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用空间向量求点到面的距离 PPT
2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
3、求法向量—求出平面的一个uuu法r 向r 量
4、代入公式—通过公式 d
|
A
P r
n
|
代入求解．
n
练考题、验能力、轻巧夺冠
[题后感悟] 用向量法求点面距的方法与步骤，n
O
为法向量。
练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)， 点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________． 解析： d＝|P→|An·|n|＝|1×－2－＋222×＋－－22＋2＋－124×1| ＝130.
答案：
10 3
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
[例1] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别 是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
解： 建系 如图,建立空间直角坐标系，
求向量 求法向量
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
uuur
uuur
∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
uur GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题(课件)
二面角的大小为
.
π4或34π 解析： cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝ 22，∴〈m，n〉＝π4. ∴两平面所成二面角的大小为π4或34π.
经典例题
角度1：点线距
题型一 利用空间向量求距离
用向量法求点到直线的距离时需注意以下几点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂线段． (2)在直线上可以任意选点，但一般选较易求得坐标的特殊点． (3)直线的方向向量可以任取，但必须保证计算正确．
则 在法向量 n 上的投影向量的长度即为异面直线 a，b 的距离，所以距离为
.
自主学习
二．空间角的向量求法 空间角包括线线角、线面角、二面角，这三种角的定义确定了它
们相应的取值范围，结合它们的取值范围可以用向量法进行求解．
自主学习
角的分类
向量求法
范围
两异面直线 l1 与 l2 所成的角为 θ
设 l1 与 l2 的方向向量分别为 u，v，
经典例题
题型一 利用空间向量求距离
例 2 在三棱锥 S－ABC 中，△ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC⊥平面 ABC，
SA＝SC＝2 3，M，N 分别为 AB，SB 的中点，如图所示．求点 B 到平面 CMN 的 距离．
取 AC 的中点 O，连接 OS，OB． ∵SA＝SC，AB＝BC，∴AC⊥SO，AC⊥BO． ∵平面 SAC⊥平面 ABC，平面 SAC∩平面 ABC＝AC， ∴SO⊥平面 ABC． 又 BO⊂平面 ABC，∴SO⊥BO． 又∵△ABC 为正三角形，O 为 AC 的中点，∴AO⊥BO． 如图所示，分别以 OA，OB，OS 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴， 建立空v>|
则 cosθ＝
|u·v| ＝ |u||v|
向量法求空间点到平面的距离课件
2、向量数量积公式
a•b abcos(为a与b的夹角）
学习交流PPT
2
二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
1 、剖析 B O ： 平 ， 如 面垂 图 O ,则 足 ， B 到 点 为 平 的面 距离就是
线 B段 的 O 长度。
学习交流PPT
3
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
AB ( 2,1, 0), CB ( 2, 0, 0), CP (0, 1,1) ,
设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
则
n
CB
0
z
n CP 0
(x, y, z)( 2,0,0) 0
(
x,
y,
z)
(0,
1,1)
0
∴
x y
0 z
x
令 y 1, n (0, 1, 1) ,d= 2
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
学习交流PPT
1
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到距面离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、等体积法； 方法3、空间向量。
2
学习交流PPT
y
7
BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
学习交流PPT
4
练习1
a•b abcos(为a与b的夹角）
学习交流PPT
2
二、新课
向量法求点到平面的距离
B
n
A
O
1 、剖析 B O ： 平 ， 如 面垂 图 O ,则 足 ， B 到 点 为 平 的面 距离就是
线 B段 的 O 长度。
学习交流PPT
3
例 2、如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F
AB ( 2,1, 0), CB ( 2, 0, 0), CP (0, 1,1) ,
设平面 PBC 的法向量为 n ( x, y, z) ,
则
n
CB
0
z
n CP 0
(x, y, z)( 2,0,0) 0
(
x,
y,
z)
(0,
1,1)
0
∴
x y
0 z
x
令 y 1, n (0, 1, 1) ,d= 2
向量法求空间点到平面的距离
B
n
A
O
学习交流PPT
1
新课导入： 我们在路上行走时遇到障碍一般会绕过它，在生活中我们知道转弯，那 么在学习上也一样，要想求空间一点到平面距离，就必须找到或间接找 到它，而这样做恰恰是一个比较困难的问题，今天我们就让思维转个弯， 用向量法解决这个难题。
一、复习引入： 1、空间中如何求点到距面离？ 方法1、直接做或找距离； 方法2、等体积法； 方法3、空间向量。
2
学习交流PPT
y
7
BE(2,0,0)
设平面 EFG 的一个法向量A
为 n (x, y, z)
E
B
y
学习交流PPT
4
练习1
点到平面的距离-PPT课件
→ d＝|AP1|＝||AP|cos∠PAN|＝|A|Pn·|n|.
