2020学年高中数学第一章数列1.3.1第2课时等比数列的性质学案含解析北师大版必修5.doc

第2课时 等比数列的性质及应用知识点一 等比中项[填一填]如果在a 与b 中插入一个数G ,使得a ,G ,b 成等比数列,那么根据等比数列的定义,G a ＝bG ,G 2＝ab ,G ＝±ab .我们称G 为a ,b 的等比中项．[答一答]1．相对于等差中项而言,等比中项有怎样的特点？ 提示：(1)只有同号的两个数才有等比中项． (2)等比中项有两个,它们互为相反数． 知识点二 等比数列的性质[填一填](1)a n ＝a m q n－m(m ,n ∈N ＋)．(2)若m ＋n ＝p ＋q (m ,n ,p ,q ∈N ＋),则a m a n ＝a p a q .(3)数列{λa n }(λ为不等于0的常数)仍是公比为q 的等比数列；若{b n }是公比为q ′的等比数列,则数列{a n b n }是公比为qq ′的等比数列； 数列{1a n }是公比为1q 的等比数列；数列{|a n |}是公比为|q |的等比数列．(4)在数列{a n }中每隔k (k ∈N ＋)项取出一项,按原来的顺序组成新数列,则新数列仍为等比数列且公比为q k ＋1.(5)数列{a n }是各项均为正数的等比数列时,数列{lg a n }是公差为lg q 的等差数列．(6)当m ,n ,p (m ,n ,p ∈N ＋)成等差数列时,a m ,a n ,a p 成等比数列． (7)等比数列中的任意一项均不为0,即a n ≠0.[答一答]2．等比数列与指数函数的关系．提示：(1)等比数列的通项公式a n ＝a 1q n －1,可以整理为a n ＝(a 1q )·q n .当q >0且q ≠1时,y ＝(a 1q )·q x 是一个不为0的常数与指数函数的积,因此,数列{a n }即{a 1q ·q n }中的各项所表示的点(n ,kq n )(k ＝a 1q )离散地分布在函数y ＝k ·q x (x ∈R )的图像上,所以可以借助指数函数y ＝q x (q >0,且q≠1)的性质来研究等比数列的性质．(2)等比数列具有的单调性：1．根据等比数列的定义可知,在等比数列中的公比q ≠0,任意一项都不为零．当q ＝1时,这个等比数列为常数列．2．判定一个数列是等比数列的方法 (1)定义法：利用定义式a n ＋1a n ＝q .(2)等比中项法：利用a 2n ＋1＝a n a n ＋2.(3)通项公式法：利用a n ＝a 1q n －1(或cq n ).类型一 等比中项的运用【例1】 已知等比数列的前三项和为168,a 2－a 5＝42,求a 5,a 7的等比中项．【思路探究】 根据已知条件,可得到关于首项a 1和公比q 的方程组,求出a 1和q 的值后问题可解．【解】 设该等比数列的公比为q ,首项为a 1.由已知条件,得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝168，a 1q －a 1q 4＝42， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝168，①a 1q (1－q 3)＝42.② ②÷①,得q (1－q )＝14,解得q ＝12.∴a 1＝4212×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫123＝96.设G 是a 5,a 7的等比中项,则有G 2＝a 5·a 7＝a 1q 4·a 1q 6＝a 21q 10＝962×⎝⎛⎭⎫1210＝9.故a 5,a 7的等比中项是±3. 规律方法 本题要注意同号的两个数的等比中项有两个,它们互为相反数,不要漏解．(1)已知数列{a n }是等比数列,且a 3＝－4,a 7＝－16,则a 5＝( B ) A ．8 B ．－8 C ．64 D ．±8 (2)若x 是1,3的等差中项,y 是1,4的等比中项,则x ＋y ＝4或0.解析：(1)由a 3·a 7＝a 25,得a 25＝64,则a 5＝±8. 因为a 3,a 5,a 7同号,所以a 5＝－8.(2)根据等差中项和等比中项的概念,可得x ＝1＋32＝2,y ＝±1×4＝±2,则x ＋y ＝4或0.类型二 等比数列的通项公式的求法及应用【例2】 设二次方程a n x 2－a n ＋1x ＋1＝0(n ＝1,2,3,…)有两根α,β,且满足6α－2αβ＋6β＝3.(1)试用a n 表示a n ＋1；(2)当a 1＝76时,求数列{a n }的通项公式．【思路探究】 (1)用a n 表示a n ＋1,即推导出数列的递推关系,由根与系数的关系可以将递推关系式找出来；(2)由(1)知a n 与a n ＋1的关系是形如a n ＋1＝ca n ＋d 的形式,可以通过构造等比数列求出a n .【解】 (1)由根与系数的关系,得⎩⎨⎧α＋β＝a n ＋1an，αβ＝1a n.又由6α－2αβ＋6β＝3,即6(α＋β)－2αβ＝3,得6a n ＋1a n －2a n＝3,∴a n ＋1＝12a n ＋13.(2)方法一：将a n ＋1＝12a n ＋13,a n ＝12a n －1＋13两式相减,得a n ＋1－a n ＝12(a n －a n －1),即数列{a n ＋1－a n }是首项为a 2－a 1＝12a 1＋13－a 1＝－14,公比为12的等比数列,∴a n ＋1－a n ＝－14·⎝⎛⎭⎫12n －1,∴12a n ＋13－a n ＝－14·⎝⎛⎭⎫12n －1, ∴a n ＝23＋⎝⎛⎭⎫12n .方法二：设a n ＋1－m ＝12(a n －m ),其中m 是待定系数,∴a n ＋1＝12a n ＋12m .与a n ＋1＝12a n ＋13比较,得12m ＝13,∴m ＝23,∴a n ＋1－23＝12⎝⎛⎭⎫a n －23. 又∵a 1－23＝12,∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －23 是首项为12,公比为12的等比数列,∴a n －23＝12·⎝⎛⎭⎫12n －1,即a n ＝23＋⎝⎛⎭⎫12n.规律方法 数列{a n }满足递推关系式⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b ，a n ＋1＝ca n ＋d ，求a n 的方法很多,其中主要方法有两种：一是阶差法,二是待定系数法．已知数列{a n }满足a 1＝1,a n ＋1＝3a n ＋2.证明数列{a n ＋1}是等比数列,并求数列{a n }的通项公式．解：由已知得,a n ＋1＋1＝(3a n ＋2)＋1＝3(a n ＋1)．因为a 1＋1＝2≠0,所以a n ＋1＋1a n ＋1＝3.故数列{a n ＋1}是以2为首项,3为公比的等比数列．由等比数列的通项公式得a n ＋1＝2×3n －1, 故a n ＝2×3n －1－1.类型三 等比数列的基本性质【例3】 已知数列{a n }为等比数列,且a n >0,a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25,那么a 3＋a 5的值等于( )A ．5B ．10C ．15D ．20【思路探究】 本题可利用等比数列的性质解决,也可以通过整体代换的方法解决． 【解析】 解法一：设此等比数列的公比为q ,由a n >0, 得q >0.由条件得a 1q ·a 1q 3＋2a 1q 2·a 1q 4＋a 1q 3·a 1q 5＝25,即a 21q 4(q 2＋1)2＝25. ∴a 1q 2(q 2＋1)＝5.a 3＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 4＝a 1q 2(q 2＋1)＝5. 解法二：∵a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25,由等比数列的性质得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25, 即(a 3＋a 5)2＝25.