2020版新设计一轮复习数学(理)江苏专版课时跟踪检测(五十一) 直线与圆锥曲线 含解析

第一节直线与方程1．直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线，把x 轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角．当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)直线l 的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k ＝tan_α. (2)P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1. 3．直线方程的五种形式[小题体验]1．若过点M (－2，m )，N (m,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为________． 答案：12．已知a ≠0，直线ax ＋my －5m ＝0过点(－2,1)，则此直线的斜率为________． 答案：23．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为________． 解析：由已知，得BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，且直线BC 边上的中线过点A ，则BC 边上中线的斜率k ＝－113，故BC 边上的中线所在直线方程为y ＋12＝－113⎝⎛⎭⎫x －32，即x ＋13y ＋5＝0. 答案：x ＋13y ＋5＝04．已知直线l ：ax ＋y －2－a ＝0在x 轴和y 轴上的截距相等，则实数a ＝________.解析：令x ＝0，则l 在y 轴的截距为2＋a ；令y ＝0，得直线l 在x 轴上的截距为1＋2a .依题意2＋a ＝1＋2a ，解得a ＝1或a ＝－2.答案：1或－21．点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x 轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x ，y 轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线．2．截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零．3．求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论． [小题纠偏]1．若直线l 经过点A (1,2)，且倾斜角是直线y ＝x ＋3的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为____________． 解析：因为直线y ＝x ＋3的倾斜角为α＝45°，所以所求直线l 的倾斜角为2α＝90°，所以直线l 的方程为x ＝1. 答案：x ＝12．过点M (3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为________． 解析：①若直线过原点，则k ＝－43，所以y ＝－43x ，即4x ＋3y ＝0. ②若直线不过原点． 设x a ＋ya ＝1，即x ＋y ＝a . 则a ＝3＋(－4)＝－1， 所以直线的方程为x ＋y ＋1＝0. 答案：4x ＋3y ＝0或x ＋y ＋1＝0考点一 直线的倾斜角与斜率 (基础送分型考点——自主练透)[题组练透]1．(2019·启东中学检测)倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是________． 解析：直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0. 答案：x ＋y ＋1＝02．(2018·绥化一模)直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角的取值范围是________．解析：因为直线x sin α＋y ＋2＝0的斜率k ＝－sin α，又－1≤sin α≤1，所以－1≤k ≤1.设直线x sin α＋y ＋2＝0的倾斜角为θ，所以－1≤tan θ≤1，而θ∈[0，π)，故倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π.答案：⎣⎡⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 3．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：44．已知线段P Q 两端点的坐标分别为P (－1,1)和Q (2,2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段P Q 有交点，则实数m 的取值范围是________．m ≠0时，kQ A ＝32，k PA解析：如图所示，直线l ：x ＋my ＋m ＝0过定点A (0，－1)，当＝－2，k l ＝－1m.结合图象知，若直线l 与P Q 有交点， 应满足－1m ≤－2或－1m ≥32.解得0＜m ≤12或－23≤m ＜0；当m ＝0时，直线l 的方程为x ＝0，与线段P Q 有交点． 所以实数m 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－23，12. 答案：⎣⎡⎦⎤－23，12 [谨记通法]1．倾斜角α与斜率k 的关系当α∈⎣⎡⎭⎫0，π2且由0增大到π2⎝⎛⎭⎫α≠π2时，k 的值由0增大到＋∞. 当α∈⎝⎛⎭⎫π2，π时，k 也是关于α的单调函数，当α在此区间内由π2⎝⎛⎭⎫α≠π2增大到π(α≠π)时，k 的值由－∞趋近于0(k ≠0)．2．斜率的2种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值，一般根据k ＝tan α求斜率．(2)公式法：若已知直线上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，一般根据斜率公式k ＝y 2－y 1x 2－x 1(x 1≠x 2)求斜率．考点二 直线的方程 (重点保分型考点——师生共研)[典例引领](1)求过点A (1,3)，斜率是直线y ＝－4x 的斜率的13的直线方程；(2)求经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍的直线方程．解：(1)设所求直线的斜率为k ，依题意k ＝－4×13＝－43.又直线经过点A (1,3)，因此所求直线方程为y －3＝－43(x －1)，即4x ＋3y －13＝0.(2)当直线不过原点时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya ＝1，将(－5,2)代入所设方程， 解得a ＝－12，所以直线方程为x ＋2y ＋1＝0； 当直线过原点时，设直线方程为y ＝kx ，则－5k ＝2， 解得k ＝－25，所以直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.故所求直线方程为2x ＋5y ＝0或x ＋2y ＋1＝0.[由题悟法]求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)．[即时应用]1．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________． 解析：设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a ＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线方程为x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0. 答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝02．在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．解析：设C (x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎫5＋x 02，y 0－22，N ⎝⎛⎭⎫7＋x 02，y 0＋32. 因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)，所以M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)，所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.答案：5x －2y －5＝0考点三 直线方程的综合应用 (题点多变型考点——多角探明) [锁定考向]直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题． 常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题； (2)与导数的几何意义相结合的问题； (3)与圆相结合求直线方程的问题．[题点全练]角度一：与基本不等式相结合的最值问题1．(2019·如皋检测)过点P (2,1)的直线l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点． (1)当OA ·OB 最小时，求直线l 的方程； (2)当2OA ＋OB 最小时，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为y －1＝k (x －2)(k ＜0)，则l 与x 轴，y 轴正半轴分别交于A ⎝⎛⎭⎫2－1k ，0，B (0,1－2k )两点． (1)OA ·OB ＝⎝⎛⎭⎫2－1k ·(1－2k )＝4＋(－4k )＋⎝⎛⎭⎫－1k ≥4＋2(－4k )·⎝⎛⎭⎫－1k ＝8， 当且仅当－4k ＝－1k ，即k ＝－12时取得最小值8.故当OA ·OB 最小时，所求直线l 的方程为y －1＝－12(x －2)，即x ＋2y －4＝0.(2)2OA ＋OB ＝2⎝⎛⎭⎫2－1k ＋(1－2k )＝5＋⎝⎛⎭⎫－2k ＋(－2k )≥5＋2 ⎝⎛⎭⎫－2k ·(－2k )＝9，当且仅当－2k＝－2k ，即k ＝－1时取得最小值9.故当2OA ＋OB 最小时，所求直线l 的方程为y －1＝－(x －2)，即x ＋y －3＝0. 角度二：与导数的几何意义相结合的问题2．设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，则点P 横坐标的取值范围为________．解析：由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)， 则k ＝2x 0＋2.因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π4，所以0≤k ≤1， 即0≤2x 0＋2≤1，故－1≤x 0≤－12.答案：⎣⎡⎦⎤－1，－12 角度三：与圆相结合求直线方程的问题3．(2018·徐州调研)已知点P 是圆O ：x 2＋y 2＝4上的动点，点A (4,0)，若直线y ＝kx ＋1上总存在点Q ，使点Q 恰是线段AP 的中点，求实数k 的取值范围．解：设P (2cos θ，2sin θ)，则AP 的中点坐标为Q (cos θ＋2，sin θ)， 因为点Q 在直线y ＝kx ＋1上，所以sin θ＝k (cos θ＋2)＋1，即k ＝sin θ－1cos θ＋2，即k 表示单位圆上的点(cos θ，sin θ)与点(－2,1)连线的斜率． 设过点(－2,1)的直线方程为y －1＝k (x ＋2)，若要满足题意，则圆心到直线kx －y ＋2k ＋1＝0的距离d ＝|2k ＋1|k 2＋1≤1，解得k ∈⎣⎡⎦⎤－43，0. [通法在握]处理直线方程综合应用的思路(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”． (2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．[演练冲关]1．已知直线l 1：ax －2y ＝2a －4，l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4，当0＜a ＜2时，直线l 1，l 2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.解析：由已知画出简图，如图所示．因为l 1：ax －2y ＝2a －4， 所以当x ＝0时，y ＝2－a ， 即直线l 1与y 轴交于点A (0,2－a )． 因为l 2：2x ＋a 2y ＝2a 2＋4， 所以当y ＝0时，x ＝a 2＋2， 即直线l 2与x 轴交于点C (a 2＋2,0)．易知l 1与l 2均过定点(2,2)，即两直线相交于点B (2,2)．则四边形AOCB 的面积为S ＝S △AOB ＋S △BOC ＝12(2－a )×2＋12(a 2＋2)×2＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154≥154. 所以S min ＝154，此时a ＝12.答案：122．已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段P Q 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0＜x 0＋2，求y 0x 0的取值范围． 解：依题意可得|x 0＋3y 0－2|10＝|x 0＋3y 0＋6|10，化简得x 0＋3y 0＋2＝0，又y 0＜x 0＋2，k OM ＝y 0x 0，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M 位于线段AB (不包括端点)上时，k OM ＞0，当点M 位于射线BN 上除B 点外时，k OM ＜－13.所以y 0x 0的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞)．一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·南通模拟)将直线y ＝2x 绕原点逆时针旋转π4，则所得直线的斜率为________．解析：设直线y ＝2x 的倾斜角是α，则tan α＝2，将直线y ＝2x 绕原点逆时针旋转π4，则倾斜角变为α＋π4，∴所得直线的斜率k ＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2＋11－2×1＝－3. 答案：－32．(2018·南通中学月考)过点P (－2,4)且斜率k ＝3的直线l 的方程为________． 解析：由题意得，直线l 的方程为y －4＝3[x －(－2)]，即3x －y ＋10＝0. 答案：3x －y ＋10＝03．若直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限，则实数k 的取值范围是________．解析：解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－2x ＋3k ＋14，x －4y ＝－3k －2，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ＋6，y ＝k ＋2，因为直线y ＝－2x ＋3k ＋14与直线x －4y ＝－3k －2的交点位于第四象限， 所以k ＋6＞0且k ＋2＜0，所以－6＜k ＜－2. 答案：(－6，－2)4．(2018·南京名校联考)曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为________． 解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))， 因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值范围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 5．(2019·无锡模拟)已知直线(a －2)y ＝(3a －1)x －1，若这条直线不经过第二象限，则实数a 的取值范围是________．解析：若a －2＝0，即a ＝2时，直线方程可化为x ＝15，此时直线不经过第二象限，满足条件；若a －2≠0，直线方程可化为y ＝3a －1a －2x －1a －2，此时若直线不经过第二象限，则3a －1a －2≥0，1a －2≥0，解得a ＞2. 综上，满足条件的实数a 的取值范围是[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞)6．(2018·南京调研)已知函数f (x )＝a sin x －b cos x ，若f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为________．解析：由f ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π4＋x 知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2， 所以－b ＝a ，则直线ax －by ＋c ＝0的斜率为a b ＝－1，故其倾斜角为3π4.答案：3π4二保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·泰州模拟)倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是________．解析：由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝ －3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.答案：3x ＋y ＋3＝02．(2018·泗阳中学检测)若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段P Q 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为________．解析：设P (x,1)，Q (7，y )，则x ＋72＝1，y ＋12＝－1，所以x ＝－5，y ＝－3，即P (－5,1)，Q (7，－3)，故直线l 的斜率k ＝－3－17＋5＝－13.答案：－133．(2019·苏州调研)已知θ∈R ，则直线x sin θ－3y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是________． 解析：设直线的倾斜角为 α，则tan α＝33sin θ， ∵－1≤sin θ≤1，∴－33≤tan α≤33， 又α∈[0，π)，∴0≤α≤π6或5π6≤α＜π.答案：⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎭⎫5π6，π 4．已知两点A (0,1)，B (1,0)，若直线y ＝k (x ＋1)与线段AB 总有公共点，则实数k 的取值范围是________．解析：y ＝k (x ＋1)是过定点P (－1,0)的直线，k PB ＝0，k PA ＝1－00－(－1)＝1，所以实数k 的取值范围是[0,1]． 答案：[0,1]5．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是________．解析：因为点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，所以y ＝4－x ，所以x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.答案：86．(2019·南京模拟)过点P (2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________________．解析：若直线的截距不为0，可设为x a ＋y a ＝1，把P (2,3)代入，得2a ＋3a ＝1，a ＝5，直线方程为x ＋y －5＝0. 若直线的截距为0，可设为y ＝kx ，把P (2,3)代入，得3＝2k ，k ＝32，直线方程为3x －2y ＝0.综上，所求直线方程为x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0. 答案：x ＋y －5＝0或3x －2y ＝07．已知直线l ：y ＝kx ＋1与两点A (－1,5)，B (4，－2)，若直线l 与线段AB 相交，则实数k 的取值范围是______________．解析：易知直线l ：y ＝kx ＋1的方程恒过点P (0,1)，如图，∵k PA ＝－4，k PB ＝－34，∴实数k 的取值范围是(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－34，＋∞. 答案：(－∞，－4]∪⎣⎡⎭⎫－34，＋∞ 8．若直线l ：x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)经过点(1,2)，则直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值是________． 解析：由直线l ：x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)可知直线在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b .求直线在x 轴和y轴上的截距之和的最小值，即求a ＋b 的最小值．由直线经过点(1,2)得1a ＋2b ＝1.于是a ＋b ＝(a ＋b )·⎝⎛⎭⎫1a ＋2b ＝3＋b a ＋2a b ，因为b a ＋2ab ≥2b a ·2a b＝22⎝⎛⎭⎫当且仅当b a ＝2a b 时取等号，所以a ＋b ≥3＋22，故直线l 在x 轴和y 轴上的截距之和的最小值为3＋2 2.答案：3＋2 29．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程： (1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0.(2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程是y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ， 由已知，得|－6b ·b |＝6，所以b ＝±1.所以直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.10．已知直线l 的方程为(m 2－2m －3)x ＋(2m 2＋m －1)y ＋6－2m ＝0. (1)求实数m 的取值范围；(2)若直线l 的斜率不存在，求实数m 的值； (3)若直线l 在x 轴上的截距为－3，求实数m 的值； (4)若直线l 的倾斜角是45°，求实数m 的值．解：(1)当x ，y 的系数不同时为零时，方程表示一条直线， 令m 2－2m －3＝0，解得m ＝－1或m ＝3； 令2m 2＋m －1＝0，解得m ＝－1或m ＝12.所以实数m 的取值范围是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)． (2)由(1)易知，当m ＝12时，方程表示的直线的斜率不存在．(3)依题意，有2m －6m 2－2m －3＝－3，所以3m 2－4m －15＝0，所以m ＝3或m ＝－53，由(1)知所求m ＝－53.(4)因为直线l 的倾斜角是45°，所以斜率为1. 由－m 2－2m －32m 2＋m －1＝1，解得m ＝43或m ＝－1(舍去)．所以直线l 的倾斜角为45°时，m ＝43.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·无锡期末)过点(2,3)的直线l 与x 轴的正半轴，y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，当△AOB (O 为坐标原点)面积最小时，直线l 的方程为________________．解析：设直线l 的斜率为k ，且k ＜0，所以直线l 的方程为y －3＝k (x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0.令x ＝0，得y ＝3－2k ，所以B (0，3－2k )；令y ＝0，得x ＝2－3k ，所以A ⎝⎛⎭⎫2－3k ，0.则△AOB 的面积为S ＝12(3－2k )⎝⎛⎭⎫2－3k ＝12⎝⎛⎭⎫6＋6－9k －4k ≥12⎣⎡⎦⎤12＋2－9k ·(－4k )＝12，当且仅当－9k ＝－4k ，即k ＝－32时等号成立，所以直线l 的方程为3x ＋2y －12＝0.答案：3x ＋2y －12＝02．已知曲线y ＝1e x ＋1，则曲线的切线中斜率最小的直线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________． 解析：y ′＝－e x(e x ＋1)2＝－1e x ＋1e x ＋2，因为e x ＞0，所以e x ＋1e x ≥2e x ·1e x ＝2(当且仅当e x ＝1ex ，即x ＝0时取等号)，所以e x ＋1e x ＋2≥4，故y ′＝－1e x ＋1ex ＋2≥－14(当且仅当x ＝0时取等号)． 所以当x ＝0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为⎝⎛⎭⎫0，12，切线的方程为y －12＝－14(x －0)，即x ＋4y －2＝0.该切线在x 轴上的截距为2，在y 轴上的截距为12，所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×2×12＝12. 答案：123．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，O 为坐标原点，设△AOB 的面积为S ，求S 的最小值及此时直线l 的方程．解：(1)证明：直线l 的方程可化为y ＝k (x ＋2)＋1，故无论k 取何值，直线l 总过定点(－2,1)．(2)直线l 的方程为y ＝kx ＋2k ＋1，则直线l 在y 轴上的截距为2k ＋1，要使直线l 不经过第四象限，则⎩⎪⎨⎪⎧k ≥0，1＋2k ≥0，解得k ≥0，故k 的取值范围是[)0，＋∞.(3)依题意，直线l 在x 轴上的截距为－1＋2k k，在y 轴上的截距为1＋2k ， 所以A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B (0,1＋2k )． 又－1＋2kk ＜0且1＋2k ＞0，所以k ＞0.故S ＝12|OA ||OB |＝12×1＋2k k ×(1＋2k ) ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12(4＋4)＝4， 当且仅当4k ＝1k ，即k ＝12时，取等号． 故S 的最小值为4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。

