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一
二
3.做一做:在等比数列{an}中,若q=-2,S5=44,则a1的值为( A.4 B.-4 C.2 D.-2
)
解析:把 q=-2,S5=44 代入
答案:A
������1 (1-������������ ) Sn= ,得 1-������
������1 (1+25 ) 44= , 1+2
∴33a1=132,∴a1=4.故选 A.
所以 2q2-q-1=0,所以 q=1 或 q=- . 当
1 2
探究一
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反思感悟在等比数列{an}中,首项a1与公比q是两个最基本的元素; 有关等比数列的问题,均可化成关于a1,q的方程或方程组求解.解题 过程中,要注意:(1)选择适当的公式;(2)利用等比数列的有关性质;(3) 注意在使用等比数列前n项和公式时,要考虑q是否等于1.
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1 63 (1)a1=8,an=4,Sn= 4 ,求 n; 7 63 (2)S3=2,S6= 2 ,求 an 及 Sn;
变式训练 1 在等比数列{an}中,公比为 q,前 n 项和为 Sn.
(3)a6-a4=24,a3· a5=64,求 S8.
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(2)由 S6≠2S3 知 q≠1, 由题意,得
2.3.2
等比数列的前n项和
课 标 阐 释 思 1.理解等比数列的前 n 项和 公式的推导过程. 2.掌握等比数列的前 n 项和 公式,并能用它解决有关等 比数列问题. 3.熟练掌握等比数列的五个 量 a1,q,n,an,Sn 的关系.
维 脉 络
一
二
一、等比数列的前n项和公式 【问题思考】 1.填空:
已知量 选用 公式
首项、公比与项数 na1 (q = 1), Sn= a 1 (1-q n ) (q ≠ 1)
1-q
首项、末项与公比 na1 (q = 1), Sn= a 1 -a n q (q ≠ 1)
1-q
2.利用等比数列求和公式求和时需注意什么? 提示:(1)在求等比数列{an}的前n项和公式时,应分q=1和q≠1两种 情况,若题目中没有指明,切不可忘记对q=1这一情形的讨论. (2)等比数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量,即 a1,an,q,n,Sn,通常已知其中三个量可求另外两个量,这一方法简称为 “知三求二”.
一
二
3.做一做:各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=2, S3n=14,则S4n等ห้องสมุดไป่ตู้( ) A.80 B.30 C.26 D.16 解析:若q=1,由Sn=na1=2,知S3n=3na1=6≠14,
故 q≠1.则 解得 所以
答案:B
n
������������ =
������1 (1-������������ ) 1-������
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解:(1)显然 q≠1,Sn= 即
8-4������
1
������1 -������������ ������ , 1-������
= 4 ,∴q=2. 1-������
n-1
63
1
又 an=a1q ,即 8×
������1 (1-������3 ) 1-������ ������1 (1-������6 ) 1-������
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等比数列前n项和公式的应用 【例1】 在等比数列{an}中, (1)已知a1=3,q=2,求a6,S6; (2)已知a1=-1,a4=64,求q和S4; 3 9 (3)已知 a3=2,S3=2 ,求a1,q. 思路分析:在等比数列的前n项和公式中有五个基本量a1,an,q,n,Sn, 只要已知任意三个,就可以求出其他两个.
=
(3)由题意,得
������3 = ������1 ������2 = , ������3 = ������1 (1 + ������ + ������2 ) = , ②
9 2
3 2
①
1+������+������2 ②÷①,得 ������2 =3, 3 q=1 时,a1= ;当 2 1 q=- 时,a1=6. 2
= 2, = 14.
������3������ =
������1 q =2, =-2. 1-������ ������ S4n= 1 (1-q4n)=(-2)×(1-24)=30. 1-������
������1 (1-������3������ ) 1-������
一
二
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号里打“√”,错误的打 “×”. (1)已知数列{an}的前n项和为Sn=2· 3n-1,则数列{an}是等比数列. ( ) (2)已知{an}是等比数列,Sn为其前n项和,则S10,S20,S30,…构成一个新 的等比数列. ( ) (3)已知数列{an}是等比数列,则{an+k}(k为常数)也为等比数列. ( ) (4)一个等比数列{an}的前n项和为Sn,则{Sn}一定不能构成等比数列. ( ) 答案:(1)× (2)× (3)× (4)×
一
二
二、等比数列前n项和的常用性质 【问题思考】 1.填空: 性质(1):在等比数列{an}中,若项数为2n项,公比为q,奇数项之和 ������偶 为S奇,偶数项之和为S偶,则 ������ =q. 奇 性质(2):数列{an}是公比为q的等比数列,则Sm+n=Sn+qn· Sm. 2.在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则依次每k项的和Sk,S2kSk,S3k-S2k,…一定构成等比数列吗? 提示:不一定.若{an}的公比q≠-1,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…能构成等比 数列,其公比为qk;若{an}的公比q=-1,k为偶数,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,… 不能构成等比数列.
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解:(1)a6=a1q5=3×25=96.
������1 (1-������6 ) S6= 1-������
=
3× (1-26 ) =189. 1-2 -1-64× (-4) =51. 1-(-4)
(2)∵a4=a1q3,∴64=-q3.∴q=-4,
∴S4=
������1 -������4 ������ 1-������
