2018年秋高中数学第二章数列2.4等比数列第2课时等比数列的性质学案新人教A版必修5

第1课时 等比数列学习目标：1.理解等比数列的定义(重点).2.掌握等比数列的通项公式及其应用(重点、难点).3.熟练掌握等比数列的判定方法(易错点)．[自 主 预 习·探 新 知]1．等比数列的概念 (1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q 表示(q ≠0)．(2)符号语言：a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0，n ∈N *)． 思考：能将定义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗？ [提示] 不能． 2．等比中项(1)前提：三个数a ，G ，b 成等比数列． (2)结论：G 叫做a ，b 的等比中项． (3)满足的关系式：G 2＝ab .思考：当G 2＝ab 时，G 一定是a ，b 的等比中项吗？ [提示] 不一定，如数列0,0,5就不是等比数列． 3．等比数列的通项公式一般地，对于等比数列{a n }的第n 项a n ，有公式a n ＝a 1·q n －1.这就是等比数列{a n }的通项公式，其中a 1为首项，q 为公比．4．等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式可整理为a n ＝a 1q·q n，而y ＝a 1q·q x(q ≠1)是一个不为0的常数a 1q与指数函数q x的乘积，从图象上看，表示数列a 1q·q n中的各项的点是函数y ＝a 1q·q x的图象上的孤立点．思考：除了课本上采用的不完全归纳法，还能用什么方法求数列的通项公式． [提示] 还可以用累乘法． 当n >2时，a n a n －1＝q ，a n －1a n －2＝q ，…，a 2a 1＝q ， ∴a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2……a n －1a n －2·a n a n －1＝a 1·q n －1. [基础自测]1．思考辨析(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列．( ) (2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零．( ) (3)常数列一定为等比数列．( ) (4)任何两个数都有等比中项．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×提示：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．(3)错误，当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列．(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．2．下列数列为等比数列的序号是________．①2,22,3×22；②1a ，1a 2，1a 3，1a 4，1a5(a ≠0)；③s －1，(s －1)2，(s －1)3，(s －1)4，(s －1)5；④0,0,0,0,0.② [222≠3×2222，所以①不是等比数列；②是首项为1a ，公比为1a 的等比数列；③中，当s ＝1时，数列为0,0,0,0,0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．]3．等比数列{a n }中，a 2＝2，a 5＝14，则公比q ＝________.【导学号：91432189】12 [由定义知a 2a 1＝a 3a 2＝a 4a 3＝a 5a 4＝q ，则a 2＝a 1q ＝2，① a 5＝a 4q ＝a 3q 2＝a 2q 3＝a 1q 4＝14，②所以②÷①得q 3＝18，所以q ＝12.]4．在等比数列{a n }中，a 4＝27，q ＝－3，则a 7＝________. －729 [由等比数列定义知a 7a 6＝a 6a 5＝a 5a 4＝q . 所以a 5＝a 4q ＝27×(－3)＝－81，a 6＝a 5q ＝－81×(－3)＝243， a 7＝a 6q ＝243×(－3)＝－729.][合 作 探 究·攻 重 难]等比数列的通项公式及应用在等比数列{a n }中． (1)已知a 1＝3，q ＝－2，求a 6；(2)已知a 3＝20，a 6＝160，求a n .【导学号：91432190】[解] (1)由等比数列的通项公式得，a 6＝3×(－2)6－1＝－96.(2)设等比数列的公比为q ，那么⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝20，a 1q 5＝160，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝5.所以a n ＝a 1qn －1＝5×2n －1.1．