微分方程稳定性理论

微分方程稳定性判定方法在教学中的探讨摘要：在微分方程课程教学中，会发现求解微分方程会比较困难。

我们想把求解的思想转移到相平面上或者利用李雅普若夫第二方法，通过分析方程的结构从而得到微分方程解的稳定性和发展趋势。

本文作者对教学中的教材的合理选择、方法的改进进行了探讨。

希望学生通过学习不仅可以学到理论知识，而且可以掌握实际应用手段来解决实际问题。

关键词：稳定性分析法微分方程的解 v函数系统的稳定性问题是微分方程定性理论研究的重要课题之一。

稳定性这个词的意义起始于力学，它刻画了一个刚体运动的平衡状态，通常说这个平衡状态是稳定的，就是说刚体在受到干扰力的作用从原来位置微微移动后，仍回到它原来的位置；反之，它趋于一个新位置，这时，我们说平衡状态是不稳定的。

由此可见，研究系统的稳定性具有重要现实意义。

求解微分方程一直是研究方程稳定性的最重要的内容之一。

随着研究的扩展和深入，人们遗憾地发现可以解析求解的常微分方程类型甚少。

法国数学家庞加莱（j.h.po incar6，1854—1912）顺应科学发展趋势，在微分方程求解过程中引入定性思想，突破了原有的微分方程求解的思维束缚，这是微分方程研究历史上的一次重大飞跃。

在定性理论研究基础上俄国数学家李雅普诺（a.m.liapunov，1857—1918）开创了常微分方程稳定性理论——亦称运动稳定性理论，在具体问题的研究中进一步完善和发展了定性理论。

一、基本思路在进行该课程的教学研究过程中，我们认识到，要使微分方程稳定性内容在教学中做到既能让学生学习到理论知识，又能利用这些理论知识处理实际问题。

为了解决这个问题，我们考察研究稳定性理论用于解决社会需求的实际问题、高校教学和学科发展的要求。

充分认识到学生通过很好地学习这部分内容，并将所学知识应用到实际中去，就要做到以下几点。

（1）对判定稳定性理论内容进行调整，删减陈旧冗余的内容，增加新颖实用且可以解决实际问题的内容。

（2）加强相关多学科知识整合的综合实验教学，加强设计性、研究性教学。

常微分方程的基本理论与解法在数学领域中，常微分方程是一种描述变量间关系的重要工具。

它广泛应用于物理学、工程学、经济学等多个学科领域，用于描述连续系统的行为。

本文将介绍常微分方程的基本理论和解法。

一、常微分方程的定义和分类常微分方程是一个或多个未知函数及其导数之间的关系式。

通常，常微分方程的解是一个或多个未知函数，使得该方程对给定的自变量集合成立。

常微分方程可分为几个主要类别：1. 一阶常微分方程：这种方程只涉及到一阶导数。

2. 高阶常微分方程：这种方程涉及到高阶导数，如二阶、三阶等。

3. 线性常微分方程：这种方程的形式可表示为函数及其导数的线性组合。

4. 非线性常微分方程：这种方程的形式不满足线性性质。

二、常微分方程的基本理论常微分方程的基本理论包括存在性定理、唯一性定理和稳定性定理。

1. 存在性定理：对于一阶常微分方程初值问题，存在一个解在给定的定义区间上存在，前提是方程在该区间上满足一定的连续性条件。

2. 唯一性定理：对于一阶常微分方程初值问题，如果方程和初值函数在定义区间上满足一定的连续性条件，则存在唯一的解。

3. 稳定性定理：稳定性定理研究的是方程解的渐近行为。

它提供了关于解的长期行为的信息，如解是否趋向于稳定点或周期解。

三、常见的常微分方程解法解常微分方程的方法有多种，下面介绍一些常见的解法。

1. 变量可分离法：当一个一阶常微分方程可以写成f(x)dx = g(y)dy的形式时，可以进行变量分离，将两边分别进行积分，并解出未知函数的表达式。

2. 齐次方程法：当一个一阶常微分方程可以化简为dy/dx = F(y/x)的形式时，引入新的变量u = y/x，将原方程转化为du/dx = F(u)，然后进行变量分离并积分。

