用空间向量求点到平面的距离(人教A版)(含答案)

点到面距离空间向量公式- 设平面α的法向量为→n，平面α内一点A，平面α外一点P。

- 向量→PA在法向量→n方向上的投影的绝对值就是点P到平面α的距离d。

- 根据向量投影公式，向量→a在向量→b上的投影为frac{→a·→b}{|→b|}。

- 那么点P到平面α的距离d = |frac{→PA·→n}{|→n|}|。

2. 公式应用示例。

- 例如，已知平面α的方程为2x - y+z = 0，求点P(1,1,1)到平面α的距离。

- 平面α的法向量→n=(2, - 1,1)。

- 在平面α内任取一点A，不妨令x = 0,y = 0，则z = 0，即A(0,0,0)。

- 向量→PA=(0 - 1,0 - 1,0 - 1)=(-1,-1,-1)。

- 根据距离公式d=|frac{→PA·→n}{|→n|}|，→PA·→n=(-1)×2+(-1)×(-1)+(-1)×1=-2 + 1-1=-2，|→n|=√(2^2)+(-1)^{2+1^2}=√(4 + 1+1)=√(6)。

- 所以d=|(-2)/(√(6))|=(√(6))/(3)。

3. 相关知识点补充（人教版教材关联）- 在人教版教材中，这一知识点是在空间向量章节中。

- 学习这一公式之前，需要熟练掌握空间向量的基本运算，如向量的加减法、向量的数量积等。

- 同时，要理解法向量的概念，平面的法向量垂直于平面内的所有向量。

在求平面法向量时，通常根据平面方程的系数来确定，对于平面Ax + By + Cz+D = 0，其法向量为→n=(A,B,C)。

- 在应用公式计算点到面距离时，准确找出平面内一点和平面的法向量是关键。

如果平面方程没有直接给出，可能需要通过已知条件先求出平面方程，再求法向量进行距离计算。

1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题第1课时 距离问题学习 任 务核 心 素 养1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题．(重点)2.能描述解决距离问题的程序,体会向量方法在研究几何问题中的作用．(难点、易混点)空间中点、线、面距离的相互转化,培养直观想象和数学运算素养.立交桥是伴随高速公路应运而生的．城市的立交桥不仅大大方便了交通,而且成为城市建设的美丽风景．为了车流畅通,并安全地通过交叉路口,1928年,美国首先在新泽西州的两条道路交叉处修建了第一座苜蓿叶形公路交叉桥.1930年,芝加哥建起了一座立体交叉桥.1931年至1935年,瑞典陆续在一些城市修建起立体交叉桥．从此,城市交通开始从平地走向立体．在设计过程中工程师需要计算出上、下纵横高速公路之间的距离、立交桥上的高速公路与地面之间的距离,工程师如何计算出来？如图,直线l 的单位方向向量为u ,A 是直线l 上的定点,P 是直线l 外一点．设AP →＝a ,则向量AP →在直线l 上的投影向量AQ →＝(a·u )u .在Rt △APQ 中,由勾股定理,得点P 到直线l 的距离为PQ ＝|AP →|2－|AQ →|2＝a 2－(a ·u )2.如何用向量的方法求两条平行线的距离？[提示] 两条平行线的距离可转化为其中一条直线上任一点到另一条直线的距离．1.已知直线l 过定点A (2,3,1),且方向向量为s ＝(0,1,1),则点P (4,3,2)到l 的距离d 为( )A ．322B ．22C ．102D ．2A [AP →＝(2,0,1),由点到直线的距离公式得d ＝|AP →|2－|AP →·s |s ||2＝5－⎝⎛⎭⎫122＝322.]知识点2 点P 到平面α的距离如图,已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点．过点P 作平面α的垂线l ,交平面α于点Q ,则n 是直线l 的方向向量,且点P 到平面α的距离就是AP →在直线l 上的投影向量QP →的长度．因此PQ ＝⎪⎪⎪⎪AP →·n |n |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AP →·n |n |＝|AP →·n ||n |.2.已知平面α的一个法向量为n ＝(－2,－2,1),点A (－1,3,0)在平面α内,则点P (－2,1,4)到平面α的距离为________．103[由题意知,AP →＝(－1,－2,4),|n |＝(－2)2＋(－2)2＋1＝3, AP →·n ＝(－1)×(－2)＋(－2)×(－2)＋4×1＝10, ∴点P 到平面α的距离为|AP →·n ||n |＝103.]类型1 点到直线的距离【例1】 已知在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是C 1C ,D 1A 1的中点,求点A 到EF 的距离．[解] 以D 点为原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系如图所示,设DA ＝2,则A (2,0,0),E (0,2,1),F (1,0,2),则EF →＝(1,－2,1),F A →＝(1,0,－2)．|EF →|＝12＋(－2)2＋12＝6,|F A →|2＝5,F A →·EF →＝1×1＋0×(－2)＋(－2)×1＝－1, F A →在EF →上的投影向量的长度为|F A →·EF →||EF →|＝16.