高中数学第四章导数应用2.2最大值最小值问题一课件北师大版选修

1.函数f (x )＝x 3－3x (|x |＜1)，则f (x )( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，也无最小值 D ．无最大值，但有最小值解析：选C.f ′(x )＝3x 2－3，∵x 2＜1，∴x 2－1＜0，即f ′(x )＜0恒成立．∴f (x )在(－1，1)内为减函数．∴无最大值，也无最小值．2.(2012·南阳质检)已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件解析：选C.因为y ′＝－x 2＋81，所以当x ＞9时，y ′＜0；当x ∈(0，9)时，y ′＞0，所以函数y ＝－13x 3＋81x －234在(9，＋∞)上单调递减，在(0，9)上单调递增，所以x ＝9是函数的极大值点，又因为函数在(0，＋∞)上只有一个极大值点，所以函数在x ＝9处取得最大值．3.某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2⎝⎛⎭⎫60－x 2(0＜x ＜60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长为________．解析：V (x )＝30x 2－12x 3，∴V ′(x )＝60x －32x 2＝－32x (x －40)．∵x ∈(0，40)时，V ′(x )＞0，x ∈(40，60)时，V ′(x )＜0， ∴x ＝40时，V (x )有极大值也是最大值． 答案：404.(2012·淮北检测)函数f (x )＝2x 3－6x 2＋a (a 为常数)在[－2，2]上的最大值为5，那么此函数在[－2，2]上的最小值为________． 解析：f ′(x )＝6x 2－12x ＝6x (x －2)．由f ′(x )＝0得x ＝0或2.∵f (0)＝a ，f (2)＝a －8，f (－2)＝a －40.∴a ＝5. 此函数[－2，2]上的最小值是5－40＝－35. 答案：－35[A 级 基础达标]1.函数f (x )＝1x ＋1＋x (x ∈[1，3])的值域为( )A ．(－∞，1)∪(1＋∞)B ．[32，＋∞)C.⎝⎛32，134D.⎣⎡⎦⎤32，134解析：选D.f ′(x )＝－1（x ＋1）2＋1＝x 2＋2x （x ＋1）2，又x ∈[1，3]，所以f ′(x )＞0在[1，3]上恒成立，即函数在[1，3]上单调递增，所以函数的最大值是f (3)＝134，最小值是f (1)＝32，故选D.2.(2012·汉中检测)已知函数f (x )的图像过点(0，－5)，它的导数f ′(x )＝4x 3－4x ，则当f (x )取得极大值－5时，x 的值应为( )A ．－1B ．0C ．1D ．±1解析：选B.∵f ′(x )＝4x 3－4x ，∴f (x )＝x 4－2x 2＋c . ∵f (x )过点(0，－5)，∴f (x )＝x 4－2x 2－5. 又f ′(x )＝0得x ＝0或x ＝±1，且－1＜x ＜0或x ＞1时， f ′(x )＞0；0＜x ＜1时，f ′(x )＜0. ∴x ＝0时取得极大值－5.3.当函数f (x )＝x ＋2cos x 在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上取得最大值时，x ＝( ) A ．0 B.π6 C.π3 D.π2解析：选B.f ′(x )＝1＋2(－sin x )，令f ′(x )＝0，解得sin x ＝12.∵0≤x ≤π2，∴x ＝π6.当0≤x＜π6时，f ′(x )＞0，函数是增加的；当π6＜x ≤π2时，f ′(x )＜0，函数是减少的， ∴当x ＝π6时，函数取得极大值，也是最大值． 4.函数y ＝ln xx的最大值为________．解析：函数的定义域为(0，＋∞)，y ′＝（ln x ）′x －ln x ·x ′x 2＝1－ln xx2，令y ′＝0，得x ＝e ，当x ＞e 时，y ′＜0；当0＜x ＜e 时，y ′＞0，所以x ＝e 是函数的极大值点，也是最大值点，故y max ＝ln e e ＝1e. 答案：1e5.(2012·商洛测试)用总长为14.8 m 的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m ，则当高为______米时，容器的容积最大．解析：由题意直接列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x 米， 则V ＝x (x ＋0.5)(3.2－2x )， V ′＝－6x 2＋4.4x ＋1.6＝0， 解15x 2－11x －4＝0， 得x ＝1，x ＝－415(舍去)． 