新版精选高中数学单元测试试题-不等式专题考试题库(含参考答案)
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不等式单元测试题一、单选题(共12题;共24分)1.(2020高二下·北京期中)若,,则()A. B. C. D.2.(2020高一下·邯郸期中)已知,且.下列不等式中成立的是()A. B. C. D.3.(2020高一下·成都期中)若,则一定有()A. B. C. D.4.(2020高一下·嘉兴期中)设、、,,则下列不等式一定成立的是()A. B. C. D.5.(2020高一下·吉林期中)下列命题中:① ,;② ,;③ ;④ ;正确命题的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 46.(2020高一下·哈尔滨期末)已知,,则的最小值为()A. 8B. 6C.D.7.(2020高一下·太和期末)设正实数满足,则当取得最大值时,的最大值为()A. 1B. 4C.D.8.(2020高一下·丽水期末)已知实数满足,且,则的最小值为()A. B. C. D.9.(2020高一下·宜宾期末)若正数满足,则的最大值为()A. 5B. 6C. 7D. 910.(2020高一下·南昌期末)已知a,,且满足,则的最小值为()A. B. C. D.11.(2020高一下·丽水期末)不等式的解集是()A. 或B. 或C.D.12.(2020高一下·吉林期末)若a<0,则关于x的不等式x2-4ax-5a2>0的解是()A. x>5a或x<-aB. x>-a或x<5aC. 5a<x<-aD. -a<x<5a二、填空题(共4题;共4分)13.(2020高二下·西安期中)比较大小:________ .(用,或填空)14.(2020高一下·温州期末)已知正实数x,y满足,则的最小值是________.15.(2020高一下·宜宾期末)若正数满足,则的最小值为________.16.(2020高一下·哈尔滨期末)不等式的解集为________.三、解答题(共8题;共75分)17.(2020高一下·六安期末)已知函数.(1)当时,求函数的最小值;(2)若存在,使得成立,求实数a的取值范围.18.(2020高一下·大庆期末)已知关于x的不等式.(1)当时,解上述不等式.(2)当时,解上述关于x的不等式19.(2020高一下·太和期末)已知函数.(1)若对任意实数,恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式.20.(2020高一下·宜宾期末)已知函数.(1)当时,解不等式;(2)当时,恒成立,求的取值范围.21.(2020高一下·萍乡期末)(1)解不等式;(2)解关于x的不等式:.22.(2020高一下·成都期末)已知定义在上的函数,其中为常数.(1)求解关于的不等式的解集;(2)若是与的等差中项,求a+b的取值范围.23.(2020高一下·南昌期末)已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离()与速度()的平方和汽车总质量积成正比关系,设某辆卡车不装货物以的速度行驶时,从刹车到停车走了.(Ⅰ)当汽车不装货物以的速度行驶,从刹车到停车所滑行的距离为多少米?.(Ⅱ)如果这辆卡车装着等于车重的货物行驶时,发现前面处有障碍物,这时为了能在离障碍物以外处停车,最大限制时速应是多少?(结果保留整数,设卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过.参考数据:.)24.(2020高一下·重庆期末)已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若关于x的不等式的解集为R,求a的取值范围.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】,又,,所以,所以.故答案为:C【分析】采用作差法比较即可.2.【答案】B【解析】【解答】,且,,.故答案为:B.【分析】由和,得,根据不等式的性质可得选项.3.【答案】C【解析】【解答】由题可得,则,因为, 则, ,则有,所以,即故答案为:C【分析】由题,可得,且,即,整理后即可得到作出判断.4.【答案】C【解析】【解答】对于A,由,则,A不符合题意;对于B,若,则,B不符合题意;对于C,,因为,,所以,即,C符合题意;对于D,,因为,,所以,所以,即,D不符合题意;故答案为:C【分析】利用不等式的性质以及作差法比较大小逐一判断即可.5.【答案】C【解析】【解答】① ,由不等式的加法得,所以该命题正确;② ,是错误的,如:,满足已知,但是不满足,所以该命题错误;③ ,所以,所以该命题正确;④ 所以,所以该命题正确.故答案为:C【分析】①利用不等式的加法法则判断;②可以举反例判断;③利用不等式性质判断;④可以利用作差法判断.6.【答案】C【解析】【解答】∵,,∴,当且仅当即时,等号成立,所以的最小值为.故答案为:C【分析】结合题中的条件利用基本不等式求解的最小值即可.7.【答案】B【解析】【解答】因为,所以,且,则,即,取等号时有:,且;,当且仅当时取得最大值:,故答案为:B.【分析】先利用基本不等式分析取得最大值的条件,然后再去计算的最大值.8.【答案】B【解析】【解答】,当且仅当时取等号故答案为:B【分析】利用1的代换,结合基本不等式求最值.9.【答案】D【解析】【解答】依题意,当且仅当时等号成立,所以的最大值为9.故答案为:D【分析】利用基本不等式求得的最大值.10.【答案】C【解析】【解答】∵,∴.即.当且仅当时取等号.∴的最小值为故答案为:C【分析】利用a和b的关系进行代换,再利用基本不等式即可得出.11.【答案】C【解析】【解答】由得:,,,即不等式的解集为,故答案为:C【分析】由原不等式可化为,直接根据一元二次不等式的解法求解即可.12.【答案】B【解析】【解答】由有所以方程的两个实数根为,因为,所以所以由不等式得,或故答案为:B【分析】利用因式分解求出对应方程的实数根,再比较两个实数根的大小,从而得出不等式的解集.二、填空题13.【答案】<【解析】【解答】解:即故答案为:<【分析】利用作差法比较大小;14.【答案】【解析】【解答】将式子变形为,即,因为,,所以(当且仅当时,等号成立),所以有,即,故,所以,则的最小值是.故答案为:.【分析】由题易得,然后由基本不等式可得,最后可求得的最小值.15.【答案】16【解析】【解答】依题意,当且仅当,即时等号成立.所以的最小值为.故答案为:16【分析】利用基本不等式求得的最小值.16.【答案】{x|2<x<3}【解析】【解答】由,得,从而解得,所以,不等式的解集为,故答案为:.【分析】根据一元二次不等式的解法,即可求得原不等式的解集.三、解答题17.【答案】(1)解:因为,所以,因为,所以,所以当且仅当时,等号成立,所以当时,(2)解:存在,使得成立,等价于当时,由(1)知,所以,,所以.因为,所以,解得,所以实数a的取值范围为【解析】【分析】(1)变形为后,根据基本不等式可得结果;(2)转化为,等价于,等价于,等价于.18.【答案】(1)解:当时,代入可得,解不等式可得,所以不等式的解集为(2)解:关于的不等式.若,当时,代入不等式可得,解得;当时,化简不等式可得,由解不等式可得,当时,化简不等式可得,解不等式可得或,综上可知,当时,不等式解集为,当时,不等式解集为,当时,不等式解集为或【解析】【分析】(1)将代入,结合一元二次不等式解法即可求解.(2)根据不等式,对a分类讨论,即可由零点大小确定不等式的解集.19.【答案】(1)解:当时,恒成立;当时,要使对任意实数x,恒成立,需满足,解得,故实数a的取值范围为(2)解:由不等式得,即.方程的两根是,.①当时,,不等式的解为或;②当时,不等式的解为;③当时,不等式的解为;④当时,,不等式无解;⑤当时,,不等式的解为综上:①当时,不等式的解为或;②当时,不等式的解为;③当时,不等式的解为;④当时,,不等式解集为;⑤当时,不等式的解为【解析】【分析】(1)对a讨论,时不合题意;合题意;,利用判别式小于0解不等式,求交集即可得到所求范围;(2)先将不等式化为,再对参数a的取值范围进行讨论,利用一元二次不等式的解法分别解不等式即可.20.【答案】(1)解:当时,不等式为,即,该不等式解集为.(2)解:由已知得,若时,恒成立,,即,的取值范围为.【解析】【分析】(1)当是,解一元二次不等式求得不等式的解集.(2)利用判别式列不等式,解不等式求得的取值范围.21.【答案】(1)解:原不等式可化为且,由标根法(或穿针引线法)可得不等式的解集为(2)解:原不等式等价于.当时,;当时,,解集为空集;当时,.综上所述,当时,解集为;当时,解集为空集;当时,解集为【解析】【分析】(1)分式不等式用穿根法求解即可.(2)含参数的二次不等式求解,先求解对应方程的实数根,再结合二次函数图象对实数根的大小分类讨论解决即可.22.【答案】(1)解:,整理为,当时,不等式的解集是,当时,不等式的解集是,当时,不等式的解集是;(2)解:由条件可知,即,即,,,,即,解得:,所以a+b的范围是.【解析】【分析】(1)不等式转化为,然后分类讨论解不等式;(2)由条件转化为,再转化为关于a+b的一元二次不等式.23.【答案】解:(Ⅰ)滑行的距离为,汽车总质量为M,时速为,比例常数为k,根据题意可得,将,代入可得,所以,当时,代入上式,可得.(Ⅱ)卡车司机发现障碍物到踩刹车需经过.行驶的路程为,由,可得,解得,因为,所以.所以最大限制时速应是:【解析】【分析】(Ⅰ)设从刹车到停车滑行的距离为,时速为,卡车总质量为M,比例常数为k,然后根据条件求出k的值,得到函数的解析式.然后代入的速度行驶,汽车从刹车到停车所滑行的距离.(Ⅱ)再根据滑行距离到障碍物距离建立不等关系,解之即可求出所求最大限制时速.24.【答案】(1)解:当时,,,故解集为;(2)解:由题知,解得.【解析】【分析】(1)将代入,解二次不等式的解集即可;(2)令即可;。
第三章 章末检测(B)(时间:120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.若a <0,-1<b <0,则有( )A .a >ab >ab 2B .ab 2>ab >a C .ab >a >ab 2D .ab >ab 2>a2.已知x >1,y >1,且14ln x ,14,ln y 成等比数列,则xy ( )A .有最大值eB .有最大值eC .有最小值eD .有最小值e 3.设M =2a (a -2),N =(a +1)(a -3),则( ) A .M >N B .M ≥N C .M <N D .M ≤N4.不等式x 2-ax -12a 2<0(其中a <0)的解集为( ) A .(-3a,4a ) B .(4a ,-3a ) C .(-3,4) D .(2a,6a )5.已知a ,b ∈R ,且a >b ,则下列不等式中恒成立的是( ) A .a 2>b 2B .(12)a <(12)bC .lg(a -b )>0 >1 6.当x >1时,不等式x +1x -1≥a 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A .(-∞,2] B .[2,+∞) C .[3,+∞) D .(-∞,3]7.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x +2, x ≤0-x +2, x >0,则不等式f (x )≥x 2的解集是( )A .[-1,1]B .[-2,2]C .[-2,1]D .[-1,2]8.若a >0,b >0,且a +b =4,则下列不等式中恒成立的是( )>12 +1b ≤1 ≥2 ≤189.设变量x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x -y ≥0,2x +y ≤2,y +2≥0,则目标函数z =|x +3y |的最大值为( )A .4B .6C .8D .1010.甲、乙两人同时从寝室到教室,甲一半路程步行,一半路程跑步,乙一半时间步行,一半时间跑步,如果两人步行速度、跑步速度均相同,则( )A .甲先到教室B .乙先到教室C .两人同时到教室D .谁先到教室不确定11.设M =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c -1,且a +b +c =1 (其中a ,b ,c 为正实数),则M 的取值范围是( )C .[1,8)D .[8,+∞) 12.函数f (x )=x 2-2x +1x 2-2x +1,x ∈(0,3),则( )A .f (x )有最大值74 B .f (x )有最小值-1C .f (x )有最大值1D .f (x )有最小值113.已知t >0,则函数y =t 2-4t +1t的最小值为________________________________________________________________________. 14.对任意实数x ,不等式(a -2)x 2-2(a -2)x -4<0恒成立,则实数a 的取值范围是________.15.若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -y +5≥0,y ≥a ,0≤x ≤2表示的平面区域是一个三角形,则a 的取值范围是________.16.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x =________吨.三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(10分)已知a >0,b >0,且a ≠b ,比较a 2b +b 2a与a +b 的大小.18.