中北大学2006_2007学年第一学期末数值分析考试试题B参考答案

数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211N dx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2? 10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小.11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且 101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj j j x l x xk n =≡=∑ii) 0()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2nn y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆. 12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.试求三次样条插值并满足条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一?9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式. 10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]22sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26.2y a bx =+.27.用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度:(1)101()()(0)()h h f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分10xedx-⎰并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2ba f f x dxb a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误()f x第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。

一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和42. 已知求积公式()()211211()(2)636f x dx f Af f ≈++⎰，则A ＝（ ）A ． 16B ．13C ．12D ．233. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（ ）A ．()00l x ＝0，()110l x = B ．()00l x ＝0，()111l x =C ．()00l x ＝1，()111l x = D ．()00l x ＝1，()111l x =4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（ ）敛速。

A ．超线性B ．平方C ．线性D ．三次5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=⎧⎪++=⎨⎪--=⎩ 作第一次消元后得到的第3个方程（ ）.A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+=C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=-单项选择题答案1.A2.D3.D4.C5.B二、填空题（每小题3分，共15分）1. 设TX )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = .2. 一阶均差()01,f x x =3. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么()33C = 4. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足 ，所以()0f x =在区间内有根。

5. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211yy yx y ⎧'=+⎪⎨⎪=⎩的计算公式 .填空题答案1. 9和292.()()0101f x f x x x --3. 18 4. ()()120f f < 5. ()1200.11.1,0,1,210.11k k y y k k y +⎧⎛⎫⎪ ⎪=+⎪ ⎪=+⎨⎝⎭⎪=⎪⎩得 分 评卷人三、计算题（每题15分，共60分）1. 已知函数211y x =+的一组数据：求分段线性插值函数，并计算()1.5f 的近似值.计算题1.答案1. 解[]0,1x ∈，()1010.510.50110x x L x x --=⨯+⨯=---()12x L x -=-所以分段线性插值函数为()10.50.80.3x x L x x x ⎧-∈⎪=⎨-⎪⎩()1.50.8L =2. 已知线性方程组1231231231027.21028.35 4.2x x x x x x x x x --=⎧⎪-+-=⎨⎪--+=⎩（1） 写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2） 对于初始值()()00,0,0X =，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算()1X（保留小数点后五位数字）.计算题2.答案1.解 原方程组同解变形为 1232133120.10.20.720.10.20.830.20.20.84x x x x x x x x x =++⎧⎪=-+⎨⎪=++⎩雅可比迭代公式为()()()()()()()()()1123121313120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x +++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩(0,1...)m = 高斯－塞德尔迭代法公式()()()()()()()()()1123112131113120.10.20.720.10.20.830.20.20.84m m m m m m m m m x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪⎪=-+⎨⎪=++⎪⎩ (0,1...)m =用雅可比迭代公式得()()10.72000,0.83000,0.84000X =用高斯－塞德尔迭代公式得()()10.72000,0.90200,1.16440X =3. 用牛顿法求方程3310x x --=在[]1,2之间的近似根 （1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001.计算题3.答案4. 写出梯形公式和辛卜生公式，并用来分别计算积分1011dx x +⎰.计算题4.答案确定下列求积公式中的待定系数，并证明确定后的求积公式具有3次代数精确度()()()()1010hhf x dx A f h A f A f h --=-++⎰证明题答案一、 填空（共20分，每题2分）1. 设2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= .2.设一阶差商()()()21122114,321f x f x f x x x x --===---，()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--则二阶差商()123,,______f x x x =3. 设(2,3,1)TX =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。

姓名 __________ 班级 ___________ 学号 _____________一、选择题i.F （2,5,-3,4）表示多少个机器数（C ）.A 64B 129C 257D 256 2. 以下误差公式不正确的是（D ）A ・ £（迎 *一七 *）« 5（Xj*）+£（£ *） c ，£（“*•£ *）«|^2 *k （-'l*） + |时住2 *）3. 设° =（、任_1）6,从算法设计原则上定性判断如下在数学上等价的表达式，哪一个在数值计算上将给出°较好的近似值？ （D ）A ———B 99-70V2C （3-2V2）3D —— （V2 +1）6 （3 + 204. 一个30阶线性方程组，若用Crammer 法则来求解，则有多少次乘法？（A ） A31X29X30! B 30X30X30! C31X30X31! D 31X29X29!5. 用一把有亳米的刻度的米尺来测量桌子的长度，读出的长度1235mm,桌子的精确长度 记为（D ） A 1235mm B 1235-0.5mm C 1235+0.5nun D 1235±0.5mm二、填空1. 构造数值算法的基本思想是 近似替代、离散化、递推化 。

2. 十进制123.3转换成二进制为1111011.0而1。

3. 二进制110010.1001转换成十进制为 50.5625 。

4. 二进制o.ioi 转换成十进制为-o75.已知近似数X *有两位有效数字，则其相对误差限 5%。

6.1112=0.69314718...,精确到 10一’的近似值是 0.693。

* *7. x = ;r = 3.1415926・・・，则“ =3.1416 , =3.141的有效数位分别为5 和 3 __________ o8. 设卅=2.001,严=-0.8030是由精确值x 和y 经四舍五入得到的近似值，则兀* +y *的误差限____________________ o9.设x = 2.3149541•…，取5位有效数字，则所得的近似值卅二2.3150 。

数值分析试卷及答案数值分析试卷一、选择题（共10题，每题2分，共计20分）1. 数值分析的研究内容主要包括以下哪几个方面？A. 数值计算方法B. 数值误差C. 数值软件D. 数学分析答：A、B、C2. 下列哪种方法不属于数值积分的基本方法？A. 插值法B. 微积分基本公式C. 数值微积分D. 数值积分公式答：A3. 数值积分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：D4. 数值微分的目的是求解什么？A. 函数的导数B. 函数的原函数C. 函数的极值D. 函数的积分答：A5. 数值微分的基本方法有哪几种？A. 前向差分B. 后向差分C. 中心差分D. 插值法答：A、B、C6. 用数值方法求解方程的基本方法有哪几种？A. 迭代法B. 曲线拟合法C. 插值法D. 数值积分法答：A、B、C7. 用迭代法求方程的根时，当迭代结果满足何条件时可停止迭代？A. 当迭代结果开始发散B. 当迭代结果接近真实解C. 当迭代次数超过一定阈值D. 当迭代结果在一定范围内波动答：B8. 下列哪种插值方法能够确保经过所有给定数据点？A. 拉格朗日插值B. 牛顿插值C. 三次样条插值D. 二次插值答：A、B、C9. 数值解线性方程组的基本方法有哪几种？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 拟合法答：A、B10. 下列哪种方程求解方法适用于非线性方程？A. 直接法B. 迭代法C. 插值法D. 曲线拟合法答：B二、填空题（共5题，每题4分，共计20分）1. 数值积分的基本公式是_________。

