高考数学选择填空压轴题适合一本学生

专题02函数概念与基本初等函数Ι（选填压轴题）一、单选题1．（2021·全国）已知函数222,1()11,1x x x f x x x⎧-+≤⎪=⎨->⎪⎩，若对任意x ∈R ，()|2||1|0f x x k x ----≤恒成立，则实数k 的取值范围是（）A．1,[1,)2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦ B．11,,42⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C．11,,84⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D．(,1][2,)-∞+∞ 2．（2021·全国高三专题练习）设min{,}m n 表示,m n 二者中较小的一个，已知函数2()814f x x x =++，()221,log 42()min x g x x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭=(0x >)，若1[5,](4)x a a ∀∈-≥-，2(0,)x ∃∈+∞，使得12()()f x g x =成立，则a 的最大值为A．－4B．－3C．－2D．03．（2021·和平·天津一中）定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]0,2x 时，()[)[)232,0,11,1,22x x x x f x x -⎧-∈⎪⎪=⎨⎛⎫-∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，若当[)4,2x ∈--时，不等式()2142m f x m ≥-+恒成立，则实数m 的取值范围是（）A．[]2,3B．[]1,3C．[]1,4D．[]2,44．（2021·河北·天津二中）已知函数01,()1,1.x f x x x ⎧≤≤⎪=⎨>⎪⎩若关于x 的方程1()()4f x x a a R =-+∈恰有两个互异的实数解，则a 的取值范围为A．59,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．59,44⎛⎤ ⎥⎝⎦C．59,{1}44⎛⎤⎝⎦ D．59,{1}44⎡⎤⎢⎥⎣⎦5．（2021·全国高二课时练习）函数()()2,,x x a k a x a f x e x a a x ⎧----≤⎪=⎨>⎪-⎩，若(]0,x a ∃∈-∞，使得()1,x a ∀∈+∞都有()()10f x f x ≤，则实数k 的取值范围是A．(),1-∞B．[)1,+∞C．(],2-∞D．[)2,+∞6．（2021·奉新县第一中学）已知函数()()f x g x 、是定义在R 上的函数，其中()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()22f x g x ax x +=++，若对于任意1212x x <<<，都有()()12122g x g x x x ->--，则实数a 的取值范围是（）A．1(,[0,)2-∞-⋃+∞B．(0,)+∞C．1[,)2-+∞D．1[,0)2-7．（2021·全国高一专题练习）函数()f x 的定义域为D ，若对于任意的12,x x D ∈，当12x x <时，都有()()12f x f x ≤，则称函数()f x 在D 上为非减函数，设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00=f ；②()11()f x f x -=-；③1()32x f f x ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则12019f ⎛⎫ ⎪⎝⎭等于（）A．116B．132C．164D．11288．（2021·全国高一专题练习）我们把定义域为[0,)+∞且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“Ω函数”：（1）对任意的[0,)x ∈+∞，总有()0f x ≥；（2）若0x ≥，0y ≥，则有()()()f x y f x f y +≥+成立，下列判断正确的是（）A．若()f x 为“Ω函数”，则(0)0f =不一定成立B．若()f x 为“Ω函数”，则()f x 在[0,)+∞上一定是增函数C．函数0,,()1,x Q g x x Q ∈⎧=⎨∉⎩在[0,)+∞上是“Ω函数”D．函数2()g x x x =+在[0,)+∞上是“Ω函数”9．（2021·全国）已知函数()y f x =，若给定非零实数a ，对于任意实数x M ∈，总存在非零常数T ，使得()()af x f x T =+恒成立，则称函数()y f x =是M 上的a 级T 类周期函数，若函数()y f x =是[0,)+∞上的2级2类周期函数，且当[0,2]x ∈时()2101()212x x f x f x x ⎧-≤≤⎪=⎨-<<⎪⎩，，，又函数21()2ln 2g x x x x m =-+++．若1[6,8]x ∃∈，2(0,)x ∃∈+∞，使21()()0g x f x -≤成立，则实数m 的取值范围是（）A．（﹣∞，112]B．（﹣∞，132]C．[112+∞，）D．[132+∞，）10．（2021·安徽省怀宁县第二中学高三月考（理））已知()'f x 是奇函数()()f x x R ∈的导函数，当(,0]x ∈-∞时，()1f x '>，则不等式(21)(2)3f x f x x --+≥-的解集为A．(3,)+∞B．[3,)+∞C．(,3]-∞D．(,3)-∞11．（2021·重庆北碚·西南大学附中高三月考）已知3142342,3,log 4,log 5a b c d ====，则a b c d,,,的大小关系为（）A．b a d c>>>B．b c a d>>>C．b a c d>>>D．a b d c>>>12．（2021·全国高一专题练习）已知函数32()log (31x f x x =+-+，若()()22122f a f a -+-≤-，则实数a 的取值范围是（）A．[]3,1-B．[]2,1-C．(]0,1D．[]0,113．（2021·黔西南州同源中学（文））设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则A．a b c>>B．a c b>>C．c a b>>D．c b a>>14．（2021·绥德中学高一月考）定义在R 上的函数()f x 满足()()121f x f x +=+，当[)0,1x ∈时，()()()2122x xf x --=，若()f x 在[),1n n +上的最小值为23，则n =A．4B．5C．6D．715．（2021·新密市第一高级中学高二期末（文））已知函数()12019ln 112019x x a xf x a x -+=+-+-，若定义在R 上的奇函数()g x 满足()()11g x g x -=+，且()()211log 255g f f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()2019g =A．2B．0C．1-D．2-二、多选题16．（2021·江苏鼓楼·高二期末）已知定义域为()0,∞+的函数()f x 满足：①()0,x ∀∈+∞，()()55f x f x =；②当(]1,5x ∈时，()5f x x =-，则（）A．105f ⎛⎫= ⎪⎝⎭B．m Z ∀∈，()30mf =C．函数()f x 的值域为[)0,+∞D．n Z ∃∈，()512019nf +=17．（2021·湖南岳阳·高三模拟预测）已知函数3()13xxf x =+，设(1,2,3)i x i =为实数，且1230x x x ++=．下列结论正确的是（）A．函数()f x 的图象关于点10,2⎛⎫⎪⎝⎭对称B．不等式1(1)2f x ->的解集为{}1x x >C．若1230x x x ⋅⋅<，则()()()12332f x f x f x ++<D．若1230x x x ⋅⋅<，则()()()12332f x f x f x ++>18．（2021·全国）1837年，德国数学家狄利克雷(P.G.Dirichlet，1805-1859)第一个引入了现代函数概念：“如果对于x 的每一个值，y 总有一个完全确定的值与之对应，那么y 是x 的函数”.由此引发了数学家们对函数性质的研究.下面是以他的名字命名的“狄利克雷函数”：1,()0,R x QD x x Q ∈⎧=⎨∈⎩ð(Q 表示有理数集合)，关于此函数，下列说法正确的是（）A．()D x 是偶函数B．,(())1x R D D x ∀∈=C．对于任意的有理数t ，都有()()D x t D x +=D．存在三个点112233(,()),(,()),(,())A x D x B x D x C x D x ，使ABC ∆为正三角形19．（2021·湖南华容·）设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，也叫取整函数.令()[]f x x x =-，以下结论正确的有（）A．()1.10.9f -=B．函数()f x 为奇函数C．()()11f x f x +=+D．函数()f x 的值域为[)0,120．（2021·浙江）定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间[],a b 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（）A．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”B．1122⎡+⎢⎥⎣⎦是()f x 的一个“完美区间”C．()f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3D．()f x的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+21．（2021·岳麓·湖南师大附中高二月考）德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet ,1805~1859)在数学领域成就显著.19世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”()1,0,R x Qy f x x C Q ∈⎧==⎨∈⎩其中R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数()f x 有如下四个命题,正确的为A．函数()f x 是偶函数B．1x ∀,2R x C Q ∈,()()()1212f x x f x f x +=+恒成立C．任取一个不为零的有理数T ,()()f x T f x +=对任意的x ∈R 恒成立D．不存在三个点()()11,A x f x ,()()22,B x f x ,()()33C x f x ，,使得ABC ∆为等腰直角三角形22．（2021·汕头市第一中学）已知函数f (x )满足：当30x -≤<时，|2|()32x f x +=-，下列命题正确的是（）A．若f (x )是偶函数，则当03x <≤时，|2|()32x f x +=-B．若(3)(3)f x f x --=-，则()()1g x f x =-在(6,0)x ∈-上有3个零点C．若f (x )是奇函数，则()()1212,[3,3],14x x f x f x ∀∈--<D．若(3)()f x f x +=，方程2[()](2)()20f x k f x k -++=在[3,3]x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为11k -<<三、填空题23．（2021·全国高三专题练习）定义域为集合{1,2,3,,12}⋅⋅⋅上的函数()f x 满足：①(1)1f =；②|(1)()|1f x f x +-=（1,2,,11x =⋅⋅⋅）；③(1)f 、(6)f 、(12)f 成等比数列；这样的不同函数()f x 的个数为________24．（2021·全国高三专题练习）已知函数1(31)0()2ln 0x x f x x x ⎧++≤⎪=⎨⎪>⎩，，，，若存在实数a b c <<，满足()()()f a f b f c ==，则()()()af a bf b cf c ++的最大值是____．25．（2021·江西上高二中高二月考（文））定义在R 上函数()f x 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--，则使得()116f x ≤在[),m +∞上恒成立的m 的最小值是______________.26．（2021·上海徐汇·位育中学）设()1f x x =-，4()g x x =-，若存在121,,,[,4]4n x x x ⋅⋅⋅∈，使得12()()f x f x ++⋅⋅⋅+1121()()()()()()n n n n f x g x g x g x g x f x --+=++⋅⋅⋅++成立，则正整数n 的最大值为________27．（2021·广东潮阳·）函数())22ln41ax a xf x x a++=++，若()f x 最大值为M ，最小值为N ，[]1,3a ∈，则M N +的取值范围是______.28．（2021·全国高一专题练习）下列说法中正确的是______.①函数32y x -=的定义域是{}0x x ≠；②方程()230x a x a +-+=的有一个正实根，一个负实根，则0a <；③函数1lg1xy x-=+在定义域上为奇函数；④函数()log 252a y x =--(0a >，且1a ≠)恒过定点()3,2-；⑤若33x x--=，则33x x -+的值为2.。

2024届高考数学专题：同构、构造函数选择填空压轴题一、单选题1.若对∀x ∈12e ,12，不等式(ax -4)ln x <2ln a -ax ln2恒成立，则实数a 的取值范围是()A.(0,4e ]B.(4e ,+∞)C.[4e ,+∞)D.(4e ,+∞)【答案】C【分析】不等式(ax -4)ln x <2ln a -ax ln2变形为ln (2x )2x <ln (ax 2)ax 2，令f x =ln xx ，利用导数研究函数单调性，解不等式求实数a 的取值范围.【详解】由已知得：a >0，由ax -4 ln x <2ln a -ax ln2，得ax ln 2x <2ln a +2ln x 即ax ln (2x )2<ln (ax 2)，可得ln (2x )2x <ln (ax 2)ax 2．令f x =ln xx，x ∈0,+∞ ，则f (2x )<f (ax 2)，求导得f (x )=1-ln x x2，f(x )>0，解得0<x <e ；f (x )<0，解得x >e ，∴f (x )在(0,e )上单调递增，在(e ,+∞)上单调递减，且当0<x <1时f (x )<0；当x >1时，f (x )>0，函数图像如图所示．∵x ∈12е,12，∴2x ∈1е,1，∴f (2x )<0，由f (2x )<f (ax 2)及f x =ln x x 的图像可知，2x <ax 2恒成立，即a >2x成立，而2x ∈(4,4e )，∴a ≥4е，实数a 的取值范围是[4e ,+∞).故选：C ．2.对任意x ∈0,+∞ ，k e kx +1 -1+1xln x >0恒成立，则实数k 的可能取值为()A.-1B.13C.1eD.2e【答案】D【分析】将恒成立的不等式化为e kx +1 ln e kx >x +1 ln x ，构造函数f x =x +1 ln x ，利用导数可求得f x 单调性，从而得到e kx >x ，分离变量可得k >ln x x ；令h x =ln xx，利用导数可求得h x 最大值，由此可得k 的范围，从而确定k 可能的取值.【详解】当x >0时，由k e kx +1 -1+1xln x >0得：kx e kx +1 >x +1 ln x ，∴e kx +1 ln e kx >x +1 ln x ，令f x =x +1 ln x ，则f x =ln x +1+1x，令g x =f x ，则g x =1x -1x 2=x -1x 2，∴当x ∈0,1 时，g x <0；当x ∈1,+∞ 时，g x >0；∴f x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，∴f x ≥f 1 =2>0，∴f x 在0,+∞ 上单调递增，由e kx +1 ln e kx >x +1 ln x 得：f e kx >f x ，∴e kx >x ，即k >ln xx；令h x =ln x x ，则h x =1-ln xx 2，∴当x ∈0,e 时，h x >0；当x ∈e ,+∞ 时，h x <0；∴h x 在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，∴h x ≤h e =1e，∴当x >0时，k >ln x x 恒成立，则k >1e，∴实数k 的可能取值为2e，ABC 错误，D 正确.故选：D .【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求解恒成立问题，解题关键是能够对于恒成立的不等式进行同构变化，将其转化为同一函数的两个函数值之间的大小关系的问题，从而利用函数的单调性来进行求解.3.已知对任意的x ∈0,+∞ ，不等式kx e kx +1 -x +1 ln x >0恒成立，则实数k 的取值范围是()A.e ,+∞B.1e ,eC.1e,+∞D.1e2,1e【答案】C【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、常变量分离法进行求解即可.【详解】因为kx e kx +1 >(x +1)ln x ，所以e kx +1 ln e kx >(x +1)ln x ①，令f (x )=(x +1)ln x ，则f (x )=1x +1+ln x ，设g (x )=f (x )=1x+1+ln x ，所以g (x )=-1x 2+1x =x -1x2，当0<x <1时，g(x )<0，当x >1时，g (x )>0，所以f (x )在(0,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，所以f x ≥f 1 =2，所以f (x )在(0,+∞)单调递增，因为①式可化为f e kx >f (x )，所以e kx >x ，所以k >ln xx，令h (x )=ln x x ，则h (x )=1-ln xx 2，当x ∈(0,e )时，h (x )>0，当x ∈(e ,+∞)时，h (x )<0，所以h (x )在(0,e )单调递增，在(e ,+∞)单调递减，所以h (x )max =h (e )=1e ，所以k >1e，故选：C .4.设实数a >0，对任意的x ∈1e3,+∞，不等式e 2ax -ln x 2a ≥1a -e 2ax ax 恒成立，则实数a 的取值范围是()A.1e ,+∞B.12e,+∞ C.0,1eD.1e2,+∞【答案】B【分析】将e 2ax-ln x 2a ≥1a -e 2ax ax化简为e 2ax 2ax +2 ≥x ln x +2 ，再构造函数f x =x ln x +2 ，求导分析单调性可得e 2ax ≥x 在区间1e3,+∞上恒成立，再参变分离构造函数求最值解决恒成立问题即可.【详解】因为e 2ax-ln x 2a ≥1a -e 2ax ax恒成立即2axe 2ax -x ln x ≥2x -2e 2ax ，可得e 2ax 2ax +2 ≥x ln x +2 ，令f x =x ln x +2 ，则f e 2ax ≥f x 恒成立.又f x =ln x +3，故当x ∈1e 3,+∞时，fx >0，故f x =x ln x +2 在区间1e3,+∞上为增函数.又f e 2ax ≥f x 恒成立，则e 2ax ≥x 在区间1e3,+∞上恒成立，即2ax ≥ln x ，2a ≥ln xx .构造g x =ln x x ,x ∈1e 3,+∞，则g x =1-ln xx2，令g x =0有x =e ，故当x ∈1e3,e时g x >0，g x 为增函数；当x ∈e ,+∞ 时g x <0，g x 为减函数.故g x ≤g e =1e ，故2a ≥1e ，即a ≥12e.故选：B 【点睛】方法点睛：恒(能)成立问题的解法：若f (x )在区间D 上有最值，则(1)恒成立：∀x ∈D ,f x >0⇔f x min >0；∀x ∈D ,f x <0⇔f x max <0；(2)能成立：∃x ∈D ,f x >0⇔f x max >0；∃x ∈D ,f x <0⇔f x min <0.若能分离常数，即将问题转化为：a >f x (或a <f x )，则(1)恒成立：a >f x ⇔a >f x max ；a <f x ⇔a <f x min ；(2)能成立：a >f x ⇔a >f x min ；a <f x ⇔a <f x max .5.已知函数f x =ln x +ax 2，若对任意两个不等的正实数x 1，x 2，都有f x 1 -f x 2x 1-x 2>2，则实数a 的取值范围是()A.14,+∞B.12,+∞C.14,+∞ D.12,+∞ 【答案】D【分析】构造函数g (x )=f (x )-2x =ln x +ax 2-2x (x >0)，则转化得到g x 在(0,+∞)上单调递增，将题目转化为g (x )=1x+2ax -2≥0在(0,+∞)上恒成立，再利用分离参数法即可得到答案.【详解】由题意,不妨设x 1>x 2>0,因为对任意两个不等的正实数x 1,x 2,都有f x 1 -f x 2x 1-x 2>2,所以f x 1 -f x 2 >2x 1-2x 2,即f x 1 -2x 1>f x 2 -2x 2,构造函数g(x)=f(x)-2x=ln x+ax2-2x(x>0),则g x1>g x2,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增，所以g (x)=1x+2ax-2≥0在(0,+∞)上恒成立,即a≥1x-12x2在(0,+∞)上恒成立,设m(x)=1x-12x2(x>0),则m (x)=-1x2+1x3=1-xx3，所以当x∈(0,1)时,m (x)>0,m(x)单调递增，x∈(1,+∞)时,m (x)<0,m(x)单调递减，所以m(x)max=m(1)=1-12=12，所以a≥1 2 .故选：D.6.已知f x 是定义在R上的函数f x 的导函数，且f x +xf x <0，则a=2f2 ,b=ef e ,c=3f3 的大小关系为()A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>a>c【答案】A【分析】构建g x =xf x ，求导，利用导数判断g x 的单调性，进而利用单调性比较大小.【详解】构建g x =xf x ，则g x =f x +xf x ，因为f x +xf x <0对于x∈R恒成立，所以g x <0，故g x 在R上单调递减，由于a=2f2 =g2 ,b=ef e =g e ,c=3f3 =g3 ，且2<e<3，所以g2 >g e >g3 ，即a>b>c.故选：A.【点睛】结论点睛：1.f x +xf x 的形式，常构建xf x ；f x -xf x 的形式，常构建f x x；2.f x +f x 的形式，常构建e x⋅f x ；f x -f x 的形式，常构建f x e x.7.