又a n >0, ∴a 3＋a 5＝5. 【答案】 A规律方法 要确定一个等比数列,必须有两个独立条件,而这里只有一个条件,故用先确定基本量a 1和q ,再求a 3＋a 5的方法是不行的,而应寻求a 3＋a 5整体与已知条件之间的关系．在运用方程思想方法的过程中,还要注意整体思想,善于利用等比数列的性质,以达到简化解题过程、快速求解的目的．已知等比数列{a n }中,a 4a 7＝－512,a 1＝1,则q ＝－2. 解析：∵a 4a 7＝a 1a 10＝－512,a 1＝1, ∴a 10＝－512,∴q ＝9a 10a 1＝9－512＝－2.类型四 等比数列的实际应用题【例4】 从盛满20 L 纯酒精的容器里倒出1 L,然后用水填满,再倒出1 L 混合溶液,再用水填满,这样继续进行．(1)倒第2次后容器里还剩有纯酒精多少升？你能发现各次剩余纯酒精数构成什么数列吗？(2)倒第5次后容器里还剩有纯酒精多少升(精确到小数点后两位)?【思路探究】 从初始值入手,观察数字的特点,联想等比数列,归纳规律得解． 【解】 (1)倒第1次后,剩下的酒精是19 L,用水填满后,混合溶液浓度为1920×100%,故第2次倒出的1 L 混合溶液中含纯酒精1×1920＝1920(L),此时容器里还剩有纯酒精19－1920＝19×1920＝18.05(L)．每次倒完后剩下的纯酒精为原来的1920,即每次倒完后剩下的纯酒精是以a 1＝19为首项,公比q ＝1920的等比数列．(2)利用计算器计算得倒第5次后还剩有纯酒精a 5＝a 1q 4＝19×⎝⎛⎭⎫19204≈15.48(L)． 规律方法 此类问题的解法是通过分析题意,明确已知的是数列的什么量,要求的是什么量,并用数列的相关量表示出来,再利用数列的通项公式建立方程或不等式求解．据《中国青年报》2004年11月9日报导,卫生部艾滋病防治专家徐天民指出：目前我国艾滋病的流行趋势处于世界第14位,在亚洲第2位,而且艾滋病毒感染者每年以40%的速度在递增,我国已经处于艾滋病暴发流行的前沿,我国政府正在采取有效措施,防止艾滋病蔓延,公元2004年我国艾滋病感染者至少有80万人,若不采取任何防治措施,则至少到公元2012年后,我国艾滋病毒感染者将超过1 000万人．(已知lg 2＝0.301 0,lg3＝0.477 1,lg7＝0.845 1)解析：设x 年后我国艾滋病毒感染者人数将达到1 000万人,则80·(1＋40%)x ＝1 000, 即⎝⎛⎭⎫75x ＝1 00080,∴lg ⎝⎛⎭⎫75x ＝lg 1 00080, ∴x ＝lg1008lg 75＝lg 100－lg 8lg 7－lg 102＝2－3lg 2lg 7＋lg 2－1＝2－3×0.301 00.845 1＋0.301 0－1＝1.0970.146 1≈7.51(年)． 故8年后,即公元2012年后,我国艾滋病毒感染者人数将超过1 000万人．——多维探究系列—— 等比数列性质的应用等比数列与等差数列在定义上只有“一字之差”,它们的通项公式和性质有许多相似之处,其中等差数列中的“和”“倍数”可以与等比数列中的“积”“幂”相类比．关注它们之间的异同有助于我们从整体上把握,同时也有利于类比思想的推广．对于等差数列项的和或等比数列项的积的运算,若能关注通项公式a n ＝f (n )的下标n 的大小关系,可简化题目的运算．【例5】 在由正数组成的等比数列{a n }中,若a 3a 4a 5＝3π,则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12 B.32C ．1D ．－32【规范解答】 B已知{a n }为等比数列,a 4＋a 7＝2,a 5a 6＝－8,则a 1＋a 10＝( D ) A ．7 B ．5 C ．－5 D ．－7解析：解法一：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝a 1q 3＋a 1q 6＝2，a 5a 6＝a 1q 4×a 1q 5＝a 21q 9＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7. 解法二：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝a 4a 7＝－8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝－2，a 7＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝4，a 7＝－2.则⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－2，a 1＝1或⎩⎪⎨⎪⎧q 3＝－12，a 1＝－8，故a 1＋a 10＝a 1(1＋q 9)＝－7.一、选择题1．已知等比数列{a n }中,a 2 011＝a 2 013＝－1,则a 2 012等于( C ) A ．－1 B ．1C ．±1D ．以上都不对解析：由a 2 011＝a 2 013＝－1知,等比数列{a n }的公比q ＝±1,当q ＝1时,a 2 012＝－1,当q ＝－1时,a 2 012＝1,故选C.2．在等比数列{a n }中,a 1＝1,a 10＝3,则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9等于( A ) A ．81 B ．27 C. 3D ．243 解析：由等比数列的性质可知： a 1a 10＝a 2a 9＝a 3a 8＝a 4a 7＝a 5a 6＝3. 故a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9＝34＝81.故选A. 二、填空题3．设{a n }是由正数组成的等比数列,且a 5a 6＝81,那么log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 9＋log 3a 10＝8. 解析：∵a n >0,且{a n }为等比数列, ∴a 1a 10＝a 2a 9＝a 5a 6＝81＝34.∴log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 9＋log 3a 10＝log 338＝8.解析：a n ＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×…×a n a n －1＝1×3×32×33×…×3n －1＝31＋2＋3＋…＋(n －1)＝.三、解答题5．在四个正数中,前三个成等差数列,和为48,后三个成等比数列,积为8 000.求这四个数． 解：设前三个数分别为a －d ,a ,a ＋d , 则有(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝48,即a ＝16. 再设后三个数分别为bq ,b ,bq ,则有b q ·b ·bq ＝b 3＝8 000,即b ＝20.∴四个数分别为m,16,20,n . ∴m ＝2×16－20＝12,n ＝20216＝25,即四个数分别为12,16,20,25.。

第2课时 等比数列的性质学习目标：1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质和由来.2.理解等比数列的性质及应用．(重点)3.掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点)[自 主 预 习·探 新 知]1．等比数列的单调性阅读教材P 23思考交流以下P 24例3以上部分，完成下列问题．对于等比数列{a n }，通项公式a n ＝a 1·q n －1＝a 1q ·q n.根据指数函数的单调性，可分析当q ＞0时的单调性如下表：思考：(1)若等比数列{a n }中，a 1＝2，q ＝12，则数列{a n }的单调性如何？ [提示] 递减数列．(2)等比数列{a n }中，若公比q ＜0，则数列{a n }的单调性如何？ [提示] 数列{a n }不具有单调性，是摆动数列． 2．等比中项阅读教材P 25练习2以上最后两段部分，完成下列问题．(1)前提：在a 与b 中间插入一个数G ，使得a ，G ，b 成等比数列． (2)结论：G 叫作a ，b 的等比中项． (3)满足关系式：G 2＝ab .思考：(1)任意两个数都有等差中项，任意两个数都有等比中项吗？ [提示] 不是，两个同号的实数必有等比中项，它们互为相反数，两个异号的实数无等比中项．(2)两个数的等差中项是唯一的，若两个数a ，b 存在等比中项，唯一吗？ [提示] 不唯一，如2和8的等比中项是4或－4.[基础自测]1．判断正误(1)数列－1，－2，－4，－8，－16是递减数列．( )(2)等比数列{a n }中，a 1＞1，q ＜0，则数列|a 1|，|a 2|，|a 3|，…，|a n |，…是递增数列．( )(3)若G 是a ，b 的等比中项，则G 2＝ab ，反之也成立．( )[解析] (1)正确；(2)不正确，如a 1＝2，q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，则|a n |＝2×12n －1＝12n －2是递减数列；(3)不正确，当G 是a ，b 的等比中项时，G 2＝ab 成立，但当G 2＝ab 时，G 不一定是a ，b 的等比中项，如G ＝a ＝b ＝0.[★答案★] (1)√ (2)× (3)×2．等比数列{a n }中，若a 1＝2，且{a n }是递增数列，则数列{a n }的公比q 的取值范围是________．[解析] 因为a 1＝2＞0，要使{a n }是递增数列，则需公比q ＞1. [★答案★] (1，＋∞)3．4－23与4＋23的等比中项是________． [解析] 由题意知4－23与4＋23的等比中项为 ±(4－23)(4＋23)＝±16－12＝±2. [★答案★] 2或－2[合 作 探 究·攻 重 难]等比中项及应用且a ＋3b ＋c ＝10，则a 的值为( )A ．1B ．－1C ．－3D ．－4(2)已知b 是a ，c 的等比中项，求证：a 2＋b 2，ab ＋bc ，b 2＋c 2成等比数列.【导学号：91022075】(1)解析：由已知得a ，b ，c 满足 ⎩⎨⎧a ＋c ＝2b ，a 2＝bc ，a ＋3b ＋c ＝10，解得⎩⎨⎧a ＝－4，b ＝2，c ＝8，故选D.[★答案★] D(2)证明：因为b 是a ，c 的等比中项，所以b 2＝ac ， (a 2＋b 2)(b 2＋c 2)＝a 2b 2＋a 2c 2＋b 4＋b 2c 2 ＝a 2b 2＋acb 2＋acb 2＋b 2c 2 ＝a 2b 2＋2acb 2＋b 2c 2 ＝(ab ＋bc )2.所以a 2＋b 2，ab ＋bc ，b 2＋c 2成等比数列． [规律方法] 应用等比中项解题的两个注意点：(1)要证三数a ，G ，b 成等比数列，只需证明G 2＝ab ，其中a ，b ，G 均不为零.(2)已知等比数列中的相邻三项a n －1，a n ，a n ＋1，则a n 是a n －1与a n ＋1的等比中项，即a 2n ＝a n －1·a n ＋1，运用等比中项解决问题，会大大减少运算过程. [跟踪训练]1．(1)设x,2x ＋2,3x ＋3成等比数列，则x ＝________.(2)设a ，b ，c 是实数，若a ，b ，c 成等比数列，且1a ，1b ，1c 成等差数列，则ca ＋ac 的值为________．[解析] (1)由题意得(2x ＋2)2＝x (3x ＋3)， x 2＋5x ＋4＝0，解得x ＝－1或x ＝－4， 当x ＝－1时，2x ＋2＝0，不符合题意，舍去， 所以x ＝－4.(2)由a ，b ，c 成等比数列，1a ，1b ，1c 成等差数列，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝ac ，2b ＝1a ＋1c，即4ac ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1c 2，故(a －c )2＝0，则a ＝c ，所以c a ＋a c ＝1＋1＝2.[★答案★] (1)－4 (2)2等比数列的综合应用n n 1n ＋1n 【导学号：91022076】(1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .[思路探究] (1)可借助a n ＝S n －S n －1(n ≥2)求出a n ；(2)由题目条件列方程，得到等差数列{b n }的首项和公差，可求T n . [解] (1)因为a n ＋1＝2S n ＋1， ① 所以a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，②所以①②两式相减得a n ＋1－a n ＝2a n ， 即a n ＋1＝3a n (n ≥1)， 又因为a 2＝2S 1＋1＝3， 所以a 2＝3a 1，故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， 所以a n ＝3n －1.(2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，可得b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5，故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ，又因为a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，并且a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列， 所以可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2， 解得d 1＝2，d 2＝－10.因为等差数列{b n }的各项为正， 所以d ＞0，所以d ＝2，所以T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .[规律方法] 求等差、等比数列的综合方法(1)理清各数列的基本特征量，明确两个数列间各量的关系.(2)发挥两个数的基本量a 1，d 或a 1，q 的作用，并用好方程这一工具.(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验. [跟踪训练]2．已知等差数列{a n }的公差不为零，a 1＝25，且a 1，a 11，a 13成等比数列.【导学号：91022077】(1) 求{a n }的通项公式； (2)求a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2. [解] (1)设{a n }的公差为d ， 由题意得a 211＝a 1a 13， 即(a 1＋10d )2＝a 1(a 1＋12d )． 于是d (2a 1＋25d )＝0. 又a 1＝25，所以d ＝0(舍去)，d ＝－2. 故a n ＝－2n ＋27.(2)令S n ＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 3n －2.由(1)知a 3n －2＝－6n ＋31，故{a 3n －2}是首项为25，公差为－6的等差数列． 故S n ＝n 2(a 1＋a 3n －2)＝n2(－6n ＋56)＝－3n 2＋28n .等比数列的性质及应用[1．在等差数列{a n }中，a n ＝a m ＋(n －m )d ，类比等差数列中通项公式的推广，你能得出等比数列通项公式推广的结论吗？[提示] a n ＝a m ·q n －m .2．