中北大学数值分析小论文

数值方法实验报告课程名称： 数值方法 班级： 09数2 实验日期： 2012学 号： 200902114078 姓名： 李霞 指导教师：实验成绩：一、实验名称用Newton 迭代法方程求根二、实验目的及要求1. 要求学生能够用Newton 迭代法求方程的根2. 要求学生能够找出Newton 迭代法的收敛域三、实验环境Windows XP 操作系统，Matlab 软件四、实验内容求解下列方程:1)Newton 迭代法求解的第一个方程0523=--x x 2) 无求根公式的五次方程0245=--x x3) 超越方程0tan =-x x要求:1) 先用图象法求初始近似,再用Newton 迭代法加工,计算结果达到5位有效数字.2) 设计一个程序找出Newton 迭代的收敛域。

五．算法描述及实验步骤输入 '0(),(),,,f x f x x M ε；输出 方程()0f x =在0x 附近的根或失败信息；步1 0d v ⇐；步2 对1,2,3.....,k M =执行步3——步5；步3 若'()0f x =则2dv ⇐，退出循环；否则：010'0()()f x x x f x ⇐-；步4 1001;e x x x x ⇐-⇐；步5 若e ε≤则1d v ⇐，退出循环；步6 若1dv ⇐则输出1x ，否则若0dv ⇐则输出“迭代M 次失败”，否则输出“奇异”；六、调试过程及实验结果x1= 3;x0 = 0;while abs(x1 - x0) > 1e-5f = x1^3-2*x1-5;g = 3*x1^2 - 2;x0 = x1;x1 = x1 - f/g;endx1>>x=0:0.001:10;>> plot(x,x.^3-2.*x-5) >> grid on>> x=-2:0.01:2;>> plot(x,x.^5-4.*x-2) >> grid onx=-4*pi:0.1:4*pi;ezplot('tan(x)',x)hold onezplot('x',x)ezplot('0',x)grid onsolve('x-tan(x)=0','x')ans =0.七、总结Newton迭代法是著名的方程求根方法，它在解非线性问题上有简单的形式和快的收敛速度，值得注意的是它对初始近似值要求严格和要计算导数值。

Runge-Kutta 法的历史发展与应用摘要Runge-Kutta 法是极其重要的常微分方程数值解法，本文仅就其起源及发展脉络加以简要研究。

对Runge 、Heun 以及Kutta 等人的贡献做出适当评述，指出Runge-Kutta 方法起源于Euler 折线法。

同时对Runge-Kutta 法的应用做简要研究。

关键词 Euler 折线法 标准四阶Runge-Kutta 法 应用一、发展历史[1]1.1 Euler 折线法在微分方程研究之初，瑞士数学家L.Euler(1707.4—1783.9)做出了开创性的工作。

他和其他一些数学家在解决力学、物理学问题的过程中创立了微分方程这门学科。

在常微分方程方面，Euler 在1743年发表的论文中，用代换kx y e =给出了任意阶常系数线性微分方程的古典解法，最早引入了“通解”和“特解”的概念。

1768年，Euler 在其有关月球运行理论的著作中，创立了广泛用于求初值问题00(,), (1.1)() (1.2)y f x y x x X y x a '=<≤⎧⎨=⎩ 的数值解的方法，次年又把它推广到二阶方程。

欧拉的想法如下：我们选择0h >，然后在00x x x h ≤≤+情况下用解函数的切线0000()()(,)l x y x x f x y =+-代替解函数。

这样对于点10x x h =+就得到1000(,)y y hf x y =+。

在11(,)x y 重复如上的程序再次计算新的方向就会得到所谓的递推公式：11, (,),m m m m m m x x h y y hf x y ++=+=+这就是Euler 方法。

