高考数学讲义空间几何量的计算.板块一.点到平面的距离问题

求“二面角”与“点到平面的距离”问题一直是高考命题的热点，而这两方面的题目又是很多学生感到头痛的。

事实上，这两类问题有着较强的相关性，下面给出这两类问题的一个“统一”求解公式，让你一招通解两类问题，定理：如下图，若锐二面角βα--CD 的大小为θ，点A 为平面α内一点，若点A 到二面角棱CD 的距离为m AB =，点A 到平面β的距离AH=d ，则有θsin ⋅=m d 。

说明：θsin ⋅=m d 中含有3个参数，已知其中任意2个可求第3个值。

其中θ是指二面角βα--CD 的大小，d 表示点A 到平面β的距离，m 表示点A 到二面角βα--CD 棱CD 的距离。

值得指出的是：θsin ⋅=m d 可用来求解点到平面的距离，也可用于求解相关的二面角大小问题。

其优点在于应用它并不．强求．．作出经过点A 的二面角βα--CD 的平面角∠ABH ，而只需已知点A 到二面角βα--CD 棱的距离，与二面角大小θ，即可求解点A 到平面β的距离，或已知两种“距离”即可求二面角的大小θ。

这样便省去了许多作图过程与几何逻辑论证，简缩了解题过程。

还要注意，当已知点A 到平面β的距离d 与点A 到二面角棱CD 的距离m 求解二面角的大小时，若所求二面角为锐二面角，则有mdarcsin =θ；若所求二面角为钝二面角，则md arcsin-=πθ 下面举例说明该公式在解题中的应用。

例1. （2004年全国卷I 理科20题）如下图，已知四棱锥P-ABCD ，PB ⊥AD ，侧面PAD 为边长等于2的正三角形，底面ABCD 为菱形，侧面PAD 与底面ABCD 所成的二面角为120°。