思考感悟
在求两条异面直线的距离，直线到平面的距离， 两个平面间的距离时能转化为点到平面的距离求 解吗？
提示：能．因为直线与平面平行，两个平面平 行时，直线上的点或其中一个平面上的点到另一 个平面的距离均相等，而两条异面直线可以构造 线面平行，所以在求以上距离时均可转化为点到 平面的距离．
解：以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标
系，由题设可知 D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(1，12，1)，
N(12，0,1)，B(1，1,0)．于是有 N→M＝(12，12，0)， A→M＝(0，12，1)，A→B ＝(0,1,0)．
取 BD 的中点 G，连接 GE，易知 M→N ＝E→F ， A→M＝G→E .
(2)s 是直线的方向向量，则 s0＝|ss|是直线的单 位方向向量，在求解时，一般先任取一个方向向量 s，然后求其单位向量 s0.
考点二 点到平面的距离 点到平面的距离的求法：
如图，BO⊥平面 α，垂足为 O，则点 B 到平面 α 的距
离就是线段 BO 的长度．
若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△BOA 中，
以 AB，AP，AO 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间
直角坐标系．则 A(0，0,0)，B(1,0,0)，P(0， 22，0)，D(－ 22，
22，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)． (1)设 AB 和 MD 的夹角为 θ，
∵A→B ＝(1,0,0)，
M→D ＝(－ 22， 22，－1)，
例2 如图，在四棱锥 O－ABCD 中，底面 ABCD 是
边长为 1 的菱形，∠ABC＝π4.OA⊥底面 ABCD， OA＝2，M 为 OA 的中点．求：
思考感悟
在求两条异面直线的距离，直线到平面的距离， 两个平面间的距离时能转化为点到平面的距离求 解吗？
提示：能．因为直线与平面平行，两个平面平 行时，直线上的点或其中一个平面上的点到另一 个平面的距离均相等，而两条异面直线可以构造 线面平行，所以在求以上距离时均可转化为点到 平面的距离．
解：以 D 为原点建立如图所示的空间直角坐标
系，由题设可知 D(0,0,0)，A(1,0,0)，M(1，12，1)，
N(12，0,1)，B(1，1,0)．于是有 N→M＝(12，12，0)， A→M＝(0，12，1)，A→B ＝(0,1,0)．
取 BD 的中点 G，连接 GE，易知 M→N ＝E→F ， A→M＝G→E .
(2)s 是直线的方向向量，则 s0＝|ss|是直线的单 位方向向量，在求解时，一般先任取一个方向向量 s，然后求其单位向量 s0.
考点二 点到平面的距离 点到平面的距离的求法：
如图，BO⊥平面 α，垂足为 O，则点 B 到平面 α 的距
离就是线段 BO 的长度．
若 AB 是平面 α 的任一条斜线段，则在 Rt△BOA 中，
以 AB，AP，AO 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间
直角坐标系．则 A(0，0,0)，B(1,0,0)，P(0， 22，0)，D(－ 22，
22，0)，O(0,0,2)，M(0,0,1)． (1)设 AB 和 MD 的夹角为 θ，
∵A→B ＝(1,0,0)，
M→D ＝(－ 22， 22，－1)，
例2 如图，在四棱锥 O－ABCD 中，底面 ABCD 是
边长为 1 的菱形，∠ABC＝π4.OA⊥底面 ABCD， OA＝2，M 为 OA 的中点．求：
第1课时 用空间向量研究距离问题 高中数学人教A版选择性必修第一册课件
A(0,0,0),C(1,1,0),N 1,0,
所以=
1
,0,1
2
1
2
1
,0,1
2
1
0,-1,
2
,M
,=
,
, =(1,1,0).
设 n=(x,y,z),且 n⊥,n⊥,
1
2
+ = 0,
· = 0,
所以
即
1
· = 0,
- + = 0,
2
= -2,
1
即
取 z=2,则 x=-4,y=1,
情境:在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 A 作直线
OB 的垂线,垂足为 A1,则1 就是 a 在 b 上的投影向量.
【思考】
已知两个非零向量 a,b,a 和 b 的夹角为 θ,那么 a 在 b 上
的投影是什么?a 在 b 上的投影向量是什么?
提示:a 在 b 上的投影为|a|cos θ,a 在 b 上的投影向量
5 5
ABC 的一个法向量.
由题意,知 =(-7,-7,7),
所以点 D 到平面 ABC
84
5
|·|
42 2
的距离为
= =
.
||
2
5
4.同类练如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,则点 A 到平面 BDC1 的
3 .
