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Lyapunov稳定性理论概述

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李雅普诺夫稳定性理论

李雅普诺夫稳定性理论


x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态

3.平衡状态：
xe f (xe , t) 0 xe 系统的平衡状态 a.线性系统 x Ax x Rn
A非奇异： Axe 0 xe 0
A奇异：
Axe 0 有无穷多个 xe
b.非线性系统
x f (xe ,t) 0 可能有多个 xe

Pij Pji
x x1 x2 xn T
李氏第二法稳定性定理
设 x f (x,t) 1)在 xe 满足 f (0,t) 0
2） xe 0 V (x, t)存在
定理1
若1)
V
(
x,
t
)
正定 xe
2)
V ( x, t )
负定
则 xe渐近稳定
3)若 x V (x)
eg. x1 x1
x2 x1 x2 x23
令 x1 0 x2 0

xe 1

0

0

0 xe3 1
0 xe2 1
5.2李雅普诺夫意义下的稳定
1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一个
实数 ( ,t0 ) 0 满足 x0 xe (,t0)
则平衡状态 xe 是不稳定的
推论1 若 1)V (x,t)正定 2)V(x,t)正半定
3)x 0 V(x,t) 0 则 xe不稳定
推论2 若 1)V (x,t)正定 2)V(x,t)正半定
3)x 0 V(x,t) 0 则 xe 是李雅普
诺夫意义下的稳定
选取李氏函数的方法
1）构造一个二次型函数 V (x,t)
lyapunov稳定性定理

lyapunov稳定性定理

lyapunov稳定性定理
利亚普诺夫稳定性定理（Lyapunov Stability Theorem）又称Lyapunov稳定性理论，是动力系统的重要理论。

它指出系统在某一特定的时刻，状态小波动就代表它处于局部稳
定状态，通常多用在系统的辨识与控制中。

利亚普诺夫稳定性定理的研究始于19世纪末的俄罗斯数学家A.A.利亚普诺夫
（A.A.Lyapunov），他为了提出一种新的考虑系统稳定性的方法，建立了系统稳定性理论，他发现当系统受到轻微外界干扰时，系统原有状态稳定。

也就是系统可以从初始条件处来
改变，但当线性变化改变系统状态时，系统不会有大的变化，即系统对外力具有一定的抗
冲击能力，从而使系统状态保持稳定。

此外，利亚普诺夫稳定性定理还表明，动力系统内的任意状态都可以分析，并且可以
在限定的正负范围内变化，以达到稳定的状态。

因此，本定理可以用于设计稳定系统，通
过这种稳定性定理可以比较有效地设计出省电系统和多遥控系统，减少自控系统的延时及
响应时间。

此外，利亚普诺夫稳定性定理还可以用来测试非线性系统的稳定性，它可以为控制理
论提供一个稳定分析的方法，有助于我们对扰动的变换的分析，它可以推导出系统的状态
变化及状态变化的范围等结果。

综上所述，利亚普诺夫稳定性定理是目前最有效的动力系统理论，它不仅帮助我们充
分理解系统内部状态的转变和变化，而且可以有效控制系统状态，这对提高系统运行的稳
定性和可靠性具有重要的意义。

李雅普诺夫稳定性的基本定理描述

李雅普诺夫稳定性的基本定理描述


欲讨论系统在平衡态xe的稳定性，先必须将非线性向量函数 f(x)在平衡态附近展开成Taylor级数，即有
f ( x ) x f ( xe ) x τ
( x -xe ) R( x -x e )
x xe
A( x -xe ) R( x -xe ) x xe
其中A为nn维的向量函数f(x)与x间的雅可比矩阵; R(x-xe)为Taylor展开式中包含x-xe的二次及二次以上的余项。
Lyapunov稳定性的基本定理
主要研究Lyapunov意义下各种稳定性的判定定理和判定方法。 讨论的主要问题有:
基本概念: 矩阵和函数的定号性 (正定性、负定性等)
基本方法: 非线性系统线性化方法
Lyapunov第一法 Lyapunov's first method 矩阵符号(正定性、负定性等)检验方法 Lyapunov第二法 Lyapunov's second method 重点、难点!
若系统平衡态渐近稳定，则系统经激励后，其储存 的能量将随着时间推移而衰减。当趋于平衡态时， 其能量达到最小值。
反之，若平衡态不稳定，则系统将不断地从外界吸 收能量，其储存的能量将越来越大。 基于这样的观点，只要能找出一个能合理描述动态系统 的n维状态的某种形式的能量正性函数，通过考察该函 数随时间推移是否衰减，就可判断系统平衡态的稳定性。
11.2 Lyapunov第一方法
Lyapunov第一法又称间接法（indirect method）, 它是研究 动态系统的一次近似数学模型(线性化模型)稳定性的方法。 它的基本思路是: 首先，对于非线性系统，可先将非线性状态方程在平衡 态附近进行线性化,
即在平衡态求其一次Taylor展开式 (Taylor expansion) 然后，利用这一次展开式表示的线性化方程去分析 系统稳定性。
李雅普诺夫稳定性

李雅普诺夫稳定性


x bx5
这时线性化方法不能用来判断它的稳定性。
李雅普诺夫理论基础
例：证明下面单摆的平衡状态 ( , 0) 是不稳定的。
MR2 b MgR sin 0
式中 R 为单摆长度，M 为单摆质量， b 为铰链的摩擦系数，
g 是重力常数。(系统的平衡点是什么？)
在 的邻域内
sin sin cos ( ) h.o.t. ( ) h.o.t. 设 ~ ，那么系统在平衡点附近的线性化结果是
以速度 1 指数收敛于 x 0 。
例2：系统 x x2 , x(0) 1它的解为 x 1/(1 t)，是个慢于任 何指数函数 et ( 0) 的函数。
3、局部与全部稳定性
定义：如果渐近（或指数）稳定对于任何初始状态都能 保持，那么就说平衡点是大范围渐近（或指数）稳定的， 也称为全局渐近（或指数）稳定的。
李雅普诺夫理论基础
§2.2 线性化和局部稳定性
李雅普诺夫线性化方法与非线性系统的局部稳定性有关。
Lyapunou线性化方法说明：在实际中使用线性控制方法基
本上是合理的。
对于自治非线性系统 x f (x) ，如果 f (x) 是连续可微的,那
么系统的动态特性可以写成( f (0) 0 )：
x
f x
李雅普诺夫理论基础
第二章 Lyapunov理论基础
稳定性是控制系统关心的首要问题。
稳定性的定性描述：如果一个系统在靠近其期望工作点的某 处开始运动，且该系统以后将永远保持在此点附近运动， 那么就把该系统描述为稳定的。
例如：单摆，飞行器 李雅普诺夫的著作《动态稳定性的一般问题》，并于1892
年首次发表。 1. 线性化方法：从非线性系统的线性逼近的稳定性质得出非
现代控制理论-08(Lyapunov稳定)

现代控制理论-08(Lyapunov稳定)


故该函数是系统的一个李雅普诺夫函数。 表明：可以有多个李雅普诺夫函数。
定理4.2.3 设原点是系统 x (t ) = f ( x (t ), t ) 的平衡状态， 若存在标量函数 V ( x , t ) ，满足 （1） V ( x , t ) 在原点附近的某个邻域内是正定的； （2）dV ( x , t ) dt 在同样邻域内也是正定的。 则系统在原点处是不稳定的。 例 分析系统的稳定性
因此，根据定理4.2.2，系统是渐近稳定的。 针对以上例子，对 由于
1 2 V ( x ) = [( x1 + x2 ) 2 + 2 x12 + 2 x2 ] 2
dV ( x ) dt = ( x1 + x2 )( x1 + x2 ) + 2 x1 x1 + 2 x2 x2
2 = −( x12 + x2 ) < 0
2 2 = 2 x1[ x2 − x1 ( x12 + x2 )] + 2 x2 [− x1 − x2 ( x12 + x2 )] 2 = −2( x12 + x2 ) 2
上式是负定的。因此 V (x ) 是系统的李雅普诺夫函数， 且V (x ) 是径向无界的。
几何解释： 由 V (x ) = x + x = C 确定的图形
例4.3.1 应用李雅普诺夫方法分析系统稳定性。
1⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ x1 ⎤ ⎡ 0 ⎢ ⎥ ⎢x ⎥ = ⎢ − 1 − 1⎥ ⎣ x 2 ⎦ ⎦ ⎣ 2⎦ ⎣
解 原点是系统的惟一平衡点。解方程
AT P + PA = − I
系统是二阶的，故
⎡0 − 1⎤ ⎡ p11 ⎢1 − 1⎥ ⎢ p ⎣ ⎦ ⎣ 12
李雅普诺夫稳定性理论

李雅普诺夫稳定性理论

性的综合效果。
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
线性系统稳定性分析的理论框架 稳定性分析 解析 方法 SISO的代数 分析方法 Routh判据 Houwitz判据 1892年俄国数学 家李雅普诺夫 第一 方法 第二 方法
根据SISO闭环特 征方程的系数判 定系统的稳定性
根据状态方程A阵 判定系统的稳定性
线性系统的稳定判据
线性定常系统 ∑＝（A，b，c）
x Ax bu

y cx
（1-4）
平衡状态 xe 0 渐进稳定的充要条件是矩阵A的所有特征值均具有负实部。 以上讨论的都是指系统的状态稳定性，或称内部稳定性。但从工程意义上看， 往往更重视系统的输出稳定性。
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
与稳定性相关的几个定义
x xe ：状态向量x与平衡状态 xe 的距离。
点集s()：以xe为中心，为半径的超球体。 若xs() ： x xe ，其中 x xe 为欧几里德范数。 则
当很小时，则称s()为xe的邻域。
如系统的解 x (t ; x0 , t0 ) 位于球域s()内，则：
x f [ x, t ]
x (t , x0 , t0 )
(1-2)
式(1-2)描述了系统(1-1)在n维状态空间中从初始条件(t0 x0 ) 出发的一条状态运动的轨迹，简称为系统的运动和状态轨线。
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
系统的平衡状态：若系统(1-1)存在状态矢量 xe ，对所有t， 使得： f ( xe , t ) 0 (1-3)
大范围渐 近稳定
渐近稳定
1.2
李雅普诺夫稳定性及判别方法
Lyapunov稳定性理论李雅普诺夫

