中北大学2007_2008学年第一学期末数值分析考试试题B参考答案与评分标准

一、单项选择题（每小题3分,共15分）1. 和分别作为π(de)近似数具有（ ）和（ ）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰,则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y (de)拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0,()110l x =B ．()00l x ＝0,()111l x =C ．()00l x ＝1,()111l x = D ．()00l x ＝1,()111l x =4. 设求方程()0f x =(de)根(de)牛顿法收敛,则它具有（ ）敛速.A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到(de)第3个方程（ ）.A ．232x x -+=B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+=D ．230.5 1.5x x -=-二、填空题（每小题3分,共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ,2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时,科茨系数()()()33301213,88C C C ===,那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ,所以()0f x =在区间内有根.5. 取步长0.1h =,用欧拉法解初值问题()211y y yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩(de)计算公式 .0,1,2分 人三、计算题（每题15分,共60分）1. 已知函数211y x =+(de)一组数据：求分段线性插值函数,并计算()1.5f (de)近似值.1. 解 []0,1x ∈,()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---[]1,2x ∈,()210.50.20.30.81221x x L x x --=⨯+⨯=-+--所以分段线性插值函数为()[][]10.50,10.80.31,2x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-∈⎪⎩ ()1.50.80.3 1.50.35L =-⨯=2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =,应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X （保留小数点后五位数字）.1.解 原方程组同解变形为1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m =高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间(de)近似根（1）请指出为什么初值应取2 （2）请用牛顿法求出近似根,精确到. 3. 解()331f x x x =--,()130f =-<,()210f =>()233f x x '=-,()12f x x ''=,()2240f =>,故取2x =作初始值4. 写出梯形公式和辛卜生公式,并用来分别计算积分111dxx+⎰.四、证明题（本题10分）确定下列求积公式中(de)待定系数,并证明确定后(de)求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明：求积公式中含有三个待定系数,即101,,A A A -,将()21,,f x x x =分别代入求一、 填空（共20分,每题2分）1. 设2.3149541...x *=,取5位有效数字,则所得(de)近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---,()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商 ()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ,=∞||||X .4．求方程 21.250x x --= (de)近似根,用迭代公式 1.25x x =+,取初始值 01x =, 那么 1______x =。

期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。

（ ）2. 为了减少误差, （ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

（ ）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。

（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

（ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。

5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k X MX N k +=+=产生的向量序列{}()k X 收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。

2006/2007学年第一学期末考试试题参考答案(B 卷)数值分析使用班级： 06研一、填空题(每空4分，共40分)1. 由求解数学模型所采用的数值近似计算所产生的误差称为 截断 误差；2. 设0.001369x =有4位有效数字，则u =的的计算结果中有 3位有效数字；解：0.037000u ==，6541()100.675100.5102u ε---=⨯=⨯<⨯，所以，u 有三位有效数字。

3. 设(0)1,(1)1,(2)5,f f f ==-=则[0,1]f = -2 ；[0,1,2]f = 4 ；()f x 的二次Newton插值多项式为2124(1) 461x x x x x -+--+或 ；又若(1)1f '=，则()f x 的三次Hermite插值多项式为232123(1)(1)41x x x x x x x x -+-+-+-+或；4. 已知方程ln 2x x -=在区间[2,4]中的有一个根，写出求解这一根的Newton 法迭代公式10ln 21ln 11,0,1,1[2,4]k k k k k k k kx x x x x x x k x x +--+⎧=-=⎪⎪-=-⎨⎪∈⎪⎩ ，这一根大约为 3.1461932 ； 5. 求解初值问题00()(,),()y t f t y y t y '==的线性k 步法的一般形式为0,0,1,,kkjn j j n j j j y h f n M kαβ++====-∑∑ ，又若局部截断误差n k R +=()10(),()()kkp jn j j n j n j j j y t h f t y t O h αβ++++==-=∑∑，则称此线性k 步法是p 阶的。

二、解答下列各题(每小题12分，共36分)12分1. 给定数据表求形如y a bx=+的拟合函数。

解：令1u a bx y=+=得………………………………….5分对应的正规方程组TTX X X u =为 ()()()5 2.6 6.073252.6 1.72 3.82034a b = ............................................................ 10分 解之得 ()()0.278871.79958a b = .................................................................................. 11分即10.27887 1.79958y x=+ ................................................................... 12分3 用Romberg 公式求定积分120sin d x x ⎰，要求计算出第一个Romberg 值(3)0T 。