（1）求点P 到平面ABCD 的距离；（2）求面APB 与面CPB 所成二面角的大小。

分析：如上图，作PO ⊥平面ABCD ，垂足为O ，即PO 为点P 到平面ABCD 距离。

第（1）问要求解距离PO ，只需求出点P 到二面角P-AD-O 的棱AD 的距离，及二面角P-AD-O 的大小即可。

【例1】 已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的中点到平面α的距离为（ ） A ．1 B ．2C ．1或2D ．0或1【难度】4 【解析】C ；分线段AB 两端点在平面α同侧和异侧两种情况解决．【例2】 ABC ∆的三个顶点A B C ，，到平面α的距离分别为234，，，且它们在平面α的同一侧， 则ABC ∆的重心到平面α的距离为___________．【难度】6 【解析】3;【例3】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11ABC D 的距离．A 1D 1CBA【难度】6【解析】 ∵11A B ∥11C D ，且11C D ⊂面11ABC D∴11A B ∥面11ABC D ，且点E 在11A B 上，∴点E 到平面11ABC D 的距离即为点1A 到平面11ABC D 的距离 连结1A D 交1AD 于Q ，则根据正方体性质可知，1A O ⊥面11ABC D ∴点1A 到平面11ABC D 的距离为1A O 的长，即1AO =典例分析板块一.点到平面的距离问题【例4】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ，PD a =，求点D 到平面PAB 的距离．HACBDP【难度】6【解析】 作DH ⊥PA 交PA 于H∵PD ⊥面ABCD ，且AB ⊂面ABCD ∴PD ⊥AB ，又AD ⊥AB ，且PD AD D =∴AB ⊥面PAD ∵DH ⊂面PAD∴DH ⊥AB ，又DH ⊥PA ，且AB PA A =∴DH ⊥面PAB ，∴点D 到平面PAB 的距离即为DH 长 在Rt PAD ∆中，AD PD a ==，∴DH = ∴点D 到平面PAB本题可用体积法，在此不在给出具体过程．【例5】 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C AB C --的大小为60，求点C 到面1ABC 的距离.EDC 1B 1A 1CBA【难度】6 【解析】答案：34过C 作CD ⊥AB ，D 为垂足，连结1C D ，则1C D ⊥AB ，160C DC ∠=∴CD =1C D =132CC = 在1CC D ∆中，过C 作CE ⊥1C D则CE 为点C 到平面1ABC的距离，334CM ==∴点C 到平面1ABC 的距离为34【例6】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体12PD AB =中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） ABCDAA 1【难度】6【解析】D ；因为11A B EF ∥，G 在11A B 上，所以G 到平面1D EF 的距离即是1A 到面1DEF 的距离，即是1A 到1D E的距离，1D E=11⨯=，故选D ．【例7】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1DEF 的距离为（ ） ABCDABCE【难度】6 【解析】 D因为11A B EF ∥，G 在11A B 上，所以G 到平面1D EF 的距离即是1A 到面1D EF 的距离，即是1A 到1D E的距离，1D E =11⨯=，故选D ．【例8】 （2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到侧面PBC 的距离是 ．【难度】6【解析】 设P 在 底面ABC 上的射影为O ，则2PO =，且O 是三角形ABC 的中心，设底面边长为a，则223=，∴a =b则b ='h ．由面积法求A 到侧面PBC的距离2h ==【例9】 四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形，且60BCD ∠=，PD ⊥平面ABCD ，PD a =，E 是PA 中点．求点E 到平面PCD 的距离．A【难度】6【解析】连结AC ，BD 交于点O ，连结EO ，则EO ∥PD又PD ⊂面PCD ，∴EO ∥面PCD ，点E 到面PCD 的距离可转化为点O 到面PCD 的距离 ∵PD ⊥平面ABCD ，∴面PCD ⊥平面ABCD过点O 作OG ⊥CD 交CD 于点G ， 由面PCD平面ABCD CD =知OG ⊥面PCD ，则OG 的长为点E 到面PCD 的距离在正BCD ∆中，60BDC ∠=,122aDO BD ==,∴3sin 60OG DO =⋅=本题可将点E 到平面PCD 的距离转化为，点B 到平面PCD 的距离的一半，则BCD ∆的过点B 的中线为点B 到平面PCD 的距离．【例10】 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：O 为ABC ∆的垂心； ⑵若PA PB PC ==，求证：O 为ABC ∆的外心．⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，求P 点到平面ABC 的距离．OCBAP【难度】8【解析】 ⑴∵,PA PB PA PC ⊥⊥，∴PA ⊥平面PBC ， ∴PA BC ⊥． 又∵PO ⊥平面ABC ， ∴PO BC ⊥， ∴BC ⊥平面POA ， ∴BC AO ⊥， 同理有AB CO ⊥， ∴O 为ABC ∆的垂心． ⑵∵PO ⊥平面ABC ，∴PO AO ⊥，PO BO ⊥，PO CO ⊥， ∵PA PB PC ==，∴PAO ∆≌PBO ∆≌PCO ∆， ∴OA OB OC ==， ∴O 为ABC ∆的外心． ⑶（法一）∵PA、PB、PC两两垂直，且PA PB PC a===，∴AB BC CA===，ABC∆为正三角形，∴AO AB==，∴PO==．因此点P到平面ABC．（法二）∵,PA PB PA PC⊥⊥，∴PA⊥平面PBC，∴1133P ABC ABC A PBC PBCV S PO V S AP--=⋅⋅==⋅⋅，又AB BC CA===，ABC∆为正三角形，∴221)2ABCS=，∴21a aPO⋅⋅==，即为所求．【例11】如右图，是一个边长为a的正方体1111ABCD A B C D-，⑴求证：1AC⊥平面1A BD；⑵求A点到平面1A BD的距离．AA1【难度】8【解析】⑴连结AC，∵1CC⊥平面ABCD，∴1CC BD⊥．又∵四边形ABCD为正方形，∴AC BD⊥．∴BD⊥平面11ACC A，又1AC⊂平面11ACC A，∴1BD AC⊥，同理有，1A D⊥平面11ABC D，∴11A D AC⊥，∴1AC⊥平面1A BD；⑵法一：要求点到平面的距离，可以用体积法，记A点到平面1A BD的距离为d，1D1AA11111133A ABD ABD A A BD A BDV S AA VS d--=⋅==⋅，11AB A D BD===，1221)2A BDS==，∴21a ad⋅==，即为所求．法二：记1AC平面1A BD M=，连结1A M交BD于N，连结11,AN AC，∵1AC⊥平面1A BD，∴AM的长即为所求的距离，且1AM A N⊥，∵平面//ABCD平面1111A B CD，∴11//AC AN，故有122AN AC==，在1Rt A AN∆中，1AM A N⊥，∴11aAA ANAMA N⋅===．【例12】已知长方体1111ABCD A B C D-中，棱1AB AD==，棱12AA=．⑴求点1A到平面11AB D的距离．⑵连结1A B，过点A作1A B的垂线交1BB于E，交1A B于F．HOACDA1B1C1D1①求证：1BD⊥平面EAC；②求点D到平面11A BD的距离．【难度】8【解析】⑴（法一：等积法）设点1A到平面11AB D的距离为h∵111111A AB D A A B D V V --=，∴1111111133AB D A B D h S AA S ∆∆⋅=⋅⋅在11AB D ∆中，由已知条件有11AB AD ==，11B D =∴111322AB D S ∆== 而12AA =，111211122A B D S ∆=⨯=∴1111111222332A B D AB D AA S h S ∆∆⨯⋅=== （法二：直接法）连结11A C 交11B D 于点O ，则11A C ⊥11B D ， ∵1AA ⊥上底面1111A B C D ，从而有1AA ⊥11B D ∵11AC 11AA A =∴11B D ⊥面1AAO ，又11B D ⊂面11AB D ， ∴面1AAO ⊥面11AB D ，且面1AAO 面11AB D AO =过1A 作1A H ⊥AO 交AO 于H ，则1A H ⊥面11AB D ∴点1A 到平面11AB D 的距离即为1A H 长， 在1Rt A AO ∆中，由已知可得AO =，1AO =，而12AA =∴1223A H == ⑵①∵长方体中棱1AB AD ==，∴BD ⊥AC 又1DD ⊥底面ABCD ，且AC ⊂底面ABCD ， ∴AC ⊥1DD ，从而AC ⊥面1BDD ∴AC ⊥1BD∵11A D ⊥面11A ABB ，且AE ⊂11A ABB ， ∴AE ⊥11A D ，且AE ⊥1A B∴AE ⊥面11A BD ，且1BD ⊂面11A BD ，ABCD A 1B 11D 1EF∴AE ⊥1BD 又∵AEAC A =，∴1BD ⊥面EAC②∵AD ∥11A D ，且11A D ⊂面11A BD ∴AD ∥面11A BD∴点D 到平面11A BD 的距离可以转化为点A 到面11A BD 的距离 又∵AE ⊥面11A BD∴AF 即为所求距离AF ==。