高一数学课时跟踪检测(全一册)苏教版必修课时跟踪检测一棱柱棱锥和棱台课时跟踪检测二圆柱圆锥圆台和球课时跟踪检测三直观图画法课时跟踪检测四平面的基本性质课时跟踪检测五空间两条直线的位置关系课时跟踪检测六直线与平面平行课时跟踪检测七直线与平面垂直课时跟踪检测八两平面平行课时跟踪检测九两平面垂直课时跟踪检测十空间几何体的表面积课时跟踪检测十一空间几何体的体积课时跟踪检测十二直线的斜率课时跟踪检测十三直线的点斜式方程课时跟踪检测十四直线的两点式方程课时跟踪检测十五直线的一般式方程课时跟踪检测十六两条直线的平行课时跟踪检测十七两条直线的垂直课时跟踪检测十八两条直线的交点课时跟踪检测十九平面上两点之间的距离课时跟踪检测二十点到直线的距离课时跟踪检测二十一圆的标准方程课时跟踪检测二十二圆的一般方程课时跟踪检测二十三直线与圆的位置关系课时跟踪检测二十四圆与圆的位置关系课时跟踪检测二十五空间直角坐标系课时跟踪检测二十六空间两点间的距离课时跟踪检测（一）棱柱、棱锥和棱台层级一学业水平达标1．关于如图所示的4个几何体,说法正确的是( )A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱解析：选D 解决这类问题,要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义,正确；图③不满足侧面都是平行四边形,不正确．2．下面结论是棱台具备的性质的是( )①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点.A．①③B．①②④C．②④D．②③④解析：选B 用棱台的定义可知选B.3．下面图形中,为棱锥的是( )A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②解析：选 C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥．故选C.4．下列图形中,不能折成三棱柱的是( )解析：选C C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱,其余均能折为三棱柱．5．一个棱锥的各条棱都相等,那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D 若满足条件的棱锥是六棱锥,则它的六个侧面都是正三角形,侧面的顶角都是60°,其和为360°,则顶点在底面内,与棱锥的定义相矛盾．6．一个棱柱至少有________个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5 4 37．两个完全相同的长方体,长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,表面积最大的长方体的表面积为________ cm2.解析：将两个长方体侧面积最小的两个面重合在一起,得到的长方体的表面积最大,此时,所得的新长方体的长、宽、高分别为10 cm,4 cm,3 cm,表面积的最大值为2×(10×4＋3×4＋3×10)＝164.答案：1648.如图,三棱台ABC­A′B′C′,沿A′BC截去三棱锥A′­ABC,则剩余部分是________．解析：在图中截去三棱锥A′­ABC后,剩余的是以BCC′B′为底面,A′为顶点的四棱锥．答案：四棱锥A′­BCC′B′9．如图,观察并分别判断①中的三棱镜,②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面,其中能作为棱柱底面的分别有几对．解：图①中有1对互相平行的平面,只有这1对可以作为棱柱的底面．图②中有4对互相平行的平面,只有1对可以作为棱柱的底面．10.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中．(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗？(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗？(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对？解：(1)不对；水面的形状是矩形,不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对；此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱,或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形,因而水面的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形；水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可能是棱台．层级二 应试能力达标1．下列命题正确的是( )A ．有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C ．棱柱的侧面是平行四边形,底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形解析：选D 根据棱柱的定义可知D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台B ．多面体至少有3个面C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形解析：选D 选项A 错误,反例如图1；一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B 错误；选项C 错误,反例如图2,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体；根据棱柱的定义,知选项D 正确．3．用一平行于棱锥底面的平面截某棱锥,截得的棱台上、下底面面积比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是( )A ．12 cmB ．9 cmC ．6 cmD ．3 cm解析：选D 设原棱锥的高为h cm,依题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3h 2＝14,解得h ＝6,所以棱台的高为6－3＝3(cm)．4．五棱柱中,不同在任何侧面,且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱共有对角线( )A ．20条B ．15条C ．12条D ．10条解析：选D 由题意,知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有2条,所以五棱柱共有对角线2×5＝10(条)．故选D.5．在正方体上任意选择4个顶点,则可以组成的平面图形或几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形,另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1上,若取A,B,C,D四个顶点,可得矩形；若取D,A,C,D1四个顶点,可得③中所述几何体；若取A,C,D1,B1四个顶点,可得④中所述几何体；若取D,D1,A,B四个顶点,可得⑤中所述几何体．故填①③④⑤.答案：①③④⑤6.如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.解析：由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是13cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案：137．根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称．(1)由6个平行四边形围成的几何体．(2)由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形．(3)由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余3个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面．8.如图在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ,则每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2,S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2, S △DEF ＝32a 2. 课时跟踪检测（二） 圆柱、圆锥、圆台和球层级一 学业水平达标1．有下列四个说法,其中正确的是( )A ．圆柱的母线与轴垂直B ．圆锥的母线长等于底面圆直径C ．圆台的母线与轴平行D ．球的直径必过球心解析：选D A ：圆柱的母线与轴平行；B ：圆锥的母线长与底面圆的直径不具有任何关系；C ：圆台的母线延长线与轴相交．故D 正确．2．如图所示的图形中有( )A ．圆柱、圆锥、圆台和球B ．圆柱、球和圆锥C ．球、圆柱和圆台D ．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B 根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故应选B.3．下列说法中正确的个数是( )①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴,旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A ．0B ．1C．2 D．3解析：选C ①中,必须用一个平行于底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．4．如图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的( )解析：选A 由题图知平面图应是一个直角三角形和一个直角梯形构成,故A正确．5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6．将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体,则该几何体的结构特征是________________________________．答案：一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体7．用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是1∶3,这个截面把圆锥的母线分为两段的比是________．解析：∵截面面积与底面面积的比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的相似比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的母线长之比为1∶3,故小圆锥与所得圆台的母线长比为1∶(3－1)．答案：1∶(3－1)8．将边长为4 cm和8 cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面,则圆柱的轴截面的面积为________cm2.解析：当以4 cm为母线长时,设圆柱底面半径为r,则8＝2πr,∴2r＝8π.∴S轴截面＝4×8π＝32π(cm)2.当以8 cm为母线长时,设圆柱底面半径为R,则2πR＝4,2R＝4π.∴S轴截面＝8×4π＝32π(cm)2.综上,圆锥的轴截面面积为32πcm 2. 答案：32π9．将长为4宽为3的矩形ABCD 沿对角线AC 折起,折起后A ,B ,C ,D 在同一个球面上吗？若在求出这个球的直径．解：因为对角线AC 是直角三角形ABC 和直角三角形ADC 的公共斜边,所以AC 的中点O 到四个点的距离相等,即O 为该球的球心．所以AC 为球的一条直径,由勾股定理得AC ＝42＋32＝5.10．如图所示,直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC ,绕着CD 所在直线l 旋转,试画出立体图并指出几何体的结构特征．解：如图①,过A ,B 分别作AO 1⊥CD ,BO 2⊥CD ,垂足分别为O 1,O 2,则Rt △CBO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成几何体是圆锥,直角梯形O 1ABO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台,Rt△ADO 1绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥．① ② 综上,所得几何体下面是一个圆锥,上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥．(如图②所示)．层级二 应试能力达标1．下列结论正确的是( )A ．用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台B ．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是正六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台,故A 错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点,则过此两点的大圆有无数个,故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长,故C错误．故选D.2.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体,则它的侧面展开图是( )解析：选D 结合几何体的实物图,从截面最低点开始高度增加缓慢,然后逐渐变快,最后增加逐渐变慢,不是均衡增加的,所以A、B、C错误．3．一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如下图所示,则截面的可能图形是( )A．①②B．②④C．①②③D．②③④解析：选C 当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体对角面时得②,当截面不平行于任何侧面也不过对角面时得①,但无论如何都不能得出④.4．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π,则两平行平面间的距离为( )A．1 B．2C．1或7 D．2或6解析：选C 由截面的周长分别为6π和8π得两个截面半径分别为3和4,又球的半径为5,故圆心到两个截面的距离分别为4和3,故当两个截面在球心同一侧时,平行平面间的距离为4－3＝1,当两个截面在球心两侧时,平行平面间的距离为4＋3＝7.5．如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．解析：设底面半径为r,母线为l,则2πr＝πl,∴l＝2r.故两条母线的夹角为60°.答案：60°6．圆锥底面半径为1 cm,高为 2 cm,其中有一个内接正方体,则这个内接正方体的棱长为________ cm.解析：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC 1A1如图．设正方体的棱长为x cm,则AA1＝x cm,A1C1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ,则SO ＝ 2 cm,OE ＝1 cm.∵△EAA 1∽△ESO ,∴AA 1SO ＝EA 1EO ,即x 2＝1－22x1.∴x ＝22,即该内接正方体的棱长为22 cm. 答案：227．一个圆锥的底面半径为2,高为6,在其中有一个高为x 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ；(2)当x 为何值时,S 最大？解：(1)如图,设内接圆柱的底面圆半径为r , 由已知得6－x 6＝r2,∴r ＝6－x3,∴S ＝2×6－x3×x ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)当x ＝－42×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝3时,S 最大．8.如图所示,已知圆柱的高为80 cm,底面半径为10 cm,轴截面上有P ,Q 两点,且PA ＝40 cm,B 1Q ＝30 cm,若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点,问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解：将圆柱侧面沿母线AA 1展开,得如图所示矩形．∴A 1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ,在Rt △PQS 中,PS ＝80－40－30＝10(cm),QS ＝A1B 1＝10π(cm)．∴PQ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.课时跟踪检测（三）直观图画法层级一学业水平达标1．根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( ) A．90°,90°B．45°,90°C．135°,90° D．45°或135°,90°解析：选D 根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.2．已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,如果按1∶500 的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( ) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C 直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500,11 000,1500计算,最后单位转化为 cm.3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图,可能是下面的( )解析：选C 正方形的直观图是平行四边形,且边长不相等,故选C项．4.如右图所示的水平放置的三角形的直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边的中点,且A′D′平行于y′轴,那么A′B′,A′D′,A′C′三条线段对应原图形中线段AB,AD,AC中( )A．最长的是AB,最短的是ACB．最长的是AC,最短的是ABC．最长的是AB,最短的是ADD．最长的是AD,最短的是AC解析：选C 因为A′D′∥y′轴,所以在△ABC中,AD⊥BC,又因为D′是B′C′的中点,所以D是BC中点,所以AB＝AC>AD.5．水平放置的△ABC ,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形解析：选C 将△A ′B ′C ′还原,由斜二测画法知,△ABC 为钝角三角形． 6．利用斜二测画法得到 ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④矩形的直观图是矩形．以上结论,正确的是________(填序号)．解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变,因此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形．答案：①②7.如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O ′A ′＝6,O ′C ′＝3,B ′C ′∥x ′轴,则原平面图形的面积为________．解析：在直观图中,设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′,则易得O ′D ′＝32,所以原平面图形为一边长为6,高为62的平行四边形,所以其面积为6×62＝36 2.答案：36 28.如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是________．解析：由题意知平面图形为直角梯形ABCD ,其中,AD ＝AD ′＝1,BC ＝B ′C ′＝1＋2,AB ＝2,即S 梯形ABCD ＝(1＋1＋2)2×2＝2＋ 2.答案：2＋ 29.如图所示,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ＝4 cm,CD ＝2 cm,∠DAB ＝30°,AD ＝3 cm,试画出它的直观图．解：(1)如图(a)所示,在梯形ABCD 中,以边AB 所在的直线为x 轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系xOy .如图(b)所示,画出对应的x ′轴,y ′轴,使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图(a)中,过D 点作DE ⊥x 轴,垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm,A ′E ′＝AE ＝3×32≈2.598 (cm)；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴,使E ′D ′＝12ED ,再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴,且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连结A ′D ′,B ′C ′,并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线,如图(c)所示,则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．10．已知底面是正六边形,侧面都是全等的等腰三角形的六棱锥．请画出它的直观图． 解：作法：(1)画六棱锥P ­ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中,取AD 所在直线为x 轴,对称轴MN 所在直线为y 轴,两轴交于点O .画相应的x ′轴和y ′轴、z ′轴,三轴交于点O ′,使∠x ′O ′y ′＝45°,∠x ′O ′z ′＝90°.②以O ′为中点,在x ′轴上取A ′D ′＝AD ,在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ,以N ′为中点画B ′C ′,使B ′C ′∥O ′x ′,B ′C ′＝BC ；再以M ′为中点画E ′F ′,使E ′F ′∥O ′x ′,E ′F ′＝EF .③连结A ′B ′,C ′D ′,D ′E ′,F ′A ′,得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画六棱锥的顶点．在O ′z ′上截取点P ,使PO ′＝PO .(3)成图,连结PA ′,PB ′,PC ′,PD ′,PE ′,PF ′,并擦去辅助线,改被遮挡部分为虚线,即得六棱锥P ­ABCDEF 的直观图六棱锥P ­A ′B ′C ′D ′E ′F ′.层级二 应试能力达标1.已知水平放置的△ABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中B ′O ′＝C ′O ′＝1,A ′O ′＝32,那么原△ABC 是一个( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析：选A 根据斜二测画法的原则,得BC ＝B ′C ′＝2,OA ＝2A ′O ′＝2×32＝3,AO ⊥BC ,∴AB ＝AC ＝BC ＝2,∴△ABC 是等边三角形． 2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,AB 边平行于y 轴,BC ,AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2,则原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 2解析：选C 依题意,可知∠BAD ＝45°,则原平面图形A ′B ′C ′D ′为直角梯形,上、下底边分别为B ′C ′,A ′D ′,且长度分别与BC ,AD 相等,高为A ′B ′,且长度为梯形ABCD 的高的22倍,所以原平面图形的面积为8 cm 2.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO 的直观图,已知O ′B ′＝4,A ′B ′∥y ′ 轴,且△ABO 的面积为16,过A ′作A ′C ′⊥x ′轴,则A ′C ′的长为( )A ．2 2 B. 2 C ．16 2D ．1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴,所以在△ABO 中,AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16,所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8,所以A ′B ′＝4.如图,作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′,所以B ′C ′＝A ′C ′,所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2＋3＝5 cm,在直观图中与z 轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.5．有一个长为5,宽为4 的矩形,则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20,所以由公式S ′＝24S ,得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知A ′C ′＝3,B ′C ′＝2,则AB 边上的中线的实际长度为________．解析：由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC ＝A ′C ′＝3,BC＝2B′C′＝4,计算得AB＝5,所求中线长为2.5.答案：2.57．在水平位置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′.如图,其中对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：四边形ABCD的真实图形如图所示．∵A′C′为水平位置,∴四边形ABCD中,DA⊥AC.∵DA＝2D′A′＝2,AC＝A′C′＝2,∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.8．如图,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积．解：如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝2 2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.连结O,A,B,C各点,即得到了原图形．由作法可知,OABC为平行四边形,OC＝OB2＋BC2＝8＋1＝3 cm,∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm,面积为S＝1×22＝2 2 cm2.课时跟踪检测（四）平面的基本性质层级一学业水平达标1．如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( )A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A ∵M∈a,a⊂α,∴M∈α,同理,N∈α,又M∈l,N∈l,故l⊂α.2．下列命题中正确命题的个数是( )①三角形是平面图形；②梯形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C 根据公理1可知①②④正确,③错误．故选C.3．已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则( )A．P∉α,Q∈αB．P∈α,Q∉αC．P∉α,Q∉αD．Q∈α解析：选D 因为Q∈m,m⊂α,所以Q∈α.因为P∉m,所以有可能P∈α,也可能有P∉α.4．如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面( )A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D 根据公理2可知,两个平面若有一个公共点,则这两个平面有且只有一个经过该点的公共直线．故选D.5．若直线l上有两个点在平面α外,则( )A．直线l上至少有一个点在平面α内B．直线l上有无穷多个点在平面α内C．直线l上所有点都在平面α外D．直线l上至多有一个点在平面α内解析：选D 由已知得直线l⊄α,故直线l上至多有一个点在平面α内．6．过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定平面的个数是________．解析：设四条直线为a,b,c,d,则这四条直线中每两条都确定一个平面,因此,a与b,a 与c,a与d,b与c,b与d,c与d都分别确定一个平面,共6个平面．答案：67．已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点．若α∩β＝l,m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．解析：因为m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l,所以点P在直线l上,所以P∈l.答案：P∈l8．空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有________个．解析：用平面四边形和三棱锥的四个顶点判断,经过其中三个点的平面有1或4个．答案：1或49.如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,判断下列命题是否正确,并说明理由．(1)由点A,O,C可以确定一个平面；(2)由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.解：(1)不正确．因为点A,O,C在同一条直线上,故不能确定一个平面．(2)正确．因为点A,B1,C1不共线,所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1,所以点D∈平面AB1C1.所以由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.10.如图,已知平面α,β,且α∩β＝l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β,求证：AB,CD,l共点(相交于一点)．证明：∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∴AB,CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB,CD必定相交于一点,设AB∩CD＝M.又∵AB⊂α,CD⊂β,∴M∈α,且M∈β.∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l,∴M∈l,即AB,CD,l共点．层级二应试能力达标1．能确定一个平面的条件是( )A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确．2．下列推理错误的是( )A．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α,A∈l⇒A∉αD．A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合解析：选C 当l⊄α,A∈l时,也有可能A∈α,如l∩α＝A,故C错．3.如图,已知平面α∩平面β＝l,P∈β且P∉l,M∈α,N∈α,又MN∩l＝R,M,N,P三点确定的平面记为γ,则β∩γ是( )A．直线MP B．直线NPC．直线PR D．直线MR解析：选C 因为MN⊂γ,R∈MN,所以R∈γ.又α∩β＝l,MN∩l＝R,所以R∈β.又P ∈β,P∈γ,所以P,R均为平面γ与β的公共点,所以β∩γ＝PR.4．在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH,EF交于一点P,则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上,也不在AC上解析：选B 由题意知GH⊂平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P ∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC,由公理2可知点P一定在直线AC上．5．三条直线两两相交,它们可以确定________个平面．解析：若三条直线两两相交,且不共点,则只能确定一个平面；若三条直线两两相交,且共点,则可以确定1个或3个平面．答案：1或36．三个平面两两相交,则将空间分成________个部分．解析：三个平面两两相交(1)若交于同一条直线,则将空间分成6个部分；(2)若交于三条交线①三条交线交于一点,则将空间分成8个部分；②若三条交线互相平行,则将空间分成7个部分；所以,三个这样的平面将空间分成6或7或8个部分．答案：6或7或87. 如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线．解：延长AC,BD交于T, 连结ST,∵T∈AC,AC⊂平面SAC,。