在等比数列{a n }中，(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a 5； (2)若a 4＝2，a 7＝8，求a n . [解] (1)∵a 5＝a 1q 4，而a 1＝5，q ＝a 2a 1＝－3，∴a 5＝405. (2)因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2， ①a 1q 6＝8， ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1qn －1＝22n －53.等比中项(1)等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝2，则a 4与a 8的等比中项是( )A ．±4B ．4C ．±14 D.14(2)已知b 是a ，c 的等比中项，求证：ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项.【导学号：91432191】思路探究：(1)用定义求等比中项． (2)证明(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)即可．(1)A [由a n ＝18·2n －1＝2n －4知，a 4＝1，a 8＝24，所以a 4与a 8的等比中项为±4.](2)证明：b 是a ，c 的等比中项，则b 2＝ac ，且a ，b ，c 均不为零， 又(a 2＋b 2)(b 2＋c 2)＝a 2b 2＋a 2c 2＋b 4＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，(ab ＋bc )2＝a 2b 2＋2ab 2c ＋b 2c 2＝a 2b 2＋2a 2c 2＋b 2c 2，所以(ab ＋bc )2＝(a 2＋b 2)·(b 2＋c 2)，即ab ＋bc 是a 2＋b 2与b 2＋c 2的等比中项．(1)由等比中项的定义可知中项有两个，异号时，没有等比中项(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项有穷数列的末项除外都是它的前一项和后一项的等比中项(3)a ，G 2．若1，a,3成等差数列，1，b,4成等比数列，则ab的值为( ) A ．±12 B.12 C ．1 D ．±1D [由题知2a ＝1＋3， ∴a ＝2.由b 2＝4得b ＝±2 ∴a b＝±1.]3．设等差数列{a n }的公差d 不为0，a 1＝9d ，若a k 是a 1与a 2k 的等比中项，则k 等于( )【导学号：91432192】A ．2B ．4C ．6D ．8B [∵a n ＝(n ＋8)d ，又∵a 2k ＝a 1·a 2k ，∴[(k ＋8)d ]2＝9d ·(2k ＋8)d ，解得k ＝－2(舍去)，k ＝4.]等比数列的判断与证明[探究问题]1．若数列{a n }是等比数列，易知有a n ＋1a n＝q (q 为常数，且q ≠0)或a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)成立．反之，能说明数列{a n }是等比数列吗？提示：能．若数列{a n }满足a n ＋1a n＝q (q 为常数，q ≠0)或a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)都能说明{a n }是等比数列．2．若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则它的通项公式为a n ＝a 1·qn －1(a ，q 为非零常数，n ∈N *)．反之，能说明数列{a n }是等比数列吗？提示：能．根据等比数列的定义可知．已知数列的前n 项和为S n ＝2n＋a ，试判断{a n }是否是等比数列．思路探究：①如何由求和公式得通项公式？②a 1是否适合a n ＝S n －S n －1(n ≥2)？需要检验吗？[解] a n ＝S n －S n －1＝2n＋a －2n －1－a ＝2n －1(n ≥2)．当n ≥2时a n ＋1a n ＝2n 2n －1＝2；当n ＝1时，a n ＋1a n ＝a 2a 1＝22＋a. 故当a ＝－1时，数列{a n }成等比数列，其首项为1，公比为2；当a ≠－1时，数列{a n }不是等比数列．母题探究：1.(变条件)将例题中的条件“S n ＝2n＋a ”变为“S n ＝2－a n ”．求证数列{a n }是等比数列．[证明] ∵S n ＝2－a n ， ∴S n ＋1＝2－a n ＋1，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1， ∴a n ＋1＝12a n .又∵S 1＝2－a 1， ∴a 1＝1≠0.又由a n ＋1＝12a n 知a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝12， ∴{a n }是等比数列．2．(变条件变结论)将例题中的条件“S n ＝2n＋a ”变为“a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1”证明数列{a n＋1}是等比数列，并求出数列{a n }的通项公式．[解] 因为a n ＋1＝2a n ＋1， 所以a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)． 由a 1＝1，知a 1＋1≠0， 从而a n ＋1≠0. 所以a n ＋1＋1a n ＋1＝2(n ∈N ＋)，所以数列{a n ＋1}是等比数列． 所以{a n ＋1}是以a 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2·2n －1＝2n，即a n ＝2n－1.(1)定义法：若数列，则数列(2)等比中项法：对于数列(3)通项公式法：若数列1．下列数列是等比数列的是( )【导学号：91432193】A ．2,2，－2，－2,2,2，－2，－2，…B ．－1,1，－1,1，－1，…C ．0,2,4,6,8,10，…D ．a 1，a 2，a 3，a 4，…B [A.从第2项起，每一项与前一项的比不是同一常数，故不选A. B ．由等比数列定义知该数列为等比数列．C ．等比数列各项均不为0，故该数列不是等比数列．D ．当a ＝0时，该数列不是等比数列；当a ≠0时，该数列为等比数列．]2．若2a ，b,2c 成等比数列，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．0或2B [由题意，得b 2＝4ac ，故函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相切．] 3．在等比数列{a n }中，若a 2＝4，a 5＝－32，则公比q 应为( )【导学号：91432194】A ．±12B ．±2C.12D ．－2D [因为a 5a 2＝q 3＝－8，故q ＝－2.]4．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前三项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________. 4n －1[由题意知a 1＋4a 1＋16a 1＝21，解得a 1＝1，所以通项公式a n ＝4n －1.]5．已知数列{a n }是首项为2，公差为－1的等差数列，令b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n，求证数列{b n }是等比数列，并求其通项公式.【导学号：91432195】[解] 依题意a n ＝2＋(n －1)×(－1)＝3－n ，于是b n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n.而b nb n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123－n⎝ ⎛⎭⎪⎫124－n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2. ∴数列{b n }是公比为2的等比数列，通项公式为b n ＝2n －3.百度文库是百度发布的供网友在线分享文档的平台。

2.4等比数列【学习目标】理解等比数列、等比中项的概念，能推导并掌握通项公式，能熟练运用通项公式和一些常用性质解决有关问题． 【重点难点】重点：等比数列的定义和通项公式及其应用．难点：等比数列的通项公式的应用．【学法指导】学习本节一定要认真阅读教材，运用从特殊到一般和类比等差数列的定义、通项公式的方法归纳等比数列的定义、通项公式． 一.课前预习阅读课本4852P P 页，弄清下列问题：1．等比数列的概念： ．2．用数学式子表示等比数列的定义： {}n a 是等比数列，则*1()n na q n N a +=∈． 强调：（1）“从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数”，要防止在求公比 时，把相邻两项比的次序颠倒．（3）当公比q ＝ 时，等比数列是常数列，该数列也是等差数列．（4）等比数列的每一项都不为 ．3．等比数列的通项公式： ． 4．等比中项的定义： ． 5．快乐体验：(1)若等比数列155,45a a ==，求公比q ； (2)若等比数列12,33a q ==，求4a ．(3)若等比数列3312,2a q ==，求1a ； (4)若等比数列的12,54,3,n a a q ===求n ．(5)若4,9a b ==，求,a b 的等比中项．二．课堂学习与研讨例1．某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留量是原来的84%．这种物质的半衰期为多长？（精确到1年）（参考数据：lg 20.3010,lg0.840.0757,0.30100.0757 3.98==-÷≈）练习1．（教材53P 练习5）某人买了一辆价值13．5万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度折旧． （1）用一个式子表示*()n n N ∈年后这辆车的价值；（2）如果他打算用满4年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？例2．等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项．练习2. 在等比数列{}n a 中，473,81,n a a a ==求.小结：3．等比中项：若,,a G b 成等比数列，则2G ab =． 三.课堂检测1．若a ,22a +,33a +成等比数列，则实数a 的为 ．2．在等比数列中，（1）若已知2514,2a a ==-求n a ． （2）若253618,9,1n a a a a a +=+==，求n .四．作业 1． P53A1 2. 在83和272之间插入3个数，使这五个数成等比数列，求这三数？3. 在等比数列{}n a 中，已知1910185,100,a a a a =⋅=求.2.5等比数列的前n 项和公式【学习目标】1.掌握等比数列的前n 项和公式11,1(1),11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨⎪≠-⎩2.在等比数列{}n a 中，n n s n d a a 、、、、1五个量中“知三求二”.3.通过公式的灵活运用，进一步渗透方程的思想、分类讨论的思想和等价转化的思想. 【重点难点】重点：等比数列前n 项和公式的推导和运用.难点：等比数列前n 项和公式的推导. 【学法指导】学习本节时好好体会错位相减法求和的思路，分析等比数列的通项公式和前n 项和公式的特点，体会知三求二的方程思想． 一.课前预习 预习课本5557P P 页，回答下列问题：1．传说，很早以前，印度的一位宰相发明了国际象棋，当时的国王非常高兴，决定奖赏他，国王允许宰相提出任何要求，于是这位聪明的宰相便请国王在国际象棋棋盘的第一个格子里放入一颗麦粒，第二个格子里放入两颗麦粒，第三个……，就这样，依此类推，要求从第二个格子起，每个格子里的麦粒数是前一个格子里麦粒数的两倍，他请求国王给予他这些麦粒的总和。

2.4 等比数列(2)一、教学目标：知识与技能1.了解等比数列更多的性质;2.能将学过的知识和思想方法运用于对等比数列性质的进一步思考和有关等比数列的实际问题的解决中;3.能在生活实际的问题情境中，抽象出等比数列关系，并能用有关的知识解决相应的实际问题.过程与方法1.继续采用观察、思考、类比、归纳、探究、得出结论的方法进行教学;2.对生活实际中的问题采用合作交流的方法，发挥学生的主体作用，引导学生探究问题的解决方法，经历解决问题的全过程;3.当好学生学习的合作者的角色.情感态度与价值观1.通过对等比数列更多性质的探究，培养学生的良好的思维品质和思维习惯，激发学生对知识的探究精神和严肃认真的科学态度，培养学生的类比、归纳的能力;2.通过生活实际中有关问题的分析和解决，培养学生认识社会、了解社会的意识，更多地知道数学的社会价值和应用价值.二、教学重点：1.探究等比数列更多的性质;2.解决生活实际中的等比数列的问题.教学难点；渗透重要的数学思想（类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想以及一般到特殊的思想方法等.）.三、学情及导入分析：这节课师生将进一步探究等比数列的知识，以教材练习中提供的问题作为基本材料，认识等比数列的一些基本性质及内在的联系，理解并掌握一些常见结论，进一步能用来解决一些实际问题.通过一些问题的探究与解决，渗透重要的数学思想方法.教学中以师生合作探究为主要形式，充分调动学生的学习积极性.教具准备多媒体课件、投影胶片、投影仪等四、教学过程：1.温故知新师教材中第59页练习第3题、第4题，请学生课外进行活动探究，现在请同学们把你们的探究结果展示一下.师对各组的汇报给予评价.师出示多媒体幻灯片一：第3题、第4题详细解答：猜想：在数列{a n}中每隔m(m是一个正整数)取出一项，组成一个新数列，这个数列是以a1为首项、q m为公比的等比数列.◇本题可以让学生认识到，等比数列中下标为等差数列的子数列也构成等比数列，可以让学生再探究几种由原等比数列构成的新等比数列的方法.第4题解答：(1)设{a n}的公比是q，则a52=(a1q4)2=a12q8而a3·a7=a1q2·a1q6=a12q8,所以a52=a3·a7.同理,a52=a1·a9. (2)用上面的方法不难证明a n2=a n-1·a n+1(n＞1).由此得出，a n是a n-1和a n+1的等比中项，同理可证a n2=a n-k·a n+k(n＞k ＞0).a n是a n-k和a n+k的等比中项(n＞k ＞0).师和等差数列一样，等比数列中蕴涵学生回答；生由学习小组汇报探究结果. 第3题解答：(1)将数列{a n}的前k项去掉，剩余的数列为a k+1，a k+2,….令b i=a k+i,i=1,2,…,则数列a k+1,a k+2,…,可视为b1,b2，….因为qaabbikikii==++++11(i≥1),所以，{b n}是等比数列，即a k+1，a k+2,…是等比数列.(2){a n}中每隔10项取出一项组成的数列是a1,a 11,a 21，…,则109101101121111......qaaaaaakk=====-+(k≥1).所以数列a1,a 11,a21,…是以a1为首项，q10为公比的等比数列.比较分析，深化认识着许多的性质，如果我们想知道的更多，就要对它作进一步的探究.