答：牛顿-科特斯公式2. 数值微分的基本公式是_________。

答：中心差分公式3. 数值积分的误差分为_________误差和_________误差。

答：截断、舍入4. 用插值法求解函数值时，通常采用_________插值。

答：拉格朗日5. 数值解线性方程组的常用迭代法有_________方法和_________方法。

题型一:有效数字1,确定113的首位数字x 1,要使113的近似值x *的相对误差不超过0.5×10-5，至少要保留几位有效数字.(2010-2011)1*1151211||10100.5102226n n r x n e x n ---=≤⨯=⨯≤⨯⨯≥=解答：设至少要保留位有效数字，则有解得， n 5.7取位有效数字.2，要使112的相对误差不超过0.5×10-4，至少要保留几位有效数字?(2009-2010) 3,已知21.787654为有效数，确定其绝对误差界与相对误差界.(2007-2008)*6*118711||102111||1010102224n r e e x ----=⨯=⨯=⨯=⨯⨯解答：4,已知30.49876为有效数，确定其绝对误差界.(2006-2007B)5,设有效数x=12.4567,确定x 的绝对误差界.(2004-2005)题型二：插值多项式1,已知f(x)的函数值：f(0)=-2, f(1)=1, f(2)=5, 用反插值法求f(x)=0在[0，2]内的近似根x *.(2010-2011)11111202012012010210122021()()()()()()()()()()()()()()()()()(2)(5)(2)(1)012(12)(15)(52)(51)2991422884y y y y y y y y y y y y y L y f y f y f y y y y y y y y y y y y y y y y y y ----------=⋅+⋅+⋅------+-+-=+⨯+⨯+-+-=+-解答：对y=f(x)的反函数x=f 进行二次插值2*229(0)42y x L ≈=故，2,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(-1)=1, f(0)=2, f ’(0)=3, f(1)=7; (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式H 3(x);(2),x ∈[-1,1], 确定用H 3(x)代替f(x)的误差界（已知|f (4)(x)|≤M 4，x ∈[-1,1]).(2010-2011)32001001201232233)),(0,1,2)()()[,]()[,,]()()1(1)2(1)(0)232()()(1)(0)(1)232()'(i i H x f x i N x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x H x N x k x x x x x k x x H ===+-+--=++++-=++=++--=+++-解答：(1),满足插值条件（（的二次插值多项式为：也可用拉格朗日插值法满足题设插值条件的插值多项式为：2323(4)23443)43(31)'(0)'(0)3()232()(2),(1)(0)(1),(1,1)4!1||=4!496x x k x H f H x x x f R x x x M M R ζζ=++-===+++--∈-≤⨯由得：k=0故：误差（x)=则误差界（x)3,已知f(x)的函数值：f(0)=2, f(1)=4, f(2)=9, 写出二次拉格朗日插值多项式及余项.(2009-2010) 4,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(1)=1, f(2)=2, f ’(1)=3, f(3)=9; (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式；(2)计算f(1.6)的近似值；若M 4=0.5，估计f(1.6)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2009-2010)5,写出满足条件H(0)=1, H(1)=0, H ’(1)=1, H(2)=1的三次插值多项式，并给出误差估计式.(2008-2009B)6,已知一组数据，求函数f(x)=0的根.(2008-2009B)x i -1 0 2 3 f(x i )-7-1177,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(0)=1, f(1)=3, f ’(1)=1, f(2)=9, (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式，写出误差估计式；(2),计算f(1.8)的近似值：若M 4=1，估计f(1.8)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2007-2008) 8,已知f(x)的如下函数值及导数值：f(1)=2, f(2)=4, f ’(2)=5, f(3)=8, (1),建立不超过3次的埃尔米特插值多项式；(2),计算f(2.5)的近似值：若M 4=0.5,估计f(2.5)的误差界.(已知|f (4)(x)|≤M 4).(2006-2007） 9,已知f(x)的如下函数值表x i 0.1 0.2 0.3 0.4 f(x i )1.122.652.811.68选取合适的插值节点，用二次插值多项式计算f(0.35)的近似值.(2005-2006) 10,已知f(x)=sinx 的如下函数值表x i 1.0 1.5 2.0 sinx i0.84150.99750.9093用插值多项式计算sin1.8, 并估计误差界.(2004-2005)11,用f(x)的关于互异节点集112{}{}n ni i i i x x -==和的插值多项式g(x)和h(x)构造出关于节点集1{}ni i x =的插值多项式.(2005-2006)（课后习题）-11111121111{}(),()(){}(),()()()()))()())]()n n i i i i n n n n n n n n n n n n n n q x q x g x x x x x x x x x g A x x g x ==------=----=-解答：法一：设关于节点集x 的插值多项式为则与有共同插值节点x ，则设：q(x)=g(x)+Aw w f(x (x )由q(x )=f(x 得，w w 故：q(x)=g(x)+[f(x (x )w 法二：设q(x)=g(x)+1-122311111()()(){}()()()()(),01()=()[()()]()[()()]()()()()()()[()()]=-n n i i n n n n n n n n n n x g x h x B g x h x B x x x x x x B x x x g x h x BAx x g x h x Bq x f x h x Ah x g x x x g x h x BA B -=---=---≠----===+--Aw 由于和有共同插值节点x ，则存在常数，使得则，w 故：q(x)=g(x)+由得得1111()[()()]()n n x x x x h x g x x x ----则：q(x)=g(x)+12,(1),已知f(x)的如下函数值：f(0)=1,f(1)=3,f(3)=5,写出二次拉格朗日插值多项式L 2(x); (2),若同时已知：f ’(1)=1,用待定系数法求埃尔米特插值多项式H 3(x)； (3),当(3)(4)1|()|2|()|4,[0,3]fx fx x ≤≤≤≤∈及3时，x 不取节点，[0,3]x ∈，求32()()||()()f x H x f x L x --的上界.(2011-2012)题型三：最佳平方逼近多项式及最小二乘法1,已知函数值表：x -2 -1 0 1 2 y121用二次多项式y=C 0+C 1X+C 2X 2按最小二乘法拟合改组数据,并求平方逼近误差.(2010-2011)（2005-2006）()000102030410111213142021222324012()()()()()11111()()()()()21012()()()()()4101401210,5010010010034T T T T x x x x x A x x x x x x x x x x y A AC A y c c c ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==-- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝解答：法一：线性拟合的法方程组为：即()()01222*20000100011402583,0,3575833570581358||||=(y,y)-Y 01210402023531701(,)0,(,)(T c c y x C x xx δϕϕϕαϕαϕϕϕα⎫⎛⎫⎪ ⎪=⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭===-=-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭====解得:c 则平方逼近误差：法二：构造首项系数为的正交多项式：（x)=1（x)=x-111211021100002*22022220,)0(,)(,)2,()()2(,)(,)46583()()0(2)(,)514357(,)8||||=(y,y)-(,)35i i i i i i i i i x x y x x x x y ϕϕϕϕϕβααϕβϕϕϕϕϕϕϕϕϕδϕϕ======----==++-=-=∑∑（x)（x)=x 则,平方逼近误差：2,求21()1f x x=+在区间[0,1]上的一次最佳平方逼近多项式及平方逼近误差（去权函数ρ(x)=x).(2009-2010) 3,通过实验获得以下数据：x i 0 1 2 3 y i13610请用最小二乘法求形如y=a+bx 2的经验公式.