高考数学选择题、填空题压轴题高效突破第一部分1.(2018届高三湖北省2月七校联考理数试题第12题)对*N n ∈，设n x 是关于x 的方程023=-+n x nx 的实数根，),3,2(],)1[(⋅⋅⋅=+=n x n a n n （符号][x 表示不超过x 的最大整数）．则=+⋅⋅⋅++2017201832a a a （ ）A ．1010B ．1012C ．2018D ．2020解：A ．2.(江西省K12联盟2018届高三教育质量检测数学(理科)试题第12题)已知函数2()2e 22e 1x f x ax a =-+--，其中e a R ，∈为自然对数的底数，若函数()f x 在区间(0，1)内有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．2(2e 12e 2e 1)---，B ．(2)2e 1-，C. 22(2e 2e 12e )--，D.2(22e )， 解：2()2e 22e-1xf x ax a =-+-，则2()4e 2(01)x f x a x '=-，，∈，∵2244e4e x<<，所以(1)若22e a ≥时，则()0f x '<,函数()f x 在(O ，1)内单调递减，故在(O ，1)内至多有一个零点，故舍去；(2)若2a ≤时，则()0f x '>，函数()f x 在(0，1)内单调递增，故在(O ，1)内至多有一个零点；故舍去；(3)若222e a <<时，函数()f x 在10ln22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上递减，在1ln 122a ⎛⎫⎪⎝⎭，上递增， 所以min 1()ln 2ln 2e 1222a a f x g a a ⎛⎫==---⎪⎝⎭．令()2ln2e 1=2ln ln 22e 12xh x x x x x x x =----+--2(2e )x <<，则()ln 1ln 2h x x '=-++，当(22e)x ，∈时，()0()h x h x '>，为增函数；当2(2e 2e )x ，∈，()0h x '<，()h x 为减函数，所以max ()(2e)10h x h ==-<，即min ()0f x <恒成立，所以函数()g x 在(O ，1)内有两个零点，则(0)0(1)0f f >⎧⎨>⎩，解得22e 12e ()e 21a ---，∈．故选A ． 3.(陕西省2018届高三教学质量检测数学（理）第12题)若函数2()ln f x ax x x =--存在极值，且这些极值的和不小于4ln2+，则a 的取值范围为 （ ）A ．[2,)+∞B ．)+∞ C. )+∞ D ．[4,)+∞解：C ．4.(数学理卷·2018届安徽省皖西高中教学联盟高三上学期期末质量检测第12题)已知函数1()()e 22x f kx x x =+-，若()0f x <的解集中有且只有一个正整数，则实数k 的取值范围为（ ）A ．22121,42e e ⎫⎡--⎪⎢⎣⎭ B ．22121,42e e ⎛⎤-- ⎥⎝⎦ C. 322121,64e e ⎫⎡--⎪⎢⎣⎭D ．32121,62e e ⎫⎡--⎪⎢⎣⎭ 解：A ．5.(河南省2018届高三中学生标准学术能力诊断性测试2月数学（理）第12题)已知函数a xxa x x x f -+-+=1ln )1()ln ()(2有三个不同的零点1x ，2x ，3x （其中1x ＜2x ＜3x ），则)ln 1)(ln 1)(ln 1(332211x x x x x x ---的值为（ ） A. 1 B. a-1 C. -1 D. 1-a解：A ．6.(湖北省武汉市2018届高三2月高中毕业生调研测试数学（理）试题第11题)已知函数22()ln (1)()f x x x a x a R =--∈,若()0f x ≥在01x <≤上恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ． 2a ≥B ． 1a ≥C ． 12a ≥ D ．a ≥解：C ．7.(数学理卷·2018届福建省闽侯第六中学高三上学期期末考试第12题) 设y x c xy p b y xy x a +==+-=,,22，若对任意的正实数y x ,，都存在以c b a ,,为三边长的三角形，则实数p 的取值范围是（ ）A ．()31，B ．(]21， C.⎪⎭⎫⎝⎛2721， D ．以上均不正确 解：A ．8.(数学理卷·2018届福建省闽侯第一中学高三上学期模拟考试（期末）第11题)已知函数()(0)1xf x x x=>+，设f （x ）在点(,())(n f n n ∈N *）处的切线在y 轴上的截距为n b ，数列{}n a 满足：112a =，1()(*)n n a f a n N +=∈，在数列2n n n b a a λ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭中，仅当n=5时，2n n n b a a λ+取最小值，则λ的取值范围是（ ）A.