等比数列及其前n项和(作业)

等比数列的前n 项和公式一、单选题 1．（2021·内蒙古宁城·高三月考（文））已知{}n a 是等比数列，若12a =，528a a =，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 为（ ） A ．22n - B ．121n +- C ．122n +- D ．21n -【答案】C 【分析】设公比为q ，根据528a a =求得公比，再利用等比数列前n 项和的公式即可得出答案. 【详解】 解：设公比为q ，因为528a a =，所以3528a q a ==，所以2q ，所以()12122212nn n S +⨯-==--.故选：C.2．（2021·河北·高三月考）已知正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，42S =，810S =，则{}n a 的公比为( ) A．1 B C ．2 D ．4【答案】B 【分析】利用等比数列的性质求解即可. 【详解】因为42S =，810S =，{}n a 为正项等比数列，所以4845678412344S S a a a a q S a a a a -+++===+++，解得q 故选：B ．3．（2021·西藏·拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））记等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若214a =，378S =，则公比q = （ ） A ．12-B ．12C ．2D ．12或2【答案】D 【分析】根据等比数列的性质可得2132116a a a ==，再由378S =，可得1358a a +=，分别求出13,a a ，即可得出答案. 【详解】解：在等比数列{}n a 中，若214a =，则2132116a a a ==，312378S a a a =++=，所以1358a a +=， 由13116a a =，1358a a +=，解得131218a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，或131812a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当131218a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，2112a a q ==， 当131812a a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，212a q a ==， 所以q =12或2.故选：D.4．（2021·全国·高二单元测试）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，()112322n n n a a n ---=⋅≥，且1232a a =.记n T 为数列1nn a S ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和，若对任意*n ∈N ，n T m <，则m 的最小值为（ ） A ．3 B ．13C ．2D ．12【答案】B 【分析】 由已知得()111112242n n n n a a n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭.再求得13a =，从而有数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，14为公比的等比数列，由等比数列的通项公式求得n a ，再利用分组求和的方法，以及等比数列求和公式求得n S ，从而求得n T 得答案. 【详解】解：由()112322n n n a a n ---=⋅≥，得()111322424n n n n a a n --=⋅+≥，∴()111112242n n n n a a n --⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭. 又由()112322n n n a a n ---=⋅≥，得2126a a -=，又1232a a =，∴13a =.所以111122a -=，∴数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以12为首项，14为公比的等比数列，则12111112242n n n na --⎛⎫⎛⎫-=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()12122122n n n nn a --=+=+，∴()()231111212112122222221221212nn n n n n n S --⎛⎫- ⎪-⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+=+=⋅- ⎪-⎝⎭-，∴111112222232n n n n nn n a S --==+++⋅-⋅.∴+12111111111122113222332312n n n n T ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++⋅⋅⋅+=⨯=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-. ∵对任意*n ∈N ，n T m <，∴m 的最小值为13.故选：B.5．（2021·江苏省苏州第十中学校高二月考）已知等比数列{a n }的首项为1，公比为2，则a 12+a 22+⋯+a n 2＝（ ） A ．（2n ﹣1）2 B ．()1213n- C ．4n ﹣1 D ．()1413n- 【答案】D 【分析】根据等比数列定义，求出214n n n b a -==，可证明{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式，可得解 【详解】由等比数列的定义，11122n n n a --=⋅=故222124n n n n b a --=== 由于112144,104n n n n b b b ---===≠ 故{}n b 是以1为首项，4为公比的等比数列 a 12+a 22+⋯+a n 2＝1(14)41143n n ⋅--=- 故选：D6．（2021·河南郑州·高二期中（理））设n A ，n B 分别为等比数列{}n a ，{}n b 的前n 项和．若23n n n n A aB b+=+（a ，b 为常数），则74a b =（ ）A ．12881B ．12780C ．3227D ．2726【答案】C 【分析】设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+，项和转换776a A A =-，443b B B =-求解即可【详解】由题意，23n n n n A a B b+=+ 设(2),(3)n nn n A a m B b m =+=+则76776[(2)(2)]64a A A a a m m =-=+-+=()()434433354b B B b b m m ⎡⎤=-=+-+=⎣⎦7464325427a mb m ∴== 故选：C7．（2021·河南郑州·高二期中（理））设{}n a 是公差为d 的等差数列，{}n b 是公比为q 的等比数列．已知数列{}n n a b +的前n 项和()2*51N n n S n n =+-∈，则d q -=（ ）A ．3-B ．1-C ．2D ．4【答案】A 【分析】设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，然后利用分求出,n n A B ，再利用n n n S A B =+列方程，由对应项的系数相等可求出结果 【详解】设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为,n n A B ，则 ()()1211111,222111n n n n b q n n db d d q A a n a n n B q q q --⎛⎫=+=-+==-⎪---⎝⎭（1q ≠）， 若1q =，则1n B nb =，则2211()5122n nn n d d S A n B a n n nb =+==+++--，显然没有出现5n ，所以1q ≠，所以21121221511n n b n b q d d a n n q q ⎛⎫-++-+= ⎪--⎝-⎭， 由两边的对应项相等可得110,1,5,1221b d da q q-====--， 解得111,2,5,4a d q b ====， 所以3d q -=-.8．（2021·福建·泉州科技中学高三月考）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就.在“杨辉三角”中，第n 行的所有数字之和为12n -，若去除所有为1的项，依次构成数列233464510105，，，，，，，，，，，则此数列的前35项和为（ ）A ．994B ．995C ．1003D ．1004【答案】B 【分析】没有去掉“1”之前，可得每一行数字和为首项为1，公比为2的等比数列，可求出其前n 项和为21n n S =-，每一行的个数构成一个首项为1，公差为1的等差数列，从而可求出前n 项总个数为(1)2n n n T +=，由此可计算出第10行去掉“1”后的最后一个数为第36个数，从而可求出前35项和。

[A 基础达标]1．等比数列1，a ，a 2，a 3，…的前n 项和为( )A ．1＋a （1－a n －1）1－11aB ．1－a n 1－aC.a n ＋1－1a －1 D ．以上皆错 解析：选D.当a ＝1时，S n ＝n ，故选D.2．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( )A ．7B ．8C ．15D ．16解析：选C.设{a n }的公比为q ，因为4a 1，2a 2，a 3成等差数列，所以4a 2＝4a 1＋a 3，即4a 1q ＝4a 1＋a 1q 2，即q 2－4q ＋4＝0，所以q ＝2，又a 1＝1，所以S 4＝1－241－2＝15，故选C. 3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3 解析：选A.因为S 3＋3S 2＝0，所以a 1（1－q 3）1－q ＋3a 1（1－q 2）1－q＝0， 即(1－q )(q 2＋4q ＋4)＝0.解得q ＝－2或q ＝1(舍去)．4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A.18B ．－18 C.578 D ．558 解析：选A.法一：由等比数列前n 项和的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，又a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，则S 3，S 6－S 3，a 7＋a 8＋a 9成等比数列，从而a 7＋a 8＋a 9＝（S 6－S 3）2S 3＝18.故选A.法二：因为S 6＝S 3＋S 3q 3，所以q 3＝S 6－S 3S 3＝－18，所以a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝S 3q 6＝8× ⎝⎛⎭⎫－182＝18.故选A.5．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，则S 20等于( )A ．90B ．70C ．40D ．30解析：选C.因为S 30≠3S 10，所以q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140得⎩⎪⎨⎪⎧S 10＝10，S 30＝130， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 10）1－q ＝10，a 1（1－q 30）1－q ＝130，所以q 20＋q 10－12＝0.所以q 10＝3，所以S 20＝a 1（1－q 20）1－q＝S 10(1＋q 10) ＝10×(1＋3)＝40.6．在等比数列{a n }中，若公比q ＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式a n ＝________．解析：因为在等比数列{a n }中，前3项之和等于21，所以a 1（1－43）1－4＝21，所以a 1＝1. 所以a n ＝4n －1. 答案：4n －1 7．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．解析：因为a n ＋1－a n ＝2n ，应用累加法可得a n ＝2n －1.所以S n ＝a 1＋a 2＋...＋a n ＝2＋22＋ (2)－n ＝2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－n －2. 答案：2n ＋1－n －2 8．在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2，则该数列的前15项和S 15＝________．解析：设数列{a n }的公比为q ，则由已知，得q 3＝－2.又a 1＋a 2＋a 3＝a 11－q(1－q 3)＝1， 所以a 11－q ＝13，所以S 15＝a 11－q (1－q 15)＝a 11－q[1－(q 3)5]＝13×[1－(－2)5]＝11. 答案：119．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知S 2＝2，S 3＝－6.(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并判断S n ＋1，S n ，S n ＋2是否成等差数列．解：(1)设{a n }的公比为q .由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1＋q ）＝2，a 1（1＋q ＋q 2）＝－6. 解得q ＝－2，a 1＝－2.故{a n }的通项公式为a n ＝(－2)n .(2)由(1)可得S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝－23＋(－1)n 2n ＋13. 由于S n ＋2＋S n ＋1＝－43＋(－1)n ·2n ＋3－2n ＋23＝2[－23＋(－1)n 2n ＋13]＝2S n ，故S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列．10．数列{a n }是首项为1的等差数列，且公差不为零，而等比数列{b n }的前三项分别是a 1，a 2，a 6.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b 1＋b 2＋…＋b k ＝85，求正整数k 的值．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，因为a 1，a 2，a 6成等比数列，所以a 22＝a 1·a 6，所以(1＋d )2＝1×(1＋5d )，所以d 2＝3d ，因为d ≠0，所以d ＝3，所以a n ＝1＋(n －1)×3＝3n －2.(2)数列{b n }的首项为1，公比为q ＝a 2a 1＝4， 故b 1＋b 2＋…＋b k ＝1－4k 1－4＝4k －13. 令4k －13＝85，即4k ＝256， 解得k ＝4.故正整数k 的值为4.[B 能力提升]11．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项解析：选B.设该数列的前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n －2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q 3n －6＝4.所以两式相乘，得a 61q 3(n －1)＝8，即a 21q n －1＝2，又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1qn －1＝64，所以a n 1·q n （n －1）2＝64，即(a 21q n －1)n ＝642，即2n ＝642，所以n ＝12. 12．已知等比数列{a n }的前10项中，所有奇数项之和S 奇为8514，所有偶数项之和S 偶为17012，则S ＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12的值为________．解析：设公比为q ，由⎩⎪⎨⎪⎧S 偶S 奇＝q ＝2，S 奇＝a 1[1－（q 2）5]1－q 2＝8514，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝14，q ＝2. 所以S ＝a 3＋a 6＋a 9＋a 12＝a 3(1＋q 3＋q 6＋q 9)＝a 1q 2·1－q 121－q 3＝585. 答案：58513．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列{S n }是以c (c >0)为公比的等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)求a 2＋a 4＋…＋a 2n .解：由条件知S 1＝a 1＝1.(1)①当c ＝1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2⇒a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，0，n ≥2.②当c ≠1时，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，（c －1）c n －2，n ≥2. (2)①当c ＝1时，a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝0；②当c ≠1时，数列是以a 2为首项，c 2为公比的等比数列，所以a 2＋a 4＋…＋a 2n ＝（c －1）（1－c 2n ）1－c 2＝c 2n －11＋c. 14．(选做题)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新，证明：须在第9年初对M 更新．解：(1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列．a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥7时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×⎝⎛⎭⎫34n －6； 因此，第n 年初，M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×⎝⎛⎭⎫34n －6，n ≥7.(2)证明：设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差及等比数列的求和公式得 当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ；当n ≥7时，S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫34n －6＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6，A n ＝780－210×⎝⎛⎭⎫34n －6n ，因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列，又A 8＝780－210×（34）8－68＝824764>80， A 9＝780－210×（34）9－69＝767996<80， 所以须在第9年初对M 更新．。