若函数f x =e x2-2ln x-2a ln x+ax2有两个不同的零点，则实数a的取值范围是()A.-∞,-eB.-∞,-eC.-e,0D.-e,0【答案】A【分析】将问题转化为函数y=-a与y=e x2-2ln xx2-2ln x图象有两个不同的交点，根据换元法将函数y=e x2-2ln x x2-2ln x 转化为g t =e tt，利用导数讨论函数的单调性求出函数的值域，进而得出参数的取值范围.【详解】函数f(x)的定义域为(0,+∞)，f x =e x2-2ln x-2a ln x+ax2=e x2-2ln x+a x2-2ln x，设h(x)=x2-2ln x(x>0)，则h (x)=2x-2x=2(x+1)(x-1)x，令h (x)>0⇒x>1，令h (x)<0⇒0<x<1，所以函数h (x )在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且h (1)=1，所以h (x )min =h (1)=1，所以h (x )≥1，函数f (x )有两个不同的零点等价于方程f (x )=0有两个不同的解，则e x 2-2ln x+a x 2-2ln x =0⇒-a =e x 2-2ln x x 2-2ln x，等价于函数y =-a 与y =e x 2-2ln xx 2-2ln x 图象有两个不同的交点.令x 2-2ln x =t ，g t =e t t ,t >1，则函数y =-a 与g t =e tt ,t >1图象有一个交点，则g t =te t -et t 2=e t t -1 t2>0，所以函数g (t )在(1,+∞)上单调递增，所以g t >g 1 =e ，且t 趋向于正无穷时，g t =e tt趋向于正无穷，所以-a >e ，解得a <-e.故选：A .【点睛】方法点睛：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．对于不适合分离参数的等式，常常将参数看作常数直接构造函数，常用分类讨论法，利用导数研究单调性、最值，从而得出参数范围.8.函数f x 是定义在0,+∞ 上的可导函数，其导函数为f x ，且满足f x +2xf x >0，若不等式ax ⋅f ax ln x ≥f ln x ⋅ln xax在x ∈1,+∞ 上恒成立，则实数a 的取值范围是()A.0,1eB.1e ,+∞C.0,eD.1e,+∞【答案】B【分析】根据题目条件可构造函数g x =x 2f x ，利用导函数判断出函数单调性，将不等式转化成g ax≥g ln x ，即a ≥ln x x 在x ∈1,+∞ 上恒成立，求出函数ln xx在1,+∞ 上的最大值即可得a 的取值范围.【详解】设g x =x 2f x ，x >0，g x =x 2f x +2xf x =x 2fx +2x f x >0所以函数g x 在0,+∞ 上为增函数．由f x 的定义域为0,+∞ 可知ax >0，得a >0，将不等式ax ⋅f ax ln x ≥f ln x ⋅ln xax整理得a 2x 2⋅f ax ≥f ln x ⋅ln 2x ，即g ax ≥g ln x ，可得ax ≥ln x 在x ∈1,+∞ 上恒成立，即a ≥ln xx在x ∈1,+∞ 上恒成立；令φx =ln xx ，其中x >1，所以a ≥φx maxφ x =1-ln xx2，令φ x =0，得x =e ．当x ∈1,e 时，φ x >0，所以φx 在1,e 上单调递增；当x ∈e ,+∞ 时，φ x <0，所以φx 在e ,+∞ 上单调递减；所以φx max =φe =1e ，即a ≥1e故选：B ．9.已知函数f (x )=xe x -a ln x +x -x a +1，若f (x )>0在定义域上恒成立，则实数a 的取值范围是()A.(-∞,e )B.0,eC.(-∞,1)D.0,1【答案】B【分析】构造函数g x =x +e x ，从而原不等式可转化为g x +ln x >g a ln x +ln x ，根据g x 的单调性可得x -a ln x >0，根据a 不同取值分类讨论求解即可.【详解】由f x >0得xe x +x >a ln x +x a +1，所以xe x +x +ln x >a ln x +ln x +x a +1，即e x +ln x +x +ln x >a ln x +ln x +x a +1，构造函数g x =x +e x ，则不等式转化为g x +ln x >g a ln x +ln x ，又易知g x 在R 上单调递增，故不等式等价于x +ln x >a ln x +ln x ，即x -a ln x >0.设h x =x -a ln x ，若a <0，h e1a=e1a-a lne 1a =e 1a-1<0，不符合题意；若a =0，则当x >0时，h x =x >0，符合题意；若a >0，则h x =1-ax,h x 在0,a 上单调递减，在a ,+∞ 上单调递增，所以h (x )min =h a ，要使h x >0恒成立，只需h a =a 1-ln a >0，所以0<a <e.综上可知a 的取值范围是0,e .故选：B .10.已知函数f (x )=xe x +e x ,g (x )=x ln x +x ，若f x 1 =g x 2 >0，则x 2x 1可取()A.-1 B.-1eC.1D.e【答案】A【分析】探讨函数g x 在1e 2,+∞上单调性，由已知可得x 2=e x 1(x 1>-1)，再构造函数并求出其最小值即可判断作答.【详解】依题意，由g x 2 =x 2(ln x 2+1)>0得x 2>1e，令g x =2+ln x >0，函数g x 在1e 2,+∞上单调递增，由f x 1 =e x 1x 1+1 >0得x 1>-1，则f x =e x ln e x +1 =g (e x )，由f x 1 =g x 2 >0得：g (e x 1)=g (x 2)，又e x 1>1e ,x 2>1e，于是得x 2=e x 1(x 1>-1)，x 2x 1=ex1x 1，令h (x )=e x x (x >-1)，求导得h(x )=e x (x -1)x 2，当-1<x <0,0<x <1时，h (x )<0，当x >1时，h (x )>0，即函数h (x )在(-1,0)，(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，当x >0时，h (x )min =h (1)=e ，且x →+∞，h (x )→+∞，h (-1)=-1e ，且x →0-，h (x )→-∞，故h (x )∈-∞,-1e∪[e ,+∞)即x 2x 1∈-∞,-1e ∪[e ,+∞)，显然选项A 符合要求，选项B ，C ，D 都不符合要求.故选：A 一、填空题11.设实数m >0，若对∀x ∈0,+∞ ,不等式e mx -ln xm≥0恒成立，则m 的取值范围为．【答案】m ≥1e【分析】构造函数f x =xe x 判定其单调性得mx ≥ln x ，分离参数根据恒成立求y =ln xx max即可.【详解】由e mx -ln xm≥0⇔mxe mx ≥x ln x =ln x ⋅e ln x ，构造函数f x =xe x x >0 ⇒f x =x +1 e x >0，∴f x 在0,+∞ 为增函数，则mx ⋅e mx ≥ln x ⋅e ln x ⇔mx ≥ln x 即对∀x ∈0,+∞ ,不等式mx ≥ln x 恒成立，则∀x ∈0,+∞ ,m ≥ln xx max，构造函数g x =ln x x ⇒g x =1-ln xx 2,令g x >0，得0<x <e ；令g x <0，得x >e ；∴g x =ln xx在0,e 上单调递增，在e ,+∞ 上单调递减，∴g x max =g e =1e ，即m ≥1e .故答案为：m ≥1e .12.已知函数f (x )=e x +1-a ln x ，若f (x )≥a (ln a -1)对x >0恒成立，则实数a 的取值范围是．【答案】0,e 2【分析】对不等式进行合理变形同构得e x +1-ln a +x +1-ln a ≥x +ln x ，构造函数利用函数的单调性计算即可.【详解】易知a >0，由e x +1-a ln x ≥a (ln a -1)可得e x +1a+1-ln a ≥ln x ，即e x +1-ln a +1-ln a ≥ln x ，则有e x +1-ln a +x +1-ln a ≥x +ln x ，设h (x )=e x +x ，易知h x 在R 上单调递增，故h (x +1-ln a )≥h (ln x )，所以x +1-ln a ≥ln x ，即x -ln x ≥ln a -1，设g (x )=x -ln x ⇒g x =x -1x，令g x >0⇒x >1，g x <0⇒0<x <1，故g x 在0,1 上单调递减，在1,+∞ 上单调递增，所以g x ≥g 1 =1，则有1≥ln a -1，解之得a ∈0,e 2 ．故答案为：0,e 2 .13.已知a >1，若对于任意的x ∈13,+∞，不等式13x -2x +ln3x ≤1ae2x +ln a 恒成立，则a 的最小值为.【答案】32e【分析】根据题意可得13x +ln3x ≤1ae2x +ln ae 2x ，再构造f (x )=1x +ln x (x ≥1)，利用导数研究该函数的单调性，从而利用函数的单调性，可得3x ≤ae 2x ，然后再参变量分离，将恒成立问题转为变量的最值，最后利用导数求出变量式的最值，从而得解．【详解】因为ln a +2x =ln a +ln e 2x =ln ae 2x ，所以13x -2x +ln3x ≤1ae 2x +ln a 可化为13x +ln3x ≤1ae2x +ln ae 2x ，设f (x )=1x +ln x (x ≥1)，则f (x )=-1x 2+1x =x -1x 2≥0，∴f (x )在1,+∞ 上单调递增，因为a >1，x ∈13,+∞，所以3x ≥1，e 2x ≥e 23>1，ae 2x >1，所以13x +ln3x ≤1ae 2x +ln ae 2x 可化为f (3x )≤f (ae 2x )，所以3x ≤ae 2x ，∴a ≥3x e2x 在x ∈13,+∞ 上恒成立，∴a ≥3x e2xmax ，x ∈13,+∞ ，设g (x )=3x e 2x ，x ∈13,+∞ ，则g(x )=3(1-2x )e 2x，令g (x )>0，得13≤x <12；g (x )<0，得x >12，所以g (x )在13,12上单调递增，在12,+∞ 上单调递减，所以g x max =g 12 =32e ，所以a ≥32e ，即a 的最小值为32e ．故答案为：32e．【点睛】关键点睛：本题的关键是将式子同构成13x +ln3x ≤1ae 2x +ln ae 2x ，再构造函数.14.若不等式ae 3x +2x +ln a ≥ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，则实数a 的最小值为．【答案】13e【分析】将不等式变形为e 3x +ln a +3x +ln a ≥e ln x +ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，构造函数g x =e x +x ，求导得单调性，进而问题进一步转化为ln a ≥ln x -3x 成立，构造h x =ln x -3x ，即可由导数求最值求解.【详解】因为ae 3x +2x +ln a ≥ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，不等式可变形为:ae 3x +3x +ln a ≥ln x +x ，即e ln a e 3x +3x +ln a ≥ln x +e ln x ，即e 3x +ln a +3x +ln a ≥e ln x +ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立，记g x =e x +x ，则g x =e x +1>0，所以g x 在R 上单调递增，则e 3x +ln a +3x +ln a ≥e ln x +ln x 可写为g 3x +ln a ≥g ln x ，根据g x 单调性可知，只需3x +ln a ≥ln x 对任意x ∈0,+∞ 成立即可，即ln a ≥ln x -3x 成立，记h x =ln x -3x ，即只需ln a ≥h x max ，因为h x =1x -3=1-3x x ，故在x ∈0,13 上，h x >0，h x 单调递增，在x ∈13,+∞ 上，h x <0，h x 单调递减，所以h x max =h 13 =ln 13-1=ln 13e，所以只需ln a ≥ln 13e 即可，解得a ≥13e.故答案为:13e【点睛】方法点睛：利用导数求解不等式恒成立或者存在类问题：1.通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)，从而得出不等关系；2.利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题，从而判定不等关系；3.适当放缩构造法：根据已知条件适当放缩或利用常见放缩结论，从而判定不等关系；4.构造“形似”函数，变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.15.已知函数f x =ln x +ax 2，若对任意两个不相等的正实数x 1,x 2，都有f x 1 -f x 2x 1-x 2>2，则实数a 的取值范围是【答案】12,+∞ 【分析】设x 2>x 1>0，令g x =f x -2x ，将问题转化为g x 在0,+∞ 上单调递增，即g x ≥0在0,+∞ 上恒成立，采用分离变量的方式可得2a ≥-1x 2+2x ，结合二次函数性质可确定2a ≥1，由此可得结果.【详解】不妨设x 2>x 1>0，由f x 1 -f x 2x 1-x 2>2得：f x 1 -2x 1<f x 2 -2x 2，令g x =f x -2x ，则g x 在0,+∞ 上单调递增，∴g x =1x +2ax -2≥0在0,+∞ 上恒成立，∴2a ≥-1x 2+2x ，当1x =1，即x =1时，y =-1x2+2x 取得最大值1，∴2a ≥1，解得：a ≥12，∴实数a 的取值范围为12,+∞ .故答案为：12,+∞ .16.已知函数f x =12x 2-a ln x +1，当-2≤a <0，对任意x 1,x 2∈1,2 ，不等式f x 1 -f x 2 ≤m1x 1-1x 2恒成立，则m 的取值范围为．【答案】12，+∞【分析】构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，求m 的取值范围即可.【详解】因为-2≤a <0，函数f x 在1,2 上单调递增，不妨设1≤x 1≤x 2≤2，则f x 1 -f x 2 ≤m1x 1-1x 2，可化为f x 2 +m x 2≤f x 1 +mx 1，设h x =f x +mx=12x2-a ln x+1+mx，则h x1≥h x2，所以h x 为1,2上的减函数，即h x =x-ax-mx2≤0在1,2上恒成立，等价于m≥x3-ax在1,2上恒成立，设g x =x3-ax，所以m≥g(x)max，因-2≤a<0，所以g x =3x2-a>0，所以函数g x 在1,2上是增函数，所以g(x)max=g2 =8-2a≤12(当且仅当a=-2时等号成立)．所以m≥12.故答案为：12，+∞．17.已知实数x，y满足e x=xy2ln x+ln y，则xy的取值范围为.【答案】[e,+∞)【分析】把e x=xy2ln x+ln y化为xe x=x2y⋅ln(x2y)，构造函数f(x)=xe x(x>0)，可得xy=e xx，再求出函数g(x)=e xx(x>0)的值域即可得答案.【详解】依题意有x>0,y>0，设f(x)=xe x(x>0)，则f (x)=(x+1)e x>0，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，由e x=xy2ln x+ln y，得xe x=x2y⋅ln(x2y)，即有f(x)=f(ln(x2y))，因为f(x)在(0,+∞)上单调递增，所以有x=ln(x2y)，即x2y=e x，所以xy=e x x，设g(x)=e xx(x>0)，则g (x)=(x-1)e xx2，令g (x)=0，得x=1，x∈(0,1)时，g (x)<0，g(x)单调递减，x∈(1,+∞)时，g (x)>0，g(x)单调递增，所以g(x)min=g(1)=e，所以x∈(0,+∞)时，g(x)∈[e,+∞)，所以xy的取值范围为[e,+∞).故答案为：[e,+∞)18.已知x0是方程e3x-ln x+2x=0的一个根，则ln x0x0=.【答案】3【分析】依题意得e3x0+3x0=x0+ln x0，构造函数f(x)=e x+x，则有f(3x0)=f(ln x0)，得出f(x)的单调性即可求解.【详解】因为x0是方程e3x-ln x+2x=0的一个根，则x0>0，所以e3x0-ln x0+2x0=0，即e3x0+3x0=x0+ln x0，令f(x)=e x+x，则f (x)=e x+1>0，所以f(x)在R单调递增，又e3x0+3x0=x0+ln x0，即f(3x0)=f(ln x0)，所以3x0=ln x0，所以ln x0x0=3.故答案为：319.已知函数f x =e ax-2ln x-x2+ax，若f x >0恒成立，则实数a的取值范围为.【答案】2e,+∞ 【分析】根据f x >0恒成立，可得到含有x ，a 的不等式，再进行分离变量，将“恒成立”转化为求函数的最大值或最小值，最后得出a 的范围.【详解】已知函数f x =e ax -2ln x -x 2+ax ，若f x >0恒成立，则实数a 的取值范围为令g x =e x +x ，g x =e x +1>0，所以g x 单调递增，因为f x =e ax -2ln x -x 2+ax >0x >0 ，所以e ax +ax >ln x 2+e ln x 2，可得g ax >g ln x 2 ，所以ax >ln x 2，所以a >ln x 2xx >0 恒成立，即求ln x 2x max x >0 ，令F x =ln x 2x x >0 ，F x =ln x 2 x -x ln x 2x 2=21-ln x x 2，当x ∈0,e 时，F x >0，F x 单调递增，当x ∈e ,+∞ 时，F x <0，F x 单调递减，所以F x ≤F e =2e ，可得a <2e .故答案为：2e ,+∞ .【点睛】对于“恒成立问题”，关键点为：对于任意的x ，使得f x >a 恒成立，可得出f x min >a ；对于任意的x ，使得f x <a 恒成立，可得出f x max <a .20.若ln x +ln2a -1-2a x -e x ≤0，则实数a 的取值范围为．【答案】0<a ≤e 2【分析】利用同构法，构造函数f (x )=ln x +x ，将问题转化为f (2ax )≤f (e x)，从而得到2a ≤e x x恒成立问题，再构造g (x )=e x x，利用导数求得其最小值，由此得解.【详解】因为ln x +ln2a -1-2a x -e x ≤0，a >0,x >0⇔ln (2ax )-x +2ax -e x ≤0,⇔ln (2ax )+2ax ≤x +e x =ln e x +e x ，令f (x )=ln x +x ,x >0，则原式等价于f (2ax )≤f (e x )，f (x )=1x +1=1+x x>0恒成立，所以f (x )在定义域内单调递增，所以2ax ≤e x ⇒2a ≤e x x，令g (x )=e x x (x >0),g (x )=e x (x -1)x 2，则x >1时，g (x )>0，g (x )在(1,+∞)单调递增，0<x <1时，g (x )<0，g (x )在(0,1)单调递减，所以g (x )min =g (1)=e ，则2a ≤e ,a ≤e 2.又a 为正数，故答案为：0<a ≤e 2.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．21.已知a <0，不等式xe x +a ln x x a ≥0对∀x ∈1,+∞ 恒成立，则实数a 的最小值为.【答案】-e 【分析】将不等式等价变形为xe x ≥-a ln x ⋅e -a ln x ，构造函数f x =xe x ，进而问题转化成x ≥-a ln x ，构造g (x )=x ln x ，利用导数求解单调性进而得最值.【详解】xe x ≥-a ln x x a =-a ln x ⋅e -a ln x ，构造函数f x =xe x ，f x =x +1 e x >0x >0 ，故f x 在0，+∞ 上单调递增，故f x ≥f -a ln x 等价于x ≥-a ln x ，即a ≥-x ln x 任意的实数x >1恒成立．令g (x )=x ln x ，x >1则g (x )=ln x -1ln 2x ，故g (x )在(1,e )上单调递减，在(e ,+∞)上单调递增，g (x )min =e ，得a ≥-x ln x max=-e ．故答案为：-e【点睛】对于利用导数研究函数的综合问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别22.关于x 的不等式a 2e 2x +1-ln x +x +1+2ln a ≥0在0,+∞ 上恒成立，则a 的最小值是.【答案】22e【分析】不等式转化为e 2x +1+2ln a +2x +1+2ln a ≥ln x +x =e ln x +ln x ，构造函数f x =e x +x ，判断函数单调递增得到2x +1+ln a ≥ln x ，转化为2x +1-ln x +ln a ≥0，构造函数g x =2x +1-ln x +ln a ，根据函数的单调性计算最小值即得到答案.【详解】a 2e 2x +1-ln x +x +1+2ln a ≥0，即e 2x +1+2ln a +2x +1+2ln a ≥ln x +x =e ln x +ln x ，设f x =e x +x ，f x =e x +1>0恒成立，故f x 单调递增.原不等式转化为f 2x +1+2ln a ≥f ln x ，即2x +1+2ln a ≥ln x ，即2x +1-ln x +2ln a ≥0在(0,+∞)上恒成立.设g x =2x +1-ln x +2ln a ，g x =2x -1x ，当x ∈12,+∞ 时，g x >0，函数单调递增；当x ∈0,12 时，g x <0，函数单调递减；故g x min =g 12=2+ln2+2ln a ≥0，即2ln a ≥-2-ln2=-ln2e 2，解得a ≥22e.所以a 的最小值是22e.故答案为：22e.【点睛】方法点睛：将不等式a 2e 2x +1-ln x +x +1+2ln a ≥0化为e 2x +1+2ln a +2x +1+2ln a ≥e ln x +ln x ，这种方法就是同构法，同构即结构形式相同，对于一个不等式，对其移项后通过各种手段将其变形，使其左右两边呈现结构形式完全一样的状态，接着就可以构造函数，结合函数单调性等来对式子进行处理了．。

