最新等比数列及其前n项和(一轮复习)

高考数学一轮复习知识点：等比数列及其前n项和在等比数列中，依次每k项之和仍成等比数列。

以下是高考数学一轮复习知识点，查字典数学网请考生牢记。

一个推导利用错位相减法推导等比数列的前n项和：Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1，同乘q得：qSn=a1q+a1q2+a1q3+…+a1qn，两式相减得(1-q)Sn=a1-a1qn，∴Sn=(q≠1).两个防范(1)由an+1=qan，q≠0并不能赶忙断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0.(2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一专门情形导致解题失误.三种方法等比数列的判定方法有：(1)定义法：若an+1/an=q(q为非零常数)或an/an-1=q(q为非零常数且n ≥2且n∈N*)，则{an}是等比数列.(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a=an·an+2(n∈N*)，则数列{a n}是等比数列.观看内容的选择，我本着先静后动，由近及远的原则，有目的、有打算的先安排与幼儿生活接近的，能明白得的观看内容。

随机观看也是不可少的，是相当有味的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等，小孩一边观看，一边提问，爱好专门浓。

我提供的观看对象，注意形象逼真，色彩鲜亮，大小适中，引导幼儿多角度多层面地进行观看，保证每个幼儿看得到，看得清。

看得清才能说得正确。

在观看过程中指导。

我注意关心幼儿学习正确的观看方法，即按顺序观看和抓住事物的不同特点重点观看，观看与说话相结合，在观看中积存词汇，明白得词汇，如一次我抓住时机，引导幼儿观看雷雨，雷雨前天空急剧变化，乌云密布，我问幼儿乌云是什么模样的，有的小孩说：乌云像大海的波浪。

有的小孩说“乌云跑得飞速。

”我加以确信说“这是乌云滚滚。

”当幼儿看到闪电时，我告诉他“这叫电光闪闪。

”接着幼儿听到雷声惊叫起来，我抓住时机说：“这确实是雷声隆隆。

”一会儿下起了大雨，我问：“雨下得如何样?”幼儿说大极了，我就舀一盆水往下一倒，作比较观看，让幼儿把握“倾盆大雨”那个词。

等比数列及其前n项和一．学习目标1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.体会等比数列与指数函数的关系.二．知识整合1.等比数列的有关概念等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q(q≠0)表示，符号表示为a n+1a n=q(n∈N∗)等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时提醒：由a n+1=qa n，q≠0，并不能立即断定{a n}为等比数列，还要验证a1≠0.2.等比数列的有关公式通项公式a n=；推广：a n=a m⋅q n−m(m,n∈N∗)前n项和公式S n={ ,q=1,q≠1提醒：在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q=1与q≠1分类讨论，防止因忽略q=1这一特殊情况而导致解题失误.知识拓展：（1）当q≠0，q≠1时，S n=k−k⋅q n(k≠0)是{a n}成等比数列的充要条件，此时k=a11−q.（2）等比数列的单调性当{a 1＞0，q ＞1 或{a 1＜0，0＜q ＜1时，等比数列{a n } 是递增数列. 当{a 1＞0，0＜q ＜1 或{a 1＜0，q ＞1时，等比数列{a n } 是递减数列. 当q =1 时,等比数列{a n } 是常数列.当q =−1 时,等比数列{a n } 是摆动数列.三．典型例题考点一 等比数列基本量的运算例1（1） 已知等比数列{a n } 的前3项和为168，a 2−a 5=42 ，则a 6= ( )A. 14B. 12C. 6D. 3（2） 已知等比数列{a n } 的前n 项和为S n ，a 1=1 ，a 5=8a 2 ，若S n =31 ，则n = .方法感悟：等比数列基本量运算的解题策略（1）方程思想：等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，等比数列中有五个量a 1 ，n ，q ，a n ，S n ，一般可以“知三求二”，通过列方程（组）求关键量a 1 和q ,问题便可迎刃而解.（2）分类讨论思想：等比数列{a n } 的前n 项和公式涉及对公比q 的分类讨论，当q =1 时，{a n } 的前n 项和S n =na 1 ；当q ≠1 时，{a n } 的前n 项和S n =a 1(1−q n )1−q =a 1−a n q 1−q .考点二 等比数列的判定与证明例2已知数列{a n } 的首项a 1=12 ，且满足a n+1=a n3−2a n (n ∈N ∗) .（1） 证明：{1a n −1} 是等比数列，并求数列{a n } 的通项公式；（2） 记b n =n (1a n −1) ，求{b n } 的前n 项和S n .变式：已知各项都为正数的数列{a n } 满足a n+1+a n =3⋅2n ，a 1=1 .（1） 若b n =a n −2n ，求证：{b n } 是等比数列；（2） 求数列{a n } 的通项公式.方法感悟：判定等比数列的四种常用方法定义法 若a n+1a n =q （q 为非零常数，n ∈N ∗ ）或a n a n−1=q （q为非零常数，且n ≥2 ,n ∈N ∗ ），则{a n } 是等比数列等比中项法 在数列{a n } 中，若a n ≠0 且a n+12=a n ⋅a n+2(n ∈N ∗) ，则{a n } 是等比数列通项公式法 若数列{a n } 的通项公式可以写成a n =c ⋅q n （c ,q均是不为0的常数，n ∈N ∗ ）的形式，则{a n } 是等比数列前n 项和公式法 若数列{a n } 的前n 项和S n =k ⋅q n −k （k 为常数，且k ≠0 ,q ≠0 ,q ≠1 ），则{a n } 是等比数列五．达标练习1．如果－1，a ，b ，c ，－9成等比数列，那么( )A ．b ＝－3，ac ＝9B ．b ＝3，ac ＝9C ．b ＝－3，ac ＝－9D ．b ＝3，ac ＝－92．已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2－a 5＝42，则a 6＝ ( )A ．14B ．12C ．6D ．33．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 5－a 3＝12，a 6－a 4＝24，则S n a n＝( )A ．2n －1B ．2－21－nC ．2－2n －1D ．21－n －14．在数列{a n }中，满足a 1＝2，a 2n ＝a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，S n 为{a n }的前n 项和．若a 6＝64，则S 7的值为( )A ．126B ．256C ．255D ．2545. 已知正项等比数列{a n}的首项为1，且4a5,a3,2a4成等差数列，则{a n}的前6项和为( )A. 31B. 3132C. 6332D. 636. 数列{a n}中，a1=2,a m+n=a m a n.若a k+1+a k+2+⋯+a k+10= 215−25，则k=( )A. 2B. 3C. 4D. 57. 已知等比数列{a n}，其前n项和为S n.若a2=4，S3=14，则a3=.8. 已知等比数列{a n}的公比为−1，前n项和为S n，若{S n−1}也是等比数列，则a1=.9．设等比数列{a n}满足a1+a2=4，a3−a1=8. 记S n为数列{log3a n}的前n项和.若S m+S m+1=S m+3，则m=.10．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S n=−a n+n(n∈N∗). （1）证明：数列{a n−12}为等比数列；（2）求数列{a n−1}的前n项和T n.。

