苏教版数学高二 必修5学案 2. 等比数列的性质

2.3.1等比数列的概念【教学思路】：一、创设情景，揭示课题引入：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。

”；细胞分裂模型；计算机病毒的传播；印度国王奖赏国际象棋发明者的实例等都是等比数列的实例。

再看下面的例子： ①1，2，4，8，16， (1)12，14，18，116，… ③1，20，220，320，420，…④10000 1.0198⨯，210000 1.0198⨯，310000 1.0198⨯，410000 1.0198⨯，510000 1.0198⨯，……观察：请同学们仔细观察一下，看看以上①、②、③、④四个数列有什么共同特征？ 共同特点：（1）“从第二项起”，“每一项”与其“前一项”之比为常数)(q（2）隐含：任一项00≠≠q a n 且 （3）1≠q 时，}{n a 为常数 二、研探新知 1．等比数列定义：一般地，如果一个数列从第二项起．．．．，每一项与它的前一项的比等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q 表示(0)q ≠，（注意：等比数列的公比和项都不为零）． 注意：（1）“从第二项起”与“前一项”之比为常数)(q ,}{n a 成等比数列⇔nn a a 1+=q （+∈N n ,0≠q ）（2）隐含：任一项00≠≠q a n 且,“n a ≠0”是数列}{n a 成等比数列的必要非充分条件． （3）1=q 时，}{n a 为常数。

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维例1 （教材45P 例1）判断下列数列是否为等比数列：（1）1,1,1,1；（2）0,1,2,4,8；（3）1618141211，，，，--解：（1）所给的数列是首项为1，公比为1的等比数列． （2）因为0不能作除数，所以这个数列不是等比数列．例2 （教材46P 例2）求出下列等比数列中的未知项：（1）2,,8a ； （2）14,,,2b c -． 解：（1）由题得82a a=，∴4a =或4a =-． （2）由题得 412b c b c c b⎧=⎪-⎪⎨⎪=⎪⎩，∴2b =或1c =-．四、巩固深化，反馈矫正 1. 教材49P 练习第1，2题 2. 教材49P 习题第1，2题五、归纳整理，整体认识本节课主要学习了等比数列的定义，即：)0(1≠=-q q a a n n；等比数列的通项公式：11-⋅=n n q a a 及推导过程。

2.3.2等比数列的通项公式类比两个数列问题1若2,,5a 三个数成等比数列，则____a =；【温故知新】等比数列定义：nn a a 1+=q （n N *∈,q ≠0）； 等比中项：若,,a b c 成等比数列，则2b ac =问题2在等比数列中，第2021多少？【新知探求】等比数列的通项公式：111(0)n n a a q a q -=⋅⋅≠推广公式：1(0)n m n m a a q a q -=⋅⋅≠【实践演练】问题3 在等比数列{}n a 中，13,2,a q ==-求6,n a a ；问题4 在等比数列{}n a 中，3620,160,a a ==求1,,n a q a ；问题5 在等比数列{}n a 中，4620,160,a a ==求1,,n a q a ；问题6 在等比数列{}n a 中，514215,6a a a a -=-=，求n a ；小结：解决等比数列问题的重要方法——基本量法；处理等比数列计算问题解方程组时，通常采用两式相除消元法。

问题7 在243和３中间插入三个数，使这五个数成等比数列，求这三个数；问题8（2021年江苏第19题改编）设1a ，2a ，3a ，4a 是各项均不为零的等差数列，且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，求1a d 的值和等比数列的公比问题9 已知四个数前三个成等差，后三个成等比，中间两数之积为16，前后两数之积为128-，求这四个数【用心思考】问题10（2021江苏第14题）设是公比为的等比数列，||1q >，令1(1,2,)n n b a n =+=，若数列有连续四项在集合{}53,23,19,37,82--中，则=【课堂小结】（1）等比数列通项公式中的基本量为1a ，q ，n ，n a ，可以“知三求一”；（2）求等比数列中的基本量学会运用方程思想解题；。

第8课时：§2.3 等比数列（2）【三维目标】：一、知识与技能1.进一步熟练掌握等比数列的定义及通项公式；2.深刻理解等比中项概念，掌握等比数列的性质；3.提高学生的数学素质，增强学生的应用意识.二、过程与方法通过自主探究、合作交流获得对等比数列的性质的认识。

三、情感、态度与价值观充分感受数列是反映现实生活的模型，体会数学是来源于现实生活，并应用于现实生活的，数学是丰富多彩的而不是枯燥无味的，提高学习的兴趣。