2006/2007学年第一学期末考试试题参考答案（A 卷）数值分析使用班级： 06研试卷2 ：闭卷考试(50分)，120分钟 一、填空题(每空1分，共10分)1. 设0.001369x =有4位有效数字，则ln u x =的的计算结果中有 4 位有效数字；解：ln 6.593674ux ==- ，64311()()0.510 3.65100.5100.001369e u e x x ---≈⨯=⨯⨯=⨯≤⨯ 所以，ln 6.593674ux ==- 有4位有效数字。

2. 设1113A ⎛⎫=⎪-⎝⎭，则2A= 3.2361≈；1A = 4 ；3. 设(0)(0)0,(1)(1)1,(2)1,f f f f f ''=====则[0,1]f = 1 ，[0,1,2]f =12-，则()f x 的四次Hermite 插值多项式()2222432(1)1(1)6944x x x x x x x x ---+=-+； 4. 二次方程21610x x -+=的具有三位有效数字的最小正根为 0.0627 ；5.求积公式11()f x x f f -≈+⎰d 具有 3 次代数精度；6. 求解初值问题00()(,),()y t f t y y t y '==的改进Euler 法的格式为112121()2(,)(,)n n n n n n h y y k k k f t y k f t h y hk +⎧=++⎪⎪=⎨⎪=++⎪⎩，它是 2 阶方法。

二、解答下列各题(每小题8分，共24分)1.求形如by ax =的拟合函数。

解：对by a x =两边取对数得ln ln ln y b x a =+，令l n ,l n ,l n s y t x c a ===，则有s c bt =+，且s 、t3分令1122334411,,11t s t sc X A S t s b t s ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则有AX S =，从而正规方程组T T A AX A S =为44.9698135.4790824.9698136.8196168.094554c b -⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.................................... 9分 解之得1.1100131.995877c b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭............................................................................. 11分 所以拟合函数为-1.9958773.034399b c b y ax e x x === ...................................................... 8分 3 用梯形公式和4n =的复合梯形公式计算1404d 1x x +⎰，并估计误差。