距离为
3
解析:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、
.
【思考】
(1)若“单位方向向量 u”变为“方向向量 s”,投影向量
,PQ 分别如何表示?
||
· ·
·
所以=
1
,0,1
2
1
2
1
,0,1
2
1
0,-1,
2
,M
,=
,
, =(1,1,0).
设 n=(x,y,z),且 n⊥,n⊥,
1
2
+ = 0,
· = 0,
所以
即
1
· = 0,
- + = 0,
2
= -2,
1
即
取 z=2,则 x=-4,y=1,
情境:在平面内任取一点 O,作=a,=b,过点 A 作直线
OB 的垂线,垂足为 A1,则1 就是 a 在 b 上的投影向量.
【思考】
已知两个非零向量 a,b,a 和 b 的夹角为 θ,那么 a 在 b 上
的投影是什么?a 在 b 上的投影向量是什么?
提示:a 在 b 上的投影为|a|cos θ,a 在 b 上的投影向量
5 5
ABC 的一个法向量.
由题意,知 =(-7,-7,7),
所以点 D 到平面 ABC
84
5
|·|
42 2
的距离为
= =
.
||
2
5
4.同类练如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1 的棱长为 1,则点 A 到平面 BDC1 的
3 .
距离为
3
解析:以 D 为坐标原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、
.
【思考】
(1)若“单位方向向量 u”变为“方向向量 s”,投影向量
,PQ 分别如何表示?
||
· ·
·
用空间向量研究距离、夹角问题(第1课时+用空间向量研究距离问题)课件
= -,
·1 = 2 + 2 = 0,
所以
所以 = -.
· = 2 + 2 = 0.
取x=1,则y=-1,z=-1.
所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.
所以点 D1 到平面 A1BD 的距离
|1 1 ·|
d= ||
=
2
3
=
2 3
.
3
(2)根据题意,知A1D1
, ,
2 6 3
,
3
=4,a·u= 3 .
所以点 C 到直线 AB1 的距离为
2
2
-(·)
=
33
.
3
探究二
点到平面的距离
【例2】 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求:
(1)点D1到平面A1BD的距离;
(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
分析:(1)由平面 A1BD 的法向量和向量1 1 可求出点 D1 到平面 A1BD 的
|1 |
= -
2
2
,0,
2
2
.
所以,点 M 到直线 AD1 的距离
d=
2 -(·)2
当 m=-
-
3
2×
2
=
=
2
+
2 1
(-) - 2 (-)2
=
3 2
-
2
1 2
时,根式内的二次函数取得最小值3a .
3
故 d 的最小值为
3
a.
3
+
1 2
.
2
反思感悟 用向量方法求直线外一点N到直线的距离的步骤
人教A版 数学 选择性必修
·1 = 2 + 2 = 0,
所以
所以 = -.
· = 2 + 2 = 0.
取x=1,则y=-1,z=-1.
所以,n=(1,-1,-1)是平面A1BD的一个法向量.
所以点 D1 到平面 A1BD 的距离
|1 1 ·|
d= ||
=
2
3
=
2 3
.
3
(2)根据题意,知A1D1
, ,
2 6 3
,
3
=4,a·u= 3 .
所以点 C 到直线 AB1 的距离为
2
2
-(·)
=
33
.
3
探究二
点到平面的距离
【例2】 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,求:
(1)点D1到平面A1BD的距离;
(2)平面A1BD与平面B1CD1间的距离.
分析:(1)由平面 A1BD 的法向量和向量1 1 可求出点 D1 到平面 A1BD 的
|1 |
= -
2
2
,0,
2
2
.
所以,点 M 到直线 AD1 的距离
d=
2 -(·)2
当 m=-
-
3
2×
2
=
=
2
+
2 1
(-) - 2 (-)2
=
3 2
-
2
1 2
时,根式内的二次函数取得最小值3a .
3
故 d 的最小值为
3
a.
3
+
1 2
.
2
反思感悟 用向量方法求直线外一点N到直线的距离的步骤
人教A版 数学 选择性必修
高中数学 第3章 空间向量与立体几何 3.7 点到平面的距离课件 湘教版选修2-1
→
d＝|AP1|＝___||_A_P_|_c_o_s_∠_P_A__N_|__＝___|_A_|Pn_·|_n_| __．
1．已知直线 l 过点 A(1，－1，2)，和 l 垂直的一个向量为 n＝
(－3，0，4)，则 P(3，5，0)到 l 的距离为( )
A．5
B．14
C.154
D.45
答案：C
2．已知直线 l 与平面 α 相交于点 O，A∈l，B 为线段 OA 的中
d＝
|B→C|2－B→|CA→·′AC→′|C2＝
16 4－14
＝2
35 7.