(12分)已知a ,b ,c ∈(0,+∞). 求证:(aa +b)·(bb +c)·(cc +a )≤18.19.(12分)若a<1,解关于x的不等式axx-2>1.20.(12分)求函数y=x+22x+5的最大值.21.(12分)如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求B 点在AM上,D点在AN上,且对角线MN过C点,已知AB=3米,AD=2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小并求出最小值.22.(12分)某工厂生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲、乙两种产品所需煤、电力、劳动力、获得利润及每天资源限额(最大供应量)如表所示:第三章 不等式 章末检测答案(B)1.D [∵a <0,-1<b <0, ∴ab >0,ab 2<0. ∴ab >a ,ab >ab 2.∵a -ab 2=a (1-b 2)=a (1+b )(1-b )<0, ∴a <ab 2.∴a <ab 2<ab .] 2.C3.A [∵M -N =2a (a -2)-(a +1)(a -3) =(2a 2-4a )-(a 2-2a -3)=a 2-2a +3 =(a -1)2+2>0.∴M >N .] 4.B [∵x 2-ax -12a 2<0(a <0) ⇔(x -4a )(x +3a )<0 ⇔4a <x <-3a .]5.B [取a =0,b =-1,否定A 、C 、D 选项. 故选B.]6.D [∵x >1,∴x +1x -1=(x -1)+1x -1+1≥ 2x -1·1x -1+1=3.∴a ≤3.] 7.A [f (x )≥x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x +2≥x 2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0-x +2≥x 2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0x 2-x -2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x >0x 2+x -2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0-1≤x ≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0-2≤x ≤1⇔-1≤x ≤0或0<x ≤1 ⇔-1≤x ≤1.]8.D [取a =1,b =3,可验证A 、B 、C 均不正确, 故选D.]9.C [可行域如阴影,当直线u =x +3y 过A (-2,-2)时,u 有最小值(-2)+(-2)×3=-8;过B (23,23)时u 有最大值23+3×23=83.∴u =x +3y ∈[-8,83].∴z =|u |=|x +3y |∈[0,8].故选C.]10.B [设甲用时间T ,乙用时间2t ,步行速度为a ,跑步速度为b ,距离为s ,则T=s 2a +s2b =s 2a +s 2b =s ×a +b 2ab ,ta +tb =s ⇒2t =2s a +b, ∴T -2t =s a +b 2ab -2s a +b =s ×a +b 2-4ab 2ab a +b =s a -b 22ab a +b>0,故选B.]11.D [M =⎝ ⎛⎭⎪⎫1a-1⎝ ⎛⎭⎪⎫1b-1⎝ ⎛⎭⎪⎫1c-1=⎝⎛⎭⎪⎫a +b +c a -1⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b +c b -1⎝ ⎛⎭⎪⎫a +b +c c -1 =⎝⎛⎭⎪⎫b a +ca ·⎝⎛⎭⎪⎫a b +cb ·⎝⎛⎭⎪⎫a c +bc ≥2b a ·ca ·2ab ·c b ·2a c ·bc=8. ∴M ≥8,当a =b =c =13时取“=”.]12.D [∵x ∈(0,3),∴x -1∈(-1,2), ∴(x -1)2∈[0,4),∴f (x )=(x -1)2+1x -12-1≥2x -12·1x -12-1=2-1=1.当且仅当(x -1)2=1x -12,且x ∈(0,3),即x =2时取等号,∴当x =2时,函数f (x )有最小值1.] 13.-2 解析 ∵t >0,∴y =t 2-4t +1t =t +1t-4≥2-4=-2.14.-2<a ≤2解析 当a =2时,-4<0恒成立,∴a =2符合. 当a -2≠0时,则a 应满足:⎩⎪⎨⎪⎧a -2<0Δ=4a -22+16a -2<0解得-2<a <2.综上所述,-2<a ≤2. 15.5≤a <7解析 先画出x -y +5≥0和0≤x ≤2表示的区域,再确定y ≥a 表示的区域.由图知:5≤a <7. 16.20解析 该公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,则需要购买400x次,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,一年的总运费与总存储费用之和为(400x·4+4x )万元,400x ·4+4x ≥160,当1 600x=4x 即x =20吨时,一年的总运费与总存储费用之和最小.17.解 ∵(a 2b +b 2a )-(a +b )=a 2b -b +b 2a -a=a 2-b 2b +b 2-a 2a =(a 2-b 2)(1b -1a )=(a 2-b 2)a -b ab =a -b 2a +b ab又∵a >0,b >0,a ≠b , ∴(a -b )2>0,a -b >0,ab >0,∴(a 2b +b 2a )-(a +b )>0,∴a 2b +b 2a>a +b .18.证明 ∵a ,b ,c ∈(0,+∞), ∴a +b ≥2ab >0,b +c ≥2bc >0,c +a ≥2ac >0,∴(a +b )(b +c )(c +a )≥8abc >0. ∴abca +b b +c c +a ≤18 即(a a +b)·(b b +c)·(cc +a )≤18. 当且仅当a =b =c 时,取到“=”. 19.解 不等式ax x -2>1可化为a -1x +2x -2>0. ∵a <1,∴a -1<0,故原不等式可化为x -21-ax -2<0.故当0<a <1时,原不等式的解集为 {x |2<x <21-a},当a <0时,原不等式的解集为{x |21-a<x <2}. 当a =0时,原不等式的解集为∅.20.解 设t =x +2,从而x =t 2-2(t ≥0), 则y =t2t 2+1. 当t =0时,y =0; 当t >0时,y =12t +1t≤122t ·1t=24. 当且仅当2t =1t ,即t =22时等号成立.即当x =-32时,y max =24.21.解 (1)设DN 的长为x (x >0)米, 则AN =(x +2)米.∵DN AN =DC AM,∴AM =3x +2x , ∴S AMPN =AN ·AM =3x +22x,由S AMPN >32,得3x +22x>32.又x >0,得3x 2-20x +12>0, 解得:0<x <23或x >6,即DN 长的取值范围是(0,23)∪(6,+∞).(2)矩形花坛AMPN 的面积为 y =3x +22x=3x 2+12x +12x=3x +12x+12≥23x ·12x+12=24,当且仅当3x =12x,即x =2时,矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24.故DN 的长为2米时,矩形AMPN 的面积最小,最小值为24平方米.22.解 设此工厂每天应分别生产甲、乙两种产品x 吨、y 吨,获得利润z 万元.依题意可得约束条件:⎩⎪⎨⎪⎧ 9x +4y ≤3604x +5y ≤2003x +10y ≤300x ≥0y ≥0作出可行域如图.利润目标函数z =6x +12y , 由几何意义知,当直线l :z =6x +12y 经过可行域上的点M 时,z =6x +12y 取最大值.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 3x +10y =3004x +5y =200,得x =20,y =24,即M (20,24).答 生产甲种产品20吨,乙种产品24吨,才能使此工厂获得最大利润.。
高一上学期数学单元测试卷一元二次函数、方程和不等式考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、单项选择题(每小题5分,共40分)1.不等式≥的解集是 【 】(A)(B)(C)(D)2.设,,则M与N的大小关系是【】(A)(B)M ≥ N(C)(D)M ≤ N3.已知实数,则以下不等关系正确的是【】(A)(B)(C)(D)4. “”是“一元二次不等式恒成立”的【】(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件5.已知,且,则的最小值为【】(A)5 (B)6 (C)7 (D)86.不等式组的解集为【】(A)(B)(C)(D)7.已知R,则下列说法中错误的是【】(A)≥(B)(C)(D)8.设正数满足,则当取得最大值时,代数式的最大值是【】(A)0 (B)1 (C)(D)3二、多项选择题(每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知不等式的解集为,则下列结论正确的是【】(A)(B)(C)(D)10.设为非零实数,且,则下列不等式恒成立的是【】(A)(B(C)(D)11.给出下列四个条件: ①; ②; ③; ④.其中能成为的充分条件的是【】(A)①(B)②(C)③(D)④12.若,且,则下列不等式恒成立的是【】(A)≥8 (B)≥(C)≥2 (D)≤1第Ⅱ卷 非选择题(共90分)二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知,同时成立,则应满足的条件是__________.14.若不等式的解集为,则__________,_________.(本小题第一空2分,第二空3分)15.已知函数对任意实数,函数值恒大于零,则实数的取值范围是_____________.16.已知,不等式≥0对一切实数恒成立.若R,成立,则的最小值为__________.三、解答题(共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)解下列不等式(组):(1);(2)≤.18.(本题满分12分)已知,且(1)求的最小值;(2)是否存在,使得的值为?并说明理由.19.(本题满分12分)已知命题R ,,命题R ,.(1)若命题为真命题,求实数的取值范围;(2)若命题为真命题,求实数的取值范围;(3)若命题至少有一个为真命题,求实数的取值范围.20.(本题满分12分)如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D 在AN上,且对角线MN过点C,已知AB的长为3米,AD的长为2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.21.(本题满分12分)设.(1)若不等式≥对一切实数恒成立,求实数的取值范围;(2)解关于的不等式(R).22.(本题满分12分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销,在一年内预计销售量Q(万件)与广告费(万元)之间的关系式为(≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元,若该企业产能足够,生产的产品均能售出,且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.(1)试写出年利润W(万元)与年广告费(万元)的关系式;(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大年利润为多少?高一上学期数学单元测试卷一元二次函数、方程和不等式答案解析考生注意: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第二卷(非选择题)两部分,共150分,考试时间120分钟.2.请将各题答案填写在答题卡上.第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、单项选择题(每小题5分,共40分)1.不等式≥的解集是 【 】(A)(B)(C)(D)答案 【 D 】解析本题考查一元二次不等式的解法,属于基础题.∵≥,∴0,∴≥0,解之得:≤0或≥2.∴原不等式的解集为.∴选择答案【 D 】.2.设,,则M与N的大小关系是【】(A)(B)M ≥ N(C)(D)M ≤ N答案 【 A 】解析本题考查作差法比较大小.利用作差法比较大小的一般步骤为:(1)作差;(2)变形: 对差进行变形.(3)判号: 判断差的符号(如果差中含有参数,则需要进行分类讨论).(4)定论: 根据差的符号作出大小判断.即: 作差变形判号定论.作差法的关键在于变形,常用的变形为:因式分解、配方、通分、分子或分母有理化等.∵,∴∵R,恒成立,∴.∴.∴选择答案【 A 】.3.已知实数,则以下不等关系正确的是【】(A)(B)(C)(D)答案 【 C 】解析本题宜采用特殊值法比较大小.∵,取∴.∵∴.∴选择答案【 C 】.4. “”是“一元二次不等式恒成立”的【】(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件答案 【 B 】解析本题考查充分必要条件的判断.