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4高级稳定性理论

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Lyapunov稳定性理论概述

Lyapunov稳定性理论概述

Lyapunov稳定性理论概述Lyapunov Lyapunov稳定性理论概述稳定性理论概述稳定性理论概述稳定性理论是19 世纪80 年代由俄国数学家Lyapunov创建的，它在自动控制、航空技术、生态生物、生化反应等自然科学和工程技术等方面有着广泛的应用，其概念和理念也发展得十分迅速。

通过本学期“力学中的数学方法”课程的学习，我对此理论的概况有了一些认识和体会，总结于本文中。

一，稳定性的概念稳定性的概念初始值的微分变化对不同系统的影响不同，例如初始值问题ax dtdx= ，x(0)=x 0 , t≥0，x 0≥0 (1) 的解为ex att x 0)(=，而x=0 是(1)式的一个解。

当a f 0时，无论|x 0|多小，只要|x 0| ≠ 0 ,在t→+∞时，总有x（t）→ ∞，即初始值的微小变化会导致解的误差任意大，而当a ?0时，ex att x 0)(=。

与零解的误差不会超过初始误差x 0，且随着t 值的增加很快就会消失，所以，当|x 0|很小时，x(t)与零解的误差也很小。

这个例子表明a f 0时的零解是“稳定”的。

下面，我们就给出微分方程零解稳定的严格定义。

设微分方程),(x t f dtdx =，x(t 0)=x 0 , x ∈R n(2) 满足解存在唯一定理的条件，其解x(t)=x(t，t 0，x 0)的存在区间是),(+∞?∞，f(t，x)还满足条件：f (t ，0)=0 (3)(3)式保证了x(t) = 0 是(2)式的解，我们称它为零解。

这里给出定义1：若对任意给定的ε > 0，都能找到δ=δ(ε,t 0),使得当||x 0||<δ时的解满足x ( t,x 0 , x 0 ) || x ( t, t 0 , x 0 ) || <ε, t ≥ t 0 , 则称(2)式的零解是稳定的，否则称(2)式的零解是不稳定的。

二，Lyapunov稳定性定理Lyapunov稳定性定理稳定性定理Lyapunov第二法（即直接法）探讨了一个二维自治系统的稳定性，并在这些原始几何思想的基础之上，经由分析语言的提炼概括，给出了1条稳定性定理，1条渐近稳定性定理和2条不稳定性定理，这几条定理被誉为稳定性的基本定理，为稳定性理论奠定了牢固的基础。

第四章李雅普诺夫稳定性理论

第四章李雅普诺夫稳定性理论
& 设 x = f ( x, t ) ，若任意给定一个实数 ε > 0 ，总存在另 一个实数 δ ， 使当 x0 − xe ≤ δ 时， 从任意初态 x0 出发
的解 x(t ) = φ (t , x0 , t0 ) 满足 x − xe ≤ ε， ≥ t0 ), 则称 xe 在李 (t 亚普诺夫意义下稳定。
x1 = i (t ) (两个储能元件 ， L 和 C )当电路加电后 ， 令 两个储能元件， 当电路加电后， 设 两个储能元件 当电路加电后 x2 = uc u (t ) = 0 。
1 1 2 2 电感储能： 电感储能： W1 = Li (t ) = Lx1 2 2 1 1 2 2 电容能量： 电容能量： W2 = Cuc (t ) = Cx2 2 2 1 2 2 总能量： 总能量： W = W1 + W2 = ( Lx1 + Cx2 ) 2 逐渐 ↓→ 0，系统是稳定的
4.1 稳定性基本概念 1.自治系统：输入为0的系统 x =Ax+Bu(u=0) &
& 2.初态 x =f(x,t)的解为 x(t ; x0 , t0 )
x(t0 , x0 , t0 ) = x0 ⇒ 初态
o
3.平衡状态： 3.
& x = f ( xe , t ) = 0
xe → 系统的平衡状态
a.线性系统 A非奇异： A奇异：
dV ( x) & 连续一阶偏导， V ( x) = ，连续一阶偏导，反映能量变化速 dt
度的大小，负值为能量减少。 度的大小，负值为能量减少。 & 李亚普诺夫直接法： 李亚普诺夫直接法：利用 V ( x) 和 V ( x) 的符号性质来直 接判断系统在平衡状态是否稳定。 状态是否稳定 接判断系统在平衡状态是否稳定。