数学立体几何点到面距离
点到面的距离可以通过以下步骤计算：
1. 确定平面的方程。

假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、
C、D 分别为平面方程的系数。

2. 假设点的坐标为(x0, y0, z0)，将这个点的坐标代入平面方程，可以得到一个数值。

假设这个数值为dist。

3. 距离点(x0, y0, z0) 最近的平面上的点的坐标为(x1, y1, z1)。

根据平面方程有A*x1 + B*y1 + C*z1 + D = 0。

4. 计算点(x0, y0, z0) 到点(x1, y1, z1) 的距离。

距离的计算公式为：
distance = sqrt((x0 - x1)^2 + (y0 - y1)^2 + (z0 - z1)^2)
这就是点到平面的距离。

注意：如果直接给出的是一个平面的方程，可以直接使用公式计算距离。

如果只给出的是平面上的一些点的坐标，可以先使用这些坐标计算出平面的方程，再计算距离。

空间几何量的计算板块一点到平面的距离问题学生版一、问题简要说明本篇文章主要讨论空间几何量的计算板块中的一点到平面的距离问题。

一点到平面的距离是几何中的常见问题，它可以用来计算平面上特定点到该平面的垂直距离，也可以用来计算线段或者线到平面的距离。

二、一点到平面的距离定义在空间中，设有平面P，过平面P上一点A引直线L，垂直于平面P的直线与线L的交点为B。

则点A到平面P的距离定义为线段AB的长度。

三、一点到平面的距离计算方法1.平面P的一般方程：Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为平面的法向量的坐标，D为平面的常数项。