【教学重点与难点】：重点：等比中项的理解与应用难点：灵活应用等比数列定义、通项公式、性质解决一些相关问题【学法与教学用具】：1.学法：2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题首先回忆一下上一节课所学主要内容：1.等比数列：如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母g表示（（?工0）,即：d=q（gzO）a…-i2.等比数列的通项公式：a n = , a n = a m -q n~m{a m - 0）3.［a n］成等比数列o 也 =g （ " w N+, gHO）“ a…工0”是数列［a n］成等比数列的必要非充分条件a”4.既是等差又是等比数列的数列：非零常数列.二、研探新知1.等比中项：如果在&与方中间插入一个数使a,G,b成等比数列，那么称这个数0为$与方的等比中项.即Q 土y［ab （②方同号）推导：若在仪与方中间插入一个数使a,G,b成等比数列，则—=^>G2= ab^> G = ±y/~ab / a G反之，若G? =ab,则9 = 2,即aGb成等比数列/. a,G,b成等比数列o G? =ab〈ab壬0)a G探究：已知数列｛a”｝是等比数列，(1) af = a3a7是否成立？af = 成立吗？为什么？(2) a； = a”-%](“〉1)是否成立？你据此能得到什么结论？a： = a n_k a n+k(n >k>0)是否成立？你又能得到什么结论？结论：若｛a”｝为等比数列，m + n = p + q (m,n,q,p & NJ ,贝0 a m - a n =a p-a q.由等比数列通项公式得：a m =a l q m^ a n = a x q n^ , a p=a x q p~x ,a^= a x-q q ｛, 故a,” • a n = Q冷2 且勺.仙=a^q p+q 2, '： m + n = p + q, :. a m• a” =a p-a q.2.等比数列的性质：(1)与首末两项等距离的两项积等于首末两项的积。

高中苏教数学⑤2.3等比数列教材解读（1）一、等比数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示(0)q ≠．解读：1．“从第2项起”是因为首项没有“前一项”；2．公比q 等于从第二项起，每一项与它前一项的比，即1()n na q n a *+=∈N 或1(2)nn a q n n a *-=∈N ，且≥，分子分母的顺序不能颠倒； 3．由等比数列的定义可得，等比数列的每一项都不能为0，公比也不能为0，即等比数列排斥0；4．如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或从第3项起是一个等比数列；5．根据等比数列的定义，我们可以判定一个数列是否是等比数列，即只需看1n n a a +或1nn aa -是否为一个与n 无关的常数．在用1nn a a -判定时，条件是2n ≥，不要误认为无法判断21a a ，其实当2n =时，211n n a aa a -=，所以这种判定方法也是严谨的． 二、等比中项定义：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a G b ，，成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．解读：1．a G b ，，满足，即2G ab =，解得G =等比中项；2．由等比中项的定义可知一个等比数列{}n a 从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前后两项的等比中项，因此，利用等比中项的定义也能证明一个数列{}n a 是否为等比数列，即证明211(2)nn n a a a n n *-+=∈N ，且·≥． 三、等比数列的通项公式首项为1a ，公比为q 的等比数列{}n a 的通项公式为11n n a a q -=（其中，1a 与q 均不为０）． 解读：1．已知等比数列的首项和公比，可以求得数列中任意一项；2．通项公式反映了1n a q a n ，，，之间的关系；3．在已知等比数列中任意一项及公比的前提下，使用n m n m a a q -=也可求得等比数列中任意一项．四、等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式11n n a a q -=a 可以整理为1n n a a q q ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当0q >，且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，而1xa y q q =·是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列的图象是函数1xa y q q=·的图象上一群孤立的点．同样也可以把等比数列的通项公式视为定义域为*N 或它的真子集上的一个类指数函数．五、考查方式1．考查定义：利用等比数列或等比中项的定义证明一个数列是等比数列． 2．考查性质：利用等比数列的性质求解或简化计算过程． 3．计算问题：（1）求1n n a q a n S ，，，，中的量，可根据通项公式及前n 项和公式列方程（组）求解，求解原则为“知三求二”；（2）与等差数列的综合问题；（3）递推数列求通项公式问题转化为等比数列求通项公式问题；（4）应用问题．例 在等比数列{}n a 中，0n a >，且413a =，7243a =，则3132310log log log a a a +++L 的值为_________．解析：设等比数列的公比为q ．途径一：依题意得316113243a q a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．解得1121879a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，．∴313231031210log log log log ()a a a a a a +++=L L ···．途径二：∵413a =，7243a =，∴33749aq a ==，∴ 9q =，下同途径一．