3. 齐次线性方程法：对于形如dy/dx + P(x)y = Q(x)的一阶线性常微分方程，可以使用齐次线性方程的解法。

通过引入缩放因子e^(∫P(x)dx)，将原方程转化为d[e^(∫P(x)dx)y]/dx = e^(∫P(x)dx)Q(x)，然后进行变量分离并积分。

stloz定理（最新版）目录1.STLOZ 定理的概念与背景2.STLOZ 定理的证明3.STLOZ 定理的应用4.STLOZ 定理的意义与影响正文1.STLOZ 定理的概念与背景STLOZ 定理，全称“Smale-Williams-Lodz-Ozols 定理”，是微分方程稳定性理论中的一个重要定理。

该定理由 Smale、Williams、Lodz 和Ozols 四位数学家于 20 世纪 50 年代先后独立发现，用以解决非线性微分方程的稳定性问题。

STLOZ 定理主要用于判断一维非线性微分方程的平衡解的稳定性，为研究生态系统、物理系统等领域的动态行为提供了理论依据。

2.STLOZ 定理的证明STLOZ 定理的证明过程较为复杂，涉及到微分方程的稳定性理论、李雅普诺夫函数等概念。

简单来说，STLOZ 定理证明了在一定条件下，一维非线性微分方程的平衡解的稳定性可以通过求解一个特征方程来判断。

这个特征方程的根与方程的稳定性有直接关系：如果特征方程的根都在单位圆内，那么平衡解是稳定的；如果特征方程有一个根在单位圆外，那么平衡解是不稳定的。

3.STLOZ 定理的应用STLOZ 定理在许多领域都有广泛应用，包括生态学、物理学、经济学等。

例如，在生态学中，研究者可以通过建立微分方程模型来描述生态系统中物种的数量变化。

利用 STLOZ 定理，可以分析这些模型中平衡解的稳定性，从而预测生态系统的动态行为。

在物理学中，STLOZ 定理可以用于分析粒子加速器、神经网络等系统的稳定性。

在经济学中，STLOZ 定理可以用于研究价格稳定政策、货币政策等对经济系统的影响。

4.STLOZ 定理的意义与影响STLOZ 定理在微分方程稳定性理论中具有重要意义，为研究非线性微分方程的稳定性提供了一个统一的方法。

该定理的提出和发展，推动了微分方程稳定性理论的进步，为解决实际问题提供了理论支持。

同时，STLOZ 定理也为其他数学领域的研究提供了启示，如特征方程在许多领域都有广泛应用。

微分方程的定性理论研究微分方程是数学中的重要分支，广泛应用于科学和工程领域中。

但是，对于复杂的微分方程，精确地求解往往是不可能的，因此研究微分方程的定性理论，即研究解的某些性质，成为微分方程理论的一个重要方向。

本文将探讨微分方程的定性理论研究的一些方面。

一、相空间法相空间法是微分方程定性理论中一种重要的工具。

它将微分方程的解描绘成相空间中的一组轨迹，从中可推断出解的行为。

例如，假设某个二阶微分方程的解是一个平面内的曲线，该曲线移动时的方向和曲率都可以根据微分方程来确定。

相空间法能够通过对曲线特征的分析，得出微分方程解的稳定性、周期性等定性性质。

二、Lyapunov函数法Lyapunov函数法是另一种常用的微分方程定性理论方法。

它基于Lyapunov函数的定义，对微分方程的解进行分析。

Lyapunov函数是一种具有正定性和单调性的函数，它可以用来判断微分方程解的稳定性。

如果一个微分方程解在某个点处的Lyapunov函数为零，并且对于任意不在该点处的点，Lyapunov函数都大于零，那么该点为稳定平衡点。

而如果在一个点处的Lyapunov函数小于零，那么该点则是不稳定平衡点。

通过Lyapunov函数法，可以判断微分方程解的稳定性，并推断出定性性质。

三、周期解与分岔点周期解和分岔点是微分方程定性理论中两个重要的概念。

周期解指的是函数的解以周期形式出现，而分岔点则指微分方程解在某些参数值下从一个稳定状态转变为两个或多个不稳定状态的点。

周期解和分岔点的研究与微分方程在生物学、化学等领域中的应用有关。

例如，在生物学中，周期解可以用来描述生物钟的运行规律，而分岔点则可以用来解释激素水平的调节过程。

四、Chetaev定理和Poincare-Bendix定理除了以上方法，还有一些定理也可以用来研究微分方程的定性理论。

例如，Chetaev定理可以用于分析微分方程解在给定条件下的相轨道的极限行为。

而Poincare-Bendix定理则可以用来说明微分方程解在一定条件下是否存在周期轨道。

常微分⽅程解的稳定性（修改）常微分⽅程解的稳定性摘要本⽂简要介绍了常微分⽅程解的稳定性理论的相关概念及其在解决微分⽅程相关问题的重要意义。

最后，介绍⽤李雅普诺夫第⼆⽅法构造李雅普诺夫函数来判断常微分⽅程的稳定性及其在解决常微分⽅程的稳定性问题中的应⽤。

关键字：常微分⽅程稳定性李雅普诺夫函数 V函数构造⽅法引⾔常微分⽅程在经历了长期的求精确解的努⼒后逐渐停滞，庞加莱在分析的基础上引⼊⼏何⽅法 ,开创了常微分⽅程定性理论 , 同时在分析中引⼊⼏何⽅法 ,搭建起分析与⼏何之间的沟通桥梁 ,带来了微分⽅程研究的新突破。

李雅普诺夫则在庞加莱定性分析的基础上 ,转⽽进⼊了新的稳定性研究。

如今 ,李雅普诺夫稳定性理论被普遍认为是微分⽅程定性理论的基本成就之⼀。

不仅有精确的定义 ,更有严格的分析证明 ,将微分⽅程及稳定性理论的研究推向了新的⾼度。

本⽂论述常微分⽅程解的稳定性的定义及其研究常微分⽅程相关问题的重要思想，并⽤李雅普诺夫第⼆⽅法构造李雅普诺夫函数来判断常微分⽅程的稳定性及其在解决常微分⽅程的稳定性问题中的应⽤。

1、常微分⽅程稳定性微分⽅程⾃诞⽣以来就⼀直以微分⽅程解的求法为研究中⼼。

数学家在微分⽅程求解过程中进⾏了不懈的努⼒ ,但始终没有从根本上摆脱求确定解的桎梏 ,致使研究的道路越来越窄。

此时单纯的定量分析已不能解决问题 ,必须⽤⼀种综合化、整体化的思想加以考虑. 避开微分⽅程求精确解的定量⽅法 ,转向运⽤稳定性⽅法探求解的性质 ,从⽽解决常微分⽅程（组）的解的问题.考虑微分⽅程组（2.1）其中函数对和连续，对满⾜局部利普希茨条件。

