高考数学复习选填题专项练习15---球(解析版)

专题17 球的有关问题（解析版）球是最常见的一种几何体,在近几年高考题中与球有关的问题频繁出现。

在此类问题中,既可以考查球的表面积、体积及距离等基本量的计算,又可以考查球与多面体的相切接,同时也能很好地考查同学们的画图能力、空间想象能力、推理论证能力。

考查形式多以选择题和填空题出现。

本专题对近十年来，全国新课标卷理出现的与球有关的问题进行汇编和简要的分析。

球的有关性质性质1. 球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆.性质2. 球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面. 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.性质3: 球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r 的关系为:R 2=d 2+r 2. 性质4. 球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心. 性质5. 球的直径等于球的内接长方体的对角线长.性质6. 若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心O 是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点. 球有关问题易错点 易错点1：公式记忆错误易错点2：多面体与几何体的结构特征不清楚导致计算错误易错点3：简单的组合体画不出适当的截面图致误题组一：以三视图为背景 1．（2016I ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径，若该几何体的体积是28π3，则它的表面积是A ．17πB ．18πC ．20πD ．28π 【解析】由三视图可知该几何体为球去掉一个81球，设球的半径为R ，则37428,833VR R=2, 故其表面积2271431784SR R2.（20131）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm ，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm ，如不计容器的厚度，则球的体积为A.3cm 3500π B.3cm 3866π C.3cm 31372π D.3cm 32048π【解析】根据几何意义得出：边长为8的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，∴圆的半径为4，∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm ，862d2224,=5R R R 球的半径为：即334500cm 33R 球的体积为：V=故选A. 题组二，以棱（圆）柱为载体3.(2010)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为________.【解析】根据题意可知三棱柱是棱长都是a 的正三棱柱，设上下底面中心连线EF 的中点O ，则O 就是球心，其外切球的半径为OA1,又设D 为A1C1中点，在直角三角形EDA1中，110sin 603A D EA == 122211t ,2712aR OEA OE R OA OE EA a 在中，由勾股定理得∆===+=22774123a S a 球的表面积为ππ=⋅=4．(20173)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________. 【解析】圆柱的轴截面如图，1AC =，12AB =，所以圆柱底面半径32r BC ==，那么圆柱的体积是2233()14V r h πππ==⨯⨯=，故选B ． 题组三：以棱（圆）锥为载体5.(2012)已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，ABC ∆是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为_________.【解析】根据题意做出图，设球心为O ，过A 、B 、C 三点的小圆的圆心为O 1,则OO 1⊥平面ABC ，延长CO 交球于点D ，则SD ⊥平面ABC ，1123316,133CO OO 12623SD OO 高∵ΔABC 是边长为1的三角形313262,36ABCS ABCSV6.（20191）已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上，PA=PB=PC ，ABC ∆是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，AB 的中点，90CEF ∠=︒，则球O 的体积为________为底面三角形的中心PO BG O =，的中点，所以EF PB . 6．7.（2011）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6,AB BC ==则棱锥0-ABCD 的体积为 。

典型例题十五
例15、是半径为的球的球面上两点，它们的球面距离为，求过、的平面中，与球心的最大距离是多少？
分析：、是球面上两点，球面距离为，转化为球心角，从而，由关系式，越小，越大，是过、的球的截面圆的半径，所以为圆的直径，最小．
解：∵球面上、两点的球面的距离为．
∴，∴．
当成为圆的直径时，取最小值，此时，取最大值，
，
即球心与过、的截面圆距离最大值为．
说明：利用关系式不仅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半径与球心到截面的距离之间的变化规律．此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角有关，而球心角又直接与长度发生联系，这是使用或者求球面距离的一条基本线索，继续看下面的例子．。

