等比数列教学设计(共2课时)

4.3.1 等比数列的概念(第2课时)素养目标学科素养1.能够根据等比数列的定义和通项公式推出等比数列的常用性质．2．能够运用等比数列的性质解决有关问题．(重点)3．能够运用等比数列的知识解决简单的实际问题.1.数学运算； 2．逻辑推理情境导学一组有趣的对话，折了38次的纸，最后一次的厚度可是一个庞大的数字哦！1．等比数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ·a n ＝a p ·a q ； 若m ＋n ＝2k (m ，n ，k ∈N *)，则a 2k ＝a m ·a n . (2)若数列{a n }是等比数列，则{|a n |}，{a 2n}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 仍为等比数列．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)在等比数列{a n }中，若a m a n ＝a p a q ，则m ＋n ＝p ＋q .(×)(2)若数列{a n }，{b n }都是等比数列，则数列{a n ＋b n }也一定是等比数列．(×) (3)若数列{a n }是等比数列，则{λa n }也是等比数列．(×)2．等比数列性质的应用一般来说，当三个数成等比数列时，可设这三个数分别为a ，aq ，aq 2或aq ，a ，aq ，此时公比为q ；当四个数成等比数列时，可设这四个数分别为a ，aq ，aq 2，aq 3(公比为q )，当四个数均为正(负)数时，可设为a q 3，aq，aq ，aq 3(公比为q 2)．(1)在等比数列{a n }中，若a 1＝19，a 4＝3，则该数列前五项的积为__1__.(2)已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，则这三个数是1,3,9或－1,3，－9或9,3,1或－9,3，－1.1．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列 D ．a 3，a 6，a 9成等比数列D 解析：当下标成等差数列时，对应的项成等比数列． 2．在等比数列{a n }中，若a 2a 8＝9，则a 3a 7＝( ) A ．3 B ．±3 C ．9D ．±9C 解析：∵2＋8＝3＋7，∴a 3a 7＝a 2a 8＝9.3．在等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3，a 6a 7a 8＝24，则a 9a 10a 11＝( ) A ．48 B ．72 C ．144D ．192D 解析：∵a 6a 7a 8a 3a 4a 5＝q 9＝8(q 为公比)，∴a 9a 10a 11＝a 6a 7a 8q 9＝24×8＝192.4．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 4a 5a 6＝3，则log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9的值为________．43 解析：因为a 4a 6＝a 25，所以a 4a 5a 6＝a 35＝3，解得a 5＝313.因为a 1a 9＝a 2a 8＝a 25，所以log 3a 1＋log 3a 2＋log 3a 8＋log 3a 9＝log 3(a 1a 2a 8a 9)＝log 3a 45＝log 3343＝43. 5．在等比数列{a n }中，a 9＋a 10＝a (a ≠0)，a 19＋a 20＝b ，则a 99＋a 100＝________.b 9a 8 解析：因为a 19＋a 20＝a 9q 10＋a 10q 10＝(a 9＋a 10)q 10＝aq 10＝b ，所以q 10＝b a ，a 99＋a 100＝q 90(a 9＋a 10)＝a ⎝⎛⎭⎫b a 9＝b 9a 8.【例1】(1)在等比数列{a n }中，若a 3＝12，a 9＝2，则a 15＝________.(2)已知公比为q 的等比数列{a n }，a 5＋a 9＝q ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为________． (3)在等比数列{a n }中，a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，则a 20a 10等于________．(1)8 (2)1 (3)32或23解析：(1)∵a 3a 15＝a 29，∴a 15＝a 29a 3＝2212＝8.(2)∵a 5＋a 9＝q ，∴a 4＋a 8＝1，∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝1.(3)设公比为q .∵a 7a 11＝a 4a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝2，a 14＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝3，a 14＝2，∴q 10＝a 14a 4＝32或23，∴a 20a 10＝q 10＝32或23.等比数列的常用性质：(1)设{a n }为等比数列，m ，n ，p ，q ∈N *，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q .若m ＋n ＝2p ，则a m a n ＝a 2p .(2)若{a n }为等比数列，m ，n ∈N *，则a m a n ＝q m －n .(3)若{a n }为等比数列，则数列{a 2n }为等比数列．(4)若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是公比为1q 的等比数列．(5)等比数列{a n }中，每隔k 项取出一项，按原来的顺序排列，所得数列仍为等比数列，且公比为q k ＋1.在等比数列{a n }中，a 2＋a 5＝18，a 3·a 4＝45，求a n .解：设等比数列{a n }的公比为q .根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2a 5＝a 3a 4＝45，a 2＋a 5＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝3，a 5＝15或⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝15，a 5＝3.∴q ＝513或q ＝5－13.∴a n ＝3×5n －23或a n ＝3×55－n 3.【例2】2017年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a 和25a ，甲林场木材存量每年比上一年递增25%，而乙林场木材存量每年比上一年递减20%. (1)哪一年两林场木材的总存量相等？ (2)两林场木材的总量到2021年能否翻一番？ 解：(1)由题意可得16a (1＋25%)n －1＝25a (1－20%)n －1， 解得n ＝2，故到2019年两林场木材的总存量相等．(2)令n ＝5，则a 5＝16a ⎝⎛⎭⎫544＋25a ⎝⎛⎭⎫454<2(16a ＋25a )， 故到2021年不能翻一番．一般地，涉及产值增长率、银行利息、细胞繁殖等实际问题时，往往与等比数列有关，可建立等比数列模型进行求解．一种专门占据内存的计算机病毒开始时占据内存2 KB ，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占内存是原来的2倍，那么开机后________分钟，该病毒占据内存64 MB(1 MB ＝210 KB)．45 解析：3分钟后占据内存22 KB ，两个3分钟后占据内存23 KB ，三个3分钟后占据内存24 KB ，……，n 个3分钟后占据内存为2n ＋1 KB ．令2n ＋1＝64×210＝216，得n ＝15.所以15×3＝45(分钟)，故开机后45分钟，该病毒占据内存64 MB ．探究题1 已知数列{a n }是公差为2的等差数列，且a 1，a 2，a 5成等比数列，则a 2的值为( ) A ．3 B ．－3 C ．2D ．－2A 解析：∵a 1，a 2，a 5成等比数列， ∴a 22＝a 1a 5＝(a 2－2)(a 2＋6)，解得a 2＝3.探究题2 已知等比数列{a n }，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( )A ．3＋2 2B ．1－ 2C ．1＋ 2D ．3－2 2 A 解析：∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴a 3＝a 1＋2a 2.∴a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，即q 2－2q －1＝0， ∴q ＝1±2.∵a n >0，∴q ＝1＋ 2.∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝(a 7＋a 8)q 2a 7＋a 8＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 探究题3 有四个实数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，前三个数之积为27，中间两个数之和为9，求这四个数．