用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向 量上的射影长； (4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到 直线的距离之间的转化．
则 A(4，0，0)，B(0，3，0)，P0，0，95， 所以A→B＝(－4，3，0)，A→P＝－4，0，95， 所以A→P在 AB 上的投影长为|A→P|A·→BA→| B|＝156， 所以点 P 到 AB 的距离为 d＝ |A→P|2－1562＝ 16＋8215－22556＝3. 答案：3
点到直线的距离 如图，在空间直角坐标系中有长方体 ABCD-A′B′C′D′， AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点 B 到直线 A′C 的距离．
又 AC∥平面 PEF，
所以
AC
到平面
PEF
的距离为
17 17 .
用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系； (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标； (3)求向量：求出相关向量的坐标； (4)利用公式即可求得点到平面的距离．
d＝|AP1|＝___||_A_P_|_c_o_s_∠_P_A__N_|__＝___|_A_|Pn_·|_n_| __．
1．已知直线 l 过点 A(1，－1，2)，和 l 垂直的一个向量为 n＝
(－3，0，4)，则 P(3，5，0)到 l 的距离为( )
A．5
B．14
C.154
D.45
答案：C
2．已知直线 l 与平面 α 相交于点 O，A∈l，B 为线段 OA 的中
d＝
|B→C|2－B→|CA→·′AC→′|C2＝
16 4－14
＝2
35 7.
用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系； (2)求直线的方向向量； (3)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向 量上的射影长； (4)利用勾股定理求解．另外，要注意平行直线间的距离与点到 直线的距离之间的转化．
则 A(4，0，0)，B(0，3，0)，P0，0，95， 所以A→B＝(－4，3，0)，A→P＝－4，0，95， 所以A→P在 AB 上的投影长为|A→P|A·→BA→| B|＝156， 所以点 P 到 AB 的距离为 d＝ |A→P|2－1562＝ 16＋8215－22556＝3. 答案：3
点到直线的距离 如图，在空间直角坐标系中有长方体 ABCD-A′B′C′D′， AB＝1，BC＝2，AA′＝3，求点 B 到直线 A′C 的距离．
又 AC∥平面 PEF，
所以
AC
到平面
PEF
的距离为
17 17 .
用向量法求点面距的步骤 (1)建系：建立恰当的空间直角坐标系； (2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标； (3)求向量：求出相关向量的坐标； (4)利用公式即可求得点到平面的距离．
用向量法求空间距离课件
奇异点
在某些情况下，向量法求空间距离可 能会遇到奇异点，即某些点的坐标值 可能为无穷大或不确定。对于这些点 ，应采取适当的处理方式，如排除或 进行特殊处理。
实际应用中的考虑因素
坐标系选择
在实际应用中，应根据问题的具体情 况选择合适的坐标系，如笛卡尔坐标 系、极坐标系等。不同的坐标系可能 会影响向量法求空间距离的结果。
03
向量法求空间距离的实例解析
点到直线的距离实例
总结词
利用向量法求点到直线的最短距离
详细描述
首先，我们需要确定直线和点在三维空间中的坐标。然后，通过向量的点积和向量的模长，我们可以计算出点到 直线的向量。最后，利用向量法公式，我们可以求出点到直线的最短距离。
点到平面的距离实例
总结词
利用向量法求点到平面的最短距离
未来研究的方向与展望
1 2
深入研究向量法的理论基础
进一步探讨向量法的数学基础和原理，提高其理 论水平。
拓展向量法的应用领域
发掘向量法在其他领域的应用价值，如机器学习 、数据分析和人工智能等。
3
开发向量法的算法优化
针对向量法的计算过程进行优化，提高其计算效 率和精度。
THANKS
感谢观看
用向量法求空间距离课件
目 录
• 向量法求空间距离的基本概念 • 向量法求空间距离的公式推导 • 向量法求空间距离的实例解析 • 向量法求空间距离的注意事项 • 总结与展望
01
向量法求空间距离的基本概念
向量的概念
向量
既有大小又有方向的量。
向量的表示
用有方向的线段表示向量，线段的长度表示向量 的大小，箭头表示向量的方向。
向量法求空间距离的优势与局限性
• 适用范围广：向量法不仅可以用于求解空间距离，还可以 用于解决其他几何问题。
在某些情况下，向量法求空间距离可 能会遇到奇异点，即某些点的坐标值 可能为无穷大或不确定。对于这些点 ，应采取适当的处理方式，如排除或 进行特殊处理。
实际应用中的考虑因素
坐标系选择