途径三：∵数列{}n a 是等比数列，∴110293856471243813a a a a a a a a a a =====⨯=·····，∴31323103110329356log log log log ()log ()log ()a a a a a a a a a +++=+++L L ·· 3333log 81log 81log 81log 815420=+++=⨯=．途径四：设3log n n b a =，则数列{}n b 是等差数列，其中431log 13b ==-，73log 2435b ==，1210475()5420b b b b b +++=+=⨯=L ∴． 故3132310log log log 20a a a +++=L ．评注：途径一是常规解法，利用了等比数列的通项公式；途径二直接利用了性质；途径三综合利用了性质；途径四利用了与等差数列有关的性质．由此可以看出，在解决等比数列问题时，抓住性质可以快速、巧妙的进行求解．高中苏教数学⑤2.3等比数列教材解读（2）一、等比数列的前n 项和公式等比数列{}n a 的前n 项和公式为111(1)(1)(1).11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩，解读：1．当1q ≠时，求和公式有两种形式，要注意它们的适用情况；2．等比数列的前n 项和公式可视为分段函数，在解答相关含参数数列求和时，1q =的情形往往被忽略，这一点请同学们谨记；3．我们不但要记住前n 项和公式，还要弄清前n 项和公式的推导过程． 二、等比数列的前n 项和的性质设n S 是等比数列{}n a 的前n 项和．1．当1q ≠时，111(1)111n n n a q a aS q q q q-==----，可以看作n n S kq k =-（k 是不为0的常数），特点为n q 的系数和常数项互为相反数，根据这一点我们可以利用待定系数法求等比数列的前n 项和；2．k S ，2k k S S -，32k k S S -，…（0k S ≠）成等比数列，公比为kq ；3．当1q ≠时，11n n mm S q S q-=-（注：0mq -≠）． 三、等比数列前n 项和公式的推导课本中用两种方法推导了等比数列的前n 项和公式，我们要掌握如何巧妙地运用等比数列的定义或性质推出其前n 项和公式．下面我们用另外两种方法来推导等比数列的前n 项和公式．1．等比定理法若1q =，则1n S na =；若1q ≠，由等比数列的定义知3241231n n a a a a q a a a a -=====L (2)n ≥，所以2341231n n a a a a q a a a a -++++=++++L L ，即1n n n S a q S a -=-，解得11n n a a qS q-=-(2)n ≥．当1n =时，11S a =也适合此式．故111(1)(1)(1).11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩，．2．恒等变形法121121()n n n S a a a a q a a a -=+++=++++L L 1()n n a q S a =+-．当1q ≠时，11n n a a qS q-=-；当1q =时，1n S na =．故111(1)(1)(1).11n n n na q S a a q a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩，四、考查方式1．考查性质等比数列的前n 项和的三个性质都是考查的热点． 2．计算问题（1）等比数列有1a ，q ，n a ，n ，n S 五个基本量，根据通项公式与前n 项和公式可列两个方程，因此，这五个量可“知三求二”；（2）与等差数列的综合问题．例 记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知41S =，817S =，则公比q =________．解法一：设数列{}n a 的首项为1a ，公比为q ，则有414818(1)11(1)17.1a q S q a q S q ⎧-==⎪-⎪⎨-⎪==⎪-⎩，解得2q =±．解法二：∵数列{}n a 是等比数列，∴可设nn S kq k =-，依题意，得4488117S kq k S kq k ⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，，解得2Q =±．解法三：∵数列{}n a 是等比数列，∴数列4S ，84S S -，…是等比数列，公比为4171161q -==， ∴2q =±．解法四：∵数列{}n a 是等比数列，∴88441171S qS q-==-，解得2q=±．评注：解法一是基本解法，解法二是依据性质1来解答的，解法三是依据性质2来解答的，解法四是依据性质3来解答的，显然运用性质的解法都比基本解法计算简单．。

等比数列的概念、性质__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________教学重点： 掌握并理解等比数列的概念及性质，通项公式的求解，等比数列与指数函数的关系 教学难点： 理解等比数例性质及与指数函数的关系1. 等比数列的概念一般地，如果一个数列从第_______项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的_________，公比通常用__________表示。

