定性和稳定性理论简介
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1微分方程与差分方程稳定性理论
如果 tlim x(t ) x0 , 则称平衡点P0是稳定的.
t
lim y(t ) y0 ,
下面给出判别平衡点P0是否稳定的判别 准则. 设 f ( P0 ) f ( P0 ) f ( P0 ) g ( P0 ) x y p , q g ( P0 ) g ( P0 ) y x x y
微分方程定性分析
一般提法：不去积分给定的微分方程, 而根 据 方程右端的函数的性质确定方程的积分曲线在整 个区域内的分布状态. 基本任务：考虑在有限区域内积分曲线的形状， 或研究当时间无限增大时, 积分曲线的性态. 研究对象：驻定系统 若微分方程组
dxi fi ( x1 , x2 , , xn ), i 1, 2,, n dt
2 2
微分方程的定性分析
随着科学技术的发展，常微分方程定性分析 在各个学科领域已成为必不可少的数学工具， 也是数学建模的必备基础理论. 一. 微分方程定性理论的基本任务和 主要研究方法 极少情况下，能够用初等函数或初等函 数的积分表示微分方程的解. 解 求微分方程的数值解 决 方 对微分方程进行定性分析 法
二阶常系数线性差分方程 xn+2 + axn+1 + bxn = r, 其中a, b, r为常数.
当r = 0时, 它有一特解 x* = 0； 当r ≠ 0, 且a + b + 1≠ 0时, 它有一特解 x*=r/( a + b +1). 不管是哪种情形, x*是其平衡点. 设其特征方
程
2 + a + b = 0 的两个根分别为 =1, =2.
来代替.
dx f ( x0 )( x x0 ) dt
常微分方程定性与稳定性方法
谢谢观看
目录分析
第二部分是主体部分，详细介绍了常微分方程定性与稳定性的各种方法。其 中包括了稳定性理论、线性化与中心流形方法、Lyapunov第二方法、PoincaréBendixson定理等。这些方法都是解决常微分方程定性稳定性问题的关键工具， 通过学习这些方法，读者可以更好地理解和应用常微分方程。
目录分析
目录分析
目录分析
《常微分方程定性与稳定性方法》是一本关于常微分方程的学术著作，其目 录作为书籍内容的指引，具有重要意义。通过对目录的深入分析，我们可以了解 这本书的主要内容、结构以及编者的思路。
目录分析
从目录的结构来看，这本书大致可以分为三个部分。第一部分是引言，主要 介绍了常微分方程的基本概念、研究背景以及本书的目的和内容概述。这一部分 对于读者理解全书内容起到了很好的引导作用。
阅读感受
这本书从常微分方程的基本概念入手，逐步深入到其定性分析和稳定性方法。 让我印象深刻的是，作者不仅仅是在讲解理论知识，更是将理论与实践紧密结合。 例如，书中提到了极限环的概念，这是我之前未曾深入了解的领域。通过书中的 解释，我了解到极限环在很多实际问题中都有着广泛的应用，如生态系统的种群 动态、电路的振荡等。
内容摘要
还通过实例阐述了线性化方法在近似求解非线性问题中的应用。
Lyapunov第二方法涉及了中心流形定理和分岔理论。这一章通过深入浅出的方式，介绍了中心 流形定理的基本概念和计算方法，以及分岔理论的分类和应用。还结合实例探讨了非线性系统在 分岔点附近的动态行为。
本书的最后两章分别介绍了时滞微分方程的稳定性和混沌理论的相关内容。时滞微分方程在现代 科技领域中有着广泛的应用，如生态学、电路系统和控制系统等。这一章重点讨论了时滞微分方 程的稳定性条件和计算方法，以及与连续系统和离散系统的关系。也通过实例探讨了混沌理论在 时滞微分方程中的应用和意义。
4.1常微分方程的定性与稳定性
连续偏导数，因而满足解的存在唯一性定理的条件， 在相平面的每一点，有且只有方程(4a)或(4b)的一条 积分曲线经过，这些积分曲线方程组(3)在相平面上的 轨线。所以在相平面上，(3)的轨线不能相交。
8
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四、初等奇点及其分类
1、线性系统
x a1 x a2 y
y
b1
x
b2
y
(5)
假设 f ( x, y)， g( x, y)关于( x, y)有一阶连续偏导
数，对方程组(3)而言，只要( x0 , y0 )不是(3)的奇点，
即，( x0 , y0 )不同时 满足 f ( x, y) 0， g( x, y) 0，则
在( x0 , y0 )附近可将(3)改写为
7
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是稳定焦点；
当 1 2 i ， 0, 0，即 p 0，q 0，p2 4q时， 是不稳定焦点；
当 1 2 i ， 0即 p 0，q 0时，是中心。
11
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q p2 4q
不
稳
稳
中
定
不 稳 定 结
定
心
焦
焦
区
点
点
区
区
稳 定 结
点
点
区
区
O
p
鞍点区
12
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2、非线性系统
定义 2 设 x* ( x1*,, xn*)T 是方程 组(1)的平 衡点，x x(t) ( x1(t),, xn (t))T 是方程组(1)的任一 解 ， 如果存在 x * 的某邻域 U( x*) ，使得当
x(t0 ) U ( x*)时，必有
lim
t
x
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四、初等奇点及其分类
1、线性系统
x a1 x a2 y
y
b1
x
b2
y
(5)
假设 f ( x, y)， g( x, y)关于( x, y)有一阶连续偏导
数，对方程组(3)而言，只要( x0 , y0 )不是(3)的奇点，
即，( x0 , y0 )不同时 满足 f ( x, y) 0， g( x, y) 0，则
在( x0 , y0 )附近可将(3)改写为
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是稳定焦点；
当 1 2 i ， 0, 0，即 p 0，q 0，p2 4q时， 是不稳定焦点；
当 1 2 i ， 0即 p 0，q 0时，是中心。
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q p2 4q
不
稳
稳
中
定
不 稳 定 结
定
心
焦
焦
区
点
点
区
区
稳 定 结
点
点
区
区
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p
鞍点区
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2、非线性系统
定义 2 设 x* ( x1*,, xn*)T 是方程 组(1)的平 衡点，x x(t) ( x1(t),, xn (t))T 是方程组(1)的任一 解 ， 如果存在 x * 的某邻域 U( x*) ，使得当
x(t0 ) U ( x*)时，必有
lim
t
x
李雅普诺夫稳定性
x bx5
这时线性化方法不能用来判断它的稳定性。
李雅普诺夫理论基础
例：证明下面单摆的平衡状态 ( , 0) 是不稳定的。
MR2 b MgR sin 0
式中 R 为单摆长度，M 为单摆质量， b 为铰链的摩擦系数，
g 是重力常数。(系统的平衡点是什么？)
在 的邻域内
sin sin cos ( ) h.o.t. ( ) h.o.t. 设 ~ ，那么系统在平衡点附近的线性化结果是
以速度 1 指数收敛于 x 0 。
例2：系统 x x2 , x(0) 1它的解为 x 1/(1 t)，是个慢于任 何指数函数 et ( 0) 的函数。
3、局部与全部稳定性
定义：如果渐近（或指数）稳定对于任何初始状态都能 保持，那么就说平衡点是大范围渐近（或指数）稳定的， 也称为全局渐近（或指数）稳定的。
李雅普诺夫理论基础
§2.2 线性化和局部稳定性
李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。
Lyapunou线性化方法说明：在实际中使用线性控制方法基
本上是合理的。
对于自治非线性系统 x f (x) ，如果 f (x) 是连续可微的,那
么系统的动态特性可以写成( f (0) 0 )：
x
f x
李雅普诺夫理论基础
第二章 Lyapunov理论基础
稳定性是控制系统关心的首要问题。
稳定性的定性描述：如果一个系统在靠近其期望工作点的某 处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运动， 那么就把该系统描述为稳定的。
例如：单摆，飞行器 李雅普诺夫的著作《动态稳定性的一般问题》，并于1892
年首次发表。 1. 线性化方法：从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非
稳定性
稳定性 (stability)系统受到扰动后其运动能保持在有限边界的区域内或回复到原平衡状态的性能。
稳定性问题是自动控制理论研究的基本问题之一。
稳定性分为状态稳定性和有界输入-有界输出稳定性。
状态稳定性如果充分小的初始扰动只引起系统偏离平衡状态的充分小的受扰运动，则称系统是稳定的。
如果当时间趋于无穷大时，所有这些受扰运动均回复到原平衡状态，则称系统是渐近稳定的。
如果对任意初始扰动引起的受扰运动，系统都能随时间趋于无穷大而回复到平衡状态，则称系统是全局或大范围渐近稳定的。
有界输入－有界输出稳定性如果对应于每个有界的输入，系统的输出均是有界的,就称系统是有界输入-有界输出稳定的，简称BIBO稳定。
一个向量信号称为有界，是指组成信号的每一个分量的函数值都为有限值。
对于可用常系数线性微分方程描述的系统，在系统是联合能控和能观测时（见能控性和能观测性），BIBO稳定等价于全局渐近稳定。
在线性控制理论中，系统稳定即指其平衡状态是全局渐近稳定。
稳定性的判别判定系统稳定性主要有两种方法：①李雅普诺夫方法：它同时适用于线性系统和非线性系统，定常系统和时变系统。
对于线性定常系统，这种方法在使用上并不简便（见李雅普诺夫稳定性理论。
②基于对系统传递函数的极点分布的判别方法：只适用于线性定常系统。
传递函数的极点即是其分母多项式为零的代数方程的根。
这种方法在应用上比较简便。
其中按代数方法进行判别的为代数稳定判据，如劳思稳定判据和胡尔维茨稳定判据；按复变函数方法进行判别的有奈奎斯特稳定判据和米哈伊洛夫稳定判据；按图解方法通过研究极点随增益的变化关系来进行判别的为根轨迹法。
除此之外，在研究某些类型的稳定性问题时，也常采用波波夫稳定判据。
而泛函分析和微分几何的方法也已在研究稳定性问题中得到应用。
稳定性(stability)在一定条件下，物体在偏离平衡位置后能恢复到原来平衡位置的性能。
如塔式起重机一般要加适当的配重，使其承受各种载荷时重心始终在支承点周围的范围内而不翻倒。
定性和稳定性理论简介
t ®¥
(5.6)
(5.7)
于是知 存 在 t1>0 ， 使 t>t1 时 F(t ) < 1 . 从而对 任意 e > 0 ， 取 d 0 = e 则 当 x0 < d 0 时， 由 (5.6) 有 x(t ) £ F (t ) x0 £ x0 < e , t > t1 (5.8)
当 t∈[0, t1]时 , 由解对初 值 的 连续 相 依 性 , 对 上述 e > 0 ，存 在 δ 1 >0 ，当 x0 < d1 时 x(t ) - O < e , t Î [0, t1 ] 取 d = min{d 0 , d1} ， 综合上 面 讨 论知 ，当 x0 < d 时 有 x(t ) < e , t Î [0, +¥] 即 x = 0 是稳定的 . 由 (5.7)知对 任意 x0 有 lim F (t ) x0 = 0 ， 故 x = 0 是 渐 近 稳定的 .