合作探究师出示投影胶片1例题1(教材P61B组第3题)就任一等差数列{a n}，计算a7+a10，a8+a9和a10+a40，a20+a30，你发现了什么一般规律，能把你发现的规律用一般化的推广吗？从等差数列和函数之间的联系的角度来分析这个问题.在等比数列中会有怎样的类似结论？师注意题目中“就任一等差数列{a n}”，你打算用一个什么样的等差数列来计算？师很好，这个数列最便于计算，那么发现了什么样的一般规律呢？师题目要我们“从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题”，如何做？师出示多媒体课件一：等差数列与函数之间的联系.师从等差数列与函数之间的联系的角度来分析这个问题：由等差数列{a n}的图象，可以看出qsaapkaaqspk==,,根据等式的性质，有1=++=++qpskaaaaqpsk.生用等差数列1，2，3，…生在等差数列{a n}中，若k+s=p+q(k,s,p,q∈N*)，则a k+a s=a p+a q.生思考、讨论、交流.生猜想对于等比数列{a n}，类似的性质为：k+s=p+t(k,s,p,t∈N*)，则a k·a s=a p·a t.生思考、列式、合作交流，得培养学生分析，抽象能力、感受数学概念形成过程及建模思想。

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第2课时等比数列的性质[课时作业]［A组基础巩固］1．如果数列{a n｝是等比数列，那么（）A．数列{a错误!｝是等比数列B．数列｛2a n｝是等比数列C．数列{lg a n}是等比数列D．数列｛na n｝是等比数列解析：设b n＝a错误!，则错误!＝错误!＝错误!2＝q2，∴｛b n｝为等比数列；2a n＋12a n＝2a n＋1－a n≠常数；当a n〈0时，lg a n无意义；设c n＝na n,则错误!＝错误!＝错误!·q≠常数．答案:A2．已知等差数列{a n}的公差为3，若a1，a3,a4成等比数列,则a2等于( ）A．9 B．3C．－3 D．－9解析：a1＝a2－3,a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6，由于a1，a3,a4成等比数列，a错误!＝a1a4，即 (a2＋3)2＝(a2－3)（a2＋6）,解得a2＝－9。

答案：D3．在正项等比数列｛a n｝中,a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于( ）A．16 B．32C．64 D．256解析：由已知，得a1a19＝16。

2.4等比数列（二）［学习目标］1.灵活应用等比数列的定义及通项公式.2.熟悉等比数列的有关性质3系统了解判断是否成等比数列的方法.戸知识梳理自主学耳知识点一推广的等比数列的通项公式n _ 4 n _ m *｛a n｝是等比数列，首项为a i，公比为q,贝U a n= aq , a n= a m・q （m n€ N）.思考1如何推导a n= anq n-m?答案根据等比数列的通项公式，n—1a n= a i q ,m-1a m= a〔q ,ann- m n-m—= q , —a n = a m - q .a m思考2若已知等比数列｛a n｝中，q= 3, a3= 3,贝U a7= ________ .答案243解析a7= a3 • q4= 3 4= 35= 243.知识点二等比数列的性质1 .如果m+ n = k+ l，则有a m • a n = a k • a .2 .如果m+ n = 2k，则有a m - a n =空.3. 若m n, p成等差数列，则a m, a n, a p成等比数列.4. 在等比数列｛a n｝中，每隔k项（k€ N*）取出一项，按原来的顺序排列，所得的新数列仍为等比数列.5. 如果｛a n｝, ｛b n｝均为等比数列，且公比分别为q1, q2,那么数列」,｛a n - b n｝,3 >, ｛| ch|｝仍是等比数列，且公比分别为丄,qq, —, |q1|.q1 q16. 等比数列的项的对称性：在有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1 • a n= a2 • a n—1= a k • a n—k+1 =….思考在等比数列｛a n｝中，吏一-= ,a s • an = .a s答案a7 a2解析由等比数列的性质得a s • an= a8.a3 • a9a3 • a9= a s • a7,「. = a7.a5产题型探究_______ 婁点突破题型一等比数列的性质及应用例1 (1)在等比数列｛a n ｝中，若a 3a 6= 9, a 2a 4a 5= 27,则a 2的值为( )A . 2B . 3 C. 4 D . 9答案(1)B(2) 14解析 ⑴ 因为｛a n ｝为等比数列，所以 a 3a 6= a 4a 5= 9, 又因为a 2a 4a 5= 27,所以a 2= 3. 1 1(2) ■/ a 5 + a 9=^q ,- a 4 + a $=㊁,. 2--a 6( a 2 + 2a 6+ a io ) = a 6a 2+ 2a 6 + a 6a io2=a 4+ 2a 4a 8 + a 8= (a 4+ a 8)反思与感悟 在等比数列的有关运算中，常常涉及到次数较高的指数运算.