04第四章-李雅普诺夫稳定性理论

04第四章-李雅普诺夫稳定性理论
平衡状态— —又称一致李氏稳定。
几何意义：
当t t0时,系统受扰动,平衡状态受破坏,产生对应初始状态 x0,当t t0后, 运动状态x(t)会发生变化。
若无论多么小球域S( ),总存在一个球域S( ),当
x0 S( )时, x(t)轨线不会超出S( ),则平衡点xe为
Lyapunov意义下稳定。 实际上，工程中的李氏 稳定是临界不稳定
说明：
J P1AP A~J 考察eJt即可看出 e At的有界性
例：
0 0 J1 0 -1
李氏稳定
0 1 J2 0 0
不稳定
0 0 J3 0 0
李氏稳定
0 0 A J1 0 -1
e At
1
0
0
e-t
x(t)
e At x0
1 0
0 e-t
x10
x20
x10
e-t x20
f1
xn
令
x x xe ,
A
f xT
f 2
xe
x1
f2 x2
f2
xn
xe
f
n
fn
fn
x1 x2 xn
则
.
x
x
( xe常数)
判定法：
.
x Ax
(1) A的所有特征值均有负实部,则xe是渐近稳定的, 与R(x)无关. (2) A的特征值至少有一个有正实部,则xe是不稳定的, 与R(x)无关. (3) A的特征值至少有一个实部为0,则xe的稳定性 与R( x)有关, 不能由A来决定.
P为实对称矩阵 , pij p ji
第二节 李雅普诺夫间接法
李氏间接法利用系统矩阵A的特征值 1, 2,, n 或者说系统极点来判断系统稳定性。

第四章 稳定性理论

第四章 稳定性理论
奇异，系统只有唯一的零解，即存在一个位于原点的平衡状态。
至于非线性系统， f xc，t的 解0 可能有多个，取决于系统方程。
李雅普诺夫的稳定性定义均针对平衡状态而言。它反映了平 衡状态邻域的局部（小范围）稳定性。鉴于线性系统只唯有 一个平衡状态，平衡状态的稳定性便表征了系统的稳定性。 对于具有多个平衡状态的非线性系统来说，因为各平衡状态 的稳定性一般并不相同，故需逐个加以考虑：至于全局（大 范围）稳定性，需结合具体初始条件下的运动轨迹来考虑。
时，tl 1ell才是绝对可积的，即 gij t 为绝对可积，从而系统是
BIBO稳定的。证毕。
二 内部稳定性
考虑如下的线性时变系统
x A t x B t u t ，x t0 x0，t t0,t y CtXt Dtut
设系统的外输入ut 0 ，初始状态 x0是有界的。系统的状
第四章 稳定性理论
在控制系统的分析和设计中，首先要解决系统的稳定性问 题。动力学系统的稳定机制与其本身的结构密切相关，如何根 据动力学系统的构成分析其稳定性受到普遍的重视。
导弹稳定控制
倒立摆稳定控制
在控制系统稳定性研究中，李亚普诺夫(A.M.Lyapunov)方法 得到了广泛的应用。李亚普诺夫方法包括第一方法（也称为间接 法）和第二方法（通常称为直接法）。
示见图4-1(b)。显见经典理论中稳定性定义与渐近稳定性对应。
当 与 t0无关时，且称一致渐近稳定。
大范围（全局）渐近稳定性 当初始扰动 扩展到整个
稳定性 设系统初始状态位于以平衡状态为球心、半径为的
闭球域内，即
x0 xc
t t0
(4-9)
若能使系统方程的解x t；x0，t0 在 t 的过程中都位于