答案：16.在经济学中，生产x 单位产品的成本称为成本函数，记为C (x )；出售x 单位产品的收益称为收益函数，记为R (x )；R (x )－C (x )称为利润函数，记为P (x )．(1)设C (x )＝10－6x 3－0.003x 2＋5x ＋1000，生产多少单位产品时，边际成本C ′(x )最低？(2)设C (x )＝50x ＋10000，产品的单价p ＝100－0.01x ，怎样定价可使利润最大？解：(1)C ′(x )＝3×10－6x 2－0.006x ＋5，记g (x )＝C ′(x )．由g ′(x )＝6×10－6x －0.006＝0，解得x ＝1000.结合C ′(x )的图像可知，当x ＝1000时，边际成本最低． ∴生产1000单位产品时，边际成本最低．(2)由p ＝100－0.01x ，得收益函数R (x )＝x (100－0.01x )，则利润函数P (x )＝R (x )－C (x )＝100x －0.01x 2－(50x ＋10000)＝－0.01x 2＋50x －10000.由P ′(x )＝－0.02x ＋50＝0，解得x ＝2500.结合P (x )的图像可知，当x ＝2500时，利润最大，此时p ＝100－0.01×2500＝75. ∴当产品的单价为75时，利润最大．[B 级 能力提升] 7.(2012·西安质检)设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V ，则其表面积最小时，底面边长为( )A.3VB.32VC.34VD ．23V解析：选C.设直棱柱的底面边长为a ，高为h . 则34a 2·h ＝V ，∴h ＝4V 3a2.则表面积S (a )＝3ah ＋32a 2＝43V a ＋32a 2. S ′(a )＝－43Va2＋3a .令S ′(a )＝0，得a ＝34V .当0＜a ＜34V 时S ′(a )＜0，当a ＞34V 时，S ′(a )＞0.当a ＝34V 时，S (a )最小．8.(2011·高考湖南卷)设直线x ＝t 与函数f (t )＝x 2，g (x )＝ln x 的图像分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12 C.52 D.22解析：选D.|MN |的最小值，即函数h (x )＝x 2－ln x 的最小值，h ′(x )＝2x －1x ＝2x 2－1x，显然x ＝22是函数h (x )在其定义域内唯一的极小值点，也是最小值点，故t ＝22. 9.(2012·淮北检测)已知函数f (x )＝x ln x ．若对于任意x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 不等式2f (x )≤－x 2＋ax －3恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：由题意知，2x ln x ≤－x 2＋ax －3，则a ≥2ln x ＋x ＋3x .设h (x )＝2ln x ＋x ＋3x x ＞0)，则h ′(x )＝2x ＋1－3x 2＝（x ＋3）（x －1）x 2.当x ∈⎣⎡⎭⎫1e 1时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减；当x ∈(1，e]时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增．由h ⎝⎛⎭⎫1e ＝－2＋1e ＋3e ，h (e)＝2＋e ＋3e ，h ⎝⎛⎭⎫1e －h (e)＝2e －2e －4＞0，可得h ⎝⎛⎭⎫1e ＞h (e)．所以当x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e 时，h (x )的最大值为h ⎝⎛⎭⎫1e ＝－2＋1e ＋3e.故a ≥－2＋1e＋3e. 答案：a ≥－2＋1e＋3e10.(2011·高考北京卷)已知函数f (x )＝(x －k )e x . (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0，1]上的最小值． 解：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x. 