(2008-2009)T T A AC A y =解析：4,利用正交多项式的性质构造首项系数为1的正交多项式1{()}i i g x ∞=,有下列公式：010111()1()()()()(),(1,2,...)k k k k k g x g x x g x x g x g x k ααβ+--==-=--=其中：111(,),(0,1,2...)(,)(,),(1,2...)(,)k k k k k k k k k k xg g k g g g g k g g αβ---====(1),求[0,1]上首项系数为1的正交多项式（权函数ρ(x)=1),g 0(x),g 1(x),g 2(x)(2),以上述正交多项式为基，求sinx 在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求平方逼近误差.(2008-2009B)(2004-2005)010000110001201111211021102110000*010001(1),()1(,)11,()(,)221()(,)121(,)2()2(,)11,()()()()(,)126(,)(,)(2),()(,)(g x xdx xg g g x x x g g dx x x dx xg g g g x dx g g g x x g x g x x x g g g f g f x g g g g αααβαβϕ=====-=--===-===--=-+=+⎰⎰⎰⎰解答：21212211120020111222000222*220(,),)(,)11()sin ()sin sin 11621()()1126()()260.00746 1.09130.23546(,)||||(,)0.000623.(,)i i i i g f g g g g g x x xdx x xdx xdx x x x dx x dx x x dx x x f g f f f g g ϕ=+-+-=⋅+⋅-+⋅-+--+=-+--=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰∑平方逼近误差：5,以正交多项式为基，求函数21()1f x x=+在区间[0,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求平方逼近误差.(2007-2008)(权函数ρ(x)=x,(2011-2012))20120122201201()1,(),(),111()2,()1,()2242211112234211113454111112224561.0656,0.503x x x x x f In f f In C F In c c c In ϕϕϕπϕϕϕπ=====-=-=⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==-解答：法一：取解得，，，正规方程组为：H 即：解得：c c 2*222*00001000111110110002,0.07423() 1.06560.503020.07423=(f,f)-F 0.000029041()11(,)223,()1(,)332(,)8(,)1,(,)15(,)T n p x x x C g x xg g g x x x g g xg g g g g g g g δαααβ=-=--======-=-====c 故二次最佳平方逼近多项式：平方逼近误差：法二：构造首项系数为的正交多项式：221100*201220120011222*1882163()()()()()()15318510(,)(,)(,)()()()() 1.06560.503020.07423(,)(,)(,)=(f,f)-F 0.00002904T n g x x g x g x x x x x f g f g f g p x g x g x g x x x g g g g g g C αβδ=--=---=-+=++=--=则：平方逼近误差：6,通过实验获得以下数据：u i 0 1 9 16 v i11/21/31/4请用最小二乘法求形如011v c c u=+的经验公式，并求平方误差.(2006-2007)011:c c u v=+解答转化题型四：代数精确度1,确定参数α，使求积公式20()[(0)()]['(0)'()]2hhf x dx f f h h f f h α≈++-⎰的代数精确度尽可能高，并求其代数精确度.(2010-2011)23322442320()1,,()1(),=121()()(0)(03)2121()()0+)(04)212()[(0)()]['(0)'()]2h h h f x x f x f x x h f x x f x dx h h h h f x x f x dx h h h hf x dx f f h h f f h αα====++-=≠+-≈++-⎰⎰⎰解答：令显然成立令得又时：时：（故具有三次代数精确度.2,确定参数A 1，A 2，使求积公式12()()(0)()3hhhf x dx A f h A f f h -≈-++⎰的代数精确度尽可能高，并求其代数精确度.(2009-2010) 3,建立高斯型求积公式1211221()()()x f x dx A f x A f x -≈+⎰.(2009-2010)231212113112211224112211335112211212000010001,23025031,53()1(,)0,()(,)x A A x dx A x A x x dx A x A x x dx A x A x x dx x A A g x xg g g x x xg g ααα----+==+==+==+===-=-======-=⎰⎰⎰⎰解答：法一：已知求积公式有3次代数精确度，令f(x)=1,x,x 得解上述方程组得：x 法二：构造二次正交多项式11110110022110021211222112111221121(,)(,)30,(,)(,)53()()()()53()0,511,33133()[()()]355xg g g g g g g g g x x g x g x x g x x x x x x A x dx A x dx x x x x x f x dx f f βαβρ---=====--=-==-=---=⋅==⋅=--≈-+⎰⎰⎰令得高斯点： x 故高斯型求积公式为：方法三：设[-1,1]上权(x)2221221122122121122221122331122212121().223()0,+0,5352()0,0,053().52:3250()()(),(g x x ax b b x g x dx b a x xg x dx a g x x A A A x A x A x A x A x A x x x x x x x c x c x ϕϕ--=++===-⋅====-+=+=+=+==--=++⎰⎰=x ,首项系数为1的二次正交多项式为则有：即即所以剩下步骤同法二.法四显然222221122111122212211221112221222332211122211221112221122112)()0()()()()()()()2230,535()()()()()20,053(),5x A x A x A x c x c A x c x c A x A x c A x A x c A A c c A x x A x x A x A x c A x A x c A x A x c c x x ϕϕϕϕϕϕ==+=+++++=+++++=+==-+=+++++====-剩下步骤同法二.4,确定求积公式()()(0)()hhf x dx Af h Bf Cf h -≈-++⎰中的参数A,B,C ，使其代数精度尽量高，并指出其代数精确度.(2008-2009B) 5,确定求积公式1211123()()()()343234f x dx f f f ≈-+⎰的代数精确度.(2006-2007B) 6,确定下列求积公式中的参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求出代数精确度10120113()()()()424f x dx A f A f A f ≈++⎰.(2005-2006)7,确定下列求积公式中的参数，使求积公式的代数精确度尽可能高，并求出代数精确度101()()(0)()hhf x dx A f h A f A f h --≈-++⎰.(2004-2005)8,已知h>0，建立高斯型求积公式：21122()()()hhx f x dx A f x A f x -≈+⎰.(2011-2012)题型五：求积公式的最少节点数1,设定积分32x e dx -⎰，问用复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数为多少？(2010-2011)(4)2244(4)461(),()16301[]||()|101801801696017.0519.x xS f x e fx eb a h f h f h b ahη---==--=-≤⋅=<-=解答：复化辛普森公式截断误差：|R 解得：h<0.176,n>故应取个节点2,设定积分13x edx -⎰，问用复化梯形求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数为多少？（2009-2010）(2)3322(2)261(),()9101[]||()|10121891622.8.x x T f x e f x e b a h f h f h b ahη---==--=-≤⋅=<-=解答：复化梯形公式截断误差：|R 解得：h<0.357,n>故应取4个节点3,给定积分2cos2xdx ⎰，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？（注：2(2)4(4)[](),[](),[,]122880T S b a b a R f h f R f h f a b ηηη--=-=-∈）(2008-2009B) 4,给定积分14x edx -⎰，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？（2007-2008） 5，给定积分21Inxdx ⎰，问用复化梯形求积公式和复化辛普森(Simpson)求积公式进行计算，要求误差小于10-6，所需要的最少节点数各为多少？ （已知：2(2)4(4)1212[](),[](),,(,)12180T S b a b a R f h f R f h f a b ηηηη--=-=-∈）（2006-2007） 6,用积分82122dx In x=⎰计算In2，要使所得近似值具有7位有效数字，问用复化辛普森求积公式至少需要取多少个节点？