解：(方法一)设前三个数分别为aq ，a ，aq (a ≠0)，则第四个数为2aq －a .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a q ·a ·qa ＝27，a ＋aq ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，q ＝2，∴这四个数分别为32，3,6,9.(方法二)设后三个数分别为a －d ，a ，a ＋d (a ≠0)，则第一个数为(a －d )2a.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(a －d )2a (a －d )a ＝27，a －d ＋a ＝9，化简得⎩⎪⎨⎪⎧ a －d ＝3，2a －d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝6，d ＝3，∴这四个数分别为32，3,6,9.(方法三)设前三个数分别为a ，aq ，aq 2(a ≠0)，则第四个数应为2aq 2－aq .由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ·aq ·aq 2＝27，aq ＋aq 2＝9，化简得⎩⎪⎨⎪⎧aq ＝3，aq (1＋q )＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，q ＝2，∴这四个数分别为32，3,6,9.探究题4 三个互不相等的实数成等差数列，如果适当安排这三个数，又可以成等比数列，且这三个数的和为6，求这三个数．解：由题意，这三个数成等差数列，可设这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d .∵a －d ＋a ＋a ＋d ＝6，∴a ＝2，即三个数分别为2－d,2,2＋d .①若2－d 为等比中项，则有(2－d )2＝2(2＋d )， 解得d ＝6或d ＝0(舍去)，此时三个数为－4,2,8. ②若2＋d 是等比中项，则有(2＋d )2＝2(2－d )， 解得d ＝－6或d ＝0(舍去)，此时三个数为8,2，－4. ③若2为等比中项，则有22＝(2＋d )(2－d )， 解得d ＝0(舍去)．综上可知，这三个数是－4,2,8或8,2，－4.探究题5 数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)． (1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1， 可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减，得a n ＋1－a n ＝2a n ，a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又∵a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， ∴a n ＝3n －1.(2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，得b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5， 故b 1＝5－d ，b 3＝5＋d . 又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2， 解得d 1＝2，d 2＝－10. ∵等差数列{b n }的各项为正， ∴d >0， ∴d ＝2，∴b 1＝3.∴T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .巧设等差数列、等比数列的方法：(1)若三个数成等差数列，常设成a －d ，a ，a ＋d ；若三个数成等比数列，常设成aq ，a ，aq或a ，aq ，aq 2(a ≠0，q ≠0)．(2)若四个数成等比数列，可设为aq，a ，aq ，aq 2(a ≠0，q ≠0)．等差数列{a n }中，a 4＝10且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20. 解：设等差数列{a n }的公差为d ，则 a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ， a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d .由a 3，a 6，a 10成等比数列得，a 3a 10＝a 26， 即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2， 整理得10d 2－10d ＝0， 解得d ＝0或d ＝1.当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7， S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.因此，S 20＝200或S 20＝330.1．在等比数列{a n }中，a 3＝－9，a 7＝－1，则a 5的值为( ) A ．3或－3 B ．3 C ．－3D ．不存在C 解析：a 25＝a 3·a 7＝9，所以a 5＝－3或a 5＝3(舍去)． 2．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 8＝( ) A ．243 B ．128 C ．81D ．64B 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，∴q ＝a 2＋a 3a 1＋a 2＝63＝2，∴a 1＋a 2＝3a 1＝3，即a 1＝1，∴a 8＝a 1q 7＝128.3．等比数列{a n }不具有单调性，且a 5是a 4和3a 3的等差中项，则数列{a n }的公比q ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－2D ．－3 A 解析：∵a 5是a 4和3a 3的等差中项，∴2a 5＝a 4＋3a 3，得2a 1q 4＝a 1q 3＋3a 1q 2，解得q ＝32或q ＝－1.又等比数列{a n }不具有单调性，故q ＝－1.故选A ．4．等比数列{a n }的各项均为正数，公比q ≠1，设P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)，Q ＝log 0.5a 3＋a 92，则P 与Q 的大小关系是( ) A ．P ≥Q B ．P <Q C ．P ≤QD ．P >QD 解析： P ＝12(log 0.5a 5＋log 0.5a 7)＝log 0.5a 5a 7＝log 0.5a 6，Q ＝log 0.5a 3＋a 92≤log 0.5a 3a 9＝log 0.5a 6 (当且仅当a 3＝a 9时取等号)． ∵{a n }各项均为正数且q ≠1，∴a 3≠a 9， ∴Q <log 0.5a 6.∴P >Q .故选D ．5．设{a n }是等比数列，a 1＝1，a 3＝34a 2.求{a n }的通项公式．解：设等比数列{a n }的公比为q ，则q ＝a 3a 2＝34.因为a 1＝1，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫34n －1.1．等比数列的性质及其应用一方面，等比数列的性质要与等差数列的性质对比记忆，加深理解并作区分；另一方面，等比数列一般运算量大，巧用等比数列的性质，减少计算量这一点很重要．2．等比数列各项之间可由公比建立关系，在三个(四个)数成等比数列问题中，应注意灵活设项．课时分层作业(八) 等比数列的概念(第2课时)(60分钟 110分) 基础对点练基础考点 分组训练知识点1 等比数列的性质1．(5分)公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝8，若a 2a m ＝4，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10D ．11B 解析：∵公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝8，∴a 5a 6＝a 4a 7＝4. ∵a 2·a m ＝4，∴2＋m ＝5＋6＝11，解得m ＝9.故选B ．2．(5分)已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 3a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( ) A ．12B ．22C ． 2D ．2B 解析：∵a 3a 9＝a 26，∴a 6＝2a 5，∴q ＝ 2. ∵a 2＝a 1q ＝1，∴a 1＝22. 3．(5分)在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则该数列的前13项的乘积等于( ) A ．－213 B ．213 C ．26D ．－26A 解析：a 1·a 2·…·a 13＝(a 7)13＝(－2)13＝－213. 知识点2 等比数列的实际应用4．(5分)一张报纸的厚度为a ，面积为b ，现将此报纸对折(沿对边中点连线折叠)7次，这时报纸的厚度和面积分别为( ) A ．8a ，18bB ．64a ，164bC ．128a ，1128bD ．