在等差数列{a n }中，由2a 2＝a 1＋a 3,2a 3＝a 2＋a 4，…我们推广得到若2p ＝m ＋n ，则2a p ＝a m ＋a n ，若{a n }是等比数列，我们能得到什么类似的结论．[提示] 若2p ＝m ＋n ，则a 2p ＝a m ·a n .3．在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，类比这个性质，若{a n }是等比数列，有哪个结论成立？[提示] 若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .(1)在等比数列{a n }中，a n ＞0，若a 3·a 5＝4，则a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝________.(2)设{a n }为公比q ＞1的等比数列，若a 2 018和a 2 019是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 030＋a 2 031＝________.(3)在等比数列{a n }中，已知a 4a 7＝－512，a 3＋a 8＝124，且公比q 为整数，则a n ＝________.[思路探究] 利用等比数列的性质求解． [解析] (1)a 3a 5＝a 24＝4，又a n ＞0，所以a 4＝2， a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7＝(a 1·a 7)·(a 2·a 6)·(a 3·a 5)·a 4＝a 24·a 24·a 24·a 4＝a 74＝27＝128. (2)解方程4x 2－8x ＋3＝0得x 1＝12，x 2＝32，因为q ＞1，故a 2 019＝32，a 2 018＝12，故q ＝3，∴a 2 030＋a 2 031＝a 2 018q 12＋a 2 019·q 12＝(a 2 018＋a 2 019)q 12 ＝2·312.(3)在等比数列{a n }中，由a 4a 7＝－512得a 3a 8＝－512， 又a 3＋a 8＝124，解得a 3＝－4，a 8＝128或a 3＝－128，a 8＝4， 因为公比q 为整数，所以q ＝5a 8a 3＝－51284＝－2， 故a n ＝－4×(－2)n －3＝－(－2)n －1.[★答案★] (1)128 (2)2·312 (3)－(－2)n －1母题探究：1.(变条件)将例3(3)中等比数列满足的条件改为“a 4＋a 7＝2，a 5a 6＝－8”，求a 1＋a 10.[解] 因为{a n }是等比数列，所以a 5a 6＝a 4a 7＝－8， 又a 4＋a 7＝2，解得a 4＝4，a 7＝－2或a 4＝－2，a 7＝4， 当a 4＝4，a 7＝－2时，q 3＝－12，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7q 3＝－7， 当a 4＝－2，a 7＝4时，q 3＝－2，a 1＋a 10＝a 4q 3＋a 7q 3＝－7. 故a 1＋a 10＝－7.母题探究：2.(变结论)例3(3)题的条件不变，求log 4|a 2|＋log 4|a 3|＋log 4|a 8|＋log 4|a 9|.[解] 因为a 4a 7＝－512，所以a 2a 9＝a 3a 8＝－512， 故log 4|a 2|＋log 4|a 3|＋log 4|a 8|＋log 4|a 9| ＝log 4(|a 2a 9|·|a 3a 8|)＝log 45122＝log 229 ＝9.[规律方法] 等比数列的常用性质：性质1：通项公式的推广：a n ＝a m ·q n －m (m ，n ∈N ＋).性质2：若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .特别的，若k ＋φ＝2m (m ，k ，φ∈N ＋)，则a k ·a φ＝a 2m .性质3：若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λb n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，{a 2n }，{a n ·b n }，⎩⎨⎧⎭⎬⎫a nb n 仍是等比数列. 性质4：在等比数列{a n }中，序号成等差数列的项仍成等比数列. 性质5：⎩⎨⎧ a 1＞0，q ＞1或⎩⎨⎧a 1＜0，0＜q ＜1⇔{a n }递增； ⎩⎨⎧ a 1＞0，0＜q ＜1或⎩⎨⎧a 1＜0，q ＞1⇔{a n }递减；q ＝1⇔{a n }为常数列；q ＜0⇔{a n }为摆动数列.[当 堂 达 标·固 双 基]1．若数列{a n }是等比数列，则下列式子一定成立的是( ) A ．a 2＋a 5＝a 1＋a 6 B ．a 1a 9＝a 10 C ．a 1a 9＝a 3a 7D ．a 1a 2a 7＝a 4a 6C [根据等比数列的性质，知a 1a 9＝a 3a 7.]2．在等比数列{a n }中，若a 6＝6，a 9＝9，则a 3等于( )【导学号：91022078】A ．4B ．32 C ．169D ．3A [法一：因为a 6＝a 3·q 3， 所以a 3·q 3＝6.a 9＝a 6·q 3， 所以q 3＝96＝32. 所以a 3＝6q 3＝6×23＝4.法二：由a 3，a 6，a 9成等比数列，得a 26＝a 3·a 9， 所以36＝9a 3，所以a 3＝4.]3．数列{a n }为等比数列，它的前三项为m －1，m ＋1,2m ＋2，则m ＝________. [解析] 由题意知(m ＋1)2＝(m －1)(2m ＋2)，解得m ＝3. [★答案★] 34．在等比数列{a n }中，a 3＝2，公比q ＝2，b n ＝a 2n ，则b 10＝________. [解析] 由题意知a n ＝a 3q n －3＝2·2n －3＝2n －2， 则b n ＝22n －4，故b 10＝216. [★答案★] 2165．设{a n }是各项均为正数的等比数列，b n ＝log 2a n ，若b 1＋b 2＋b 3＝3，b 1·b 2·b 3＝－3，求此等比数列的通项公式a n .【导学号：91022079】[解] 由b 1＋b 2＋b 3＝3，得log 2(a 1·a 2·a 3)＝3， 所以a 1·a 2·a 3＝23＝8，因为a 22＝a 1·a 3，所以a 2＝2，又b 1·b 2·b 3＝－3， 设等比数列{a n }的公比为q ，得 log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2q ·log 2(2q )＝－3.解得q ＝4或14，所以所求等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝a 2·q n －2＝22n －3或a n ＝25－2n .。