设点A的坐标为（x0,y0,z0）。

2.点A到平面P的距离计算公式：d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)这个公式的推导过程可以利用向量的性质来进行。

点A到平面P的距离可以看作是向量AB在平面法向量上的投影，再求向量AB的模长得到。

所以计算点A到平面P的距离可以通过以下步骤进行：a.计算平面法向量N=(A,B,C)的模长。

b.计算向量AB=(x0-x,y0-y,z0-z)。

c.根据内积的定义得到向量AB在平面法向量上的投影LENGTH=，N·AB。

d.最后通过LENGTH/N的模长得到点A到平面P的距离。

四、例题与解析例题一：已知平面2x-y+3z+6=0，点(1,-2,3)到该平面的距离是多少？解析：根据上述公式，先计算平面的法向量N的模长：N，=√(2^2+(-1)^2+3^2)=√(4+1+9)=√1然后计算点A到平面P的距离d：d=，(2)(1)+(-1)(-2)+(3)(3)+(6)，/√14=，2+2+9+6，/√14=，19，/√14=19/√14所以点(1,-2,3)到平面2x-y+3z+6=0的距离是19/√14例题二：已知点A(1,-2,3)和点B(2,1,-1)，求点A到线段AB所在直线的距离。

解析：点A到线段AB所在直线的距离可以利用点A到平面的距离计算公式来求解。

空间距离高三数学知识点在高三数学中，空间距离是一个重要的知识点，它涉及到三维空间中点、直线、平面之间的距离计算。

掌握了空间距离的概念和计算方法，可以帮助我们解决实际问题，进一步理解几何关系。

一、点到点的距离计算在三维空间中，我们通过坐标来表示点的位置。

假设有点A(x₁, y₁, z₁)和点B(x₂, y₂, z₂)，我们可以用勾股定理来计算点A到点B的距离。

距离公式如下：AB = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²]通过这个公式，我们可以计算两个任意点之间的距离，进而帮助解决空间几何中的问题。

二、点到直线的距离计算在三维空间中，直线的方程可以以参数形式给出。

如果我们有一个点P(x₀, y₀, z₀)和直线L的参数方程为：x = x₁ + aty = y₁ + btz = z₁ + ct其中a、b、c为实数，t为参数。

我们可以通过点P到直线L 的距离公式来计算：d = |(x₀ - x₁, y₀ - y₁, z₀ - z₁) · (a, b, c)| / √(a² + b² + c²)这里的|·|表示向量的模，·表示向量的内积。

通过这个公式，我们可以计算出点到直线的距离。

三、点到平面的距离计算在三维空间中，平面的方程可以以一般式给出。

如果我们有一个点P(x₀, y₀, z₀)和平面的一般式方程为：Ax + By + Cz + D = 0其中A、B、C、D为常数。

我们可以通过点P到平面的距离公式计算：d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²)这里的|·|表示绝对值。

通过这个公式，我们可以计算出点到平面的距离。

四、直线与直线的距离计算在三维空间中，我们可以通过两直线的方向向量来计算它们之间的距离。

《点到平面的距离》讲义在空间几何中，点到平面的距离是一个非常重要的概念。

它不仅在数学理论研究中有着关键的地位，还在实际的工程、物理等领域有着广泛的应用。

我们先来理解一下什么是点到平面的距离。

想象有一个空间平面和一个单独的点，点到平面的距离，就是从这个点向平面作垂线，垂线的长度就是点到平面的距离。

那如何来计算点到平面的距离呢？这里有几种常见的方法。

方法一：利用向量法。

假设平面的方程为 Ax ＋ By ＋ Cz ＋ D ＝ 0，点的坐标为（x₀, y₀, z₀)。

我们先找到平面的一个法向量 n ＝（A, B, C)，然后计算向量 AP（其中 P 是平面上任意一点），点到平面的距离d 就可以表示为｜（Ax₀＋ By₀＋ Cz₀＋ D) ／√（A²＋ B²＋C²)｜。