256a ，1256bC 解析：对折后，报纸的厚度和面积也依次成等比数列，公比分别为2和12， ∴对折7次后的厚度为27·a ＝128a ，面积为⎝⎛⎭⎫127·b ＝b 128. 5．(5分)某工厂去年产值为a ，计划10年内每年比上一年产值增长10%，那么从今年起第几年这个工厂的产值将超过2a ？( )A ．6B ．7C ．8D ．9C 解析：由题意知每年的产值构成以1.1a 为首项，公比为1.1的等比数列，则a n ＝a ·1.1n . ∴a ·1.1n >2a .∵1.17<2,1.18>2，∴n ＝8.知识点3 等比数列的综合应用6．(5分)已知等差数列{a n }的首项a 1和公差d 均不为零，且a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝( )A ．6B ．5C ．4D ．3D 解析：∵a 2，a 4，a 8成等比数列，∴a 24＝a 2a 8，∴(a 1＋3d )2＝(a 1＋d )(a 1＋7d )，∴d 2＝a 1d .又d ≠0，a 1≠0，∴d ＝a 1，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝na 1≠0，∴a 1＋a 5＋a 9a 2＋a 3＝a 1＋5a 1＋9a 12a 1＋3a 1＝3.故选D ． 7．(5分)已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则数列{a n }前6项的和为( )A ．－20B ．－18C ．－16D ．－14B 解析：∵a 1，a 3，a 4成等比数列，∴a 23＝a 1·a 4.∴(a 1＋4)2＝a 1·(a 1＋6)．∴a 1＝－8.∴S 6＝6×(－8)＋6×5×22＝－18. 8．(5分)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值为( )A ．－5B ．－15C ．5D ．15A 解析：∵log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1，∴log 3a n ＋1－log 3a n ＝1，∴log 3a n ＋1a n ＝1， ∴a n ＋1a n＝3，∴{a n }是等比数列，公比为3. ∴log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 13[(a 2＋a 4＋a 6)·q 3]＝log 13(9×27)＝－5. 9．(5分)已知数列{a n }是公比为2的等比数列，满足a 6＝a 2a 10.设等差数列{b n }的前n 项和为S n ，若b 9＝2a 7，则S 17＝( )A ．34B ．39C ．51D ．68D 解析：∵a 6＝a 2a 10＝a 26， ∴a 6＝1.∴a 7＝2a 6＝2.∴b 9＝4.∴S 17＝17(b 1＋b 17)2＝17b 9＝17×4＝68. 能力提升练能力考点 拓展提升10.(5分)在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ≠±1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12C 解析：∵a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 53＝q 10＝a 11，∴m ＝11.11．(5分)已知等比数列{a n }满足a 1＝3，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，则a 3＋a 4＋a 5等于( )A ．33B ．84C ．72D ．189B 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由4a 1,2a 2，a 3成等差数列，得4a 1＋a 3＝4a 2，即12＋3q 2＝4×3q ，解得q ＝2，∴a 3＋a 4＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 3＋a 1q 4＝3×(22＋23＋24)＝84.12．(5分)(多选)在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则( )A ．q 2＝3B ．a 32＝4C ．a 4a 6＝2 3D ．n ＝14BD 解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，a 32＝4，a 35＝12，AC 不正确．又a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14.故选BD ．13.(5分)已知数列{a n }是等比数列，且a 3＋a 5＝18，a 9＋a 11＝144，则a 6＋a 8＝________.±362 解析：设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 9＋a 11a 3＋a 5＝q 6＝14418＝8， ∴q 3＝±2 2.∴a 6＋a 8＝(a 3＋a 5)·q 3＝18×(±22)＝±36 2.14.(5分)公差不为零的等差数列{a n }中，2a 3－a 27＋2a 11＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 6b 8＝________.16 解析：∵2a 3－a 27＋2a 11＝2(a 3＋a 11)－a 27＝4a 7－a 27＝0，b 7＝a 7≠0，∴b 7＝a 7＝4.∴b 6b 8＝b 27＝16.15.(10分)设公比不为1的等比数列{a n }满足a 1a 2a 3＝－18，且a 2，a 4，a 3成等差数列，求a 1.解：设{a n }的公比为q (q ≠1)，∵a 1a 2a 3＝a 32＝－18，∴a 2＝－12. ∵a 2，a 4，a 3成等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 3.∴2×⎝⎛⎭⎫－12·q 2＝－12＋⎝⎛⎭⎫－12·q ， 解得q ＝－12或q ＝1(舍)． ∴a 1＝a 2q＝1. 16.(10分)已知四个数成等比数列，其乘积为1，第2项与第3项之和为－32，求这四个数．解：设四个数依次为a ，aq ，aq 2，aq 3，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 4q 6＝1，aq (1＋q )＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－18，q ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，q ＝－14.故所求四个数依次为－18，12，－2,8或8，－2，12，－18. 17.(10分)已知数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列．(1)求证：当0<q <1时，{a n }是递减数列．(2)若对任意k ∈N *，都有a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列，求q 的值．(1)证明：∵a n ＝q n －1，∴a n ＋1－a n ＝q n －q n －1＝q n －1(q －1)．当0<q <1时有q n －1>0，q －1<0，∴a n ＋1－a n <0，∴{a n }为递减数列．(2)解：∵a k ，a k ＋2，a k ＋1成等差数列， ∴2a k ＋2＝a k ＋a k ＋1.∴2q k ＋1－(q k －1＋q k )＝0，即q k －1·(2q 2－q －1)＝0.∵q ≠0，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12. 18.(10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2，且b n ＝a n ＋1－2a n .(1)求证：数列{b n }是等比数列．(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明：由S n ＋1＝4a n ＋2，S n ＋2＝4a n ＋1＋2，两式相减，得 S n ＋2－S n ＋1＝4(a n ＋1－a n )，即a n ＋2＝4a n ＋1－4a n ， ∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－2a n ＋1a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－4a n －2a n ＋1a n ＋1－2a n＝2. 当n ＝1时，由S 2＝4a 1＋2得a 2＝5， ∴b 1＝a 2－2a 1＝3，∴{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．(2)解：由(1)知等比数列{b n }中，首项b 1＝3，公比q ＝2，∴a n ＋1－2a n ＝3×2n －1，则a n ＋12n ＋1－a n 2n ＝34， ∴因此数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为12，公差为34的等差数列， ∴a n 2n ＝12＋(n －1)×34＝34n －14， ∴a n ＝(3n －1)·2n －2.。