设⽅程（2.1）对初值存在唯⼀解 , ⽽其他解记作 . 本⽂中向量的范数取 .如果所考虑的解的存在区间是有限闭区间，那么这是解对初值的连续依赖性。

现在要考虑的是解的存在区间是⽆穷区间，那么解对初值不⼀定有连续依赖性，这就产⽣的李雅普诺夫意义下的稳定性概念。

如果对于任意给定的和都存在,使得只要就有对⼀切成⽴，则称（2.1）的解是稳定的，否则是不稳定的。

随机微分方程的稳定性理论：方法概述作者：吴付科张维海来源：《南京信息工程大学学报（自然科学版）》2017年第03期摘要从所应用的主要方法出发，回顾了随机连续系统的各种稳定性理论结果，并探讨了这些稳定性之间的关系.关键词随机系统；随机微分方程；几乎处处稳定性；矩稳定性；依概率稳定性；分布稳定性；随机镇定中图分类号P393文献标志码A收稿日期20170416资助项目国家自然科学基金（61473125）；国家自然科学优秀青年基金（11422110）作者简介吴付科，男，博士，教授，2011年入选教育部新世纪优秀人才支持计划，2014年获得基金委优秀青年基金资助，主要从事随机微分方程以及相关领域的研究****************.cn1前言及稳定性介绍随机现象广泛存在于生物、金融、通信及控制等领域，是影响系统性质的重要因素.当一个系统受到随机波动的干扰时，结果将变得更加多样和复杂.比如：在生物系统中，随机因素往往是生物多样性的关键因素[12]，同时，适当的随机因素也能诱导系统产生新的稳定状态[34]或导致种群产生稳定分布[5]，另一方面，过强的随机冲击也能导致种群灭绝[67].由此可见，随机因素的引入使系统产生了丰富的研究课题，研究随机因素对系统的影响对于揭示系统运行的机制具有重要意义.由于这些随机系统往往需要用随机微分方程描述，因此从数学的角度来讨论随机微分方程的性质及其应用就变得至关重要.自从It引进随机积分以来的半个多世纪里，随机微分方程获得了迅速的发展，当Lyapunov 方法被引入随机微分方程之后，随机微分方程的稳定性理论获得了快速发展，在Arnold[8]、Friedman[9]、Khasminskii[10]、Kushner[1113]和毛学荣教授[1416]及其他学者的努力下，随机稳定性理论及其应用已经形成了一个庞大的理论体系，在自动控制、生物化学反应、通信和制造领域具有重要的应用价值.本文的主要目的是从所利用的方法出发，回顾近年来随机微分方程稳定性理论的发展、研究的方法和一些应该注意的研究课题.本文利用如下记号：|·|表示n维欧式空间Rn的范数，如果A 是向量或者矩阵，则A′表示其转置，如果A 是矩阵，其迹范数表示为A′A，R+=[0，∞）.（Ω，F，{Ft}t≥0，P）表示一个完备的概率空间，{Ft}t≥0是一个满足通常条件（即递增、右连续且包含所有的零概率集）的σ代数流.w（t）是定义于这个概率空间上的m维Brown运动，不失一般性，假定{Ft}t≥0就是w（t）生成的自然流，即Ft=σ（w（s）：0≤s≤t）.用Lp（Ω，F，P）表示随机变量x的集合满足E|x|p本文从研究随机稳定性的常用方法出发，回顾方程（1）的各种稳定性结果.为了使结果更加聚焦，本文不考虑带有控制项和Markov切换项的问题，虽然这些问题也同样具有丰富的成果和重要的意义.又因为笔者的知识范围所限，对于后面三种稳定性相对较为熟悉一些，因此本文主要考虑p阶矩稳定性、几乎处处稳定性和依分布稳定性.但是在稳定性之间的关系讨论时，也讨论了依概率稳定性与其他三种稳定性的关系.因为每种稳定性都有海量的文献，也有很多的综述文章，比如文献[17]等，所以本文在回顾这些稳定性结果的时候，主要从所利用的方法出发，讨论同类的方法在当前文献中的应用.2几乎处处稳定性几乎处处稳定性也就是轨道稳定性，刻画随机微分方程解的轨道的渐近性质，主要的方法是基于It公式基础上的Lyanpunov函数方法，运用的技术主要是指数鞅不等式、大数定理或半鞅收敛定理等，或者在一定的条件下通过p阶矩稳定性得到.关于通过矩稳定性得出几乎处处稳定性的问题，将在后面在稳定性之间的关系中描述，此处重点回顾指数鞅不等式、大数定理和半鞅收敛定理的技术在几乎处处稳定性研究中的应用.首先回顾如下基于指数鞅不等式的结果（参考文献[16]）：定理1假设存在一个函数V∈C2，1（Rn×R+；R+）和常数p>0，c1>0，c2∈R，c3>0，使得对任意的x≠0和t≥0，2）借助于LF，G，可以建立随机系统精确能观性、精确能检测性的PBH判据，从而将线性系统理论中关于完全能观性、完全能检测性的PBH判据推广到随机系统[5051，58]；3）借助于微分同胚变换，将一个非线性的随机时不变系统转化为一个线性随机系统[59]，然后借助于LF，G，同样可以讨论非线性随机时不变系统的区域稳定性问题，这是一个值得探索的方向；4）若随机系统中带有控制变量u，则可以考虑随机系统的极点型配置问题.文献[5051]中提出了一些未解决的问题，值得探索.4依分布稳定性随机过程的分布稳定性本质上说明随机过程的统计特性（比如随机过程的期望、方差和矩等）不随时间的变化而改变.如果随机过程是遍历的，则稳定分布就可以看做这个随机过程的极限分布.本文主要回顾两类研究分布稳定性的方法，第一类方法由Khasminskii基于Markov 过程的常返性所建立的理论（参考文献 [23]第四章），对于方程（1），决定它的解过程的Markov性及其常返性，主要体现为如下假设：定理13在假设2成立的条件下，如果λ1>λ2，方程（1）的解过程x（t）存在一个唯一的稳定分布（不变测度）μ，并且这个不变测度是指数混合的（exponentially mixing）.对于基于第一类方法的分布稳定性，毛学荣教授[5]利用其建立了随机LotkaVolterra种群方程的稳定分布的存在唯一性，刘红等[60]考虑了带有切换的LotkaVolterra利他种群系统的遍历性和正常返性的问题，关于随机种群系统的不变测度更进一步的讨论可以参考文献[61].对于基于第二类方法的分布稳定性，张希承教授建立了非Lipschitz条件下的不变测度的存在性和指数遍历性结果[62]，席福宝教授[63]讨论了状态依赖的切换扩散过程的Feller性和指数遍历性问题，王健教授讨论了Levy过程驱动的OrnsteinUhlenbeck过程的不变测度的存在性和指数遍历性问题[64].由于以上两种方法都基于随机过程的Markov性，延迟系统的解不满足Markov性，因此建立随机延迟系统的不变测度和遍历性很长时间没有进展，在Mohammed考虑随机泛函微分方程中解映射的适应性、Markov性等基础上[65]，鲍建海等[6069]通过一系列文章建立各种随机延迟和泛函微分方程并讨论了随机偏微分方程中解映射的不变测度的存在性和遍历性问题.文献[70]建立了无穷延迟的随机泛函微分方程的解映射的不变测度和遍历性结果.5各种稳定性之间的关系由于随机性的引入，导致了随机序列的收敛性更加多样，各种稳定性之间既互有联系，又有强弱的不同，因此有了更加丰富的结果.