向量法求空间点到平面的距离课件

空间向量点到平面距离求法在三维空间中，我们经常需要计算一个给定点到一个给定平面的距离。

这个问题可以被称为”空间向量点到平面的距离求法”。

本文将详细介绍该求解方法。

1. 定义首先，我们需要明确一些基本的几何概念。

一个平面可以由一个点和一个法向量来唯一确定。

记平面上的一点为P，平面的法向量为n。

对于空间中的任意一点Q，我们定义点Q到平面的距离为点Q到平面的垂直距离，记作d(Q,Pn)。

2. 求解方法为了求解点Q到平面的距离，我们需要以下步骤：2.1 平面的方程首先，我们需要确定平面的方程。

一个平面P可以表示为Ax + By + Cz + D = 0的形式，其中A、B、C为平面的法向量的分量，D为平面的常数项。

2.2 平面法向量的求解平面的法向量可以通过两个非平行的向量的叉乘来求解。

假设平面上的两个向量为v1和v2，则平面的法向量n可以通过n = v1 × v2来计算。

2.3 点到平面的距离公式根据点到平面的距离定义，点Q到平面P的距离可以表示为：d(Q,Pn) = |Ax + By + Cz + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中|x|表示x的绝对值。

2.4 距离求解算法根据上述公式，我们可以编写一个求解点到平面距离的函数，输入为点Q的坐标，平面的法向量和常数项，输出为点Q到平面的距离。

function distance_to_plane(Q, n, D) {let [x, y, z] = Q;let [A, B, C] = n;let distance = Math.abs(A * x + B * y + C * z + D) / Math.sqrt(A**2 + B**2+ C**2);return distance;}3. 示例下面我们通过一个示例来演示如何使用上述方法计算点到平面的距离。