4.3.2等比数列的前n 项和公式【题组1等比数列的前n 项和与基本量】1、设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若321238S a a =+，则公比=q （）A．2B．32-C．2或32-D．2或32【答案】A【解析】由321238S a a =+，有123212()38a a a a a ++=+，即321260a a a --=，由等比数列的通项公式得2111260a q a q a --=，即2260q q --=，解得2q =或32q =-，由数列为正项等比数列，∴2q =.故选：A2、记正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2373S S =，则该数列的公比q =（）A．13B．12C．2D．3【答案】C【解析】正项等比数列{}n a 中，0q >，由2373S S =得()()1212373a a a a a +=++，整理得3213440a a a --=，即23440q q --=，解得2q =，所以数列{}n a 的公比2q =.故选：C3、设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，415S =，则公比q =（）A．5B．4C．3D．2【答案】D【解析】设公比为q ，因为23S =，415S =，所以4212S S -=，所以1234312a a a a +=⎧⎨+=⎩，即112311312a a q a q a q +=⎧⎨+=⎩两个方程左右两边分别相除，得24q =，因为数列是正项等比数列，所以2q =，故选：D.4、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若34S =，612S =，则12S =______．【答案】60【解析】设等比数列的公比为q ，因为34S =，612S =，所以1q ≠，则()313141a q S q-==-，()6161121a q S q-==-，所以63131q q-=-，解得32q =，所以()()()()12661121211112126011a q a q q S qq--+===⨯+=--；故答案为：605、在等比数列{}n a 中，16a =，2312a a =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和，若66m S =，求m .【答案】（1）()162n n a -=⋅-或6n a =；（2）5m =或11【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由2312a a =-得：21112a q a q =-，即26126q q =-，解得：2q =-或1q =，()162n n a -∴=⋅-或6n a =.（2）当2q =-时，()()6126612mm S --==+，解得：5m =；当1q =时，1666m S ma m ===，解得：11m =；综上所述：5m =或11.【题组2等比数列片段和性质及应用】1、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若812S =，2436S =，则16S =（）A．24B．12C．24或－12D．－24或12【答案】A【解析】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，所以8S ，168S S -，2416S S -成等比数列，因为812S =，2436S =，所以()()21616121236S S -=⨯-，解得1624S =或1612S =-，因为816880S S q S -=>，所以160S >，则1624S =．故选：A2、若等比数列{}n a 的前n 项和为n S，22S =，46S =+78a a +=（）A．32+B．32+C．16+D．16+【答案】D【解析】1222a a S +==34424a a S S +=-=+，由等比数列片段和的性质：2S ，42S S -，64S S -，86S S -，…成等比数列，所以568a a +=+，则7816a a +=+3、n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且721143,18,S S S x ===，则（）A．23450x x +-=B．23630x x --=C．23450x x --=D．23630x x +-=【答案】C【解析】因为730S =≠，所以71472114,,S S S S S --成等比数列，所以()()272114147S S S S S -=-，即()2318(3)x x -=-，整理得23450x x --=.故选：C.4、设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若842S S =，则1284S S S -的值是（）A．4-B．3C．3-D．4【答案】B【解析】已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，842S S =，由等比数列的性质得：484128,,S S S S S --成等比数列，且公比不为-1即24144,,2S S S S -成等比数列，44122S S S ∴-=，2413S S ∴=，12844433S SS S S ∴==-.故选：B.5、一个等比数列共有3m 项，若前2m 项之和为15，后2m 项之和为60，则这个等比数列的所有项的和为（）A．63B．72C．75D．87【答案】A【解析】由题意知215m S =，360m m S S -=，又()()()2232260m m m m m m m m S S S S S S S S -=-=+-，解得3m S =，所以360363m S =+=.故选：A.【题组3等比数列奇偶项和的性质应用】1、已知等比数列{}n a 共有32项，其公比3q =，且奇数项之和比偶数项之和少60，则数列{}n a 的所有项之和是（）A．30B．60C．90D．120【答案】D【解析】设等比数列{}n a 的奇数项之和为1S ，偶数项之和为2,S 则311531a a S a a =++++，()2463213531123a a a a q a a a a S S ++++=++++==又1260S S +=，则11603S S +=，解得1230,90S S ==，故数列{}n a 的所有项之和是3090120+=.故选：D2、已知等比数列{}n a 的公比2q =，前100项和为10090S =，则其偶数项24100a a a +++L 为（）A．15B．30C．45D．60【答案】D【解析】设1399S a a a =+++L ，则()2410013992a a a a a a q S +++=+++=L L ，又因为1001210090S a a a =+++=L ，所以39030S ,S ==，所以24100260a a a S +++==L .故选:D3、已知项数为奇数的等比数列{}n a 的首项为1，奇数项之和为21，偶数项之和为10，则这个等比数列的项数为（）A．5B．7C．9D．11【答案】A【解析】根据题意，数列{}n a 为等比数列，设111·n n n a a q q --==，又由数列{}n a 的奇数项之和为21，偶数项之和为10，则211210q -==，故1(1)2110213151n n n a q S n q-=+=⇒-=⇒=-；故选：A 4、已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（）A．2B．4C．8D．16【答案】C【解析】设这个等比数列{}n a 共有()2k k N *∈项，公比为q ，则奇数项之和为132185k S a a a -=+++=奇，偶数项之和为()2421321170n n S a a a q a a a qS -=+++=+++==奇偶，170285S q S ∴===偶奇，等比数列{}n a 的所有项之和为()212212211708525512kkk a S -==-=+=-，则22256k =，解得4k =，因此，这个等比数列的项数为8.故选：C.5、等比数列{}n a 中，11a =，427a =，则2462020+++a a a a 的值为（）A．()20203318-B．()20201318-C．()20203312-D．()10103312-【答案】A【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，∵11a =，427a =，∴327q =，解得11a =，3q =.∴13-=n n a ，23a =，29q =，1239n n a -=⋅()()202010102462020319+++193318a a a a -==--，故选：A.【题组4等比数列前n 项和的其他性质】1、设等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并且满足条件11a >，671a a >，67101a a -<-，则下列结论正确的是（）A．681a a >B．01q <<C．n S 的最大值为7S D．nT 的最大值为7T 【答案】B【解析】若0q <，因为11a >，所以670,0a a <>，则670a a ⋅<与671a a ⋅>矛盾，若1q ≥，因为11a >，所以671,1a a >>，则67101a a ->-，与67101a a -<-矛盾，所以01q <<，故B 正确；因为67101a a -<-，则6710a a >>>，所以()26870,1a a a =∈，故A 错误；因为0n a >，01q <<，所以111n n a q a S q q=---单调递增，故C 错误；因为7n ≥时，()0,1n a ∈，16n ≤≤时，1n a >，所以n T 的最大值为6T ，故D 错误；故选：B.2、已知{}n a 为等比数列，{}n a 的前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，则下列选项中正确的是（）A．若20222021S S >，则数列{}n a 单调递增B．若20222021T T >，则数列{}n a 单调递增C．若数列{}n S 单调递增，则20222021a a ≥D．若数列{}n T 单调递增，则20222021a a ≥【答案】D【解析】A：由20222021S S >，得20220a >，即202110a q >，则1a 、q 取值同号，若100a q <<，，则{}n a 不是递增数列，故A 错误；B：由20222021T T >，得20221a >，即202111a q >，则1a 、q 取值同号，若100a q <<，，则数列{}n a 不是递增数列，故B 错误；C：若等比数列11a =，公比12q =，则11()122(1)1212nn n S -==--，所以数列{}n S 为递增数列，但20222021a a <，故C 错误；D：由数列{}n T 为递增数列，得1n n T T ->，所以1n a >，即1q ≥，所以20222021a a ≥，故D 正确.故选：D3、设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，前n 项积为n T ，并满足条件1202120221,1a a a >⋅>，()()20212022110a a -⋅-<，则下列结论中不正确的有（）A．q >1B．20222021S S >C．202120231a a ⋅<D．2021T 是数列{}n T 中的最大项【答案】A【解析】因为()()20212022110a a -⋅-<，所以20212022101a a >⎧⎨<<⎩或20212022011a a <<⎧⎨>⎩，而{}n a 为等比数列1202120221,1a a a >⋅>，于是01q <<，20212022101a a >⎧⎨<<⎩，则A 错误；2022202120222021S S a S =+>，则B 正确；22021202320221a a a ⋅=<，则C 正确；因为122021202220231,1,,1,01,01,a a a a a >>><<<<，所以2021T 是数列{}n T 中的最大项，则D 正确.故选：A.4、已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若135a a+=，420S =，则846422S S S S S -=--（）A．9B．10C．12D．17【答案】B【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为412341324S a a a a a a a a =+++=+++()()131313(1)5(1)20a a a a q q a a q =++=+=+++=.所以3q =，则()()44844284442264262444211101S S S S S q S S q q S S S S S S q S S q -----====+=------.故选：B 【题组5等比数列中Sn 与an 的关系】1、已知等比数列{}n a 的前n 项和23n n S m +=-，则m a =（）A．93B．1023⨯C．103D．923⨯【答案】B【解析】因为数列{}n a 的前n 项和23n n S m +=-，所以1127a S m ==-，221812754a S S m m =-=--+=，33224381162a S S m m =-=--+=，又数列{}n a 为等比数列，所以数列{}n a 的公比32162354a q a ===，所以2154327a a m ==-，所以9m =，118a =，所以1118323n n n a -+=⨯=⨯，故10923m a a ==⨯，故选：B.2、等比数列{}n a 的前n 项和23nn S m =+⨯，则m =（）A．2-B．2C．1D．1-【答案】A【解析】116a S m ==+，当2n ≥时，1143n n n n a S S --=-=⨯，因为{}n a 是等比数列，所以11436m -⨯=+，得2m =-，所以A 正确.故选：A.3、设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若221n n S a n =-+，则10S =（）A．11223-B．10219-C．103223⨯-D．93219⨯-【答案】C【解析】当1n =时，111221S a a ==-+，解得11a =.当2n ≥时，11223n n S a n --=-+，所()11221223n n n n n a S S a n a n --=-=-+--+，即122n n a a -=+，所以()1222n n a a -+=+，即1222n n a a -+=+，所以数列{}2n a +是首项为3，公比为2的等比数列，则1232n n a -+=⨯，从而3223n n S n =⨯--，故10103223S =⨯-.故选：C4、设n S 为数列{}n a 的前n 项和．若23n n S a =-，则5a =（）A．48B．81C．96D．243【答案】A【解析】由23n n S a =-，当1n =时1123a a =-，即13a =，当2n 时，1123n n S a --=-，则122n n n a a a -=-，即12n n a a -=(2)n ．∴数列{}n a 是以3为首项，以2为公比的等比数列，则132n n a -=⨯，∴453248a =⨯=．故选：A．5、已知数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T =________.【答案】1122n --.【解析】由21n n S =-得当2n ≥时1121n n S --=-，所以112(2)n n n n a S S n --=-=≥，又因为01112a S ===，所以12n n a -=，1112n n a -=，即1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，12为公比的等比数列，所以11111221212n n n T -⎛⎫- ⎪⎝⎭==--，【题组6等比数列前n 项和的实际应用】1、《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾.初日织五尺，今一月日织九匹三丈.问日益几何？”意思是：女子从第2天开始，每天比前一天多织相同数量的布，第1天织5尺布，现在一月（按30天计）共织390尺布，则该女子第5天所织的布的尺数为（）A．7B．10715C．21931D．20929【答案】D【解析】设第n 天织布n a 尺，∵每天比前一天多织相同数量的布∴数列{}n a 为等差数列，设其公差为d，又第1天织5尺布，∴15a =，∵一月（按30天计）共织390尺布，∴30=390S ，∴3029305+3902d ⨯⨯⨯=，∴1629d =，∴516209542929a =+⨯=，即第该女子第5天所织的布的尺数为20929，故选：D.2、在流行病学中，基本传染数0R 是指在没有外力介入，同时所有人都没有免疫力的情况下，一个感染者平均传染的人数.0R 一般由疾病的感染周期､感染者与其他人的接触频率､每次接触过程中传染的概率决定，假设某种传染病的基本传染数02R =，平均感染周期为7天，那么感染人数由1（初始感染者）增加到999大约需要的天数为（）（初始感染者传染0R 个人为第一轮传染，这0R 个人每人再传染0R 个人为第二轮传染……参考数据：lg20.3010≈）A．42B．56C．63D．70【答案】C【解析】设第n 轮感染的人数为n a ，则数列{}n a 是12a =，公比2q =的等比数列，由()2121199912nn S ⨯-+=+=-，可得121000n +=，解得2500n =，两边取对数得lg 2lg 500n =，则lg 23lg 2n =-，所以33118.979lg 20.3010n =-=-≈=，故需要的天数约为9763⨯=.故选：C3、《九章算术》中的“两鼠穿墙题”是我国数学的古典名题．“今有城墙厚若干尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺．大鼠日自倍，小鼠日自半……”题意是：“两只老鼠从城墙的两边相对分别打洞穿墙．大老鼠第一天进一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺，以后每天减半……”，则前6天两只老鼠一共穿城墙________尺．【答案】207932【解析】由题意可知，小老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以12为公比的等比数列，前6天打洞之和为611()21321263-=-；大老鼠每天打洞的距离是以1为首项，以2为公比的等比数列，前6天打洞之和为6126312-=-．所以两只老鼠前6天打洞穿墙的厚度之和为632079633232+=．4、如图，一个小球从10m 高处自由落下，每次着地后又弹回到原来高度的13，若已知小球经过的路程为530m 27，则小球落地的次数为______．【答案】4【解析】设小球从第（n-1）次落地到第n 次落地时经过的路程为n a m，则12321110,102,10233a a a ==⨯⨯=⨯⨯，，当2n ≥时，得出递推关系12120,33n n a a a +==，所以数列{}n a 是从第2项开始以首项为203，公比为13的等比数列，所以221120((2)33n n n a a n --=⋅=≥，且110a =，设小球第n 次落地时，经过的路程为530m 27，所以12n n S a a a =+++211111020()(333n -⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦110203n -=-，所以11053020327n --=，解得4n =，5、某中学有在校学生2000人，没有患感冒的同学．由于天气骤冷，在校学生患流行性感冒人数剧增，第一天新增患病同学10人，之后每天新增的患病同学人数均比前一天多9人．由于学生患病情况日益严重，学校号召同学接种流感疫苗以控制病情．从第8天起，新增病患的人数均比前一天减少50%，并且每天有10名患病同学康复．（1）求第n 天新增病患的人数()113,N n a n n *≤≤∈；（2）按有关方面规定，当天患病同学达到全校人数的15%时必须停课，问该校有没有停课的必要？请说明理由．【答案】（1）()139117N 2813n nn n a n n *-+≤≤⎧=∈⎨≤≤⎩；（2）该学校不用面临停课的危险；理由见解析【解析】（1）当17,N n n *≤≤∈时，∵110a =，公差为9，∴10(1)991=+-⋅=+n a n n 当813,N n n *≤≤∈时，∵764a =，公比为12，∴71313711222---⎛⎫⎛⎫=⋅== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭n n nn a a∴()139117N 2813n nn n a n n *-+≤≤⎧=∈⎨≤≤⎩（2）设n S 为第n 天患病总人数，则当27n ≤≤时，10n n n S S a --=>当813≤≤n 时，13110210---=-=-n n n n S S a ，令1321009--≥⇒≤n n ，()()17912789897102202n a a S S a a a a a a a +==+++++-⨯=++-最大值()5471064222002%3⋅+==<⨯=++-.所以该学校不用面临停课的危险．。

第五节 等比数列及前n 项和【基础知识】1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等比数列的公比，通常用字母__q __表示(q ≠0)． 2．等比数列的通项公式设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项a n ＝a 1·q n －1(a 1≠0，q ≠0)． 3．等比中项若G 2＝a ·b _(ab ≠0)，那么G 为a 与b 的等比中项． 4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n－m，(n ，m ∈N ＋)．(2)若{a n }为等比数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N ＋)，则a k ·a l ＝a m ·a n .(3)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，{2n a }，{a n ·b n }，n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭仍是等比数列．5．等比数列的前n 项和公式等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，S n ＝111(1)(1)(1)11n n na q a a q a q q q q =⎧⎪--⎨=≠⎪--⎩6．等比数列前n 项和的性质公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为__q n __. 难点正本 疑点清源 1．等比数列的特征从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q 也是非零常数． 2．等比数列中的函数观点利用函数、方程的观点和方法，揭示等比数列的特征及基本量之间的关系．在借用指数函数讨论单调性时，要特别注意首项和公比的大小． 3．两个防范(1)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(2)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形导致解题失误．【考点剖析】考点一：等比数列基本量的运算【题组训练】1．已知等比数列{a n}满足a1＝14，a3a5＝4(a4－1)，则a2等于()A．2B．1C.12D.18【答案】C【解析】由{a n}为等比数列，得a3a5＝24a，又a3a5＝4(a4－1)，所以24a＝4(a4－1)，解得a4＝2.设等比数列{a n}的公比为q，则由a4＝a1q3，得2＝14q3，解得q＝2，所以a2＝a1q＝12.2．(2021·湘东五校联考)已知在等比数列{a n}中，a3＝7，前三项之和S3＝21，则公比q的值是()A．1 B．－1 2C．1或－12D．－1或12【答案】C【解析】当q＝1时，a n＝7，S3＝21，符合题意；当q≠1时，由21317,(1)=211a qa qq⎧=⎪⎨-⎪-⎩得q＝－12.综上，q的值是1或－12，故选C.3．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯()A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【答案】B【解析】每层塔所挂的灯数从上到下构成等比数列，记为{a n}，则前7项的和S7＝381，公比q＝2，依题意，得S7＝71(12)12a--＝381，解得a1＝3..【名师微点】等比数列基本量运算的解题策略(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解．(2)等比数列的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q ＝1时，{a n }的前n 项和S n ＝na 1；当q ≠1时，{a n }的前n 项和S n ＝11(1)11n n a a q a q q q--=--. 考点二：等比数列的判定与证明例1．[典例精析]已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＝a n ＋1－2a n ，求证：{b n }是等比数列． 【证明】因为a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1＋2－4a n －2＝4a n ＋1－4a n ， 所以1n n b b +＝211111112442242222n n n n n n nn n n n n na a a a a a a a a a a a a ++++++++----===--- 因为S 2＝a 1＋a 2＝4a 1＋2，所以a 2＝5. 所以b 1＝a 2－2a 1＝3.所以数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列．[解题技法]等比数列的判定方法[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可． 考点三：等比数列的性质及应用例2．(1)已知等比数列{a n }的各项为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝( )A．12B．10C．8 D．2＋log35(2)设等比数列{a n}中，前n项和为S n，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于()A.18B．－18C. 578D.558(3)已知等比数列{a n}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.【答案】(1)B(2)A(3)2【解析】(1)由a5a6＋a4a7＝18，得a5a6＝9，所以log3a1＋log3a2＋...＋log3a10＝log3(a1a2 (10)＝log3(a5a6)5＝5log39＝10.(2)因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝18，所以a7＋a8＋a9＝1 8 .(3)由题意，得=240=80S SS S+-⎧⎪⎨-⎪⎩奇偶奇偶，，解得=80=160SS-⎧⎪⎨-⎪⎩奇偶，所以q＝160=80SS--偶奇＝2.[解题技法]应用等比数列性质解题时的2个注意点(1)在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则a m·a n＝a p·a q”，可以减少运算量，提高解题速度．(2)在应用相应性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用．2.4 等比数列 基础练一、单选题1．在等比数列{}n a 中，201920168a a =，则数列{}n a 的公比q 的值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．82．已知等比数列{}n a 中，2017a ，2019a 是方程2410x x -+=的两个根，则2018a =（ ）A ．1B ．±1C ．2018D ．1，2018 3．已知数列{}n a 是公比为q 的等比数列，且132,,a a a 成等差数列，则公比q 的值为（ ）A ．11,-2B ．1C ．1-2D ．-24．若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==-，448a b ==，则22a b 为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-5．已知等比数列{}n a 满足112a =，且()24341a a a ⋅=-，则5a =（ ） A ．8B ．16C ．32D ．646．在各项不为零的等差数列{}n a 中，2201720182019220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且20182018b a =，则()220172019log b b ⋅的值为（ ）A ．1B ．2C ．4D ．8二、填空题7．若,22,33x x x ++是一个等比数列的前3项，则第四项为_________．8．在等比数列{}n a 中，1132a =，当11n 时，1n a >恒成立，则公比q 的取值范围是______．9．已知数列{}n a 满足()*1111,3n n n a a n a a +==∈+N ，那么{}n a 的通项公式是___.三、解答题10．已知：n S 为{}n a 的前n 项和，且满足n n a S n +=.（1）求证：{}1n a -成等比数列； （2）求n a .2.5 等比数列的前n 项和基础练一、单选题1．已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+，则数列11{}n n a a +⋅的前6项和为（ ）A ．215 B ．415 C ．511 D ．1011 2．数列11111,2,3,424816…的前n 项和为（ ）A ．()211122n n n ++-B ．()1111122n n n +++-C ．()211222n n n ++-D ．()1112122n n n ⎛⎫++- ⎪⎝⎭3．数列{}n a的通项公式为n a =n S 为其前n 项和.若9n S =，则n =（ ）A ．99B ．98C ．97D ．964．若数列{}n a 的通项公式为221n n a n =+-,则数列{}n a 的前n 项和n S 为（ ）A ．221n n +-B ．1221n n ++-C ．1222n n ++-D ．222n n +-5．数列{}n a 满足n a =123...nn ++++，则数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为（ ）A ．2nn +B ．22nn + C ．1n n + D ．21nn + 6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若367,63S S ==，则数列{}n na 的前n 项和为（ ）A ．3(1)2n n -++⨯B ．3(1)2n n ++⨯C ．1(1)2n n ++⨯D ．1(1)2n n +-⨯二、填空题7．已知数列｛a n ｝的通项a n =2n +n ，若数列｛a n ｝的前n 项和为Sn ，则S 8＝_________8．()()11114473231n n +++=⨯⨯-+ 9．已知数列111112123123n+++++++，，，，，，则其前n 项的和等于_________．三、解答题10．已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和．参考答案11．【答案】A【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2019=8a 2016，∴q 3=8，解得q =2． 故选A ． 2．【答案】B【解析】∵2017a ，2019a 是方程x 2﹣4x+1=0的两个根，∴20172019a a =1，则在等比数列{a n }中，201720192018a a a =2=1，2008a ∴=±1故选B ． 3．【答案】A【解析】数列{}n a 是公比为q 的等比数列,132,,a a a 故3122a a a =+,由此解得112q =-， 故选A 。