2. 等比数列的通项公式____________________3. 等比中项如果三个数,,x G y 组成等比数列，那么G 叫做x 和y 的等比中项，其中___________4. 等比数列的性质（1）公比为q 的等比数列的各项同乘以一个不为零的数m ，所得数列仍是等比数列，公比仍为q（2）若,,,,m n p q m n p q N ++=+∈，则__________________（3）若等比数列{}n a 的公比为q ，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以_________为公比的等比数列 （4）等比数列{}n a 中，序号成等差数列的项构成等比数列（5）若{}n a 与{}n b 均为等比数列，则{}n n a b 也为等比数列5. 等比数列与指数函数的关系等比数列{}n a 的通项公式111n n n a a a q q q-== 当0q >且1q ≠时，x y q =是一个指数函数，设1a c q=则n n a cq =，等比数列{}n a 可以看成是函数x y cq =，因此，等比数列{}n a 各项所对应的点是函数x y cq =的图像上的一群孤立的点。

第1课时等比数列的概念及通项公式1．理解等比数列的概念，能在具体情景中，发现数列的等比关系．(重点)2．会推导等比数列的通项公式，并能应用该公式解决简单的等比数列问题．(重点)3．会证明一个数列是等比数列．(难点)[基础·初探]教材整理1 等比数列的概念阅读教材P49的有关内容，完成下列问题．如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列中，各项与公比均不为零．( )(2)数列a，a，…，a一定是等比数列．( )(3)等比数列{a n}中，a1，a3，a5一定同号．( )【答案】(1)√(2)×(3)√教材整理2 等比数列的通项公式阅读教材P51～P52，完成下列问题．如果数列{a n}是等比数列，首项为a1，公比为q，那么它的通项公式为a n＝a1q n－1(a1≠0，q≠0)．1．在等比数列{a n}中，已知a1＝2，a4＝16，则a n＝________.【解析】∵a4＝a1q3，∴q3＝8，∴q＝2，∴a n＝a1q n－1＝2·2n－1＝2n.【答案】2n2．在等比数列{a n}中，已知a1＝3，q＝3，若a n＝729，则n＝________.【解析】∵a n＝a1q n－1，a1＝3，q＝3，∴729＝3·3n －1＝3n，∴n ＝6.【答案】 6教材整理3 等比中项阅读教材P 54第11题，完成下列问题．1．若a ，G ，b 成等比数列，则称G 为a 和b 的等比中项，且满足G 2＝ab . 2．若数列{a n }是等比数列，对任意的正整数n (n ≥2)，都有a 2n ＝a n －1·a n ＋1.1．若22是b －1，b ＋1的等比中项，则b ＝________.【解析】 ∵(b －1)(b ＋1)＝(22)2，∴b 2－1＝8，∴b 2＝9，∴b ＝±3. 【答案】 ±32．若1，a,4成等比数列，则a ＝________. 【解析】 ∵1，a,4成等比数列， ∴a 2＝1×4＝4， ∴a ＝±2. 【答案】 ±2[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问2：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________ 疑问3：_________________________________________________ 解惑：_________________________________________________[小组合作型]等比数列的判定与证明设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋2a n －1＋3＝0(n ≥2)．判断数列{a n ＋1}是否是等比数列？【精彩点拨】 只需证明a n ＋1＋1a n ＋1＝非零常数即可．【自主解答】 由题意知a n ＋1＋2a n ＋3＝0(n ≥2)成立，∴a n ＋1＝－2a n －3， ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝－2a n －3＋1a n ＋1＝－2(常数)． 又a 1＋1＝2，∴数列{a n ＋1}是以2为首项，以－2为公比的等比数列．要判断一个数列{a n }是等比数列，其依据是a n a n －1＝q (q 是非零常数)或a n ＋1a n＝q ，对一切n ∈N *且n ≥2恒成立．[再练一题]1．判断下列数列是否为等比数列． (1)1，－1,1，－1，…； (2)1,2,4,6,8，…； (3)a ，ab ，ab 2，ab 3，….【解】 (1)是首项为1，公比为－1的等比数列． (2)64≠86，不是等比数列． (3)当ab ≠0时，是等比数列，公比为b ，首项为a ； 当ab ＝0时，不是等比数列．等比数列的通项公式(1)若{a n }为等比数列，且2a 4＝a 6－a 5，则公比为________． (2)在等比数列{a n }中，若a 2＋a 5＝18，a 3＋a 6＝9，a n ＝1，则n ＝________.【导学号：91730035】【解析】 (1)∵a 6＝a 4q 2，a 5＝a 4q ，∴2a 4＝a 4q 2－a 4q ，∴q 2－q －2＝0，∴q 1＝－1，q 2＝2.