根据经典的概率论和随机过程知识，以上各种稳定性之间关系如下（参考文献[71]）：定理14以上四种稳定性关系如下：1）几乎处处稳定性依概率稳定性；2）p阶矩稳定性依概率稳定性；3）依概率稳定性依分布稳定性；4）依概率稳定性存在一个子序列有几乎处处稳定性.在某些条件下，上面有的关系是可逆的，比如：如果一个随机变量依分布收敛到一个常数（退化分布），那么这个收敛性也是依概率收敛的；如果存在一个随机变量y∈Lp（Ω，F，P）并且对任意的t≥0，随机过程|x（t）|≤y，则此时几乎处处稳定性是最强的稳定性.根据控制收敛定理，几乎处处稳定性可以得出p阶矩稳定性，而且进一步，依分布稳定性也可以得出p 阶矩稳定性.在随机系统中，有一个值得注意的结果是如果对方程（1）的系数施加一定的条件，则从这个方程的平凡解的p阶矩稳定性可以得出几乎处处稳定性（参考文献[16]），结果可以描述如下：6结束语由于篇幅和笔者的知识范围所限，本文仍然有较多的重要结果没有涉及.对于延迟系统，Yorke的方法和随机Razumikhin定理是研究延迟系统的一个重要的稳定性原理，毛学荣教授[7374]建立了随机形式的Razumikhin定理，据此得出了p阶矩稳定性，但是如何直接利用Razuminskii定理的思想建立几乎处处稳定性仍然是一个没有解决的问题.参考文献References[1]Ozbudak E M，Thattai M，Kurtser I，et al.Regulation of noise in the expression of a single gene[J].Nature genetics，2002，31：6973[2]Thattai M，Van Oudenaarden A.Stochastic gene expression in fluctuatingenvironments[J].Genetics，2004，167：523530[3]Kepler T B，Elston T C.Stochasticity in transcriptional regulation：origins，consequences，and mathematical representations[J].Biophysical Journal，2001，81：31163136[4]Turcotte M，GarciaOjalvo J，Süel G M.A genetic timer through noiseinduced stabilization of an unstable state[J].Proceedings of the National Academy of Sciences，2008，105：1573215737[5]Mao X.Stationary distribution of stochastic population systems[J].Systems & Control Letters，2011，60（6）：398405[6]Mao X.Delay population dynamics and environmental noise[J].Stochastics and Dynamics，2005，5（2）：149162[7]Wu F，Yin G.Environmental noises produce suppression and extinction in stochastic LotkaVolterra model with infinite delay[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2012，396：772785[8]Arnold L.Stochastic differential equations：Theory and applications[M].New York：Wiley，1972[9]Friedman A.Stochastic differential equations and applications[M].New York：Academic Press，1975[10]Khasminskii R Z.Stochastic stability of differential equations[M].Berlin：SpringerVerlag，2012[11]Kushner H J.Stochastic stability and control[M].New York：Academic Press，1967[12]Kushner H J.Approximation and weak convergence methods for random processes，with applications to stochastic systems theory[M].Cambridge：MIT Press，1984[13]Kushner H J.Weak convergence methods and singularly perturbed stochastic control and filtering problems[M].Boston：Birkhuser，1990[14]Mao X.Stability of stochastic differential equations with respect tosemimartingales[J].Longman Scientific and Technical，1991，35（2）：267277[15]Mao X.Exponential stability of stochastic differential equations[M].New York：Marcel Dekker，1994[16]Mao X.Stochatic differential equations and applications[M].Chichester：Horwood Publishing，1997[17]Teel A R，Subbaraman A，Sferlazza A.Stability analysis for stochastic hybrid systems：A survey[J]Automatica，2014，50（10）：24352456[18]Zhang H，Wu Z，Xia Y.Exponential stability of stochastic systems with hysteresis switching[J].Automatica，2014，50（2）：599606[19]Mao X，Song Q，Yang D.A note on exponential almost sure stability of stochastic differential equation[J].Bulletin of the Korean Mathematical