1.3.2等比数列的前n 项和一、知识归纳：1．等比数列的前n 项和公式： 11(1)(1)(1)1nn na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩或⎪⎩⎪⎨⎧≠--==)1(1)1(11q q q a a q na S nn 二．例题讲解：例1. 求相应的等比数列{}n a 的n S ：（1）13,2,6a q n ===；（3）1118,,22n a q a === ；例2．．（1）求等比数列111,,,248L 的前8项的和（2）求等比数列111,,,248L 前多少项的和是6463(3）求等比数列111,,,248L 第5项到第10项的和（4）1a =27，24319=a ，q<0三：练习：1.已知数列{a n }既是等差数列又是等比数列,则这个数列的前n 项和为A.0B.nC.na 1D. a 1n2.数列1，a ，2a ，…，1n a -，…的前n 项和是（ ）A ．11n a a --B ．111n a a+-- C ．211n a a +-- D ．以上均不正确 3.若数列的前n 项和为()10nn S a a =-≠，则这个数列是（ ） A ．等比数列 B ．等差数列 C ．等比或等差数列 D ．非等差数列4、等比数列{}n a 的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项之和是（ ）A ．1SB ．1n q SC ．1n S q -D ．n q S 5.等比数列{a n }的各项都是正数,若a 1=81,a 5=16,则它的前5项的和是（ ）A.179B.211C.243D.2756.已知等比数列的公比为2，若前4项之和等于1，则前8项之和等于( )A.15B.17C.19D.217.某工厂去年产值为a ，计划5年内每年比上一年产值增长10％，从今年起五年内这个工厂的总产值是（ ）A ．41.1aB ．51.1aC ．()5101.11a -D ．()2111.11a - 8.一个蜂巢里有 1 只蜜蜂，第 1 天，它飞出去回了 5 个伙伴; 第 2 天， 6 只蜜蜂飞出去，各自找回了 5 个伙伴，……，如果这个找伙伴的过程继续下去，第 6 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有（ ）只蜜蜂.A. 55986B. 46656C. 216D. 369．（1）求等比数列1,2,4,L 从第5项到第10项的和．（2）求等比数列333,,,248L 从第3项到第7项的和．10.“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首中国古诗的答案是多少？等比数列的前n 项和（二）一：知识要点1.等比数列的前n 项和的性质：若数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N m ∈，那么m S ，m m S S -2，m m S S 23-成等比数列．图示：444444444484444444444764434421Λ4434421Λ444344421Λm mm m m m S S S m m S S m m S m a a a a a a a a 323231221321-+-+++++++++++2．等比数列判定：④求和法：()1-=n n q A S ． 3.数列前n 项和重要公式：2)1(321+=+++n n n Λ； 6)12)(1(3212222++=+++n n n n Λ； 2333)]1(21[21+=++n n n Λ 二：例题例1． 某商场今年销售计算机5000台，如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%，那么从今年起，大约几年可使总销售量达到30000台（结果保留到个位）？例2：一个等比数列前n 项的和为,48=n S 前n 2项之和602=n S ，求n S 3．例3．求和：n n n S 333323132⋅++⋅+⋅+⋅=Λ．三：练习1.计算机是将信息转换成二进制数进行处理的，二进制即“ 逢二进一”.如()21101 表示二进制的数， 将它转 换成十进制的形式是321⨯+221⨯+120⨯+021⨯= 13 ，那么将二进制数()211111111转换成十进制的形式是（ ）. A. 92- 2 B. 82- 1 C. 82 - 2 D. 72 - 12、一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为（ ）A ．180B ．108C ．75D ．633.已知等比数列{a n }中,前n 项和S n =54,S 2n =60,则S 3n 等于 A.64 B.66 C.3260 D.32664.设n S 是数列{}n a 的前n 项的和，且2n S n =，则{}n a 是（ ）A.等比数列，但不是等差数列B.等差数列，但不是等比数列C.等差数列，且是等比数列D.既不是等差数列也不是等比数列5.在等比数列｛a n ｝中, S 4= 1，S 8= 3,则a 17+ a 18+ a 19+ a 20的值等于（ ）A.12B.14C.16D.186、已知数列{}n a 的前n 项和为()20,0nn S b a a b =⨯+≠≠．若数列{}n a 是等比数列，则a 、b 应满足的条件为（ ）A ．0a b -=B ．0a b -≠C ．0a b +=D ．0a b +≠7.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项的倒数之和为n T ，则n nS T 的值为（ ） A ．1n a a B ．1n a a C ．1n n n a a D ．1n n a a ⎛⎫ ⎪⎝⎭8、某林厂年初有森林木材存量S 3m ，木材以每年25％的增长率生长，而每年末要砍伐固定的木材量x 3m ，为实现经过两年砍伐后的木材的存量增加50％，则x 的值是（ ）A ．32SB ．34S C ．36S D ．38S 9.设数列{}n a 为ΛΛΛ1324,3,2,1-n nx x x x ()0≠x 求此数列前n 项的和．。

第2课时等比数列的性质Q情景引入ing jing yin ru1915年，波兰数学家谢尔宾斯基(W.Sierpinski)创造了一个美妙的“艺术品”，被人们称为谢尔宾斯基三角形，如图所示．如果我们来看一看图中那些白色三角形的个数，并把它们按面积大小，从小到大依次排列起来，可以得到一列数：1,3,9,27,81，……我们知道这是一个等比数列，那么，等比数列中，有什么特殊的性质呢？X新知导学in zhi dao xue1．等比数列的性质：(1)通项公式的推广：a n＝a m·q n－m (m、n∈N＋)．(2)公比为q的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m，所得数列是等比数列，公比为q .(3)若{a n}是等比数列，且m＋n＝p＋q，m、n、p、q∈N＋，则a m·a n＝a p·a q .(4)若等比数列{a n}的公比为q，则{1a n }是以1q为公比的等比数列．(5)一组等比数列{a n}中，下标成等差数列的项构成等比数列 .(6)若{a n}与{b n}均为等比数列，则{a n b n}为等比数列 .(7)公比为q的等比数列，按m项分组，每m项之和(和不为0)组成一个新数列，仍是等比数列，其公比为q m .(8){a n}是等差数列，c是正数，则数列{ca n}是等比数列．(9){a n}是等比数列，且a n>0，则{log a a n}(a>0，a≠1)是等差数列．2．等比数列中的设项方法与技巧(1)若三个数成等比数列，可设三个数为a，aq，aq2或aq，a，aq.(2)若四个数成等比数列，可设 a ，aq ，aq 2，aq 3；若四个数均为正(负)数，可设a q 3，a q，aq ，aq 3. Y 预习自测u xi zi ce1．在等比数列{a n }中，若 a 6＝6，a 9＝9，则a 3等于( A ) A ．4 B ．32 C ．169D ．3[解析] 解法一：∵a 6＝a 3·q 3， ∴a 3·q 3＝6.a 9＝a 6·q 3，∴q 3＝96＝32.∴a 3＝6q 3＝6×23＝4.解法二：由等比数列的性质，得a 26＝a 3·a 9， ∴36＝9a 3，∴a 3＝4.2．在等比数列{a n }中，a 4＋a 5＝10，a 6＋a 7＝20，则a 8＋a 9等于( D ) A ．90 B ．30 C ．70 D ．40[解析] ∵q 2＝a 6＋a 7a 4＋a 5＝2， ∴a 8＋a 9＝(a 6＋a 7)q 2＝20q 2＝40.3．如果数列{a n }是等比数列，那么( A ) A ．数列{a 2n }是等比数列 B ．数列{2a n }是等比数列 C ．数列{lg a n }是等比数列 D ．数列{na n }是等比数列[解析] 数列{a 2n }是等比数列，公比为q 2，故选A ． 4．