工科数分(1)试题解答(C 类A 卷)一、填空题(1) 12; (2) 1; (3) sin yCx x =; (4) 1e (1)a a --+，1二、选择题C D A B三、判断题1 不正确. 典型反例是[0,1]上的Riemann 函数，它在[0,1]上有无穷个间断点，且在[0,1]的任何子区间上都不单调，但熟知Riemann 函数在[0,1]上可积.2 正确. 对0(,)x a b ∀∈，因f '单调，由单调函数单侧极限存在性定理可知0lim (),lim ()x x x x f x f x -+→→''均存在，故0x 至多为()f x '的第一类间断点，但因导数无第一类间断点，因此0x 必为()f x '的连续点.由0x 取法任意性即有(,)f C a b '∈四、全面讨论函数y =解 1o函数定义域为(,)-∞+∞，且经过点(0,3),(3,0)-；2o令()0y x '=，得驻点13x =-；令()0y x ''=，得11,2x =-；3o因lim ()1,lim ()1x x y x y x →+∞→-∞==-，故曲线有水平渐近线1y =±.曲线无垂直渐近线和斜渐近线；4o列表如下其中()min{()}1/3x f x f ∈==R；拐点((1,,1/2,-- 图形如右五、1求极限lim n →∞+⎝⎭ 解令()f x =[0,1]区间作n 等分，则每个小区间长1k x n∆=，取(1~)k kk n nξ==，于是有13/201122lim (1)1)33n n k x x n →∞===+=⎰现因1111111/n nn n k k k k n n n n n k n =====<<+++∑ 而已计算112lim lim 1)13n nn n k k n n →∞→∞====+由夹逼性定理可知原式21)3=2求极限12lim sin d n nx x →∞⎰解原式11cos 2lim d 2n nxx →∞-=⎰11011lim 22n x x →∞=+⎰⎰由Riemann引理可知有10lim 0n x →∞=⎰，于是原式sin 1/20011cos d 22sin cos x t tx tt t=π==+⎰⎰令 (再令2t x π=-) /201sin d 2cos sin xx x xπ=+⎰ 由此得出原式/201sin cos d 4sin cos x x x x x π+=+⎰1428ππ=⋅= 3 求解二阶微分方程ln xy y x x '''-= 解 令y p '=，化原方程为ln xp p x x '-= ⇒ 1ln p p x x'-=由一阶线性方程通解公式得出11d d 11lne ln e d d x x x xx p x x C x x C x -⎡⎤⎡⎤⎰⎰=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 221111(ln )(ln )22x x C x x C x ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦也即有21d 1(ln )d 2y x x C x x =+. 现因ln 222221(ln )d e d d(e )2x tt t x x x t t t ===⎰⎰⎰令()2221e 2e d 2t tt t t =-⎰ 222e 122t t t C ⎛⎫'=-++ ⎪⎝⎭故通解为()22223ln ln 4x y x x C x C =-++4 求以半径为R 的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积解 过点(,0)x 并与x 轴垂直的平面截正劈锥体所得截面的面积()A x h =， …… 4分故体积R V h x -=⎰…… 6分20π22R h h x ==⎰ …… 8分六、设有界函数()f x 在[,]a b 上的间断点为{}n x ，且0lim (,)n n x x a b →∞=∈，证明[,]f R a b ∈证明 由条件可知0M ∃>，使得(),[,]f x M x a b ≤∀∈.对0ε∀>(ε充分小)，记00(,)(,)x x εεαβ-+=，因有0()n x x n →→∞，故在区间[,],[,]a b αβ上至多含{}n x 中有限项，从而()f x 在这两个区间上均可积.由可积性第二充要条件可知12[,],[,]a b αβ∃π⊂π⊂，使在分法12,ππ下有1k k x ω∆επ<∑ ， 2k k x ω∆επ<∑而对于3[,]αβ∀π⊂，恒有3324k k k x M x M ω∆∆εππ≤=∑∑.取123π=π⋃π⋃π（此时,αβ为分点），就有1213nk k k k k k k k x x x x κω∆ω∆ω∆ω∆=πππ=++∑∑∑∑2(21)M ε<+.仍由可积性第二充要条件可知[,]f R a b ∈.七、设正值函数[,]f C a b ∈，定义()d ,bn n a x f x x n =∈⎰N .证明(1)对n ∀∈N 有212n n n x x x ++≤；(2){}1/n n x x +收敛，且1[,]lim{/}max{()}n n n x a b x x f x +→∞∈=证明 （1）由Schwarz 积分不等式，有()22221221()d ()()d n n b bn n aa x f x xfx f x x +++⎛⎫==⋅ ⎪⎝⎭⎰⎰2()d ()d b bn n aaf x x f x x +≤⋅⎰⎰2n n x x +=（2）由(1)的结果有121,n n n n x x n x x +++≤∀∈N ，即数列1n n x x +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是单调递增的. 又f 恒正连续，故0[,]x a b ∃∈：def0()max{()}0a x bf x f x M ≤≤==>，于是对n ∀∈N ，有 11()d ()d bbn n n n aax f x x M f x x M x ++=≤=⎰⎰也即有1n nx M x +≤，即数列1n n x x +⎧⎫⎨⎬⎩⎭有上界，从而数列1n n x x +⎧⎫⎨⎬⎩⎭收敛.往证n M =.由条件0,0,x εδ∀>∃>∀0(,)[,]U x a b δ∈⋂def[,]αβ=：00()()()f x f x f x ε-<≤ ⇒ []00()()()nn n f x f x f x ε-<≤ 由此得出[]111100()()()d ()d ()()bnnnnnna f x f x x f x x f xb a βαεβα⎡⎤⎡⎤--<≤≤-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰ 已知11lim()lim()1n nn n b a βα→∞→∞-=-=，从而有100()lim ()d ()bnn a n f x f x x f x ε→∞⎡⎤-≤≤⎢⎥⎣⎦⎰由ε任意性即得10lim ()d ()bnn a n f x x f x →∞⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰. 再由Cauchy 第二定理就有10lim ()n n n n nxf x M x +→∞====.工科数分(1)试题解答(C 类B 卷)一、填空题(1) 12-; (2) 1; (3) sin y C x x =(或1Cx); (4) 1e (1)λλ--+，1二、选择题 B A C D。

2007-2008学年第一学期《传热传质学》期末考试试卷1. 概念题（35分，每题5分）① 写出Nu 、Bi 的准则数表达式，并解释Nu 、Bi 数的物理意义及其不同之处。