第3讲 等比数列及其前n 项和1．等比数列的有关概念 (1)定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n＝q (q ≠0，n ∈N *)． (2)等比中项如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇒G 2＝ab ．2．等比数列的有关公式(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1．a n ＝a m q n -m ．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，a 1（1－q n ）1－q＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3．等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和．(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)等比中项的推广：若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ；(2)①设{a n }是等比数列，则{λa n }（λ非零常数），{|a n |}，{}mn a 仍为等比数列. ②设{a n }和{b n }为等比数列，则{a n b n }也为等比数列. (3)等比数列的单调性 当101a q >⎧⎨>⎩或1001a q <⎧⎨<<⎩时，{a n }为递增数列. 当1001a q >⎧⎨<<⎩或101a q <⎧⎨>⎩时，{a n }为递减数列.(4)其他衍生数列数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列，公比为q t ；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列，公比为q m (此时{a n }的公比q ≠－1)．易误点(1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不能为0，但q 可为正数，也可为负数．(2)由a n ＋1＝qa n ，q ≠0，并不能立即断言{a n }为等比数列，还要验证a 1≠0.(3)在运用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对q ＝1与q ≠1分类讨论，防止因忽略q ＝1这一特殊情形而导致解题失误．考点整合：1、等比数列的基本运算(高频考点)(1)求首项a 1、公比q 、公比q 的取值范围或项数n ； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．2、等比数列的判定与证明3、等比数列的性质考点1：等比数列的基本运算(高频考点)等比数列的基本运算是高考的常考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，属中、低档题．高考对等比数列基本运算的考查主要有以下三个命题角度：(1)求首项a 1、公比q 、公比q 的取值范围或项数n ； (2)求通项或特定项； (3)求前n 项和．角度一 求首项a 1、公比q 、公比q 的取值范围或项数n 1．(2015·高考全国卷Ⅰ)在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n＝126，则n ＝________．2. 设公比为q （q<0）的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2+2，S 4＝3a 4+2. 则q ＝________．角度二 求通项或特定项1.教材习题改编 等比数列{a n }中，a 3＝12，a 4＝18，则a 6等于( ) A ．27 B ．36C ．812D ．542．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．3.教材习题改编 在等比数列{a n }中，a n >0，a 5－a 1＝15，a 4－a 2＝6，则a 3＝________．4. 已知等比数列{a n }为递增数列，且2510a a =，()2125n n n a a a +++=，则数列{a n }的通项公式a n ＝________．角度三 求前n 项和1．已知数列{a n }满足3a n ＋1＋a n ＝0，a 2＝－43，则{a n }的前10项和等于( )A ．－6(1－310)B ．19(1－3－10)C ．3(1－3－10)D ．3(1＋3－10)2. 设()()4710310*2222...2n f n n N +=+++++∈.则()f n ＝________．3．(2017·沈阳质量监测)数列{a n }是等比数列，若a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n＋1＝________．考点2：等比数列的判定与证明等比数列的三种判定方法(1)定义法：a n ＋1a n＝q (q 是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(2)通项公式法：a n ＝cq n －1(c 、q 均是不为零的常数，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．(3)等比中项法：a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ·a n ＋1·a n ＋2≠0，n ∈N *)⇔{a n }是等比数列．1．(2016·高考全国卷丙)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式；(2)若S 5＝3132，求λ.2．已知数列{a n }是等差数列，a 3＝10，a 6＝22，数列{b n }的前n 项和是T n ，且T n ＋13b n＝1.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求证：数列{b n }是等比数列．考点3：等比数列的性质角度一 等比中项的推广：若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r1.教材习题改编 由正数组成的等比数列{a n }满足a 3a 8＝32，则log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 10＝________．2. 已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．183. 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n >0，q >1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝( ) A ．31 B ．36 C ．42 D ．48角度二 数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列，公比为q m .1．设等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9等于( )A ．18B ．－18C ．578D ．5582.教材习题改编 设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( ) A ．31 B ．32 C ．63 D ．643. 已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若存在m ∈N *，满足S 2m S m ＝9，a 2m a m ＝5m ＋1m －1，则数列{a n }的公比为________．4. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，633S S ,则96SS ＝________． 5. 等比数列{a n }的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若S 10S 5＝3132，则公比q ＝________．——分类讨论思想在等比数列中的应用1. 在等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a 2是a 1与a 4的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n （n ＋1），记T n ＝－b 1＋b 2－b 3＋b 4－…＋(－1)n b n ，求T n .2. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，求数列的公比q.1.教材习题改编 在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为________．1．(2017·太原一模)在单调递减的等比数列{a n }中，若a 3＝1，a 2＋a 4＝52，则a 1＝( )A ．2B ．4C ． 2D ．2 22．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( )A ．－13B ．13C ．－12D ．123．等差数列{a n }的公差为2，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A ．n (n ＋1) B ．n (n －1)C ．n （n ＋1）2D ．n （n －1）24．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．35．(2017·莱芜模拟)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝3，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，若数列{c n }满足c n ＝ba n ，则c 2 017＝( )A ．92 016B ．272 016C ．92 017D ．272 0176．(2017·唐山一模)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 3＝52，a 2＋a 4＝54，则S na n＝( )A ．4n －1 B ．4n －1C ．2n －1 D ．2n －17．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．8．(2017·郑州第二次质量预测)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若27a 3－a 6＝0，则S 6S 3＝________．9．若{a n }是正项递增等比数列，T n 表示其前n 项之积，且T 10＝T 20，则当T n 取最小值时，n 的值为________．10．在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2a 4＝16，a 6＝32，记b n ＝a n ＋a n ＋1，则数列{b n }的前5项和S 5为________．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －3(n ∈N *)． (1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，且b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．12．(2017·衡阳模拟)在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n ＝( )A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2n D ．3n －113．设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．14．(2017·南昌模拟)已知公比不为1的等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且a 4＋S 4，a 5＋S 5，a 6＋S 6成等差数列．(1)求等比数列{a n }的通项公式；(2)对n ∈N *，在a n 与a n ＋1之间插入3n 个数，使这3n ＋2个数成等差数列，记插入的这3n 个数的和为b n ，求数列{b n }的前n 项和T n .。