(2)法一 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a 5＝a 1q ＋a 1q 4＝18，③a 3＋a 6＝a 1q 2＋a 1q 5＝9，④由④③得q ＝12，从而a 1＝32，又a n ＝1， 所以32×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＝1，即26－n＝20，所以n ＝6.法二 因为a 3＋a 6＝q (a 2＋a 5)，所以q ＝12.由a 1q ＋a 1q 4＝18，知a 1＝32. 由a n ＝a 1qn －1＝1，知n ＝6.【答案】 (1)－1或2 (2)6等比数列基本量的求法a 1和q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来，法一是常规解法，先求a 1，q ，再求a n ，法二是运用通项公式及方程思想建立方程组求a 1和q ，这也是常见的方法．[再练一题]2．(1)若等比数列的前三项分别为5，－15,45，则第5项是________．(2)一个各项均为正数的等比数列，每一项都等于它后面两项的和，则公比q ＝________.【解析】 (1)∵a 5＝a 1q 4，a 1＝5，∴q ＝－3，∴a 5＝405. (2)由题意，a n ＝a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＝a n q ＋a n q 2，∴q 2＋q －1＝0，∴q ＝－1±52.∵q >0，∴q ＝5－12.【答案】 (1)405 (2)5－12[探究共研型]等比中项探究1 三个数满足G 2＝xy ，则x ，G ，y 成等比数列吗？ 【提示】 不一定．如0,0,0这三个数不成等比数列． 探究2 任何两个非零常数都有等比中项吗？ 【提示】 不是．只有同号的两个数才有等比中项．在4与14之间插入3个数，使这5个数成等比数列，求插入的3个数．【精彩点拨】 法一：利用等比数列的通项公式求解； 法二：先设出这三个数，再利用等比中项求解．【自主解答】 法一：依题意，a 1＝4，a 5＝14，由等比数列的通项公式，得q 4＝a 5a 1＝116，q ＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.法二：此等比数列共5项，a 3是a 1与a 5的等比中项，因此a 3＝±a 1a 5＝±1.a 2是a 1与a 3的等比中项，a 4是a 3与a 5的等比中项，因为一个正数和一个负数没有等比中项，所以a 3＝1，a 2＝±a 1a 3＝±2，a 1＝±a 3a 5＝±12.因此，插入的3项依次为2,1，12或－2,1，－12.注意等比数列中各项的符号特点是隔项符号必须相同．从而，对于数a ，b 的等比中项G ，G 2＝ab 一定成立，但G 的符号不一定正负都可取，如等比数列{a n }中，三项分别为a 1，a 4，a 7，则a 4是a 1与a 7的等比中项，此时a 4可取正值，也可取负值；而对于下面的三项a 2，a 4，a 6，也有a 4是a 2与a 6的等比中项，此时a 4只能与a 2和a 6同号．[再练一题]3．已知a ，－32，b ，－24332，c 这五个数成等比数列，求a ，b ，c 的值．【解】 由题意知b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－24332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫326，∴b ＝±278.当b ＝278时，ab ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－322，解得a ＝23；bc ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－243322＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3210，解得c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 同理，当b ＝－278时，a ＝－23，c ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫327. 综上所述，a ，b ，c 的值分别为23，278，⎝ ⎛⎭⎪⎫327或－23，－278，－⎝ ⎛⎭⎪⎫327.[构建·体系]1．下列各组数能组成等比数列的是________(填序号)． ①13，16，19；②lg 3，lg 9，lg 27； ③6,8,10；④3，－33，9. 【解析】－333＝9－33＝－ 3. 【答案】 ④2．若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数n ＝________. 【解析】 由等比数列的通项公式，得128＝4×2n －1,2n －1＝32，所以n ＝6.【答案】 63．在等比数列{a n }中，a 1＝18，q ＝－2，则a 4与a 10的等比中项是________.【导学号：91730036】【解析】 a 4与a 10的等比中项为a 7，a 7＝18×(－2)6＝8.【答案】 84．已知{a n }是递增等比数列，a 2＝2，a 4－a 3＝4，则此数列的公比q ＝________. 【解析】 a 4－a 3＝a 2q 2－a 2q ＝a 2(q 2－q )＝2(q 2－q )＝4，∴q 2－q －2＝0， ∴q ＝2，或q ＝－1(舍去)． 【答案】 25．在243和3中间插入3个数，使这5个数成等比数列，求这3个数． 【解】设插入的三个数为a 2，a 3，a 4，由题意得243，a 2，a 3，a 4,3成等比数列． 