Lyapunov稳定性理论李雅普诺夫


时，从任意初态出发的解始终位于以 x e 为球心，半径为 的闭 球域S ( ) 内，即
x(t; x0 , t0 ) xe , t t0
则称系统的平衡状态 x 在李雅普诺夫意义下稳定。
e
当系统做不衰减的震荡运动
时，将描绘出一条封闭曲线 ，只要不超出 S ( ) ，则认为是 稳定的。
0 6 2 例： 设系统方程为：x x u , 1 1 1 试确定其外部稳定性、内部稳定性。
y 0 1x
解 （1）系统的传递函数为：
s 6 2 ( s 2) 1 W(s) CsI A B 0 1 1 s 1 1 ( s 2)( s 3) ( s 3)
系统每个平衡点不稳定。
第一法在非线性系统中的应用 对于非线性系统，可以在一定条件下用它的近似线性化模 型来研究它在平衡状态的稳定性。
非线性系统： x f (x,t )
将f(x)在x e 邻域展成泰勒级数 : f f(x,t )=f(x e ,t )+ x f x x
x xe
(x-x e ) R(x) (高阶项之和)
Ax x
e Ax e 0 x
平衡状态：
A 0 xe 0 一个平衡状态——状态空间原点 A 0
无穷多个平衡状态
非线性系统：
f (x, t ) x
平衡状态： x e f (x e , t ) 0 一般有多个平衡状态
例：
1 x1 x 3 x x x x 1 2 2 2
稳定性与李雅普诺夫方法
稳定性：
控制系统本身处于平衡状态。受到扰动，产生偏差，
在扰动消失后，由偏差状态逐渐恢复到原来平衡状态的性能。
第4章 Lyapunov稳定性分析

第4章 Lyapunov稳定性分析

1/ 2 1 1 1 det ( 1) 4 2 2 1/ 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 , 1 2 2 0, 2 2 2 0
自主技术与智能控制研究中心
x2 k 2 x2 g x2 半负定。 k m l sin x1 m x2
二、 Lyapunov 稳定性判别
1 x2 x 例 :已知系统 , 用李亚普诺夫函数 2 x1 x2 x 方法判断其稳定性.
2
自主技术与智能控制研究中心
二、 Lyapunov 稳定性判别
3、Lyapunov 稳定性判别定理
f ( x)，设xe 0为一平衡点. 考虑系统 x 如果存在连续可微的标量函数V ( x)满足 1）V ( x)是正定的； V ( x) 2） V ( x) f ( x)是半负定的； x x 则系统的平衡点xe 0是Lyapunov稳定的。
线性系统理论基础 第四章
Lyapunov稳定性分析
自主技术与智能控制研究中心
内容与要点
内容 要点
一．Lyapunov稳定性概念 平衡点,稳定性,渐近稳定性,
全局渐近稳定性 二．Lyapunov稳定性判据 稳定性判据,渐近稳定性判 据,全局渐近稳定性判据 三．连续时间线性系统的 间接法判据，直接法判据
1
V
V ( x(t ))
x2
x(t )
自主技术与智能控制研究中心
二、 Lyapunov 稳定性判别
例: 研究单摆在(0,0)点的稳定性
解 : (1) 选择李亚普诺夫函数
2 g x2 V ( x) (1 cos x1 ) l 2 (2) 稳定性判断
李雅普诺夫关于稳定性的定义