(11,9)--B.( 5.5, 4.5)--C.(4.5,5.5)D.(9,11) 解：A ．9.(2018年2月甘肃省河西五市部分普通高中高三第一次联合考试数学试题第16题)设函数()232(0)2f x x ax a =->与()2g x a lnx b =+有公共点，且在公共点处的切线方程相同，则实数b 的最大值为 ．解：212e10.(衡水金卷2018高校招生全国统考理科数学三第16题)已知数列{}n a 满足11a =，()21122n n n a a a n --=+≥，若()*1112nn n b n N a a +=+∈+，则数列{}n b 的前n 项和n S = ． 解：21121n--11.(江西省K12联盟2018届高三教育质量检测数学(理科)试题第16题)函数2sin 1()cos 22x xf x ωω-=+，且12ω>，x R ∈，若()f x 的图像在(3π4π)x ，∈内与x 轴无交点，则ω的取值范围是 ．解：11()sin cos 22f x x x ωω=+，π()24f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,显然π2T >，故112ω<<．由对称中心知π11πππ44x k x k k ωω⎛⎫+=⇒=- ⎪⎝⎭Z ，∈．假设在区间(3π4π)，内存在交点，可知11416312k k ω-<<-．当234k =，，时，7111612ω<<,11111612ω<<,155164ω<<，现不属于区间(3π4π)，，所以以上的并集在全集112ω<<中作补集，得711111512161216ω⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，∈∪．12.(四川省2017-2018年度高三“联测促改”活动理数试题第16题)在ABC ∆中，4π=∠C ，ABC ∆的面积为3，M 为边BC 的中点，5=AM ，且BC AC >，则=∠BAC sin ．13.(河南省周口市2018届高三上学期期末抽测调研数学（理）试题第16题)在△ABC 中，22sin ,sin()2cos sin 2A A B C B C =-=，则AC AB= ．14.(湖北荆州中学2018届高三3月周考数学（理）第16题)在半径为R 的圆形铁皮上割去一个圆心角为θ的扇形，使剩下的部分围成一个圆锥，则当__________=θ（用弧度制表示）时圆锥的容积最大．解：)361(2-π 15.(湖北省武汉市2018届高三2月高中毕业生调研测试数学（理）试题第16题)已知正四面体P ABC -中，,,D E F 分别在棱,,PA PB PC 上，若PE PF ≠，DE DF ==2EF =，则四面体P DEF-的体积为 ．解：816.(云南省昆明市第一中学2018届高三第五次月考数学（理）试题第16题)已知函数)4sin(2)(π+=x e x f x ，]2101,299[ππ-∈x ，过点)0,21(-πP 作函数)(x f 图像的切线，切点坐标为),(11y x ，),(22y x ， ，),(n n y x ，则=∑=ni i x 1 ．解：由题意得，()(sin cos )e x f x x x =+，则()2e cos x f x x '=；设切点为0000(,(sin cos )e )x Q x x x +，则切线斜率为000()2e cos x k f x x '==，所以切线方程为000000(sin cos )e 2e cos ()x x y x x x x x -+=⋅-，将点1(,0)2P π-代入切线方程得0000001(sin cos )e 2e cos ()2x x x x x x π--+=-，即00tan 2()2x x π=-；令曲线:tan C y x =，直线:2()2l y x π=-，则直线l 与曲线C 交点的横坐标即为切点横坐标；又因为直线l 与曲线C 均关于点(,0)2π对称，则它们的交点横坐标成对出现，在区间99101,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内共有50对，每对之和为π；所以过点P作函数())e 4x f x x π+，99101,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的切线共有100条，即切点共有100个，所以1001150ni i i i x x π====∑∑．17.(数学理卷·2018届重庆市巴蜀中学高三上学期第六次月考第16题)已知数列{}n a 中，11a =，12(1)n n a na n ++=+()n N +∈，则20172016|||2016|a a -= ．解：4034-18.(数学理卷·2018届北京市朝阳区高三第一学期期末质量检测第13题)伟大的数学家高斯说过：几何学唯美的直观能够帮助我们了解大自然界的基本问题.