等比数列的概念等比数列的定义、通项及前n 项和【提纲挈领】 主干知识归纳1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数(不为零)，那么这个数列叫作等比数列．(2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫作a 与b 的等比中项． 2．等比数列的有关公式(1)通项公式：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则它的通项公式为a n ＝a 1·qn －1．(2)前n 项和公式：等比数列{a n }的公比为q (q ≠0)，其前n 项和为S n ，则当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1（1－q n ）1－q．方法规律总结1.判断数列{a n }是否为等比数列，通常有两种方法：①定义法，a n ＋1a n＝q (q 为非零常数，n ∈N *)；②等比中项法，a n ＋12＝a n ·a n ＋2(a n ≠0，n ∈N *)．2.求等比数列的基本量时也常运用方程的思想方法．从方程的观点看等比数列的通项公式和求和公式，共有五个量a 1，n ，q ，a n ，S n ，知道其中的三个通过构造方程(组)可求出另外两个．3.应用等比数列的前n 项和公式时，必须注意对公比q ＝1与q ≠1的情况进行分类讨论．【指点迷津】【类型一】等比数列的判定与证明【例1】：设数列{a n }的前n 项和为S n ，且首项a 1≠3，a n ＋1＝S n ＋3n (n ∈N *)． (1)求证：数列{S n －3n}是等比数列； (2)若{a n }为递增数列，求a 1的取值范围．[解析] ： (1)证明：∵a n ＋1＝S n ＋3n(n ∈N *)，∴S n ＋1＝2S n ＋3n，∴S n ＋1－3n ＋1＝2(S n －3n)．又∵a 1≠3，∴数列{S n －3n}是公比为2，首项为a 1－3的等比数列．(2)由(1)得，S n －3n ＝(a 1－3)×2n －1，∴S n ＝(a 1－3)×2n －1＋3n.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1. ∵{a n }为递增数列，∴当n ≥2时，(a 1－3)×2n －1＋2×3n ＞(a 1－3)×2n －2＋2×3n －1，∴2n －212×32n －2＋a 1－3>0，∴a 1＞－9.∵a 2＝a 1＋3＞a 1，∴a 1的取值范围是a 1＞－9. 【例2】：已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)． (1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝2a n，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】：(1)证明：由数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋3(n ∈N *)，可得1a n ＋1＝a n ＋3a n ＝1＋3a n， ∴1a n ＋1＋12＝31a n ＋12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋12是首项为32，公比为3的等比数列， ∴1a n ＋12＝32×3n －1，化简得a n ＝23n －1.(2)∵数列{b n }满足b n ＝2a n＝3n－1，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝3＋32＋ (3)－n ＝3（3n －1）2－n ＝3n ＋1－32－n .【例3】：定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f (x )，若对于任意给定的等比数列{a n }，{f (a n )}仍是等比数列，则称f (x )为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数如下：①f (x )＝x 2；②f (x )＝2x；③f (x )＝|x |；④f (x )＝ln|x |. 其中是“保等比数列函数”的是( ) A ．①② B ．③④C ．①③ D ．②④【解析】：设数列{a n }的公比为q .对于①，f （a n ＋1）f （a n ）＝a n ＋12a n2＝q 2，是常数，故①符合条件；对于②，f （a n ＋1）f （a n ）＝2a n ＋12a n ＝2a n ＋1－a n ，不是常数，故②不符合条件；对于③，f （a n ＋1）f （a n ）＝|a n ＋1||a n |＝＝|q |，是常数，故③符合条件；对于④，f （a n ＋1）f （a n ）＝ln|a n ＋1|ln|a n |，不是常数，故④不符合条件．答案：C【类型二】等比数列的基本运算【例1】：(1) 设正项等比数列{a n }的公比q 为2，若a 2a 10＝16，则a 9的值是( ) A ．8 B ．16 C ．32 D ．64(2)已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．【解析】： (1)因为a 2a 10＝16，且等比数列{a n }的各项均为正，所以a 6＝4，故a 9＝a 6q 3＝4×8＝32.答案：C(2)设数列{a n }的公比为q ，由a 2a 3＝a 1a 4＝8，a 1＋a 4＝9知a 1，a 4是一元二次方程x 2－9x ＋8＝0的两根，解此方程得x ＝1或x ＝8.又数列{a n }递增，因此a 1＝1，a 4＝a 1q 3＝8，解得q ＝2，故数列{a n }的前n 项和S n＝1×（1－2n）1－2＝2n －1.答案：2n－1【例2】：设{a n }是等差数列，{b n }是各项都为正整数的等比数列，且a 1＝b 1＝1，a 13b 2＝50，a 8＋b 2＝a 3＋a 4＋5.(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)若数列{d n }满足d n d n ＋1＝12－8＋log 2b n ＋1(n ∈N *)，且d 1＝16，试求数列{d n }的通项公式及其前2n 项和S 2n .【解析】：(1)设数列{a n }的公差为d ，数列{b n }的公比为q ，则依题意有q >0，且⎩⎨⎧（1＋12d ）q ＝50，（1＋7d ）＋q ＝（1＋2d ）＋（1＋3d ）＋5，即⎩⎨⎧（1＋12d ）q ＝50，2d ＋q ＝6，解得⎩⎨⎧d ＝2，q ＝2或⎩⎨⎧d ＝1112，q ＝256.由于{b n }是各项都为正整数的等比数列，∴⎩⎨⎧d ＝2，q ＝2，从而a n ＝1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝q n －1＝2n －1.(2)∵b n ＝2n －1，∴log 2b n ＋1＝n ，∴d n d n ＋1＝12－8＋n ，∴d n ＋1d n ＋2＝12－7＋n，两式相除，得d n ＋2d n ＝12.由d 1＝16，d 1d 2＝12－8＋1＝128，可得d 2＝8，∴d 1，d 3，d 5，…是以d 1＝16为首项，以12为公比的等比数列；d 2，d 4，d 6，…是以d 2＝8为首项，以12为公比的等比数列．∴当n 为偶数时，d n ＝812n 2－1＝1622n，当n 为奇数时，d n ＝16×12n ＋12－1＝16222n综上，d n＝⎩⎨⎧1622n，n 为偶数，16222n，n 为奇数.∴S 2n ＝(d 1＋d 3＋…＋d 2n －1)＋(d 2＋d 4＋…＋d 2n )＝ 16×1－12n 1－12＋8×1－12n 1－12＝321－12n ＋161－12n ＝48－4812n. 【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1．已知等比数列{a n }中，a 4＝4，则a 2·a 6等于( ) A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【解析】：易知a 2·a 6＝a 24＝16. 答案：C.2．已知数列{a n }满足a 2＝1，3a n ＋1＋a n ＝0(n ∈N *)，则数列{a n }的前10项和S 10为( ) A.94(310－1) B.94(310＋1) C.94(3－10＋1) D.94(3－10－1) 【解析】：由3a n ＋1＋a n ＝0，得a n ＋1a n ＝－13，则数列{a n }为等比数列，公比q ＝－13，所以a 1＝a 2－13＝－3，所以S 10＝a 1（1－q n）1－q ＝94(3－10－1)．答案：D3．等比数列{a n }的公比为q ，则“q ＞1”是“对于任意正整数n ，都有a n ＋1＞a n ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【解析】：当a 1＜0时，条件与结论均不能由一方推出另一方. 答案：D4．在等比数列{a n }中，若a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【解析】：因为a 4＝2，a 5＝5，所以a 4·a 5＝10，所以lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 7＋lg a 8＝lg(a 1a 2·…·a 8)＝lg(a 1a 8)4＝lg(a 4a 5)4＝4lg 10＝4. 答案：C5．已知等比数列{a n }中，a 3＝6，前三项和S 3＝⎠⎛034x d x ，则公比q 的值为( )A ．1B ．－12C ．－1或－12D ．1或－12【解析】：由题意可计算得S 3＝18.若q ＝1，则S 3＝3a 3＝18，满足题意；若q ≠1，则S 3＝18＝a 1（1－q 3）1－q＝6q2（1－q 3）1－q，即2q 2－q －1＝0，∴q ＝－12.故选D.答案：D 二、填空题6．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＋a 2＝34，a 4＋a 5＝6，则S 6＝________．【解析】：由a 1＋a 2＝34，a 4＋a 5＝6，解得a 1＝14，公比q ＝2，所以S 6＝a 1（1－q 6）1－q ＝14×（1－64）1－2＝634.答案：6347．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，则a 5与a 7的等比中项为________． 【解析】：∵S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 9＝－36，S 13＝－104，∴9a 5＝－36，13a 7＝－104，解得a 5＝－4，a 7＝－8， 则a 5与a 7的等比中项为±a 5·a 7＝±4 2. 答案：±4 28．等比数列{a n }的公比q ＞0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝ . 【解析】：∵{a n }是等比数列，∴a n ＋2＋a n ＋1＝6a n 可化为a 1q n ＋1＋a 1q n ＝6a 1q n －1，∴q 2＋q －6＝0.∵q ＞0，∴q ＝2.a 2＝a 1q ＝1，∴a 1＝12.∴S 4＝14(1)1a q q--＝12(1－24)1－2＝152.答案：152三、解答题9．等比数列{a n }满足：a 1＋a 6＝11，a 3·a 4＝329，且公比q ∈(0,1)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若该数列前n 项和S n ＝21，求n 的值．【解析】： (1)∵a 3·a 4＝a 1·a 6＝329，由条件知：a 1，a 6是方程x 2－11x ＋329＝0的两根，解得x ＝13或x ＝323.又0＜q ＜1，∴a 1＝323，a 6＝13，∴q 5＝a 6a 1＝132，q ＝12，从而a n ＝a 6·q n －6＝13·⎝⎛⎭⎫12n －6.(2)令323⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝21，得⎝⎛⎭⎫12n ＝164，∴n ＝6.10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，n ∈N *.已知a 1＝1，a 2＝32，a 3＝54，且当n ≥2时，4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1.(1)求a 4的值；(2)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 为等比数列．【解析】： (1)当n ＝2时，4S 4＋5S 2＝8S 3＋S 1，即4×1＋32＋54＋a 4＋5×1＋32＝8×1＋32＋54＋1，解得a 4＝78.(2)证明：因为4S n ＋2＋5S n ＝8S n ＋1＋S n －1(n ≥2)，所以4S n ＋2－4S n ＋1＋S n －S n －1＝4S n ＋1－4S n (n ≥2)，即4a n＋2＋a n ＝4a n ＋1(n ≥2)．又因为4a 3＋a 1＝4×54＋1＝6＝4a 2，所以4a n ＋2＋a n ＝4a n ＋1，所以a n ＋2－12a n ＋1a n ＋1－12a n＝4a n ＋2－2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝4a n ＋1－a n －2a n ＋14a n ＋1－2a n ＝2a n ＋1－a n 2（2a n ＋1－a n ）＝12，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1－12a n 是以a 2－12a 1＝1为首项，公比为12的等比数列．【二级目标】能力提升题组一、选择题1．已知数列{a n }，则“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】：若a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列，则a 2n ＋1＝a n a n ＋2成立；当a n ＝a n ＋1＝0时，满足a 2n ＋1＝a n a n ＋2，但a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)不成等比数列．故“a n ，a n ＋1，a n ＋2(n ∈N *)成等比数列”是“a 2n ＋1＝a n a n ＋2”的充分不必要条件． 答案：A2．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有( )A.13项B.12项C.11项D.10项【解析】：设前三项分别为a 1，a 1q ，a 1q 2，后三项分别为a 1q n －3，a 1q n －2，a 1q n －1.所以前三项之积a 31q 3＝2，后三项之积a 31q3n －6＝4 .所以两式相乘，得a 61q3(n －1)＝8，即a 21qn －1＝2.又a 1·a 1q ·a 1q 2·…·a 1qn －1＝64，a n1qn (n －1)2＝64，即(a 21qn －1)n＝642，即2n ＝642.所以n ＝12.答案：B 二、填空题3．三个数c b a ,,成等比数列，且)0(>=++m m c b a ，则b 的取值范围是.【解析】：设bq c q ba ==,，则有. bm q q =++∴11 当0>q 时，311≥++=q q b m ，而0>b ， 30mb ≤<∴； 当0<q 时，111-≤++=q q b m ，即1-≤bm ，而0m >，0<∴b ，则0m b -≤<， 故]3,0()0,[mm b -∈. 答案：]3,0()0,[mm b -∈三、解答题4.在数列{a n }中，a 1＝a ，且a n ＋1＝2S n －2n －n 2(n ∈N *) (1)若a 1，a 2，a 3－5成等比数列，求a 的值； (2)求通项公式a n .【解析】：(1)a 1＝a ，a 2＝2S 1－21－12＝2a －3，a 3－5＝2(a 1＋a 2)－22－22－5＝6a －19，∵a 1，a 2，a 3－5成等比数列，∴(2a －3)2＝a (6a －19)，解得a ＝－1或a ＝92.(2)∵a n ＋1＝2S n －2n－n 2(n ∈N *)，① ∴a n ＝2S n －1－2n －1－(n －1)2(n ≥2，n ∈N *)，②∴当n ≥2时，①－②得a n ＋1－a n ＝2a n －2n －1－2n ＋1，即a n ＋1＝3a n －2n －1－2n ＋1.设a n ＋1＋p 2n ＋1＋q (n ＋1)＝3(a n ＋p 2n＋qn )，由－4p ＋6p ＝－1，得p ＝－12，由3qn －q (n ＋1)＝－2n ＋1，得q ＝－1. 故n ≥2时，数列{a n －2n －1－n }是以3为公比的等比数列.∴21(1).(27)32()n n n a n a a n --=⎧=⎨-+⎩≥2【高考链接】1.(2013年新课标全国卷Ⅱ) 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19[解析]：S 3＝a 2＋10a 1⇒a 1＋a 2＋a 3＝a 2＋10a 1⇒a 3＝9a 1⇒q 2＝9，a 5＝9⇒a 3q 2＝9⇒a 3＝1⇒a 1＝a 3q 2＝19.[答案]：C2．（2015年高考湖南卷）设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，若a 1＝1，且3S 1，2S 2，S 3成等差数列，则a n ＝________．[解析]：设等比数列{a n }的公比为q .由3S 1，2S 2，S 3成等差数列，得4S 2＝3S 1＋S 3，即3S 2－3S 1＝S 3－S 2，所以3a 2＝a 3，得公比q ＝3，所以a n ＝a 1q n －1＝3n －1.[答案]：3n －13．（2011年新课标全国卷Ⅰ）等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 32＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．[解析]： (1)设数列{a n }的公比为q ，由a 32＝9a 2a 6得a 32＝9a 42，所以q 2＝19.由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n （n ＋1）2.故1b n ＝－2n （n ＋1）＝－2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝－2nn ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2n n ＋1.。