等比数列教学目标：灵活应用等比数列的定义及通项公式，深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；提高学生的数学素质，增强学生的应用意识. 教学重点：1.等比中项的理解与应用.2.等比数列定义及通项公式的应用. 教学难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题. 教学过程： Ⅰ.复习回顾等比数列定义，等比数列通项公式 Ⅱ.讲授新课根据定义、通项公式，再与等差数列对照，看等比数列具有哪些性质?(1)若a ，A ，b 成等差数列⇔a ＝a ＋b2，A 为等差中项.那么，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ,G ，b 成等比数列，…… 则即G a ＝b G，即G 2＝ab反之，若G 2＝ab ，则G a ＝b G，即a ，G ，b 成等比数列∴a ，G ，b 成等比数列⇔G 2＝ab (a ·b ≠0)总之，如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么称这个数G 为a与b 的等比中项.即G ＝±ab ，(a ，b 同号)另外，在等差数列中，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，那么，在等比数列中呢？由通项公式可得：a m ＝a 1q m －1，a n ＝a 1q n －1，a p ＝a 1q p －1，a q ＝a 1·q q －1不难发现：a m ·a n ＝a 12q m +n －2，a p ·a q ＝a 12q p +q －2若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q下面看应用这些性质可以解决哪些问题?［例1］在等比数列{a n }中，若a 3·a 5＝100，求a 4.分析：由等比数列性质，若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q 可得：解：∵在等比数列中，∴a 3·a 5＝a 42又∵a 3·a 5＝100，∴a 4＝±10.［例2］已知{a n }、{b n }是项数相同的等比数列，求证{a n ·b n }是等比数列. 分析：由等比数列定义及通项公式求得.解：设数列{a n }的首项是a 1，公比为p ；{b n }的首项为b 1，公比为q .则数列{a n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1p n －1，a 1p n数列{b n }的第n 项与第n ＋1项分别为b 1q n －1，b 1q n.数列{a n ·b n }的第n 项与第n ＋1项分别为a 1·p n －1·b 1·qn －1与a 1·p n ·b 1·q n，即为a 1b 1(pq )n －1与a 1b 1(pq )n∵a n +1a n ·b n +1b n ＝a 1b 1（pq ）n a 1b 1（pq ）n －1＝pq 它是一个与n 无关的常数，∴{a n ·b n }是一个以pq 为公比的等比数列.特别地，如果{a n }是等比数列，c 是不等于0的常数，那么数列{c ·a n }是等比数列. ［例3］三个数成等比数列，它们的和等于14，它们的积等于64，求这三个数. 解：设m ，G ，n 为此三数由已知得：m ＋n ＋G ＝14，m ·n ·G ＝64，又∵G 2＝m ·n ，∴G 3＝64，∴G ＝4，∴m ＋n ＝10 ∴⎩⎨⎧m ＝2n ＝8或⎩⎨⎧m ＝8n ＝2即这三个数为2，4，8或8，4，2.评述：结合已知条件与定义、通项公式、性质，选择解题捷径. Ⅲ.课堂练习课本P 50练习1，2，3，4，5. Ⅳ.课时小结本节主要内容为：(1)若a ，G ，b 成等比数列，则G 2＝ab ，G 叫做a 与b 的等比中项. (2)若在等比数列中，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q Ⅴ.课后作业课本P 52习题 5，6，7，9等比数列(二)1．已知数列{a n }为等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于（ ）A.5B.10C.15D.202．在等比数列中，a 1＝1，q ∈R 且|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于 （ ）A.9B.10C.11D.12 3．非零实数x 、y 、z 成等差数列，x ＋1、y 、z 与x 、y 、z ＋2分别成等比数列，则y 等于（ ）A.10B.12C.14D.164．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.5．在数列{a n }和{b n }中，a n ＞0，b n ＞0，且a n ，b n ，a n +1成等差数列，b n ，a n +1，b n +1成等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＝3，求a n ∶b n 的值.6．设x ＞y ＞2，且x ＋y ，x －y ，xy ，y x能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数.等比数列(二)答案1．已知数列{a n }为等比数列，且a n ＞0，a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5的值等于（ ）A.5B.10C.15D.20分析：要确定一个等比数列，必须有两个独立条件，而这里只有一个条件，故用先确定基本量a 1和q ，再求a 3＋a 5的方法是不行的，而应寻求a 3＋a 5整体与已知条件之间的关系.解法一：设此等比数列的公比为q ，由条件得a 1q ·a 1q 3＋2a 1q 2·a 1q 4＋a 1q 3·a 1q 5＝25即a 12q 4(q 2＋1)2＝25，又a n ＞0，得q ＞0∴a 1q 2(q 2＋1）＝5a 3＋a 5＝a 1q 2＋a 1q 4＝a 1q 2(q 2＋1)＝5 解法二：∵a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25由等比数列性质得a 32＋2a 3a 5＋a 52＝25即(a 3＋a 5)2＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5评述：在运用方程思想方法的过程中，还要注意整体观念，善于利用等比数列的性质，以达到简化解题过程、快速求解的目的.2．在等比数列中，a 1＝1，q ∈R 且|q |≠1，若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m 等于 （ ）A.9B.10C.11D.12解：∵a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝a 15q 1+2+3+4＝a 15q 10＝a 15q 11－1又∵a 1＝1，∴a m ＝q 11－1，∴m ＝11. 答案：C 3．非零实数x 、y 、z 成等差数列，x ＋1、y 、z 与x 、y 、z ＋2分别成等比数列，则y 等于（ ）A.10B.12C.14D.16解：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋z y 2＝（x ＋1）z y 2＝x （z ＋2） ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2y ＝x ＋z y 2＝（x ＋1）z z ＝2x ⇒⎩⎨⎧2y ＝3x y 2＝（x ＋1）2x ⇒y ＝12答案：B4．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求此四数.解：设所求的四个数分别为a ，x －d ，x ，x ＋d则⎩⎪⎨⎪⎧（x －d ）2＝ax ①a ＋（x －d ）＋x ＝19 ②（x －d ）＋x ＋（x ＋d ）＝12③解得x ＝4，代入①、②得⎩⎨⎧（4－d ）2＝4a a －d ＝11解得⎩⎨⎧a ＝25d ＝14或⎩⎨⎧a ＝9d ＝－2故所求四个数为25，－10，4，18或9，6，4，2.5．在数列{a n }和{b n }中，a n ＞0，b n ＞0，且a n ，b n ，a n +1成等差数列，b n ，a n +1，b n +1成等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＝3，求a n ∶b n 的值.分析：关键是求出两个数列的通项公式.根据条件，应注意两个数列之间的联系及相互转换.解：由题意知：⎩⎨⎧2b n ＝a n ＋a n ＋1①a n ＋12＝b n b n ＋1②∴a n +1＝b n b n ＋1 ，a n ＝b n b n －1 (n ≥2) 代入①得2b n ＝b n b n ＋1 ＋b n b n －1 即2b n ＝b n ＋1 ＋b n －1 (n ≥2) ∴{b n }成等差数列，设公差为d又b 1＝2，b 2＝a 22b 1 ＝92 ，∴d ＝b 2 －b 1 ＝322－ 2 ＝22∴b n ＝ 2 ＋22（n －1）＝22（n ＋1），b n ＝12（n ＋1）2， 当n ≥2时，a n ＝b n b n －1 ＝n （n ＋1）2③ 且a 1＝1时适合于③式，故 a nb n＝nn ＋1.评述：对于通项公式有关系的两个数列的问题，一般采用消元法，先消去一个数列的项，并对只含另一个数列通项的关系进行恒等变形，构造一个新的数列.6．设x ＞y ＞2，且x ＋y ，x －y ，xy ，y x能按某种顺序构成等比数列，试求这个等比数列.分析：先由x ＞y ＞2，可知x －y ＜x ＋y ＜xy ，下来只需讨论 y x和x －y 的大小关系，分成两种情况讨论.解：∵x ＞y ＞2，x ＋y ＞x －y ，xy ＞x ＋y ，而 y x＜1＜x －y 当 y x ＜x －y 时，由 y x，x －y ，x ＋y ，xy 顺次构成等比数列.则有⎩⎪⎨⎪⎧y x ·xy ＝（x －y ）（x ＋y ）（x ＋y ）2＝（x －y ）xy解方程组得x ＝7＋5 2 ，y ＝5＋72 2∴所求等比数列为22，2＋32 2 ，12＋172 2 ，70＋9922 . 当 yx ＞x －y 时，由x －y ，y x，x ＋y ，xy 顺次构成等比数列则有⎩⎨⎧y x·xy ＝（x ＋y ）2yx （x ＋y ）＝（x －y ）xy解方程组得y ＝112，这与y ＞2矛盾，故这种情况不存在. 7．有四个数，前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，首末两项的和为21，中间两项的和为18，求这四个数. 分析一：从后三个数入手.解法一：设所求的四个数为 （x －d ）2x，x －d ，x ，x ＋d ，根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧（x －d ）2x ＋（x ＋d ）＝21（x －d ）＋x ＝18，解得⎩⎨⎧x ＝12d ＝6 或⎩⎨⎧x ＝274 d ＝92274 ∴所求四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .分析二：从前三数入手.解法二：设前三个数为 xq，x ，xq ，则第四个数为2xq －x .依题设有⎩⎪⎨⎪⎧x q ＋2xq －x ＝21x ＋xq ＝18，解得⎩⎨⎧x ＝6q ＝2 或⎩⎨⎧x ＝454 q ＝35故所求的四个数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .分析三：从首末两项的和与中间两项的和入手.解法三：设欲求的四数为x ，y ，18－y ，2－x ，由已知得： ⎩⎨⎧y 2＝x （18－y ）2（18－y ）＝y ＋（21－x ） ，解得⎩⎨⎧x ＝3y ＝6或⎩⎨⎧x ＝754 y ＝454∴所求四数为3，6，12，18或754 ，454 ，274 ，94 .。