一位同学受到启发，借助以下两个相同的矩形图形，按以下步骤给出了不等式：22222()()()ac bd a b c d +≤++的一种“图形证明”.bbcdaccbD C A证明思路：（1）左图中白色区域面积等于右图中白色区域面积；左图中阴影区域的面积为ac bd +，右图中，设BAD θ∠=，右图阴影区域的面积可表示为_________（用含a b c d ,,,，θ的式子表示）； （2）由图中阴影面积相等，即可导出不等式22222()()()ac bd a b c d +≤++. 当且仅当,,,a b c d 满足条件__________________时，等号成立.解：（1）2222sin a b c d θ⋅⋅++; （2）ad bc =19.(数学理卷·2018届福建省福州市高三上学期期末考试第16题)如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料MNQ ，O 为半圆的圆心，85MN =.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在MN 上，则裁出三角形面积的最大值为 ．338第二部分1.(数学理卷·2018届河北省馆陶县第一中学高二下学期期末考试第12题)若函数()3,0{,0xx e x f x e x x+≤=>，则方程()()33e f f x =的根的个数为（ ）A ． 4B ． 3C ． 2D ． 1解：当0x >时， ()()1'x e x f x x-=，据此可得函数在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞单调递增，且 ()1f e =，绘制函数图象如图所示，由()()33e f f x =可得()3f x =或()()0,1f x t =∈，当()3f x e =>时，函数有两个根，当()f x 为区间()0,1上的某一个定值时， ()f x t =有唯一的实数根，综上可得：方程()()33e f f x =的根的个数为3.本题选择B 选项.2.(数学理卷·2018届河南省南阳市下期高二期终质量评估第12题)已知定义在R 上函数)(x f 是可导的，2)1(=f ,且1)(')(<+x f x f ，则不等式xex f -<-11)(的解集是（ ）A.),1(+∞B.)1,0()0,( -∞C.)1,0(D.)1,(-∞解：设)1)(()(-=x f e x F x，则]1)(')([)('-+=x f x f e x F x，因为0>x e ，由已知可得，0)('<x F ，即函数)('x F 是单调减函数，e F =)1(，故xex f -<-11)(，即)1()(F x F <，则有1>x ,选A.3.(数学理卷·2018届湖北省黄冈市高二下学期期末考试第10题)2013年8月,考古学家在湖北省随州市叶家山发现了大量的古墓,经过对生物体内碳14含量的测量,估计该古墓群应该形成于公元前850年左右的西周时期,已知碳14的“半衰期”为5730年(即含量大约经过5730年衰减为原来的一半)，由此可知，所测生物体内碳14的含量应最接近于（ ） A ．25﹪B ．50﹪C ．70﹪D ．75﹪解：依题意知，生物体内碳14含量P 与死亡年数t 的关系为：57301()2t P =，而生物体距发掘时有约2863年，故可得286357301()0.72P =≈,选C 4.(湖南岳阳一中2018届新高三7月考数学（理）第12题) 若x R ∀∈，函数()()22241f x mx m x =--+与()g x mx =的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围为（ ）A. （0,4]B. （0,8）C. （2,5）D. (,0)-∞正（主）视方向zyoxDC B A 解析：当m ≤0时，显然不成立；当m ＞0时，若2b a -=42mm-≥0，即0＜m ≤4时结论显然成立；若2b a -=42mm-＜0，只要4（4-m ）2-8m=4（m-8）（m-2）＜0即可，即4＜m ＜8则0＜m ＜8，选B.5.(惠州市2018届高三第一次调研考试数学（理科）试题第8题) 一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是1(0,0,0),(1,0,1,(0,1,1),(,1,0)2），绘制该四面体三视图时, 按照如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（ ）解析：满足条件的四面体如左图，依题意投影到yOz 平面为正投影，所以左（侧）视方向如图所示，所以得到左视图效果如右图，故答案选B ．6.(惠州市2018届高三第一次调研考试数学（理科）试题第12题) 三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明．下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实．