在实际应用中，应根据问题的具体情 况选择合适的坐标系，如笛卡尔坐标 系、极坐标系等。不同的坐标系可能 会影响向量法求空间距离的结果。
03
向量法求空间距离的实例解析
点到直线的距离实例
总结词
利用向量法求点到直线的最短距离
详细描述
首先，我们需要确定直线和点在三维空间中的坐标。然后，通过向量的点积和向量的模长，我们可以计算出点到 直线的向量。最后，利用向量法公式，我们可以求出点到直线的最短距离。
点到平面的距离实例
总结词
利用向量法求点到平面的最短距离
未来研究的方向与展望
1 2
深入研究向量法的理论基础
进一步探讨向量法的数学基础和原理，提高其理 论水平。
拓展向量法的应用领域
发掘向量法在其他领域的应用价值，如机器学习 、数据分析和人工智能等。
3
开发向量法的算法优化
针对向量法的计算过程进行优化，提高其计算效 率和精度。
THANKS
感谢观看
用向量法求空间距离课件
目 录
• 向量法求空间距离的基本概念 • 向量法求空间距离的公式推导 • 向量法求空间距离的实例解析 • 向量法求空间距离的注意事项 • 总结与展望
01
向量法求空间距离的基本概念
向量的概念
向量
既有大小又有方向的量。
向量的表示
用有方向的线段表示向量，线段的长度表示向量 的大小，箭头表示向量的方向。
向量法求空间距离的优势与局限性
• 适用范围广：向量法不仅可以用于求解空间距离，还可以 用于解决其他几何问题。
1.2.5 空间中的距离 课件
距离.
解：依题意，, , 是两两互相垂直的.
以为原点，, , 的方向分别为轴、轴、
轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则
(1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,0,1),
所以 = (0,1,0), = (−1,0,1), = (0,1, −1).
解：以为原点，��，, 1 的方向分别为轴、
轴、轴正方向，正方体的棱长为2个单位长度，建立如
图所示的空间直角坐标系.则
(1,0,0)，(2,1,2), (0,2,1), (2,0,0), (0,2,0),
所以 = (1,1,2), = (−1,2,1), = (−2,2,0).
思维导图
PAR T T W O
复习引入
PAR T T H R E E
“距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距
离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等。
数学中的“距离” 的概念是从生活中的具体问题中抽象出来的，
要求具有准确的定义，以避免歧义，到目前为止，你学过哪些平
面内的“距离” ？这些“距离”的定义有什么共同点？由此你能
设平面的一个法向量为 = (, , )，则
∙ = + + 2 = 0
∙ = − + 2 + = 0
令 = 1，则得 = (−1, −1,1).
因为 ∙ = (−2) × (−1) + 2 × (−1) + 0 × 1 = 0,
所以 ⊥ ，又因为点显然不在平面内，所以
(−1) +(−1) +1
3
因此点到平面的距离为 ，
3
=
|(−1)×1+(−1)×0+1×0|
解：依题意，, , 是两两互相垂直的.
以为原点，, , 的方向分别为轴、轴、
轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则
(1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,0,1),
所以 = (0,1,0), = (−1,0,1), = (0,1, −1).
解：以为原点，��，, 1 的方向分别为轴、
轴、轴正方向，正方体的棱长为2个单位长度，建立如
图所示的空间直角坐标系.则
(1,0,0)，(2,1,2), (0,2,1), (2,0,0), (0,2,0),
所以 = (1,1,2), = (−1,2,1), = (−2,2,0).
思维导图
PAR T T W O
复习引入
PAR T T H R E E
“距离”在生活中随处可见，例如，我们常说某两地之间的距
离是多少，汽车的刹车距离是多少，等等。
数学中的“距离” 的概念是从生活中的具体问题中抽象出来的，
要求具有准确的定义，以避免歧义，到目前为止，你学过哪些平
面内的“距离” ？这些“距离”的定义有什么共同点？由此你能
设平面的一个法向量为 = (, , )，则
∙ = + + 2 = 0
∙ = − + 2 + = 0
令 = 1，则得 = (−1, −1,1).
因为 ∙ = (−2) × (−1) + 2 × (−1) + 0 × 1 = 0,
所以 ⊥ ，又因为点显然不在平面内，所以
(−1) +(−1) +1
3
因此点到平面的距离为 ，
3
=
|(−1)×1+(−1)×0+1×0|
用空间向量研究距离、夹角问题 课件
（1）求平面的法向量
n;
（2）选择参考向量 AP(其中点A为平面内任意一点 )；
（3）代入点到平面的距离公式求解距离.
思考： 类似地，请同学们研究如何求两个平行平面的距离.