等比数列及其前 n 项和一、单选题(共10 道，每道10 分)1.公差不为0 的等差数列第二、三、六项构成等比数列，则公比为( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：等比数列的通项公式2.等比数列中，，，则的值为( )A. B.C. D.答案：D 解题思路：试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质3.在等比数列中，已知，，则( )A. B.C. D.答案：C 解题思路：试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质4.公比为4 的等比数列的各项都是正数，且，则( )A. B.1C.4D.16答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质5.在正项等比数列中，，是方程的两个根，则的值为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质6.一个蜂巢里有1 只蜜蜂，第1 天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6 只蜜蜂飞出去，各自找回了5 个伙伴⋯⋯如果这个找伙伴的过程继续下去，第6 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有( )只蜜蜂．A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：等比数列的通项公式7.在等比数列中，表示前n 项的和，若，，则公比q=( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：等比数列的性质8.等比数列的前n 项，前2n 项，前3n 项的和分别为A，B，C，则( )A. B.答案：D 解题思路：试题难度： 三颗星 知识点： 等比数列的性质 9. 设等比数列 的前 n 项的和为 ，已知 ， ，则 ( )答案： A解题思路：试题难度： 三颗星 知识点： 等比数列的性质A. B. C. D.C. D.10.已知 是首项为 1 的等比数列，( )是其前 n 项和，且 的前 5 B.答案：C 解题思路：。

课时作业(三十五) 等比数列及其前n 项和1．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a6＋a8a3＋a5 ＝127 ，则a 6的值为( )A ．127B ．181C ．1243D ．1729C [设等比数列{a n }的公比为q ，由a6＋a8a3＋a5 ＝q 3＝127 ⇒q ＝13 ，所以a 6＝a 1·q 5＝1243 .故选C.]2．公比不为1的等比数列{a n }满足a 5a 6＋a 4a 7＝18，若a 1a m ＝9，则m 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11C [由题意得，2a 5a 6＝18，a 5a 6＝9，∴a 1a m ＝a 5a 6＝9， ∴m ＝10.]3．(多选)记单调递增的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＋a 4＝10，a 2a 3a 4＝64，则( ) A ．S n ＋1－S n ＝2n ＋1 B ．a n ＝2n －1 C ．S n ＝2n －1D ．S n ＝2n －1－1BC [由a 2a 3a 4＝64得a 33 ＝43，则a 3＝4.设等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，由a 2＋a 4＝10，得4q ＋4q ＝10，即2q 2－5q ＋2＝0，解得q ＝2或q ＝12 .又因为数列{a n }单调递增，所以q ＝2，所以2a 1＋8a 1＝10，解得a 1＝1.所以a n ＝2n －1，S n ＝1×（1－2n ）1－2＝2n －1，所以S n ＋1－S n ＝2n ＋1－1－(2n－1)＝2n .故选BC.]4．(2020·全国卷Ⅱ)记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则Sn an ＝( )A ．2n －1B ．2－21－n C ．2－2n －1D ．21－n －1B [法一：设等比数列{a n }的公比为q ，则由⎩⎪⎨⎪⎧a5－a3＝a1q4－a1q2＝12，a6－a4＝a1q5－a1q3＝24 解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，q ＝2.所以S n ＝a1（1－qn ）1－q＝2n －1，a n ＝a 1q n －1＝2n －1，所以Sn an ＝2n －12n －1＝2－21－n ，故选B.法二：设等比数列{a n }的公比为q ，因为a6－a4a5－a3 ＝a4（1－q2）a3（1－q2） ＝a4a3 ＝2412 ＝2，所以q ＝2，所以Sn an ＝a1（1－qn ）1－q a1qn －1 ＝2n －12n －1＝2－21－n ，故选B.] 5．(多选)(2020·江苏省邗江中学高二月考)已知等比数列{a n }中，满足a 1＝1，q ＝2，S n 是{a n }的前n 项和，则下列说法正确的是( )A ．数列{a 2n }是等比数列B ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是递增数列C ．数列{log 2a n }是等差数列D ．数列{a n }中，S 10，S 20，S 30仍成等比数列AC [等比数列{a n }中，满足a 1＝1，q ＝2，所以a n ＝2n －1，所以a 2n ＝22n －1，所以数列{a 2n }是等比数列，故A 正确；又1an ＝12n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12 n －1 ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1an 是递减数列，故B 不正确；因为log 2a n ＝log 22n －1＝n －1，所以{log 2a n }是等差数列，故C 正确；数列{a n }中，S 10＝1－2101－2 ＝210－1，S 20＝220－1，S 30＝230－1，S 10，S 20，S 30不成等比数列，故D 不正确；故选AC.]6．等比数列{a n }中，a 1＝ 2 ，a 2＝33 ，则a2＋a2013a8＋a2019 ＝________，a 1a 2a 3a 4＝________．解析： 因为等比数列{a n }中，a 1＝ 2 ，a 2＝33 ， 所以q ＝a2a1 ＝332，所以a2＋a2013a8＋a2019 ＝a2＋a2013（a2＋a2013）q6 ＝1q6＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫3326 ＝89 ， a 1a 2a 3a 4＝a 41·q 6＝( 2 )4·⎝ ⎛⎭⎪⎫332 6 ＝4×98 ＝92 .答案： 89 ；927．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 020，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 021＝________． 解析： ∵a 2＋a 4＝－2a 3，∴a 2＋a 4＋2a 3＝0，a 2＋2a 2q ＋a 2q 2＝0， ∵a 2≠0，∴q 2＋2q ＋1＝0，解得q ＝－1. ∵a 1＝2 020，∴S 2 021＝a1（1－q2 021）1－q ＝2 020×[1－（－1）2 021]2 ＝2 020.答案： 2 0208.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有 1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为22，则其最小正方形的边长为________．解析： 由题意，得正方形的边长构成以22 为首项，以22为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n －1＝1 023，∴n ＝10，∴最小正方形的边长为22 ×⎝⎛⎭⎫22 9 ＝132 .答案：1329．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝4a n －p ，其中p 为非零常数． (1)求证：数列{a n }为等比数列；(2)若a 2＝43，求{a n }的通项公式．解析： (1)证明：当n ＝1时，S 1＝4a 1－p ，得a 1＝p3 ≠0，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(4a n －p )－(4a n －1－p )＝4a n －4a n －1， 得3a n ＝4a n －1，即an an －1 ＝43， 因而数列{a n }是首项为p 3 ，公比为43的等比数列．(2)由(1)知，数列{a n }的通项公式为a n ＝p 3 ×⎝⎛⎭⎫43 n －1 ，又a 2＝43 ，可知p ＝3，于是a n ＝⎝⎛⎭⎫43 n －1 .10．在等比数列{a n }中，a 1＝6，a 2＝12－a 3. (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝66，求m . 解析： (1)设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 1＝6，a 2＝12－a 3，∴6q ＝12－6q 2，解得q ＝－2或q ＝1， ∴a n ＝6×(－2)n －1或a n ＝6. (2)①若a n ＝6×(－2)n －1，则S n ＝6×[1－（－2）n]3 ＝2[1－(－2)n ]，由S m ＝66，得2[1－(－2)m ]＝66，解得m ＝5. ②若a n ＝6，q ＝1，则{a n }是常数列， ∴S m ＝6m ＝66，解得m ＝11. 综上，m 的值为5或11.11．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这3个数可适当排序后构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．7B ．8C ．9D ．10C [因为a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，所以a ＋b ＝p ，ab ＝q .因为p ＞0，q ＞0，所以a ＞0，b ＞0，又a ，b ，－2这3个数可适当排序后构成等差数列，也可适当排序后构成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧2b ＝a －2，ab ＝4 或⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝b －2，ab ＝4， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝1 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝4(负值已舍去).所以p ＝a ＋b ＝5，q ＝1×4＝4，所以p ＋q ＝9.故选C.]12．(多选)(2020·江苏南京高三期中)已知等比数列{a n }的公比q ＝－23 ，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有( )A ．a 9·a 10＜0B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 10AD [数列{a n }是公比q 为－23 的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列，则a 9＝a 1⎝⎛⎭⎫－23 8，a 10＝a 1⎝⎛⎭⎫－23 9， ∴a 9·a 10＝a 21 ⎝⎛⎭⎫－23 17 ＜0，故A 正确； ∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1⎝⎛⎭⎫－23 8＞12＋8d ，a 1⎝⎛⎭⎫－23 9＞12＋9d ， 由于a 9，a 10异号，因此a 9＜0或a 10＜0， 故b 9＜0或b 10＜0，且b 1＝12.可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0， 即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确． 故选AD.]13．已知数列{a n }是等比数列，公比q <1，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 3＝7. (1)求{a n }的通项公式；(2)设m ∈Z ，若S n <m 恒成立，求m 的最小值．解析： (1)由a 2＝2，S 3＝7得⎩⎪⎨⎪⎧a1q ＝2，a1＋a1q ＋a1q2＝7解得⎩⎪⎨⎪⎧a1＝4，q ＝12 或⎩⎪⎨⎪⎧a1＝1，q ＝2 (舍去).所以a n ＝4·⎝⎛⎭⎫12 n －1 ＝⎝⎛⎭⎫12 n －3 .(2)由(1)可知，S n ＝a1（1－qn ）1－q ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝8⎝⎛⎭⎫1－12n <8. 因为a n >0，所以S n 单调递增． 又S 3＝7，所以当n ≥4时，S n ∈(7，8). 又S n <m 恒成立，m ∈Z ，所以m 的最小值为8. 14．(开放型)在①an ＋1an ＝－12 ，②a n ＋1－a n ＝－16，③a n ＋1＝a n ＋n －8这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的S n 存在最大值，则求出最大值；若问题中的S n 不存在最大值，请说明理由．问题：设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝4，________，求{a n }的通项公式，并判断S n 是否存在最大值．解析： 选①因为an ＋1an ＝－12 ，a 1＝4，所以{a n }是首项为4.公比为－12 的等比数列，所以a n ＝4×⎝⎛⎭⎫－12 n －1 ＝⎝⎛⎭⎫－12 n －3 .当n 为奇数时，S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1＋12＝83 ⎝⎛⎭⎫1＋12n ， 因为83 ⎝⎛⎭⎫1＋12n 随着n 的增加而减少， 所以此时S n 的最大值为S 1＝4. 当n 为偶数时，S n ＝83 ⎝⎛⎭⎫1－12n ， 且S n ＝83 ⎝⎛⎭⎫1－12n ＜83 ＜4.综上，S n 存在最大值，且最大值为4. 选②因为a n ＋1－a n ＝－16 ，a 1＝4.所以{a n }是首项为4，公差为－16 的等差数列，所以a n ＝4＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－16 ＝－16 n ＋256 . 由－16 n ＋256≥0得n ≤25，所以S n 存在最大值．且最大值为S 25(或S 24)，因为S 25＝25×4＋25×242 ×⎝⎛⎭⎫－16 ＝50，所以S n 的最大值为50.选③因为a n ＋1＝a n ＋n －8，所以a n ＋1－a n ＝n －8， 所以a 2－a 1＝－7，a 3－a 2＝－6，…a n －a n －1＝n －9， 则a n －a 1＝a 2－a 1＋a 3－a 2＋…＋a n －a n －1＝（－7＋n －9）（n －1）2＝n2－17n ＋162，又a 1＝4，所以a n ＝n2－17n ＋242 .当n ≥16时，a n ＞0， 故S n 不存在最大值．15．(多选)(2020·山东枣庄期中)将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如下：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中m >0).已知a 11＝2，a 13＝a 61＋1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有( )A ．m ＝3B ．a 67＝17×37C ．a ij ＝(3i －1)×3j －1D ．S ＝14n (3n ＋1)(3n －1)ACD [由题意可得，a 13＝a 11m 2＝2m 2，a 61＝a 11＋5m ＝2＋5m ，所以2m 2＝2＋5m ＋1，解得m ＝3或m ＝－12 (舍去)，所以A 正确．由题意，得a 67＝a 61m 6＝(2＋3×5)×36＝17×36，所以B 错误．因为a ij ＝a i 1m j －1＝[a 11＋(i －1)×m ]×m j －1＝[2＋(i －1)×3]×3j －1＝(3i －1)×3j －1，所以C 正确．因为S ＝(a 11＋a 12＋…＋a 1n )＋(a 21＋a 22＋…＋a 2n )＋…＋(a n 1＋a n 2＋…＋a nn )＝a11（1－3n ）1－3＋a21（1－3n ）1－3 ＋…＋an1（1－3n ）1－3 ＝12 (3n －1)（2＋3n －1）n 2 ＝14 n (3n ＋1)(3n －1)，所以D 正确，故选ACD.]16．(2021·广东梅州质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，且S n ＝λa n －1(λ为常数).若数列{b n }满足a n b n ＝－n 2＋9n －20，且b n ＋1<b n ，则满足条件的n 的取值集合为________．解析： 当n ＝1时，a 1＝S 1＝λa 1－1.又a 1＝1，所以λ－1＝1，解得λ＝2.所以S n ＝2a n －1，所以S n －1＝2a n －1－1(n ≥2)，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1又a n b n ＝－n 2＋9n －20，所以b n ＝－n2＋9n －202n －1，所以b n ＋1－b n ＝－（n ＋1）2＋9（n ＋1）－202n－－n2＋9n －202n －1＝n2－11n ＋282n<0.又2n >0，所以n 2－11n ＋28＝(n －4)(n －7)<0，解得4<n <7又n ∈N ，所以满足条件的n 的取值集合为{5，6}答案： {5，6}。