通过连接所有这些切线得到的函数被称为Euler 折线。

如果我们令0h →， 这些折线就会越来越接近解函数。

Euler 折线法是最早出现的，虽然它亦是常微分方程初值问题的最简单的数值解法， 但它的一些特性和研究方法对于更复杂的方法却具有普遍意义。

中北大学毕业论文中北大学毕业论文中北大学毕业论文是每位学生在大学期间必须完成的重要任务之一。

它不仅是对学生四年学习成果的总结，更是展示自己学术能力和研究水平的机会。

在这篇文章中，我将探讨中北大学毕业论文的重要性、撰写过程中的挑战以及如何克服这些挑战。

首先，中北大学毕业论文对学生来说具有重要的意义。

它是学生在大学期间最重要的学术项目之一，也是对学生综合能力的一次全面考核。

通过撰写毕业论文，学生可以深入研究自己感兴趣的领域，并展示自己在这个领域的专业知识和研究成果。

毕业论文还可以为学生提供进一步深造的机会，例如申请研究生院或参与学术研究项目。

然而，撰写中北大学毕业论文并不是一件容易的事情。

首先，选择合适的研究课题是一个挑战。

学生需要选择一个既有足够研究价值又符合自己兴趣和专业方向的课题。

这需要学生对自己的兴趣和专业方向有清晰的认识，并与导师进行充分的讨论和指导。

其次，撰写论文的过程需要学生具备良好的研究能力和写作能力。

学生需要进行大量的文献调研，收集和整理相关资料。

在这个过程中，学生需要学会如何筛选和评估文献的质量和可靠性。

然后，学生需要将收集到的资料进行整理和分析，并提出自己的观点和结论。

最后，学生需要具备良好的写作能力，将研究成果清晰、准确地表达出来。

此外，时间管理也是撰写中北大学毕业论文时需要面对的挑战之一。

论文的撰写需要耗费大量的时间和精力，而且往往需要在规定的时间内完成。

学生需要制定合理的计划，合理分配时间，确保能够按时完成各个阶段的任务。

同时，学生还需要克服拖延症，保持高度的自律和专注力，以保证论文的质量和进度。

为了克服这些挑战，学生可以寻求导师的指导和帮助。

导师是学生撰写毕业论文过程中的重要支持者和指导者。

他们可以提供学术上的指导和建议，帮助学生选择研究课题、整理资料、分析数据等。

此外，学生还可以参加学术研讨会、讨论小组等活动，与其他同学和学者进行交流和讨论，提高自己的研究能力和写作水平。

数值分析作业课题名称代数插值法-拉格朗日插值法班级Y110201研究生姓名董安学号S2*******学科、专业机械制造及其自动化所在院、系机械工程及自动化学院2011 年12 月26日代数插值法---拉格朗日插值法数值分析中的插值法是一种古老的数学方法，它来自生产实践。

利用计算机解决工程问题与常规手工计算的差异就在于它特别的计算方法.电机设计中常常需要通过查曲线、表格或通过作图来确定某一参量,如查磁化曲线、查异步电动机饱和系数曲线等.手工设计时,设计者是通过寻找坐标的方法来实现.用计算机来完成上述工作时,采用数值插值法来完成。

因此学好数值分析的插值法很重要。

插值法是函数逼近的重要方法之一，有着广泛的应用 。

在生产和实验中，函数f(x)或者其表达式不便于计算复杂或者无表达式而只有函数在给定点的函数值(或其导数值) ，此时我们希望建立一个简单的而便于计算的函数 (x)，使其近似的代替f(x)，有很多种插值法,其中以拉格朗日(Lagrange)插值和牛顿(Newton)插值为代表的多项式插值最有特点,常用的插值还有Hermit 插值,分段插值和样条插值.本文着重介绍拉格朗日(Lagrange)插值法。

1.一元函数插值概念定义 设有m+1个互异的实数1x ，2x ，···，m x 和n+1 个实值函数x ，1x ，···nx ，其中n m 。

若向量组k=（0kx ，1kx ，···，km x ）T （k=0,1，，n ）线性无关，则称函数组{kx （k=0,1，，n ）}在点集{i x (i=0,1,,m)}上线性无关；否则称为线性相关。

例如，函数组{2+x ，1-x ，x+2x }在点集{1,2,3,4}上线性无关。

又如，函数组{sin x ，n2x ，sin3x }在点集{0，3，23，}上线性相关。

给点n+1个互异的实数0x ，1x ，···，n x ，实值函数f x 在包含0x ，1x ，···，n x 的某个区间,a b 内有定义。

研究生课程论文封面课程名称：《数值分析》论文题目：基于MATLAB机械设计的三次样条插值函数学生班级： 2学生学号：学生姓名：任课教师：余厚习学位类别：学位课(2学分，32学时)评分标准及分值选题与参阅资料（分值）论文内容（分值）论文表述（分值）创新性（分值）评分论文评语：总评分评阅教师: 评阅时间年月日基于MATLAB机械设计的三次样条插值函数摘要本文给出了在机械设计过程中优化设计时经常用到的三次样条插值函数的定义以及在三种不同边界条件下的求解过程，并总结了三次样条插值函数的实现流程。