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 9＝9，则a 5＝ 3 . [解析] 由a 25＝a 1·a 9，∴a 25＝9，∴a 5＝±3. 而a 1、a 9均为正值，故a 5也为正值，∴a 5＝3.5．已知等比数列{a n }中，a 4＝7，a 6＝21，则a 12＝ 567 . [解析] 解法一：可知a 4、a 6、a 8、a 10、a 12成等比数列．其公比为 a 6a 4＝217＝3，所以a 12＝a 4·35－1＝7×34＝567.解法二：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 6a 4＝q 2＝3. ∴a 12＝a 4·q 8＝7×34＝567.解法三：由⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝7，a 6＝21，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝7，a 1q 5＝21，两式相比得q 2＝3.∴a 12＝a 1·q 11＝(a 1·q 5)·q 6＝a 6·(q 2)3＝21×33＝567.H 互动探究解疑u dong tan jiu jie yi命题方向1 ⇨运用等比数列性质解题例题1 在等比数列{a n }中，若a 2＝2，a 6＝162，求a 10.[分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项公式，求得q ，再求a 10. [解析] 解法一：设公比为q ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2a 1q 5＝162，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝23q ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－23q ＝－3.∴a 10＝a 1q 9＝23×39＝13 122或a 10＝a 1q 9＝－23×(－3)9＝13 122.解法二：∵a 6＝a 2q 4，∴q 4＝a 6a 2＝1622＝81，∴a 10＝a 6q 4＝162×81＝13 122.解法三：在等比数列中，由a 26＝a 2·a 10得a 10＝a 26a 2＝16222＝13 122.『规律总结』 比较上述三种解法，可看出解法二、解法三利用等比数列的性质求解，使问题变得简单、明了，因此要熟练掌握等比数列的性质，在解有关等比数列的问题时，要注意等比数列性质的应用．〔跟踪练习1〕(1)若1，a 1，a 2,4成等差数列；1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1－a 2b 2的值等于( A ) A ．－12B ．12C ．±12D ．14(2)若等比数列{a n } 的各项均为正数，且a 10·a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ 50 .[解析] (1)∵1，a 1，a 2,4成等差数列， 3(a 2－a 1)＝4－1， ∴a 2－a 1＝1.又∵1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，设其公比为q ，则b 22＝1×4＝4，且b 2＝1×q 2>0， ∴b 2＝2， ∴a 1－a 2b 2＝－a 2－a 1b 2＝－12. (2)因为等比数列{a n }中，a 10·a 11＝a 9·a 12， 所以由a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，可解得a 10·a 11＝e 5. 所以ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝ln(a 1·a 2·…·a 20) ＝ln(a 10·a 11)10＝10ln(a 10·a 11) ＝10·lne 5＝50.命题方向2 ⇨对称法设未知项例题2 已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，首尾两个数之积为－128，求这四个数．[分析] 求四个数，给出四个条件，若列四个方程组成方程组虽可解，但较麻烦，因此可依据条件减少未知数的个数．设未知数时，可以根据前三个数成等差来设，也可以依据后三个数成等比来设，还可以依据中间(或首尾)两数之积来设，关键是要把握住未知量要尽量少，下一步运算要简捷．[解析] 设四个数为2a q －a 、aq、a 、aq ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2q ＝162aq－a ·aq ＝－128，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝8q ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－8q ＝4.因此所求的四个数为－4,2,8,32或4，－2，－8，－32.『规律总结』 (1)根据四个数中前3个成等差、后三个成等比列方程时，可以据后三个成等比用a 、q 表示四个数，也可以据前三个成等差，用a 、d 表示四个数，由于中间两数之积为16，将中间两个数设为aq，aq 这样既可使未知量减少，同时解方程也较为方便．(2)注意到中间两数的特殊地位，可设第三个数为x ，则第二个数为16x ，则第一个数为32x－x ，最后一个数为x 316，再利用首尾两数之和为－128可列出关于x 的方程x 316·⎝ ⎛⎭⎪⎫32x －x ＝－128，解之得x ＝±8，则更简捷．〔跟踪练习2〕有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，则这四个数为多少．[解析] 解法一：设四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，a ＋d2a ，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a －d ＋a ＋d 2a ＝16，a ＋a ＋d ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4d ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝9.d ＝－6.所以，当a ＝4，d ＝4时， 所求四个数为0,4,8,16. 当a ＝9，d ＝－6时， 所求四个数为15,9,3,1.故所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.解法二：设四个数依次为2a q －a ，aq，a ，aq (a ≠0)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧2a q －a ＋aq ＝16，aq ＋a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝13，a ＝3.当q ＝2，a ＝8时，所求四个数为0,4,8,16. 当q ＝13，a ＝3时，所求四个数为15,9,3,1.解法三：设四个数依次为x ，y,12－y,16－x ，由条件有⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋12－y ，12－y2＝y ·16－x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝9.故所求四个数为0,4,8,16，或15,9,3,1.命题方向3 ⇨有关等比数列的开放探究题例题3 已知数列{a n }是各项为正数的等比数列，数列{b n }定义为b n ＝1n[lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a n －1＋lg(ka n )]，是否存在实数k ，使得数列{b n }为等差数列？