04第四章李雅普诺夫稳定性理论汇总

04第四章李雅普诺夫稳定性理论汇总

04第四章李雅普诺夫稳定性理论汇总李雅普诺夫稳定性理论是数学中一项重要的稳定性理论，对于研究动力系统的稳定性具有重要的指导意义。

该理论由俄罗斯数学家李雅普诺夫于19世纪末和20世纪初提出，后经实践证明，被广泛应用于不同领域的研究中。

李雅普诺夫稳定性理论的核心思想是通过构造李雅普诺夫函数来分析系统的稳定性。

李雅普诺夫函数是一个满足一定条件的实数函数，它能够度量系统中各个状态的变化情况，并通过数学分析得出系统状态的稳定性。

在李雅普诺夫稳定性理论中，一般使用正定函数来构造李雅普诺夫函数。

对于一个动力系统，假设其状态空间为n维实数向量，系统的演化过程可以表示为一个关于状态变量的微分方程。

为了判断系统在其中一状态的稳定性，需要构造一个函数V(x)，其中x表示状态变量。

如果函数V(x)满足以下两个条件：1.V(x)是正定函数，即对于所有的x，都有V(x)>0，且只有在x=0时，V(x)=0成立。

2.对于系统中任意两个状态x1和x2，如果V(x2)>V(x1)，则在系统演化的过程中，x2的状态比x1更不稳定。

那么，可以推导出系统在状态x=0附近的稳定性。

如果对于所有的状态x，有V(x)>V(x=0)，那么系统就是在x=0处的稳定点。

如果只有在x=0附近，存在一个圆盘区域，使得对于所有的状态x，有V(x)>V(x=0)，那么系统就是局部稳定的。

通过构造李雅普诺夫函数，可以得出系统的稳定性信息。

对于局部稳定性，可以通过计算雅普诺夫函数的导数来得到更详细的信息。

如果导数小于零，则系统是渐进稳定的；如果导数等于零，则系统是边界稳定的；如果导数大于零，则系统是不稳定的。

李雅普诺夫稳定性理论不仅适用于连续系统，也适用于离散系统。

对于离散系统，李雅普诺夫函数的构造和分析方式与连续系统类似，只是微分方程变为差分方程。

总结起来，李雅普诺夫稳定性理论是一种基于构造李雅普诺夫函数来分析系统稳定性的方法。

通过构造正定函数，可以得出系统的稳定性信息，并通过李雅普诺夫函数的导数来得到更详细的稳定性判断。

(完整word版)稳定性理论

(完整word版)稳定性理论

微分方程的稳定性理论简介一阶方程的平衡点及稳定性设有微分方程()()t f x x •= （1）右端方程不显含自变量t ，称为自治方程。

代数方程()0f x =的实根0x x =称为方程（1）的平衡点（或齐点）它也是方程（1）的解（齐解）。

如果存在某个邻域，使方程（1）的解()x t 从这个邻域内的某个(0)x 出发，满足0lim ()t x t x →∞= （3）则称平衡点0x 是稳定的（稳定性理论中称渐近稳定）；否则，称0x 是不稳定的(不渐近稳定)判断平衡点0x 是否稳定点通常有两种方法。

利用定义即（3）式称间接法。

不求方程（1）的解()x t ，因而不利用（3）式的方法称直接法。

下面介绍直接法。

将()f x 在0x 点做Taylor 展开，只取一次项，方程（1）近似为'00()x t f x x x •=-（）（） （4） （4）称为（1）的近似方程，0x 也是方程（4）的平衡点。

关于0x 点稳定性有如下结论：若'0f x （）<0, 则0x 对于方程（4）和（1）都是稳定的； 若'0f x （）>0，则0x 对于方程（4）和（1）都是不稳定的。

0x 对于方程（4）的稳定性很容易由定义（3）式证明，因为若记'0()f x a =，则（4）的一般解是0()at x t ce x =+其中c 是由初始条件决定的常数，显然，当0a <时（3）式成立。

二阶方程的平衡点和稳定性二阶方程可用两个一阶方程表示为112212()(,)()(,)x t f x x x t g x x ⎧=⎪⎨⎪=⎩gg（6）右端不显含t ，是自治方程。