方法总结 判断充分必要条件的基本思路(1)先确定条件是什么,结论是什么;(2)尝试用条件推结论,或由结论推条件;(必要时举出反例)(3)指出条件是结论的什么条件.若一元二次不等式恒成立,则有:.显然,由“”不能推出“一元二次不等式恒成立”,但是由“一元二次不等式恒成立”可以推出“”.∴“”是“一元二次不等式恒成立”的必要不充分条件.∴选择答案【 B 】.5.已知,且,则的最小值为【】(A)5 (B)6 (C)7 (D)8答案 【 A 】解析本题考查利用基本不等式求最值.注意利用基本不等式求最值时必须满足三个条件:一正、二定、三相等.∵,且∴.∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值为5.∴选择答案【 A 】.另解 ∵,∴.∴≥.当且仅当,即,等号成立.∴的最小值为5.∴选择答案【 A 】.6.不等式组的解集为【】(A)(B)(C)(D)答案 【 C 】解析本题考查一元二次不等式的解法.解不等式得:;解不等式得:.∴不等式组的解集为.∴选择答案【 C 】.7.已知R,则下列说法中错误的是【】(A)≥(B)(C)(D)答案 【 D 】解析本题考查不等式的基本性质.对于(A),当时,∵,∴;当时,显然.∴≥,故(A)正确;对于(B),∵,∴,∴.故(B)正确;对于(C),∵,∴.∵,∴.∴,∴.根据倒数法则,有.故(C)正确;对于(D),由不能得到,∴不一定成立.故(D)错误.∴选择答案【 D 】.8.设正数满足,则当取得最大值时,代数式的最大值是【】(A)0 (B)1 (C)(D)3答案 【 B 】解析本题考查基本不等式的应用.∵,∴.∵为正数∴≤.当且仅当,即时,等号成立.此时.∴∴当,即时,.∴选择答案【 B 】.二、多项选择题(每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多个选项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得3分,有选错的得0分)9.已知不等式的解集为,则下列结论正确的是【】(A)(B)(C)(D)答案 【 BCD 】解析本题考查一元二次不等式与对应一元二次方程之间的关系.要明白一元二次不等式的解集的端点值就是对应一元二次方程的实数根.∵不等式的解集为∴,方程的两个实数根分别为.由根与系数的关系定理可得:,∴,∴异号,异号且互为相反数.∵,∴,.∴.故(A)错误,(B)、(C)、(D)正确.∴选择答案【 BCD 】.10.设为非零实数,且,则下列不等式恒成立的是【】(A)(B)(C)(D)答案 【 CD 】解析本题考查不等式的基本性质.∵为非零实数,且,∴.对于(A),,当时,,即;当时, ,即.故不恒成立;对于(B),,∴的符号,即的大小关系取决于的符号,共有三种可能,特别地,当互为相反数时,,,此时,故不恒成立;对于(C),,故恒成立;对于(D),,故恒成立.(∵为非零实数,∴恒成立)∴选择答案【 CD 】.11.给出下列四个条件: ①; ②; ③; ④.其中能成为的充分条件的是【】(A)①(B)②(C)③(D)④答案 【 AD 】解析本题考查不等式的基本性质.对于(A),显然.∵,∴,∴.故是的充分条件;对于(B),当时,,∴.当时,,∴.故不是的充分条件;对于(C),,当,即时,.故不是的充分条件;对于(D),∵,∴,∴,∴.故是的充分条件.∴选择答案【 AD 】.12.若,且,则下列不等式恒成立的是【】(A)≥8 (B)≥(C)≥2 (D)≤1答案 【 AB 】解析本题考查基本不等式的应用.对于(A),∵,,∴≥,当且仅当时取等号,故(A)恒成立;(重要结论: ≤≤)对于(B),∵,,∴≤,当且仅当时取等号,∴≥.故(B)恒成立.对于(C),∵,,∴≤,故(C)不恒成立;对于(D),∵,,∴,≥,当且仅当,即时取等号.故(D)不恒成立.∴选择答案【 AB 】.第Ⅱ卷 非选择题(共90分)二、填空题(每小题5分,共20分)13.已知,同时成立,则应满足的条件是__________.答案 或解析本题考查分式不等式的解法.∵,∴,整理得:.它同解于不等式.∵,∴.∴,∴或.∴应满足的条件是或.14.若不等式的解集为,则__________,_________.(本小题第一空2分,第二空3分)答案 .解析本题考查一元二次不等式与相应一元二次方程的关系.∵不等式的解集为∴,一元二次方程的两个实数根分别为.由根与系数的关系定理可得:,解之得:.∴.15.已知函数对任意实数,函数值恒大于零,则实数的取值范围是_____________.答案解析本题考查与一元二次函数、一元二次不等式有关的恒成立问题.本题即R恒成立.令,解之得:.当时,对R恒成立,符合题意;当时,,其解集不是R,不符合题意;当,时,则有:,解之得:.综上所述,实数的取值范围是.16.已知,不等式≥0对一切实数恒成立.若R,成立,则的最小值为__________.答案解析本题考查一元二次不等式恒成立问题、利用基本不等式求最值.∵不等式≥0对一切实数恒成立(显然,)∴,∴≥1.∵R,成立∴方程有实数根.∴≥0,∴≤1.∵≥1,≤1,∴.∵,∴.∴≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值为.三、解答题(共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)17.(本题满分10分)解下列不等式(组):(1);(2)≤.解:(1)解不等式得:或;解不等式得:.∴原不等式组的解集为;(2)原不等式可化为.解不等式≥得:≥3或≤;解不等式18得:∴原不等式的解集为.18.(本题满分12分)已知,且.(1)求的最小值;(2)是否存在,使得的值为?并说明理由.解:(1)∵,∴≥,∴≤.当且仅当时,等号成立.∴≥≥.当且仅当,即时,等号成立.∴的最小值为;(2)∵∴≥当且仅当,即时,等号成立.∵≤∴≥.当且仅当时,等号成立.∴.∵∴不存在,使得的值为.19.(本题满分12分)已知命题R,,命题R,.(1)若命题为真命题,求实数的取值范围;(2)若命题为真命题,求实数的取值范围;(3)若命题至少有一个为真命题,求实数的取值范围.解:(1)∵命题为真命题∴R,恒成立.∴,解之得:.∴实数的取值范围为;(2)∵命题为真命题∴函数有部分图象位于轴下方,即函数图象与轴有两个不同的交点,也即一元二次方程有两个不相等的实数根.∴,解之得:或.∴实数的取值范围为;(3)∵命题至少有一个为真命题∴实数的取值范围为20.(本题满分12分)如图所示,将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN,要求点B在AM上,点D 在AN上,且对角线MN过点C,已知AB的长为3米,AD的长为2米.(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米,则DN的长应在什么范围内?(2)当DN的长为多少时,矩形花坛AMPN的面积最小?并求出最小值.解:(1)设米,则米.∵∴△NDC∽△NAM.∴∴米.∵矩形AMPN的面积大于32平方米,∴,整理得:.解之得:或.∴DN 的长的范围为;(2)设矩形花坛AMPN的面积为平方米,则有:≥.当且仅当,即时,等号成立,取得最小值.∴(平方米).答:当DN的长为2米时,矩形花坛AMPN的面积最小,为24平方米. 21.(本题满分12分)设.(1)若不等式≥对一切实数恒成立,求实数的取值范围;(2)解关于的不等式(R).解:(1)∵≥对一切实数恒成立,∴R,≥0恒成立.当时,≥0,不符合题意;当时,则有:,解之得:≥.综上所述,实数的取值范围是;(2)∵(R)∴∴.当时,,解之得:,∴原不等式的解集为;当时,原不等式可化为.当时,,原不等式同解于,∴原不等式的解集为;当时,原不等式同解于:若,则,∴原不等式的解集为;若,则,,∴原不等式的解集为;若,则,∴原不等式的解集为.综上所述,当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为;当时,原不等式的解集为.22.(本题满分12分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销,在一年内预计销售量Q(万件)与广告费(万元)之间的关系式为(≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元,若该企业产能足够,生产的产品均能售出,且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和.(1)试写出年利润W(万元)与年广告费(万元)的关系式;(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大年利润为多少?解:(1)由题意可得,每年产品的生产成本为万元,每万件的销售价为:万元,即万元.∴该企业的年销售收入为万元.∴(≥0)(万元);(2)∵(≥0)∴≤.当且仅当,即时,等号成立.∴(万元).答: 当年广告费投入7万元时,企业年利润最大,最大年利润为48万元.。
不等式的性质测试一、选择题(本题满分30分,每小题5分)1.若a>b ,则下列不等式(1)a+c>b+c ;(2)a -c>b -c ;(3)ac>bc ;(4)c a >cb (c>0)其中恒成立的不等式个数为 ( )(A )0 (B )1 (C )2 (D )32.设a<b<0,则下列不等式中不能成立的是 ( ) (A )a 1>b 1 (B )b a -1>a1 (C )a >b (D )a 4>b 4 3.设α∈(0,2π),β∈[0,2π],那么2α-3β的范围是( ) (A )(0,65π) (B )(-6π,65π) (C )(0,π) (D )(-6π,π) 4.已知x>y>z ,x+y+z=0,则 ( )(A )xy>yz (B )xz >yz (C )xy>xz (D )x y >z y5.若a ,b ,c ,d ,四个数满足条件:(1)d>c ;(2)a+b =c+d ;(3)a+d<b+c ,则有 ( )(A )b>c>d>a (B )a>d>c>b(C )d>b>a>c (D )b>d>c>a6.设a>b ,则使a 1>b1成立的充要条件是 ( ) (A )b<0<a (B )0<b<a(C )b<a<0 (D )-1<b<0<a<1二、填空题(本题满分8分,每小题4分)7.若60<a<84,28<b<33,则(a -2b )2的取值范围是 。
8.设x>1,-1<y<0,则x ,y ,-x ,-y ,-xy 由小到大的顺序为 。
三、解答题(本题满分37分)9.(本题满分12分)设-2<a<7,1<b<2,求a+b ,a -b ,b a 的范围。
高中数学不等式经典题型专题训练试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________说明:1、本试卷包括第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
满分100分。
考试时间120分钟。
2、考生请将第Ⅰ卷选择题的正确选项填在答题框内,第Ⅱ卷直接答在试卷上。
考试结束后,只收第Ⅱ卷第Ⅰ卷(选择题)一.单选题(共10小题,每题2分,共20分)1.设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,,则a,b,c大小关系()A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b2.已知实数x,y满足条件,则目标函数z=2x-y()A.有最小值0,有最大值6B.有最小值-2,有最大值3C.有最小值3,有最大值6D.有最小值-2,有最大值63.若x是三角形的最小内角,则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是()A.-1B.C.D.4.不等式x2-|x|-2<0的解集是()A.{x|-2<x<2}B.{x|x<-2或x>2}C.{x|-1<x<1}D.{x|x<-1或x>1}5.若不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为(-2,1),则函数y=f(x)的图象为()A.B.C.D.6.设a=0.20.3,b=0.20.2,c=log20.4,则a,b,c的大小关系为()A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.b<c<a7.设0<b<a<1,则下列不等式中成立的是()A.a2<ab<1B.C.ab<b2<1D.2b<2a<28.对任意的锐角α,β,下列不等关系中正确的是()A.sin(α+β)>sinα+sinβB.sin(α+β)>cosα+cosβC.cos(α+β)<sinα+sinβD.cos(α+β)<cosα+cosβ9.若0<m<n,则下列结论正确的是()A.B.2m>2n C.D.log2m>log2n10.设a<b<0,则下列不等式中不成立的是()A.B.C.|a|>-b D.二.填空题(共10小题,每题2分,共20分)11.已知x>-1,y>0且满足x+2y=2,则的最小值为______.12.已知a,b∈R+,且2a+b=1则的最大值是______.13.已知向量,若⊥,则16x+4y的最小值为______.14.若x>0,y>0,且+=1,则x+y的最小值是______.15、在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为______(m).16.已知x>-1,y>0且满足x+2y=2,则的最小值为______.17.若实数a+b=2,a>0,b>0,则的最小值为______.18.