1.选择题人调整人中抽2人后排8人，现摄影师要从后排81.（安徽）12名同学合影，站成了前排4 ）到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（22222622ACAAACCC B．．．D ．CA58863688BDCD?ABABCD PP作垂直于平在正方体的对角线上．过点（北京）如图，动点2.11111DBBD)(xy?fMN?y xP?BM，N则函数，，的直线，与正方体表面相交于．设面11）的图象大致是（D1 Cyyyy1A1B1 NP DC OOOOx xxxMB．DA．．C．AB的图象可能是=g(x)x)的导函数的图象如图，那么y=f(x)，y（福建）已知函数3.y=f(x)，y=g( ）（y?)g(xy??)y?fx( yyyy)xf(y?)(xy?f)?g(yyx?g(xx OOOOOxxxxxC OD，EOABCDACAEBD的延交于点4.（广东）在平行四边形是线段中，与的中点，b??aBDAC?AF CDF交于点）．若长线与，则，（21111121b?ba?baa?b?a．B．A．D C．3324343267的在该几何体的正视图中，5.（宁夏）这条棱的投影是长为某几何体的一条棱长为，b+b的线段，则a线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和）的最大值为（5223224 D．C．．A．B P变“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点湖北）6.（如图所示，PF点第二次变轨进入轨进入以月球球心为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在FPF为圆心的仍以点第三次变轨进入以为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在a2c2a2c2分别表示和和分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用若用圆形轨道Ⅲ绕月飞行，2121P椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：FⅢⅡⅠ．cc21cc?a?cca?a?ac?a?ca??；②；③．①；④212121112212aa21）其中正确式子的序号是（．②④D C．①④A．①③B．②③5??????*1?2?x2N n?x，）的最大整数（如7.（湖南）设，．对于给定的表示不超过??4??定义1)]?[n?1)(n?xn(3????xx?C，x?3C?x?，∞1，则当，时，函数）的值域是（??nn21)]?(x?[x(x?1)x??2816161628????????????，，，2828456，456，28，．B．A．．D C?????????? 33333??????????21x??2(4?m)f(x)?2mxx)()?mxxfg(x，，，8．（江西）已知函数若对于任一实数m)xg(）与的取值范围是（的值至少有一个为正数，则实数0)，((2，8)??(0，2)(0，8)．A．B．C．D3?x??ff(x)?)xff(x)(则满足x9.（辽宁）设>0时是单调函数，是连续的偶函数，且当??4?x??）的所有x之和为（8?338? C．D．A．B．D，C，A，B种不同的花供选种，要求四块，现有410．（全国1）如图，一环形花坛分成）种花，且相邻的2块种不同的花，则不同的种法总数为（在每块里种1 A D A．96 B．84 C．60 D．48C B11．（全国2）已知球的半径为2，相互垂直的两个平面分别截球面得两个圆．若两圆的公共弦长为2，则两圆的圆心距等于（）32D．C．2A．1 B．≥?0，y?19x?2?≥0，?8x?yM，使函数12．(山东)设二元一次不等式组所表示的平面区域为??≤0?142x?y?x(a?0，ay?a?1)a M的取值范围是（的）的图象过区域[2，10]9]，10[，，[13]9][2．D ．C ．B ．A（陕西）为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据13．haaa，haaaa}，?{012，，i?01）组成传输信息．设定原信息为，传输信息为（，其中110102i20ah?，h?ah?a?01?11?1?11?0??0?0?00?，，，，运算规则为：，211000．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信，则传输信息为01111例如原信息为111 ）息出错，则下列接收信息一定有误的是（00011 D．．10111 B．01100 CA．11010?轴的正半轴分别相y是一个与x14.（上海）如图，在平面直角坐标系中，轴的正半轴、、)x,y、C、D是该圆的四等分点，若点P(切于点C、D的定圆所围成区域（含边界），A、B)'',y P'(x?? Q满足：不存在P'，如果中中的点x'且y≥y'，则称P优于满足x≤yA ·）Q组成的集合是劣弧（的其它点优于Q，那么所有这样的点︵︵︵︵．DA CD D B．BC C． A．AB ? D ·· B·C Ox2C：y?8xx CAKF上且轴的交点为在的焦点为，点15．（四川）已知抛物线，准线与|AK|?2|AF|△AFK的面积为（，则）A．4 B．8 C．16 D．3216．（天津）有8张卡片分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，从中取出6张卡片排成3行2列，要求3行中仅有中间行的两张卡片上的数字之和为5，则不同的排法共有（）．．A．1344种B．1248种C．1056种D．960种??△ABPPAAB使得如图，在平面是平面若点的斜线段，内运动，为斜足，（浙江）17．．．．P 的轨迹是（）的面积为定值，则动点A．圆B．椭圆 B C．一条直线D．两条平行直线A P ?（第10题）sinx?1≤≤2π(0f(x)?)x的值域是（．18（重庆）函数）3?2cosx?2sinx??20][?2，0]，3?[?，01?，0][．D ．C ．A．B ??2??填空题2.，＝6⊥CD，若AB，D在同一个球面上，AB⊥平面BCD，BCC1.（安徽）已知点A，B，213，AD＝8，则B，C两点间的球面距离是AC ＝．k棵树．（北京）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第2≥1y?)x?1P(x，y2k时，，处，其中种植在点，当1kkk1??k?1k?2?????x?x?1?5T?T，???????1k?k55????????k?1k?2?????．?y?y?TT?????1kk?55?????aT(2.6)?2Ta)(0.2)?0T(．表示非负实数，的整数部分，例如按此方案，第6棵树种植点的坐标应为；第2008棵树种植点的坐标应为．a，b?Pa?ba?b，，都有，3．（福建）设P是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a?P b?ab0）??Q b?b2a，F?a?也（除数Q，是数域；数集，则称P是一个数域．例如有理数集b是数域．有下列命题：M?Q④存在③数域必为无限集；，①整数集是数域；②若有理数集则数集M必为数域；无穷多个数域．（把你认为正确的命题的序号都填上）．其中正确的命题的序号是)xxf(?(sinx?cosx)sinf(x)R x?期则周最，小正已4．（广东）知函数的，．是5．（湖北）观察下列等式：n11?2?，i?nn221i?n111?232，nn??in?6321i?n111?3423，?ni?n?n4421i?n1111?4354，n?ni?n?n?303521?in1151?26455n?n?n?ni?，6212121?in11111?65376?in??n，nnn??4227261?i ……………………………………n?kk?1kk?1k?2?????an?an?ann?an?ai，a?0?k1kkk?1?211i?11≥*N?2kk，a?，aa??）时，可以推测，当，（1?kkk?1k?12a?．2k?n(n≥4)个元素的总体｛1，2，36．（湖南）对有，…，n｝进行抽样，先将总体分成两个m是给定的正整数，且2≤m（≤n-2)，再m｝和｛m+1，m+2，…，n｝，…，子总体｛1，2P ij同时出现在样本中的概表示元素从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本．用和ij(1≤i?j≤n)P?P；所有．的和等于率，则ifm1??????3xf1x?1x?,1f?x?ax?3a对于．≥7.（江苏）0 成立，则总有=8．（江西）如图1，一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形a P．如果将容器倒置，升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点实心装饰块，容器内盛有P（图2）水面也恰好过点．PP2图1图有下列四个命题：A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半P B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点C a升水，则容器恰好能装满D．若往容器内再注入（写出所有真命题的代号）其中真命题的代号是：???????????????，f?(，?xf()?sinx?0)f)f(x有9．，且（辽宁）已知在区间????????36336????????? __________最小值，无最大值，则．＝D?CABC?ABABABDE的余，二面角与正方形．（全国1）等边三角形有一公共边103NA，BC，NAC，EMM等弦，的中点则的余值成所值弦为，别分是角3．于）平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行，2（全国．11．类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：；充要条件①．充要条件②（写出你认为正确的两个充要条件）4b?3x?32，1，12．的解集中的整数有且仅有，（山东）若不等式b．则的取值范围为名火炬手完成．如果6．13（陕西）某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则．种．（用数字作答）不同的传递方案共有12的图像交点的横＝的图像与函数xy+21+2x＝0的解可视为函数y14.（上海）方程x＝－x44）,ki＝1,2,…4)所对应的点(x,)（坐标，若x，…，+ax4＝0的各个实根x，xx (k≤－i 12k x i a的取值范围是y＝x的同侧，则实数均在直线15S≤≥10，SaS{a}n的最大值，若项和为．（四川）设等差数列的前，则15544nn．为??2??ax?2a，c1?aaa，y?满使得对于任意的，都有16．（天津）设，若仅有一个常数??c?logylogx?a．，这时的取值的集合为足方程aa≥?，0x?≤≥≥≥1byax?0，ab0，y0ba，为坐标，且当（浙江）若17．时，恒有，则以??≤1x?y?)b(a，P．的点所形成的平面区域的面积等于，要在4种颜色的灯泡（每种颜色的灯泡足够多）（重庆）某人有18．CABC，，，B，C，ABA上各装一个灯泡，6个点如题（16）图所示的111C1要求同一条线段两端的灯泡不同色，则每种颜色的灯泡都至少用一个AB11（用数字作答）种．的安装方法共有）图18题（。

(圆满word 版)江苏高考数学填空题压轴题11 / 1江苏高考数学填空题压轴题优选1．已知存在实数 a 知足 ab 2a ab ，则实数 b 的取值范围为 __________．2 ． 在 △ ABC 中 ， Aπ， D 是 BC 边 上 任 意 一 点 （ D 与 B 、 C 不 重 合 ）， 且 uuur uuur uuur uuur6 B 等于 __________． | AB |2 | AD |2 BD DC ，则3．设a n 是正项数列，其前 n 项和 S n 知足： 4S n (a n 1)(a n 3) , 则 a n =__________ ．4．在直角坐标系中 , 假如两点 A( a, b), B( a, b) 在函数 y f ( x) 的图象上， 那么称 A, B为 函 数 f ( x) 的 一 组 关 于 原 点 的 中 心 对 称 点 （ A, B 与 B, A 看 作 一 组 ） . 函 数g( x)sin 2 x, x，对于原点的中心对称点的组数为__________ ．log 4 ( x 1), x5．以下说法：①当x0且 x1时，有 ln x1 2 ；②函数 y a x 的图象能够由函数 y 2a x （此中 aln x0且a1 ）平移获得；③ ABC 中， A B 是 sin A sin B 建立的充要条件；④已知 S n 是等差数列a n 的前 n 项和，若 S 7 S 5 ，则 S 9 S 3 ；⑤函数 y f (1 x)与函数 yf (1 x) 的图象对于直线 x 1 对称 . 此中正确的命题的序号为 __________．6．偶函数 f ( x) 在 [0, ) 上是增函数， 若 f ( ax 1) f ( x 3) 在 x[1,2] 上恒建立， 则实数 a 的取值范围是 _________．7．已知数列 { a n } 知足 a 11, a n a 1 1 a 21 a 31a n 1 (n ≥2, n N *) ，若a k 100 ，2 3 n 1则 k ＝ _________ ．8、已知函数 f (x) 5sin(2 x) ，若对随意 x ∈ R ，都有 f (x)f (x) ，则 f (4) =__________ ．9.在 等 式 tan95o tan35oWtan95o tan35o 中 ， 根 号 下 的 W 表 示 的 正 整 数 是W__________．10. 已知函数 f ( x)ln x 2x , 若 f ( x 22) f (3 x) ，则实数 x 的取值范围是 __________．11. 矩形 ABCD 中， ABx 轴，且矩形 ABCD 恰巧能圆满覆盖函数y asin ax a R, a0 的一个圆满周期图象，则当a 变化时，矩形 ABCD 周长的最小值为 __________． 12．直角三角形 ABC 中，斜边 BC 长为 2， O 是平面 ABC 内一点，点 P 知足uuur uuur 1 uuur uuur uuurOPOA( ABAC ) ,则 AP =__________ ．不等式 a 22 b( ab) 对随意13. 3b 2a,b R 恒建立 则实数的最大值为．,__________14. 已知等差数列a n 首项为 a ，公差为b ，等比数列b n 首项为 b ，公比为 a ，此中 a, b都是大于 1 的正整数，且 a 1b 1 ,b 2a 3 ，对于随意的 n N * ，总存在 m N * ，使得a m 3b n 建立，则 a n__________ ．简洁参照答案（ 11）：1、, 12、5π3、 2n1 4、25、②③④6、 a 1, a3 ；7、200 8、0;12、 3 ； 10、(1,2) ； 、 8； 12 、 、 13 、 ； 、5n 39 111 2 14。

2023年新高考数学选填压轴题汇编(七)一、单选题1.(2022·广东佛山·高三阶段练习)《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为α0°<α<45° ，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=( )A.4-73B.4+73C.4+75D.4-752.(2022·广东佛山·高三阶段练习)已知一组数据x 1,x 2,x 3,x 4的平均数是3，方差是2，则由1,2x 1-5,2x 2-5,2x 3-5,2x 4-5这5个数据组成的新的一组数据的方差是( )A.4B.6C.325D.3653.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)设数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n =S nn+2n -1 ，则数列1S n +3n 的前10项和是( )A.25B.920C.511D.10114.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S 甲和S 乙，体积分别为V 甲和V 乙．若S 甲S 乙=2，则V 甲V 乙=( )A.5B.22C.10D.51045.(2022·广东深圳·高三阶段练习)如图，双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a >0，b >0)的左、右焦点为F 1-2,0 ，F 22,0 ，过F 1，F 2作圆O ：x 2+y 2=a 2的切线，四条切线围成的四边形F 1AF 2B 的面积为833，则双曲线的方程为( )A.x 23-y 2=1B.x 2-y 23=1C.x 22-y 22=1D.2x 23-2y 25=16.(2022·广东深圳·高三阶段练习)设函数f x =1-ax ,x <a ,x 2-4x +3,x ≥a . 若f x 存在最小值，则a 的取值范围为( )A.-2,2B.0,2C.-2,2 ∪2,+∞D.0,2 ∪2,+∞7.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin C =23sin B sin A ，b =λa ，则实数λ的最小值是( )A.323 B.32+3 C.2-3D.2+38.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)设正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则xyz的最大值为( )A.0B.2C.1D.39.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)函数f x =x 2+axa >0 在区间a ,a +1 上有最小值，则a 的取值范围是( )A.0<a <1B.a >1C.1<a <4D.a >410.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)已知符号函数sgn x =1,x >00,x =0-1,x <0，则函数f x =sgn ln x -ln x的零点个数为( )A.1B.2C.3D.411.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)已知函数f x =lg x +x 2+1 -22x+1，则不等式f 2x +1 +f x>-2的解集为( )A.-13,+∞ B.-13,100 C.-∞,-13D.-23,100 12.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)设定义域为R 的函数f (x )={5|x -1-1,x ≥0,x 2+4x +4,x <0,若关于x 的方程f 2(x )-(2m +1)f (x )+m 2=0有7个不同的实数解，则m =().A.2B.4或6C.2或6D.613.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)已知函数f (x )=(x -3)e x ，若经过点(0,a )且与曲线y =f (x )相切的直线有三条，则( )A.-3<a <-eB.a >-eC.a <-3D.a <-3或a >-e 14.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知a >0，函数f x =x +1x 2+a在1,+∞ 上的最大值为23，则a =( )A.2或3316B.12或3316C.2D.1215.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)设抛物线E :y 2=8x 的焦点为F ，过点M (4,0)的直线与E 相交于A ，B 两点，与E 的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，|BF |=3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF =( )A.14B.15C.16D.1716.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)已知函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，0)B.0,12C.(0,1)D.(0，+∞)17.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知定义在R 上的函数f x 满足：f x 为奇函数，f x +1 为偶函数，当0≤x ≤1时，f x =2x -1，则f log 22023 =( )试卷第2页，共38页A.-9991024B.-252048C.-10242023D.-51299918.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知函数f x =x 2+a 2x +1 e x ，则“a =2”是“函数f (x )在x =-1处取得极小值”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件19.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)设函数f x 的定义域为R ，且f x -1是奇函数，当0≤x ≤2时，f x =4x -x 2+1；当x >2时，f x =2x -4 +1．当k 变化时，方程f x -kx -1=0的所有根从小到大记为x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n ，则f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x n 取值的集合为( )A.1,3B.1,3,5C.1,3,5,7D.1,3,5,7,9二、多选题20.(2022·广东佛山·高三阶段练习)“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，⋯，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，⋯，则下列说法中正确的是( )A.“提丢斯数列”是等比数列B.“提丢斯数列”的第99项为3×297+410C.“提丢斯数列”的前31项和为3×23010+12110D.“提丢斯数列”中，不超过300的有11项21.(2022·广东佛山·高三阶段练习)若a 2+b 2=4,a ∈R ,b ∈R ，且ab ≠0，则( )A.|ab |>2B.|a +b |≤22C.log 2|a |+log 2|b |≤1D.1|a |+1|b |<122.(2022·广东佛山·高三阶段练习)九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为13，且每人选择相互独立，则( )A.三人选择社团一样的概率为19B.三人选择社团各不相同的概率为89C.至少有两人选择篮球社的概率为727D.在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为5723.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为BC 、CC 1、BB 1的中点，则下列选项正确的是( )A.D 1D ⊥AFB.直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为1010C.三棱锥G -AEF 的体积为13D.