（2005-2006）4(4)8(4)52(4)-744(4)4-7[](),[2,8]18011122,(),()223|()|,[2,8]817[]102631[]||()|101801808802820.04472,S S S b a R f h f In dx f x f x x x xf x x R f b a h R f h f h h n hηηη-=-∈===≤∈≤⨯-=-≤⋅=≤⨯-≤≥=⎰解答：复化辛普森公式截断误差公式：则使所得的近似值具有位有效数字，即令：|134.2137故至少需要取个节点.7，用积分6213dx In x=⎰计算In3，要使所得近似值具有5位有效数字，问用复化梯形求积公式至少需要取多少个节点？（2004-2005） 8,对于定积分1()If x dx =⎰，当M 2=1/8,M 4=1/32,用11点的复化辛普森(Simpson)求积公式求I 的截断误差为R s [f],用n 个节点的复化梯形求积公式求I 的截断误差为R T [f],要使R T [f]≤R s [f]，n 至少是多少？（M 2=max|f ”(x)|,M 4=max|f (4)(x)|,[0,1]x ∈).(2011-2012)题型六：Doolittle 分解及方程组求解1,求矩阵212454635⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭的Doolittle 分解.(2010-2011) 212100212454210030635321001LU ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭解答：A=2,求矩阵114103241⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭的Doolittle 分解.(2009-2010) 3,设线性方程组123410135114152410162116x x x x ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⋅= ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解；(2),用所得的Doolittle 分解求该线性方程组的解.(2007-2008&2005-2006)1234123410001013101311000132114124100013224101119162116210001313191,,,)(5,0,11,)13,,,)(1,1,1,1).T TT T A LU LY b y y y UX Y x x x --⎛⎫⎛⎫--⎛⎫ ⎪⎪- ⎪ ⎪⎪-⎪=== ⎪⎪--- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭==---==--解答：由得：(y 由得：(x4,设线性方程组123411415101312410762118x x x x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎪ ⎪⋅=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解；(2),用所得的Doolittle 分解求该线性方程组的解.(2006-2007)5,设线性方程组：12312312323153478113x x x x x x x x x ++=+-=-++=-(1),对方程组的系数矩阵A 作Doolittle 分解；(2),利用上述分解结果求解该线性方程组.(2004-2005)6,用高斯顺序消去法求解线性方程组：13241234242532431737x x x x x x x x x x +=+=+++=+=.(2010-2011)432110205102051020*******101301013=124317022312002160103701037000242,2,1, 1.x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪→→⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭====解答：增广矩阵回代求解：x 7,用高斯顺序消去法求解线性方程组:1231231233472212320x x x x x x x x x -+=-+-=---=.(2009-2010)题型七：条件数及范数1,求线性方程组1212391078981510x x x x x --=+==的系数矩阵A 的条件数cond 1(A),并说明其含义.（2010-2011）1111191008900015910089010015()||||||||19193611A A cond A A A A b ----⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪-- ⎪= ⎪⎪⎪⎝⎭==⨯=解答：系数矩阵条件数远大于，这说明当和有小扰动时会引起解的较大误差，即该方程组是病态的.2,设矩阵15000910089A ⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪⎝⎭，求cond ∞(A).（2009-2010） 3,设三阶对称矩阵A 的特征值分别为：-2,1,3，求||A||2及cond 2(A).(2007-2008)222max max max 111-122-12max max max 1222||||()()()3||||(())()=()=1()|||||||| 3.T T A A A A A A A A A A cond A A A λλλλλλ----========解答：（）则：4,若n 元线性方程组Ax=b 为病态的，可以得到关于系数矩阵A 的什么性质.(2006-2007)5,若111123124A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,求cond 1(A).（2005-2006）求cond ∞(A).(2004-2005) 6,设1231032475A -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭,求1||||||||A A ∞与.(2007-2008)7,若1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭,求谱半径()A ρ.(2005-2006)5332ρ+解答：最大特征值：（A)=题型八：雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代1，写出求解方程组1231231237321241021534818x x x x x x x x x -+=--=--=的雅可比迭代公式，并说明其收敛性.(2010-2011)(1)()()123(1)()()213(1)()()312(0)1(3212)71(4215)101(3418)87324102348.k k k k k k k k k J x x x x x x x x +++=-+=--++=--++-⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪--⎝⎭解答：雅可比迭代公式为：x 雅可比迭代法迭代矩阵：B 严格对角占优，故求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量x 收敛2，设有方程组：132********2112212x x x x x x x -=+=-++=，讨论用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此方程组的收敛性.(2010-2011)112330200030000202100002000121221000200020031()002110211||0,=0=-=-12J J J L D U B D L U E B B λλλλρ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=++=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪⎪- ⎪⎝⎭-=解答：A=雅可比迭代矩阵：得，（）<1,故用雅可比迭代法解答此方程组对任意(0)1123(0)20031-()00211001211||0,=012-S S S B D L U E B B λλλλρ-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪=-+=- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭-===初始向量x 都收敛.高斯赛德尔迭代矩阵：得，（）<1,故用高斯赛格尔迭代法解答此方程组对任意初始向量x 都收敛.3,写出求解方程组：123123123532124721535818x x x x x x x x x -+=--=--=的高斯-赛德尔迭代公式，并说明收敛性.(2009-2010)4,用雅可比迭代法求解以313132323A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭为系数矩阵的线性方程组时，确定其收敛性.(2009-2010)5,设线性方程组123123123221162222x x x x x x x x x -+=-+-=--+=-，讨论分别用雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法解此线性方程组的收敛性，若收敛，请给出迭代格式.(2008-2009B)6,设线性方程组：1231231232215202225x x x x x x x x x +-=-++=++=-(1),证明求解该方程组的雅可比迭代法关于任意初始向量收敛；相应的高斯-赛德尔迭代法不是关于任意初始向量收敛；(2),取(0)(0,0,0)T x =，用雅可比迭代法进行求解，要求(1)()5||||10k k xx +--<.