专题 等比数列及其前n 项和一、题型全归纳题型一 等比数列基本量的运算【题型要点】1．等比数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为a n ＋1a n ＝q (q ≠0，n ∈N *)．(2)等比中项如果a 、G 、b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．即：G 是a 与b 的等比中项⇔G 2＝ab ． “a ，G ，b 成等比数列”是“G 是a 与b 的等比中项”的充分不必要条件． 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1q n －1．(2)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1（1－q n ）1－q ＝a 1－a n q 1－q ，q ≠1.3.解决等比数列有关问题的2种常用思想4．等比数列的基本运算方法(1)等比数列可以由首项a 1和公比q 确定，所有关于等比数列的计算和证明，都可围绕a 1和q 进行． (2)对于等比数列问题，一般给出两个条件，就可以通过列方程(组)求出a 1，q .如果再给出第三个条件就可以完成a 1，n ，q ，a n ，S n 的“知三求二”问题．例1】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若a 1＝1，S 3＝34，则S 4＝ ．【答案】58.【解析】通解：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1及S 3＝34，易知q ≠1.把a 1＝1代入S 3＝a 1（1－q 3）1－q＝34，得1＋q ＋q 2＝34，解得q ＝－12，所以S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯21--121--114＝58.优解一：设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝a 1(1＋q ＋q 2)＝34，a 1＝1，所以1＋q ＋q 2＝34，解得q ＝－12，所以a 4＝a 1·q 3＝321-⎪⎭⎫⎝⎛＝－18，所以S 4＝S 3＋a 4＝34＋⎪⎭⎫ ⎝⎛81-＝58.优解二：设等比数列{a n }的公比为q ，由题意易知q ≠1.设数列{a n }的前n 项和S n ＝A (1－q n )(其中A 为常数)，则a 1＝S 1＝A (1－q )＝1 ①，S 3＝A (1－q 3)＝34 ②，由①②可得A ＝23，q ＝－12.所以S 4＝23×⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯421--11＝58.【例2】(2020·福州市质量检测)等比数列{a n }的各项均为正实数，其前n 项和为S n .若a 3＝4，a 2a 6＝64，则S 5＝( )A ．32B ．31C ．64D ．63【解析】：通解：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 1·q 2＝4，a 1q ·a 1q 5＝64，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2，所以S 5＝31，故选B.优解：设首项为a 1，公比为q ，因为a n ＞0，所以q ＞0，由a 2a 6＝a 24＝64，a 3＝4，得q ＝2，a 1＝1， 所以S 5＝31，故选B.题型二 等比数列的判定与证明【题型要点】等比数列的判定方法(1)定义法：若a n ＋1a n ＝q (q 为非零常数，n ∈N *)或a na n －1＝q (q 为非零常数且n ≥2，n ∈N *)，则{a n }是等比数列．(2)等比中项公式法：若数列{a n }中，a n ≠0且a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }是等比数列．(3)通项公式法：若数列通项公式可写成a n ＝c ·q n (c ，q 均是不为0的常数，n ∈N *)，则{a n }是等比数列． (4)前n 项和公式法：若数列{a n }的前n 项和S n ＝k ·q n －k (k 为常数且k ≠0，q ≠0,1)，则{a n }是等比数列． 【易错提醒】：(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．【例1】已知数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝2(n ＋1)a n .设b n ＝a nn .(1)求b 1，b 2，b 3；(2)判断数列{b n }是否为等比数列，并说明理由； (3)求{a n }的通项公式．【解析】 (1)由条件可得a n ＋1＝2（n ＋1）n a n .将n ＝1代入得，a 2＝4a 1，而a 1＝1，所以，a 2＝4.将n ＝2代入得，a 3＝3a 2，所以，a 3＝12.从而b 1＝1，b 2＝2，b 3＝4. (2){b n }是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得a n ＋1n ＋1＝2a nn，即b n ＋1＝2b n ， 又b 1＝1，所以{b n }是首项为1，公比为2的等比数列． (3)由(2)可得a n n＝2n －1，所以a n ＝n ·2n －1.【例2】设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足：S n ＋a n ＝n －1n (n ＋1)，n ＝1,2，…，n .(1)求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n S n 是等比数列；(2)求S n . 【解析】 (1)证明：由题意，n ＝1时，S 1＋a 1＝0，即a 1＝0，n ≥2时，S n ＋S n －S n －1＝2S n －S n －1＝n －1n (n ＋1)＝2n ＋1－1n，所以S n －1n ＋1＝12⎭⎬⎫⎩⎨⎧-n S n 11-，S 1－12＝－12，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-11n S n 是以－12为首项，12为公比的等比数列． (2)由(1)知，S n －1n ＋1＝121-⎪⎭⎫⎝⎛n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21-＝n ⎪⎭⎫ ⎝⎛21-，所以S n ＝1n ＋1－n⎪⎭⎫⎝⎛21. 【例3】已知数列{a n }是等比数列，则下列命题不正确的是( ) A ．数列{|a n |}是等比数列 B ．数列{a n a n ＋1}是等比数列 C ．数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等比数列 D ．数列{lg a 2n }是等比数列 【解析】.因为数列{a n }是等比数列，所以a n ＋1a n ＝q .对于A ，|a n ＋1||a n |＝⎪⎪⎪⎪a n ＋1a n ＝|q |，所以数列{|a n |}是等比数列，A 正确；对于B ，a n ＋1a n ＋2a n a n ＋1＝q 2，所以数列{a n a n ＋1}是等比数列，B 正确；对于C ，1a n ＋11a n＝a n a n ＋1＝1q ，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等比数列，C 正确；对于D ，lg a 2n ＋1lg a 2n ＝2lg a n ＋12lg a n ＝lg a n ＋1lg a n ，不一定是常数，所以D 错误． 【例4】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ，若不存在，请说明理由． 【解析】：(1)当n ＝1时，S 1＝a 1＝2a 1－3，解得a 1＝3， 当n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝2a 2－6，解得a 2＝9， 当n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝2a 3－9，解得a 3＝21.(2)假设{a n ＋λ}是等比数列，则(a 2＋λ)2＝(a 1＋λ)(a 3＋λ)，即(9＋λ)2＝(3＋λ)(21＋λ)，解得λ＝3. 下面证明{a n ＋3}为等比数列：因为S n ＝2a n －3n ，所以S n ＋1＝2a n ＋1－3n －3，所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝2a n ＋1－2a n －3，即2a n ＋3＝a n ＋1， 所以2(a n ＋3)＝a n ＋1＋3，所以a n ＋1＋3a n ＋3＝2，所以存在λ＝3，使得数列{a n ＋3}是首项为a 1＋3＝6，公比为2的等比数列． 所以a n ＋3＝6×2n －1，即a n ＝3(2n －1)(n ∈N *)．题型三 等比数列性质的应用【题型要点】1.等比数列的性质已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项和(m ，n ，p ，q ，r ，k ∈N *) (1)若m ＋n ＝p ＋q ＝2r ，则a m ·a n ＝a p ·a q ＝a 2r ． (2)数列a m ，a m ＋k ，a m ＋2k ，a m ＋3k ，…仍是等比数列．(3)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍是等比数列(此时{a n }的公比q ≠－1)． 常用结论2．记住等比数列的几个常用结论(1)若{a n }，{b n }(项数相同)是等比数列，则{λa n }(λ≠0)，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1，{a 2n }，{a n ·b n }，⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 仍是等比数列．(2)在等比数列{a n }中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即a n ，a n ＋k ，a n ＋2k ，a n ＋3k ，…为等比数列，公比为q k .(3)一个等比数列各项的k 次幂，仍组成一个等比数列，新公比是原公比的k 次幂． (4){a n }为等比数列，若a 1·a 2·…·a n ＝T n ，则T n ，T 2n T n ，T 3nT 2n，…成等比数列．(5)当q ≠0，q ≠1时，S n ＝k －k ·q n (k ≠0)是{a n }成等比数列的充要条件，此时k ＝a 11－q.(6)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项的积相等．特别地，若项数为奇数时，还等于中间项的平方．类型一 等比数列项的性质的应用【例1】已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1 C.12D ．18【解析】：法一：因为a 3a 5＝a 24，a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 24＝4(a 4－1)，所以a 24－4a 4＋4＝0，所以a 4＝2.又因为q 3＝a 4a 1＝214＝8，所以q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝14×2＝12，故选C. 法二：因为a 3a 5＝4(a 4－1)，所以a 1q 2·a 1q 4＝4(a 1q 3－1)，将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3＋64＝0，解得q ＝2，所以a 2＝a 1q ＝12，故选C.【例2】(2020·洛阳市第一次联考)等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的两根，则a 2a 16a 9的值为( )A ．－2＋22B ．－2 C. 2D ．－2或2【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的两根，所以a 3·a 15＝a 29＝2，a 3＋a 15＝－6，所以a 3＜0，a 15＜0，则a 9＝－2，所以a 2a 16a 9＝a 29a 9＝a 9＝－ 2.类型二 等差数列前n 项和性质的应用【例3】等比数列{a n }中，前n 项和为48，前2n 项和为60，则其前3n 项和为________． 【解析】法一：设数列{a n }的前n 项和为S n .因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由前n 项和公式得⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q n ）1－q＝48，①a 1（1－q 2n ）1－q＝60，②②÷①，得1＋q n ＝54，所以q n ＝14.③将③将入①，得a 11－q＝64. 所以S 3n ＝a 1（1－q 3n ）1－q ＝64×⎪⎭⎫⎝⎛341-1＝63.