江苏省2020届高三数学一轮复习典型题专题训练圆锥曲线一、填空题1、（南京市2018高三9月学情调研）在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 216－y 29＝1的焦点到其渐近线的距离为 ▲ ．2、（南京市2019高三9月学情调研）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线 x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的交点的纵坐标为2，则该双曲线的离心率是 ▲ ．3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）双曲线125922=-y x 的渐近线方程是 ▲ ． 4、（南师附中2019届高三年级5月模拟）已知椭圆2212x y +=与双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)有相同的焦点，其左、右焦点分别为F 1、F 2，若椭圆与双曲线在第一象限内的交点为P ，且F 1P ＝F 1F 2，则双曲线的离心率为 ．5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）在平面直角坐标系xOy 中，已知y =是双曲线22221x y a b -=的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为 ▲ ． 6、（苏州市2018高三上期初调研）若双曲线()2210x y m m-=>的右焦点与抛物线28y x =的焦点重合，则m 的值是7、（徐州市2019届高三上学期期中）已知双曲线2214x y a -=a 的值为▲ ．8、（扬州市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22(0)y px p =>上横坐标为1的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为 ．9、（扬州市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2211x y m m -=+的一个焦点为(3，0)，则双曲线的渐近线方程为 ．10、（常州市2019届高三上学期期末）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的离心率为2，直线20x y ++=经过双曲线C 的焦点，则双曲线C 的渐近线方程为________. 11、（南通市三地（通州区、海门市、启东市）2019届高三上学期期末）已知经过双曲线221168x y -=的一个焦点，且垂直于实轴的直线l 与双曲线交于A 、B 两点，12、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）若抛物线22(0)y px p =>的焦点与双曲线2213y x -=的右焦点重合，则实数p 的值为 ．13、（苏州市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系xOy 中，中心在原点，焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(﹣3，1)，则该双曲线的离心率为 ． 14、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线22y px =的焦点恰好是双曲线22184x y -=的右焦点，则该抛物线的准线方程为 ．15、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(00)y x a b a b-=>>，的右顶点(20)A ，到渐近线的 2，则b 的值为 ▲ ．16、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第三次模拟（5月））在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22221y x a b-=（00a b >>，）的右准线与两条渐近线分别交于A ，B 两点．若△AOB 的面积为4ab ，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 17、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二））已知双曲线C 的方程为2214x y -=，则其离心率为 ．18、（苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（一））抛物线24y x =的焦点坐标为 ． 19、（盐城市2019届高三第三次模拟）双曲线1222=-y x 的焦距为______.20、（江苏省2019年百校大联考）双曲线的两个焦点为1F ，2F ，以12F F 为边作正方形12F F MN ，且此双曲线恰好经过边1F N 和2F M 的中点，则此双曲线的离心率为 ．二、解答题1、（南京市2018高三9月学情调研）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点(1，32)．过椭圆C 的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一点P ，交直线 l ：x ＝m (m ＞a )于点M ．已知点B (1，0)，直线PB 交l 于点N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数m 的值．2、（南京市2019高三9月学情调研）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，且直线l ：x ＝2被椭圆E 截得的弦长为2．与坐标轴不垂直的直线交椭圆E 于P ，Q 两点，且PQ 的中点R 在直线l 上．点M (1，0)．（1）求椭圆E 的方程； （2）求证：MR ⊥PQ ．3、（南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考）已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 上一点与两焦点构成的三角形的周长为4+23,3.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的右顶点和上顶点分别为A 、B ，斜率为12的直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点（点P 在第一象限）.若四边形APBQ 面积为7，求直线l 的方程.4、（南师附中2019届高三年级5月模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1，F 2与椭圆C 的上顶点构成边长为2的等边三角形．（1）求椭圆C 的方程； （2）已知直线l 与椭圆C 相切于点P ，且分别与直线x ＝﹣4和直线x ＝﹣1相交于点M 、N ．试判断11NF MF 是否为定值，并说明理由．5、（南京市13校2019届高三12月联合调研）如图，F 1、F 2分别为椭圆222210x y (a b )a b+=>>的焦点，椭圆的右准线l 与x 轴交于A 点，若()11,0F -，且122AF AF =. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过F 1、F 2作互相垂直的两直线分别与椭圆交于P 、Q 、 M 、N 四点，求四边形PMQN 面积的取值范围．6、（苏州市2018高三上期初调研）如图，已知椭圆22:14x O y +=的右焦点为F ，点,B C 分别是椭圆O 的上、下顶点，点P 是直线:2l y =-上的一个动点（与y 轴的交点除外），直线PC 交椭圆于另一个点M .（1）当直线PM 经过椭圆的右焦点F 时，求FBM ∆的面积； （2）①记直线,BM BP 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值；②求PB PM ⋅的取值范围.7、（宿迁市2019届高三上学期期末）如图所示，椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的离心率为22，右准线方程为4x =，过点(0,4)P 作关于y 轴对称的两条直线12,l l ，且1l 与椭圆交于不同两点,A B ，2l 与椭圆交于不同两点,D C . （1）求椭圆M 的方程；（2）证明：直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q ； （3）求线段AC 长的取值范围.8、（扬州市2019届高三上学期期末）在平面直角坐标系中，椭圆M ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)的离心率为12，左右顶点分別为A ，B ，线段AB 的长为4．P 在椭圆M 上且位于第一象限，过点A ，B 分别作l 1⊥PA ，l 2⊥PB ，直线l 1，l 2交于点C ． （1）若点C 的横坐标为﹣1，求P 点的坐标；（2）直线l 1与椭圆M 的另一交点为Q ，且AC AQ λ=，求λ的取值范围．9、（扬州市2019届高三上学期期中）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线3100x y --=与圆O ：222(0)x y r r +=>相切．（1）直线l 过点(2，1)且截圆O 所得的弦长为6，求直线l 的方程；（2）已知直线y ＝3与圆O 交于A ，B 两点，P 是圆上异于A ，B 的任意一点，且直线AP ，BP 与y 轴相交于M ，N 点．判断点M 、N 的纵坐标之积是否为定值?若是，求出该定值；若不是，说明理由．10、（如皋市2019届高三上学期期末）如图，已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为12，右准线方程为4x =，A ，B 分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）记△AFM ，△BFN 的面积分别为S 1，S 2，若1232S S =，求k 的值； （3）设线段MN 的中点为D ，直线OD 与右准线相交于点E ，记直线AM ，BN ，FE 的斜率分别为k 1，k 2，3k ，求k 2·(k 1－3k ) 的值．11、（苏北三市（徐州、连云港、淮安）2019届高三期末）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为22，且右焦点到右准线l 的距离为1．过x 轴上一点(,0)M m (m 为常数，且(0,2))m ∈的直线与椭圆C 交于,A B 两点，与l 交于点P ，D 是弦AB 的中点，直线OD 与l 交于点Q ． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试判断以PQ 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．12、（南京市2019届高三第三次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)过点(1，22)，离心率为22．A ，B 分别是椭圆C 的上、下顶点，M 是椭圆C 上异于A ，B 的一点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点P 在直线x －y ＋2＝0上，且BP →＝3BM →，求△PMA 的面积；（3）过点M 作斜率为1的直线分别交椭圆C 于另一点N ，交y 轴于点D ，且D 点在线段OA 上（不包括端点O ，A ），直线NA 与直线BM 交于点P ，求OD →·OP →的值．13、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第一次模拟（2月））如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221y x a b+(0)a b 的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ．（1）已知椭圆的离心率为12，线段AF 中点的横坐标为22，求椭圆的标准方程；（2）已知△ABF 外接圆的圆心在直线y x -上，求椭圆的离心率e 的值．14、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：2214x y +=，椭圆C 2：22221(0)y x a b a b+=>>，C 2与C 121，离心率相同． （1）求椭圆C 2的标准方程；（2）设点P 为椭圆C 2上一点．① 射线PO 与椭圆C 1依次交于点A B ，，求证：PA PB为定值；② 过点P 作两条斜率分别为12k k ，的直线12l l ，，且直线12l l ，与椭圆C 1均有且只有 一个公共点，求证：12k k ⋅为定值．15、（七市（南通、泰州、扬州、徐州、淮安、宿迁、连云港）2019届高三第二次模拟（5月））如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221y x C a b+=：（0a b >>）的上顶点为()03A ，， 圆2224a O x y +=：经过点()01M ，． （1）求椭圆C 的方程；（2）过点M 作直线1l 交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线1l 的垂线2l 交圆O 于另一点N ． 若△PQN 的面积为3，求直线1l 的斜率．16、（南京金陵中学、海安高级中学、南京外国语学校2019届高三第四次模拟）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：22221x y a b+=(a ＞b ＞0)32．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设P 为椭圆上顶点，点A 是椭圆C 上异于顶点的任意一点，直线PA 交x 轴于点M ．点B 与点A 关于x 轴对称，直线PB 交x 轴于点N ．问：在y 轴的正半轴上是否存在点Q ，使得∠OQM ＝∠ONQ ？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案一、填空题 1、32、 53、x y 35±= 42+2解析：由题意得：F 1P ＝F 1F 2＝2，则PF 2＝222，所以2a ＝2﹣(222)＝4﹣22，则a ＝22，所以e ＝22c a =-＝2+22．5、26、37、28、3x =-9、52y x =± 10、3y x =± 11、4 12、4 13、10 14、23x =- 15、2 16、2 17、18、(1,0) 19、3 2051+二、解答题1、解：（1）因为椭圆C 的离心率为32，所以a 2＝4b 2． ………………………2分 又因为椭圆C 过点(1，32)，所以1a 2＋34b 2＝1， ………………………3分解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． ………………………5分（2）解法1设P (x 0，y 0)，－2＜x 0＜2， x 0≠1，则x 024＋y 02＝1．因为MB 是PN 的垂直平分线，所以P 关于B 的对称点N (2－x 0，－y 0)， 所以2－x 0＝m ． ………………………7分由A (－2，0)，P (x 0，y 0)，可得直线AP 的方程为y ＝y 0x 0＋2(x ＋2)，令x ＝m ，得y ＝y 0(m ＋2) x 0＋2，即M (m ，y 0(m ＋2)x 0＋2)．因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以k PB ·k MB ＝y 0x 0－1·y 0(m ＋2)x 0＋2 m －1＝－1， ………………………10分即y 02（m ＋2）(x 0－1)( x 0＋2)( m －1)＝－1． 因为x 024＋y 02＝1．所以( x 0－2)(m ＋2)4(x 0－1) ( m －1)＝1． ………………………12分因为x 0＝2－m ，所以化简得3m 2－10m ＋4＝0，解得m ＝5±133． ………………………15分因为m ＞2，所以m ＝5＋133． ………………………16分解法2①当AP 的斜率不存在或为0时，不满足条件． ………………………6分 ②设AP 斜率为k ，则AP ：y ＝k (x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x ＋2)，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．因为x A ＝－2，所以x P ＝－8k 2＋24k 2＋1，所以y P ＝4k 4k 2＋1，所以P (－8k 2＋24k 2＋1，4k4k 2＋1)． ………………………8分因为PN 的中点为B ，所以m ＝2－－8k 2＋24k 2＋1＝16k 24k 2＋1．(*) ……………………10分因为AP 交直线l 于点M ，所以M (m ，k (m ＋2))， 因为直线PB 与x 轴不垂直，所以－8k 2＋24k 2＋1≠1，即k 2≠112，所以k PB ＝4k4k 2＋1－8k 2＋24k 2＋1－1＝－4k 12k 2－1，k MB ＝k (m ＋2)m －1． 因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以－4k 12k 2－1·k (m ＋2)m －1＝－1．（**） ………………………12分将(*)代入（**），化简得48k 4－32k 2＋1＝0，解得k 2＝4±1312，所以m ＝16k 24k 2＋1＝5±133． ………………………15分又因为m ＞2，所以m ＝5＋133． ………………………16分2、解：（1）因为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率e ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2． …………………… 2分因为直线l ：x ＝2被椭圆E 截得的弦长为2， 所以点(2，1)在椭圆上，即 4a 2＋1b 2＝1． 解得a 2＝6，b 2＝3，所以椭圆E 的方程为 x 26＋y 23＝1． …………………… 6分 （2）解法一：因为直线PQ 与坐标轴不垂直，故设PQ 所在直线的方程为y ＝kx ＋m ．设 P (x 1，y 1)，Q (x 2， y 2) ．因为PQ 的中点R 在直线 l ：x ＝2上，故R (2，2k ＋m )．联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y =kx ＋m ，x 26＋y 23＝1，消去y ，并化简得 (1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－6＝0， …………………… 9分 所以x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2． （*）由x 1＋x 2＝－4km1＋2k 2＝4，得1＋2k 2＝－km ． ① ………………… 12分 因为M (1，0)，故k MR ＝2k ＋m 2－1＝2k ＋m ，所以k MR ·k PQ ＝(2k ＋m )k ＝2k 2＋km ＝2k 2－(1＋2k 2)＝－1，所以MR ⊥PQ ． …………………… 16分 解法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2， y 2)．因为PQ 的中点R 在直线 l ：x ＝2上，故设R (2，t )． 因为点P ，Q 在椭圆E ：x 26＋y 23＝1上，所以⎩⎨⎧x 126＋y 123＝1，x 226＋y 223＝1，两式相减得 (x 1＋x 2) (x 1－x 2)＋2(y 1＋y 2) (y 1－y 2)＝0．………………… 9分 因为线段PQ 的中点为R ，所以x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2t ．代入上式并化简得 (x 1－x 2)＋t (y 1－y 2)＝0． …………………… 12分 又M (1，0)，所以 MR →·PQ →＝(2－1)×(x 2－x 1)＋(t －0)×(y 2－y 1)＝0，因此 MR ⊥PQ ． …………………… 16分 3、【解析】（1）由题设得，又e =，解得2,a c ==∴1b =.…2分 故椭圆C 的方程为2214x y +=. …………………………………………4分（2）设直线l 方程为：12y x m =+代入椭圆22:14x C y +=并整理得：222220x mx m ++-=，设1122(,),(,)P x y Q x y ，则12212222x x mx x m +=-⎧⎨=-⎩. …………………………………6分 ||(PQ =21|x x =-==， ……8分 B 到直线PQ 的距离为5121-=m d ，A 到直线PQ 的距离为5121+=m d ， ………………………………10分又因为P 在第一象限, 所以11<<-m ，所以5451251221=++-=+)m ()m (d d ， 所以74821221=-=⋅+=m PQ )d d (S APBQ ， ……………………………12分解得21±=m ，所以直线方程为2121±=x y ． …………………………………………14分4、解析：解：(1) 依题意，2c ＝a ＝2，所以c ＝1，b ＝3， 所以椭圆C 的标准方程为x 24＋y 23＝1.(4分)(2) ① 因为直线l 分别与直线x ＝－4和直线x ＝－1相交， 所以直线l 一定存在斜率．(6分) ② 设直线l ：y ＝kx ＋m ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12，得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4(m 2－3)＝0. 由Δ＝(8km)2－4×(4k 2＋3)×4(m 2－3)＝0， 得4k 2＋3－m 2＝0 ①.(8分)把x ＝－4代入y ＝kx ＋m ，得M(－4，－4k ＋m)，把x ＝－1代入y ＝kx ＋m ，得N(－1，－k ＋m)，(10分) 所以NF 1＝|－k ＋m|，MF 1＝（－4＋1）2＋（－4k ＋m ）2＝9＋（－4k ＋m ）2 ②，(12分) 由①式，得3＝m 2－4k 2 ③，把③式代入②式，得MF 1＝4（k －m ）2＝2|－k ＋m|，∴ NF 1MF 1＝|k －m|2|k －m|＝12，即NF 1MF 1为定值12.(16分) 5、解：(I) 由F 1(-1，0)得1c =,∴A 点坐标为()2,0a ；……2分∵122AF AF = ∴2F 是1AF 的中点 ∴223,2a b == ∴ 椭圆方程为22132x y += ……4分 (II)当直线MN 与PQ 之一与x 轴垂直时，四边形PMQN 面积142S MN PQ ==；…………5分 当直线PQ ，MN 均与x 轴不垂直时，不妨设PQ ：()()10y k x k =+≠，联立22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩代入消去y 得()()2222236360k x k x k +++-=设()()1122,,,P x y Q x y 则22121222636,2323k k x x x x k k --+==++ ………8分∴)2122123k PQ x k +=-=+，同理2211123k MN k⎫+⎪⎝⎭=+∴四边形PMQN 面积22221242112613k k S MN PQ k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭==⎛⎫++ ⎪⎝⎭ ………12分令221u k k=+，则()24242,4613613u u S u u +≥==-++，易知S 是以u 为变量的增函数 所以当1,2k u =±=时，min 9625S =，∴96425S ≤< 综上可知，96425S ≤≤，∴四边形PMQN 面积的取值范围为96,425⎡⎤⎢⎥⎣⎦………16分 6、（1）由题意()()0,1,0,1B C -，焦点)F，当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，则直线PM11y +=-，即1y =-，联立22141x y y ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得17x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或01x y =⎧⎨=-⎩(舍），即17M ⎫⎪⎪⎝⎭. 连BF，则直线11yBF +=，即0x +-=，而2BF a ==，72d ===.故11222MBF S BF d ∆=⋅⋅=⋅. （2）解:法一：①设(),2P m -，且0m ≠，则直线PM 的斜率为()1210k mm---==--，则直线PM 的方程为11y x m=--， 联立221114y x m x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简得224810x x m m ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得22284,44m m M m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 所以22212412148844m m m k m m m m ---+===--+，()21230k m m --==--， 所以1231344k k m m ⋅=-⋅=-为定值. ②由①知，(),3PB m =-，2322222841212,2,4444m m m m m PM m m m m m ⎛⎫⎛⎫---+=--+= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭， 所以()324222212121536,3,444m m m m m PB PM m m m m ⎛⎫--+++⋅=-⋅= ⎪+++⎝⎭， 令244m t +=> 故()()224154367887t t t t PB PM t tt t-+-++-⋅===-+，因为87y t t=-+在()4,t ∈+∞上单调递增，所以8874794PB PM t t ⋅=-+>-+=，即PB PM ⋅的取值范围为()9,+∞.解法二：①设点()()000,0M x y x ≠，则直线PM 的方程为0011y y x x +=-，令2y =-，得00,21xP y ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭.所以()0012000031121,1y y k k x x x y +---===-+， 所以()()()()2200001222000031313113=441y y y y k k x x x y --+-⋅=⋅==--(定值）. ②由①知，00,31x PB y ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，0000,21xPM x y y ⎛⎫=++ ⎪+⎝⎭，所以，()()()()20000000200023232111x y x x PB PM x y y y y y +⎛⎫⋅=+++=++ ⎪+++⎝⎭ ()()()()()()200000200412723211y y y y y y y -+-+=++=++.令()010,2t y =+∈，则()()8187t t PB PM t tt-+⋅==-++，因为87y t t=-++在()0,2t ∈上单调递减,所以8872792PB PM t t ⋅=-++>-++=，即PB PM ⋅的取值范围为()9,+∞.7、解：（1）由24c e a a c⎧==⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2a c ==，2224b a c ∴=-=，所以椭圆M 的方程22184x y +=.