高数积分公式大全

dx
bx 2b x ax b
17． ax b dx ＝ 2 ax b b
dx
x
x ax b
18．
ax x2
b dx ＝
ax b a dx
x
2 x ax b
（三）含有 x2 a 2 的积分
dx 1
x
19．
x2
a2
=
a
arctan a
C
dx
x
2n 3
dx
20． ( x2 a 2 )n = 2( n 1)a 2 ( x 2 a2 )n 1 2( n 1)a 2 ( x 2 a 2 )n 1
mn
mn
＝
1 cosm 1 x sinn 1 x n 1 cosm x sinn 2 xdx
mn
mn
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8
—
100． sin ax cosbxdx ＝
1 cos(a b)x
1 cos(a b) x C
2( a b)
2( a b)
101． sin ax sin bxdx ＝
1 sin( a b) x
常 用积分 公式
（一）含有 ax b 的积分 ( a 0 )
1．
dx
＝
1 ln
ax
b
C
ax b a
2． ( ax b) dx ＝ 1 (ax b) 1 C （
1）
a( 1)
3．
x ax
dx ＝ b
1 a2
( ax
b
b ln ax
b)
C
4．
x2 ax
dx b
＝
1 a3
1 (ax 2
b) 2
2b (ax
＝
x arccos
x
a
a
a2 x2 C
117．
x arccos
x dx
＝
(
x
2
a2
x
)arccos
x2 a
2
x
C
a
24
a4
118． x2 arccos x dx ＝ x3 arccos x 1 ( x2 2a 2) a2 x2 C
87． sec xdx ＝ ln tan( x ) C ＝ ln secx tan x C 42
88． csc xdx ＝ ln tan x C ＝ ln cscx cot x C 2
89． sec2 xdx ＝ tan x C 90． csc2 xdx ＝ cot x C
91． secx tan xdx ＝ secx C
（十）含有
x a 或 ( x a)( b x) 的积分 xb
79． x a dx ＝ (x b) x a (b a)ln( x a
xb
xb
x b) C
80． x a dx ＝ (x b) x a (b a)arcsin x a C
bx
bx
bx
81．
dx
＝ 2arcsin x a C ( a b)
(x a)( b x)
dx
1
b
107． a2 cos2 x b2 sin2 x ＝ ab arctan( a tan x) C
(a2 b2 )
108．
dx a2 cos2 x b2 sin2
＝ 1 ln x 2ab
b tan x b tan x
a a
C
1
1
109．
xsin axdx ＝ a2 sin ax
x cosax a
bx
2x a b
(b a)2
xa
82． ( x a)( b x)dx ＝
( x a)( b x)
arcsin
C
4
4
bx
（十一）含有三角函数的积分
(a b)
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7
—
83． sin xdx ＝ cos x C
84． cos xdx ＝ sin x C
85． tan xdx ＝ ln cosx C
86． cot xdx ＝ ln sin x C
3
—
35．
x2
dx ＝ x x2 a 2
x2 a2
2
a2 ln( x
2
x2 a2 ) C
36．
2
x
dx ＝
2
23
(x a )
x
ln( x
2
2
xa
x2 a2 ) C
37．
dx
＝ 1 ln x2 a 2 a C
x x2 a2 a
x
38．
dx
＝
x2 x2 a2
x2 a2
a2x
C
39．
x2 a2dx ＝ x x2
（九）含有 ax2 bx c (a 0) 的积分
73．
dx
1 ＝ ln 2ax
b
2 a ax 2
bx c
C
ax2 bx c
a
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6
—
74．
2
ax
bx
cdx ＝ 2ax
b
2
ax
bx
c
4a
4ac
b2 ln 2ax
b
2a
ax2
bx c
C
8 a3
75．
x
1 dx ＝
ax2
bx
c
ax2 bx c
a
b ln 2ax b 2 a ax2 bx c C 2 a3
8
8
a
69． x a 2 x 2dx ＝ 1 (a 2 x2 )3 C 3
70． x 2 a 2
x2 dx ＝ x (2 x2 a 2) a 2
x2
a4
x
arcsin
C
8
8
a
71．
a2
x2 dx ＝
a2
x2
a a ln
x
a2 x2 C