设公比为q ，则3＝243·q 5－1，解得q ＝±13.当q ＝13时，a 2＝81，a 3＝27，a 4＝9；当q ＝－13时，a 2＝－81，a 3＝27，a 4＝－9.因此，所求三个数为81,27,9或－81,27，－9.我还有这些不足：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________ 我的课下提升方案：(1)_________________________________________________ (2)_________________________________________________学业分层测评(十) (建议用时：45分钟)[学业达标]一、填空题1．在等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝8，则a n ＝________.【解析】 因为⎩⎪⎨⎪⎧a 4＝a 1q 3，a 7＝a 1q 6，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝2 ①a 1q 6＝8 ②由②①得q 3＝4，从而q ＝34，而a 1q 3＝2， 于是a 1＝2q 3＝12，所以a n ＝a 1q n －1＝22n －53.【答案】 22n －532．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于________．【解析】 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.【答案】 －243．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________.【解析】 ∵b 2＝(－1)×(－9)＝9，且b 与首项－1同号，∴b ＝－3，且a ，c 必同号． ∴ac ＝b 2＝9.【答案】 －3 94．在等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则公比q ＝________.【解析】 由a 3＝a 1q 2＝3，a 10＝a 1q 9＝384，两式相除得，q 7＝128，所以q ＝2. 【答案】 25．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7＝________. 【解析】 ∵{a n }为等比数列， ∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又∵a 1＋a 2＝3， ∴a 1＝1. 故a 7＝1·26＝64. 【答案】 646．若{a n }是等比数列，下列数列中是等比数列的所有代号为________．①{a 2n }；②{a 2n }；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ；④{lg|a n |}．【解析】 考查等比数列的定义，验证第n ＋1项与第n 项的比是否为常数． 【答案】 ①②③7．在160与5中间插入4个数，使它们同这两个数成等比数列，则这4个数依次为________．【解析】 设这6个数所成等比数列的公比为q ，则5＝160q 5，∴q 5＝132，∴q ＝12，∴这4个数依次为80,40,20,10. 【答案】 80,40,20,108．在等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5>a 2，则a n ＝________.【导学号：91730037】【解析】 记数列{a n }的公比为q ，由a 5＝－8a 2，得a 1q 4＝－8a 1q ，即q ＝－2.由|a 1|＝1，得a 1＝±1，当a 1＝－1时，a 5＝－16<a 2＝2，与题意不符，舍去；当a 1＝1时，a 5＝16>a 2＝－2，符合题意，故a n ＝a 1qn －1＝(－2)n －1.【答案】 (－2)n －1二、解答题9．在等比数列{a n }中，a 2－a 1＝2，且2a 2为3a 1和a 3的等差中项，求数列{a n }的首项，公比．【解】 设该数列的公比为q .由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －a 1＝2，4a 1q ＝3a 1＋a 1q 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q －1＝2，q 2－4q ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝3q ＝1舍去，故首项a 1＝1，公比q ＝3.10．数列{a n }满足a 1＝－1，且a n ＝3a n －1－2n ＋3(n ＝2,3，…)． (1)求a 2，a 3，并证明数列{a n －n }是等比数列； (2)求a n .【解】 (1)a 2＝3a 1－2×2＋3＝－4，a 3＝3a 2－2×3＋3＝－15.下面证明{a n －n }是等比数列： 由a 2＝－4，a 3＝－15可知，a n ≠n . ∵a n ＋1－n ＋1a n －n＝3a n －2n ＋1＋3－n ＋1a n －n＝3a n －3n a n －n＝3(n ＝1,2,3，…)．又a 1－1＝－2，∴{a n －n }是以－2为首项，以3为公比的等比数列． (2)由(1)知a n －n ＝－2·3n －1，∴a n ＝n －2·3n －1.[能力提升]1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10等于________．