(2007-2008)11231123022()101220||0,===0)1022()023002||0,0,2,)1-J J J S S S D L U E B D L U E λλλλρλλλλρ---⎛⎫ ⎪=-+=-- ⎪⎪--⎝⎭-=<-⎛⎫⎪=-+=- ⎪⎪⎝⎭-====>解答：(1):B B 解得：，（B B 解得：（B 所以用雅可比迭代法解此方程组对任意初始向量都收敛,而用高斯赛德尔迭代法解此方程组不是对任意初始向量都收敛.(2):(1)()()123(1)()()213(1)()()312(0)(1)(2)(3)(4)2215202225(0,0,0)(15,20,25)(105,60,35)(205,160,65)(205,160,65)k k k k k k k k k T T T TTx x x xx x x x x x x x x +++=-+-=--+=---==--=--=-=-雅可比迭代公式：x 当时，计算得：（精确解）.7,设线性方程组:123123123821027325431111x x x x x x x x x ++=--++=-+=-(1),写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式和高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并确定其收敛性； (2),取(0)(0,0,0)T x=，用高斯-赛德尔迭代法计算x(3).(2006-2007)8,设线性方程组Ax=b 的系数矩阵232131t A t t ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，其中t<0，问t 取何值时雅可比迭代法关于任意初始向量都收敛.(2006-2007)12122223021()0310422||()0=0=-,=)12||<1,t<-2,or t>20, 2.J J J t t D L U t t t t E B t t ttt t λλλλλλρ-⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭-=-=<<<-解答：雅可比迭代矩阵B 得，，雅可比迭代法对于任意初始向量都收敛，则（B 即：得又故9,1),设线性方程组：121232343243430424x x x x x x x +=+-=-+=-写出求解该方程组的雅可比迭代法的迭代公式，并确定该迭代法的收敛性；2),设线性方程组：123123123104413410811481025x x x x x x x x x ++=++=++=写出求解该方程组的高斯-赛德尔迭代法的迭代公式，并确定该迭代法的收敛性.(2004-2005)10,给定方程组：1231231232251223x x x x x x x x x +-=++=++=(1),用三角分解法解此方程组；(2),写出解此方程组的雅可比迭代公式，说明收敛性；取初始向量x 0=(0,0,0)T,当21||||10k kx x -+-<时，求其解.(2011-2012)11,设()21253sin 3421sincos 4134tan 5k k k k k k k Ak k k kkk⎛⎫- ⎪+ ⎪ ⎪= ⎪+ ⎪ ⎪+ ⎪⎝⎭，求()lim k k A →∞.(2007-2008)()020lim 021205K k A →∞⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭解答：12,若()()11,lim 1sin sin k k k k k k AA k k k k →∞⎛⎫⎪+=⎪ ⎪⎪⎝⎭求.(2004-2005)()01lim 10K k A→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭解答： 题型九：非线性迭代1,设计一个算法求125的值.(2008-2009B)101125(),0.2k k kx x x +=+>解答：牛顿迭代公式：x2,给出用牛顿法求6170的近似值的迭代公式，并确定初值的取值范围.(2010-2011)6661556'5"4"*600066601050517017001701170[5]66()170,()60,()300170()()0,.1170170170(5)17061170()(5)6k k k k k kx x x x x x x x f x x f x x f x x x f x f x x x x x x g x x x +=-=-=-=+=-=>=>>⋅><-=+-=+-解答：转化为方程的正根.由牛顿迭代法得迭代公式：当时，故此时收敛到当0<时，设66'6666611*60170,(0,170)1850()(5)0,(0,170),()(170)0,6:1700,170,(0,170),.0.x g x x g x g xx x x x x ∈=-<∈>=->>∈>故故回到前段.所以当迭代公式也收敛到综上：3,给出用牛顿法求5140近似值的迭代公式，并给出初值的取值范围.(2009-2010)解答：方法同上.4,设φ(x)=x+c(x 2-5),当c 为何值时，x k+1=φ(x k )，(k=0,1,2…)产生的序列{x k }收敛于5；又c 为何值时收敛最快？(2010-2011)2''**1**'*5),||<1,||<1110,=50;51.25k k cx x c ϕϕϕϕϕ+-=-<<-<<解答：(x)=x+c(x (x)=1+2cxx (x )收敛，则有(x )即1+2cx 又，则当(x )=0,即c=-时，收敛最快5,设2()(3)x x c x ϕ=+-，应如何选取常数c 才能使迭代1(),(0,1,2)k k x x k ϕ+==具有局部收敛性？C 取何值时，这个迭代收敛最快？取x 0=2,123c =-计算()x ϕ的不动点，要求当61||10k k x x -+-<时结束迭代.(2004-2005)****21*2'****'**1(),(3)3,()(3)()|133|12|1,11,3,-0,,0.333(2),()0+0,636(3),k k k x x x x c x x x x c x x cx cx x c or c x x ϕϕϕϕ++==+-=±=+-<+<-<<=±<<<<==±±解答：(1),令x 收敛于则故要局部收敛，即|又得根据收敛阶定理，当时，迭代至少二阶收敛，即12cx 得c=故c=时，迭代收敛最快.迭代公式为：2012346*431(3)2321.7113248651.7319268031.7320508041.732050808|10,: 1.732050808.k k x x x x x x x x x x -=--=====-<=又因为|故6,方程x 3-3x-1=0在x=2附近有一根，构造一个局部收敛的不动点迭代法，并说明收敛的理由.(2009-2010)3'3223132(1.5) 1.765174168,(2.5) 2.040827551[1.5,2.5]()[1.5,2.5]11()|||0.33,(13) 5.5xx x x x x ϕϕϕϕϕ+===∈∈=≤<+解答：(x)=取的邻域[1.5,2.5]当时，又因为|故迭代在[1.5,2.5]上整体收敛.7,已知方程42()440f x x x =-+=有一个两重根02x =,请以初值x 0=1.5,用m 重根的牛顿迭代法计算其近似值，要求51||10k k x x -+-<.(2008-2009B)(P204例7.7）8,(1),已知方程240xex +-=在0.6附近有一根x ，迭代法214,0,1,2kx k x ek +=-=是否局部收敛？如果不收敛，试构造一个局部收敛的不动点迭代法，并说明收敛的理由.(2),取x 0=0.6,用你所构造的不动点迭代法求解该方程，迭代至x 5. (3),给出牛顿法求120的近似值的迭代公式，并给出初值的取值范围.(2007-2008)2'2'**1'''1(1):()4,()2|()|1,(0),1(4)211(4),()22(4)1(0)2,(1)3()[0,1]21()||(1)|161(4)2x xk k k k x e x e x x x In x In x x x In In x x x In x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ++=-=->>=---=-==∈≤=<=-解答：故该迭代公式不是局部收敛的.构造：理由：取邻域[0,1](x)=故又|故迭代式在[0,1]上整体收敛11021324354101(2),(4),21(4)0.61188771521(4)0.61013645921(4)0.61039483321(4)0.61035672221(4)0.61036234421120(3),(),0.2k k k k kx In x x In x x In x x In x x In x x In x x x x x ++=-=-==-==-==-==-==+>.则9,给定方程x 2+x-2=0,[0,2]x ∈,采用迭代公式xk+1=x k +c(x k 2+x k -2),(k=0,1,2…)求其根，问当c 为何值时，迭代法收敛？又当c 为何值时，迭代法收敛最快?(2011-2012)*2'''1,()(2)()1(21)2(1)||1(21)|1,-0.31(1)=03x x x c x x x c x c c ϕϕϕϕ==++-=++=++<<<解答：当|即时，线性收敛当，即c=-时收敛最快.10,给定方程230x xe -=，[3,4]x ∈(1),构造一种线性收敛的不动点迭代公式求该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代法收敛的原因）； (2),构造一种二次收敛的不动点迭代公式求该方程的根（含迭代公式，初值取何值或何区间，迭代法收敛的原因).(2011-2012)21111'12102'"0(1),()(3),3.29(3)()(4) 3.8712(),[3,4]23(3),(0,1,2,)[3,4].