《等比数列》教学设计一、目的要求1.理解等比数列的概念。

2．掌握等比数列的通项公式，并会根据它进行有关计算。

二、内容分析1．等比数列与等差数列在内容上是完全平行的，包括定义、性质（等差还是等比）、通项公式、前n项和的公式、两个数的等差（等比）中项、两种数列在函数角度下的解释、具体问题里成等差（等比）数列的三个数的设法等。

因此在教学与复习时可用对比方法，以便于弄清它们之间的联系与区别。

这里指出，如果一个数列既是等差数列又是等比数列，其充要条件是它为非0的常数列。

事实上，由等比数列的定义可知这个数列是非0数列。

取这个数列中的任意连续3项，由题设知这个数列是非0的常数列。

2．数列的学习中，等差数列与等比数列是两种最重要的数列模型。

事实上，等差数列描述的是一种绝对均匀的变化，等比数列描述的是一种相对均匀的变化。

因为非均匀变化通常要转化或近似成均匀变化来进行研究，所以本章里重点研究等差数列和等比数列。

3．从函数的角度看，如果说等差数列可以与一次函数联系起来，那么等比数列则可以与指数函数联系起来。

事实上，由等比数列的通项公式可得，当q＞0，且q≠1时，是一个指数函数，而上式则是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列{}的图象是函数的图象上的一些孤立点。

4．本课内容的重点是等比数列的概念及其通项公式。

与等差数列一样，在讲等比数列的概念时，关键是要讲清“等比”的意义，即数列中任一项与前一项的比是同一个常数。

等比数列的定义，是我们判断一个数列是否为等比数列的基本方法。

与等差数列一样，等比数列也具有一种对称性。

对于等差数列来说，与数列中任一项等距离的两项之和等于该项的2倍。

类似地，对于等比数列来说，与数列中任一项等距离的两项之积等于该项的平方。

利用上面的性质，常可使一些问题变得简便。

例如在具体问题里设成等差数列的3个数时，常设成a－d，a，a＋d；三、教学过程1．提出教科书中的数列①、②、③，让学生观察其特点。

等比数列说课稿等比数列说课稿1一、大纲与教材等比数列前n项和一节是人教社高中数学必修教材试验修订本第一册第三章第五节的内容，教学对象为高一学生，教学时数2课时。

第三章《数列》是高中数学的重要内容之一，之所以在新大纲里保留下来，这是由其在整个高中数学领域里的重要地位和作用决定的。

1、数列有着广泛的实际应用。

例如产品的规格设计、储蓄、分期付款的有关计算等。

2、数列有着承前启后的作用。

数列是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；学习数列又为进一步学习数列的极限等内容打下基础。

3、数列是培养提高学生思维能力的好题材。

学习数列要经常观察、分析、猜想,还要综合运用前面的知识解决数列中的一些问题，这些都有利于学生数学能力的提高。

本节课既是本章的重点，同时也是教材的重点。

等比数列前n项和前面承接了数列的定义、等差数列的知识内容，又是后面学习数列求和、数列极限的基础。

本节的重点是等比数列前n项和公式及应用，难点是公式的推导。

二、教学目标1、知识目标：理解等比数列前n项和公式的推导方法，掌握等比数列前n项和公式及应用。

2、能力目标：培养学生观察问题、思考问题的能力，并能灵活运用基本概念分析问题解决问题的能力,锻炼数学思维能力。

3、思想目标：培养学生学习数学的积极性，锻炼学生遇到困难不气馁的坚强意志和勇于创新的精神。

三、教学程序设计1、导言：本节课是由印度国王西拉谟与国际象棋发明家的故事引入的，发明者要国王在他的棋盘上的64格中的第1格放入1粒麦粒，第2格放入2粒麦粒，第3格放入4粒麦粒，第4格放入8粒麦粒……问应给发明家多少粒麦粒？这样引入课题有以下三点好处：(1)利用学生求知好奇心理，以一个小故事为切入点，便于调动学生学习本节课的趣味性和积极性。

(2)故事内容紧扣本节课教学内容的主题与重点。

(3)有利于知识的迁移，使学生明确知识的现实应用性。

2、讲授新课：本节课有两项主要内容，等比数列的前n项和公式的推导和等比数列的前n项和公式及应用。

Many things in life are not that we can't do it, but that we don't believe it can be done.简单易用轻享办公（页眉可删）等比数列教案等比数列教案1教学准备教学目标1、数学知识：掌握等比数列的概念，通项公式，及其有关性质;2、数学能力：通过等差数列和等比数列的类比学习，培养学生类比归纳的能力;归纳——猜想——证明的数学研究方法;3、数学思想：培养学生分类讨论，函数的数学思想。

教学重难点重点：等比数列的概念及其通项公式，如何通过类比利用等差数列学习等比数列;难点：等比数列的性质的探索过程。

教学过程教学过程：1、问题引入：前面我们已经研究了一类特殊的数列——等差数列。

问题1：满足什么条件的数列是等差数列?如何确定一个等差数列?(学生口述，并投影)：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

要想确定一个等差数列，只要知道它的首项a1和公差d。

已知等差数列的首项a1和d，那么等差数列的通项公式为：(板书)an=a1+(n-1)d。

师：事实上，等差数列的关键是一个“差”字，即如果一个数列，从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。

(第一次类比)类似的，我们提出这样一个问题。

问题2：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的……等于同一个常数，那么这个数列叫做……数列。

(这里以填空的形式引导学生发挥自己的想法，对于“和”与“积”的情况，可以利用具体的例子予以说明：如果一个数列，从第2项起，每一项与它的前一项的“和”(或“积”)等于同一个常数的话，这个数列是一个各项重复出现的“周期数列”，而与等差数列最相似的是“比”为同一个常数的情况。

而这个数列就是我们今天要研究的等比数列了。

)2、新课：1)等比数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。

3.4等比数列一. 教材分析等比数列与等差数列仅一字之差，可用比较法来学习等比数列相关知识。

在深刻理解等差数列与等比数列的区别与联系的基础上，牢固掌握等比数列的相关知识。

本节可以从等比数列的“等比”特点入手，结合具体例子来学习等比数列的概念，同时还要注意“比”的特性，在学习等比数列定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用性质。

二. 教学重点：等比数列的概念及等比数列的通项公式三. 教学难点：灵活运用等比数列的定义以及通项公式解决一些相关问题四. 课时划分：2课时第一课时教学目标：1.掌握等比数列的定义：2.理解等比数列通项公式及推导：3.培养学生发现、创新意识。

教学重点：等比数列定义及通项公式教学难点：灵活运用等比数列定义及通项公式解决相关问题教学方法：比较法。

采用比较式教学法从而使学生抓住等差数列与等比数列各自的特点，以便理解、掌握和应用。

一．复习回顾1. 等差数列的定义：()12n n a a d n --=≥ d 是常数2. 通项公式二．新授1. 等比数列定义观察下列数列：631,2,4,8,162 ① 学生观察数列，寻求共同特点。

5,25,125,625 ② 特点：从第二项起每一项与它前一项的1111,,,248-- ③ 比等于同一个常数。

学生猜想等比数列定义，教师再补充完整，并板书等比数列定义，引导学生找出等比数列与等差数列的联系与区别。

2．等比数列通项公式①根据等差数列的通项公式，猜想等比数列的通项公式，板书等比数列通项公式；②写出上面三个数列的通项公式；③比较等差数列通项公式与等比数列通项公式。