若按常规解法， 往往是建立a 1,q 的方程组，这样解起来很麻烦，通过本例可以看出：结合等比数列的性质 进行整体变换，会起到化繁为简的效果.a 20跟踪训练1 (1)在等比数列｛a n ｝中，a 7 • a 11 = 6, a 4+ a 14= 5,则一等于()ai 02A .3B .(2)已知数列｛a n ｝是等比数列，且 &>0, a 2a 4 + 2&a 5 + a 4a 6= 25,那么 a 3 + a 5= __________ 答案(1)C(2)5解析(1) a 7 • an = a 4 - a 14= 6, 又 a 4 + a 14 = 5,a 4 = 2,a 4= 3或’, @4 = 3a 14= 210a14 32-q= 5=2或 3，a 20103 2=q = _或一. a 10 2 3⑵ 已知公比为q 的等比数列｛a n ｝ 中, a 5 + a 9 = ^q,则 a 6( a 2 + 2a 6 + a io )的值为2 3(2)由a2a4+ 2a3a5 + a4a6= 25,即a2+ 2a3a5 + a；= (a3 + &) 2= 25,•/ a n >0a 3+ a 5> o ,「. a 3+ a 5= 5. 题型二灵活设项求解等比数列3例2已知4个数成等比数列，其乘积为 1,第2项与第3项之和为—㊁，则此4个数为1 1 、 1 1答案 8，一2,，— 8或—8， 2,— 2， 8解析 设此4个数为a , aq , aq 2, aq 3. 则 a 4q 6= 1, 3 -aq (1 + q ) = — 2，①所以a 2q 3=± 1,当a 2q 3 = 1时，q > 0,代入①式化简可得 q 2 — 4q + 1 = 0,此方程无解; 232 171当aq =— 1时，q v 0，代入①式化简可得 q +才q + 1 = 0，解得q = — 4或q = — 4.t丄1当 q = — 4 时，a =— 8;t1丄当 q = — 4时，a = 8.1 1 1 1所以这4个数为8，一 2, ，一 8或一 g , 2，一 2, 8. 反思与感悟灵活设项求解等比数列的技巧(1)三数成等比数列， 般可设为aq ， a , aq; M(2)四数成等比数列，一般可设为a a 3, , q qaq , aq 3或 a , aq, aq 2, aq 3，但前一种设法的公比为 q 2( > 0)；(3)五数成等比数列，一般可设为a a 2, , q qa , 2aq, aq .跟踪训练2 有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积是- 8，后三个数依次成等差数列，它们的积为—80 ,求出这四个数. 解 由题意设此四个数为-，b , bq, a ,q则有 2bq = a + b ,ab 2q =— 80,a = 10,解得b =- 2,q = - 24所以这四个数为 1 , - 2, 4, 10或一?— 2, - 5, - 8.5 题型三等比数列的实际应用例3为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2014年底，将当地沙漠绿化了 40%从2015年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被 绿化的部分叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过 50%?（可参考数据lg 2 = 0.3，最后结果精确到整数）. 解 设该地区总面积为1,2014年底绿化面积为a 1 = 2，经过n 年后绿洲面积为a n +1,设20145 年底沙漠面积为 b 1,经过n 年后沙漠面积为 b n +1,则a 1+1, a n + b n = 1.依题意，a n +1由两部分组成：一部分是原有绿洲 a n 减去被侵蚀的部分 8%a n 的剩余面积92%a n , 另一部分是新绿化的 12%- b n ,所以4 3a n +1 = 92% ■ a n + 12%（1 — an ） = §a n + 25 ,3 4 3 an +1-5 = 5(an -5), 3 2 3 1 a15 = 5 5 = 5,” 3" 1 4•「a n -孑是以—二为首项，匚为公比的等比数列,J ' 5 53 14 n -1•an -5=(- 5)(4), • • a n =•••an+1> 50% • 5-將 >2 4 n 1 41 lg 2 5 <2, n >log 52= 1-3gT =3.则当心时，不等式5 n <1恒成立•所以至少需要4年才能使绿化面积超过 50%.n - 1或8, 2反思与感悟本题从实际问题抽象出一个数列问题，解决数列应用题的关键是读懂题意，建立数学模型，弄清问题的哪一部分是数列问题，是哪种数列•在求解过程中应注意首项的确 立、时间的推算，不要在运算中出现问题.跟踪训练3 2015年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为 16a 和25a ，甲林场木材 存量每年比上年递增 25%而乙林场木材存量每年比上年递减 20%.