法二：设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为{a n }为等比数列，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列， 所以(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，即S 3n ＝（S 2n －S n ）2S n ＋S 2n ＝（60－48）248＋60＝63.法三：设数列{a n }的前n 项和为S n ，因为S 2n ＝S n ＋q n S n ，所以q n ＝S 2n －S n S n ＝14，所以S 3n ＝S 2n ＋q 2n S n ＝60＋241⎪⎭⎫⎝⎛×48＝63.【例4】(2020·池州高三上学期期末)已知等比数列{a n }的公比q ＝2，前100项和为S 100＝90，则其偶数项 a 2＋a 4＋…＋a 100为( ) A ．15 B ．30 C ．45D ．60【解析】设S ＝a 1＋a 3＋…＋a 99，则a 2＋a 4＋…＋a 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)q ＝2S ，又因为S 100＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝90，所以3S ＝90，S ＝30，所以a 2＋a 4＋…＋a 100＝2S ＝60.【例5】已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝ ．【解析】由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，解得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160，所以q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.【总结提升】1．掌握运用等比数列性质解题的两个技巧(1)在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a 1，q 满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件． (2)利用性质可以得到一些新数列仍为等比数列或为等差数列，例如：①若{a n }是等比数列，且a n >0，则{log a a n }(a >0且a ≠1)是以log a a 1为首项，log a q 为公差的等差数列． ②若公比不为－1的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n . 2．牢记与等比数列前n 项和S n 相关的几个结论 (1)项的个数的“奇偶”性质：等比数列{a n }中，公比为q . ①若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q ；②若共有2n ＋1项，则S 奇－S 偶＝a 1＋a 2n ＋1q 1＋q (q ≠1且q ≠－1)，S 奇－a 1S 偶＝q .(2)分段求和：S n ＋m ＝S n ＋q n S m ⇔q n ＝S n ＋m －S nS m(q 为公比)．题型四 数列与数学文化及实际应用类型一．等差数列与数学文化【例1】(2020·广东潮州二模)我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．”意思是：现有一根金箠，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤．若该金箠从头到尾，每一尺的质量构成等差数列，则该金箠共重( ) A ．6斤 B ．7斤 C ．9斤D ．15斤【解析】 设从头到尾每一尺的质量构成等差数列{a n }，则有a 1＝4，a 5＝2，所以a 1＋a 5＝6，数列{a n }的前5项和为S 5＝5×a 1＋a 52＝5×3＝15，即该金箠共重15斤．故选D.【题后升华】以数学文化为背景的等差数列模型题的求解关键：一是会脱去数学文化的背景，读懂题意；二是构建模型，即由题意构建等差数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等差数列的相关问题，如求指定项、公差或项数、通项公式或前n 项和等．类型二．等比数列与数学文化【例2】(2020·湖南衡阳三模)中国古代数学名著《九章算术》中有如下问题．今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文如下：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我的羊所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我的马所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还的粟(单位：升)为( ) A.253 B ．503 C.507 D ．1007【解析】5斗＝50升．设羊、马、牛的主人应偿还粟的量分别为a 1，a 2，a 3，由题意可知a 1，a 2，a 3构成公比为2的等比数列，且S 3＝50，则a 1（1－23）1－2＝50，解得a 1＝507，所以马主人应偿还粟的量为a 2＝2a 1＝1007，故选D.【题后升华】以数学文化为背景的等比数列模型题的求解关键：一是会透过数学文化的“表象”看“本质”；二是构建模型，即盯准题眼，构建等比数列的模型；三是解模，即把文字语言转化为求等比数列的相关问题，如求指定项、公比或项数、通项公式或前n 项和等．类型三．递推数列与数学文化【例3】(2020·北京市石景山区3月模拟)九连环是我国从古至今广为流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合而为一．”在某种玩法中，用a n 表示解下n (n ≤9，n ∈N *)个圆环所需的最少移动次数，数列{a n }满足a 1＝1，且a n＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1，n 为偶数，2a n －1＋2，n 为奇数，则解下4个环所需的最少移动次数a 4为( ) A ．7 B ．10 C ．12D ．22【解析】因为数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1，n 为偶数，2a n －1＋2，n 为奇数，所以a 2＝2a 1－1＝2－1＝1，所以a 3＝2a 2＋2＝2×1＋2＝4，所以a 4＝2a 3－1＝2×4－1＝7.故选A.【题后升华】以数学文化为背景的已知递推公式的数列模型的求解关键是耐心读题、仔细理解题，只有弄清题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答，“盯紧”题目条件中的递推公式，利用此递推公式往要求的量转化，如本题，剥去数学文化背景，实质就是已知a 1＝1，且a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2a n －1－1，n 为偶数，2a n －1＋2，n 为奇数，求a 4的问题．类型四．周期数列与数学文化【例4】(2020·山东临沂三模)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)．此数列在现代物理、化学等方面都有着广泛的应用．若此数列被2除后的余数构成一个新数列{a n }，则数列{a n }的前2 019项的和为( ) A ．672 B ．673 C ．1 346D ．2 019【解析】 由于{a n }是数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…各项除以2的余数，故{a n }为1，1，0，1，1，0，1，1，0，1，…，所以{a n }是周期为3的周期数列， 且一个周期中的三项之和为1＋1＋0＝2.因为2 019＝673×3， 所以数列{a n }的前2 019项的和为673×2＝1 346.故选C.【题后反思】以数学文化为背景的周期数列模型题的求解关键是细审题，建立数学模型，并会适时脱去背景，如本题，脱去背景，实质是利用斐波那契数列的各项除以2的余数的特征，得出新数列的周期性，进而求出结果．类型五．数列在实际问题中的应用【例5】私家车具有申请报废制度．一车主购买车辆时花费15万，每年的保险费、路桥费、汽油费等约1.5万元，每年的维修费是一个公差为3 000元的等差数列，第一年维修费为3 000元，则该车主申请车辆报废的最佳年限(使用多少年的年平均费用最少)是________年．【解析】设这辆汽车报废的最佳年限为n 年，第n 年的费用为a n ，则a n ＝1.5＋0.3n .前n 年的总费用为S n ＝15＋1.5n ＋n 2(0.3＋0.3n )＝0.15n 2＋1.65n ＋15，年平均费用：S n n ＝0.15n ＋15n＋1.65≥20.15n ×15n＋1.65＝4.65，当且仅当0.15n ＝15n ，即n ＝10时，年平均费用S nn 取得最小值．所以这辆汽车报废的最佳年限是10年．【题后反思】数学建模是指对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决实际问题的过程．有关数列的应用问题，是让学生能够在实际情境中，用数学的思想分析数列问题，用数学的语言表达数列问题，用数学的知识得到数列模型，用数列的方法得到结论，验证数学结论与实际问题的相符程度，最终得到符合实际规律的结果．二、高效训练突破 一、选择题1．(2020·湖南衡阳一模)在等比数列{a n }中，a 1a 3＝a 4＝4，则a 6的所有可能值构成的集合是( ) A ．{6} B ．{－8，8} C ．{－8}D ．{8}【解析】：因为a 1a 3＝a 22＝4，a 4＝4，所以a 2＝2，所以q 2＝a 4a 2＝2，所以a 6＝a 2q 4＝2×4＝8，故a 6的所有可能值构成的集合是{8}，故选D.2．已知各项均为正数的等比数列{a n }的前4项和为15，且a 5＝3a 3＋4a 1，则a 3＝( ) A ．16 B ．8 C ．4D ．2【解析】：设等比数列{a n }的公比为q (q >0)，由a 5＝3a 3＋4a 1，得a 1q 4＝3a 1q 2＋4a 1，得q 4－3q 2－4＝0，令q 2＝t ，则t 2－3t －4＝0，解得t ＝4或t ＝－1(舍去)，所以q 2＝4，即q ＝2或q ＝－2(舍去)．又 S 4＝a 1（1－q 4）1－q ＝15，所以a 1＝1，所以a 3＝a 1q 2＝4.故选C.3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，则( ) A ．数列{a n }的公比为2 B ．数列{a n }的公比为8 C.S 6S 3＝8 D ．S 6S 3＝4【解析】：因为等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6＝8a 3，所以a 6a 3＝q 3＝8，解得q ＝2，所以S 6S 3＝1－q 61－q 3＝1＋q 3＝9.4．(2020·山西3月高考考前适应性测试)正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 3a 7＋a 5a 9＝16，且a 5与a 9的等差中项为4，则{a n }的公比是( ) A ．1 B ．2 C.22D ．2【解析】：设公比为q ，由正项等比数列{a n }中，a 1a 5＋2a 3a 7＋a 5a 9＝16，可得a 23＋2a 3a 7＋a 27＝(a 3＋a 7)2＝16，即a 3＋a 7＝4，由a 5与a 9的等差中项为4，得a 5＋a 9＝8，则q 2(a 3＋a 7)＝4q 2＝8，则q ＝2(舍负)，故选D. 4．(2020·湘赣十四校第二次联考)中国古代著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走了( ) A ．6里 B ．12里 C ．24里D ．96里【解析】：由题意可得，每天行走的路程构成等比数列，记作数列{a n }，设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，则q ＝12，依题意有a 1（1－q 6）1－q ＝378，解得a 1＝192，则a 6＝192×(12)5＝6，最后一天走了6里，故选A.5．一个等比数列的前三项的积为3，最后三项的积为9，且所有项的积为729，则该数列的项数是( ) A ．13 B ．12 C ．11D ．10【解析】：设该等比数列为{a n }，其前n 项积为T n ，则由已知得a 1·a 2·a 3＝3，a n －2·a n －1·a n ＝9，(a 1·a n )3＝3×9＝33，所以a 1·a n ＝3，又T n ＝a 1·a 2·…·a n －1·a n ＝a n ·a n －1·…·a 2·a 1，所以T 2n ＝(a 1·a n )n ，即7292＝3n ，所以n ＝12.6．(2020·青岛模拟)已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 6,3a 4，－a 5成等差数列，则S 4S 2＝( ) A ．3 B ．9 C ．10D ．13【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 6,3a 4，－a 5成等差数列，所以6a 4＝a 6－a 5，所以6a 4＝a 4(q 2－q )．由题意得a 4>0，q >0.所以q 2－q －6＝0，解得q ＝3，所以S 4S 2＝S 2＋q 2S 2S 2＝1＋q 2＝10.7．