直线与平面平行时，直 直线上的任意一点到平
线与平面的距离可以转
面的距离；
n
化为 P
l
αA 平面与平面平行时，两 个平面间的距离可以转 化为 其中一个平面上任意一 点到另一个平面的距离 .
5.平面与平面平行时，两个平面间的距离可以转化为 其中一个平面上任意一点到另一个平面的距离.
布置作业：
同步训练里《跟踪练习》
巩固练习：
1.在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，
（1）点A到平面B1C的距离为
D1
（2）直线DC到平面AB1的距离为
A1
（3）平面DA1到平面CB1的距离为
D
A
C1 B1
C B
2.如图，在棱长为 1的正方体 ABCD A1B1C1D1中，
E为DD1的中点， F为线段 BB1的中点.
第一章空间向量与立体几何
1.4空间向量的应用（2） ——用空间向量研究距离、夹角问题
第一课时
导入新课：
我们知道, 立体几何中的距离问题 包括点到直线、点到 平面、两条平行直线以 及两个平行平面的距离 问题等. 如何用空间向量解决这些问题呢？
学习新课：
1. 点到直线的距离：探究：已知直线 l的单位向量
a
b
a b
2
距离？ 可转化为求其中一条直 线上 的点到另一条直线的距 离.
练习：
如图，在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，
（1）点A到直线D1C的距离为
《空间向量求距离》课件
点到直线的距 离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以求解 点到直线的最短距离。
点到平面的距 离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以求解 点到平面的最短距离。
线段间的距离
通过向量的数量积和 向量的叉积可以计算 线段间的距离。
示例演示
我们将通过具体的示 例来演示如何计算不 同情况下的空间向量 的距离。
总结
空间向量的加减法
1
减法定义
2
向量的减法是指将减去的向量的对应分
量与被减向量的对应分量相减，得到一
个新的向量。
3
加法定义
向量的加法是指将两个向量的对应分量 相加，得到一个新的向量。
示例演示
通过具体的示例演示，我们将更好地理 解向量的加减法。
空间向量的数量积
1
数量积性质
2
数量积具有交换律、分配律和结合律等
空间向量基础知识
通过本课件，您已经掌握了 空间向量的基础概念和性质。
空间向量的运算和性质
您已经学会了空间向量的加 减法、数量积和向量积等运 算。
空间向量求距离的方法
通过向量的数量积和叉积， 您可以计算点到直线、点到 平面和线段间的距离。
Q&A
在本节中，您可以向我们提问，并得到关于空间向量的解答。
性质。
3
数量积定义
数量积是指两个向量的对应分量相乘再 相加的结果。
示例演示
我们将通过一些实例来展示数量积的具 体应用。
空间向量的向量积
向量积的定义
向量积是指两个向量 通过向量积公式计算 而得到的另一个向量。
向量积的性质
向量积具有垂直于原 向量的性质，可用于 求平面的法向量。
向量积的意义
向量积在物理学、几 何学等领域中有广泛 的应用。
1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题(第二课时)课件(共15张PPT)
z
CP B
解：①化为向量问题
A
R
建立如图空间直角坐标系 设平面 A1B1C1的法向量为 n1， 平面PQR的法向量为 n2
Q
C1
A1 x
B1 y
则平面PQR与平面A1B1C1夹角就是 n1，n2 的夹角或其补角
②进行向量运算
C1C 平面A1B1C1
平面A1B1C1的一个法向量为 n1 (0,0,1)
成的角为 ，直线AB的方向向量为 u，平面 的法向量为 n，
则
A
sin cos u, n | u n | u n
un un
u
n
B CC
三、用向量求两个平面的夹角
如图，平面 与平面 相交，形式 4个二面角，我们把这 4个二面角中不大于 90的二面角称为平面 与平面 的夹角
n1
l
P
n Q
A
一、用向量求两异面直线的夹角
例7 如图，在棱长为1的四面体ABCD中，M、N分别为BC、
AD的中点，求直线AM和CN夹角的余弦值.
A
解：①化为向量问题
N
取{CA, CB, CD}为基底 MA CA CM CA 1 CB
2 CN 1 (CA CD
2
B
D
M
C
设 MA,CN , 则直线AM和CN夹角的余弦值为 :| cos |
1.4.2用空间向量研究距离、 夹角问题
(第二课时)
复习 1、用向量求点到直线的距离 AP a ，u 是直线 l 的单位方向向量
P 到直线 l 的距离为：PQ a2 (a u)2
u
P
A Ql
2、用向量求点到平面的距离
的法向量为 n , 则点 P 到平面 距离为：
利用空间向量求空间距离 课件
AB和AP的距离．
解析：(1)建立如下图所示的空间直角坐标系，则 A，
B，C，D，P，E 的坐标为 A(0,0,0)、B( 3，0,0)、
C( 3，1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E0，12，1，
从而A→C＝( 3，1,0)， P→B＝( 3，0，－2)． 设A→C与P→B的夹角为 θ，则 cos θ＝A|→A→CC×||P→P→BB| ＝2 3 7＝3147，
利用空间向量求空间距离
1．空间中的距离主要有：__________________.