李雅普诺夫关于稳定性的定义


✓
线性定常系统的有界输入有
界输出(BIBO)稳定性
未研究系统的内部状态变化的稳定性，也不能推广 到时变
系统和非线性系统等复杂系统。
➢ 再则，对于非线性系统或时变系统，虽然通过一些 系统转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范 围内应用，但是难以适用于一般系统。
现代控制系统的结构比较复杂，大都存在非线性或时变因 素，即使是系统结构本身，往往也需要根据性能指标的要 求而加以改变，才能适应新的情况，保证系统的正常或最 佳运行状态。
Lyapunov的博士论文被译成法文并于1907年发表，1949年 普林斯顿大学出版社重印了法文版。1992年在Lyapunov的 博士论文发表100周年之际，International Journal of Control （国际控制杂志）以专辑形式发表了Lyapunov论文的英译 版，以纪念他在控制理论领域所作的卓越贡献。
➢ 该方法不仅可用于线性系 统而且可用于非线性时变 系统的分析与设计，已成 为当今控制理论课程的主 要内容之一。
➢ 百余年来Lyapunov理论 得到极大发展, 在数学、 力学、自动控制、机械工 程等领域得到广泛应用。
A.M. Lyapunov是一位天才的数学家。曾从师于大数学家 P.L. Chebyshev（切比雪夫），和A.A. Markov（马尔可夫 ）是同校同学（李比马低两级），并同他们始终保持着良好 的关系。他们共同在概率论方面做出了杰出的贡献。在概率 论中可以看到关于矩的马尔可夫不等式、切比雪夫不等式和 李亚普诺夫不等式等。Lyapunov还在相当一般的条件下证 明了中心极限定理。
✓
经典控制理论讨论的有界输入
有界输出（BIBO）稳定即为外部稳定性 。
Outer stability
现代控制理论-07(第4章Lyapunov稳定性理论)

现代控制理论-07(第4章Lyapunov稳定性理论)


−1 ⎤ 1 + ( s + 1) ( s + 2) ⎥ ⎥ −1 2 ⎥ + ( s + 1) ( s + 2) ⎥ ⎦
q ⎤ ⎡ 2e −t − e−2t ⎡ ⎢Ψ ⎥ = ⎢ ⎣ ⎦ ⎢ −2e−t + 2e−2t ⎣
e−t − e−2t ⎤ ⎡ q0 ⎤ ⎥⋅⎢ ⎥ −e−t + 2e−2t ⎥ ⎣Ψ 0 ⎦ ⎦
dΨ = −VC = −Cq. dt
dq Ψ = iL = , dt L
电路无外界的能量输入, 同时电路中没有耗能元件, 所以电路总能量W恒定不变.
W = WL + WC = ∫ 0
Ψ
Cq 2 iL (τ1 )dτ1 + ∫ VC (τ 2 )dτ 2 = + ≡ W0 . 0 2L 2
q
Ψ2
从上述式子的最后一个等号看出系统的轨迹是 一个椭圆, 见图4.2.
Ψ2
= 0.
16
Ψ
q
图4.3 例4.2.2状态方程相图
图4.3表明, 从原点很小的领域出发的轨迹能保持在 原点附近, 并能逐渐趋向于原点, 或者说是渐近稳 定的. 17
例4.2.3 图4.1所示的电路中, 设电感是线性的, 电 vC = q3 − q , 阻 R = 0 , 而电容具有非线性的库伏特性 则状态方程是 dq Ψ
dq Ψ = iL = , dt L
此电路中电阻是耗能元件, 所以电路总能量是不断 减少的.为简单起见, 设C=2, R=3, L=1, 再令初始状 态为 (Ψ 0 , q0 ) . dq =Ψ ,
dt
dΨ = −2q − 3 . Ψ dt
14
利用拉普拉斯反变换求解上述方程, 先求预解矩阵
第五章 李雅普诺夫稳定性理论

第五章 李雅普诺夫稳定性理论


非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的， 非线性系统的稳定性是相对系统的平衡态而言的，很难 笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。 笼统地讨论非线性系统在整个状态空间的稳定性。 对于非线性系统， 对于非线性系统，其不同的平衡态有着不同的稳定 故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。 性，故只能分别讨论各平衡态附近的稳定性。 对于稳定的线性系统，由于只存在唯一的孤立平衡 对于稳定的线性系统， 态，所以只有对线性系统才能笼统提系统的稳定性 问题。 问题。 李雅普诺夫稳定性理论讨论的是动态系统各平衡态 附近的局部稳定性问题。 附近的局部稳定性问题。 它是一种具有普遍性的稳定性理论， 它是一种具有普遍性的稳定性理论，不仅适用于线 性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系统、 性定常系统，而且也适用于非线性系统、时变系统、 分布参数系统。 分布参数系统。
5.1 动态系统的外部稳定性
控制系统的外部稳定性，常称为有界输入有界输出稳定性。 控制系统的外部稳定性，常称为有界输入有界输出稳定性。 在讨论系统的外部稳定性时，一般只适用于线性动态系统， 在讨论系统的外部稳定性时，一般只适用于线性动态系统， 而且必须假定系统的初始条件为零。 而且必须假定系统的初始条件为零。 外部稳定性的定义是，初始条件为零的线性系统， 外部稳定性的定义是，初始条件为零的线性系统，在任何一 个有界的输入作用下，若系统所产生的输出也是有界的， 个有界的输入作用下，若系统所产生的输出也是有界的，就 称该动态系统是外部稳定的，又称为BIBO稳定。 稳定。 称该动态系统是外部稳定的，又称为 稳定 对于单输入单输出线性定常系统而言， 对于单输入单输出线性定常系统而言，在经典控制理论中定 义的传递函数正是表征了系统在零初始条件下， 义的传递函数正是表征了系统在零初始条件下，输出量与输 入量两者间的关系。因此，对线性定常系统， 入量两者间的关系。因此，对线性定常系统，具有外部稳定 性的充要条件等价于其传递函数的所有极点都位于s平面的 性的充要条件等价于其传递函数的所有极点都位于 平面的 左半边。 左半边。