努赛尔数λhlNu =，物理意义为近壁面流体的无量纲温度梯度，表示对流换热的强弱。

毕渥数 λδh Bi = 或 λhlBi =，物理意义为导热物体内部导热热阻与外部对流换热热阻的相对大小。

Nu 数中λ为流体的导热系数，一般对流换热系数h 未知，Nu 为待定准则数； Bi 数中λ为导热固壁的导热系数，一般对流换热系数h 为已知量，Bi 为已定准则数。

② 强制对流和自然对流分别存在哪两种流动形态？判断强制对流和自然对流流动形态的准则数分别是什么？流动形态主要分为层流和湍流（紊流）；强制对流的流动形态判断准则数为雷诺数νul=Re ，自然对流的流动形态判断准则数为格拉晓夫数23ναtl g Gr ∆=。

③ 试说明在相变对流换热中，产生凝结换热和沸腾换热的必要条件。

产生凝结换热的必要条件：壁面温度小于蒸汽的饱和温度，s w t t <； 产生沸腾换热的必要条件：液体的饱和温度小于壁面温度，s w t t >。

④ 简述维恩位移定律，并由此分析为何炼钢时随着温度的升高，钢锭表面颜色由暗红逐渐变白？维恩位移定律：黑体的最大光谱辐射力对应的波长与温度成反比（或黑体的最大光谱辐射力对应的波长与温度的乘积等于常数）。

mK T m 3108976.2-⨯=λ实际物体的光谱辐射力随波长的分布规律与黑体基本一致。

根据维恩位移定律，炼钢时随着温度T 的增加，热辐射中最大光谱辐射力对应的可见光波长向短波移动，即钢锭表面的颜色由暗红逐渐变白。

⑤ 试分别指出下列基尔霍夫定律表达式的应用层次及其成立的条件。

)()(),,(),(T T T T αελαλε==),(),(T T λαλε=：描述的是半球空间光谱发射率与光谱吸收比的关联，成立条件为辐射表面具有漫射特性，即为漫射表面；)()(T T αε=：描述的是半球空间（全波段）发射率与吸收比的关联，成立条件为与黑体处于热平衡或辐射表面是具有漫射特性的灰体表面（漫灰表面）。

2008/2009 学年第 2 学期末考试试题（A 卷）数值分析参考答案使用班级： 高教硕士、工程硕士一、填空题（每空3分，共30分）1、 由于计算机的字长限制，计算机在存取原始数据以及每一次计算都会对数据进行四舍五入，由此产生的误差称为舍入误差；而数值计算方法得到的近似解与数学模型的准确解之间的误差称为截断 误差（或方法误差）；2、 设*0.01320a =-是准确值a 经四舍五入得到的近似值，那么它的一个绝对误差限()*a ε=0.000005，相对误差()*r a ε=0.038%； 祖冲之的密率*355113π=作为圆周率3.1415926535897...π=的近似值具有 7 位有效数字；3、 方程cos x x =的根*x =0.73909（精确到小数点后5位）；4、 设(1)0.5,(0)1,(1)2f f f -===，则一阶差商[1,0]f -=0.5，二阶差商[1,0,1]f -=0.25，函数()f x 的二次Newton 插值多项式2()p x =213144x x ++； 5、求积公式()()()1-1141()d 101333f x x f f f ≈-++⎰具有 3 次代数精度。

二、利用Doolittle 分解求解以下方程组（本题10分）123212321232123242528721074836712611203x x x x x x x x x x x xx x x x +++=-⎧⎪+++=-⎪⎨+++=-⎪+++=-⎪⎩ 解：采用紧凑格式的LU 分解，其过程为由方程组的增广矩阵所以，()T1111x =--。

注：若不按以上紧凑格式方法做的其它做法，只要正确也给分。

其中()LU2421523872107|148367112611203A b -⎫-⎛⎫⎪- ⎪⎪-⎪⎪=−−−→ ⎪-⎪- ⎪⎪-⎝⎭⎪⎭分解100042152210003003,,,,121000************L U y Ly b Ux y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎪⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭三、（本题10分）写出求解线性方程组1231231235212421025101x x x x x x x x x +=-⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩＋- 的Jacobi 迭代算法及其对应的迭代矩阵，并说明用Jacobi 迭代法求解此方程组是收敛的。