此外，还编制了第一边界条件下的三次样条插值函数程序，并给出运行结果。

【关键词】机械设计、三次样条、插值函数、MATLAB一、引言在各学科领域当中用函数来表示变量间的数量关系十分普遍。

然而在实际问题中，往往需要通过实验、观测以及计算等方法，得到的是函数在一些点上的函数值。

如何通过这些离散的点找出函数的一个满足精度要求且便于计算的近似表达式，是非常必要的。

其中通过插值的方法求出函数的近似表达式是极常用的求解方法。

分段低次样条插值虽然计算简单、稳定性好、收敛性有保证且易在电子计算机上实现，但只能保证各小段曲线在连接处的连续性，不能保证整件曲线的光滑性。

利用样条插值，既可保持分段低次插值多项式，又可提高插值函数光滑性。

故给出分段三次样条插值的构造过程、算法步骤，利用MATLAB软件编写三次样条插值函数通用程序，并通过数值算例证明程序的正确性。

二、三次样条函数的定义给定区间[a,b]上n+1个节点a=x0<x1<…<xn=b及函数f(x)在这些点上的函数值yi，如果函数S(x)满足条件：<1>S(xi )=yi，i=0，1，…，n；<2>S(x)在每个小区间[xi-1,xi]上是不超过3次的多项式；<3>S(x)在[a,b]内具有二阶连续导函数；则称S(x)为f(x)关于剖分a=x0<x1<…<xn=b的三次样条差值函数，并称为样调节点。

基于ABAQUS软件的混凝土柱的有限元分析摘要：有限元法是工程分析中广泛应用的数值计算方法，由于它的通用性和有效性，受到工程技术界的高度重视。

ABAQUS 软件是国际上公认的最好的CAE大型通用分析软件之一。

本文对有限单元法进行简单介绍并采用ABAQUS软件分析一混凝土柱的受力问题。

关键词：ABAQUS，混凝土柱，有限元分析1 有限元理论概述1.1 有限元法基本思想有限元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互联结在一起的单元组合体。

由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解区域。

有限元法作为数值分析方法的一个重要特点是利用在每一个单元内假设的近似函数，分片地表示全求解域上待求的未知场函数，单元内的近似函数通常由未知场函数或其导数在单元的各个节点的数值和其插值函数表达。

这样，一个问题的有限元分析中，未知场函数或其导数在各个节点上的数值就成为新的未知量（即自由度），从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。

一经求解出这些未知量，就可通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。

显然，随着单元数目的增加，即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。

1.2 有限元法分类1.2.1 线弹性有限元法线弹性有限元法以理想弹性体为研究对象，所考虑的变形建立在小变形假设的基础上。

在这类问题中，材料的应力与应变呈线性关系，满足广义胡克定律；应变与位移也是线性关系。

线弹性有限元问题归结为求解线性方程组问题，所以只需要较少的计算时间。

如果采用高效的代数方程组求解方法，也有助于降低有限元分析的时间。

线弹性有限元一般包括线弹性静力分析与线弹性动力分析两个主要内容。

学习这些内容需具备材料力学、弹性力学、结构力学、数值方法、矩阵代数、算法语言、振动力学、弹性动力学等方面的知识。

数值分析应用案例一、摘要曲线拟合是数值分析中的一种普遍且重要的方法，求解拟合曲线的方法也有很多，这里主要介绍利用MATLAB曲线拟合工具箱对离散数据点做你和处理，并与利用最小二乘法求相应的拟合曲线的方法做对比，突出MATLAB曲线拟合工具箱的优点，并阐述了其适用的范围，最后通过利用MATLAB曲线拟合工具箱对实例中离散数据点的拟合来具体说明它的使用方法和优点。

关键字：数值分析；MATLAB；曲线拟合；最小二乘法二、引言在很多的实际情况中，两个变量之间的关系往往很难用具体的表达式把它表示出来，通常只能通过实际测量得到一些互不相同的离散数据点，需需要利用这些已知的数据点估计出两个变量的关系或工件的具体轮廓，并要得到任意未知数据点的具体数据，这个过程就需要用到拟合或差值方法来实现，这里主要讨论拟合的方法。