………………………………………………4分 （2）设直线14l y kx =+：，11221122(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y C x y --则，联立221844x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得221+2)16240k x kx ++=（， 1212221624,1+21+2k x x x x k k -∴+=⋅=， …………………………………6分 又212111,BQ DQ y y k k x x --==-， 212121211133BQ DQ y y kx kx k k x x x x --++∴-=-=+-212122483()122+=2+2202412k x x k k k k k x x k -++==-=+，………8分 =BQ DQ k k ∴，故点,,B D Q 三点共线，即直线BD 经过点(0,1)Q同理可得直线AC 经过点(0,1)Q ，所以直线AC 与直线BD 交于点(0,1)Q . …………………………10分（3）由（2）可知22222212121212()()()()AC x x y y x x k x x =++-=++-222121212()(+)4x x k x x x x ⎡⎤=++-⋅⎣⎦2222222222161624+41+21+21+2k k k k k k ⎡⎤⋅⋅=-⨯⎢⎥⎣⎦（）（）42424+10164+4+1k k k k ⋅=⨯24261161+4+4+1k k k ⎡⎤-=⨯⎢⎥⎣⎦…………………………12分 令22161,6t t k k ==+-则 又由222=16424(12)0k k ∆-⨯⨯+>得23,2k >所以8t > 221616+114+4+166tAC t t ∴=++⎛⎫⎪⎝⎭29161++8+16t t t ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦9161+16++8t t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ……………………………………14分21616++810t t t '⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在8+t ∈∞（，）上恒成立 16++8t t∴在8+t ∈∞（，）上单调递增 16++818t t ∴>， 910162++8t t ∴<<，9311+162++8t t∴<< 21624AC ∴<<4AC ∴<< …………………………………………………16分8、解：由题意得1224c a a ⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得12c a =⎧⎨=⎩，∴2223b a c =-=∴椭圆M 的方程是22143x y +=且(2,0),(2,0)A B - …………3分（1）方法一：设00(,)P x y ，002PA y k x =+，∵1l PA ⊥ ∴直线AC 的方程为02(2)x y x y +=-+， 同理：直线BC 的方程为002(2)x y x y -=--． 联立方程00002(2)2(2)x y x y x y x y +⎧=-+⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩，解得02004x x x y y =-⎧⎪-⎨=⎪⎩，又∵22000004444433y x y y y ---==-， ∴点C 的坐标为004(,)3x y --， …………6分∵点C 的横坐标为1- ∴01x =，又∵P 为椭圆M 上第一象限内一点 ∴032y =∴P 点的坐标为3(1,)2． …………8分（2）设(,)Q Q Q x y ∵AC AQ λ= ∴002(2)43Q Q x x y y λλ-+=+⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：002243Q Q x x y y λλλ⎧=-+-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∵点Q 在椭圆M 上 ∴22001214(2)()1433x y λλλ-+-+-= 又22003(1)4x y =-整理得：200736(1)721000x x λλ--+-=，解得：02x =或036507x λ-= …………14分∵P 为椭圆M 上第一象限内一点 ∴3650027λ-<<，解得：2516189λ<< …………16分方法二：（1）设AP 的斜率为k ，00(,)P x y ， ∵P 为椭圆M 上第一象限内一点∴0k <<∵2000200032244AP BPy y y k k x x x ⋅=⋅==-+-- ∴BP 的斜率为34k-． 联立方程(2)3(2)4y k x y x k =+⎧⎪⎨=--⎪⎩，解得22268431243k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即2226812(,)4343k k P k k -++ ∵1l PA ⊥，∴1AC k k =-，则AC 的方程为1(2)y x k=-+∵2l PB ⊥，∴43BC k k =，则BC 的方程为4(2)3y k x =-． 由1(2)4(2)3y x k y k x ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得22286431643k x k k y k ⎧-=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，即2228616(,)4343k k C k k --++ …………6分∵点C 的横坐标为1- ∴2286143k k -=-+，解得：12k =±∵0k <<∴12k = ∴P 点的坐标为3(1,)2． …………8分 （2）设(,)Q Q Q x y ，(,)C C C x y ，又直线AC 的方程为：1(2)y x k=-+联立方程221(2)143y x k x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得222(34)1616120k x x k +++-= ∴221612234Q k x k --⋅=+，解得：226834Q k x k -=+ ∵AC AQ λ= ∴222222222862216(34)743168212(43)129234C Q k x k k k k x k k k k λ-++++====+-+++++， …………14分∵0k <<∴2516(,)189λ∈ …………16分 9、解：∵直线3100x y --=与圆222:(0)O x y r r +=>相切 ∴圆心O 到直线3100x y --=的距离为r == …2分（1）记圆心到直线l 的距离为d，所以2d ==．当直线l 与x 轴垂直时，直线l 的方程为2x =，满足题意； …3分 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为1(2)y k x -=-，即(12)0kx y k -+-=所以2d ==，解得34k =-，此时直线l 的方程为34100x y +-= …6分综上，直线l 的方程为2x =或34100x y +-=． …7分 （2）设00(,)P x y ．∵直线3y =与圆O 交于A 、B 两点，不妨取(1,3),(1,3)A B -， ∴直线PA 、PB 的方程分别为0033(1)1y y x x --=--，0033(1)1y y x x --=++ 令0x =，得00000033(0,),(0,)11x y x y M N x x -+-+，则220000002000339111M N x y x y x y y y x x x -+-⋅=⋅=-+-（*）…13分 因为点00(,)P x y 在圆C 上，所以220010x y +=，即220010y x =-，代入（*）式得M N y y ⋅=2200209(10)101x x x --=-为定值． …15分 10、【解】（1）设椭圆的焦距为2c (c ＞0)．依题意，12c a =，且24a c =，解得a ＝2，c ＝1．故b 2＝a 2－c 2＝3．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． …… 4分（2）设点M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)．据题意，1232S S =，即12132122AF y BF y ⨯⨯=⨯⨯，整理可得1212y y =，所以2NF FM =． 代入坐标，可得()21211212x x y y -=-⎧⎪⎨-=⎪⎩，， 即2121322x x y y =-⎧⎨=-⎩．，又点M ， N 在椭圆C 上，所以()()22112211143322143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨--⎪+=⎪⎩，，解得1174x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 所以直线l的斜率8714k ==-． …… 9分（3）法一：依题意，直线l 的方程为()1y k x =-．联立方程组()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，，整理得()22224384120k x k x k +-+-=，所以2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+．故21224243D x x k x k +==+，()23143D D k y k x k =-=-+， 所以直线OD 的方程为34y x k =-，令x ＝4，得3E y k =-，即34E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，． 所以33141k k k-==--． …… 12分所以()2121321211122y y k k k k k k x x k ⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅+=⋅+ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()()2211221211211111212222k x k x k x x x x x x k x x ----+-+⎡⎤=⋅+=⎢⎥-++-⎣⎦()2121212121212122224k x x x x x x x x x x x x -+++-+-⎡⎤⎣⎦=-+-()()()212121212212122123244k x x x x x x x x x x x x x x -+++-+-+⎡⎤⎣⎦=-+-+222222222222222412841281234343434341282444343k k k k k x k k k k k k x k k ⎡⎤---++--+⎢⎥++++⎣⎦=--⨯-+++22222222222276211833433432824476444343k k x x k k k k x x k k ⎛⎫++- ⎪-+⎝⎭+===+⎛⎫+-- ⎪++⎝⎭． …… 16分法二：依题意，直线l 的方程为()1y k x =-，即11x y k =+，记1m k=， 则直线l 的方程为1x my =+，与椭圆C 联立方程组221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，整理得()2243690m y my ++-=，所以122643m y y m +=-+，122943y y m =-+． 故1223243D y y m y m +==-+，24143D Dx my m =+=+， 所以直线OD 的方程为34my x =-，令x ＝4，得3E y m =-，即()43E m -，． 所以3341mk m -==--． …… 12分所以()()()()122121213212112212222y y my x y y k k k k k m k x x x x ++⎛⎫⎛⎫⋅-=⋅+=⋅+= ⎪ ⎪-++-⎝⎭⎝⎭()()()()2122122121212121333133my y my y y my my my my m y y my my ++++==+--+-()()()22221222221212222291313439634344343m my m y y my m m m m y y m y y my my m m +-++++==-+-+-+-+++ ()()2222229133434121443m my m m my m +-++==+-++． …… 16分法三：依题意，点M (x 1，y 1)， N (x 2，y 2)在椭圆C 上，所以22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，两式相减，得22222121043x x y y --+=， 即2121212134y y y y x x x x +-⋅=-+-，所以34OD k k ⋅=-，即34OD k k=-，所以直线OD 的方程为34y x k =-，令x ＝4，得3E y k =-，即34E k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，， 所以33141k k k-==--． …… 12分又直线AM 的方程为()12y k x =+，与椭圆C 联立方程组()1222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，，整理得()2222111431616120k x k x k +++-=，所以211211612243k x k --⋅=+，得211216843k x k -=+，()11112112243ky k x k =+=+． 所以点M 的坐标为211221168124343k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，．同理，点N 的坐标为222222286124343k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭，． 又点M ，N ，F 三点共线，所以12221222122212121243436886114343k k k k k k k k k -++==----++，整理得()()12124330k k k k +-=， 依题意，10k >，20k >，故213k k =．由1211221121124346814143k k k k k k k +==---+可得，21111141144k k k k k -==-，即11114k k k +=． 所以()21311111133344k k k k k k k k ⎛⎫⋅-=⋅+=⋅= ⎪⎝⎭． …… 16分11、（1）由题意，得221c e a a c c⎧==⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩222,1a b ==，所以椭圆C 的标准方程为2212x y +=． ………………………………………4分（2）由题意，当直线AB 的斜率不存在或为零时显然不符合题意； 所以设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为()y k x m =-， 又准线方程为2x =，所以P 点的坐标为()2,(2)P k m -，………………………………………………6分由22()22y k x m x y =-⎧⎨+=⎩得，2222()2x k x m +-=，即22222(12)4220k x k mx k m +-+-=所以222214222121D k m k m x k k =⋅=++，22222121D k m km y k m k k ⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭， …………8分 所以12OD k k=-，从而直线OD 的方程为12y x k =-，（也可用点差法求解） 所以Q 点的坐标为12,Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，…………………………………………………10分所以以,P Q 为直径的圆的方程为()()212(2)0x y k m y k ⎛⎫-+--+= ⎪⎝⎭，即22142(2)0x x m y k m y k ⎛⎫-+++---= ⎪⎝⎭， ………………………………14分因为该式对0k ∀≠恒成立，令0y =，得2x =±所以以PQ 为直径的圆经过定点(2±．………………………………16分 12、解：（1）因为椭圆过点(1，22)，离心率为22，所以1a 2＋12b 2＝1，b 2a 2＝1－e 2＝12，解得a 2＝2，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1． ························································ 2分（2）由（1）知B (0，－1)，设M (x 0，y 0)，P (x ，y )．由BP →＝3BM →，得(x ，y ＋1)＝3(x 0，y 0＋1)， 则x ＝3x 0，y ＝3y 0＋2．又因为P 在直线x －y ＋2＝0上，所以y 0＝x 0．① ··································· 4分 因为M 在椭圆C 上，所以x 022＋y 02＝1，将①代入上式，得x 02＝23． ······························································· 6分所以|x 0|＝63，从而|x P |＝6， 所以S △PMA ＝S △P AB －S △MAB ＝12×2×6－12×2×63＝263． ···························· 8分（3）方法1由（1）知，A (0，1)，B (0，－1)．设D (0，m )，0＜m ＜1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．因为MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为：y ＝x ＋m ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，x 22＋y 2＝1，消去y ，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝－4m3，x 1·x 2＝2m 2－23． …………………………………………10分直线MB 的方程为：y ＝y 1＋1x 1x －1，直线NA 的方程为：y ＝y 2－1x 2x ＋1，联立解得y P ＝(y 1＋1)x 2＋(y 2－1)x 1(y 1＋1)x 2－(y 2－1)x 1．……………………………………………12分将y 1＝x 1＋m ，y 2＝x 2＋m 代入，得y P ＝2x 1x 2＋m (x 1＋x 2)＋x 2－x 1x 1＋x 2＋m (x 2－x 1)＝2·2m 2－23－4m 23＋(x 2－x 1)－4m 3＋m (x 2－x 1)＝－43＋(x 2－x 1)－4m 3＋m (x 2－x 1)＝1m ． ······························································ 14分所以OD →·OP →＝(0，m )·(x P ，y P )＝my P ＝m ·1m＝1． ……………………………16分方法2A (0，1)，B (0，－1)．设M (x 0，y 0)，则x 022＋y 02＝1．因为MN 的斜率为1，所以直线MN 的方程为：y ＝x －x 0＋y 0，则D (0，y 0－x 0)，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 0＋y 0，x 22＋y 2＝1，消去y ，得3x 2－4(x 0－y 0)x ＋2(x 0－y 0)2－2＝0，所以x N ＋x 0＝4(x 0－y 0)3，…………………………………………………………10分所以x N ＝x 0－4y 03，y N ＝－2x 0＋y 03，所以直线NA 的方程为：y ＝y N －1x N x ＋1＝2x 0＋y 0＋34y 0－x 0x ＋1 直线MB 的方程为：y ＝y 0＋1x 0x －1联立解得y P ＝2y 02＋x 02＋x 0＋2y 02y 02－x 02－x 0y 0－2x 0＋2y 0．……………………………………12分又因为x 022＋y 02＝1，所以y P ＝2＋x 0＋2y 0(2＋x 0＋2y 0)(y 0－x 0)＝1y 0－x 0，………………………………………14分所以OD →·OP →＝(0，y 0－x 0)·(x P ，y P )＝(y 0－x 0)1y 0－x 0＝1．……………………16分13、【解】（1）因为椭圆22221x y a b +(0)a b 的离心率为12， 所以12c a =，则2a c ．因为线段AF， 所以222a c -． 所以2c ，则28a ，2226b a c -．所以椭圆的标准方程为22186x y +． …………………………………………………4分（2）因为(0)(0)A a F c -，，，，所以线段AF 的中垂线方程为：2a cx-． 又因为△ABF 外接圆的圆心C 在直线y x -上， 所以()22a c a cC ---，．…………………………………………………………………6分 因为(0)(0)A a B b ，，，，所以线段AB 的中垂线方程为：()22b a ay x b --． 由C 在线段AB 的中垂线上，得()2222a cb a ac ab -----，整理得，2()b a c b ac -+=，…………………………………………………………10分 即()()0b c a b -+=．因为0a b +>，所以b c =．……………………………………………………………12分 所以椭圆的离心率c e a ===．…………………………………………14分14、【解】（1）设椭圆C2的焦距为2c ，由题意，a =，c a =，222a b c =+，解得b ，因此椭圆C 2的标准方程为22182y x+=． ……………………………3分（2）①1°当直线OP 斜率不存在时，1PA =-，1PB =，则3PA PB =-……………………………4分2°当直线OP 斜率存在时，设直线OP 的方程为y=（第17题）代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22(41)4k x +=， 所以22441A x k =+，同理22841P x k =+．………6分所以222P A x x =，由题意，P A x x 与同号，所以P A x =，从而||||3||||P A P A P B P A x x x x PA PB x x x x --===--+所以3PA PB =- ……………………………………………………………8分 ②设00()P x y ，，所以直线1l 的方程为010()y y k x x -=-，即1100y k x k y x =+-， 记100t k y x =-，则1l 的方程为1y k x t =+，代入椭圆C 1的方程，消去y ，得22211(41)8440k x k tx t +++-=， 因为直线1l 与椭圆C 1有且只有一个公共点，所以22211(8)4(41)(44)0k t k t =-+-=，即221410k t -+=，将100t k y x =-代入上式，整理得，222010010(4)210x k x y k y --+-=， ……………12分 同理可得，222020020(4)210x k x y k y --+-=，所以12k k ，为关于k 的方程2220000(4)210x k x y k y --+-=的两根，从而20122014y k k x -⋅=-．……………………………………………………………………14分又点在00()P x y ，椭圆C 2：22182y x +=上，所以2200124y x =-，所以2012201211444x k k x --⋅==--为定值． ………………………………………………16分 15、【解】（1）因为椭圆C的上顶点为(0A，所以b = 又圆22214O x y a +=：经过点()01M ，， 所以2a =． …… 2分所以椭圆C 的方程为22143y x +=． …… 4分 （2）若1l 的斜率为0，则PQ =，2MN =，所以△PQN 的面积为463，不合题意，所以直线1l 的斜率不为0． …… 5分设直线1l 的方程为1y kx =+，由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y ，得22(34)880k x kx ++-=， 设()11P x y ，，()22Q x y ，， 则2124262134k k x k --⋅+=+，2224262134k k x k-+⋅+=+， 所以221212()()PQ x x y y =-+-22212246121134k k k x x k+⋅+=+-=+． …… 8分直线2l 的方程为11y x k=-+，即0x ky k +-=，所以22222111k MN k k =-=++． …… 11分 所以△PQN 的面积12S PQ MN =⋅2222461211232341k k k k+⋅+=⨯⋅=++， 解得12k =±，即直线1l 的斜率为12±． …… 14分。

课时跟踪检测（五十一） 直线与圆锥曲线一保高考，全练题型做到高考达标1．(2019·徐州第一中学检测)若双曲线x 29－y 24＝1与直线y ＝kx －1有且仅有一个公共点，则这样的直线有______条．解析：把直线y ＝kx －1代入双曲线x 29－y 24＝1中，消去y ，得(4－9k 2)x 2＋18kx －45＝0，当4－9k 2＝0，即k ＝±23时，直线与双曲线相交，有一个交点；当4－9k 2≠0，即k ≠±23时，令Δ＝0，得182k 2＋4(4－9k 2)×45＝0，解得k ＝±53，此时直线与双曲线相切，有一个交点． 综上，k 的值有4个，即这样的直线有4条． 答案：42．已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为M ，N ，点P 在C 上，且直线PN 的斜率是－14，则直线PM 的斜率为________．解析：设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 203＝1，直线PM 的斜率k PM ＝y 0x 0＋2，直线PN 的斜率k PN ＝y 0x 0－2，可得k PM ·k PN ＝y 20x 20－4＝－34，故k PM ＝－34·1k PN＝3. 答案：33．已知抛物线y 2＝2px 的焦点F 与椭圆16x 2＋25y 2＝400的左焦点重合，抛物线的准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线上且AK ＝2AF ，则点A 的横坐标为________．解析：16x 2＋25y 2＝400可化为x 225＋y 216＝1，则椭圆的左焦点为F (－3,0)，又抛物线y 2＝2px 的焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线为x ＝－p2，所以p2＝－3，即p ＝－6，即y 2＝－12x ，K (3,0)．设A (x ，y )，则由AK ＝2AF 得(x －3)2＋y 2＝2[(x ＋3)2＋y 2]，即x 2＋18x ＋9＋y 2＝0， 又y 2＝－12x ，所以x 2＋6x ＋9＝0，解得x ＝－3.答案：－34．(2019·江都中学检测)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y2＝2px (p ＞0)的准线分别交于A ，B 两点，若双曲线的离心率为2，O 为坐标原点，△AOB 的面积为33，则p ＝________. 解析：∵双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线方程是y ＝±bax ，抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线方程是x ＝－p2，∴A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±pb2a ，∵双曲线的离心率为2，∴b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝e 2－1＝3，则ba＝3， ∴A ，B 两点的纵坐标分别是y ＝±pb 2a ＝±3p 2，又△AOB 的面积为33， ∴12×3p ×p 2＝33，解得p ＝233. 答案：2335．已知(4,2)是直线l 被椭圆x 236＋y 29＝1所截得的线段的中点，则l 的方程是__________________．解析：设直线l 与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 则x 2136＋y 219＝1，且x 2236＋y 229＝1， 两式相减并化简得y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 2y 1＋y 2.又x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝4， 所以y 1－y 2x 1－x 2＝－12， 故直线l 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0. 答案：x ＋2y －8＝06．(2018·海门中学检测)如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y －1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB ―→·DC ―→＝________.解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，因为B (－1,1)，C (1,1)，所以AB ―→＝(1,0)，DC ―→＝(－1,0)，所以AB ―→·DC ―→＝－1.答案：－17．