现代控制理论第四章稳定性理论及Lyapunov方法


【解】（1） 平衡状态为： xe 0 0 T
构造李雅普诺夫函数 V (x) x12 x22 V (x) (2x12 6x22 ) 0
系统在平衡状态渐近稳定，并且 x ,V (x) ,是
大范围渐近稳定。
（2） 平衡状态为： xe 0 0 T
主要知识点: 1、 BIBO (有界输入有界输出)稳定的定义、定理。
§4-3 李雅普诺夫稳定性的概念
主要知识点:
1、系统状态的运动和平衡状态
2、李雅普诺夫意义下稳定、渐近稳定、全局渐近稳 定和不稳定的定义
§4-4 李雅普诺夫间接法（第一法）/线性化局部稳定 主要知识点: 1、线性系统的稳定性判别定理 2、内部稳定和外部稳定的关系 3、非线性系统线性化方法和稳定性判别定理（李雅普诺夫间 接法/第一法）
1 2

x1 x2


x14

x12

2
x22

2
x1
x2

0
V(x) 4x13x1 2x1 x1 4x2 x2 2x1 x2 2x1 x2 2(x14 x22) 0
因此系统在坐标原点是渐近稳定的，并且 x ,V (x) ,
1 0 0
19/ 78 10/ 39 1/ 2
由方程 GT PG P I 解出 P 10 / 39 49 / 78
19
/13 26
不定号，因此系统不渐近稳定。
实际上，该系统的特征值为0.1173+2.6974i, 0.1173-2.6974i, -1.2346都在单位圆外，系统是不稳定的。
试确定其平衡状态的稳定性。
【解】 系统平衡状态为： xe 0 0 T

Lyapunov稳定性

• 系统的平衡状态
平衡状态X e： f ( X e , t) 0 线性定常系统： f ( X , t ) AX A非奇异：系统只有一个平衡状态 A奇异：系统有无穷多个平衡状态 非线性系统：可能有一个或多个平衡态
1、Lyapunov稳定性的定义
• 坐标变换
坐标变换：X e 0 f ( X e , t) 0 f (0, t) 0
主要研究系统在平衡（坐标原点）状态的 稳定性。
1、Lyapunov稳定性的定义
• 超球域（欧几里德范数）
X Xe k X - Xe
x1 xe1
2
x2 xe 2 xn xen
2
2
n＝2：圆；
n＝3：球。
1、Lyapunov稳定性的定义
e
2、Lyapunov稳定性定理
• Lyapunov第一法
f ( X , t )， 系统：X AX ( X ) 在平衡点X e处线性化：X 1、如果A的全部特征值都具有负实部， 则系统在平衡点X e处是稳定的， 而且系统的稳定性与高阶导数无关； 2、如果有一个特征值具有正实部，不稳定； 3、如果含有零特征值，与高阶导数相关， 若( X ) 0，系统处于临界稳定状态。
2、Lyapunov稳定性定理
• Lyapunov第一法
f ( X , t )，平衡点：X 0 系统：X e AX ( X ) 线性化：X f1 x 1 f 2 f ( X , t ) A x1 X f n x 1 f1 x2 f 2 x2 f n x2 f1 xn f 2 xn f n xn X X
S ( )
xe

Lyapunov稳定性理论概述


x e 差任意大，而当a ≺0时， x(t) = 0 at 。与零解的误差不会超过初始误差x0，且随
着t 值的增加很快就会消失，所以，当|x0|很小时，x(t)与零解的误差也很小。
这个例子表明a f 0时的零解是“稳定”的。下面，我们就给出微分方程零解稳
定的严格定义。
设微分方程
R dx
dt
=
f
(t, x) ，
并说它所以重要，是因为它能解决物理学、工程学等方面的问题．我们认为这一
门学科可以相当统一而连贯地进行阐述，常微分方程对于其它学科领域的重要 性，在于它能启发、统一并推进这些学科领域。了解常微分方程与其它学科之问 是如何联系的，对于学生及数学工作者来说，是获得洞察力和启示的一种主要源 泉”。
如果将这段深刻而具有独特见解的话，应用到常微分方程中的Lyapunov稳定 性，可以豪不夸张地说，Lyapunov在常微分方程中首创的稳定性理论和方法，不 仅给人启迪，给人以洞察力，而且给人以智慧，给人以思想，锻炼人分析问题、 解决问题的能力。
这个学期的学习内容很丰富，最使我着迷的是稳定性理论的部分，它帮助我 认识到了稳定性问题的实质和重要性，并让我有机会较为系统的接触到了 Lyapunov方法，以上便是我的一些相关的学习心得总结。
二， Lyapunov稳定性定理
Lyapunov第二法（即直接法）探讨了一个二维自治系统的稳定性，并在这些 原始几何思想的基础之上，经由分析语言的提炼概括，给出了1条稳定性定理，1 条渐近稳定性定理和2条不稳定性定理，这几条定理被誉为稳定性的基本定理， 为稳定性理论奠定了牢固的基础。 1， 稳定性定理
结论正定0该平衡态渐近稳定正定0该平衡态渐近稳定正定0该平衡态稳定但非渐近稳定正定0正定0该平衡态不稳定正定0半正定0且不恒为0对任意非零的初始状态该平衡态不稳定经过艰苦的研究证明学者们发现在上述三种定理中只有lyapunov的渐近稳定性定理不可逆其他定理包括推广的一致稳定一致渐近稳定指数稳定全局指数稳定及不稳定定理等所有定理都是可逆的