(2),()3,[3,4](3)0,(4)0()60,()60,[3,4]3k k x x x x In x x x x In x k x f x x e x f f f x x e f x e x x ϕϕϕϕϕ+==≤≤=≤≤∈==∈=-∈><=-<=-<∈=解答：故不动点迭代公式:x 对于任意初值收敛取初值时，牛顿213.6kkx kk k x k x ex x x e+-=--迭代法：收敛，且二次收敛11,方程x 3-x 2-1=0在x=1.5附近有根,建立一个收敛的迭代公式，并证明其收敛性.(2004-2005)122''33312111.51()1(1.3) 1.591715976,(1.6) 1.390625[1.3,1.6]()[1.3,1.6]222(),|()|||0.921.311k k k kx x x x x x x x x x x x x ϕϕϕϕϕϕ++=+==+==∈∈=-=-≤<=+解答：取的邻域[1.3,1.6]故当时，又故迭代公式：在[1.3,1.5]上整体收敛.12,(1),已知方程1020x e x +-=在0.09附近有一根x,迭代法1(210),(0,1,2)k k x In x k +=-=是否局部收敛？如果不收敛，请构造一个局部收敛的不动点迭代法，并说明收敛的理由；(2),取x 0=0.09,用局部收敛的迭代法计算x 5； (3),用牛顿法求3234的近似值，并给出初值的取值.(2006-2007)'''*1''5(1),()(210),()15|()|1,[0,1],|()|>1.11510111(),()51010(0)0.1,(0.12)0.087250323[0,0.12]()[0,0.12]()|kx k x xx In x x xx x x x e x e x e x x x ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ+-=-=->∈=-=-=-==∈∈≤解答：显然故该迭代公式不是局部收敛的构造：因为取[0,0.12]邻域考察故当时，又|'0.12110.09010.09058257820.09051881530.0905241|(0.12)|||0.1131101151011(2),510110.09,0.090582578510110.090518815510110.09052579651011510k kx k x k e x e x e x x e x e x e x e ϕ++=-<<=-=-==-==-==-==-故迭代公式：在[0,0.12]上整体收敛.57960.09052503151200.090525031110.0905251155102117(3),()30.k k k x e x x x +==-==+>使用迭代公式：进行求解.初值:x13,设方程x 3-3x-1=0在x=2附近有根;1),证明该方程在区间[1.5,2.5]内有唯一根x *;2),确定迭代函数φ(x).当初始值x 0在何区间取值时，迭代公式x k+1=φ(x k ),(k=0,1,2…)收敛到x *,并说明理由. 3),写出求解该方程组的牛顿法迭代公式，当初始值x 0在何区间取值时，牛顿法迭代公式收敛到x,并说明理由.取x 0=1.8,用牛顿法迭代公式计算x,要求(1)()4||||10k k x x +--<.4),写出求解该方程的弦截法迭代公式，当初始值在何区间取值时，弦截法迭代公式收敛到x,并说明理由.(2005-2006)3'2'331223(1),()31,()33(1.5) 2.125,(2.5)7.125(1.5)(2.5)0,()0()0,[1.5,2.5][1.5,2.5].(2),3121(3),,3333()3k k k k k k k f x x x f x x f f f f f x f x x x x x x x x x f x x +=--=-=-=⋅<=>∈--+=-=--=-解答：证明：故在[1.5,2.5]内有根.又故方程在区间内有唯一根牛顿法迭代公式：'2"1,()33,()6x f x x f x x-=-=题型十:稳定算法1,对给定的x ，下列两式能否直接计算，说明理由；如果不能，请给出变换算式：（1）21x x +-，x 很大；（2）311x +-，|x|很小.(2010-2011)223331(1):1111=.1+1x x x x x x x +-=+++-+解答：不能直接计算，因为两个相近的数相减，会产生较大的误差：；2,为了提高计算精度，当正数x 很大时，计算1x x +-时应转化成什么形式.（2005-2006）3,给出计算积分1,(0,1,2,10)10nnx I dx n x ==+⎰的递推稳定算法和初值.(2010-2011) 1111111000-11110002010101101010101=101011111)11101010(1)11121[].2111)101)220(1)n n n n n n n n n n x x dx x dx x dx I I x x nn n x x x dx dx dx n x n n n n ----+-===-=-++-=<<=+++=+=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰解：I 该算法不稳定，变形得：I 因为（取初值I （（4,设计一种求1x n nI e x dx =⎰（n 为非负整数）稳定的递推算法，包括递推公式，初值的确定；当初值201221e I =⋅时，利用上述稳定的递推公式计算三个连续的积分值.(2011-2012)题型十一:部分证明题1,利用差分的性质证明：12+22+…n 2=n(n+1)(2n+1)/6222()12,g n n n =++证明：设函数对任意的建立差分表：g(n)(n+1)22n+3 2 g(n+1) (n+2)2 2n+5 2 g(n+2) (n+3)2 2n+7 g(n+3) (n+4)2 g(n+4)函数g(n)的三阶差分是与n 无关的非零常数，故g(n)是n 的三次多项式：3(1)1,(2)5,(3)14,(4)30111()()14521231(1)(2)(1)(2)(3)(1)(21)14521!2!3!6g g g g n n n g n N n n n n n n n n n n ====---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭------++=+⋅+⋅+⋅=按等距节点牛顿向前插值公式建立三次插值多项式，则2,证明：n+1个互异节点的插值型求积公式的代数精确度至少为n.(2010-2011)(1)0()(),.(1)!n nbi ai f x x dx n ζ+=-+∏⎰证明：截断误差R[f]=易证 3,若0{()}ni i l x =是关于互异节点0{}ni i x =的拉格朗日插值基函数组，函数0011()()()(),(1)n n f x x l x x l x x l x n =++≥，证明：f(x)≡x.（2009-2010）00110()()()()()()()()n n i i n n i f x L x f x l x x l x x l x x l x f x x=≈==+++≡∑证明：故：4,证明：0101'()[()()]"()2hf x f x f x f h ζ=--，其中h=x 1-x 0,01(,)x x ζ∈.(2009-2010)"'20000"'211001010'"010())()()()2!(),())()()()2!1()[()()]()2f f x x x x x f x x f x f x x x x x hf x f x f x f h ζζζ+-+-==+-+-=--证明：由泰勒公式得f(x)=f(x 令则f(x 整理得： 5,证明：关于互异节点0{}ni i x =的拉格朗日插值基函数0{()}ni i l x =满足恒等式012()()()()1n l x l x l x l x +++≡.(2008-2009B)(2006-2007B)(2004-2005)120(1)(1)1010()1,(),,1=L ()()()()()()()1,()0,()()0(1)!()()()()1n n n n i n i n n n n ni n i f x f x x x x x R x l x f x R x f f x fx R x W x n l x l x l x l x ζ=+++==+=+=≡==+=+++≡∑∑证明：令对在上进行拉格朗日插值，有因故故：6,证明求积公式()[()()]2bab af x dx f a f b -≈+⎰的截断误差：3"()[](),12f R f b a ηη=--∈其中：（a,b).(2007-2008) (1)001(2)(2)(2)33()()(1)!1,,()()()1"()()()()()()()2!2!2!612n nb i ai b b aa f x x dx n n x a xb f f f f x a x b dx x a x b dx a b b a ζζηηη+=-+===--=--=⋅-=--∏⎰⎰⎰证明：插值型求积公式截断误差R[f]=R[f]=7,设矩阵A 为可逆上三角阵，证明A -1仍为上三角阵，并导出求逆算法.(2006-2007B)8,设x k =a+kh(k=0,1,2;h>0),f(x)的三阶导数连续，证明：2(3)102021'()[()()](),(,)26h f x f x f x f x x h ζζ=-+-∈其中为中值.(2011-2012)001122120201201201021012202112020101222,),,),,)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(22x y x y x y x x x x x x x x x x x x x f x f x f x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x f x h h h ------=++------------=-+证明：过（（（的拉格朗日插值多项式为：L 12'2102(3)201202(3)'''1210122'(3)10202)1()[()()]2()()()()()(),(,)3!()()()[()()()]3!1()[()()](),(,)26x x L x f x f x hf f x L x x x x x x x x x f f x L x x x x x x x h f x f x f x f x x h ηηηζζ==-+-=---∈-=---=-+-∈又故：。