为了更清楚地理解这个方法，我们来看一个例子。

比如平面方程为2x ＋ 3y 4z ＋ 5 ＝ 0，点的坐标是（1, 2, 3) 。

首先，平面的法向量为（2, 3, －4) ，在平面上任取一点，比如令 x ＝ 0 ， y ＝ 0 ，则 z ＝－5/4 ，得到点（0, 0, －5/4) 。

向量 AP ＝（1 0, 2 0, 3 ＋ 5/4) ＝（1, 2, 17/4) 。

那么距离 d ＝｜（2×1 ＋ 3×2 4×3 ＋ 5) ／√（2²＋ 3²＋（－4)²)｜＝｜（2 ＋ 6 12 ＋ 5) ／√29| ＝ 1 ／√29 。

方法二：等体积法。

如果我们知道一个三棱锥的体积以及它的底面积，就可以通过体积公式求出点到平面的距离。

假设三棱锥 P ABC ，点 P 到平面 ABC 的距离为 h ，三角形 ABC的面积为 S ，三棱锥的体积为 V 。

根据三棱锥的体积公式 V ＝ 1/3 × S × h ，则 h ＝ 3V ／ S 。

例如，有一个三棱锥 P ABC ，体积为 6 ，三角形 ABC 的面积为 4 ，那么点 P 到平面 ABC 的距离 h ＝ 3×6 ／ 4 ＝ 45 。

点到平面的距离若干求法1定义法求点到平面距离（直接法）定义法求点到平面距离是根据点到平面的定义直接作出或者寻找出点与平面间的垂线段，进而根据平面几何的知识计算垂线段长度而求得点与平面距离的一种常用方法.定义法求点到平面距离的关键在于找出或作出垂线段，而垂线段是由所给点及其在平面射影间线段，应而这种方法往往在很多时候需要找出或作出点在平面的射影。

以下几条结论常常作为寻找射影点的依据：（1)两平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们交线的直线垂直于另一个平面。

（2）如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等，那么这个点在该平面内的射影在这个角的角平分线所在的直线上。

（3）经过一个角的顶点引这个角所在平面的斜线。

设斜线和已知两边的夹角为锐角且相等，则这条斜线在这个平面的射影是这个角的角平分线.（4)若三棱锥的三条棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的外心。

例如图4所示，所示的正方体ABCD A B C D''''-棱长为a,求点A'到平面AB D''的距离。

(注：本文所有解法均使用本例）图4解法一（定义法):如图5所示，连结交B D ''于点E ，再连结AE ，过点A '作A H '垂直于AE ,垂足为H ,下面证明A H '⊥平面AB D ''。

图5AA '⊥平面A B C D ''''∴B D ''⊥AA ' 又在正方形A B C D ''''中,对角线B D A C ''''⊥，且AA A C A ''''=AA '⊂平面AA E '， A C ''⊂平面AA E '∴由线面垂直的判定定理知道B D ''⊥平面AA E 'A H '⊂平面AA E '∴A H '⊥B D ''又由A H '的作法知道A H '⊥AE ，且有B D ''AE E =，B D ''⊂平面AB D ''，AE ⊂平面AB D ''∴由线面垂直的判定定理知道A H '⊥平面AB D ''根据点到平面距离定义,A H '的长度即为点A '到平面AB D ''的距离，下面求A H '的长度。