若x,y满足约束条件,则z=3x-y的最小值是______.19.若a,b∈R,且4≤a2+b2≤9,则a2-ab+b2的范围是______.20.已知f(x)=,不等式f(x)≥-1的解集是______.三.简答题(共10小题,共60分)21.(6分)已知x>0,y>0,(1)若2x+y=1,求+的最小值.(2)若x+8y-xy=0,求xy的最小值.22.(6分)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca≤;(2)++≥1.23.(6分)已知a,b,c均为正实数,且满足abc=1,证明:(1)a+b+c≥;(2)a2+b2+c2≥24.(6分)设函数f(x)=|x+3|-|x-4|①解不等式f(x)>3;②求函数f(x)的最小值.25.(6分)已知向量=(1+sin2x,sinx-cosx),=(1,sinx+cosx),函数f(x)=•.(Ⅰ)求f(x)的最大值及相应的x的值;(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C所对边,若f()=2,a=2,求△ABC 面积的最大值.26.(6分)27.(4分)已知:x,y,z∈R,x2+y2+z2=1,则x-2y-3z的最大值为______.28.(4分)若a,b,c∈R+,且++=1,求a+2b+3c的最小值.29.(10分)某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成:①原材料费每件50元;②职工工资支出7500+20x元;③电力与机器保养等费用为x2-30x+600元:其中x是该厂生产这种产品的总件数.(I)把每件产品的成本费p(x)(元)表示成产品件数x的函数,并求每件产品的最低成本费;(Ⅱ)如果该厂生产的这种产品的数量x不超过170件且能全部销售,根据市场调查,每件产品的销售价为Q(x)(元),且Q(x)=1240-.试问生产多少件产品,总利润最高?并求出最高总利润.(总利润=总销售额-总的成本)30.(6分)已知定义在R上的函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为a.(1)求a的值;(2)若m,n是正实数,且m+n=a,求+的最小值.参考答案一.单选题(共__小题)1.设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,,则a,b,c大小关系()A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b答案:D解析:解:由题意知,a=sin14°+cos14°==,同理可得,b=sin16°+cos16°=,=,∵y=sinx在(0,90°)是增函数,∴sin59°<sin60°<sin61°,∴a<c<b,故选D.2.已知实数x,y满足条件,则目标函数z=2x-y()A.有最小值0,有最大值6B.有最小值-2,有最大值3C.有最小值3,有最大值6D.有最小值-2,有最大值6答案:D解析:解:画出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示.当目标函数z=2x-y过直线x=3与直线y=0的交点(3,0),目标函数取得最大值6;当目标函数z=2x-y过直线x=0与直线x-y+2=0的交点(0,2)时,目标函数取得最小值-2.故选D.3.若x是三角形的最小内角,则函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值是()A.-1B.C.D.答案:D解析:解:y=sinx+cosx+sinxcosx=sinx(1+cosx)+1+cosx-1=(1+sinx)(1+cosx)-1≤[(1+sinx)2+((1+cosx)2]-1(当且仅当1+sinx=1+cosx时成立,此时sinx=cosx=)即y(max)=+故选D4.不等式x2-|x|-2<0的解集是()A.{x|-2<x<2}B.{x|x<-2或x>2}C.{x|-1<x<1}D.{x|x<-1或x>1}答案:A解析:解:原不等式化为|x|2-|x|-2<0因式分解得(|x|-2)(|x|+1)<0因为|x|+1>0,所以|x|-2<0即|x|<2解得:-2<x<2.故选A5.若不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为(-2,1),则函数y=f(x)的图象为()A.B.C.D.答案:B解析:解:∵不等式f(x)=ax2-x-c>0的解集为(-2,1),∴a<0,且-2,1是对应方程ax2-x-c=0的两个根,∴(-2,0),(1,0)是对应函数f(x)=ax2-x-c与x轴的两个交点,∴对应函数y=f(x)的图象为B.故选B.6.设a=0.20.3,b=0.20.2,c=log20.4,则a,b,c的大小关系为()A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.b<c<a答案:A解析:解:∵函数y=0.2x是减函数,0.3>0.2,故有a=0.20.3<0.20.2=1,又a=0.20.3>0,可得b>a >0.由于函数y=log2x在(0,+∞)上是增函数,故c=log20.4<log21=0,即c<0.综上可得,b>a>c,故选A.7.设0<b<a<1,则下列不等式中成立的是()A.a2<ab<1B.C.ab<b2<1D.2b<2a<2答案:D解析:解:采用特殊值法,取a=,b=.则a2=,b2=,ab=,故知A,C错;对于B,由于函数y=是定义域上的减函数,∴,故B错;对于D,由于函数y=2x是定义域上的增函数,∴2b<2a<2,故D对.故选D.8.对任意的锐角α,β,下列不等关系中正确的是()A.sin(α+β)>sinα+sinβB.sin(α+β)>cosα+cosβC.cos(α+β)<sinα+sinβD.cos(α+β)<cosα+cosβ答案:D解析:解:对于AB中的α,β可以分别令为30°,60°则知道A,B均不成立对于C中的α,β可以令他们都等于15°,则知道C不成立cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ<cosα×1+cosβ×1=cosα+cosβ故选D9.若0<m<n,则下列结论正确的是()A.B.2m>2n C.D.log2m>log2n 答案:C解析:解:观察B,D两个选项,由于底数2>1,故相关的函数是增函数,由0<m<n,∴2m<2n,log2m<log2n,所以B,D不对.又观察A,C两个选项,两式底数满足0<<1,故相关的函数是一个减函数,由0<m<n,∴,所以A不对,C对.故答案为C.10.设a<b<0,则下列不等式中不成立的是()A.B.C.|a|>-b D.答案:D解析:解:∵a<b<0,∴,A正确,-a>-b>0,,B正确,|a|>|b|=-b,C正确;,故D不正确.故选D.二.填空题(共__小题)11.已知x>-1,y>0且满足x+2y=2,则的最小值为______.答案:3解析:解:∵x>-1,y>0且满足x+2y=2,∴x+1>0且x+1+2y=3,∴=()(x+1+2y)=[5++]≥(5+2)=3,当且仅当=即x=0且y=1时取等号,故答案为:3.12.已知a,b∈R+,且2a+b=1则的最大值是______.答案:解析:解:∵2a+b=1,∴4a2+b2=1-4ab,∴S==4ab+2-1,令=t>0,则S=4-,∵2a+b=1,∴1≥2⇒0<t≤故当t=时,S有最大值为:故答案为:.13.已知向量,若⊥,则16x+4y的最小值为______.答案:8解析:解:∵∴4(x-1)+2y=0即4x+2y=4∵=当且仅当24x=22y即4x=2y=2取等号故答案为814.若x>0,y>0,且+=1,则x+y的最小值是______.答案:25解析:解:∵x>0,y>0,且+=1,∴x+y=(x+y)(+)=17++≥17+2=25当且仅当=,即x=5,y=20时取等号,∴x+y的最小值是25,故答案为:25.15、在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为______(m).答案:20解析:解:设矩形高为y,由三角形相似得:=,且x>0,y>0,x<40,y<40,⇒40=x+y≥2,仅当x=y=20m时,矩形的面积s=xy取最大值400m2.故答案为:20.16.已知x>-1,y>0且满足x+2y=2,则的最小值为______.答案:3解析:解:∵x>-1,y>0且满足x+2y=2,∴x+1>0且x+1+2y=3,∴=()(x+1+2y)=[5++]≥(5+2)=3,当且仅当=即x=0且y=1时取等号,故答案为:3.17.若实数a+b=2,a>0,b>0,则的最小值为______.答案:解析:解:∵实数a+b=2,a>0,b>0,则=+=++≥+2=+,当且仅当b=a=4-2时取等号.故答案为:.18.若x,y满足约束条件,则z=3x-y的最小值是______.答案:-4解析:解:由约束条件作出可行域如图,化目标函数z=3x-y为y=3x-z,由图可知,当直线y=3x-z过点C(0,4)时直线在y轴上的截距最大,z有最小值为-4.故答案为:-4.19.若a,b∈R,且4≤a2+b2≤9,则a2-ab+b2的范围是______.答案:[2,]解析:解:∵a,b∈R,且4≤a2+b2≤9;∴设a=rcosθ,b=rsinθ,且2≤r≤3,∴s=a2-ab+b2=r2cos2θ-r2sinθcosθ+r2sin2θ=r2(1-sinθcosθ)=r2(1-sin2θ),由三角函数的图象与性质,得;当sin2θ取最大值1且r取最小值2时,s取得最小值2,当sin2θ取最小值-1且r取最大值3时,s取得最大值;综上,a2-ab+b2的范围是[2,].故答案为:.20.已知f(x)=,不等式f(x)≥-1的解集是______.答案:{x|-4≤x≤2}解析:解:∵已知f(x)=,故由不等式f(x)≥-1可得①,或②.解①可得-4<x≤0,解②可得0<x≤2.综上可得,不等式的解集为{x|-4≤x≤2},故答案为{x|-4≤x≤2}.三.简答题(共__小题)21.已知x>0,y>0,(1)若2x+y=1,求+的最小值.(2)若x+8y-xy=0,求xy的最小值.答案:解:(1)+=(+)(2x+y)=2+++1=3++≥3+2,当且仅当2x2=y2等号成立,∴+的最小值为3+2.(2)∵x+8y-xy=0,∴xy=x+8y≥2,当且仅当x=8y时等号成立.∴≥4,∴xy≥32,∴xy的最小值为32.解析:解:(1)+=(+)(2x+y)=2+++1=3++≥3+2,当且仅当2x2=y2等号成立,∴+的最小值为3+2.(2)∵x+8y-xy=0,∴xy=x+8y≥2,当且仅当x=8y时等号成立.∴≥4,∴xy≥32,∴xy的最小值为32.22.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明:(1)ab+bc+ca≤;(2)++≥1.答案:证明:(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,(当且仅当a=b=c取得等号)由题设可得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,即有3(ab+bc+ca)≤1,则ab+bc+ca≤;(2)+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即有++≥a+b+c.(当且仅当a=b=c取得等号).故++≥1.解析:证明:(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca,(当且仅当a=b=c取得等号)由题设可得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,即有3(ab+bc+ca)≤1,则ab+bc+ca≤;(2)+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),即有++≥a+b+c.(当且仅当a=b=c取得等号).故++≥1.23.已知a,b,c均为正实数,且满足abc=1,证明:(1)a+b+c≥;(2)a2+b2+c2≥.答案:证明:∵a,b,c∈R+∴a+b≥2,b+c≥2,a+c≥2∴2a+2b+2c≥2+2+2∴a+b+c≥++∵abc=1,∴a+b+c≥++;(2)∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac,∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac,∵ab+bc+ac=≥=++,∴a2+b2+c2≥++.解析:证明:∵a,b,c∈R+∴a+b≥2,b+c≥2,a+c≥2∴2a+2b+2c≥2+2+2∴a+b+c≥++∵abc=1,∴a+b+c≥++;(2)∵a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,∴2a2+2b2+2c2≥2ab+2bc+2ac,∴a2+b2+c2≥ab+bc+ac,∵ab+bc+ac=≥=++,∴a2+b2+c2≥++.24.设函数f(x)=|x+3|-|x-4|①解不等式f(x)>3;②求函数f(x)的最小值.答案:解:①不等式f(x)>3,即|x+3|-|x-4|>3.而|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差,数轴上的2对应点到-3对应点和4对应点的距离之差为3,故不等式的解集为{x|x>2}.