其中 x Î R n , A 是 n ×n 阵 . 证明 ， 若 A 的 所 有 特 征 根 都具严格负实 部， 则 (5.3)的 零 解是 渐 近 稳定的 . 证明 不 失 一 般 性 ， 我 们 取 初 始 时 刻 t0 = 0 , 设 Φ (t)是 (5.5)的 标准 基 本解 矩阵 ， 由 第 3 章 内容 知 满足 x(0) = x0 的解 x(t ) 可 写 成 x(t ) = F(t ) x0 由 A 的 所 有 特 征 根 都具负实 部 知 lim F (t ) = 0
t ®¥
则称 (5.1) 的解 x = j (t , t0 , x1 ) 是 渐近稳定的 . 为 了 简化 讨 论 ， 通 常 把 解 x = j (t , t0 , x1 ) 的稳定性 化成 零 解的稳定性 问题 . 下 面记 x(t ) = x(t , t0 , x 0 ) , j (t ) = j (t , t0 , x1 ) 作 如 下 变量代 换 . 令 y = x(t ) - j (t ) 则 dy dx(t ) dj (t ) = = f (t , x(t )) - f (t , j (t )) dt dt dt = f (t , j (t ) + y ) - f (t , j (t ))
(5.6)
(5.7)
于是知 存 在 t1>0 ， 使 t>t1 时 F(t ) < 1 . 从而对 任意 e > 0 ， 取 d 0 = e 则 当 x0 < d 0 时， 由 (5.6) 有 x(t ) £ F (t ) x0 £ x0 < e , t > t1 (5.8)
当 t∈[0, t1]时 , 由解对初 值 的 连续 相 依 性 , 对 上述 e > 0 ，存 在 δ 1 >0 ，当 x0 < d1 时 x(t ) - O < e , t Î [0, t1 ] 取 d = min{d 0 , d1} ， 综合上 面 讨 论知 ，当 x0 < d 时 有 x(t ) < e , t Î [0, +¥] 即 x = 0 是稳定的 . 由 (5.7)知对 任意 x0 有 lim F (t ) x0 = 0 ， 故 x = 0 是 渐 近 稳定的 .
其中 x Î R n , A 是 n ×n 阵 . 证明 ， 若 A 的 所 有 特 征 根 都具严格负实 部， 则 (5.3)的 零 解是 渐 近 稳定的 . 证明 不 失 一 般 性 ， 我 们 取 初 始 时 刻 t0 = 0 , 设 Φ (t)是 (5.5)的 标准 基 本解 矩阵 ， 由 第 3 章 内容 知 满足 x(0) = x0 的解 x(t ) 可 写 成 x(t ) = F(t ) x0 由 A 的 所 有 特 征 根 都具负实 部 知 lim F (t ) = 0
t ®¥
则称 (5.1) 的解 x = j (t , t0 , x1 ) 是 渐近稳定的 . 为 了 简化 讨 论 ， 通 常 把 解 x = j (t , t0 , x1 ) 的稳定性 化成 零 解的稳定性 问题 . 下 面记 x(t ) = x(t , t0 , x 0 ) , j (t ) = j (t , t0 , x1 ) 作 如 下 变量代 换 . 令 y = x(t ) - j (t ) 则 dy dx(t ) dj (t ) = = f (t , x(t )) - f (t , j (t )) dt dt dt = f (t , j (t ) + y ) - f (t , j (t ))
第十一讲 非线性微分方程定性 与稳定性理论(1)
t → +∞
{
}
定义3: 定义3: 若 ∃ε 0 > 0 对 ∀δ > 0 ，∃ x 0尽管 x0 ≤ δ ， 但由初始条件 x (t0 ) = x0 确定的解 x (t ) ,总存在某 个时刻 t1 > t0 使得
x (t1 ) ≥ ε 0
则称（3）式的零解 x = 0是不稳定的。 是不稳定的。 则称（
(a)
A > 0, B > 0
t
0
ε
y′ > 0
(b )
A < 0, B < 0
二、相平面
本节主要讨论二阶线性方程
dx dt = ax + by dy = cx + dy dt
的奇点及其分类
a b ≠0 c d
一般二阶微分方程组的相关概念和性质
dx = X (t; x , y ) dt dy = Y (t; x , y ) dt
0
则称（3）式的零解 x = 0 是稳定的。 是稳定的。 则称（ 若（3）式的零解稳定,且 ∃δ0 >0 使得当 x0 ≤ δ 0时, 式的零解稳定, 由 x (t0 ) = x0 确定的解 x ( t )有 则称零解 x = 0 是渐近稳定的. 是渐近稳定的.
t → +∞
lim x ( t ) = 0
x = y − ϕ (t ) ɺ ɺ ɺ ⇒ x = y − ϕ (t ) = g (t ; y ) − g (t ;ϕ (t )) =g (t ; x + ϕ (t )) − g (t ;ϕ (t )) ≡: f (t ; x )
ɺ x = f (t ; x )
f (t ;0) = 0
{
}
定义3: 定义3: 若 ∃ε 0 > 0 对 ∀δ > 0 ，∃ x 0尽管 x0 ≤ δ ， 但由初始条件 x (t0 ) = x0 确定的解 x (t ) ,总存在某 个时刻 t1 > t0 使得
x (t1 ) ≥ ε 0
则称（3）式的零解 x = 0是不稳定的。 是不稳定的。 则称（
(a)
A > 0, B > 0
t
0
ε
y′ > 0
(b )
A < 0, B < 0
二、相平面
本节主要讨论二阶线性方程
dx dt = ax + by dy = cx + dy dt
的奇点及其分类
a b ≠0 c d
一般二阶微分方程组的相关概念和性质
dx = X (t; x , y ) dt dy = Y (t; x , y ) dt
0
则称（3）式的零解 x = 0 是稳定的。 是稳定的。 则称（ 若（3）式的零解稳定,且 ∃δ0 >0 使得当 x0 ≤ δ 0时, 式的零解稳定, 由 x (t0 ) = x0 确定的解 x ( t )有 则称零解 x = 0 是渐近稳定的. 是渐近稳定的.
t → +∞
lim x ( t ) = 0
x = y − ϕ (t ) ɺ ɺ ɺ ⇒ x = y − ϕ (t ) = g (t ; y ) − g (t ;ϕ (t )) =g (t ; x + ϕ (t )) − g (t ;ϕ (t )) ≡: f (t ; x )
ɺ x = f (t ; x )
f (t ;0) = 0
微分方程稳定性理论简介
.