第五章 数列授课提示：对应学生用书第293页[A 组 基础保分练]1．若正项数列{a n }满足a 1＝2，a 2n ＋1－3a n ＋1a n －4a 2n ＝0，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝22n －1B ．a n ＝2nC ．a n ＝22n ＋1D ．a n ＝22n －3答案：A2．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A.18 B ．－18C.578 D ．558答案：A3．(2021·西安模拟)设a 1＝2，数列{1＋2a n }是公比为2的等比数列，则a 6＝( ) A ．31.5 B ．160 C ．79.5D ．159.5 解析：因为1＋2a n ＝(1＋2a 1)·2n －1，则a n ＝5·2n －1－12，a n ＝5·2n －2－12.a 6＝5×24－12＝5×16－12＝80－12＝79.5.答案：C4．正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 3a 7＋a 5a 9＝16，且a 5与a 9的等差中项为4，则{a n }的公比是( ) A ．1 B ．2 C.22D ．2答案：D5．(2021·南宁统一考试)设{a n }是公比为q 的等比数列，则“q ＞1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：等比数列{a n }为递增数列的充要条件为⎩⎪⎨⎪⎧a 1＞0，q ＞1，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＜0，0＜q ＜1.答案：D6．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，S n 是其前n 项和，若S 2＋a 2＝S 3－3，则a 4＋3a 2的最小值为( )A ．12B ．9C ．16D ．18解析：因为S 3－S 2＝a 3，所以由S 2＋a 2＝S 3－3，得a 3－a 2＝3，设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＝3q q －1，由于{a n }的各项为正，所以q ＞1.a 4＋3a 2＝a 1q 3＋3a 1q ＝a 1q (q 2＋3)＝3q q －1q (q 2＋3)＝3q 2＋3q －1＝3(q －1＋4q －1＋2)≥18，当且仅当q －1＝2，即q ＝3时，a 3＋3a 2取得最小值18.答案：D7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若S 6S 3＝65，则数列{a n }的公比为________．答案：48．(2021·安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值为________． 答案：29．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的前n 项和为T n ，a 1＝－1，b 1＝1，a 2＋b 2＝2.(1)若a 3＋b 3＝5，求{b n }的通项公式； (2)若T 3＝21，求S 3.解析：设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则a n ＝－1＋(n －1)d ，b n ＝q n －1. 由a 2＋b 2＝2得d ＋q ＝3.① (1)由a 3＋b 3＝5得2d ＋q 2＝6.②联立①和②解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝3，q ＝0(舍去)，⎩⎪⎨⎪⎧d ＝1，q ＝2.因此{b n }的通项公式为b n ＝2n －1.(2)由b 1＝1，T 3＝21得q 2＋q －20＝0， 解得q ＝－5或q ＝4.当q ＝－5时，由①得d ＝8，则S 3＝21. 当q ＝4时，由①得d ＝－1，则S 3＝－6.10．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．解析：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－3，解得a 1＝3， 当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－6，解得a 2＝9， 当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－9，解得a 3＝21.(2)假设{a n ＋λ}是等比数列，则(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)·(a 3＋λ)， 即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3. 下面证明{a n ＋3}为等比数列：∵S n ＝2a n －3n ，∴S n ＋1＝2a n ＋1－3n －3，∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3，即2a n ＋3＝a n＋1，∴2(a n ＋3)＝a n ＋1＋3，∴a n ＋1＋3a n ＋3＝2，∴存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝6，公比为2的等比数列． ∴a n ＋3＝6×2n －1，即a n ＝3(2n －1)(n ∈N *)．[B 组 能力提升练]1．(多选题)如图，在每个小格中填上一个数，使得每一行的数依次成等差数列，每一列的数依次成等比数列，则( )A.x ＝1 C ．z ＝3D ．x ＋y ＋z ＝2解析：因为每一列成等比数列，所以第一列的第3,4,5个小格中的数分别是12，14，18，第三列的第3,4,5个小格中的数分别是1，12，14，所以x ＝1.又每一行成等差数列，所以y ＝14＋3×12－142＝58，z －18＝2×18，所以z ＝38，所以x ＋y ＋z ＝2.故A ，D 正确；B ，C错误． 答案：AD2．已知等比数列{a n }满足a 4＋a 6a 1＋a 3＝18，a 5＝4，记等比数列{a n }的前n 项积为T n ，则当T n取最大值时，n ＝( ) A ．4或5 B ．5或6 C ．6或7D ．7或8答案：C3．已知正项等比数列{a n }满足a 2·a 27·a 2 020＝16，则a 1·a 2·…·a 1 017＝( ) A ．41 017 B ．21 017 C ．41 018 D ．21 018答案：B4．(多选题)已知数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，a 1＝1，b 1＝2，a 2＋b 2＝7，a 3＋b 3＝13.记c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，数列{c n }的前n 项和为S n ，则( ) A ．a n ＝2n －1 B ．b n ＝2nC ．S 9＝1 409D ．S 2n ＝2n 2－n ＋43(4n－1)解析：设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q (q ≠0)，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧1＋d ＋2q ＝7，1＋2d ＋2q 2＝13，得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2，q ＝2，故a n ＝2n －1，b n ＝2n ，故A ，B 正确；则c 2n －1＝a 2n －1＝4n －3，c 2n ＝b 2n ＝4n ，所以数列{c n }的前2n 项和S 2n ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b 2n )＝n 1＋4n －32＋41－4n 1－4＝2n 2－n ＋43(4n －1)，S 9＝S 8＋a 9＝385，故C 错误，D 正确． 答案：ABD5．已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋na m＝a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________. 答案：2n ＋1－26．(2021·黄冈模拟)已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1a 6＝2a 3，a 4与2a 6的等差中项为32，则S 5＝________.答案：317．(2021·山东德州模拟)给出以下三个条件：①数列{a n }是首项为2，满足S n ＋1＝4S n ＋2的数列；②数列{a n }是首项为2，满足3S n ＝22n ＋1＋λ(λ∈R )的数列； ③数列{a n }是首项为2，满足3S n ＝a n ＋1－2的数列．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a n 与S n 满足________，记数列b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ，c n ＝n 2＋nb n b n ＋1，求数列{c n }的前n 项和T n .注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分． 解析：选条件①.由已知S n ＋1＝4S n ＋2，可得当n ≥2时，S n ＝4S n －1＋2， 两式相减，得a n ＋1＝4(S n －S n －1)＝4a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，当n ＝1时，S 2＝4S 1＋2，即2＋a 2＝4×2＋2，解得a 2＝8，满足a 2＝4a 1， 故数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1， 所以b n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＝n 2，所以c n ＝n 2＋n b n b n ＋1＝n n ＋1n 2n ＋12＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1. 故T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.选条件②.由已知3S n ＝22n ＋1＋λ，可得当n ≥2时，3S n －1＝22n －1＋λ，两式相减，得3a n ＝22n ＋1－22n －1＝3·22n －1，即a n ＝22n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝2满足a n ＝22n －1，故数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n ＝22n －1. 以下同选条件①. 选条件③.由已知3S n ＝a n ＋1－2，可得当n ≥2时，3S n －1＝a n －2， 两式相减，得3a n ＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝4a n (n ≥2)，当n＝1时，3a1＝a2－2，又a1＝2，所以a2＝8，满足a2＝4a1，故数列{a n}是以2为首项，4为公比的等比数列，所以a n＝22n－1.以下同选条件①.[C组创新应用练]1．(多选题)设数列{a n}(n∈N*)是各项均为正数的等比数列，q是其公比，K n是其前n 项的积，且K5＜K6，K6＝K7＞K8，则下列选项中正确的是( )A．0＜q＜1B．a7＝1C．K9＞K5D．K6与K7均为K n的最大值解析：若K6＝K7，则a7＝K7K6＝1，故B正确；由K5＜K6可得a6＝K6K5＞1，则q＝a7a6∈(0,1)，故A正确；由数列{a n}是各项为正数的等比数列且q∈(0,1)，可得数列{a n}单调递减，则有K9＜K5，故C错误；结合K5＜K6，K6＝K7＞K8，可得D正确．答案：ABD2．(2021·湖南常德模拟)某地区发生流行性病毒感染，居住在该地区的居民必须服用一种药物预防．规定每人每天早晚八时各服一次，现知每次药量为220毫克，若人的肾脏每12小时从体内滤出这种药的60%.某人上午八时第一次服药，至第二天上午八时服完药时，这种药在他体内还残留( )A．220毫克B．308毫克C．123.2毫克D．343.2毫克解析：设第n次服药后，药在体内的残留量为a n毫克，则a1＝220，a2＝220＋a1×(1－60%)＝220×1.4＝308，a3＝220＋a2×(1－60%)＝343.2.答案：D3．设{a n}是各项为正数的无穷数列，A i是边长为a i，a i＋1的矩形的面积(i＝1,2，…)，则{A n}为等比数列的充要条件是( )A．{a n}是等比数列B ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…或a 2，a 4，…，a 2n ，…是等比数列C ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列D ．a 1，a 3，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…均是等比数列，且公比相同解析：∵A i ＝a i a i ＋1，若{A n }为等比数列，则A n ＋1A n ＝a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝a n ＋2a n 为常数，即A 2A 1＝a 3a 1，A 3A 2＝a 4a 2，….∴a 1，a 3，a 5，…，a 2n －1，…和a 2，a 4，…，a 2n ，…成等比数列，且公比相等．反之，若奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比相等，设为q ，则A n ＋1A n ＝a n ＋2a n＝q ，从而{A n }为等比数列． 答案：D。

1．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 1，S 2＋a 2，S 3成等差数列，则数列{a n }的公比为( ) A ．1 B ．2 C.12D ．3 解析：因为S 1，S 2＋a 2，S 3成等差数列，所以2(S 2＋a 2)＝S 1＋S 3,2(a 1＋a 2＋a 2)＝a 1＋a 1＋a 2＋a 3，a 3＝3a 2，q ＝3。

选D 。

答案：D2．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝ ( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．2＋log 35解析：由题意可知a 5a 6＝a 4a 7，又a 5a 6＋a 4a 7＝18得a 5a 6＝a 4a 7＝9， 而log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10) ＝log 3(a 5a 6)5＝log 395 ＝log 3310＝10。

答案：B3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n ＝( )A ．4n －1 B ．4n －1 C ．2n －1 D ．2n －1解析：∵⎩⎨⎧a 1＋a 3＝52a 2＋a 4＝54，∴⎩⎨⎧a 1＋a 1q 2＝52，1a 1q ＋a 1q 3＝54，2由(1)除以(2)可得1＋q 2q ＋q 3＝2，解得q ＝12，代入(1)得a 1＝2，∴a n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n －1＝42n ，∴S n ＝2×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝4⎝⎛⎭⎫1－12n ，∴S n a n ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 42n ＝2n －1，选D 。

答案：D4．在等比数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为17，则S 6＝( ) A.634 B ．16 C ．15 D.614解析：由等比数列的性质知a 2·a 3＝a 1·a 4＝2a 1，即a 4＝2。