李雅普诺夫稳定性理论


1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
大范围渐近稳定
如果平衡状态xe是稳定的，而且从状态空间中所有初始状态出 发的轨线都具有渐近稳定性，称这种平衡状态xe大范围渐近稳 定显。然，大范围渐近稳定的必要条件是在整个状态空间中只有一 个平衡状态。 对于线性系统来说，由于满足叠加原理，如果平衡状态是渐近 稳定的，则必然是大范围渐近稳定的。 对于非线性系统，使xe为渐近稳定平衡状态的球域s()一般是不 大的，常称这种平衡状态为小范围渐近稳定。
t的函数；一般f 为时变的非线性函数，如果不含t，则为定常
的非线性函数.。
设(1-1)在给定初始条件 (t0 x0 ) 下,有唯一解：
x (t, x0,t0 )
(1-2)
式(1-2)描述了系统(1-1)在n维状态空间中从初始条件 (t0 x0出) 发
的一条状态运动的轨迹，简称为系统的运动和状态轨线。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法 不稳定
如果对于某个实数>0和任一实数>0，不管这个实数多么小， 由s()内出发的状态轨线，至少有一个轨线越过s()，则称这种 平衡状态xe不稳定。
1.2 李雅普诺夫稳定性及判别方法
球域s()限制着初始状态x0的取值，球域s()规定了系统自由 响 应 x(t ) 的(t边; x界0 ,。t0 ) 如果x(t)为有界，则称xe稳定。
非线性系统的分类： 非本质非线性 能够用小偏差线性化方法进行线性化处理的非线性。 本质非线性 用小偏差线性化方法不能解决的非线性。
1.1 非线性系统相关基本概念
非线性系统的稳定性 （1）非线性系统的稳定性，则除了与系统的结构、参数 有关外，很重要的一点是与系统起始偏离的大小密切相连。
（2）不能笼统地泛指某个非线性系统稳定与否，而必须 明确是在什么条件、什么范围下的稳定性。