存在实数λ、μ使得A 1G =λAF +μAE24.(2022·广东深圳·高三阶段练习)Farey 数列是这样定义的，对任意给定的一个正整数n ，将分母小于等于n的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上01，在最后一个分数之后加上11，这个序列称为n 级Farey 数列，用F n 表示.如F 3 的各项为：01，13，12，23，11，共有5项.则( )A.数列F n 都有奇数个项B.6级Farey 数列F 6 中，中间项为12C.6级Farey 数列F 6 共有11项 D.6级Farey 数列F 6 各项的和为13225.(2022·广东深圳·高三阶段练习)已知函数f x =e x x 2-3x +3 ，则( )A.函数f x 在0,1 上单调递减B.函数f x 恰有一个零点C.当且仅当e <m <3时，方程f x =m 恰有三个实根D.若当x ∈-∞,t (t ∈Z )时，函数f x 的最大值为3，则t 的最大值为126.(2022·广东深圳·高三阶段练习)已知圆柱的轴截面的周长为12，圆柱的体积为V ，圆柱的外接球的表面积为S ，则下列结论正确的是( )A.圆柱的外接球的表面积S 有最大值，最大值为36πB.圆柱的外接球的表面积S 有最小值，最小值为18πC.圆柱的体积V 有最大值，最大值为8πD.圆柱的体积V 有最小值，最小值为4π27.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的一条渐近线方程为x -2y =0，双曲线的左焦点在直线x +y +5=0上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA ，PB 的斜率分别为k 1,k 2，则k 1+k 2的取值可能为( )A.34B.1C.43D.228.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)若f (x )图像上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[A ,B ]称为函数f (x )的“友情点对”(点对[A ,B ]与[B ,A ]视为同一个“友情点对”)若f (x )=x 3e x,x ≥0ax 2,x <0恰有两个“友情点对”，则实数a 的值可以是( )A.0B.-12020C.-1eD.-1202329.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)若函数f x ，g x 分别是R 上的偶函数、奇函数，且f x +g x =sin x +cos x2，则( )A.f x =cos2xB.g x =sin2xC.f g x <g f xD.f g x >g f x30.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)定义一：关于一个函数f x x ∈D ，若存在两条距离为d 的直线y =kx +m 1和y =kx +m 2，使得在x ∈D 时，kx +m 1≤f x ≤kx +m 2恒成立，则称函数f x 在D 内有一个宽度为d 的通道.定义二：若一个函数f x ，关于任意给定的正数ε，都存在一个实数x 0，使得函数f x 在x 0,+∞ 内有一个宽度为ε的通道，则称f x 在正无穷处有永恒通道.则下列在正无穷处有永恒通道的函试卷第2页，共38页数为( )A.f x =ln xB.f x =sin xx C.f x =x2-1 D.f x =e-x31.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)对∀x∈R，x 表示不超过x的最大整数．十八世纪，y=x 被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是( )A.∀x∈R，x<x +1B.y=x ，x∈R的奇函数C.函数y=x-x x∈R的值域为0,1D.∀x,y∈R,x +y ≤x+y恒成立32.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)函数f(x)=e x x+ln x-x，下列结论正确的是( )A.函数f(x)有且仅有一个零点B.x=1是函数f(x)的极值点C.若f(x)≥a恒成立，则a∈-∞,e-1D.若f x1=f x2且x1≠x2，则x1+x2>133.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)已知随机变量X的取值为不大于n(n∈N∗)的非负整数，它的概率分布列为：X0123⋯nP p0p1p2p3⋯p n其中p i(i=0,1,2,3,⋅⋅⋅,n)满足p i∈0,1，ni=0p i=1．E X 为随机变量X的期望．定义由X生成的函数f x =p0+p1x+p2x2+⋅⋅⋅+p n x n，g x 为函数f x 的导函数．现有一枚质地均匀的正四面体型骰子，四个面分别标有1，2，3，4个点数，这枚骰子连续抛掷两次，向下点数之和为X，此时由生成的函数为f x ，则( )A.g0 =p1B.f1 <p0+1C.f2 =2254D.E X =g134.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)若6a=2，6b=3，则下列不等关系正确的有( )A.b a>1B.ab<14C.a2+b2<12D.1a b+13b>235.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，某市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半径为1的圆，圆心到伞柄底端的距离为1，阳光照射油纸丛在地面上形成了一个椭圆形的影子(春分时，该市的阳光照射方向与地面的夹角为60∘)，若伞柄底端正好位于该椭圆的左焦点位置，则( )A.该椭圆的离心率为3-12B.该椭圆的离心率为2-3C.该椭圆的焦距为32-63D.该椭圆的焦距为23-136.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知函数f x =e x+e-x-cos2x，若f x1>f x2，则( )A.f x 为偶函数B.f x 在-∞,0上为增函数C.x21>x22D.e x1-x2>137.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)已知a =(cos x ,sin x ),b =(cos x ,3cos x )，函数f (x )=a ⋅b，则下列选项正确的是( )A.函数f (x )的值域为-12,32B.将函数y =sin x +12图像上各点横坐标变为原来的12(纵坐标不变)，再将所得图像向左平移π12个单位长度，可得函数f (x )图像C.函数f (x )是奇函数D.函数f (x )在区间[0,2π]内所有零点之和为14π338.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)已知函数f x =2x +2,-2≤x ≤1ln x -1,1<x ≤e，若关于x 的方程f x =m 恰有两个不同解x 1,x 2x 1<x 2 ，则(x 2-x 1)f x 2 的取值可能是( )A.-3B.-1C.0D.239.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知f x =e x 2x -1x -1，则下列结论正确的是( )A.不等式f x <0的解集为12,1 B.函数f x 在0,1 单调递减，在32,+∞ 单调递增C.函数f x 在定义域上有且仅有两个零点D.若关于x 的方程f x =m 有解，则实数m 的取值范围是-∞,1 ∪32,+∞ 40.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知函数f (x )=xe x，过点(a ,b )作曲线f (x )的切线，下列说法正确的是( )A.当a =0，b =0时，有且仅有一条切线B.当a =0时，可作三条切线，则0<b <4e 2C.当a =2，b >0时，可作两条切线D.当0<a <2时，可作两条切线，则b 的取值范围为4-a e 2或aea 三、填空题41.(2022·广东佛山·高三阶段练习)设a =110,b =e 111-1,c =1110ln 1110，则a ，b ，c 大小关系是____________．42.(2022·广东佛山·高三阶段练习)已知数列a n 满足a 1+a 2+⋯+a n -1-a n =-2(n ≥2且n ∈N ∗)，且a 2=4，则a n =___________．43.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)如图，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰三角形，∠ACB =90°，BD 交AC 于E ，AB =2，则AE =__________.试卷第2页，共38页44.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)如图，在正四棱台ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB =2A 1B 1，且存在一个半径为r 的球，与该正四棱台的各个面均相切．设该正四棱台的外接球半径为R ，则Rr=__________．45.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)已知P 1，P 2是曲线C :y =2|ln x |上的两点，分别以P 1，P 2为切点作曲线C 的切线l 1，l 2，且l 1⊥l 2，切线l 1交y 轴于A 点，切线l 2交y 轴于B 点，则线段AB 的长度为___________.46.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)对于集合A ，B ，定义集合A -B ={x |x ∈A 且x ∉B }. 己知等差数列{a n }和正项等比数列{b n }满足a 1=4，b 1=2，b n +2=b n +1+2b n ，a 3=b 3+2．设数列{a n }和{b n }中的所有项分别构成集合A ，B ，将集合A -B 的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列{c n }，则数列{c n }的前30项和S 30=_________.47.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)若函数f x =log a 2x 2+x a >0且a ≠1 在区间0，12内恒有f x >0，则f x 的单调递增区间为_________.48.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)已知函数f x =ln x +1 ,x >012x +1,x ≤0，若m <n ，且f m =f n ，则n -m 的取值范围是________．49.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PB =4,AD =22，当AB ⋅PD 最大时，该四棱锥外接球的表面积为___________.50.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知F 是抛物线C :y 2=16x 的焦点，M 是C 上一点，FM的延长线交y 轴于点N ，若3FM =2MN，则FN =___________.51.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)设点P 在单位圆的内接正八边形A 1A 2⋯A 8的边A 1A 2上，则PA 21+PA 2 2+⋯+PA 28的取值范围是_______．52.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知函数f (x )=x 2-ax +2ln x (其中a 为常数)有两个极值点x 1,x 2(x 1<x 2)，若f (x 1)>mx 2恒成立，则实数m 的取值范围是______.53.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)若曲线y =a ln x +x 2a >0 的切线的倾斜角的取值范围是π3,π2 ，则a =______.四、双空题54.(2022·广东深圳·高三阶段练习)在空间直角坐标系中，O 为坐标原点，动点P x ,y ,z 同时满足下列两个条件：①0≤x ,y ,z ≤1；②x 2+y 2+z 2>1.设所有动点P 构成的几何体Γ的表面积为S ，体积为V ，则V =______，S =______.55.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)设函数f x =2x -a ,x <1,4x -a x -2a ,x ≥1. ①若a =1，则f x 的最小值为________；②若f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．试卷第2页，共38页2023年新高考数学选填压轴题汇编(七)一、单选题1.(2022·广东佛山·高三阶段练习)《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为α0°<α<45° ，且小正方形与大正方形的面积之比为1:4，则tan α=( )A.4-73B.4+73C.4+75D.4-75【答案】A【解析】设大正方形的边长为a ，则小正方形的边长为a cos α-sin α ，故a 2cos α-sin α 2a 2=14，故1-2sin αcos α=14，即sin αcos α=38⇒sin αcos αsin 2α+cos 2α=38⇒tan αtan 2α+1=38⇒3tan 2α-8tan α+3=0，解得tan α=4-73或tan α=4+73.因为0°<α<45°，则0<tan α<1，故tan α=4-73.故选：A2.(2022·广东佛山·高三阶段练习)已知一组数据x 1,x 2,x 3,x 4的平均数是3，方差是2，则由1,2x 1-5,2x 2-5,2x 3-5,2x 4-5这5个数据组成的新的一组数据的方差是( )A.4 B.6C.325D.365【答案】C【解析】因为一组数据x 1,x 2,x 3,x 4的平均数是3，方差是2，所以14(x 1+x 2+x 3+x 4)=3，14[(x 1-3)2+(x 2-3)2+(x 3-3)2+(x 4-3)2]=2，所以x 1+x 2+x 3+x 4=12，(x 1-3)2+(x 2-3)2+(x 3-3)2+(x 4-3)2=8，所以1,2x 1-5,2x 2-5,2x 3-5,2x 4-5的平均数为151+(2x 1-5)+(2x 2-5)+(2x 3-5)+(2x 4-5) =151+2(x 1+x 2+x 3+x 4)-20=15×(1+24-20)=1，所以1,2x 1-5,2x 2-5,2x 3-5,2x 4-5的方差为15(1-1)2+(2x 1-5-1)2+(2x 2-5-1)2+(2x 3-5-1)2+(2x 4-5-1)2 =15(2x 1-6)2+(2x 2-6)2+(2x 3-6)2+(2x 4-6)2=154(x 1-3)2+4(x 2-3)2+4(x 3-3)2+4(x 4-3)2=45(x 1-3)2+(x 2-3)2+(x 3-3)2+(x 4-3)2=45×8=325，故选：C 3.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)设数列a n 的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n =S nn+2n -1 ，则数列1S n +3n 的前10项和是( )A.25B.920C.511D.1011【答案】C【解析】由a n=S nn+2n-1得S n=na n-2n n-1，当n≥2时，a n=S n-S n-1=na n-n-1a n-1-4n-1，整理得a n-a n-1=4，所以a n是公差为4的等差数列，又因为a1=1，所以a n=4n-3，从而S n+3n=n a1+a n2+3n=2n2+2n=2n n+1，所以1S n+3n=12n n+1=121n-1n+1，所以数列1S n+3n的前10项和为12×1-12+12-13+⋅⋅⋅+110-111=12×1-111=511．故选：C4.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若S甲S乙=2，则V甲V乙=( )A.5B.22C.10D.5104【答案】C【解析】设母线长为l，甲圆锥底面半径为r1，乙圆锥底面圆半径为r2，则S甲S乙=πr1lπr2l=r1r2=2，所以r1=2r2，又2πr1l+2πr2l=2π，则r1+r2l=1，所以r1=23l,r2=13l，所以甲圆锥的高h1=l2-49l2=53l，乙圆锥的高h2=l2-19l2=223l，所以V甲V乙=13πr21h113πr22h2=49l2×53l19l2×223l=10.故选：C.5.(2022·广东深圳·高三阶段练习)如图，双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0，b>0)的左、右焦点为F1-2,0，F 22,0，过F1，F2作圆O：x2+y2=a2的切线，四条切线围成的四边形F1AF2B的面积为833，则双曲线的方程为( )A.x23-y2=1B.x2-y23=1C.x22-y22=1 D.2x23-2y25=1试卷第2页，共38页【答案】B【解析】如图，由题意c =a 2+b 2=2，因为四边形F 1AF 2B 的面积为833，所以直角三角形AOF 2面积为233，即12OF 2 OA =233，OA =233，AF 2 =OF 2 2+OA 2=433，12a ×AF 2 =233，a =1，b =3，双曲线的方程为x 2-y 23=1.故选：B .6.(2022·广东深圳·高三阶段练习)设函数f x =1-ax ,x <a ,x 2-4x +3,x ≥a . 若f x 存在最小值，则a 的取值范围为( )A.-2,2B.0,2C.-2,2 ∪2,+∞D.0,2 ∪2,+∞【答案】B【解析】若a =0时，f x =1,x <0,x 2-4x +3,x ≥0.，∴f x min =f 2 =-1；若a <0时，当x <a 时，f x =1-ax 单调递增，当x →-∞时，f x →-∞，故f x 没有最小值；若a >0时，x <a 时，f x =-ax +1单调递减，f x >f a =1-a 2，当x ≥a 时，f x min =-1,0<a <2 a 2-4a +3,a ≥2，若函数f x 有最小值，需1-a 2≥-10<a <2 或1-a 2≥a 2-4a +3a ≥2，解得0<a ≤2.故选：B7.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin C =23sin B sin A ，b =λa ，则实数λ的最小值是( )A.323 B.32+3 C.2-3D.2+3【答案】C【解析】由sin C =23sin B sin A ，可得c =23b sin A ，由余弦定理得：a 2=b 2+c 2-2bc cos A ，两式结合得：a 2=12b 2sin 2A +b 2-2b ×23b sin A cos A ，即a 2b 2=12sin 2A +1-23sin2A =7-6cos2A -23sin2A ，即a 2b2=7-43sin 2A +π3 ,A ∈(0,π)，则当A =7π12时，a 2b 2 max =7+43，则b 2a 2 min =17+43=7-43，故由λ=ba可得其最小值为7-43=2-3 ，故选：C8.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)设正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则xyz的最大值为( )A.0 B.2C.1D.3【答案】C【解析】因为正实数x 、y 、z 满足4x 2-3xy +y 2-z =0，则z =4x 2-3xy +y 2，则xy z =xy 4x 2-3xy +y 2=14x y +y x -3≤124x y ⋅y x -3=1，当且仅当y =2x >0时取等号.故xy z 的最大值为1.故选：C .9.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)函数f x =x 2+axa >0 在区间a ,a +1 上有最小值，则a 的取值范围是( )A.0<a <1 B.a >1C.1<a <4D.a >4【答案】A 【解析】∵f (x )=x 2+a x =x +ax(a >0)，∴f (x )=1-a x 2=x 2-ax 2=x +a x -a x 2，∴当0<x <a 时，f (x )<0，当x >a 时，f (x )>0，可知，f (x )在(0,a )上单调递减，在(a ,+∞)上单调递增，∴f (x )在x =a 处取得极小值，又∵在区间(a ,a +1)上有最小值，∴a <a <a +1，解得0<a <1．故选：A ．10.(2022·广东·揭东二中高三阶段练习)已知符号函数sgn x =1,x >00,x =0-1,x <0，则函数f x =sgn ln x -ln x的零点个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】当ln x =0时x =1；当ln x >0时x >1；当ln x <0时0<x <1．∴sgn ln x =1,x >10,x =1-1,0<x <1．∴f x =sgn ln x -ln x =1-ln x ,x >1-ln x ,x =1-1-ln x ,0<x <1．当x >1时令f x =0，即1-ln x =0，解得x =e >1成立；当x =1时令f x =0，即-ln x =0，解得x =1成立；当0<x <1时令f x =0，即-1-ln x =0，解得x =1e∈0,1 成立．综上可得解f x =0得x =e 或x =1或x =1e．所以函数f x 的零点个数为3．故选：C11.(2022·广东·顺德一中高三阶段练习)已知函数f x =lg x +x 2+1 -22x+1，则不等式f 2x +1 +f x试卷第2页，共38页>-2的解集为( )A.-13,+∞ B.-13,100 C.-∞,-13 D.-23,100 【答案】A【解析】由f x =lg x +x 2+1 -22x+1可知，x ∈R ，故f x +f -x =lg x +x 2+1 -22x +1+lg -x +x 2+1 -22-x+1=lg x +x 2+1 -x +x 2+1 -22x +1+2⋅2x2x+1=lg1-2=-2 ，即f x +1+f -x +1=0，令g (x )=f (x )+1 ，则g x +g -x =0，即g (x )=f (x )+1为奇函数，因为函数y =lg x +x 2+1 为R 上的单调增函数，y =22x +1为R 上的单调减函数故f x =lg x +x 2+1 -22x +1为单调增函数，则g (x )=f (x )+1也单调递增；不等式f 2x +1 +f x >-2，即f 2x +1 +1+f x +1>0，即g 2x +1 +g x >0,g 2x +1 >-g x =g (-x )，故2x +1>-x ,x >-13 ，即f 2x +1 +f x >-2解集为-13,+∞ ，故选:A12.