图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用⨯2勾⨯股+()2勾—股⨯=4朱实+黄实=弦实，化简得勾+股=弦．设勾股形中勾股比为3:1，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在黄色图形内的图钉数大约为（ ）()732.13≈A ．866B ．500C ．300D ．134解析：设勾为a ，则股为a 3 ， ∴ 弦为a 2 ，小正方形的边长为a a -3．所以图中大正方形的面积为 24a ，小正方形面积为()2213a -，所以小正方形与大正方形的面积比为()2314132-=- ∴ 落在黄色图形(小正方形)内的图钉数大约为 1341000231≈⨯⎪⎪⎭⎫⎝⎛-．故答案选D ． 7.(广东中山七校2018届高三第一次联考数学理第12题)已知函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的图象相切，则0x 必满足（ ）A ．012x <<0 B ．012x <<1 C ．2220<<x D ．023x << 解析：画出图像，显然可以排除A 、B 选项.由题x x f 2)(='，200)(x x f =，所以l 的方程为2000)(2x x x x y +-=2002x x x -=，因为l 也与函数ln y x =的图象相切，令切点坐标为)ln ,(11x x ，所以l 的方程为y 1ln 111-+=x x x ，这样有⎪⎩⎪⎨⎧=-=20110ln 112x x x x ，所以2002ln 1x x =+，()01,x ∈+∞,令12ln )(2--=x x x g ，()1,x ∈+∞，又因为xx x g 12)(-='x x 122-=，所以)(x g 在()1,+∞上单调增，又02ln )1(<-=g ，022ln 1)2(<-=g ，(3)2ln 230g =->，从而023x <<，选D . 10.( 2018届七校第一次联考理科数学第12题) 已知函数2y x =的图象在点()200,x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln ,(0,1)y x x =∈的图象相切，则0x 必满足（ ）A ．0102x <<B ．012x <<1 C ．0222x << D ．023x << 解析：画出图象，显然可以排除A 、B 选项.由题()2f x x '=，200()f x x =，所以l 的方程为22000002()2y x x x x x x x =-+=-，因为l 也与函数ln y x =的图象相切，令切点坐标为11(,ln )x x ，所以l 的方程为111ln 1y x x x =+-，这样有01210121ln x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，所以()20001ln 2,1,x x x +=∈+∞，令()2()ln 21,1,g x x x x =--∈+∞，又因为2121()2x g x x x x-'=-=，所以()g x 在()1,+∞上单调增，又(1)ln 20,(2)1ln 220,(3)2ln 230g g g =-<=-<=->，从而023x <<，选D . 11.(浙江省“七彩阳光”联盟2018届高三上学期期初联考数学试题第9题) 若时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）A.B.C. D.解析：原式有意义所以,设，则均为增函数.欲使时，同号，只需两函数图像和横坐标轴（n 为自变量）交点间的距离不超过1，即，解得，检验两个端点符合题意，所以.选B.12.(数学理卷·2018届江西省会昌中学高三上学期第一次半月考第11题) 已知函数()f x kx =21x e e ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，与函数()21xg x e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若()f x 与()g x 的图象上分别存在点,M N ，使得MN 关于直线y x =对称，则实数k 的取值范围是（ ）A. 1,e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B. 2,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ C. 2,2e e ⎛⎫- ⎪⎝⎭ D. 3,3e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦解：问题可化为函数()y g x =的反函数1logey =的图像与()f x kx =在区间21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解的问题。