假设有一个平面P，其方程为2x + 3y - z + 4 = 0。

点Q的坐标为(1, -2, 3)。

向量法求点到面的距离介绍在三维空间中，向量法是一种常用的方法来求解点到面的距离。

点到面的距离是指从一个点到一个平面的最短距离。

该方法通过定义向量来计算点到面的距离，通过求解向量的垂直分量实现。

基本原理点到面的距离的基本原理是利用一个向量，从点出发到达平面上的任意一点，然后通过计算该向量在平面法向量上的投影来求解距离。

步骤Step 1: 确定平面的法向量首先，我们需要明确平面的法向量，法向量对于描述平面的方向非常重要。

如果平面已经被定义，法向量通常是已知的；否则，我们需要根据平面上的三个非共线点来计算出法向量。

Step 2: 确定点到平面上的一点我们需要选择一个点，该点将成为我们到平面上距离的参考点。

可以选择平面上的任意一点作为参考点，这取决于具体情况。

Step 3: 计算点到平面的向量通过使用参考点和平面上的一点，我们可以计算出从点到平面的向量。

这个向量的起点是点，终点是平面上的任意一点。

Step 4: 计算向量在法向量上的投影通过计算点到平面向量在法向量上的投影，我们可以得到点到平面的距离。

投影的计算方法是将向量与法向量进行点乘。

Step 5: 求解距离最后，通过计算得到的投影长度，我们可以得到点到平面的最短距离。

这就是点到面的距离。

示例示例平面方程我们假设有一个平面，方程为：x + y + z = 1。

示例点坐标我们选择一个点的坐标为：(2, -1, 3)。

示例步骤1.确定法向量：根据平面方程，法向量为 (1, 1, 1)。

2.确定参考点：我们选择 (0, 0, 1) 作为参考点，但可以选择其他任意点。

3.计算点到平面的向量：从点 (2, -1, 3) 到参考点 (0, 0, 1) 的向量为 (-2, 1, 2)。

4.计算向量在法向量上的投影：将向量 (-2, 1, 2) 与法向量 (1, 1, 1) 进行点乘得到投影长度 1。

5.求解距离：由于投影长度为 1，点 (2, -1, 3) 到平面的距离为 1。

第9讲　向量法求空间距离、折叠及探索性问题1.会求空间中点到直线、点到平面的距离.2.会用向量法探考试要求究空间几何体中线、面的位置关系、角的存在条件与折叠问题.01聚焦必备知识知识梳理3.线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离.1.思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β.( )(2)点到直线的距离也就是该点到直线上任一点连线的长度.( )(3)直线l 平行于平面α，则直线l 上各点到平面α的距离相等.( )(4)直线l 上两点到平面α的距离相等，则l 平行于平面α.( )夯基诊断××√×2.回源教材(1)已知平面ABC的一个法向量为n＝(1，2，1)，向量＝(0，，0)，则点F到平面ABC的距离为________.(3)已知棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1，则平面AB1C与平面A1C1D 之间的距离为________.02突破核心命题考 点 一利用空间向量求距离考向 1点到直线的距离例1　如图，在棱长为1的正方体ABCD -A1B1C1D1中，O为平面A1ABB1的中心，E为BC的中点，求点O 到直线A1E的距离.用向量法求点到直线的距离的一般步骤(1)求直线的方向向量.(2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.(3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.反思感悟例2　如图，已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，CG 垂直于正方形ABCD 所在的平面，且CG ＝2，则点B 到平面EFG的距离为________.2点到平面的距离用向量法求点面距离的步骤(1)建系：建立恰当的空间直角坐标系.(2)求点坐标：写出(求出)相关点的坐标.反思感悟训练1　如图，在正三棱柱ABC -A1B1C1中，各棱长均为4，N是CC1的中点.(1)求点N到直线AB的距离；(2)求点C1到平面ABN的距离.考 点 二折叠问题(1)当AB∥平面PCD时，求PD的长；(2)当三棱锥P -COD的体积最大时，求平面OPD与平面CPD夹角的余弦值.反思感悟翻折问题中的解题关键是要结合图形弄清翻折前后变与不变的关系，尤其是隐含的垂直关系.一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一平面上的性质发生变化.训练2　(2024·泉州模拟)如图①，在等腰直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，以CD为折痕把△ACD折起，使点A到达点P的位置，且∠PBD＝60°，E，F，H分别为PB，BC，PD的中点，G为CF的中点(如图②).图① 图②(1)求证：GH∥平面DEF；(2)求直线GH与平面PBC所成角的正弦值.(2)因为CD⊥DB，CD⊥DP，DB∩DP＝D，所以CD⊥平面DBP.如图，过点D作直线垂直平面BDC，作空间直角坐标系，设PD＝DB＝DC＝2，例4　(2024·山东省实验中学月考)如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，△AB 1C 为等边三角形，四边形AA 1B 1B 为菱形，AC ⊥BC ，AC ＝4，BC＝3.考 点 三探索性问题图①解：(1)证明：连接A 1B 与AB 1相交于点F ，连接CF ，如图①所示.∵四边形AA 1B 1B 为菱形，∴F 为AB 1的中点，BF ⊥AB 1.∵△AB 1C 为等边三角形，∴CF ⊥AB 1，又BF ，CF ⊂平面BFC ，BF ∩CF ＝F ，∴AB 1⊥平面BFC .又A 1C ⊂平面BFC ，∴AB 1⊥A 1C .(2)设O，G分别为AC，AB的中点，连接B1O，OG，由(1)可知AB1⊥BC，又AC⊥BC，AB1，AC⊂平面AB1C，AB1∩AC＝A，∴BC⊥平面AB1C.又OG∥BC，∴OG⊥平面AB1C.∵△AB1C为等边三角形，∴B1O⊥AC，故OG，OC，OB1两两垂直.图②1.对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等.2.对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.反思感悟又AC⊥PB，PB∩AB＝B，且PB，AB⊂平面PAB，所以AC⊥平面PAB.又AC⊂平面ABCD，所以平面PAB⊥平面ABCD.(2)假设存在Q，使得平面BEQF⊥平面PAD.取AB的中点为H，连接PH，则PH⊥AB，因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以PH⊥以A为坐标原点，AB，AC所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系.03限时规范训练(五十五)(1)求PD的长；(2)求点C到平面PEB的距离.解：(1)由题意知DP，DA，DC三线两两垂直.如图所示，以D为坐标原点，DA，DC，DP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，B(2，2，0)，E(1，0，0).。

利用向量法求点到平面的距离利用平面的法向量求点到平面的距离 甘肃省 彭长军 如图1，设n 是平面α的一个法向量，P 是α外一点，Q 是α内任意一点，则向量PQ u u u r 在法向量n 方向上的射影长d=PQ u u u r cos PQ,n <>uuu r u r =PQ n nu u u r r g r 就是点P 到平面α的距离.下面举几例予以说明.例1．已知A(2,3,1)、B(4,1,2)、C(6,3,7)、D(-5,-4,8)是空间不共面的四点,求点D 到平面ABC 的距离.解：设),,(z y x n =是平面ABC 的一个法向量，则由0n AB =g 及10n BC =g ,得2x 2y z 02x 2y 5z 0--+=⎧⎨++=⎩⇒2y x 32z x 3⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,取x=3,得)2,2,3(-=n ,于是点D 到平面ABC 的距离为d=DA n nu u u r r g r = 1749=171749. 例2．已知四边形ABCD 是边长为4的正方形，E 、F 分别是AB 和AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC=2，求点B 到平面EFG 的距离.解：建立如图2所示的空间直角坐标系C-xyz ，则G(0,0,2),E(2,4,0),B(0,4,0), F(4, 2,0)，∴GE =(2,4,-2),GF =(4,2,-2),BE =(2,0,0).设平面EFG 的一个法向量为),,(z y x n =，则由0n GE =g 及0n GF =g ，得2x+4y 2z 04x 2y 2z 0-=⎧⎨+-=⎩⇒ x=y z 3y ⎧⎨=⎩,取y=1,得(1,1,3)n =,于是点B 到平面EFG 的距离为d=BE n n u u u r r g r =11112112=. 例3.在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求点C 1到平面A 1BD 的距离。

向量法求空间点到平面的距离（经典实用）
空间点到平面的距离是衡量两个物体之间距离的重要方式。

本文介绍基于向量法求空间点到平面的距离的方法。

关于向量法求空间点（P）到平面（S）的距离，首先，我们要了解的是，平面的方程可以描述为：
Ax+By+Cz+D=0
其中A、B、C、D是常数，x、y和z分别是空间中的点的坐标值。

接下来，利用向量法求解空间点到平面的距离，我们需要得到两个向量，一个是向量NP（由空间点到原点，即（0，0，0）的向量），另一个是平面的法向量N（由平面上任意一点至原点之间的单位向量），由此可知，距离d=|NP*N|/|N|
此外，可以注意到，有时正距离和负距离可以表示一个点到平面的关系。

正距离表示这个点在平面的一边，而负距离表示这个点在平面的另一边。

也就是说，若d>0时，表示点P在平面S的正侧；若d<0时，表示点P在平面S的反侧；当d=0时，代表点P在平面S上。

因此，基于向量法求解空间点到平面的距离需要考虑到空间点和平面法向量，并利用向量积运算计算出距离d，其中，若距离d>0,表示空间点在平面的正侧，若距离d<0，表示空间点在平面的反侧；当d=0时，表示空间点在平面上。