等比数列及其前n 项和（1）基础巩固题组一、选择题1．(2013·新课标全国卷Ⅱ)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )A.13B ．－13C.19D ．－19选C 由题知q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19，2．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件选A 显然，n ∈N *，a n ，a n ＋1，a n ＋2成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2，反之，则不一定成立，举反例，如数列为1,0,0,0，…3．(2013·六安二模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －2，n ∈N *，则( )．A ．{a n }是递增的等比数列B ．{a n }是递增数列，但不是等比数列C ．{a n }是递减的等比数列D ．{a n }不是等比数列，也不单调 解析 ∵S n ＝3n －2，∴S n －1＝3n －1－2，∴a n ＝S n －S n －1＝3n －2－(3n －1－2)＝2×3n －1(n ≥2)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝1不适合上式，但a 1＜a 2＜a 3＜…. 答案 B4．(2014·广州模拟)等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n .若S 3＝72，则S 6等于( )．A.312B.632 C ．63D.1272解析 S 3＝a 1(1－23)1－2＝7a 1＝72，所以a 1＝12.所以S 6＝a 1(1－26)1－2＝63a 1＝632.答案 B5．(2013·新课标全国Ⅱ卷)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )． A.13B ．－13C.19 D ．－19解析 由题知q ≠1，则S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝a 1q ＋10a 1，得q 2＝9，又a 5＝a 1q 4＝9，则a 1＝19.答案 C6．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值为( )．A ．1B ．－12C ．1或－12D ．－1或12解析 根据已知条件⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝7，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝21. 得1＋q ＋q 2q 2＝3.整理得2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或－12. 答案 C7．(2014·浙江十校联考)若方程x 2－5x ＋m ＝0与x 2－10x ＋n ＝0的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等比数列，则m ∶n 值为 ( )． A.14 B.12 C ．2D ．4解析 设方程x 2－5x ＋m ＝0的两根为x 1，x 2，方程x 2－10x ＋n ＝0的两根为x 3，x 4.则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝5，x 1·x 2＝m ，⎩⎪⎨⎪⎧x 3＋x 4＝10，x 3·x 4＝n ，由题意知x 1＝1，x 2＝4，x 3＝2，x 4＝8，∴m ＝4，n ＝16，∴m ∶n ＝14. 答案 A 二、填空题8．(2014·江西九校联考)实数项等比数列{a n }的前n 项的和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q 等于________．解析 首先q ≠1，因为若q ＝1，则S 10S 5＝2，当q ≠1时，S 10S 5＝a 1(1－q 10)1－q a 1(1－q 5)1－q ＝1－q 101－q 5＝(1－q 5)(1＋q 5)1－q 5＝3132，q 5＝－132，q ＝－12. 答案 －129．在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________.解析 ∵a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝30，a 3＋a 4＝a 1q 2(1＋q )＝60，∴q 2＝2，∴a 7＋a 8＝a 1q 6(1＋q )＝[a 1(1＋q )]·(q 2)3＝30×8＝240. 答案 24010．等比数列{a n }前n 项和为S n ，公比不为1.若a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，则S 5＝________.解析：由a n ＋2＋a n ＋1－2a n ＝0，得a n q 2＋a n q －2a n ＝0，显然a n ≠0，所以q 2＋q －2＝0.又q ≠1，解得q ＝－2.又a 1＝1， 所以S 5＝1×[1－(－2)5]1－(－2)＝11.答案：1111．设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n ＋1，S n ，S n ＋2成等差数列，则q 的值为________．解析 由已知条件，得2S n ＝S n ＋1＋S n ＋2， 即2S n ＝2S n ＋2a n ＋1＋a n ＋2，即a n ＋2a n ＋1＝－2.答案 －2 三、解答题12．在数列{a n }中，已知a 1＝－1，且a n ＋1＝2a n ＋3n －4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n ＋1－a n ＋3}是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n . (1)证明 令b n ＝a n ＋1－a n ＋3，则b n ＋1＝a n ＋2－a n ＋1＋3＝2a n ＋1＋3(n ＋1)－4－2a n －3n ＋4＋3＝2(a n ＋1－a n ＋3)＝2b n ，即b n ＋1＝2b n . 由已知得a 2＝－3，于是b 1＝a 2－a 1＋3＝1≠0.所以数列{a n ＋1－a n ＋3}是以1为首项，2为公比的等比数列． (2)解 由(1)可知b n ＝a n ＋1－a n ＋3＝2n －1，即2a n ＋3n －4－a n ＋3＝2n －1，∴a n ＝2n －1－3n ＋1(n ∈N *)，故S n ＝(1＋2＋22＋…＋2n －1)－3(1＋2＋3＋…＋n )＋n ＝1－2n 1－2－3×n (n ＋1)2＋n ＝2n －3n 2＋n 2－1.13．(2013·济南期末)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＝4，a 3＋a 4＝17.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋2，证明数列{b n }是等比数列并求其前n 项和T n .解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 4＝a 1＋2d ＋a 1＋3d ＝17，a 2＝a 1＋d ＝4，解得a 1＝1，d ＝3， ∴a n ＝3n －2(n ∈N *)．(2)证明：由题意知，b n ＝2a n ＋2＝23n (n ∈N *)， b n －1＝23(n－1)＝23n －3(n ∈N *，n ≥2)，∴b n b n －1＝23n 23n －3＝23＝8(n ∈N *，n ≥2)，又b 1＝8， ∴{b n }是以b 1＝8，公比为8的等比数列， T n ＝8(1－8n )1－8＝87(8n －1)．14．(2013·东北三校联考)等比数列{a n }的所有项均为正数，首项a 1＝1，且a 4, 3a 3，a 5成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n ＋1－λa n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n －1(n ∈N *)，求实数λ的值． 解：(1)设数列{a n }的公比为q ， 由条件可知q 3,3q 2，q 4成等差数列， ∴6q 2＝q 3＋q 4，解得q ＝－3或q ＝2， ∵q >0，∴q ＝2.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)记b n ＝a n ＋1－λa n ，则b n ＝2n －λ·2n －1＝(2－λ)2n －1，若λ＝2，则b n ＝0，S n ＝0，不符合条件；若λ≠2，则b n ＋1b n ＝2，数列{b n }为首项为2－λ，公比为2的等比数列，此时S n ＝(2－λ)1－2(1－2n )＝(2－λ)(2n －1)，∵S n ＝2n －1(n ∈N *)，∴λ＝1.能力提升题组一、选择题1．(2014·兰州模拟)已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的值是( )．A ．－15B ．－5C ．5D.15解析 由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)，得log 3a n ＋1－log 3a n ＝1且a n ＞0，即log 3a n ＋1a n ＝1，解得a n ＋1a n ＝3，所以数列{a n }是公比为3的等比数列．因为a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)q 3，所以a 5＋a 7＋a 9＝9×33＝35.所以log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝log 1335＝－log 335＝－5.答案 B2．(2014·山东省实验中学诊断)在各项为正的等比数列{a n }中，a 4与a 14的等比中项为22，则2a 7＋a 11的最小值是 ( )． A ．16 B ．8 C ．2 2D ．4解析 由题意知a 4·a 14＝(22)2＝a 29，即a 9＝2 2.设公比为q (q ＞0)，所以2a 7＋a 11＝2a 9q 2＋a 9q 2＝42q 2＋22q 2≥ 242q 2×22q 2＝8，当且仅当42q2＝22q 2，即q ＝42时取等号，其最小值为8. 答案 B 二、填空题3．(2013·江苏卷)在正项等比数列{a n }中，a 5＝12，a 6＋a 7＝3.则满足a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n 的最大正整数n 的值为________．解析 由已知条件得12q ＋12q 2＝3，即q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)，a n ＝a 5qn －5＝12×2n －5＝2n －6，a 1＋a 2＋…＋a n ＝132(2n －1)，a 1a 2…a n ＝2－52－42－3…2n －6＝，由a 1＋a 2＋…＋a n >a 1a 2…a n ，可知2n －5－2－5>，可求得n 的最大值为12，而当n ＝13时，28－2－5<213，所以n 的最大值为12.答案 12 三、解答题4．已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n (n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值．解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5， 即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14.又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为 a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n＝1－⎝⎛⎭⎫－12n＝⎩⎨⎧1＋12n，n 为奇数，1－12n，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小， 所以1<S n ≤S 1＝32，故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56.当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1，故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712.综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712.。

数学 等比数列及其前n 项和一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝132，则项数n 为( )A ．3B ．4C ．5D ．62．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( ) A ．32B ．23C ．－23D ．23或－233．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯塔的2倍，则塔的顶层共有灯( )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏4．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，a 3＝8，则a 6＝( ) A ．16 B ．32 C ．64D ．1285．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则实数a 的值为( )A ．－13B ．13C ．－12D ．126．设等比数列{a n }的公比为q >0，且q ≠1，S n 为数列{a n }前n 项和，记T n ＝a nS n ，则( )A ．T 3≤T 6B ．T 3<T 6C ．T 3≥T 6D ．T 3>T 67．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列{1a n}的前4项和为( ) A ．158或4B ．4027或4C ．4027D ．1588．已知数列{a n }是递减的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 2＋a 5＝18，a 3a 4＝32，则S 5的值是( )A ．62B ．48C ．36D ．31二、填空题9．数列{a n }满足：log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，若a 3＝10，则a 8＝_____．10．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝ ．11．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝_____．12． 已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是_____． 三、解答题13．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3． (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m ．14． (2018·安徽联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4． (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列． (2)求数列{S n }的前n 项和T n ．1．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值是( )A ．52或－52B ．－52C ．52D ．122．等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项的和S 奇＝255，所有偶数项的和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( )A ．1B ．2C ．3D ．43．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝( ) A ．80 B ．30 C ．26D ．164．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝82，a 3·a n －2＝81，且前n 项和S n ＝121，则此数列的项数n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．75． 已知等比数列{a n }满足条件a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，a 2n ＝3a 2n ，n ∈N *，数列{b n }满足b 1＝1，b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c na n＝b n ，n ∈N *，求{c n }的前n 项和T n ．【参考答案】一、选择题1．在等比数列{a n }中，a 1＝12，q ＝12，a n ＝132，则项数n 为( C )A ．3B ．4C ．5D ．62．在等比数列{a n }中，若a 1<0，a 2＝18，a 4＝8，则公比q 等于( C ) A ．32B ．23C ．－23D ．23或－23[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝18，a 1q 3＝8解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝27，q ＝23或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－27，q ＝－23，又a 1<0，因此q ＝－23.故选C ．3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯塔的2倍，则塔的顶层共有灯( B )A ．1盏B ．3盏C ．5盏D ．9盏[解析] 设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由x (1－27)1－2＝381可得x ＝3．4．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝14，a 3＝8，则a 6＝( C ) A ．16 B ．32 C ．64D ．128[解析] 由题意得，等比数列的公比为q ，由S 3＝14，a 3＝8，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q ＋q 2)＝14，a 3＝a 1q 2＝8，，解得a 1＝2，q ＝2，所以a 6＝a 1q 5＝2×25＝64，故选C ．5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则实数a 的值为( A )A ．－13B ．13C ．－12D ．12[解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝a ·2n －1－a ·2n －2＝a ·2n －2，当n ＝1时，a 1＝S 1＝a ＋16，又因为{a n }是等比数列，所以a ＋16＝a 2，所以a ＝－13．6．设等比数列{a n }的公比为q >0，且q ≠1，S n 为数列{a n }前n 项和，记T n ＝a nS n ，则( D )A ．T 3≤T 6B ．T 3<T 6C ．T 3≥T 6D ．T 3>T 6[解析] T 6－T 3＝a 6(1－q )a 1(1－q 6)－a 3(1－q )a 1(1－q 3)＝q 5(1－q )1－q 6－q 2(1－q )1－q 3＝－q 2(1－q )1－q 6，由于q >0且q ≠1，所以1－q 与1－q 6同号，所以T 6－T 3<0，∴T 6<T 3，故选D ．7．已知{a n }是首项为1的等比数列，若S n 是数列{a n }的前n 项和，且28S 3＝S 6，则数列{1a n}的前4项和为( C ) A ．158或4B ．4027或4C ．4027D ．158[解析] 设数列{a n }的公比为q ．当q ＝1时，由a 1＝1，得28S 3＝28×3＝84.S 6＝6，两者不相等，因此不合题意． 当q ≠1时，由28S 3＝S 6及首项为1，得28(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q ，解得q ＝3.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3n －1．所以数列{1a n }的前4项和为1＋13＋19＋127＝4027．8．已知数列{a n }是递减的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，若a 2＋a 5＝18，a 3a 4＝32，则S 5的值是( A )A ．62B ．48C ．36D ．31[解析] 由a 2＋a 5＝18，a 3a 4＝32，得a 2＝16，a 5＝2或a 2＝2，a 5＝16(不符合题意，舍去)，设数列{a n }的公比为q ，则a 1＝32，q ＝12，所以S 5＝32[1－(12)5]1－12＝62，选A ．二、填空题9．数列{a n }满足：log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，若a 3＝10，则a 8＝__320___．[解析] 由题意知log 2a n ＋1＝log 22a n ，∴a n ＋1＝2a n ，∴{a n }是公比为2的等比数列，又a 3＝10，∴a 8＝a 3·25＝320．10．已知数列{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n ＋1a n ＋2＝647(1－2－3n) ．[解析] 设数列{a n }的公比为q ，则q 3＝a 5a 2＝18，解得q ＝12，a 1＝a 2q＝4.易知数列{a n a n ＋1a n＋2}是首项为a 1a 2a 3＝4×2×1＝8，公比为q 3＝18的等比数列，所以a 1a 2a 3＋a 2a 3a 4＋…＋a n a n＋1a n ＋2＝8(1－18n )1－18＝647(1－2－3n )． 11．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝__32___．[解析] 由题意知S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝74，a 4＋a 5＋a 6＝S 6－S 3＝634－74＝14＝74·q 3，∴q ＝2．又a 1＋2a 1＋4a 1＝74，∴a 1＝14，∴a 8＝14×27＝32．12． 已知等比数列{a n }中，a 2＝1，则其前3项的和S 3的取值范围是__(－∞，－1]∪[3，＋∞)___．[解析] 设等比数列的公比为q ，则S 3＝1q ＋q ＋1∵|1q ＋q |＝1|q |＋|q |≥2(当且仅当|q |＝1时取等号) ∴1q ＋q ≥2或1q＋q ≤－2∴S 3≥3或S 3≤－1，∴S 3的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)． 三、解答题13．等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3． (1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和．若S m ＝63，求m ．[分析] 本题考查等比数列的通项公式、前n 项和公式． (1)根据已知，建立含有q 的方程→求得q 并加以检验→代入等比数列的通项公式(2)利用等比数列前n 项和公式与已知建立等量关系即可求解． [解析] (1)设{a n }的公比为q ，由题设得a n ＝q n －1．由已知得q 4＝4q 2，解得q ＝0(舍去)或q ＝－2或q ＝2.故a n ＝(－2)n －1或a n ＝2n －1． (2)若a n ＝(－2)n －1，则S n ＝1－(－2)n 3.由S m ＝63得(－2)m ＝－188，此方程没有正整数解．若a n ＝2n －1，则S n ＝2n －1.由S m ＝63得2m ＝64，解得m ＝6.综上，m ＝6． [解后反思] 等比数列基本量运算问题的常见类型及解题策略： (1)求通项．求出等比数列的两个基本量a 1和q 后，通项便可求出． (2)求特定项．利用通项公式或者等比数列的性质求解． (3)求公比．利用等比数列的定义和性质建立方程(组)求解．(4)求前n 项和．直接将基本量代入等比数列的前n 项和公式求解或利用等比数列的性质求解．[易错警示] 解方程时，注意对根的检验．求解等比数列的公比时，要结合题意进行讨论、取值，避免错解．14． (2018·安徽联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4． (1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列． (2)求数列{S n }的前n 项和T n ．[解析] (1)证明：由题意知S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)， 即S n ＝2S n －1－n ＋4，所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]， 又易知a 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列． (2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1， 所以S n ＝2n ＋1＋n －2，于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝4(1－2n )1－2＋n (n ＋1)2－2n ＝2n ＋3＋n 2－3n －82．1．已知1，a 1，a 2,4成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,4成等比数列，则a 1＋a 2b 2的值是( C )A ．52或－52B ．－52C ．52D ．12[解析] 由题意得a 1＋a 2＝5，b 22＝4，又b 2与第一项的符号相同，所以b 2＝2.所以a 1＋a 2b 2＝52.故选C ． [技巧点拨] (1)在等差(比)数列的基本运算中要注意数列性质的运用，利用性质解题可简化运算，提高运算的速度．(2)根据等比中项的定义可得，在等比数列中，下标为奇数的项的符号相同，下标为偶数的项的符号相同，在求等比数列的项时要注意这一性质的运用，避免出现符号上的错误．2．等比数列{a n }共有奇数项，所有奇数项的和S 奇＝255，所有偶数项的和S 偶＝－126，末项是192，则首项a 1等于( C )A ．1B ．2C ．3D ．4[解析] ∵a n ＝192， ∴q ＝S 偶S 奇－a n ＝－12663＝－2．又S n ＝a 1－a n q1－q＝S 奇＋S 偶，∴a 1－192×(－2)1－(－2)＝255＋(－126)，解得a 1＝3，故选C ．3．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝( B ) A ．80 B ．30 C ．26D ．16[解析] 由等比数列的性质知S n 、S 2n －S n 、S 3n －S 2n 成等比数列，∴(S 2n －2)2＝2(14－S 2n )，∴S 2n ＝6或－4(舍去)，又S 2n －S n 、S 3n －S 2n 、S 4n －S 3n 成等比数列，∴82＝4(S 4n －14)，∴S 4n ＝30.故选B ．另解：(特殊化)不妨令n ＝1，则a 1＝S 1＝2，S 3＝2(1－q 3)1－q ＝14，∴q 2＋q －6＝0，∴q ＝2或－3(舍去)∴S 4＝2(1－q 4)1－q＝30.故选B ．4．在等比数列{a n }中，a 1＋a n ＝82，a 3·a n －2＝81，且前n 项和S n ＝121，则此数列的项数n 等于( B )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 在等比数列{a n }中，a 3·a n －2＝a 1·a n ＝81，又a 1＋a n ＝82，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，a n ＝81或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝81，a n ＝1.当a 1＝1，a n ＝81时，S n ＝1－81q1－q ＝121，解得q ＝3．由a n ＝a 1q n －1得81＝3n －1，解得n ＝5． 同理可得当a 1＝81，a n ＝1时，n ＝5.故选B ．5． 已知等比数列{a n }满足条件a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，a 2n ＝3a 2n ，n ∈N *，数列{b n }满足b 1＝1，b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{c n }满足c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c na n ＝b n ，n ∈N *，求{c n }的前n 项和T n ．[解析] (1)设{a n }的通项公式为a n ＝a 1q n －1，n ∈N *，由已知a 2＋a 4＝3(a 1＋a 3)，a 1q ＋a 1q 3＝3(a 1＋a 1q 2)，得q ＝3，由已知a 2n ＝3a 2n ，即a 1q 2n －1＝3a 21q 2n －2， 解得q ＝3a 1，a 1＝1，所以{a n }的通项公式为a n ＝3n －1．因为b 1＝1，b n －b n －1＝2n －1(n ≥2，n ∈N *)， 可得b 2－b 1＝3，b 3－b 2＝5，…，b n －b n －1＝2n －1， 累加可得b n ＝n 2．(2)当n ＝1时，c 1a 1＝1，c 1＝1，当n ≥2时，c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c na n ＝n 2①c 1a 1＋c 2a 2＋c 3a 3＋…＋c n －1a n －1＝(n －1)2② 由①－②得到c na n ＝2n －1，c n ＝(2n －1)·3n －1，n ≥2，综上，c n ＝(2n －1)·3n －1，n ∈N *．T n ＝1×30＋3×31＋…＋(2n －3)×3n －2＋(2n －1)×3n －1③ 3T n ＝1×31＋3×32＋…＋(2n －3)×3n －1＋(2n －1)×3n ④ 由③－④得到－2T n ＝1×30＋2×(31＋32＋…＋3n －1)－(2n －1)×3n ＝1×30＋2×3(3n －1－1)3－1－(2n －1)×3n ．所以T n ＝1＋(n －1)×3n ．。

等差等比数列及其前n 项和作业及答案一、选择题：1.设命题甲为“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙为“a b ＋c b＝2”，那么 ( ) A ．甲是乙的充分不必要条件 B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件解析：由a b ＋c b＝2，可得a ＋c ＝2b ，但a 、b 、c 均为零时，a 、b 、c 成等差数列， 但a b ＋c b≠2. 答案：B 2.(2009·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于 ( )A ．1 B.53C ．2D ．3 解析：∵S 3＝(a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0， ∴d ＝a 3－a 12＝2. 答案：C 3．(2010·广州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k等于 ( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)＝⎩⎪⎨⎪⎧－8 (n ＝1)－10＋2n (n ≥2)＝2n －10， ∵5＜a k ＜8，∴5＜2k －10＜8， ∴152<k <9，又∵k ∈N *，∴k ＝8. 答案：B 4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于 ( )A ．63B ．45C ．36D ．27解析：由{a n }是等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列．由2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45. 答案：B5.设数列{a n }是等差数列，且a 4＝－4，a 9＝4，S n 是数列{a n }的前n 项和，则 ( )A ．S 5＜S 6B ．S 5＝S 6C ．S 7＝S 5D ．S 7＝S 6解析：因为a 4＝－4，a 9＝4，所以a 4＋a 9＝0，即a 6＋a 7＝0，所以S 7＝S 5＋a 6＋a 7＝S 5. 答案：C6.各项都是正数的等比数列{}a n 中，a 2，123，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为 ( ) A.5－12 B.5＋12 C.1－52 D.5＋12或5－12解析：设{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＝a 3， ∴a 1＋a 1q ＝a 1q 2，即q 2－q －1＝0， ∴q ＝1±52，又∵a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝1＋52，a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. 答案：A 7.(2009·广东高考)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C.2 D ．2 解析：∵a 3·a 9＝2a 25＝a 26，∴a 6a 5＝ 2. 又a 2＝1＝a 1·2，∴a 1＝22. 答案：B 8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于 ( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶3解析：∵{a n }为等比数列， ∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)， 又∵S 6∶S 3＝1∶2，∴14S 23＝S 3(S 9－12S 3)，即34S 3＝S 9， ∴S 9∶S 3＝3∶4. 答案：C 9.若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2np (p 为正常数，n ∈N *)，则称{a n }为“等方比数列”． 甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则 ( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：数列{a n }是等比数列则a n ＋1a n ＝q ，可得a 2n ＋1a 2n＝q 2，则{a n }为“等方比数列”．当{a n }为“等方比数列”时，则a 2n ＋1a 2n＝p (p 为正常数，n ∈N *)，当n ≥1时a n ＋1a n ＝±p ，所以此数列{a n }并不一定是等比数列． 答案：B10.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝ ( ) A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 解析：∵q 3＝a 5a 2＝18∴q ＝12，a 1＝4，数列{a n ·a n ＋1}是以8为首项，14为公比的等比数列，不难得出答案为C. 答案：C11. 在等差数列{a n }中，若a 1<0，S 9＝S 12，则当S n 取得最小值时，n 等于A ．10B ．11C ．9或10D ．10或11解析：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得9a 1＋12×9×(9－1)d ＝12a 1＋12×12×(12－1)d ， 即3a 1＝－30d ，∴a 1＝－10d . ∵a 1<0，∴d >0. ∴S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12dn 2－212dn ＝d 2⎝⎛⎭⎫n －2122－441d 8∴S n 有最小值，又n ∈N *， ∴n ＝10，或n ＝11时，S n 取最小值． 答案：D12.在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S n n 最大时，n 的值等于 ( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17解析：∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5， 又q ∈(0,1)，∴a 3＞a 5，而a 3a 5＝4，∴a 3＝4，a 5＝1， ∴q ＝12，a 1＝16，a n ＝16×(12)n －1＝25－n ， b n ＝log 2a n ＝5－n ，b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n (9－n )2∴S n n ＝9－n 2， ∴当n ≤8时，S n n ＞0；当n ＝9时，S n n ＝0；当n ＞9时，S n n＜0， ∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋…＋S n n 最大． 答案：C 二、填空题：13．在等差数列{a n }中，已知log 2(a 5＋a 9)＝3，则等差数列{a n }的前13项的和S 13＝________.解析：∵log 2(a 5＋a 9)＝3，∴a 5＋a 9＝23＝8.∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×(a 5＋a 9)2＝13×82＝52. 答案：52 14．(2009·辽宁高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5，得6(a 1＋3d )＝2，所以a 4＝13. 答案：1315．(2009·浙江高考)设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________. 解析：a 4＝a 1(12)3＝181，S 4＝a 1(1－124)1－12＝158a 1， ∴S 4a 4＝15. 答案：15 16．(2009·宁夏、海南高考)等比数列{a n }的公比q ＞0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.解析：∵a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴a n ·q 2＋a n ·q ＝6a n (a n ≠0)， ∴q 2＋q －6＝0，∴q ＝－3或q ＝2. ∵q ＞0，∴q ＝2，∴a 1＝12，a 3＝2，a 4＝4， ∴S 4＝12＋1＋2＋4＝152. 答案：152三、解答题：17．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n 2－，证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由已知a n ＋1＝2a n ＋2n 得 b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. 又b 1＝a 1＝1， 因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知a n 2－＝n ，即a n ＝n ·2n －1. S n ＝1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1， 两边乘以2得，2S n ＝2＋2×22＋…＋n ×2n . 两式相减得S n ＝－1－21－22－…－2n －1＋n ·2n ＝－(2n －1)＋n ·2n ＝(n －1)2n＋1. 18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值； (2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8.(2)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2，∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)． ∵S 1＋2＝4≠0， ∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋22， 故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． 19．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 6＝36.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝6n ＋(－1)n －1λ·2a n (λ为正整数，n ∈N *)，试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有b n ＋1＞b n 成立．解：(1)∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列，设{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由a 3＝5，S 6＝36得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝56a 1＋15d ＝36，解得a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝6n ＋(－1)n －1·λ·22n －1，要使得对任意n ∈N *都有b n ＋1＞b n 恒成立， ∴b n ＋1－b n ＝6n ＋1＋(－1)n ·λ·22n ＋1－6n －(－1)n －1·λ·22n －1＝5·6n －5λ·(－1)n －1·22n －1＞0恒成立， 即12λ·(－1)n －1＜(32)n . 当n 为奇数时， 即λ＜2·(32)n ，而(32)n 的最小值为32， ∴λ＜3. 当n 为偶数时，λ＞－2(32)n ， 而－2(32)n 的最大值为－92，∴λ＞－92.由上式可得－92＜λ＜3，而λ为正整数， ∴λ＝1或λ＝2. 20．(2010·株州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)，满足f (0)＝f (12)＝0，且f (x )的最小值是－18.设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点(n ，S n )在函数f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)通过b n ＝S n n ＋c 构造一个新的数列{b n }，是否存在非零常数c ，使得{b n }为等差数列； (3)令c n ＝S n ＋n n，设数列{c n ·2c n }的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)因为f (0)＝f (12)＝0，所以f (x )的对称轴为x ＝0＋122＝14，又因为f (x )的最小值是－18，由二次函数图象的对称性可设f (x )＝a (x －14)2－18. 又f (0)＝0，所以a ＝2，所以f (x )＝2(x －14)2－18＝2x 2－x . 因为点(n ，S n )在函数f (x )的图象上，所以S n ＝2n 2－n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －3(n ＝1时也成立)，所以a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)因为b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ＝2n (n －12)n ＋c c ＝－12(c ≠0)，即得b n ＝2n ，此时数列{b n }为等差数列，所以存在非零常数c ＝－12{b n }为等差数列． (3)c n ＝S n ＋n n ＝2n 2－n ＋n n＝2n ，则c n ·2c n ＝2n ×22n ＝n ×22n ＋1. 所以T n ＝1×23＋2×25＋…＋(n －1)22n －1＋n ×22n ＋1，4T n ＝1×25＋2×27＋…＋(n －1)22n ＋1＋n ×22n ＋3，两式相减得：－3T n ＝23＋25＋…＋22n ＋1－n ×22n ＋3＝23(1－4n )1－4n ·22n ＋3， T n ＝23(1－4n )9＋n ·22n ＋33＝(3n －1)22n ＋3＋89. 21．已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)问是否存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)？请说明理由．解：(1)已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *)①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)(n ∈N *)②①－②得2n －1a n ＝8，求得a n ＝24－n ， 在①中令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1， ∴a n ＝24－n (n ∈N *)． 由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2， ∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2， ∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2， ∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6， 法一：迭代法得：b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *)．法二：可用累加法，即b n －b n －1＝2n －8， b n －1－b n －2＝2n －10， … b 3－b 2＝－2， b 2－b 1＝－4， b 1＝8，相加得b n ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n 2－7n ＋14(n ∈N *)． (2)∵b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ， 设f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k .当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k 单调递增． 且f (4)＝1， ∴当k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ≥1. 又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0， ∴不存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)．22.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝24，a 2＝5，对每一个k ∈N *，在a k 与a k ＋1之间插入2k －1个1，得到新数列{b n }，其前n 项和为T n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)试问a 11是数列{b n }的第几项；(3)是否存在正整数m ，使T m ＝2010？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由． 解：(1)设{a n }的公差为d ，∵S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，a 2＝a 1＋d ＝5， ∴a 1＝3，d ＝2，a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1.(2)依题意，在a 11之前插入的1的总个数为1＋2＋22＋…＋29＝1－2101－2＝1023， 1023＋11＝1034，故a 11是数列{b n }的第1034项．(3)依题意，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2＋2n ， a n 之前插入的1的总个数为1＋2＋22＋…＋2n －2＝1－2n －11－2＝2n －1－1， 故数列{b n }中，a n 及前面的所有项的和为n 2＋2n ＋2n －1－1，∴数列{b n }中，a 11及前面的所有项的和为112＋22＋210－1＝1166＜2010， 而2010－1166＝844，a 11与a 12之间的1的个数为210＝1024个， 即在a 11后加844个1，其和为2010，故存在m ＝1034＋844＝1878，使T 1878＝2010.。