并证明你的结论．[分析] 先利用数列{a n }是等比数列，求出数列{b n }的通项公式，再求b n ＋1－b n ，看使它成为常数的条件是什么？[解析] 设数列{a n }的公比为q ，则a n ＝a 1qn －1，b n ＝1n[lg a 1＋lg(a 1q )＋lg(a 1q 2)＋…＋lg(ka 1q n －1)]，解得b n ＝1n [n lg a 1＋12n (n －1)lg q ＋lg k ]＝lg a 1＋12(n －1)lg q ＋1nlg k ，∴b n ＋1－b n ＝[lg a 1＋12n lg q ＋1n ＋1lg k ]－[lg a 1＋12(n －1)lg q ＋1nlg k ]＝12lg q －1n n ＋1lg k . 要使数列{b n }为等差数列，只需k ＝1， 故存在实数k ＝1，使得数列{b n }成为等差数列．『规律总结』 除了用假设法，也可以从寻求使它成立的条件入手，找到解决问题的突破口．下面的性质要熟悉：①若{a n }是等差数列，c 是正数，则数列{ca n }是等比数列；②若{a n }是等比数列，且a n >0，则{log a a n }(a >0，a ≠1)是等差数列，这两个基本性质反映了等差、等比数列可以互相转化．〔跟踪练习3〕在公差不为零的等差数列{a n }和等比数列{b n }中，已知a 1＝1，且a 1＝b 1，a 2＝b 2，a 8＝b 3. (1)求数列{a n }的公差d 和数列{b n }的公比q ；(2)是否存在常数a ，b 使得对一切正整数n ，都有a n ＝log a b n ＋b 成立？若存在，求出a 和b ；若不存在，说明理由．[解析] (1)由已知a 1＝b 1＝1，a 2＝b 2，a 8＝b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＝q1＋7d ＝q2，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝6d ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝1d ＝0(舍去)．(2)假设存在a ，b 使得a n ＝log a b n ＋b 成立， 即有1＋5(n －1)＝log a 6n －1＋b .整理，得(5－log a 6)n －(4＋b －log a 6)＝0. ∵a n ＝log a b n ＋b 对一切正整数n 恒成立．∴⎩⎪⎨⎪⎧5－log a 6＝04＋b －log a 6＝0，∴a ＝56，b ＝1.Y 易混易错警示i hun yi cuo jing shi例题4 四个实数成等比数列，且前三项之积为1，后三项之和为134，求这个等比数列的公比．[误解] 设这四个数为aq －3，aq －1，aq ，aq 3，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 3q －3＝1，①aq －1＋aq ＋aq 3＝134.②由①得a ＝q ，把a ＝q 代入②并整理，得4q 4＋4q 2－3＝0，解得q 2＝12或q 2＝－32(舍去)，故所求的公比为12.[辨析] 上述解法中，四个数成等比数列，设其公比为q 2，则公比为正数，但题设并无此条件，因此导致结果有误．[正解] 设四个数依次为a ，aq ，aq 2，aq 3，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧aq 3＝1，①aq ＋aq 2＋aq 3＝134.②由①得a ＝q －1，把a ＝q －1代入②并整理，得4q 2＋4q －3＝0，解得q ＝12或q ＝－32，故所求公比为12或－32.B 本节思维导图ei jie si wei dao tu等比数列的性质⎩⎪⎨⎪⎧等比数列的性质等比数列中的设项方法与技巧等差数列与等比数列的综合应用。

第2课时等比数列的性质学习目标1.理解等比数列的函数特性(数学抽象)2.掌握等比中项的定义并能应用定义解决问题(数学抽象)3.能在具体的问题情境中,发现数列的等比关系并解决相应的问题(逻辑推理)必备知识·自主学习导思1.等比数列{a n}中,若公比q>1,则数列{a n}是单调递增数列吗?2.任意两个数都有等差中项,任意两个数都有等比中项吗?1.等比数列的增减性(1)q<0时,{a n}是摆动数列.(2)0<q<1时,若a1>0,则{a n}是减数列,若a1<0,则{a n}是增数列.(3)q=1时,{a n}是常数列,不具有增减性.(4)q>1时,若a1>0,则{a n}是增数列,若a1<0,则{a n}是减数列.等比数列的公比对等比数列项的符号有怎样的影响?提示:由等比数列的定义可知:(1)当q=1时,等比数列是一个常数列,各项都等于首项a1.(2)当q=-1时,等比数列是一个摆动数列,奇数项为a1,偶数项为-a1.一般地,q>0时,等比数列各项的符号相同;q<0时,等比数列各项的符号正负交替. 2.等比中项(1)前提:在a与b中插入一个数G,使得a,G,b成等比数列.(2)结论:G叫作a,b的等比中项.(3)满足关系式:G2=ab.“G是a与b 的等比中项”的等价形式有哪些?提示:G是a与b 的等比中项,等价于a,G,b(或b,G,a)成等比数列,等价于G2=ab. 1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)等差数列的增减性只由公差决定,等比数列的增减性也只由公比决定.( )(2)任意两个数都有等差中项,也都有等比中项. ( )(3)等差中项是唯一的,等比中项也是唯一的. ( )(4)若G2=ab,则a,G,b一定成等比数列. ( )提示:(1)×.还必须考虑首项的符号.(2)×.只有两个同号的数才有等比中项.(3)×.若两个数有等比中项,一定是互为相反数的两个.(4)×.当a,G,b都不为零时,a,G,b才成等比数列.2.已知等比数列{a n},a1=1,a3=,则a5等于( )A.±B.-C.D.±【解析】选C.根据等比数列的性质可知,a1a5=,a5==.3.等比数列{a n}的公比q=-,a1=,则数列{a n}是()A.递增数列B.递减数列C.常数数列D.摆动数列【解析】选D.因为公比q=-<0,所以数列{a n}是摆动数列.4.(教材二次开发:习题改编)等比数列{a n}中,若a1=2,且{a n}是递增数列,则数列{a n}的公比q 的取值范围是.【解析】因为a1=2>0,要使{a n}是递增数列,则需公比q>1.答案:(1,+∞)关键能力·合作学习类型一等比数列性质的应用(逻辑推理)1.在等比数列{a n}中,a3=16,a1a2a3…a10=265,则a7等于.【解析】因为a1a2a3…a10=(a3a8)5=265,所以a3a8=213,又因为a3=16=24,所以a8=29.因为a8=a3·q5,所以q=2.所以a7==256.答案:2562.在各项均为正数的等比数列{a n}中,若a3a5=4,则a1a2a3a4a5a6a7= .【解析】因为a3a5==4,a n>0,所以a4=2.所以a1a2a3a4a5a6a7=(a1a7)·(a2a6)·(a3a5)·a4=43×2=128.答案:1283.(2020·余姚高一检测)已知等比数列,若a5=2,a9=32,则a4·a10=( )A.±16B.16C.±64D.64【解析】选D.因为为等比数列,且a5=2,a9=32,由等比数列的性质得,a4·a10=a5·a9=2×32=64.4.已知等比数列,满足log2a3+log2a10=1,且a3a6a8a11=16,则数列的公比为( )A.4B.2C.±2D.±4【解析】选B.等比数列中,log2a3+log2a10=1⇒log2(a3a10)=1⇒a3a10=2①,a3a6a8a11=16⇒=16,由等比数列各项正负性的性质可知:a3,a11同号,故a3a11=4②, ②除以①,得:等比数列的公比q==2.