…(3分)②f(x)=|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差,可得函数f(x)的最小值为-7.(7分)解析:解:①不等式f(x)>3,即|x+3|-|x-4|>3.而|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差,数轴上的2对应点到-3对应点和4对应点的距离之差为3,故不等式的解集为{x|x>2}.…(3分)②f(x)=|x+3|-|x-4|表示数轴上的x对应点到-3对应点和4对应点的距离之差,可得函数f(x)的最小值为-7.(7分)25.已知向量=(1+sin2x,sinx-cosx),=(1,sinx+cosx),函数f(x)=•(Ⅰ)求f(x)的最大值及相应的x的值;(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分别是三个内角A,B,C所对边,若f()=2,a=2,求△ABC 面积的最大值.答案:解:(Ⅰ)∵=(1+sin2x,sinx-cosx),=(1,sinx+cosx),∴f(x)=•=1+sin2x+sin2x-cos2x,=1+sin2x-cos2x,=1+sin(2x-),∴当2x-=2kπ+即x=+kπ,k∈Z时,函数取得最大值1+.(Ⅱ)由(I)知f()=2时,sin(A-)=,∴A-=2kπ+或A-=2kπ+,即A=+2kπ或A=π+2kπ,k∈Z,∵A是三角形的一个内角,∴A=,即△ABC是直角三角形.∵a=2,∴b2+c2=4,∴S△ABC=bc≤=1(当且仅当b=c=时,取得最大值),∴△ABC面积的最大值为1.解析:解:(Ⅰ)∵=(1+sin2x,sinx-cosx),=(1,sinx+cosx),∴f(x)=•=1+sin2x+sin2x-cos2x,=1+sin2x-cos2x,=1+sin(2x-),∴当2x-=2kπ+即x=+kπ,k∈Z时,函数取得最大值1+.(Ⅱ)由(I)知f()=2时,sin(A-)=,∴A-=2kπ+或A-=2kπ+,即A=+2kπ或A=π+2kπ,k∈Z,∵A是三角形的一个内角,∴A=,即△ABC是直角三角形.∵a=2,∴b2+c2=4,∴S△ABC=bc≤=1(当且仅当b=c=时,取得最大值),∴△ABC面积的最大值为1.26、解:由柯西不等式:(1+3+5)²≤(a+b+c)()因为:a+b+c=12所以(1+3+5)²≤12*()81≤12*()≤当且仅当==时取等号即:最小值为27.已知:x,y,z∈R,x2+y2+z2=1,则x-2y-3z的最大值为______.答案:解:由已知x,y,z∈R,x2+y2+z2=1,和柯西不等式(a2+b2+c2)(e2+f2+g2)≥(ae+bf+cg)2则构造出[12+(-2)2+(-3)2](x2+y2+z2)≥(x-2y-3z)2.即:(x-2y-3z)2≤14即:x-2y-3z的最大值为.故答案为.解析:解:由已知x,y,z∈R,x2+y2+z2=1,和柯西不等式(a2+b2+c2)(e2+f2+g2)≥(ae+bf+cg)2则构造出[12+(-2)2+(-3)2](x2+y2+z2)≥(x-2y-3z)2.即:(x-2y-3z)2≤14即:x-2y-3z的最大值为.故答案为.28.若a,b,c∈R+,且,求a+2b+3c的最小值.答案:解:∵a,b,c∈R+,,∴=1+1+1,当且仅当a=2b=3c=3时取等号.即a+2b+3c≥9,∴a+2b+3c的最小值为9.解析:解:∵a,b,c∈R+,,∴=1+1+1,当且仅当a=2b=3c=3时取等号.即a+2b+3c≥9,∴a+2b+3c的最小值为9.29.某工厂生产一种产品的成本费共由三部分组成:①原材料费每件50元;②职工工资支出7500+20x元;③电力与机器保养等费用为x2-30x+600元:其中x是该厂生产这种产品的总件数.(I)把每件产品的成本费p(x)(元)表示成产品件数x的函数,并求每件产品的最低成本费;(Ⅱ)如果该厂生产的这种产品的数量x不超过170件且能全部销售,根据市场调查,每件产品的销售价为Q(x)(元),且Q(x)=1240-.试问生产多少件产品,总利润最高?并求出最高总利润.(总利润=总销售额-总的成本)答案:解:(I)P(x)=50++=+x+40.由基本不等式得P(x)≥2+40=220.当且仅当=x,即x=90时,等号成立.所以P(x)=+x+40.每件产品的最低成本费为220 元.(Ⅱ)设总利润为y=f(x)=xQ(x)-xP(x)=,f′(x)==(x-100)(x+120)当0<x<100时,f′(x)>0,当x>100时,f′(x)<0.所以f(x)在(0,100)单调递增,在(100,170)单调递减,所以当x=100时,ymax=f(100)=故生产100件产品时,总利润最高,最高总利润为.解析:解:(I)P(x)=50++=+x+40.由基本不等式得P(x)≥2+40=220.当且仅当=x,即x=90时,等号成立.所以P(x)=+x+40.每件产品的最低成本费为220 元.(Ⅱ)设总利润为y=f(x)=xQ(x)-xP(x)=,f′(x)==(x-100)(x+120)当0<x<100时,f′(x)>0,当x>100时,f′(x)<0.所以f(x)在(0,100)单调递增,在(100,170)单调递减,所以当x=100时,ymax=f(100)=故生产100件产品时,总利润最高,最高总利润为.30.已知定义在R上的函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为a.(1)求a的值;(2)若m,n是正实数,且m+n=a,求+的最小值.答案:解:(1)由|x-1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点-2的距离之和,如图:则x在[-2,1]上时,函数f(x)=|x-1|+|x+2|取得最小值a=3.即a=3.(2)由题意,m+n=3,则+=+=+++=1++≥1+2=1+.(当且仅当=时,等号成立).即+的最小值为1+.解析:解:(1)由|x-1|+|x+2|的几何意义表示了数轴上点x到点1与到点-2的距离之和,如图:则x在[-2,1]上时,函数f(x)=|x-1|+|x+2|取得最小值a=3.即a=3.(2)由题意,m+n=3,则+=+=+++=1++≥1+2=1+.(当且仅当=时,等号成立).即+的最小值为1+.。
高中数学必修五第三章单元测试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出以下四个命题:①若a >b ,则1a <1b; ②若ac 2>bc 2,则a >b ;③若a >|b |,则a >b ; ④若a >b ,则a 2>b 2. 其中正确的是( )A .②④B .②③C .①②D .①③2.设a ,b ∈R ,若a -|b |>0,则下列不等式中正确的是( ) A .b -a >0 B .a 3+b 2<0 C .b +a >0D .a 2-b 2<03.设集合U =R ,集合M ={x |x >1},P ={x |x 2>1},则下列关系中正确的是( )A .M =PB .PMC .MP D .∁U M ∩P =∅4.设集合A ={x |x >3},B ={x |x -1x -4<0},则A ∩B =( )A .∅B .(3,4)C .(-2,1)D .(4,+∞)5.在下列函数中,最小值是2的是( )A .y =x 2+2xB .y =x +2x +1(x >0)C .y =sin x +csc x ,x ∈(0,π2)D .y =7x +7-x6.已知log a (a 2+1)<log a 2a <0,则a 的取值范围是( ) A .(0,1) B .(12,1)C .(0,12)D .(1,+∞)7.已知点P (x ,y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -2≤0,y -1≤0,x +2y -2≥0表示的平面区域内运动,则z =x -y 的取值范围是( )A .[-2,-1]B .[-2,1]C .[-1,2]D .[1,2]8.不等式(x -2y +1)(x +y -3)<0表示的区域为( )9.f (x )=ax 2+ax -1在R 上满足f (x )<0,则a 的取值范围是( ) A .(-∞,0] B .(-∞,-4) C .(-4,0)D .(-4,0]10.由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y +1≤0,x +y +2≥0,y ≥0组成的平面区域的面积为( )A .2B .1C.4 D.1 211.函数y=3x2+6x2+1的最小值是( )A.32-3 B.-3 C.6 2 D.62-312.设a>0,b>0.若3是3a与3b的等比中项,则1a+1b的最小值为( )A.8 B.4C.1 D.1 4二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上)13.点(-2,t)在直线2x-3y+6=0的上方,则t的取值范围是________.14.函数y=13-2x-x2的定义域是________.15.如下图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm2(图中阴影部分),上下空白各2 dm,左右空白各1 dm,则四周空白部分面积的最小值是________dm2.16.已知当x >0时,不等式x 2-mx +4>0恒成立,则实数m 的取值范围是________.三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知A ={x |x 2-3x +2≤0},B ={x |x 2-(a +1)x +a ≤0}. (1)若AB ,求a 的取值范围;(2)若B ⊆A ,求a 的取值范围.18.(12分)已知x >0,y >0,且1x +9y=1,求x +y 的最小值.19.(12分)已知a ,b ,c 都是正数,且a +b +c =1. 求证:(1-a )(1-b )(1-c )≥8abc .20.(12分)某汽车公司有两家装配厂,生产甲、乙两种不同型号的汽车,若A厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车;B厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车,问这两家工厂各工作几小时,才能使所费的总工时最少?21.(12分)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/时)与汽车的平均速度v(千米/时)之间的函数关系为y=144v(v>0).v2-58v+1 225(1)在该时段内,当汽车的平均速度v为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内?22.(12分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品,经测算,对于函数f(x)和g(x),当甲公司投入x万元作宣传时,若乙公司投入的宣传费小于f(x)万元,则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险,否则没有失败的风险;当乙公司投入x万元作宣传时,若甲公司投入的宣传费小于g(x)万元,则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险,否则没有失败的风险.(1)试解释f(0)=10,g(0)=20的实际意义;(2)设f (x )=14x +10,g (x )=x +20,甲、乙公司为了避免恶性竞争,经过协商,同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用,问甲、乙两公司应投入多少宣传费?高中数学必修五第三章单元测试题《不等式》参考答案一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.给出以下四个命题:①若a >b ,则1a <1b; ②若ac 2>bc 2,则a >b ;③若a >|b |,则a >b ; ④若a >b ,则a 2>b 2. 其中正确的是( )A .②④B .②③C .①②D .①③答案 B2.设a ,b ∈R ,若a -|b |>0,则下列不等式中正确的是( ) A .b -a >0 B .a 3+b 2<0 C .b +a >0 D .a 2-b 2<0 答案 C解析 由a -|b |>0⇒|b |<a ⇒-a <b <a ⇒a +b >0,故选C.3.设集合U =R ,集合M ={x |x >1},P ={x |x 2>1},则下列关系中正确的是( )A .M =PB .P MC .MP D .∁U M ∩P =∅答案 C4.设集合A ={x |x >3},B ={x |x -1x -4<0},则A ∩B =( )A .∅B .(3,4)C .(-2,1)D .(4,+∞)答案 B解析 ∵x -1x -4<0⇔(x -1)(x -4)<0,∴1<x <4,即B ={x |1<x <4},∴A ∩B =(3,4),故选B.5.在下列函数中,最小值是2的是( )A .y =x 2+2xB .y =x +2x +1(x >0) C .y =sin x +csc x ,x ∈(0,π2)D .y =7x +7-x 答案 D解析 y =x 2+2x 的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞);y =x +2x +1=x +1+1x +1>2(x >0);y =sin x +csc x =sin x +1sin x>2(0<sin x <1);y =7x +7-x ≥2(当且仅当x =0时取等号).6.