3．例题分析例1． 培育水稻新品种，如果第一代得到120粒种子，并且从第一代起，由以后各代的每一粒种子都可以得到下一代的120粒种子，到第五代大约可以得到这个新品种的种子多少粒（保留两个有效数字）？引导学生从实际问题中抽象出数学模型，并转化为等比数列问题来解决。

例2． 一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项。

等比数列性质课程设计一、课程目标知识目标：1. 学生能理解并掌握等比数列的定义及通项公式。

2. 学生能运用等比数列的性质解决相关问题，如求和、求项等。

3. 学生能了解等比数列在实际问题中的应用，如人口增长、复利计算等。

技能目标：1. 学生能通过观察、分析等比数列的规律，培养逻辑思维和抽象思维能力。

2. 学生能运用等比数列的性质，解决具有一定难度的数学问题，提高解题能力。

3. 学生能运用等比数列知识，解决实际问题，培养数学应用能力。

情感态度价值观目标：1. 学生在学习等比数列的过程中，培养对数学的兴趣和热情，增强自信心。

2. 学生通过合作交流，培养团队精神和沟通能力，形成积极向上的学习态度。

3. 学生认识到数学与现实生活的联系，体会数学的价值，树立正确的价值观。

课程性质：本课程为数学学科课程，以等比数列性质为主要内容，注重知识掌握与实际应用。

学生特点：学生处于高中年级，具备一定的数学基础，逻辑思维能力逐渐成熟，但需加强抽象思维和数学应用能力的培养。

教学要求：教师应结合学生特点，运用多样化教学手段，激发学生学习兴趣，注重培养数学思维和实际应用能力。

在教学过程中，将课程目标分解为具体学习成果，便于教学设计和评估。

二、教学内容1. 等比数列的定义及基本性质- 等比数列的概念- 等比数列的通项公式- 等比数列的公比及其对数列的影响2. 等比数列的运算- 等比数列的求和公式- 等比数列的乘法法则- 等比数列的除法法则3. 等比数列的应用- 实际问题中的等比数列模型- 人口增长与衰减问题- 复利计算问题4. 等比数列的性质证明- 等比数列通项公式的推导- 等比数列求和公式的推导- 等比数列性质的证明方法5. 综合练习与拓展- 各类等比数列问题的解题方法与技巧- 等比数列与其他数列的结合问题- 等比数列在实际问题中的拓展应用教学大纲安排：第一课时：等比数列的定义及基本性质第二课时：等比数列的运算第三课时：等比数列的应用第四课时：等比数列的性质证明第五课时：综合练习与拓展教学内容进度：第一周：1、2课时第二周：3、4课时第三周：5课时三、教学方法为了提高等比数列性质课程的教学效果，充分激发学生的学习兴趣和主动性，本课程将采用以下多样化的教学方法：1. 讲授法：- 对于等比数列的基本概念、性质、公式等理论知识，采用讲授法进行教学，使学生明确知识点，为后续学习打下基础。

§2.4 等比数列第1课时等比数列的概念与通项公式一、教学内容《等比数列》是普通高中课程标准试验教科书《数学》必修5第二章《数列》第四节，内容较多，设置了两个课时，第1课时为等比数列的概念及通项公式.等比数列在我们的学习和生活中有着广泛的实际应用，例如：物理、化学、生物等均有涉及，通过该内容的学习，能够培养学生的多种数学能力。

而且它在教材中起着承前启后的作用，一方面，等比数列是一种特殊的数列，与等差数列既有区别，也有联系，另一方面，它又对进一步学习数列及其应用等内容作准备，且等比数列又是高考的考点之一。

所以本节内容比较重要，地位较突出.二、教学目标1.知识与技能：①通过学习，能说出等比数列的概念，并会使用符号语言表示；②初步掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；③运用等比数列的通项公式解决一些简单的有关问题.2.过程与方法：通过慨念、公式和例题的教学，渗透类比思想、方程思想、函数思想以及从特殊到—般等数学思想，培养学生观察、比较、概括、归纳等数学能力及思想方法，增强应用意识.3.情感、态度与价值观：通过对等比数列概念的归纳,培养学生科学严谨的思维习惯以及合作探究的精神，体会类比思想.三、教学重难点1.重点：等比数列、等比中项的概念的形成，通项公式的推导及运用.2.难点：等比数列通项公式推导方法的获取.四、学情分析高一学生已经初步形成了自己的学习习惯，好奇心强，有着自主的探究能力和思考辨别能力.但通过考试成绩的分析可以看出，学生基础薄弱，知识的引入及理解都应多加强调，在教学中，需要多设计问题，化难为易，循序渐进，以问题串为载体引导学生分析问题，解决问题.五、教法与学法教法：1.直观演示法：利用多媒体课件直观的展示数列，便于学生观察，发现数列特征.2.活动探究法：引导学生通过创设生活情境获取知识，以学生为主体，使学生的独立探索性得到充分的发挥，培养学生的自学能力、思维能力、活动组织能力.3.集体讨论法：针对学生提出的问题，组织学生进行集体和分组讨论，促使学生在学习中解决问题，培养学生的团结协作的精神.学法：等差数列的概念及通项公式启发我们，使用类比的方法，学习等比数列的概念，通项公式的两种推导方法.六、教学用具多媒体，三角板，彩色粉笔，电子笔七、授课类型新授课八、教学过程（一）课前复习1.等差数列的概念2.通项公式.（二）新授课1.课堂探究1课本48页4个实例.①细胞分裂个数构成的数列②“一尺之锤，日取其半，万世不竭”，将“一尺之锤”看成单位“1”，得到的数列③计算机每轮感染的数量构成的数列④银行存款中，每一年的本利和得到的数列思考：类比等差数列的定义，这4个数列项与项之间都有什么共同特征？试将共同特征用语言叙述出来，并用符号表示.【师生活动】教师引导学生从生活中的实例出发，借助等差数列的概念进行类比推理.【设计意图】以学生熟悉的等差数列的概念为背景，通过思考，引导学生进行分析，使学生形成“等比数列是后一项与前一项的比是同一常数的数列”的感知，从而流畅自然的引出等比数列的概念.2.等比数列的概念一般地，如果一个数列从第．．2．项起．．，每一项与它的前一项的比．等于同一常数．．．．，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，用字母q )0(≠q 来表示.用数学符号表示为：}{n a 是等比数列⇔),2,0(1+-∈≥≠=N n n q q a a n n 且 【师生活动】在上一个环节的基础上，教师引导学生给出等比数列的概念.【设计意图】流畅的引出等比数列的概念，使学生理解等比数列.3.对概念的再认识（1）公比是否能等于0？ 等比数列中有为0的项吗？（2）公比为1的数列是什么数列？（3）既是等差数列又是等比数列的数列存在吗？（4）公比q>0的等比数列有什么特征？公比q<0的等比数列有什么特征？【师生活动】教师引导学生，观察等比数列中的各项的要求.【设计意图】使学生很自然的对等差、等比数列的异同点进行初步认知. 例1.判断下列数列是否为等比数列?若是,找出公比；若不是,请说明理由．① 1, 4, 16, 32．② 0, 2, 4, 6, 8.③ 1,－10,100,－1000,10000．④ 81, 27, 9, 3, 1.⑤ a a a a a ,,,,【师生活动】学生根据等比数列的概念进行判断.【设计意图】1.让学生体会等比数列中公比可正可负，可以大于1，也可以小于1.2.让学生体会等比数列中不能出现0.3.体会非零常数列既是等差数列，又是等比数列.4.课堂探究2 等比数列的通项公式)(11+-∈=N n q a a n n方法：累乘法【师生活动】教师引导学生回顾等差数列的通项公式推导过程，引导学生类比推导等比数列的通项公式.【设计意图】培养学生小组合作，类比推理的学习能力.5.对通项公式的再认识① 等比数列通项公式11-=n n q a a 中，是公比的．．．1-n 次方．．. ② 写出通项公式需已知的量是首项．．与公比．．，它们均不为．．．0.【师生活动】教师引导学生从等比数列的定义，通项公式的形式，推导过程，对通项公式进行再认识.【设计意图】熟练掌握等比数列的通项公式以及常用变形式.（三）练习导学案上的练习题九、课堂小结1.等比数列的概念2.等比数列的通项公式及推导方法 11-=n n q a a3.本节课所运用的数学思想方法十、课后作业练习册2.4.1等比数列的概念和通项公式十一、板书设计十二、教学反思（附页）。