李雅普诺夫关于稳定性的定义

定性，而是通过定义一个叫Lyapunov函数(Lyapunov function)的标量函数来分析判别稳定性。 由于不用解方程就能直接判别系统稳定性，所以第二 种方法称为直接法，也称为Lyapunov第二法。
Lyapunov稳定性理论不仅可用来分析线性定常系统， 而且也能用来研究 时变系统 非线性系统 离散时间系统 离散事件动态系统 逻辑动力学系统 等复杂系统的稳定性，这正是其优势所在。
11.1.1 平衡态 equilibrium state
设我们所研究的系统的状态方程为 x’=f(x,t)
其中x为n维状态变量; f(x, t)为n维的关于状态变量向量x和时间t的非线性向量函数。
lim x(t)
t
式中，x(t) 为系统被调量偏离其平衡位置的变化量;
为任意小的给定量。
如果系统在受到外扰后偏差量越来越大，显然它 不可能是一个稳定系统。
对系统进行各类性能指标的分析必须在系统稳定的前提下 进行。稳定是控制系统能够正常运行的首要条件,只有稳定 的系统才有用。
但这些经典控制理论中的稳定性判别方法仅限于讨论 SISO线性定常系统输入输出间动态关系，即 线性定常系统的有界输入有界输出(BIBO)稳定性
未研究系统的内部状态变化的稳定性，也不能推广到时变 系统和非线性系统等复杂系统。 再则，对于非线性系统或时变系统，虽然通过一些系统
转化方法，上述稳定判据尚能在某些特定系统和范围内 应用，但是难以适用于一般系统。
在牛顿建立引力理论后，天文学家试图证明太阳系的稳定性。 特别地，拉格朗日和拉普拉斯在这一问题上做了突出的贡献。 1773年，24岁的拉普拉斯“证明了行星到太阳的距离在一些 微小的周期变化之内是不变的”，并因此成为法国科学院副 院士。虽然他们的论证今天看来并不严格，但这些工作对于 后来Lyapunov的稳定性理论有很大的影响。
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函数。
三， Lyapunov函数的构造
Lyapunov直接法的核心技巧是构造Lyapunov函数，虽然人们针对不同实
际问题已经运用多种方法(能量函数法、类比法、梯度法、变梯度法、微分矩方
法等)具体构造出满足需要的Lyapunov函数，并获得了广泛的承认，但构造
Lyapunov函数的方法仍无一般规律可循，纯粹是研究工作者本人的经验和技
ϕ 适的Lyapunov函数．任何函数ϕ(V )( / > 0) 也是，故有无穷多个．如果写成定理
形式，系统的平衡位置有某种稳定性的充分必要条件是存在1个合适的Lyapunov
函数V，它的导数 dV 满足定理条件，值得注意的是证明充分性时所用的Lyapunov dt
函数与证明必要性时所找到的Lyapunov函数不一定也不必要是同一个Lyapunov
方法实际问题中应用较少。
下面，我们运用上面所述的方法1和方法2对一个具体系统构造出它的
Lyapunov函数。
形如
dx = Ax + f (x) dt f (0) = 0, f (x) → 0(x → 0)
x
（4）
的非线性系统，如果不知道A是否稳定，可尝试构造 V = XT B X (B正定)
沿其解计算得：
t>t0 时不恒为零,那么该平衡态 x0 亦是不稳定的。
由此，我们可以对Lyapunov稳定性判别方法做一个归纳总结，如下表：
V(x) 正定(>0) 正定(>0)
正定(>0) 正定(>0) 正定(>0)
V/（x） 负定(<0) 半负定(≤0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态
的解) 半负定(≤0)且恒为0 (对某一非零的初始状态
不过，这种可逆性的证的，并不能轻易构造出它的解析表达式来．而满足定理条件的 Lyapunov函数，只要找到了1个(具体构造出来)就等于找到了无穷多个。例如， 若V是满足某定理要求的Lyapunov函数，则CV(对于任意的C>0)也是满足该定理合
巧．这些方法都是试探性的，没有构造性的必然成功程序可言。
这当然是一个遗憾，但也正因为如此原则性与灵活性高度统一，反而留给
了人们更加广阔的施展才华的机会，鼓励那些“勤于思考，锲而不舍，锐利进取，
精益求精”的人去砂里淘金。所以有人说过：“谁能构造出一个巧妙的Lyapunov
函数，谁就能得出一批好结果，谁就能发表一批好的文章”．这是一位权威学者
数稳定，则可以任意给定负定矩阵-C，作 V = xT B x，其中B为线性矩阵不等式
BA+ATB=-C的解。这是根据上述方法2的思想所做出的构造过程。
四， Lyapunov方法的发展
世界著名数学大师Hirsch和Smale在他们的专著《常微分方程·动力系统·线
性代数》的序言中谈到：“有人说常微分方程这一学科是求解技巧和提示的汇集，
dV = XTBX + XTBX dt
= XT(BA + ATB)X + XTBf(x) + fT (x) BX
(5)
若BA+ATB负定，立即可断言平系统(5)的平衡位置x=O指数稳定，还可以根据
λ （BA+ATB）来估计x =0的吸引域。这是根据上述方法1的思想做的推导。 max 如果已知A为Hurwitz矩阵，只是希望知道非线性系统在多大的区域内仍然指
一， 稳定性的概念
初始值的微分变化对不同系统的影响不同，例如初始值问题
dx = ax ， x(0)=x0 , t≥0，x0≥0
(1)
dt
x e 的解为 x(t) = 0 at ，而x=0 是(1)式的一个解。当a f 0时，无论|x0|多小，只要