(13)
q det A
将特征根记作1, 2，则
1,
2
1 2
( p
p2 4q ).
(14)
8
方程(9)的一般解具有形式 c1e1t c2e2t (1 2 )
或 c1e1t c2te1t (1 2 ),
c1, c2为任意常数.
(注意：课本p199是否误为 c1e1t c2te1t (1 2 )
)
9
均 衡 时 2均P为点0不(按负;0,而为照数0)当零稳或是.定均不1,性有稳的2定负有定平实一义衡部个(点时8为).式P正0在(可0数条,知或0件，)有是(当1正稳1)下实定1, 部平12,
按上述理论可得根据特征方程的系数p, q的正负来判断平衡点稳定性的准则：
若 p > 0, q > 0，则平衡点稳定; 若 p < 0, q < 0，则平衡点不稳定.
到1913年的军事预算，表中第5行(x1 + y1)是(x1 + y1) 的年增加量，最后一行是相应的年平均值.
1909 1910 1911 1912 1913
法俄x1 德奥匈y1
115.3 83.9
119.4 85.4
127.8 87.1
145.0 93.7
166.7 122.3
x1 + y1
199.2 204.8 214.9 238.7 289.0
12
军事分析家平可夫: 中日军备竞赛由隐形转向有形 /letter/ 加入日期 2005-5-24 9:02:37 点击次数： 3
防卫厅消息来源声称过去一年以来，航空自卫 队在日本排他经济水域周围监视中国军用飞机的次 数明显增多。它们大半是侦察机。在海上，中国海 军的最新型俄式“现代”导弹驱逐舰的活动也比较 频繁。冷战时代苏联海军太平洋舰队的“现代”级 导弹驱逐舰经常航行在东海海域，目前中国出现的 频率超过了俄罗斯海军。
微分方程定性与稳定性分析解析
微分方程定性与稳定性分析解析微分方程是描述自然界中变化规律的重要数学工具，在各个学科领域中都有广泛的应用。
微分方程的定性与稳定性分析是研究微分方程解行为的一种方法，通过分析解的性质和稳定性来了解方程的整体行为。
本文将介绍微分方程定性与稳定性分析的基本概念和方法，并通过具体的例子来阐述其应用。
一、微分方程定性分析微分方程定性分析是指通过对微分方程解的性质进行分析，得到关于解的定性描述。
在定性分析中，我们主要关注解的长期行为和整体趋势，而不是具体的解析形式。
1. 平衡解与稳定性在微分方程中，平衡解是指满足方程右端为零的解。
对于一阶微分方程dy/dx = f(x)，平衡解即为使得f(x) = 0的x值。
平衡解的稳定性是指当初始条件接近平衡解时，解的行为是否趋于平衡解。
2. 等式右端的符号分析对于微分方程dy/dx = f(x)，我们可以通过分析f(x)的符号来推断解的行为。
当f(x) > 0时，解呈现上升趋势；当f(x) < 0时，解呈现下降趋势；当f(x) = 0时，解为平衡解。
3. 相图分析相图是描述微分方程解的图形，横轴表示自变量x，纵轴表示因变量y。
在相图中，曲线表示解的轨迹，平衡解表示曲线与纵轴的交点。
通过绘制相图，我们可以直观地了解解的行为和稳定性。
二、微分方程稳定性分析微分方程稳定性分析是指通过分析微分方程解的稳定性来了解方程的整体行为。
稳定性分析可以分为局部稳定性和全局稳定性两个方面。
1. 局部稳定性局部稳定性是指当初始条件接近某个平衡解时，解的行为是否趋于该平衡解。
局部稳定性可以通过线性化的方法来分析，即将微分方程在平衡解附近进行泰勒展开，并分析展开式的特征根。
2. 全局稳定性全局稳定性是指当初始条件在整个定义域内变化时，解的行为是否趋于某个平衡解。
全局稳定性的分析较为复杂，通常需要借助于Lyapunov函数或者Poincaré-Bendixson定理等方法。
三、定性与稳定性分析的应用微分方程的定性与稳定性分析在各个学科领域中都有广泛的应用。
4.1常微分方程的定性与稳定性
13
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定理 4 对于非线性系统(7)，假设det A 0，A
的特征值为1和 2，且当( x, y) ( x0 , y0 )时，
X 2 ( x, y) Y 2 ( x, y) O{[( x x0 )2 ( y y0 )2 ]1 }
其中 0是常数，那么
1) 当 1 2 0时， P0是(7)的稳定结点；
y
g( x,
y)
(3)
方程组(3)的相空间是 x-y 平面，称为相平面。
假设 f ( x, y)， g( x, y)关于( x, y)有一阶连续偏导
数，对方程组(3)而言，只要( x0 , y0 )不是(3)的奇点，
即，( x0 , y0 )不同时 满足 f ( x, y) 0， g( x, y) 0，则
R
n
,
F
(t
,
x)
R
n
.
xn
fn (t, x)
设(a,b) R, D Rn,当F (t, x)在(a,b) D连续,
且关于 x 有连续的一阶偏导数时,对任意
(t0 , x0 ) (a,b) D,方程组(0)存在唯一的解(积分曲
线) x (t;t0 , x0 )满足 x(t0 ) x0.