(2020届福建厦门模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n ＋1＋λ，则λ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2【解析】： 解法一：当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＋λ. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此时a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2.因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝2，即44＋λ＝2，解得λ＝－2.故选A.解法二：依题意，a 1＝S 1＝4＋λ，a 2＝S 2－S 1＝4，a 3＝S 3－S 2＝8，因为{a n }是等比数列，所以a 22＝a 1·a 3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A.8．(2020·新乡调研)已知各项均不为0的等差数列{a n }满足a 3－a 272＋a 11＝0，数列{b n }为等比数列，且b 7＝a 7，则b 1·b 13＝( )A ．25B ．16C ．8D ．4【解析】由a 3－a 272＋a 11＝0，得2a 7－a 272＝0，a 7＝4，所以b 7＝4，b 1·b 13＝b 27＝16. 9.(2020·福建厦门模拟)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2n ＋1＋λ，则λ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1D ．2【解析】：法一：当n ＝1时，a 1＝S 1＝4＋λ. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1＋λ)－(2n＋λ)＝2n，此时a n ＋1a n ＝2n ＋12n ＝2.因为{a n }是等比数列，所以a 2a 1＝2，即44＋λ＝2，解得λ＝－2.故选A. 法二：依题意，a 1＝S 1＝4＋λ，a 2＝S 2－S 1＝4，a 3＝S 3－S 2＝8，因为{a n }是等比数列，所以a 22＝a 1·a 3，所以8(4＋λ)＝42，解得λ＝－2.故选A.10．(2020·辽宁部分重点高中联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －1，则{a n }的通项公式a n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －1 C ．2n －1D ．2n ＋1【解析】：当n ＝1时，S 1＝2a 1－1＝a 1，所以a 1＝1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，所以a n ＝2a n －1， 因此a n ＝2n －1，故选B.11．(2020·长春市质量监测(一))已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若公比q ＝2，则a 1＋a 3＋a 5S 6＝( )A.13B.17C.23D ．37【解析】：法一：由题意知a 1＋a 3＋a 5＝a 1(1＋22＋24)＝21a 1，而S 6＝a 1（1－26）1－2＝63a 1，所以a 1＋a 3＋a 5S 6＝21a 163a 1＝13，故选A. 法二：由题意知S 6＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝a 1＋a 3＋a 5＋(a 2＋a 4＋a 6)＝a 1＋a 3＋a 5＋2(a 1＋a 3＋a 5)＝3(a 1＋a 3＋a 5)，故a 1＋a 3＋a 5S 6＝13，故选A.12.(2020·河南郑州三测)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝b 1＝1，a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n＝3，n ∈N *，则数列{ba n }的前10项和为( )A.12×(310－1)B.18×(910－1)C.126×(279－1) D ．126×(2710－1)【解析】：因为a n ＋1－a n ＝b n ＋1b n ＝3，所以{a n }为等差数列，公差为3，{b n }为等比数列，公比为3，所以a n＝1＋3(n －1)＝3n －2，b n ＝1×3n －1＝3n －1，所以ba n ＝33n －3＝27n －1，所以{ba n }是以1为首项，27为公比的等比数列，所以{ba n }的前10项和为1×（1－2710）1－27＝126×(2710－1)，故选D.二、填空题1.(2020·陕西第二次质量检测)公比为2的等比数列{a n }的各项都是正数，且a 2a 12＝16，则log 2a 15＝ ．【解析】：等比数列{a n }的各项都是正数，且公比为2，a 2a 12＝16，所以a 1qa 1q 11＝16，即a 21q 12＝16，所以a 1q 6＝22，所以a 15＝a 1q 14＝a 1q 6(q 2)4＝26，则log 2a 15＝log 226＝6.2．(2020·陕西榆林二模)已知数列{a n }满足a 1＝2，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2(n 2＋n )，若b n ＝22a n ，则{b n }的前n 项和S n ＝ ．【解析】：由na n ＋1－(n ＋1)a n ＝2(n 2＋n )，得a n ＋1n ＋1－a n n ＝2，又a 1＝2，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 是首项为2，公差为2的等差数列，所以a nn ＝2＋2(n －1)＝2n ，即a n ＝2n 2，所以b n ＝22a n ＝4n ，所以数列{b n }是首项为4，公比为4的等比数列，所以S n ＝4－4n ＋11－4＝4n ＋1－43.3．(2020·安徽安庆模拟)数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值为________．【解析】：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎪⎭⎫ ⎝⎛-λ2n a .由于数列{a n－1}是等比数列，所以2λ＝1， 得λ＝2.4.在递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，且前n 项和S n ＝42，则n ＝________． 【解析】：因为{a n }为等比数列，所以a 3·a n －2＝a 1·a n ＝64.又a 1＋a n ＝34， 所以a 1，a n 是方程x 2－34x ＋64＝0的两根，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，a n ＝2.又因为{a n }是递增数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，a n ＝32. 由S n ＝a 1－a n q 1－q ＝2－32q 1－q＝42，解得q ＝4.由a n ＝a 1q n －1＝2×4n －1＝32，解得n ＝3.5．已知数列{a n }满足a 1＝2且对任意的m ，n ∈N *，都有a m ＋na m ＝a n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________．【解析】：因为a n ＋m a m ＝a n ，令m ＝1，则a n ＋1a 1＝a n ，即a n ＋1a n＝a 1＝2，所以{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝2的等比数列，S n ＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2.6.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝________.【解析】因为S 10∶S 5＝1∶2，所以设S 5＝2a ，S 10＝a (a ≠0)，因为S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列，即2a ，－a ，S 15－a 成等比数列，所以(－a )2＝2a (S 15－a )， 解得S 15＝3a2，所以S 15∶S 5＝3∶4.三 解答题1.(2020·昆明市诊断测试)已知数列{a n }是等比数列，公比q ＜1，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 3＝7. (1)求{a n }的通项公式；(2)设m ∈Z ，若S n ＜m 恒成立，求m 的最小值．【解析】：(1)由a 2＝2，S 3＝7得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝2，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝7， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，q ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，q ＝2.(舍去)所以a n ＝4·121-⎪⎭⎫ ⎝⎛n ＝321-⎪⎭⎫ ⎝⎛n .(2)由(1)可知，S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝4⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝8⎪⎭⎫⎝⎛n 21-1＜8.因为a n ＞0，所以S n 单调递增．又S 3＝7，所以当n ≥4时，S n ∈(7，8)．又S n ＜m 恒成立，m ∈Z ，所以m 的最小值为8. 2．(2020·山西长治二模)S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知a 4＝9a 2，S 3＝13，且公比q ＞0. (1)求a n 及S n ；(2)是否存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列？若存在，求λ的值；若不存在，请说明现由．【解析】：(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 3＝9a 1q ，a 1（1－q 3）1－q＝13，q ＞0，解得a 1＝1，q ＝3，所以a n＝3n －1，S n ＝1－3n 1－3＝3n －12.(2)假设存在常数λ，使得数列{S n ＋λ}是等比数列，因为S 1＋λ＝λ＋1，S 2＋λ＝λ＋4，S 3＋λ＝λ＋13， 所以(λ＋4)2＝(λ＋1)(λ＋13)，解得λ＝12，此时S n ＋12＝12×3n ，则S n ＋1＋12S n ＋12＝3，故存在常数λ＝12，使得数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n S 是等比数列．3.(2020届长春市高三质量监测)已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2n ＋1，设b n ＝a n 2n .(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+11n n b b 的前n 项和S n .【解析】：(1)证明：当n ≥2时，b n －b n －1＝a n 2n －a n －12n －1＝a n －2a n －12n ＝1，又b 1＝1，所以{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．(2)由(1)可知，b n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n －1n ＋1，所以S n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.4.(2020届南昌市第一次模拟)已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S 4＝2a 4－1，S 3＝2a 3－1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝S n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .【解析】：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，由S 4－S 3＝a 4，得2a 4－2a 3＝a 4，所以a 4a 3＝2，所以q ＝2.又因为S 3＝2a 3－1，所以a 1＋2a 1＋4a 1＝8a 1－1，所以a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)由(1)知a 1＝1，q ＝2，则S n ＝1－2n 1－2＝2n－1，所以b n ＝2n－1，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝2＋22＋…＋2n －n ＝2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－2－n .。