(2019·宁海中学调研)已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，点A ，B 1，B 2，F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为________．解析：根据题意得，直线AB 2的方程为：y ＝b ax ＋b ， 直线B 1F 的方程为：y ＝b cx －b ， 联立两直线方程解得x ＝2aca －c. 又由题意可得2ac a －c ＝a2c ，化简得2c 2＋ac －a 2＝0， 即2e 2＋e －1＝0， 又0＜e ＜1，解得e ＝12.答案：128．已知直线l 过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，且与抛物线的对称轴垂直，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且AB ＝12，若M 为抛物线C 的准线上一点，则△ABM 的面积为________．解析：由题意知，抛物线C 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，对称轴为x 轴，准线为x ＝－p2.因为直线l 与x 轴垂直，所以AB ＝2p ＝12，p ＝6，又点M 在抛物线C 的准线上，所以点M 到直线AB 的距离为6，所以△ABM 的面积S ＝12×6×12＝36.答案：369．(2018·镇江期末)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，12在椭圆C 上．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，线段P Q 的中点为H ，O 为坐标原点，且OH ＝1，求△PO Q 面积的最大值．解：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝32，3a 2＋14b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设l 与x 轴的交点为D (n,0)，直线l ：x ＝my ＋n ，P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋n ，x 24＋y 2＝1消去x ，整理得(4＋m 2)y 2＋2mny ＋n 2－4＝0，所以y 1＋y 2＝－2mn 4＋m 2，y 1y 2＝n 2－44＋m 2，故y 1＋y 22＝－mn 4＋m 2，x 1＋x 22＝my 1＋y 2＋2n2＝4n4＋m2， 即H ⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 4＋m 2，－mn 4＋m 2， 由OH ＝1，得n 2＝＋m 2216＋m2， 则S △PO Q ＝12OD |y 1－y 2|＝12|n ||y 1－y 2|.令T ＝n 2(y 1－y 2)2＝n 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2]＝＋m2＋m22，设t ＝4＋m 2(t ≥4)，则4＋m2＋m22＝t t 2＋24t ＋144＝1t ＋144t＋24≤12t ·144t＋24＝148， 当且仅当t ＝144t，即t ＝12时，S △PO Q ＝1，所以△PO Q 面积的最大值为1.10.如图，在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆C ：x 24＋y 2＝1的左顶点A 作直线l ，与椭圆C 和y 轴正半轴分别交于点P ，Q.(1)若AP ＝P Q ，求直线l 的斜率；(2)过原点O 作直线l 的平行线，与椭圆C 交于点M ，N ，求证：AP ·A QMN 2为定值． 解：(1)依题意，椭圆C 的左顶点A (－2,0)， 设直线l 的斜率为k (k ＞0)，点P 的横坐标为x P ， 则直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 24＋y 2＝1，得(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0，则－2·x P ＝16k 2－44k 2＋1，从而x P ＝2－8k21＋4k 2.因为AP ＝P Q ，所以x P ＝－1.所以2－8k 21＋4k 2＝－1，解得k ＝32(负值舍去)． (2)证明：设点N 的横坐标为x N .结合(1)知，直线MN 的方程为y ＝kx .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 24＋y 2＝1，得x 2N ＝41＋4k2. 从而AP ·A QMN 2＝x P ＋x N2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫2－8k 21＋4k 2＋24×41＋4k2＝12(定值)． 二上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2019·苏州调研)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为22，椭圆上的动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．解：(1)由题意得ca ＝22，故a ＝2c . 又椭圆上的动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)， 所以a －c ＝3(2－1)，所以c ＝3，a ＝32，所以b 2＝a 2－c 2＝9， 所以椭圆C 的标准方程为x 218＋y 29＝1.(2)当直线l 的斜率为0时，对于x 218＋y 29＝1，令y ＝－1，得x ＝±4，此时以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y ＋1)2＝16.当直线l 的斜率不存在时，以线段AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝9.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y ＋2＝16，x 2＋y 2＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝3，即两圆的交点为(0,3)，记T (0,3)．猜想以线段AB 为直径的圆恒过定点T (0,3)．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1，x 218＋y29＝1，得(1＋2k 2)x 2－4kx －16＝0，所以Δ＝(－4k )2＋64(1＋2k 2)＝144k 2＋64＞0，x 1＋x 2＝4k 1＋2k 2，x 1x 2＝－161＋2k2. 因为TA ―→·TB ―→＝(x 1，y 1－3)·(x 2，y 2－3)＝x 1x 2＋y 1y 2－3(y 1＋y 2)＋9＝x 1x 2＋(kx 1－1)(kx 2－1)－3(kx 1－1＋kx 2－1)＋9＝(k 2＋1)x 1x 2－4k (x 1＋x 2)＋16＝－k 2＋1＋2k2－16k 21＋2k 2＋16＝－＋2k 21＋2k2＋16＝0，所以TA ⊥TB ，故以线段AB 为直径的圆过点T (0,3)．综上，以线段AB 为直径的圆恒过定点(0,3)．2．(2019·盐城模拟)如图，已知F1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a＞b ＞0)的左、右焦点，点P (－2,3)是椭圆C 上一点，且PF 1⊥x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)设圆M ：(x －m )2＋y 2＝r 2(r ＞0)．①设圆M 与线段PF 2交于A ，B 两点，若MA ―→＋MB ―→＝MP ―→＋MF 2―→，且AB ＝2，求r 的值；②设m ＝－2，过点P 作圆M 的两条切线分别交椭圆C 于G ，H 两点(均异于点P )．试问：是否存在这样的正数r ，使得G ，H 两点恰好关于坐标原点O 对称？若存在，求出r 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)因为点P (－2,3)是椭圆C 上一点，且PF 1⊥x 轴， 所以椭圆的半焦距c ＝2，由c 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝±b 2a ，所以b 2a ＝a 2－4a＝3， 化简得a 2－3a －4＝0，解得a ＝4，所以b 2＝12， 所以椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)①因为MA ―→＋MB ―→＝MP ―→＋MF 2―→， 所以MA ―→－MP ―→＝MF 2―→－MB ―→，即PA ―→＝BF 2―→. 所以线段PF 2与线段AB 的中点重合(记为点Q)，由(1)知Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32. 因为圆M 与线段PF 2交于A ，B 两点， 所以k M Q ·k AB ＝k M Q ·kPF 2＝－1， 即0－32m ·3－0－2－2＝－1，解得m ＝－98， 所以M Q ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－98－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎫0－322＝158，又AB ＝2，所以r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1582＋12＝178.②假设存在正数r 满足题意．由G ，H 两点恰好关于原点对称，设G (x 0，y 0)，则H (－x 0，－y 0)，不妨设x 0＜0. 因为P (－2,3)，m ＝－2，所以两条切线的斜率均存在， 设过点P 与圆M 相切的直线的斜率为k ，则切线方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0， 由该直线与圆M 相切，得r ＝31＋k2，即k ＝±9－r2r 2，所以两条切线的斜率互为相反数，即k PG ＝－k PH ， 所以y 0－3x 0＋2＝－－y 0－3－x 0＋2，化简得x 0y 0＝－6，即y 0＝－6x 0， 代入x 2016＋y 2012＝1，化简得x 40－16x 20＋48＝0， 解得x 0＝－2(舍去)或x 0＝－23， 所以y 0＝3，所以G (－23，3)，H (23，－3)， 所以k PG ＝3－3－2＋23＝32，所以r ＝31＋⎝⎛⎭⎪⎫322＝677. 故存在满足条件的正数r ，且r ＝677.。

课时跟踪检测（五） 函数的单调性与最值一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·如皋中学月考)函数f (x )＝|x 2－2x ＋2|的增区间是________． 解析：因为函数f (x )＝|x 2－2x ＋2|＝|(x －1)2＋1|＝(x －1)2＋1， 所以函数f (x )＝|x 2－2x ＋2|的增区间是[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)2．函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________．解析：令t ＝x ，则t ≥0，所以y ＝t －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋14， 结合图象知，当t ＝12，即x ＝14时，y max ＝14.答案：143．(2018·徐州质检)函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x－log 2(x ＋2)在区间[－1,1]上的最大值为________．解析：因为y ＝⎝⎛⎭⎫13 x 和y ＝－log 2(x ＋2)都是[－1,1]上的减函数，所以y ＝⎝⎛⎭⎫13 x －log 2(x ＋2)是在区间[－1,1]上的减函数，所以最大值为f (－1)＝3.答案：34．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足f (2x －1)＜f (5)的x 的取值范围是________． 解析：因为偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，且f (2x －1)＜f (5)，所以|2x －1|＞5，即x ＜－2或x ＞3. 答案：(－∞，－2)∪(3，＋∞)5．若函数f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝(a ＋1)1－x在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝－x 2＋2ax ＝－(x －a )2＋a 2在[1,2]上是减函数，所以a ≤1. 又g (x )＝(a ＋1)1－x在[1,2]上是减函数．所以a ＋1＞1，所以a ＞0.综上可知0＜a ≤1. 答案：(0,1]6．(2019·海门中学高三检测)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1，满足对任意x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)成立，那么实数a 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )满足对任意x 1＜x 2，都有f (x 1)＜f (x 2)成立， ∴函数f (x )在定义域上是增函数， 则满足⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，2－a ＋1≤a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，a ＞1，a ≥32，解得32≤a ＜2.答案：⎣⎡⎭⎫32，2二保高考，全练题型做到高考达标 1．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________． 解析：f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a ，因为函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数．所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0，－2a ≤－2，解得a ≥1.答案：[1，＋∞)2．(2019·江阴高三检测)设a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |在[3,5]上是单调增函数，则实数a 的取值范围为______________．解析：∵a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝log a |ax 2－x |＝log a |x ·(ax －1)|在[3,5]上是单调增函数， ∴当a ＞1时，y ＝x ·(ax －1)在[3,5]上是单调增函数，且y ＞0，满足f (x )是增函数； 当0＜a ＜1时，要使f (x )在[3,5]上是单调增函数，只需⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜1，3≥12a，5＜1a ，解得16≤a ＜15.综上可得，a ＞1或16≤a ＜15.答案：⎣⎡⎭⎫16，15∪(1，＋∞)3．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0＜x ≤2，－x ＋3，x ＞2.当0＜x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x ＞2时，h (x )＝－x ＋3是减函数，所以h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.答案：14．(2018·徐州一模)已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在区间[a ，b ]上同时递增或者同时递减时，把区间[a ，b ]叫做函数y ＝f (x )的“不动区间”，若区间[1,2]为函数f (x )＝|2x －t |的“不动区间”，则实数t 的取值范围是________．解析：因为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，所以g (x )＝f (－x )＝|2－x －t |.因为区间[1,2]为函数f (x )＝|2x －t |的“不动区间”，所以函数f (x )＝|2x －t |和函数g (x )＝|2－x －t |在[1,2]上单调性相同，因为y ＝2x －t 和函数y ＝2－x －t 的单调性相反，所以(2x －t )(2－x－t )≤0在[1,2]上恒成立， 即2－x ≤t ≤2x 在[1,2]上恒成立，解得12≤t ≤2.答案：⎣⎡⎦⎤12，25．(2018·金陵中学月考)定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，所以函数在[－2,2]上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，2a －2＜a 2－a .所以⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2，所以0≤a ＜1.答案：[0,1)6．设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)， f (－3)的大小关系为____________(用“＜”表示)．解析：因为f (x )是偶函数， 所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 所以f (π)＞f (3)＞f (2)，所以f (－2)＜f (－3)＜f (π)． 答案：f (－2)＜f (－3)＜f (π)7．(2018·苏州高三暑假测试)已知函数f (x )＝x ＋a x (a ＞0)，当x ∈[1,3]时，函数f (x )的值域为A ，若A ⊆[8,16]，则a 的值等于________．解析：因为A ⊆[8,16]，所以8≤f (x )≤16对任意的x ∈[1,3]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤16x －x 2，a ≥8x －x 2对任意的x ∈[1,3]恒成立，当x ∈[1,3]时，函数y ＝16x －x 2在[1,3]上单调递增，所以16x －x 2∈[15,39]，函数y ＝8x －x 2在[1,3]上也单调递增，所以8x －x 2∈[7,15]，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤15，a ≥15，即a 的值等于15.答案：158．若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________.解析：函数g (x )在[0，＋∞)上为增函数，则1－4m ＞0，即m ＜14.若a ＞1，则函数f (x )在[－1,2]上的最小值为1a＝m ，最大值为a 2＝4，解得a ＝2，12＝m ，与m ＜14矛盾；当0＜a ＜1时，函数f (x )在[－1,2]上的最小值为a 2＝m ，最大值为a －1＝4，解得a ＝14，m ＝116.所以a ＝14.答案：149．已知函数f (x )＝a －1|x |.(1)求证：函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )＜2x 在(1，＋∞)上恒成立，求实数a 的取值范围． 解：(1)证明：当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝a －1x ， 设0＜x 1＜x 2，则x 1x 2＞0，x 2－x 1＞0，f (x 2)－f (x 1)＝⎝⎛⎭⎫a －1x 2－⎝⎛⎭⎫a －1x 1＝1x 1－1x 2＝x 2－x 1x 1x 2＞0， 所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． (2)由题意a －1x ＜2x 在(1，＋∞)上恒成立， 设h (x )＝2x ＋1x，则a ＜h (x )在(1，＋∞)上恒成立． 任取x 1，x 2∈(1，＋∞)且x 1＜x 2， h (x 1)－h (x 2)＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫2－1x 1x 2.因为1＜x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1，所以2－1x 1x 2＞0， 所以h (x 1)＜h (x 2)，所以h (x )在(1，＋∞)上单调递增． 故a ≤h (1)，即a ≤3，所以实数a 的取值范围是(－∞，3]． 10．(2019·江阴期中)设函数f (x )＝ax ＋b 1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫13＝310.(1)求函数f (x )的解析式；(2)用单调性定义证明f (x )在(－1,1)上是增函数； (3)解不等式f (|t |－1)＋f (t 2)＜f (0)． 解：(1)因为f (x )＝ax ＋b1＋x 2是定义在(－1,1)上的奇函数， 所以f (0)＝b ＝0，所以f (x )＝ax1＋x 2，而f ⎝⎛⎭⎫13＝13a 1＋19＝310， 解得a ＝1，所以f (x )＝x1＋x 2，x ∈(－1,1)．(2)证明：任取x 1，x 2∈(－1,1)且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝(x 1－x 2)(1－x 1x 2)(1＋x 21)(1＋x 22). 因为x 1＜x 2，所以x 1－x 2＜0，又因为x 1，x 2∈(－1,1)，所以1－x 1x 2＞0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以函数f (x )在(－1,1)上是增函数．(3)由题意，不等式f (|t |－1)＋f (t 2)＜f (0)可化为f (|t |－1)＋f (t 2)＜0，即f (t 2)＜－f (|t |－1)， 因为f (x )是定义在(－1,1)上的奇函数， 所以f (t 2)＜f (1－|t |)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜t 2＜1，－1＜1－|t |＜1，t 2＜1－|t |，解得1－52＜t ＜5－12且t ≠0， 所以该不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，5－12. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，当f (x )＋f (x －8)≤2时，x 的取值范围是____________．解析：因为f (9)＝f (3)＋f (3)＝2，所以由f (x )＋f (x －8)≤2，可得f [x (x －8)]≤f (9)， 因为f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，x －8＞0，x (x －8)≤9，解得8＜x ≤9.答案：(8,9]2．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x ＞1时，f (x )＜0.(1)证明：f (x )为单调递减函数；(2)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． 解：(1)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1＞x 2， 则x 1x 2＞1，由于当x ＞1时，f (x )＜0， 所以f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＜0，即f (x 1)－f (x 2)＜0，因此f (x 1)＜f (x 2)，所以函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (2)因为f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， 所以f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝⎛⎭⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)得， f ⎝⎛⎭⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1， 所以f (9)＝－2.所以f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。

课时跟踪检测（五十二） 直线与圆锥曲线1．过抛物线y 2＝2x 的焦点作一条直线与抛物线交于A ，B 两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线( )A ．有且只有一条B ．有且只有两条C ．有且只有三条D ．有且只有四条解析：选B 设该抛物线焦点为F ，A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则|AB |＝|AF |＋|FB |＝x A ＋p2＋x B ＋p2＝x A ＋x B ＋1＝3＞2p ＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．2．(2019·张掖高三诊断)过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若A ，B 两点的横坐标之和为103，则|AB |＝( ) A.133B.143 C ．5D.163解析：选D 过抛物线的焦点的弦长公式为|AB |＝p ＋x 1＋x 2.∵p ＝2，∴|AB |＝2＋103＝163. 3．(2018·聊城二模)已知直线l 与抛物线C ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点为(2,1)，则直线l 的方程为( )A ．y ＝x －1B ．y ＝－2x ＋5C ．y ＝－x ＋3D ．y ＝2x －3解析：选D 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ②①－②得y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，由题可知x 1≠x 2.∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，即k AB ＝2，∴直线l 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0.故选D.4．(2019·厦门模拟)过双曲线C ：x 24－y 29＝1的左焦点作倾斜角为π6的直线l ，则直线l与双曲线C 的交点情况是( )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点且都在左支上D ．有两个交点分别在左、右两支上解析：选D 直线l 的方程为y ＝33()x ＋13，代入C ：x 24－y 29＝1，整理得23x 2－813x －160＝0，Δ＝(－813)2＋4×23×160＞0，所以直线l 与双曲线C 有两个交点，由一元二次方程根与系数的关系得两个交点横坐标符号不同，故两个交点分别在左、右两支上．5．已知抛物线y ＝－x 2＋3上存在关于直线x ＋y ＝0对称的相异两点A ，B ，则|AB |＝( )A ．3B ．4C ．3 2D ．4 2解析：选C 由题意可设l AB 为y ＝x ＋b ，代入y ＝－x 2＋3得x 2＋x ＋b －3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－1，x 1x 2＝b －3，y 1＋y 2＝x 1＋b ＋x 2＋b ＝－1＋2b .所以AB 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－12＋b ，该点在x ＋y ＝0上，即－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋b ＝0，得b ＝1，所以|AB |＝1＋12·x 1＋x 22－4x 1x 2＝3 2.6．(2019·青岛模拟)已知点A 是抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的对称轴与准线的交点，过点A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为P ，Q ，若△AP Q 的面积为4，则p 的值为( )A.12 B ．1 C.32D ．2解析：选D 设过点A 与抛物线相切的直线方程为y ＝kx －p 2.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －p 2，x 2＝2py得x2－2pkx ＋p 2＝0，由Δ＝4k 2p 2－4p 2＝0，可得k ＝±1， 则Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ，p 2，P ⎝⎛⎭⎪⎫－p ，p 2，∴△AP Q 的面积为12×2p ×p ＝4，∴p ＝2.故选D.7．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，过点P (3,6)的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (12,15)，则双曲线C 的离心率为( )A ．