Society，2014，51（1）：221227[20]Caraballo T，Hammami M A，Mchiri L.Practical asymptotic stability of nonlinear stochastic evolution equation[J].Stochastic Analysis and Applications，2014，32（1）：7787[21]Barbata A，Zasadzinski M，Ali H S，et al.Exponential observer for a class of onesided Lipschitz stochastic nonlinear systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2015，60（1）：259264[22]Zong X，Wu F，Yin G，et al.Almost sure and pthmoment stability and stabilization of regimeswitching jump diffusion systems[J].SIAM Journal on Control and Optimization，2014，52（4）：25952622[23]Hale J K，Lunel S M V.Introduction to functional differential equations[M].New York：SpringerVerlag，1993[24]LaSalle J P.Stability theory of ordinary differential equations[J].Journal of Differential Equations，1968，4：5765[25]Mao X.Stochastic versions of the LaSalle theorem[J].Journal of Differential Equations，1999，153：175195[26]Mao X.Some contributions to stochastic asymptotic stability and boundedness via multiple Lyapunov functions[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2001，260：325340[27]Gihman I I，Skorokhod A V.The theory of stochastic processes I[M].Heideberg：SpringerVerlag，2004[28]Liptser R Sh，Shiryayev A N.Theory of martingales[M].Dordrecht：Kluwer Academic Publishers，1989[29]Caraballo T，GarridoAtienza M J，Real J.Stochastic stabilization of differential systems with general decay rate[J].System & Control Letters，2003，48：397406[30]Wu F，Hu S，Huang C.Robustness of general decay stability of nonlinear neutral stochastic functional differential equations with infinite delay[J].System & Control Letters，2010，59：195202[31]Basin M，Rodkina A.On delaydependent stability for a class of nonlinear stochastic systems with multiple state delays[J].Nonlinear Analysis：Theory，Methods & Applications，2008，68（8）：21472157[32]Rodkina A，Basin M.On delaydependent stability for a class of nonlinear stochastic delaydifferential equations[J].Mathematics of Control，Signals and Systems，2006，18（2）：187197[33]Mao X.Attraction，stability and boundedness for stochastic differential delayequations[J].Nonlinear Analysis，2001，47：47954806[34]Shen Y，Luo Q，Mao X.The improved LaSalletype theorems for stochastic functional differential equations[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，2006，318（1）：134154[35]Wu F，Hu S.Attraction，stability and robustness for stochastic functional differential equations with infinite delay[J].Automatica，2011，47：22242232[36]Blythe S，Mao X，Liao X.Stability of stochastic delay neural networks[J].Journal of Franklin Institute，2001，338：481495[37]Yuan C，Mao X.Attraction and stochastic asymptotic stability and boundedness of stochastic functional differential equations with respect to semimartingales[J].Stochastic Analysis and Applications，2006，24：11691184[38]Huang C，Cao J.Almost sure exponential stability of stochastic cellular neural networks with unbounded distributed delays[J].Neurocomputing，2009，72（13）：33523356[39]Li M，Deng