x
72．
a2 x2 x2 dx ＝
a2 x2
x
arcsin C
x
a
x2 a2 C
56． x 2 x 2
a2 dx ＝ x (2 x 2 a 2) x 2 a 2 8
a4 ln x
8
x2 a2 C
57．
x2 a2 dx ＝ x2 a2
a a arccos
C
x
x
58．
x2 x2
a 2 dx ＝
x2 a 2 ln x x
x2 a2 C
（八）含有 a2 x2 (a 0) 的积分
1
a tan
ln
2
b2 a 2
x a tan
b b
b2 a2 b2 a2
C
( a2 b2 )
2
105．
dx
2
＝
a b arctan( a b tan x ) C
2
2
(a b )
a bcos x a b a b
ab 2
x
106．
dx
＝1
a
b ln
tan 2
a bcos x a b b a
x
tan
2
ab ba C ab ba
a2
a2 ln( x
2
2
x2 a2 ) C
40．
( x2 a2 )3 dx ＝ x (2 x2 5a 2) x2 a 2 3 a4 ln( x
8
8
41． x x2
a2dx ＝ 1
2
(x
23
a)
C
3
x2 a2 ) C
42． x 2 x 2
a2 dx ＝ x (2 x 2 a 2) x 2 a 2 8
a4 ln( x
n
n
dx
1 cos x n 2 dx
sin n x ＝ n 1 sinn 1 x n 1 sinn 2 x
dx ＝ 1
sin x n 2
dx
cosn x n 1 cosn 1 x n 1 cosn 2 x
cosm xsin n xdx ＝ 1 cosm 1 xsin n 1 x m 1 cosm 2 x sinn xdx
c
2a
bx
c
b
dx
2a ax 2 bx
c
（六）含有 x2 a2 (a 0) 的积分
31．
dx
x ＝ arsh
x2 a2
a
C1＝ ln( x
x2 a2 ) C
32．
dx
＝
x
C
(x2 a2)3 a2 x2 a2
33．
x
dx ＝ x2 a2 C
x2 a2
34．
x
dx ＝
(x2 a2)3
1
C
x2 a2
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b )2
＝
1 b( ax
b)
1 ax b b2 ln x
C
（二）含有 ax b 的积分
10．
ax bdx ＝ 2 (ax b)3 C 3a
11．
x ax
bdx
＝
2 15a
2
(3ax
2b) (ax
b) 3
C
12． x2 ax
bdx
＝
2 105a
3
(15a
2
x
2
12 abx
8b2 ) (ax
b)3
C
13．
C
110． x2 sin axdx ＝
1 x2 cosax a
2 a2 x sin ax
2 a3 cosax
C
111．
x
cos axdx
＝
1 a2
cos ax
1 x sin ax
a
C
112． x2 cosaxdx ＝ 1 x2 sin ax a
2 a2 x cosax
2 a3 sin ax
C
（十二）含有反三角函数的积分（其中 a 0 ）
b)
1 dx 2b ax2 b
（五）含有 ax2 bx c ( a 0) 的积分
29．
dx ax2 bx
＝
c
2 arctan 2ax b C
4ac b2
4ac b2
1
2ax b
ln
b2 4ac 2ax b
b2 4ac b2 4ac
(b 2 C (b2
4ac ) 4ac )
30．
ax 2
x bx
dx ＝ 1 ln ax2
1 sin(a b)x C
2( a b)
2(a b)
102． cosax cosbxdx ＝
1 sin( a b)x
1 sin( a b) x C
2( a b)
2(a b)
x
103．
dx
＝
2
a tan b
arctan
2
C
a bsin x
a2 b2
a2 b2
(a2 b2)
x
104．
a
dx ＝ bsin x
dx ＝ 1 arccos a C
x x2 a 2 a
x
52．
dx
＝
x2 x2 a2
x2 a2 a2x
C
53．
x2 a2dx ＝ x x2
a2
a2 ln x
2
2
x2 a2 C
54．
( x2 a2 )3 dx ＝ x (2 x 2 5a 2) x2 a 2 3 a4 ln x
8
8
55． x x2 a 2dx ＝ 1 (x 2 a 2)3 C 3
8
x2 a2 ) C
43．
x 2 a 2 dx ＝ x 2 a 2 a ln x 2 a 2 a C
x
x
44．
x2 x2
a 2 dx ＝
x2 a2 ln( x
x
x2 a2 ) C
（七）含有 x2 a2 (a 0) 的积分
45．
dx ＝ x arch x
x2 a2 x
a
C1 = ln x
x2 a2 C
x2
2
dx ＝ x
ax b a