2 B.32 C.355D.52解析：选B 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由AB 的中点为N (12，15)，得x 1＋x 2＝24，y 1＋y 2＝30，由⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y22b 2＝1，两式相减得：x 1＋x 2x 1－x 2a2＝y 1＋y 2y 1－y 2b2，则y 1－y 2x 1－x 2＝b 2x 1＋x 2a 2y 1＋y 2＝4b 25a 2.由直线AB 的斜率k ＝15－612－3＝1，∴4b 25a 2＝1，则b 2a 2＝54，∴双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋b 2a 2＝32. 8．(2019·福州模拟)已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点C ，MN ⊥y 轴于点N ，若四边形CMNF 的面积等于7，则E 的方程为( )A ．y 2＝x B ．y 2＝2x C ．y 2＝4xD ．y 2＝8x解析：选C F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，直线AB 的方程为y ＝x －p2.联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝x －p2，可得x 2－3px ＋p 24＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝3p ， 则y 1＋y 2＝x 1＋x 2－p ＝2p ，∴M ⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2，p ，∴N (0，p )，直线MC 的方程为y ＝－x ＋5p 2. ∴C ⎝ ⎛⎭⎪⎫5p 2，0，∴四边形CMNF 的面积为S 梯形OCMN －S △ONF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3p 2＋5p 2·p2－12·p 2·p ＝7p24＝7， 又p ＞0，∴p ＝2，即抛物线E 的方程为y 2＝4x .故选C.9．(2018·湖北十堰二模)如图，F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与C 的两个分支分别交于点A ，B .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )A ．4 B.7 C.233D. 3解析：选B ∵△ABF 2为等边三角形，∴|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，∠F 1AF 2＝60°. 由双曲线的定义可得|AF 1|－|AF 2|＝2a ， ∴|BF 1|＝2a .又|BF 2|－|BF 1|＝2a ，∴|BF 2|＝4a . ∴|AF 2|＝4a ，|AF 1|＝6a .在△AF 1F 2中，由余弦定理可得|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2－2|AF 2|·|AF 1|cos 60°， ∴(2c )2＝(6a )2＋(4a )2－2×4a ×6a ×12，即c 2＝7a 2，∴e ＝c a ＝c 2a 2＝7.故选B. 10．(2019·贵阳模拟)已知双曲线x 2－y 2＝1的左、右顶点分别为A 1，A 2，动直线l ：y ＝kx ＋m 与圆x 2＋y 2＝1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则x 2－x 1的最小值为( )A ．2 2B ．2C ．4D ．3 2解析：选A ∵l 与圆相切， ∴原点到直线的距离d ＝|m |1＋k2＝1，∴m 2＝1＋k 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2－y 2＝1得(1－k 2)x 2－2mkx －(m 2＋1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4m 2k 2＋41－k2m 2＋1＝4m 2＋1－k 2＝8＞0，x 1x 2＝1＋m 2k 2－1＜0，∴k 2＜1，∴－1＜k ＜1，由于x 1＋x 2＝2mk 1－k 2，∴x 2－x 1＝x 1＋x 22－4x 1x 2＝22|1－k 2|＝221－k2，∵0≤k 2＜1，∴当k 2＝0时，x 2－x 1取最小值2 2.故选A.11．(2019·安庆模拟)设抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，点A ，B 在抛物线上，且满足AF ―→＝λFB ―→，若|AF ―→|＝32，则λ的值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线x 2＝4y 得焦点F 的坐标为(0,1)，准线方程为y ＝－1，∵|AF ―→|＝32，∴y 1＋1＝32，解得y 1＝12，∴x 1＝±2，由抛物线的对称性取x 1＝2， ∴A ⎝⎛⎭⎪⎫2，12，∴直线AF 的方程为y ＝－24x ＋1， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－24x ＋1，x 2＝4y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎨⎧x ＝－22，y ＝2，∴B (－22，2)，∴|FB ―→|＝2＋1＝3，∵AF ―→＝λFB ―→，∴|AF ―→|＝λ|FB ―→|，∴32＝3λ，解得λ＝12.答案：1212．(2019·武汉调研)已知直线MN 过椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点F ，与椭圆交于M ，N 两点．直线P Q 过原点O 且与直线MN 平行，直线P Q 与椭圆交于P ，Q 两点，则|P Q|2|MN |＝________.解析：法一：由题意知，直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为x ＝my ＋1，则直线P Q 的方程为x ＝my .设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x 3，y 3)，Q(x 4，y 4).⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 22＋y 2＝1⇒(m2＋2)y 2＋2my －1＝0⇒y 1＋y 2＝－2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. ∴|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2|＝22·m 2＋1m 2＋2.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ，x 22＋y 2＝1⇒(m 2＋2)y 2－2＝0⇒y 3＋y 4＝0，y 3y 4＝－2m 2＋2. ∴|P Q|＝1＋m 2|y 3－y 4|＝2 2 m 2＋1m 2＋2. 故|P Q|2|MN |＝2 2. 法二：取特殊位置，当直线MN 垂直于x 轴时，易得|MN |＝2b2a＝2，|P Q|＝2b ＝2，则|P Q|2|MN |＝2 2.答案：2 213．(2019·石家庄重中高中摸底)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)，直线l ：y ＝3(x －1)，l 与C 交于A ，B 两点，若|AB |＝163，则p ＝________.解析：由⎩⎨⎧y 2＝2px ，y ＝3x －1，消去y ，得3x 2－(2p ＋6)x ＋3＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2p ＋63，x 1x 2＝1，所以|AB |＝2x 1＋x 22－4x 1x 2＝22p ＋629－4＝163，所以p ＝2. 答案：214．(2018·深圳二模)设过抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点P (异于原点O )的直线与抛物线y 2＝8px (p ＞0)交于A ，B 两点，直线OP 与抛物线y 2＝8px (p ＞0)的另一个交点为Q ，则S △AB QS △ABO＝________. 解析：设直线OP 的方程为y ＝kx (k ≠0)，联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2px ，解得P ⎝⎛⎭⎪⎫2p k 2，2p k， 联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝8px ，解得Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫8p k2，8p k ，∴|OP |＝ 4p2k4＋4p2k 2＝2p 1＋k2k 2， |P Q|＝ 36p2k 4＋36p 2k2＝6p 1＋k2k2， ∴S △AB Q S △ABO ＝|P Q||OP |＝3. 答案：315．已知抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点F ，E 上一点(3，m )到焦点的距离为4. (1)求抛物线E 的方程；(2)过F 作直线l ，交抛物线E 于A ，B 两点，若直线AB 中点的纵坐标为－1，求直线l 的方程．解：(1)抛物线E ：y 2＝2px (p ＞0)的准线方程为x ＝－p2，由抛物线的定义可知3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2 ＝4，解得p ＝2，∴抛物线E 的方程为y 2＝4x .(2)法一：由(1)得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)， 设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减，整理得y 2－y 1x 2－x 1 ＝4y 2＋y 1(x 1≠x 2)． ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴直线l 的斜率k AB ＝4y 2＋y 1＝4－1×2＝－2， ∴直线l 的方程为y －0＝－2(x －1)，即2x ＋y －2＝0. 法二：由(1)得抛物线E 的方程为y 2＝4x ，焦点F (1,0)， 设直线l 的方程为x ＝my ＋1，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋1消去x ，得y 2－4my －4＝0.设A ，B 两点的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∵线段AB 中点的纵坐标为－1， ∴y 1＋y 22 ＝4m2＝－1，解得m ＝－12， ∴直线l 的方程为x ＝－12y ＋1，即2x ＋y －2＝0.16．(2019·佛山模拟)已知直线l 过点P (2,0)且与抛物线E ：y 2＝4x 相交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其中点A 在第四象限，O 为坐标原点．(1)当A 是PC 中点时，求直线l 的方程；(2)以AB 为直径的圆交直线OB 于点D ，求|OB |·|OD |的值． 解：(1)∵A 是PC 的中点，P (2,0)，C 在y 轴上， ∴A 点的横坐标为1，又A 在第四象限，∴A (1，－2)． ∴直线l 的方程为y ＝2x －4. (2)显然直线l 的斜率不为0， 设l的方程为x ＝my ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝4x ，消去x得y 2－4my －8＝0，∴y 1y 2＝－8，故x 1x 2＝y 214·y 224＝4，∵D 在以AB 为直径的圆上，且在直线OB 上，∴AD ―→⊥OD ―→， 设OD ―→＝λOB ―→＝(λx 2，λy 2)，则AD ―→＝OD ―→－OA ―→＝(λx 2－x 1，λy 2－y 1)， ∴AD ―→·OD ―→＝(λx 2－x 1)λx 2＋(λy 2－y 1)λy 2＝0， 即λ2x 22－4λ＋λ2y 22＋8λ＝0，易知λ≠0， ∴λ(x 22＋y 22)＝－4.∴|OB |·|OD |＝x 22＋y 22·λ2x 22＋λ2y 22 ＝|λ|(x 22＋y 22)＝4.17．(2019·广州调研)如图，在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的上焦点为F 1，椭圆C 的离心率为12，且过点⎝⎛⎭⎪⎫1，263. (1)求椭圆C 的方程；(2)设过椭圆C 的上顶点A 的直线l 与椭圆C 交于点B (B 不在y 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与x 轴交于点H ，若F 1B ―→·F 1H ―→＝0，且|MO |＝|MA |，求直线l 的方程．解：(1)因为椭圆C 的离心率为12，所以c a ＝12，即a ＝2c .又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝3c 2，即b 2＝34a 2，所以椭圆C 的方程为y 2a 2＋x 234a2＝1.把点⎝⎛⎭⎪⎫1，263代入椭圆C 的方程中，解得a 2＝4.所以椭圆C 的方程为y 24＋x 23＝1.(2)由(1)知，A (0,2)，设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝kx ＋2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 23＋y24＝1，得(3k 2＋4)x 2＋12kx ＝0.设B (x B ，y B )，得x B ＝－12k3k 2＋4， 所以y B ＝－6k 2＋83k 2＋4，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 3k 2＋4，－6k2＋83k 2＋4.设M (x M ，y M )，因为|MO |＝|MA |，所以点M 在线段OA 的垂直平分线上， 所以y M ＝1，因为y M ＝kx M ＋2，所以x M ＝－1k，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，1.设H (x H,0)，又直线HM 垂直于直线l ， 所以k MH ＝－1k，即1－1k－x H＝－1k . 所以x H ＝k －1k，即H ⎝⎛⎭⎪⎫k －1k，0.又F 1(0,1)，所以F 1B ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k 3k 2＋4，4－9k 23k 2＋4，F 1H ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ，－1.因为F 1B ―→·F 1H ―→＝0，所以－12k 3k 2＋4·⎝⎛⎭⎪⎫k －1k －4－9k 23k 2＋4＝0，解得k ＝±263.所以直线l 的方程为y ＝±263x ＋2.。

课时跟踪检测（五十一） 直线与椭圆的位置关系一、题点全面练1．若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )A ．至多为1B ．2C ．1D ．0解析：选B 由题意知4m 2＋n2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2.2．中心为原点，一个焦点为F (0,52)的椭圆，截直线y ＝3x －2所得弦中点的横坐标为12，则该椭圆的方程是( ) A.2x 275＋2y225＝1 B.x 275＋y 225＝1 C.x 225＋y 275＝1 D.2x 225＋2y275＝1 解析：选C 由题设知c ＝52，设椭圆方程为x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2a 2－50＋y 2a 2＝1，y ＝3x －2，消去y ，整理得(10a 2－450)x 2－12(a 2－50)x ＋4(a 2－50)－a 2(a 2－50)＝0，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝a 2－10a 2－450＝1，解得a 2＝75，所以椭圆方程为x 225＋y 275＝1.3．斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为( ) A ．2 B.455 C.4105D.8105解析：选C 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝x ＋t ，消去y ，得5x 2＋8tx ＋4(t 2－1)＝0，则x 1＋x 2＝－85t ，x 1x 2＝t 2－5.∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－85t 2－4×t 2－5＝425·5－t 2， 当t ＝0时，|AB |max ＝4105.4．设F 1，F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是( )A ．4 B.3 C ．2D ．1解析：选D ∵(OP ―→＋OF 2―→)·PF 2―→＝(OP ―→－OF 1―→)·PF 2―→＝F 1P ―→·PF 2―→＝0，∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°.设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝(m ＋n )2－m 2－n 2＝4，mn ＝2，∴＝12mn ＝1. 5.过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F .若13＜k ＜12，则椭圆C 的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 解析：选C 由题意可知，|AF |＝a ＋c ，|BF |＝a 2－c 2a ，于是k ＝a 2－c 2a a ＋c .又13＜k ＜12，所以13＜a 2－c 2a a ＋c ＜12，化简可得13＜1－e 21＋e ＜12，从而可得12＜e ＜23，选C.6．已知F 1(－1,0)，F 2(1,0)是椭圆C 的两个焦点，过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则C 的方程为__________．解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，则c ＝1.因为过F 2且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A ，B 两点，且|AB |＝3，所以b 2a ＝32，b 2＝a 2－c 2，所以a 2＝4，b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.答案：x 24＋y 23＝17．过点M (－2,0)的直线m 与椭圆x 22＋y 2＝1交于P 1，P 2两点，线段P 1P 2的中点为P ，设直线m 的斜率为k 1(k 1≠0)，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为__________．解析：过点M (－2,0)的直线m 的方程为y －0＝k 1(x ＋2)，代入椭圆方程化简得(2k 21＋1)x2＋8k 21x ＋8k 21－2＝0，所以x 1＋x 2＝－8k 212k 21＋1，所以点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k 212k 21＋1，2k 12k 21＋1，直线OP 的斜率k 2＝－12k 1，所以k 1k 2＝－12.答案：－128．(2019·广州模拟)已知中心在坐标原点的椭圆C 的右焦点为F (1,0)，点F 关于直线y ＝12x 的对称点在椭圆C 上，则椭圆C 的方程为__________． 解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，由题意可知c ＝1，即a 2－b 2＝1①，设点F (1,0)关于直线y ＝12x 的对称点为(m ，n )，可得n －0m －1＝－2②.又因为点F 与其对称点的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋12，n 2，且中点在直线y ＝12x 上，所以有n 2＝12×m ＋12③，联立②③，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝35，n ＝45，即对称点为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，代入椭圆方程可得925a 2＋1625b 2＝1④，联立①④，解得a 2＝95，b 2＝45，所以椭圆方程为5x 29＋5y24＝1.答案：5x 29＋5y24＝19．(2019·长春监测)已知椭圆C 的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且经过点E ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，32. (1)求椭圆C 的方程；(2)过F 1的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点(点A 位于x 轴上方)，若AF 1―→＝2F 1B ―→，求直线l 的斜率k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝|EF 1|＋|EF 2|＝4，a 2＝b 2＋c 2，c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意得直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ＞0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ＋，x 24＋y23＝1，整理得⎝⎛⎭⎪⎫3k2＋4y 2－6ky －9＝0，Δ＝144k2＋144＞0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝6k 3＋4k 2，y 1y 2＝－9k23＋4k 2，又AF 1―→＝2F 1B ―→，所以y 1＝－2y 2， 所以y 1y 2＝－2(y 1＋y 2)2，则3＋4k 2＝8， 解得k ＝±52，又k ＞0，所以k ＝52. 10．(2018·成都模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3，0)，长半轴与短半轴的比值为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点A (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N .若点B (0,1)在以线段MN 为直径的圆上，求直线l 的方程．解：(1)由题可知c ＝3，a b＝2，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，b ＝1.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)易知当直线l 的斜率为0或直线l 的斜率不存在时，不合题意．当直线l 的斜率存在且不为0时，设直线l 的方程为x ＝my ＋1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 2＝1，消去x 可得(4＋m 2)y 2＋2my －3＝0.Δ＝16m 2＋48＞0，y 1＋y 2＝－2m 4＋m 2，y 1y 2＝－34＋m2. ∵点B 在以MN 为直径的圆上， ∴BM ―→·BN ―→＝0.∵BM ―→·BN ―→＝(my 1＋1，y 1－1)·(my 2＋1，y 2－1)＝(m 2＋1)y 1y 2＋(m －1)(y 1＋y 2)＋2＝0， ∴(m 2＋1)·－34＋m 2＋(m －1)·－2m 4＋m 2＋2＝0，整理，得3m 2－2m －5＝0，解得m ＝－1或m ＝53.∴直线l 的方程为x ＋y －1＝0或3x －5y －3＝0.二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分1．已知点P 是椭圆x 216＋y 28＝1(x ≠0，y ≠0)上的动点，F 1，F 2分别是椭圆的左、右焦点，O是坐标原点，若M 是∠F 1PF 2的平分线上一点，且F 1M ―→·MP ―→＝0，则|OM ―→|的取值范围是( )A ．[0,3)B ．(0,22)C ．[22，3)D ．(0,4]解析：选B 如图，延长F 1M 交PF 2的延长线于点G . ∵F 1M ―→·MP ―→＝0，∴F 1M ―→⊥MP ―→. 又MP 为∠F 1PF 2的平分线，∴|PF 1|＝|PG |，且M 为F 1G 的中点． ∵O 为F 1F 2的中点，∴OM 綊12F 2G .∵|F 2G |＝||PF 2|－|PG ||＝||PF 1|－|PF 2||， ∴|OM ―→|＝12|2a －2|PF 2||＝|4－|PF 2||.∵4－22＜|PF 2|＜4或4＜|PF 2|＜4＋22， ∴|OM ―→|∈(0,22)．2．已知椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，设圆C 在点P 处的切线斜率为k 1，椭圆M 在点P 处的切线斜率为k 2，则k 1k 2的取值范围为( )A ．(1,6) B.(1,5) C ．(3,6)D ．(3,5)解析：选D 由于椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1，圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限有公共点P ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＞6－a 2，6－a 2＞1，解得3＜a 2＜5.设椭圆M ：x 2a2＋y 2＝1与圆C ：x 2＋y 2＝6－a 2在第一象限的公共点P (x 0，y 0)，则椭圆M 在点P 处的切线方程为x 0xa 2＋y 0y ＝1，圆C 在P 处的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝6－a 2，所以k 1＝－x 0y 0，k 2＝－x 0a 2y 0，k 1k 2＝a 2，所以k 1k 2∈(3,5)．3.如图，椭圆的中心在坐标原点O ，顶点分别是A 1，A 2，B 1，B 2，焦点分别为F 1，F 2，延长B 1F 2与A 2B 2交于P 点，若∠B 1PA 2为钝角，则此椭圆的离心率的取值范围为______．解析：设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，∠B 1PA 2为钝角可转化为B 2A 2―→，F 2B 1―→所夹的角为钝角，则(a ，－b )·(－c ，－b )＜0，即b 2＜ac ，则a 2－c 2＜ac ，故⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＋ca－1＞0，即e 2＋e－1＞0，解得e ＞5－12或e ＜－5－12，又0＜e ＜1，所以5－12＜e ＜1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫5－12，1(二)难点专练——适情自主选4．(2018·天津高考)设椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点为A ，上顶点为B ，已知椭圆的离心率为53，|AB |＝13. (1)求椭圆的方程；(2)设直线l ：y ＝kx (k ＜0)与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P ，M 均在第四象限．若△BPM 的面积是△BP Q 面积的2倍，求k 的值．[解] (1)设椭圆的焦距为2c ，由已知得c 2a 2＝59，又由a 2＝b 2＋c 2，可得2a ＝3b .又|AB |＝a 2＋b 2＝13，从而a ＝3，b ＝2. 所以椭圆的方程为x 29＋y 24＝1.(2)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，点M 的坐标为(x 2，y 2)， 由题意知，x 2＞x 1＞0，点Q 的坐标为(－x 1，－y 1)． 因为△BPM 的面积是△BP Q 面积的2倍， 所以|PM |＝2|P Q|，所以x 2－x 1＝2[x 1－(－x 1)]，即x 2＝5x 1. 易知直线AB 的方程为2x ＋3y ＝6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝6，y ＝kx ，消去y ，可得x 2＝63k ＋2. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 24＝1，y ＝kx ，消去y ，可得x 1＝69k 2＋4. 由x 2＝5x 1，可得9k 2＋4＝5(3k ＋2)， 两边平方，整理得18k 2＋25k ＋8＝0， 解得k ＝－89或k ＝－12.当k ＝－89时，x 2＝－9＜0，不合题意，舍去；当k ＝－12时，x 2＝12，x 1＝125，符合题意．所以k 的值为－12.5．(2018·成都一诊)已知椭圆x 25＋y 24＝1的右焦点为F ，设直线l ：x ＝5与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线l 1与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线l 1的倾斜角为π4，求|AB |的值；(2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 解：由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)． (1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1.∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53.∴|AB |＝2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1092＋4×53＝1659. (2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2.设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3. 而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k x 1－x 1－3－k (x 2－1)＝3kx 1＋x 2－kx 1x 2－5kx 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0.∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .。