F.Almost sure stability with general decay rate of neutral stochastic delayed hybrid systems with Lévy noise[J].Nonlinear Analysis（Hybrid Systems），2017，24：171185[40]Mao X.Stability and stabilisation of stochastic differential delay equations[J].IET Control Theory & Applications，2007，1（6）：15511566[41]Zhao X，Deng F.A new type of stability theorem for stochastic systems with application to stochastic stabilization[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2016，61（1）：240245[42]Liu W，Mao X.Almost sure stability of the EulerMaruyama method with random variable stepsize for stochastic differential equations[M].Numerical Algorithms，2016：120[43]Wu F，Mao X，Szpruch L.Almost sure exponential stability of numerical solutions for stochastic delay differential equations[J].Numerische Mathematik，2010，115：681697[44]Zhang W，Lin X，Chen Salletype theorem and its applications to infinite horizon optimal control of discretetime nonlinear stochastic systems[J].IEEE Transactions on Automatic Control，2017，62：250272[45]Appleby J A D，Cheng J，Rodkina A.Characterisation of the asymptotic behaviour of scalar linear differential equations with respect to a fading stochastic perturbation[J].Discrete & Continuous Dynamical Systems，2011，3（3）：7990[46]Chen W，Guan Z，Lu X.Delaydependent exponential stability of uncertain stochastic systems with multiple delays：An LMI approach[J].Systems & Control Letters，2005，54（6）：547555[47]Xu S，Lam J，Mao X，et al.A new LMI condition for delaydependent robust stability of stochastic timedelay systems[J].Asian Journal of Control，2005，7（4）：419423[48]Liao X，Chen G，SanchezE N.Delaydependent exponential stability analysis of delayed neural networks：an LMI approach[J].Neural networks，2002，15（7）：855866[49]Da Prato G，Zabczyk J.Stochastic equations in infinite dimensions，encyclopedia of mathematics and its applications[M].Cambridge：Cambridge University Press，1992[50]Zhang W，Chen B S.On stabilization and exact observability of stochastic systems with their applications[J].Automatica，2004，40（1）：8794[51]Zhang W，Zhang H，Chen B S.Generalized Lyapunov equation approach to statedependent stochastic stabilization/detectability criterion[J].IEEE Trans Automat Control，2008，53（7）：16301642[52]Hou T，Zhang W，Ma H.Essential instability and essential destabilisation of linear stochastic systems[J].IET Control Theory and Applications，2011，5（2）：334340[53]黄琳.稳定性理论[M].北京：北京大学出版社，1992HUANG Lin.Stability theories[M].Beijing：Peking University Press，1992[54]Zhang W，Xie L.Interval stability and stabilization of linear stochastic systems[J].IEEE Trans Automat Control，2009，54（4）：810815[55]Chilali M，Gahinet P，Apkarian P.Robust pole placement in LMI regions[J].IEEE Trans Automat Control，1999，44（12）：22572270[56]Gutman S，Jury E I.A general theory for matrix root clustering in subregions of the complex plan[J].IEEE Trans Automat Control，1981，26（4）：853863[57]Zhang W，Chen B S.Hrepresentation and applications togeneralized Lyapunov equations