《数值分析》练习题及答案解析第一章 绪论主要考查点：有效数字，相对误差、绝对误差定义及关系；误差分类；误差控制的基本原则；。

1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（ ）和（ ）位有效数字.A ．4和3B ．3和2C ．3和4D ．4和4 答案：A2. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x=___________ .答案：2.31503.若近似数2*103400.0-⨯=x 的绝对误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。

4 . 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。

第二章 非线性方程求根 主要考查点：二分法N 步后根所在的区间，及给定精度下二分的次数计算；非线性方程一般迭代格式的构造，（局部）收敛性的判断，迭代次数计算； 牛顿迭代格式构造；求收敛阶；1.用二分法求方程012=--x x 的正根，要求误差小于0.05。

（二分法）解：1)(2--=x x x f ，01)0(<-=f ，01)2(>=f ，)(x f 在[0，2]连续，故[0，2]为函数的有根区间。

"（1）计算01)1(<-=f ，故有根区间为[1，2]。

（2）计算041123)23()23(2<-=--=f ，故有根区间为]2,23[。

（3）计算0165147)47()47(2>=--=f ，故有根区间为]47,23[。

（4）计算06411813)813()813(2>=--=f ，故有根区间为]813,23[。

期末考试试卷（A 卷）2007学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间：120 分钟学号 姓名 年级专业一、判断题（每小题2分，共10分）1. 用计算机求1000100011n n=∑时，应按照n 从小到大的顺序相加。

（ ）2. 为了减少误差,进行计算。

（ ）3. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

（ ）4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时，公式阶数越高，数值解越精确。

（ ）5. 用迭代法解线性方程组时，迭代能否收敛与初始向量的选择、系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