高一数学课时跟踪检测(全一册)苏教版必修课时跟踪检测一棱柱棱锥和棱台课时跟踪检测二圆柱圆锥圆台和球课时跟踪检测三直观图画法课时跟踪检测四平面的基本性质课时跟踪检测五空间两条直线的位置关系课时跟踪检测六直线与平面平行课时跟踪检测七直线与平面垂直课时跟踪检测八两平面平行课时跟踪检测九两平面垂直课时跟踪检测十空间几何体的表面积课时跟踪检测十一空间几何体的体积课时跟踪检测十二直线的斜率课时跟踪检测十三直线的点斜式方程课时跟踪检测十四直线的两点式方程课时跟踪检测十五直线的一般式方程课时跟踪检测十六两条直线的平行课时跟踪检测十七两条直线的垂直课时跟踪检测十八两条直线的交点课时跟踪检测十九平面上两点之间的距离课时跟踪检测二十点到直线的距离课时跟踪检测二十一圆的标准方程课时跟踪检测二十二圆的一般方程课时跟踪检测二十三直线与圆的位置关系课时跟踪检测二十四圆与圆的位置关系课时跟踪检测二十五空间直角坐标系课时跟踪检测二十六空间两点间的距离课时跟踪检测（一）棱柱、棱锥和棱台层级一学业水平达标1．关于如图所示的4个几何体,说法正确的是( )A．只有②是棱柱B．只有②④是棱柱C．只有①②是棱柱D．只有①②④是棱柱解析：选D 解决这类问题,要紧扣棱柱的定义：有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行．图①②④满足棱柱的定义,正确；图③不满足侧面都是平行四边形,不正确．2．下面结论是棱台具备的性质的是( )①两底面相似；②侧面都是梯形；③侧棱都相等；④侧棱延长后都交于一点.A．①③B．①②④C．②④D．②③④解析：选B 用棱台的定义可知选B.3．下面图形中,为棱锥的是( )A．①③ B．①③④C．①②④ D．①②解析：选 C 根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥．故选C.4．下列图形中,不能折成三棱柱的是( )解析：选C C中,两个底面均在上面,因此不能折成三棱柱,其余均能折为三棱柱．5．一个棱锥的各条棱都相等,那么这个棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥解析：选D 若满足条件的棱锥是六棱锥,则它的六个侧面都是正三角形,侧面的顶角都是60°,其和为360°,则顶点在底面内,与棱锥的定义相矛盾．6．一个棱柱至少有________个面,面数最少的一个棱锥有________个顶点,顶点最少的一个棱台有________条侧棱．答案：5 4 37．两个完全相同的长方体,长、宽、高分别为5 cm,4 cm,3 cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这些新长方体中,表面积最大的长方体的表面积为________ cm2.解析：将两个长方体侧面积最小的两个面重合在一起,得到的长方体的表面积最大,此时,所得的新长方体的长、宽、高分别为10 cm,4 cm,3 cm,表面积的最大值为2×(10×4＋3×4＋3×10)＝164.答案：1648.如图,三棱台ABC­A′B′C′,沿A′BC截去三棱锥A′­ABC,则剩余部分是________．解析：在图中截去三棱锥A′­ABC后,剩余的是以BCC′B′为底面,A′为顶点的四棱锥．答案：四棱锥A′­BCC′B′9．如图,观察并分别判断①中的三棱镜,②中的螺杆头部模型有多少对互相平行的平面,其中能作为棱柱底面的分别有几对．解：图①中有1对互相平行的平面,只有这1对可以作为棱柱的底面．图②中有4对互相平行的平面,只有1对可以作为棱柱的底面．10.在一个长方体的容器中,里面装有少量水,现在将容器绕着其底部的一条棱倾斜,在倾斜的过程中．(1)水面的形状不断变化,可能是矩形,也可能变成不是矩形的平行四边形,对吗？(2)水的形状也不断变化,可以是棱柱,也可能变为棱台或棱锥,对吗？(3)如果倾斜时,不是绕着底部的一条棱,而是绕着其底部的一个顶点,上面的第(1)题和第(2)题对不对？解：(1)不对；水面的形状是矩形,不可能是其他非矩形的平行四边形．(2)不对；此几何体是棱柱,水比较少时,是三棱柱,水多时,可能是四棱柱,或五棱柱；但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体,其截面形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形,因而水面的形状可以是三角形,四边形,五边形,六边形；水的形状可以是棱锥,棱柱,但不可能是棱台．层级二 应试能力达标1．下列命题正确的是( )A ．有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体叫做棱柱B ．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面C ．棱柱的侧面是平行四边形,底面不是平行四边形D ．棱柱的侧棱都相等,侧面都是平行四边形解析：选D 根据棱柱的定义可知D 正确．2．下列说法正确的是( )A ．有2个面平行,其余各面都是梯形的几何体是棱台B ．多面体至少有3个面C ．各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体D ．九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形解析：选D 选项A 错误,反例如图1；一个多面体至少有4个面,如三棱锥有4个面,不存在有3个面的多面体,所以选项B 错误；选项C 错误,反例如图2,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形,它不是正方体；根据棱柱的定义,知选项D 正确．3．用一平行于棱锥底面的平面截某棱锥,截得的棱台上、下底面面积比为1∶4,截去的棱锥的高是3 cm,则棱台的高是( )A ．12 cmB ．9 cmC ．6 cmD ．3 cm解析：选D 设原棱锥的高为h cm,依题意可得⎝ ⎛⎭⎪⎫3h 2＝14,解得h ＝6,所以棱台的高为6－3＝3(cm)．4．五棱柱中,不同在任何侧面,且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个五棱柱共有对角线( )A ．20条B ．15条C ．12条D ．10条解析：选D 由题意,知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线,因为不同在任何侧面内,故从一个顶点出发的对角线有2条,所以五棱柱共有对角线2×5＝10(条)．故选D.5．在正方体上任意选择4个顶点,则可以组成的平面图形或几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形,另一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1上,若取A,B,C,D四个顶点,可得矩形；若取D,A,C,D1四个顶点,可得③中所述几何体；若取A,C,D1,B1四个顶点,可得④中所述几何体；若取D,D1,A,B四个顶点,可得⑤中所述几何体．故填①③④⑤.答案：①③④⑤6.如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCD­A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________ cm.解析：由题意,若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是13cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1,4,故两点之间的距离是17 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是13 cm.答案：137．根据下列关于空间几何体的描述,说出几何体的名称．(1)由6个平行四边形围成的几何体．(2)由7个面围成,其中一个面是六边形,其余6个面都是有一个公共顶点的三角形．(3)由5个面围成的几何体,其中上、下两个面是相似三角形,其余3个面都是梯形,并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形,四个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥,其中六边形面是底面,其余的三角形面是侧面．(3)这是一个三棱台,其中相似的两个三角形面是底面,其余三个梯形面是侧面．8.如图在正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a ,则每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2,S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2, S △DEF ＝32a 2. 课时跟踪检测（二） 圆柱、圆锥、圆台和球层级一 学业水平达标1．有下列四个说法,其中正确的是( )A ．圆柱的母线与轴垂直B ．圆锥的母线长等于底面圆直径C ．圆台的母线与轴平行D ．球的直径必过球心解析：选D A ：圆柱的母线与轴平行；B ：圆锥的母线长与底面圆的直径不具有任何关系；C ：圆台的母线延长线与轴相交．故D 正确．2．如图所示的图形中有( )A ．圆柱、圆锥、圆台和球B ．圆柱、球和圆锥C ．球、圆柱和圆台D ．棱柱、棱锥、圆锥和球解析：选B 根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故应选B.3．下列说法中正确的个数是( )①用一个平面去截一个圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②圆锥中过轴的截面是一个等腰三角形；③分别以矩形(非正方形)的长和宽所在直线为旋转轴,旋转一周得到的两个几何体是两个不同的圆柱．A ．0B ．1C．2 D．3解析：选C ①中,必须用一个平行于底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,故①说法错误；显然②③说法正确．故说法正确的有2个．4．如图所示的几何体是由下列哪个平面图形通过旋转得到的( )解析：选A 由题图知平面图应是一个直角三角形和一个直角梯形构成,故A正确．5．一个直角三角形绕斜边旋转360°形成的空间几何体是( )A．一个圆锥B．一个圆锥和一个圆柱C．两个圆锥D．一个圆锥和一个圆台答案：C6．将一个直角梯形绕其较短的底边所在的直线旋转一周得到一个几何体,则该几何体的结构特征是________________________________．答案：一个圆柱被挖去一个圆锥后所剩的几何体7．用平行于圆锥底面的平面截圆锥,所得截面面积与底面面积的比是1∶3,这个截面把圆锥的母线分为两段的比是________．解析：∵截面面积与底面面积的比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的相似比为1∶3,故小圆锥与大圆锥的母线长之比为1∶3,故小圆锥与所得圆台的母线长比为1∶(3－1)．答案：1∶(3－1)8．将边长为4 cm和8 cm的矩形纸片卷成一个圆柱的侧面,则圆柱的轴截面的面积为________cm2.解析：当以4 cm为母线长时,设圆柱底面半径为r,则8＝2πr,∴2r＝8π.∴S轴截面＝4×8π＝32π(cm)2.当以8 cm为母线长时,设圆柱底面半径为R,则2πR＝4,2R＝4π.∴S轴截面＝8×4π＝32π(cm)2.综上,圆锥的轴截面面积为32πcm 2. 答案：32π9．将长为4宽为3的矩形ABCD 沿对角线AC 折起,折起后A ,B ,C ,D 在同一个球面上吗？若在求出这个球的直径．解：因为对角线AC 是直角三角形ABC 和直角三角形ADC 的公共斜边,所以AC 的中点O 到四个点的距离相等,即O 为该球的球心．所以AC 为球的一条直径,由勾股定理得AC ＝42＋32＝5.10．如图所示,直角梯形ABCD 中,AB ⊥BC ,绕着CD 所在直线l 旋转,试画出立体图并指出几何体的结构特征．解：如图①,过A ,B 分别作AO 1⊥CD ,BO 2⊥CD ,垂足分别为O 1,O 2,则Rt △CBO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成几何体是圆锥,直角梯形O 1ABO 2绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆台,Rt△ADO 1绕l 旋转一周所形成的曲面围成的几何体是圆锥．① ② 综上,所得几何体下面是一个圆锥,上面是一个圆台挖去了一个以圆台上底面为底面的圆锥．(如图②所示)．层级二 应试能力达标1．下列结论正确的是( )A ．用一个平面去截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台B ．经过球面上不同的两点只能作一个最大的圆C ．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是正六棱锥D ．圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线解析：选D 须用平行于圆锥底面的平面截才能得到圆锥和圆台,故A 错误；若球面上不同的两点恰为最大的圆的直径的端点,则过此两点的大圆有无数个,故B错误；正六棱锥的侧棱长必然要大于底面边长,故C错误．故选D.2.若圆柱体被平面截成如图所示的几何体,则它的侧面展开图是( )解析：选D 结合几何体的实物图,从截面最低点开始高度增加缓慢,然后逐渐变快,最后增加逐渐变慢,不是均衡增加的,所以A、B、C错误．3．一个正方体内接于一个球,过球心作一截面,如下图所示,则截面的可能图形是( )A．①②B．②④C．①②③D．②③④解析：选C 当截面平行于正方体的一个侧面时得③,当截面过正方体对角面时得②,当截面不平行于任何侧面也不过对角面时得①,但无论如何都不能得出④.4．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π,则两平行平面间的距离为( )A．1 B．2C．1或7 D．2或6解析：选C 由截面的周长分别为6π和8π得两个截面半径分别为3和4,又球的半径为5,故圆心到两个截面的距离分别为4和3,故当两个截面在球心同一侧时,平行平面间的距离为4－3＝1,当两个截面在球心两侧时,平行平面间的距离为4＋3＝7.5．如果圆锥的侧面展开图是半圆,那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．解析：设底面半径为r,母线为l,则2πr＝πl,∴l＝2r.故两条母线的夹角为60°.答案：60°6．圆锥底面半径为1 cm,高为 2 cm,其中有一个内接正方体,则这个内接正方体的棱长为________ cm.解析：圆锥的轴截面SEF、正方体对角面ACC 1A1如图．设正方体的棱长为x cm,则AA1＝x cm,A1C1＝2x cm.作SO ⊥EF 于点O ,则SO ＝ 2 cm,OE ＝1 cm.∵△EAA 1∽△ESO ,∴AA 1SO ＝EA 1EO ,即x 2＝1－22x1.∴x ＝22,即该内接正方体的棱长为22 cm. 答案：227．一个圆锥的底面半径为2,高为6,在其中有一个高为x 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S ；(2)当x 为何值时,S 最大？解：(1)如图,设内接圆柱的底面圆半径为r , 由已知得6－x 6＝r2,∴r ＝6－x3,∴S ＝2×6－x3×x ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)当x ＝－42×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝3时,S 最大．8.如图所示,已知圆柱的高为80 cm,底面半径为10 cm,轴截面上有P ,Q 两点,且PA ＝40 cm,B 1Q ＝30 cm,若一只蚂蚁沿着侧面从P 点爬到Q 点,问：蚂蚁爬过的最短路径长是多少？解：将圆柱侧面沿母线AA 1展开,得如图所示矩形．∴A 1B 1＝12·2πr ＝πr ＝10π(cm)．过点Q 作QS ⊥AA 1于点S ,在Rt △PQS 中,PS ＝80－40－30＝10(cm),QS ＝A1B 1＝10π(cm)．∴PQ＝PS2＋QS2＝10π2＋1(cm)．即蚂蚁爬过的最短路径长是10π2＋1 cm.课时跟踪检测（三）直观图画法层级一学业水平达标1．根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O′x′,O′y′,O′z′,则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( ) A．90°,90°B．45°,90°C．135°,90° D．45°或135°,90°解析：选D 根据斜二测画法的规则,∠x′O′y′的度数应为45°或135°,∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.2．已知一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m,四棱锥的高为8 m,如果按1∶500 的比例画出它的直观图,那么在直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( ) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：选C 直观图中长、宽、高应分别按原尺寸的1500,11 000,1500计算,最后单位转化为 cm.3．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图,可能是下面的( )解析：选C 正方形的直观图是平行四边形,且边长不相等,故选C项．4.如右图所示的水平放置的三角形的直观图,D′是△A′B′C′中B′C′边的中点,且A′D′平行于y′轴,那么A′B′,A′D′,A′C′三条线段对应原图形中线段AB,AD,AC中( )A．最长的是AB,最短的是ACB．最长的是AC,最短的是ABC．最长的是AB,最短的是ADD．最长的是AD,最短的是AC解析：选C 因为A′D′∥y′轴,所以在△ABC中,AD⊥BC,又因为D′是B′C′的中点,所以D是BC中点,所以AB＝AC>AD.5．水平放置的△ABC ,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A ′B ′C ′,则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．任意三角形解析：选C 将△A ′B ′C ′还原,由斜二测画法知,△ABC 为钝角三角形． 6．利用斜二测画法得到 ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④矩形的直观图是矩形．以上结论,正确的是________(填序号)．解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、相对线线平行关系不会改变,因此三角形的直观图是三角形,平行四边形的直观图是平行四边形．答案：①②7.如图,矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O ′A ′＝6,O ′C ′＝3,B ′C ′∥x ′轴,则原平面图形的面积为________．解析：在直观图中,设B ′C ′与y ′轴的交点为D ′,则易得O ′D ′＝32,所以原平面图形为一边长为6,高为62的平行四边形,所以其面积为6×62＝36 2.答案：36 28.如图,一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底长均为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是________．解析：由题意知平面图形为直角梯形ABCD ,其中,AD ＝AD ′＝1,BC ＝B ′C ′＝1＋2,AB ＝2,即S 梯形ABCD ＝(1＋1＋2)2×2＝2＋ 2.答案：2＋ 29.如图所示,梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB ＝4 cm,CD ＝2 cm,∠DAB ＝30°,AD ＝3 cm,试画出它的直观图．解：(1)如图(a)所示,在梯形ABCD 中,以边AB 所在的直线为x 轴,点A 为原点,建立平面直角坐标系xOy .如图(b)所示,画出对应的x ′轴,y ′轴,使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在图(a)中,过D 点作DE ⊥x 轴,垂足为E .在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm,A ′E ′＝AE ＝3×32≈2.598 (cm)；过点E ′作E ′D ′∥y ′轴,使E ′D ′＝12ED ,再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴,且使D ′C ′＝DC ＝2 cm.(3)连结A ′D ′,B ′C ′,并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线,如图(c)所示,则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．10．已知底面是正六边形,侧面都是全等的等腰三角形的六棱锥．请画出它的直观图． 解：作法：(1)画六棱锥P ­ABCDEF 的底面．①在正六边形ABCDEF 中,取AD 所在直线为x 轴,对称轴MN 所在直线为y 轴,两轴交于点O .画相应的x ′轴和y ′轴、z ′轴,三轴交于点O ′,使∠x ′O ′y ′＝45°,∠x ′O ′z ′＝90°.②以O ′为中点,在x ′轴上取A ′D ′＝AD ,在y ′轴上取M ′N ′＝12MN ,以N ′为中点画B ′C ′,使B ′C ′∥O ′x ′,B ′C ′＝BC ；再以M ′为中点画E ′F ′,使E ′F ′∥O ′x ′,E ′F ′＝EF .③连结A ′B ′,C ′D ′,D ′E ′,F ′A ′,得到正六边形ABCDEF 水平放置的直观图A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(2)画六棱锥的顶点．在O ′z ′上截取点P ,使PO ′＝PO .(3)成图,连结PA ′,PB ′,PC ′,PD ′,PE ′,PF ′,并擦去辅助线,改被遮挡部分为虚线,即得六棱锥P ­ABCDEF 的直观图六棱锥P ­A ′B ′C ′D ′E ′F ′.层级二 应试能力达标1.已知水平放置的△ABC 按斜二测画法得到如图所示的直观图,其中B ′O ′＝C ′O ′＝1,A ′O ′＝32,那么原△ABC 是一个( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形C ．三边中有两边相等的等腰三角形D ．三边互不相等的三角形解析：选A 根据斜二测画法的原则,得BC ＝B ′C ′＝2,OA ＝2A ′O ′＝2×32＝3,AO ⊥BC ,∴AB ＝AC ＝BC ＝2,∴△ABC 是等边三角形． 2.用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图所示,AB 边平行于y 轴,BC ,AD 平行于x 轴．已知四边形ABCD 的面积为2 2 cm 2,则原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为( )A ．4 cm 2B ．4 2 cm 2C ．8 cm 2D ．8 2 cm 2解析：选C 依题意,可知∠BAD ＝45°,则原平面图形A ′B ′C ′D ′为直角梯形,上、下底边分别为B ′C ′,A ′D ′,且长度分别与BC ,AD 相等,高为A ′B ′,且长度为梯形ABCD 的高的22倍,所以原平面图形的面积为8 cm 2.3．如图是利用斜二测画法画出的△ABO 的直观图,已知O ′B ′＝4,A ′B ′∥y ′ 轴,且△ABO 的面积为16,过A ′作A ′C ′⊥x ′轴,则A ′C ′的长为( )A ．2 2 B. 2 C ．16 2D ．1解析：选A 因为A ′B ′∥y ′轴,所以在△ABO 中,AB ⊥OB .又△ABO 的面积为16,所以12AB ·OB ＝16.所以AB ＝8,所以A ′B ′＝4.如图,作A ′C ′⊥O ′B ′于点C ′,所以B ′C ′＝A ′C ′,所以A ′C ′的长为4sin 45°＝2 2.4．已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为 2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )A ．2 cmB ．3 cmC ．2.5 cmD ．5 cm解析：选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2＋3＝5 cm,在直观图中与z 轴平行的线段长度不变,仍为5 cm.5．有一个长为5,宽为4 的矩形,则其直观图的面积为________． 解析：由于该矩形的面积为S ＝5×4＝20,所以由公式S ′＝24S ,得其直观图的面积为S ′＝24S ＝5 2. 答案：5 26.水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示,已知A ′C ′＝3,B ′C ′＝2,则AB 边上的中线的实际长度为________．解析：由直观图知,原平面图形为直角三角形,且AC ＝A ′C ′＝3,BC＝2B′C′＝4,计算得AB＝5,所求中线长为2.5.答案：2.57．在水平位置的平面M内有一边长为1的正方形A′B′C′D′.如图,其中对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：四边形ABCD的真实图形如图所示．∵A′C′为水平位置,∴四边形ABCD中,DA⊥AC.∵DA＝2D′A′＝2,AC＝A′C′＝2,∴S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.8．如图,正方形O′A′B′C′的边长为1 cm,它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状,并求原图形的周长与面积．解：如图,建立直角坐标系xOy,在x轴上取OA＝O′A′＝1 cm；在y轴上取OB＝2O′B′＝2 2 cm；在过点B的x轴的平行线上取BC＝B′C′＝1 cm.连结O,A,B,C各点,即得到了原图形．由作法可知,OABC为平行四边形,OC＝OB2＋BC2＝8＋1＝3 cm,∴平行四边形OABC的周长为(3＋1)×2＝8 cm,面积为S＝1×22＝2 2 cm2.课时跟踪检测（四）平面的基本性质层级一学业水平达标1．如果直线a⊂平面α,直线b⊂平面α,M∈a,N∈b,M∈l,N∈l,则( )A．l⊂αB．l⊄αC．l∩α＝M D．l∩α＝N解析：选A ∵M∈a,a⊂α,∴M∈α,同理,N∈α,又M∈l,N∈l,故l⊂α.2．下列命题中正确命题的个数是( )①三角形是平面图形；②梯形是平面图形；③四边相等的四边形是平面图形；④圆是平面图形．A．1个B．2个C．3个D．4个解析：选C 根据公理1可知①②④正确,③错误．故选C.3．已知直线m⊂平面α,P∉m,Q∈m,则( )A．P∉α,Q∈αB．P∈α,Q∉αC．P∉α,Q∉αD．Q∈α解析：选D 因为Q∈m,m⊂α,所以Q∈α.因为P∉m,所以有可能P∈α,也可能有P∉α.4．如果两个平面有一个公共点,那么这两个平面( )A．没有其他公共点B．仅有这一个公共点C．仅有两个公共点D．有无数个公共点解析：选D 根据公理2可知,两个平面若有一个公共点,则这两个平面有且只有一个经过该点的公共直线．故选D.5．若直线l上有两个点在平面α外,则( )A．直线l上至少有一个点在平面α内B．直线l上有无穷多个点在平面α内C．直线l上所有点都在平面α外D．直线l上至多有一个点在平面α内解析：选D 由已知得直线l⊄α,故直线l上至多有一个点在平面α内．6．过同一点的4条直线中,任意3条都不在同一平面内,则这4条直线确定平面的个数是________．解析：设四条直线为a,b,c,d,则这四条直线中每两条都确定一个平面,因此,a与b,a 与c,a与d,b与c,b与d,c与d都分别确定一个平面,共6个平面．答案：67．已知α,β是不同的平面,l,m,n是不同的直线,P为空间中一点．若α∩β＝l,m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．解析：因为m⊂α,n⊂β,m∩n＝P,所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l,所以点P在直线l上,所以P∈l.答案：P∈l8．空间有四个点,如果其中任意三个点不共线,则经过其中三个点的平面有________个．解析：用平面四边形和三棱锥的四个顶点判断,经过其中三个点的平面有1或4个．答案：1或49.如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,判断下列命题是否正确,并说明理由．(1)由点A,O,C可以确定一个平面；(2)由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.解：(1)不正确．因为点A,O,C在同一条直线上,故不能确定一个平面．(2)正确．因为点A,B1,C1不共线,所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1,所以点D∈平面AB1C1.所以由点A,C1,B1确定的平面为平面ADC1B1.10.如图,已知平面α,β,且α∩β＝l.设梯形ABCD中,AD∥BC,且AB⊂α,CD⊂β,求证：AB,CD,l共点(相交于一点)．证明：∵在梯形ABCD中,AD∥BC,∴AB,CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB,CD必定相交于一点,设AB∩CD＝M.又∵AB⊂α,CD⊂β,∴M∈α,且M∈β.∴M∈α∩β.又∵α∩β＝l,∴M∈l,即AB,CD,l共点．层级二应试能力达标1．能确定一个平面的条件是( )A．空间三个点B．一个点和一条直线C．无数个点D．两条相交直线解析：选D 不在同一条直线上的三个点可确定一个平面,A,B,C条件不能保证有不在同一条直线上的三个点,故不正确．2．下列推理错误的是( )A．A∈l,A∈α,B∈l,B∈α⇒l⊂αB．A∈α,A∈β,B∈α,B∈β⇒α∩β＝ABC．l⊄α,A∈l⇒A∉αD．A,B,C∈α,A,B,C∈β,且A,B,C不共线⇒α与β重合解析：选C 当l⊄α,A∈l时,也有可能A∈α,如l∩α＝A,故C错．3.如图,已知平面α∩平面β＝l,P∈β且P∉l,M∈α,N∈α,又MN∩l＝R,M,N,P三点确定的平面记为γ,则β∩γ是( )A．直线MP B．直线NPC．直线PR D．直线MR解析：选C 因为MN⊂γ,R∈MN,所以R∈γ.又α∩β＝l,MN∩l＝R,所以R∈β.又P ∈β,P∈γ,所以P,R均为平面γ与β的公共点,所以β∩γ＝PR.4．在空间四边形ABCD中,在AB,BC,CD,DA上分别取E,F,G,H四点,如果GH,EF交于一点P,则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上,也不在AC上解析：选B 由题意知GH⊂平面ADC.因为GH,EF交于一点P,所以P∈平面ADC.同理,P ∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC,由公理2可知点P一定在直线AC上．5．三条直线两两相交,它们可以确定________个平面．解析：若三条直线两两相交,且不共点,则只能确定一个平面；若三条直线两两相交,且共点,则可以确定1个或3个平面．答案：1或36．三个平面两两相交,则将空间分成________个部分．解析：三个平面两两相交(1)若交于同一条直线,则将空间分成6个部分；(2)若交于三条交线①三条交线交于一点,则将空间分成8个部分；②若三条交线互相平行,则将空间分成7个部分；所以,三个这样的平面将空间分成6或7或8个部分．答案：6或7或87. 如图,直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线．解：延长AC,BD交于T, 连结ST,∵T∈AC,AC⊂平面SAC,。