|x0| ≠ 0 ,在t→+∞时，总有x（t）→ ∞，即初始值的微小变化会导致解的误
二， Lyapunov稳定性定理
Lyapunov第二法（即直接法）探讨了一个二维自治系统的稳定性，并在这些 原始几何思想的基础之上，经由分析语言的提炼概括，给出了1条稳定性定理，1 条渐近稳定性定理和2条不稳定性定理，这几条定理被誉为稳定性的基本定理， 为稳定性理论奠定了牢固的基础。 1， 稳定性定理
设系统的状态方程为x/ = f( x ,t),其中 x0 = 0 为其平衡态。若存在一个有 连续一阶偏导数的正定函数V (x ,t),满足下述条件:
1) V /(x,t)为非正定(半负定)的,则该系统在原点处的平衡态是一致稳定 的；
2) 更进一步,若V(x,t)的定义域Ω为Rn,对任意的t0和任意x(t0)≠0,V’(x,t) 在t>t0时不恒为零,那么该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的,否则将仅 是一致稳定而非一致渐近稳定。
的解) 正定(>0) 半正定(≥0)且不恒为0 (对任意非零的初始状态
的解)
结论 该平衡态渐近稳定
该平衡态渐近稳定
该平衡态稳定 但非渐近稳定
该平衡态不稳定
该平衡态不稳定
经过艰苦的研究证明，学者们发现，在上述三种定理中，只有Lyapunov的 渐近稳定性定理不可逆，其他定理，包括推广的一致稳定、一致渐近稳定、指数 稳定、全局指数稳定及不稳定定理等所有定理，都是可逆的。
x e 差任意大，而当a ≺0时， x(t) = 0 at 。与零解的误差不会超过初始误差x0，且随
着t 值的增加很快就会消失，所以，当|x0|很小时，x(t)与零解的误差也很小。
这个例子表明a f 0时的零解是“稳定”的。下面，我们就给出微分方程零解稳
定的严格定义。
设微分方程
R dx
dt
=
f
(t, x) ，
前，大部分V函数的构造，都是用这种试探凑合法。 2，倒推V函数法
先设计 dV 负定(或半负定)，然后积分求出V ，来看V是否正定。若正定， dt
便能断定系统平衡位置渐近稳定(稳定)；否则，也只好重新再找其它合适的V函
数。
3，微分矩方法 同时构造V和 dV ，看能否满足所需条件，即所谓微分矩方法。然而，这种 dt
Lyapunov稳定性理论概述
稳定性理论是19 世纪80 年代由俄国数学家Lyapunov创建的，它在自动控 制、航空技术、生态生物、生化反应等自然科学和工程技术等方面有着广泛的应 用，其概念和理念也发展得十分迅速。通过本学期“力学中的数学方法”课程的 学习，我对此理论的概况有了一些认识和体会，总结于本文中。
此时,随着||x||→∞,有V(x,t)→∞,则该系统在原点处的一致渐近稳定平衡 态是大范围一致渐近稳定的。 2， 渐近稳定性定理
设系统的状态方程为 x/ = f( x, t)
其中x0=0为其平衡态。 若存在一个有连续一阶偏导数的正定函数V(x,t),满足下述条件: 1) 若V /(x,t)为负定的,则该系统在原点处的平衡态是一致渐近稳定的; 2) 更进一步，若随着||x||→∞,有V(x,t)→∞,那么该系统在原点处的平衡 态是大范围一致渐近稳定的。 3， 不稳定性定理
设系统的状态方程为x/ = f(x, t),其中 x0 = 0 为其平衡态。若存在一个有
连续一阶偏导数的正定函数V (x, t),满足下述条件:
1) V /(x,t)为正定的,则该系统在原点处的平衡态是不稳定的;
2) 若V /(x,t)为非负定的,且对任意的t0和任意的x(t0) ≠ 0, V /(x,t) 在
这个学期的学习内容很丰富，最使我着迷的是稳定性理论的部分，它帮助我 认识到了稳定性问题的实质和重要性，并让我有机会较为系统的接触到了 Lyapunov方法，以上便是我的一些相关的学习心得总结。
x(t0)=x0 , x∈
n
(2)
满足解存在唯一定理的条件，其解x(t)=x(t，t0，x0)的存在区间是 (−∞,+∞) ，f(t，
x)还满足条件：
f (t，0)=0
(3)
(3)式保证了x(t) = 0 是(2)式的解，我们称它为零解。
这里给出定义1：若对任意给定的ε > 0，都能找到δ=δ(ε,t0),使得当 ||x0||<δ时的解满足x ( t,x0 , x0 ) || x ( t, t0 , x0 ) || <ε, t ≥ t0 , 则 称(2)式的零解是稳定的，否则称(2)式的零解是不稳定的。
并说它所以重要，是因为它能解决物理学、工程学等方面的问题．我们认为这一
门学科可以相当统一而连贯地进行阐述，常微分方程对于其它学科领域的重要 性，在于它能启发、统一并推进这些学科领域。了解常微分方程与其它学科之问 是如何联系的，对于学生及数学工作者来说，是获得洞察力和启示的一种主要源 泉”。
如果将这段深刻而具有独特见解的话，应用到常微分方程中的Lyapunov稳定 性，可以豪不夸张地说，Lyapunov在常微分方程中首创的稳定性理论和方法，不 仅给人启迪，给人以洞察力，而且给人以智慧，给人以思想，锻炼人分析问题、 解决问题的能力。
的肺腑之言。
关于如何构造Lyapunov函数，这里简要介绍了3种试探凑合的原则性方法。 1, 凑合V函数法
先试探构造出正定的函数V(或变号V)，然后沿系统之解对 V求导数 dV ，看 dt
条件能否保证 dV 负定、半负定。如能，便可断定系统的平衡位置是渐近稳定(不 dt
稳定)、稳定的，否则任何结论也不能得到，只得再找其它的Lyapunov函数V。目