代数方程组 1212(,)0(,)0f x xg x x =⎧⎨=⎩ （7）的实根011x x =，022x x =称为方程（6）的平衡点，记做00012(,)P x x 。

如果存在某个邻域，使方程（6）的解1()x t ，2()x t 从这个邻域内的某个12((0),(0))x x 出发，满足011lim ()t x t x →∞= ，022lim ()t x t x →∞= （8）则称平衡点0P 是稳定的（渐近稳定）；否则，称0P 是不稳定的（不渐近稳定）。

第四章稳定性与李雅普诺夫方法

平衡状态的定义：若对所有t，状态x满足
x0 ，
则称该状态x为平衡状态，记为：x e ，满足下式：
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
x f ( xe , t ) ，平衡状态的各分量相对时间不再发生
变化。由平衡状态在状态空间确定的点，称为平 衡点。 平衡状态的求法： 线性定常系统 x Ax 的平衡状态 a.线性系统
x e 应满足 Ax 0 。
x Ax
xR
n
0 xe 0 A奇异：Axe 0 有无穷多个 xe
A非奇异：Axe
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
b.非线性系统
x f ( xe , t ) 0 可能有多个 xe
eg.
x1 x1
3 x2 x1 x2 x2
yi (t ) mi , i 1,2,, n,0 mi , t 0
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
对于多输入—多输出系统来说，输入量u(t)和输 出量y(t)的有界涵义，可以等效地按其每个分量 值的模的有界性来表征，即若：
u(t ) u1 (t ), u2 (t ),, un (t )
y(t ) y1 (t ), y2 (t ),, yn (t )
则有界的涵义为
T
T
ui (t ) mi , i 1,2,, n,0 mi , t 0
yi (t ) m j , j 1,2,, n,0 m j , t 0
第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
，若任意给定实数
0, ,都存在
( , t ) 0 ，使得： x0 xe ，从初始状态 x 0 出发的解
x(t , x0 , t0 )

李雅普诺夫稳定性理论

性的综合效果。
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
线性系统稳定性分析的理论框架 稳定性分析 解析 方法 SISO的代数 分析方法 Routh判据 Houwitz判据 1892年俄国数学 家李雅普诺夫 第一 方法 第二 方法
根据SISO闭环特 征方程的系数判 定系统的稳定性
根据状态方程A阵 判定系统的稳定性
线性系统的稳定判据
线性定常系统 ∑＝（A，b，c）
x Ax bu

y cx
（1-4）
平衡状态 xe 0 渐进稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看， 往往更重视系统的输出稳定性。
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
与稳定性相关的几个定义
x xe ：状态向量x与平衡状态 xe 的距离。
点集s()：以xe为中心，为半径的超球体。 若xs() ： x xe ，其中 x xe 为欧几里德范数。 则
当很小时，则称s()为xe的邻域。
如系统的解 x (t ; x0 , t0 ) 位于球域s()内，则：
x f [ x, t ]
x (t , x0 , t0 )
(1-2)
式(1-2)描述了系统(1-1)在n维状态空间中从初始条件(t0 x0 ) 出发的一条状态运动的轨迹，简称为系统的运动和状态轨线。
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
系统的平衡状态：若系统(1-1)存在状态矢量 xe ，对所有t， 使得： f ( xe , t ) 0 (1-3)
大范围渐 近稳定
渐近稳定
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法