（ ）二、填空题（每空2分，共36分）1. 已知数a 的有效数为0.01，则它的绝对误差限为________，相对误差限为_________.2. 设1010021,5,1301A x -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦则1A =_____，2x =______，Ax ∞=_____.3. 已知53()245,f x x x x =+-则[1,1,0]f -= ,[3,2,1,1,2,3]f ---= .4. 为使求积公式11231()((0)f x dx A f A f A f -≈++⎰的代数精度尽量高，应使1A = ，2A = ，3A = ，此时公式具有 次的代数精度。

5. n 阶方阵A 的谱半径()A ρ与它的任意一种范数A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组AX B =时，使迭代公式(1)()(0,1,2,)k k XMX N k +=+=K 产生的向量序列{}()k X收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B =时，系数矩阵A 可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即.A LU = 若采用高斯消元法解AX B =，其中4221A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则L =_______________，U =______________；若使用克劳特消元法解AX B =，则11u =____；若使用平方根方法解AX B =，则11l 与11u 的大小关系为_____（选填：>，<，=，不一定）。

模 拟 试 卷（一）一、填空题（每小题3分，共30分）1．有3个不同节点的高斯求积公式的代数精度是 次的.2．设152210142-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A ，342⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭x ，则 ∞A = .， 1x = ______.3．已知y =f (x )的均差（差商）01214[,,]3f x x x =，12315[,,] 3f x x x =，23491[,,]15f x x x =，0238[,,] 3f x x x =, 那么均差423[,,]f x x x = .4．已知n =4时Newton －Cotes 求积公式的系数分别是：,152,4516,907)4(2)4(1)4(0===C C C 则)4(3C ＝ .5．解初始值问题00(,)()y f x y y x y '=⎧⎨=⎩的改进的Euler 方法是 阶方法；6．求解线性代数方程组123123123530.13260.722 3.51x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪++=⎩的高斯—塞德尔迭代公式为 ，若取(0)(1,1,1)=-x, 则(1)=x .7．求方程()x f x =根的牛顿迭代格式是 . 8．1(), (),, ()n x x x 是以整数点01, ,, ,n x x x 为节点的Lagrange 插值基函数，则()n kjk k xx =∑= .9．解方程组=Ax b 的简单迭代格式(1)()k k +=+xBx g 收敛的充要条件是 .10．设(-1)1,(0)0,(1)1,(2)5f f f f ====，则()f x 的三次牛顿插值多项式为 ，其误差估计式为 .二、综合题（每题10分，共60分）1．求一次数不超过4次的多项式()p x 满足：(1)15p =，(1)20p '=，(1)30p ''=(2)57p =，(2)72p '=.2．构造代数精度最高的形式为10101()()(1)2xf x dx A f A f ≈+⎰的求积公式，并求出 其代数精度.3．用Newton 法求方程2ln =-x x 在区间) ,2(∞内的根, 要求8110--<-kk k x x x .4．用最小二乘法求形如2y a bx =+的经验公式拟合以下数据：5．用矩阵的直接三角分解法解方程组⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡71735 30103421101002014321x x x x .6 试用数值积分法建立求解初值问题0(,)(0)y f x y y y '=⎧⎨=⎩的如下数值求解公式1111(4)3n n n n n hy y f f f +-+-=+++，其中(,),1,,1i i i f f x y i n n n ==-+.三、证明题（10分）设对任意的x ，函数()f x 的导数()f x '都存在且0()m f x M '<≤≤,对于满足20Mλ<<的任意λ，迭代格式1()k k k x x f x λ+=-均收敛于()0f x =的根*x .参考答案一、填空题1．5； 2. 8, 9 ; 3.9115； 4. 1645； 5. 二； 6. (1)()()123(1)(1)()213(1)(1)(1)312(330.1)/5(220.7)/6(12)*2/7k k k k k k k k k x x x x x x x x x ++++++⎧=++⎪=+-⎨⎪=--⎩, ，，0.1543)7. 1()1()k k k k k x f x x x f x +-=-'-; 8. j x ; 9. ()1B ρ<; 10.32(4)11,()(1)(1)(2)/24(1,2)66x x x f x x x x ξξ+-+--∈-二、综合题 1．差商表：233234()1520(1)15(1)7(1)(1)(2)5432p x x x x x x x x x x =+-+-+-+--=++++其他方法：设233()1520(1)15(1)7(1)(1)()p x x x x x ax b =+-+-+-+-+ 令(2)57p =，(2)72p '=，求出a 和b. 2．取()1,f x x =，令公式准确成立，得：0112A A +=,011123A A +=, 013A =, 116A =. 2()f x x =时，公式左右14=；3()f x x =时，公式左15=, 公式右524=∴ 公式的代数精度2=.3．此方程在区间) ,2(∞内只有一个根s ，而且在区间（2，4）内。

期末考试试卷( A 卷)2007 学年第二学期 考试科目： 数值分析 考试时间： 120 分钟学号 姓名 年级专业100011. 用计算机求11000时，应按照 n 从小到大的顺序相加。

n1n2. 为了减少误差 ,应将表达式 2001 1999 改写为 2进行计算。

( )2001 19993. 用数值微分公式中求导数值时，步长越小计算就越精确。

( )4. 采用龙格－库塔法求解常微分方程的初值问题时， 公式阶数越高，数值解越精确。

( )5. 用迭代法解线性方程组时， 迭代能否收敛与初始向量的选择、 系数矩阵及其演变方式有关，与常数项无关。

( ) 二、填空每空 2 分，共 36 分)1. 已知数 a 的有效数为 0.01 ，则它的绝对误差限为 _______ ，相对误差限为 _1 0 1 02. 设 A0 2 1 ,x 5 ,则 A 1____________________________ _， x 2 ______ ，Ax1 3 0 13. 已知 f (x) 2x 54x 35x,则 f[ 1,1,0] , f[ 3, 2, 1,1,2,3] .14. 为使求积公式 f (x)dx A 1f ( 3) A 2f (0) A 3f ( 3)的代数精度尽量高，应使13 3A 1 ， A 2 ， A 3，此时公式具有 次的代数精度。

5. n 阶方阵 A 的谱半径 ( A)与它的任意一种范数 A 的关系是 .6. 用迭代法解线性方程组 AX B 时，使迭代公式 X (k 1)MX (k)N (k 0,1,2,K )产 生的向量序列X (k)收敛的充分必要条件是 .7. 使用消元法解线性方程组AX B时，系数矩阵A可以分解为下三角矩阵L 和上三角矩阵U 的乘积，即A LU. 若采用高斯消元法解AX B，其中A 4 2，则21L ___________ ，U ____________ ；若使用克劳特消元法解AX B ，则u11 _______ ；若使用平方根方法解AX B，则l11与u11的大小关系为（选填：＞，＜，=，不一定）。