b dx a ax2 b
2
25．
dx x(ax 2
＝
b)
1 2b
ln
x ax 2
b
C
26．
dx x 2(ax2
＝
b)
1 bx
a dx b ax2 b
27．
dx x 3(ax2
a ax 2 b b) ＝ 2b2 ln x2
1 2bx2
C
28．
dx (ax 2
b) 2
＝
x 2b( ax2
b)
b2 ln ax
b
C
5．
dx
＝
1 ax ln
b
C
x( ax b) b
x
6．
dx x2 (ax
＝
b)
1 bx
a ax b b2 ln x
C
7．
( ax
x
b) 2dx
＝
1 a2
(ln
ax
b
b )C
ax b
8．
x2 (ax b) 2dx
＝
1 a3
( ax
b
2b ln ax
b
b2 )C
ax b
9．
dx x( ax
92． csc x cot xdx ＝ cscx C
93． 94． 95． 96． 97． 98． 99．
sin2 xdx ＝ x
1 sin 2x
C
24
cos2 xdx ＝ x 1 sin 2x C 24
sinn xdx ＝ 1 sinn 1 xcos x n 1 sinn 2 xdx
n
n
cosn xdx ＝ 1 cosn 1 x sin x n 1 cosn 2 xdx
dx 1 x a 21． x2 a 2 = 2a ln x a C （四）含有 ax2 b(a 0) 的积分
1
a
arctan x C
22．
dx ax 2
＝
b
ab 1
b ax b
ln
2 ab ax b
( b 0) C (b 0)
23．
x ax 2
dx ＝ 1 ln ax2 b 2a
b
C
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2
—
24．
x
x arcsin C
(a2 x2)3
a2 x2
a
65．
dx ＝ 1 ln a
x a2 x2 a
a 2 x2 C
x
66．
dx
＝
x2 a 2 x2
a2 x2
a2x
C
67．
a2
x2dx ＝ x a2
x2
a2
x
arcsin
C
2
2
a
68．
(a 2 x2 )3 dx ＝ x (5a 2 2 x2) a2 x2 3 a 4 arcsin x C
76．
dx
＝
1
2ax b
arcsin
C
c bx ax 2
a
b2 4ac
77． c bx ax2 dx ＝ 2ax b c bx ax2 b2 4ac arcsin 2ax b C
4a
8 a3
b2 4ac
78．
x
dx ＝ 1 c bx ax2
b
2ax b
arcsin
C
c bx ax 2
a
2 a3
b2 4ac
x ax
b
dx ＝
2 3a 2
( ax
2b) ax
b
C
—
14．
x2 ax
b
dx
＝
2 15a 3
(3a2
x2
4 abx
8b2 ) ax
b
C
15．
dx ＝
x ax b
1 ax b ln
b ax b
b C (b 0)
b
2 arctan ax b C (b 0)
b
b
16．
dx ＝
x2 ax b
ax b a
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9
—
113． arcsin xdx ＝ x arcsin x
a
a
2
2
axC
114．
x arcsin
x dx ＝
x2 (
a2
x
)arcsin
x a2
x2
C
a
24
a4
115．
x2 arcsin
x dx
＝
x3 arcsin
x
1 (x2
2a 2 ) a 2
x2
C
a
3
a9
116．
arccos
x dx
59．
dx ＝ arcsin x C
a2 x2
a
60．
dx
＝
x
C
(a 2 x2 ) 3 a 2 a 2 x 2
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5
—
61．
x dx ＝ a2 x2
a2 x2 C
62．
x
dx ＝
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1
C
(a2 x2)3
a2 x2
63． 64．
x2
dx ＝
x2 a
2
x
a2
x
arcsin
C
a2 x2
2
2
a
x2
dx ＝
46．
dx
＝
x
C
(x2 a2)3
a2 x2 a2
47．
x
dx ＝ x2 a 2 C
x2 a2
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4
—
48．
x dx ＝
(x2 a2)3
1 C
x2 a2
49． 50．
x2
dx ＝ x
2
x
2
a
a2 ln x
x2 a2
2
2
x2
dx ＝
(x2 a2)3
x
ln x
x2 a2
2
2
xa C
x2 a2 C
51．