课时作业1．(2022·三明月考)若S n为数列{a n}的前n项和，且S n＝2a n－2，则S8等于( ) A．255 B．256C．510 D．511【解析】　当n＝1时，a1＝2a1－2，据此可得：a1＝2，当n≥2时：S n＝2a n－2，S n－1＝2a n－1－2，两式作差可得：a n＝2a n－2a n－1，则：a n＝2a n－1，据此可得数列{a n}是首项为2，公比为2的等比数列，其前8项和为：S8＝2×（1－28）1－2＝29－2＝512－2＝510．故选C．【答案】　C2．等比数列{a n}中，其公比q<0，且a2＝1－a1，a4＝4－a3，则a4＋a5等于( ) A．8 B．－8C．16 D．－16【解析】　q2＝a3＋a4a1＋a2＝4，q＝－2．a4＋a5＝(a3＋a4)q＝－8．【答案】　B3．(2022·湛江二模)已知递增的等比数列{a n}中，a2＝6，a1＋1、a2＋2、a3成等差数列，则该数列的前6项和S6＝( )A．93 B．189C．18916D．378【解析】　设数列的公比为q，由题意可知：q>1，且：2(a2＋2)＝a1＋1＋a3，即：2×(6＋2)＝6q＋1＋6q，整理可得：2q2－5q＋2＝0，则q＝2，(q＝12舍去)．则：a1＝62＝3，该数列的前6项和S6＝3×（1－26）1－2＝189．故选B．【答案】　B4．(2022·贵阳一中模拟考试)已知各项均为正数的等比数列{a n}，前3项和为13，a3＝a2·a4，则a4＝( )A．13B．19C．1 D．3 【解析】　∵a3＝a2a4，又a n＞0，∴a3＝1，S3＝a3q2＋a3q＋1＝13，又q＞0，∴q＝13，∴a4＝a3q＝13，【答案】　A5．(2022·贵州模拟)已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若a2＝32，S3＝214，则数列{a n}的公比为( )A．2或12B．－2或－12C．－12或2 D．12或－2【解析】　设等比数列{a n}的公比为q，则a2＝a1q＝32，S3＝a1(1＋q＋q2)＝214，两式相除得（1＋q＋q2）q＝72，即2q2－5q＋2＝0，解得q＝12或2．故选A．【答案】　A6．(2022·安徽淮北模拟)5个数依次组成等比数列，且公比为－2，则其中奇数项和与偶数项和的比值为( )A．－2120B．－2C．－2110D．－215【解析】　由题意可知设这5个数分别为a，－2a，4a，－8a，16a，a≠0，故奇数项和与偶数项和的比值为a＋4a＋16a－2a－8a＝－2110．【答案】　C7．(2022·大庆二模)已知各项均不为0的等差数列{a n}，满足2a3－a27＋2a11＝0，数列{b n}为等比数列，且b7＝a7，则b1·b13＝( )A．16 B．8C．4 D．2【解析】　各项均不为0的等差数列{a n}，2a3－a27＋2a11＝0∴4a7－a27＝0，∴a7＝4b1·b13＝b27＝a27＝16．故选A【答案】　A8．(2022·山西晋中一模)已知等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝16，2a2＋a3＝a4，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a100等于( )A．11 000 B．5 050C．5 000 D．10 000【解析】　设等比数列{a n}的公比为q，因为等比数列{a n}的各项均为正数，所以q＞0，因为2a2＋a3＝a4，所以2a2＋a2q＝a2q2，即q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，因为2a1＋3a2＝16，即2a1＋3a1q＝16，解得a1＝2，所以通项公式为a n＝a1q n－1＝2×2n－1＝2n，所以log2a n＝log22n＝n，所以log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a100＝1＋2＋3＋…＋100＝（1＋100）×1002＝5050．故选B．【答案】　B9．(多选)(2022·广东肇庆模拟)已知数列{a n}是等比数列，公比为q，前n项和为S n，下列判断错误的有( )A．{1a n}为等比数列B．{log2a n}为等差数列C．{a n＋a n＋1}为等比数列D．若S n＝3n－1＋r，则r＝－1 3【解析】　令b n＝1a n，则b n＋1b n＝a na n＋1＝1q(n∈N＋)，所以{1a n}是等比数列，选项A正确；若a n＜0，则log2a n无意义，所以选项B错误；当q ＝－1时，a n ＋a n ＋1＝0，此时{a n ＋a n ＋1}不是等比数列，所以选项C 错误；若S n ＝3n －1＋r ，则a 1＝S 1＝1＋r ，a 2＝S 2－S 1＝3＋r －(1＋r )＝2， a 3＝S 3－S 2＝9＋r －(3＋r )＝6， 由{a n }是等比数列，得a 2＝a 1a 3，即4＝6(1＋r )，解得r ＝－13，所以选项D 正确．故选BC ．【答案】　BC10．(多选)(2022·浙江镇海中学模拟)设{a n }为等比数列，设S n 和T n 分别为{a n }的前n 项和与前n 项积，则下列选项正确的是( )A ．若S 2023≥S 2 022，则{S n }不一定是递增数列B ．若T 2 024≥T 2 023，则{T n }不一定是递增数列C ．若{S n }为递增数列，则可能存在a 2 022＜a 2 021D ．若{T n }是递增数列，则a 2 022＞a 2 021一定成立【解析】　对于选项A ，当{a n }为：1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…，时，S 2 023＝1，S 2 022＝0，S 2 021＝1，满足S 2 023≥S 2 022，但S 2 021＞S 2 022， 所以{S n }不是递增数列，故选项A 正确；对于选项B ，当{a n }为：1，－1，1，－1，1，－1，1，－1，…，时，T 2 023＝－1，T 2 024＝1，T 2 026＝－1，满足T 2 024≥T 2 023，但{T n }不是递增数列，故选项B 正确；对于选项C ，当{a n }为：1，12，14，18，…，时，S n ＝1－12n1－12＝2(1－12n )，满足{S n }为递增数列，此时a 2 022＝122 021＜a 2 021＝122 020，故选项C 正确； 对于选项D ，当{a n }为：2，2，2，…，时， T n ＝2n ，满足{T n }是递增数列，但是a 2 022＝a 2 021＝2，故选项D 不正确． 【答案】　ABC11．(2022·北京海淀高三上期末)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若－S 1、S 2、a 3 成等差数列，则数列{a n }的公比为________．【解析】　设等比数列{a n }的公比为q ，因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，－S 1、S 2、a 3成等差数列，所以2S 2＝－S 1＋a 3，则2(a 1＋a 2)＝－a 1＋a 3，因此3a 1＋2a 2＝a 3，所以q 2－2q －3＝0，解得q ＝3或q ＝－1． 【答案】　3或－112．(2022·新乡三模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N )．【解析】　很明显等比数列的公比q ≠1，则由题意可得：S 3S 6＝a 1（1－q 3）1－qa 1（1－q 6）1－q＝11＋q 3＝89，解得：q ＝12，则：a n ＋1a n －a n －1＝a n －1q 2a n －1q －a n －1＝q 2q －1＝1412－1＝－12．【答案】　－1213．(2022·石家庄二模)已知前n 项和为S n 的等比数列{a n }中，8a 2＝a 3a 4，S 5＝a 6－4． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：14≤1a 1＋1a 2＋…＋1a n <12．【解】　(1)设等比数列{a n }的公比为q ，首项为a 1， 由8a 2＝a 3a 4有q 3＝a 3a 4a＝8，可得q ＝2， 又由S 5＝a 6－4，有a 1（1－25）1－2＝32a 1－4，解得a 1＝4，有a n ＝4×2n －1＝2n ＋1．故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1． (2)证明：由1an ＝(12)n ＋1，可得1a1＋1a2＋…＋1a n＝14[1－(12)n]1－12＝12－12n＋1，又n∈N*，所以12－12n＋1<12；而12－12n＋1显然随n的增大而增大，所以12－12n＋1≥14，因此14≤1a1＋1a2＋…＋1a n<12．14．(2022·威海市高三模拟)已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝12，且2a1，a2，a3＋1成等比数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b n＝a n3n，记数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【解】　(1)∵S3＝12，即a1＋a2＋a3＝12，∴3a2＝12，所以a2＝4．又∵2a1，a2，a3＋1成等比数列，∴a2＝2a1·(a3＋1)，即a2＝2(a2－d)·(a2＋d＋1)，解得，d＝3或d＝－4(舍去)，∴a1＝a2－d＝1，故a n＝3n－2．(2)b n＝a n3n＝3n－23n＝(3n－2)·13n，∴T n＝1×13＋4×132＋7×133＋…＋(3n－2)×13n，①①×13得13T n＝1×132＋4×133＋7×134＋…＋(3n－5)×13n＋(3n－2)×13n＋1．②①－②得2 3 T n＝13＋3×132＋3×133＋3×134＋ (3)13n－(3n－2)×13n＋1＝13＋3×132（1－13n－1）1－13－(3n－2)×13n＋1＝56－12×13n－1－(3n－2)×13n＋1，∴T n＝54－14×13n－2－3n－22×13n＝54－6n＋54×13n．。

等比数列的前n项和练习1、设Sn 是数列{an}（n∈N*）的前n项和，已知a1=4，an+1=Sn+3n，设bn=Sn﹣3n．（Ⅰ）证明：数列{bn }是等比数列，并求数列{bn}的通项公式；（Ⅱ）令cn =2log2bn﹣+2，求数列{cn}的前n项和Tn．2、已知数列{an }的前n项和Sn=，且a1=1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn =lnan，是否存在k（k≥2，k∈N*），使得bk、bk+1、bk+2成等比数列．若存在，求出所有符合条件的k值；若不存在，请说明理由．3、数列{an }满足a1=1，a2=r（r＞0），令bn=an•an+1，{bn}是公比为q（q≠0，q≠﹣1）的等比数列，设cn =a2n﹣1+a2n．（1）求证：cn=（1+r）•q n﹣1；（2）设{cn }的前n项和为Sn，求的值；（3）设{cn }前n项积为Tn，当q=﹣时，Tn的最大值在n=8和n=9的时候取到，求n为何值时，Tn取到最小值．4、已知等比数列{an }的公比为q，a1=，其前n项和为Sn（n∈N*），且S2，S 4，S3成等差数列．（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=Sn﹣（n∈N*），求bn的最大值与最小值．5、等比数列{}的前n 项和为，已知,,成等差数列（1）求{}的公比q；（2）若－=3，求。

6、对于一组向量()，令，如果存在()，使得，那么称是该向量组的“向量”．（1）设()，若是向量组的“向量”，数的取值围；（2）若()，向量组是否存在“向量”？给出你的结论并说明理由；（3）已知均是向量组的“向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列满足：为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与()关于点对称，求的最小值．7、已知数列为等比数列，其前项和为，已知，且对于任意的有，，成等差数列．求数列的通项公式；已知（），记，若对于恒成立，数的围．8、已知各项都为正数的等比数列的前n项和，数列的通项公式，若是与的等比中项。

课时作业32 等比数列及其前n 项和1．已知正项等比数列{a n }满足a 3＝1，a 5与32a 4的等差中项为12，则a 1的值为( A )A ．4B ．2 C.12D.14解析：由题意知2×12＝a 5＋32a 4，即3a 4＋2a 5＝2. 设{a n }的公比为q (q ＞0)，则由a 3＝1， 得3q ＋2q 2＝2，解得q ＝12或q ＝－2(舍去)，所以a 1＝a 3q 2＝4.2．(2019·益阳调研)已知等比数列{a n }中，a 5＝3，a 4a 7＝45，则a 7－a 9a 5－a 7的值为( D )A ．3B ．5C ．9D ．25解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 7＝a 5q ·a 5q 2＝9q ＝45，所以q ＝5，a 7－a 9a 5－a 7＝a 5q 2－a 7q 2a 5－a 7＝q 2＝25.故选D.3．(2019·武昌调研)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若对任意的正整数n ，S n ＋2＝4S n ＋3恒成立，则a 1的值为( C )A ．－3B ．1C ．－3或1D ．1或3解析：设等比数列{a n }的公比为q ， 当q ＝1时，S n ＋2＝(n ＋2)a 1，S n ＝na 1， 由S n ＋2＝4S n ＋3得，(n ＋2)a 1＝4na 1＋3，即3a 1n ＝2a 1－3，若对任意的正整数n,3a 1n ＝2a 1－3恒成立， 则a 1＝0且2a 1－3＝0，矛盾，所以q ≠1， 所以S n ＝a 1(1－q n )1－q ，S n ＋2＝a 1(1－q n ＋2)1－q，代入S n ＋2＝4S n ＋3并化简得a 1(4－q 2)q n ＝3＋3a 1－3q ，若对任意的正整数n 该等式恒成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ 4－q 2＝0，3＋3a 1－3q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3，q ＝－2，故a 1＝1或－3，故选C.4．(2019·西安八校联考)已知数列{a n }是等比数列，数列{b n }是等差数列，若a 1·a 6·a 11＝－33，b 1＋b 6＋b 11＝7π，则tan b 3＋b 91－a 4·a 8的值是( A )A ．－ 3B ．－1C ．－33D. 3解析：依题意得，a 36＝(－3)3，a 6＝－3，3b 6＝7π，b 6＝7π3，b 3＋b 91－a 4·a 8＝2b 61－a 26＝－7π3，故tan b 3＋b 91－a 4·a 8＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝－tan π3＝－ 3. 5．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为( D )A.32f B.322f C.1225fD.1227f解析：由题意知，十三个单音的频率构成首项为f ，公比为122的等比数列，设该等比数列为{a n }，则a 8＝a 1q 7，即a 8＝1227f ，故选D.6．在正项数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( A )A ．2n ＋1－2B ．2n ＋1C ．2n2－ 2D ．2n ＋22－ 2解析：因为点(a n ，a n －1)(n ≥2)在直线x －2y ＝0上， 所以a n －2·a n －1＝0.又因为a n ＞0，所以a na n －1＝2(n ≥2)．又a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列． 所以所求的S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.7．(2019·天津实验中学月考)设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( B )A ．210B ．220C ．216D ．215解析：因为a 1a 2a 3＝a 32，a 4a 5a 6＝a 35，a 7a 8a 9＝a 38，…，a 28a 29a 30＝a 329，所以a 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9…a 28a 29a 30＝(a 2a 5a 8…a 29)3＝230.所以a 2a 5a 8…a 29＝210.则a 3a 6a 9…a 30＝(a 2q )(a 5q )(a 8q )…(a 29q )＝(a 2a 5a 8…a 29)q 10＝210×210＝220，故选B.8．(2019·山西太原模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n＋3)(n ∈N *)在函数y ＝3×2x 的图象上，等比数列{b n }满足b n ＋b n ＋1＝a n (n ∈N *)，其前n 项和为T n ，则下列结论正确的是( D )A ．S n ＝2T nB ．T n ＝2b n ＋1C ．T n ＞a nD ．T n ＜b n ＋1解析：由题意可得S n ＋3＝3×2n ，S n ＝3×2n －3，由等比数列前n 项和的特点可得数列{a n }是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式a n ＝3×2n －1，设b n ＝b 1q n －1，则b 1q n －1＋b 1q n ＝3×2n －1， 当n ＝1时，b 1＋b 1q ＝3， 当n ＝2时，b 1q ＋b 1q 2＝6， 解得b 1＝1，q ＝2，数列{b n }的通项公式b n ＝2n －1，由等比数列求和公式有：T n ＝2n －1，观察所给的选项： S n ＝3T n ，T n ＝2b n －1，T n ＜a n ，T n ＜b n ＋1.9．在各项都为正数的等比数列{a n }中，若a 2 018＝22，则1a 2 017＋2a2 019的最小值为 4 .解析：设公比为q (q ＞0)，因为a 2 018＝22， 所以a 2 017＝a 2 018q ＝22q ，a 2 019＝a 2 018q ＝22q ， 则有1a 2 017＋2a 2 019＝2q ＋222q ＝2q ＋22q ≥2 2q ×2q ＝4，当且仅当q 2＝2，即q ＝2时取等号，故所求最小值为4.10．(2019·湖北荆州一模)已知等比数列{a n }的公比不为－1，设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，S 12＝7S 4，则S 8S 4＝ 3 .解析：由题意可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列， 则(S 8－S 4)2＝S 4·(S 12－S 8)，又S 12＝7S 4，∴(S 8－S 4)2＝S 4·(7S 4－S 8)，可得S 28－6S 24－S 8S 4＝0，两边都除以S 24，得⎝ ⎛⎭⎪⎫S 8S 42－S 8S 4－6＝0，解得S 8S 4＝3或－2， 又S 8S 4＝1＋q 4(q 为{a n }的公比)，∴S 8S 4＞1，∴S 8S 4＝3.11．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．解：(1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋a 4＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＝8×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋32＋54＋1， 解得a 4＝78.(2)证明：因为4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)， 所以4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)， 即4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)． 又因为4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2， 所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1， 所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2(2a n ＋1－a n )＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，12为公比的等比数列．12．(2016·四川卷)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q ＞0，n ∈N *.(1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式； (2)设双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n ＞4n －3n3n －1.解：(1)由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1， 两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1. 又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1， 故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝q n －1.由2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列， 可得2a 3＝3a 2＋2，即2q 2＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0， 由已知，q ＞0，故q ＝2. 所以a n ＝2n －1(n ∈N *)． (2)证明：由(1)可知，a n ＝q n －1.所以双曲线x 2－y 2a 2n＝1的离心率e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2(n －1). 由e 2＝1＋q 2＝53，解得q ＝43.因为1＋q 2(k －1)＞q 2(k －1)， 所以1＋q 2(k －1)＞q k －1(k ∈N *)． 于是e 1＋e 2＋…＋e n ＞1＋q ＋…＋q n －1＝q n －1q －1， 故e 1＋e 2＋…＋e n ＞4n －3n3n －1.13．(2019·山东实验中学诊断测试)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？已知牛、马、羊的主人应偿还a 升，b 升，c 升，1斗为10升，则下列判断正确的是( D )A ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且a ＝507 B ．a ，b ，c 依次成公比为2的等比数列，且c ＝507 C ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且a ＝507 D ．a ，b ，c 依次成公比为12的等比数列，且c ＝507 解析：由题意可知b ＝12a ，c ＝12b ， ∴b a ＝12，c b ＝12.∴a 、b 、c 成等比数列且公比为12.∵1斗＝10升，∴5斗＝50升，∴a ＋b ＋c ＝50， 又易知a ＝4c ，b ＝2c ，∴4c ＋2c ＋c ＝50， ∴7c ＝50，∴c ＝507，故选D.14．(2019·郑州第一次质量预测)已知数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝2n 2(n ∈N *)，且对任意n ∈N *都有1a 1＋1a 2＋…＋1a n＜t ，则实数t 的取值范围为( D )A.⎝⎛⎭⎪⎫13，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ 解析：依题意得，当n ≥2时，a n ＝a 1a 2a 3…a n a 1a 2a 3…a n －1＝2n 22(n －1)2＝2n 2－(n －1)2＝22n －1，又a 1＝21＝22×1－1，因此a n ＝22n －1，1a n＝122n －1，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以12为首项，14为公比的等比数列，等比数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和等于12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n 1－14＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14n ＜23，因此实数t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞.15．(2019·东北三省三校联考)各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足：a n ，b n ，a n ＋1成等差数列，b n ，a n ＋1，b n ＋1成等比数列，且a 1＝1，a 2＝3，则数列{a n }的通项公式为 a n ＝n (n ＋1)2 .解析：由题意知2b n ＝a n ＋a n ＋1，a 2n ＋1＝b n ·b n ＋1， ∴a n ＋1＝b n b n ＋1，当n ≥2时，2b n ＝b n －1b n ＋b n b n ＋1， ∵b n ＞0，∴2b n ＝b n －1＋b n ＋1， ∴{b n }成等差数列，由a 1＝1，a 2＝3，得b 1＝2，b 2＝92， ∴b 1＝2，b 2＝322， ∴公差d ＝22，∴b n ＝n ＋122，∴b n ＝(n ＋1)22， ∴a n ＝b n －1b n ＝n (n ＋1)2.16．已知首项为32的等比数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，且－2S 2，S 3,4S 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：S n ＋1S n≤136(n ∈N *)．解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， 因为－2S 2，S 3,4S 4成等差数列， 所以S 3＋2S 2＝4S 4－S 3， 即S 4－S 3＝S 2－S 4，可得2a 4＝－a 3，于是q ＝a 4a 3＝－12.又a 1＝32，所以等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n .(2)证明：由(1)知，S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n，S n ＋1S n＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n ＋11－⎝⎛⎭⎪⎫－12n＝⎩⎨⎧2＋12n (2n ＋1)，n 为奇数，2＋12n(2n－1)，n 为偶数.当n 为奇数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 1＋1S 1＝136.当n 为偶数时，S n ＋1S n 随n 的增大而减小，所以S n ＋1S n ≤S 2＋1S 2＝2512.故对于n ∈N *，有S n ＋1S n≤136.。