高考数学（理科）一轮复习等比数列及其前n项和学案含答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案30 等比数列及其前n项和导学目标：1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.4.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数列的有关知识解决相应的问题．自主梳理．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的________，通常用字母________表示．2．等比数列的通项公式设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an ＝______________.3．等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．4．等比数列的常用性质通项公式的推广：an＝am&#8226;________．若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，则__________________________．若{an}，{bn}是等比数列，则{λan}，1an，{a2n}，{an&#8226;bn}，anbn仍是等比数列．单调性：a1&gt;0，q&gt;1或a1&lt;00&lt;q&lt;1&#8660;{an}是________数列；a1&gt;0，0&lt;q&lt;1或a1&lt;0q&gt;1&#8660;{an}是________数列；q＝1&#8660;{an}是____数列；q&lt;0&#8660;{an}是________数列．5．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，Sn＝a1&#61480;1－qn&#61481;1－q＝a1&#61480;qn－1&#61481;q－1＝a1qnq－1－a1q－1.6．等比数列前n项和的性质公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为______．自我检测．“b＝ac”是“a、b、c成等比数列”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件c．充要条件D．既不充分也不必要条件2．若数列{an}的前n项和Sn＝3n－a，数列{an}为等比数列，则实数a的值是A．3B．1c．0D．－13．设f＝2＋24＋27＋…＋23n＋1，则f等于A.27B.27c.27D.274．已知等比数列{an}的前三项依次为a－2，a＋2，a ＋8，则an等于A．8&#8226;32nB．8&#8226;23nc．8&#8226;32n－1D．8&#8226;23n－15．设{an}是公比为q的等比数列，|q|&gt;1，令bn＝an＋1，若数列{bn}有连续四项在集合{－53，－23,19,37,82}中，则6q＝________.探究点一等比数列的基本量运算例 1 已知正项等比数列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，求数列{an}的通项an和前n项和Sn.变式迁移1在等比数列{an}中，a1＋an＝66，a2&#8226;an－1＝128，Sn＝126，求n和q.探究点二等比数列的判定例2 已知数列{an}的首项a1＝5，前n项和为Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*.证明数列{an＋1}是等比数列；求{an}的通项公式以及Sn.变式迁移2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝Sn＋2n．求a2，a3的值；求证：数列{Sn＋2}是等比数列．探究点三等比数列性质的应用例3 在等比数列{an}中，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝8，且1a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝2，求a3.变式迁移3 已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值；在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求a41a42a43a44.分类讨论思想与整体思想的应用例设首项为正数的等比数列{an}的前n项和为80，它的前2n项和为6560，且前n项中数值最大的项为54，求此数列的第2n项．【答题模板】解设数列{an}的公比为q，若q＝1，则Sn＝na1，S2n＝2na1＝2Sn.∵S2n＝6560≠2Sn＝160，∴q≠1，[2分]由题意得a1&#61480;1－qn&#61481;1－q＝80，①a1&#61480;1－q2n&#61481;1－q＝6560.②[4分]将①整体代入②得80＝6560，∴qn＝81.[6分]将qn＝81代入①得a1＝80，∴a1＝q－1，由a1&gt;0，得q&gt;1，∴数列{an}为递增数列．[8分]∴an＝a1qn－1＝a1q&#8226;qn＝81&#8226;a1q＝54.∴a1q＝23.[10分]与a1＝q－1联立可得a1＝2，q＝3，∴a2n＝2×32n－1．[12分]【突破思维障碍】分类讨论的思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1&gt;0，q&gt;1或a1&lt;0,0&lt;q&lt;1时为递增数列；当a1&lt;0，q&gt;1或a1&gt;0,0&lt;q&lt;1时为递减数列；当q&lt;0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．函数的思想：等比数列的通项公式an＝a1qn－1＝a1q&#8226;qn常和指数函数相联系．整体思想：应用等比数列前n项和时，常把qn，a11－q当成整体求解．本题条件前n项中数值最大的项为54的利用是解决本题的关键，同时将qn和a1&#61480;1－qn&#61481;1－q的值整体代入求解，简化了运算，体现了整体代换的思想，在解决有关数列求和的题目时应灵活运用．．等比数列的通项公式、前n项公式分别为an＝a1qn －1，Sn＝na1，q＝1，a1&#61480;1－qn&#61481;1－q，q≠1.2．等比数列的判定方法：定义法：即证明an＋1an＝q．中项法：证明一个数列满足a2n＋1＝an&#8226;an＋2．3．等比数列的性质：an＝am&#8226;qn－m；若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n，则ak&#8226;al＝am&#8226;an；设公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.4．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q ＝1或q≠1作出判断；计算过程中要注意整体代入的思想方法．5．等差数列与等比数列的关系是：若一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列是非零常数列；若{an}是等比数列，且an&gt;0，则{lgan}构成等差数列．一、选择题．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于A.152B.314c.334D.1722．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则S5S2等于A．－11B．－8c．5D．113．在各项都为正数的等比数列{an}中，a1＝3，前三项的和S3＝21，则a3＋a4＋a5等于A．33B．72c．84D．1894．等比数列{an}前n项的积为Tn，若a3a6a18是一个确定的常数，那么数列T10，T13，T17，T25中也是常数的项是A．T10B．T13c．T17D．T255．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝2，S6＝18，则S10S5等于A．－3B．5c．－31D．33题号2345答案二、填空题6．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则数列{an}前7项的和为________．7．在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝30，则a3＋a6＋a9＋…＋a99＝________.8．在等比数列{an}中，若公比q＝4，且前3项之和等于21，则该数列的通项公式an＝________.三、解答题9．已知{an}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列．求数列{an}的通项；求数列{2an}的前n项和Sn.0．已知数列{log2}为等差数列，且a1＝3，a2＝5.求证：数列{an－1}是等比数列；求1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an的值．1．已知等差数列{an}的首项a1＝1，公差d&gt;0，且第2项、第5项、第14项分别是等比数列{bn}的第2项、第3项、第4项．求数列{an}与{bn}的通项公式；设数列{cn}对n∈N*均有c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1成立，求c1＋c2＋c3＋…＋cXX.答案自主梳理．公比q 2.a1&#8226;qn－1 4.qn－m ak&#8226;al＝am&#8226;an递增递减常摆动 6.qn自我检测．