河北省邯郸四中2013届高考数学复习《球》典型例题典型例题一例1．已知地球的半径为R ，球面上B A ,两点都在北纬45 圈上，它们的球面距离为R 3π，A 点在东经30 上，求B 点的位置及B A ,两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度．分析：求点B 的位置，如图就是求B AO 1∠的大小，只需求出弦AB 的长度．对于AB 应把它放在OAB ∆中求解，根据球面距离概念计算即可．解：如图，设球心为O ，北纬45 圈的中心为1O ，由B A ,两点的球面距离为R 3π，所以AOB ∠=3π， ∴OAB ∆为等边三角形．于是R AB =． 由R R B O A O 2245cos 11=⋅== ， 22121AB B O A O =+∴．即B AO 1∠=2π． 又A 点在东经30 上，故B 的位置在东经120 ，北纬45 或者西经60 ，北纬45 ．B A ,∴两点在其纬线圈上所对应的劣弧R A O ππ4221=⋅． 说明：此题主要目的在于明确经度和纬度概念，及利用球的截面的性质和圆的有关性质设计计算方案．典型例题二例2．用两个平行平面去截半径为R 的球面，两个截面圆的半径为cm r 241=，cm r 152=．两截面间的距离为cm d 27=，求球的表面积．分析：此类题目的求解是首先做出截面图，再根据条件和截面性质做出与球的半径有关的三角形等图形，利用方程思想计算可得．解：设垂直于截面的大圆面交两截面圆于2211,B A B A ，上述大圆的垂直于11B A 的直径交2211,B A B A 于21,O O ，如图2．设2211,d OO d OO ==，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+2222222121152427R d R d d d ，解得25=R ．)(2500422cm R S ππ==∴圆．说明：通过此类题目，明确球的有关计算问题需先将立体问题转化为平面问题，进一步熟悉有关圆的基础知识，熟练使用方程思想，合理设元，列式，求解．典型例题三例3．自半径为R 的球面上一点M ，引球的三条两两垂直的弦MC MB MA ,,，求222MC MB MA ++的值．分析：此题欲计算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联．解：以MC MB MA ,,为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥ABC M -补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径．∴222MC MB MA ++=224)2(R R =．说明：此题突出构造法的使用，以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算．典型例题四例4．试比较等体积的球与正方体的表面积的大小．分析：首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系．解：设球的半径为r ，正方体的棱长为a ，它们的体积均为V ， 则由ππ43,3433V r V r ==，343πV r =，由,3V a =得3V a =． 322324)43(44V V r S ππππ===球． 32322322166)(66V V V a S ====正方体． ∴<2164π <324V π32216V ，即正方体球S S <．说明：突出相关的面积与体积公式的准确使用，注意比较大小时运算上的设计．典型例题五例5．如图1所示，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小．分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面 ，得如图2的截面图，在图2中，观察R 与r 和棱长间的关系即可．解：如图2，球心1O 和2O 在AC 上，过1O ，2O 分别作BC AD ,的垂线交于F E ,． 则由3,1==AC AB 得R CO r AO 3,321==． 3)(3=+++∴R r R r ，233133-=+=+∴r R ． （1）设两球体积之和为V ， 则))((34)(342233r Rr R R r r R V +-+=+=ππ =[]=-+rR r R 3)(233342π⎥⎦⎤⎢⎣⎡--)233(3)233(233342R R π =⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--22)233(2)33(3323334R R π 当433-=R 时，V 有最小值．∴当433-==r R 时，体积之和有最小值．典型例题六例6．设正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比．分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系，依靠体积分割的方法来解决的．解：如图，正四面体ABCD 的中心为O ，BCD ∆的中心为1O ，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离．设R OA r OO ==,1，正四面体的一个面的面积为S ． 图 1图2依题意得)(31r R S V BCD A +=-， 又S r V V BCD O BCD A ⋅⨯==--3144 r r R 4=+∴即r R 3=． 所以914422==R r ππ外接球的表面积内切球的表面积．271343433==R r ππ外接球的体积内切球的体积． 说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的，为正四面体高的四等分点，即定有内切球的半径h r 41=(h 为正四面体的高)，且外接球的半径r R 3=．典型例题七例7．把四个半径都是1的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离．分析：关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和2．解：由题意，四球心组成棱长为2的正四面体的四个顶点， 则正四面体的高362)332(222=⋅-=h ． 而第四个球的最高点到第四个球的球心距离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1，故第四个球的最高点与桌面的距离为3622+． 说明：此类型题目对培养学生空间想象能力，并根据题意构造熟悉几何体都非常有帮助，且还可以适当增加一点实际背景，加强应用意识．典型例题八例8 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（ ）．A ．有且只有一个B ．一个或无穷多个C ．无数个D ．以上均不正确分析：对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论．当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选B ．答案：B说明：解此易选出错误判断A ．其原因是忽视球心的位置．典型例题九例9 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为π4，那么这个球的半径为（ ）．A ．34B ．32C ．2D ．3分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解．设球的半径为R ，小圆的半径为r ，则ππ42=r ，∴2=r ．如图所示，设三点A 、B 、C ，O 为球心，362ππ==∠=∠=∠COA BOC AOB ．又∵OB OA =，∴AOB ∆是等边三角形，同样，BOC ∆、COA ∆都是等边三角形，得ABC ∆为等边三角形，边长等于球半径R ．r 为ABC ∆的外接圆半径，R AB r 3333==，3233==r R ．答案：B说明：本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面体综合外，还考查了球面距离，几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题．典型例题十例10 半径为R 的球内接一个各棱长都相等的四棱锥．求该四棱锥的体积．分析：四棱锥的体积由它的底面积和高确定，只需找到底面、高与球半径的关系即可，解决这个问题的关键是如何选取截面，如图所示．解：∵棱锥底面各边相等，∴底面是菱形．∵棱锥侧棱都相等，∴侧棱在底面上射影都相等，即底面有外接圆．∴底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面中心，此棱锥是正棱锥．过该棱锥对角面作截面，设棱长为a ，则底面对角线a AC 2=， 故截面SAC 是等腰直角三角形．又因为SAC 是球的大圆的内接三角形，所以R AC 2=，即R a 2=．∴高R SO =，体积33231R SO S V =⋅=底． 说明：在作四棱锥的截面时，容易误认为截面是正三角形，如果作平等于底面一边的对称截面（过棱锥顶点，底面中心，且与底面一边平行），可得一个腰长为斜高、底为底面边长的等腰三角形，但这一等腰三角形并不是外接球大圆的内接三角形．可见，解决有关几何体接切的问题，如何选取截面是个关键．解决此类问题的方法通常是先确定多面体的棱长（或高或某个截面内的元素）与球半径的关系，再进一步求解．典型例题十一例11 在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且a PC PB PA ===．求这个球的表面积．分析：24R S π=球面，因而求球的表面关键在于求出球的半径R ．解：设过A 、B 、C 三点的球的截面半径为r ，球心到该圆面的距离为d ，则222d r R +=．由题意知P 、A 、B 、C 四点不共面，因而是以这四个点为顶点的三棱锥ABC P -（如图所示）．ABC ∆的外接圆是球的截面圆．由PA 、PB 、PC 互相垂直知，P 在ABC 面上的射影'O 是ABC ∆的垂心，又a PC PB PA ===，所以'O 也是ABC ∆的外心，所以ABC ∆为等边三角形， 且边长为a 2，'O 是其中心，从而也是截面圆的圆心．据球的截面的性质，有'OO 垂直于⊙'O 所在平面，因此P 、'O 、O 共线，三棱锥ABC P -是高为'PO 的球内接正三棱锥，从而'PO R d -=．由已知得a r 36=，a PO 33'=，所以2'2222)(PO R r d r R -+=+=，可求得a R 23=，∴2234a R S ππ==球面． 说明：涉及到球与圆柱、圆锥、圆台切接问题，一般作其轴截面；涉及到球与棱柱、棱锥、棱台的切接问题，一般过球心及多面体中特殊点或线作截面，把空间问题化为平面问题，进而利用平面几何的知识寻找几何体元素间的关系．典型例题十二例12 已知棱长为3的正四面体ABCD ，E 、F 是棱AB 、AC 上的点，且FC AF 2=，AE BE 2=．求四面体AEFD 的内切球半径和外接球半径．分析：可用何种法求内切球半径，把AEF D V -分成4个小体积(如图)．解：设四面体AEFD 内切球半径为r ，球心N ，外接球半径R ，球心M ，连结NA 、NE 、NF 、ND ，则EFD N AD E N AFD N AEF N AEFD V V V V V ----+++=．四面体AEFD 各面的面积为2392==∆∆ABC AEF S S ，23332==∆∆ABC AFD S S ，43331==∆∆ABC AED S S ． DEF ∆各边边长分别为3=EF ，7==DE DF ， ∴345=∆DEF S ． ∵2292==ABCD ADEF V V ， )(31DEF AED AFD AEF AEFD S S S S r V ∆∆∆∆+++=， ∴)43543323323(3122+++=r ， ∴86=r ． 如图，AEF ∆是直角三角形，其个心是斜边AF 的中点G ．设ABC ∆中心为1O ，连结1DO ，过G 作平面AEF 的垂线，M 必在此垂线上， 连结1GO 、MD ．∵ABC MG 平面⊥，ABC DO 平面⊥1，∴1//DO MG ，1GO MG ⊥．在直角梯形DM GO 1中，11=GO ，61=DO ，R MD =，1222-=-=R AG AM MG ，又∵22121)(MD GO MG DO =+-，∴2221)16(R R =+--， 解得：210=R ． 综上，四面体AEFD 的内切球半径为86，外接球半径为210． 说明：求四面体外接半径的关键是确定其球心．对此多数同学束手无策，而这主要是因本题图形的背景较复杂．若把该四面体单独移出，则不参发现其球心在过各面三角形外心且与该三角形所在平面垂直的直线上，另还须注意其球心不一定在四面体内部．本题在求四面体内切球半径时，将该四面体分割为以球心为顶点，各面为底面的四个三棱锥，通过其体积关系求得半径．这样分割的思想方法应给予重视．典型例题十三例13 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？分析：先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后，锥内下降部分(圆台)的体积等于球的体积，列式求解．解：如图，作轴截面，设球未取出时，水面高h PC =，球取出后，水面高x PH =． ∵r AC 3=，r PC 3=，则以AB 为底面直径的圆锥容积为PC AC V ⋅⋅=231π圆锥 3233)3(31r r r ππ=⋅=， 334r V π=球． 球取出后，水面下降到EF ，水的体积为32291)30tan (3131x PH PH PH EH V πππ=︒=⋅⋅=水． 又球圆锥水V V V -=，则33334391r r x πππ-=， 解得r x 315=． 答：球取出后，圆锥内水平面高为r 315．说明：抓住水的何种不变这个关键，本题迅速获解．典型例题十四例14 球面上有三点A 、B 、C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中18=AB ，24=BC 、30=AC ，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积．分析：求球的表面积的关键是求球的半径，本题的条件涉及球的截面，ABC ∆是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半，从而可由关系式222d R r -=求出球半径R ．解：∵18=AB ，24=BC ，30=AC ，∴222AC BC AB =+，ABC ∆是以AC 为斜边的直角三角形．∴ABC ∆的外接圆的半径为15，即截面圆的半径15=r ， 又球心到截面的距离为R d 21=，∴22215)21(=-R R ，得310=R ． ∴球的表面积为πππ1200)310(4422===R S ．说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式22d R r -=解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间的其它关系，求三个量．例如，过球O 表面上一点A 引三条长度相等的弦AB 、AC 、AD ，且两两夹角都为︒60，若球半径为R ，求弦AB 的长度．由条件可抓住BCD A -是正四面体，A 、B 、C 、D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设a AB =，则截面BCD 与球心的距离R a d -=36，过点B 、C 、D 的截面圆半径a r 33=，所以222)36()33(R a R a --=得R a 362=． 典型例题十五例15 A 、B 是半径为R 的球O 的球面上两点，它们的球面距离为R 2π，求过A 、B 的平面中，与球心的最大距离是多少？分析：A 、B 是球面上两点，球面距离为R 2π，转化为球心角2π=∠AOB ，从而R AB 2=，由关系式222d R r -=，r 越小，d 越大，r 是过A 、B 的球的截面圆的半径，所以AB 为圆的直径，r 最小．解：∵球面上A 、B 两点的球面的距离为R 2π． ∴2π=∠AOB ，∴R AB 2=．当AB 成为圆的直径时，r 取最小值，此时R AB r 2221==，d 取最大值， R r R d 2222=-=， 即球心与过A 、B 的截面圆距离最大值为R 22． 说明：利用关系式222d R r -=不仅可以知二求一，而且可以借此分析截面的半径r 与球心到截面的距离d 之间的变化规律．此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角AOB ∠有关，而球心角AOB ∠又直接与AB 长度发生联系，这是使用或者求球面距离的一条基本线索，继续看下面的例子．典型例题十六例16 正三棱锥的高为1，底面边长为62，正三棱锥内有一个球与其四个面相切．求球的表面积与体积．分析：球与正三棱锥四个面相切，实际上，球是正三棱锥的内切球，球心到正三棱锥的四个面的距离相等，都为球半径R ．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，而点面距离常可以用等体积法解决．解：如图，球O 是正三棱锥ABC P -的内切球，O 到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R ．PH 是正三棱锥的高，即1=PH ．E 是BC 边中点，H 在AE 上，ABC ∆的边长为62，∴26263=⨯=HE ． ∴3=PE 可以得到2321=⋅===∆∆∆PE BC S S S PBC PAC PAB ． 36)62(432==∆ABC S 由等体积法，ABC O PBC O PAC O PAB O ABC P V V V V V -----+++= ∴R R ⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯363132********得：2633232-=+=R ， ∴πππ)625(8)26(4422-=-==R S 球． ∴33)26(3434-==ππR V 球． 说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R 来求出R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法．比如：四个半径为R 的球两两外切，其中三个放在桌面上，第四个球放在这三个球之上，则第四个球离开桌面的高度为多少？这里，四个球的球心这间的距离都是R 2，四个球心构成一个棱长为R 2的正四面体，可以计算正四面体的高为R R 362236=⨯，从而上面球离开桌面的高度为R R 3622+． 典型例题十七例17 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比．分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系．解：如图，等边SAB ∆为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形11CDD C ，截球面得球的大圆圆1O ．设球的半径R OO =1，则它的外切圆柱的高为R 2，底面半径为R ；R O O OB 330cot 1=︒⋅=，R R OB SO 33360tan =⋅=︒⋅=， ∴334R V π=球，3222R R R V ππ=⋅=柱， 3233)3(31R R R V ππ=⋅⋅=锥， ∴964∶∶∶∶锥柱球=V V V ．典型例题十八例18 正三棱锥ABC P -的侧棱长为l ，两侧棱的夹角为α2，求它的外接球的体积． 分析：求球半径，是解本题的关键．解：如图，作⊥PD 底面ABC 于D ，则D 为正ABC ∆的中心．∵⊥OD 底面ABC ，∴O 、P 、D 三点共线．∵l PC PB PA ===，α2=∠APB ． ∴ααsin 22cos 2222l l l AB =-=． ∴αsin 33233==AB AD ， 设β=∠APD ，作PA OE ⊥于E ，在APD Rt ∆中， ∵αβsin 332sin ==PA AD ， 又R OA OP ==，∴l PA PE 2121==． 在POE Rt ∆中，∵αβ2sin 3412cos -===lPE PO R ， ∴)sin 43(2sin 433sin 34123422332ααπαπ--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=l l V 球． 说明：解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面必须能反映出体和体之间的主要位置关系和数量关系．典型例题十九例19 在球心同侧有相距cm 9的两个平行截面，它们的面积分别为249cm π和2400cm π．求球的表面积．分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径．解：如图为球的轴截面，由球的截面性质知，21//BO AO ，且若1O 、2O 分别为两截面圆的圆心，则11AO OO ⊥，22BO OO ⊥．设球的半径为R ．∵ππ4922=⋅B O ，∴)(72cm B O = 同理ππ40021=⋅A O ，∴)(201cm A O = 设xcm OO =1，则cm x OO )9(2+=． 在A OO Rt 1∆中，22220+=x R ；在B OO Rt 2∆中，2227)9(++=x R ， ∴222)9(720++=+x x ，解得15=x ，∴22222520=+=x R ，∴25=R ∴)(2500422cm R S ππ==球．∴球的表面积为22500cm π．。