Lyapunov稳定性理论李雅普诺夫


时，从任意初态出发的解始终位于以 x e 为球心，半径为 的闭 球域S ( ) 内，即
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0
则称系统的平衡状态 x 在李雅普诺夫意义下稳定。
e
当系统做不衰减的震荡运动
时，将描绘出一条封闭曲线 ，只要不超出 S ( ) ，则认为是 稳定的。
0 6 2 例： 设系统方程为：x x u , 1 1 1 试确定其外部稳定性、内部稳定性。
y 0 1x
解 （1）系统的传递函数为：
s 6 2 ( s 2) 1 W(s) CsI A B 0 1 1 s 1 1 ( s 2)( s 3) ( s 3)
系统每个平衡点不稳定。
第一法在非线性系统中的应用 对于非线性系统，可以在一定条件下用它的近似线性化模 型来研究它在平衡状态的稳定性。
非线性系统： x f (x,t )
将f(x)在x e 邻域展成泰勒级数 : f f(x,t )=f(x e ,t )+ x f x x
x xe
(x-x e ) R(x) (高阶项之和)
Ax x
e Ax e 0 x
平衡状态：
A 0 xe 0 一个平衡状态——状态空间原点 A 0
无穷多个平衡状态
非线性系统：
f (x, t ) x
平衡状态： x e f (x e , t ) 0 一般有多个平衡状态
例：
1 x1 x 3 x x x x 1 2 2 2
稳定性与李雅普诺夫方法
稳定性：
控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差，
在扰动消失后，由偏差状态逐渐恢复到原来平衡状态的性能。

chap4+高级Lyapunov稳定性理论

它的解为
1 t0 x(t ) x(t0 ) 1 t
注4.1： 一致渐近稳定蕴含渐 近稳定；指数稳定蕴含 渐近稳定，而渐近稳定 不保证指数稳定。
系统的解渐近收敛于零，但不是一致收敛。
School of Electrical Engineering, Zhengzhou University
第 4章 高级稳定性理论
例4.4 下面时变函数是否正定，是否具有无穷大上界。
2 V ( x, t ) (1 sin 2 t )( x12 x2 )
该函数是正定的，控制函数
2 V0 ( x) x12 x2
也具有无穷大上界，控制函数
2 V0 ( x) 2( x12 x2 )
二、非自治系统的Lyapunov定理
4.2 非自治系统的Lyapunov稳定性分析
例4.5 考察下面时变系统
x1 x1 e 2 t x2 x2 x1 x2
选择标量函数
2 V ( x, t ) x12 (1 e2t ) x2
该函数正定，且具有无穷大上界。同时
2 V 2 x12 x1 x2 x2 1 2e 2t
lim x
x
则原点全局一致渐近稳定。
School of Electrical Engineering, Zhengzhou University
4.2 非自治系统的Lyapunov稳定性分析
几点说明： 1、对自治系统，如果V正定且其沿系统轨线的导数负定， 则原点渐近稳定。对非自治系统，还必须加上无穷大上界的 条件。 2、V的正定性及其导数的半负定性能够保证原点的稳定性。 如果V的导数负定，则可以找到一个无穷序列ti，使得x(ti)0， i。 3、对非时变质量-弹簧-阻尼系统，如果阻尼为正，则系统 渐近稳定。对带有时变阻尼的质量-弹簧-阻尼系统，阻尼c(t) 严格大于零不能保证原点的渐近稳定性。如
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则摄动系统是全局指数稳定的。
例：判断如下系统的稳定性
5 8 5 8 提示: 将 (5 x2 x3 )看作- 5和 ( x2 x3 )之和
4.3 Lyapunov函数的存在性
寻找Lyapunov函数通常是很困难的 对于稳定的系统是否总是存在Lyapunov函数？ 意义：如果一个非线性系统的某个子系统具有一些稳定的性质 ，并且根据逆定理能够建立子系统的Lyapunov函数，由此可 能构造整个系统的Lyapunov函数
定理：如果非线性系统是稳定的，那么存在一个具有非正导
数的正定函数V(x,t).
定理：如果平衡点0是一致渐近稳定的，那么存在一个具有
负定导数的正定且具有无穷大上界的函数V(x,t).
本章内容
非自治系统稳定性的概念
非自治系统的线性化方法 非自治系统的Lyapunov直接方法 线性时变系统的Lyapunov分析 用Barbalat引理作类Lyapunov分析

，有惟一的平衡点0
x

a(t ) x b(t ), 2 1 x
b(t ) 0 没有平衡点
2. 稳定性概念的扩展
平衡点0在t 0是稳定的 , 如果对任意的 R 0，存在一个正数 r ( R, t0 ) 使得 || x(t0 ) || r || x(t ) || R t t0
0 t0
如果存在一个正数 T , 使得对t 0，有
t T
t
a(r )dr ，系统指数稳定
判断下面时变线性系统的稳定性： x x (1 t ) 2 x x (1 t )
x tx

