.3：集合 A上的二元关系 R按如下方式而被定义为对称性的，并记为 R[ sym],即R[ sym] a b(a A& b A& a,b R b, a R).定义8.4：集合 A上的二元关系 R按如下方式而被定义为反对称性的，并记为R[ asym],即R[asym] a b(a A& b A& a,b R& b, a R a b).定义8.5：集合 A上的二元关系 R按如下方式而被定义为拟反对称性的，并记为R[ imasym],即R[imasym] a b(a A & b A& a,b R b,a R). 定义8.6：集合 A上的二元关系 R按如下方式而被定义为传递性的，并记为 R[tra],即R[tra] a b c(a A&b A& c A& a,b R& b,c R a,c R). 上面所列举的特性对于“不等式”中的不等关系是成立的，由于等式与不等式相对应，先给出一个简单的关系——等价关系。
定义9.1：如果集合 A上二元关系 R满足下述条件，则 R被定义为 A上之等价关系，并记为 R ，即R R A A & R[ref ] & R[sym] & R[tra ]我们现在能够理解“ =”是等价关系，因为“ =”满足自反性，对称性，传递性。
那么，“不等”的性质在下面作出详细的介绍：定义9.2：非空集合 A上的二元关系R如果满足下述条件，则被定义为A上的偏序关系：R A A& R[ref ] & R[ asym] & R[tra]我们经常用表示偏序关系。
下面我们定义一个称作全序的概念：定义9.2：非空集合 A上的偏序关系R如果满足下述条件，则被定义为A上的全序关系：R A A& a b（a A& b A a b或者a b）我们经常用表示全序关系，显然我们能够得出这样的结论—全序一定是偏序，这里举几个例子来说明这一点：正整数集合N 上的整除关系 |上偏序关系，不是全序，这里用（ N ，|）来表示。
下面给出 |关系在 N 的定义： m,n N ，若n k m，其中 k N ，则m|n，记作 m， n | 。
现在来验证 | 满足偏序的几个条件，（1）自反性，因为 n N ，n 1 n，则n,n |；（2）反对称性，当 n,m N ， m,n N ，即n | m，有m k n，m|n，有n l m，k,l N ，则 k l 1，k =l =1，故 k=l。
（ 3）传递性，如果 <n,m |，<m,s |,即 n|m，m|s，有m k n，s l m，则s k l n，即n |s, n,s |,因此|满足传递性。
下面我们来举例子说明不是| 全序关系，<3,7> | ，<7,3> | ，不满足全序关系的定义。
根据上面集合理论，我们经常使用的“不等”关系显然的是属于全序关系，现在我们给出一个称为严格全序关系的定义：定义 9.3：非空集合 A上的二元关系 R，如果满足下述条件，则被定义为 A上的严格偏序：R A A&R[imasym]&R[tra]定义 9.4：非空集合 A上的严格偏序 <，如果满足下述条件，则被定义为 A上的严格全序：< A A& a b（a A& b A&a b a,b 或<b, a> <）现在我们可以将不等式大致地分为两类，一类是用“<”或“ >”表示的不等式，它显然的是属于严格全序关系；另一类是用“ ”或“ ”表示的不等式，它属于全序关系。