专题15 立体几何中球的问题【高考真题】1．(2022·新高考Ⅱ) 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和其顶点都在同一球面上， 则该球的表面积为( )A ．100πB ．128πC ．144πD ．192π1．答案 A 解析 设正三棱台上下底面所在圆面的半径12,r r ，所以123432,2sin 60sin 60r r =，即123,4r r ==，设球心到上下底面的距离分别为12,d d ，球的半径为R ，所以1d 2d ，故121d d -=或121d d +=1=1=，解得225R =符合题意，所以球的表面积为24π100πS R ==．故选A ．2．(2022·全国乙理) 已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当 该四棱锥的体积最大时，其高为( )A ．13B ．12CD 2．答案 C 解析 设该四棱锥底面为四边形ABCD ，四边形ABCD 所在小圆半径为r ，设四边形ABCD 对角线夹角为α，则2111sin 222222ABCD S AC BD AC BD r r r α=⋅⋅⋅≤⋅⋅≤⋅⋅=(当且仅当四边形ABCD 为正方形时等号成立)，即当四棱锥的顶点O 到底面ABCD 所在小圆距离一定时，底面ABCD 面积最大值为22r ，又221r h +=，则2123O ABCD V r h -=⋅⋅==当且仅当222r h =即h 时等号成立，故选C ． 3．(2022·新高考Ⅱ) 已知正四棱锥的侧棱长为l ，其各顶点都在同一球面上．若该球的体积为36π，且3≤l ≤33，则该正四棱锥体积的取值范围是( )A ．[18，814]B ．[274，814]C ．[274，643] D ．[18，27] 3．答案 C 解析 ∵ 球的体积为36π，所以球的半径R ＝3，设正四棱锥的底面边长为2a ，高为h ，则l 2＝2a 2＋h 2，32＝2a 2＋(3－h )2．所以6h ＝l 2，2a 2＝l 2－h 2，所以正四棱锥的体积V ＝13Sh ＝13×4a 2×h ＝23×(l 2－l 436)×l 26＝19(l 4－l 636)，所以V ′＝19(4l 3－l 56)＝19l 3 (24－l 26)，当3≤l ≤26时，V ′＞0，当26≤l ≤33时，V ′＜0，所以当l ＝26时，正四棱锥的体积V 取最大值，最大值为643，又l ＝3时，V ＝274，l ＝33时， V＝814．所以正四棱锥的体积V 的最小值为274，所以该正四棱锥体积的取值范围是[274，643]．故选C ．【方法总结】如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球．有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点与难点，也是高考考查的一个热点．考查学生的空间想象能力以及化归能力．研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用．球的内切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作．当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积法来求球的半径．空间几何体的外接球与内切球十大模型1．墙角模型；2．对棱相等模型；3．汉堡模型；4．垂面模型；5．切瓜模型；6．斗笠模型；7．鳄鱼模型；8．已知球心或球半径模型；9．最值模型；10．内切球模型．可参考：侯永青工作室《2022年高考数学之解密几何体的外接球与内切球十大模型命题点对点突破》【题型突破】1．点A ，B ，C ，D 均在同一球面上，且AB ，AC ，AD 两两垂直，且AB ＝1，AC ＝2，AD ＝3，则该球的 表面积为( )A ．7πB ．14πC ．72πD ．714π31．答案 B 解析 三棱锥A －BCD 的三条侧棱两两互相垂直，所以把它补为长方体，而长方体的体对角 线长为其外接球的直径．所以长方体的体对角线长是12＋22＋32＝14，它的外接球半径是142，外接球的表面积是4π×⎝⎛⎭⎫1422＝14π． 2．等腰△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，将△ABC 沿BC 边上的高AD 折成直二面角B－AD －C ，则三棱锥B －ACD 的外接球的表面积为( )A ．5πB ．203π C ．10π D ．34π 2．答案 D 解析 依题意，在三棱锥B －ACD 中，AD ，BD ，CD 两两垂直，且AD ＝4，BD ＝CD ＝3， 因此可将三棱锥B ­ACD 补形成一个长方体，该长方体的长、宽、高分别为3,3,4，且其外接球的直径2R ＝32＋32＋42＝34，故三棱锥B －ACD 的外接球的表面积为4πR 2＝34π3．已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体 积等于________.3．答案 6π 解析 如图，以DA ，AB ，BC 为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O 的半径为R ，则正方体的体对角线长即为球O 的直径．∴CD ＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R ，因此R ＝62，故球O 的体积V ＝4πR 33＝6π. 4．已知四面体P －ABC 四个顶点都在球O 的球面上，若PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，且AC ＝1，AB ＝PB＝2，则球O 的表面积为________．4．答案 9π 解析 由PB ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，可得图中四个直角三角形，且PC 为△PBC ，△P AC的公共斜边，故球心O 为PC 的中点，由AC ＝1，AB ＝PB ＝2，PC ＝3，∴球O 的半径为32，其表面积为9π.5．三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，P A ＝PB ＝PC ＝3，P A ⊥PB ，三棱锥P －ABC 的外接球的体 积为( )A ．272πB ．2732π C ．273π D ．27π 5．答案 B 解析 因为三棱锥P －ABC 中，△ABC 为等边三角形，P A ＝PB ＝PC ＝3，所以△P AB ≌△PBC ≌△P AC ．因为P A ⊥PB ，所以P A ⊥PC ，PC ⊥PB ．以P A ，PB ，PC 为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P －ABC 的外接球．因为正方体的体对角线长为32＋32＋32＝33，所以其外接球半径R ＝332．因此三棱锥P －ABC 的外接球的体积V ＝4π3×⎝⎛⎭⎫3323＝2732π，故选B ．6．已知正四面体ABCD 的外接球的体积为86π，则这个四面体的表面积为________．6．答案 163 解析 将正四面体ABCD 放在一个正方体内，设正方体的棱长为a ，设正四面体ABCD的外接球的半径为R ，则43πR 3＝86π，解得R ＝6，因为正四面体ABCD 的外接球和正方体的外接球是同一个球，则有3a ＝2R ＝26，所以a ＝22．而正四面体ABCD 的每条棱长均为正方体的面对角线长，所以正四面体ABCD 的棱长为2a ＝4，因此，这个正四面体的表面积为4×12×42×sin π3＝163．7．表面积为( )A ．B ．12πC ．8πD ．7．答案 B 解析 表面积为长为2，正方体的对角线长为正四面体的外接球的直径为正方体的对角线长，∴外接球的表面积的值为24(3)12ππ=．8．已知四面体ABCD 满足AB ＝CD ＝6，AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，则四面体ABCD 的外接球的表面积是 ________．8．答案 7π 解析 在四面体ABCD 中，取线段CD 的中点为E ，连接AE ，BE ．∵AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝2，∴AE ⊥CD ，BE ⊥CD .在Rt △AED 中，CD ＝6，∴AE ＝102．同理BE ＝102，取AB 的中点为F ，连接EF ．由AE ＝BE ，得EF ⊥AB ．在Rt △EF A 中，∵AF ＝12AB ＝62，AE ＝102，∴EF ＝1，取EF 的中点为O ，连接OA ，则OF ＝12．在Rt △OF A 中，OA ＝72．同理得OA ＝OB ＝OC ＝OD ，∴该四面体的外接球的半径是72，∴外接球的表面积是7π． 9．三棱锥中S －ABC ，SA ＝BC ＝13，SB ＝AC ＝5，SC ＝AB ＝10．则三棱锥的外接球的表面积为______.9．答案 14π 解析 如图，在长方体中，设AE ＝a ，BE ＝b ，CE ＝c ．则SC ＝AB ＝a 2＋b 2＝10，SA ＝BC ＝b 2＋c 2＝13，SB ＝AC ＝a 2＋c 2＝5，从而a 2＋b 2＋c 2＝14＝(2R )2，可得S ＝4πR 2＝14π.故所求三棱锥的外接球的表面积为14π．10．已知一个四面体ABCD 的每个顶点都在表面积为9π的球O 的表面上，且AB＝CD ＝a ，AC ＝AD ＝BC＝BD ＝5，则a ＝________.10．答案 22 解析 由题意可知，四面体ABCD 的对棱都相等，故该四面体可以通过补形补成一个长方体，如图所示．设AF ＝x ，BF ＝y ，CF ＝z ，则x 2＋z 2＝y 2＋z 2＝5，又4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y 2＋z 222＝9π，可得x ＝y ＝2，∴a ＝x 2＋y 2＝22． 11．一直三棱柱的每条棱长都是2，且每个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为( )A ．28π3B ．22π3C ．43π3D ．7π 11．答案 A 解析 由题知此直棱柱为正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，设其上下底面中心为O ′，O 1，则外接球的球心O 为线段O ′O 1的中点，∵AB ＝2，∴O ′A ＝33AB ＝233，OO ′＝12O ′O 1＝1，∴OA ＝O ′O 2＋O ′A 2＝213，因此，它的外接球的半径为213，故球O 的表面积为28π3．故选A ． 12．一个正六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为98，底面周长为3，则这个球的体积为________. 12．答案 4π3 解析 设正六棱柱底面边长为a ，正六棱柱的高为h ，底面外接圆的半径为r ，则a ＝12，底面积为S ＝6·34·⎝⎛⎭⎫122＝338，V 柱＝Sh ＝338h ＝98，∴h ＝3，R 2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫122＝1，R ＝1，球的体积为V ＝4π3. 13．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面积为334，一个侧面的周长为63，则正三棱柱ABC －A 1B 1C 1外 接球的表面积为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．32π13．答案 C 解析 如图所示，设底面边长为a ，则底面面积为34a 2＝334，所以a ＝ 3.又一个侧面的 周长为63，所以AA 1＝2 3.设E ，D 分别为上、下底面的中心，连接DE ，设DE 的中点为O ，则点O 即为正三棱柱ABC ­A 1B 1C 1的外接球的球心，连接OA 1，A 1E ，则OE ＝3，A 1E ＝3×32×23＝1.在直角三角形OEA 1中，OA 1＝12＋(3)2＝2，即外接球的半径R ＝2，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝16π，故选C ．14．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝1，∠BAC ＝60°，AA 1＝2，则该三棱柱的外接球的体积为( )A ．40π3B ．4030π27C ．32030π27D ．20π 14．答案 B 解析 设△A 1B 1C 1的外心为O 1，△ABC 的外心为O 2，连接O 1O 2，O 2B ，OB ，如图所示．由题意可得外接球的球心O 为O 1O 2的中点．在△ABC 中，由余弦定理可得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos ∠BAC ＝32＋12－2×3×1×cos 60°＝7，所以BC ＝7，由正弦定理可得△ABC 外接圆的直径2r ＝2O 2B ＝BC sin 60°＝273，所以r ＝73＝213，而球心O 到截面ABC 的距离d ＝OO 2＝12AA 1＝1，设直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的外接球半径为R ，由球的截面性质可得R 2＝d 2＋r 2＝12＋⎝⎛⎭⎫2132＝103，故R ＝303，所以该三棱柱的外接球的体积为V ＝4π3R 3＝4030π27．故选B ． 15．已知矩形ABCD 中，AB ＝2AD ＝2，E ，F 分别为AB ，CD 的中点，将四边形AEFD 沿EF 折起，使二面角A －EF －C 的大小为120°，则过A ，B ，C ，D ，E ，F 六点的球的表面积为( )A ．6πB ．5πC ．4πD ．3π15．答案 B 解析 其中O 1，O 2分别为正方形AEFD 和BCFE 的中心，OO 1，OO 2分别垂直于这两个平面．由于∠OGO 2＝60°，O 2G ＝12，所以OO 2＝32，而O 2C ＝12CE ＝22，所以球的半径OC ＝OO 22＋O 2C2＝52，所以球的表面积为4π·OC 2＝5π．故选B ．16．三棱锥S －ABC 中，SA ⊥底面ABC ，若SA ＝AB ＝BC ＝AC ＝3，则该三棱锥外接球的表面积为( )A ．18πB ．21π2C ．21πD ．42π 16．答案 C 解析 由于AB ＝BC ＝AC ＝3，则△ABC 是边长为3的等边三角形，由正弦定理知，△ABC的外接圆的直径为2r ＝3sin π3＝23，由于SA ⊥底面ABC ，所以△ABC 外接圆的过圆心的垂线与线段SA 中垂面的交点为该三棱锥的外接球的球心，所以外接球的半径R ＝⎝⎛⎭⎫SA 22＋r 2＝212，因此，三棱锥S －ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝4π×214＝21π．故选C ． 17．四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形，若AB ＝2，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．32π17．答案 C 解析 取CD 的中点E ，连接AE ，BE ，∵在四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，△BCD 是边长为3的等边三角形．∴Rt △ABC ≌Rt △ABD ，△ACD 是等腰三角形，设△BCD 的中心为G ，作OG∥AB 交AB 的中垂线于O ，则O 为外接球的球心，∵BE ＝332，BG ＝3，∴外接球的半径R ＝BG 2＋⎝⎛⎭⎫12AB 2＝3＋1＝2.∴四面体ABCD 外接球的表面积为4πR 2＝16π．故选C ．18．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA ⊥平面ABC ，SA ＝23，AB ＝1，AC ＝2，∠BAC ＝60°，则球O 的表面积为( )A ．4πB ．12πC ．16πD ．64π18．答案 C 解析 在△ABC 中，由余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，∴AC 2＝AB 2＋ BC 2，即AB ⊥BC ．又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥AB ，SA ⊥BC ，∴三棱锥S －ABC 可补成分别以AB ＝1，BC ＝3，SA ＝23为长、宽、高的长方体，∴球O 的直径为12＋(3)2＋(23)2＝4，故球O 的表面积为4π×22＝16π．另解 取SC 的中点E ，连接AE ，BE ，依题意，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，∴AC 2＝AB 2 ＋BC 2，即AB ⊥BC ，又SA ⊥平面ABC ，∴SA ⊥BC ，又SA ∩AB ＝A ，∴BC ⊥平面SAB ，BC ⊥SB ，AE ＝12SC ＝BE ，∴点E 是三棱锥S －ABC 的外接球的球心，即点E 与点O 重合，OA ＝12SC ＝12SA 2＋AC 2＝2，故球O 的表面积为4π×OA 2＝16π．19．在三棱锥P －ABC 中，已知P A ⊥底面ABC ，∠BAC ＝60°，P A ＝2，AB ＝AC ＝3，若该三棱锥的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为( )A ．4π3B ．82π3C ．8πD ．12π 19．答案 C 解析 易知△ABC 是等边三角形．如图，作OM ⊥平面ABC ，其中M 为△ABC 的中心，且点O 满足OM ＝12P A ＝1，则点O 为三棱锥P －ABC 外接球的球心．于是，该外接球的半径R ＝OA ＝AM 2＋OM 2＝(32×3×23)2＋12＝2．故该球的表面积S ＝4πR 2＝8π，故选C ． AB C M OP20．在三棱锥A －BCD 中，AC ＝CD ＝2，AB ＝AD ＝BD ＝BC ＝1，若三棱锥的所有顶点，都在同一球面上，则球的表面积是________．20．答案 73π 解析 由已知可得，BC ⊥AB ，BC ⊥BD ，所以BC ⊥平面ABD ，设三棱锥外接球的球心为 O ，正三角形ABD 的中心为O 1，则OO 1⊥平面ABD ，连接O 1B ，OO 1，OC ，在直角梯形O 1BCO 中，有O 1B ＝33，BC ＝1，OC ＝OB ＝R ，可得：R 2＝712，故所求球的表面积为4πR 2＝73π．21．把边长为3的正方ABCD 沿对角线AC 对折，使得平面ABC ⊥平面ADC ，则三棱锥D ABC -的外接球的表面积为( )A ．32πB ．27πC ．18πD ．9π21．答案 C 解析 将边长为1的正方形ABCD ，沿对角线AC 把ACD ∆折起，使平面ACD ⊥平面ABC ，则BC CD ⊥，BA AD ⊥；三棱锥CABD -的外接球直径为AC=，外接球的表面积为2244(182R πππ=⨯=． 22．在三棱锥A －BCD 中，△ACD 与△BCD 都是边长为4的正三角形，且平面ACD ⊥平面BCD ，则该三 棱锥外接球的表面积为________．22．答案 803π 解析 取AB ，CD 的中点分别为E ，F ，连接EF ，AF ，BF ，由题意知AF ⊥BF ，AF ＝BF ＝23，EF ＝12AF 2＋BF 2＝6，易知三棱锥的外接球球心O 在线段EF 上，所以OE ＋OF ＝6，设外接球的半径为R ，连接OA ，OC ，则有R 2＝AE 2＋OE 2，R 2＝CF 2＋OF 2，所以AE 2＋OE 2＝CF 2＋OF 2，(6)2＋OE 2＝22＋OF 2，所以OF 2－OE 2＝2，又OE ＋OF ＝6，则OF 2＝83，R 2＝203，所以该三棱锥外接球的表面积为4πR 2＝803π．23．