3. 稳定性概念中的一致性（刻画系统性态与初始时间之间的关系）
初始时间对非自治系统的稳定性有重要影响 因为自治系统性态与初始时间无关，所以它的稳定性质都是 一致的
意义：一个时变函数具有无穷大上界，如果它被一个时不变正定函 数所控制（被, t ) (1 sin 2 t )(x12 x2 )
2 是正定的,因为控制住时不变正定 函数V0 ( x) x12 x2 . 2 这个函数具有无穷大上 界,因为被V1 ( x) 2(x12 x2 )控制住

稳定性分析：如果标量函数满足下面条件： ① V(x,t)有下界； ② 其导数是负半定的 ③ 其导数对时间是一致连续的
那么V ( x, t ) 0, t

注：此处不要求V(x,t)正定 可微函数一致连续的一个充分条件是它的导数是有界的
例：带有一个未知参数的一阶自适应控制系统的闭环误差动力系统
！初始球的半径依赖于初始时刻 意义：状态轨线可以停留在一个半径R任意小的球内,只 要它是从一个半径r充分小的球内出发的。
类似地，可以定义渐近稳定、指数稳定、全局渐近稳定
平衡点 0在t 0是渐近稳定的 , 如果它是稳定的 , 并且 r(t0 ) 0,使得 || x(t0 ) || r (t0 ) || x(t ) || 0
平衡点0是局部一致稳定的，如果稳定性定义中的标量r 可以选择为与初始时间无关，即r=r(R).
引入一致稳定是为了排除对大的初始时间，越来越不稳定的系统。 一致渐近稳定是为了限制初始时间对状态收敛方式的影响。
x 例：一阶系统 1 t 1 t0 通解为 x(t ) x(t0 ) 1 t 系统渐近稳定，但不是一致收敛于0。 直观上是因为，对于更大的t0,解要经过更长的时间才能接 近原点。 x
本章内容
非自治系统稳定性的概念
非自治系统的线性化方法 非自治系统的Lyapunov直接方法 线性时变系统的Lyapunov分析 用Barbalat引理作类Lyapunov分析
4.2.2 非自治系统的Lyapunov直接方法
1 时变正定函数和具有无穷大上界的函数
自治系统时不变标量函数 V(x)
非自治系统含时间标量函 数V(x,t)
使用Lyapunov函数V可以证明,
所以， 因此x指数趋进于0
摄动线性系统的稳定性
摄动线性系统：一个定常稳定矩阵与某个“小”时变矩阵之和
x ( A1 A2 (t ))x

其中，A1是稳定的定常矩阵，且时变矩阵满足
A2 (t ) 0, t 及


0
|| A2 (t ) || dt （积分存在且有限）
4.4 用Barbalat引理作类Lyapunov分析
分析自治系统稳定性的有力工具--不变集定理不能用于分析非 自治系统 寻找具有负定导数的Lyapunov函数通常很困难 怎么办？ Barbalat引理。
如果可微函数 f (t ),当t 时存在有限极限，且f 一致连续， 那么当t 时 f (t ) 0
定义：标量时变函数V(x,t)是局部正定的，如果V(0,t)=0，且存在 一个时不变正定函数 V0 ( x), 使得 t t0，V ( x, t ) V0 ( x)
意义：一个时变函数是局部正定的，如果它控制住一个时不变局部 正定函数。
定义：标量函数V(x,t)具有无穷大上界，如果V(0,t)=0， 且存在一个时不变正定函数 V1 ( x), 使得 t 0，V ( x, t ) V1 ( x)
4.1 非自治系统的稳定性概念
1. 平衡点和不变集 对一个形如 的非自治系统,
x f ( x, t )

x

称为系统的一个平衡点,如果 f ( x , t ) 0 t t0

对线性时变矩阵 x A(t ) x 当A(t)不恒为奇异矩阵时，系统有惟一的平衡点0
a (t ) x 例：系统 x 1 x 2

例：考察系统 矩阵A(t)的所有特征值在所有的时间内都为-1，然而原系统的解为
所以系统是不稳定的
任何一个线性时不变系统的标准的分析方法（如特征值判别）都不能 用于线性时变系统。
T 然而，时变系统 x A(t ) x 是渐近稳定的，如果对称矩阵 A(t ) A (t )