等比数列的常用性质性质1:通项公式的推广:a n=a m·q n-m(n,m∈N+).性质2:若{a n}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N+),则a k·a l=a m·a n.性质3:若{a n},{b n}(项数相同)是等比数列,则{λa n},,{},{a n·b n},仍是等比数列.类型二等比中项的应用(逻辑推理)【典例】三个正数成等差数列,它们的和等于15,如果它们分别加上1,3,9就成等比数列,求这三个数.【思路导引】设成等差数列的数为未知数,然后利用等比数列的知识建立方程组求解.另外,对本题若设所求三数为a,b,c,则列出三个方程求解,运算过程冗繁,因此在计算过程中,设的未知数个数应尽可能少.【解析】设所求之数为a-d,a,a+d,则由题设得解此方程组,得或又三个数为正数,所以d=2所以所求三数为3,5,7.应用等比中项解题的两个注意点(1)要证三个数a,G,b成等比数列,只需证明G2=ab,其中a,b,G均不为零.(2)已知等比数列中的相邻三项a n-1,a n,a n+1,则a n是a n-1与a n+1的等比中项,即=a n-1a n+1,运用等比中项解决问题,会大大减少运算过程.(2020·包头高一检测)已知等比数列满足a1=,a3a5=4,则a2= ( ) A.2 B.1 C. D.【解析】选C.由题意可得a3a5==4⇒a4=2,所以q3==8⇒q=2,故a2=a1q=.类型三等差数列与等比数列的综合应用(逻辑推理)角度1 求通项公式【典例】已知{a n}是各项均为正数的等差数列,公差为2.对任意的n∈N+,b n是a n和a n+1的等比中项.c n=-,n∈N+.(1)求证:数列{c n}是等差数列;(2)若c1=16,求数列{a n}的通项公式.【思路导引】(1)利用条件化简c n-c n-1=常数,证明{c n}为等差数列.(2)求得a1进而求a n.【解析】(1)因为=a n a n+1,所以c n-c n-1=(-)-(-)=(a n+1a n+2-a n a n+1)-(a n a n+1-a n-1a n)=a n+1(a n+2-a n)-a n(a n+1-a n-1)=a n+1·2d-a n·2d=2d(a n+1-a n)=2d2=8(常数),所以数列{c n}是等差数列.(2)c1=16,则-=16,所以a2·a3-a1a2=16,a2(a3-a1)=16,(a1+d)·2d=16,解得a1=2,所以a n=2+(n-1)·2=2n.已知数列{a n}为等差数列,a1,a2,a3成等比数列,a1=1,则a2 020= ( )A.5B.1C.0D.-1【解析】选B.设等差数列{a n}的公差为d,则由a1,a2,a3成等比数列得(1+d)2=1+2d,解得d=0,所以a2 020=a1=1.角度2 求前n项的和【典例】已知首项为的等比数列{a n}是递减数列,且a1,a2,2a3成等差数列;数列{b n}的前n 项和为S n,且S n=n2+n,n∈N+.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)已知c n=·log2a n,求数列的前n项和T n.【思路导引】(1)由a1,a2,2a3成等差数列求q,可得{a n}通项公式;由S n=n2+n,n∈N+利用b n=求得{b n}通项公式.(2)整理=,可用裂项相消法求和.【解析】(1)设等比数列{a n}的公比为q,由题知a1=,又因为a1,a2,2a3成等差数列,所以3a2=a1+2a3,所以q=+q2,解得q=1或q=.又由{a n}是递减数列,所以q=.所以a n=a1q n-1=,当n=1时,b1=2,当n≥2时,b n=S n-S n-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n.又b1=2满足该式,所以数列{b n}的通项公式为b n=2n(n∈N+).(2)由于c n=·log2a n=-n(n+1),所以==-,所以T n=-=-=-,故T n=-(n∈N+).求解等差、等比数列综合问题的技巧(1)理清各数列的基本特征量,明确两个数列间各量的关系.(2)发挥两个数列的基本量a1,d或a1,q的作用,并用好方程这一工具.(3)结合题设条件对求出的量进行必要的检验.1.在等比数列{a n}中,若a7=-2,则此数列的前13项之积等于.【解析】因为{a n}是等比数列,所以a1a13=a2a12=a3a11=a4a10=a5a9=a6a8=,所以a1a2a3…a13=()6·a7=,又a7=-2,所以a1a2a3…a13=(-2)13=-213.答案:-2132.已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比数列,则的值为. 【解析】因为a1,a3,a9成等比数列,所以=a1·a9;所以(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得d=a1,所以===.答案:3.已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令b n=(-1)n-1,求数列{b n}的前n项和T n.【解析】(1)因为S1=a1,S2=2a1+×2=2a1+2,S4=4a1+×2=4a1+12,由题意,得(2a1+2)2=a1(4a1+12),解得a1=1,所以a n=2n-1.(2)b n=(-1)n-1=(-1)n-1=(-1)n-1,当n为偶数时,T n=-+…+-=1-=;当n为奇数时,T n=-+…-+=1+=,所以T n=.课堂检测·素养达标1.等比数列{a n}中,a2=4,a7=,则a3a6+a4a5的值是 ( )A.1B.2C.D.【解析】选C.a3a6=a4a5=a2a7=4×=,所以a3a6+a4a5=.2.公比为的等比数列{a n}的各项都是正数,且a3a11=16,则log2a16= ( )A.4B.5C.6D.7【解析】选B.a3a11=16⇔=16⇔a7=4⇒a16=a7×q9=32⇔log2a16=5.3.已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2= .【解析】由已知,a3=a1+4,a4=a1+6.因为a1,a3,a4成等比数列,所以=a1a4,所以(a1+4)2=(a1+6)a1,解得a1=-8,所以a2=-6.答案:-64.在1与2之间插入6个正数,使这8个数成等比数列,则插入的6个数的积为. 【解析】设这8个数组成的等比数列为{a n},则a1=1,a8=2.插入的6个数的积为a2a3a4a5a6a7=(a2a7)·(a3a6)·(a4a5)=(a1a8)3=23=8.答案:85.(教材二次开发:习题改编)已知数列为等比数列,其中a5,a9为方程x2+2 019x+9=0的两个根,则a7的值为( )A.-3B.3C.±3D.9【解题指南】由根与系数的关系求得a5a9,再利用等比数列的下标和性质,即可求得a7.【解析】选 A.因为a5,a9为方程x2+2 019x+9=0的两个根,故可得a5a9=9,a5+a9=-2 019,故a5<0,a9<0,根据等比数列的下标和性质a5a9==9,解得a7=±3.又因为a7=a5q2,a5<0,故可得a7<0,故a7=-3.6.设{a n}是各项均为正数的等比数列,b n=log2a n,若b1+b2+b3=3,b1·b2·b3=-3,求此等比数列的通项公式a n.【解析】由b1+b2+b3=3,得log2(a1· a2·a3)=3,所以a1·a2·a3=23=8,因为=a1·a3,所以a2=2,又b1·b2·b3=-3,设等比数列{a n}的公比为q,则log2·log2(2q)=-3.解得q=4或,所以所求等比数列{a n}的通项公式为a n=a2·q n-2=22n-3或a n=25-2n.。