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)设定义域为R 的函数f (x )={5|x -1-1,x ≥0,x 2+4x +4,x <0,若关于x 的方程f 2(x )-(2m +1)f (x )+m 2=0有7个不同的实数解，则m =().A.2B.4或6C.2或6D.6【答案】A 【解析】请在此输入详解！13.(2022·广东广雅中学高三阶段练习)已知函数f (x )=(x -3)e x ，若经过点(0,a )且与曲线y =f (x )相切的直线有三条，则( )A.-3<a <-e B.a >-e C.a <-3 D.a <-3或a >-e【答案】A【解析】f x =x -2 e x ，设经过点(0,a )且与曲线y =f (x )相切的切点为x 0,x 0-3 e x 0，则f x 0 =x 0-2 e x.又切线经过0,a ，故由题意x 0-3 e x-a x 0=x 0-2 e x 0有3个解.化简有a =x 0-3 e x 0-x 0x 0-2 e x 0，即a =-x 20+3x 0-3 e x 0有3个解.设g x =-x 2+3x -3 e x ，则g x =-x 2+x e x ，令g x =0有x =0或x =1，故当x ∈-∞,0 时，g x <0，g x 单调递减；当x ∈0,1 时，g x >0，g x 单调递增；当x ∈1,+∞ 时，g x <0，g x 单调递减.又g 0 =-3，g 1 =-e ，且g -1 =-7e>g 1 ，g 2 =-e 2<g 0 ，故要a=-x 20+3x 0-3 e x 0有3个解，则-3<a <-e .故选：A14.(2022·广东·开平市忠源纪念中学高三阶段练习)已知a >0，函数f x =x +1x 2+a在1,+∞ 上的最大值为23，则a =( )A.2或3316 B.12或3316C.2D.12【答案】C【解析】令t =x +1t ≥2 ，则x +1x 2+a =t t 2-2t +1+a =1t +1+a t-2，函数f x =x +1x 2+a 在1,+∞ 上的最大值为23且f (x )>0，即转化为g t =t +1+a t -2t ≥2 的最小值为32.g(t )=1-1+a t 2=t 2-(1+a )t 2，g (t )=0⇒t =1+a (负值舍去)，1+a ≤2，即0<a ≤3时，g (t )在[2,+∞)上单调递增，g (t )min =g 2 =1+a 2=32，解得a =2；当1+a >2，即a >3时，2≤t <1+a 时，g (t )<0，g (t )递减，t >1+a 时，g (t )>0，g (t )递增，g (t )min =g 1+a =21+a -2=32，解得a =3316<3，舍去．故a =2故选：C ．15.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)设抛物线E :y 2=8x 的焦点为F ，过点M (4,0)的直线与E 相交于A ，B 两点，与E 的准线相交于点C ，点B 在线段AC 上，|BF |=3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF =( )A.14B.15C.16D.17【答案】C【解析】如图，过点B 作BD 垂直准线x =-2于点D ，则由抛物线定义可知：|BF |=|BD |=3，设直线AB 为x =my +4， A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，C -2,y C ，不妨设m >0，则y 1>0,y 2<0，所以x 2+2=3，解得：x 2=1，则y 22=8x 2=8，解得：y 2=-22，则B 1,-22 ，所以-22m +4=1，解得：m =324，则直线AB 为x =324y +4，所以当x =-2时，即324y +4=-2，解得：y C =-42，则C -2,-42 ，联立x =my +4与y 2=8x 得：y 2-8my -32=0，则y 1y 2=-32，所以y 1=82，其中S △BCF S △ACF =BC AC =y 2-y C y 1-y C =22122=16.故选：C16.(2022·湖南省岳阳县第一中学高三阶段练习)已知函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点，则实数a 的取值范围是( )A.(-∞，0) B.0,12C.(0,1)D.(0，+∞)【答案】B【解析】函数f (x )=x (ln x -ax )，则f ′(x )=ln x -ax +x (1x-a )=ln x -2ax +1，令f ′(x )=ln x -2ax +1=0得ln x =2ax -1，试卷第2页，共38页函数f (x )=x (ln x -ax )有两个极值点，等价于f ′(x )=ln x -2ax +1有两个零点，等价于函数y =ln x 与y =2ax -1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象(如图)当a =12时，直线y =2ax -1与y =ln x 的图象相切，由图可知，当0<a <12时，y =ln x 与y =2ax -1的图象有两个交点．则实数a 的取值范围是(0，12)．故选B ．17.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知定义在R 上的函数f x 满足：f x 为奇函数，f x +1 为偶函数，当0≤x ≤1时，f x =2x -1，则f log 22023 =( )A.-9991024B.-252048C.-10242023D.-512999【答案】A【解析】因为f x +1 为偶函数，所以f x +1 =f (-x +1)，所以f -x =f (x +2)，又f x 为奇函数，即f -x =-f (x )所以-f x =f x +2 ⇒f x +4 =-f x +2 =f x ，所以f x 的周期为4，f log 22023 =f log 22023-12 =f log 220234096 =-f log 240962023 =-f 2-log 240962023=-f log 220231024 =-2log 220231024-1 =-20231024-1=-9991024.故选：A .18.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)已知函数f x =x 2+a 2x +1 e x ，则“a =2”是“函数f (x )在x =-1处取得极小值”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】f (x )=x 2+(a 2+2)x +a 2+1 e x =(x +1)(x +a 2+1)e x .①当a =0时，f (x )=(x +1)2e x ≥0，故f (x )在R 上单调递增，f (x )无最小值.②当a ≠0时，令f (x )=0，得x =-1或x =-a 2-1.又-a 2-1<-1，故当x <-a 2-1时，f (x )>0，f (x )单调递增；当-a 2-1<x <-1时，f (x )<0，f (x )单调递减；当x >-1时，f (x )>0，f (x )单调递增.故f (x )在x =-1处取得极小值.综上，函数f (x )在x =-1处取得极小值⇔a ≠0.所以“a =2”是“函数f (x )在x =-1处取得极小值”的充分不必要条件.故选：A .19.(2022·湖南·邵阳市第二中学高三阶段练习)设函数f x 的定义域为R ，且f x -1是奇函数，当0≤x ≤2时，f x =4x -x 2+1；当x >2时，f x =2x -4 +1．当k 变化时，方程f x -kx -1=0的所有根从小到大记为x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n ，则f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x n 取值的集合为( )A.1,3 B.1,3,5C.1,3,5,7D.1,3,5,7,9【答案】C【解析】∵f x -1为奇函数，∴f x 图像关于点0,1 对称，由f x -kx -1=0得：f x =kx +1，则方程的根即为f x 与直线y =kx +1的交点，作出f x 图像如图所示，①当k ≥5-12-0，即k ≥2时，如图中y =k 1x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有5个交点x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 5，∵f x 与y =kx +1均关于0,1 对称，∴f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x 5 =5f 0 =5；②当3-12-0≤k <5-12-0，即1≤k <2时，如图中y =k 2x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有7个交点x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 7，∵f x 与y =kx +1均关于0,1 对称，∴f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x 7 =7f 0 =7；③当2-14-0<k <3-12-0，即14<k <1时，如图中y =k 3x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有5个交点x 1,x 2,⋅⋅⋅,x 5，∵f x 与y =kx +1均关于0,1 对称，∴f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x 5 =5f 0 =5；④当k =2-14-0=14时，如图中y =k 4x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有3个交点x 1,x 2,x 3，∵f x 与y =kx +1均关于0,1 对称，∴f x 1 +f x 2 +f x 3 =3f 0 =3；⑤当k <2-14-0，即k <14时，如图中y =k 5x +1和y =k 6x +1所示时，f x 与直线y =kx +1有且仅有一个交点0,1 ，∴f x 1 =1.综上所述：f x 1 +f x 2 +⋅⋅⋅+f x n 取值的集合为1,3,5,7 .故选：C .二、多选题20.(2022·广东佛山·高三阶段练习)“提丢斯数列”是18世纪由德国物理学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，⋯，这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1，1.6，2.8，6.2，10，⋯，则下列说法中正确的是( )A.“提丢斯数列”是等比数列B.“提丢斯数列”的第99项为3×297+410试卷第2页，共38页C.“提丢斯数列”的前31项和为3×23010+12110 D.“提丢斯数列”中，不超过300的有11项【答案】BCD【解析】对于选项A ，0.70.4≠10.7，所以“提丢斯数列”不是等比数列，故A 错误；对于选项B ，设“提丢斯数列”为数列{a n }，当n ≥3时，a n =3⋅2n -2+410，所以a 99=3×297+410，故B 正确；对于选项C ，“提丢斯数列”的前31项和为0.4+0.7+310(21+22+⋯+229)+410×29=3×23010+12110，故C 正确；对于选项D ，由a n =3⋅2n -2+410≤300有：n ≤11，所以“提丢斯数列”中，不超过300的有11项，故D 正确.故选：BCD .21.(2022·广东佛山·高三阶段练习)若a 2+b 2=4,a ∈R ,b ∈R ，且ab ≠0，则( )A.|ab |>2B.|a +b |≤22C.log 2|a |+log 2|b |≤1D.1|a |+1|b |<1【答案】BC【解析】对于A ，因为4=a 2+b 2=|a |2+|b |2≥2|ab |，所以|ab |≤2，当且仅当a =b =2时取等，故A 错误；对于B ，因为|a +b |≤22，即|a +b |2≤2，可看作部分圆x 2+y 2=4(xy ≠0)上的点(a ,b )到直线x +y =0的距离不大于2，因为圆心(0,0)在直线x +y =0上，半径为2，故|a +b |2≤2恒成立，故B 正确；对于C ，因为|ab |≤2，所以log 2|a |+log 2|b |=log 2|ab |≤log 22=1，故C 正确；对于D ，因为a 2+b 2=4,a ∈R ,b ∈R ，且ab ≠0，令a =b =2，此时1|a |+1|b |=2>1，故D 错误.故选：BC .22.(2022·广东佛山·高三阶段练习)九月伊始，佛山市某中学社团招新活动开展得如火如茶，小王、小李、小张三位同学计划从篮球社、足球社、羽毛球社三个社团中各自任选一个，每人选择各社团的概率均为13，且每人选择相互独立，则( )A.三人选择社团一样的概率为19B.三人选择社团各不相同的概率为89C.至少有两人选择篮球社的概率为727D.在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为57【答案】ACD【解析】对于A ，三人选择社团一样的事件是都选篮球社的事件、都选足球社的事件、都选羽毛球社的事件的和，它们互斥，三人选择社团一样的概率为3×13 3=19，A 正确；对于B ，三人选择社团各不相同的事件，是小王从3个社团中任选1个，小李从余下两个中任选1个，最后1个社团给小张的事件，共6个不同结果，因此三人选择社团各不相同的概率为6×13 3=29，B 不正确；对于C ，至少有两人选择篮球社的事件是恰有2人选篮球社与3人都选篮球社的事件和，其概率为C 23C 12×13 3+13 3=727，C 正确； 对于D ，令至少有两人选择羽毛球社的事件为A ，由选项C 知，P (A )=727，小王选择羽毛球社的事件为B ，则事件AB 是含小王只有2人择羽毛球社的事件和3人都择羽毛球社的事件和，其概率P (AB )=C 12C 12×13 3+13 3=527，所以在至少有两人选择羽毛球社的前提下，小王选择羽毛球社的概率为P (B |A )=P (AB )P (A )=57，D 正确.故选：ACD23.(2022·广东·东莞四中高三阶段练习)在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 、G 分别为BC 、CC1、BB 1的中点，则下列选项正确的是( )A.D 1D ⊥AFB.直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为1010C.三棱锥G -AEF 的体积为13D.存在实数λ、μ使得A 1G =λAF +μAE【答案】BD【解析】对于A ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，DD 1⎳AA 1，易知AA 1与AF 不垂直，故错误；对于B ，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，取B 1C 1的中点H ，连接A 1H ,GH ，如下图，易知GH ⎳EF ，则∠A 1GH 为直线A 1G 与EF 夹角或其补角，∵AB =2，∴GH =EF =2，A 1H =A 1G =5，在△A 1GH 中，cos ∠A 1GH =A 1G 2+GH 2-A 1H 22⋅A 1G ⋅GH=1010，因此，直线A 1G 与EF 所成角的余弦值为1010，故正确；对于C ，根据题意作图如下：易知三棱柱ABG -DCF 的体积V 1=14×2×2×2=2，试卷第2页，共38页三棱锥G -ABE 的体积V 2=13⋅S △ABE ⋅GB =13⋅12⋅AB ⋅BE ⋅GB =13，四棱锥F -AECD 的体积V 3=13⋅S 四边形AECD ⋅FC =13⋅S □ABCD -S △ABE ⋅FC =1，三棱锥G -AEF 的体积V =V 1-V 2-V 3=23，故错误；对于D ，连接D 1F ,D 1A ，作图如下：易知AD 1⎳EF ，则A ,E ,F ,D 1共面，∵A 1G ⎳D 1F ，则A 1G ,AF ,AE 共面，即存在实数λ、μ使得A 1G =λAF +μAE，故正确；故选：BD .24.(2022·广东深圳·高三阶段练习)Farey 数列是这样定义的，对任意给定的一个正整数n ，将分母小于等于n的不可约的真分数按升序排列，并且在第一个分数之前加上01，在最后一个分数之后加上11，这个序列称为n 级Farey 数列，用F n 表示.如F 3 的各项为：01，13，12，23，11，共有5项.则( )A.数列F n 都有奇数个项B.6级Farey 数列F 6 中，中间项为12C.6级Farey 数列F 6 共有11项 D.6级Farey 数列F 6 各项的和为132【答案】BD【解析】1级Farey 数列F 1 各项为：01，11，A 错误；6级Farey 数列F 6 ：01，16，15，14，13，25，12，35，23，34，45，56，11，共有13项，中间项为12，各项的和为132，故B 正确，C 错误，D 正确.故选:BD .25.(2022·广东深圳·高三阶段练习)已知函数f x =e x x 2-3x +3 ，则( )A.函数f x 在0,1 上单调递减B.函数f x 恰有一个零点C.当且仅当e <m <3时，方程f x =m 恰有三个实根D.若当x ∈-∞,t (t ∈Z )时，函数f x 的最大值为3，则t 的最大值为1【答案】ACD【解析】函数f x =e x x 2-3x +3 =e x x -32 2+34>0，选项B 错误；f x =e x x x -1 ，x <0或x >1时，f x >0，0<x <1时，f x <0.如图，f x 在-∞,0 ，1,+∞ 单调递增，f x 在0,1 单调递减，选项A 正确；f 0 =3，f 1 =e ，当x 趋近正无穷时，f x 趋近正无穷，当x 趋近负无穷时，f x 趋近0，选项C 正确；如图，当x ∈-∞,t (t ∈Z )时，函数f x 的最大值为3，则一定有t ≥0，而f 2 =e 2>3，所以t (t ∈Z )的最大值为1，选项D 正确.故选：ACD .26.(2022·广东深圳·高三阶段练习)已知圆柱的轴截面的周长为12，圆柱的体积为V ，圆柱的外接球的表面积为S ，则下列结论正确的是( )A.圆柱的外接球的表面积S 有最大值，最大值为36πB.圆柱的外接球的表面积S 有最小值，最小值为18πC.圆柱的体积V 有最大值，最大值为8πD.圆柱的体积V 有最小值，最小值为4π【答案】BC【解析】如图，设圆柱的底面半径为r ，高为h ，圆柱的外接球的半径为R ，由4r +2h =12，得2r +h =6，又2R =4r 2+h 2，0<r <3，圆柱的体积为V =πr 2h =πr 26-2r =2πr 23-r ，则V =6πr 2-r ，当0<r <2时，V >0，当r >2时，V <0，故函数V =2πr 23-r 在0,2 上单调递增，在2,3 上单调递减，所以r =2时，V 取最大值8π，所以0<V ≤8π，圆柱的外接球的表面积S =4πR 2=π4r 2+h 2 =π4r 2+6-2r 2 =4π2r 2-6r +9 ，函数S =4π2r 2-6r +9 在0,32 上单调递减，在32,3 上单调递增，所以r =32时，S 取最小值18π，所以18π≤S <36π.故选：BC .27.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1a >0,b >0 的一条渐近线方程为x -2y =0，双曲线的左焦点在直线x +y +5=0上，A 、B 分别是双曲线的左、右顶点，点P 为双曲线右支上位于第一象限的动点，PA ，PB 的斜率分别为k 1,k 2，则k 1+k 2的取值可能为( )A.34B.1C.43D.2【答案】CD【解析】根据题意知：b a =12，c =5，故a =2，b =1，双曲线方程为x 24-y 2=1，则A -2,0 ，B 2,0 ，设P x 0,y 0 ，则x 024-y 02=1，x 0>0，y 0>0，k 1+k 2=y 0x 0+2+y 0x 0-2=2x 0y 0x02-4=x 02y 0，根据渐近线方程知：0<y 0x 0<12，故k 1+k 2=x02y 0>1.故选：CD .28.(2022·广东·执信中学高三阶段练习)若f (x )图像上存在两点A ，B 关于原点对称，则点对[A ,B ]称为函数f (x )的“友情点对”(点对[A ,B ]与[B ,A ]视为同一个“友情点对”)若f (x )=x 3e x,x ≥0ax 2,x <0恰有两个“友情试卷第2页，共38页。