已知如图所示的三棱锥D－ABC的四个顶点均在球O的球面上，△ABC和△DBC 所在的平面互相垂直，AB＝3，AC＝3，BC＝CD＝BD＝23，则球O的表面积为()A．4πB．12πC．16πD．36π23．答案C解析如图所示，∵AB2＋AC2＝BC2，∴∠CAB为直角，即△ABC外接圆的圆心为BC的中点O′．△ABC和△DBC所在的平面互相垂直，则球心在过△DBC的圆面上，即△DBC的外接圆为球的大圆，由等边三角形的重心和外心重合，易得球半径R＝2，球的表面积为S＝4πR2＝16π，故选C．24．在三棱锥A BCD-中，平面ABC⊥平面BCD，ABC∆是边长为2的正三角形，若4BDCπ∠=，三棱锥的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为()．A．523πB．3πC．4πD．283π24．答案D解析记BCD∆外接圆圆心为E，ABC∆外接圆圆心为F，连结OE，OF，则OE⊥平面BCD，OF⊥平面ABC；取BC中点N，连结,AN EN，因为ABC∆是边长为2的正三角形，所以AN 过点F，且223AF FN AN===；在BCD∆中，4BDCπ∠=，2BC=，设BCD∆外接圆为r，则2sinBCrBDC===∠，所以r=故BE EC r===所以有222BE EC BC+=，因为N为BC中点，所以EN BC⊥，且112EN BC==；又平面ABC⊥平面BCD，所以EN⊥平面ABC，OE⊥平面ABC；因此EN OF⊥且1EN OF==，设三棱锥A BCD-外接球半径为R，则R OA==，因此，球O的表面积为22843S Rππ==．故选D．25．已知空间四边形ABCD ，23BAC π∠=，23AB AC ==，4BD =，25CD =，且平面ABC ⊥平面BCD，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．24πB ．48πC ．64πD ．96π25．答案 B 解析 在三角形ABC 中，23BAC π∠=，AB AC ==，由余弦定理可得 ，而在三角形BCD 中，4BD =，CD =，222BD CD BC ∴+=，即BCD ∆为直角三角形，且BC 为斜边，因为平面ABC ⊥平面BCD ，所以几何体的外接球的球心为为三角形ABC 的外接圆的圆心，设外接球的半径为R ，则22sin 3BC R π==即R =2448S R ππ==，26．已知圆锥的顶点为P ，母线PA 与底面所成的角为30︒，底面圆心O 到PA 的距离为1，则该圆锥外接球的表面积为________．26．答案 643π 解析 依题意得，圆锥底面半径12sin30r ==︒，高1sin 60h =︒．设圆锥外接球半 径为R ，则222()R r R h =+-，即2222(R R =+，解得：R =．∴外接球的表面积为26443S R ππ==． 27．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ===，侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60︒，则该三棱锥外接球的体积为( )A ．πB ．π3C ．4πD ．4π327．答案 解析 过P 点作底面ABC 的垂线，垂足为O ，设H 为外接球的球心，连接, AH AO ，因60PAO ∠=︒，PA ，故AO ，32PO =，又AHO ∆为直角三角形，AH PH r ==，∴222AH AO OH =+，∴2223()2r r =+-，∴1r =，∴344133V ππ=⨯=． 28．在三棱锥P ABC -中，PA PB PC ==，2AC AB ==，且AC AB ⊥，则该三棱锥外接球的表面积6BC ==为( )A ．4πB ．8πC ．16πD ．9π28．答案 D 解析 由题意，点P 在底面上的射影M 是CB 的中点，是三角形ABC 的外心，令球心为O ，2AC AB ==，且AC AB ⊥，MB MC MA ∴===PA PB PC ==2PM ∴==如图在直角三角形OBM 中，222OB OM BM =+，即222(2)R R =+-，32R ∴=，则该三棱锥外接球的表面积为294494R πππ=⨯=．29．P ABC -的外接球的球心为O ，若满足0OA OB OC ++=，则此三棱锥外接球的半径是( )A ．2BC D29．答案 D 解析 正三棱锥D ABC -的外接球的球心O 满足OA OB CO +=，说明三角形ABC 在球O 的大圆上，并且为正三角形，设球的半径为：R ，棱锥的底面正三角形ABC 的高为32R ，底面三角形ABC，正三棱锥的体积为1(32)R ⨯=，解得34R =，则此三棱锥外接球的半径是R ．30．已知正四棱锥P －ABCD 的各顶点都在同一球面上，底面正方形的边长为2，若该正四棱锥的体积为2，则此球的体积为( )A ．124π3 B ．625π81 C ．500π81D ．256π930．答案 C 解析 如图所示，设底面正方形ABCD 的中心为O ′，正四棱锥P －ABCD 的外接球的球心为O ， ∵底面正方形的边长为2，∴O ′D ＝1，∵正四棱锥的体积为2，∴V P －ABCD ＝13×(2)2×PO ′＝2，解得PO ′＝3，∴OO ′＝|PO ′－PO |＝|3－R |，在Rt △OO ′D 中，由勾股定理可得OO ′2＋O ′D 2＝OD 2，即(3－R )2＋12＝R 2，解得R ＝53，∴V 球＝43πR 3＝43π×⎝⎛⎭⎫533＝500π81． 31．在三棱锥S ABC -中，2SB SC AB BC AC =====，二面角S BC A --的大小为60︒，则三棱锥S AB -C 外接球的表面积是( )A．143πB．163πC．409πD．529π31．答案D解析取BC的中点为D，由三棱锥S ABC-中，2SB SC AB BC AC=====，二面角S BC A--的大小为60︒，得到SBC∆和ABC∆都是正三角形，SD BC∴⊥，AD BC⊥，SDA∴∠是二面角S BC A--的平面角，即60SDA∠=︒，设球心为O，ABC∆和SBC∆中心分别为E，F，则OE⊥平面ABC，OF⊥平面SBC，tan tan30OEDE ODEDE=∠==︒，23OD∴=，∴外接球半径R=，∴外接球的表面积为252449Rπππ==．32．已知三棱锥A BCD-，6BC=，且ABC∆、BCD∆均为等边三角形，二面角A BC D--的平面角为60︒，则三棱锥外接球的表面积是________．32．答案52π解析取BC的中点M，连接AM、DM，则AM BC⊥，且DM BC⊥，所以，二面角A BC D--的平面角为60AMD∠=︒，且sin60AM DM AB==︒=ADM∆是边长为正三角形，如下图所示，设ABC∆和BCD∆的外心分别为点P、Q，则13PM QM AM===，过点P、Q在平面ADM内作AM和DM的垂线交于点O，则O为该三棱锥的外接球球心，易知，30OMP∠=︒，所以，tan301OP PM=︒=，23PA AM==，所以，球O的半径为OA=2452ππ⨯=．33．已知边长为6的菱形ABCD中，120BAD∠=︒，沿对角线AC折成二面角B AC D--的大小为θ的四面体且1cos3θ=，则四面体ABCD的外接球的表面积为________．33．答案54π解析由边长为6的菱形ABCD中，120BAD∠=︒，可知，6AC AB BC AD CD=====，在折起的四面体中，取AC的中点E，连接BE，DE，6DE BE===，则EB AC⊥，DE AC⊥，AC BE E⋂=，AC∴⊥面BED，BED∠为二面角B AC D--的大小为θ，在DE，BE上分别取23DM Bn DE===13EM DE=M，N分别为三角形ADC，ABC的外接圆的圆心，过M，N分别做两个三角形的外接圆的垂线，交于O，则O为四面体外接球的球心，连接OE，OD为外接球的半径R．则2OEDθ∠=，所以21cos2cos223θθ+==，所以cos2θ=，在三角形OEM，cos2EMOEθ=，解得OE==，在三角形OED中，余弦定理可得22222336272cos(33)()23323222OD DE OE DE OEθ=+-=+-=，即2272R=，所以外接球的表面积2454S Rππ==．34．在三棱锥P ABC-中，顶点P在底面ABC的投影G是ABC∆的外心，2PB BC==，且面PBC与底面ABC所成的二面角的大小为60︒，则三棱锥P ABC-的外接球的表面积为________．34．答案649π解析 由于G 为ABC ∆的外心，则GA GB GC ==，由题意知，PG ⊥平面ABC ，由勾 股定理易得PA PB PC ==，取BC 的中点E ，由于G 为ABC ∆的外心，则GE BC ⊥，且112BE BC ==，PG ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，则BC PG ⊥，又GE BC ⊥，PG GE G =，BC ∴⊥平面PGE ，PE ⊂平面PGE ，PE BC ∴⊥，所以，PE =PBC 与平面ABC 所成的二面角的平面角为60PEG ∠=︒，∴3sin 602PG PE =︒=，因此，三棱锥的外接球的直径为2482332PB R PG ===，所以，43R =，因此，该三棱锥的外接球的表面积为2246444()39R πππ=⨯=．35．直角三角形ABC ，2ABC π∠=，2AC BC +=，将ABC ∆绕AB 边旋转至ABC '∆位置，若二面角C AB -C '-的大小为23π，则四面体C ABC '-的外接球的表面积的最小值为( ) A ．6π B ．3π C ．32π D ．2π35．答案 B 解析 如图，AB ⊥平面CBC '，CBC ∆'是等腰三角形，BC BC ='，23CBC π∠'=．设BC = (01)x x <<，则2AC x =-，AB ===CBC ∆'外接圆的半径为r ，则2sin6x r π=，即r x =．∴四面体C ABC '-的外接球的半径R满足22221R x x x =+=-+．∴四面体C ABC '-的外接球的表面积2244(1)S R x x ππ==-+，当12x =时，3min S π=． 36．已知三棱锥P －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 满足AB ＝22，∠ACB ＝90°，P A 为球O的直径且P A ＝4，则点P 到底面ABC 的距离为( )A ．2B ．22C ． 3D ．2336．答案 B 解析 取AB 的中点O 1，连接OO 1，如图，在△ABC 中，AB ＝22，∠ACB ＝90°，所以△ABC 所在小圆O 1是以AB 为直径的圆，所以O 1A ＝2，且OO 1⊥AO 1，又球O 的直径P A ＝4，所以OA ＝2，所以OO 1＝OA 2－O 1A 2＝2，且OO 1⊥底面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为2OO 1＝2 2.37．已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O ，半径为R 的球面上，AB ＝6，BC ＝23，且四棱锥O －ABCD的体积为83，则R 等于( )A ．4B ．23C ．479D ．1337．答案 A. 解析 如图，设矩形ABCD 的中心为E ，连接OE ，EC ，由球的性质可得OE ⊥平面ABCD ，所以V O ­ABCD ＝13·OE ·S 矩形ABCD ＝13×OE ×6×23＝83，所以OE ＝2，在矩形ABCD 中可得EC ＝23，则R ＝OE 2＋EC 2＝4＋12＝4，故选A ．38．已知三棱锥P －ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，△ABC 是边长为4的等边三角形，三棱锥P －ABC 的体积为163，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A ．16π3B ．40π3C ．64π3D ．80π338．答案 D 解析 依题意，记三棱锥P －ABC 的外接球的球心为O ，半径为R ，点P 到平面ABC 的 距离为h ，则由V P ­ABC ＝13S △ABC h ＝13×⎝⎛⎭⎫34×42×h ＝163得h ＝433.又PC 为球O 的直径，因此球心O 到平面ABC 的距离等于12h ＝233.又正△ABC 的外接圆半径为r ＝AB 2sin 60°＝433，因此R 2＝r 2＋⎝⎛⎭⎫2332＝203，所以三棱锥P －ABC 的外接球的表面积为4πR 2＝80π3，故选D.39．已知三棱锥均在以为直径球面上，，则这个球的表面积为_____________．39．答案 16π 解析 由题意，设球的直径是该球面上的两点，如图所示，因为，所以为直角三角形，设三棱锥的高为，则，解得，取的中点，连接，根据球的性质，可得平面，所以，在直角中，，即球的半径为，所以球的表面积为．40．(2017·全国Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为________．A SBC -PA 2AB AC BC ===2, , SC R A B =AB AC ==2BC =ABC ∆S ABC -h 1132⨯=h =BC M OM OM ⊥ABC OM =OMC ∆2OC =2R =4S π=224216R ππ=⨯=40．答案3π4解析 如图画出圆柱的轴截面ABCD ，O 为球心.球半径R ＝OA ＝1，球心到底面圆的距离 为OM ＝12．∴底面圆半径r ＝OA 2－OM 2＝32，故圆柱体积V ＝π·r 2·h ＝π·⎝⎛⎭⎫322×1＝3π4． 41．三棱锥P －ABC 的四个顶点都在体积为500π3的球的表面上，底面ABC 所在的小圆面积为16π，则该三棱锥的高的最大值为( )A ．4B ．6C ．8D ．1041．答案 C 解析 依题意，设题中球的球心为O 、半径为R ，△ABC 的外接圆半径为r ，则4πR 33＝500π3，解得R ＝5，由πr 2＝16π，解得r ＝4，又球心O 到平面ABC 的距离为R 2－r 2＝3，因此三棱锥P －ABC 的高的最大值为5＋3＝8.42．(2015·全国Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O －ABC体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )A ．36π B ．64π C ．144πD ．256π42．答案 C 解析 ∵S △OAB 是定值，且V O -ABC ＝V C -OAB ，∴当OC ⊥平面OAB 时，V C -OAB 最大，即V O -ABC最大．设球O 的半径为R ，则(V O -ABC )max ＝13×12R 2×R ＝16R 3＝36，∴R ＝6，∴球O 的表面积S ＝4πR 2＝4π×62＝144π．43．已知点A ，B ，C ，D 均在球O 上，AB ＝BC ＝6，AC ＝23．若三棱锥D－ABC 体积的最大值为3，则球O 的表面积为________．43．答案 16π 解析 由题意可得，∠ABC ＝π2，△ABC 的外接圆半径r ＝3，当三棱锥的体积最大时，V D ­ABC ＝13S △ABC ·h (h 为D 到底面ABC 的距离)，即3＝13×12×6×6h ⇒h ＝3，即R ＋R 2－r 2＝3(R 为外接球半径)，解得R ＝2，∴球O 的表面积为4π×22＝16π．44．在三棱锥A －BCD 中，AB ＝1，BC ＝2，CD ＝AC ＝3，当三棱锥A －BCD 的体积最大时，其外接球的表面积为________．44．答案 6π 解析 ∵AB ＝1，BC ＝2，AC ＝3，∴AB 2＋BC 2＝AC 2，即△ABC 为直角三角形，当CD⊥面ABC 时，三棱锥A －BCD 的体积最大，又∵CD ＝3，△ABC 外接圆的半径为32，故外接球的半径R 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫322＝32，∴外接球的表面积为4πR 2＝6π． 45．已知三棱锥D －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，AB ＝BC ＝2，AC ＝22，若三棱锥D －ABC 体积的最大值为2，则球O 的表面积为( )A ．8πB ．9πC ．25π3D ．121π945．答案 D 解析 由AB ＝BC ＝2，AC ＝22，可得AB 2＋BC 2＝AC 2，所以△ABC 为直角三角形，且AC为斜边，所以过△ABC 的截面圆的圆心为斜边AC 的中点E ．当DE ⊥平面ABC ，且球心O 在DE 上时，三棱锥D －ABC 的体积取最大值，因为三棱锥D －ABC 体积的最大值为2，所以13S △ABC ·DE ＝2，即13×12×22×DE ＝2，解得DE ＝3．设球的半径为R ，则AE 2＋OE 2＝AO 2，即(2)2＋(3－R )2＝R 2，解得R ＝116．所以球O 的表面积为4πR 2＝4π×⎝⎛⎭⎫1162＝121π9．46．若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.46．答案63π解析 设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4×34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正 四面体高的14，即r ＝14×63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π.47．已知一个平放的各棱长为4的三棱锥内有一个小球O (重量忽略不计)，现从该三棱锥顶端向内注水，小球慢慢上浮，当注入的水的体积是该三棱锥体积的78时，小球与该三棱锥各侧面均相切(与水面也相切)，则小球的表面积等于( )A ．7π6B ．4π3C ．2π3D ．π247．答案 C 解析 当注入水的体积是该三棱锥体积的78时，设水面上方的小三棱锥的棱长为x (各棱长都相等)，依题意，⎝⎛⎭⎫x 43＝18，得x ＝2．易得小三棱锥的高为263，设小球半径为r ，则13S 底面·263＝4·13·S 底面·r ，得r ＝66，故小球的表面积S ＝4πr 2＝2π3．故选C ． 48．已知四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长为6的正方形，且P A ＝PB ＝PC ＝PD ，若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切，则该四棱锥的高是( )A ．6B ．5C ．92D ．9448．答案 D 解析 由题意知，四棱锥P －ABCD 是正四棱锥，球的球心O 在四棱锥的高PH 上，过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图：其中PE ，PF 是斜高，A 为球面与侧面的切点．设PH ＝h ，易知Rt △P AO ∽Rt △PHF ，所以OA FH ＝PO PF ，即13＝h －1h 2＋32，解得h ＝94，故选D ．49．将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π49．答案 B 解析 将半径为3，圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥，设圆锥的底面圆的半径为R ，则有2πR＝3×2π3，所以R ＝1，设圆锥的内切球的半径为r ，结合圆锥和球的特征，可知内切球球心必在圆锥的高线上，设圆锥的高为h ，因为圆锥的母线长为3，所以h ＝9－1＝22，所以r h －r ＝R 3，解得r ＝22，因此内切球的表面积S ＝4πr 2＝2π．故选B ．50．体积为4π3的球与正三棱柱的所有面均相切，则该棱柱的体积为________.50．答案 63 解析 设球的半径为R ，由4π3R 3＝4π3，得R ＝1，所以正三棱柱的高h ＝2，设底面边长为a ，则13×32a ＝1，所以a ＝23．所以V ＝34×(23)2×2＝63．。