等比数列的前n 项和班级___________ 姓名_____________ 学号__________层级一 学业水平达标1．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0D ．－12．已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)，则实数k 为( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．23．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35D ．374．已知在递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6＝( )A ．93B ．189 C.18916D ．3785．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．246．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.7．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________．8．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.9．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .10．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．层级二 应试能力达标1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－112．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5C.3116D.1583．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( )A ．(2n －1)2 B.13(4n －1)C.13(2n －1) D ．4n －14．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．1935．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________. 6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n (n ∈N *)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝3a n ＋12，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.7．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132. (1)求等比数列{a n }的公比q ；(2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n. 答案解析1．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( )A ．1B ．0C ．1或0D ．－1解析：选A 因为S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列，所以a n 为定值，即数列{a n }为常数列，所以q ＝a na n －1＝1. 2．已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)，则实数k 为( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．2解析：选C 由数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋k (n ∈N *)， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －(3n －1＋k ) ＝2×3n －1.因为数列{a n }是公比为3的等比数列，所以a 1＝2×31－1＝3＋k ，解得k ＝－1. 3．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35D ．37解析：选B 根据等比数列性质得S 10－S 5S 5＝q 5，∴S 10－11＝25，∴S 10＝33. 4．已知在递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6＝( )A ．93B ．189 C.18916D ．378解析：选B 设数列的公比为q ，由题意可知q >1，且2(a 2＋2)＝a 1＋1＋a 3，即2×(6＋2)＝6q＋1＋6q ，整理可得2q 2－5q ＋2＝0，则q ＝2或q ＝12(舍去)．∴a 1＝62＝3，该数列的前6项和S 6＝3×(1－26)1－2＝189.故选B.5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．24解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2n －S n ＝q n S n ，所以S 10－S 5＝q 5S 5，所以6－2＝2q 5，所以q 5＝2，所以a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 15＋a 2q 15＋a 3q 15＋a 4q 15＋a 5q 15＝q 15(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 15S 5＝23×2＝16.6．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1， 偶数项之和与奇数项之和分别为S 偶，S 奇， 由题意S 偶＋S 奇＝3S 奇， 即S 偶＝2S 奇，因为数列{a n }的项数为偶数， 所以q ＝S 偶S 奇＝2. 答案：27．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________．解析：由a 2＋a 4＋…＋a 100a 1＋a 3＋…＋a 99＝q ，q ＝2，得a 2＋a 4＋…＋a 100150＝2⇒a 2＋a 4＋…＋a 100＝300，则数列{a n }的前100项的和S 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝150＋300＝450.答案：4508．等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14， 则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.答案：329．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3(2n －1)； 当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n －1.10．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2； (2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式． 解：(1)证明：因为a n ＝13×⎝⎛⎭⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝⎛⎭⎫1－13n 1－13＝1－13n2，所以S n ＝1－a n2. (2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2. 层级二 应试能力达标1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( )A ．11B ．5C ．－8D ．－11解析：选D 设{a n }的公比为q .因为8a 2＋a 5＝0. 所以8a 2＋a 2·q 3＝0.所以a 2(8＋q 3)＝0. 因为a 2≠0，所以q 3＝－8.所以q ＝－2.所以S 5S 2＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 2)1－q＝1－q 51－q 2＝1＋321－4＝33－3＝－11.故选D.2．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5C.3116D.158解析：选C 由题意，q ≠1，由9S 3＝S 6，得9×a 1(1－q 3)1－q ＝a 1(1－q 6)1－q ，解得q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1，1a n＝⎝⎛⎭⎫12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为1×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116.3．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( )A ．(2n －1)2 B.13(4n －1)C.13(2n －1) D ．4n －1解析：选B 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，得a 1＝1，a 2＝2，所以{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以{a 2n }是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1×(1－4n )1－4＝13(4n－1)． 4．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：选C 设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.5．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________. 解析：依题意得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，所以a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝15. 答案：156．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n (n ∈N *)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝3a n ＋12，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.解析：依题意得S n n ＝n ＋12，即S n ＝n 2＋12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫n 2＋12n －[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12；当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，符合a n ＝2n －12，所以a n ＝2n －12(n ∈N *)，则b n ＝3a n ＋12＝32n ，由b n ＋1b n ＝32(n ＋1)32n ＝32＝9，可知{b n }为等比数列，b 1＝32×1＝9，故T n ＝9(1－9n )1－9＝9n ＋1－98.答案：9n ＋1－987．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－1，S 10S 5＝3132. (1)求等比数列{a n }的公比q ；(2)求a 21＋a 22＋…＋a 2n. 解：(1)由S 10S 5＝3132，a 1＝－1，知公比q ≠1，S 10－S 5S 5＝－132.由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，且公比为q 5，故q 5＝－132，q ＝－12. (2)由(1)，得a n ＝(－1)×⎝⎛⎭⎫－12n －1， 所以a 2n＝⎝⎛⎭⎫14n －1，所以数列{a 2n}是首项为1，公比为14的等比数列， 故a 21＋a 22＋…＋a 2n＝1×⎝⎛⎭⎫1－14n 1－14＝43⎝⎛⎭⎫1－14n .。

专题7.3 等比数列及其前n 项和1．（2021·全国高考真题（文））记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若24S =，46S =，则6S =（ ） A ．7B ．8C ．9D ．102．（2021·山东济南市·）已知S n 是递增的等比数列{a n }的前n 项和，其中S 3＝72，a 32＝a 4，则a 5＝（ ） A ．116B ．18C ．8D ．163．（2021·重庆高三其他模拟）设等比数列{}n a 的前n 项和为271,8,4n S a a =-=，则6S =（ ） A ．212-B ．152C ．212D ．6324．（2021·合肥市第六中学高三其他模拟（理））若等比数列{}n a 满足12451,8a a a a +=+=，则7a ＝（ ） A ．643B ．643-C ．323D ．323-5.（2020·河北省曲阳县第一高级中学高一期末）中国古代数学著作《算法统宗》中记载了这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，问此人第二天走了（ ） A ．6里B ．24里C ．48里D ．96里6．（2021·江苏南通市·高三其他模拟）已知等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“112n n n S S S -++>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（2021·黑龙江大庆市·大庆实验中学高三其他模拟（文））在数列{}n a 中，44a =，且22n n a a +=，则21nni a==∑___________.8．（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列{}n a 满足21n n S a =-，则1a =_____，n S =_______．练基础9.（2021·浙江杭州市·杭州高级中学高三其他模拟）已知数列{}n a 满足21n n S a =-，则3a =________，n S =________．10.（2018·全国高考真题（文））等比数列{a n }中，a 1=1 ， a 5=4a 3． （1）求{a n }的通项公式；（2）记S n 为{a n }的前n 项和．若S m =63，求m ．1．（辽宁省凌源二中2018届三校联考)已知数列{}n a 为等比数列，且2234764a a a a =-=-，则46tan 3a a π⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭（ ）A.B. C. 3-D. 2．（2021·全国高三其他模拟（文））如图，“数塔”的第i 行第j 个数为12j -(其中i ，*j N ∈，且i j ≥).将这些数依次排成一列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，记作数列{}n a ，设{}n a 的前n 项和为n S .若1020n S =，则n =（ ）A ．46B ．47C ．48D ．493．【多选题】（2021·江苏高三其他模拟）已知数列{}n a 满足11a =，()1lg 1091n a n a +=++，其前n 项和为n S ，则下列结论中正确的有（ ）A ．{}n a 是递增数列B ．{}10n a +是等比数列C ．122n n n a a a ++>+D ．(3)2n n n S +<练提升4. （2019·浙江高三期末）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，()11.n n a S n N ++=+∈(Ⅰ)求通项公式n a ； (Ⅱ)记12111n n T S S S =++⋯+，求证：31222n n T -≤<． 5．（2021·河北衡水中学高三三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足13a =，()122n n a xa n n -=+-≥，其中x ∈R .（1）若1x =，求出n a ；（2）是否存在实数x ，y 使{}n a yn +为等比数列？若存在，求出n S ，若不存在，说明理由. 6．（2021·辽宁本溪市·高二月考）已知数列{}n a ，满足11a =，121n n a a n +=+-，设n n b a n =+，n n c a n λ=+（λ为实数）．（1）求证：{}n b 是等比数列； （2）求数列{}n a 的通项公式；（3）若{}n c 是递增数列，求实数λ的取值范围．7．（2021·河南商丘市·高二月考（理））在如图所示的数阵中，从任意一个数开始依次从左下方选出来的数可组成等差数列，如：2，4，6，8，…；依次选出来的数可组成等比数列，如：2，4，8，16，….122344468858121616记第n 行第m 个数为(),f n m .（Ⅰ）若3n ≥，写出(),1f n ，(),2f n ，(),3f n 的表达式，并归纳出(),f n m 的表达式； （Ⅱ）求第10行所有数的和10S .8．（2021·山东烟台市·高三其他模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，12n n S na +=，*n ∈N . （1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n b 满足11b =，12n n n b b +=，*n ∈N ，按照如下规律构造新数列{}n c ：123456,,,,,,a b a b a b ，求{}n c 的前2n 项和.9．（2019·浙江高考模拟）已知数列{}n a 中，()110,2*n n a a a n n N +==+∈， （1）令+11n n n b a a =-+，求证：数列{}n b 是等比数列； （2）令3nn na c =，当n c 取得最大值时，求n 的值. 10.（2021·浙江高三其他模拟）已知数列{}n a 满足112a =，123n n a a ++=，数列{}n b 满足11b =，()211n n nb n b n n +-+=+.（1）数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若()1n n n n c b b a +=-，求使[][][][]1222021n c c c c +++⋅⋅⋅+≤成立([]n c 表示不超过n c 的最大整数)的最大整数n 的值.1．（2021·全国高考真题（理））等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，设甲：0q >，乙：{}n S 是递增数列，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2.（2020·全国高考真题（文））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5–a 3=12，a 6–a 4=24，则nnS a =（ ） A ．2n –1B ．2–21–nC ．2–2n –1D ．21–n –13.（2019·全国高考真题（文））已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（ ） A ．16B ．8C ．4D ．24．（2019·全国高考真题（文））记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若13314a S ==，，则S 4=___________． 练真题5．（2020·海南省高考真题）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==． （1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.6．（2021·浙江高考真题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，194a =-，且1439n n S S +=-. （1）求数列{}n a 的通项；（2）设数列{}n b 满足*3(4)0()n n b n a n N +-=∈，记{}n b 的前n 项和为n T ，若n n T b λ≤对任意N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.。

《等比数列的前 n 项和》作业设计方案一、作业设计目标等比数列的前 n 项和是高中数学中的重要知识点，通过本次作业设计，旨在帮助学生达到以下目标：1、深刻理解等比数列前 n 项和公式的推导过程，掌握公式的应用条件和方法。

2、能够熟练运用等比数列前 n 项和公式解决各种类型的问题，如求前 n 项和、已知前 n 项和求通项等。

3、培养学生的逻辑思维能力、运算能力和数学建模能力。

4、激发学生对数学的兴趣，提高学生解决数学问题的自信心。

二、作业设计原则1、层次性原则根据学生的学习能力和知识掌握程度，将作业分为基础题、提高题和拓展题三个层次，使不同层次的学生都能在作业中有所收获。

2、多样性原则作业形式包括选择题、填空题、计算题、证明题和应用题等，以丰富学生的解题经验，提高学生的综合解题能力。

3、启发性原则作业设计注重启发学生的思维，引导学生通过独立思考和探索解决问题，培养学生的创新意识和自主学习能力。

4、联系实际原则将等比数列的前 n 项和知识与实际生活中的问题相结合，让学生感受到数学的实用性和价值。

三、作业内容（一）基础题1、等比数列的首项为 1，公比为 2，求其前 5 项的和。

2、已知等比数列的前 3 项和为 7，前 6 项和为 63，求该数列的公比。

3、求等比数列 2，4，8，…的前 10 项和。

（二）提高题1、等比数列的前 n 项和为\（S_{n}＼），若\（S_{3} ＝ 3a_{1}＼），求公比 q 的值。

2、已知等比数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）的前 n 项和为\（S_{n}＼），＼（a_{1} ＋ a_{3} ＝ 10\），＼（S_{4} ＝ 40\），求\（S_{6}＼）。

3、设等比数列\（＼｛a_{n}＼｝＼）的前 n 项和为\（S_{n}＼），若\（S_{6} ： S_{3} ＝ 1 ： 2\），求\（S_{9} ： S_{3}＼）。

（三）拓展题1、某企业第一年的利润为 100 万元，以后每年的利润以 20%的增长率增长，求该企业前 5 年的利润总和。

《等比数列的前 n 项和》作业设计方案一、作业设计目标1、让学生熟练掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程，理解其数学本质。

2、能够运用等比数列前 n 项和公式解决各种类型的问题，提高学生的运算能力和逻辑思维能力。

3、培养学生的数学应用意识，让学生感受数学与实际生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

二、作业设计原则1、针对性原则根据学生的学习水平和课程标准的要求，设计有针对性的作业，重点突出等比数列前 n 项和公式的应用和理解。

2、层次性原则作业设计分为基础、提高和拓展三个层次，满足不同学生的学习需求，使每个学生都能在作业中得到发展。

3、趣味性原则通过设计一些具有趣味性的作业，如数学游戏、数学故事等，激发学生的学习兴趣，提高学生完成作业的积极性。

4、开放性原则设计一些开放性的作业，如探究题、实践题等，培养学生的创新思维和实践能力。

三、作业内容（一）基础练习1、已知等比数列\（＼｛a_n\｝＼）的首项\（a_1 ＝ 2\），公比\（q ＝ 3\），求其前\（5\）项的和\（S_5\）。

2、求等比数列\（2, 4, 8, 16, ＼cdots\）的前\（n\）项和\（S_n\）。

3、在等比数列\（＼｛a_n\｝＼）中，＼（a_1 ＝ 1\），＼（q ＝－2\），求\（S_{10}＼）。

（二）提高练习1、等比数列\（＼｛a_n\｝＼）的前\（n\）项和为\（S_n\），若\（S_3 ＝ 7\），＼（S_6 ＝ 63\），求公比\（q\）。

2、已知等比数列\（＼｛a_n\｝＼）的前\（n\）项和\（S_n ＝ 2^n 1\），求数列的通项公式\（a_n\）。

3、等比数列\（＼｛a_n\｝＼）中，＼（a_1 ＋ a_2 ＝ 3\），＼（a_2 ＋ a_3 ＝ 6\），求\（S_8\）。

（三）拓展练习1、一个等比数列的前\（7\）项和为\（48\），前\（14\）项和为\（60\），求前\（21\）项的和。