专题66递推法求解概率【方法点拨】在概率的背景下，得到递推关系，综合运用数列中的方法，诸如待定系数法、叠加法等求解通项公式进一步求解问题.【典型题示例】例1（2022·江苏徐州期末·22改编）为抢占市场，某品牌电动汽车近期进行了一系列优惠促销方案．销售公司现面向意向客户推出“玩游戏，赢大奖，送汽车模型”活动，客户可根据抛掷骰子向上的点数，遥控汽车模型在方格图上行进，若汽车模型最终停在“幸运之神”方格，则可获得购车优惠券2万元；若最终停在“赠送汽车模型”方格，则可获得汽车模型一个．方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第20格．汽车模型开始在第0格，客户每掷一次骰子，汽车模型向前移动一次．若掷出1，2，3，4点，汽车模型向前移动一格（从第k 格到第1k +格），若掷出5，6点，汽车模型向前移动两格（从第k 格到第2k +格），直到移到第19格（幸运之神）或第20格（赠送汽车模型）时游戏结束．设汽车模型移到第()119n n ≤≤格的概率为n P ．则19P =；若有6人玩该游戏，每人一局，则这6人获得优惠券总金额的期望为（结果精确到1万元）．【分析】根据规则得到递推关系122133n n n P P P --=+，使用待定系数法求得()11213n n n n P P P P ----=--，即{}1n n P P --是以19为首项，公比为13-的等比数列，求出211193n n n P P --⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，再使用叠加法求出通项公式.【解析】由题意知，123P =，222173339P =⨯+=．汽车模型移到第()319n n ≤≤格的情况是下列两种，而且也只有两种：①汽车模型先到第2n -格，又掷出5，6点，其概率为213n P -；②汽车模型先到第1n -格，又掷出1，2，3，4点，其概率为123n P -．所以122133n n n P P P --=+，则()11213n n n n P P P P ----=--，且21721939P P =-=-所以数列{}1n n P P --是以19为首项，公比为13-的等比数列，所以211193n n n P P --⎛⎫-=⨯- ⎪⎝⎭，2n ≥．所以()()()121321n n n P P P P P P P P -=+-+-++- 0122111139333n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 1111213113139412313n n --⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭=+⨯=-- ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭，2n ≥．所以181********P ⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．设玩游戏的6人中有X 人获得优惠券，则()19~6,X B P ，所以这6人获得优惠券总金额的期望值为1819126993P ⎛⎫⨯=-≈ ⎪⎝⎭（万元）．【巩固训练】1.从原点出发的某质点M ，按向量()0,1a = 移动的概率为23，按向量()0,2b = 移动的概率为13，设M 可到达点()0,n 的概率为n P ，则n P 的表达式为.2.某人玩硬币走跳棋的游戏，已知硬币出现正反面的概率都是12，棋盘上标有第0站、第1站、第2站、 、第100站.一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次硬币，棋子向前跳动一次，若掷出正面，棋子向前跳一站(从k 到1k +)；若掷出反面，棋子向前跳两站(从k 到2k +)，直到棋子跳到第99站(胜利大本营)或跳到第100站(失败集中营)时，该游戏结束.设棋子跳到第n 站的概率为n P =，玩该游戏获胜的概率为.3.一种掷骰子走跳棋的游戏：棋盘上标有第0站、第1站、第2站…第100站，共101站，设棋子跳到第n 站的概率为P n ，一枚棋子开始在第0站，棋手每掷一次骰子，棋子向前跳动一次．若掷出奇数点，棋子向前跳一站；若掷出偶数点，棋子向前跳两站，直到棋子跳到第99站(获胜)或第100站(失败)时，游戏结束(骰子是用一种均匀材料做成的立方体形状的游戏玩具，它的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)．则玩该游戏获胜的概率为．【答案或提示】1.【解析】易得2122217,3339P P ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭M 到达点()0,2n +有两种情况：1从点()0,1n +按向量()0,1a = 移动，即()()0,10,2n n +→+；2②从点()0,n 按向量()0,2b = 移动，即()()0,0,2n n →+()21211211,333n n n n n n n P P P P P P P +++++∴=+∴-=--。

专题02 函数的奇偶性与单调性【方法点拨】1. 若函数f (x )为偶函数，则f (x )＝f (|x |)，其作用是将“变量化正”，从而避免分类讨论．2. 以具体的函数为依托，而将奇偶性、单调性内隐于函数解析式去求解参数的取值范围，是函数的奇偶性、单调性的综合题的一种重要命题方式，考查学生运用知识解决问题的能力，综合性强，体现能力立意，具有一定难度.【典型题示例】例1 （2022·江苏新高考基地高三第一次联考·19改编）已知函数f (x )＝1－a5x ＋1为奇函数，且存在m ∈[－1，1]，使得不等式f (x 2)＋f (mx －2)≤2－x 2－mx 成立，则x 的取值范围是 ． 【答案】[－2,2]【解析】求得a =2，且f (x )为R 上的增函数，f (x 2)＋f (mx －2)≤2－x 2－mx 可化为f (x 2)＋x 2≤2－mx －f (mx －2) 由f (x )为奇函数，得2－mx －f (mx －2)= 2－mx ＋f (2－mx )令F (x )=f (x )＋x ，则F (x 2)≤F (2－mx )，故有x 2≤2－mx ，即x 2＋mx －2≤0 令G (x )= x 2＋mx －2因为存在m ∈[－1，1]，使G (x )= x 2＋mx －2≤0 故G (－1)= x 2－x －2≤0或G (1)= x 2＋x －2≤0 解之得－2≤x ≤2.例2 已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数，在f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________. 【答案】1[1,]2-【分析】直接发现函数的单调性、奇偶性，将2(1)(2)0f a f a -+≤移项，运用奇偶性再将负号移入函数内，逆用单调性脱“f ”．【解析】 ∵f (－x )＝(－x )3＋2x ＋e －x －e x ＝－f (x )且x ∈R ， ∴f (x )是奇函数∵函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1ex ，∴f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋1e x ≥3x 2－2＋2e x ·1ex ≥0(当且仅当x ＝0时取等号)，∴f (x )在R 上单调递增.，由f (a －1)＋f (2a 2)≤0，得f (2a 2)≤f (1－a ). 所以2a 2≤1－a ，解之得－1≤a ≤12.所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－1，12. 例3 已知函数()e +1e x x f x -=-（e 为自然对数的底数），若2(21)42)(f x f x +->-，则实数x 的取值范围为 ． 【答案】()1,3-【分析】本题是例2的进一步的延拓，其要点是需对已知函数适当变形，构造出一个具有奇偶性、单调性的函数,其思维能力要求的更高，难度更大.【解析】令()()1e e x xx F x f -=-=-，易知()F x 是奇函数且在R 上单调递增由2(21)42)(f x f x +->-得[]2(4)11(21)(21)1f x f x f x -->--=--- 即2(4)(21)F x F x ->--由()F x 是奇函数得(21)(12)F x F x ---=，故2(4)(12)F x F x ->-由()F x 在R 上单调递增，得2412x x ->-，即2302x x -<-，解得13x -<<， 故实数x 的取值范围为()1,3-.例4 已知函数()222131x x f x x =-++．若存在()1,4m ∈使得不等式()()2432f ma f m m -++>成立，则实数a 的取值范围是________．【答案】(),8-∞【分析】令()()1F x f x =-，判断函数()F x 的奇偶性与单调性，从而将不等式转化为234m m ma +>-，分离参数可得43a m m<++，令4()3g m m m =++，(1,4)m ∈，利用对勾函数的单调性可得()8g m <，结合题意即可求解a 的取值范围． 【解析】函数222()()131xx f x f x x ==-++，若存在(1,4)m ∈使得不等式2(4)(3)2f ma f m m -++>成立，令2222()()1(31)3131xx x x x F x f x x =-=-=-++，22(31)(13)()()3113x x xxx x F x F x -----===-++， 所以，()F x 为奇函数．不等式2(4)(3)2f ma f m m -++>，即2(4)1(3)10f ma f m m --++->， 即2(4)(3)0F ma F m m -++>，所以2(3)(4)(4)F m m F ma F ma +>--=-， 因为20y x=>在(0,)+∞上为增函数，21031x y =->+在(0,)+∞上为增函数，所以22()(1)31x F x x =-+在(0,)+∞上为增函数， 由奇函数的性质可得()F x 在R 上为增函数，所以不等式等价于234m m ma +>-，分离参数可得43a m m<++， 令4()3g m m m=++，(1,4)m ∈， 由对勾函数的性质可知()g m 在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，g （1）8=，g （4）8=，所以，()8g m <，所以由题意可得8a <， 即实数a 的取值范围是(,8)-∞． 故答案为：(,8)-∞．例5 已知函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，若()2(22)2f x f x x -≥-+，则实数x 的取值范围是（ ） A ．[2,1]-- B ．[1,)+∞C ．RD ．(,2][1,)-∞-+∞【答案】D【解析】函数1112,1()22,1x x x x f x x ----⎧==⎨<⎩，故()f x 关于直线1x =对称，且在[1，)+∞上单减，函数()f x 的图象如下： 2(22)(2)x f x x --+，且f22172()124x x x -+=-+>恒成立，2|221|21x x x ∴---+-，即2|23|1x x x --+，当32x时，不等式化为：2231x x x --+，即2340x x -+，解得x ∈R ，即32x ；当32x <时，不等式化为：2321x x x --+，即220x x +-，解得2x -或1x ，即2x -或312x <；综上，2(22)(2)f x f x x --+时，实数x 的取值范围是(-∞，2][1-，)+∞． 故选：D ．例6 已知函数，，则t 的取值范围是 ． 【答案】[1,)+∞【分析】将已知按照“左右形式相当，一边一个变量”的原则，移项变形为3133(3log 1)log (12log )f t t f t -≥--，易知是奇函数，故进一步变为3333(3log 1)(3log 1)(2log 1)(2log 1)f t t f t t -+-≥-+-（#），故下一步需构造函数()()F x f x x =+，转化为研究()()F x f x x =+的单调性，而()()F x f x x =+单增，故（#）可化为3log 0t ≥，即333log 12log 1t t -≥-，解之得1t ≥.例7 (2022·江苏南通期末·8)已知函数()422xf x x =-+，()3log 2a f =，()4log 3b f =，43c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. c a b <<D.c b a <<【答案】B【分析】分析可知函数()f x 在()1,+∞上为增函数，推导出函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 在(),1-∞上为减函数，可得出23c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用函数()f x 在(),1-∞上()33x xf x -=-3313(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥3313(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥()33x xf x -=-的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【解析】令()422xg x x =-+，其中x ∈R ，则()10g =， 因为函数y x =、422x y =-+均为R 上的增函数，故函数()g x 也为R 上的增函数，当1x >时，()()10g x g >=，此时()442222x x f x x x =-=-++，故函数()f x 在()1,+∞上为增函数，因为()()2322222244222222222x xxx x f x x x x -----+--=--=-=-+++ ()()3222442222222xxx x x x x x x f x --⋅=-=-=-=+++故函数()f x 的图象关于直线1x =对称，则函数()f x 在(),1-∞上为减函数， 所以，4233c f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 3223<，则3lg 22lg3<，即3lg 22log 2lg 33=<， 2343<，则2lg 43lg3<，则4lg 32log 3lg 43=>，即342log 2log 313<<<， 因此，b c a <<. 故选：B.【巩固训练】1．若函数(()=ln f x x x +为偶函数，则实数a = 2.设函数()()21ln 11f x x x=+-+，则使得()()1f x f >成立的x 的取值范围是（ ）． A ．()1,+∞ B ．()(),11,-∞-+∞ C ．()1,1- D ．()()1,00,1-3.已知函数1()22x x f x =-，则满足2(5)(6)0f x x f -+>的实数x 的取值范围是 ．4. 已知函数()||31f x x x x =⋅++，若()2()22f a f a +-<，则实数a 的取值范围__________.5.已知函数222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()()22f a f a ->，则实数a 的取值范围是__________.6.已知函数()x xg x e e -=-，()()f x xg x =，若1ln 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，140.2b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.25c f =，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．b a c <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．a b c <<7. （多选题）关于函数12()11xf x x e ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭下列结论正确的是（ ） A ．图像关于y 轴对称 B ．图像关于原点对称 C ．在(),0-∞上单调递增D ．()f x 恒大于08.已知函数())20202020log 20201xx f x x -=+-+，则关于x 的不等式()()21120f x f x +++->的解集为（ ）.A ．1,2020⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．()2020,-+∞C ．2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．2,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭9.已知函数222()131x x f x x =-++.若存在m ∈(1,4)使得不等式(4)f ma -+2(3)2f m m +>成立，则实数a 的取值范围是A . (),7-∞B . (],7-∞C . (),8-∞D . (],8-∞ 10. 已知函数()e e 2sin xxf x x -=--，则关于x不等式()()2320f x f x -+<的解集为（ ） A. ()3,1-B. ()1,3-C. ()(),31,-∞-⋃+∞D. []1,3-11. 已知()sin xxf x e e x x -=-+-，若2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围___．12.已知()sin xxf x e ex x -=-+-，若2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭恒成立，则实数a 的取值范围_ __． 13. 已知函数()1e e 21x x xf x -=+-+，若不等式()()2121f ax f ax +-≥对x ∀∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,eB ．[]0,eC ．(]0,1D ．[]0,114.已知函数()())2+1sin lnf x x x x =++，若不等式()()39334x x xf f m -+⋅-<对任意x ∈R 均成立，则m 的取值范围为（ ）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()1-D ．()1,-+∞【答案或提示】1．【答案】1【解析】(g()=ln x x +奇函数，g(0)=0=，1a =.2. 【答案】B【解析】()f x 偶函数，且在(0,)+∞单增，()()1f x f >转化为1x >，解得1x >或1x <-. 3.【答案】（2,3）【解析】()f x 奇函数，且单减，2(5)(6)0f x x f -+>转化为2560x x -+<，解得23x <<.4. 【答案】(2,1)-【解析】设()||3g x x x x =⋅+，则()g x 奇函数，且单增，而()()1f x g x =+，由()2()22f a f a +-<得()2211()f a f a --<-即()22()()g a g a g a -<-=-，故22a a -<-，解之得21a -<<.5.【答案】(2,1)-【解析】22y x x =+在[0,)+∞上单调递增，22y x x =-在(,0)-∞上单调递增，且220+20=200⨯⨯-，()f x ∴在R 上单调递增，因此由()()22f a f a ->得2221aa a ->∴-<<，，故答案为：()2,1-6. 【答案】A 【解析】()()()x x f x xg x x e e -==-，该函数的定义域为R ，()()()x x x x f x x e e x e e ---=--=-，所以，函数()y f x =为偶函数，当0x >时，()0xxg x e e-=->，任取120x x >>，12x x -<-，则12x xe e >，12x x e e --<，所以，1122x x x x e e e e --->-，()()120g x g x ∴>>，()()1122x g x x g x ∴>，即()()12f x f x >，所以，函数()y f x =在()0,∞+上单调递增，()11ln lnln333a f f f ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 10 1.2400.20.21ln355<<=<<<，则()()1 1.240.2ln 35f f f ⎛⎫<< ⎪⎝⎭，即b a c <<.故选：A. 7.【答案】ACD 8. 【答案】C【解析】构造函数()())202012020log 2020xx F x fx x -=-=+-，x>=0x>，所以()F x 的定义域为R .())20202020log 2020x xF x x --=+-20202020log 2020x x xx -⎡⎤=+-20202020log 2020x x-⎡⎤=+-)()20202020log 2020x x x F x -=--=-，所以()F x 为奇函数， ()00F =.当0x >时，)20202020,2020,log x xy y y x -==-=都为增函数，所以当0x >时，()F x 递增，所以()F x 在R 上为增函数.由()()21120f x f x +++->，得()()211110f x f x +-++->， 即()()2110F x F x +++>，所以2110x x +++>，解得23x >-. 所以不等式的解集为2,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.故选：C 9. 【答案】C【解析】22222231()1111313131xx x x x f x x x x -⎛⎫=-+=-+=⋅+ ⎪+++⎝⎭设231()()131x x g x f x x -=-=⋅+，则()g x 为定义在R 的奇函数所以()f x 关于点()0,1对称又2223131312ln 33()231313131x x x xx x x x x g x x x x '⎡⎤---⋅⋅''⎡⎤=⋅+⋅=⋅+⎢⎥⎣⎦++++⎣⎦所以当0x >时，()0g x '>，()g x 在()0,+∞上单增 故()g x 在(),-∞+∞上也单增因为2(4)(3)2f ma f m m -++>可化为2(4)1(3)1f ma f m m -->-++所以2(4)(3)g ma g m m ->-+因为()g x 为R 的奇函数，22(4)(3)(3)g ma g m m g m m ->-+=--所以243ma m m ->--又因为存在m ∈(1,4)使得不等式243ma m m ->--成立，分参得43a m m<++ 易得[)437,8m m++∈，所以8a <，故选C . 10.【答案】A【分析】根据题意可判断函数()e e 2sin xxf x x -=--为奇函数且在R 上单调递增，进而根据奇偶性与单调性解不等式即可.【解析】函数()e e 2sin xxf x x -=--的定义域为R ，()()()e e 2sin e e 2sin x x x x f x x x f x ---=---=-+=-，所以函数()e e 2sin xxf x x -=--为奇函数，因为()'e e 2cos 22cos 0xxf x x x -=+-≥-≥，所以函数()e e 2sin xxf x x -=--在R 上单调递增，所以()()()()()22320322f x f x f x f x f x -+<⇔-<-=-，所以232x x -<-，即2230x x +-<，解得31x -<< 所以不等式()()2320f x f x -+<的解集为()3,1-故选：A11.【答案】12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先分析()f x 的奇偶性和单调性，则2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于2(2ln(1))2x f a x f ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，所以22ln(1)2x a x -+≥-，可转化为2()2ln(1)2x a g x x ≥=-++，即max ()a g x ≥，求max ()g x 即得解【解析】因为()()sin xx f x ee x xf x --=--+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，()cos 1x xf x e e x -'=++-，()cos 1cos 11cos 0x x f x e e x x x -'=++-≥-=+≥，所以()f x 是R 上的增函数，2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于22(2ln(1))22x x f a x f f ⎛⎫⎛⎫-+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以22ln(1)2x a x -+≥-，所以22ln(1)2x a x ≥-++，令2()2ln(1)2x g x x =-++，则max ()a g x ≥， 因为()()g x g x -=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2x x -++是R 上的偶函数， 所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可.