2．若已知点A到平面α上一点M的距离，则点A到平 面α的距离AB的长就是向量____________方向上的投影．
3|A．B|线＝面|A→M距|c、os〈面A面→M距，全u〉可或以|A转B|＝化|A为→M|u_|·_u_| _____距来进行 解答．
∴AC 与 PB 所成角的余弦值为3147.
(2)由于 N 点在侧面 PAB 内，故可设 N 点坐标为 (x,0，z)，则
N→E＝－x，21，1－z，由 NE⊥面 PAC 可得，
N→E·A→P＝0， N→E·A→C＝0.
－x，12，1－z·0，0，2＝0，
即
－x，12，1－z· 3，1，0＝0.
z－1＝0， 化简得－ 3x＋21＝0.
＝－34＋34＝0，即 BE⊥EB1.
又 AB⊥侧面 BB1C1C，故 AB⊥BE. 因此 BE 是
异面直线 AB，EB1 的公垂线，则|B→E|＝
34＋14＝1，
故异面直线 AB 与 EB1 的距离为 1. (2)由已知有E→A⊥E→B1，B→1A1⊥E→B1，故二面角
A－EB1－A1 的平面角 θ 的大小为向量B→1A1与E→A的夹角．
解析：(1)建立如下图所示的空间直角坐标系，则 A，
B，C，D，P，E 的坐标为 A(0,0,0)、B( 3，0,0)、
C( 3，1,0)、D(0,1,0)、P(0,0,2)、E0，12，1，
从而A→C＝( 3，1,0)， P→B＝( 3，0，－2)． 设A→C与P→B的夹角为 θ，则 cos θ＝A|→A→CC×||P→P→BB| ＝2 3 7＝3147，
利用空间向量求空间距离
1．空间中的距离主要有：__________________.
2．若已知点A到平面α上一点M的距离，则点A到平 面α的距离AB的长就是向量____________方向上的投影．
3|A．B|线＝面|A→M距|c、os〈面A面→M距，全u〉可或以|A转B|＝化|A为→M|u_|·_u_| _____距来进行 解答．
∴AC 与 PB 所成角的余弦值为3147.
(2)由于 N 点在侧面 PAB 内，故可设 N 点坐标为 (x,0，z)，则
N→E＝－x，21，1－z，由 NE⊥面 PAC 可得，
N→E·A→P＝0， N→E·A→C＝0.
－x，12，1－z·0，0，2＝0，
即
－x，12，1－z· 3，1，0＝0.
z－1＝0， 化简得－ 3x＋21＝0.
＝－34＋34＝0，即 BE⊥EB1.
又 AB⊥侧面 BB1C1C，故 AB⊥BE. 因此 BE 是
异面直线 AB，EB1 的公垂线，则|B→E|＝
34＋14＝1，
故异面直线 AB 与 EB1 的距离为 1. (2)由已知有E→A⊥E→B1，B→1A1⊥E→B1，故二面角
A－EB1－A1 的平面角 θ 的大小为向量B→1A1与E→A的夹角．
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用空间向量求点到面的距离
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
P
一、求点到平面的距离
一般方法：
d
利用定义先作出过
这个点到平面的垂
线段，再计算这个
O
垂线段的长度。
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
向量法求点到平面的距离
d
sin uuur d | AP | sin
AP
P
r
uuur r
n
sin |uAuuPr nr |
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
利用向量点到平面的距离
如何利用空间向量求点到平面的距离：
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
r uuur r
uuur r
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
代入公式
∴d＝|G|An|·n|＝
1＝ 3
33，
即点
A
到平面
EFG
的距离为
3 3.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
工具
第三章 空间向量与立体几何
2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
3、求法向量—求出平面的一个uuu法r 向r 量 4、代入公式—通过公式 d | APr n | 代入求解．
n
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
练考题、验能力、轻巧夺冠
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
[题后感悟] 用向量法求点面距的方法与步骤
上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的
工绝具对值.
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
答案：
10 3
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
[例1] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别 是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解： 建系 如图,建立空间直角坐标系，
求向量 求法向量
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
P r
则
d=|
uuur PO
|=|
uuur PA
|
cos
APO.
n
∵
uuur PO
⊥
,
r n
,
∴
uuur PO
∥
r n
.