高中数学必修5教案等比数列第2课时第一篇：高中数学必修5教案等比数列第2课时等比数列第２课时授课类型：新授课●教学目标知识与技能：灵活应用等比数列的定义及通项公式；深刻理解等比中项概念；熟悉等比数列的有关性质，并系统了解判断数列是否成等比数列的方法过程与方法：通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。

情感态度与价值观：充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

●教学重点等比中项的理解与应用●教学难点灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题●教学过程Ⅰ.课题导入首先回忆一下上一节课所学主要内容：1．等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠an0），即：=q（q≠0）an-12.等比数列的通项公式:an=a1⋅q3．｛an｝成等比数列⇔列的必要非充分条件4．既是等差又是等比数列的数列：非零常数列Ⅱ.讲授新课1．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，那么称这个数G为a与b的等比中项.即G=±ab（a,b同号）如果在a与b中间插入一个数G，使a,G，b成等比数列，则n-1(a1⋅q≠0)，an=am⋅qn-m(am⋅q≠0)an+1+=q（n∈N,q≠0）“an≠0”是数列｛an｝成等比数anGb=⇒G2=ab⇒G=±ab，aG反之，若G=ab,则≠0）[范例讲解] 课本P58例4 证明：设数列{an}的首项是a1，公比为q1;{bn}的首项为b1，公比为q2，那么数列{an⋅bn}的第n项与第n+1项分别为：2Gb2=，即a,G,b成等比数列。

∴a,G,b成等比数列⇔G=ab（a·baGa1⋅q1n-1⋅b1⋅q2与a1⋅q1⋅b1⋅q2即为a1b1(q1q2)n-1与a1b1(q1q2)nn-1nnan+1⋅bn+1a1b1(q1q2)nΘ==q1q2.n-1an⋅bna1 b1(q1q2)它是一个与n无关的常数，所以{an⋅bn}是一个以q1q2为公比的等比数列拓展探究：对于例4中的等比数列{an}与{bn}，数列{an}也一定是等比数列吗？ bnana，则cn+1=n+1 bnbn+1探究：设数列{an}与{bn}的公比分别为q1和q2，令cn=∴cn+1bn+1abqa==(n+1)γ(n+1)=1，所以，数列{n}也一定是等比数列。

等比数列教学课程设计一、课程目标知识目标：1. 让学生掌握等比数列的定义、通项公式及性质，能够准确理解和运用相关数学符号；2. 使学生能够运用等比数列的知识解决实际问题，如求和、求项数等；3. 让学生了解等比数列在实际生活中的应用，如金融、科学计算等领域。

技能目标：1. 培养学生运用等比数列性质进行数列分析、推理和计算的能力；2. 培养学生通过观察、分析等比数列问题，提出解题策略并进行有效求解的能力；3. 培养学生运用等比数列知识解决实际问题的能力，提高学生的应用意识和实践能力。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对数学学科的兴趣和热情，增强学生对等比数列知识点的学习动力；2. 培养学生团队合作精神，通过小组讨论、互助学习等方式，使学生学会倾听、尊重和接纳他人的意见；3. 培养学生严谨、细致的学习态度，养成独立思考、自主探究的良好习惯。

课程性质：本课程为数学学科的基础课程，是学生在学习数列知识过程中的重要环节。

学生特点：学生处于具备一定数学基础知识和逻辑推理能力的年级，对数列的概念有一定了解，但对等比数列的深入理解和应用尚需引导和培养。

教学要求：教师应注重启发式教学，引导学生主动参与课堂讨论，关注学生的个体差异，提高学生的数学素养和应用能力。

在教学过程中，将课程目标分解为具体的学习成果，以便进行有效的教学设计和评估。

二、教学内容1. 等比数列的定义与性质- 等比数列的概念及数学表示；- 等比数列的通项公式；- 等比数列的常见性质及证明。

2. 等比数列的应用- 求等比数列的前n项和公式；- 求等比数列的项数；- 等比数列在实际问题中的应用案例分析。

3. 等比数列与其他数列的关系- 等比数列与等差数列的区别与联系；- 等比数列与多项式数列的互化；- 等比数列在数学分析中的应用。

教学大纲安排：第一课时：等比数列的定义与性质- 引入等比数列的概念；- 探讨等比数列的通项公式；- 分析等比数列的常见性质及证明。

高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时教案新人教A版必修5一、教学目标：知识与技能1. 了解等比数列更多的性质；2. 能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中；3. 能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题过程与方法1. 继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学；2. 对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程；3. 当好学生学习的合作者的角色.情感态度与价值观1. 通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力；2. 通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.二、教学重点：1.探究等比数列更多的性质；2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点；渗透重要的数学思想（类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等.）.三、学情及导入分析：这节课师生将进一步探究等比数列的知识，以教材练习中提供的问题作为基本材料，认识等比数列的一些基本性质及内在的联系，理解并掌握一些常见结论，进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决，渗透重要的数学思想方法.教学中以师生合作探究为主要形式，充分调动学生的学习积极性.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等四、教学过程:复习旧知识，引入新知归纳抽象形成概念1.温故知新师教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下•师对各组的汇报给予评价•师出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：猜想：在数列｛a n｝中每隔m(m是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a i为首项、q m%一公比的等比数列.◊本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法•第4题解答：(1) 设｛a n｝的公比是q , 则2, 4 2 2 8a s =( a i q ) =a i qh 2 6 2 8而a s • a7=a i q • a i q =a i q ,所以a s =a s • a7. 同理,a s =a i • a o.(2) 用上面的方法不难证明a2=a n-i • a n+i( n> i).由此得出,a n是a n-i和a n+i的等比中项，同理可证a n2=a n-k • a n+k( n>k > 0). a是a n-k和a n+k的等比中项(n> k学生回答；生由学习小组汇报探究结果.第3题解答：⑴将数列，｛a n｝的前k项去掉，剩余的数列为a k+i ,a k+2,….令b i =a<+i ,i=i,2,…，则数列a k+i, a k+2,…，可视为b i, b?，….因为b i i a k i i q (i >i),b i a k i所以，｛b n｝是等比数列，即a k+i, a k+2,…是等比数列.(2)｛a n｝中每隔I0项取出一项组成的数列是a i, a ii ,a 2i，…, 则a ii a2i a i0k ii... ...qa i a ii a i0k 9(k >i). 所以数列a i,aii, a2i,…是以a i为首项，q i0为公比的等比数列.由复习引入，通过数学知识的内部提出问题。