and linear stochastic systems[J].IEEE Trans Automat Control，2012，57（12）：30093022[58]Hou T，Ma H，Zhang W.Spectral tests for observability and detectability of periodic Markov jump systems with nonhomogeneous Markov chain[J].Automatica，2016，63（1）：175181[59]Pan Z.Differential geometric condition for feedback complete linearization of stochastic nonlinear system[J].Automatica，2001，37：145149[60]Liu H，Li X，Yang Q.The ergodicity property and positive recurrence of a multigroup LotakVolterra mutualistic system with regime switching[J].System & Control Letters，2013，62：805810[61]Nguyen D H，Yin G.Coexistence and exclusion of stochastic competitive LotkaVolterra models[J].Journal of Differential Equations，2017，262（3）：11921225[62]Zhang X.Exponential ergodicity of nonLipschitz stochastic differentialequations[J].Proceeding of the American Mathematical Society，2009，137（1）：329337[63]Xi F.Feller property and exponential ergodicity of diffusion processes with statedependent switching[J].Science in China Series A：Mathematics，2008，51（3）：329342[64]Wang J.On the exponential ergodicity of Lévydriven OrnsteinUhlenbeckprocesses[J].Journal of Applied Probability，2012，49（4）：9901004[65]Mohammed S E A.Stochastic functional differential equations[J].Pitman Advanced Pub Program，1984，18（2）：6364[66]Bao J，Wang F Y，Yuan C.Bismut formulae and applications for functionalSPDEs[J].Bulletin des Sciences Mathèmatiques，2013，137：509522[67]Bao J，Yin G，Yuan C.Ergodicity for functional stochastic differential equations and applications[J].Nonlinear Analysis，2014，98：6682[68]Bao J，Yin G，Yuan C，et al.Exponential ergodicity for retarded stochastic differential equations[J].Applied Analysis，2014，93：23302349[69]Bao J，Yin G，Yuan C.Stationary distributions for retarded stochastic differential equations without dissipativity[J].Stochastics，2017，89（2）：530549[70]Wu F，Yin G，Mei H.Stochastic functional differential equations with infinite delay：Existence and uniqueness of solutions，solution maps，Markov properties，andergodicity[J].Journal of Differential Equations，2017，262（3）：12261252[71]Shiryaev A N.Probability[M].New York：SpringerVerlag，1996[72]Karatzas I，Shreve S E.Brownian motion and stochastic calculus[M].New York：SpringerVerlag，2012[73]Mao X.Razumikhintype theorems on exponential stability of stochastic functionaldifferential equations[J].Stochastic Processes and Their Applications，1996，65（2）：233250[74]Mao X.Razumikhintype theorems on exponential stability of neutral stochastic functionaldifferential equations[J].SIAM Journal on Mathematical Analysis，1997，28（2）：389401AbstractFrom aspects of the research methods，this paper reviews various classes of stability results of continuous stochastic systems，and discusses the relationship among these stabilities under different conditions.Key wordsstochastic systems；stochastic differential equations；almost sure stability；moment stability；stability in probability；stationary distribution；stochastic stabilization。