已知log a (a 2+1)<log a 2a <0,则a 的取值范围是( ) A .(0,1) B .(12,1)C .(0,12)D .(1,+∞)答案 B7.已知点P (x ,y )在不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x -2≤0,y -1≤0,x +2y -2≥0表示的平面区域内运动,则z =x -y 的取值范围是( )A .[-2,-1]B .[-2,1]C .[-1,2]D .[1,2]答案 C解析 画可行域如图:当直线y =x -z 过A 点时,z min =-1. 当直线y =x -z 过B 点时,z max =2. ∴z ∈[-1,2].8.不等式(x -2y +1)(x +y -3)<0表示的区域为( )答案 C9.f (x )=ax 2+ax -1在R 上满足f (x )<0,则a 的取值范围是( ) A .(-∞,0] B .(-∞,-4) C .(-4,0) D .(-4,0]答案 D10.由⎩⎪⎨⎪⎧x +2y +1≤0,x +y +2≥0,y ≥0组成的平面区域的面积为( )A .2B .1C .4D.12答案 D 11.函数y =3x 2+6x 2+1的最小值是( ) A .32-3B .-3C .6 2D .62-3答案 D 12.设a >0,b >0.若3是3a 与3b 的等比中项,则1a +1b的最小值为( ) A .8B .4C .1D.14 答案 B解析 3是3a 与3b 的等比中项⇒3a ·3b =3a +b =3⇒a +b =1,∵a >0,b >0,∴ab ≤a +b 2=12⇒ab ≤14. ∴1a +1b =a +b ab =1ab ≥114=4. 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,把答案填在题中的横线上)13.点(-2,t )在直线2x -3y +6=0的上方,则t 的取值范围是________.答案 (23,+∞) 14.函数y =13-2x -x2的定义域是________. 答案 {x |-3<x <1}15.如下图,有一张单栏的竖向张贴的海报,它的印刷面积为72 dm 2(图中阴影部分),上下空白各2 dm ,左右空白各1 dm ,则四周空白部分面积的最小值是________dm 2.答案 56解析 设阴影部分的高为x dm ,宽为72xdm ,则四周空白部分面积是y dm 2,由题意,得y =(x +4)(72x +2)-72=8+2(x +144x )≥8+2×2x ×144x =56.16.已知当x >0时,不等式x 2-mx +4>0恒成立,则实数m 的取值范围是________.答案 (-∞,4)解析 由题意得当x >0时,恒有m <x +4x 成立.设f (x )=x +4x,x >0,则有f (x )=x +4x ≥2x ×4x =4,当且仅当x =4x ,即x =2时,等号成立.所以f (x )=x +4x ,x >0的最小值是4.所以实数m 的取值范围是(-∞,4).三、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知A ={x |x 2-3x +2≤0},B ={x |x 2-(a +1)x +a ≤0}.(1)若A B ,求a 的取值范围;(2)若B ⊆A ,求a 的取值范围.答案 (1)(2,+∞) (2)[1,2]18.(12分)已知x >0,y >0,且1x +9y=1,求x +y 的最小值. 答案 16解析 由于x >0,y >0,1x +9y=1, 所以x +y =(x +y )(1x +9y )=y x +9x y+10 ≥2y x ·9x y +10=16. 当且仅当y x =9x y 时,等号成立,又由于1x +9y=1. 所以当x =4,y =12时,(x +y )min =16.19.(12分)已知a ,b ,c 都是正数,且a +b +c =1.求证:(1-a )(1-b )(1-c )≥8abc .证明 ∵a 、b 、c 都是正数,且a +b +c =1,∴1-a =b +c ≥2bc >0,1-b =a +c ≥2ac >0,1-c =a +b ≥2ab >0.∴(1-a )(1-b )(1-c )≥2bc ·2ac ·2ab =8abc .∴原不等式成立.20.(12分)某汽车公司有两家装配厂,生产甲、乙两种不同型号的汽车,若A 厂每小时可完成1辆甲型车和2辆乙型车;B 厂每小时可完成3辆甲型车和1辆乙型车.今欲制造40辆甲型车和20辆乙型车,问这两家工厂各工作几小时,才能使所费的总工时最少?解析 设A 厂工作x 小时,B 厂工作y 小时,总工作时数为t 小时,则目标函数t =x +y ,x ,y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x +3y ≥40,2x +y ≥20,x ≥0,y ≥0.可行域如图所示,而符合题意的解为此内的整点,于是问题变为要在此可行域内,找出整点(x ,y ),使t =x +y 的值最小.由图知当直线l :y =-x +t 过Q 点时,纵截距t 最小.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x +3y =40,2x +y =20,得Q (4,12).答:A 厂工作4小时,B 厂工作12小时,可使所费的总工时最少.21.(12分)经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为y =144v v 2-58v +1 225(v >0). (1)在该时段内,当汽车的平均速度v 为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(2)若要求在该时段内车流量超过9千辆/时,则汽车的平均速度应在什么范围内?思路分析 (1)利用基本不等式求最大车流量,(2)转化为解不等式.解析 (1)依题意,有y =144v +1 225v-58≤1442 1 225-58=12, 当且仅当v =1 225v,即v =35时等号成立, ∴y max =12,即当汽车的平均速度v 为35千米/时,车流量最大为12.(2)由题意,得y =144v v 2-58v +1225>9. ∵v 2-58v +1225=(v -29)2+384>0,∴144v >9(v 2-58v +1225).∴v 2-74v +1225<0.解得25<v <49.即汽车的平均速度应在(25,49)内.22.(12分)甲、乙两公司同时开发同一种新产品,经测算,对于函数f (x )和g (x ),当甲公司投入x 万元作宣传时,若乙公司投入的宣传费小于f (x )万元,则乙公司对这一新产品的开发有失败的风险,否则没有失败的风险;当乙公司投入x 万元作宣传时,若甲公司投入的宣传费小于g (x )万元,则甲公司对这一新产品的开发有失败的风险,否则没有失败的风险.(1)试解释f (0)=10,g (0)=20的实际意义;(2)设f (x )=14x +10,g (x )=x +20,甲、乙公司为了避免恶性竞争,经过协商,同意在双方均无失败风险的情况下尽可能少地投入宣传费用,问甲、乙两公司应投入多少宣传费?解析 (1)f (0)=10表示当甲公司不投入宣传费时,乙公司要避免新产品的开发有失败风险,至少要投入10万元宣传费;g (0)=20表示当乙公司不投入宣传费时,甲公司要避免新产品的开发有失败的风险,至少要投入20万元宣传费.(2)设甲公司投入宣传费x 万元,乙公司投入宣传费y 万元,依题意,当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ y ≥f x =14x +10, ①x ≥g y =y +20, ②成立,双方均无失败的风险.由①②得y ≥14(y +20)+10⇒4y -y -60≥0, ∴(y -4)(4y +15)≥0.∵4y +15>0,∴y ≥4.∴y ≥16.∴x ≥y +20≥4+20=24.∴x min =24,y min =16.即要使双方均无失败风险,甲公司至少要投入24万元,乙公司至少要投入16万元.。
2019年高中数学单元测试试题 不等式专题(含答案)学校:__________第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1.某公司招收男职员x 名,女职员y 名,x 和y 须满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥-.112,932,22115x y x y x 则z =10x +10y 的最大值是( )(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95(2006山东理)2.在平面直角坐标系中,若不等式组101010x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩(α为常数)所表示的平面区域内的面积等于2,则a 的值为A. -5B. 1C. 2D. 3(2009福建文)解析解析 如图可得黄色即为满足010101=+-≥-+≤-y ax y x x 的可行域,而与的直线恒过(0,1),故看作直线绕点(0,1)旋转,当a=-5时,则可行域不是一个封闭区域,当a=1时,面积是1;a=2时,面积是23;当a=3时,面积恰好为2,故选D.3.不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域的面积等于A.32 B. 23 C. 43 D. 34 4.设2()f x x ax b =++,且1(1)2,2(1)4f f ≤-≤≤≤,则点(,)a b 在aOb 平面上的区域的面积是--------------------------------------------------------------------------( )(A )12 (B )1 (C )2 (D )92第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题5.设变量x ,y 满足约束条件0,1,21x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩目标函数5z x y =+的最大值为 。
6.在条件22)1()1(,12020-+-=⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤≤≤≤y x Z y x y x 下的最大值为 .7.若0,0x y ≥≥,且11x +≤,则z x y =-的最大值是8.)35lg(lg x x y -+=的定义域是______________.9.若不等式2122x x mx -+>的解集为{|02}x x <<,则实数m =_________ 10.如果实数x ,y 满足不等式组110220x x y x y ≥⎧⎪-+≤⎨⎪--≤⎩,则z=x+2y 最小值为 .11.过定点P (1,2)的直线在x y 轴与轴正半轴上的截距分别为a b 、,则422a b +的最小值为 .12.设[]x 表示不超过x 的最大整数,则x 的不等式[][]03652≤--x x 的解集是 .13.若c b a ,,>0,且c b a bc ac ab a ++=+++2,42则的最小值为 .14.设,2,,2,x y x y z y x y -≥=<⎧⎨⎩若-2≤x ≤2,-2≤y ≤2,则z 的最小值为 ▲15.设12()1f x x=+,11()[()]n n f x f f x +=,且(0)1(0)2n n n f a f -=+,则2014a = .16.若关于x 的不等式22(13)x ax -≤的解集中的整数恰有3个,那么实数a 的取值范围是 . 17.设,x y 满足约束条件3123x y x y x y +≥⎧⎪-≥-⎨⎪-≤⎩,若目标函数()00>>+=b ,a by ax z 的值是最大值为10,则ba 45+的最小值为 .8 18.定义在区间[,]ab 的长度为b-a,用[]x 表示不超过x的最大整数.设()[]([])f x x x x =-.()1,g x x =-则02012x ≤≤时,不等式()()f x g x ≤的解集的区间长度为 ▲19.设,x y 满足约束条件:,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩;则2z x y =-的取值范围为20.若221log 01a a a+<+,则a 的取值范围为 . 21.设*,N n c b a ∈>>,且ca n cb b a -≥-+-11恒成立,则n 的最大值为___▲___. 22.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≥-≤-1122y x y x y x ,则y x z 64+=的最大值为 .23.不等式121x a x+>-+对于一切非零实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 ☆ . 24.不等式组600,3x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩表示的平面区域的面积为 ▲ .25. 若不等式01222>-+-k x x 对R x ∈恒成立,则实数k 的取值范围为 .26.对于满足0≤p ≤4的所有实数p ,使不等式243x px x p +>+-都成立的x 的取值范围是27.若不等式22+t t ≤a ≤22t t +,在]2,0(∈t 上恒成立,则a 的取值范围是 ▲ . 三、解答题28.已知关于x 的不等式12x x a ---<恒成立,求实数a 的取值范围29.设函数f (x )|1||1|2--+=x x ,求使f (x )≥22的x 取值范围.30.已知b x a a x x f +-+-=)5(3)(2(1)当不等式0)(>x f 的解集为)3,1(-时,求实数b a ,的值;(2)若对任意实数a ,0)2(<f 恒成立,求实数b 的取值范围;(3)设b 为已知数,解关于a 的不等式0)1(<f .。
