九年级数学上册 1.1、比例线段知识要点 华东师大版
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比例线段
知识要点
本节主要内容为线段的比、成比例线段、比例性质和黄金分割的概念.
在同一单位下,两条线段的长度比叫做这两条线段的比.
①概念:在四条线段中,如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫做成比例线段.
②比例线段中的相关概念
已知四条线段a、b、c、d,如果=(a∶b=c∶d),那么a、b、c、d叫做组成比例的项.线段a、d叫做比例外项,线段b、c叫做比例内项,线段d叫做a、b、c的第四比例项.
如果作为比例内项是两条相同的线段,即=(a∶b=b∶c),那么线段b叫做线段a、c的比例中项.
如果m n
n p
,比例外项是;比例内项是;比例中项是。
①比例基本性质:=ad=bc(bd≠0)
=b2=ac(bc≠0)②合比性质:==
③等比性质:若==……=(b+d+…+n≠0)
则=
4.黄金分割:把线段AB分成两条线段AC和BC,(AC>BC),且使AC是AB和BC的比例中线,叫做把线段AB黄金分割,C点叫做线段AB的黄金分割点.
1.请用表达式复述比例基本性质、合比性质、等比性质。
2.画出黄金分割图,并用表达式表示。
典型例题
例1已知3∶x=8∶y,求
例2已知=,求.
例3若=,求
例4已知x∶y∶z=1∶3∶5.求的值.
练习
一、填空题
1.若4x=5y,则x∶y= .
2.若==,则∶ = .
3.已知=,则的值为 .
4.已知=,那么= .
5.若===3,且b+d+f=4,则a+c+e= .
6.若(x+y)∶y=8∶3,则x∶y= .
7.若=,那么= .
8.等腰直角三角形中,一直角边与斜边的比是 .
9.已知△ABC和△A′B′C′,===,且A′B′+B′C′+C′A′=16cm.则AB+BC+AC= cm.
10.若a=8cm,b=6cm,c=4cm,则a、b、c的第四比例项d= cm;
a、c的比例中项x= cm.
二、选择题
1.已知x===,则x的值是( )
A.-
B.1
C.-1
D.
2.P在线段AB上,AP2=AB·PB,若PB=4,那么AP为( )
A. +1
B. +2
C.2 +2
D.2
+1
3.把ab=cd,写成比例式,不正确的是( )
A. =
B. =
C. =
D. =
4.如果四条线段a、b、c、d构成=,m>0,那么推出下面的结论中,正确的个数是( )
① =;② =;③ =;④ =
5.已知线段a=3,b=6,c=4,那么下面说法正确的是( )
A.线段a、b、c的第四比例项是a+b
B.线段a、b、c的第四比例项是(2a+3b) 2a是线段b和c的比例中项
6.已知M是线段AB延长线上一点,且AM∶BM=5∶2,则AB∶BM等于( )
A.3∶2
B.2∶3
C.3∶5
D.5∶2
7.一个三角形三边之比为2∶3∶4,则这个三角形三边上的高的比是( )
A.2∶3∶4
B.6∶4∶3
C.4∶3∶2
D.4∶9∶16
8.已知菱形ABCD,∠A=60°,则=( )
A. B.1∶ C.1+
D.( +1)∶2
三、解答题
1.已知C是线段AB上的点,D是AB延长线上的点,且=,如果AB=6cm,AC =,求AD和BD的长.
2.一个三角形的三内角分别为30°、60°、90°,另一个三角形的三内角分别为45°、45°、90°,计算每一个三角形三边长度之比.
3.已知线段x、y,如果(x+y)∶(x-y)=a∶b,求x∶y.
4.已知a∶b=c∶d,求证:ab+cd为a2+c2及b2+d2的比例中项.
5.已知:
= = =3(且有b+d+f =0),求证: = =3.
四、把长为7cm 的线段进行黄金分割,则分成的较短的线段的长为 .
五、在同一时刻物高与影长成比例,如果一教学楼右地面的影长为10m ,同时高为1m 的测杆的影长为50cm ,那么教学楼的高是多少米?
六、已知A 、B 、C 在同一直线上,若AB∶BC=2∶3,P 为直线外一点,求
的比.
2.成比例线段 (课作)
1.若线段AB=0.1, CD=0.75, 则AB ∶CD=;若AB=1m, CD=25cm ,则AB ∶CD
=;若线段AB=m, CD=n ,则AB ∶CD=.
2.若MN ∶PQ=4∶7,则PQ ∶MN=, MN=PQ, PQ=MN. 3.如图,C 是线段AB 的中点,D 在BC 上,且AB=24cm ,BD=5cm, 则AC ∶CB=;AC ∶AB=;BC ∶
BD=;CD ∶AB=;AD ∶CD=.
4.若ab=cd ,则有a ∶d=;若m ∶x=n ∶y, 则x ∶y=. 5. 若a, x, b, y 是比例线段,则比例式为;若a=1,x=-2, b=-2.5, 则y= .
6.若a=2cm ,b=8cm, 则a, b, b-a 的第四比例项为;(a+b ),(b-a )的比例中项为.
7.若x ∶(x+1)=7∶9,则x=;若
b b a +=38,则b a =. 8.若5a=3b ,则b a =,b
a b a +-3=. D A