球的切、接与截面问题一、单项选择题1．若棱长为2 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为() A．12πB．24πC．36πD．144π2．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为4 的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是()A．2B．4C．2 D．43．已知三棱锥P-ABC，△ABC为等边三角形，P A＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为()A． 㭈π B． 㭈 πC．27 πD．27π4．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为()A B．πC．π D5．在四面体ABCD中，AB＝ ，DA＝DB＝CA＝CB＝1，则四面体ABCD的外接球的表面积为()A．πB．2πC．3πD．4π6．已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PB＝PC＝2 ，AB＝AC ＝4，PA＝BC＝2，则球O的表面积为()A． ⍠ ⍠ πB．㭈 ⍠ πC．⍠ ࡬ πD．㭈 π7．如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为3和4，球 ⍠⍠π ，则该圆台的侧面积为()A．60πB．75πC．35πD．35 π8．设A，B，C，D是一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为9 ，则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A．12 B．18C．24 D．54二、多项选择题9．已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的⍠ ，则下列结论正确的是()A．球O的表面积为6πB．球O的内接正方体的棱长为1C．球O的外切正方体的棱长为D．球O的内接正四面体的棱长为210．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则()A．圆台的母线长为4B．圆台的高为4C．圆台的表面积为26πD．球O的表面积为12π三、填空题11．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点．以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有________个公共点．12．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝ ，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A-BCD，使平面ABD⊥平面BCD.四面体A-BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为________．13．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，P A＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是P A，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()A．8 πB．4 πC．2 πD． π14．已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为36π，则该正四棱锥的体积最大值为()A．18B．C．࡬⍠ D．2715．(多选)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体16．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，若该六面体内有一小球，则小球的最大表面积为________．参考答案1．C[由题意知，正方体的体对角线就是球的直径，∴2R＝ + + ＝6，∴R＝3，∴S＝4πR2＝36π.]球2．B[设截面圆半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即2 ，根据截面圆的周长可得4π＝2πr，得r＝2，故由题意知R2＝r2＋(2 )2，即R2＝22＋(2 )2＝16，所以R＝4，故选B.]3．B[∵三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，P A＝PB＝PC＝3，∴△PAB≌△PBC≌△PAC.∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥PB.以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC的外接球．∵正方体的体对角线长为 + + ＝3 ，∴其外接球半径R＝ .因此三棱锥P-ABC的外接球的体积V＝ π ×4．C[平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆，∵正方体棱长为1，∴AC ＝CD1＝AD1＝ .∴内切圆半径r＝tan30°·AE＝ × ＝ .∴S＝πr2＝π×⍠ ＝π ，故选C.]5．B[取AB的中点O，由AB＝ ，DA＝DB＝CA＝CB＝1，得CA2＋CB2＝AB2，AD2＋BD2＝AB2，可得∠ACB＝∠ADB＝90°，所以OA＝OB＝OC＝OD＝ ，即O为外接球的球心，球的半径R＝ ，所以四面体ABCD的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×⍠ ＝2π.]6．A[在三棱锥P-ABC中，如图，AB2＋PA2＝20＝PB2，则P A⊥AB，同理P A⊥AC，而AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，因此PA⊥平面ABC，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，则cos∠ABC＝⍠ ＝⍠ ，sin∠ABC＝⍠ cos ＝⍠ ，令△ABC的外接圆圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，O1A＝⍠ · sin ＝࡬⍠ ，有OO1∥P A，取PA中点D，连接OD，则有OD⊥P A，又O1A⊂平面ABC，即O1A⊥PA，从而O1A∥OD，四边形ODAO1为平行四边形，OO1＝AD＝1，又OO1⊥O1A，因此球O的半径R2＝OA2＝O1A2＋O1O2＋12＝㭈 ⍠ ，所以球O的表面积S＝4πR2＝ ⍠ ⍠ π.故选A.]7．D[设球的半径为R，则 π ＝ ⍠⍠π ，所以R＝5，取圆台的轴截面ABCD，如图所示：设圆台的上、下底面圆心分别为F，E，则E，F分别为AB，CD的中点，连接OE，OF，OA，OB，OC，OD，则OA＝OB＝OC＝OD＝5，由垂径定理可知，OE⊥AB，OF⊥CD，所以OE＝ ＝ ＝3，OF＝ ＝ ＝4，由球和圆台的结构可知，EF＝3＋4＝7，所以AD＝㭈 +⍠＝5 ，因此圆台的侧面积为π(3＋4)×5 ＝35 π.故选D.]8．B[由等边△ABC的面积为9 ，2＝9 ，所以AB＝6，所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝2 .设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝ ＝⍠ ⍠ ＝2.所以三棱锥D-ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值为⍠ ×9 ×6＝18 .]9．AD[设球O的半径为R，△ABC的外接圆圆心为O′，半径为r.易得r＝ .因为球心O到平面ABC的距离等于球半径的⍠ ，所以R2－⍠ R2＝ ，得R2＝ .所以球O的表面积S＝4πR2＝4π× ＝6π，A正确；球O的内接正方体的棱长a满足 a ＝2R，得a＝ ，B不正确；球O的外切正方体的棱长b满足b＝2R，C不正确；球O的内接正四面体的棱长c满足c＝ R＝ × ＝2，D正确．故选AD.] 10．ACD[设梯形ABCD为圆台的轴截面，则内切圆O为圆台内切球的大圆，如图，设圆台上、下底面圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，球O的半径为R，则O1，O，O2共线，且O1O2⊥AB，O1O2⊥CD，连接OD，OE，OA，则OD，OA分别平分∠ADC，∠DAB，且OE⊥AD，故DE＝DO1＝r1，AE＝AO2＝r2，∠OAD＋∠ODA＝π ，∠DOA＝π ，由△AOE∽△ODE，＝ ，即OE2＝DE·AE，即R2＝r1r2＝3，解得R＝ ，母线长为r1＋r2＝4，A正确；圆台的高为2R＝2 ，B错误；圆台的表面积为π×12＋π×32＋π×(1＋3)×4＝26π，C正确，球O的表面积为4×π×( )2＝12π，D正确．故选ACD.]11．12[如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为 ，而正方体的中心到每一条棱的距离均为EF为直径的球与每一条棱均相切，所以共有12个公共点．]12[如图，取BD的中点E，BC的中点O.连接AE，OD，EO，AO，因为AB＝AD＝1，所以AE⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥平面BCD.因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝ .所以AE＝ ，EO＝⍠ ，所以OA＝ .在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝⍠ BC＝ .所以四面体A-BCD的外接球的球心为O，半径为 .所以该球的体积V＝ π ＝ π.]13．D[因为E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以P A⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P-ABC放在正方体中．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为 ，所以该正方体的体对角线长为 ，所以三棱锥P-ABC的外接球的半径R＝ ，所以球O的体积V＝ π ＝ π ＝ π，故选D.]14．B[如图，设正四棱锥的底面边长AB＝2a，高PO＝h，外接球的球心为M，则OD＝ a.πR3＝36π，所以球的半径为R＝3，在Rt△MOD中，MD2＝OD2＋OM2，即32＝2a2＋(h－3)2，所以正四棱锥的体积为V＝⍠ Sh＝⍠ ×4a2h＝ [9－(h－3)2]h，整理得V＝－ h3＋4h2(h＞0)，则V′＝－2h2＋8h＝－2h(h－4)，当0＜h＜4时，V′＞0，当h＞4时，V′＜0，所以V＝－ h3＋4h2(h＞0)在(0，4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减，所以当h＝4时，函数取得最大值－ ×43＋4×42＝ .故选B.]15．ABD[由于棱长为1m的正方体的内切球的直径为1m，所以选项A正确；由于棱长为1m的正方体中可放入棱长为 m的正四面体，且 ＞1.4，所以选项B正确；因为正方体的棱长为1m，体对角线长为 m， ＜1.8，所以高为1.8m的圆柱体不可能整体放入正方体容器中，所以选项C不正确；由于正方体的体对角线长为 m，而底面直径为1.2m的圆柱体，其高0.01m可忽略不计，故只需把圆柱的底面与正方体的体对角线平行放置，即可以整体放入正方体容器中，所以选项D正确．综上，故选ABD.]16． π 㭈[依题意，此六面体的表面积S＝6121的正三角形的外接圆半径r＝1×sin60°× ＝ 1的两个正四面体共底面而成，此正四面体的高h＝⍠ ＝因此此六面体的体积V＝2×⍠ ×12内切球半径为R，于是V＝⍠ SR，即有⍠ ×R R最大表面积为4πR2＝4π＝࡬π 㭈。