课时作业(五十一) 第51讲 直线与圆锥曲线的位置关系时间：45分钟 分值：100分基础热身1．2011²哈尔滨二模 已知椭圆C ：x24＋y2b＝1，直线l ：y ＝mx ＋1，若对任意的m ∈R ，直线l 与椭圆C 恒有公共点，则实数b 的取值范围是( )A ．1,4)B ．1，＋∞)C ．1,4)∪(4，＋∞)D ．(4，＋∞)2．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．直线x －y ＋3＝0与曲线y 29－x |x |4＝1的交点个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．14．2011²西铁一中二模 若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1531 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，153 C.⎝⎛⎭⎪⎫－1530 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－153，153 能力提升5．设O 是坐标原点，F 是抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点，A 是抛物线上的一点，与x 轴正向的夹角为60°，则||为( )A.21p 4B.21p 2C.136p D.1336p 6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A ．有且仅有一条B ．有且仅有两条C ．有无穷多条D ．不存在7．2011²舟山七校联考 椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率e ＝23，A ，B 是椭圆上关于x 、y轴均不对称的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)．设AB 的中点为C (x 0，y 0)，则x 0的值为( )A.95B.94C.49D.598．已知直线y ＝k (x ＋2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为C 的焦点，若|FA |＝2|FB |，则k ＝( )A.13B.23C.23D.2239．2011²全国卷 已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝2x －4与C 交于A ，B 两点．则cos ∠AFB ＝( )A.45B.35C ．－35D ．－4510．若直线l ：tx －y ＋6＝0与曲线C ：x 2－y 2＝2有两个不同交点，则实数t 的取值范围是________．11．过点(0,2)的双曲线x 2－y 2＝2的切线方程是________．12．设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (1,0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点．若AB 的中点为(2,2)，则直线l 的方程为________．13．已知双曲线x29－y216＝1，过其右焦点F 的直线交双曲线于P ，Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |＝________.14．(10分)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的对称轴上的定点M (m,0)(m >0)，过点M 作直线AB 与抛物线相交于A ，B 两点．(1)试证明A ，B 两点的纵坐标之积为定值；(2)若点N 是定直线l ：x ＝－m 上的任一点，证明：直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列．15．(13分)2011²江西卷 P (x 0，y 0)(x 0≠±a )是双曲线E ：x 2a 2－y2b 2＝1(a >0，b >0)上一点，M ，N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PM ，PN 的斜率之积为15.(1)求双曲线的离心率；(2)过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．难点突破16．(12分)2011²银川一中月考 已知曲线C 上任意一点M 到点F (0,1)的距离比它到直线l ：y ＝－2的距离小1.(1)求曲线C 的方程； (2)过点P (2,2)的直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，设＝λ，当△AOB 的面积为42时(O 为坐标原点)，求λ的值．课时作业(五十一)【基础热身】1．C 解析 直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b ≥1且b ≠4.2．C 解析 点(2，0)恰是双曲线的一个顶点，过该点仅有一条直线与双曲线相切，而过该点与双曲线的渐近线平行的两条直线也与双曲线仅有一个公共点，故这样的直线有3条．3．B 解析 当x ≥0时，方程是y29－x24＝1，当x <0时，方程是y29＋x24＝1，作图即知．4．A 解析 联立方程⎩⎨⎧y ＝kx ＋2，x 2－y 2＝6，消去y 后得 (1－k 2)x 2－4kx －10＝0，设交点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则1－k 2≠0，Δ＝(－4k )2＋40(1－k 2)>0，x 1＋x 2＝4k 1－k 2>0，x 1x 2＝－101－k2>0，解不等式组得－153<k <－1. 【能力提升】5．B 解析 过A 作AD ⊥x 轴于D ，令|FD |＝m ，则|FA |＝2m ，p ＋m ＝2m ，m ＝p ， ∴OA ＝⎝⎛⎭⎫p 2＋p 2＋(3p )2＝212p .6．B 解析 方法1：该抛物线的通径长为4，而这样的弦AB 的长为x A ＋x B ＋p ＝7，故这样的直线有且仅有两条．方法二：①当该直线的斜率不存在时，它们的横坐标之和等于2，不合题意． ②当该直线的斜率存在时，设该直线方程为y ＝k (x －1)，代入抛物线方程得 k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，由x 1＋x 2＝2k 2＋4k 2＝5⇒k 2＝43⇒k ＝±233.故这样的直线有且仅有两条．7．B 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由于点A ，B 在椭圆x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)上，所以x 21a ＋y 21b1，x 22a 2＋y 22b 2＝1，两式相减得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)b 2＝0.设直线AB 的斜率为k ，则得k ＝－b 2x 0a 2y 0，从而线段AB 的垂直平分线的斜率为a 2y 0b 2x 0，线段AB 的垂直平分线的方程为y －y 0＝a 2y 0b 2x 0x－x 0)．由于线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点P (1,0)，所以0－y 0＝a 2y 0b 2x 0(1－x 0)，解得x 0＝a2a 2－b2.a 2a 2－b 2＝a 2c 2＝⎝⎛⎭⎫1e 2.所以x 0＝94. 8．D 解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线y ＝k (x ＋2)与抛物线y 2＝8x 联立，消掉y 得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.根据韦达定理x 1x 2＝4，(1)．根据焦点半径公式，有|FA |＝x 1＋2，|FB |＝x 2＋2，由|FA |＝2|FB |，得x 1＝2x 2＋2，(2)，由(1)(2)解得x 2＝1(负值舍去)，故点B 的坐标为(1,22)，将其代入y ＝k (x ＋2)(k >0)得k ＝223. 9．D 解析 法一：联立直线与抛物线的方程，消去y 得x 2－5x ＋4＝0，∴x ＝1或4，得A (1，－2)，B (4,4)，则|AF |＝2，|BF |＝5，|AB |＝35，由余弦定理得cos ∠AFB ＝－45.法二：联立方程⎩⎨⎧y ＝2x －4，y 2＝4x ，解得x ＝1或x ＝4，所以交点坐标分别为A (1，－2)，B (4,4)，又F (1,0)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)，所以cos ∠AFB ＝＝－85³2＝－45.10．(－2，－1)∪(－1,1)∪(1,2) 解析 直线与曲线方程联立，消掉y 得(1－t 2)x 2－26tx －8＝0，直线与双曲线交于不同两点的充要条件是1－t 2≠0且Δ＝(26t )2－4(1－t 2)³(－8)>0，解得t 2<4且t 2≠1.11．y ＝±3x ＋2 解析 设切线方程为y ＝kx ＋2，代入双曲线方程得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0，由Δ＝16k 2＋24(1－k 2)＝0，解得k ＝±3，故所求的切线方程为y ＝±3x ＋2.12．y ＝x 解析 由已知抛物线方程为y 2＝4x .直线l 的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，点(2,2)不可能是AB 的中点，故直线l 的斜率存在，设直线方程斜率为k ，则直线l 的方程是y－2＝k (x －2)且k ≠0，与抛物线方程y 2＝4x 联立消去x ，则y 2－4⎝⎛⎭⎫y －2k ＋2＝0，即y 2－4k y ＋8k－8＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝4k y 1＋y 22＝2，即2k＝2，解得k ＝1，故所求的直线方程是y －2＝x －2，即y ＝x .13.56 解析 右焦点F 的坐标是(5,0)，设直线PQ 的方程是x ＝my ＋5，代入双曲线方程得(16m2－9)y 2＋160my ＋162＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝－160m 16m 2－9，y 1y 2＝16216m 2－9， 则|PQ |＝1＋m2⎝⎛⎭⎫－160m 16m 2－92－4²16216m 2－9＝96(1＋m 2)|16m 2－9|. 设PQ 的中点N (x 0，y 0)，则y 0＝－80m 16m 2－9，x 0＝－80m 216m 2－9＋5＝－4516m 2－9. 设M (t,0)，则y 0x 0－t ＝－m ，即t ＝y 0m ＋x 0＝－12516m 2－9故|MF |＝|t －5|＝⎪⎪⎪⎪－12516m 2－9－5＝80(1＋m 2)|16m 2－9|. 所以|MF ||PQ |＝8096＝56.14．解答 (1)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有y 1y 2＝－2pm ，下证之：设直线AB 的方程为：x ＝ty ＋m ，与y 2＝2px 联立得⎩⎨⎧y 2＝2px ，x ＝ty ＋m ，消去x ，得y 2－2pty －2pm＝0，由韦达定理得y 1y 2＝－2pm .(2)证明：设点N (－m ，n )，则直线AN 的斜率为k AN ＝y 1－n x 1＋m ，直线BN 的斜率为k BN ＝y 2－nx 2＋m， ∴k AN ＋k BN ＝y 1－n y 212p ＋m ＋y 2－n y 222p ＋m ＝2p (y 1－n )y 21＋2pm ＋2p (y 2－n )y 22＋2pm ＝2p ⎝⎛⎫y 1－n y 1－y 1y 2＋y 2－n y 2－y 1y 2＝2p ²y 2(y 1－n )－y 1(y 2－n )y 1y 2(y 1－y 2)＝2p ²n (y 1－y 2)y 1y 2(y 1－y 2)＝2p ²n y 1y 2＝2p ²n －2pm ＝－nm又∵直线MN 的斜率为k MN ＝n －0－m －m ＝－n2m，∴k AN ＋k BN ＝2k MN ，即直线AN ，MN ，BN 的斜率成等差数列．15．解答 (1)点P (x 0，y 0)(x 0≠±a )在双曲线a 2－b 2＝1上，有x 20a 2－y 2b2＝1，由题意又有y 0x 0－a ²y 0x 0＋a ＝15，可得a 2＝5b 2，c 2＝a 2＋b 2＝6b 2，则e ＝c a ＝305.(2)联立⎩⎨⎧x 2－5y 2＝5b 2，y ＝x －c得4x 2－10cx ＋35b 2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝5c 2，x 1x 2＝35b24.①设＝(x 3，y 3)，＝λ＋，即⎩⎨⎧x 3＝λx 1＋x 2，y 3＝λy 1＋y 2，又C 为双曲线上一点，即x 23－5y 23＝5b 2，有(λx 1＋x 2)2－5(λy 1＋y 2)2＝5b 2，化简得：λ2(x 21－5y 21)＋(x 22－5y 22)＋2λ(x 1x 2－5y 1y 2)＝5b 2. 又A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，所以x 21－5y 21＝5b 2，x 22－5y 22＝5b 2.②由①式又有x 1x 2－5y 1y 2＝x 1x 2－5(x 1－c )(x 2－c )＝－4x 1x 2＋5c (x 1＋x 2)－5c 2＝10b 2，得：λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4. 【难点突破】16．解答 (1)∵点M 到点F (0,1)的距离比它到直线l ：y ＝－2的距离小1，∴点M 在直线l 的上方，点M 到F (0,1)的距离与它到直线l ′∶y ＝－1的距离相等， ∴点M 的轨迹C 是以F 为焦点，l ′为准线的抛物线，∴曲线C 的方程为x 2＝4y .(2)当直线m 的斜率不存在时，它与曲线C 只有一个交点，不合题意， 设直线m 的方程为y －2＝k (x －2)，即y ＝kx ＋(2－2k )，代入x 2＝4y 得x 2－4kx ＋8(k －1)＝0(*)，Δ＝16(k 2－2k ＋2)>0对k ∈R 恒成立，所以直线m 与曲线C 恒有两个不同的交点． 设交点A ，B 的坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝8(k －1)． ∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(1＋k 2)[(x 2＋x 1)2－4x 1x 2]＝4(1＋k 2)(k 2－2k ＋2)，点O 到直线m 的距离d ＝|2－2k |1＋k2，∴S △ABO ＝12|AB |d ＝4|k －1|k 2－2k ＋2＝4(k －1)4＋(k －1)2，∵S △ABO ＝42，∴4(k －1)4＋(k －1)2＝42，∴(k －1)4＋(k －1)2－2＝0，∴(k －1)2＝1或(k －1)2＝－2(舍去)， ∴k ＝0或k ＝2.当k＝0时，方程(*)的解为x＝±2 2. 若x1＝22，x2＝－22，2－22＝3－22；则λ＝－22－2若x1＝－22，x2＝22，2＋22＝3＋2 2.则λ＝22－2当k＝2时，方程(*)的解为4±2 2. 若x1＝4＋22，x2＝4－22，－2－22则λ＝＝3＋22；2－22若x1＝4－22，x2＝4＋22，－2＋22则λ＝＝3－2 2.2＋22所以λ＝3＋22或3－2 2.。

课时跟踪检测(一) 集合的概念与运算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1. (2018 •徐州、连云港、宿迁三检)已知集合A= {x|x = 2k + 1 , k € Z}, B= {x|0 v xv 5}，则A n B= ________ .解析：因为集合A= {x|x = 2k + 1 ,k € Z}为奇数集，B= {x|0 v x v 5}，所以A n B= {1,3}. 答案：{1,3}2. 定义：满足任意元素x €代则|4 —x| € A的集合称为优集，若集合A={1 , a, 7}是优集，则实数a的值为__________ .解析：依题意，当x = 1时，|4 —x| = 3€ A,当x= 7时，|4 —x| = 3€ A所以a= 3符合条件.答案：33. (2018 •如皋高三上学期调研)集合A= {1,3} , B= {a2+ 2,3}，若A U B= {1,2,3},则实数a的值为__________ .解析：T A= {1,3} , B= {a2+ 2,3},且A U B= {1,2,3},••• a2+ 2=2，解得a= 0,即实数a的值为0.答案：04. (2018 •盐城三模)已知集合A={1,2,3,4,5}, B= {1,3,5,7,9} , C= A n B,则集合C的子集的个数为__________ .解析：因为A n B= {1,3,5}，所以C= {1,3,5}，故集合C的子集的个数为23= 8.答案：85. (2019 •徐州期中)已知集合A= {1,2,3,4,5}, B= {( x, y)| x€ 代 y € A, x v y, x +y€ A}，则集合B的子集个数是 _________ .解析：T集合A= {1,2,3,4,5} , B= {( x, y)| x € A, y€A, x v y, x+ y€ A},• B= {(1,2) , (2,3) , (1,3) , (1,4)},•集合B的子集个数是24= 16.答案：166. _____________________ (2019 •南通中学检测)已知集合A= {x|y = .9 —x2}, B= {x| x> a},若A n B= A, 则实数a的取值范围是.解析：因为A n B= A,所以A? B.因为A= {x| y=《9 —x2} = {x|9 —x2>0} = [ —3,3],所以[—3,3] ? [a , +s),所以a w —3.答案：(—a , —3]—保咼考，全练题型做到咼考达标1. _____________________________________________________________ （2018 •常州调研）已知⑴? A ? {1,2,3}，则这样的集合 A 有 _________________________________ 个.解析：根据已知条件知符合条件的 A 为:A = {1} , {1,2} , {1,3} , {1,2,3},•••集合A 有4个. 答案：42. _____________ （2019 •启东中学检测）已知集合 A = {x |0 v x w 6}, B = {x € N|2x v 33}，则集合 A H B 的元素个数为.x解析：因为 A = {x |0 v x w 6}, B = {x € N|2 v 33} = {0,1,2,3,4,5} ，所以 A H B = {1,2,3,4,5}，即A HB 的元素个数为5.答案：5 3.已知a wi 时，集合{x |a w x w 2- a }中有且只有3个整数，则实数 a 的取值范围是解析：因为a w 1,所以2-a > 1,所以1必在集合中.若区间端点均为整数，则 a = 0，集合中有0,1,2三个整数，所以a = 0符合题意；若区间端点不为整数，则区间长度2v 2 — 2a v 4，解得一1 v a v 0,此时，集合中有0,1,2 三个整数，所以—1v a v 0符合题意.综上，实数a 的取值范围是（—1,0]. 答案：（—1,0]4.已知集合 A = {x |1 w x v 5}, B = {x | — a v x w a + 3}，若 B ? （A H B ）,则实数 a 的取值 范围为 ___________ .解析：因为B ? （A H E ），所以B ? A3①当 4 ?时，满足B ? A,此时一a > a + 3,即卩a w —：—a v a + 3,B ? A,贝U — a > 1,a + 3 v 5,由①②可知，实数 a 的取值范围为（一a, — 1]. 答案：（—a, — 1]5. _______________ （2018 •通州中学高三测试 ）设U = R , A = （a , a + 1） , A [0,5），若A ? ?u B,则实数 a 的取值范围是 .解析：因为？u B = （—a, 0） u [5 ,+a ），又 A ? ?u B,所以 a + 1wo 或 a >5,解得 a w —1 或 a >5.3解得—a w — 1.②当B M ?时，要使答案：（—a, —1] U [5 , +a）6. ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- （2019 •淮阴中学检测）设全集U为实数集R,已知集合A= 压 ----------------------------27.设集合 A = {x |x — x -2w 0}, B ={x |x v 1，且 x € Z}，贝U A n B = ____________ 解析：依题意得 A = {x |( x + 1)( x — 2) w 0} = {x | — 1 w x w 2},因此 A n B= {x | — 1 w x v 1,x € Z} = { — 1,0}.答案：{ — 1,0}& (2019 •海安中学检测)已知集合 M= x 2v 1, N ={y |y = x — 1}，则(?R M ) n N解析：因为 M=£v V = ( —a, 0) U (2 ,+R ) , N= {y |y = ^/x —^} = [0 ,+^ ), 所以？R M= [0,2] , (?R M ) n N= [0,2]. 答案：[0,2]9. ______________________________________________________________________ 设全集 U = {x € N *| x w 9}, ?U (A U B = {1,3} , A n ( ?U B ) = {2,4}，贝U B = ___________________ .解析：因为全集 U= {1,2,3,4,567,8,9} ,由?U (A U B = {1,3}, 得 A U B = {2,4,5,6,7,8,9},由 A n (?u B ) = {2,4}知，{2,4} ? A, {2,4} ? 所以 B= {5,6,7,8,9}. 答案：{5,6,7,8,9}10. 已知集合 A = {x |4 w2x w 16}, B = [a ,解析：集合 A = {x |4 w2x w 16} = {x |2 2w2x w24} = {x |2 w x w 4} = [2,4]，因为 A ? B,所 以a w 2, b > 4,所以a — b w 2— 4 = — 2，即实数a — b 的取值范围是(一a,— 2].答案：(—a, — 2]2,B ={x |1 w x w 2}，则图中阴影部分所表示的集合为解析：由题意知，集合A =』x |x >2訂阴影部分表示的集合为(?U A ) n B =n{x |1 w x w 2}=认1w x w3答案：「X i w?uBb ］，若A ? B ,则实数a — b 的取值范围是11. (2019 •启东检测)已知集合A= {x| a w x w a+ 3}, B= {x|x + x —6w0},(1)当a= 0 时，求A U B, A n ?R B；(2)若A n B= A求实数a的取值范围.解：⑴当a= 0 时，A= {x|0 w x w3}，又B-{x| —3< x<2},所以?R B= {x| x v — 3 或x >2},所以A U B- {x| —3w x w 3}, A n ?R B= {x|2 v x w 3}.(2)因为A n B- A,所以A? B,a》一3,所以* 解得—3w a w —1,a + 3w 2,所以实数a的取值范围为[—3,—1].12. (2018 •南京高三部分学校联考)已知集合A- {x| x2—4x —5w 0}, A {x|2 x—6>0},M= A n B(1) 求集合M(2) 已知集合C-{x| a—1w x w7—a, a€ R}，若M n C-M求实数a的取值范围.2解：(1)由x —4x —5w0,得—1w x w 5,所以A- [ —1,5].由2x—6>0,得x>3,所以B- [3 ,+s).所以M= [3,5].⑵因为M n C- M所以M? c,—1 w 3,a贝y 7 —a>5, 解得a w2.a —1 w 7—a,故实数a的取值范围为(一g, 2].三上台阶，自主选做志在冲刺名校1. _________ 已知集合A- {x| x2—2 019x + 2 018 v 0}, B- {x|log 2X< 币，若A? B,则整数m的最小值是____ .解析：由x2— 2 019x + 2 018 v 0，解得 1 v x v2 018，故A- {x|1 v x v 2 018}. 由log 2x v m,解得0v x v 2m,故B- {x|0 v x v 2m}.由A? B,可得2m>2 018 ,10 11因为2 - 1 024,2 - 2 048，所以整数m的最小值为11.答案：11—1, x € M2. 对于集合M定义函数f M(x)—对于两个集合A, B,定义集合A A B1, x?M-{x|f A(x) • f B(x) -—1}.已知A- {2,4,6,8,10} , B- {1,2,4,8,12}，则用列举法写出集合A A B-解析：由题意知，要使f A(x) • f B(x) -—1,必有x€ {x| x € A且x?B} U {x| x € B且x?A} -{1,6,10,12}，所以A A B- {1,6,10,12}答案：{1,6,10,12}3. 已知集合A= {x|1 v x v 3}，集合B= {x|2m< x v 1 —m}.⑴当n^—1时，求A U B；⑵若A? B,求实数n的取值范围；(3)若A n B= ?，求实数n的取值范围.解：(1)当n^—1 时，B= {x| —2v x v2},则A U B= {x| —2v x v 3}.T - n> 2n，⑵由A? B知2mc 1，解得me—2，1 —n> 3，即实数n的取值范围为(一R，—2].(3)由A n B= ?，得1①若2n> 1—n即3时，B= ?，符合题意；1 [n v -，[n v-，②若2n v 1 —n即n v 3时，需$ 3或$3〔1-nf^l 〔2rr^ 3，1 1得0w n v 3或？，即0w n v 3.综上知n>0，即实数n的取值范围为[0，+R ).。