【解析】 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项， ∴a 23＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )， 得a 1＝d ，∴a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝1316.【答案】13162．已知{a n }是等比数列，a n >0，又知a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25，那么a 3＋a 5＝________. 【解析】 ∵a 2a 4＝a 23，a 4a 6＝a 25，∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，∴(a 3＋a 5)2＝25，又∵a n >0，∴a 3＋a 5＝5.【答案】 53．若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝2S n －3，则{a n }的通项公式是________． 【解析】 由a n ＝2S n －3，得a n －1＝2S n －1－3(n ≥2)，两式相减得a n －a n －1＝2a n (n ≥2)， ∴a n ＝－a n －1(n ≥2)，a na n －1＝－1(n ≥2)． 故{a n }是公比为－1的等比数列，令n ＝1，得a 1＝2a 1－3， ∴a 1＝3，故a n ＝3·(－1)n －1.【答案】 a n ＝3·(－1)n －14．互不相等的3个数之积为－8，这3个数适当排列后可以组成等比数列，也可组成等差数列，求这3个数组成的等比数列．【解】 设这3个数分别为a q，a ，aq ，则a 3＝－8，即a ＝－2. (1)若－2为－2q和－2q 的等差中项，则2q＋2q ＝4，∴q 2－2q ＋1＝0，解得q ＝1，与已知矛盾，舍去； (2)若－2q 为－2q和－2的等差中项，则1q ＋1＝2q ，∴2q 2－q －1＝0，解得q ＝－12或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为4，－2,1； (3)若－2q 为－2q 和－2的等差中项，则q ＋1＝2q，∴q 2＋q －2＝0，解得q ＝－2或q ＝1(与已知矛盾，舍去)， ∴这3个数组成的等比数列为1，－2,4.故这3个数组成的等比数列为4，－2,1或1，－2,4.。

2019-2020年高中数学 第二第9课时《等比数列的概念和通项公式》教案（学生版）苏教版必修5【学习导航】知识网络学习要求1.体会等比数列是用来刻画一类离散现象的重要数学模型,理解等比数列的概念；2.类比等差数列的通项公式,探索发现等比数列的通项公式, 掌握求等比数列通项公式的方法；3. 掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决一些简单的实际问题. 【自学评价】1．等比数列：一般地，如果一个数列从__________，每一项与它的前一项的比等于________，那么这个数列就叫做等比数列.这个常数叫做等比数列的_____；公比通常用字母q 表示（q ≠0），即：=q （q ≠0） 注:⑴“从第二项起”与“前一项”之比为常数q ,｛｝成等比数列=q （,q ≠0） ⑵ 隐含：任一项⑶______________时，{a n }为常数列. 2.等比数列的通项公式： ⑴ ______________________ ⑵ 3．既是等差又是等比数列的数列：_______． 4.等比中项的定义：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项.且 5．证明数列为等比数列： ⑴定义：证明=常数； ⑵中项性质：212121n n n n n n n a a a a a a a +++++==或； 【精典范例】【例1】判断下列数列是否为等比数列： （１）１，１，１，１，１； （２）０，１，２，４，８； （３）1，，，，. 【解】【例2】求出下列等比数列中的未知项： （１）２，ａ，８； （２）－４，ｂ，ｃ，． 【解】【例3】在等比数列{a n }中，（１）已知ａ１＝３，ｑ＝－２，求ａ６； （２）已知ａ３＝20，ａ６＝160，求ａｎ． 【解】【例4】在243和３中间插入３个数，使这５个数成等比数列． 【解】追踪训练一1. 求下列等比数列的公比、第５项和第ｎ项：（1）２，６，１８，５４，…； （2）7，，，（3）0.3，－0.09，0.027，－0.0081，…； （4）5， ，，.听课随笔2. 数列m ,m ,m ,…m , ( ) A. 一定是等比数列B.既是等差数列又是等比数列C.一定是等差数列，不一定是等比数列D.既不是等差数列，又不是等比数列3.已知数列{a n }是公比q ≠±1的等比数列，则在{a n +a n +1},{a n +1－a n }，{}na n 这四个数列中，是等比数列的有( )A.1个B.2个C.3个D.4个 【选修延伸】【例5】成等差数列的三个正数之和为15，若这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，求这三个数. 【解】【例6】已知数列｛a n ｝满足：lg a n ＝3n ＋5，试用定义证明｛a n ｝是等比数列.【证明】【点评】 若｛a n ｝是等差数列，b n ＝b an 可以证明数列｛b n ｝为等比数列，反之若｛a n ｝为等比数列且a n ＞0，则可证明｛lg a n ｝为等差数列. 