2020高考数学选填题专项测试03（球）（文理通用）第I 卷（选择题)一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·四川高三月考）某几何体的三视图如图所示，正视图、侧视图和俯视图均为直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．3πB ．814πC ．9πD ．12π2．（2020·河南高三）某正四面体的外接球与内切球的表面积之差为12π，则该四面体的棱长为( ) A ．3 B ．4 C ．2 D ．33．（2020·湖北高三）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点M 为棱1DD 的中点，则平面ACM 截该正方体的内切球所得截面面积为（ ）A ．3πB ．23πC ．πD ．43π 4．（2020·2的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为（ ）A 2B 3C 21+D 31+5．（2020·重庆八中高三）已知三棱锥P ﹣ABC 的四个顶点在球O 的球面上，球O 的半径为4，△ABC 是边长为6的等边三角形，记△ABC 的外心为O 1.若三棱锥P ﹣ABC 的体积为123PO 1＝（ ） A ．3B ．5C ．26D ．76．（2020·河南高三）如图，在平面四边形ABCD 中，AD CD ⊥，ABC ∆是边长为3的正三角形.将该四边形沿对角线AC 折成一个大小为120︒的二面角D AC B --，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ）A ．12πB ．13πC ．14πD ．15π7．（2020·全国高三）已知三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，5,15,25PA BC PB AC PC AB ======O 的表面积为__________.8．（2020·湖南长郡中学高三月考）在三棱锥P ABC -中，平面PAB ⊥平面ABC ，ABC △是边长为6的等边三角形，PAB △是以AB 为斜边的等腰直角三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（ ） 9．（2020·麻阳苗族自治县第一中学高三）中国古代数学经典《九章算术》系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就，书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖脐．如图为一个阳马与一个鳖臑的组合体，已知PA ⊥平面ABCE ，四边形ABCD 为正方形，2AD =，1ED =，若鳖牖P ADE -的体积为l ，则阳马P ABCD -的外接球的表面积等于（ ）．A ．17πB ．18πC ．19πD ．20π10．（2020·山东高三）已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是P A ，AB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．6πB ．46πC ．26πD 6π11．（2020·河北高三）在四面体ABCD 中，2AB AC BC BD CD =====，6AD =则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）A ．163πB ．5πC ．20πsD ．203π 12．（2020·湖北黄冈中学高三）已知P,A,B,C 是半径为2的球面上的点，PA=PB=PC=2，90ABC ∠=︒，点B 在AC 上的射影为D ，则三棱锥P ABD -体积的最大值为（ ）A ．334B ．34C ．38D ．338第II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