当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++，()()22122()111x x x x g x x x x x +---+'=-+==-+++， 则当[)0,1x ∈时，()0g x '>；当[)1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在[)0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减， 可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==-，即12ln 22a ≥-. 故答案为：12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 12.【答案】12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【分析】先分析()f x 的奇偶性和单调性，则2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于2(2ln(1))2x f a x f ⎛⎫-+≥- ⎪⎝⎭，所以22ln(1)2x a x -+≥-，可转化为2()2ln(1)2x a g x x ≥=-++，即max ()a g x ≥，求max ()g x 即得解 【解析】因为()()sin x x f x e e x x f x --=--+=-，所以()f x 是R 上的奇函数，()cos 1x x f x e e x -'=++-，()cos 1cos 11cos 0x x f x e e x x x -'=++-≥-=+≥，所以()f x 是R 上的增函数，2(2ln(1))02x f a x f ⎛⎫-++≥ ⎪⎝⎭等价于22(2ln(1))22x x f a x ff ⎛⎫⎛⎫-+≥-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以22ln(1)2x a x -+≥-，所以22ln(1)2x a x ≥-++， 令2()2ln(1)2x g x x =-++，则max ()a g x ≥，因为()()g x g x -=且定义域为R ，所以()g x =22ln(1)2x x -++是R 上的偶函数，所以只需求()g x 在()0,∞+上的最大值即可.当[)0,x ∈+∞时，2()2ln(1)2x g x x =-++，()()22122()111x x x x g x x x x x +---+'=-+==-+++，则当[)0,1x ∈时，()0g x '>；当[)1,x ∈+∞时，()0g x '<；所以()g x 在[)0,1上单调递增，在[)1,+∞上单调递减， 可得：max 1()(1)2ln 22g x g ==-，即12ln 22a ≥-. 故答案为：12ln 2,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 13.【答案】D【分析】构造函数()()12g x f x =-，判断函数的奇偶性与单调性，将所求不等式转化为()()2111222f ax f ax ⎡⎤-≥---⎢⎥⎣⎦，即()()221g ax g ax ≥-，再利用函数单调性解不等式即可. 【解析】()1e e 21x x x f x -=+-+， ()()1111e e e e 121212121x x x x x x x x f x f x ----∴+-=+-+-+=++=+++令()()12g x f x =-，则()()0g x g x +-=，可得()g x 是奇函数，又()()()2121e e e e e 21e 21ln 2ln 2++2122x x x x x x x x x x x g x --'⎛⎫''=+-== ⎪+⎝++--+⎭， 又利用基本不等式知e 2+1e x x ≥当且仅当1e ex x =，即0x =时等号成立； ln 2ln 214222x x ≤++当且仅当122x x =，即0x =时等号成立； 故()0g x '>，可得()g x 是单调增函数，由()()2121f ax f ax +-≥得()()()21111212222f ax f ax f ax ⎡⎤-≥--+=---⎢⎥⎣⎦， 即()()()21221g ax g ax g ax ≥--=-，即2210ax ax -+≥对x ∀∈R 恒成立. 当0a =时显然成立；当0a ≠时，需20440a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，得01a <≤， 综上可得01a ≤≤，故选：D.14.【答案】A【分析】由题设，构造()()2g x f x =-，易证()g x 为奇函数，利用导数可证()g x 为增函数，结合题设不等式可得(39)(33)x x x g g m -<-⋅，即3313x x m <+-对任意x ∈R 均成立，即可求m 的范围.【解析】由题设，令()()22sin )g x f x x x x =-=++，∴()2sin())2sin )()g x x x x x x x g x -=-+-+=---=-，∴()g x 为奇函数，又()2cos 0g x x '=++>，即()g x 为增函数，∴()()39334x x x f f m -+⋅-<，即(39)2[(33)2]x x x f f m --<-⋅--， ∴(39)(33)(33)x x x x g g m g m -<-⋅-=-⋅，则3933x x x m -<-⋅，∴3313x x m <+-对任意x ∈R 均成立，又331113x x +-≥=，当且仅当12x =时等号成立，∴1m <，即m ∈(),1-∞.故选：A。

2024全国数学高考压轴题(数列)一、单选题1．若数列{b n }、{c n }均为严格增数列 且对任意正整数n 都存在正整数m 使得b m ∈[c n ，c n+1] 则称数列{b n }为数列{c n }的“M 数列”．已知数列{a n }的前n 项和为S n 则下列选项中为假命题的是（ ）A ．存在等差数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”B ．存在等比数列{a n } 使得{a n }是{S n }的“M 数列”C ．存在等差数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”D ．存在等比数列{a n } 使得{S n }是{a n }的“M 数列”2．已知函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R 记g(x)=f ′(x)．若f(x +3)为奇函数 g(32+2x)为偶函数 且g(0)=−3 g(1)=2 则∑g 2023i=1(i)=（ ） A ．670B ．672C ．674D ．6763．我们知道按照一定顺序排列的数字可以构成数列 那么按照一定顺序排列的函数可以构成函数列.设无穷函数列{f n (x)}（n ∈N +）的通项公式为f n (x)=n 2+2nx+x 2+1(n+x)(n+1)x ∈(0，1) 记E n 为f n (x)的值域 E =U n=1+∞E n 为所有E n 的并集 则E 为（ ）A ．(56，109)B ．(1，109)C ．(56，54)D ．(1，54)4．已知等比数列{x n }的公比q >−12则（ ）A ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|<10B ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 100|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 100|>10C ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|<1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|<10D ．若|x 1+x 2+⋅⋅⋅+x 101|>1 则√|x 1|+√|x 2|+⋅⋅⋅+√|x 101|>105．已知数列{a n } {b n }满足a 1=2 b 1=12 {a n+1=b n +1an b n+1=a n +1bn,，,n ,∈,N ∗ 则下列选项错误的是（ ） A ．a 2b 2=14B ．a 50⋅b 50<112C ．a 50+b 50=52√a 50⋅b 50D ．|a 50−b 50|≤156．已知数列{a n }满足：a 1=2 a n+1=13(√a n +2a n )(n ∈N ∗)．记数列{a n }的前n 项和为S n 则（ ）A ．12<S 10<14B ．14<S 10<16C ．16<S 10<18D ．18<S 10<207．已知数列 {a n } 满足： a 1=100，a n+1=a n +1an则（ ）A ．√200+10000<a 101<√200.01+10000B ．√200.01+10000<a 101<√200.1+10000C ．√200.1+10000<a 101<√201+10000D ．√201+10000<a 101<√210+100008．已知数列 {a n } 满足 a 1=a(a >0) √a n+1a n =a n +1 给出下列三个结论：①不存在 a 使得数列 {a n } 单调递减；②对任意的a 不等式 a n+2+a n <2a n+1 对所有的 n ∈N ∗ 恒成立；③当 a =1 时 存在常数 C 使得 a n <2n +C 对所有的 n ∈N ∗ 都成立.其中正确的是（ ） A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③9．已知F 为抛物线y 2=4x 的焦点 点P n (x n ，y n )(n =1，2，3，⋯)在抛物线上.若|P n+1F|−|P n F|=1 则（ ） A ．{x n }是等差数列 B ．{x n }是等比数列 C ．{y n }是等差数列D ．{y n }是等比数列10．已知数列 11 21 12 31 22 13 41 32 23 14… 其中每一项的分子和分母均为正整数.第一项是分子与分母之和为2的有理数；接下来两项是分子与分母之和为3的有理数 并且从大到小排列；再接下来的三项是分子与分母之和为4的有理数 并且从大到小排列 依次类推.此数列第n 项记为 a n 则满足 a n =5 且 n ≥20 的n 的最小值为（ ） A ．47B ．48C ．57D ．5811．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角 内角A n ，B n ，C n 所对的边分别为a n ，b n ，c n 面积为S n ．若b 1=4，c 1=3，b n+12=a n+12+c n 23，c n+12=a n+12+b n 23则下列选项错误的是（ ）A ．{S 2n }是递增数列B ．{S 2n−1}是递减数列C ．数列{b n −c n }存在最大项D ．数列{b n −c n }存在最小项12．已知数列{a n }的各项都是正数 a n+12−a n+1=a n (n ∈N ∗)．记b n =(−1)n−1a n −1数列{b n }的前n 项和为S n 给出下列四个命题：①若数列{a n }各项单调递增 则首项a 1∈(0，2)②若数列{a n }各项单调递减 则首项a 1∈(2，+∞)③若数列{a n }各项单调递增 当a 1=32时 S 2022>2④若数列{a n }各项单调递增 当a 1=23时S2022<−5则以下说法正确的个数（）A．4B．3C．2D．113．已知正项数列{a n}对任意的正整数m、n都有2a m+n≤a2m+a2n则下列结论可能成立的是（）A．a nm+a mn=a mn B．na m+ma n=a m+n C．a m+a n+2=a mn D．2a m⋅a n=a m+n14．古希腊哲学家芝诺提出了如下悖论：一个人以恒定的速度径直从A点走向B点要先走完总路程的三分之一再走完剩下路程的三分之一如此下去会产生无限个“剩下的路程” 因此他有无限个“剩下路程的三分之一”要走这个人永远走不到终点．另一方面我们可以从上述第一段“三分之一的路程”开始通过分别计算他在每一个“三分之一距离”上行进的时间并将它们逐个累加不难推理出这个人行进的总时间不会超过一个恒定的实数．记等比数列{a n}的首项a1=13公比为q 前n项和为S n则造成上述悖论的原理是（）A．q=16，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t B．q=13，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<tC．q=12，∃t∈R，∀n∈N ∗，Sn<t D．q=23，∃t∈R，∀n∈N∗，S n<t15．已知sinx，siny，sinz依次组成严格递增的等差数列则下列结论错误的是（）A．tanx，tany，tanz依次可组成等差数列B．cosx，cosy，cosz依次可组成等差数列C．cosx，cosz，cosy依次可组成等差数列D．cosz，cosx，cosy依次可组成等差数列16．记U={1，2，⋯，100}．对数列{a n}(n∈N∗)和U的子集T 若T=∅定义S T=0；若T={t1，t2，⋯，t k}定义S T=a t1+a t2+⋯+a tk．则以下结论正确的是（）A．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1，T={1，2，4，8}则S T=15B．若{a n}(n∈N∗)满足a n=2n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T< a kC．若{a n}(n∈N∗)满足a n=3n−1则对任意正整数k(1≤k≤100)，T⊆{1，2，⋯，k}，S T≥a k+1D ．若{a n }(n ∈N ∗)满足a n =3n−1 且C ⊆U ，D ⊆U ，S C ≥S D 则S C +S C∩D ≥2S D17．已知数列 {a n }、{b n }、{c n } 满足 a 1=b 1=c 1=1，c n =a n+1−a n ，c n+2=bn+1b n ⋅c n (n ∈N ∗)，S n =1b 2+1b 3+⋯+1b n （n ≥2），T n =1a 3−3+1a 4−4+⋯+1a n −n （n ≥3） 则下列有可能成立的是（ ）A ．若 {a n } 为等比数列 则 a 20222>b 2022B ．若 {c n } 为递增的等差数列 则 S 2022<T 2022C ．若 {a n } 为等比数列 则 a 20222<b 2022D ．若 {c n } 为递增的等差数列 则 S 2022>T 202218．已知数列{a n }满足a 1=1 a n =a n−1+4(√a n−1+1√an−1)(n ∈N ∗，n ≥2) S n 为数列{1a n }的前n 项和 则（ ） A ．73<S 2022<83B ．2<S 2022<73C ．53<S 2022<2 D ．1<S 2022<5319．已知数列{a n }满足a n ⋅a n+1⋅a n+2=−1(n ∈N ∗)，a 1=−3 若{a n }的前n 项积的最大值为3 则a 2的取值范围为（ ） A ．[−1，0)∪(0，1] B ．[−1，0)C ．(0，1]D ．(−∞，−1)∪(1，+∞)20．已知正项数列{a n }的前n 项和为S n (a n +1)2=4S n 记b n =S n ⋅sin nπ2+S n+1⋅sin (n+1)π2若数列{b n }的前n 项和为T n 则T 100=（ ） A ．-400B ．-200C ．200D ．40021．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和 a 2=−7 S 5=2a 1 当|S n |取得最小值时 n =（ ）A ．10B ．9C ．8D ．722．已知数列{a n }中 a 2+a 4+a 6=285 na n =(n −1)a n+1+101(n ∈N ∗) 当数列{a n a n+1a n+2}(n ∈N ∗)的前n 项和取得最大值时 n 的值为（ ） A ．53B ．49C ．49或53D ．49或5123．定义在R 上的函数序列{f n (x)}满足f n (x)<1nf n ′(x)（f n ′(x)为f n (x)的导函数） 且∀x ∈N ∗ 都有f n (0)=n ．若存在x 0>0 使得数列{f n (x 0)}是首项和公比均为q 的等比数列 则下列关系式一定成立的是（ ）．A ．0<q <2√2e x 0B ．0<q <√33e x 0C ．q >2√2e x 0D ．q >√33e x 024．已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a 1=1 a 2=2 a n =a n−1⋅a n+1(n ≥2) 则（ ）A ．a 1：a 2：a 3=a 6：a 7：a 8B ．a n ：a n+1：a n+2=1：2：2C ．S 6 S 12 S 18成等差数列D ．S 6n S 12n S 18n 成等比数列25．已知S n 为数列{a n }的前n 项和 且a 1=1 a n+1+a n =3×2n 则S 100=（ ）A ．2100−3B ．2100−2C ．2101−3D ．2101−226．已知 {a n } 为等比数列 {a n } 的前n 项和为 S n 前n 项积为 T n 则下列选项中正确的是（ ）A ．若 S 2022>S 2021 则数列 {a n } 单调递增B ．若 T 2022>T 2021 则数列 {a n } 单调递增C ．若数列 {S n } 单调递增 则 a 2022≥a 2021D ．若数列 {T n } 单调递增 则 a 2022≥a 2021二、多选题27．“冰雹猜想”也称为“角谷猜想” 是指对于任意一个正整数x 如果x 是奇数㩆乘以3再加1 如果x 是偶数就除以2 这样经过若干次操作后的结果必为1 犹如冰雹掉落的过程.参照“冰雹猜想” 提出了如下问题：设k ∈N ∗ 各项均为正整数的数列{a n }满足a 1=1 a n+1={a n2，a n 为偶数，a n +k ，a n 为奇数，则（ ）A ．当k =5时 a 5=4B ．当n >5时 a n ≠1C ．当k 为奇数时 a n ≤2kD ．当k 为偶数时 {a n }是递增数列28．已知数列{a n } a 2=12且满足a n+1a n 2=a n −a n+1 n ∈N ∗ 则（ ） A ．a 4−a 1=1929B ．a n 的最大值为1C ．a n+1≥1n+1D ．√a 1+√a 2+√a 3+⋅⋅⋅+√a 35>1029．已知数列{a n }的前n 项和为S n a 1=1 且4a n ⋅a n+1=a n −3a n+1（n =1 2 …） 则（ ）A ．3a n+1<a nB ．a 5=1243C ．ln(1an )<n +1D ．1≤S n <171430．如图 已知正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1顶点处有一质点Q 点Q 每次会随机地沿一条棱向相邻的某个顶点移动 且向每个顶点移动的概率相同．从一个顶点沿一条棱移动到相邻顶点称为移动一次．若质点Q 的初始位置位于点A 处 记点Q 移动n 次后仍在底面ABCD 上的概率为P n 则下列说法正确的是（ ）A ．P 2=59B ．P n+1=23P n +13C ．点Q 移动4次后恰好位于点C 1的概率为0D ．点Q 移动10次后仍在底面ABCD 上的概率为12(13)10+1231．已知数列{a n } {b n } 有a n+1=a n −b n b n+1=b n −a n n ∈N ∗ 则（ ）A ．若存在m >1 a m =b m 则a 1=b 1B ．若a 1≠b 1 则存在大于2的正整数n 使得a n =0C ．若a 1=a a 2=b 且a ≠b 则b 2022=−b ×22020D ．若a 1=−1 a 2=−3 则关于x 的方程2a 3+(2a 3+1)cosx +2cos2x +cos3x =0的所有实数根可构成一个等差数列32．已知△A n B n C n (n =1，2，3，⋯)是直角三角形 A n 是直角 内角A n 、B n 、C n 所对的边分别为a n 、b n 、c n 面积为S n 若b 1=4 c 1=3 b n+12=a n+12+c n 23 c n+12=a n+12+b n 23则（ ） A ．{S 2n }是递增数列 B ．{S 2n−1}是递减数列 C ．{b n −c n }存在最大项D ．{b n −c n }存在最小项33．已知S n 是数列{a n }的前n 项和 且S n+1=−S n +n 2 则下列选项中正确的是（ ）.A ．a n +a n+1=2n −1（n ≥2）B ．a n+2−a n =2C ．若a 1=0 则S 100=4950D ．若数列{a n }单调递增 则a 1的取值范围是(−14，13)三、填空题34．已知n ∈N ∗ 将数列{2n −1}与数列{n 2−1}的公共项从小到大排列得到新数列{a n } 则1a 1+1a 2+⋯+1a 10= .35．若函数f(x)的定义域为(0，+∞) 且f(x)+f(y)=f(xy) f(a n )=n +f(n) 则∑f ni=1(a i i )= ．36．在数列{a n }中 a 1=1 a n+1=a n +1an（n∈N ∗） 若t ∈Z 则当|a 7−t|取得最小值时 整数t 的值为 .37．已知函数f(x)满足f(x −2)=f(x +2)，0≤x <4时 f(x)=√4−(x −2)2 g(x)=f(x)−k n x(n ∈N ∗，k n >0)．若函数g(x)的图像与x 轴恰好有2n +1个不同的交点 则k 12+k 22+⋅⋅⋅+k n 2= ．38．已知复数z =1+i 对于数列{a n } 定义P n =a 1+2a 2+⋅⋅⋅+2n−1a n n为{a n }的“优值”．若某数列{a n}的“优值”P n =|z|2n 则数列{a n }的通项公式a n = ；若不等式a n 2−a n +4≥(−1)nkn 对于∀n ∈N ∗恒成立 则k 的取值范围是 ．39．数列{a n }是公比为q(q ≠1)的等比数列 S n 为其前n 项和. 已知a 1⋅a 3=16 S3q=12 给出下列四个结论： ①q <0 ；②若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大 则m 的一个可能值是3； ③若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最大 则m 的一个可能值是4； ④若存在m 使得a 1，a 2，⋅⋅⋅，a m 的乘积最小 则m 的值只能是2． 其中所有正确结论的序号是 .40．如图 某荷塘里浮萍的面积y （单位：m 2）与时间t （单位：月）满足关系式：y =a t lna （a 为常数） 记y =f(t)（t ≥0）．给出下列四个结论：①设a n=f(n)(n∈N∗)则数列{a n}是等比数列；②存在唯一的实数t0∈(1，2)使得f(2)−f(1)=f′(t0)成立其中f′(t)是f(t)的导函数；③常数a∈(1，2)；④记浮萍蔓延到2m23m26m2所经过的时间分别为t1t2t3则t1+t2>t3．其中所有正确结论的序号是．41．在现实世界很多信息的传播演化是相互影响的.选用正实数数列{a n}{b n}分别表示两组信息的传输链上每个节点处的信息强度数列模型：a n+1=2a n+b n，b n+1=a n+2b n(n=1，2⋯)描述了这两组信息在互相影响之下的传播演化过程.若两组信息的初始信息强度满足a1>b1则在该模型中关于两组信息给出如下结论：①∀n∈N∗，a n>b n；②∀n∈N∗，a n+1>a n，b n+1>b n；③∃k∈N∗使得当n>k时总有|a nb n−1|<10−10④∃k∈N∗使得当n>k时总有|a n+1a n−2|<10−10．其中所有正确结论的序号是答案解析部分1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】C4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】B7．【答案】A8．【答案】A9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】B13．【答案】D14．【答案】D15．【答案】B16．【答案】D17．【答案】B18．【答案】D19．【答案】A20．【答案】C21．【答案】C22．【答案】D23．【答案】D24．【答案】C25．【答案】D26．【答案】D27．【答案】A,C,D28．【答案】B,C,D29．【答案】A,D30．【答案】A,C,D 31．【答案】A,C,D 32．【答案】A,C,D 33．【答案】A,C 34．【答案】102135．【答案】n(n+1)236．【答案】4 37．【答案】n 4(n+1) 38．【答案】n+1；[−163，5] 39．【答案】①②③ 40．【答案】①②④ 41．【答案】①②③。