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与f ′(x )的变化情况如下：所以，f (x )的单调递减区间是(－∞，k －1)；单调递增区间是(k －1，＋∞)． (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0＜k －1＜1，即1＜k ＜2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1，1]上单调递增，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0，1]上单调递减，所以f (x )在区间[0，1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.11.(创新题)某工厂统计资料显示：产品的次品率b 与日产量x 件(x ∈N ，1≤x ≤89)的关系符合下列规律：又知道每一件正品盈利a 元，每生产一件次品损失a2a ＞0)元．(1)将该厂日盈利额表示成日产量x 件的函数；(2)为了获得最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？(3≈1.7)解：(1)由b 与x 的对应规律得次品率为b ＝2100－x (x ∈N ，1≤x ≤89)．故日产量x 件中，次品数为bx 件，正品数为(x －bx )件，则日盈利额为T ＝a (x －bx )－a2bx ＝a ⎝⎛⎭⎫x －3x 100－x (x ∈N ，且1≤x ≤89)． (2)T ′＝a ⎣⎡⎦⎤1－3（100－x ）＋3x （100－x ）2＝a ⎣⎡1－300（100－x ）2. 令T ′＝0，则100－x ＝103，x ＝100－103， 当1≤x ≤100－103时，T ′＞0，函数递增，当100－103＜x ≤89时，T ′＜0.函数递减． 所以当x ＝100－103≈83时，T 取最大值．因此，要获得最大盈利，该厂的日产量应定为83件．。

4。

2。

2 最大值、最小值值问题教学过程：一、创设情境，铺垫导入1．问题情境:在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值与最小值．如图,有一长80cm，宽60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器,要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm且不大于20cm．设长方体的高为xcm，体积为V cm3．问x为多大时,V最大?并求这个最大值．解：由长方体的高为xcm，可知其底面两边长分别是（80－2x）cm，（60－2x）cm,(10≤x≤20).所以体积V与高x有以下函数关系V=（80－2x）(60－2x）x=4(40－x）（30－x)x.2．引出课题：分析函数关系可以看以实例引发思考，有利于学生感受到数学来源于现实生活,培养学生用数学的意识，同时营造出宽松、和谐、积极主动的课堂氛围,在新旧知识的矛盾冲突中，激发起学生的探究热情．通过运用几何画板演示，增强直观性，帮助学生迅速准确地发现相关的数量关系．提出问题后，引导学生发现，所列函数的最大值是以前学习过三、指导应用，鼓励创新例2如图,有一长80cm,宽60cm的矩形不锈钢薄板，用此薄板折成一个长方体无盖容器，要分别过矩形四个顶点处各挖去一个全等的小正方形，按加工要求,长方体的高不小于10cm不大于20cm,设长方体的高为xcm,体积为V cm3．问x为多大时，V最大?并求这个最大值．分析：建立V与x的函数的关系后，问题相当于求x为何值时,V最小，可用本节课学习的导数法加以解决．“问起于疑,疑源于思",思考题的研究，旨在培养学生的探究意识及创新精神,提高学生分析和解决问题的能力．例题2则让学生认识到现实生活中蕴含着大量的数学信息．教学环节教学内容设计意图本节课旨在加强学生运用导数的基本思想去分析和解决问题的意识和能力，即利用导数知识求闭区间上可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的具体体现．1．由于学生对极限和导数的知识学习还谈不上深入熟练，因此教学中从直观性和新旧知识的矛盾冲突中激发学生的探究热情，充分利用学生已有的知识体验和生活经验，遵循学生认知的心理规律，努力实现课程改革中以“学生的发展为本”的基本理念．2．关于教学过程，对于本节课的重点：求闭区间上连续,开区间上可导的函数的最值的方法和一般步骤，必须让学生在课堂上就能掌握．对于难点:求最值问题的优化方法及相关问题,层层递进逐步提出，让学生带着问题走进课堂，师生共同探究解决，知识的建构过程充分调动学生的主观能力性．3．在教学手法上，制作CAI课件辅助教学,使得数学知识让学生更易于理解和接受；课堂教学与现代教育技术的有机整合，大大提高了课堂教学效率．4．关于教学法，为充分调动学生的学习积极性，让学生能够主动愉快地学习,本节课始终贯彻“教师为主导、学生为主体、探究为主线、思维为核心”的数学教学思想,引导学生主动参与到课堂教学全过程中．。