所以点A 到EF 的距离d＝|F A →|2－⎝⎛⎭⎫162＝296＝1746.用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)建立空间直角坐标系,并求相应点的坐标． (2)求出直线的方向向量a 的坐标,并求|a |2.(3)求以直线上某一特殊点为起点,所求点为终点的向量b 的坐标,并求|b |,计算a·b |b |. (4)利用|a |2－⎝⎛⎭⎫a·b |b |2求点到直线的距离．[跟进训练]1.如图,在空间直角坐标系中有长方体ABCD -A ′B ′C ′D ′,AB ＝1,BC ＝2,AA ′＝3,求点B 到直线A ′C 的距离．[解] 因为AB ＝1,BC ＝2,AA ′＝3,所以A ′(0,0,3),C (1,2,0),B (1,0,0),所以直线A ′C 的方向向量A ′C →＝(1,2,－3)．CB →＝(0,－2,0),|A ′C →|＝14,|CB →|2＝4,所以CB →在A ′C →上的投影向量的长度为|CB →·A ′C →||A ′C →|＝414,所以点B 到直线A ′C 的距离d ＝|BC →|2－⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪BC →·A ′C →|A ′C →|2＝4－1614＝2357. 类型2 点到平面的距离【例2】 (对接教材P 34例题)如图,△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形,平面MCD ⊥平面BCD ,AB ⊥平面BCD ,AB ＝23,求点A 到平面MBC 的距离．[解] 取CD 的中点O ,连接OB ,OM ,则OB ⊥CD ,OM ⊥CD ,又平面MCD ⊥平面BCD ,所以MO ⊥平面BCD ．以O 为坐标原点,分别以直线OC ,BO ,OM 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Oxyz ,如图所示．因为△BCD 与△MCD 都是边长为2的正三角形,所以OB ＝OM ＝3,则O (0,0,0),C (1,0,0),M (0,0,3),B (0,－3,0),A (0,－3,23),所以BC →＝(1,3,0),BM →＝(0,3,3),BA →＝(0,0,23)．设平面MBC 的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 由⎩⎪⎨⎪⎧ n ⊥BC →，n ⊥BM →，得⎩⎪⎨⎪⎧n ·BC →＝0，n ·BM →＝0，即⎩⎨⎧x ＋3y ＝0，3y ＋3z ＝0，取x ＝3,可得平面MBC 的一个法向量为n ＝(3,－1,1)． 又BA →＝(0,0,23),所以所求距离d ＝|BA →·n ||n |＝2155.试总结用向量法求点到平面距离的步骤？[提示][跟进训练]2．如图,在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是A 1B 1,CD 的中点,求点B 到截面AEC 1F 的距离．[解] 如图,以D 为坐标原点,分别以DA ,DC ,DD 1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则A (1,0,0),F ⎝⎛⎭⎫0，12，0,E ⎝⎛⎭⎫1，12，1,B (1,1,0),∴AE →＝⎝⎛⎭⎫0，12，1,AF →＝⎝⎛⎭⎫－1，12，0. 设平面AEC 1F 的一个法向量为n ＝(1,λ,μ), 则n ·AE →＝0,n ·AF →＝0,∴⎩⎨⎧12λ＋μ＝0，－1＋12λ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝－1，∴n ＝(1,2,－1)． 又∵AB →＝(0,1,0),∴点B 到截面AEC 1F 的距离d ＝|AB →·n ||n |＝26＝63.类型3 直线和平面、平面和平面的距离【例3】 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2,E ,M ,N 分别为A 1B 1,AD ,CC 1的中点,判断直线AC 与平面EMN 的关系．如果平行,求出AC 与平面EMN 之间的距离；如果不平行,说明理由．[解] 以D 为原点,DA →,DC →,DD 1→的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系．则M (1,0,0),E (2,1,2), N (0,2,1),A (2,0,0), C (0,2,0), 所以ME →＝(1,1,2), MN →＝(－1,2,1), AC →＝(－2,2,0)．设平面EMN 的一个法向量为n ＝(x ,y ,z ),则 ⎩⎪⎨⎪⎧n ·ME →＝x ＋y ＋2z ＝0，n ·MN →＝－x ＋2y ＋z ＝0， 令z ＝1,则得n ＝(－1,－1,1)．因为AC →·n ＝(－2)×(－1)＋2×(－1)＋0×1＝0,所以AC →⊥n ,又因为点A 显然不在平面EMN 内,所以AC 与平面EMN 平行． 又因为MA →＝(1,0,0),所以|n ·MA →||n |＝|(－1)×1＋(－1)×0＋1×0|(－1)2＋(－1)2＋12＝33, 因此点A 到平面EMN 的距离为33,这也是AC 与平面EMN 之间的距离．