A ．217B ．27C ．22121D ．421【答案】C【详解】由题意可知当平面ABC 平面ADC 时四面体因为ABC 为正三角形，AD CD ，2AD CD ，当平面ABC 平面ADC 时，取线段AC 中点E ，则点E 连接BE ，则易知BE 平面所以四面体B ACD 外接球球心在因为ABC 为正三角形，所以四面体B ACD 外接球球心即为【答案】217【详解】因为1,AB BC 1A A 平面ABC ，又1A 所以平面11ACC A 平面面11ACC A ，易得22A B AB AA则1OO 平面ABC ，而正ABC 因PA 平面ABC ，则三棱锥显然过线段PA 中点垂直于线段(1)证明：EF 平面PBC；(2)求点P到平面CEF的距离．【答案】(1)证明见解析(2)2217【详解】（1）∵平面PAC平面ABC，PC∵平面ABC，AB【答案】33/13【详解】设点C 到平面因为1AB BC ，所以DE BE DB 所以12S(1)求证：平面EMN∥平面PQH；(2)求点D到平面PQH的距离．【答案】(1)证明见解析(2)33）分别是DM，DE的中点，QHEMN，ME 平面EMN，PN，AF，AE的中点，PN，DM EF，）如图，取ME的中点O，连接易知四边形DEFM是边长为2平面ADM 平面DEFM，平面 平面DEFM，是AE的中点，1；(1)求证：AD SB因为平面SAD 平面ABCD ，平面所以BO 平面SAD .所以OSB 即为直线SB 与平面因为tan 1OSB 45OSB 又∵四边形ABCD 是菱形，SAD【典例2】（2021下·上海松江DC=b，60o，ADB.【答案】46 3【详解】ACD边长为4，则中线长为点B到平面ACD的距离为【变式2】（2022下·福建泉州边长为2，512FBA.将ABD 【答案】6【详解】ABD 绕AB 旋转一周得到的几何体是圆锥，交平面ECBF 于GH .D 的轨迹在平面的正下方点P 位置时，到平面中，π5ππ21212PHQ,HP πsin 12PQ HP 5π2tan 12 ππππsinsin sin cos题型【典例1】（2024上·辽宁沈阳1111ABCD A B C D 中，12AA AB A ．45B ．45【答案】A【详解】连接11,AC BC 因为11//,AB C D AB 所以11//AD BC ，所以异面直线又因为122AA AB【典例2】（2024·全国若D为PC的中点,EA．113570C．34【答案】A【详解】如图,取CO的中点则//DG PO,且12 DG PO易知PO 平面BOC,所以因为2π3BOC,OG OE【答案】10 5【详解】如图，取OA的中点则AD AEAP AB，则DE PB∥，可知因为60APB，即APB△不妨取4AB ，连接OC，则过点C作CF OB于点F，则连接CE，则 22CE过点D作DM AO，垂足为因为11//CC BB ，所以1BB O 在直角三角形1OBB 中，cos 故选：D【变式2】（2024·全国·模拟预测）如图，在长方体A ．55B ．EF 平面在线段1 的中点．（等腰三角形中三线合一）所成的角，102，【变式3】（2024上·上海徐汇形，且2AB ，14AA ，经过顶点者与平面11ABB A 交于2l ，则异面直线【答案】1010A ．100,10B ．210,14C ．30,243D ．60,246【答案】B【详解】设ABC ，ACB ，1AB ，3BC ，设直线AB 与CD 所成角为 ，cos AH HB CD AB CDAB CD AB CD又因为,AH CDcos AH HB CD AB CD HB CD AB CD AB CD AB CD，由此可知HB CD越大，直线AB 与CD 所成角的余弦值越大；(1)求证：1A M 平面ABN；的体积的最大值；(2)求三棱锥B MDN(3)点P在平面ABCD内运动（含边界），当【答案】(1)证明见解析(2)124依题意1A E ∥1BD ，则1EA P 为直线设,02AP t t ，则2111,3,A P t A E PE AE 所以2211111cos 2A E A P PE EA P A E A P222312231t t t A ．31010故选：A.【变式2】（多选）（2023上·安徽黄山12BC CD CC，111B C ，若的余弦值可能是（）A．316B．336【答案】ABC【详解】如图，分别取,,CB CD由三棱台的性质知11//B C 又,E H 为11,CC B G 的中点，所以又,A F 为,BD CD 的中点，所以//HE AF ，HE AF 所以四边形AFEH 为平行四边形，因为,E F 为1,CC CD 的中点，所以【典例2】（2023上·上海普陀·,AC BD 的中点，若异面直线AB 【答案】3或33【详解】取AD 中点为E ，连接因为,,M N E 分别是,AC DB 所以，//ME CD ，//NE AB【典例3】（2023下·广东广州2,AB BC E是AC的中点，【答案】83/223因为E是AC的中点，则令BD a，而,,AB BC BD在等腰BEF△中，BE显然AB 平面BCD，所以四面体的体积为【详解】中点H ，连接EH ，FH ，，F 分别为PA ，BC 的中点，HF ∥，HE PC ∥，HF 所以异面直线PC 与AB 所成角与直线60 时，根据余弦定理得，因为,E F 分别是,AB CD 的中点，所以111,22EG AD FG BC //,//,EG AD FG BC 故EGF 为直线AD 与BC(1)求证：BC 平面CDP；(2)若直线AD与BP所成的角大小为【答案】(1)证明见解析(2)32DP ．