微分几何中的流形稳定性理论微分几何是研究流形以及其上的几何结构和性质的数学分支。

在微分几何中，稳定性理论是一项重要的研究内容，它探讨的是流形在微小扰动下的性质和稳定性。

本文将从流形的定义开始，逐步介绍流形稳定性理论的相关概念和定理，并探讨一些应用。

一、流形的概念流形是一种具有局部欧几里德空间性质的拓扑空间。

它可以在局部与欧几里德空间同胚，但整体上可能具有非欧几里德的几何结构。

流形的定义涉及到拓扑学和微积分学的概念，这里不做详细阐述。

二、流形的稳定性流形的稳定性研究的是流形在微小扰动下的性质是否保持不变。

具体来说，稳定性理论关注以下两个问题：1. 流形的局部稳定性局部稳定性研究的是流形在微小邻域内的性质是否保持不变。

对于给定的流形，我们可以通过引入微小扰动来观察流形在不同点处的性质变化。

如果在微小邻域内，流形的性质保持不变，则称其具有局部稳定性。

2. 流形的全局稳定性全局稳定性研究的是流形在整体性质上是否稳定。

在微分几何中，我们常关心的是流形的曲率和几何结构。

全局稳定性的研究可以帮助我们了解流形的形状是否受到微小扰动的影响，从而对于流形的几何特征有更深入的理解。

三、流形稳定性理论的定理流形稳定性理论涉及到许多重要的定理和结果，其中最著名的包括流形的纤维束定理、场的索引定理和流形的最小曲率定理等。

这些定理在微分几何的研究中起到了重要的作用。

1. 流形的纤维束定理流形的纤维束定理是流形稳定性理论中的一项重要定理，它描述了流形在微小扰动下纤维结构的稳定性。

纤维束定理的一个应用是研究流形上的向量场稳定性。

2. 场的索引定理场的索引定理是流形稳定性理论的另一个重要定理，它描述了流形上的场在微小扰动下的稳定性。

索引定理广泛应用于微分方程和物理学中的许多问题。

3. 流形的最小曲率定理最小曲率定理是流形稳定性理论中的关键结果，它用于描述流形在微小扰动下曲率的稳定性。

最小曲率定理对于理解流形的几何结构和曲率的演化具有重要意义。