一、单项选择题1．已知直三棱柱ABC －A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为()A.3172B ．210 C.132D ．3102．已知在三棱锥P －ABC 中，AC ＝2，BC ＝1，AC ⊥BC 且PA ＝2PB ，PB ⊥平面ABC ，则其外接球体积为()A.4π3B ．4π C.32π3D ．43π3．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为4π3的球体与棱柱的所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是()A ．63B ．123C ．183D ．2434．(2024·南昌模拟)在正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将△ADE ，△CDF ，△BEF 分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O －DEF ，则该三棱锥的外接球半径R 与内切球半径r 的比值为()A.23B ．43C ．26 D.65．(2023·聊城模拟)“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为1，则该多面体外接球的体积为()A.4π3B.82π3C ．4πD ．8π6．(2022·全国乙卷)已知球O 的半径为1，四棱锥的顶点为O ，底面的四个顶点均在球O 的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为()A.13B.12C.33D.22二、多项选择题7．已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点M ，N ，若线段MN 的最小值为3－1，则下列说法中正确的是()A ．正方体的外接球的表面积为12πB ．正方体的内切球的体积为43πC ．正方体的棱长为2D ．线段MN 的最大值为238.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现．如图是一个圆柱容球，O 1，O 2为圆柱下、上底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆O 1的一条直径，若球的半径r ＝2，则()A ．球与圆柱的表面积之比为1∶2B ．平面DEF 截得球的截面面积最小值为165πC ．四面体CDEF ，323D ．若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE ＋PF 的取值范围为[2＋25，43]三、填空题9．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为________．10.如图，在多面体中，四边形ABCD 为矩形，CE ⊥平面ABCD ，AB ＝2，BC ＝CE ＝1，通过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________，补形后的直三棱柱的外接球的表面积为______．§7.2球的切、接问题1．C 2.A3.C4.C5.A 6．C [该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O 组成的圆锥体积最大．设圆锥的高为h (0<h <1)，底面半径为r ，则圆锥的体积V ＝13πr 2h ＝13π(1－h 2)h ，则V ′＝13π(1－3h 2)，令V ′＝13π(1－3h 2)＝0，得h ＝33，所以V ＝13π(1－h 2)h 所以当h ＝33时，四棱锥的体积最大．]7．ABC [设正方体的棱长为a ，则正方体外接球的半径为体对角线长的一半，即32a ；内切球的半径为棱长的一半，即12a .∵M ，N 分别为外接球和内切球上的动点，∴MN min ＝32a －12a ＝3－12a ＝3－1，解得a ＝2，即正方体的棱长为2，∴正方体外接球的表面积为4π×(3)2＝12π，内切球的体积为43π，故A ，B ，C 正确；线段MN 的最大值为3＋1，故D 错误．]8．BCD [由球的半径为r ，可知圆柱的底面半径为r ，圆柱的高为2r ，则球的表面积为4πr 2，圆柱的表面积为2πr 2＋2πr ·2r ＝6πr 2，所以球与圆柱的表面积之比为2∶3，故A 错误；ABCD 所在截面如图所示，过点O 作OG ⊥DO 1于点G ，则由题可得OG ＝12×2×425＝255，设点O 到平面DEF 的距离为d 1，平面DEF 截得球的截面圆的半径为r 1，则d 1≤OG ，r 21＝r 2－d 21＝4－d 21≥4－45＝165，所以平面DEF 截得球的截面面积最小值为165π，故B 正确；由题可知四面体CDEF 的体积等于12E DCO V －，点E 到平面DCO 1的距离d ∈(0,2]，又1DCO S △＝12×4×4＝8，所以12E DCO V －＝23×8d ＝16d 3∈，323，故C 正确；由题可知点P 在过球心与圆柱的底面平行的截面圆上，设P 在底面的射影为P ′，则PP ′＝2，PE ＝22＋P ′E 2，PF ＝22＋P ′F 2，P ′E 2＋P ′F 2＝16，设t ＝P ′E 2，则t ∈[0,42]，PE ＋PF ＝22＋t ＋22＋16－t ，所以(PE ＋PF )2＝(22＋t ＋22＋16－t )2＝24＋2－t 2＋16t ＋80＝24＋2－(t －8)2＋144∈[24＋85，48]，所以PE ＋PF ∈[2＋25，43]，故D 正确．]9.2π310.136π解析如图，添加的三棱锥为直三棱锥E －ADF ，可以将该多面体补成一个直三棱柱ADF －BCE ，因为CE ⊥平面ABCD ，AB ＝2，BC ＝CE ＝1，所以S △BCE ＝12CE ×BC ＝12×1×1＝12，直三棱柱ADF －BCE 的体积V ＝S △BCE ·AB ＝12×2＝1，添加的三棱锥的体积为13V ＝13.方法一如图，分别取AF ，BE 的中点M ，N ，连接MN ，与AE 交于点O ，因为四边形AFEB 为矩形，所以O 为AE ，MN 的中点，在直三棱柱ADF －BCE 中，CE ⊥平面ABCD ，所以FD ⊥平面ABCD ，即∠ECB ＝∠FDA ＝90°，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱柱的外接球的球心即为点O ，AO 即为球的半径，因为AM ＝12AF ＝22，MO ＝1，所以AO 2＝AM 2＋MO 2＝12＋1＝32，所以外接球的表面积为4π·AO 2＝6π.方法二因为CE ，CB ，CD 两两垂直，故将直三棱柱ADF －BCE 补成长方体，设外接球的半径为R ，则4R 2＝12＋12＋22＝6，所以外接球的表面积S ＝4πR 2＝6π.。