x f ( x, y)
y
g( x,
y)
(6)
设系统(6)有孤立奇点P0 ( x0 , y0 )，且在P0 附近可写为
x
y
a1( x b1( x
x0) x0)
a2( b2(
y y
y0 y0
) )
X(x, y) Y(x, y)
(7)
其中a1 f x( x0 , y0 )，a2 f y( x0 , y0 )，b1 gx ( x0 , y0 )， b2 gy ( x0 , y0 )。
稳定性理论
引言稳定一词的字面意思为坚持或保持。
形容词“稳定的” 的英语和法语stable 、德语stabil 均来源于拉丁语stbilis 。
最早见于罗马共和国末期的诗人和哲学家卢克莱修(Titus Lucretius Carus，约前99年-约前55年)所写的哲理长诗《物性论》([1] 140 页)：因为水就是这样动的，一受到最微小的影响就波动，由于它是由会滚动的小形粒子所构成；但是相反地密的本性则是更稳定，它的液汁更富于懒性，它流动更迟缓；因为它的物质更牢结在一起，因为，实在说，构成它的粒子，不是这样地光滑，不是这样地小而圆。
在汉语中，“稳定”是舶来品，本土原先很少用，因此始编于1908年主要收录1840 年以前的汉语词汇的《辞源》都没有收入“稳定” 。
罕见的一个古代使用例子见于《清史稿•列传一百七》，其中收有1814年河东河道总督栗毓美(1778-1840) 上疏，论证用烧砖筑堤的必要性--- 能在水流冲击下不动，上年盛涨，较二年及十二年尤猛迅，砖坝均屹立不移。
仪睢、中河两厅，河水下卸，塌滩汇坝，抢镶埽段，旋即走失，用砖抛护，均能稳定([2]11656 页) 。
传统汉语中，与稳定意思接近的词是“安稳” ，意思是平安稳妥。
除去天下局势太平、人心所向的引申含义外，主要用于说明行舟的平稳无惊。
南朝宋临川王刘义庆（403-444）所撰《世说新语•排调》记载，东晋书法家、画家顾恺之（348-409）遇风浪后写信报平安，行人安稳，布帆无恙（[3]438 页）。
这一故事也收入《晋书•列传第六十二》（[4]2404 页）。
《宋史•志第一百四十八兵九》记载北宋抗金名臣李纲（1083-1140）的主张，水战之利，南方所宜。
沿河、淮、海、江帅府、要郡，宜效古制造战船，以运转轻捷安稳为良。
又习火攻，以焚敌舟（[5]4869 页）。
《清史稿•列传七十九》记载1723年江西巡抚裴幰度（?-1740）上疏设关榷税事宜，九江旧关，上有龙开河、官牌夹，下有老鹤塘、白水港，地势宽平，泊舟安稳（[6]10311 页）。
常微分方程习题答案（第五章定性与稳定性理论简介）
常微分方程习题答案第五章定性与稳定性理论简介教材习题同步解答习题5.21. 对于方程组41114221,,xx x x x x ⎧=-⎨=⎩ 试说明 441212(,)V x x x x =+是正定的，而dVdt是常负的。
证：易知(0,0)0V =，当22120x x +≠时，12(,)0V x x > 正定。
34344444121122211212124()4()440dV V V x x x x x x x x x x x x dt x x ∂∂=+=-+-=-+=∂∂ ，故dV dt是常负。
(0,0)0V =。
2. 讨论方程组312132124,3,xx x x x x ⎧=--⎨=-⎩ 零解的稳定性。
证：取 221212(,)V x x x x =+， 易知(0,0)0V =，当22120x x +≠时， 12(,)0V x x >即正定。
334411221212121212222(4)2(3)22()0dV x x x x x x x x x x x x x x dt=+=--+-=---< ，故方程的零解是渐进稳定的。
3. 讨论自治系统2111222212,,x Ax x x x Ax x x ⎧=-⎨=-⎩ 零解的稳定性。
证：证：取 221212(,)V x x x x =+， 易知(0,0)0V =，当22120x x +≠时，12(,)0V x x >即正定。
222211221112221212222()2()2()dV x x x x x Ax x x x Ax x x A x x dt=+=-+-=+ ，故方程的0A >，则零解是不稳定的；若0A <，则零解是渐进稳定的。
习题5.3通过求解，确定下列各方程的奇点类型，画出相图，并确定奇点的稳定性：（1）2,3;dx x dt dy y dt ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（2）3,3;dx x dt dy x y dt⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（3）,;dx y dt dy x dt ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（4）23,3;dxx y dtdy x y dt ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩解：（1）方程的奇点为(0,0)O ，方程所对应的系数矩阵为2003A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，系数矩阵所对应的特征方程为20003λλ--=-- 或2560λλ++= ，特征根为 1220,30,λλ=-<=-<奇点(0,0)O 为稳定结点。
常微分方程-定性理论
混沌理论主要研究的是非线性常微分方程的复杂动态行为 ，包括对初值敏感依赖、长期行为的不可预测性和奇怪吸 引子等特性。
分岔理论
当系统的参数发生变化时，常微分方程的解可能会发生突 然变化，这种现象被称为分岔。分岔理论研究了分岔的产 生条件和分岔的类型。
数值解法