直线与平面、平面与平面距离的求法(1)建立空间直角坐标系,求相应点的坐标． (2)求出直线的方向向量,平面的法向量．(3)先证明直线与平面、平面与平面平行,然后把所求距离转化为点到平面的距离． (4)求出点到平面的距离即为所求距离．[跟进训练]3.在直三棱柱中,AA 1＝AB ＝BC ＝3,AC ＝2,D 是AC 的中点．(1)求证：B 1C ∥平面A 1BD ； (2)求直线B 1C 到平面A 1BD 的距离．[解] (1)证明：连接AB 1交A 1B 于点E ,连接DE .⎭⎪⎬⎪⎫DE ∥B 1C ，DE ⊂平面A 1BD ⇒B 1C ∥平面A 1BD ．(2)因为B 1C ∥平面A 1BD ,所以B 1C 到平面A 1BD 的距离就等于点B 1到平面A 1BD 的距离． 如图建立坐标系, 则B 1(0,22,3), B (0,22,0),A 1(－1,0,3), DB 1→＝(0,22,3), DB →＝(0,22,0), DA 1→＝(－1,0,3)．设平面A 1BD 的法向量为n ＝(x ,y ,z ),所以⎩⎨⎧22y ＝0，－x ＋3z ＝0，所以n ＝(3,0,1)．所求距离为d ＝|n ·DB 1→||n |＝31010.1．已知A (0,0,2),B (1,0,2),C (0,2,0),则点A 到直线BC 的距离为( ) A ．223 B ．1 C ．2 D ．22A [∵A (0,0,2),B (1,0,2),C (0,2,0),AB →＝(1,0,0),BC →＝(－1,2,－2), ∴点A 到直线BC 的距离为d ＝|AB →|2－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫AB →·BC →|BC →|2＝1－⎝⎛⎭⎫－132＝223.]2．若三棱锥P -ABC 的三条侧棱两两垂直,且满足P A ＝PB ＝PC ＝1,则点P 到平面ABC 的距离是( )A ．66 B ．63 C ．36D ．33D [分别以P A ,PB ,PC 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系, 则A (1,0,0),B (0,1,0),C (0,0,1)．可以求得平面ABC 的一个法向量为n ＝(1,1,1), 则d ＝|P A →·n ||n |＝33.]3．两平行平面α,β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1),且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1),则两平面间的距离是( )A ．32B ．22C ． 3D ．32B [∵两平行平面α,β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1),OA →＝(2,1,1),且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1),∴两平面间的距离d ＝|n ·OA →||n |＝|－2＋0＋1|2＝22.故选B ．]4．已知直线l 经过点A (2,3,1),且向量n ＝(1,0,－1)所在直线与l 垂直,则点P (4,3,2)到l 的距离为________．22[因为P A →＝(－2,0,－1),又n 与l 垂直, 所以点P 到l 的距离d ＝|P A →·n ||n |＝|－2＋1|2＝22.]5．棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M ,N 分别是线段BB 1,B 1C 1的中点,则直线MN 到平面ACD 1的距离为________．32[如图,以点D 为坐标原点,DA ,DC ,DD 1所在直线分别为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系．则D (0,0,0),C (0,1,0),D 1(0,0,1),M ⎝⎛⎭⎫1，1，12,A (1,0,0), ∴AM →＝⎝⎛⎭⎫0，1，12,AC →＝(－1,1,0),AD 1→＝(－1,0,1)．设平面ACD 1的法向量为n ＝(x ,y ,z ), 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC →＝0，n ·AD 1→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.令x ＝1,则y ＝z ＝1,∴n ＝(1,1,1)．∴点M 到平面ACD 1的距离d ＝|AM →·n ||n |＝32.又MN →綊12AD 1→,故MN ∥平面ACD 1,故直线MN 到平面ACD 1的距离为32.]回顾本节知识,自我完成以下问题：(1)用空间向量求点到直线的距离的方法是什么？[提示] 已知直线l 的单位方向向量为u ,A 是直线l 上的定点,P 是直线l 外一点,则点P 到直线l 的距离为|AP →|2－(AP →·u )2.(2)用空间向量求点到平面的距离的方法是什么？[提示] 已知平面α的法向量为n ,A 是平面α内的定点,P 是平面α外一点,则点P 到平面α的距离是|AP →·n ||n |.(3)如何用空间向量求直线和平面、平面和平面的距离？[提示] 先证明直线和平面平行,平面和平面平行,然后把所求距离转化为点到平面的距离,最后利用点到平面的距离公式求解．。