的所有特征值（都是实数）在左半开平面，即
本章内容
非自治系统稳定性的概念
非自治系统的线性化方法 非自治系统的Lyapunov直接方法 线性时变系统的Lyapunov分析 用Barbalat引理作类Lyapunov分析
4.2.3 线性时变系统的Lyapunov分析
如果线性定常系统的系统矩阵所有特征值都具有负实部，那么系统渐 近稳定。
那么对线性时变系统 x A(t ) x 是否A(t)的所有特征值都具有负实部，系统就是稳定的呢？

本章内容
非自治系统稳定性的概念
非自治系统的线性化方法 非自治系统的Lyapunov直接方法 线性时变系统的Lyapunov分析 用Barbalat引理作类Lyapunov分析
4.2 非自治系统的Lyapunov分析
4.2.1 非自治系统的线性化方法
设原点0为非自治系统x f ( x, t )的平衡点，f关于x连续可微，
2 2 1) V(x,t)正定，因为它控制住 V0 ( x) x1 x2
2) V(x,t)的导数负定，因为
表明
2 2 3) V(x,t)具有无穷大上界，因为它被V1 ( x) x1 2 x2 所控制
4) V(x,t)径向无界。X沿任意方向趋于无穷时，V(x,t)趋 于无穷
因此系统是全局一致渐近稳定的
注： ① 如果线性化后的系统仅是渐近稳定的，那么得不出非自治系 统稳定性的任何结果。 ② 不能把线性化后的时变系统的不稳定性与原非自治系统的不 稳定性联系起来。能够从非自治系统的线性近似的不稳定性 推断出非自治系统的不稳定性只适用于线性近似是时不变的 情形。
非自治系统线性化应用时，限制条件非常多，不容易 得到系统稳定性的结论

而且, 如果 3)V具有无穷大上界 那么原点是一致稳定的 。 如果条件2）加强为V 是负定的，那么平衡点 是一致渐近稳定的

如果球BR0 用全空间代替，且满足 条件１），加强的条件 ２），条件３）和 ４）V ( x, t )是径向无界的 那么平衡点０是全局一 致渐近稳定的
例：系统 为了确定平衡点0的稳定性，选择标量函数
对时变标量函数V(x,t)，它沿系统轨线的导数为：
V V V V V x f ( x, t ) t x t x

2 非自治系统稳定的Lyapunov定理
如果在平衡点 0的邻域球BR0内，存在一个具有连续 偏导数的标量函数 V ( x, t )，使得 1） V是正定的 2） V 是半负定的 那么平衡点 0是Lyapunov 意义下稳定的
f A(t ) | x 0 , 则对任意固定的 t , 有Taylor展开式 x A(t ) x f h.o.t . ( x, t ) x 如果对任意的 t , f可以用A(t ) x近似代替，即 f ( x, t ) lim sup || h.o.t . || 0 t 0 一致收 || x|| 0 || x ||
第4章 高级稳定性理论
主要研究非自治系统的稳定性
在实际问题中,很多是非自治系统. 例如: 火箭起飞过程 中,空气的温度和压力等参数都随时间而变化
一个自治系统对标称运动的稳定性等价于研究非自 治系统平衡点的稳定性.
本章内容
非自治系统稳定性的概念
非自治系统的线性化方法 非自治系统的Lyapunov直接方法 线性时变系统的Lyapunov分析 用Barbalat引理作类Lyapunov分析
其中w(t)是有界的连续函数。分析这个系统的渐近性质
取有下界函数 导数为
表明V (t ) V (0),因此e和是有界的
而且根据假设w是有界的，因此V的二阶导数是有界的
V的导数一致连续
由Barbalat引理得，t趋于无穷大时，-2e^{2}趋于0，即e趋于0
那么系统 x A(t ) x称为非线性系统在平衡 点0的线性近似