⑴问哪一年两林场木材的总存量相等？ ⑵问两林场木材的总量到 2019年能否翻一番？ 解(1)由题意可得n — 1n — 116a (1 + 25%) = 25a (1 — 20%), 解得n = 2,故到2017年两林场木材的总存量相等.故到2019年不能翻一番. r 当堂检测1 .在正项等比数列｛a n ｝中，a n + 1<a n , a2 • a 8= 6, a 4 + a 6= 5，则一等于( )A.|B. 6 2 % D. 答案 D解析 设公比为q ,则由等比数列｛a n ｝各项为正数且a n + 1<a n 知0<q <1,2由 a 2 • a 8 = 6，得隹=6.1a ?= 16，贝U a 3a 6 + a 4a 5的值是( A . 1 B . 2 eq D. 答案 e自查自纠⑵令 n =5,贝U a 5= 16a5 v 2(16 a + 25a ),2 .在等比数列｛a n ｝中, a 2 = 4,解析a3a 尸a4a 尸a2a7= 4X 歹4,• • a 3a 6+ a 4a 5^ 2.3.在正项等比数列｛a n ｝中，3a i , ；a 3, 2a 2成等差数列，则 竺°!二竺Z 等于（）2 a 2 014 — a 2 015 A .3 或—1 B .9或1 C. 1 D .9答案 D解析由3a i, 2a s , 2a 2成等差数列可得a s = 3a i + 2a 2,2即 a i q = 3a i + 2a i q ,2-a i M 0,•• q — 2q — 3 = 0.解得q = 3或q =— i(舍).a 2 0i6 2= =q = 9.a 2 0i44.已知数列：4, a , i2, b 中，前三个数成等差数列， 后三个数成等比数列， 则b 等于（）A . 20B . i8 C. i6 D . i4 答案 B解析 由题意可得 2a = 4+ i2= i6? a = 8,又 i22= 8b ? b = i8.i5 •在和8之间插入 3个数，使它们与这两个数依次构成等比数列，则这3个数的积为答案 81解析 设插入的3个数依次为a , b , c ,即^, a , b , c , 8成等比数列，由等比数列的性质可2 1 2 1得b = ac =8= 4,因为a = ?b >0,「. b = 2（舍负）.所以这3个数的积为abc = 4x 2= 8.「课堂爪结 -------------------------------------I ____________________________________________ Ia 2 0i6 一 a 2 0i7 a 2 0i4 一 a 2 0i5 a 2 0i6 (i — q ) a 2 0i4 (i — q )1.等比数列的性质及其应用一方面，等比数列的性质要与等差数列的性质对比记忆，加深理解并作区分；另一方面，等比数列一般运算量大，巧用等比数列的性质，减少计算量，这一点很重要.灵活设项解决2．等比数列各项之间可由公比建立关系，在求三、四个数的等比数列问题中，等比数列的问题．。

2.4 等比数列(第2课时)学习目标灵活应用等比数列的定义及通项公式;深刻理解等比中项的概念;熟悉等比数列的有关性质,并系统了解判断数列是否是等比数列的方法.通过自主探究、合作交流获得对等比数列性质的认识.充分感受数列是反映现实生活的模型,体会数学是来源于现实生活,并应用于现实生活的,数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的,提高学习的兴趣.合作学习一、设计问题,创设情首先回忆一下上一节课所学主要内容:1.等比数列:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0),即: .2.等比数列的通项公式: .二、信息交流,揭示规律1.等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a 与b的等比中项.即G=±(a,b同号).如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,则,反之,若G2=ab,则,即a,G,b成等比数列.(1)在等比数列{a n}中,是否有=a n-1a n+1(n≥2)?(2)如果数列{a n}中,对于任意的正整数n(n≥2),都有=a n-1a n+1,那么{a n}一定是等比数列吗?分析:(1)由{a n}是等比数列,知,所以有=a n-1a n+1(n≥2);(2)当数列为0,0,0,0,…时,仍有=a n-1a n+1,而等比数列的任一项都是不为零的,所以不一定;若数列{a n}中的每一项均不为零,且=a n-1a n+1(n≥2,n∈N),则数列{a n}是等比数列,反之成立.2.几个性质(1)已知a1,a2,a3,…,a n是公比为q的等比数列,新数列a n,a n-1,…,a2,a1也是等比数列吗?分析:由等比数列的定义可得=…==q.所以=…=,由此可以看出a n,a n-1,…,a2,a1是从第2项起,每一项与它的前一项的比值都等于,所以是首项为,公比为的等比数列.(2)已知无穷等比数列{a n}的首项为a1,公比为q.