【答案】3/60 【详解】因为O ，D 分别是AB ，所以OD 平面1O OD ，AC 平面AC 平面1O AC ，平面1O AC 平面【典例2】（2023上·浙江·高二校联考阶段练习）直线PC 与平面PAB 所成的角为在PC 上任取一点D 并作DO 过点O 作OE PA ，OF PB ∵DO 平面APB ，,PA PB 因为,,DO OE O DO OE 所以PA 面DOE ，PB 面又DE 面DOE ，DF 面DOF【答案】2【详解】因为PA 底面ABC 由90ACB ，所以BC 又因为PA AC A ∩，且PA 且AD 平面PBC ，则BC 因为AC PA ，可得AD 且BC PC C ，,BC PC 则AMD ∠即为AM 与平面由2AC BC PA ，可得AMD取11A B 的中点G ，连接C ∵111A B C △是等边三角形，∵111ABC A B C -是正三棱柱，∴1AA 平面111A B C ，又∵∴11AA C G ，又∵AA A B A ∩，AA 【答案】6525【详解】作111C E B D 于点E ，连接BE ，1BC ，1111ABCD A B C D 为长方体，所以平面BB 11B D ，平面11BB D D 平面1111A B C D 平面11BB D D ，BE 为直线1BC 与平面11BB D D 所成角，则CDH 为CD 与平面 所成角，同理又DH 平面CDH ，则CH 由题意可得CAH CBH 在Rt CDH △中，sin CDHA ．1,2B ．【答案】D【详解】连接EF 、BF ，设其交点为当O 点在线段GF 上（可在G 点，不可在有2222112B O B G GO x当O 点在线段BG 上（不在两端）时，则22221122B O B G GO因为三棱锥S ABC 外接球的表面积为对直三棱柱11SB C ABC ，其外接球球心在故在1Rt OO A 中，因为4,OA OO 则22224r ，解得23r ；在ABC 中，因为23BAC ，且过C 作1//CM AB ，交11D C 延长线于所以1CM AB ，故1AB MC 为平行四边形，则所以△1CMB 为等腰三角形，过M 综上，1M C B 绕1CB 旋转过程中，图（1）图（2）【变式2】（2023下·浙江绍兴·高二统考期末）已知正（位于平面 的同侧），且在平面 上的射影分别为【详解】B C 的中点为E ，连接,,DE AD AE DAE 即为直线AD 与平面 所成的角边长为2，则3AD ，设BB 22AA BB a b，2AB AB B【典例1】（2024·全国·高三专题练习）内（含边界）的动点，且AB则tan （）A．3B．13所以4PMA，因为2AP ，所以2AM ，所以点M 位于矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2则点M 的轨迹为圆弧EF .连接AF ，则2AF ，因为1AB ，3AD ，所以6AFB FAE ，则弧EF 的长度263，所以tan 3 .故选：C.【典例2】（2023下·江苏无锡·高一辅仁高中校考期末）四棱台形，若28EF AB ，且每条侧棱与底面所成角的正切值均为.因为四棱台ABCD EFGH上、下底面均为正方形，且每条侧棱与底面所成角的正切值均相等，所以12O O 底面EFGH，又所以CGQ是四棱台ABCD因为28EF AB，所以EG【答案】192/1192【详解】如图，自C点引平面 的垂线，垂足为则,A B两点在以CO为高，以,CA CB为母线的圆锥的底面圆周上，【变式2】（2023下·黑龙江哈尔滨·高一哈尔滨三中校考期中）已知长方体6 BC ，若1AC 与平面11BCC B 所成的角的余弦值为A ．27π2B ．27π【答案】B【详解】连1BC ，因为AB 平面1BCC B 所以1116cos 3BC AC B ACÐ，所以1AC 设1CC x ，则222BC BC CC ，即BC【变式3】（2024·全国·高三专题练习）已知正方体动点，设直线AE 与平面A 【答案】π【详解】解：如图所示，连接AC 平面A 所以AEO ＝ .由25sin 5可得tan 2 在四面体1A A BD 中，BD 所以四面体1A A BD 为正三棱锥，如图所示：又因为2AOEO，A ．32B ．【答案】C【详解】如图所示：O 是BD AB AD ，则AO BD ；AO 平面ABCD ，1A O 平面故1AOA 是二面角1A BD 故选：CA．15B．14C．13【答案】A【详解】如图所示：E为AC中点，连接DE，BE 平面ACD∩平面ACB AC，且DE 平面ACD，故DEB为二面角B AC D的平面角，在ABE中，22AC ，DE在BDE△中，10 cos DEC故选：A因为三棱锥外接球的表面积为21πCM MN OM取AB的中点M，连接,,CM MN都与AB垂直，所以,所以NMG的平面角， 是二面角S AB C3CM MGMN 33,由4,AD BD AB AC 因此COD 是二面角C AB 在COD △中，2,OC OD 由余弦定理得cos COD 【答案】45 /4【详解】由于11//AB D C ，所以而四边形11ABB A 是正方形，所以连接BD 交AC 于O ，则AC 由于11AB B C ，O 是AC 的中点，所以【变式3】（2024上·安徽合肥为正三角形，M N､分别是PB 的余弦值为.【答案】6 6【详解】取MN和BC M∵，N分别是PB，//MN BC,PE MN由于PA PB PC且,, PC PB PA PA AC。