江苏高考压轴题精选1.如图为函数()1)f x x =<<的图象，其在点(())M t f t ，l l y 处的切线为，与轴和直线1=y 分别交于点P 、Q ，点N （0，1），若△PQN 的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为 ▲ . 解：2. 已知⊙A ：221x y +=，⊙B : 22(3)(4)4x y -+-=，P 是平面内一动点，过P 作⊙A 、⊙B 的切线，切点分别为D 、E ，若PE PD =，则P 到坐标原点距离的最小值为 ▲ .解：设)(y x P ，，因为PE PD =，所以22PD PE =，即14)4()3(2222-+=--+-y x y x ，整理得：01143=-+y x ，这说明符合题意的点P 在直线01143=-+y x 上，所以点)(y x P ，到坐标原点距离的最小值即为坐标原点到直线01143=-+y x 的距离，为5113. 等差数列{}n a 各项均为正整数，13a =，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 中，11b =，且2264b S =，{}n b 是公比为64的等比数列．求n a 与n b ；解：设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，3(1)n a n d =+-，1n n b q -=依题意有1363(1)22642(6)64n n nda d n d ab q q b q S b d q +++-⎧====⎪⎨⎪=+=⎩①由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1，2，3，6之一，解①得2,8d q == 故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=4. 在ABC ∆中，2==⋅AC AB （1）求22AC AB +（2）求ABC ∆面积的最大值．解：（1）因为||||2BC AC AB =-=，所以4222=+⋅-AB AB AC AC ，（2）设||||||AB c AC b BC a ===，，，由（1）知822=+c b ，2=a ， 又因为bcbc bc a c b A 22282cos 222=-=-+=，所以A bc A bc S ABC2cos 121sin 21-==∆=222222421cb c b c b ⋅-≤34)2(21222=-+c b ， 当且仅当c b a ==时取“=”，所以ABC ∆的面积最大值为3．5. 设等差数列{}n a 的公差为d ，0d >，数列{}n b 是公比为q 等比数列，且110b a =>． （1）若33a b =，75a b =，探究使得n m a b =成立时n m 与的关系； （2）若22a b =，求证：当2>n 时，n n b a <.解：记a b a ==11，则1,)1(-=-+=m m n aq b d n a a ，……………1分（1）由已知得2426a d aq a d aq ⎧+=⎨+=⎩，，消去d 得4232aq aq a -=， 又因为0≠a ，所以02324=+-q q ，所以2122==q q 或，……………5分若12=q ，则0=d ，舍去；……………6分 若22=q ，则2a d =，因此12)1(-=-+⇔=m m n aq a n a b a 1211-=-+⇔m q n ， 所以1221-=+m n （m 是正奇数）时，m n b a =；……………8分（2）证明：因为0,0>>a d ，所以111212>+=+===ada d a a ab b q ， …………11分2>n 时，1)1(---+=-n n n aq d n a b a =d n q a n )1()1(1-+--=d n q q q q a n )1()1)(1(22-+++++--d n n q a )1()1)(1(-+--<=[]0))(1()1()1(22=--=+--b a n d q a n所以，当n n b a n <>时，2. …………………………16分6. 已知圆O ：221x y +=，O 为坐标原点．（1的正方形ABCD 的顶点A 、B 均在圆O 上，C 、D 在圆O 外，当点A 在圆O 上运动时，C 点的轨迹为E ． （ⅰ）求轨迹E 的方程；（ⅱ）过轨迹E 上一定点00(,)P x y 作相互垂直的两条直线12,l l ，并且使它们分别与圆O 、轨迹E 相交，设1l 被圆O 截得的弦长为a ，设2l 被轨迹E 截得的弦长为b ，求a b +的最大值．（2）正方形ABCD 的一边AB 为圆O 的一条弦，求线段OC 长度的最值．解：（1）（ⅰ）连结OB ，OA ，因为OA =OB =1，AB =2，所以222AB OB OA =+，所以4OBA π∠=，所以34OBC π∠=，在OBC ∆中，52222=⋅-+=BC OB BC OB OC ，所以轨迹E 是以O 为圆心，5为半径的圆，所以轨迹E 的方程为522=+y x ； （ⅱ）设点O 到直线12l l ，的距离分别为12d d ，，因为21l l ⊥，所以2222212005d d OP x y +==+=， 则22215212d d b a -+-=+，则[])5)(1(2)(64)(222122212d d d d b a --++-=+≤4⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⋅++-262)(622212221d d d d =22124[122()]d d -+=4(1210)8-=，当且仅当221222125,15,d d d d ⎧+=⎨-=-⎩，即22219,21,2d d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时取“=”，所以b a +的最大值为 （2）设正方形边长为a ，OBA θ∠=，则cos 2a θ=，0,2θπ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．当A 、B 、C 、D 按顺时针方向时，如图所示，在OBC ∆中，2212cos 2a a OC θπ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭，即OC == ==由2,444θππ5π⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，此时(1,1]OC ∈； 当A 、B 、C 、D 按逆时针方向时，在OBC ∆中，2212cos 2a a OC θπ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，即OC ====，由2,444θππ3π⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭，此时1,OC ∈， 综上所述，线段OC 1-1．7. 已知函数()1ln ()f x x a x a R =--∈.（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线的方程为330x y --=，求实数a 的值； （2）求证：0)(≥x f 恒成立的充要条件是1a =；（3）若0a <，且对任意(]1,0,21∈x x ，都有121211|()()|4||f x f x x x -≤-，求实数a 的取值范围.另解：042≤--ax x 在(]1,0∈x 上恒成立，设4)(2--=ax x x g ，只需[)0,30041)1(04)0(-∈⇒⎪⎩⎪⎨⎧<≤--=<-=a a a g g .8. 已知函数2()3,()2f x mx g x x x m =+=++. （1）求证：函数()()f x g x -必有零点； （2）设函数()G x =()()1f x g x --（ⅰ）若|()|G x 在[]1,0-上是减函数，求实数m 的取值范围；（ⅱ）是否存在整数,a b ，使得()a G x b ≤≤的解集恰好是[],a b ，若存在，求出,a b 的值；若不存在，说明理由.9. 已知函数()1ax x ϕ=+，a 为正常数. （1）若()ln ()f x x x ϕ=+，且92a =，求函数()f x 的单调增区间；（2）若()|ln |()g x x x ϕ=+，且对任意12,(0,2]x x ∈，12x x ≠，都有2121()()1g x g x x x -<--，求a 的的取值范围.解：（1） 2221(2)1'()(1)(1)a x a x f x x x x x +-+=-=++，∵92a =，令'()0f x >，得2x >，或12x <， ∴函数()f x 的单调增区间为1(0,)2， (2,)+∞.（2）∵2121()()1g x g x x x -<--，∴2121()()10g x g x x x -+<-，∴221121()[()]0g x x g x x x x +-+<-，设()()h x g x x =+，依题意，()h x 在(]0,2上是减函数.当12x ≤≤时， ()ln 1ah x x x x =+++，21'()1(1)a h x x x =-++， 令'()0h x ≤，得：222(1)1(1)33x a x x x x x+≥++=+++对[1,2]x ∈恒成立， 设21()33m x x x x =+++，则21'()23m x x x =+-，∵12x ≤≤，∴21'()230m x x x=+->， ∴()m x 在[1,2]上是增函数，则当2x =时，()m x 有最大值为272，∴272a ≥.当01x <<时， ()ln 1ah x x x x =-+++，21'()1(1)a h x x x =--++， 令'()0h x ≤，得： 222(1)1(1)1x a x x x x x+≥-++=+--， 设21()1t x x x x =+--，则21'()210t x x x=++>， ∴()t x 在(0,1)上是增函数，∴()(1)0t x t <=， ∴0a ≥，综上所述，272a ≥10. （1）设10+<<a b ，若对于x 的不等式()()22ax b x >-的解集中的整数恰有3个，则实数a 的取值范围是 ▲ .（2）若关于x 的不等式()2221x ax -<的解集中的整数恰有3个，则实数a 的取值范围是▲ .解：（1）()3,1（2）⎪⎭⎫ ⎝⎛1649,92511. 已知{}n a 是公差不为0的等差数列，{}n b 是等比数列,其中1122432,1,,2a b a b a b ====，且存在常数α、β，使得n a =log n b αβ+对每一个正整数n 都成立,则βα= ▲ .12. 在直角坐标系平面内两点Q P ,满足条件：①Q P ,都在函数)(x f 的图象上；②Q P ,关于原点对称，则称点对),(Q P 是函数)(x f 的一个“友好点对”（点对),(Q P 与),(P Q 看作同一个“有好点对”）.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<++=,0,2,0,142)(2x ex x x x f x 则函数)(x f 的“友好点对”有 ▲ 个.13. 已知ABC ∆的三边长c b a ,,满足b a c a c b 22≤+≤+，，则ab的取值范围是 ▲ . 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛23,32xyO已知ABC ∆的三边长c b a ,,满足b a c a c b 3232≤+≤+，，则ab的取值范围是 ▲ . 解：⎪⎭⎫ ⎝⎛35,4314. 已知分别以21,d d 为公差的等差数列{}n a ,{}n b ,满足120091,409a b ==． （1）若11=d ,且存在正整数m ,使得200920092-=+m m b a ,求2d 的最小值；（2）若0k a =，1600k b =且数列200921121,,,,,,b b b b a a a k k k k ++-,的前项n 和n S 满足200920129045k S S =+,求 {}n a 的通项公式.解：（1）证明:220092009m m a b +=-,21120092[(1)]2009a m d b md ∴+-=+-，即200940922-+=md m , ……4分2160080d m m ∴=+≥=. 等号当且仅当"1600"mm =即"40"=m 时成立,故40m =时，2min []80d = . ……7分（2）0k a =，1600k b =，120091,409a b ==200912112009()()k k k k S a a a a b b b -+∴=++++++++=++2)(1k a a k 2)12009)((2009+-+k b b k 2009(2010)22k k -=+，…10分 200920129045k S S =+1()201290452k a a k +=+=904522012+k201290452k ∴⋅+2009(2010)22k k -=+40202009201018090k ∴=⨯-，220099k ∴=-，1000k ∴= ……13分故得1,011000==a a 又，11999d ∴=-,1210001(1)999999n a a n d n ∴=+-=-，因此{}n a 的通项公式为n a n 99919991000-=. ……15分15. 已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=． （1）当1a =时，求函数)(x f 的单调区间；（2）若函数)(x f y =的图像在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为︒45，问：m 在什么范围取值时，对于任意的[]2,1∈t ，函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=)('2)(23x f m x x x g 在区间)3,(t 上总存在极值？（3）当2=a 时，设函数32)2()(-+--=xep x p x h ，若在区间[]e ,1上至少存在一个0x ，使得)()(00x f x h >成立，试求实数p 的取值范围． 24,1e e ⎛⎫+∞ ⎪-⎝⎭16. 如图，在△ABC 中，已知3=AB ，6=AC ，7BC =，AD 是BAC ∠平分线. （1）求证：2DC BD =； （2）求AB DC ⋅的值.（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin AB BDADB BAD=∠∠①， 在ACD ∆中，由正弦定理得sin sin AC DCADC CAD=∠∠②， 所以BAD CAD ∠=∠，sin sin BAD CAD ∠=∠， sin sin()sin ADB ADC ADC π∠=-∠=∠， 由①②得36BD AB DC AC ==，所以2DC BD =（2）因为2DC BD =，所以32=. 在△ABC 中，因为22222237611cos 223721AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯， 所以22()||||cos()33AB DC AB BC AB BC B π⋅=⋅=⋅- 2112237()3213=⨯⨯⨯-=- AB D17. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}1n S +是公比为2的等比数列.（1）证明：数列{}n a 成等比数列的充要条件是13a =；（2）设n n n n a b )1(5--=（*∈N n ），若1+<n n b b 对任意*∈N n 成立，求1a 的取值范围.18. 已知分别以1d 和2d 为公差的等差数列{}n a 和{}n b 满足181=a ，3614=b .（1）若181=d ，且存在正整数m ，使得45142-=+m mb a ，求证：1082>d ； （2）若0==k k b a ，且数列142121b b b a a a k k k ，，，，，，， ++的前n 项和n S 满足k S S 214=，求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（3）在（2）的条件下，令0>==a a d a c n n b n a n ，，，且1≠a ，问不等式n n n n d c d c +≤+1是否对一切正整数n 都成立？请说明理由.19. 若椭圆)0(12222>>=+b a by a x 过点（-3，2），离心率为33，⊙O 的圆心为原点，直径为椭圆的短轴，⊙M 的方程为4)6()8(22=-+-y x ，过⊙M 上任一点P 作⊙O 的切线P A 、PB ，切点为A 、B .（1）求椭圆的方程；（2）若直线P A 与⊙M 的另一交点为Q ，当弦PQ 最大时，求直线P A 的直线方程； （3）求OB OA ⋅的最大值与最小值.（1）1101522=+y x ；（2）直线PA 的方程为：0509130103=--=+-y x y x 或 （3）20. 已知集合{}k x x x x x x D =+>>=212121,0,0),(，其中k 为正常数. （1）设21x x u =，求u 的取值范围；（2）求证：当1≥k 时，不等式⎪⎭⎫⎝⎛-≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k x x x x 22112211对任意D x x ∈),(21恒成立； （3）求使不等式⎪⎭⎫⎝⎛-≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-k k x x x x 22112211对任意D x x ∈),(21恒成立的k 取值范围.21. 设函数x m mx x x f )4(31)(223-+-=，R x ∈，且函数)(x f 有三个互不相同的零点βα,,0，且βα<，若对任意的[]βα,∈x ，都有)1()(f x f ≥成立，求实数m 的取值范围. 解：传染病应急预案为了及时处理或预防传染病，为适应疾病预防控制形式发展的需要，提高预防控制突发事件的应急应变能力，有效预防、及时控制和消除我市区域内发生的重大传染病的危害，规范和指导传染病应急处理工作，最大限度地减少传染病造成的危害，保障全市人民身体健康与生命安全，维护正常的社会秩序，依据《突发公共卫生事件应急条例》、《中华人民共和国传染病防治法》及其实施办法，《国家突发公共卫生事件应急预案》、《突发公共卫生事件与传染病疫情监测信息报告管理办法》、《中华人民共和国食品卫生法》及《中华人民共和国职业病防治法》等有关法律法规，结合我院实际，制定本预案：一、有下列情形之一的，应及时报告：1、发生或者可能发生严重传染病的：2、发生或发现不明原因的群体性疾病的：3、发生或者可能发生重大食物重度事件的。

立体几何选择填空压轴题专练A 组一、选择题1．(2018全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为 ABCD【答案】A【解析】记该正方体为''''-ABCD A B C D ，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱'A A ，''A B ，''A D 与平面α所成的角都相等，如图，连接'AB ，'AD ，''B D ，因为三棱锥'''-A AB D 是正三棱锥，所以'A A ，''A B ，''A D 与平面''AB D 所成的角都相等，分别取''C D ，''B C ，'BB ，AB ，AD ，'DD 的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ．GH ，IH ，IJ ，IE ，易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面''AB D 平行，且截正方体所得截面的面积最大，又2======EF FG GH IH IJ JE ，所以该正六边形的面积为26434⨯⨯=，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为4，故选A ． 2．如图，矩形ABCD 中， 2AB AD =， E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻转成1A DE ∆（1A ∉平面ABCD ）．若M 、O 分别为线段1A C 、DE 的中点，则在ADE ∆翻转过程中，下列说法错误的是（ ）A. 与平面1A DE 垂直的直线必与直线BM 垂直B. 异面直线BM 与1A E 所成角是定值C. 一定存在某个位置，使DE MO ⊥D. 三棱锥1A ADE -外接球半径与棱AD 的长之比为定值【答案】C【解析】取CD 的中点F ，连BF,MF,如下图：可知面MBF// 1A DE ,所以A 对。