对于无法解析求解的常微分方程，定性理论还研究了各种 数值解法，如欧拉法、龙格-库塔法等，以近似求解其解 。
稳定性是指系统在平衡点附近的动态行为，如果一个平衡点 是稳定的，那么当系统受到小的扰动时，它会回到平衡点； 反之，如果平衡点是不稳定的，那么系统会远离平衡点。
线性常微分方程
线性常微分方程是指形式为dy/dt = ay + b的常微分方程，其中a和b是 常数，y是未知函数。
VS
线性常微分方程的解可以通过求解线 性代数方程得到，其解的性质可以通 过特征值和特征向量来描述。
定性理论通过分析微分方程的解轨线 在相空间中的行为，来理解和预测系 统的动态行为。它为解决实际问题提 供了重要的数学工具和理论基础。
研究目的和意义
研究目的
常微分方程定性理论的研究目的是揭示微分方程解的内在性质和规律，理解解的动态行为，并应用于解决实际问 题。
研究意义
定性理论在数学、物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用，是解决实际问题的重要工具。通过研究常微分 方程定性理论，可以深入理解自然现象和社会现象的动态演化过程，为解决实际问题提供重要的数学方法和理论 基础。
人口动态
常微分方程可以用来描述人口的变化规律，例如 Malthus模型。
行为科学
常微分方程可以用来描述人类行为的变化规律，例如 心理动力学模型。
05 结论与展望
研究结论
稳定性理论
分岔理论
当系统的参数发生变化时，常微分方程的解可能会发生突 然变化，这种现象被称为分岔。分岔理论研究了分岔的产 生条件和分岔的类型。
数值解法
对于无法解析求解的常微分方程，定性理论还研究了各种 数值解法，如欧拉法、龙格-库塔法等，以近似求解其解 。
稳定性是指系统在平衡点附近的动态行为，如果一个平衡点 是稳定的，那么当系统受到小的扰动时，它会回到平衡点； 反之，如果平衡点是不稳定的，那么系统会远离平衡点。
线性常微分方程
线性常微分方程是指形式为dy/dt = ay + b的常微分方程，其中a和b是 常数，y是未知函数。
VS
线性常微分方程的解可以通过求解线 性代数方程得到，其解的性质可以通 过特征值和特征向量来描述。
定性理论通过分析微分方程的解轨线 在相空间中的行为，来理解和预测系 统的动态行为。它为解决实际问题提 供了重要的数学工具和理论基础。
研究目的和意义
研究目的
常微分方程定性理论的研究目的是揭示微分方程解的内在性质和规律，理解解的动态行为，并应用于解决实际问 题。
研究意义
定性理论在数学、物理学、工程学、经济学等领域有广泛的应用，是解决实际问题的重要工具。通过研究常微分 方程定性理论，可以深入理解自然现象和社会现象的动态演化过程，为解决实际问题提供重要的数学方法和理论 基础。
人口动态
常微分方程可以用来描述人口的变化规律，例如 Malthus模型。
行为科学
常微分方程可以用来描述人类行为的变化规律，例如 心理动力学模型。
05 结论与展望
研究结论
稳定性理论
第五章 稳定性理论
为向量的2范数或欧几里德范数 15
且
x(t, x0 , t0 ) xe
t t0
球域S()
则称xe 是李氏意义下的稳定。
当与t0无关时，称为一致稳定
2.渐近稳定
1）是李氏意义下的稳定
2） lim t
x(t,
x0 , t0 )
xe
0
当与t0无关时，称为一致渐近稳定
球域S()被称为平衡状态xe=0的吸引域。
第五章 稳定性理论
1
5.1 外部稳定性和内部稳定性
1、外部稳定性（又称有界输入有界输出稳定性） 定义：对于零初始条件的因果系统，如果存在一个固定的有限常
数k及一个标量使得对于任意的 t [t0 , )
当系统的输入u(t)满足
u(t) k , t [t0 , )
所产生的输出y(t)一定满足
y(t) k , t [t0, )
4.不稳定性
对于某个和任意个，不管有多小、有多
大，只要由S() 内的x0 出发的轨迹超出S()
以外，则xe不稳定
17
（a）稳定平衡状态及一条典型轨迹 （b）渐近稳定平衡状态及一条典型轨迹 （c）不稳定平衡状态及一条典型轨迹
在经典控制理论稳定的概念与李亚普诺夫意义下稳定不完全一
致。
经典控制理论 (线性定常系统)
V (0) 0
V (x) 0(x 0) V (0) 0(x 0)
V(x)正定 V (x) x12 x22 V(x)负定 V (x) 2(x12 3x22 )
V (x) 0(x 0),V (0) 0 V (x) 0(x 0),V (0) 0
正半定 V (x) (x1 x2 )2 负半定 V (x) (2x1 x2 )2
常微分方程发展简史
第三讲常微分方程发展简史——解析理论与定性理论阶段3、常微分方程解析理论阶段：19 世纪19 世纪为常微分方程发展的解析理论阶段. 作为微分方程向复数域的推广, 微分方程解析理论是由Cauchy 开创的. 在Cauchy 之后,重点转向大范围的研究。
级数解和特殊函数这一阶段的主要结果之一是运用幂级数和广义幂级数解法, 求出一些重要的二阶线性方程的级数解, 并得到极其重要的一些特殊函数.常微分方程是17、18 世纪在直接回答物理问题中兴起的. 在着手处理更为复杂的物理现象, 特殊是在弦振动的研究中, 数学家们得到了偏微分方程. 用变量分离法解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题. 此外, 因为偏微分方程都是以各种不同的坐标系表出的, 所以得到的常微分方程是目生的, 并且不能用封闭形式解出. 为了求解应用分离变量法与偏微分方程后得到的常微分方程, 数学家们没有过分忧虑解的存在性和解应具有的形式, 而转向无穷级数的方法. 应用分离变量法解偏微分方程而得到的常微分方程中最重要的是Bessel 方程.x 2 y+ xy+ (x2 n2 )y = 0其中参数n 和x 都可以是复的.