2019年高中数学单元测试试题 不等式专题(含答案)学校:__________第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1.某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品,由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可加工出7千克A 产品,每千克A 一箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B 产品,每千克B 乙两车间每天共能完成至多70不得超过480(A )甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱 (B )甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱 (C )甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱 (D )甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱(2010四川理7)解析:设甲车间加工原料x 箱,乙车间加工原料y 箱则70106480,x y x y x y N +≤⎧⎪+≤⎨⎪∈⎩目标函数z =280x +300y 结合图象可得:当x =15,y =55时z 最大 本题也可以将答案逐项代入检验.2.已知()f x 是R 上的减函数,则满足1()(1)f f x>的实数x 的取值范围是( ) A .(,1)-∞B .(1,)+∞C .(,0)(0,1)-∞D .(,0)(1,)-∞+∞(2010福建文7)3.不等式|2x 2-1|≤的解集为( )(A ){|11}x x -≤≤ (B ){|22}x x -≤≤ (C ){|02}x x ≤≤ (D ){|20}x x -≤≤(2004安徽春季理)(2)第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题4.若函数f(x)=3472+++kx kx kx 的定义域为R,则k的取值范围为_____5.不等式()32log 2+-x x a ≤1-在R x ∈上恒成立,则实数a 的取值范围是6.动点(,)P a b 在不等式组2000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩表示的平面区域内部及其边界上运动,则31a b w a +-=-的取值范围是 .7.关于x 的方程0132=++x ax 的一根大于1,另一根小于1,则实数a 的取值范围是 ;8.已知点(-3,-1)和(4,-6)在直线3x -2y -a=0的同侧,则a 的取值范围为 ___▲____.9.函数x x x f cos sin )(-=的最大值为10.若方程2(4)50m x x m -++=有一个正根、一个负根,并且两根的和为非负数,则实数m 的取值范围是_________11.已知02x π<<,且t 是大于0的常数,1()sin 1sin tf x x x=+-的最小值为9,则t =_________。
2019年高中数学单元测试试题 不等式专题(含答案)学校:__________第I 卷(选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题1.1 .(2013年高考湖南卷(理))若变量,x y 满足约束条件211y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩,2x y+则的最大值是 ( )A .5-2B .0C .53D .522.按照某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为a 元,如果他卖出该产品的单价为m 元,则他的满意度为m m a+;如果他买进该产品的单价为n 元,则他的满意度为n n a+.如果一个人对两种交易(卖出或买进)的满意度分别为1h 和2h ,则他对这两种交易的现假设甲生产A 、B 两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A 、B 两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A 、B 的单价分别为A m 元和B m 元,甲买进A 与卖出B 的综合满意度为h 甲,乙卖出A 与买进B 的综合满意度为h 乙 (1)求h 甲和h 乙关于A m 、B m 的表达式;当35A B m m =时,求证:h 甲=h 乙; (2)设35AB m m =,当A m 、B m 分别为多少时,甲、乙两人的综合满意度均最大?最大的综合满意度为多少?(3)记(2)中最大的综合满意度为0h ,试问能否适当选取A m 、B m 的值,使得0h h ≥甲和0h h ≥乙同时成立,但等号不同时成立?试说明理由。
3.设,x y 满足24,1,22,x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z x y =+(A )有最小值2,最大值3 (B )有最小值2,无最大值(C )有最大值3,无最小值 (D )既无最小值,也无最大值 (2009宁夏海南文)4.设f (x )= 1232,2,log (1),2,x e x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩ 则不等式f (x )>2的解集为 。
5.如果x ,y 是实数,那么“xy <0”是“|x -y |=|x |+|y |”的 A .充分条件但不是必要条件 B .必要条件但不是充分条件C .充要条件D .非充分条件非必要条件6.x 取一切实数均可使3472+++kx kx kx 有意义, 则实数k 的取值范围是_________第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题7.设a b 、是实数,2216ab+=,则a b +的最大值是________________8.若存在实数[]1,1p ∈-,使得不等式()2330px p x +-->成立,则实数x 的取值范围为 13x x <->或 。
高中数学不等式单元测试题含有详细答案Revised at 2 pm on December 25, 2020.高中数学不等式综合测试题一、选择题(在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.共60分)1.(文)设a b <,c d <,则下列不等式中一定成立的是( )A .d b c a ->-B .bd ac >C .d b c a +>+D .c b d a +>+(理)已知a <0,-1<b <0,那么( )A .2a ab ab >>B .2ab ab a >>C .2ab ab a >>D .2ab a ab >>2.“0>>b a ”是“222b a ab +<”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( )A .RB .φC .),(+∞a bD .(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能...是( )A .φB .RC .),(+∞a bD .),(ab --∞ 4.不等式022>++bx ax 的解集是)31,21(-,则b a -的值等于( ) A .-14 B .14 C .-10 D .105.(文)不等式|1|2x -<的解集是( )A .{|03}x x ≤<B .{|22}x x -<<C .{|13}x x -<<D .{|1,3}x x x <->(理)不等式||x x x <的解集是( )A .{|01}x x <<B .{|11}x x -<<C .{|01x x <<或1}x <-D .{|10,1}x x x -<<>6.(文)若0b a <<,则下列结论不正确...的是( ) A .11a b < B .2b ab < C .2>+b a a b D .||||||b a b a +>+(理)若011<<b a ,则下列结论不正确...的是( ) A .22b a <B .2b ab <C . 2>+ba ab D .||||||b a b a +>+ 7.若13)(2+-=x x x f ,12)(2-+=x x x g ,则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A .)()(x g x f > B .)()(x g x f = C .)()(x g x f < D .随x 值变化而变化8.下列各式中最小值是2的是( )A .y x +x yB .4522++x x C .tan x +cot xD .x x -+229.下列各组不等式中,同解的一组是( )A .02>x 与0>xB .01)2)(1(<-+-x x x 与02<+x C .0)23(log 21>+x 与123<+x D .112≤--x x 与112≤--x x 10.(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,那么a 的取值范围是( )A .}8|{<a aB .}8|{>a aC .}8|{≥a aD .}8|{≤a a(理)函数y =log a (x +3)-1(a >0,a ≠1)的图象恒过定点A ,若点A 在函数1mx y n n=--的图像上,其中mn >0,则n m 21+的最小值为( )A .8B .6C .4D .211.(文)已知()f x 是奇函数,且在(-∞,0)上是增函数,(2)0f =,则不等式()0xf x <的解集是( )A .{|20,2}x x x -<<>或B .{|2,02}x x x <-<<或C .}22|{>-<x x x 或D .{|20,02}x x x -<<<<或(理)已知()f x 是奇函数,且在(-∞,0)上是增函数,(2)0f =,则不等式2(1)()0x f x -<的解集是( )A .{|10}x x -<<B .{|2,12}x x x <-<<或C .{|2112}x x x -<<<<或D .{|210,12}x x x x <--<<<<或或12.(文)已知不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )A .16625B .16C .254D .18 (理)已知不等式()()25x ay x y xy ++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为( )A .16625B .16C .254D .18 二、填空题(每小题4分,共16分)13.(文)若+∈R b a ,,则b a 11+与ba +1的大小关系是____________. (理)不等式|21|1x x --<的解集是_____________.14.函数121lg +-=x x y 的定义域是_____________. 15.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x 吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x 万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x =_____________吨.16.已知0()1,0x x f x x ≥⎧=⎨-<⎩,,则不等式3)2(≤+x f 的解集____________. 三、解答题(共74分)17. 解不等式122log 1815x x x ⎛⎫≤- ⎪-+⎝⎭18.解关于x 的不等式22x a x -+>--. 20.(本小题满分12分)(文)对任意[1,1]x ∈-,函数a x a x x f 220)4()(2-+-+=的值恒大于零,求a 的取值范围.19.如图所示,校园内计划修建一个矩形花坛并在花坛内装置两个相同的喷水器.已知喷水器的喷水区域是半径为5m 的圆.问如何设计花坛的尺寸和两个喷水器的位置,才能使花坛的面积最大且能全部喷到水?22.(本小题满分14分)已知函数b ax x x f ++=2)(.