曲线拟合可以通过MATLAB编程来完成，通常为了达到更好的讷河效果需要做多次重复修改，对于非线性曲线拟合还需要编写复杂的M-文件，运用MATLAB曲线拟合工具箱来实现离散数据点的曲线拟合是一种直观并且简洁的方法。

三、曲线拟合的最小二乘法理论数值分析应用案例假设给定了一些数据点（X i ,Y i ），人们总希望找到这样的近似的函数，它既能反映所给数据的一般趋势，又不会出现较大的偏差，并且要使构造的函数与被逼近函数在一个给定区间上的偏差满足某种要求。

这种思想就是所谓的“曲线拟合”的思想。

曲线拟合和差值不同，若要求通过所有给定的数据点是差值问题，若不要求曲线通过所有给定的数据点，而只要求反映对象整体的变化趋势， 拟合问题，曲线拟合问题最常用的解决方法是线性最小二乘法[1],步骤如下：第一步：先选定一组函数r 1(x),r 2(x),…,r m (x),m<n,令： F （x ）=a 1 r 1(x)+a 2r 2(x)+…+a m r m (x)其中a 1，a 2，…，a m 为待定系数。

第二步：确定的准则（最小二乘法准则）：使n 个点（x i ,y i ）与曲线y=f （x ）的距离δi 的平方和最小。

数值分析论文范文Title: An Overview of Numerical AnalysisIntroduction:Numerical analysis is a field of mathematics that deals with the development and application of algorithms to solve mathematical problems. In this paper, we will provide an overview of numerical analysis, including its history, important concepts, and applications in various fields.History of Numerical Analysis:Important Concepts in Numerical Analysis:2. Error Analysis: Since numerical methods involve approximation, it is essential to quantify and analyze theerrors associated with these approximations. Error analysis provides insights into the accuracy and efficiency of numerical algorithms. Different error measures, such as absolute error, relative error, and truncation error, are used to evaluate the quality of the approximate solutions.3. Numerical Algorithms: Numerical analysis relies on the development and implementation of efficient algorithms to solve mathematical problems. Iterative methods, such as Newton's method for finding roots of equations and the Jacobi method for solving linear systems, are widely used in numerical analysis.Applications of Numerical Analysis:3. Finance: In finance, numerical analysis is used to model and solve problems related to option pricing, portfolio optimization, risk management, and financial derivatives pricing. The Black-Scholes-Merton model, for instance, relies heavily on numerical methods for pricing options.Conclusion:。

实验类别：数值分析专业：信息与计算科学班级：学号：姓名：中北大学理学院实验二 函数逼近与曲线拟合【实验内容】从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。

在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y 与时间t 的拟合曲线。

【实验方法或步骤】1、用最小二乘法进行曲线拟合；2、近似解析表达式为；33221)(t a t a t a t ++=ϕ3、打印出拟合函数)(t ϕ，并打印出)(j t ϕ与)(j t y 的误差，12,,2,1 =j ；4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；5、* 绘制出曲线拟合图。