对Bessel 来说, n 和x 都是实的. 此方程的特殊情形早在1703 年BernoulliJacobi 给 Leibnitz 的信中就已提到, 后来 Bernoulli Daniel 、Euler 、Fourier 、 Poisson 等都讨论过此问题. 对此方程的解的最早的系统研究是由 Bessel 在研 究行星运动时作出的. 对每一个n , 此方程存在两个独立的基本解, 记作J (x) 和nY (x) , 分别称为第一类 Bessel 函数和第二类 Bessel 函数, 它们都是特殊函数 n或者广义函数(初等函数之外的函数) . Bessel 自 1816 年开始研究此方程, 首 先给出了积分关系式J (x) = q 2j 几 cos(nu 一 x sin u)du.n 2几 01818 年 Bessel 证明了 J (x) 有无穷多个零点. 1824 年, Bessel 对整数n 给出了n递推关系式xJ (x) 一 2nJ (x) + xJ (x) = 0n +1 n n 一1和其他的关于第一类 Bessel 函数的关系式.后来又有众多的数学家(研究天体力学的数学家)独立地得到了 Bessel 函数及其表达式和关系式. Bessel 为微分方程解析理论作出了巨大贡献。
微分方程的定性与稳定性分析
微分方程的定性与稳定性分析微分方程是数学中的重要概念，用于描述自然界和社会现象中的许多现象和规律。
在研究微分方程的过程中，定性与稳定性分析是一项关键的工具和方法。
本文将介绍微分方程的定性与稳定性分析的基本概念和方法。
一、微分方程的定性分析1. 定性分析的概念定性分析是通过分析微分方程的特征和重要性质，来了解方程解的大致行为和特点的过程。
它主要关注方程解的长期行为和稳定性，而不是具体的解析形式。
2. 相图和关键点相图是微分方程解的图形表示，通常以自变量和因变量的关系进行绘制。
关键点是方程解在相图中具有特殊意义的点，如平衡点、周期点、奇点等。
3. 平衡点和稳定性分析平衡点是方程解中保持不变的点，即导数为零的点。
稳定性分析是判断平衡点的性质，包括稳定、不稳定和半稳定等。
二、微分方程的稳定性分析1. 稳定性的概念稳定性是指方程解在平衡点附近的行为趋势，包括渐近稳定、指数稳定、周期稳定等。
稳定性分析是研究方程解在不同情况下的稳定性质。
2. 稳定性分析的方法（1）线性稳定性分析：通过线性化微分方程，求得线性化方程的特征根，并根据特征根的实部和虚部来判断解的稳定性。
（2）李雅普诺夫稳定性分析：通过构造适当的李雅普诺夫函数，证明解的稳定性。
（3）数值稳定性分析：通过数值方法，如欧拉法、龙格-库塔法等，模拟方程解的行为和稳定性。
三、案例分析考虑一个常见的微分方程模型，如Logistic方程，描述了物种的增长和竞争过程。
通过定性与稳定性分析，可以了解方程解的行为特点。
具体的分析过程和结果省略。
四、结论微分方程的定性与稳定性分析是研究方程解行为和稳定性的重要方法。
通过相图、关键点、稳定性分析等工具和方法，可以揭示微分方程解的长期行为和稳定性质，为对实际问题的理解和解决提供基础。
总之，微分方程的定性与稳定性分析是研究方程解行为和稳定性的重要方法，在实际问题中有着广泛的应用。
通过本文的介绍，希望读者对微分方程的定性与稳定性分析有更深入的了解，并能在实际问题中灵活运用。
第五章稳定性定义资料
非线性微分方程
实际问题中所研究的对象往往是非常复杂的，需要 非线性微分方程(组)来描述，非线性方程能求出解 析解的很少，需要进行数值计算或理论分析。 微分方程的研究内容
求解：解析解、近似解、数值解 基本理论：解的存在惟一性、连续性 定性稳定性：时间趋于无穷时解的性态 分支理论：解性态发生改变的一些参数值 本章介绍非线性微分方程的基本研究办法，其出发 点是在无法求出解析解的情况下通过方程本身的形 式来分析时间趋于无穷时解的性态。
不求解微分方程而通过方程右端函数的 信息探讨时间趋于无穷时解的性态
例 dx x dt
dx x(1 x2 ) dt
dx x(1 x2 )(1 x2 sin8 (x t)) dt
满足x(0) x0的解为 x x(t),
lim x(t) ?
t
几个例子：
dx dt
rx，
x(0) x0 ,
统
g1(t; y1, y2 , , yn )
g(t;
y)
g2
(t;
y1 ,
y2 ,
,
yn )
gn
(
t;
y1 ,
y2 ,
,
yn )
dy g( y) dt
y1
其
中,
y
y2
,
yn
(2)
g1( y1, y2 , , yn )
g(t;
y)
g2
(
y1 ,
y2 ,
,
yn )
gn
(
从计算机的模拟看出系统有多个周期解。 用Maple命令画出的图形
输入Malpe命令如下
DEtools[phaseportrait] ([diff(x(t),t)=2*x(t)-0.08*x(t)*y(t),
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第5章定性和稳定性理论简介
在十九世纪中叶,通过Liouville等人的工作,人们已经知道绝大多数微分方程不能用初等积分法求解.这个结果对微分方程理论的发展产生了极大的影响,使微分方程的研究发生了一个转折.既然初等积分法有着不可克服的局限性,那么是否可以不求微分方程的解,而从微分方程本身来推断其性质呢?定性理论和稳定性理论正是在这种背景下发展起来的.前者由法国数学家Poincare(1854-1912)在19世纪80年代所创立,后者由俄国数学家Liapunov(1857-1918)在同年代所创立.它们共同的特点就是在不求出方程解的情况下,直接根据微分方程本身的结构与特点,来研究其解的性质.由于这种方法的有效性,近一百多年以来它们已经成为常微分方程发展的主流.本章对定性理论和稳定性理论的一些基本概念和基本方法作一简单介绍.