D 2.B 3.B 4.c 5.－9课堂活动区例1 解题导引在等比数列的通项公式和前n项和公式中共有a1，an，q，n，Sn五个量，知道其中任意三个量，都可以求出其余两个量．解题时，将已知条件转化为基本量间的关系，然后利用方程组的思想求解；本例可将所有项都用a1和q表示，转化为关于a1和q 的方程组求解；也可利用等比数列的性质来转化，两种方法目的都是消元转化．解方法一由已知得：a21q4＋2a21q6＋a21q8＝100，a21q4－2a21q6＋a21q8＝36.①②①－②，得4a21q6＝64，∴a21q6＝16.③代入①，得16q2＋2×16＋16q2＝100.解得q2＝4或q2＝14.又数列{an}为正项数列，∴q＝2或12.当q＝2时，可得a1＝12，∴an＝12×2n－1＝2n－2，Sn＝121－2＝2n－1－12；当q＝12时，可得a1＝32.∴an＝32×12n－1＝26－n.Sn＝321－12n1－12＝64－26－n.方法二∵a1a5＝a2a4＝a23，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝a25，由a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a6＝36，可得a23＋2a3a5＋a25＝100，a23－2a3a5＋a25＝36，即2＝100，2＝36.∴a3＋a5＝10，a3－a5＝±6.解得a3＝8，a5＝2，或a3＝2，a5＝8.当a3＝8，a5＝2时，q2＝a5a3＝28＝14.∵q&gt;0，∴q＝12，由a3＝a1q2＝8，得a1＝32，∴an＝32×12n－1＝26－n.Sn＝32－26－n×121－12＝64－26－n.当a3＝2，a5＝8时，q2＝82＝4，且q&gt;0，∴q＝2.由a3＝a1q2，得a1＝24＝12.∴an＝12×2n－1＝2n－2.Sn＝122－1＝2n－1－12.变式迁移1 解由题意得a2&#8226;an－1＝a1&#8226;an＝128，a1＋an＝66，解得a1＝64，an＝2或a1＝2，an＝64.若a1＝64，an＝2，则Sn＝a1－anq1－q＝64－2q1－q ＝126，解得q＝12，此时，an＝2＝64&#8226;12n－1，∴n＝6.若a1＝2，an＝64，则Sn＝2－64q1－q＝126，∴q＝2.∴an＝64＝2&#8226;2n－1.∴n＝6.综上n＝6，q＝2或12.例2 解题导引证明数列是等比数列的两个基本方法：①an＋1an＝q．②a2n＋1＝anan＋2．证明数列不是等比数列，可以通过具体的三个连续项不成等比数列来证明，也可用反证法．证明由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5，n∈N*，可得n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n＋4，两式相减得Sn＋1－Sn＝2＋1，即an＋1＝2an＋1，从而an＋1＋1＝2，当n＝1时，S2＝2S1＋1＋5，所以a2＋a1＝2a1＋6，又a1＝5，所以a2＝11，从而a2＋1＝2，故总有an＋1＋1＝2，n∈N*，又a1＝5，a1＋1≠0，从而an＋1＋1an＋1＝2，即数列{an＋1}是首项为6，公比为2的等比数列．解由得an＋1＝6&#8226;2n－1，所以an＝6&#8226;2n－1－1，于是Sn＝6&#8226;1－2－n＝6&#8226;2n－n－6.变式迁移2 解∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝Sn＋2n，∴当n＝1时，a1＝2×1＝2；当n＝2时，a1＋2a2＝＋4，∴a2＝4；当n＝3时，a1＋2a2＋3a3＝2＋6，∴a3＝8.证明∵a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝Sn＋2n，①∴当n≥2时，a1＋2a2＋3a3＋…＋an－1＝Sn－1＋2．②①－②得nan＝Sn－Sn－1＋2＝n－Sn＋2Sn－1＋2＝nan－Sn＋2Sn－1＋2.∴－Sn＋2Sn－1＋2＝0，即Sn＝2Sn－1＋2，∴Sn＋2＝2．∵S1＋2＝4≠0，∴Sn－1＋2≠0，∴Sn＋2Sn－1＋2＝2，故{Sn＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列．例3 解题导引在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am&#8226;an＝ap&#8226;aq”，可以减少运算量，提高解题速度．解由已知得a1＋1a2＋1a3＋1a4＋1a5＝a1＋a5a1a5＋a2＋a4a2a4＋a3a23＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5a23＝8a23＝2，∴a23＝4，∴a3＝±2.若a3＝－2，设数列的公比为q，则－2q2＋－2q－2－2q－2q2＝8，即1q2＋1q＋1＋q＋q2＝1q＋122＋q＋122＋12＝－4.此式显然不成立，经验证，a3＝2符合题意，故a3＝2.变式迁移3 解∵a3a11＝a27＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4，∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8.a1a2a3a4＝a1&#8226;a1q&#8226;a1q2&#8226;a1q3＝a41q6＝1.①a13a14a15a16＝a1q12&#8226;a1q13&#8226;a1q14&#8226;a1q15＝a41&#8226;q54＝8.②②÷①：a41&#8226;q54a41&#8226;q6＝q48＝8&#8658;q16＝2，又a41a42a43a44＝a1q40&#8226;a1q41&#8226;a1q42&#8226;a1q43＝a41&#8226;q166＝a41&#8226;q6&#8226;q160＝&#8226;10＝1&#8226;210＝1024.课后练习区．B [∵{an}是由正数组成的等比数列，且a2a4＝1，∴设{an}的公比为q，则q&gt;0，且a23＝1，即a3＝1.∵S3＝7，∴a1＋a2＋a3＝1q2＋1q＋1＝7，即6q2－q －1＝0.故q＝12或q＝－13，∴a1＝1q2＝4.∴S5＝41－12＝8＝314.]2．A [由8a2＋a5＝0，得8a1q＋a1q4＝0，所以q＝－2，则S5S2＝a1a1＝－11.]3．c [由题可设等比数列的公比为q，则31－q＝21&#8658;1＋q＋q2＝7&#8658;q2＋q－6＝0 &#8658;＝0，根据题意可知q&gt;0，故q＝2.所以a3＋a4＋a5＝q2S3＝4×21＝84.]4．c [a3a6a18＝a31q2＋5＋17＝3＝a39，即a9为定值，所以下标和为9的倍数的积为定值，可知T17为定值．] 5．D [因为等比数列{an}中有S3＝2，S6＝18，即S6S3＝a11－qa11－q＝1＋q3＝182＝9，故q＝2，从而S10S5＝a11－qa11－q＝1＋q5＝1＋25＝33.]6．127解析∵公比q4＝a5a1＝16，且q&gt;0，∴q＝2，∴S7＝1－271－2＝127.7.1207解析∵S99＝30，即a1＝30，∵数列a3，a6，a9，…，a99也成等比数列且公比为8，∴a3＋a6＋a9＋…＋a99＝4a11－8＝4a17＝47×30＝1207.8．4n－1解析∵等比数列{an}的前3项之和为21，公比q＝4，不妨设首项为a1，则a1＋a1q＋a1q2＝a1＝21a1＝21，∴a1＝1，∴an＝1×4n－1＝4n－1.9．解由题设知公差d≠0，由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列，得1＋2d1＝1＋8d1＋2d，…………………………………………………………………………解得d＝1或d＝0．故{an}的通项an＝1＋×1＝n.……………………………………………………由知2an＝2n，由等比数列前n项和公式，得Sn＝2＋22＋23＋…＋2n＝21－2＝2n＋1－2.………………………………………………………………………………0．证明设log2－log2＝d，因为a1＝3，a2＝5，所以d＝log2－log2＝log24－log22＝1，…………………………………………………………所以log2＝n，所以an－1＝2n，所以an－1an－1－1＝2，所以{an－1}是以2为首项，2为公比的等比数列．………解由可得an－1＝&#8226;2n－1，所以an＝2n＋1，…………………………………………………………………………所以1a2－a1＋1a3－a2＋…＋1an＋1－an＝122－2＋123－22＋…＋12n＋1－2n＝12＋122＋…＋12n＝1－12n.………………………………………………………………1．解由已知有a2＝1＋d，a5＝1＋4d，a14＝1＋13d，∴2＝．解得d＝2．……………………………………………………………………∴an＝1＋&#8226;2＝2n－1.………………………………………………………………又b2＝a2＝3，b3＝a5＝9，∴数列{bn}的公比为3，∴bn＝3&#8226;3n－2＝3n－1.………………………………………………………………………由c1b1＋c2b2＋…＋cnbn＝an＋1得当n≥2时，c1b1＋c2b2＋…＋cn－1bn－1＝an.两式相减得：当n≥2时，cnbn＝an＋1－an＝2.……………………………………………∴cn＝2bn＝2&#8226;3n－1．又当n＝1时，c1b1＝a2，∴c1＝3.∴cn＝3 2&#8226;3n－1.……………………………………………………………∴c1＋c2＋c3＋…＋cXX＝3＋6－2×3XX1－3＝3＋＝3XX.…………………………………………。