#include "stdio.h" #include "conio.h" #include "stdlib.h" #include "math.h"#define N 12//N 个节点 #define M 2//M 次拟合 #define K 2*Mvoid zhuyuan (int k,int n,float a[M+1][M+2]) {int t,i,j;float x,y;x=fabs(a[k][k]);t=k;for (i=k+1;i<=n;i++)if (fabs(a[i][k])>x){x=fabs(a[i][k]);t=i;}for (j=k;j<=n+1;j++){y=a[k][j];a[k][j]=a[t][j];a[t][j]=y;}}void xiaoyuan(int n,float a[M+1][M+2]){int k,i,j;for(i=0;i<n;i++){zhuyuan(i,n,a);for (j=i+1;j<=n;j++)for (k=i+1;k<=n+1;k++)a[j][k]=a[j][k]-a[j][i]*a[i][k]/a[i][i];}}void huidai(int n,float a[M+1][M+2],float x[M+1]){int i,j;x[n]=a[n][n+1]/a[n][n];for (i=n-1;i>=0;i--){ x[i]=a[i][n+1];for (j=i+1;j<=n;j++)x[i]=x[i]-a[i][j]*x[j];x[i]=x[i]/a[i][i];}}void main(){float x_y[N][2],A[N][K+1],B[N][M+1],AA[K+1],BB[M+1],a[M+1][M+2],m[M+1]; int i,j,n;printf("请输入%d个已知点：\n",N);for(i=0;i<N;i++){printf("(x%d y%d):",i,i);scanf("%f %f",&x_y[i][0],&x_y[i][1]);}for(i=0;i<N;i++){A[i][0]=1;for(j=1;j<=K;j++)A[i][j]=A[i][j-1]*x_y[i][0];for(j=0;j<=M;j++)B[i][j]=A[i][j]*x_y[i][1];}for(j=0;j<=K;j++)for(AA[j]=0,i=0;i<N;i++)AA[j]+=A[i][j];for(j=0;j<=M;j++)for(BB[j]=0,i=0;i<N;i++)BB[j]+=B[i][j];for(i=0;i<M+1;i++){a[i][M+1]=BB[i];for(j=0;j<=M;j++)a[i][j]=AA[i+j];}n=M;printf("正规系数矩阵为:\n");for(i=0;i<=n;i++){for(j=0;j<=n+1;j++)printf("%f ",a[i][j]);printf("\n");}xiaoyuan(n,a);huidai(n,a,m);printf("拟合曲线方程为:\ny(x)=%g",m[0]); for(i=1;i<=n;i++){printf(" + %g",m[i]);for(j=0;j<i;j++){printf("*X");}}}p3=polyfit(x,y,3);y3=polyval(p3,x);e3=norm(y-y3);t=0:5:60;pt3=polyval(p3,t);plot(t,pt3);plot(t,pt3);title('3次拟合函数')>>3次拟合函数实验三 数值积分与数值微分【实验内容】选用复合梯形公式，复合Simpson 公式，Romberg 算法高斯算法计算（1） )5343916.1(sin 44102≈-=⎰I dx x I（2） )9460831.0,1)0((sin 10≈==⎰I f dx xxI （3） dx x e I x⎰+=1024 ;（4） dx x x I ⎰++=1021)1ln( 【实验前的预备知识】1、 深刻认识数值积分法的意义；2、 明确数值积分精度与步长的关系；3、 根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题。

牛顿迭代法及其应用[摘要]本文研究应用泰勒展开式构造出牛顿迭代法，论证了它的局部收敛性和收敛阶。

分别讨论了单根情形和重根情形，给出了实例应用。

最后给出了离散牛顿法的具体做法。

[关键词] 关键词：泰勒展开式，牛顿迭代法及其收敛性，重根，离散牛顿法。

1.牛顿法及其收敛性求方程f（x）=0的根，如果已知它的一个近似,可利用Taylor展开式求出f(x)在附近的线性近似，即，ξ在x与之间忽略余项，则得方程的近似右端为x的线性方程，若，则解,记作,它可作为的解的新近似，即(2.4.1)称为解方程的牛顿法.在几何上求方程的解，即求曲线y=f(x)与x轴交点.若已知的一个近似,通过点(，f())作曲线y=f(x)的切线，它与x轴交点为,作为的新近似，如图1所示图1关于牛顿法收敛性有以下的局部收敛定理.定理1设是f(x)=0的一个根，f(x)在附近二阶导数连续，且，则牛顿法(2.4.1)具有二阶收敛，且(2.4.2)证明由式(2.4.1)知迭代函数,，,而，由定理可知，牛顿迭代(2.4.1)具有二阶收敛，由式可得到式(2.4.2).证毕.定理表明牛顿法收敛很快，但在附近时才能保证迭代序列收敛.有关牛顿法半局部收敛性与全局收敛定理.此处不再讨论.例1用牛顿法求方程的根.,牛顿迭代为取即为根的近似，它表明牛顿法收敛很快.例2设＞0，求平方根的过程可化为解方程.若用牛顿法求解，由式(2.4.1)得(2.4.3)这是在计算机上作开方运算的一个实际有效的方法，它每步迭代只做一次除法和一次加法再做一次移位即可，计算量少，又收敛很快，对牛顿法我们已证明了它的局部收敛性，对式(2.4.3)可证明对任何迭代法都是收敛的，因为当时有即,而对任意，也可验证,即从k=1开始，且所以｛｝从k=1起是一个单调递减有下界的序列，｛｝有极限.在式(2.4.3)中令k→∞可得，这就说明了只要，迭代(2.4.3)总收敛到,且是二阶收敛.在例2.4的迭代法(3)中，用式(2.4.3)求只迭代3次就得到=1.732 051,具有7位有效数字.求非线性方程f(x)=0的根x*,几何上就是求曲线y=f(x)与x轴交点x*，若已知曲线上一点过此点作它的切线。