第一讲§5.1 稳定性（Stability）概念(5课时)
一、教学目的：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握零解的稳
定、渐近稳定的概念；学会判定一些简单微分方程零
解的稳定和渐近稳定性。
二、教学要求：理解稳定、渐近稳定和不稳定的概念；掌握简单微分
方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。
三、教学重点：简单微分方程零解的稳定和渐近稳定性的判定。
四、教学难点：如何把一般解的稳定性转化为零解的稳定性。
五、教学方法：讲练结合教学法、提问式与启发式相结合教学法。
六、教学手段：传统板书与多媒体课件辅助教学相结合。
七、教学过程：
1．稳定性的定义 考虑微分方程组
(,)dx
f t x dt
= （5.1） 其中函数(,)f t x 对n x D R ∈⊆和(,)t ∈-∞+∞连续，对x 满足局部Lipschitz 条件。
设方程（5.1）对初值01(,)t x 存在唯一解01(,,)x t t x ϕ=，而其它解记作00(,,)x x t t x =。
现在的问题是：当01x x -很小是，差0001(,,)(,,)
x t t x t t x ϕ-的变化是否也很小？本章向量12(,,,)T n x x x x =的范数取12
21
n
i i x x =⎛⎫= ⎪⎝⎭
∑。
如果所考虑的解的存在区间是有限区间，那么这是解对初值的连续依赖性，在第二章的定理2.7已有结论。
现在要考虑的是解的存在区间是无穷区间，那么解对初值不一定有连续依赖性，这就产生了Liapunov 意义下的稳定性概念。
定义 5.1 如果对于任意给定的0ε>和00t ≥都存在0(,)0t δδε=>,使得只要01x x δ-<，就有0001(,,)(,,)x t t x t t x ϕε-< 对一切0t t ≥成立，则称（5.1）的解01(,,)x t t x ϕ=是稳定的。
否则是不稳定的。
定义5.2 假定01(,,)x t t x ϕ=是稳定的，而且存在11(0)δδδ<≤，使得只要011x x δ-< ，就有 0001lim((,,)(,,))0t x t t x t t x ϕ→∞-= ，则称（5.1）的解01(,,)x t t x ϕ=是渐近稳定的。
为了简化讨论，通常把解01(,,)x t t x ϕ=的稳定性化成零解的稳定性问题.下面记00()(,,)x t x t t x =01()(,,)t t t x ϕϕ=作如下变量代换. 作如下变量代换.
令 ()()y x t t ϕ=- (5.2) 则
()()(,())(,())dy dx t d t f t x t f t t dt dt dt
ϕϕ=-=- (,())(,())f t t y f t t ϕϕ=+-(,)F t y =于是在变换(5.2)下，将方程(5.1)化成
(,)dy
F t y dt
= (5.3) 其中(,)(,())(,())F t y f t t y f t t ϕϕ=+-。
这样关于(5.1)的解()x t ϕ=的稳定性问题就化为(5.3)的零解y =0的稳定性问题了。
因此，我们可以在下文中只考虑(5.1)的零解0x =的稳定性，即假设(,0)0f t ≡，并有如下定义： 定义5.3 若对任意0ε>和00t ≥，存在0(,)0t δδε=>，使当0x δ<时有 00(,,)x t t x ε< (5.4) 对所有的0t t ≥成立，则称(5.1)的零解是稳定的，反之是不稳定的。
定义5.4 若(5.1)的零解是稳定的，且存在
10( 5.1)δδδδ<<为定义中的，使当01x δ<时有
00lim (,,)0t x t t x →∞
= 则称(5.1)的零解是渐近稳定的。
例1 考察系统 dx
y dt dx x dt
⎧=⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩
的零解的稳定性。
解 不妨取初始时刻00t =，对于一切0t ≥，方程组满足初始条件
22
0000(0),(0)(0)x x y y x y ==+≠的解为
0000()cos sin ()sin cos x t x t y t
y t x t y t =+⎧⎨=-+⎩
对 任一0ε>，取δε=，则当1
2220
()x y δ+<时，有
1
12
2
2
2
2
20000()()(cos sin )(sin cos )x t y t x t y t x t y t ⎡⎤⎡⎤+=++-+⎣⎦⎣⎦
12220
()x y δε
=+<=
故该系统的零解是稳定的。
然而，由于
112
2
2
222
lim ()()()0t x t y t x y →∞⎡⎤+=+≠⎣
⎦ 所以该系统的零解不是渐近稳定的。
例2 考察系统
dx
x dt dx y dt
⎧=-⎪⎪
⎨⎪=-⎪⎩
的零解的稳定性.
解 在0t ≥上，取初值为00(0,,)x y 的解为：
00()()t
t
x t x e y t y e --⎧=⎨=-⎩
其中22000x y +≠
对任一0ε>，取 δε=，则当12
220
()x y δ+<时，有
1
12
2
222222
()()()t
t x t y t x e y e --⎡⎤+=+⎣⎦12220
()x y δε≤+<=(0)t ≥故该系的零解是稳定的. 又因为
1
12
2
222222
lim ()()()0t
t t x t y t x e y e --→∞⎡⎤+=+=⎣
⎦ 可见该系统的零解是渐近稳定的. 例3 考察系统
dx
x dt
dx y dt
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
的零解的稳定性.
解 方程组以00(0,,)x y 为初值的解为
00()()t
t
x t x e y t y e
⎧=⎨=-⎩ (0)t ≥ 其中 22000x y +≠
1
11
22222222222
00
00
()()()()t t t
x t y t x e y e x y e ⎡⎤+=+=+⎣⎦
由于函数t e 随t 的递增而无限地增大. 因此，对于任意0ε>，不
管12220
()x y +取得怎样小，只要t 取得适当大时，就不能保证
1
2
2
2
()()x t y t ⎡⎤+⎣⎦小于预先给定的正数ε，所以该系统的零解是不稳的.
例4 考虑常系数线性微分方程组
dx
Ax dt
= (5.5) 其中n x R ∈,A 是n ×n 阵.证明：若A 的所有特征根都具严格负实部，则(5.5)的零解是渐近稳定的.
证明 不失一般性，我们取初始时刻00t =,设Φ(t)是(5.5)的标准基
本解矩阵，由第3章内容知满足0(0)x x =的解()x t 可写成 0()()x t t x =Φ (5.6) 由A 的所有特征根都具负实部知
lim ()0t t →∞
Φ= (5.7)于是知存在10t >，使1t t >时()1t Φ<.从而对任意0ε>，取0δε=则当
00x δ<时，由(5.6)有
001()(),x t t x x t t ε≤Φ≤<≥
当[]10,t t ∈时，由解对初值的连续相依性，对上述0ε>，存在10δ>，当01x δ<时
()0x t ε-<
取{}01min ,δδδ=，综合上面讨论知，当0x δ<时有 (),x t ε< []0,t ∈+∞ 即0x =是稳定的.
由(5.7)知对任意0x 有0lim ()0t t x →+∞
Φ=，故0x =是渐近稳定的。