典型例题一
例1．已知地球的半径为，球面上两点都在北纬45圈上，它们的球面距离为，点在东经30上，求点的位置及两点所在其纬线圈上所对应的劣弧的长度．
分析：求点的位置，如图就是求的大小，只需求出弦的长度．对于应把它放在中求解，根据球面距离概念计算即可．
解：如图，设球心为，北纬45圈的中心为，
由两点的球面距离为，所以=，
为等边三角形．于是．
由，
．即=．
又点在东经30上，故的位置在东经120，北纬45或者西经60，北纬45．
两点在其纬线圈上所对应的劣弧．
说明：此题主要目的在于明确经度和纬度概念，及利用球的截面的性质和圆的有关性质设计计算方案．。

9.12 球●知识梳理1.到定点的距离小于或等于定长的点的集合叫做球，到定点的距离等于定长的点的集合叫做球面.过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长叫做两点的球面距离.2.平面截球所得的截面是圆.3.S 球=4πR 2；V 球=34πR 3. ●点击双基1.下列四个命题中错误．．的个数是 ①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一个球的大圆 ②球面积是它大圆面积的四倍 ③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长A.0B.1C.2D.3 解析：①③错误. 答案：C2.一平面截一球得到直径为6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4 cm ，则该球的体积是A.3π100 cm 3B.3π208 cm 3C.3π500 cm 3D.3π3416 cm 3 答案：C3.若三球的半径之比是1∶2∶3，那么半径最大的球体积是其余两球体积和的_______倍.A.4B.3C.2D.1 解析：三球体积之比为1∶8∶27. 答案：B4.某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm ，该地球仪的半径是_____________cm ，表面积是_____________cm 2.解析：如图所示，∵2πr =12π，∴r =6（cm ）. 设地球仪半径为R ，则R r =R6=sin60°. ∴R =43（cm ），表面积S =4πR 2=192π（cm 2）. 答案：43 192π5.长方体的一个顶点上三条棱长为3、4、5，且它的八个顶点都在一个球面上，这个球的表面积是A.202πB.252πC.50πD.200π解析：设球的半径为R ，则（2R ）2=32+42+52=50，∴R =225.∴S 球=4π×R 2=50π. 答案：C ●典例剖析【例1】 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过这3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为A.43B.23C.2D.3解法一：过O 作OO ′⊥平面ABC ，O ′是垂足，则O ′是△ABC 的中心，则O ′A =r =2，又因为∠AOC =θ=3π，OA =OC 知OA =AC <2O ′A .其次，OA 是Rt △OO ′A 的斜边，故OA >O ′A .所以O ′A <OA <2O ′A .因为OA =R ，所以2<R <4.因此，排除A 、C 、D ，得B.解法二：在正三角形ABC 中，应用正弦定理，得AB =2r sin60°=23.因为∠AOB =θ=3π，所以侧面AOB 是正三角形，得球半径R =OA =AB =23. 解法三：因为正三角形ABC 的外径r =2，故高AD =23r =3，D 是BC 的中点.在△OBC 中，BO =CO =R ，∠BOC =3π，所以BC =BO =R ，BD =21BC =21R .在Rt △ABD 中，AB =BC =R ，所以由AB 2=BD 2+AD 2，得R 2=41R 2+9，所以R =23.特别提示1.本题以球为载体考查了直线的关系、解三角形等知识，将空间图形的计算转化为平面图形中求正三角形外接圆半径及勾股定理的使用，并运用方程的思想.2.正确区别球面上两点之间的直线距离与球面距离；计算A 、B 两点间的球面距离关键是搞清纬度、经度、经度差、纬度差等概念，具体步骤是：（1）计算线段AB 的长度；（2）计算A 、B 到球心O 的张角；（3）计算球大圆在A 、B 两点间所夹的劣弧长. 【例2】 已知球的两个平行截面的面积分别为49π、400π，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积.剖析：先画出过球心且垂直于已知截面的球的大圆截面，再根据球的性质和已知条件列方程求出球的半径.注意：由于球的对称性，应考虑两截面与球心的位置关系分别在球心的同侧或异侧的情形，加以分类讨论.解：下图为球的一个大圆截面.ABOO O 12π·O 1A 2=49π， 则O 1A =7.又π·O 2B 2=400π， ∴O 2B =20.（1）当两截面在球心同侧时，OO 1－OO 2=9=227-R －2220-R ，解得R 2=625，S 球=4πR 2=2500π.（2）当两截面在球心异侧时，OO 1+OO 2=9=227-R +2220-R ，无解. 综上，所求球的表面积为2500π. 特别提示球的截面的性质是解决与球有关的问题的重要一环，特别是有关球的计算问题中，R 2=d 2+r 2（R 、r 、d 分别表示球的半径、截面圆的半径、球心到截面的距离）起着重要的作用.【例3】 已知球的半径为R ，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少?解：下图为轴截面，令圆柱的高为h ，底面半径为r ，侧面积为S ，BACh 2RO则（2h ）2＋r 2=R 2， 即h =222r R -.∵S =2πrh =4πr ·22r R - =4π)(222r R r -⋅≤4π2)(2222r R r -+=2πR 2，取等号时，内接圆柱底面半径为22R ，高为2R . ●闯关训练夯实基础1.已知球O 的半径为1，A 、B 、C 三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为2π，则球心O 到平面ABC 的距离为A.31B.33 C. 32 D. 36 解析：显然OA 、OB 、OC 两两垂直，如图，设O 1为ABC 所在平面截球所得圆的圆心，∵OA =OB =OC =1，且OA ⊥OB ⊥OC ， ∴AB =BC =CA =2.∴O 1为△ABC 的中心.∴O 1A =36. 由OO 12＋O 1A 2=OA 2，可得OO 1=33.答案：B2.已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB =BC =CA =2，则球面面积是A.9π16B.3π8C.4πD.9π64解析：因为AB =BC =CA =2，所以△ABC 的外接圆半径为r =332.设球半径为R ，则R 2－（21R ）2=34，所以R 2=916，S =4πR 2=9π64.答案：D3.已知球内接正方体的表面积为S ，那么球的体积等于_____________.解析：易知球直径2R 等于正方体的对角线长3a ，由6a 2=S ，得a =6S ，所以V 球=3π4R 3= 3π4（23a ）3=3π4（23·6S ）3=S S 224π.答案：S S224π 4.有两个半径都是r 的球，其中一个球的球心在另一个球的球面上，则这两个球的交线长为_____________.解析：由题意易得交线为半径为23r 的圆周，其长为3πr . 答案：3πr5.把地球看作半径为R 的球，A 、B 是北纬30°圈上的两点，它们的经度差为60°，求A 、B 两点间的球面距离.解：如图，设30°纬度圈的圆心为O 1，半径为r ，则r =R cos30°.依题意∠AO 1B =60°，取AB 的中点C ，则BC =R cos30°sin30°=43R ， 在Rt △BOC 中，sin ∠BOC =sin21∠AOB =R BC =43，∴∠AOB =2arcsin43，从而A 、B 两点的球面距离为2R arcsin 43. 6.如图，三棱锥V —ABC 中，VA ⊥底面ABC ，∠ABC =90°.（1）求证：V 、A 、B 、C 四点在同一球面上；（2）过球心作一平面与底面内直线AB 垂直，求证：此平面截三棱锥所得的截面是矩形.证明：（1）取VC 的中点M ，∵VA ⊥底面ABC ，∠ABC =90°，∴BC ⊥V B.在Rt △VBC 中，M 为斜边VC 的中点， ∴MB =MC =MV .同理，在Rt △VAC 中，MA =MV =MC . ∴MV =MC =MA =MB .∴V 、A 、B 、C 四点在同一圆面上，M 是球心.（2）取AC 、AB 、VB 的中点分别为N 、P 、Q ，连结NP 、PQ 、QM 、MN ，则MNPQ 就是垂直于AB 的三棱锥V —ABC 的截面，易证PQMN 是平行四边形.又VA ⊥BC ，QP ∥VA ，NP ∥BC ，∴QP ⊥PN .故截面MNPQ 是矩形.培养能力7.已知球面上的三点A 、B 、C ，AB =6，BC =8，AC =10，球的半径为13，求球心到平面ABC 的距离.解：∵62+82=102，∴△ABC 为Rt △.∵球心O 在平面ABC 内的射影M 是截面圆的圆心，∴M 是AC 的中点且OM ⊥AC .在Rt △OAM 中，OM =22AM OA -=12.∴球心到平面ABC 的距离为12.8.（文）将半径为R 的四个球，两两相切的放在桌面上，求上面一个球的球心与桌面的距离.解：如下图，作OH ⊥面O 1O 2O 3，O 2∵O 3H =332 R ， ∴OH =2323H O OO -=362 R ，球心与桌面的距离为（362 +1）R . （理）设A 、B 、C 是半径为1的球面上的三点，B 、C 两点间的球面距离为3π，点A 与B 、C 两点间的球面距离均为2π，O 为球心，求： （1）∠AOB 、∠BOC 的大小； （2）球心O 到截面ABC 的距离.解：如图，（1）因为球O 的半径为1，B 、C 两点间的球面距离为3π，点A 与B 、C 两点间的球面距离均为2π，所以∠BOC =3π，∠AOB =∠AOC =2π.（2）因为BC =1，AC =AB =2，所以由余弦定理得cos ∠BAC =43，sin ∠BAC =47，设截面圆的圆心为O 1，连结AO 1，则截面圆的半径R =AO 1，由正弦定理得r =BACBC∠sin 2=772，所以OO 1=22r OA -=721. 探究创新9.在一个轴截面是正三角形的圆锥形容器中注入高为h 的水，然后将一个铁球放入这个圆锥形的容器中，若水面恰好和球面相切，求这个铁球的半径.解：如图，作出圆锥形容器的轴截面，△ABS 为等边三角形.∵SG =h ，DG =33h ，∴V 水=3π·DG 2·SG =9πh 3. 设铁球的半径为R ， 则SO =2R ，SF =3R ，在Rt △FSB 中 ，BF =SF tan ∠FSB =3R ， 设放入球之后，球与水共占体积为V ′， 则V ′=3π·（BF ）2·SF =3π（3R ）2·3R =3πR 3，V 球=3π4 R 3.依题意，有V ′=V 球+V 水，即3πR 3=3π4 R 3+9πh 3，∴R =152253h .答：铁球的半径为152253h .●思悟小结1.球的面积、体积及基本性质是解决有关问题的重要依据，它的轴截面图形、球半径、截面圆半径、圆心距所构成的直角三角形是把空间问题转化为平面问题的主要切入点.2.要正确地区别球面上两点间的直线距离与球面距离.计算A 、B 两点间的球面距离的关键是搞清纬度、经度、纬度差、经度差等概念.●教师下载中心 教学点睛1.要使学生理解两点的球面距离，掌握球的表面积及球的体积公式.求球面面积、球的体积及两点的球面距离是学习本节的重点.2.球是最常见的几何体.高考对球的考查主要在以下四个方面：（1）球的截面的性质；（2）球的表面积和体积；（3）球面上两点间的球面距离；（4）球与其他几何体的组合体.而且多以选择题和填空题的形式出现.第（4）方面有时用综合题进行考查.拓展题例【例1】 如图，一个广告气球被一束入射角为α的平行光线照射，其投影是一个长半轴为5 m的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是__________.解析：长半轴为OA =5，∠AOB =α，设气球半径为r ，则r =5cos α， ∴S =4πr 2=100πcos 2α m 2. 答案：100πcos 2α m 2【例2】 三棱锥A —BCD 的两条棱AB =CD =6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径.解法一：易知内切球球心O 到各面的距离相等.设E 、F 为CD 、AB 的中点，则O 在EF 上且O 为EF 的中点. 在△ABE 中，AB =6，AE =BE =4，OH =873. OABE HF解法二：设球心O 到各面的距离为R .4×31S BCD ∆×R =V A —BCD ， ∵S BCD ∆=21×6×4=12，V A —BCD =2V C —ABE =67.∴4×31×12R =67. ∴R =873.评述：正多面体与球的切接问题常借助体积求解.。

《立体几何》之《球》的分类复习立体几何章节在传统的高考中分值占22分左右，以两小一大的形式出现较多。

与球相关的问 题也时有考题出现，现针对近年高考考题形式总结如下，供复习参考之用：考试核心：性质的应用22212r R OO d -==，构造直角三角形建立三者之间的关系。

类型一：有公共底边的等腰三角形，借助余弦定理求球心角。

（两题互换条件形成不同的题）1.15．如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1OO =A 、B 是圆1O 上两点，若A ，B 两点间的球面距离为23π，则1AO B ∠= . （2009年理科）2.15．如图球O 的半径为2，圆1O 是一小圆，1OO =A 、B 是圆1O 上两点，若1AO B ∠=2π，则A,B 两点间的球面距离为 （2009年文科） 类型二：球内接多面体，利用圆内接多边形的性质求出小圆半径，通常用到余弦定理求余弦值，通过余弦值再利用正弦定理得到小圆半径r Cc 2sin =，从而解决问题。

3.15. 直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=︒，则此球的表面积等于 。

（2009年理科） 析：欲求球的表面积，归根结底求球半径R ，与R 相关的是重要性质222d r R +=。

∵AA 1=2, ∴121121====AA OO OO d 。

现将问题转化到⊙O 2的半径之上。

因为△ABC 是⊙O 2的内接三角形，又知AB=AC=2，∠BAC=120°，三角形可解。

由余弦定理有32444cos 222=++=∠⋅⋅-+=BAC AC AB AC AB BC ， 由正弦定理有2sin 22sin =∠=⇒=∠BAC BC r r BAC BC ∴.514222=+=+=d r R ∴ππ2042==R S 。

4.14．正三棱柱111ABC A B C -内接于半径为2的球，若,A B 两点的球面距离为π，则正三棱柱的体积为 8 ．（2009年理科）5.12．已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3，ο30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC 的体积为 C （2011年理科）A ．33B ．32C ．3D ．16.（11）已知,,,S A B C 是球O 表面上的点，SA ABC ⊥平面，AB BC ⊥，1SA AB ==，2BC =，则球O 表面积等于 A （2010年文科） （A ）4π （B ）3π （C ）2π （D ）π类型三：通过线线角、线面角、面面角之间的平面的转化，构造勾股定理处理问题。