等比数列教学设计教案一、教学目标1.了解等比数列的定义和基本性质；2.掌握通项公式和求和公式的推导和应用；3.能够应用等比数列的知识解决实际问题；4.培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，激发数学兴趣。

二、教学内容第一部分：引入1.通过生活中的例子，引出等比数列的概念；2.学生回顾等差数列的知识，引导学生思考等比数列和等差数列的关系。

第二部分：概念介绍2.引导学生掌握等比数列的特点和基本性质。

第三部分：公式推导2.案例分析和练习巩固应用。

第四部分：应用举例1.引导学生联系实际应用，掌握等比数列的应用方法；2.案例分析和练习，加深对等比数列的理解。

第五部分：课堂互动与思考1.对学生提出的问题进行回答；2.鼓励学生思考和探究，促进课堂交流和合作。

第六部分：练习与巩固1.课后布置相关练习和作业；2.课堂检查和解答，帮助学生解决疑惑和困惑。

三、教学方法1.讲解和演示相结合的教学方法；3.课堂互动和思考，激发学生的数学兴趣和探究欲望。

四、教学手段1.多媒体课件和投影仪；2.教师板书和讲解；3.教学案例和练习题集。

五、评价方法1.课堂表现评价；2.小组合作评价；3.作业和考试评价。

六、教学流程1.讲解等比数列的概念和定义，引导学生理解等比数列的特点和基本性质，如“公比为正数时，数列单调递增或单调递减”。

2.通过练习让学生自己验证等比数列的性质，如“判断数列a1=2，a2=4，a3=8，a4=16是否为等比数列，确定其公比”。

1.讲解等比数列的通项公式和求和公式的推导过程，引导学生掌握公式的使用方法和推导思路；2.通过练习和实例，让学生巩固公式的应用，如“已知数列和为105，公比为2，求数列的首项和项数”。

2.通过案例分析和练习，加深学生对等比数列的理解，如“某校人数为800人，每年增长20%，问6年后该校有多少学生”。

1.布置相关练习和作业，要求认真分析问题和思考解题方法；七、教学时数2课时八、课后作业2.根据所学知识，思考并回答生活中的一些问题。

等比数列教学案篇一：等比数列第一课时教案等比数列的定义教案内容：等比数列教学目标:1.理解和掌握等比数列的定义；2.理解和掌握等比数列的通项公式及其推导过程和方法；3.运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题。

授课类型：课时安排：1教学重点：等比数列定义、通项公式的探求及运用。

教学难点：等比数列通项公式的探求。

教具准备：多媒体课件教学过程：（一）复习导入1．等差数列的定义2．等差数列的通项公式及其推导方法3.公差的确定方法.4.问题：给出一张书写纸，你能将它对折10次吗？为什么？（二）探索新知1．引入：观察下面几个数列，看其有何共同特点？（１）－2，1，4，7，10，13，16，19，?（２）8，16，32，64，128，256，? （３）1，1，1，1，1，1，1，?（４）1，2，4，8，16，?263请学生说出数列上述数列的特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如细胞分裂问题.假设每经过一个单位时间每个细胞都分裂为两个细胞，再假设开始有一个细胞，经过一个单位时间它分裂为两个细胞，经过两个单位时间就有了四个细胞，?，一直进行下去，记录下每个单位时间的细胞个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性，这就是我们将要研究的另一类数列——等比数列.2．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一．．．．项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列．．的公比；公比通常用字母q表示(q?0)，3.递推公式：an?1∶an?q(q?0)对定义再引导学生讨论并强调以下问题（1）等比数列的首项不为0；（2）等比数列的每一项都不为0；（3）公比不为0. （4）非零常数列既是等比数列也是等差数列；问题：一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件？3．等比数列的通项公式：【傻儿子的故事】古时候,有一个人不识字,他不希望儿子也像他这样,他就请了个教书先生来教他儿子认字，他儿子见老师第一天写“一”就是一划，第二天“二”就是二划，第三天“三”就是三划,他就跑去跟他父亲说:“爸爸,我会写字了,请你叫老师走吧!”这人听了很高兴,就给老师结算了工钱叫他走了。

等比数列教案等比数列教案什么是教案？教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。

等比数列教案（精选7篇）作为一名辛苦耕耘的教育工作者，很有必要精心设计一份教案，教案是教学活动的总的组织纲领和行动方案。

那么优秀的教案是什么样的呢？下面是小编为大家收集的等比数列教案（精选7篇），希望能够帮助到大家。

等比数列教案1教学目标1.理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式，并能运用公式解决简单的问题.(1)正确理解等比数列的定义，了解公比的概念，明确一个数列是等比数列的限定条件，能根据定义判断一个数列是等比数列，了解等比中项的概念;(2)正确认识使用等比数列的表示法，能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项;(3)通过通项公式认识等比数列的性质，能解决某些实际问题.2.通过对等比数列的研究，逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.3.通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的科学态度.教材分析(1)知识结构等比数列是另一个简单常见的数列，研究内容可与等差数列类比，首先归纳出等比数列的定义，导出通项公式，进而研究图像，又给出等比中项的概念，最后是通项公式的应用.(2)重点、难点分析教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用，教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.①与等差数列一样，等比数列也是特殊的数列，二者有许多相同的性质，但也有明显的区别，可根据定义与通项公式得出等比数列的特性，这些是教学的重点.②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法，但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中，需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明，所以通项公式的推导是难点.③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式，因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.教学建议(1)建议本节课分两课时，一节课为等比数列的概念，一节课为等比数列通项公式的应用.(2)等比数列概念的引入，可给出几个具体的例子，由学生概括这些数列的相同特征，从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出，由学生将这些数列进行分类，有一种是按等差、等比来分的，由此对比地概括等比数列的定义.(3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0，以及每一项均不为0的特性，加深对概念的理解.(4)对比等差数列的表示法，由学生归纳等比数列的各种表示法. 启发学生用函数观点认识通项公式，由通项公式的结构特征画数列的图象.(5)由于有了等差数列的研究经验，等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决，教师只需把握课堂的节奏，作为一节课的组织者出现.(6)可让学生相互出题，解题，讲题，充分发挥学生的主体作用. 等比数列教案2教学目标1.通过教学使学生理解等比数列的概念，推导并掌握通项公式.2.使学生进一步体会类比、归纳的思想，培养学生的观察、概括能力.3.培养学生勤于思考，实事求是的精神，及严谨的科学态度.教学重点，难点重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.教学用具投影仪，多媒体软件，电脑.教学方法讨论、谈话法.教学过程一、提出问题给出以下几组数列，将它们分类，说出分类标准.(幻灯片)①-2，1，4，7，10，13，16，19，②8，16，32，64，128，256，③1，1，1，1，1，1，1，④-243，81，27，9，3，1，，，⑤31，29，27，25，23，21，19，⑥1，-1，1，-1，1，-1，1，-1，⑦1，-10，100，-1000，10000，-100000，⑧0，0，0，0，0，0，0，由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列，也可能分为等差、等比两类)，统一一种分法，其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨，得出定义后再考察③是否为等比数列).二、讲解新课请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性，教师指出实际生活中也有许多类似的例子，如变形虫分裂问题假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫，再假设开始有一个变形虫，经过一个单位时间它分裂为两个变形虫，经过两个单位时间就有了四个变形虫，，一直进行下去，记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数。