∴cos∠APO=|cos
uuur PA,
r nLeabharlann |.A O∴d=|
uuur PA
||cos
uuur PA,
r n
|=
|
uuur PuAur
r n
|
.
|n|
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面
d
AP n
uuur r d | APr n |
n
O
A
uuur
r
其中 AP 为斜向量，n 为法向量。
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)， 点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________． 解析： d＝|P→|An·|n|＝|1×－2－＋222×＋－－22＋2＋－124×1| ＝130.
uuur
uuur
∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
uur GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
uuur
则n·uEuFur ＝0， n·EG ＝0，
∴x2－ x－2yy＋ －zz＝ ＝00， ，
∴x＝y＝z.可取 n＝(1,1,1)，
uur
栏目导引
令x＝2，则y＝2，z＝3， 所以n＝(2,2,3)， 所以点D到平面PEF的距离为d＝|D→|En·| n| ＝ 4|2＋＋41＋| 9＝137 17， 因此，点D到平面PEF的距离为137 17.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
用向量方法求点到平面的距离时： 1、建坐标系—建立恰当的空间直角坐标系
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
P
一、求点到平面的距离
一般方法：
d
利用定义先作出过
这个点到平面的垂
线段，再计算这个
O
垂线段的长度。
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
向量法求点到平面的距离
d
sin uuur d | AP | sin
AP
P
r
uuur r
n
sin |uAuuPr nr |
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
利用向量点到平面的距离
如何利用空间向量求点到平面的距离：
如图 A, 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的
r uuur r
uuur r
一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
代入公式
∴d＝|G|An|·n|＝
1＝ 3
33，
即点
A
到平面
EFG
的距离为
3 3.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
变式练习：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD， 且PD＝1，E，F分别为AB，BC的中点．求点D到平面PEF的距 离；
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解析：建立以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴， y轴，z轴的空间直角坐标系，如图所示．
则P(0,0,1)，A(1,0,0)，C(0,1,0)， E1，12，0，F12，1，0， E→F＝－12，12，0，P→E＝1，12，－1， 设平面PEF的法向量n＝(x，y，z)， 则n·E→F＝0，且n·P→E＝0， 所以－12x＋12y＝0， x＋12y－z＝0.
工具
第三章 空间向量与立体几何
2、求向量—求点到平面内任一点对应的向量AP
3、求法向量—求出平面的一个uuu法r 向r 量 4、代入公式—通过公式 d | APr n | 代入求解．
n
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
练考题、验能力、轻巧夺冠
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
[题后感悟] 用向量法求点面距的方法与步骤
上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的
工绝具对值.
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
答案：
10 3
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
[例1] 正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E,F,G分别 是C1C,D1A1,AB的中点，求点A到平面EFG的距离．
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
解： 建系 如图,建立空间直角坐标系，
求向量 求法向量
则 A(2,0,0)，E(0,2,1)，F(1,0,2)，G(2,1,0)，
P r
则
d=|
uuur PO
|=|
uuur PA
|
cos
APO.
n
∵
uuur PO
⊥
,
r n
,
∴
uuur PO
∥
r n
.
∴cos∠APO=|cos
uuur PA,
r nLeabharlann |.A O∴d=|
uuur PA
||cos
uuur PA,
r n
|=
|
uuur PuAur
r n
|
.
|n|
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面
d
AP n
uuur r d | APr n |
n
O
A
uuur
r
其中 AP 为斜向量，n 为法向量。
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第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
练习．已知平面α的一个法向量n＝(－2，－2,1)， 点A(－1,3,0)在α内，则P(－2,1,4)到α的距离为________． 解析： d＝|P→|An·|n|＝|1×－2－＋222×＋－－22＋2＋－124×1| ＝130.
uuur
uuur
∴ EF ＝(1，－2,1)， EG ＝(2，－1，－1)，
uur GA＝(0，－1,0).设 n＝(x，y，z)是平面 EFG 的法向量，
uuur
则n·uEuFur ＝0， n·EG ＝0，
∴x2－ x－2yy＋ －zz＝ ＝00， ，
∴x＝y＝z.可取 n＝(1,1,1)，
uur
栏目导引
令x＝2，则y＝2，z＝3， 所以n＝(2,2,3)， 所以点D到平面PEF的距离为d＝|D→|En·| n| ＝ 4|2＋＋41＋| 9＝137 17， 因此，点D到平面PEF的距离为137 17.
工具
第三章 空间向量与立体几何
栏目导引
用向量方法求点到平面的距离时： 1、建坐标系—建立恰当的空间直角坐标系