①依次取出数列{a n}的所有奇数项,组成一个新数列,这个数列还是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少?②数列{ca n}(其中常数c≠0)是等比数列吗?如果是,它的首项和公比分别是多少?分析:①由=q,得a n+1=a n q,a3=a2q=a1q2,所以=q2;a5=a4q=a3q2,所以=q2;以此类推,可得,=q2,所以数列{a n}的所有奇数项组成的数列是首项为,公比为的等比数列.②因为=…==q,所以数列{ca n}(c≠0)是首项为ca1,公比为q的等比数列.(3)已知数列{a n}是等比数列.①=a3a7是否成立?=a1a9成立吗?②=a n-1a n+1(n>1)是否成立?③=a n-k a n+k(n>k>0)是否成立?④在等比数列中,m+n=p+k,a m,a n,a p,a k有什么关系呢?分析:①设数列{a n}的公比为q,则a3=a1q2,a5=a1q4,a7=a1q6,q8,a3a7=(a1q2)(a1q6)=q8,所以=a3a7,同理=a1a9.②=a n-1a n+1(n>1)成立.③=a n-k a n+k(n>k>0)成立.④由等比数列定义,得a m=a1q m-1,a n=a1q n-1,a p=a1q p-1,a k=a1q k-1,a m·a n=q m+n-2,a p·a k=q p+k-2,则a m a n=a p a k.结论:若m+n=p+k,则.三、运用规律,解决问题【例1】等比数列{a n}中,(1)已知a2=4,a5=-,求数列{a n}的通项公式;(2)已知a3a4a5=8,求a2a3a4a5a6的值.【例2】如果数列{a n},{b n}是项数相同的等比数列,那么{a n·b n}也是等比数列.【例3】设a,b,c,d成等比数列,求证:(b-c)2+(c-a)2+(d-b)2=(a-d)2.【例4】若a,b,c成等差数列,且a+1,b,c与a,b,c+2都成等比数列,求b的值.四、变式训练,深化提高变式训练1:等比数列{a n}中,若a7·a12=5,则a8·a9·a10·a11= .变式训练2:等比数列{a n}中,若a1+a2+a3=7,a1·a2·a3=8,则a n= .变式训练3:已知数列{a n}为等比数列,且a n>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5= .变式训练4:三个数成等比数列,它们的和为14,它们的积为64,求这三个数.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境1.=q(q≠0)2.a n=·q n-1(a1·q≠0),a n=·q n-m(a m·q≠0)二、信息交流,揭示规律1.⇒G2=ab⇒G=±2.(1)a n(2)①a1q2(3)a m a n=a p a k(m,n,p,k∈N*)三、运用规律,解决问题【例1】解:(1)∵a5=a2q5-2,∴q=-.∴a n=a2q n-2=4×.(2)∵a3a5=,a3a4a5==8,∴a4=2.又∵a2a6=a3a5=,∴a2a3a4a5a6==32.【例2】解:设数列{a n}的首项是a1,公比为q1;数列{b n}的首项为b1,公比为q2,那么数列{a n·b n}的第n项与第n+1项分别为a1··b1·与a1··b1·,即为a1b1(q1q2)n-1与a1b1·(q1q2)n,因为=q1q2,它是一个与n无关的常数,所以{a n·b n}是一个以a1b1为首项,以q1q2为公比的等比数列.【例3】证明:法一:∵a,b,c,d成等比数列,∴,∴b2=ac,c2=bd,ad=bc,∴左边=b2-2bc+c2+c2-2ac+a2+d2-2bd+b2=2(b2-ac)+2(c2-bd)+(a2-2bc+d2)=a2-2ad+d2=(a-d)2=右边.证毕.法二:∵a,b,c,d成等比数列,设其公比为q,则b=aq,c=aq2,d=aq3,∴左边=(aq-aq2)2+(aq2-a)2+(aq3-aq)2=a2-2a2q3+a2q6=(a-aq3)2,=(a-d)2=右边证毕.【例4】解:设a,b,c分别为b-d,b,b+d,由已知b-d+1,b,b+d与b-d,b,b+d+2都成等比数列,有整理,得所以b+d=2b-2d,即b=3d,代入①,得9d2=(3d-d+1)(3d+d),9d2=(2d+1)·4d,解之,得d=4或d=0(舍d=0),所以b=12.四、变式训练,深化提高变式训练1:解析:因为a7·a12=a8·a11=a9·a10,又a7·a12=5,所以a8·a9·a10·a11=5×5=25.答案:25变式训练2:解析:由a1·a2·a3=8得=8,于是a2=2所以a1·a3=4, ①由a1+a2+a3=7得a1+a3=5, ②由①②解得当时,q==2,a n=2n-1,当时,q=,a n=4×=23-n.答案:2n-1或23-n变式训练3:解析:因为a2a4=a3a3=,a4a6=a5a5=,所以a2a4+2a3a5+a4a6=+2a3a5+=(a3+a5)2=25.又a n>0,所以a3+a5=5.答案:5变式训练4:解:设这三个数为,a,aq,由题意解得于是所求的三个数为2,4,8或8,4,2.五、反思小结,观点提炼略。