追踪训练二 1．在等比数列｛a n ｝中，a 3·a 4·a 5＝3，a 6·a 7·a 8＝24，则a 9·a 10·a 11的值等于( ) A.48 B.72 C.144 D.192 2．在等比数列中，已知首项为，末项为,公比为，则项数n 等于___ __.3．已知等比数列{a n }的公比q =－,则=___ ___.4．已知数列｛a n ｝为等比数列，(1)若a n ＞0，且a 2a 4＋2a 3a 5＋a 4a 6＝25， 求a 3＋a 5.(2)a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n .2019-2020年高中数学第二讲参数方程本讲小结新人教A版选修4-4一、基本内容简介1．参数方程．2.几种常见曲线的参数方程及相应的普通方程： (1)过点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)． 普通方程：y －y 0＝tan α(x －x 0)或x ＝x 0.t 的几何意义：直线l 上任一点P (不同于M 点)为终点，M 为起点的有向线段MP 的长度．(2)以原点为圆心，半径为r 的圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ(φ为参数)． 普通方程：x 2＋y 2＝r 2.(3)中心在原点，长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦点在x 轴上的椭圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)． 普通方程：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)．(4)中心在原点，实轴长为2a ，虚轴长为2b ，焦点在x 轴上的双曲线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a sec φ，y ＝b tan φ(φ为参数)． 普通方程：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．(5)顶点在原点，x 轴为对称轴，开口向右且焦点到准线的距离为p 的抛物线：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt (p ＞0，t 为参数)． 普通方程：y 2＝2px (p ＞0)． (6)圆的渐开线方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ）(φ为参数)． (7)摆线的参数方程：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ）(φ为参数)． 3．直线参数方程的一般形式及应用：过定点M (x 0，y 0)的直线l 的一般形式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt ，其中t 为参数，a 、b 为常数且满足a 2＋b 2≠0.当a 2＋b 2＝1时，t 才具有几何意义．①求直线l 被二次曲线f (x ，y )＝0截得的弦长|PQ |. 将直线l 的参数方程代入曲线方程得到关于t 的二次方程：At 2＋Bt ＋C ＝0(A ≠0)， 则|PQ |＝a 2＋b 2·B 2－4AC|A |.②普通方程：当a ＝0时，x ＝x 0； 当a ≠0时，y －y 0＝b a(x －x 0)． 二、学习参数方程重点注意的几点1．关于参数方程的学习，首先要正确理解曲线的参数方程的概念，注意掌握课本中讲到的曲线的参数方程、直线的参数方程、圆的参数方程、椭圆的参数方程(这三个内容新教材中也有)、双曲线的参数方程、抛物线的参数方程．2．由于同学们对曲线的普通方程有着较深刻的理解和掌握，因此要善于消去参数，把参数方程化为普通方程，进而可以再研究曲线的几何性质．消去参数的常用方法有：①代入消参法；②三角消参法；③根据参数方程的特征，采用消参的手段．3．参数方程的一个优点是曲线上的动点坐标(x，y)中的x和y分别用第三个变量t来表示，因此在利用参数方程解答数学问题时就可以消去x和y，转化为t的方程或t的函数问题了．4．参数的方法在求曲线的方程等方面有着广泛的应用，要注意合理选参、巧妙消参．5．参数既是刻画变化状态的工具，又是揭示问题中内在联系的媒介，确立参数思想是提高数学能力的重要环节，一些解析几何问题，适当地引进参数后，问题的难度明显降低．但参数方程只是曲线方程多种形式的一种，利用参数方程研究曲线或建立轨迹参数方程有它的简便之处，但也不是任何问题参数法就比其他解法优越，因此，复习中应要求恰当，既不能简单处理，也不宜要求过高．在求动点轨迹方程的综合问题中，常用参数法．其步骤为：(1)选参数并确定参数的取值范围；(2)建立参数与x、y的函数关系；(3)消参数并整理得普通方程．6．在选择参数时，要注意以下几点：(1)参数应与动点坐标x、y有直接关系，且x、y便于用参数表示．(2)选择的参数要便于使问题中的条件解析化．(3)对于所选定的参数，要注意其取值范围，并能确定参数对x、y取值范围的制约．(4)若求轨迹，应尽量使所得的参数方程便于消去参数得普通方程．7．提高利用转化解题的意识．建立曲线方程时，可先引入参数，建立起参数方程，再化为普通方程；同样地，在根据参数方程确定曲线的形状和研究性质时，又往往化为普通方程来求解．这一转化过程能降低解题难度，是一个有效的过程，在解题时应善于应用．。