(1)若a =0,且对任意实数x ,都有a x x f +≥2)(,求b 的取值范围;(2)当]1,1[-∈x 时,)(x f 的最大值为M ,求证:1+≥b M ;(3)若)21,0(∈a ,求证:对于任意的]1,1[-∈x ,1|)(|≤x f 的充要条件是.142a b a -≤≤- 参考答案一、 选择题1、(文)C (理)C2、A3、(文)D (理)D4、C5、(文)C (理)C6、(文)D (理)D7、A8、D9、B10、(文)A (理)A11、(文)D (理)D12、(文)B (理)B二、 填空题13、ba b a +>+111 14、{|02}x x << 15、)21,1(- 16、20 17]3,(-∞三、 解答题18、解:原不等式等价于:21582≥+-x x x 3250)5)(3()52)(6(<≤⇔≤----⇔x x x x x 或65≤<x ∴原不等式的解集为]6,5()3,25[ 19、解:变形得:(4)02x a x -->-当(4-a )>2,即a <2时,24x x a <>-或当(4-a )<2,即a >2时,42x a x <->或当(4-a )=2,即a =2时,2x ≠综上所述:当a <2时,原不等式的解集为{|24}x x x a <>-或当a ≥2时,原不等式的解集为{|42}x x a x <->或20、325≤a 21、解:设花坛的长、宽分别为xm ,ym ,根据要求,矩形花坛应在喷水区域内,顶点应恰好位于喷水区域的边界.依题意得:25)2()4(22=+y x ,(0,0>>y x ) 问题转化为在0,0>>y x ,100422=+y x 的条件下,求xy S =的最大值. 法一:100)2(2222=+≤⋅⋅==y x y x xy S , 由y x =2和100422=+y x 及0,0>>y x 得:25,210==y x 法二:∵0,0>>y x ,100422=+y x , 41002x x xy S -==∴=10000)200(41)4100(2222+--=-⋅x x x ∴当2002=x ,即210=x ,100max =S 由100422=+y x 可解得:25=y . 答:花坛的长为m 210,宽为m 25,两喷水器位于矩形分成的两个正方形的中心,则符合要求.21、解(1):由题得022≥++b x x 恒成立1044≥⇔≤-=∆⇔b b对任意的R x ∈,0)()2(2≥-+-+a b x a x 0)(4)2(2≤---=∆⇔a b a)(1412R a b a b ∈≥⇔+≥⇔ ∴),1[+∞∈b . (2)证明:∵,1)1(M b a f ≤++=,1)1(M b a f ≤+-=-∴222+≥b M ,即1+≥b M .(3)证明:由210<<a 得,0241<-<-a ∴)(x f 在]2,1[a --上是减函数,在]1,2[a -上是增函数. ∴当1||≤x 时,)(x f 在2a x -=时取得最小值42ab -,在1=x 时取得最大值b a ++1.故对任意的]1,1[-∈x ,.1414111|)(|22a b a a b b a x f -≤≤-⇔⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤++⇔≤。
2019年高中数学单元测试试题不等式专题(含答案)学校:__________第I卷(选择题)请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1.设不等式组110 330 530x yx yx y9+-≥⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩表示的平面区域为D,若指数函数y=x a的图像上存在区域D上的点,则a 的取值范围是(A)(1,3] (B )[2,3] (C ) (1,2] (D )[ 3, +∞](2010北京理7)2.小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a<b),其全程的平均时速为v,则()2a b+D.v=2a b+3.若a,b,c>0且a(a+b+c)+bc=4-23,则2a+b+c的最小值为A.3-1 B.3+1 C. 23+2 D. 23-2(2006重庆)4.某运输公司有12名驾驶员和19名工人,有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车.某天需运往A地至少72吨的货物,派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人,运送一次可得利润450元;派用的每辆乙型卡车虚配1名工人,运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数,可得最大利润( )(A )4650元 (B )4700元 (C )4900元 (D )5000元(2011年高考四川卷理科9)5.设方程2x +x +2=0和方程log 2x +x +2=0的根分别为p 和q ,函数f (x )=(x +p )(x +q )+2,则 A .f (2)=f (0)<f (3) B .f (0)<f (2)<f (3)C .f (3)<f (0)=f (2)D .f (0)<f (3)<f (2)第II 卷(非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题6.若直线220(,0)ax by a b -+=>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长,则11a b+的最小值为____________ .7.在坐标平面上,不等式组⎩⎨⎧+≤-≥11||2x y x y 所表示的平面区域的面积为 .8. 已知1()sin xf x e x =,1()(),2n n f x f x n -'=≥,则()201220090ii f ==∑ .9.若直线220ax by -+=(,a b R ∈)始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长,则ab 的最大值是 .10.已知点P(x ,y )在不等式⎩⎪⎨⎪⎧x -2≤0,y -1≤0,x +2y -2≥0表示的平面区域上运动,则z =x -y 的取值范围是______________11.已知点(-3,-1)和(4,-6)在直线3x -2y -a=0的同侧,则a 的取值范围为 ___▲____.12.若0,0x y ≥≥,且11x +≤,则z x y =-的最大值是13. 一元二次不等式210ax bx +->的解集为113x x <<⎧⎫⎨⎬⎩⎭,则a b += ▲ .14.若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域,则当a 从-2连续变化到1时,动直线x y a += 扫过A 中的那部分区域的面积为15.若不等式2x 2-3x +a <0的解集为( m ,1),则实数m = .1216.不等式1||40x a x +-+>对于一切非零实数x 均成立,则实数a 的取值范围是 。
2019年高中数学单元测试试题 不等式专题(含答
案)
学校:
__________
第I 卷(选择题)
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一、选择题
1.小王从甲地到乙地的时速分别为a 和b(a<b),其全程的平均时速为v,则
( ) A .B .C .<v<2
a b
+
D .v=2a b
+(2012陕西文)
2.已知集合{}R x x x M ∈≤-=,2|1||,⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≥+=Z x x x P ,115
|,则P M 等于
( )
A .{}Z x x x ∈≤<,30|
B .{}Z x x x ∈≤≤,30|
C .{}Z x x x ∈≤≤-,01|
D .{}Z x x x ∈<≤-,01|(2005上海文)
3.不等式 2
2
x x x x --> 的解集是( )
A. (02),
B. (0)-∞,
C. (2)+∞,
D. (0)∞⋃+∞(-,0),(2010江西理)
4.设不等式组x 1
x-2y+30y x ≥
⎧⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω
,平面区域是2Ω与1Ω关于直线
3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B ,||AB 的最小值等于( )
A .285
B .4
C .125
D .2(2010福建理))
5.《中华人民共和国个人所得税法》规定,公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税,超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算:
某人一月份应交纳此项税款26.78元,则他的当月工资、薪金所得介于( )
A .800~900元
B .900~1200元
C .1200~1500元
D .1500~2800元(2000全国6)
6.“a >b >c ”是“ab <2
2
2b a +”的( ) A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件
D .既不允分也不必要条件(2006浙江)
7.设2()f x x ax b =++,且1(1)2,2(1)4
f f ≤-≤≤≤,则点(,)a b 在aOb 平面上的区域的面积是--------------------------------------------------------------------------( )
(A )12 (B )1 (C )2 (D )92
8.已知1230a a a >>>,则使得2(1)1i a x -<(1,2,3)i =都成立的x 取值范围是( )
A .(0,1
1a ) B . (0,12a ) C . (0,31a ) D . (0,
32a )(海南卷6) 第II 卷(非选择题)
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二、填空题
9.已知正实数,,x y z 满足112x x yz y z ⎛
⎫++= ⎪⎝⎭,则11x x y z ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝
⎭的最小值为 .
10.在下面等号右侧两个分数的分母括号处,各填上一个自然数,使等式成立且这两个自然数的和最小:)(9)(11+=。
11.x>1,y>1且lgx+lgy=4则lgxlgy 最大值为 ;
12.设二元一次不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤-+≥+-≥-+0142,080192y x y x y x ,所表示的平面区域为M ,使函数y =a x (a >0,a
≠1)的图象过区域M 的a 的取值范围是___ _ _ __.
12. [2,9]
13.不等式1||x x
<的解集为___________ 14.若实数x 满足对任意正数0>a ,均有12->x a ,则x 的取值范围是 .
15.已知点),(b a M 在由不等式组⎪⎩
⎪⎨⎧≤+≥≥200y x y x 所确定的平面区域内,则),(b a b a N +-所在的
平面区域的面积为 ▲ .
16.若不等式2
220kx kx ++≠对一切实数x 都成立,则实数k 的取值范围
为 。
17.如果实数,x y 满足不等式组10220x x y x y ⎧⎪-+⎨⎪--⎩
≥1≤≤,则22x y +的最小值为 ▲ .
18.已知实数,x y 满足20,
0,
1,x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
则2z x y =+的最小值是 . (江苏省南京市2011届高三第一次模拟考试)
1-
19.不等式组0,0,2x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩
≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ .
20.设,x y 满足约束条件1210,0≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩
y x y x x y ,若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为
35,则a b +的最
小值为 .
21.不等式20x x -≤的解集是不等式240x x m -+≥的解集的子集.则实数m 的取值范围是 _________
22. 已知不等式ax 2-5x+b>0的解集为{x|-3<x<2},则不等式bx 2
-5x+a>0的解集为 ▲ .
23.若关于x 的不等式0212<++-a x ax 的解集为空集,则实数a 的取值范围为 ▲ .
24.(2013年高考四川卷(文))已知函数()4(0,0)a f x x x a x
=+
>>在3x =时取得最小值,则a =__________.
25.已知不等式ax 2-bx +2<0的解集为{x |1<x <2},则a =________,b =_______.
26.已知实数x ,y 满足条件0,0,1,x y x y x -⎧⎪+⎨⎪⎩≥≥≤ 则1()2x y -的最大值为 ▲ . 27.定义区间(,),[,],(,],[,)m n m n m n m n 的长度均为n m -,其中n m >,已知关于x 的不等式组2251,1log log ()2
x x tx t ⎧>⎪+⎨⎪++<⎩的解集构成的各区间长度和为4,则实数t 的取值范围是 ▲ .
三、解答题
28.解关于x 的不等式ax 2-2≥2x -ax(a ∈R).
29.已知不等式|3||4|11()
(),33
x x a -+->若该不等式的解集不是空集,求a 得取值范围。
30.已知不等式)0(0622≠<+-k k x kx
(1)若不等式的解集是(-∞,-3)∪(-2,+∞),求实数k 的值。
(2)若不等式的解集为∅,求实数k 的值。