高考数学中的点到平面距离及相关题型分析高考数学中，经常会涉及到点距离问题。

其中，点到平面的距离是考生经常会遇到的难点之一。

本文将通过对点到平面距离问题的分析，探讨其相关的解题方法和技巧。

一、点到平面距离的定义点到平面距离是指从一个点到平面的垂线段的长度，也可以说是平面上距离这个点最近的点与这个点之间的距离。

在数学中，我们可以通过向量的知识来求解点到平面距离，具体来说，就是利用点和平面的法向量进行计算。

这个距离的计算公式可以用以下方式表示：$$d=\frac{|\vec{AP}\cdot\vec{n}|}{||\vec{n}||}$$其中，$d$表示点到平面的距离，$\vec{AP}$表示从点$A$到平面$P$的向量，$\vec{n}$表示平面$P$的法向量。

二、点到平面距离的求解方法在具体的题目中，我们通常需要对点到平面距离进行求解。

以下是几种常见的求解方法：1. 利用向量求解点到平面距离在利用向量求解点到平面距离时，我们需要将点的坐标表示为向量形式，同时将平面表示为一个点和法向量的形式。

具体的求解方式可以按照以下几个步骤进行：(1)计算法向量对于平面的法向量，我们可以采取以下两种方式进行计算：(a)已知平面上的三个点$A(x_1,y_1,z_1)$、$B(x_2,y_2,z_2)$和$C(x_3,y_3,z_3)$，则平面的法向量可以通过以下方式计算：$$\vec{n}=(\vec{AB}\times\vec{AC})/||\vec{AB}\times\vec{AC}|| $$其中，$\times$表示向量的叉乘，$||\vec{AB}\times\vec{AC}||$表示向量$\vec{AB}\times\vec{AC}$的模。

(b)若平面的解析式为$ax+by+cz+d=0$，则平面的法向量可以用以下方式表示：$$\vec{n}=(a,b,c)$$(2)计算点到平面的距离通过上述方式可以得到平面的法向量和点的向量，接下来，我们根据上文提出的公式，即可将点到平面的距离计算出来。